Encontrado tema 2 de varias 2

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diff --git a/fvv2/n2.lyx b/fvv2/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..56b1b12
--- /dev/null
+++ b/fvv2/n2.lyx
@@ -0,0 +1,1980 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebras
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+álgebra de partes
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ es un conjunto no vacío 
+\begin_inset Formula ${\cal A}\subseteq{\cal P}(\Omega)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal A}\implies A^{\complement}\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A,B\in{\cal A}\implies A\cup B\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\Omega=A\cup A^{\complement}\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\emptyset=\Omega^{\complement}\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A\cap B=(A^{\complement}\cup B^{\complement})^{\complement}\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A\backslash B=A\cap B^{\complement}\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A\Delta B:=(A\backslash B)\cup(B\backslash A)\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+ (diferencia simétrica).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra de partes
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ es un álgebra 
+\begin_inset Formula $\Sigma\subseteq{\cal P}(\Omega)$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{n=\mathbb{N}}A_{n}\in\Sigma$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}^{\complement}\right)^{\complement}\in\Sigma$
+\end_inset
+
+.
+ Para que un álgebra 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ sea una 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra basta que la condición adicional se cumpla para sucesiones crecientes
+ (
+\begin_inset Formula $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots$
+\end_inset
+
+), pues si 
+\begin_inset Formula $A_{n}\in{\cal A}\forall n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, tomando la sucesión creciente 
+\begin_inset Formula $U_{n}:=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$
+\end_inset
+
+, vemos que 
+\begin_inset Formula $A:=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_{n}\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La mínima 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra de partes de 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\{\emptyset,\Omega\}$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra trivial
+\series default
+, y la máxima es 
+\begin_inset Formula ${\cal P}(\Omega)$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ es infinito, la familia formada por los subconjuntos finitos de 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ y sus complementarios es una 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra, al igual que la formada por los subconjuntos numerables y sus
+ complementarios si 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ es infinito no numerable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\{\Sigma_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ es un conjunto de álgebras, su intersección 
+\begin_inset Formula $\Sigma:=\bigcap_{\alpha\in A}\Sigma_{\alpha}$
+\end_inset
+
+ es un álgebra, y si los 
+\begin_inset Formula $\Sigma_{\alpha}$
+\end_inset
+
+ son todos 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebras la intersección también lo es, sin más que aplicar la definición
+ en cada álgebra del conjunto.
+ Así, llamamos 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra generada
+\series default
+ por 
+\begin_inset Formula ${\cal D}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\sigma({\cal D})$
+\end_inset
+
+, a la mínima 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra que contiene a 
+\begin_inset Formula ${\cal D}$
+\end_inset
+
+, es decir, la intersección de todas ellas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ un espacio topológico, llamando 
+\begin_inset Formula ${\cal J}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula ${\cal K}$
+\end_inset
+
+ a las familias formadas, respectivamente, por los abiertos, cerrados y
+ compactos de 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra de Borel
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(T):=\sigma({\cal J})=\sigma({\cal F})$
+\end_inset
+
+, y sus elementos son los 
+\series bold
+conjuntos de Borel
+\series default
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ es un abierto en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(T)=\sigma({\cal K})$
+\end_inset
+
+, pues cada abierto es unión numerable de compactos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+, escribimos 
+\begin_inset Formula $a<b:\iff a_{i}<b_{i}\forall i\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+, y análogamente para 
+\begin_inset Formula $a\leq b$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a<b$
+\end_inset
+
+, escribimos 
+\begin_inset Formula $[a,b):=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})$
+\end_inset
+
+, y definimos 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(a,b]$
+\end_inset
+
+ de forma análoga.
+ Si 
+\begin_inset Formula $b_{i}-a_{i}=\delta>0\forall i\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+, se dice que el intervalo es un 
+\series bold
+cubo
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-dimensional de lado 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $[a,b)\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+cubo diádico semiabierto
+\series default
+ de orden 
+\begin_inset Formula $q\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ si su lado es 
+\begin_inset Formula $2^{-q}$
+\end_inset
+
+ y para cada 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $m_{i}\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a_{i}=m_{i}2^{-q}$
+\end_inset
+
+.
+ Fijado 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+, cada punto de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ está en un único cubo diádico semiabierto de orden 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $q<p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ son cubos diádicos semiabiertos de órdenes respectivos 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $P\subseteq Q$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $P\cap Q=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cada abierto 
+\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ se puede expresar como unión de una sucesión numerable de cubos diádicos
+ semiabiertos disjuntos.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para cada 
+\begin_inset Formula $x\in G$
+\end_inset
+
+ llamamos 
+\begin_inset Formula $Q_{x}$
+\end_inset
+
+ al mayor cubo diádico 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\in Q\subseteq G$
+\end_inset
+
+, que existe por ser 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ abierto, y entonces 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{x\in G}Q_{x}=G$
+\end_inset
+
+ y, como sólo hay una cantidad de cubos diádicos numerables en total, 
+\begin_inset Formula $\{Q_{x}\}_{x\in G}$
+\end_inset
+
+ es numerable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Medidas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra 
+\begin_inset Formula $\Sigma$
+\end_inset
+
+ de partes de 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+, una función 
+\begin_inset Formula $\mu:\Sigma\rightarrow[0,+\infty]$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+medida
+\series default
+ (numerablemente aditiva) sobre 
+\begin_inset Formula $\Sigma$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\mu(\emptyset)=0$
+\end_inset
+
+ y para toda familia 
+\begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\Sigma$
+\end_inset
+
+ de conjuntos disjuntos se cumple 
+\begin_inset Formula $\sigma(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Si existe decimos que 
+\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+espacio medible
+\series default
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio de medida
+\series default
+ es una terna 
+\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$
+\end_inset
+
+ es un espacio medible y 
+\begin_inset Formula $\mu$
+\end_inset
+
+ es una medida sobre este.
+ Decimos que 
+\begin_inset Formula $E\in\Sigma$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-finito
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ se puede expresar como 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\{E_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mu(E_{n})<+\infty\forall n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-finito decimos que el espacio de medida 
+\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-finito y la medida 
+\begin_inset Formula $\mu$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-finita.
+ Por ejemplo, sean 
+\begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\Sigma:={\cal P}(\Omega)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
+\end_inset
+
+, la función dada por 
+\begin_inset Formula $\mu(E):=\sum_{x\in E}f(x)$
+\end_inset
+
+ es una medida en 
+\begin_inset Formula $\Sigma$
+\end_inset
+
+, que es 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-finita si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\{x\in\Omega:f(x)>0\}$
+\end_inset
+
+ es numerable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades de un espacio de medida:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Monotonía
+\series default
+: Para 
+\begin_inset Formula $A,B\in\Sigma$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\mu(A)\leq\mu(B)$
+\end_inset
+
+, y si además 
+\begin_inset Formula $\mu(B)<+\infty$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\mu(B\backslash A)=\mu(B)-\mu(A)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+B=A\cup(B\backslash A)\implies\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\backslash A)\geq\mu(A)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Subaditividad
+\series default
+: Para 
+\begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})\leq\sum_{n}\mu(A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si llamamos 
+\begin_inset Formula $B_{1}:=A_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B_{n}:=A_{n}\backslash\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n>1$
+\end_inset
+
+, nos queda una sucesión 
+\begin_inset Formula $\{B_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$
+\end_inset
+
+ de elementos disjuntos con 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$
+\end_inset
+
+, y usando la monotonía, 
+\begin_inset Formula $\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n})=\sum_{n}\mu(B_{n})\leq\sum_{n}\mu(A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Continuidad superior
+\series default
+: Si 
+\begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$
+\end_inset
+
+ es creciente (
+\begin_inset Formula $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots$
+\end_inset
+
+), 
+\begin_inset Formula $\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\lim_{n}\mu(A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Construyendo 
+\begin_inset Formula $(B_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ como en la prueba anterior, tenemos 
+\begin_inset Formula $B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n>1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}B_{k}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n})=\sum_{n}\mu(B_{n})=\lim_{n}\sum_{k=1}^{n}\mu(B_{k})=\lim_{n}\mu(\bigcup_{k=1}^{n}B_{k})=\lim_{n}\mu(A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Continuidad inferior
+\series default
+: Si 
+\begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$
+\end_inset
+
+ es decreciente (
+\begin_inset Formula $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq\dots$
+\end_inset
+
+) con 
+\begin_inset Formula $\mu(A_{m})<+\infty$
+\end_inset
+
+ para algún 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\mu(\bigcap_{n}A_{n})=\lim_{n}\mu(A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Basta aplicar la continuidad superior a la sucesión creciente 
+\begin_inset Formula $(A_{m}\backslash A_{n+m})_{n}$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\mu\left(\bigcap_{n}A_{n}\right)=\mu\left(A_{m}\backslash\bigcup_{n}(A_{m}\backslash A_{n+m})\right)=\mu(A_{m})-\mu\left(\bigcup_{n}(A_{m}\backslash A_{n+m})\right)=\\
+=\mu(A_{m})-\lim_{n}\mu(A_{m}\backslash A_{n+m})=\mu(A_{m})-(\mu(A_{m})-\lim_{n}\mu(A_{n+m}))=\lim_{n}\mu(A_{n+m})
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Medida exterior de Lebesgue
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+medida exterior
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ es una función 
+\begin_inset Formula $\mu^{*}:{\cal P}(\Omega)\rightarrow[0,+\infty]$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\mu^{*}(\emptyset)=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B\implies\mu^{*}(A)\leq\mu^{*}(B)$
+\end_inset
+
+ y si 
+\begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión de subconjuntos de 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\mu^{*}(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+medida exterior 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-dimensional de Lebesgue
+\series default
+ de un subconjunto 
+\begin_inset Formula $B\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lambda_{n}^{*}(B):=\inf\left\{ \sum_{k\in\mathbb{N}}v([a_{k},b_{k})):B\subseteq\dot{\bigcup_{k\in\mathbb{N}}}[a_{k},b_{k})\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Cada conjunto 
+\begin_inset Formula $N\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ de medida nula tiene medida exterior 0.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para cada rectángulo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-dimensional 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(R)=v(R)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\leq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Como el borde de 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ tiene medida nula, si los extremos de 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $a<b$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(R)=\lambda_{n}^{*}([a,b))\leq v([a,b))=v(R)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\geq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Como el borde de 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ tiene medida nula podemos suponer que es cerrado y por tanto compacto,
+ y si 
+\begin_inset Formula $R\subseteq\bigcup_{k}[a_{k},b_{k})$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $a'_{k}<a_{k}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $v((a'_{k},b_{k}))\leq v([a_{k},b_{k}))+\frac{\varepsilon}{2^{k}}$
+\end_inset
+
+.
+ Al ser 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ compacto, existen 
+\begin_inset Formula $k_{1},\dots,k_{m}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $R\subseteq\bigcup_{i=1}^{m}(a'_{k_{i}},b_{k_{i}})$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $v(R)\leq\sum_{i=1}^{m}v((a'_{k_{i}},b_{k_{i}}))\leq\sum_{k\in\mathbb{N}}v([a_{k},b_{k}))+\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Tomando ínfimos en los cubrimientos de 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ de la forma dada y haciendo 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ tender a 0, tenemos 
+\begin_inset Formula $v(R)\leq\lambda_{n}^{*}(R)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Para cada familia finita de rectángulos disjuntos 
+\begin_inset Formula $\{R_{1},\dots,R_{p}\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(\bigcup_{j=1}^{p}R_{j})=\sum_{j=1}^{p}\lambda_{n}^{*}(R_{j})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\leq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Por definición.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\geq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Haciendo los 
+\begin_inset Formula $R_{j}$
+\end_inset
+
+ un poco más pequeños podemos suponer que son compactos disjuntos y por
+ tanto separados a una distancia 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ usando 
+\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{j=1}^{p}R_{j}$
+\end_inset
+
+ está cubierto por una unión numerable de rectángulos semiabiertos 
+\begin_inset Formula $[a_{k},b_{k})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\sum_{k}v([a_{k},b_{k}))\leq\lambda_{n}^{*}(\bigcup_{j=1}^{p}R_{j})+\varepsilon$
+\end_inset
+
+, podemos suponer que los lados de estos son menores que 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+ y por tanto solo pueden cortan a uno de los 
+\begin_inset Formula $R_{j}$
+\end_inset
+
+.
+ Usando el apartado anterior,
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\sum_{j=1}^{p}\lambda_{n}^{*}(R_{j})=\sum_{j=1}^{p}v(R_{j})\leq\sum_{j=1}^{p}\sum_{[a_{k},b_{k})\cap R_{j}\neq\emptyset}v([a_{k},b_{k}))\leq\\
+\leq\sum_{k}v([a_{k},b_{k}))\leq\lambda_{n}^{*}\left(\bigcup_{j=1}^{p}R_{j}\right)+\varepsilon
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+y haciendo tender 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ a 0 obtenemos 
+\begin_inset Formula $\sum_{j=1}^{p}\lambda_{n}^{*}(R_{j})\leq\lambda_{n}^{*}(\bigcup_{j=1}^{p}R_{j})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ existe un abierto 
+\begin_inset Formula $A\supseteq S$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A)\leq\lambda_{n}^{*}(S)+\varepsilon$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(S)=\inf\{\lambda_{n}^{*}(A):A\supseteq S\text{ abierto}\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $([a_{k},b_{k}))_{k}$
+\end_inset
+
+ una sucesión de rectángulos semiabiertos disjuntos dos a dos con 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\bigcup_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})<\lambda_{n}^{*}(S)+\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Para cada 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, existe un rectángulo abierto 
+\begin_inset Formula $(a'_{k},b_{k})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v((a'_{k},b_{k}))<v([a_{k},b_{k}))\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A:=\bigcup_{k=1}^{+\infty}(a'_{k},b_{k}))\leq\sum_{k=1}^{+\infty}((a'_{k},b_{k}))<\sum_{k=1}^{+\infty}(v([a_{k},b_{k}))+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}})=\sum_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})+\frac{\varepsilon}{2}<\lambda_{n}^{*}(S)+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\lambda_{n}^{*}(S)+\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Medida de Lebesgue
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $M\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+medible
+\series default
+ (
+\series bold
+Lebesgue
+\series default
+) si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists A_{\varepsilon}:(M'\subseteq A_{\varepsilon}\land\lambda_{n}^{*}(A_{\varepsilon}\backslash M)<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es medible, su 
+\series bold
+medida de Lebesgue
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}(M):=\lambda_{n}^{*}(M)$
+\end_inset
+
+.
+ Todos los abiertos, conjuntos de medida nula y rectángulos 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-dimensionales son medibles.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $M\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es medible, existe una sucesión de abiertos 
+\begin_inset Formula $(A_{k})_{k}$
+\end_inset
+
+ tal que su intersección 
+\begin_inset Formula $B:=\bigcap_{k}A_{k}$
+\end_inset
+
+ cumple que 
+\begin_inset Formula $M\subseteq B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B\backslash M$
+\end_inset
+
+ tiene medida nula.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Basta tomar los 
+\begin_inset Formula $A_{k}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $M\subseteq A_{k}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A_{k}\backslash M)<\frac{1}{k}$
+\end_inset
+
+ y ver que 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}(B\backslash M)\leq\lambda_{n}(A_{k}\backslash M)<\frac{1}{k}\forall k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+conjuntos 
+\begin_inset Formula $G_{\delta}$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ a las intersecciones numerables de abiertos, por lo que este teorema dice
+ que los conjuntos medibles son diferencias de un 
+\begin_inset Formula $G_{\delta}$
+\end_inset
+
+ y un conjunto de medida nula.
+ Si 
+\begin_inset Formula $M:=\bigcup_{k}M_{k}$
+\end_inset
+
+ es unión numerable de conjuntos medibles, 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es medible y 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}(M)\leq\sum_{k}\lambda_{n}(M_{k})$
+\end_inset
+
+ sin más que incluir cada 
+\begin_inset Formula $M_{k}$
+\end_inset
+
+ en un abierto 
+\begin_inset Formula $A_{k}$
+\end_inset
+
+ a distancia 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A_{k}\backslash M_{k})<\frac{\varepsilon}{2^{k}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cada cerrado 
+\begin_inset Formula $F\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es medible.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Basta ver que los compactos 
+\begin_inset Formula $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ lo son, pues los cerrados son unión numerable de compactos.
+ Veamos primero que si 
+\begin_inset Formula $d(A,B)>0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A\cup B)=\lambda_{n}^{*}(A)+\lambda_{n}^{*}(B)$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $A\supseteq K$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}(A)\leq\lambda_{n}^{*}(K)+\frac{\varepsilon}{2}<+\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $A\backslash K$
+\end_inset
+
+ es abierto, es unión numerable de cubos diádicos disjuntos 
+\begin_inset Formula $([a_{k},b_{k}))_{k}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A\backslash K)=\sum_{k}\lambda_{n}^{*}([a_{k},b_{k}))$
+\end_inset
+
+.
+ Para cada 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $[a_{k},b'_{k}]\subseteq[a_{k},b_{k})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}([a_{k},b_{k}))\leq\lambda_{n}^{*}([a_{k},b'_{k}])+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es compacto, está a distancia positiva de 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{k=1}^{N}[a_{k},b'_{k}]$
+\end_inset
+
+ y por lo demostrado al principio, 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}(A)\geq\lambda_{n}^{*}\left(K\cup\bigcup_{k=1}^{N}[a_{k},b'_{k}]\right)=\lambda_{n}^{*}(K)+\sum_{k=1}^{n}\lambda([a_{k},b'_{k}])$
+\end_inset
+
+ y despejando de aquí queda que 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A\backslash K)\leq\frac{\varepsilon}{2}+\sum_{k}\lambda_{n}^{*}([a_{k},b'_{k}])\leq\frac{\varepsilon}{2}+\lambda_{n}(A)-\lambda_{n}^{*}(K)<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+conjuntos 
+\begin_inset Formula $F_{\sigma}$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ a las uniones numerables de conjuntos cerrados, y sabemos que son medibles.
+ Si 
+\begin_inset Formula $M\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es medible, 
+\begin_inset Formula $M^{\complement}$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Existe un 
+\begin_inset Formula $G_{\delta}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $B:=\bigcap_{k}A_{k}$
+\end_inset
+
+ tl que 
+\begin_inset Formula $M=B\backslash N$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ de medida nula, luego 
+\begin_inset Formula $M^{\complement}=(B\backslash N)^{\complement}=N\cup B^{\complement}=N\cup B$
+\end_inset
+
+ es medible por ser unión de 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ que, al tener medida nula, es medible, y 
+\begin_inset Formula $B^{\complement}=\bigcup A_{k}^{\complement}$
+\end_inset
+
+, que es un 
+\begin_inset Formula $F_{\sigma}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Con esto tenemos, como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, que la familia de subconjuntos medibles de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es una 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es medible si y sólo si para 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ existe un cerrado 
+\begin_inset Formula $F_{\varepsilon}\subseteq M$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(M\backslash F_{\varepsilon})<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, si y sólo si existen un 
+\begin_inset Formula $F_{\sigma}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ y un 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ de medida nula con 
+\begin_inset Formula $M=C\cup N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $(M_{k})_{k}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión de medibles disjuntos, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lambda\left(\bigcup_{k}M_{k}\right)=\sum_{k}\lambda(M_{k})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Basta ver que 
+\begin_inset Formula $\lambda(\bigcup_{k}M_{k})\geq\sum_{k}\lambda(M_{k})$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos primero que los 
+\begin_inset Formula $M_{k}$
+\end_inset
+
+ son acotados, y fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ elegimos un compacto 
+\begin_inset Formula $F_{k}\subseteq M_{k}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda(F_{k})<\lambda(M_{k})<\lambda(F_{k})+\frac{\varepsilon}{2^{k}}$
+\end_inset
+
+.
+ Estos compactos son disjuntos, luego 
+\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{m}\lambda(M_{k})<\sum_{k=1}^{m}\lambda(F_{k})+\varepsilon=\lambda(\bigcup_{k}F_{k})+\varepsilon\leq\lambda(\bigcup_{k}M_{k})+\varepsilon$
+\end_inset
+
+, y haciendo a 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ tender a infinito obtenemos la desigualdad buscada.
+ Pasando al caso general, existe una sucesión de rectángulos semiabiertos
+ disjuntos 
+\begin_inset Formula $[a_{j},b_{j})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{k}M_{k}\subseteq\bigcup_{j}[a_{j},b_{j})$
+\end_inset
+
+, y aplicando lo anterior al conjunto numerable de medibles acotados y disjuntos
+ 
+\begin_inset Formula $\{M_{k}\cap[a_{j},b_{j})\}_{j,k\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+, se tiene 
+\begin_inset Formula $\sum_{k}\lambda(M_{k})=\sum_{j}\sum_{k}\lambda(M_{k}\cap[a_{j},b_{j}))=\sum_{j}\lambda\left(\bigcup_{k}M_{k}\cap[a_{j},b_{j})\right)=\lambda\left(\bigcup_{j}\bigcup_{k}M_{k}\cap[a_{j},b_{j})\right)=\lambda\left(\left(\bigcup_{k}M_{k}\right)\cap\left(\bigcup_{j}[a_{j},b_{j})\right)\right)=\lambda\left(\bigcup_{k}M_{k}\right)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Caratheodory
+\series default
+ afirma que 
+\begin_inset Formula $E\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es medible Lebesgue si y sólo si 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}$
+\end_inset
+
+-medible, es decir, 
+\begin_inset Formula $\forall A\subseteq\mathbb{R}^{n},\lambda_{n}^{*}(A)=\lambda_{n}^{*}(A\cap E)+\lambda_{n}^{*}(A\cap E^{\complement})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A)=\lambda_{n}^{*}((A\cap E)\cup(A\cap E^{\complement}))\leq\lambda_{n}^{*}(A\cap E)+\lambda_{n}^{*}(A\cap E^{\complement})$
+\end_inset
+
+.
+ Para la otra desigualdad, aproximamos los cubrimientos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ con rectángulos semiabiertos mediante cubrimientos abiertos un poco más
+ grandes y encontramos un 
+\begin_inset Formula $G_{\delta}$
+\end_inset
+
+ medible 
+\begin_inset Formula $H\supseteq A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A)=\lambda(H)=\lambda(H\cap E)+\lambda(H\cap E^{\complement})\geq\lambda_{n}^{*}(A\cap E)+\lambda_{n}^{*}(A\cap E^{\complement})$
+\end_inset
+
+, ya que 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ son medibles.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si la medida exterior de 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es finita, vemos que existe un 
+\begin_inset Formula $G_{\delta}$
+\end_inset
+
+ medible 
+\begin_inset Formula $H\supseteq E$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(E)=\lambda(H)$
+\end_inset
+
+, y poniendo 
+\begin_inset Formula $A=H$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(E)=\lambda(H)=\lambda_{n}^{*}(H\cap E)+\lambda_{n}^{*}(H\cap E^{\complement})=\lambda_{n}^{*}(E)+\lambda_{n}^{*}(H\backslash E)$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $H\backslash E$
+\end_inset
+
+ tiene medida nula y por tanto es medible y 
+\begin_inset Formula $E=H\backslash(H\backslash E)$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ Si la medida exterior de 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es infinita, sea 
+\begin_inset Formula $E_{k}=E\cap[-k,k]^{n}$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, cada uno de estos conjuntos tiene medida exterior finita y se puede aproximar
+ exteriormente por un 
+\begin_inset Formula $G_{\delta}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $H_{k}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda(H_{k})=\lambda_{n}^{*}(E_{k})$
+\end_inset
+
+, y haciendo 
+\begin_inset Formula $A=H_{k}$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lambda(H_{k})=\lambda_{n}^{*}(H_{k}\cap E)+\lambda_{n}^{*}(H_{k}\cap E^{\complement})\geq\lambda_{n}^{*}(E_{k})$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $H_{k}\cap E^{\complement}$
+\end_inset
+
+ tiene medida nula y como 
+\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{k}H_{k}$
+\end_inset
+
+ es medible, entonces 
+\begin_inset Formula $E\subseteq H$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H\cap E^{\complement}=\bigcup_{k}H_{k}\cap E^{\complement}$
+\end_inset
+
+ tiene medida nula, luego 
+\begin_inset Formula $E=H\backslash(H\cap E^{\complement})$
+\end_inset
+
+ es medible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Invarianza
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El
+\series bold
+ teorema de invarianza por traslaciones
+\series default
+ afirma que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Las 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebras de los conjuntos de Borel 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$
+\end_inset
+
+ y los medibles Lebesgue 
+\begin_inset Formula ${\cal M}(\lambda_{n})$
+\end_inset
+
+ son invariantes por traslaciones.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula ${\cal M}(\lambda_{n})$
+\end_inset
+
+, el traslado de un rectángulo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-dimensional semiabierto es otro con el mismo volumen.
+ Para 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$
+\end_inset
+
+, la familia de los traslados de una 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra es una 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra, y como el traslado de un abierto es un abierto, 
+\begin_inset Formula $x+{\cal B}(\mathbb{R}^{n})\subseteq{\cal B}(\mathbb{R}^{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\mu$
+\end_inset
+
+ es una medida definida en 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$
+\end_inset
+
+ e invariante por traslaciones, entonces 
+\begin_inset Formula $\mu=c\lambda_{n}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c:=\mu([0,1)^{n})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $\mu$
+\end_inset
+
+ es invariante por traslaciones, 
+\begin_inset Formula $\mu$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c\lambda_{n}$
+\end_inset
+
+ son iguales para los cubos diádicos y por tanto también para los abiertos.
+ Como la familia de conjuntos donde ambas medidas coinciden es una 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+-álgebra que contiene a los abiertos, también contiene a todos los elementos
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+transformación Lipschitziana
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula 
+\[
+\exists c\in\mathbb{R}:\forall x,y\in\mathbb{R}^{n},\Vert T(x)-T(y)\Vert\leq c\Vert x-y\Vert
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, toda aplicación Lipschitziana lleva conjuntos medibles a conjuntos medibles.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Al ser 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ continua, lleva compactos a compactos.
+ Como los cerrados son uniones numerables de compactos, 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ lleva conjuntos 
+\begin_inset Formula $F_{\sigma}$
+\end_inset
+
+ a conjuntos 
+\begin_inset Formula $F_{\sigma}$
+\end_inset
+
+.
+ Como lleva intervalos 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ a conjuntos 
+\begin_inset Formula $F_{\sigma}$
+\end_inset
+
+ contenidos en un diámetro menor que 
+\begin_inset Formula $c\cdot\text{diám}([a,b))$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ lleva conjuntos de medida nula a otros de medida nula.
+ Como cada conjunto medible es unión de un 
+\begin_inset Formula $F_{\sigma}$
+\end_inset
+
+ y uno de medida nula, 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ lleva medibles a medibles.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De estos dos teoremas se deduce el 
+\series bold
+teorema para transformaciones lineales
+\series default
+, que afirma que si 
+\begin_inset Formula $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es lineal y 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es medible, 
+\begin_inset Formula $\lambda_{n}(T(E))=c\lambda_{n}(E)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c:=\lambda_{n}(T([0,1)^{n}))=|\det(T)|$
+\end_inset
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+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document