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diff --git a/ts/n.lyx b/ts/n.lyx
index 5c56ecf..51ce287 100644
--- a/ts/n.lyx
+++ b/ts/n.lyx
@@ -150,6 +150,11 @@ https://repository.lboro.ac.uk/articles/Modelling_CPV/9523520
 .
 \end_layout
 
+\begin_layout Itemize
+Essential Topology, Martin D.
+ Crossley (2005), Springer.
+\end_layout
+
 \begin_layout Chapter
 Espacios topológicos
 \end_layout
@@ -164,5 +169,19 @@ filename "n1.lyx"
 
 \end_layout
 
+\begin_layout Chapter
+Propiedades topológicas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \end_body
 \end_document
diff --git a/ts/n2.lyx b/ts/n2.lyx
index 18577dc..ff8d11f 100644
--- a/ts/n2.lyx
+++ b/ts/n2.lyx
@@ -77,6 +77,35 @@
 
 \begin_body
 
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+propiedad
+\series default
+ de un espacio topológico es 
+\series bold
+topológica
+\series default
+ es invariante por homeomorfismos, y es 
+\series bold
+hereditaria
+\series default
+ si, cuando un espacio 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ la tiene, sus subespacios también.
+ Por ejemplo, los axiomas 
+\begin_inset Formula $\text{1A}\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{2A}\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ son hereditarios.
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
 Conexión
 \end_layout
@@ -633,7 +662,20 @@ En efecto, de no serlo existiría
 
 \end_inset
 
- Así, si 
+ Por tanto la conexión es una propiedad topológica, pero no es hereditaria
+ porque, por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $[-1,1]$
+\end_inset
+
+ es conexo pero su subespacio 
+\begin_inset Formula $\{-1,1\}$
+\end_inset
+
+ no lo es.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
 \begin_inset Formula $X\neq\emptyset$
 \end_inset
 
@@ -1780,5 +1822,1226 @@ estrellado
 Compacidad
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+recubrimiento abierto
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es un conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal A}\subseteq{\cal T}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\bigcup{\cal A}=X$
+\end_inset
+
+, y entonces un 
+\series bold
+subrecubrimiento
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal A}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\bigcup{\cal B}=X$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+compacto
+\series default
+ si todo recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ admite un subrecubrimiento finito.
+ Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, no 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, espacio topológico finito, discreto, 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(a,b]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(a,+\infty)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(-\infty,b)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo espacio topológico finito es compacto.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Todo recubrimiento abierto es finito y, por tanto, un subrecubrimiento finito
+ de sí mismo.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Un espacio discreto es compacto si y sólo si es finito.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dados el recubrimiento 
+\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{\{x\}\}_{x\in X}$
+\end_inset
+
+ y un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula ${\cal B}:=\{\{x_{1}\},\dots,\{x_{n}\}\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X=\bigcup{\cal B}=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Es el punto anterior.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+subespacio compacto
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}_{Y})$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+ Un 
+\series bold
+recubrimiento
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ por subconjuntos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es un conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal A}\subseteq{\cal T}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\bigcup{\cal A}\supseteq Y$
+\end_inset
+
+, y un subrecubrimiento de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ es un subconjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ suyo con 
+\begin_inset Formula $\bigcup{\cal B}\supseteq Y$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ es un subespacio compacto si y sólo si todo recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ admite un subrecubrimiento finito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados dos espacios topológicos 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $f:X\to Y$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es compacto, 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\{f^{-1}(A_{i})\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ que admite un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{f^{-1}(A_{i_{1}}),\dots,f^{-1}(A_{i_{n}})\}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+La compacidad es una propiedad topológica no hereditaria.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, todo cerrado de un compacto es compacto.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ compacto, 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ un cerrado de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un cubrimiento de 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}\cup\{X\setminus C\}$
+\end_inset
+
+ es un cubrimiento de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ que admite por tanto un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{U_{1},\dots,U_{n}\}$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $\{U_{1},\dots,U_{n}\}\setminus\{X\setminus C\}$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Compacidad en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El cubo unidad 
+\begin_inset Formula $[0,1]^{n}\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $[0,1]^{n}$
+\end_inset
+
+ y supongamos que no admite un subrecubrimiento finito.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $I_{0}:=[0,1]^{n}$
+\end_inset
+
+, de los 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+ subconjuntos 
+\begin_inset Formula $\{[a_{1},a_{1}+\frac{1}{2}\times\cdots\times[a_{n},a_{n}+\frac{1}{2}]\}_{a_{1},\dots a_{n}\in\{0,\frac{1}{2}\}}$
+\end_inset
+
+, al menos uno, al que llamaremos 
+\begin_inset Formula $I_{1}$
+\end_inset
+
+, no admite un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+, pues si todos lo admitieran, 
+\begin_inset Formula $I_{0}$
+\end_inset
+
+ también.
+ Repitiendo este proceso llegamos a una sucesión de intervalos encajados
+ 
+\begin_inset Formula $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq\dots$
+\end_inset
+
+ en la que las longitudes en cada dimensión tienden a 0.
+ Entonces, si 
+\begin_inset Formula $I_{k}=:I_{k1}\times\cdots\times I_{kn}$
+\end_inset
+
+, para 
+\begin_inset Formula $j\in\{0,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+ existe un único 
+\begin_inset Formula $z_{i}\in\bigcap_{k}I_{kj}$
+\end_inset
+
+, luego existe un único 
+\begin_inset Formula $z:=(z_{1},\dots,z_{n})\in\bigcap_{k}I_{k}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces existe 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z\in A_{i}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B(z,\varepsilon)\subseteq A_{i}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $I_{n}\subseteq B(z,\varepsilon)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+ admite el subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}]$
+\end_inset
+
+ intervalos cerrados y acotados de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}]$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Basta considerar la función 
+\begin_inset Formula $f:[0,1]^{n}\to[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}]$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x):=((1-x_{j})a_{j}+x_{j}b_{j})_{j=1}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de Heine-Borel:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es acotado con la distancia 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+, está contenido en un compacto 
+\begin_inset Formula $[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}]$
+\end_inset
+
+, luego es un cerrado dentro de un compacto y por tanto es compacto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{(-k,k)^{n}\}_{k\in\mathbb{N}^{*}}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ y por tanto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, existe un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{(-k_{1},k_{1})^{n},\dots,(-k_{p},k_{p})^{n}\}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es acotado.
+ Para ver que es cerrado, si 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}\setminus X$
+\end_inset
+
+ no fuera abierto, existiría 
+\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}^{n}\setminus X$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall\delta>0,B(z,\delta)\cap X\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, 
+\begin_inset Formula $\{U_{\delta}:=(-\infty,z-\delta)\cup(z+\delta,+\infty)\}_{\delta>0}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ que admite por tanto un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{U_{\delta_{1}},\dots,U_{\delta_{n}}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, si 
+\begin_inset Formula $d:=\min_{k=1}^{n}\delta_{k}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{k=1}^{n}U_{\delta_{k}}=U_{d}\supseteq X$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $B(z,\delta)\cap X\subseteq B(z,\delta)\cap U_{d}=\emptyset\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que, aunque la compacidad es una propiedad topológica, no es hereditaria.
+ Además, como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es compacto, toda aplicación continua 
+\begin_inset Formula $f:X\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ alcanza sus extremos en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, esto es, existen 
+\begin_inset Formula $p,q\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(p)=\min_{x\in X}f(x)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(q)=\max_{x\in X}f(x)$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, el 
+\series bold
+teorema de Bolzano
+\series default
+ afirma que toda aplicación 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua alcanza sus extremos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Axiomas de separación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $T_{2}$
+\end_inset
+
+ o 
+\series bold
+Hausdorff
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,(x\neq y\implies\exists U\in{\cal E}(x),V\in{\cal E}(y):U\cap V=\emptyset)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $T_{1}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,(x\neq y\implies{\cal E}(x)\nsubseteq{\cal E}(y)\land{\cal E}(y)\nsubseteq{\cal E}(x))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $T_{0}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,(x\neq y\implies{\cal E}(x)\neq{\cal E}(y))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Es claro que todo espacio 
+\begin_inset Formula $T_{2}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $T_{1}$
+\end_inset
+
+ y todo espacio 
+\begin_inset Formula $T_{1}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $T_{0}$
+\end_inset
+
+, pero los recíprocos no se cumplen.
+ Ser Hausdorff es una propiedad hereditaria.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio 
+\series bold
+metrizable
+\series default
+ (generado por algún espacio métrico) es Hausdorff.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+En efecto, dados un espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\neq y$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $d:=d(x,y)>0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B(x,\frac{d}{2})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B(y,\frac{d}{2})$
+\end_inset
+
+ son entornos respectivos de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ disjuntos.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$
+\end_inset
+
+ es Hausdorff
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues para 
+\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\neq y$
+\end_inset
+
+, si por ejemplo 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[x,y)$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $[y,y+1)$
+\end_inset
+
+ son entornos respectivos de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ disjuntos
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un espacio 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $T_{1}$
+\end_inset
+
+ si y sólo si para todo 
+\begin_inset Formula $x\in X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{x\}$
+\end_inset
+
+ es cerrado en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, todo subconjunto finito de un espacio 
+\begin_inset Formula $T_{1}$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $x\in X$
+\end_inset
+
+, para todo 
+\begin_inset Formula $y\neq x$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $U_{y}\in{\cal E}(y)$
+\end_inset
+
+ que no contiene a 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{y\neq x}U_{y}=X\setminus\{x\}$
+\end_inset
+
+ es abierto y por tanto 
+\begin_inset Formula $\{x\}$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\neq y$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X\setminus\{x\}$
+\end_inset
+
+ es un entorno de 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ que no lo es de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ y viceversa.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ Hausdorff y 
+\begin_inset Formula $f:X\to X$
+\end_inset
+
+ continua, 
+\begin_inset Formula $\text{fix}f:=\{x\in X:f(x)=x\}$
+\end_inset
+
+ es cerrado en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es un espacio métrico, 
+\begin_inset Formula $\forall x\neq f(x),\exists\delta>0:B(x,\delta)\cap\text{fix}f=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Queremos ver que 
+\begin_inset Formula $S:=X\setminus\text{fix}f$
+\end_inset
+
+ es abierto.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in S$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(x_{0})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(x_{0}))$
+\end_inset
+
+ disjuntos y 
+\begin_inset Formula $W\in{\cal E}(x_{0})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(W)\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $U\cap W\subseteq S$
+\end_inset
+
+, pues para 
+\begin_inset Formula $z\in U\cap W$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $z\in W$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(z)\in V$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $z\in U$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son disjuntos 
+\begin_inset Formula $z\neq f(z)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:X\to Y$
+\end_inset
+
+ es continua e inyectiva e 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ es Hausdorff, 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+En efecto, dados 
+\begin_inset Formula $x_{1},x_{2}\in X$
+\end_inset
+
+ distintos, 
+\begin_inset Formula $f(x_{1})\neq f(x_{2})$
+\end_inset
+
+ y por tanto existen 
+\begin_inset Formula $V_{1}\in{\cal E}(f(x_{1}))$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V_{2}\in{\cal E}(f(x_{2}))$
+\end_inset
+
+ disjuntos, luego 
+\begin_inset Formula $U_{1}:=f^{-1}(V_{1})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}:=f^{-1}(V_{2})$
+\end_inset
+
+ son entornos respectivos de 
+\begin_inset Formula $x_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{2}$
+\end_inset
+
+ disjuntos.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, todo subespacio compacto de un espacio Hausdorff es cerrado.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ Hausdorff y 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un subespacio compacto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, queremos ver que 
+\begin_inset Formula $K^{\complement}$
+\end_inset
+
+ es abierto.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $q\in K^{\complement}$
+\end_inset
+
+, para 
+\begin_inset Formula $p\in K$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $U_{p}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V_{p}$
+\end_inset
+
+ entornos respectivos de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ disjuntos, luego 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{q\in K}U_{p}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos que admite pues un subrecubrimiento 
+\begin_inset Formula $\{U_{p_{1}},\dots,U_{p_{k}}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $A_{q}:=V_{p_{1}}\cap\dots\cap V_{p_{k}}\subseteq U_{p_{1}}^{\complement}\cap\dots\cap U_{p_{k}}^{\complement}=(U_{p_{1}}\cup\dots\cup U_{p_{k}})^{\complement}\subseteq K^{\complement}$
+\end_inset
+
+ es un entorno de 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ contenido en 
+\begin_inset Formula $K^{\complement}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{q\in K^{\complement}}A_{q}=K^{\complement}$
+\end_inset
+
+ es abierto.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \end_body
 \end_document