Añadida la mitad de GyA a los apuntes de AC

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diff --git a/ac/n1.lyx b/ac/n1.lyx
index 1462a8d..7164316 100644
--- a/ac/n1.lyx
+++ b/ac/n1.lyx
@@ -195,112 +195,6 @@ El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Dados un anillo 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $a,b,c\in A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a0=0$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-pues 
-\begin_inset Formula $a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0\implies0=a0$
-\end_inset
-
-;
-\end_layout
-
-\end_inset
-
- 
-\begin_inset Formula $-(-a)=a$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-pues 
-\begin_inset Formula $x=-(-a)\implies0=x+(-a)\implies a=x+(-a)+a=x$
-\end_inset
-
-;
-\end_layout
-
-\end_inset
-
- 
-\begin_inset Formula $a-b=c\iff b+c=a$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-pues 
-\begin_inset Formula $a-b=c\implies a=a-b+b=c+b=b+c$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $b+c=a\implies c=-b+b+c=-b+a=a-b$
-\end_inset
-
-;
-\end_layout
-
-\end_inset
-
- 
-\begin_inset Formula $(a-b)c=ac-bc$
-\end_inset
-
-
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-, pues 
-\begin_inset Formula $(a-b)c+bc=ac-bc+bc=ac\implies ac-bc=(a-b)c$
-\end_inset
-
-,
-\end_layout
-
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $(-a)b=-(ab)$
-\end_inset
-
-
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-, pues 
-\begin_inset Formula $(-a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab$
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
 Un anillo es 
 \series bold
 conmutativo
@@ -334,12 +228,8 @@ uno
 \begin_inset Formula $\mathbb{R}$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
-\end_inset
-
  y 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
 \end_inset
 
  para 
@@ -439,7 +329,7 @@ status open
 
 
 \backslash
-begin{reminder}{ga}
+begin{reminder}{GyA}
 \end_layout
 
 \end_inset
@@ -494,6 +384,267 @@ Llamamos
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo y 
+\begin_inset Formula $a,b,c\in A$
+\end_inset
+
+: [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+3.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+[...] El 0 y el 1 son únicos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+4.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+El opuesto de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es único, y si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es invertible, el inverso es único.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+5.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $0a=a0=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+6.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a(-b)=(-a)b=-(ab)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+7.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a(b-c)=ab-ac$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+8.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son invertibles si y sólo si lo son 
+\begin_inset Formula $ab$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $ba$
+\end_inset
+
+, en cuyo caso 
+\begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Si 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, definimos 
+\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a:=0$
+\end_inset
+
+, y para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $na:=(n-1)a+a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(-n)a:=-(na)$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos 
+\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}:=1_{A}$
+\end_inset
+
+, para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a^{n}:=a^{n-1}a$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es invertible, 
+\begin_inset Formula $a^{-n}:=(a^{-1})^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n(a+b)=na+nb$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(n+m)a=na+ma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n(ma)=(nm)a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $n,m\geq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es invertible, esto se cumple para 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ enteros arbitrarios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si [...] 
+\begin_inset Formula $n\geq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$
+\end_inset
+
+, y si [...] 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son invertibles, esto se cumple para todo entero 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 \begin_inset ERT
 status open
 
@@ -543,44 +694,268 @@ homomorfismo de anillos
 \end_inset
 
 .
- Entonces 
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+automorfismo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un isomorfismo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ [...] Sean 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo de anillos y 
+\begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
 \begin_inset Formula $f(0)=0$
 \end_inset
 
+.
+\end_layout
 
-\begin_inset Note Comment
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-, pues 
-\begin_inset Formula $f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)=f(0)+0$
+5.
+\end_layout
+
 \end_inset
 
-,
+
+\begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+6.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es invertible, 
+\begin_inset Formula $f(a)$
+\end_inset
+
+ también lo es y 
+\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+[...] Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados anillos 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
  y 
-\begin_inset Formula $\forall a\in A,f(-a)=-f(a)$
+\begin_inset Formula $B$
 \end_inset
 
+, 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
 
-\begin_inset Note Comment
-status open
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(a)=0$
+\end_inset
 
-\begin_layout Plain Layout
-, pues 
-\begin_inset Formula $f(-a)+f(a)=f(-a+a)=f(0)=0$
+ es un homomorfismo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $B=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $B$
 \end_inset
 
+ un subanillo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, la inclusión 
+\begin_inset Formula $i:B\to A$
+\end_inset
 
+ es un homomorfismo.
 \end_layout
 
+\begin_layout Enumerate
+Dado un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\mu(n):=n1$
+\end_inset
+
+ es el único homomorfismo de anillos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
 .
- Un homomorfismo 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dada una familia de anillos 
+\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $j\in I$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+proyección
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $p_{j}(a):=a_{j}$
+\end_inset
+
+ es un homomorfismo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La 
+\series bold
+conjugación
+\series default
+ de complejos, dada por 
+\begin_inset Formula $\overline{a+bi}:=a-bi$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, es un automorfismo en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+.
+ [...] Si 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de 
+\begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
+\end_inset
+
+ o en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$
+\end_inset
+
+ tenemos un automorfismo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un homomorfismo 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
 
@@ -1269,7 +1644,11 @@ Si hubiera
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Un anillo es un 
+Un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un 
 \series bold
 dominio
 \series default
@@ -1279,7 +1658,10 @@ dominio
 cuerpo
 \series default
  si todo elemento no nulo es unidad.
- Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido.
  Los recíprocos no se cumplen, pues 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
@@ -1500,6 +1882,10 @@ status open
 .
 \end_layout
 
+\begin_layout Subsection
+Elementos primos e irreducibles
+\end_layout
+
 \begin_layout Standard
 \begin_inset ERT
 status open
@@ -1570,7 +1956,36 @@ Irreducible en un dominio no implica primo.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Dados un anillo [...] 
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un dominio, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es irreducible si y sólo si 
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es maximal entre los ideales principales no nulos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, es decir, si 
+\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un anillo conmutativo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -1598,11 +2013,7 @@ máximo común divisor
 \begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
 \end_inset
 
-[
-\begin_inset Formula $=\gcd S$
-\end_inset
-
-], si divide a cada elemento de 
+, si divide a cada elemento de 
 \begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
@@ -1622,505 +2033,403 @@ mínimo común múltiplo
 \begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
 \end_inset
 
-[
-\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$
-\end_inset
-
-], si es múltiplo de cada elemento de 
+, si es múltiplo de cada elemento de 
 \begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
  y divide a cada elemento que cumple esto.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-end{reminder}
-\end_layout
-
+ Para 
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
 \end_inset
 
-
+:
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-Un 
-\series bold
-dominio de factorización única
-\series default
- (DFU) es un dominio 
-\begin_inset Formula $D$
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
 \end_inset
 
- en el que, para 
-\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
+ si y solo si 
+\begin_inset Formula $(a)$
 \end_inset
 
-, existen 
-\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$
+ es el menor ideal principal de 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- irreducibles con 
-\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$
+ que contiene a 
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
-, y si 
-\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$
+.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $(a)=(S)$
 \end_inset
 
- son irreducibles con 
-\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$
+, 
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
 \end_inset
 
-, entonces 
-\begin_inset Formula $n=m$
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
 \end_inset
 
- y existe una permutación 
-\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $(a)$
 \end_inset
 
- tal que cada 
-\begin_inset Formula $b_{i}$
+ es el mayor ideal principal de 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es asociado a 
-\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$
+ contenido en 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$
 \end_inset
 
 .
- Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles.
- También lo son 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$
 \end_inset
 
- y los anillos de polinomios sobre un DFU.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Para 
-\begin_inset Formula $n\geq2$
+, 
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
 \end_inset
 
-:
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
+Si 
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
 \end_inset
 
- es unidad si y sólo si 
-\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
+, 
+\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$
 \end_inset
 
- en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son asociados en 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\begin_deeper
 \begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\implies]$
+Si 
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
 \end_inset
 
+, 
+\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$
+\end_inset
 
-\end_layout
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
 
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
 \end_inset
 
-Si fuera 
-\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$
+ son asociados en 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, sean 
-\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $r=dr'$
+ divide a todo elemento de 
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
  y 
-\begin_inset Formula $n=dn'$
+\begin_inset Formula $a\in(S)$
 \end_inset
 
 , entonces 
-\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
 \end_inset
 
- pero 
-\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$
+.
+ En tal caso llamamos 
+\series bold
+identidad de Bézout
+\series default
+ a una expresión de la forma 
+\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$
 \end_inset
 
-, con lo que 
-\begin_inset Formula $r$
+ con 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$
 \end_inset
 
- es divisor de cero.
-\begin_inset Formula $\#$
+ y 
+\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$
 \end_inset
 
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\impliedby]$
+, que existe porque 
+\begin_inset Formula $a\in(S)$
 \end_inset
 
-
+.
 \end_layout
 
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$
 \end_inset
 
-Una identidad de Bézout 
-\begin_inset Formula $ar+bn=1$
+ si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de 
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
- se traduce en que 
-\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$
+ son las unidades de 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
 \begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
-\end_inset
-
- es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de 
-\begin_inset Formula $n$
+Si 
+\begin_inset Formula $1\in(S)$
 \end_inset
 
- dividen a 
-\begin_inset Formula $r$
+, 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\implies]$
-\end_inset
 
 
+\backslash
+end{reminder}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
-Sean 
-\begin_inset Formula $m$
-\end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $p$
-\end_inset
-
- un divisor primo de 
-\begin_inset Formula $n$
-\end_inset
-
-, como 
-\begin_inset Formula $n$
-\end_inset
-
- divide a 
-\begin_inset Formula $r^{m}$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $p$
-\end_inset
-
- divide a 
-\begin_inset Formula $r^{m}$
-\end_inset
-
- y por tanto a 
-\begin_inset Formula $r$
-\end_inset
+\end_layout
 
-.
+\begin_layout Subsection
+Dominios de factorización única
 \end_layout
 
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\impliedby]$
-\end_inset
 
 
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
-Sea 
-\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$
-\end_inset
 
- la descomposición prima de 
-\begin_inset Formula $n$
-\end_inset
-
-, como 
-\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
-\end_inset
+\end_layout
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $r$
+\begin_layout Standard
+Dado un dominio 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
-, si 
-\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$
+, una 
+\series bold
+factorización en producto de irreducibles
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $a\in D$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $n$
+ es una expresión de la forma 
+\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$
 \end_inset
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$
+, donde 
+\begin_inset Formula $u$
 \end_inset
 
- y este a 
-\begin_inset Formula $r^{m}$
+ es una unidad de 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
-, luego 
-\begin_inset Formula $n$
+ y 
+\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$
 \end_inset
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $r^{m}$
+ son irreducibles en 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
-
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+ Dos factorizaciones en producto de irreducibles de 
+\begin_inset Formula $a\in D$
 \end_inset
 
- es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si 
-\begin_inset Formula $n$
+, 
+\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$
 \end_inset
 
- es primo.
-\end_layout
-
-\begin_deeper
-\begin_layout Description
-\begin_inset Formula $1\implies2]$
+ y 
+\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$
 \end_inset
 
- Visto.
-\end_layout
-
-\begin_layout Description
-\begin_inset Formula $2\implies3]$
+, son 
+\series bold
+equivalentes
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $m=n$
 \end_inset
 
- Probamos el contrarrecíproco.
- Si existen 
-\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
+ y existe una permutación 
+\begin_inset Formula $\sigma$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $1<p,q<n$
+ de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}:=\{1,\dots,n\}$
 \end_inset
 
-, con 
-\begin_inset Formula $n=pq$
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $p$
-\end_inset
-
- es divisor de 0 en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\begin_inset Formula $p_{k}$
 \end_inset
 
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Description
-\begin_inset Formula $3\implies1]$
-\end_inset
-
- Para 
-\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
+ y 
+\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$
 \end_inset
 
- en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+ son asociados, en cuyo caso 
+\begin_inset Formula $u$
 \end_inset
 
- y por tanto 
-\begin_inset Formula $r$
+ y 
+\begin_inset Formula $v$
 \end_inset
 
- es unidad.
+ también lo son.
 \end_layout
 
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
- es reducido si y sólo si 
-\begin_inset Formula $n$
+ es un 
+\series bold
+dominio de factorización
+\series default
+ (
+\series bold
+DF
+\series default
+) si todo elemento no nulo de 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
- es 
+ admite una factorización en producto de irreducibles, y es un 
 \series bold
-libre de cuadrados
+dominio de factorización única
 \series default
-, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos.
+ (
+\series bold
+DFU
+\series default
+ o 
+\series bold
+UFD
+\series default
+) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes.
 \end_layout
 
-\begin_deeper
 \begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
-status open
 
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\implies]$
+\series bold
+Teorema Fundamental de la Aritmética:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
-
+ es un DFU.
 \end_layout
 
+\begin_layout Enumerate
+Dado 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$
 \end_inset
 
-Si no fuera libre de cuadrados, sea 
-\begin_inset Formula $n=p^{2}q$
-\end_inset
-
- para ciertos 
-\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
+, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$
 \end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $p$
-\end_inset
+ es un DF.
+\end_layout
 
- primo, en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\begin_layout Standard
+Un dominio 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
- 
-\begin_inset Formula $pq\neq0$
+ es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
- pero 
-\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$
+ es producto de una unidad por primos, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
-.
+ es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo.
 \end_layout
 
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\impliedby]$
-\end_inset
 
 
+\backslash
+end{reminder}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
-La descomposición en primos de 
-\begin_inset Formula $n$
-\end_inset
-
- es de la forma 
-\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
-\end_inset
-
- con los 
-\begin_inset Formula $p_{i}$
-\end_inset
 
- distintos, y si 
-\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
-\end_inset
-
- cumple 
-\begin_inset Formula $r^{2}=0$
-\end_inset
-
- entonces en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
-\end_inset
-
- cada 
-\begin_inset Formula $p_{i}$
-\end_inset
-
- divide a 
-\begin_inset Formula $r^{2}$
-\end_inset
-
- y por tanto a 
-\begin_inset Formula $r$
-\end_inset
-
-, luego 
-\begin_inset Formula $n$
-\end_inset
-
- divide a 
-\begin_inset Formula $r$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $r=0$
-\end_inset
-
- en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
-\end_inset
+\end_layout
 
-.
+\begin_layout Standard
+Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles.
+ También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU.
 \end_layout
 
-\end_deeper
 \begin_layout Section
 Subanillos
 \end_layout
@@ -2300,6 +2609,276 @@ anillo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de sí mismo, el 
+\series bold
+subanillo impropio
+\series default
+, y el resto de subanillos son 
+\series bold
+propios
+\series default
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+3.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\{0\}$
+\end_inset
+
+ es subanillo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $A=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+4.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Llamamos 
+\series bold
+subanillo primo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1:=\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$
+\end_inset
+
+, el menor subanillo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+5.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son anillos y 
+\begin_inset Formula $B\neq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$
+\end_inset
+
+ es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $A\times B$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+7.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{f\in\mathbb{R}^{X}:f\text{ continua}\}$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{X}$
+\end_inset
+
+ con la suma y el producto por elementos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+8.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado un espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{f\in V^{V}:f\text{ lineal}\}$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $(V^{V},+,\circ)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+9.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y un conjunto 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{f\in A^{X}:f\text{ constante}\}$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $A^{X}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+9.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $B'$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(B')$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+10.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es un isomorfismo de anillos, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ también.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido
  es reducido.
  No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues 
@@ -2642,6 +3221,10 @@ end{exinfo}
 
 \end_layout
 
+\begin_layout Subsection
+Ideales finitamente generados
+\end_layout
+
 \begin_layout Standard
 La intersección de una familia de ideales de 
 \begin_inset Formula $A$
@@ -2895,17 +3478,258 @@ end{exinfo}
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+dominio de ideales principales
+\series default
+ (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DIP y 
+\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es irreducible si y solo si 
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es un ideal maximal, si y solo si 
+\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo, si y solo si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es primo, si y solo si 
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es un ideal primo, si y solo si 
+\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$
+\end_inset
+
+ es un dominio.
+ [...] Todo DIP es un DFU.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+En un DIP, 
+\begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+No todos los ideales son finitamente generados.
+ En efecto, dado un anillo no trivial 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es un cuerpo si y sólo si sus únicos ideales son 0 y 
+, en 
+\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ con las operaciones componente a componente, 
+\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$
+\end_inset
+
+ formado por los elementos de 
+\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de 
+\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita
+ de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo
+ ceros y no generan elementos de 
+\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$
+\end_inset
+
+ con un 1 después de esta posición.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
+ es un cuerpo si y sólo si los únicos ideales de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ son 0 y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, si y sólo si todo homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $A\to B$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B\neq0$
+\end_inset
+
+ es inyectivo.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Aritmética modular
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}:=\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ es unidad si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Itemize
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
 \begin_inset Argument item:1
 status open
 
@@ -2918,30 +3742,135 @@ status open
 
 \end_inset
 
-Dado 
-\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+Si fuera 
+\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$
 \end_inset
 
-, si 
-\begin_inset Formula $I\neq0$
+, sean 
+\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
-, existe 
-\begin_inset Formula $e\in I\setminus\{0\}$
+ con 
+\begin_inset Formula $r=dr'$
 \end_inset
 
-, pero 
-\begin_inset Formula $e$
+ y 
+\begin_inset Formula $n=dn'$
 \end_inset
 
- es unidad, luego 
-\begin_inset Formula $I=A$
+, entonces 
+\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$
+\end_inset
+
+ pero 
+\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es divisor de cero.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Una identidad de Bézout 
+\begin_inset Formula $ar+bn=1$
+\end_inset
+
+ se traduce en que 
+\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Itemize
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ dividen a 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ un divisor primo de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r^{m}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r^{m}$
+\end_inset
+
+ y por tanto a 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
 \begin_inset Argument item:1
 status open
 
@@ -2954,120 +3883,248 @@ status open
 
 \end_inset
 
-Si 
-\begin_inset Formula $A$
+Sea 
+\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$
 \end_inset
 
- no fuera un cuerpo, sea 
-\begin_inset Formula $e\in A\setminus0$
+ la descomposición prima de 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- no invertible, 
-\begin_inset Formula $1\notin(e)$
+, como 
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
 \end_inset
 
-, pues no existe 
-\begin_inset Formula $f\in A$
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r$
 \end_inset
 
- tal que 
-\begin_inset Formula $ef=1$
+, si 
+\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$
+\end_inset
+
+ y este a 
+\begin_inset Formula $r^{m}$
 \end_inset
 
 , luego 
-\begin_inset Formula $0\subsetneq(e)\subsetneq A$
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r^{m}$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-Un 
-\series bold
-dominio de ideales principales
-\series default
- (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales, como 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+ es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- para todo cuerpo 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+ es primo.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $1\implies2]$
+\end_inset
+
+ Visto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $2\implies3]$
+\end_inset
+
+ Probamos el contrarrecíproco.
+ Si existen 
+\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $1<p,q<n$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $n=pq$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es divisor de 0 en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
 .
- Todo DIP es un DFU.
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $3\implies1]$
+\end_inset
+
+ Para 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es unidad.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ es reducido si y sólo si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+libre de cuadrados
+\series default
+, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
 
 
-\backslash
-begin{exinfo}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
-En un DIP, 
-\begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$
+Si no fuera libre de cuadrados, sea 
+\begin_inset Formula $n=p^{2}q$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$
+ para ciertos 
+\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ primo, en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $pq\neq0$
+\end_inset
+
+ pero 
+\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$
 \end_inset
 
 .
-\begin_inset ERT
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
 
 
-\backslash
-end{exinfo}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
+La descomposición en primos de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
 
-\end_layout
+ es de la forma 
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
+\end_inset
 
-\begin_layout Standard
-No todos los ideales son finitamente generados.
- En efecto, dado un anillo no trivial 
-\begin_inset Formula $A$
+ con los 
+\begin_inset Formula $p_{i}$
 \end_inset
 
-, en 
-\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+ distintos, y si 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
- con las operaciones componente a componente, 
-\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$
+ cumple 
+\begin_inset Formula $r^{2}=0$
 \end_inset
 
- formado por los elementos de 
-\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+ entonces en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
- con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de 
-\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+ cada 
+\begin_inset Formula $p_{i}$
 \end_inset
 
-, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita
- de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo
- ceros y no generan elementos de 
-\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r^{2}$
 \end_inset
 
- con un 1 después de esta posición.
+ y por tanto a 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r=0$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+Operaciones con ideales
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -3338,6 +4395,60 @@ end{exinfo}
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+, en general 
+\begin_inset Formula $I\cdot J$
+\end_inset
+
+ no es un ideal.
+ En efecto, sean 
+\begin_inset Formula $A\coloneqq\mathbb{Z}[X,Y]$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $I\coloneqq(X,Y)\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $X^{2},Y^{2},XY\in I\cdot I$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $I\cdot I$
+\end_inset
+
+ fuera un ideal sería 
+\begin_inset Formula $p\coloneqq X^{2}+XY+Y^{2}\in I\cdot I$
+\end_inset
+
+ y por tanto habría 
+\begin_inset Formula $q=a_{0}X+b_{0}Y+\dots,r=a_{1}X+b_{1}Y+\dots\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $p=qr$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $a_{0}a_{1},b_{0}b_{1},a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}=1$
+\end_inset
+
+, pero como los coeficientes son enteros las dos primeras ecuaciones implican
+ 
+\begin_inset Formula $a_{0}=a_{1},b_{0}=b_{1}\in\{\pm1\}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}\in\{\pm2\}\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 El 
 \series bold
 ideal producto
@@ -3442,16 +4553,23 @@ Llamamos
 \end_inset
 
 .
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-Here
-\end_layout
+ 
+\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+\end_inset
 
+ es 
+\series bold
+nilpotente
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
 \end_inset
 
+ tal que 
+\begin_inset Formula $I^{n}=0$
+\end_inset
 
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -3592,7 +4710,7 @@ Dados un dominio
 \end_inset
 
  no trivial, si 
-\begin_inset Formula $I(a)=I(b)$
+\begin_inset Formula $(a)I=(b)I$
 \end_inset
 
  entonces 
@@ -3600,7 +4718,15 @@ Dados un dominio
 \end_inset
 
 .
- Esto no es cierto en general cuando los ideales no son principales.
+ Esto no es cierto en general si se cambian 
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $(b)$
+\end_inset
+
+ por ideales no principales.
 \begin_inset ERT
 status open
 
@@ -3617,60 +4743,6 @@ end{exinfo}
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Dados 
-\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
-\end_inset
-
-, en general 
-\begin_inset Formula $I\cdot J$
-\end_inset
-
- no es un ideal.
- En efecto, sean 
-\begin_inset Formula $A\coloneqq\mathbb{Z}[x,y]=\mathbb{Z}[x][y]$
-\end_inset
-
- e 
-\begin_inset Formula $I\coloneqq(x,y)\trianglelefteq A$
-\end_inset
-
-, entonces 
-\begin_inset Formula $x^{2},y^{2},xy\in I\cdot I$
-\end_inset
-
-, y si 
-\begin_inset Formula $I\cdot I$
-\end_inset
-
- fuera un ideal sería 
-\begin_inset Formula $p\coloneqq x^{2}+xy+y^{2}\in I\cdot I$
-\end_inset
-
- y por tanto habría 
-\begin_inset Formula $q=a_{0}x+b_{0}y+\dots,r=a_{1}x+b_{1}y+\dots\in I$
-\end_inset
-
- con 
-\begin_inset Formula $p=qr$
-\end_inset
-
-, pero entonces 
-\begin_inset Formula $a_{0}a_{1},b_{0}b_{1},a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}=1$
-\end_inset
-
-, pero como los coeficientes son enteros las dos primeras ecuaciones implican
- 
-\begin_inset Formula $a_{0}=a_{1},b_{0}=b_{1}\in\{\pm1\}$
-\end_inset
-
- y por tanto 
-\begin_inset Formula $a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}\in\{\pm2\}\#$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
 Para 
 \begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
 \end_inset
@@ -3720,7 +4792,7 @@ completamente idempotente
 \end_inset
 
  cumple 
-\begin_inset Formula $I=I^{2}\coloneqq I\cdot I$
+\begin_inset Formula $I=I^{2}$
 \end_inset
 
 , si y sólo si para todo 
@@ -3789,11 +4861,11 @@ Sea
 \end_inset
 
  la proyección canónica, 
-\begin_inset Formula $J=\pi^{-1}(0)$
+\begin_inset Formula $J=\ker\pi$
 \end_inset
 
 , luego 
-\begin_inset Formula $f^{-1}(J)=(\pi\circ f)^{-1}(0)$
+\begin_inset Formula $f^{-1}(J)=f^{-1}(\pi^{-1}(0))=\ker(\pi\circ f)$
 \end_inset
 
  es un ideal.
@@ -3831,19 +4903,19 @@ extensión
 \begin_deeper
 \begin_layout Standard
 Sean 
-\begin_inset Formula $f(a)\in\text{Im}f$
-\end_inset
-
- para cierto 
 \begin_inset Formula $a\in A$
 \end_inset
 
  y 
-\begin_inset Formula $f(x),f(y)\in f(I)$
+\begin_inset Formula $x,y\in I$
 \end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $x,y\in I$
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $f(a)\in\text{Im}f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(x),f(y)\in f(I)$
 \end_inset
 
 , 
@@ -3877,15 +4949,11 @@ La inclusión
 \end_inset
 
  es un homomorfismo de anillos y 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\trianglelefteq A$
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
 , pero 
-\begin_inset Formula $\iota(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$
-\end_inset
-
- no es ideal de 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\begin_inset Formula $\iota(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\ntrianglelefteq\mathbb{Q}$
 \end_inset
 
 .
@@ -3921,7 +4989,7 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben.
 \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
 \end_inset
 
-, sabemos que 
+, 
 \begin_inset Formula $f(I)\trianglelefteq\text{Im}f$
 \end_inset
 
@@ -3929,7 +4997,7 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben.
 \begin_inset Formula $J\trianglelefteq\text{Im}f$
 \end_inset
 
-, sabemos que 
+, 
 \begin_inset Formula $f^{-1}(J)\trianglelefteq A$
 \end_inset
 
@@ -3938,11 +5006,11 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben.
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $f^{-1}(0)=\ker f\subseteq f^{-1}(J)$
+\begin_inset Formula $\ker f=f^{-1}(0)\subseteq f^{-1}(J)$
 \end_inset
 
 .
- Ahora vemos que la extensión y la contracción son inversas una de la otra.
+ Veamos ahora que la extensión y la contracción son inversas una de la otra.
  Por teoría de conjuntos, para todo 
 \begin_inset Formula $J\subseteq\text{Im}f$
 \end_inset
@@ -4010,10 +5078,14 @@ Si
 \end_inset
 
  es la proyección canónica, 
-\begin_inset Formula $\rho:\{J\trianglelefteq A:I\subseteq J\}\to\{K\trianglelefteq A/I\}$
+\begin_inset Formula 
+\[
+\rho:\{J\trianglelefteq A:I\subseteq J\}\to\{K\trianglelefteq A/I\}
+\]
+
 \end_inset
 
- dada por 
+dada por 
 \begin_inset Formula $\rho(J)\coloneqq J/I\coloneqq p(J)=\{x+I\}_{x\in J}$
 \end_inset
 
@@ -4137,7 +5209,11 @@ Hay tantos ideales de
 \begin_inset Formula $m$
 \end_inset
 
- positivos ya que los negativos son sus asociados.
+ positivos ya que los negativos son sus asociados y 
+\begin_inset Formula $(0)=(n)$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -4198,7 +5274,7 @@ Para
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $f(x)=\overline{f}(p(x))=h(0+I)=0$
+\begin_inset Formula $f(x)=\overline{f}(p(x))=\overline{f}(0)=0$
 \end_inset
 
 , luego 
@@ -4456,6 +5532,121 @@ Sea
 
 \end_deeper
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\series bold
+característica
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{\geq0}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es el menor entero positivo con 
+\begin_inset Formula $n1_{A}=0_{A}$
+\end_inset
+
+, o 0 si no existe tal 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo conmutativo, 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to A$
+\end_inset
+
+ el único homomorfismo de anillos (
+\begin_inset Formula $f(n)=n1$
+\end_inset
+
+) y 
+\begin_inset Formula $n\geq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene característica 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\ker f=n\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, si y sólo si el subanillo primo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es isomorfo a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ contiene un subanillo isomorfo a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ [...] La característica de un dominio no trivial es 0 o un número primo.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 \begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
 \end_inset
 
@@ -4571,7 +5762,7 @@ Para
 \begin_inset Formula $x\in I_{1}\cap I_{2}$
 \end_inset
 
-, existen 
+, como existen 
 \begin_inset Formula $a\in I_{1}$
 \end_inset
 
@@ -4583,7 +5774,7 @@ Para
 \begin_inset Formula $a+b=1$
 \end_inset
 
-, luego 
+, 
 \begin_inset Formula $x=ax+bx$
 \end_inset
 
@@ -4644,6 +5835,22 @@ status open
 
 
 \backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
 begin{exinfo}
 \end_layout
 
@@ -4726,7 +5933,7 @@ Teorema chino de los restos:
 \end_inset
 
  dado por 
-\begin_inset Formula $\phi(x)=(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$
+\begin_inset Formula $\phi(x)\coloneqq(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$
 \end_inset
 
  es un homomorfismo con núcleo 
@@ -5211,15 +6418,11 @@ Un anillo
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es 
-\series bold
-local
-\series default
- si tiene un único ideal maximal 
+ tiene un único ideal maximal 
 \begin_inset Formula $M$
 \end_inset
 
-, si y sólo si 
+ si y sólo si 
 \begin_inset Formula $A\setminus A^{*}$
 \end_inset
 
@@ -5227,8 +6430,11 @@ local
 \begin_inset Formula $M=A\setminus A^{*}$
 \end_inset
 
-.
- Entonces decimos que 
+, y entonces decimos que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
 \begin_inset Formula $(A,M)$
 \end_inset
 
@@ -5240,12 +6446,7 @@ local
 \series bold
 anillo local
 \series default
-.
- Si 
-\begin_inset Formula $(A,M)$
-\end_inset
-
- es un anillo local, 
+, y 
 \begin_inset Formula $1+M$
 \end_inset
 
@@ -5254,6 +6455,15 @@ anillo local
 \end_inset
 
 .
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ es un anillo local si y sólo si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es potencia de primo.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -5425,8 +6635,8 @@ para
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, haciendo
- 
+Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando
+ la recurrencia 
 \begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq q$
 \end_inset
 
@@ -5434,7 +6644,7 @@ Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, haciendo
 \begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq r$
 \end_inset
 
- y la recurrencia 
+, 
 \begin_inset Formula $q_{i-1}=r_{i}q_{i}+q_{i+1}$
 \end_inset
 
@@ -5467,120 +6677,6 @@ Se va despejando hacia atrás, haciendo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
-\end_inset
-
- es 
-\series bold
-nil
-\series default
- si está contenido en 
-\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$
-\end_inset
-
-, y en tal caso:
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\forall a\in A,(a+I\in(A/I)^{*}\implies a\in A^{*})$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Si 
-\begin_inset Formula $A/I$
-\end_inset
-
- no tiene idempotentes distintos de 
-\begin_inset Formula $\overline{0}$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $\overline{1}$
-\end_inset
-
-, tampoco los tiene 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Si 
-\begin_inset Formula $I$
-\end_inset
-
- es maximal, 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- es un anillo local.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-end{exinfo}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
-\end_inset
-
- es 
-\series bold
-nilpotente
-\series default
- si existe 
-\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
-\end_inset
-
- tal que 
-\begin_inset Formula $I^{n}=0$
-\end_inset
-
-, donde 
-\begin_inset Formula $I^{0}\coloneqq A$
-\end_inset
-
- y, para 
-\begin_inset Formula $n>0$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $I^{n}\coloneqq II^{n-1}$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-begin{exinfo}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-Todo ideal nil finitamente generado es nilpotente.
 \begin_inset ERT
 status open
 
@@ -5625,7 +6721,7 @@ primo
 \end_inset
 
  es un dominio, si y sólo si 
-\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\forall I_{1},\dots,I_{n}\trianglelefteq A,(I_{1}\cdots I_{n}\subseteq J\implies\exists k:I_{k}\subseteq J)$
+\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\forall J_{1},\dots,J_{n}\trianglelefteq A,(J_{1}\cdots J_{n}\subseteq I\implies\exists k:J_{k}\subseteq I)$
 \end_inset
 
 .
@@ -5674,11 +6770,11 @@ primo
 \end_inset
 
  Si fuera cada 
-\begin_inset Formula $I_{k}\nsubseteq J$
+\begin_inset Formula $J_{k}\nsubseteq I$
 \end_inset
 
 , sea 
-\begin_inset Formula $x_{k}\in I_{k}\setminus J$
+\begin_inset Formula $x_{k}\in J_{k}\setminus I$
 \end_inset
 
  para cada 
@@ -5686,11 +6782,11 @@ primo
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $x_{1}\cdots x_{n}\in I_{1}\cdots I_{n}\subseteq J$
+\begin_inset Formula $x_{1}\cdots x_{n}\in J_{1}\cdots J_{n}\subseteq I$
 \end_inset
 
 , pero si 
-\begin_inset Formula $J$
+\begin_inset Formula $I$
 \end_inset
 
  es primo existe 
@@ -5698,7 +6794,7 @@ primo
 \end_inset
 
  con 
-\begin_inset Formula $x_{j}\in J\#$
+\begin_inset Formula $x_{j}\in I\#$
 \end_inset
 
 .
@@ -5713,30 +6809,79 @@ primo
 \end_inset
 
  con 
-\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}\in J$
+\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}\in I$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $(a_{1})(a_{2})=(a_{1}a_{2})\subseteq J$
+\begin_inset Formula $(a_{1})(a_{2})=(a_{1}a_{2})\subseteq I$
 \end_inset
 
 , luego por hipótesis 
 \begin_inset Formula $(a_{1})\subseteq J$
 \end_inset
 
+ o 
+\begin_inset Formula $(a_{2})\subseteq J$
+\end_inset
+
  y por tanto 
 \begin_inset Formula $a_{1}\in J$
 \end_inset
 
  o 
-\begin_inset Formula $(a_{2})\subseteq J$
+\begin_inset Formula $a_{2}\in J$
 \end_inset
 
- y por tanto 
-\begin_inset Formula $a_{2}\in J$
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+[Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo y 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+,] 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es primo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es un ideal primo no nulo de 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
 .
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -5886,11 +7031,11 @@ Para
 \begin_inset Formula $n>1$
 \end_inset
 
-, supuesto esto probado para 
+, suponemos esto probado para 
 \begin_inset Formula $n-1$
 \end_inset
 
-, si fuera 
+, y suponemos por reducción al absurdo que 
 \begin_inset Formula $I\nsubseteq J_{k}$
 \end_inset
 
@@ -5898,11 +7043,12 @@ Para
 \begin_inset Formula $k$
 \end_inset
 
-, para cada 
+.
+ Para cada 
 \begin_inset Formula $i$
 \end_inset
 
-, 
+, como 
 \begin_inset Formula $I\subseteq J_{k}$
 \end_inset
 
@@ -5910,7 +7056,11 @@ Para
 \begin_inset Formula $k\neq i$
 \end_inset
 
- y por tanto existe 
+, 
+\begin_inset Formula $I\nsubseteq\bigcup_{k\neq i}J_{k}$
+\end_inset
+
+ y existe 
 \begin_inset Formula $a_{i}\in I$
 \end_inset
 
@@ -5918,7 +7068,7 @@ Para
 \begin_inset Formula $a_{i}\notin\bigcup_{k\neq i}J_{k}$
 \end_inset
 
- y por tanto 
+, por lo que 
 \begin_inset Formula $a_{i}\in J_{i}$
 \end_inset
 
@@ -6143,7 +7293,7 @@ contra-inductivo
 \series bold
 Lema de Zorn dual:
 \series default
- Todo conjunto contra-inductivo tiene al menos un elemento minimal.
+ Todo conjunto contra-inductivo no vacío tiene al menos un elemento minimal.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -6177,8 +7327,8 @@ primo minimal
 \begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$
 \end_inset
 
- contiene a 
-\begin_inset Formula $I$
+ con 
+\begin_inset Formula $I\subseteq Q$
 \end_inset
 
 , 
@@ -6292,7 +7442,7 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula $Q$
 \end_inset
 
- y, si 
+, y si 
 \begin_inset Formula $J'$
 \end_inset
 
@@ -6872,5 +8022,2840 @@ Si
  es un radical si y sólo si es intersección de ideales primos.
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+nil
+\series default
+ si está contenido en 
+\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$
+\end_inset
+
+, y en tal caso:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall a\in A,(a+I\in(A/I)^{*}\implies a\in A^{*})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A/I$
+\end_inset
+
+ no tiene idempotentes distintos de 
+\begin_inset Formula $\overline{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overline{1}$
+\end_inset
+
+, tampoco los tiene 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es maximal, 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo local.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo ideal nil finitamente generado es nilpotente.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Dominios euclídeos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un dominio 
+\begin_inset Formula $D\neq0$
+\end_inset
+
+, una función 
+\begin_inset Formula $\delta:D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+euclídea
+\series default
+ si cumple:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall a,b\in D\setminus\{0\},(a\mid b\implies\delta(a)\leq\delta(b))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D:(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+dominio euclídeo
+\series default
+ es uno que admite una función euclídea.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El valor absoluto es una función euclídea en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El cuadrado del módulo complejo es una función euclídea en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[i]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+ una función euclídea en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ un ideal de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a\in I\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\[
+I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x).
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Todo dominio euclídeo es DIP.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+ es una función euclídea en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, un elemento 
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+ es una unidad si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\delta(a)=\delta(1)$
+\end_inset
+
+, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall x\in D\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Cuerpos de fracciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $D\neq0$
+\end_inset
+
+ un dominio y 
+\begin_inset Formula $X:=D\times(D\setminus\{0\})$
+\end_inset
+
+, definimos la relación binaria 
+\begin_inset Formula 
+\[
+(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}.
+\]
+
+\end_inset
+
+ Esta relación es de equivalencia.
+ Llamamos 
+\begin_inset Formula $a/s:=\frac{a}{s}:=[(a,s)]\in Q(D):=X/\sim$
+\end_inset
+
+, y las operaciones
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+\frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}},
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+están bien definidas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $a,b\in D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{0}{1}\iff a=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{1}{1}\iff a=s$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{at}{st}=\frac{a}{s}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{b}{s}\iff a=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{a}{s}+\frac{b}{s}=\frac{a+b}{s}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] 
+\begin_inset Formula $(Q(D),+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo llamado 
+\series bold
+cuerpo de fracciones
+\series default
+ o 
+\series bold
+de cocientes
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ cuyo cero es 
+\begin_inset Formula $\frac{0}{1}$
+\end_inset
+
+ y cuyo uno es 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{1}$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ es el cuerpo de fracciones de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+.
+ [...] 
+\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $u(a):=a/1$
+\end_inset
+
+ es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ como un subdominio de 
+\begin_inset Formula $Q(D)$
+\end_inset
+
+ identificando a cada 
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a/1\in Q(D)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Propiedad universal del cuerpo de fracciones:
+\series default
+ Dados un dominio 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $u(a):=a/1$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo y 
+\begin_inset Formula $f:D\to K$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo inyectivo, el único homomorfismo de cuerpos 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(D)\to K$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
+\end_inset
+
+ viene dado por 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{a}{s})=f(a)f(s)^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo no trivial y 
+\begin_inset Formula $g,h:Q(D)\to K$
+\end_inset
+
+ homomorfismos que coinciden en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $g=h$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ un cuerpo no trivial y 
+\begin_inset Formula $v:D\to F$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo inyectivo tal que para todo cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ y homomorfismo inyectivo 
+\begin_inset Formula $f:D\to K$
+\end_inset
+
+ existe un único homomorfismo 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:F\to K$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
+\end_inset
+
+, entonces existe un isomorfismo 
+\begin_inset Formula $\phi:F\to Q(D)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\phi\circ v=u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un dominio, 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo no trivial y 
+\begin_inset Formula $f:D\to K$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo inyectivo, 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ contiene un subcuerpo isomorfo a 
+\begin_inset Formula $Q(D)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí, para 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])\cong\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
+\end_inset
+
+, lo que nos permite identificar los elementos de 
+\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])$
+\end_inset
+
+ con los de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo 
+\begin_inset Formula $K'$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ llamado 
+\series bold
+subcuerpo primo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ contenido en cualquier subcuerpo de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, y este es isomorfo a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
+\end_inset
+
+ si la característica de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es un entero primo 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ o a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ en caso contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Polinomios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ identificando los elementos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ con los 
+\series bold
+polinomios constantes
+\series default
+, de la forma 
+\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Dado un ideal 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0}\in I\}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $I[X]:=\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$
+\end_inset
+
+ son ideales de 
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+grado
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(p):=\max\{k\in\mathbb{N}:p_{k}\neq0\}$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+coeficiente
+\series default
+ de 
+\series bold
+grado
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $p_{k}$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+coeficiente independiente
+\series default
+ al de grado 0 y 
+\series bold
+coeficiente principal
+\series default
+ al de grado 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$
+\end_inset
+
+.
+ Un polinomio es 
+\series bold
+mónico
+\series default
+ si su coeficiente princial es 1.
+ El polinomio 0 tiene grado 
+\begin_inset Formula $-\infty$
+\end_inset
+
+ por convención.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+monomio
+\series default
+ es un polinomio de la forma 
+\begin_inset Formula $aX^{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Todo polinomio en 
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única
+ salvo orden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ tienen coeficientes principales respectivos 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$
+\end_inset
+
+, con desigualdad estricta si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p+q=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$
+\end_inset
+
+, con igualdad si y sólo si 
+\begin_inset Formula $pq\neq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ no es un cuerpo.
+ Es un dominio si y sólo si lo es 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, en cuyo caso llamamos 
+\series bold
+cuerpo de las funciones racionales
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ al cuerpo de fracciones de 
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] 
+\series bold
+Propiedad universal del anillo de polinomios
+\series default
+ (
+\series bold
+PUAP
+\series default
+)
+\series bold
+:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo y 
+\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$
+\end_inset
+
+ el homomorfismo inclusión:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para cada homomorfismo de anillos conmutativos 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+, el único homomorfismo 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula 
+\[
+\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados
+ un homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $v:A\to P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $t\in P$
+\end_inset
+
+ tales que, para cada homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+, existe un único 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$
+\end_inset
+
+, existe un isomorfismo 
+\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\phi(X)=t$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+homomorfismo de sustitución
+\series default
+ o 
+\series bold
+de evaluación
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$
+\end_inset
+
+ dado por
+\begin_inset Formula 
+\[
+S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n},
+\]
+
+\end_inset
+
+y su imagen es el subanillo generado por 
+\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$
+\end_inset
+
+, llamado 
+\begin_inset Formula $A[b]$
+\end_inset
+
+.
+ Todo 
+\begin_inset Formula $p\in A[X]$
+\end_inset
+
+ induce una 
+\series bold
+función polinómica
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\hat{p}(b):=S_{b}(p)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, el homomorfismo de sustitución 
+\begin_inset Formula $S_{X+a}$
+\end_inset
+
+ es un automorfismo de 
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ con inverso 
+\begin_inset Formula $S_{X-a}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo conmutativo, 
+\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ induce un homomorfismo 
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$
+\end_inset
+
+ dado por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n},
+\]
+
+\end_inset
+
+que es inyectivo o suprayectivo si lo es 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ lo es de 
+\begin_inset Formula $B[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es un ideal de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+homomorfismo de reducción de coeficientes módulo 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$
+\end_inset
+
+ dado por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}.
+\]
+
+\end_inset
+
+Su núcleo es 
+\begin_inset Formula $I[X]$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Sean 
+\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$
+\end_inset
+
+, si el coeficiente principal de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es invertible en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, existen dos únicos polinomios 
+\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$
+\end_inset
+
+, llamados respectivamente 
+\series bold
+cociente
+\series default
+ y 
+\series bold
+resto
+\series default
+ de la 
+\series bold
+división
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ entre 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+, tales que 
+\begin_inset Formula $f=gq+r$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$
+\end_inset
+
+ [...].
+ En particular, el grado es una función euclídea.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema del resto:
+\series default
+ Dados 
+\begin_inset Formula $f\in A[X]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, el resto de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ entre 
+\begin_inset Formula $X-a$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $f(a)$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí se obtiene el 
+\series bold
+teorema de Ruffini
+\series default
+, que dice que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es divisible por 
+\begin_inset Formula $X-a$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $f(a)=0$
+\end_inset
+
+, en cuyo caso 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+raíz
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $f\in A[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $m:=\max\{k\in\mathbb{N}:(X-a)^{k}\mid f\}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos a 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+multiplicidad
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es raíz de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $m\geq1$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos que 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+raíz simple
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $m=1$
+\end_inset
+
+ y que es una 
+\series bold
+raíz compuesta
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $m>1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La multiplicidad de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es el único natural 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$
+\end_inset
+
+ para algún 
+\begin_inset Formula $g\in A[X]$
+\end_inset
+
+ del que 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ no es raíz.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un dominio, 
+\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ elementos de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+ y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, y el número de raíces, no son superiores a 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Principio de las identidades polinómicas:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un dominio:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para 
+\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
+\end_inset
+
+, si las funciones polinómicas 
+\begin_inset Formula $f,g:D\to D$
+\end_inset
+
+ coinciden en 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ elementos de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$
+\end_inset
+
+, los polinomios 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son iguales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+ define dos funciones polinómicas distintas en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo
+ 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, todos los elementos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
+\end_inset
+
+ son raíces de 0 y 
+\begin_inset Formula $X^{p}-X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un anillo conmutativo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+derivada
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$
+\end_inset
+
+, y escribimos 
+\begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ Dados 
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un dominio 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ de característica 0, 
+\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+, la multiplicidad de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ es el menor 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un dominio y 
+\begin_inset Formula $p\in D$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ si y sólo si lo es en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es primo en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+, lo es en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU, 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ si y sólo si lo es en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+, si y sólo si es primo en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, si y sólo si lo es en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un DFU, definimos 
+\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\varphi(a)$
+\end_inset
+
+ es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles
+ de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, contando repetidos, y para 
+\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU, 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es su cuerpo de fracciones y 
+\begin_inset Formula $f\in D[X]$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+, es irreducible en 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+.
+ [...] 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU si y sólo si lo es 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Si 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU y 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$
+\end_inset
+
+ y, en particular, si 
+\begin_inset Formula $x\in D$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[x]$
+\end_inset
+
+ es el conjunto de los asociados de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos 
+\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ Esto está bien definido.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$
+\end_inset
+
+ tal que, para 
+\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c(p):=\{x:x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$
+\end_inset
+
+, y para 
+\begin_inset Formula $p\in K[X]$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $ap\in D[X]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c(p):=a^{-1}c(ap)$
+\end_inset
+
+.
+ Esto está bien definido.
+ Si 
+\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+contenido
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $a=c(p)$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $a\in K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p\in K[X]$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p\in D[X]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a\mid p$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $a\mid c(p)$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un polinomio 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+primitivo
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $c(p)=1$
+\end_inset
+
+, esto es, si 
+\begin_inset Formula $p\in D[X]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Lema de Gauss:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$
+\end_inset
+
+, y en particular 
+\begin_inset Formula $fg$
+\end_inset
+
+ es primitivo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ lo son.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$
+\end_inset
+
+ primitivo, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+ si y sólo si lo es en 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$
+\end_inset
+
+, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que si 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU con cuerpo de fracciones 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, los irreducibles de 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+ son precisamente los de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y los polinomios primitivos de 
+\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$
+\end_inset
+
+ irreducibles en 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Sean 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo y 
+\begin_inset Formula $f\in K[X]$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene una raíz en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no es irreducible en 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+ si y sólo si no tiene raíces en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU con cuerpo de fracciones 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+, todas las raíces de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ son de la forma 
+\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterio de reducción:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $\phi:D\to K$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo de anillos donde 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU y 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo, 
+\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$
+\end_inset
+
+ el homomorfismo inducido por 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ un polinomio primitivo de 
+\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En particular, si 
+\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ es primo, 
+\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$
+\end_inset
+
+ es primitivo, 
+\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterio de Eisenstein:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un DFU, 
+\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$
+\end_inset
+
+ primitivo y 
+\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$
+\end_inset
+
+, si existe un irreducible 
+\begin_inset Formula $p\in D$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en 
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y existe 
+\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ cuya multiplicidad en 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 1, 
+\begin_inset Formula $X^{n}-a$
+\end_inset
+
+ es irreducible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para 
+\begin_inset Formula $n\geq3$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+raíces 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas de la unidad
+\series default
+ o 
+\series bold
+de 1
+\series default
+ a las raíces de 
+\begin_inset Formula $X^{n}-1$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+, que son los 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vértices del 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ágono regular inscrito en el círculo unidad de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ con un vértice en el 1.
+ 
+\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X):=X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimo polinomio ciclotómico
+\series default
+ y sus raíces en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ son las raíces 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas de 1 distintas de 1.
+ En 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$
+\end_inset
+
+, pero si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es primo, 
+\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$
+\end_inset
+
+ es irreducible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Dados un anillo conmutativo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+, definimos el 
+\series bold
+anillo de polinomios
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ indeterminadas con coeficientes en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]:=A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+indeterminadas
+\series default
+ a los símbolos 
+\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+polinomios en 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ indeterminadas
+\series default
+ a los elementos de 
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+ Dados un anillo conmutativo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ no es un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ es un dominio si y sólo si lo es 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un dominio, 
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ es un DFU si y sólo si lo es 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ es un DIP si y sólo si 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $i:=(i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$
+\end_inset
+
+, llamamos a 
+\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+monomio
+\series default
+ de 
+\series bold
+tipo
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ y coeficiente 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+ Todo 
+\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo,
+\begin_inset Formula 
+\[
+p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}},
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $p_{i}=0$
+\end_inset
+
+ para casi todo 
+\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+PUAP en 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ indeterminadas:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo conmutativo, 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ la inclusión:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados un homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
+\end_inset
+
+, existe un único homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados un anillo conmutativo 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$
+\end_inset
+
+ y un homomorfismo 
+\begin_inset Formula $v:A\to P$
+\end_inset
+
+ tales que, dados un homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
+\end_inset
+
+, existe un único homomorfismo 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+, existe un isomorfismo 
+\begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados dos anillos conmutativos 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+homomorfismo de sustitución
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$
+\end_inset
+
+ viene dado por 
+\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n}):=S(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ Su imagen es el subanillo de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ generado por 
+\begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$
+\end_inset
+
+, y dados dos homomorfismos de anillos 
+\begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f=g$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo y 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ una permutación de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$
+\end_inset
+
+ con inversa 
+\begin_inset Formula $\tau:=\sigma^{-1}$
+\end_inset
+
+, tomando 
+\begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$
+\end_inset
+
+ en el punto anterior obtenemos un automorfismo 
+\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ con inversa 
+\begin_inset Formula $\hat{\tau}$
+\end_inset
+
+ que permuta las indeterminadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+, por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo homomorfismo de anillos conmutativos 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ induce un homomorfismo 
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ dado por 
+\begin_inset Formula $\hat{f}(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+grado
+\series default
+ de un monomio 
+\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$
+\end_inset
+
+, y grado de 
+\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$
+\end_inset
+
+, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios
+ de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un polinomio es 
+\series bold
+homogéneo
+\series default
+ de grado 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ si es suma de monomios de grado 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos
+ de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en
+ la expresión como suma de monomios.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un dominio, 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$
+\end_inset
+
+ para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \end_body
 \end_document