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@@ -3230,5 +3230,550 @@ si y sólo si . \end_layout +\begin_layout Section +Isometrías locales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +isometría local +\series default + entre dos superficies regulares +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + es una función diferenciable +\begin_inset Formula $\phi:S_{1}\to S_{2}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $p\in S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v,w\in T_{p}S_{1}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $\langle d\phi_{p}(v),d\phi_{p}(w)\rangle=\langle v,w\rangle$ +\end_inset + +, es decir, tal que +\begin_inset Formula $d\phi_{p}:T_{p}S_{1}\to T_{\phi(p)}S_{2}$ +\end_inset + + es una isometría lineal. + Entonces +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + conserva ángulos, longitudes y áreas de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + +, pero su existencia no implica que exista una isometría lineal +\begin_inset Formula $\psi:S_{2}\to S_{1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +isometría +\series default + ( +\series bold +global +\series default +) entre +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + es una isometría local que es un difeomorfismo. + +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + son ( +\series bold +globalmente +\series default +) +\series bold +isométricas +\series default + si existe una isometría global entre ellas, y son +\series bold +localmente isométricas +\series default + si para cada +\begin_inset Formula $p\in S_{1}$ +\end_inset + + hay un entorno +\begin_inset Formula $V\subseteq S_{1}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y una isometría global +\begin_inset Formula $\phi:V\to\phi(V)\subseteq S_{2}$ +\end_inset + + y para cada +\begin_inset Formula $q\in S_{2}$ +\end_inset + + hay un entorno +\begin_inset Formula $W\subseteq S_{2}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y una isometría global +\begin_inset Formula $\psi:W\to\phi(W)\subseteq S_{1}$ +\end_inset + +. + Si existe una isometría local entre +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + son localmente isométricos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +sremember{TS} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(\pi_{1}(X,x),*)$ +\end_inset + + es un grupo, llamado +\series bold +grupo fundamental +\series default + [...] de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + relativo al +\series bold +punto base +\series default + +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + [...] +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es +\series bold +simplemente conexo +\series default + si es conexo por caminos y +\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x)$ +\end_inset + + es el grupo trivial [...] para todo +\begin_inset Formula $x\in X$ +\end_inset + +. + [...] Todo subespacio estrellado de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + es simplemente conexo. + [...] El grupo fundamental de +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$ +\end_inset + + es isomorfo a +\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},+)$ +\end_inset + +. + [...] +\begin_inset Formula $\pi_{1}(X\times Y,(x,y))\cong\pi_{1}(X,x)\times\pi_{1}(Y,y)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +eremember +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Existe una isometría local entre el plano +\begin_inset Formula $\Pi:=\{z=0\}$ +\end_inset + + y el cilindro +\begin_inset Formula $C:=\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{R}$ +\end_inset + +, pero las superficies no son globalmente isométricas. + +\series bold +Demostración: +\series default + Como el plano es estrellado, su grupo fundamental es el grupo trivial, + y como el cilindro es +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{R}$ +\end_inset + +, su grupo fundamental es +\begin_inset Formula $\pi_{1}(\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{R},e_{1})\cong\pi_{1}(\mathbb{S}_{1},e_{1})\times\pi_{1}(\mathbb{R},0)\cong(\mathbb{Z},+)\times1\cong(\mathbb{Z},+)$ +\end_inset + +. + Como los grupos fundamentales no son isomorfos, +\begin_inset Formula $\Pi$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + no son homeomorfos y por tanto tampoco isométricos. + Sea ahora +\begin_inset Formula $\phi:\Pi\to C$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\phi(x,y,0):=(\cos x,\sin x,y)$ +\end_inset + +, que es diferenciable. + Para +\begin_inset Formula $p=(x,y,0)\in\Pi$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $T_{p}S=\Pi$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $v=(v_{1},v_{2},0)\in T_{p}S$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $\alpha:I\to\Pi$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\alpha(t):=p+tv$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +d\phi_{p}(v)=\frac{d(\phi\circ\alpha)}{dt}(0)=\frac{d}{dt}(\cos(x+tv_{1}),\sin(x+tv_{1}),y+tv_{2})(0)=(-v_{1}\sin x,v_{1}\cos x,v_{2}). +\] + +\end_inset + +Para ver que +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + conserva el producto escalar, basta ver que conserva módulos, pero +\begin_inset Formula $|d\phi_{p}(v)|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=|v|^{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, sea +\begin_inset Formula $\phi:S_{1}\to S_{2}$ +\end_inset + + una isometría local entre superficies regulares, para todo +\begin_inset Formula $p\in S_{1}$ +\end_inset + + existen parametrizaciones +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U,\overline{X})$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\phi(p)$ +\end_inset + + con los mismos parámetros de la primera forma fundamental. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $(\tilde{U},X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{X}:\phi\circ X:\tilde{U}\to S_{2}$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es un difeomorfismo local, existe un entorno +\begin_inset Formula $V\subseteq S_{1}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + en el que +\begin_inset Formula $\phi:V\to\phi(V)$ +\end_inset + + es un difeomorfismo, por lo que si +\begin_inset Formula $U:=X^{-1}(V)\subseteq\tilde{U}$ +\end_inset + +, restringiendo +\begin_inset Formula $\overline{X}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(U,\overline{X})$ +\end_inset + + es una parametrización de +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\phi(p)$ +\end_inset + +. + Entonces, si +\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d\overline{X}_{q}=d(\phi\circ X)_{q}=d\phi_{p}\circ dX_{q}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\overline{X}_{u}(q)=d\phi_{p}(X_{u}(q))$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{X}_{v}(q)=d\phi_{p}(X_{v}(q))$ +\end_inset + +. + Con esto, como +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es una isometría local, +\begin_inset Formula $\overline{E}=\langle\overline{X}_{u}(q),\overline{X}_{u}(q)\rangle=\langle d\phi_{p}(X_{u}(q)),d\phi(X_{u}(q))\rangle=\langle X_{u}(q),X_{u}(q)\rangle=E$ +\end_inset + +, y análogamente +\begin_inset Formula $\overline{F}=F$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{G}=G$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, dadas dos superficies regulares +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + y dos parametrizaciones +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U,\overline{X})$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + con los mismos parámetros de la primera forma fundamental, entonces +\begin_inset Formula $\phi:=\overline{X}\circ X^{-1}:X(U)\to\overline{X}(U)$ +\end_inset + + es una isometría. + +\series bold +Demostración: +\series default + Es un difeomorfismo por ser composición de difeomorfismos, y queda ver + que conserva productos escalares. + Sean +\begin_inset Formula $q\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p:=X(q)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d\phi_{p}\circ dX_{q}=d(\phi\circ X)_{q}=d\overline{X}_{q}$ +\end_inset + + por la regla de la cadena, por lo que +\begin_inset Formula $d\phi_{p}(X_{u}(q))=\overline{X}_{u}(q)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $d\phi_{p}(X_{v}(q))=\overline{X}_{v}(q)$ +\end_inset + +. + Por tanto, en +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\langle d\phi_{p}(X_{u}),d\phi_{p}(X_{u})\rangle=\langle\overline{X}_{u},\overline{X}_{u}\rangle=\overline{E}=E=\langle X_{u},X_{u}\rangle$ +\end_inset + +, y de forma análoga +\begin_inset Formula $\langle d\phi_{p}(X_{u}),d\phi_{p}(X_{v})\rangle=\langle X_{u},X_{v}\rangle$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\langle d\phi_{p}(X_{v}),d\phi_{p}(X_{v})\rangle=\langle X_{v},X_{v}\rangle$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $(X_{u},X_{v})$ +\end_inset + + es una base de +\begin_inset Formula $T_{p}S$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $d\phi_{p}$ +\end_inset + + conserva productos escalares. +\end_layout + \end_body \end_document @@ -333,7 +333,7 @@ Dados \end_inset y -\begin_inset Formula $\beta\in{\cal C}(y,z)$ +\begin_inset Formula $\beta\in{\cal C}(X,y,z)$ \end_inset , llamamos |