Los funtores se pueden usar para modelar diagramas dentro de las
matemáticas. Podríamos ver un diagrama <<abstracto>> como una categoría cuyos
objetos y morfismos son los puntos y flechas del diagrama, y una instanciación
de ese diagrama como un funtor de dicha categoría a la categoría que nos
interesa. Este capítulo estudia una serie de conceptos que nos permitirán
razonar sobre propiedades algebraicas en base a diagramas, y se basa
principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y \cite[cap. III]{maclane}.

\section{Diagramas}

\begin{definition}
  Una categoría es \conc{finita} si lo son su conjunto de objetos y su conjunto
  de morfismos.
\end{definition}

\begin{definition}
  Un \conc{diagrama} en una categoría $\cC$ es un funtor $D:\cS\to\cC$, y
  llamamos \conc{esquema} del diagrama a $\cS$. $D$ es \conc{pequeño} o
  \conc{finito} si lo es $\cS$.
\end{definition}

\begin{example}
  Esta definición permite modelar una variedad de situaciones. Por ejemplo:
  \begin{enumerate}
  \item Un diagrama con esquema discreto es una familia de objetos.
  \item Un diagrama con esquema $\bOne$ es un objeto, y uno con esquema $\bDown$
    es un morfismo.
  \item Un diagrama con esquema $\bDDown$ es un par de morfismos con dominio y
    codominio común.
  \item Un diagrama $S$ cuyo esquema lo forman un punto distinguido $d$, un
    conjunto de objetos $I$ y una flecha $f_i:d\to i$ para cada $i\in I$ (además
    de las identidades) es una \conc{fuente}. Llamamos \conc{dominio} de la
    fuente a $Sd$ y \conc{codominio} a $(Si)_{i\in I}$, y denotamos la fuente
    como $(Sf_i:Sd\to Si)_{i\in I}$.
  \item De forma dual, un diagrama $S$ cuyo esquema lo forman un punto
    distinguido $c$, un conjunto de objetos $I$ y una flecha $g_i:i\to c$ para
    cada $i\in I$ (además de las identidades) es un \conc{sumidero}. Llamamos
    \conc{dominio} del sumidero a $(Si)_{i\in I}$ y \conc{codominio} a $Sd$, y
    denotamos el sumidero como $(Sg_i:Si\to Sc)_{i\in I}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Límites}

Podemos expresar muchas relaciones entre objetos mediante diagramas. Por
ejemplo, un producto de $(a_i)_{i\in I}$ en una categoría $\cC$ es una fuente
$(p_i:b\to a_i)_{i\in I}$ tal que para cualquier otra fuente
$(f_i:x\to a_i)_{i\in I}$ existe un único morfismo $g:x\to b$ tal que
$f_i=p_i\circ g$ para todo $i\in I$. Por su parte, si consideramos el esquema
$\cS$ de la figura \ref{fig:scheme-equ}, el núcleo de dos morfismos $f$ y $g$ de
$\cC$ es la imagen de $\tilde e$ por un diagrama $D:\cS\to\cC$ tal que
$D\tilde f=f$, $D\tilde g=g$ y, para cualquier otro $D':\cS\to\cC$ que cumpla
esto, existe un único $\overline e:D'k\to Dk$ tal que
$D'\tilde e=D\tilde e\circ\overline e$. El hecho de que
$f\circ D\tilde e=g\circ D\tilde e$ se deduce de que el diagrama sólo tiene una
flecha $k\to b$.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (1,{sqrt(3)}) node(K){$k$} (0,0) node(A){$a$} (2,0) node(B){$b$};
    \draw[->] (K) -- node[left]{$\tilde e$} (A);
    \draw[->] (A.15) -- node[above]{$\tilde f$} (B.165);
    \draw[->] (A.345) -- node[below]{$\tilde g$} (B.195);
    \draw[->] (K) -- (B);
  \end{diagram}
  \caption{Esquema del diagrama asociado al núcleo de dos morfismos.}
  \label{fig:scheme-equ}
\end{figure}

Las descripciones de esta forma son tediosas y muy parecidas unas a
otras. Afortunadamente, esta repetición se puede abstraer y usar en
razonamientos mediante el concepto de límite.

\begin{definition}
  Un \conc{límite} de un diagrama $D:\cS\to\cC$ es una fuente
  $(f_i:d\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ en $\cC$ tal que:
  \begin{enumerate}
  \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $f_j = Ds \circ f_i$, es decir, el diagrama
    \ref{fig:nat-source} conmuta.
    \begin{figure}
      \centering
      \begin{diagram}
        \path (0.9,2) node(C){$c$} (0,0) node(DI){$Di$} (1.8,0) node(DJ){$Dj$};
        \draw[->] (C) -- node[left]{$f_i$} (DI);
        \draw[->] (C) -- node[right]{$f_j$} (DJ);
        \draw[->] (DI) -- node[below]{$Ds$} (DJ);
      \end{diagram}
      \caption[Conmutatividad de fuente respecto a diagrama]{Conmutatividad de
        una fuente $(f_i)_i$ respecto a un diagrama $D$.}
      \label{fig:nat-source}
    \end{figure}
  \item Para cualquier otra fuente $(g_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ con esta
    propiedad, existe un único $s:x\to d$ con $g_i=f_i\circ s$ para cada
    $i\in\Ob{\cS}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item El producto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el límite de un
    diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como categoría
    discreta le asocia $a_i$.
  \item El núcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el límite de
    un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyos dos morfismos no identidad van a parar a
    $f$ y $g$, o más precisamente es el morfismo de este límite que va a parar a
    $a$. Esta situación se muestra en la figura \ref{fig:equ-diagram}.
    \begin{figure}
      \centering
      \begin{diagram}[scale=1.5]
        \path (0,0) node(A){$a$} (2,0) node(B){$b$}
              (1,{sqrt(3)/2}) node(K){$k$} (1,{1.5*sqrt(3)}) node(KP){$k'$};
        \draw[->] (A.15) -- node[above]{$f$} (B.165);
        \draw[->] (A.345) -- node[below]{$g$} (B.195);
        \draw[->] (K) -- node[above]{$e$} (A);
        \draw[->] (K) -- (B);
        \draw[->] (KP) -- node[left]{$e'$} (A);
        \draw[->] (KP) -- (B);
        \draw[->,dotted] (KP) -- node[left]{$\tilde e$} (K);
      \end{diagram}
      \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$}
      \label{fig:equ-diagram}
    \end{figure}

    Si en vez de dos flechas tenemos un número arbitrario de flechas hablamos de
    \conc{multi-núcleos}.
  \item Una fuente $(f_c:s\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ es un límite del diagrama
    identidad $1_\cC:\cC\to\cC$ si y sólo si $s$ es un objeto inicial de $\cC$.
    \begin{proof}
      Si $s$ es inicial, $(f_c)_c$ conmuta respecto al diagrama identidad y,
      para cualquier otra fuente $(g_c:t\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ que también
      conmuta y cada objeto $c$, $g_c=f_c\circ g_s$. Recíprocamente, si
      $(f_c)_c$ es un límite del diagrama identidad y $h:s\to c$ un morfismo
      arbitrario, $h\circ f_s=f_c$ y en particular
      $f_c\circ f_s=f_c=f_c\circ 1_s$, con lo que tanto $f_s$ como $1_s$ llevan
      la fuente $(f_c)_c$ a $(f_c)_c$ y, por la unicidad en la definición de
      límite, $f_s=1_s$, de modo que $h=f_c$ y $s$ es inicial.
    \end{proof}
  \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama y $s\in\Ob{\cS}$ es inicial, entonces
    $D$ tiene límite $(Ds\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}
  El límite es esencialmente único, es decir, si $(f_i:d\to Di)_i$ es un límite
  de un diagrama $D:\cS\to\cC$, el resto de límites son precisamente las fuentes
  $(f_i\circ h:b\to Di)_i$ donde $h:b\to d$ es un isomorfismo.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Es fácil ver que las fuentes de esta forma son límites de $D$. Para el
  recíproco, si $(g_i:b\to Di)_i$ es otro límite de $D$, existe $h:b\to d$ con
  cada $g_i=f_i\circ h$ y $k:d\to b$ con cada $f_i=g_i\circ k$, pero entonces
  cada $f_i=f_i\circ h\circ k=f_i\circ 1_d$ y, por la unicidad en la definición
  de límite, $h\circ k=1_d$, y análogamente $k\circ h=1_b$, luego $h$ es un
  isomorfismo.
\end{proof}

\section{Colímites}

El concepto dual al de límite es el de colímite.

\begin{definition}
  Un sumidero $(g_i: Di\to c)_{i\in\Ob{\cS}}$ es un \conc{colímite} de un
  diagrama $D:\cS\to\cC$ si:
  \begin{enumerate}
  \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $g_j=g_i\circ Ds$.
  \item Para cualquier otro sumidero $(h_i:Di\to x)_{i\in\Ob{\cS}}$ con esta
    propiedad, existe un único $s:c\to x$ con $h_i=s\circ g_i$ para cada
    $i\in\Ob{\cS}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}
  \begin{enumerate}
  \item El coproducto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el colímite de
    un diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como
    categoría discreta le asocia $a_i$.
  \item El conúcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el colímite
    de un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyos dos morfismos no identidad van a
    parar a $f$ y $g$, o más precisamente es el morfismo de este colímite que va
    a parar a $b$.

    Si en vez de dos flechas tenemos un número arbitrario hablamos de
    \conc{multi-conúcleos}.
  \item Un sumidero $(f_c:s\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ es un colímite del diagrama
    identidad en $\cC$ si y sólo si $s$ es un objeto final de $\cC$.
  \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama y $t\in\Ob{\cS}$ es final, entonces $D$
    tiene colímite $(Di\to Ds)_{i\in\Ob{\cS}}$.
  \end{enumerate}
\end{example}

Vemos así que un objeto inicial es lo mismo que un colímite del diagrama vacío
(con esquema $\bZero$) y que un límite del diagrama identidad, mientras que un
objeto final es lo mismo que un límite del diagrama vacío y que un colímite del
diagrama identidad.

\begin{proposition}
  El colímite es esencialmente único, es decir, si $(g_i:Di\to c)_i$ es un
  colímite de un diagrama $D:\cS\to\cC$, el resto de colímites son precisamente
  los sumideros $(h\circ g_i:Di\to b)_i$ donde $h:c\to b$ es un isomorfismo.
\end{proposition}

\section{Productos y coproductos fibrados}

Cabe preguntarse si la unión y la intersección de conjuntos se pueden
generalizar en términos categóricos. En el caso general esto parece improbable,
pues la visión categórica de la teoría de conjuntos se abstrae de los elementos
concretos. Sin embargo, la unión e intersección de conjuntos arbitrarios es poco
frecuente, y en general estas operaciones se usan entre subconjuntos de un mismo
conjunto base o universo de discurso. En este caso podemos definir la unión y
la intersección según propiedades de subobjetos.

\begin{definition}
  Sean $M$ una colección de monomorfismos, $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ una
  colección de $M$-subobjetos de un objeto $b$ y $(c,n)$ un $M$-subobjeto de
  $b$.
  \begin{enumerate}
  \item $(c,n)$ es una \conc{intersección} de los $(a_i,m_i)$ si
    $(c,n)\leq(a_i,m_i)$ para todo $i\in I$ y, para cualquier $h:d\to b$ para el
    que existen $(g_i:d\to a_i)_{i\in I}$ con $h=m_i\circ g_i$, existe
    $g':d\to c$ con $h=n\circ g'$.
  \item $(c,n)$ es una \conc{unión} de los $(a_i,m_i)$ si $(a_i,m_i)\leq(c,n)$
    para todo $i\in I$ y, para cualquier $h:d\to b$ para el que existen 
    $(c',n')$ de $b$
    con esta propiedad, $(c,n)\leq(c',n')$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

En general, $M$ será la clase de todos los monomorfismos de la categoría, por lo
que la unión e intersección serán únicas salvo isomorfismo.

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item La intersección de una familia vacía de subobjetos es el objeto
    total. Si existe un objeto inicial y todos los morfismos que parten de él
    son monomorfismos, entonces este es la unión de una familia vacía.
  \item En $\bSet$, la unión e intersección de subobjetos coinciden
    con las habituales, salvo isomorfismo.
    \begin{proof}
      Sean $\{A_i\}_{i\in I}$ un conjunto de subobjetos en $\bSet$ del conjunto
      $B$, que podemos suponer por isomorfismo que son subconjuntos de $B$. Para
      la intersección, si $C$ es un conjunto y $g:C\to B$ y $f_i:C\to A_i$ son
      monomorfismos con $g=u_i\circ f_i$ para cada $i$, siendo $u_i:A_i\to B$ la
      inclusión, entonces $\Img{g}\subseteq A_i$ para cada $i$ y por tanto
      podemos tomar la restricción $g:C\to\bigcap_{i\in I}A_i$. Para la unión,
      si $C$ es un conjunto y $f_i:A_i\to C$ y $g:C\to B$ son monomorfismos con
      $g\circ f_i=u_i$ para cada $i$, para $i,j\in I$ y $x\in A_i\cap A_j$ es
      $g(f_i(x))=x=g(f_j(x))$ y por tanto $f_i(x)=f_j(x)$, con lo que podemos
      definir el monomorfismo $\hat f:\bigcup_{i\in I}A_i\to C$ de modo que
      $f(x)=f_i(x)$ para cada $x\in A_i$ y cada $i\in I$ y se cumple que
      $g\circ\hat f$ es la inclusión.
    \end{proof}
  \item En $\bVec$, la intersección es la intersección de subespacios y la unión
    es la suma de subespacios.
  \end{enumerate}
\end{example}

La intersección de dos objetos se puede ver como un límite.

\begin{definition}\;
  \begin{enumerate}
  \item Un \conc{producto fibrado múltiple} es un límite de un
    sumidero.
  \item Un \conc{producto fibrado} es un límite de un diagrama con esquema
    ($\bullet\to\bullet\leftarrow\bullet$), es decir, de un sumidero de tamaño
    2. Si los dos morfismos no identidad del esquema van a parar a $f:a\to c$ y
    $g:b\to c$, llamamos producto fibrado de $a$ y $b$ por $c$ (respecto a $f$ y
    $g$), $a\times_cb$, a dicho límite.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{proposition}
  Dados una familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de subobjetos de un objeto $c$ y un
  morfismo $n:b\to c$, $(b,n)$ es una intersección de los $(a_i,m_i)$ si y sólo
  si $b$ es producto fibrado múltiple de $(m_i:a_i\to c)_i$ y $n$ es el morfismo
  $b\to c$ asociado.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Supongamos que el sumidero tiene producto fibrado múltiple
  $(f_i:b\to a_i)_{i\in I\sqcup\{*\}}$ con $f_*=n:b\to c$. Si $g,h:d\to b$
  cumplen $n\circ g=n\circ h$, entonces
  $m_i\circ f_i\circ g=m_i\circ f_i\circ g$ y por tanto $f_i\circ g=f_i\circ h$,
  y por unicidad al factorizar por un límite es $g=h$, de modo que $n$ es un
  monomorfismo y $(b,n)$ es una intersección. Recíprocamente, si $(b,n)$ es
  intersección de los $(a_i,m_i)$ y, para cada $i$, $f_i:b\to a_i$ es un
  monomorfismo con $n=m_i\circ f_i$, entonces %TODO
\end{proof}

Los productos fibrados se suelen representar con un cuadrado como el de la
figura \ref{fig:pullback}, pues la flecha $d\to c$ es superflua. Este cuadrado
se llama \conc{cuadrado cartesiano}.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (0,0) node(A){$a$} (2,2) node(B){$b$} (2,0) node(C){$c$}
          (0,2) node(D){$a\times_cb$} (-1,3) node(X){$x$};
    \draw[->] (A) -- node[below]{$f$} (C);
    \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (C);
    \draw[->] (D) -- node[right]{$\overline g$} (A);
    \draw[->] (D) -- node[below]{$\overline f$} (B);
    \draw[->] (X) -- (A);
    \draw[->] (X) -- (B);
    \draw[->,dotted] (X) -- (D);
  \end{diagram}
  \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$}
  \label{fig:pullback}
\end{figure}

% TODO Ejemplos de productos fibrados (ver Riehl p.79 y Wikipedia)

\section{Completitud y cocompletitud}

Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos, pero
todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta depende del caso; por
ejemplo, en $\bSet$ todos los productos existen, pero en una categoría discreta
no existe el producto de dos o más elementos distintos, y en conjuntos
parcialmente ordenados puede haber pares de elementos que tengan producto y
otros que no. Se podría pensar entonces que caracterizar la existencia de
límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente compleja, pero de
hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación.

\begin{definition}
  Una categoría $\cC$ \conc{tiene límites} o es \conc{completa} si todos los
  diagramas pequeños en $\cC$ tienen límite. $\cC$ \conc{tiene productos} si
  todas las familias pequeñas de objetos de $\cC$ tienen producto, y \conc{tiene
    núcleos} si todo par de morfismos con dominio y codominio común tiene un
  núcleo.
\end{definition}

% TODO Primeros dos teoremas del tema 12 de Joy of Cats

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: