Los funtores se pueden usar para modelar diagramas dentro de las
matemáticas. Podríamos ver un diagrama <<abstracto>> como una categoría cuyos
objetos y morfismos son los puntos y flechas del diagrama, y una instanciación
de ese diagrama como un funtor de dicha categoría a la categoría que nos
interesa. Este capítulo estudia una serie de conceptos que nos permitirán
razonar sobre propiedades algebraicas en base a diagramas, y se basa
principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y \cite[cap. III]{maclane}.

\section{Diagramas}

\begin{definition}
  Una categoría es \conc{finita} si lo son su conjunto de objetos y su conjunto
  de morfismos.
\end{definition}

\begin{definition}
  Un \conc{diagrama} en una categoría $\cC$ es un funtor $D:\cS\to\cC$, y
  llamamos \conc{esquema} del diagrama a $\cS$. $D$ es \conc{pequeño} o
  \conc{finito} si lo es $\cS$.
\end{definition}

\begin{example}
  Esta definición permite modelar una variedad de situaciones. Por ejemplo:
  \begin{enumerate}
  \item Un diagrama con esquema discreto es una familia de objetos.
  \item Un diagrama con esquema $\bOne$ es un objeto, y uno con esquema $\bDown$
    es un morfismo.
  \item Un diagrama con esquema $\bDDown$ es un par de morfismos con dominio y
    codominio común.
  \item Un diagrama $S$ cuyo esquema lo forman un punto distinguido $d$, un
    conjunto de objetos $I$ y una flecha $f_i:d\to i$ para cada $i\in I$ (además
    de las identidades) es una \conc{fuente}. Llamamos \conc{dominio} de la
    fuente a $Sd$ y \conc{codominio} a $(Si)_{i\in I}$, y denotamos la fuente
    como $(Sf_i:Sd\to Si)_{i\in I}$.
  \item De forma dual, un diagrama $S$ cuyo esquema lo forman un punto
    distinguido $c$, un conjunto de objetos $I$ y una flecha $g_i:i\to c$ para
    cada $i\in I$ (además de las identidades) es un \conc{sumidero}. Llamamos
    \conc{dominio} del sumidero a $(Si)_{i\in I}$ y \conc{codominio} a $Sd$, y
    denotamos el sumidero como $(Sg_i:Si\to Sc)_{i\in I}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Límites}

Podemos expresar muchas relaciones entre objetos mediante diagramas. Por
ejemplo, un producto de $(a_i)_{i\in I}$ en una categoría $\cC$ es una fuente
$(p_i:b\to a_i)_{i\in I}$ tal que para cualquier otra fuente
$(f_i:x\to a_i)_{i\in I}$ existe un único morfismo $g:x\to b$ tal que
$f_i=p_i\circ g$ para todo $i\in I$. Por su parte, si consideramos el esquema
$\cS$ de la figura \ref{fig:scheme-equ}, el núcleo de dos morfismos $f$ y $g$ de
$\cC$ es la imagen de $\tilde e$ por un diagrama $D:\cS\to\cC$ tal que
$D\tilde f=f$, $D\tilde g=g$ y, para cualquier otro $D':\cS\to\cC$ que cumpla
esto, existe un único $\overline e:D'k\to Dk$ tal que
$D'\tilde e=D\tilde e\circ\overline e$. El hecho de que
$f\circ D\tilde e=g\circ D\tilde e$ se deduce de que el diagrama sólo tiene una
flecha $k\to b$.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (1,{sqrt(3)}) node(K){$k$} (0,0) node(A){$a$} (2,0) node(B){$b$};
    \draw[->] (K) -- node[left]{$\tilde e$} (A);
    \draw[->] (A.15) -- node[above]{$\tilde f$} (B.165);
    \draw[->] (A.345) -- node[below]{$\tilde g$} (B.195);
    \draw[->] (K) -- (B);
  \end{diagram}
  \caption{Esquema del diagrama asociado al núcleo de dos morfismos.}
  \label{fig:scheme-equ}
\end{figure}

Las descripciones de esta forma son tediosas y muy parecidas unas a
otras. Afortunadamente, esta repetición se puede abstraer y usar en
razonamientos mediante el concepto de límite.

\begin{definition}
  Un \conc{límite} de un diagrama $D:\cS\to\cC$ es una fuente
  $(f_i:d\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ en $\cC$ tal que:
  \begin{enumerate}
  \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $f_j = Ds \circ f_i$, es decir, el diagrama
    \ref{fig:nat-source} conmuta.
    \begin{figure}
      \centering
      \begin{diagram}
        \path (0.9,2) node(C){$c$} (0,0) node(DI){$Di$} (1.8,0) node(DJ){$Dj$};
        \draw[->] (C) -- node[left]{$f_i$} (DI);
        \draw[->] (C) -- node[right]{$f_j$} (DJ);
        \draw[->] (DI) -- node[below]{$Ds$} (DJ);
      \end{diagram}
      \caption[Conmutatividad de fuente respecto a diagrama]{Conmutatividad de
        una fuente $(f_i)_i$ respecto a un diagrama $D$.}
      \label{fig:nat-source}
    \end{figure}
  \item Para cualquier otra fuente $(g_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ con esta
    propiedad, existe un único $s:x\to d$ con $g_i=f_i\circ s$ para cada
    $i\in\Ob{\cS}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item El producto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el límite de un
    diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como categoría
    discreta le asocia $a_i$.
  \item El núcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el límite de
    un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyos dos morfismos no identidad van a parar a
    $f$ y $g$, o más precisamente es el morfismo de este límite que va a parar a
    $a$. Esta situación se muestra en la figura \ref{fig:equ-diagram}.
    \begin{figure}
      \centering
      \begin{diagram}[scale=1.5]
        \path (0,0) node(A){$a$} (2,0) node(B){$b$}
              (1,{sqrt(3)/2}) node(K){$k$} (1,{1.5*sqrt(3)}) node(KP){$k'$};
        \draw[->] (A.15) -- node[above]{$f$} (B.165);
        \draw[->] (A.345) -- node[below]{$g$} (B.195);
        \draw[->] (K) -- node[above]{$e$} (A);
        \draw[->] (K) -- (B);
        \draw[->] (KP) -- node[left]{$e'$} (A);
        \draw[->] (KP) -- (B);
        \draw[->,dotted] (KP) -- node[left]{$\tilde e$} (K);
      \end{diagram}
      \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$}
      \label{fig:equ-diagram}
    \end{figure}

    Si en vez de dos flechas tenemos un número arbitrario de flechas hablamos de
    \conc{multi-núcleos}.
  \item Una fuente $(f_c:s\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ es un límite del diagrama
    identidad $1_\cC:\cC\to\cC$ si y sólo si $s$ es un objeto inicial de $\cC$.
    \begin{proof}
      Si $s$ es inicial, $(f_c)_c$ conmuta respecto al diagrama identidad y,
      para cualquier otra fuente $(g_c:t\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ que también
      conmuta y cada objeto $c$, $g_c=f_c\circ g_s$. Recíprocamente, si
      $(f_c)_c$ es un límite del diagrama identidad y $h:s\to c$ un morfismo
      arbitrario, $h\circ f_s=f_c$ y en particular
      $f_c\circ f_s=f_c=f_c\circ 1_s$, con lo que tanto $f_s$ como $1_s$ llevan
      la fuente $(f_c)_c$ a $(f_c)_c$ y, por la unicidad en la definición de
      límite, $f_s=1_s$, de modo que $h=f_c$ y $s$ es inicial.
    \end{proof}
  \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama y $s\in\Ob{\cS}$ es inicial, entonces
    $D$ tiene límite $(Ds\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}
  El límite es esencialmente único, es decir, si $(f_i:d\to Di)_i$ es un límite
  de un diagrama $D:\cS\to\cC$, el resto de límites son precisamente las fuentes
  $(f_i\circ h:b\to Di)_i$ donde $h:b\to d$ es un isomorfismo.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Es fácil ver que las fuentes de esta forma son límites de $D$. Para el
  recíproco, si $(g_i:b\to Di)_i$ es otro límite de $D$, existe $h:b\to d$ con
  cada $g_i=f_i\circ h$ y $k:d\to b$ con cada $f_i=g_i\circ k$, pero entonces
  cada $f_i=f_i\circ h\circ k=f_i\circ 1_d$ y, por la unicidad en la definición
  de límite, $h\circ k=1_d$, y análogamente $k\circ h=1_b$, luego $h$ es un
  isomorfismo.
\end{proof}

\section{Colímites}

El concepto dual al de límite es el de colímite.

\begin{definition}
  Un sumidero $(g_i: Di\to c)_{i\in\Ob{\cS}}$ es un \conc{colímite} de un
  diagrama $D:\cS\to\cC$ si:
  \begin{enumerate}
  \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $g_j=g_i\circ Ds$.
  \item Para cualquier otro sumidero $(h_i:Di\to x)_{i\in\Ob{\cS}}$ con esta
    propiedad, existe un único $s:c\to x$ con $h_i=s\circ g_i$ para cada
    $i\in\Ob{\cS}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}
  \begin{enumerate}
  \item El coproducto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el colímite de
    un diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como
    categoría discreta le asocia $a_i$.
  \item El conúcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el colímite
    de un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyos dos morfismos no identidad van a
    parar a $f$ y $g$, o más precisamente es el morfismo de este colímite que va
    a parar a $b$.

    Si en vez de dos flechas tenemos un número arbitrario hablamos de
    \conc{multi-conúcleos}.
  \item Un sumidero $(f_c:s\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ es un colímite del diagrama
    identidad en $\cC$ si y sólo si $s$ es un objeto final de $\cC$.
  \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama y $t\in\Ob{\cS}$ es final, entonces $D$
    tiene colímite $(Di\to Ds)_{i\in\Ob{\cS}}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

Vemos así que un objeto inicial es lo mismo que un colímite del diagrama vacío
(con esquema $\bZero$) y que un límite del diagrama identidad, mientras que un
objeto final es lo mismo que un límite del diagrama vacío y que un colímite del
diagrama identidad.

\begin{proposition}
  El colímite es esencialmente único, es decir, si $(g_i:Di\to c)_i$ es un
  colímite de un diagrama $D:\cS\to\cC$, el resto de colímites son precisamente
  los sumideros $(h\circ g_i:Di\to b)_i$ donde $h:c\to b$ es un isomorfismo.
\end{proposition}

\section{Productos y coproductos fibrados}

Los límites y colímites, al ser fuentes y sumideros, respectivamente, se pueden
ver como diagramas que pueden tener a su vez un límite y un colímite. Claramente
el límite de un límite es el propio límite y el colímite de un colímite es el
propio colímite, pues de hecho el límite de una fuente es la propia fuente y el
colímite de un sumidero es el propio sumidero. Sin embargo, puede ser
interesante estudiar el límite de un sumidero o el colímite de una
fuente. Empezamos con el primer caso, y vemos algunas definiciones.

\begin{definition}\;
  \begin{enumerate}
  \item Un \conc{producto fibrado múltiple} es un límite de un
    sumidero.
  \item Un \conc{producto fibrado} es un límite de un diagrama con esquema
    ($\bullet\to\bullet\leftarrow\bullet$), es decir, de un sumidero de tamaño
    2.
  \item Dados dos morfismos $f:a\to c$ y $g:b\to c$, llamamos producto fibrado
    de $a$ y $b$ por $c$ (respecto de $f$ y $g$), $a\times_c b$, o simplemente
    producto fibrado de $f$ y $g$, al producto fibrado del sumidero determinado
    por $f$ y $g$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (0,0) node(A){$a$} (2,2) node(B){$b$} (2,0) node(C){$c$}
          (0,2) node(D){$a\times_cb$} (-1,3) node(X){$x$};
    \draw[->] (A) -- node[below]{$f$} (C);
    \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (C);
    \draw[->] (D) -- node[right]{$\overline g$} (A);
    \draw[->] (D) -- node[below]{$\overline f$} (B);
    \draw[->] (X) -- (A);
    \draw[->] (X) -- (B);
    \draw[->,dotted] (X) -- (D);
  \end{diagram}
  \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$}
  \label{fig:pullback}
\end{figure}

Al representar gráficamente un producto fibrado, la flecha de dicho producto al
codominio del sumidero es superflua, por lo que solemos omitirla. El resultado
es un cuadrado como el de la figura \ref{fig:pullback}, llamado \conc{cuadrado
  cartesiano}. Veamos algunos ejemplos.

\pagebreak
\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item En $\bSet$, el producto fibrado de dos funciones $f:A\to C$ y $g:B\to C$
    es $A\times_C B = \{(a,b) \in A \times B \mid f(a)=g(b) \}$ junto con las
    correspondientes restricciones al dominio de las proyecciones $A\times B\to A$
    y $A\times B\to B$.
  \item En una categoría fina, el producto fibrado coincide con el producto
    convencional.
  \item En un constructo con un objeto libre $1$ sobre el conjunto $\{*\}$, si
    $e:1\to c$ es un elemento de $c$ y $f:b\to c$ es otro morfismo, llamamos
    \conc{fibra} de $f$ sobre $e$ al producto fibrado de $e$ y
    $f$.\cite[p. 79]{riehl} En $\bSet$, esta fibra coincide con la imagen
    inversa $f^{-1}(e)$. En $\bTop$, si $\rho:\sReal\to\sCirc^1$ es la
    aplicación $t\mapsto\E^{2\pi\I t}$, la fibra de $\rho$ sobre un punto de
    $\sCirc^1$ es $\sInt$ con la inclusión $\sInt\inTo\sReal$.
  \end{enumerate}
\end{example}

El primer ejemplo muestra una relación entre los conceptos de producto fibrado,
producto y núcleo, mostrando que en $\bSet$ el primero se puede definir en
términos de los otros dos. Esto no es casualidad, sino que de hecho ocurre en
todas las categorías en las que dichos límites existen.

\begin{proposition}
  Sean $f:a\to c$ y $g:b\to c$ morfismos, $p_1:a\times b\epicTo a$ y
  $p_2:a\times b\epicTo b$ proyecciones canónicas y $e:k\monicTo a\times b$ un
  núcleo de $f\circ p_1$ y $g\circ p_2$, entonces $p_1\circ e:k\to a$ y
  $p_2\circ e:k\to b$ forman un producto fibrado de $f$ y $g$ (figura
  \ref{fig:pullback-canon}).
  \begin{figure}
    \centering
    \begin{diagram}
      \path (0,0) node(B){$b$} (3,0) node(C){$c$} (3,3) node(A){$a$};
      \path (1.5,1.5) node(AB){$a\times b$} (0,3) node(K){$k$};
      \draw[->] (A) -- node[right]{$f$} (C);
      \draw[->] (B) -- node[below]{$g$} (C);
      \draw[->] (K) -- node[below]{$e$} (AB);
      \draw[->] (AB) -- node[below]{$p_1$} (A);
      \draw[->] (AB) -- node[right]{$p_2$} (B);
      \draw[->] (K) -- node[above]{$p_1\circ e$} (A);
      \draw[->] (K) -- node[left]{$p_2\circ e$} (B);
    \end{diagram}
    \caption{Construcción canónica de productos fibrados}
    \label{fig:pullback-canon}
  \end{figure}
\end{proposition}
\begin{proof}
  Obviamente el cuadrado conmuta, y si $r:p\to b$ y $s:p\to a$ son tales que
  $f\circ s=g\circ r$, entonces $f\circ p_1\circ(s,r)=g\circ p_2\circ(s,r)$ y
  existe un único $h:p\to k$ tal que $(s,r)=e\circ h$ y así
  $s=(p_1\circ e)\circ h$ y $r=(p_2\circ e)\circ h$.
\end{proof}

\begin{example}
  La anterior proposición caracteriza el producto fibrado en la mayoría de
  categorías como un subobjeto regular de un objeto producto. Así:
  \begin{enumerate}
  \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, dados dos homomorfismos
    $f:A\to C$ y $g:B\to C$, el producto fibrado de $A$ y $B$ por $C$ es el
    subanillo, subgrupo, submódulo o subespacio topológico, respectivamente, de
    $A\times B$ dado por $A\times_C B=\{ (a,b)\in A\times B\mid f(a)=g(b) \}$.
  \item En $\bAb$, los homomorfismos $\sInt\to\sInt$ se identifican con los
    enteros. Entonces el producto fibrado de dos enteros $m$ y $n$ está formado
    por pares de enteros $(x,y)\in\sInt\times\sInt$ con $xn=ym$. Si $m,n\neq0$,
    esto es isomorfo a $\sInt$ y los morfismos del producto son enteros $a$ y
    $b$ tales que $ma=nb$ es el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.

    Si $m$ es 0 pero $n$ no, el producto fibrado es $\sInt$, con el morfismo
    paralelo a $m$ igual a 0 y el otro igual a 1. Si $n$ es 0 pero $m$ no es
    análogo, y si ambos son 0 el producto fibrado es el producto convencional.
    Esto encaja con la siguiente proposición.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}
  El producto fibrado de dos objetos respecto a un objeto terminal es el
  producto de dichos objetos.
\end{proposition}

Los productos fibrados se pueden usar para definir intersecciones. La
intersección de dos objetos cualesquiera no tiene una definición general en
teoría de categorías, pues en principio, en un constructo, los elementos de un
objeto son intercambiables. Sin embargo, sí que se puede definir la intersección
entre subobjetos del mismo objeto. En $\bSet$, el producto fibrado de un par de
inclusiones es la intersección de los dominios, lo cual podemos generalizar.

\begin{definition}
  La \conc{intersección} de una familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de subobjetos
  de un objeto $c$ es el par $(b,n)$ formado por el dominio $b$ del producto
  fibrado múltiple de los $m_i$ y el morfismo $n:b\to c$ de dicho producto.
\end{definition}

\begin{proposition}
  La intersección de una familia de subobjetos es un subobjeto.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Sea $(b,n)$ una intersección de la familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de
  subobjetos de $c$ y sea $(f_i:b\to a_i)_{i\in I\sqcup\{*\}}$ el producto
  fibrado correspondiente, con $f_*=n$, para $g,h:d\to b$ con
  $n\circ g=n\circ h$, $m_i\circ f_i\circ g=m_i\circ f_i\circ h$ para cada
  $i\in I$ y por tanto $f_i\circ g=f_i\circ h$, y por la unicidad en la
  definición de límite es $g=h$, con lo que $n$ es un monomorfismo.
\end{proof}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item La intersección de una familia vacía de subobjetos es el objeto
    total.
  \item La intersección en $\bSet$, $\bTop$, $\bRing$, $K\dash\bMod$ y
    $(\Omega,E)\dash\bAlg$ se corresponde con la intersección de conjuntos.
  \item En una categoría fina, las intersecciones son los productos.
  \end{enumerate}
\end{example}

El concepto dual al producto fibrado es el coproducto fibrado.

\begin{definition}\;
  \begin{enumerate}
  \item Un \conc{coproducto fibrado múltiple} es un colímite de una fuente.
  \item Un \conc{coproducto fibrado} es un colímite de un diagrama con esquema
    ($\bullet\leftarrow\bullet\to\bullet$), es decir, de una fuente de tamaño 2.
  \item Dados dos morfismos $f:d\to a$ y $g:d\to b$, llamamos coproducto fibrado
    de $a$ y $b$ por $d$ (respecto de $f$ y $g$), $a\oplus_d b$, o simplemente
    coproducto fibrado de $f$ y $g$, al coproducto fibrado de la fuente
    determinada por $f$ y $g$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Es común representar el coproducto fibrado con un cuadrado cartesiano como el de
la figura \ref{fig:pushout}.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (0,0) node(A){$a$} (-2,-2) node(B){$b$} (-2,0) node(C){$d$}
          (0,-2) node(D){$a\oplus_cb$} (1,-3) node(X){$x$};
    \draw[<-] (A) -- node[above]{$f$} (C);
    \draw[<-] (B) -- node[left]{$g$} (C);
    \draw[<-] (D) -- node[left]{$\overline g$} (A);
    \draw[<-] (D) -- node[above]{$\overline f$} (B);
    \draw[<-] (X) -- (A);
    \draw[<-] (X) -- (B);
    \draw[<-,dotted] (X) -- (D);
  \end{diagram}
  \caption[Coproducto fibrado]{Coproducto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$}
  \label{fig:pushout}
\end{figure}

\begin{proposition}
  Sean $f:d\to a$ y $g:d\to b$ morfismos, $u_1:a\monicTo a\oplus b$ y
  $u_2:b\monicTo a\oplus b$ inclusiones canónicas y $c:a\oplus b\epicTo q$ un
  conúcleo de $u_1\circ f$ y $u_2\circ g$, entonces $c\circ u_1:a\to q$ y
  $c\circ u_2:b\to q$ forman un coproducto fibrado de $f$ y $g$ (figura
  \ref{fig:pushout-canon}).
  \begin{figure}
    \centering
    \begin{diagram}
      \path (0,0) node(B){$b$} (-3,0) node(C){$d$} (-3,-3) node(A){$a$};
      \path (-1.5,-1.5) node(AB){$a\oplus b$} (0,-3) node(K){$q$};
      \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (C);
      \draw[->] (B) -- node[above]{$g$} (C);
      \draw[->] (K) -- node[above]{$c$} (AB);
      \draw[->] (AB) -- node[above]{$u_1$} (A);
      \draw[->] (AB) -- node[left]{$u_2$} (B);
      \draw[->] (K) -- node[below]{$u_1\circ c$} (A);
      \draw[->] (K) -- node[right]{$u_2\circ c$} (B);
    \end{diagram}
    \caption{Construcción canónica de coproductos fibrados}
    \label{fig:pushout-canon}
  \end{figure}
\end{proposition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item En $\bSet$, dadas dos funciones $f:D\to A$ y $g:D\to B$, el coproducto
    fibrado de $A$ y $B$ por $D$ es el conjunto cociente de $A\sqcup B$ por la
    menor relación de equivalencia que identifica $f(d)$ con $g(d)$ para cada
    $d\in D$.
  \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, el coproducto se obtiene
    de manera similar.
  \item En una categoría fina, un coproducto fibrado es un coproducto
    convencional.
  \item El concepto dual de la intersección es el de \conc{cointersección} de
    objetos cociente. Específicamente, en $\bSet$, si $(\sim_i)_{i\in I}$ son
    relaciones de equivalencia en un conjunto $A$, la cointersección de los
    conjuntos cociente $(\frac{A}{\sim_i})_{i\in I}$ (con las correspondientes
    proyecciones canónicas) es el conjunto cociente de $A$ por la menor relación
    de equivalencia que contiene a $\bigcup_{i\in I}\sim_i$. La cointersección
    de una familia vacía de objetos cociente es el objeto original.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Completitud}

Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos, pero
todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta depende del caso; por
ejemplo, en $\bSet$ todos los productos existen, pero en una categoría discreta
no existe el producto de dos o más elementos distintos, y en conjuntos
parcialmente ordenados puede haber pares de elementos que tengan producto y
otros que no. Se podría pensar entonces que caracterizar la existencia de
límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente compleja, pero de
hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación.

\begin{definition}
  Sea $\cC$ una categoría:
  \begin{enumerate}
  \item $\cC$ \conc{tiene límites} (\emph{finitos}) o es (\emph{finitamente})
    \conc{completa} si todos los diagramas pequeños (finitos) en $\cC$ tienen
    límite.
  \item $\cC$ \conc{tiene productos} (\emph{finitos}) si todas las familias
    pequeñas (finitas) de objetos de $\cC$ tienen producto.
  \item $\cC$ \conc{tiene núcleos} si todo par de morfismos con el mismo dominio
    y codominio tiene un núcleo.
  \item $\cC$ \conc{tiene productos fibrados} si todo par de morfismos con el
    mismo codominio tiene un producto fibrado.
  \item $\cC$ \conc{tiene intersecciones} (\emph{finitas}) si toda familia
    pequeña (finita) de subobjetos de un mismo objeto de $\cC$ tiene intersección.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}
  Para una categoría $\cC$, son equivalentes:
  \begin{enumerate}
  \item \label{enu:lim-complete} $\cC$ es completa.
  \item \label{enu:lim-prodint} $\cC$ tiene productos e intersecciones finitas.
  \item \label{enu:lim-prodeq} $\cC$ tiene productos y núcleos.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  (\ref{enu:lim-complete})$\implies$(\ref{enu:lim-prodint}) es obvio.

  Veamos (\ref{enu:lim-prodint})$\implies$(\ref{enu:lim-prodeq}). Si $\cC$ tiene
  productos e intersecciones finitas, sean $f,g:a\to b$, existe $a\times b$ y
  $(a,(1_a,f))$ y $(a,(1_a,g))$ son subobjetos de $a\times b$ con una cierta
  intersección $(k,n)$. Sean entonces $p_1:a\times b\to a$ y
  $p_2:a\times b\to b$ las proyecciones canónicas y $e_1,e_2:k\to a$ tales que
  $n=(1_a,f)\circ e_1=(1_a,g)\circ e_2$, y queremos ver que $e_1=p_1\circ n=e_2$
  es un núcleo de $f$ y $g$. Pero $f\circ e_1=p_2\circ n=g\circ e_2=g\circ e_1$,
  y si $e':k'\to a$ cumple $f\circ e'=g\circ e'$, entonces es fácil ver que
  $(1_a,f)\circ e'=(1_a,g)\circ e'$, y por la definición de intersección existe
  un único $h:k'\to k$ con $e'=e_1\circ h$.

  Queda por probar (\ref{enu:lim-prodeq})$\implies$\ref{enu:lim-complete}. Si
  $D:\cS\to\cC$ un diagrama pequeño y $\cC$ tiene productos y núcleos, existen
  los productos $(p_j:O\coloneqq\prod_{i\in\Ob{\cS}}Di\to Dj)_{j\in\Ob{\cS}}$ y
  $(\pi_s:C\coloneqq\prod_{t\in\Mor{\cS}}D(\cod t)\to D(\cod
  s))_{s\in\Mor{\cS}}$. Además, si tomamos
  $p_{\cod t},Dt\circ p_{\dom t}:O\to D(\cod t)$ para cada $t\in\Mor{\cS}$, el
  par de morfismos
  $\hat c\coloneqq(p_{\cod t})_{t\in\Mor{\cS}},\hat d\coloneqq(Dt\circ p_{\dom
    t})_{t\in\Mor{\cS}}:O\to M$ tiene un núcleo $e:k\to O$, y queremos ver que
  $(p_i\circ e:E\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es límite de $D$. En primer lugar, para
  cada $s:i\to j$ en $\cS$,
  $p_i\circ e=p_{\cod s}\circ e=\pi_s\circ\hat c\circ e=\pi_s\circ\hat d\circ
  e=Ds\circ p_{\dom t}\circ e=Ds\circ(p_i\circ e)$. En segundo lugar, si
  $(f_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es otra fuente tal que $f_j=Ds\circ f_i$ para
  todo $s:i\to j$ en $\cS$, sea $\hat f\coloneqq(f_i)_{i\in\Ob{\cS}}:x\to O$,
  para $s:i\to j$ en $\cS$,
  $\pi_s\circ\hat c\circ\hat f=p_j\circ\hat f=f_j=Ds\circ f_i=Ds\circ
  p_i\circ\hat f=\pi_s\circ\hat d\circ\hat f$, y como esto se da para todo $s$,
  por definición de producto, $\hat c\circ\hat f=\hat d\circ\hat f$, pero por
  definición de núcleo, existe un único $g:x\to k$ con $\hat f=e\circ g$, de
  modo que $f_i=p_i\circ e\circ g$ para cada $i$ y $g$ es el único morfismo con
  esta propiedad.
\end{proof}

Para el caso finito tenemos una propiedad similar.

\begin{theorem}
  Para una categoría $\cC$, son equivalentes:
  \begin{enumerate}
  \item \label{enu:flim-comp} $\cC$ es finitamente completa.
  \item \label{enu:flim-intr} $\cC$ tiene productos finitos e intersecciones
    finitas.
  \item \label{enu:flim-kern} $\cC$ tiene productos finitos y núcleos.
  \item \label{enu:flim-pull} $\cC$ tiene productos fibrados y un objeto
    terminal.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  (\ref{enu:flim-comp})$\iff$(\ref{enu:flim-intr})$\iff$(\ref{enu:flim-kern}) se
  prueba como en el teorema anterior, y
  (\ref{enu:flim-comp})$\implies$(\ref{enu:flim-pull}) es obvio usando que un
  objeto terminal es un límite de un diagrama vacío.

  Queda ver (\ref{enu:flim-pull})$\implies$(\ref{enu:flim-intr}), pero un
  producto de una familia vacía es un objeto terminal, los de una unipuntual
  siempre existen y los de dos objetos son productos fibrados respecto a un
  objeto terminal, y basta usar la asociatividad del producto. Además, una
  intersección de una familia vacía es un morfismo identidad, la de un sólo
  subobjeto es el propio subobjeto, la de dos subobjetos es un producto fibrado
  y es fácil ver que, si $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$ son subobjetos de $c$ con
  $n>2$, $(b,q)$ es intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_{n-1},m_{n-1})$ y
  $(b',q')$ es intersección de $(b,q)$ y $(a_n,m_n)$, entonces $(b',q')$ es
  intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$.
\end{proof}

El dual de una categoría completa es una categoría \emph{cocompleta}, y
análogamente se define tener colímites, coproductos, conúcleos, etc.

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item Las categorías $\bSet$, $R\dash\bMod$, $\bTop$, $\bOrd$ y $\bGrp$ tienen
    productos y núcleos, por lo que son completas.
  \item Un conjunto pequeño parcialmente ordenado visto como categoría es
    completo si y sólo si es un retículo completo, si y sólo si es cocompleto.
    \begin{proof}
      Sea $(C,\leq)$ este conjunto. Claramente, si $(C,\leq)$ es un retículo
      completo, es una categoría completa y cocompleta, pues tiene productos y
      coproductos (ínfimos y supremos) y, como toda categoría fina, tiene
      núcleos y conúcleos. Supongamos que $(C,\leq)$ es una categoría completa,
      y queremos ver que es un retículo completo. Si $S\subseteq C$ es no vacío,
      $S$ tiene un ínfimo (el producto de los objetos). Ahora bien, sea
      $X\subseteq C$ el conjunto de cotas superiores de $S$, $X$ no es vacío
      porque contiene al máximo de $C$ (el objeto terminal), por lo que tiene un
      ínfimo $p$, pero para $s\in S$, $s\leq x$ para todo $x\in X$ y, por
      definición de ínfimo, $s\leq p$, de modo que $p$ es una cota superior de
      $S$ y es la menor de ellas, por lo que es un supremo, y así $C$ es un
      retículo completo. Análogamente, si $C$ es una categoría cocompleta,
      también es un retículo completo.
    \end{proof}
  \item La subcategoría completa de $\bSet$ de los conjuntos finitos es
    finitamente completa y cocompleta, pero no es completa ni cocompleta.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Preservación por funtores}

En esta sección estudiamos si los funtores conservan los límites y colímites, o
más precisamente, qué funtores preservan qué límites y qué colímites, y qué nos
dice eso.

El concepto de <<conservar límites>> se puede entender de varias formas. Una es
que la imagen conserve el límite, es decir, que al aplicar el funtor a un límite
de un diagrama, se obtiene uno de la composición del diagrama con el funtor. Sin
embargo, el que la preimagen lo conserve no es tan fácil de definir. Por
ejemplo, se puede hablar de que, si la composición del diagrama con el funtor
tiene un límite, entonces todas las preimágenes del límite son límites, o al
menos una lo es, o si simplemente esto implica que el diagrama original tiene
límite pero este no tiene que estar en la preimagen.

A continuación formalizamos estos conceptos y estudiamos su relación. Por
brevedad, nos enfocamos en los conceptos relativos a límites, pero los conceptos
duales se obtienen fácilmente.

\begin{definition}
  Un funtor $F:\cC\to\cD$ \conc{preserva} un límite $(f_i:L\to Di)_i$ de un
  diagrama $D:\cS\to\cC$ si $(Ff_i:FL\to FDi)_i$ es un límite de $F\circ D$, y
  preserva los límites de cierto tipo (los de diagramas con cierto tipo de
  esquema) si preserva todos los límites de dicho tipo.
\end{definition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item Los funtores identidad preservan todos los límites.
  \item La composición de dos funtores que preserva un tipo de límite también
    preserva ese tipo de límite.
  \item En $\bTop$ y $\bGrph$, los funtores olvidadizos preservan límites y
    colímites.
    \begin{proof}
      Claramente la conmutatividad de la fuente respecto al diagrama se
      preserva. Si $(f_i:l\to Di)_i$ es un límite de $D:\cS\to\bTop$ y
      $(g_i:x\to FDi)_i$ es una fuente conmutativa al diagrama $F\circ D$, donde
      $F:\bTop\to\bSet$ es el funtor olvidadizo, dotando a $x$ de la topología
      discreta se obtiene una fuente en $\bTop$ que conmuta con $D$ y por tanto
      una única función continua $h:x\to l$ con cada $g_i=f_i\circ h$. La
      unicidad de $h$ como función en $\bSet$ se debe a que todas las funciones
      $x\to l$ son continuas. Para los colímites la prueba es análoga pero
      usando la topología indiscreta. En $\bGrph$ hacemos lo mismo considerando
      el grafo completo (incluyendo ejes reflexivos) y el grafo vacío.
    \end{proof}
  \item Si $\cC$ es un constructo con objetos libres para todos los conjuntos
    pequeños, su funtor olvidadizo conserva límites.
    \begin{proof}
      Sea $(f_i:l\to Di)_i$ un límite de $D:\cS\to\cC$, y sea $(g_i:x\to FDi)_i$
      una fuente conmutativa al diagrama $F\circ D$, donde $F:\cC\to\bSet$ es el
      funtor olvidadizo. Si $\hat x\in\Ob{\cC}$ es el objeto libre asociado a
      $x$ y $u:x\to F\hat x$ es la función asociada, entonces para cada $i$
      existe ${\hat g}_i:\hat x\to Di$ con $g_i=F{\hat g}_i\circ u$, pero por
      hipótesis existe un único $h:\hat x\to l$ con cada
      ${\hat g}_i=f_i\circ h$, con lo que $g_i=Ff_i\circ(Fh\circ u)$. La
      unicidad de $Fh\circ u$ es clara si $u$ es inyectiva, lo que ocurre si
      $\cC$ tiene algún objeto que, como conjunto, tiene al menos 2 elementos,
      pero si este no es el caso sólo hay como mucho una función $x\to l$.
    \end{proof}
  \item En $\bGrp$, $\bRing$ y $\bVec$, los funtores
    olvidadizos preservan límites pero no coproductos ni conúcleos.
    \begin{proof}
      La preservación de límites es por el apartado anterior. Para los
      coproductos, el coproducto en estas categorías es la suma directa y en
      $\bSet$ es la unión disjunta, que en general es estrictamente más
      pequeña. Para los conúcleos, en $\bRng$, si $f,g:\sInt_5[X]\to\sInt_5[X]$
      son respectivamente la identidad y la función $p(X)\mapsto p(-X)$, el
      conúcleo de $f$ y $g$ en $\bSet$ es el conjunto cociente resultante de
      identificar cada polinomio con el resultante de negar sus coeficientes
      impares, que es infinito, pero en $\bRng$ es
      $\frac{\sInt_5[X]}{(X)}\cong\sInt_5$, que es finito. Del mismo modo, en
      $\bVec$, si $f,g:\sReal\to\sReal$ son la identidad y el producto por $-1$,
      el conúcleo de $f$ y $g$ es 0 en $\bVec$ pero es infinito en $\bSet$. Algo
      parecido ocurre en $\bGrp$ restringiendo $f$ y $g$ a $\sInt\to\sInt$.
    \end{proof}
  \item Los funtores hom preservan límites.
    \begin{proof}
      Sean $F=\hom(c,-):\cC\to\bSet$ un funtor hom, $(f_i:l\to Di)_i$ un límite
      de $D:\cS\to\cC$ y $(g_i:X\to\hom(c,Di))_i$ una fuente en $\bSet$ que
      conmuta con $F\circ D$. Para cada $x\in X$, $(g_i(x):c\to Di)_i$ es una
      fuente en $\cC$ que conmuta con $D$, por lo que existe un único morfismo
      $\hat g(x):c\to l$ con cada $g_i(x)=f_i\circ\hat g(x)$ y así
      $\hat g:X\to\hom(c,l)$ es la única función con $g_i=f_i\circ\hat g$.
    \end{proof}
  \item El funtor potencia $\power:\bSet\to\bSet$ no preserva productos,
    coproductos, núcleos ni conúcleos.
  \end{enumerate}
\end{example}

Las propiedades de completitud y cocompletitud se pueden usar a la hora de
determinar si un determinado funtor preserva límites.

\begin{proposition}
  Si $\cC$ es finitamente completa, un funtor $F:\cC\to\cD$ preserva límites
  finitos si y sólo si preserva productos finitos y núcleos, si y sólo si
  preserva productos fibrados y objetos terminales.
\end{proposition}

\begin{proposition}
  Si $\cC$ es finitamente completa, un funtor $F:\cC\to\cD$ preserva límites
  pequeños si y sólo si preserva productos y núcleos.
\end{proposition}

\begin{proposition}
  Un funtor que preserva límites finitos preserva también monomorfismos y
  monomorfismos regulares.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Claramente conserva monomorfismos regulares ya que conserva núcleos, y
  claramente un morfismo $f$ es un monomorfismo si y sólo si $(1,1)$ es producto
  fibrado de $(f,f)$ como se muestra en la figura \ref{fig:monic-pullback}.
  \begin{figure}
    \centering
    \begin{diagram}
      \path (0,0) node(I1){$a$} (2,2) node(I2){$a$} (0,2) node(I0){$a$};
      \path (2,0) node(B){$b$};
      \draw[->] (I0) -- node[left]{$1$} (I1);
      \draw[->] (I0) -- node[above]{$1$} (I2);
      \draw[->] (I1) -- node[below]{$f$} (B);
      \draw[->] (I2) -- node[right]{$f$} (B);
    \end{diagram}
    \caption{Caracterización de un monomorfismo por producto fibrado}
    \label{fig:monic-pullback}
  \end{figure}
\end{proof}

\begin{definition}
  Un funtor $F:\cC\to\cD$ \conc{levanta} un tipo de límites (\emph{de forma
    única}) si para todo diagrama $D:\cS\to\cC$ de dicho tipo y todo límite
  $(g_i)_i$ de $F\circ D$, existe un (único) límite $(f_i)_i$ de $D$ con cada
  $g_i=Ff_i$. Del mismo modo, $F$ \conc{crea} un tipo de límites si para todo
  diagrama $D:\cS\to\cC$ y todo límite $(g_i)_i$ de $F\circ D$ existe una única
  fuente $(f_i:l\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ en $\cC$ con cada $g_i=Ff_i$, y además
  esta fuente es un límite de $D$.
\end{definition}

Claramente todo funtor que crea un tipo de límite lo levanta de forma única, y
todo funtor que lo levanta de forma única, lo levanta, pero los recíprocos no
son ciertos, como vemos a continuación.

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item Los funtores olvidadizos $(\Omega,E)\dash\bAlg\to\bSet$ y
    $R\dash\bMod\to\bSet$ crean límites.
    \begin{proof}
      Sean $F:(\Omega,E)\dash\bAlg\to\bSet$ el funtor olvidadizo,
      $D:\cS\to(\Omega,E)\dash\bAlg$ un diagrama, $(f_i:L\to FDi)_i$ un límite
      de $F\circ D$ y $(f_i:(L,\mu)\to Di)_i$ una fuente arbitraria preimagen
      por $F$ de dicho límite, y queremos ver que esta fuente existe, es única y
      es un límite. Si $\Omega$ tiene operadores $(i_1,\dots,i_k)$ con aridades
      $(n_1,\dots,n_k)$, para cada $p\in\{1,\dots,k\}$ e $i\in\Ob{\cS}$
      definimos $t_{pi}:L^{n_p}\to Di$ como
      $t_{pi}(x_1,\dots,x_n)\coloneqq\nu_{pi}(f_i(x_1),\dots,f_i(x_n))$, donde
      $\nu_{pi}$ es el $p$-ésimo operador en $Di$. Entonces para cada $p$ existe
      una fuente $(t_{pi}:L^{n_p}\to Di)_i$ y por tanto una única función
      $\mu_p:L^{n_p}\to L$ con cada
      $f_i\circ\mu_p=t_{pi}=\nu_p\circ(f_i\times\dots\times f_i)$. Pero esta es
      precisamente la condición para que cada $f_i$ sea un homomorfismo
      $(L,(\mu_1,\dots,\mu_n))\to Di$, con lo que la fuente existe y es
      única. Que las operaciones $\mu_p$ respetan las igualdades se debe, al
      componerlas con cada $f_i$, las operaciones resultantes en términos de las
      $\nu_{pi}$ las respetan, y por la unicidad en la definición del límite en
      $\bSet$.

      Para ver que es un límite, si $(g_i:(X,\gamma)\to Di)_i$ es otra fuente
      que conmuta con $D$, $(Fg_i)_i$ conmuta con $F\circ D$ y por tanto existe
      una única función $h:X\to L$ con cada $g_i=f_i\circ h$, y queda ver que
      $h$ es un homomorfismo. Pero para cada $p$ y cada $i$, usando que los
      $g_i$ son homomorfismos,
      \begin{multline*}
        f_i\circ h\circ\gamma_p = g_i\circ\gamma_p
        = \nu_{pi}\circ(g_i\times\dots\times g_i) = \\
        = \nu_{pi}\circ(f_i\times\dots\times f_i)\circ(h\times\dots\times h)
        = f_i\circ\mu_p\circ(h\times\dots\times h),
      \end{multline*}
      y como $(f_i)_i$ es un límite,
      $h\circ\gamma_p=\mu_p\circ(h\times\dots\times h)$, lo que termina la
      prueba. El caso de $R\dash\bMod$ se puede reducir a este último
      convirtiendo el producto por elementos de $R$ una cantidad potencialmente
      infinita de operaciones de aridad 1 en el módulo y convirtiendo cada
      instancia de una propiedad de este producto en una igualdad en la lista de
      igualdades, y usando que esta prueba no depende de que el número de
      operaciones e igualdades sea finito.
    \end{proof}
  \item Los funtores olvidadizos de $\bTop$ y $\bGrph$ a $\bSet$ levantan
    límites y colímites de forma única, pero no los crean.
    \begin{proof}
      Para ver que los crean, en $\bTop$ tomamos respectivamente la topología
      inicial respecto al límite en $\bSet$ y la final respecto al colímite, y
      en $\bGrph$ tomamos respectivamente la intersección de las preimágenes de
      los ejes por las funciones del límite en $\bSet$ y la unión de las
      imágenes de los ejes por las del colímite. Esto nos da los únicos límites
      o colímites que son preimagen del correspondiente en $\bSet$ por el
      funtor, pero en general hay más fuentes o sumideros que también son
      preimagen, por ejemplo tomando la topología discreta, la indiscreta, el
      grafo discreto y el grafo total (completo con ejes reflexivos),
      respectivamente.
    \end{proof}
  \item El funtor olvidadizo de $\bMetc$ levanta límites finitos, pero no de
    forma única.
    \begin{proof}
      Sean $F$ el funtor olvidadizo, $D:\cS\to\bMetc$ un diagrama finito y
      $(f_i:L\to FDi)_i$ un límite de $F\circ D$, llamando $d_i$ a la distancia
      de $Di$ para cada $i$,
      $\hat d(x,y)\coloneqq\max_{i\in\Ob{\cS}}d_i(f_i(x),f_i(y))$ es una
      distancia en $L$, pues cumple con la simetría y desigualdad triangular y
      si $\hat d(x,y)=0$, entonces $f_i(x)=f_i(y)$ para todo $i$ y por la
      definición de límite es $x=y$. Además, si $(g_i:X\to Di)_i$ es una fuente
      en $\bTop$, $(g_i:X\to FDi)_i$ lo es en $\bSet$ y existe $h:X\to L$ con
      cada $g_i=f_i\circ h$, pero para $x\in X$ y $\varepsilon>0$, para cada $i$
      existe $\delta_i>0$ tal que
      $g_i(B(x,\delta_i))\subseteq B(g_i(x),\varepsilon)$, y tomando
      $\delta'\coloneqq\min_i\delta_i$, para cada $i$,
      $f_i(h(B(x,\delta'))\subseteq B(f_i(h(x)),\varepsilon)$, con lo que
      $h(B(x,\delta'))\subseteq f_i^{-1}(B(f_i(h(x)),\varepsilon))$ y por tanto
      $h(B(x,\delta'))\subseteq\bigcap_i f_i^{-1}(B(f_i(h(x))),\varepsilon)=
      B(h(x),\varepsilon)$, de modo que $h$ es continua. El levantamiento no es
      único porque multiplicando la métrica por una constante positiva se
      obtiene otra equivalente.
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{theorem}
  Si $F:\cC\to\cD$ levanta límites y $\cD$ es completa, entonces $\cC$ es
  completa y $F$ preserva límites pequeños.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Si $D$ es un diagrama pequeño, $F\circ D$ tiene límite y este tiene una
  preimagen que es un límite de $D$ y que $F$ preserva. Como los límites son
  únicos salvo isomorfismo, $F$ preserva el resto de límites al preservar
  isomorfismos.
\end{proof}

\begin{definition}
  Un funtor $F:\cC\to\cD$ \conc{refleja} un tipo de límites si para todo
  diagrama $D:\cS\to\cC$ de este tipo, toda fuente
  $(f_i:c\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ tal que $(Ff_i)_i$ es límite de $F\circ D$ es
  límite de $D$. $F$ \conc{detecta} un tipo de límites si todo diagrama
  $D:\cS\to\cC$ tal que $F\circ D$ tiene un límite tiene un límite.
\end{definition}

\begin{proposition}\;
  \begin{enumerate}
  \item Todo funtor que levanta un tipo de límite lo detecta.
  \item Un funtor crea un tipo de límite si y sólo si lo levanta de forma única
    y lo refleja.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Otros tipos de relaciones no tienen por qué darse. Por ejemplo, el funtor
olvidadizo $\bTop\to\bSet$ levanta límites de forma única pero no los refleja, y
un funtor biyectivo en objetos que lleva una categoría discreta a una no
discreta refleja límites pero no los levanta ni los detecta.

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