aboutsummaryrefslogtreecommitdiff
path: root/af/n2.lyx
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context:
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mode:
Diffstat (limited to 'af/n2.lyx')
-rw-r--r--af/n2.lyx333
1 files changed, 134 insertions, 199 deletions
diff --git a/af/n2.lyx b/af/n2.lyx
index fc349c6..cee2d03 100644
--- a/af/n2.lyx
+++ b/af/n2.lyx
@@ -131,7 +131,7 @@ forma hermitiana
\begin_inset Formula $x,y,z\in H$
\end_inset
- se tiene
+,
\begin_inset Formula $\langle ax+by,z\rangle=a\langle x,z\rangle+b\langle y,z\rangle$
\end_inset
@@ -160,7 +160,8 @@ producto escalar
\series bold
espacio prehilbertiano
\series default
- es par formado por un espacio vectorial y un producto escalar sobre este.
+ es un par formado por un espacio vectorial y un producto escalar sobre
+ este.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -256,17 +257,21 @@ Para
\end_inset
.
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\overline{\langle x,y\rangle}+\langle y,y\rangle$
\end_inset
.
\end_layout
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
\begin_layout Standard
\series bold
@@ -305,11 +310,7 @@ Si
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
- se define sobre
-\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
-\end_inset
-
-,
+ es real,
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2})$
\end_inset
@@ -369,15 +370,11 @@ status open
\end_inset
-En general
-\begin_inset Formula $\langle x,y+z\rangle=\overline{\langle y+z,x\rangle}=\overline{\langle y,x\rangle}+\overline{\langle z,x\rangle}=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
-\end_inset
-, de donde
\begin_inset Formula
\begin{multline*}
\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=\\
-=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}).
+=\langle x,x\rangle\cancel{+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle}+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle\cancel{-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle}+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}).
\end{multline*}
\end_inset
@@ -456,7 +453,8 @@ y por tanto
\end_inset
-donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad con
+donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad al revés con
+
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset
@@ -466,7 +464,7 @@ donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad con
.
Usando esto y que
-\begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle$
+\begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle=-\langle x,y\rangle$
\end_inset
es fácil ver que
@@ -532,7 +530,7 @@ equivalentes
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle T(x),T(y)\rangle_{2}$
+\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle Tx,Ty\rangle_{2}$
\end_inset
para todo
@@ -573,8 +571,7 @@ ortogonales
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=0$
\end_inset
-.
- Decimos que
+;
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset
@@ -595,7 +592,7 @@ ortogonal
\end_inset
, y llamamos
-\begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H:x\bot M\}$
+\begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H\mid x\bot M\}$
\end_inset
.
@@ -620,7 +617,6 @@ ortonormal
\end_inset
.
- Entonces:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
@@ -898,11 +894,7 @@ nproof
\begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$
\end_inset
- con la medida de Lebesgue, y entonces
-\begin_inset Formula $C([a,b])$
-\end_inset
-
- es denso en
+ con la medida de Lebesgue, que es denso en
\begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$
\end_inset
@@ -1178,11 +1170,7 @@ luego
\end_inset
.
- Si hubiera
-\begin_inset Formula $z\in Y$
-\end_inset
-
- con
+ Si fuera
\begin_inset Formula $\langle x-y,z\rangle\neq0$
\end_inset
@@ -1365,7 +1353,7 @@ determinante de Gram
a
\begin_inset Formula
\[
-G(x_{1},\dots,G_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}.
+G(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}.
\]
\end_inset
@@ -1626,11 +1614,11 @@ Teorema de la proyección
\series bold
Teorema de la proyección:
\series default
- Si
+ Sean
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
- es un espacio de Hilbert con un subespacio cerrado
+ un espacio de Hilbert con un subespacio cerrado
\begin_inset Formula $M$
\end_inset
@@ -1805,11 +1793,7 @@ Por la definición de producto escalar,
\begin_inset Formula $\Vert P_{M}(x)\Vert,\Vert P_{M^{\bot}}(x)\Vert\leq\Vert x\Vert=1$
\end_inset
-, lo que prueba la continuidad y por tanto que
-\begin_inset Formula $M$
-\end_inset
-
- es topológica.
+, lo que prueba la continuidad y por tanto que la suma directa es topológica.
Además, si
\begin_inset Formula $M\neq0$
\end_inset
@@ -1855,11 +1839,11 @@ Para
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\langle P_{M}(x),y\rangle=\langle x,P_{M}(y)\rangle$
+\begin_inset Formula $\langle P_{M}x,y\rangle=\langle x,P_{M}y\rangle$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\langle P_{M^{\bot}}(x),y\rangle=\langle x,P_{M^{\bot}}(y)\rangle$
+\begin_inset Formula $\langle P_{M^{\bot}}x,y\rangle=\langle x,P_{M^{\bot}}y\rangle$
\end_inset
.
@@ -2248,7 +2232,7 @@ nproof
\end_inset
es un espacio de Hilbert con el producto escalar
-\begin_inset Formula $\langle f,g\rangle^{*}\coloneqq\langle T(g),T(f)\rangle$
+\begin_inset Formula $\langle f,g\rangle^{*}\coloneqq\langle Tg,Tf\rangle$
\end_inset
.
@@ -2264,27 +2248,6 @@ nproof
\end_layout
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $J:H\to H^{**}$
-\end_inset
-
- dada por
-\begin_inset Formula $J(x)(f)\coloneqq f(x)$
-\end_inset
-
- es un isomorfismo algebraico isométrico.
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-nproof
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
\begin_layout Standard
Dado un un
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
@@ -2372,8 +2335,8 @@ Si
\begin_inset Formula $B$
\end_inset
- es bilineal o sesquilineal, es acotada si y sólo si es continua, y para
- todo
+ es bilineal o sesquilineal sobre un espacio normado, es acotada si y sólo
+ si es continua, y para todo
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
@@ -2421,7 +2384,7 @@ Teorema de Lax-Milgram:
\end_inset
tal que
-\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,T(y)\rangle$
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,Ty\rangle$
\end_inset
.
@@ -2514,21 +2477,21 @@ Y\coloneqq\{y\in H\mid\exists z\in H:\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)\},
,
\begin_inset Formula
\[
-c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq B(S(y),S(y))=\langle S(y),y\rangle\in\mathbb{R}^{+},
+c\Vert Sy\Vert^{2}\leq B(Sy,Sy)=\langle Sy,y\rangle\in\mathbb{R}^{+},
\]
\end_inset
pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
-\begin_inset Formula $\langle S(y),y\rangle^{2}=|\langle S(y),y\rangle|^{2}\leq\Vert S(y)\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$
+\begin_inset Formula $\langle Sy,y\rangle^{2}=|\langle Sy,y\rangle|^{2}\leq\Vert Sy\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$
\end_inset
, luego
-\begin_inset Formula $c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq\langle S(y),y\rangle\leq\Vert S(y)\Vert\Vert y\Vert=\Vert S(y)\Vert$
+\begin_inset Formula $c\Vert Sy\Vert^{2}\leq\langle Sy,y\rangle\leq\Vert Sy\Vert\Vert y\Vert=\Vert Sy\Vert$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\Vert S(y)\Vert\leq\frac{1}{c}$
+\begin_inset Formula $\Vert Sy\Vert\leq\frac{1}{c}$
\end_inset
, con lo que
@@ -2540,8 +2503,8 @@ pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$
\end_inset
- y existe
-\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}\eqqcolon y\in H$
+ tiene límite
+\begin_inset Formula $y\in H$
\end_inset
, por continuidad de
@@ -2555,7 +2518,7 @@ pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
,
\begin_inset Formula
\[
-\langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,S(y_{n}))=B(x,S(y)),
+\langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,Sy_{n})=B(x,Sy),
\]
\end_inset
@@ -2623,11 +2586,11 @@ luego
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $B(\cdot z)=\langle\cdot,w\rangle$
+\begin_inset Formula $B(\cdot,z)=\langle\cdot,w\rangle$
\end_inset
y por tanto
-\begin_inset Formula $z=S(w)$
+\begin_inset Formula $z=Sw$
\end_inset
, luego
@@ -2636,7 +2599,7 @@ luego
es suprayectiva.
Si
-\begin_inset Formula $S(y)=0$
+\begin_inset Formula $Sy=0$
\end_inset
, para
@@ -2644,7 +2607,7 @@ luego
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,S(y))=0$
+\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,Sy)=0$
\end_inset
y por tanto
@@ -2665,7 +2628,7 @@ luego
\end_inset
cumple
-\begin_inset Formula $\langle x,T(y)\rangle=B(x,y)$
+\begin_inset Formula $\langle x,Ty\rangle\equiv B(x,y)$
\end_inset
.
@@ -2674,7 +2637,7 @@ luego
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\Vert T(y)\Vert^{2}=\langle T(y),T(y)\rangle=B(T(y),y)\leq M\Vert T(y)\Vert\Vert y\Vert=M\Vert T(y)\Vert$
+\begin_inset Formula $\Vert Ty\Vert^{2}=\langle Ty,Ty\rangle=B(Ty,y)\leq M\Vert Ty\Vert\Vert y\Vert=M\Vert Ty\Vert$
\end_inset
, siendo
@@ -2722,7 +2685,7 @@ En particular, dado un espacio vectorial
\end_inset
de espacios de Hilbert con
-\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,T(y)\rangle_{2}$
+\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,Ty\rangle_{2}$
\end_inset
.
@@ -2838,7 +2801,7 @@ está bien definida y es continua porque, si
\begin_inset Formula $\Vert u\Vert_{L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)}=1$
\end_inset
-,
+, usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
\begin_inset Formula
\begin{align*}
|Tu| & =\left|\int_{\Omega}u\dif\mu\right|\leq\int_{\Omega}|u|\dif\mu\leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu}\leq\\
@@ -2858,16 +2821,16 @@ Por el teorema de representación de Riesz, existe
,
\begin_inset Formula
\[
-Tu=\int_{\Omega}u\dif\mu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma,
+\int_{\Omega}u\dif\mu=Tu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma,
\]
\end_inset
-pero esta igualdad se da para cuando
+pero esta igualdad se da cuando
\begin_inset Formula $u=\chi_{A}$
\end_inset
- para cualquier
+ para todo
\begin_inset Formula $A\in{\cal F}$
\end_inset
@@ -2906,7 +2869,7 @@ de modo que
\end_inset
o
-\begin_inset Formula $A=\{x\mid f(x)>1\}$
+\begin_inset Formula $A=\{f(x)>1\}$
\end_inset
, vemos que
@@ -2917,8 +2880,8 @@ de modo que
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset
-, de modo que
-\begin_inset Formula $\frac{1}{g}$
+, con lo que
+\begin_inset Formula $\frac{1}{f}$
\end_inset
es
@@ -2970,14 +2933,10 @@ Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos:
\end_inset
-forma bilineal simétrica, acotada y fuertemente positiva,
-\begin_inset Formula $b$
-\end_inset
-
- una
-\begin_inset Formula $H$
+\begin_inset Formula $b\in H^{*}$
\end_inset
--forma lineal continua y
+ y
\begin_inset Formula $F:H\to\mathbb{R}$
\end_inset
@@ -2993,20 +2952,15 @@ entonces:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-Para
-\begin_inset Formula $w\in H$
-\end_inset
-
-,
\begin_inset Formula $F$
\end_inset
alcanza su mínimo en
-\begin_inset Formula $w$
+\begin_inset Formula $w\in H$
\end_inset
si y sólo si
-\begin_inset Formula $\forall y\in H,B(w,y)=b(y)$
+\begin_inset Formula $B(w,\cdot)=b$
\end_inset
.
@@ -3127,7 +3081,11 @@ Como
\begin_inset Formula $H$
\end_inset
-, y como existen
+, y que es equivalente al de
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ ya que existen
\begin_inset Formula $c,M>0$
\end_inset
@@ -3135,14 +3093,6 @@ Como
\begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq B(x,x)\leq M\Vert x\Vert^{2}$
\end_inset
-, el producto escalar
-\begin_inset Formula $B$
-\end_inset
-
- es equivalente al de
-\begin_inset Formula $H$
-\end_inset
-
, luego
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
@@ -3274,15 +3224,11 @@ sucesión de Dirac
\begin_inset Formula $(K_{m}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{\geq0})_{m}$
\end_inset
- de funciones continuas con
-\begin_inset Formula
-\[
-\int_{\mathbb{R}^{n}}K_{n}=1
-\]
-
+ de funciones continuas con integral 1 en
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
-y tal que
+ y tal que
\begin_inset Formula
\[
\forall\varepsilon,\delta>0,\exists n_{0}:\forall n\geq n_{0},\int_{\mathbb{R}^{n}\setminus B(0,\delta)}K_{n}(x)\dif x<\varepsilon.
@@ -3430,7 +3376,7 @@ teorema
\end_inset
es denso en
-\begin_inset Formula $(C_{c}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$
+\begin_inset Formula $(C_{\text{c}}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$
\end_inset
y en
@@ -3479,7 +3425,7 @@ entonces
\begin_inset Formula $f=0$
\end_inset
- en casi todo punto, y en particular, si
+ en casi todo punto y en particular, si
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
@@ -3539,7 +3485,7 @@ armónica
problema de Dirichlet
\series default
consiste en encontrar
-\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(\overline{B_{X}})$
+\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(B_{X})$
\end_inset
armónica con
@@ -3643,7 +3589,7 @@ problema generalizado de valores frontera
y
\begin_inset Formula
\[
-\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\frac{\partial v}{\partial x_{j}}\dif x\int_{G}fv.
+\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j}\partial_{j}u\partial_{j}v\dif x=\int_{G}fv.
\]
\end_inset
@@ -3712,7 +3658,7 @@ Si
dada por
\begin_inset Formula
\[
-F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu,
+F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu,
\]
\end_inset
@@ -3814,7 +3760,7 @@ y para
\end_inset
llamamos
-\begin_inset Formula $D^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$
+\begin_inset Formula $\text{D}^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$
\end_inset
.
@@ -3841,7 +3787,7 @@ espacio de Sobolev
a
\begin_inset Formula
\[
-W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists D^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}.
+W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists\text{D}^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}.
\]
\end_inset
@@ -3867,9 +3813,39 @@ Si
\end_inset
como
-\begin_inset Formula $f\sim g\iff\{x\in G\mid f(x)\neq g(x)\}\text{ es de medida nula}$
+\begin_inset Formula $f\sim g$
\end_inset
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $\{f(x)\neq g(x)\}$
+\end_inset
+
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\strikeout off
+\xout off
+\uuline off
+\uwave off
+\noun off
+\color none
+es de medida nula
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\strikeout default
+\xout default
+\uuline default
+\uwave default
+\noun default
+\color inherit
, y
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1,2}:W^{1}(G)/\sim\to\mathbb{R}$
\end_inset
@@ -3951,7 +3927,7 @@ Si
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
- es un abierto acotado no vacío y
+ es abierto acotado no vacío y
\begin_inset Formula $u\in W^{1}(G)$
\end_inset
@@ -4022,7 +3998,7 @@ Desigualdad de Poincaré-Friedrichs:
,
\begin_inset Formula
\[
-C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}.
+C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}.
\]
\end_inset
@@ -4086,7 +4062,7 @@ Para
\begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$
\end_inset
-,existe una sucesión
+, existe una sucesión
\begin_inset Formula $\{u_{m}\}_{m}\subseteq{\cal D}(G)$
\end_inset
@@ -4141,25 +4117,25 @@ Principio de Dirichlet:
dada por
\begin_inset Formula
\[
-F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu
+F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu
\]
\end_inset
alcanza su mínimo en un único punto, que es el único
-\begin_inset Formula $u\in\text{Dom}f$
+\begin_inset Formula $u\in\text{Dom}F$
\end_inset
tal que
\begin_inset Formula
\[
-\forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv
+\forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv
\]
\end_inset
-y la única solución en
-\begin_inset Formula $\text{Dom}f$
+y es la única solución en
+\begin_inset Formula $\text{Dom}F$
\end_inset
del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson
@@ -4231,13 +4207,12 @@ y
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset
- es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como además
-
+ es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como
\begin_inset Formula $B$
\end_inset
es bilineal y acotada,
-\begin_inset Formula $b_{0}$
+\begin_inset Formula $b$
\end_inset
es lineal acotada y se dan las condiciones del teorema principal de los
@@ -4336,7 +4311,7 @@ operador diferencial lineal de coeficientes constantes
es uno de la forma
\begin_inset Formula
\[
-L\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{\alpha}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}},
+L\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\text{D}^{\alpha},
\]
\end_inset
@@ -4348,7 +4323,7 @@ operador adjunto
es
\begin_inset Formula
\[
-L^{*}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}(-1)^{|\alpha|}\overline{a_{\alpha}}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{\alpha}.
+L^{*}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}(-1)^{|\alpha|}\overline{a_{\alpha}}\text{D}^{\alpha}.
\]
\end_inset
@@ -4366,7 +4341,7 @@ Si
\end_inset
y una de las dos tiene soporte compacto, entonces
-\begin_inset Formula $\langle L\psi,\varphi\rangle=\langle\psi,L^{*}\varphi\rangle$
+\begin_inset Formula $\langle L\varphi,\psi\rangle=\langle\varphi,L^{*}\psi\rangle$
\end_inset
.
@@ -4602,8 +4577,8 @@ Demostración:
,
\begin_inset Formula
\begin{align*}
-\psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)\leq\\
- & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2},
+\psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)^{2}\leq\\
+ & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t,
\end{align*}
\end_inset
@@ -4694,7 +4669,7 @@ donde
\end_inset
para todo
-\begin_inset Formula $C$
+\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset
, de modo que
@@ -4968,56 +4943,36 @@ Dados
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $c\Vert u\Vert\leq\Vert b\Vert$
+\begin_inset Formula $\Vert u\Vert\leq\frac{\Vert b\Vert}{c}$
\end_inset
-.
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-nproof
-\end_layout
-
+,
+\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$
\end_inset
+ y, si
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
+ es cota inferior de
+\begin_inset Formula $J(H)$
+\end_inset
-\series bold
-Razón de convergencia:
-\series default
-
-\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$
+,
+\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq\frac{2}{c}(J(u_{n})-\beta)$
\end_inset
.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-
-\series bold
-Estimación del error:
-\series default
- Si
-\begin_inset Formula $\beta\leq J(x)$
-\end_inset
+\begin_inset Note Note
+status open
- para todo
-\begin_inset Formula $x\in H$
-\end_inset
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
-, para
-\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset
- es
-\begin_inset Formula $\frac{c}{2}\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq J(u_{n})-\beta$
-\end_inset
-.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -5631,26 +5586,6 @@ Aproximaciones por polinomios
\end_layout
\begin_layout Standard
-Si
-\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$
-\end_inset
-
- es un intervalo cerrado, llamamos
-\begin_inset Formula ${\cal C}(I)$
-\end_inset
-
- al conjunto de funciones
-\begin_inset Formula $I\to\mathbb{R}$
-\end_inset
-
- continuas en el interior de
-\begin_inset Formula $I$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
\series bold
Teorema de Korovkin:
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