diff options
Diffstat (limited to 'ac/n1.lyx')
| -rw-r--r-- | ac/n1.lyx | 2773 |
1 files changed, 9 insertions, 2764 deletions
@@ -519,7 +519,7 @@ status open \end_inset , definimos -\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq 0$ +\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq0$ \end_inset , y para @@ -527,16 +527,16 @@ status open \end_inset , -\begin_inset Formula $na\coloneqq (n-1)a+a$ +\begin_inset Formula $na\coloneqq(n-1)a+a$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq -(na)$ +\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq-(na)$ \end_inset . Definimos -\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq 1_{A}$ +\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq1_{A}$ \end_inset , para @@ -552,7 +552,7 @@ status open \end_inset es invertible, -\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq (a^{-1})^{n}$ +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}$ \end_inset . @@ -2431,11 +2431,7 @@ Si \end_layout \begin_layout Standard -[...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un dominio +[...] Dado un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset @@ -2493,7 +2489,7 @@ equivalentes \end_inset de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq \{1,\dots,n\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ \end_inset tal que para @@ -3284,7 +3280,7 @@ subanillo primo \end_inset a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq \{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset , el menor subanillo de @@ -4248,7 +4244,7 @@ Dado \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\coloneqq \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\coloneqq\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ \end_inset . @@ -8655,2756 +8651,5 @@ end{exinfo} \end_layout -\begin_layout Section -Dominios euclídeos -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un dominio -\begin_inset Formula $D\neq0$ -\end_inset - -, una función -\begin_inset Formula $\delta:D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ -\end_inset - - es -\series bold -euclídea -\series default - si cumple: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall a,b\in D\setminus\{0\},(a\mid b\implies\delta(a)\leq\delta(b))$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D\mid(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\series bold -dominio euclídeo -\series default - es uno que admite una función euclídea. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -El valor absoluto es una función euclídea en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -El cuadrado del módulo complejo es una función euclídea en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[i]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $\delta$ -\end_inset - - una función euclídea en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - un ideal de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in I\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula -\[ -I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x). -\] - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Todo dominio euclídeo es DIP. - Si -\begin_inset Formula $\delta$ -\end_inset - - es una función euclídea en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, un elemento -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - - es una unidad si y sólo si -\begin_inset Formula $\delta(a)=\delta(1)$ -\end_inset - -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x\in D\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Section -Cuerpos de fracciones -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $D\neq0$ -\end_inset - - un dominio y -\begin_inset Formula $X\coloneqq D\times(D\setminus\{0\})$ -\end_inset - -, definimos la relación binaria -\begin_inset Formula -\[ -(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}. -\] - -\end_inset - - Esta relación es de equivalencia. - Llamamos -\begin_inset Formula $a/s\coloneqq \frac{a}{s}\coloneqq [(a,s)]\in Q(D)\coloneqq X/\sim$ -\end_inset - -, y las operaciones -\begin_inset Formula -\begin{align*} -\frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}}, -\end{align*} - -\end_inset - -están bien definidas. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $a,b\in D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{0}{1}\iff a=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{1}{1}\iff a=s$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{at}{st}=\frac{a}{s}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{b}{s}\iff a=b$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{a}{s}+\frac{b}{s}=\frac{a+b}{s}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] -\begin_inset Formula $(Q(D),+,\cdot)$ -\end_inset - - es un cuerpo llamado -\series bold -cuerpo de fracciones -\series default - o -\series bold -de cocientes -\series default - de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - cuyo cero es -\begin_inset Formula $\frac{0}{1}$ -\end_inset - - y cuyo uno es -\begin_inset Formula $\frac{1}{1}$ -\end_inset - - . -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - - es el cuerpo de fracciones de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - -. - [...] -\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ -\end_inset - - es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - como un subdominio de -\begin_inset Formula $Q(D)$ -\end_inset - - identificando a cada -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a/1\in Q(D)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{samepage} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Propiedad universal del cuerpo de fracciones: -\series default - Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo y -\begin_inset Formula $f:D\to K$ -\end_inset - - un homomorfismo inyectivo, el único homomorfismo de cuerpos -\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(D)\to K$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ -\end_inset - - viene dado por -\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{a}{s})=f(a)f(s)^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo no trivial y -\begin_inset Formula $g,h:Q(D)\to K$ -\end_inset - - homomorfismos que coinciden en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $g=h$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $F$ -\end_inset - - un cuerpo no trivial y -\begin_inset Formula $v:D\to F$ -\end_inset - - un homomorfismo inyectivo tal que para todo cuerpo -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - y homomorfismo inyectivo -\begin_inset Formula $f:D\to K$ -\end_inset - - existe un único homomorfismo -\begin_inset Formula $\tilde{f}:F\to K$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ -\end_inset - -, entonces existe un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:F\to Q(D)$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $\phi\circ v=u$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{samepage} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un dominio, -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo no trivial y -\begin_inset Formula $f:D\to K$ -\end_inset - - un homomorfismo inyectivo, -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - contiene un subcuerpo isomorfo a -\begin_inset Formula $Q(D)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -De aquí, para -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])\cong\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ -\end_inset - -, lo que nos permite identificar los elementos de -\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])$ -\end_inset - - con los de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo -\begin_inset Formula $K'$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - llamado -\series bold -subcuerpo primo -\series default - de -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - contenido en cualquier subcuerpo de -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -, y este es isomorfo a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ -\end_inset - - si la característica de -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - es un entero primo -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - o a -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - - en caso contrario. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Section -Polinomios -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un subanillo de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - identificando los elementos de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - con los -\series bold -polinomios constantes -\series default -, de la forma -\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$ -\end_inset - -. - Dado un ideal -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0}\in I\}$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $I[X]\coloneqq \{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ -\end_inset - - son ideales de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado -\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -grado -\series default - de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ -\end_inset - -, -\series bold -coeficiente -\series default - de -\series bold -grado -\series default - -\begin_inset Formula $k$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $p_{k}$ -\end_inset - -, -\series bold -coeficiente independiente -\series default - al de grado 0 y -\series bold -coeficiente principal -\series default - al de grado -\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ -\end_inset - -. - Un polinomio es -\series bold -mónico -\series default - si su coeficiente principal es 1. - El polinomio 0 tiene grado -\begin_inset Formula $-\infty$ -\end_inset - - por convención. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\series bold -monomio -\series default - es un polinomio de la forma -\begin_inset Formula $aX^{n}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - -. - Todo polinomio en -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única - salvo orden. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - - tienen coeficientes principales respectivos -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $q$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$ -\end_inset - -, con desigualdad estricta si y sólo si -\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p+q=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$ -\end_inset - -, con igualdad si y sólo si -\begin_inset Formula $pq\neq0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - no es un cuerpo. - Es un dominio si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, en cuyo caso llamamos -\series bold -cuerpo de las funciones racionales -\series default - sobre -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - al cuerpo de fracciones de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] -\series bold -Propiedad universal del anillo de polinomios -\series default - ( -\series bold -PUAP -\series default -) -\series bold -: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo y -\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$ -\end_inset - - el homomorfismo inclusión: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Para cada homomorfismo de anillos conmutativos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in B$ -\end_inset - -, el único homomorfismo -\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ -\end_inset - - es -\begin_inset Formula -\[ -\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}. -\] - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $u$ -\end_inset - - están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados - un homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $v:A\to P$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $t\in P$ -\end_inset - - tales que, para cada homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in B$ -\end_inset - -, existe un único -\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$ -\end_inset - -, existe un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\phi(X)=t$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un subanillo de -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in B$ -\end_inset - -, el -\series bold -homomorfismo de sustitución -\series default - o -\series bold -de evaluación -\series default - en -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - es -\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula -\[ -S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n}, -\] - -\end_inset - -y su imagen es el subanillo generado por -\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$ -\end_inset - -, llamado -\begin_inset Formula $A[b]$ -\end_inset - -. - Todo -\begin_inset Formula $p\in A[X]$ -\end_inset - - induce una -\series bold -función polinómica -\series default - -\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $\hat{p}(b)\coloneqq S_{b}(p)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dado -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, el homomorfismo de sustitución -\begin_inset Formula $S_{X+a}$ -\end_inset - - es un automorfismo de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - con inverso -\begin_inset Formula $S_{X-a}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo conmutativo, -\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Todo homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - induce un homomorfismo -\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula -\[ -\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n}, -\] - -\end_inset - -que es inyectivo o suprayectivo si lo es -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un subanillo de -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - lo es de -\begin_inset Formula $B[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - es un ideal de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, el -\series bold -homomorfismo de reducción de coeficientes módulo -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - -\series default - es -\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula -\[ -\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}. -\] - -\end_inset - -Su núcleo es -\begin_inset Formula $I[X]$ -\end_inset - -, por lo que -\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Sean -\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$ -\end_inset - -, si el coeficiente principal de -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - es invertible en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, existen dos únicos polinomios -\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$ -\end_inset - -, llamados respectivamente -\series bold -cociente -\series default - y -\series bold -resto -\series default - de la -\series bold -división -\series default - de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - entre -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - -, tales que -\begin_inset Formula $f=gq+r$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$ -\end_inset - - [...]. - En particular, el grado es una función euclídea. - -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Teorema del resto: -\series default - Dados -\begin_inset Formula $f\in A[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, el resto de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - entre -\begin_inset Formula $X-a$ -\end_inset - - es -\begin_inset Formula $f(a)$ -\end_inset - -. - De aquí se obtiene el -\series bold -teorema de Ruffini -\series default -, que dice que -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es divisible por -\begin_inset Formula $X-a$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $f(a)=0$ -\end_inset - -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es una -\series bold -raíz -\series default - de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $f\in A[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, existe -\begin_inset Formula $m\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid(X-a)^{k}\mid f\}$ -\end_inset - -. - Llamamos a -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - -\series bold -multiplicidad -\series default - de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - -, y -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es raíz de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $m\geq1$ -\end_inset - -. - Decimos que -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es una -\series bold -raíz simple -\series default - de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $m=1$ -\end_inset - - y que es una -\series bold -raíz compuesta -\series default - si -\begin_inset Formula $m>1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -La multiplicidad de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es el único natural -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$ -\end_inset - - para algún -\begin_inset Formula $g\in A[X]$ -\end_inset - - del que -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - no es raíz. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$ -\end_inset - - son -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - elementos de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$ -\end_inset - - para cada -\begin_inset Formula $k$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$ -\end_inset - -, por lo que -\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$ -\end_inset - - y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - -, y el número de raíces, no son superiores a -\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Principio de las identidades polinómicas: -\series default - Sea -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un dominio: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ -\end_inset - -, si las funciones polinómicas -\begin_inset Formula $f,g:D\to D$ -\end_inset - - coinciden en -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - elementos de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$ -\end_inset - -, los polinomios -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - son iguales. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - - define dos funciones polinómicas distintas en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo - -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -, todos los elementos de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ -\end_inset - - son raíces de 0 y -\begin_inset Formula $X^{p}-X$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, definimos la -\series bold -derivada -\series default - de -\begin_inset Formula $P\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $P'\coloneqq D(P)\coloneqq \sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ -\end_inset - -, y escribimos -\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$ -\end_inset - -. - Dados -\begin_inset Formula $a,b\in A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - de característica 0, -\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - -, la multiplicidad de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - - es el menor -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un dominio y -\begin_inset Formula $p\in D$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - si y sólo si lo es en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es primo en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -, lo es en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU, -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - si y sólo si lo es en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -, si y sólo si es primo en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, si y sólo si lo es en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un DFU, definimos -\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\varphi(a)$ -\end_inset - - es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles - de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, contando repetidos, y para -\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU, -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - es su cuerpo de fracciones y -\begin_inset Formula $f\in D[X]$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -, es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -. - [...] -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU y -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - -\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$ -\end_inset - - y, en particular, si -\begin_inset Formula $x\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $[x]$ -\end_inset - - es el conjunto de los asociados de -\begin_inset Formula $x$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. - Definimos -\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$ -\end_inset - -. - Esto está bien definido. - Además, -\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Definimos -\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$ -\end_inset - - tal que, para -\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq \{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ -\end_inset - -, y para -\begin_inset Formula $p\in K[X]$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$ -\end_inset - - cumple -\begin_inset Formula $ap\in D[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq a^{-1}c(ap)$ -\end_inset - -. - Esto está bien definido. - Si -\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es el -\series bold -contenido -\series default - de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - ( -\begin_inset Formula $a=c(p)$ -\end_inset - -). -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $a\in K$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p\in K[X]$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p\in D[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\mid p$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $a\mid c(p)$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un polinomio -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es -\series bold -primitivo -\series default - si -\begin_inset Formula $c(p)=1$ -\end_inset - -, esto es, si -\begin_inset Formula $p\in D[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Lema de Gauss: -\series default - Para -\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$ -\end_inset - -, y en particular -\begin_inset Formula $fg$ -\end_inset - - es primitivo si y sólo si -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - lo son. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado -\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$ -\end_inset - - primitivo, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - - si y sólo si lo es en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$ -\end_inset - -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -De aquí que si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU con cuerpo de fracciones -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -, los irreducibles de -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - - son precisamente los de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y los polinomios primitivos de -\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ -\end_inset - - irreducibles en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Sean -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo y -\begin_inset Formula $f\in K[X]$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - tiene una raíz en -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - no es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - - si y sólo si no tiene raíces en -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU con cuerpo de fracciones -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ -\end_inset - -, todas las raíces de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - son de la forma -\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Criterio de reducción: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $\phi:D\to K$ -\end_inset - - un homomorfismo de anillos donde -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU y -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - es un cuerpo, -\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$ -\end_inset - - el homomorfismo inducido por -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - un polinomio primitivo de -\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -En particular, si -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es primo, -\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ -\end_inset - - es primitivo, -\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Criterio de Eisenstein: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un DFU, -\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ -\end_inset - - primitivo y -\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ -\end_inset - -, si existe un irreducible -\begin_inset Formula $p\in D$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - y existe -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - cuya multiplicidad en -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es 1, -\begin_inset Formula $X^{n}-a$ -\end_inset - - es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $n\geq3$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -raíces -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - --ésimas de la unidad -\series default - o -\series bold -de 1 -\series default - a las raíces de -\begin_inset Formula $X^{n}-1$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - -, que son los -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - vértices del -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - --ágono regular inscrito en el círculo unidad de -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - - con un vértice en el 1. - -\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$ -\end_inset - -, donde -\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)\coloneqq X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ -\end_inset - - es el -\series bold - -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - --ésimo polinomio ciclotómico -\series default - y sus raíces en -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - - son las raíces -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - --ésimas de 1 distintas de 1. - En -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$ -\end_inset - -, pero si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es primo, -\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$ -\end_inset - - es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\geq2$ -\end_inset - -, definimos el -\series bold -anillo de polinomios -\series default - en -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - indeterminadas con coeficientes en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]\coloneqq A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ -\end_inset - -. - Llamamos -\series bold -indeterminadas -\series default - a los símbolos -\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$ -\end_inset - - y -\series bold -polinomios en -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - indeterminadas -\series default - a los elementos de -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - -. - Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - no es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - es un dominio si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - es un DFU si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - es un DIP si y sólo si -\begin_inset Formula $n=1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $i\coloneqq (i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ -\end_inset - -, llamamos a -\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - -\series bold -monomio -\series default - de -\series bold -tipo -\series default - -\begin_inset Formula $i$ -\end_inset - - y coeficiente -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - -. - Todo -\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo, -\begin_inset Formula -\[ -p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}, -\] - -\end_inset - -con -\begin_inset Formula $p_{i}=0$ -\end_inset - - para casi todo -\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -PUAP en -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - indeterminadas: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo conmutativo, -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - la inclusión: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dados un homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ -\end_inset - -, existe un único homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$ -\end_inset - - y un homomorfismo -\begin_inset Formula $v:A\to P$ -\end_inset - - tales que, dados un homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ -\end_inset - -, existe un único homomorfismo -\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ -\end_inset - -, existe un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$ -\end_inset - - para cada -\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dados dos anillos conmutativos -\begin_inset Formula $A\subseteq B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ -\end_inset - -, el -\series bold -homomorfismo de sustitución -\series default - -\begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ -\end_inset - - viene dado por -\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ -\end_inset - -. - Su imagen es el subanillo de -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - - generado por -\begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$ -\end_inset - -, y dados dos homomorfismos de anillos -\begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f=g$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$ -\end_inset - - para todo -\begin_inset Formula $k$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo y -\begin_inset Formula $\sigma$ -\end_inset - - una permutación de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$ -\end_inset - - con inversa -\begin_inset Formula $\tau\coloneqq \sigma^{-1}$ -\end_inset - -, tomando -\begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$ -\end_inset - - en el punto anterior obtenemos un automorfismo -\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - con inversa -\begin_inset Formula $\hat{\tau}$ -\end_inset - - que permuta las indeterminadas. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - -, por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Todo homomorfismo de anillos conmutativos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - induce un homomorfismo -\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\series bold -grado -\series default - de un monomio -\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$ -\end_inset - -, y grado de -\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ -\end_inset - -, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios - de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -. - Entonces -\begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ -\end_inset - -. - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un polinomio es -\series bold -homogéneo -\series default - de grado -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - si es suma de monomios de grado -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -. - Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos - de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en - la expresión como suma de monomios. - Así, si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ -\end_inset - - para cualesquiera -\begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - \end_body \end_document |