Terminado superficies

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diff --git a/ts/n4.lyx b/ts/n4.lyx
index 52c7efa..c315d68 100644
--- a/ts/n4.lyx
+++ b/ts/n4.lyx
@@ -2500,103 +2500,97 @@ Si
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
 \begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
 
-\backslash
-begin{itemize}
 \end_layout
 
-\begin_layout Plain Layout
+\end_inset
 
-\backslash
-item[$
-\backslash
-implies]$] Sea $F:
-\backslash
-mathbb{S}^1
-\backslash
-times[0,1]
-\backslash
-to
-\backslash
-mathbb{S}^1$ la homotopía de una cierta función constante $c(z):=z_0$ a
- $f$ y definimos $
-\backslash
-hat f:
-\backslash
-mathbb{D}^2
-\backslash
-to
-\backslash
-mathbb{S}^1$ como $
-\backslash
-hat f(0):=z_0$ y $
-\backslash
-hat f(z):=F(
-\backslash
-frac z{
-\backslash
-Vert z
-\backslash
-Vert},
-\backslash
-Vert z
-\backslash
-Vert)$ para $z
-\backslash
-neq0$.
- Para ver que $
-\backslash
-hat f$ es continua también en $z_0$, $
-\backslash
-lim_{z
-\backslash
-to0}
-\backslash
-hat f(z)=
-\backslash
-lim_{z
-\backslash
-to0}F({z
-\backslash
-over
-\backslash
-Vert z
-\backslash
-Vert},
-\backslash
-Vert z
-\backslash
-Vert)=z_0$.
- Para $z
-\backslash
-in
-\backslash
-mathbb{S}^1$, $
-\backslash
-hat f(z)=F(z,1)=f(z)$.
+Si 
+\begin_inset Formula $\deg f=0$
+\end_inset
+
+, existe una homotopía 
+\begin_inset Formula $F:\mathbb{S}^{1}\times[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
+\end_inset
+
+ de una función constante en 
+\begin_inset Formula $z_{0}\in\mathbb{S}^{1}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces tomamos 
+\begin_inset Formula $\hat{f}:\mathbb{D}^{2}\to\mathbb{S}^{1}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):=F(e(\theta),r)$
+\end_inset
+
+, que está bien definida porque, si 
+\begin_inset Formula $re(\theta)=r'e(\theta')$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(r,\theta)\neq(r',\theta')$
+\end_inset
+
+, debe ser 
+\begin_inset Formula $r=r'=0$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $F(e(\theta),r)=z_{0}=F(e(\theta'),r')$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
 \begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
 
-\backslash
-item[$
-\backslash
-impliedby]$] Definimos $F(z,t):=
-\backslash
-tilde f(tz)$.
- Entonces $F(z,1)=
-\backslash
-hat f(z)=f(z)$ y $F(z,0)=
-\backslash
-hat f(0)$ que es constante, y como $F$ es continua, define una homotopía
- entre $f$ y una constante.
 \end_layout
 
-\begin_layout Plain Layout
+\end_inset
 
-\backslash
-end{itemize}
+Basta ver que 
+\begin_inset Formula $F:\mathbb{S}^{1}\times[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $F(z,t):=\hat{f}(zt)$
+\end_inset
+
+ es una homotopía de la función constante en 
+\begin_inset Formula $\hat{f}(0)$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene el mismo grado que una función constante, 0.
 \end_layout
 
 \end_inset
diff --git a/ts/n5.lyx b/ts/n5.lyx
index f6928f4..e041e6e 100644
--- a/ts/n5.lyx
+++ b/ts/n5.lyx
@@ -2180,6 +2180,58 @@ por el teorema de Van Kampen especial, versión 2
 \end_inset
 
 .
+ Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, el grupo fundamental de la figura ocho no es abeliano.
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+En efecto, sabemos que 
+\begin_inset Formula $\pi_{1}(E)\cong\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, y si para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ llamamos 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ al elemento 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ del primer 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n'$
+\end_inset
+
+ al del segundo 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, tenemos 
+\begin_inset Formula $(2\cdot3')\cdot2=2\cdot3'\cdot2$
+\end_inset
+
+ pero 
+\begin_inset Formula $2\cdot(2\cdot3')=4\cdot3'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Section
@@ -2264,16 +2316,70 @@ teorema
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Note Note
-status open
 
-\begin_layout Plain Layout
-Demostración
-\end_layout
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Queremos ver que 
+\begin_inset Formula $j_{*}:\pi_{1}(A,x_{0})\to\pi_{1}(X,x_{0})$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $j_{*}([\alpha]):=[j\circ\alpha]=[\alpha]$
+\end_inset
+
+ es biyectiva.
+ Es claro que es inyectiva.
+ Para ver que es suprayectiva, sean 
+\begin_inset Formula $r:X\to A$
+\end_inset
+
+ un retracto fuerte de deformación, 
+\begin_inset Formula $R:X\times[0,1]\to X$
+\end_inset
+
+ una homotopía de 
+\begin_inset Formula $j\circ r$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $1_{X}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha\in{\cal L}(X,x_{0})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\beta\in{\cal L}(A,x_{0})$
+\end_inset
 
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\beta(s):=r(\alpha(s))=j(r(\alpha(s)))$
 \end_inset
 
+ es homotópica a 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ por la homotopía de caminos 
+\begin_inset Formula $H(s,t):=R(\alpha(s),t)$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
 
+ a 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $j_{*}([\beta])=[\beta]=[\alpha]$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
 \end_inset
@@ -2295,23 +2401,243 @@ La figura ocho
 \end_inset
 
 .
- 
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Note Note
-status open
+Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que 
+\begin_inset Formula $p=(-1,0)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $q=(1,0)$
+\end_inset
+
+, y que la figura ocho es 
+\begin_inset Formula $E:={\cal C}(p;1)\cup{\cal C}(q;1)$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos el siguiente retracto de deformación 
+\begin_inset Formula $r:\mathbb{R}^{2}\setminus\{p,q\}\to E$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
 
 \begin_layout Plain Layout
-Demostración
+\begin_inset Formula 
+\[
+r(x,y):=\begin{cases}
+(-1,0)+\frac{(x+1,y)}{|(x+1,y)|}, & x\leq-1\lor(x,y)\in\overline{B}(p,1);\\
+(1,0)+\frac{(x-1,y)}{|(x-1,y)|}, & x\geq1\lor(x,y)\in\overline{B}(q,1);\\
+\left(x,\tfrac{y}{|y|}\sqrt{1-(1-|x|)^{2}}\right), & x\in[-1,1]\land(x,y)\notin\overline{B}(p,1)\cup\overline{B}(q,1).
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+Veamos primero que el rango de la función es 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+.
+ Para el primer trozo, 
+\begin_inset Formula $\frac{(x+1,y)}{|(x+1,y)|}$
+\end_inset
+
+ tiene norma 1, luego 
+\begin_inset Formula $(-1,0)+\frac{(x+1,y)}{|(x+1,y)|}\in{\cal C}(p;1)$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente, para el segundo trozo, 
+\begin_inset Formula $(1,0)+\frac{(x-1,y)}{|(x-1,y)|}\in{\cal C}(q;1)$
+\end_inset
+
+.
+ Para el tercer trozo, si 
+\begin_inset Formula $x\geq0$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\left(x,\frac{y}{|y|}\sqrt{1-(1-x)^{2}}\right)-(1,0)\right|=(x-1)^{2}+1-(1-x)^{2}=1,
+\]
+
+\end_inset
+
+luego 
+\begin_inset Formula $(x,\frac{y}{|y|}\sqrt{1-(1-x)^{2}})\in{\cal C}(q;1)$
+\end_inset
+
+, y análogamente, si 
+\begin_inset Formula $x\leq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(x,\frac{y}{|y|}\sqrt{1-(1-x)^{2}})\in{\cal C}(p;1)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+Veamos que 
+\begin_inset Formula $r|_{E}=1_{E}$
+\end_inset
+
+.
+ Restringiendo la definición de 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, el primer trozo aplicaría a 
+\begin_inset Formula ${\cal C}(p;1)$
+\end_inset
+
+, y entonces, como 
+\begin_inset Formula $|(x+1,y)|=|(x,y)-p|=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $r(x,y)=(-1,0)+(x+1,y)=(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+ El segundo trozo aplicaría a 
+\begin_inset Formula ${\cal C}(q;1)$
+\end_inset
+
+, y análogamente, 
+\begin_inset Formula $r(x,y)=(1,0)+(x-1,y)=(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+ El tercer trozo no aplica a 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+Ahora queda ver que la función es continua en las fronteras de los trozos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La intersección del primer trozo y el tercero es 
+\begin_inset Formula $I_{1}:=\{-1\}\times(\mathbb{R}\setminus[-1,1])$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $(x,y)\in I_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(-1,0)+\frac{(x+1,y)}{|(x+1,y)|}=(-1,0)+\frac{(0,y)}{|(0,y)|}=(-1,\frac{y}{|y|})$
+\end_inset
+
+, mientras que 
+\begin_inset Formula $(x,\frac{y}{|y|}\sqrt{1-(1-|x|^{2})})=(-1,\frac{y}{|y|})$
+\end_inset
+
+.
+ Las fronteras también intersecan en 
+\begin_inset Formula $I_{2}:={\cal C}(p;1)\cap([-1,0]\times\mathbb{R})$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $(x_{0},y_{0})\in I_{2}$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $(x_{0},y_{0})\in E$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(-1,0)+\frac{(x_{0}+1,y_{0})}{|(x_{0}+1,y_{0})|}=(x_{0},y_{0})$
+\end_inset
+
+, mientras que 
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}\left(x,\frac{y}{|y|}\sqrt{1-(1-|x|)^{2}}\right)=\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}\left(x,\frac{y}{|y|}\sqrt{1-(1+x)^{2}}\right)\overset{(1+x)^{2}+y^{2}\to1}{=}\\
+=\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}\left(x,\frac{y}{|y|}\sqrt{y^{2}}\right)=\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}\left(x,\frac{y}{|y|}|y|\right)=(x_{0},y_{0}).
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+La intersección del segundo trozo y el tercero se comprueba de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La intersección entre el primer trozo y el segundo es 
+\begin_inset Formula $\{(0,0)\}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $(0,0)$
+\end_inset
+
+ está en 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, cumple 
+\begin_inset Formula $(-1,0)+\frac{(x+1,y)}{|(x+1,y)|}=(1,0)+\frac{(x-1,y)}{|(x-1,y)|}=(x,y)=(0,0)$
+\end_inset
+
+.
+ La intersección de las fronteras no contiene más puntos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+Con esto, usando límites y el lema del pegamiento, hemos probado que 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es continua.
+ Entonces podemos definir una homotopía de 
+\begin_inset Formula $i\circ r$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $i:E\to\mathbb{R}^{2}$
+\end_inset
+
+ es la inclusión, a 
+\begin_inset Formula $1_{\mathbb{R}^{2}}$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $F:\mathbb{R}^{2}\times[0,1]\to\mathbb{R}^{2}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula 
+\[
+F(x,t):=(1-t)r(x)+tx.
+\]
+
 \end_inset
 
 
 \end_layout
 
+\end_deeper
 \end_inset
 
 
@@ -2577,34 +2903,6 @@ Demostración
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Como 
-\series bold
-teorema
-\series default
-, el grupo fundamental de la figura ocho no es abeliano.
- 
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-Demostración.
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
 Una 
 \series bold
 
diff --git a/ts/n6.lyx b/ts/n6.lyx
index 2fb4518..d2acc6e 100644
--- a/ts/n6.lyx
+++ b/ts/n6.lyx
@@ -683,6 +683,50 @@ Así,
 \end_inset
 
  es triangulable a un tetraedro.
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+En efecto, sean 
+\begin_inset Formula $a:=(0,0,1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b:=(0,1,-1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c:=(-1,-1,-1)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d:=(1,-1,-1)$
+\end_inset
+
+, entonces el complejo simplicial dado por 
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\{\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\},\{a,b\},\{a,c\},\\
+\{a,d\},\{b,c\},\{b,d\},\{c,d\},\{a\},\{b\},\{c\},\{d\}\}
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+junto con el homeomorfismo 
+\begin_inset Formula $h(x,y,z):=\frac{(x,y,z)}{|(x,y,z)|}$
+\end_inset
+
+ forman una triangulación de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -1610,7 +1654,7 @@ Sea $K_1$ una triangulación de $S_1$ y $K_2$ una de $S_2$, y suponemos que
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Así:
+Entonces:
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -1618,21 +1662,11 @@ Así:
 \end_inset
 
 .
- 
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-Demostración.
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
+Por triangulación con un tetraedro.
 \end_layout
 
 \end_inset
@@ -1645,21 +1679,106 @@ Demostración.
 \end_inset
 
 .
- 
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Note Note
-status open
+Sean 
+\begin_inset Formula $a_{0}:=(0,1,0)$
+\end_inset
 
-\begin_layout Plain Layout
-Demostración.
-\end_layout
+, 
+\begin_inset Formula $a_{1}:=(0,3,1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{2}:=(0,3,-1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b_{0}:=(-1,-1,0)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b_{1}:=(-3,-3,1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b_{2}:=(-3,-3,-1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c_{0}:=(1,-1,0)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c_{1}:=(3,-3,1)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c_{2}:=(3,-3,-1)$
+\end_inset
+
+.
+ Usamos el complejo simplicial cuyas caras son
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\{\{a_{0},b_{0},a_{1}\},\{a_{1},b_{0},b_{1}\},\{a_{1},b_{1},a_{2}\},\{a_{2},b_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{2},a_{0}\},\{a_{0},b_{2},b_{0}\},\\
+\{c_{0},b_{0},c_{1}\},\{c_{1},b_{0},b_{1}\},\{c_{1},b_{1},c_{2}\},\{c_{2},b_{1},b_{2}\},\{c_{2},b_{2},c_{0}\},\{c_{0},b_{2},b_{0}\},\\
+\{a_{0},c_{0},a_{1}\},\{a_{1},c_{0},c_{1}\},\{a_{1},c_{1},a_{2}\},\{a_{2},c_{1},c_{2}\},\{a_{2},c_{2},a_{0}\},\{a_{0},c_{2},c_{0}\}\},
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+y cuyas aristas y vértices son los subsímplices de estas caras.
+ Entonces, si 
+\begin_inset Formula $r:=\frac{29}{20}$
+\end_inset
+
+, la circunferencia 
+\begin_inset Formula $r\mathbb{S}^{1}\times\{0\}$
+\end_inset
 
+ está contenida en el interior del complejo, pues este contiene a 
+\begin_inset Formula $([(0,3),(-3,-3),(3,-3)]\setminus[(0,1),(-1,-1),(1,-1)])$
 \end_inset
 
+, pero el punto más alejado del origen del triángulo interior (uno de ellos)
+ es 
+\begin_inset Formula $(-1,1)$
+\end_inset
+
+ con norma 
+\begin_inset Formula $\sqrt{2}<r$
+\end_inset
+
+ y el más cercano al origen del triángulo exterior (uno de ellos) es 
+\begin_inset Formula $\frac{(0,3)+(-3,-3)}{2}=(-\frac{3}{2},0)$
+\end_inset
 
+ con norma 
+\begin_inset Formula $\frac{3}{2}>r$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, si 
+\begin_inset Formula $p(x,y):=r(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},0)$
+\end_inset
+
+, la función 
+\begin_inset Formula $h(x,y,z):=r(x,y)+\frac{(x,y,z)-r(x,y)}{|(x,y,z)-r(x,y)|}$
+\end_inset
+
+ es un homeomorfismo del complejo al toro con circunferencia interior 
+\begin_inset Formula $r\mathbb{S}^{1}\times\{0\}$
+\end_inset
+
+ y exterior de radio 1.
+ El complejo tiene 18 caras, 27 aristas y 9 vértices, por lo que 
+\begin_inset Formula $\chi(\mathbb{T}^{2})=9-27+18=0$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
 \end_inset