Los funtores se pueden usar para modelar diagramas dentro de las
matemáticas. Podríamos ver un diagrama <<abstracto>> como una categoría cuyos
objetos y morfismos son los puntos y flechas del diagrama, y una instanciación
de ese diagrama como un funtor de dicha categoría a la categoría que nos
interesa. Este capítulo estudia una serie de conceptos que nos permitirán
razonar sobre propiedades algebraicas en base a diagramas, y se basa
principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y \cite[cap. III]{maclane}.

\section{Diagramas}

\begin{definition}
  Una categoría es \conc{finita} si lo son su conjunto de objetos y su conjunto
  de morfismos.
\end{definition}

\begin{definition}
  Un \conc{diagrama} en una categoría $\cC$ es un funtor $D:\cS\to\cC$, y
  llamamos \conc{esquema} del diagrama a $\cS$. $D$ es \conc{pequeño} o
  \conc{finito} si lo es $\cS$.
\end{definition}

\begin{example}
  Esta definición permite modelar una variedad de situaciones. Por ejemplo:
  \begin{enumerate}
  \item Un diagrama con esquema discreto es una familia de objetos.
  \item Un diagrama con esquema $\bOne$ es un objeto, y uno con esquema $\bDown$
    es un morfismo.
  \item Un diagrama con esquema $\bDDown$ es un par de morfismos con dominio y
    codominio común.
  \item Un diagrama $S$ cuyo esquema lo forman un punto distinguido $d$, un
    conjunto de objetos $I$ y una flecha $f_i:d\to i$ para cada $i\in I$ (además
    de las identidades) es una \conc{fuente}. Llamamos \conc{dominio} de la
    fuente a $Sd$ y \conc{codominio} a $(Si)_{i\in I}$, y denotamos la fuente
    como $(Sf_i:Sd\to Si)_{i\in I}$.
  \item De forma dual, un diagrama $S$ cuyo esquema lo forman un punto
    distinguido $c$, un conjunto de objetos $I$ y una flecha $g_i:i\to c$ para
    cada $i\in I$ (además de las identidades) es un \conc{sumidero}. Llamamos
    \conc{dominio} del sumidero a $(Si)_{i\in I}$ y \conc{codominio} a $Sd$, y
    denotamos el sumidero como $(Sg_i:Si\to Sc)_{i\in I}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Límites}

Podemos expresar muchas relaciones entre objetos mediante diagramas. Por
ejemplo, un producto de $(a_i)_{i\in I}$ en una categoría $\cC$ es una fuente
$(p_i:b\to a_i)_{i\in I}$ tal que para cualquier otra fuente
$(f_i:x\to a_i)_{i\in I}$ existe un único morfismo $g:x\to b$ tal que
$f_i=p_i\circ g$ para todo $i\in I$. Por su parte, si consideramos el esquema
$\cS$ de la figura \ref{fig:scheme-equ}, el núcleo de dos morfismos $f$ y $g$ de
$\cC$ es la imagen de $\tilde e$ por un diagrama $D:\cS\to\cC$ tal que
$D\tilde f=f$, $D\tilde g=g$ y, para cualquier otro $D':\cS\to\cC$ que cumpla
esto, existe un único $\overline e:D'k\to Dk$ tal que
$D'\tilde e=D\tilde e\circ\overline e$. El hecho de que
$f\circ D\tilde e=g\circ D\tilde e$ se deduce de que el diagrama sólo tiene una
flecha $k\to b$.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (1,{sqrt(3)}) node(K){$k$} (0,0) node(A){$a$} (2,0) node(B){$b$};
    \draw[->] (K) -- node[left]{$\tilde e$} (A);
    \draw[->] (A.15) -- node[above]{$\tilde f$} (B.165);
    \draw[->] (A.345) -- node[below]{$\tilde g$} (B.195);
    \draw[->] (K) -- (B);
  \end{diagram}
  \caption{Esquema del diagrama asociado al núcleo de dos morfismos.}
  \label{fig:scheme-equ}
\end{figure}

Las descripciones de esta forma son tediosas y muy parecidas unas a
otras. Afortunadamente, esta repetición se puede abstraer y usar en
razonamientos mediante el concepto de límite.

\begin{definition}
  Un \conc{límite} de un diagrama $D:\cS\to\cC$ es una fuente
  $(f_i:d\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ en $\cC$ tal que:
  \begin{enumerate}
  \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $f_j = Ds \circ f_i$, es decir, el diagrama
    \ref{fig:nat-source} conmuta.
    \begin{figure}
      \centering
      \begin{diagram}
        \path (0.9,2) node(C){$c$} (0,0) node(DI){$Di$} (1.8,0) node(DJ){$Dj$};
        \draw[->] (C) -- node[left]{$f_i$} (DI);
        \draw[->] (C) -- node[right]{$f_j$} (DJ);
        \draw[->] (DI) -- node[below]{$Ds$} (DJ);
      \end{diagram}
      \caption[Conmutatividad de fuente respecto a diagrama]{Conmutatividad de
        una fuente $(f_i)_i$ respecto a un diagrama $D$.}
      \label{fig:nat-source}
    \end{figure}
  \item Para cualquier otra fuente $(g_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ con esta
    propiedad, existe un único $s:x\to d$ con $g_i=f_i\circ s$ para cada
    $i\in\Ob{\cS}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item El producto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el límite de un
    diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como categoría
    discreta le asocia $a_i$.
  \item El núcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el límite de
    un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyos dos morfismos no identidad van a parar a
    $f$ y $g$, o más precisamente es el morfismo de este límite que va a parar a
    $a$. Esta situación se muestra en la figura \ref{fig:equ-diagram}.
    \begin{figure}
      \centering
      \begin{diagram}[scale=1.5]
        \path (0,0) node(A){$a$} (2,0) node(B){$b$}
              (1,{sqrt(3)/2}) node(K){$k$} (1,{1.5*sqrt(3)}) node(KP){$k'$};
        \draw[->] (A.15) -- node[above]{$f$} (B.165);
        \draw[->] (A.345) -- node[below]{$g$} (B.195);
        \draw[->] (K) -- node[above]{$e$} (A);
        \draw[->] (K) -- (B);
        \draw[->] (KP) -- node[left]{$e'$} (A);
        \draw[->] (KP) -- (B);
        \draw[->,dotted] (KP) -- node[left]{$\tilde e$} (K);
      \end{diagram}
      \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$}
      \label{fig:equ-diagram}
    \end{figure}

    Si en vez de dos flechas tenemos un número arbitrario de flechas hablamos de
    \conc{multi-núcleos}.
  \item Una fuente $(f_c:s\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ es un límite del diagrama
    identidad $1_\cC:\cC\to\cC$ si y sólo si $s$ es un objeto inicial de $\cC$.
    \begin{proof}
      Si $s$ es inicial, $(f_c)_c$ conmuta respecto al diagrama identidad y,
      para cualquier otra fuente $(g_c:t\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ que también
      conmuta y cada objeto $c$, $g_c=f_c\circ g_s$. Recíprocamente, si
      $(f_c)_c$ es un límite del diagrama identidad y $h:s\to c$ un morfismo
      arbitrario, $h\circ f_s=f_c$ y en particular
      $f_c\circ f_s=f_c=f_c\circ 1_s$, con lo que tanto $f_s$ como $1_s$ llevan
      la fuente $(f_c)_c$ a $(f_c)_c$ y, por la unicidad en la definición de
      límite, $f_s=1_s$, de modo que $h=f_c$ y $s$ es inicial.
    \end{proof}
  \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama y $s\in\Ob{\cS}$ es inicial, entonces
    $D$ tiene límite $(Ds\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}
  El límite es esencialmente único, es decir, si $(f_i:d\to Di)_i$ es un límite
  de un diagrama $D:\cS\to\cC$, el resto de límites son precisamente las fuentes
  $(f_i\circ h:b\to Di)_i$ donde $h:b\to d$ es un isomorfismo.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Es fácil ver que las fuentes de esta forma son límites de $D$. Para el
  recíproco, si $(g_i:b\to Di)_i$ es otro límite de $D$, existe $h:b\to d$ con
  cada $g_i=f_i\circ h$ y $k:d\to b$ con cada $f_i=g_i\circ k$, pero entonces
  cada $f_i=f_i\circ h\circ k=f_i\circ 1_d$ y, por la unicidad en la definición
  de límite, $h\circ k=1_d$, y análogamente $k\circ h=1_b$, luego $h$ es un
  isomorfismo.
\end{proof}

\section{Colímites}

El concepto dual al de límite es el de colímite.

\begin{definition}
  Un sumidero $(g_i: Di\to c)_{i\in\Ob{\cS}}$ es un \conc{colímite} de un
  diagrama $D:\cS\to\cC$ si:
  \begin{enumerate}
  \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $g_j=g_i\circ Ds$.
  \item Para cualquier otro sumidero $(h_i:Di\to x)_{i\in\Ob{\cS}}$ con esta
    propiedad, existe un único $s:c\to x$ con $h_i=s\circ g_i$ para cada
    $i\in\Ob{\cS}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}
  \begin{enumerate}
  \item El coproducto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el colímite de
    un diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como
    categoría discreta le asocia $a_i$.
  \item El conúcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el colímite
    de un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyos dos morfismos no identidad van a
    parar a $f$ y $g$, o más precisamente es el morfismo de este colímite que va
    a parar a $b$.

    Si en vez de dos flechas tenemos un número arbitrario hablamos de
    \conc{multi-conúcleos}.
  \item Un sumidero $(f_c:s\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ es un colímite del diagrama
    identidad en $\cC$ si y sólo si $s$ es un objeto final de $\cC$.
  \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama y $t\in\Ob{\cS}$ es final, entonces $D$
    tiene colímite $(Di\to Ds)_{i\in\Ob{\cS}}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

Vemos así que un objeto inicial es lo mismo que un colímite del diagrama vacío
(con esquema $\bZero$) y que un límite del diagrama identidad, mientras que un
objeto final es lo mismo que un límite del diagrama vacío y que un colímite del
diagrama identidad.

\begin{proposition}
  El colímite es esencialmente único, es decir, si $(g_i:Di\to c)_i$ es un
  colímite de un diagrama $D:\cS\to\cC$, el resto de colímites son precisamente
  los sumideros $(h\circ g_i:Di\to b)_i$ donde $h:c\to b$ es un isomorfismo.
\end{proposition}

\section{Productos y coproductos fibrados}

Los límites y colímites, al ser fuentes y sumideros, respectivamente, se pueden
ver como diagramas que pueden tener a su vez un límite y un colímite. Claramente
el límite de un límite es el propio límite y el colímite de un colímite es el
propio colímite, pues de hecho el límite de una fuente es la propia fuente y el
colímite de un sumidero es el propio sumidero. Sin embargo, puede ser
interesante estudiar el límite de un sumidero o el colímite de una
fuente. Empezamos con el primer caso, y vemos algunas definiciones.

\begin{definition}\;
  \begin{enumerate}
  \item Un \conc{producto fibrado múltiple} es un límite de un
    sumidero.
  \item Un \conc{producto fibrado} es un límite de un diagrama con esquema
    ($\bullet\to\bullet\leftarrow\bullet$), es decir, de un sumidero de tamaño
    2.
  \item Dados dos morfismos $f:a\to c$ y $g:b\to c$, llamamos producto fibrado
    de $a$ y $b$ por $c$ (respecto de $f$ y $g$), $a\times_c b$, o simplemente
    producto fibrado de $f$ y $g$, al producto fibrado del sumidero determinado
    por $f$ y $g$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (0,0) node(A){$a$} (2,2) node(B){$b$} (2,0) node(C){$c$}
          (0,2) node(D){$a\times_cb$} (-1,3) node(X){$x$};
    \draw[->] (A) -- node[below]{$f$} (C);
    \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (C);
    \draw[->] (D) -- node[right]{$\overline g$} (A);
    \draw[->] (D) -- node[below]{$\overline f$} (B);
    \draw[->] (X) -- (A);
    \draw[->] (X) -- (B);
    \draw[->,dotted] (X) -- (D);
  \end{diagram}
  \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$}
  \label{fig:pullback}
\end{figure}

Al representar gráficamente un producto fibrado, la flecha de dicho producto al
codominio del sumidero es superflua, por lo que solemos omitirla. El resultado
es un cuadrado como el de la figura \ref{fig:pullback}, llamado \conc{cuadrado
  cartesiano}. Veamos algunos ejemplos.

\pagebreak
\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item En $\bSet$, el producto fibrado de dos funciones $f:A\to C$ y $g:B\to C$
    es $A\times_C B = \{(a,b) \in A \times B \mid f(a)=g(b) \}$ junto con las
    correspondientes restricciones al dominio de las proyecciones $A\times B\to A$
    y $A\times B\to B$.
  \item En una categoría fina, el producto fibrado coincide con el producto
    convencional.
  \item En un constructo con un objeto libre $1$ sobre el conjunto $\{*\}$, si
    $e:1\to c$ es un elemento de $c$ y $f:b\to c$ es otro morfismo, llamamos
    \conc{fibra} de $f$ sobre $e$ al producto fibrado de $e$ y
    $f$.\cite[p. 79]{riehl} En $\bSet$, esta fibra coincide con la imagen
    inversa $f^{-1}(e)$. En $\bTop$, si $\rho:\sReal\to\sCirc^1$ es la
    aplicación $t\mapsto\E^{2\pi\I t}$, la fibra de $\rho$ sobre un punto de
    $\sCirc^1$ es $\sInt$ con la inclusión $\sInt\inTo\sReal$.
  \end{enumerate}
\end{example}

El primer ejemplo muestra una relación entre los conceptos de producto fibrado,
producto y núcleo, mostrando que en $\bSet$ el primero se puede definir en
términos de los otros dos. Esto no es casualidad, sino que de hecho ocurre en
todas las categorías en las que dichos límites existen.

\begin{proposition}
  Sean $f:a\to c$ y $g:b\to c$ morfismos, $p_1:a\times b\epicTo a$ y
  $p_2:a\times b\epicTo b$ proyecciones canónicas y $e:k\monicTo a\times b$ un
  núcleo de $f\circ p_1$ y $g\circ p_2$, entonces $p_1\circ e:k\to a$ y
  $p_2\circ e:k\to b$ forman un producto fibrado de $f$ y $g$ (figura
  \ref{fig:pullback-canon}).
  \begin{figure}
    \centering
    \begin{diagram}
      \path (0,0) node(B){$b$} (3,0) node(C){$c$} (3,3) node(A){$a$};
      \path (1.5,1.5) node(AB){$a\times b$} (0,3) node(K){$k$};
      \draw[->] (A) -- node[right]{$f$} (C);
      \draw[->] (B) -- node[below]{$g$} (C);
      \draw[->] (K) -- node[below]{$e$} (AB);
      \draw[->] (AB) -- node[below]{$p_1$} (A);
      \draw[->] (AB) -- node[right]{$p_2$} (B);
      \draw[->] (K) -- node[above]{$p_1\circ e$} (A);
      \draw[->] (K) -- node[left]{$p_2\circ e$} (B);
    \end{diagram}
    \caption{Construcción canónica de productos fibrados}
    \label{fig:pullback-canon}
  \end{figure}
\end{proposition}
\begin{proof}
  Obviamente el cuadrado conmuta, y si $r:p\to b$ y $s:p\to a$ son tales que
  $f\circ s=g\circ r$, entonces $f\circ p_1\circ(s,r)=g\circ p_2\circ(s,r)$ y
  existe un único $h:p\to k$ tal que $(s,r)=e\circ h$ y así
  $s=(p_1\circ e)\circ h$ y $r=(p_2\circ e)\circ h$.
\end{proof}

\begin{example}
  La anterior proposición caracteriza el producto fibrado en la mayoría de
  categorías como un subobjeto regular de un objeto producto. Así:
  \begin{enumerate}
  \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, dados dos homomorfismos
    $f:A\to C$ y $g:B\to C$, el producto fibrado de $A$ y $B$ por $C$ es el
    subanillo, subgrupo, submódulo o subespacio topológico, respectivamente, de
    $A\times B$ dado por $A\times_C B=\{ (a,b)\in A\times B\mid f(a)=g(b) \}$.
  \item En $\bAb$, los homomorfismos $\sInt\to\sInt$ se identifican con los
    enteros. Entonces el producto fibrado de dos enteros $m$ y $n$ está formado
    por pares de enteros $(x,y)\in\sInt\times\sInt$ con $xn=ym$. Si $m,n\neq0$,
    esto es isomorfo a $\sInt$ y los morfismos del producto son enteros $a$ y
    $b$ tales que $ma=nb$ es el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.

    Si $m$ es 0 pero $n$ no, el producto fibrado es $\sInt$, con el morfismo
    paralelo a $m$ igual a 0 y el otro igual a 1. Si $n$ es 0 pero $m$ no es
    análogo, y si ambos son 0 el producto fibrado es el producto convencional.
    Esto encaja con la siguiente proposición.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}
  El producto fibrado de dos objetos respecto a un objeto terminal es el
  producto de dichos objetos.
\end{proposition}

Los productos fibrados se pueden usar para definir intersecciones. La
intersección de dos objetos cualesquiera no tiene una definición general en
teoría de categorías, pues en principio, en un constructo, los elementos de un
objeto son intercambiables. Sin embargo, sí que se puede definir la intersección
entre subobjetos del mismo objeto. En $\bSet$, el producto fibrado de un par de
inclusiones es la intersección de los dominios, lo cual podemos generalizar.

\begin{definition}
  La \conc{intersección} de una familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de subobjetos
  de un objeto $c$ es el par $(b,n)$ formado por el dominio $b$ del producto
  fibrado múltiple de los $m_i$ y el morfismo $n:b\to c$ de dicho producto.
\end{definition}

\begin{proposition}
  La intersección de una familia de subobjetos es un subobjeto.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Sea $(b,n)$ una intersección de la familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de
  subobjetos de $c$ y sea $(f_i:b\to a_i)_{i\in I\sqcup\{*\}}$ el producto
  fibrado correspondiente, con $f_*=n$, para $g,h:d\to b$ con
  $n\circ g=n\circ h$, $m_i\circ f_i\circ g=m_i\circ f_i\circ h$ para cada
  $i\in I$ y por tanto $f_i\circ g=f_i\circ h$, y por la unicidad en la
  definición de límite es $g=h$, con lo que $n$ es un monomorfismo.
\end{proof}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item La intersección de una familia vacía de subobjetos es el objeto
    total.
  \item La intersección en $\bSet$, $\bTop$, $\bRing$, $K\dash\bMod$ y
    $(\Omega,E)\dash\bAlg$ se corresponde con la intersección de conjuntos.
  \item En una categoría fina, las intersecciones son los productos.
  \end{enumerate}
\end{example}

El concepto dual al producto fibrado es el coproducto fibrado.

\begin{definition}\;
  \begin{enumerate}
  \item Un \conc{coproducto fibrado múltiple} es un colímite de una fuente.
  \item Un \conc{coproducto fibrado} es un colímite de un diagrama con esquema
    ($\bullet\leftarrow\bullet\to\bullet$), es decir, de una fuente de tamaño 2.
  \item Dados dos morfismos $f:d\to a$ y $g:d\to b$, llamamos coproducto fibrado
    de $a$ y $b$ por $d$ (respecto de $f$ y $g$), $a\oplus_d b$, o simplemente
    coproducto fibrado de $f$ y $g$, al coproducto fibrado de la fuente
    determinada por $f$ y $g$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Es común representar el coproducto fibrado con un cuadrado cartesiano como el de
la figura \ref{fig:pushout}.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (0,0) node(A){$a$} (-2,-2) node(B){$b$} (-2,0) node(C){$d$}
          (0,-2) node(D){$a\oplus_cb$} (1,-3) node(X){$x$};
    \draw[<-] (A) -- node[above]{$f$} (C);
    \draw[<-] (B) -- node[left]{$g$} (C);
    \draw[<-] (D) -- node[left]{$\overline g$} (A);
    \draw[<-] (D) -- node[above]{$\overline f$} (B);
    \draw[<-] (X) -- (A);
    \draw[<-] (X) -- (B);
    \draw[<-,dotted] (X) -- (D);
  \end{diagram}
  \caption[Coproducto fibrado]{Coproducto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$}
  \label{fig:pushout}
\end{figure}

\begin{proposition}
  Sean $f:d\to a$ y $g:d\to b$ morfismos, $u_1:a\monicTo a\oplus b$ y
  $u_2:b\monicTo a\oplus b$ inclusiones canónicas y $c:a\oplus b\epicTo q$ un
  conúcleo de $u_1\circ f$ y $u_2\circ g$, entonces $c\circ u_1:a\to q$ y
  $c\circ u_2:b\to q$ forman un coproducto fibrado de $f$ y $g$ (figura
  \ref{fig:pushout-canon}).
  \begin{figure}
    \centering
    \begin{diagram}
      \path (0,0) node(B){$b$} (-3,0) node(C){$d$} (-3,-3) node(A){$a$};
      \path (-1.5,-1.5) node(AB){$a\oplus b$} (0,-3) node(K){$q$};
      \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (C);
      \draw[->] (B) -- node[above]{$g$} (C);
      \draw[->] (K) -- node[above]{$c$} (AB);
      \draw[->] (AB) -- node[above]{$u_1$} (A);
      \draw[->] (AB) -- node[left]{$u_2$} (B);
      \draw[->] (K) -- node[below]{$u_1\circ c$} (A);
      \draw[->] (K) -- node[right]{$u_2\circ c$} (B);
    \end{diagram}
    \caption{Construcción canónica de coproductos fibrados}
    \label{fig:pushout-canon}
  \end{figure}
\end{proposition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item En $\bSet$, dadas dos funciones $f:D\to A$ y $g:D\to B$, el coproducto
    fibrado de $A$ y $B$ por $D$ es el conjunto cociente de $A\sqcup B$ por la
    menor relación de equivalencia que identifica $f(d)$ con $g(d)$ para cada
    $d\in D$.
  \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, el coproducto se obtiene
    de manera similar.
  \item En una categoría fina, un coproducto fibrado es un coproducto
    convencional.
  \item El concepto dual de la intersección es el de \conc{cointersección} de
    objetos cociente. Específicamente, en $\bSet$, si $(\sim_i)_{i\in I}$ son
    relaciones de equivalencia en un conjunto $A$, la cointersección de los
    conjuntos cociente $(\frac{A}{\sim_i})_{i\in I}$ (con las correspondientes
    proyecciones canónicas) es el conjunto cociente de $A$ por la menor relación
    de equivalencia que contiene a $\bigcup_{i\in I}\sim_i$. La cointersección
    de una familia vacía de objetos cociente es el objeto original.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Completitud}

Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos, pero
todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta depende del caso; por
ejemplo, en $\bSet$ todos los productos existen, pero en una categoría discreta
no existe el producto de dos o más elementos distintos, y en conjuntos
parcialmente ordenados puede haber pares de elementos que tengan producto y
otros que no. Se podría pensar entonces que caracterizar la existencia de
límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente compleja, pero de
hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación.

\begin{definition}
  Sea $\cC$ una categoría:
  \begin{enumerate}
  \item $\cC$ \conc{tiene límites} (\emph{finitos}) o es (\emph{finitamente})
    \conc{completa} si todos los diagramas pequeños (finitos) en $\cC$ tienen
    límite.
  \item $\cC$ \conc{tiene productos} (\emph{finitos}) si todas las familias
    pequeñas (finitas) de objetos de $\cC$ tienen producto.
  \item $\cC$ \conc{tiene núcleos} si todo par de morfismos con el mismo dominio
    y codominio tiene un núcleo.
  \item $\cC$ \conc{tiene productos fibrados} si todo par de morfismos con el
    mismo codominio tiene un producto fibrado.
  \item $\cC$ \conc{tiene intersecciones} (\emph{finitas}) si toda familia
    pequeña (finita) de subobjetos de un mismo objeto de $\cC$ tiene intersección.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}
  Para una categoría $\cC$, son equivalentes:
  \begin{enumerate}
  \item \label{enu:lim-complete} $\cC$ es completa.
  \item \label{enu:lim-prodint} $\cC$ tiene productos e intersecciones finitas.
  \item \label{enu:lim-prodeq} $\cC$ tiene productos y núcleos.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  (\ref{enu:lim-complete})$\implies$(\ref{enu:lim-prodint}) es obvio.

  Veamos (\ref{enu:lim-prodint})$\implies$(\ref{enu:lim-prodeq}). Si $\cC$ tiene
  productos e intersecciones finitas, sean $f,g:a\to b$, existe $a\times b$ y
  $(a,(1_a,f))$ y $(a,(1_a,g))$ son subobjetos de $a\times b$ con una cierta
  intersección $(k,n)$. Sean entonces $p_1:a\times b\to a$ y
  $p_2:a\times b\to b$ las proyecciones canónicas y $e_1,e_2:k\to a$ tales que
  $n=(1_a,f)\circ e_1=(1_a,g)\circ e_2$, y queremos ver que $e_1=p_1\circ n=e_2$
  es un núcleo de $f$ y $g$. Pero $f\circ e_1=p_2\circ n=g\circ e_2=g\circ e_1$,
  y si $e':k'\to a$ cumple $f\circ e'=g\circ e'$, entonces es fácil ver que
  $(1_a,f)\circ e'=(1_a,g)\circ e'$, y por la definición de intersección existe
  un único $h:k'\to k$ con $e'=e_1\circ h$.

  Queda por probar (\ref{enu:lim-prodeq})$\implies$\ref{enu:lim-complete}. Si
  $D:\cS\to\cC$ un diagrama pequeño y $\cC$ tiene productos y núcleos, existen
  los productos $(p_j:O\coloneqq\prod_{i\in\Ob{\cS}}Di\to Dj)_{j\in\Ob{\cS}}$ y
  $(\pi_s:C\coloneqq\prod_{t\in\Mor{\cS}}D(\cod t)\to D(\cod
  s))_{s\in\Mor{\cS}}$. Además, si tomamos
  $p_{\cod t},Dt\circ p_{\dom t}:O\to D(\cod t)$ para cada $t\in\Mor{\cS}$, el
  par de morfismos
  $\hat c\coloneqq(p_{\cod t})_{t\in\Mor{\cS}},\hat d\coloneqq(Dt\circ p_{\dom
    t})_{t\in\Mor{\cS}}:O\to M$ tiene un núcleo $e:k\to O$, y queremos ver que
  $(p_i\circ e:E\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es límite de $D$. En primer lugar, para
  cada $s:i\to j$ en $\cS$,
  $p_i\circ e=p_{\cod s}\circ e=\pi_s\circ\hat c\circ e=\pi_s\circ\hat d\circ
  e=Ds\circ p_{\dom t}\circ e=Ds\circ(p_i\circ e)$. En segundo lugar, si
  $(f_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es otra fuente tal que $f_j=Ds\circ f_i$ para
  todo $s:i\to j$ en $\cS$, sea $\hat f\coloneqq(f_i)_{i\in\Ob{\cS}}:x\to O$,
  para $s:i\to j$ en $\cS$,
  $\pi_s\circ\hat c\circ\hat f=p_j\circ\hat f=f_j=Ds\circ f_i=Ds\circ
  p_i\circ\hat f=\pi_s\circ\hat d\circ\hat f$, y como esto se da para todo $s$,
  por definición de producto, $\hat c\circ\hat f=\hat d\circ\hat f$, pero por
  definición de núcleo, existe un único $g:x\to k$ con $\hat f=e\circ g$, de
  modo que $f_i=p_i\circ e\circ g$ para cada $i$ y $g$ es el único morfismo con
  esta propiedad.
\end{proof}

Para el caso finito tenemos una propiedad similar.

\begin{theorem}
  Para una categoría $\cC$, son equivalentes:
  \begin{enumerate}
  \item \label{enu:flim-comp} $\cC$ es finitamente completa.
  \item \label{enu:flim-intr} $\cC$ tiene productos finitos e intersecciones
    finitas.
  \item \label{enu:flim-kern} $\cC$ tiene productos finitos y núcleos.
  \item \label{enu:flim-pull} $\cC$ tiene productos fibrados y un objeto
    terminal.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  (\ref{enu:flim-comp})$\iff$(\ref{enu:flim-intr})$\iff$(\ref{enu:flim-kern}) se
  prueba como en el teorema anterior, y
  (\ref{enu:flim-comp})$\implies$(\ref{enu:flim-pull}) es obvio usando que un
  objeto terminal es un límite de un diagrama vacío.

  Queda ver (\ref{enu:flim-pull})$\implies$(\ref{enu:flim-intr}), pero un
  producto de una familia vacía es un objeto terminal, los de una unipuntual
  siempre existen y los de dos objetos son productos fibrados respecto a un
  objeto terminal, y basta usar la asociatividad del producto. Además, una
  intersección de una familia vacía es un morfismo identidad, la de un sólo
  subobjeto es el propio subobjeto, la de dos subobjetos es un producto fibrado
  y es fácil ver que, si $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$ son subobjetos de $c$ con
  $n>2$, $(b,q)$ es intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_{n-1},m_{n-1})$ y
  $(b',q')$ es intersección de $(b,q)$ y $(a_n,m_n)$, entonces $(b',q')$ es
  intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$.
\end{proof}

El dual de una categoría completa es una categoría \emph{cocompleta}, y
análogamente se define tener colímites, coproductos, conúcleos, etc.

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item Las categorías $\bSet$, $R\dash\bMod$, $\bTop$, $\bOrd$ y $\bGrp$ tienen
    productos y núcleos, por lo que son completas.
  \item Un conjunto pequeño parcialmente ordenado visto como categoría es
    completo si y sólo si es un retículo completo, si y sólo si es cocompleto.
    \begin{proof}
      Sea $(C,\leq)$ este conjunto. Claramente, si $(C,\leq)$ es un retículo
      completo, es una categoría completa y cocompleta, pues tiene productos y
      coproductos (ínfimos y supremos) y, como toda categoría fina, tiene
      núcleos y conúcleos. Supongamos que $(C,\leq)$ es una categoría completa,
      y queremos ver que es un retículo completo. Si $S\subseteq C$ es no vacío,
      $S$ tiene un ínfimo (el producto de los objetos). Ahora bien, sea
      $X\subseteq C$ el conjunto de cotas superiores de $S$, $X$ no es vacío
      porque contiene al máximo de $C$ (el objeto terminal), por lo que tiene un
      ínfimo $p$, pero para $s\in S$, $s\leq x$ para todo $x\in X$ y, por
      definición de ínfimo, $s\leq p$, de modo que $p$ es una cota superior de
      $S$ y es la menor de ellas, por lo que es un supremo, y así $C$ es un
      retículo completo. Análogamente, si $C$ es una categoría cocompleta,
      también es un retículo completo.
    \end{proof}
  \item La subcategoría de $\bSet$ de los conjuntos finitos es finitamente
    completa y cocompleta, pero no es completa ni cocompleta.
  \end{enumerate}
\end{example}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End:
