Edición tema 1 AC

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diff --git a/ac/n1.lyx b/ac/n1.lyx
index 488d056..b76855a 100644
--- a/ac/n1.lyx
+++ b/ac/n1.lyx
@@ -89,7 +89,7 @@ grupo abeliano
 \begin_inset Formula $(A,+)$
 \end_inset
 
- formada por un conjunto 
+ formado por un conjunto 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -151,7 +151,153 @@ producto
 \end_inset
 
 ).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos 
+\begin_inset Formula $a-b\coloneqq a+(-b)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $ab\coloneqq a\cdot b$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo y 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, definimos 
+\begin_inset Formula $0a=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a^{0}=1$
+\end_inset
+
+ y, para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a,b,c\in A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a0=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+pues 
+\begin_inset Formula $a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0\implies0=a0$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+
  
+\begin_inset Formula $-(-a)=a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+pues 
+\begin_inset Formula $x=-(-a)\implies0=x+(-a)\implies a=x+(-a)+a=x$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $a-b=c\iff b+c=a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+pues 
+\begin_inset Formula $a-b=c\implies a=a-b+b=c+b=b+c$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b+c=a\implies c=-b+b+c=-b+a=a-b$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $(a-b)c=ac-bc$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues 
+\begin_inset Formula $(a-b)c+bc=ac-bc+bc=ac\implies ac-bc=(a-b)c$
+\end_inset
+
+,
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(-a)b=-(ab)$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues 
+\begin_inset Formula $(-a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -255,6 +401,10 @@ anillo producto
 
 \begin_layout Enumerate
 Dado un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
 \begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$
 \end_inset
 
@@ -274,7 +424,7 @@ anillo de las series de potencias
 \begin_inset Formula $a\in A$
 \end_inset
 
- se suele escribir con la notación 
+ se suele denotar como 
 \begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$
 \end_inset
 
@@ -282,150 +432,81 @@ anillo de las series de potencias
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos 
-\begin_inset Formula $a-b\coloneqq a+(-b)$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $ab\coloneqq a\cdot b$
-\end_inset
-
-.
- Si 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- es un anillo y 
-\begin_inset Formula $a\in A$
-\end_inset
-
-, definimos 
-\begin_inset Formula $0a=0$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a^{0}=1$
-\end_inset
-
- y, para 
-\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
-\end_inset
+\begin_inset ERT
+status open
 
-, 
-\begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$
-\end_inset
+\begin_layout Plain Layout
 
- y 
-\begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$
-\end_inset
 
-.
+\backslash
+begin{reminder}{ga}
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-Dados un anillo 
-\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $a,b,c\in A$
-\end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a0=0$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-pues 
-\begin_inset Formula $a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0\implies0=a0$
-\end_inset
-
-;
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $Y^{X}$
 \end_inset
 
- 
-\begin_inset Formula $-(-a)=a$
+ al conjunto de funciones de 
+\begin_inset Formula $X$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-pues 
-\begin_inset Formula $x=-(-a)\implies0=x+(-a)\implies a=x+(-a)+a=x$
+ a 
+\begin_inset Formula $Y$
 \end_inset
 
-;
-\end_layout
-
+.
+ [...] Si 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- 
-\begin_inset Formula $a-b=c\iff b+c=a$
+ es un anillo [...], 
+\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-pues 
-\begin_inset Formula $a-b=c\implies a=a-b+b=c+b=b+c$
+ es un anillo [...].
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $b+c=a\implies c=-b+b+c=-b+a=a-b$
+ es un anillo y 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
-;
-\end_layout
-
+ es un entero positivo, el conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$
 \end_inset
 
- 
-\begin_inset Formula $(a-b)c=ac-bc$
+ de matrices cuadradas en 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-, pues 
-\begin_inset Formula $(a-b)c+bc=ac-bc+bc=ac\implies ac-bc=(a-b)c$
+ de tamaño 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
-,
+ es un anillo con la suma y el producto habituales.
 \end_layout
 
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $(-a)b=-(ab)$
-\end_inset
-
-
-\begin_inset Note Comment
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-, pues 
-\begin_inset Formula $(-a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab$
-\end_inset
 
 
+\backslash
+end{reminder}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
-.
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -551,7 +632,7 @@ Un
 \series bold
 isomorfismo de anillos
 \series default
- es un homomorfismo biyectivo, y entonces su inversa es un homomorfismo.
+ es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo.
  En efecto, sea 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
@@ -621,7 +702,7 @@ trivial
 \begin_inset Formula $0$
 \end_inset
 
-, al único con un solo elemento, o en el que 
+, al único con un solo elemento, o el único con 
 \begin_inset Formula $1=0$
 \end_inset
 
@@ -870,7 +951,19 @@ nilpotente
 \begin_inset Formula $a^{n}=0$
 \end_inset
 
-, en cuyo caso es divisor de 0, pues tomando el menor 
+, en cuyo caso, si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ no es trivial, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es divisor de cero, pues el 0 es claramente divisor de cero y, si 
+\begin_inset Formula $a\neq0$
+\end_inset
+
+, tomando el menor 
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
@@ -904,11 +997,12 @@ nilradical
 \end_inset
 
  nilpotentes.
- El 1 es invertible y no nilpotente, y si 
+ El 1 es invertible.
+ El 0 es nilpotente y, si 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es no trivial, el 0 es nilpotente y no unidad.
+ es no trivial, es no unidad.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -941,7 +1035,7 @@ Si
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $u+a\in U(A)$
+\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$
 \end_inset
 
 .
@@ -1070,7 +1164,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $m<0$
 \end_inset
 
- entonces 
+, 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}$
 \end_inset
 
@@ -1086,7 +1180,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$
 \end_inset
 
- entonces 
+, 
 \begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$
 \end_inset
 
@@ -1198,6 +1292,418 @@ cuerpo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular
+ lo es todo dominio finito.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un dominio 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a,b\in D$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+divide a
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+divisor
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+múltiplo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a\mid b$
+\end_inset
+
+, si existe 
+\begin_inset Formula $c\in D$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $ac=b$
+\end_inset
+
+.
+ Esta relación es reflexiva y transitiva, y para 
+\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $a\mid b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a\mid c$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$
+\end_inset
+
+.
+ Dos elementos 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+asociados
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $a\mid b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b\mid a$
+\end_inset
+
+, si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $u\in D^{*}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $b=au$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $b=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=0$
+\end_inset
+
+ y tomamos 
+\begin_inset Formula $u=1$
+\end_inset
+
+.
+ En otro caso, sean 
+\begin_inset Formula $c,d\in D$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $ac=b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $bd=a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b=ac=bdc$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $dc=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ es unidad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo [...] y 
+\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+irreducible
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$
+\end_inset
+
+, y es 
+\series bold
+primo
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un dominio, todo primo es irreducible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Irreducible en un dominio no implica primo.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un anillo [...] 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S\subseteq A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+máximo común divisor
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
+\end_inset
+
+[
+\begin_inset Formula $=\gcd S$
+\end_inset
+
+], si divide a cada elemento de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un 
+\series bold
+mínimo común múltiplo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
+\end_inset
+
+[
+\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$
+\end_inset
+
+], si es múltiplo de cada elemento de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ y divide a cada elemento que cumple esto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+dominio de factorización única
+\series default
+ (DFU) es un dominio 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ en el que, para 
+\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$
+\end_inset
+
+ irreducibles con 
+\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$
+\end_inset
+
+ son irreducibles con 
+\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $n=m$
+\end_inset
+
+ y existe una permutación 
+\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$
+\end_inset
+
+ tal que cada 
+\begin_inset Formula $b_{i}$
+\end_inset
+
+ es asociado a 
+\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$
+\end_inset
+
+.
+ Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles.
+ También lo son 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y los anillos de polinomios sobre un DFU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Para 
 \begin_inset Formula $n\geq2$
 \end_inset
@@ -1262,7 +1768,11 @@ Si fuera
 \begin_inset Formula $r$
 \end_inset
 
- es divisor de 0.
+ es divisor de cero.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -1400,7 +1910,7 @@ Sea
 \end_inset
 
  y este a 
-\begin_inset Formula $r$
+\begin_inset Formula $r^{m}$
 \end_inset
 
 , luego 
@@ -1431,18 +1941,15 @@ Sea
 \begin_inset Formula $1\implies2]$
 \end_inset
 
- Obvio.
+ Visto.
 \end_layout
 
 \begin_layout Description
 \begin_inset Formula $2\implies3]$
 \end_inset
 
- Si 
-\begin_inset Formula $n$
-\end_inset
-
- no fuera primo, existen 
+ Probamos el contrarrecíproco.
+ Si existen 
 \begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
@@ -1454,7 +1961,7 @@ Sea
 \begin_inset Formula $n=pq$
 \end_inset
 
-, luego 
+, 
 \begin_inset Formula $p$
 \end_inset
 
@@ -1614,410 +2121,6 @@ La descomposición en primos de
 \end_layout
 
 \end_deeper
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-begin{exinfo}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular
- lo es todo dominio finito.
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-end{exinfo}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Dados un dominio 
-\begin_inset Formula $D$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $a,b\in D$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a$
-\end_inset
-
- 
-\series bold
-divide a
-\series default
- 
-\begin_inset Formula $b$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a$
-\end_inset
-
- es 
-\series bold
-divisor
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $b$
-\end_inset
-
- o 
-\begin_inset Formula $b$
-\end_inset
-
- es 
-\series bold
-múltiplo
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $a$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a\mid b$
-\end_inset
-
-, si existe 
-\begin_inset Formula $c\in D$
-\end_inset
-
- con 
-\begin_inset Formula $ac=b$
-\end_inset
-
-.
- Esta relación es reflexiva y transitiva, y para 
-\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$
-\end_inset
-
-, si 
-\begin_inset Formula $a\mid b$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $a\mid c$
-\end_inset
-
-, entonces 
-\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$
-\end_inset
-
-.
- Dos elementos 
-\begin_inset Formula $a$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $b$
-\end_inset
-
- son 
-\series bold
-asociados
-\series default
- si 
-\begin_inset Formula $a\mid b$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $b\mid a$
-\end_inset
-
-, si y sólo si existe 
-\begin_inset Formula $u\in D^{*}$
-\end_inset
-
- con 
-\begin_inset Formula $b=au$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Itemize
-\begin_inset Argument item:1
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\implies]$
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-Si 
-\begin_inset Formula $b=0$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a=0$
-\end_inset
-
- y tomamos 
-\begin_inset Formula $u=1$
-\end_inset
-
-.
- En otro caso, sean 
-\begin_inset Formula $c,d\in D$
-\end_inset
-
- con 
-\begin_inset Formula $ac=b$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $bd=a$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $b=ac=bdc$
-\end_inset
-
-, luego 
-\begin_inset Formula $dc=1$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $c$
-\end_inset
-
- es unidad.
-\end_layout
-
-\begin_layout Itemize
-\begin_inset Argument item:1
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\impliedby]$
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-begin{reminder}{GyA}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Sean 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- un anillo [...] y 
-\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a$
-\end_inset
-
- es 
-\series bold
-irreducible
-\series default
- en 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- si 
-\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$
-\end_inset
-
-, y es 
-\series bold
-primo
-\series default
- en 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- si 
-\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Si 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- es un dominio, todo primo es irreducible.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Irreducible en un dominio no implica primo.
- [...]
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Dados un anillo [...] 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $S\subseteq A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a\in A$
-\end_inset
-
- es un 
-\series bold
-máximo común divisor
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $S$
-\end_inset
-
- en 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
-\end_inset
-
-, si divide a cada elemento de 
-\begin_inset Formula $S$
-\end_inset
-
- y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un 
-\series bold
-mínimo común múltiplo
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $S$
-\end_inset
-
- en 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
-\end_inset
-
-, si es múltiplo de cada elemento de 
-\begin_inset Formula $S$
-\end_inset
-
- y divide a cada elemento que cumple esto.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-end{reminder}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Un 
-\series bold
-dominio de factorización única
-\series default
- (DFU) es un dominio 
-\begin_inset Formula $D$
-\end_inset
-
- en el que, para 
-\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
-\end_inset
-
-, existen 
-\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$
-\end_inset
-
- irreducibles con 
-\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$
-\end_inset
-
-, y si 
-\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$
-\end_inset
-
- son irreducibles con 
-\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$
-\end_inset
-
-, entonces 
-\begin_inset Formula $n=m$
-\end_inset
-
- y existe una permutación 
-\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$
-\end_inset
-
- tal que cada 
-\begin_inset Formula $b_{i}$
-\end_inset
-
- es asociado con 
-\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$
-\end_inset
-
-.
- Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles.
- También lo son 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
-\end_inset
-
- y los anillos de polinomios sobre un DFU.
-\end_layout
-
 \begin_layout Section
 Subanillos
 \end_layout
@@ -2066,7 +2169,7 @@ subanillo
 \begin_inset Formula $1\implies2]$
 \end_inset
 
- Basta tomar el homomorfismo identidad.
+ Basta tomar el homomorfismo inclusión.
 \end_layout
 
 \begin_layout Description
@@ -2169,11 +2272,11 @@ anillo
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $A[x]$
+\begin_inset Formula $A[X]$
 \end_inset
 
 , es el subanillo de 
-\begin_inset Formula $A\llbracket x\rrbracket$
+\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket$
 \end_inset
 
  formado por las series con una cantidad finita de elementos no nulos, y
@@ -2182,7 +2285,7 @@ anillo
 \end_inset
 
  es un subanillo de 
-\begin_inset Formula $A[x]$
+\begin_inset Formula $A[X]$
 \end_inset
 
  identificando 
@@ -2381,11 +2484,11 @@ Sean
 \begin_inset Formula $a\equiv a',b\equiv b'\in A$
 \end_inset
 
-, sean 
+, entonces 
 \begin_inset Formula $x\coloneqq a-a',y\coloneqq b-b'\in I$
 \end_inset
 
-, entonces 
+, luego 
 \begin_inset Formula $a+b=a'+x+b'+y=a'+b'+(x+y)$
 \end_inset
 
@@ -2417,11 +2520,11 @@ Sean
 
  es un anillo con los neutros y simétricos indicados.
  Además, 
-\begin_inset Formula $p(1)=[1]$
+\begin_inset Formula $p(1)=\overline{1}$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $p(a+b)=[a+b]=[a]+[b]=p(a)+p(b)$
+\begin_inset Formula $p(a+b)=\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}=p(a)+p(b)$
 \end_inset
 
  y del mismo modo 
@@ -2429,7 +2532,7 @@ Sean
 \end_inset
 
 , y 
-\begin_inset Formula $p(x)=[x]=0\iff x-0=x\in I$
+\begin_inset Formula $p(x)=\overline{x}=0\iff x-0=x\in I$
 \end_inset
 
 .
@@ -2465,7 +2568,7 @@ ideal impropio
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, que es el único que contiene una unidad.
+, el único que contiene una unidad.
  En efecto, si 
 \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
 \end_inset
@@ -2482,6 +2585,10 @@ ideal impropio
 \begin_inset Formula $a=(au^{-1})u\in I$
 \end_inset
 
+, luego 
+\begin_inset Formula $I=A$
+\end_inset
+
 .
  
 \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
@@ -2520,27 +2627,6 @@ Dados anillos
 \end_inset
 
 .
- Si 
-\begin_inset Formula $e\in A$
-\end_inset
-
- es idempotente, para 
-\begin_inset Formula $a\in A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$
-\end_inset
-
-, con lo que 
-\begin_inset Formula $(e)$
-\end_inset
-
- es un anillo con identidad 
-\begin_inset Formula $e$
-\end_inset
-
-.
 \begin_inset ERT
 status open
 
@@ -2557,7 +2643,7 @@ end{exinfo}
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-La intersección de toda familia de ideales de 
+La intersección de una familia de ideales de 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -2581,7 +2667,7 @@ ideal de
 \end_inset
 
  generado por 
-\begin_inset Formula $G$
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
 
@@ -2589,7 +2675,7 @@ ideal de
  a
 \begin_inset Formula 
 \[
-(S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A:G\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}},
+(S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A:S\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}},
 \]
 
 \end_inset
@@ -2718,7 +2804,7 @@ ideal principal
 \begin_inset Formula $b'\mid b$
 \end_inset
 
- y en un dominio 
+, y en un dominio 
 \begin_inset Formula $(b)=(b')$
 \end_inset
 
@@ -2767,8 +2853,29 @@ Dado un anillo
 \begin_inset Formula $(X,Y)$
 \end_inset
 
- no es principal de 
-\begin_inset Formula $A[X,Y]$
+ no es un ideal principal de 
+\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $e\in A$
+\end_inset
+
+ es idempotente, para 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $(e)$
+\end_inset
+
+ es un anillo con identidad 
+\begin_inset Formula $e$
 \end_inset
 
 .
@@ -2815,15 +2922,19 @@ Dado
 \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
 \end_inset
 
-, si existe 
+, si 
+\begin_inset Formula $I\neq0$
+\end_inset
+
+, existe 
 \begin_inset Formula $e\in I\setminus\{0\}$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $1=e^{-1}e\in I$
+, pero 
+\begin_inset Formula $e$
 \end_inset
 
- e 
+ es unidad, luego 
 \begin_inset Formula $I=A$
 \end_inset
 
@@ -2875,12 +2986,12 @@ Un
 \series bold
 dominio de ideales principales
 \series default
- (DIP) es uno en que todos los ideales son principales, como 
+ (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales, como 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
  y 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[x]$
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
 \end_inset
 
  para todo cuerpo 
@@ -2981,8 +3092,8 @@ Dados subconjuntos
 \end_inset
 
 .
- Si 
-\begin_inset Formula $S_{1}\eqqcolon\{a\}$
+ Para 
+\begin_inset Formula $a\in A$
 \end_inset
 
 , llamamos 
@@ -3019,50 +3130,7 @@ Dados subconjuntos
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-El 
-\series bold
-ideal suma
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
-\end_inset
-
- es el ideal 
-\begin_inset Formula $I+J$
-\end_inset
-
-
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-, pues si 
-\begin_inset Formula $a\in A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $x,x'\in I$
-\end_inset
-
- e 
-\begin_inset Formula $y,y'\in J$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $(x+y)+(x'+y')=(x+x')+(y+y')\in I+J$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $a(x+y)=ax+ay\in I+J$
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-.
- Si 
+Si 
 \begin_inset Formula $S_{1},S_{2}\subseteq A$
 \end_inset
 
@@ -3070,10 +3138,6 @@ status open
 \begin_inset Formula $(S_{1})+(S_{2})=(S_{1}\cup S_{2})$
 \end_inset
 
-, con lo que 
-\begin_inset Formula $I+J=(I\cup J)$
-\end_inset
-
 .
 \begin_inset Note Comment
 status open
@@ -3188,7 +3252,19 @@ Sea
 
 \end_inset
 
+ Llamamos 
+\series bold
+ideal suma
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $I+J=(I\cup J)$
+\end_inset
 
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -3273,7 +3349,7 @@ ideal producto
  es 
 \begin_inset Formula 
 \[
-IJ\coloneqq(I\cdot J)=\{x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}\}_{n\in\mathbb{N},x\in I^{n},y\in J^{n}}\subseteq I\cap J.
+IJ\coloneqq(I\cdot J)=\{x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}\}_{x_{i}\in I,y_{i}\in J,\forall i}\subseteq I\cap J.
 \]
 
 \end_inset
@@ -3353,6 +3429,32 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $I^{0}\coloneqq A$
+\end_inset
+
+ y, para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $I^{n+1}\coloneqq II^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Here
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Si 
 \begin_inset Formula $S_{1},S_{2}\subseteq A$
 \end_inset
@@ -3397,23 +3499,19 @@ Usando combinaciones lineales, los elementos de
 \begin_inset Formula $y_{j}\in S_{2}$
 \end_inset
 
-, pero entonces 
+, pero 
 \begin_inset Formula $x_{i}y_{j}\in S_{1}\cdot S_{2}$
 \end_inset
 
- y, como 
-\begin_inset Formula $(S_{1}\cdot S_{2})$
-\end_inset
-
- es un ideal, 
-\begin_inset Formula $(a_{i}b_{j})(x_{i}y_{j})$
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $a_{i}b_{j}x_{i}y_{j}$
 \end_inset
 
  está en 
 \begin_inset Formula $(S_{1}\cdot S_{2})$
 \end_inset
 
- y la suma de estos elementos también.
+, y la suma de elementos de este tipo también.
 \end_layout
 
 \begin_layout Itemize