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diff --git a/aalg/n3.lyx b/aalg/n3.lyx index a6df369..e46d38f 100644 --- a/aalg/n3.lyx +++ b/aalg/n3.lyx @@ -181,11 +181,11 @@ paralelas \end_inset , definimos el plano afín -\begin_inset Formula $\mathbb{A}(V):=({\cal P}(V),{\cal L}(V),\in)$ +\begin_inset Formula $\mathbb{A}(V)\coloneqq ({\cal P}(V),{\cal L}(V),\in)$ \end_inset con -\begin_inset Formula ${\cal P}(V):=V$ +\begin_inset Formula ${\cal P}(V)\coloneqq V$ \end_inset y @@ -193,7 +193,7 @@ paralelas \end_inset , y escribimos -\begin_inset Formula $\mathbb{A}^{n}(\mathbb{K}):=\mathbb{A}(\mathbb{K}^{n})$ +\begin_inset Formula $\mathbb{A}^{n}(\mathbb{K})\coloneqq \mathbb{A}(\mathbb{K}^{n})$ \end_inset . @@ -266,11 +266,11 @@ El principio de dualidad para planos proyectivos \series default afirma que si -\begin_inset Formula $\pi:=({\cal P},{\cal L},\epsilon)$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq ({\cal P},{\cal L},\epsilon)$ \end_inset es un plano proyectivo entonces -\begin_inset Formula $\pi^{*}:=({\cal L},{\cal P},\epsilon^{*})$ +\begin_inset Formula $\pi^{*}\coloneqq ({\cal L},{\cal P},\epsilon^{*})$ \end_inset con @@ -330,15 +330,15 @@ principio de dualidad para planos proyectivos punto distinto a este para aplicar el axioma 1. Por tanto los 3 puntos son distintos. Sean ahora -\begin_inset Formula $\ell:=QR$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq QR$ \end_inset , -\begin_inset Formula $m:=RS$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq RS$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=SQ$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq SQ$ \end_inset (aplicando el axioma 1). @@ -460,15 +460,15 @@ principio de dualidad para planos proyectivos ). Por tanto, -\begin_inset Formula $\ell:=PQ$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq PQ$ \end_inset , -\begin_inset Formula $m:=PT$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq PT$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=PR$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq PR$ \end_inset cumplen las condiciones. @@ -566,7 +566,7 @@ Dada una recta \end_inset tal que -\begin_inset Formula $f'(\ell):=\overline{f(P)f(Q)}$ +\begin_inset Formula $f'(\ell)\coloneqq \overline{f(P)f(Q)}$ \end_inset . @@ -609,7 +609,7 @@ Dada una recta . Sean -\begin_inset Formula $\ell:=\overline{PQ}$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq \overline{PQ}$ \end_inset y @@ -641,7 +641,7 @@ Construcción de \begin_layout Standard Si en el espacio afín -\begin_inset Formula $\mathbb{A}:=\mathbb{A}(W)$ +\begin_inset Formula $\mathbb{A}\coloneqq \mathbb{A}(W)$ \end_inset para cierto espacio vectorial @@ -653,15 +653,15 @@ Si en el espacio afín \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{A}}:=({\cal P}',{\cal L}',\in)$ +\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{A}}\coloneqq ({\cal P}',{\cal L}',\in)$ \end_inset con -\begin_inset Formula ${\cal P}':={\cal P}\cup({\cal L}/\sim)$ +\begin_inset Formula ${\cal P}'\coloneqq {\cal P}\cup({\cal L}/\sim)$ \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal L}':=\{\ell\cup\{[\ell]\}\}_{\ell\in{\cal L}}\cup\{{\cal L}/\sim\}$ +\begin_inset Formula ${\cal L}'\coloneqq \{\ell\cup\{[\ell]\}\}_{\ell\in{\cal L}}\cup\{{\cal L}/\sim\}$ \end_inset es un plano proyectivo al que llamamos @@ -695,7 +695,7 @@ puntos del infinito rectas extendidas \series default a las -\begin_inset Formula $\overline{\ell}:=\ell\cup\{[\ell]\}$ +\begin_inset Formula $\overline{\ell}\coloneqq \ell\cup\{[\ell]\}$ \end_inset y @@ -703,7 +703,7 @@ rectas extendidas recta del infinito \series default a -\begin_inset Formula $\ell_{\infty}:={\cal L}/\sim$ +\begin_inset Formula $\ell_{\infty}\coloneqq {\cal L}/\sim$ \end_inset . @@ -719,11 +719,11 @@ Dado el \end_inset , si -\begin_inset Formula ${\cal P}(W):=\{\text{rectas vectoriales de }W\}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}(W)\coloneqq \{\text{rectas vectoriales de }W\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal L}(W):=\{\text{planos vectoriales de }W\}$ +\begin_inset Formula ${\cal L}(W)\coloneqq \{\text{planos vectoriales de }W\}$ \end_inset , entonces @@ -740,7 +740,7 @@ plano proyectivo en \series default a -\begin_inset Formula $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K}):=({\cal P}(\mathbb{K}^{3}),{\cal L}(\mathbb{K}^{3}),\subseteq)$ +\begin_inset Formula $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\coloneqq ({\cal P}(\mathbb{K}^{3}),{\cal L}(\mathbb{K}^{3}),\subseteq)$ \end_inset . @@ -849,7 +849,7 @@ Dado un Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula ${\cal P}:=W\cup\{[\ell]\}_{\ell\text{ recta afín de }W}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq W\cup\{[\ell]\}_{\ell\text{ recta afín de }W}$ \end_inset el conjunto de puntos de @@ -857,7 +857,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal P}':=\{\text{rectas vectoriales de }W\times\mathbb{K}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}'\coloneqq \{\text{rectas vectoriales de }W\times\mathbb{K}\}$ \end_inset el conjunto de puntos de @@ -1049,7 +1049,7 @@ referencial proyectivo \end_inset es una cuaterna -\begin_inset Formula ${\cal R}:=(P,Q,R,U)$ +\begin_inset Formula ${\cal R}\coloneqq (P,Q,R,U)$ \end_inset de puntos tales que tres puntos cualesquiera de ellos son independientes. @@ -1061,7 +1061,7 @@ Todo referencial proyectivo de \end_inset admite una base -\begin_inset Formula ${\cal B}:=(v_{1},v_{2},v_{3})$ +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq (v_{1},v_{2},v_{3})$ \end_inset de @@ -1141,7 +1141,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $u:=\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}$ +\begin_inset Formula $u\coloneqq \alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}$ \end_inset con @@ -1150,7 +1150,7 @@ Demostración: . Entonces hacemos -\begin_inset Formula $v_{i}:=\alpha_{i}u_{i}$ +\begin_inset Formula $v_{i}\coloneqq \alpha_{i}u_{i}$ \end_inset para @@ -1282,7 +1282,7 @@ da al referencial \end_inset ( -\begin_inset Formula $P:=[x,y,z]$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq [x,y,z]$ \end_inset ) si @@ -1337,15 +1337,15 @@ Llamamos . Las rectas -\begin_inset Formula $\ell:=[a_{1},b_{1},c_{1}]^{*}$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq [a_{1},b_{1},c_{1}]^{*}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $m:=[a_{2},b_{2},c_{2}]^{*}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq [a_{2},b_{2},c_{2}]^{*}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=[a_{3},b_{3},c_{3}]^{*}$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq [a_{3},b_{3},c_{3}]^{*}$ \end_inset son @@ -1533,19 +1533,19 @@ Un plano proyectivo Probemos el teorema de Desargues. Sean -\begin_inset Formula $O:=[\vec{o}]$ +\begin_inset Formula $O\coloneqq [\vec{o}]$ \end_inset el punto de corte entre las tres rectas, -\begin_inset Formula $A:=[\vec{a}]$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq [\vec{a}]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $B:=[\vec{b}]$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq [\vec{b}]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $C:=[\vec{c}]$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq [\vec{c}]$ \end_inset con @@ -1620,7 +1620,7 @@ Un plano proyectivo \end_inset Para el teorema de Pappus, consideremos la referencia proyectiva -\begin_inset Formula ${\cal R}:=(A',A,B,B')$ +\begin_inset Formula ${\cal R}\coloneqq (A',A,B,B')$ \end_inset , con lo que @@ -1814,7 +1814,7 @@ Dado \end_inset Si -\begin_inset Formula $f(x_{1},\dots,x_{n}):=\sum_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{d_{i}}x_{a_{ij}}$ +\begin_inset Formula $f(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq \sum_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{d_{i}}x_{a_{ij}}$ \end_inset , entonces @@ -1858,7 +1858,7 @@ Dado \end_inset Si -\begin_inset Formula $F(x_{1},\dots,x_{n+1}):=\sum_{i=1}^{k}x_{n+1}^{b_{i}}\prod_{j=1}^{d-b_{i}}x_{a_{ij}}$ +\begin_inset Formula $F(x_{1},\dots,x_{n+1})\coloneqq \sum_{i=1}^{k}x_{n+1}^{b_{i}}\prod_{j=1}^{d-b_{i}}x_{a_{ij}}$ \end_inset , entonces @@ -1883,7 +1883,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal L}:=\{(x,y)\in\mathbb{A}^{2}(\mathbb{K})\mid f(x,y)=0\}$ +\begin_inset Formula ${\cal L}\coloneqq \{(x,y)\in\mathbb{A}^{2}(\mathbb{K})\mid f(x,y)=0\}$ \end_inset , llamamos @@ -1899,7 +1899,7 @@ completación proyectiva \end_inset a -\begin_inset Formula $\overline{{\cal L}}:=\{<(x,y,z)>\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\mid f^{*}(x,y,z)=0\}$ +\begin_inset Formula $\overline{{\cal L}}\coloneqq \{<(x,y,z)>\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\mid f^{*}(x,y,z)=0\}$ \end_inset , y para @@ -1915,7 +1915,7 @@ parte afín \end_inset es -\begin_inset Formula $\hat{{\cal L}}^{\text{afín}}:=\{(x,y)\in\mathbb{A}^{2}(\mathbb{K})\mid <(x,y,1)>\in\hat{{\cal L}}\}$ +\begin_inset Formula $\hat{{\cal L}}^{\text{afín}}\coloneqq \{(x,y)\in\mathbb{A}^{2}(\mathbb{K})\mid <(x,y,1)>\in\hat{{\cal L}}\}$ \end_inset . @@ -1924,7 +1924,7 @@ parte afín \end_inset homogéneo y -\begin_inset Formula $\hat{{\cal L}}:=\{F(x,y,z)=0\}$ +\begin_inset Formula $\hat{{\cal L}}\coloneqq \{F(x,y,z)=0\}$ \end_inset , |