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@@ -926,146 +926,6 @@ Dada una familia de anillos \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset CommandInset label -LatexCommand label -name "enu:series" - -\end_inset - -Llamamos -\begin_inset Formula $A[[X]]$ -\end_inset - - al conjunto de las sucesiones de elementos del anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - entendidos como -\series bold -series de potencias -\series default - en una -\series bold -indeterminada -\series default - -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n}$ -\end_inset - -. - Definiendo la suma como -\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}+(b_{n})_{n}:=(a_{n}+b_{n})_{n}$ -\end_inset - - y el producto como -\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}(b_{n})_{n}:=(\sum_{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i})_{n}$ -\end_inset - -, tenemos un anillo. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Llamamos -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - al conjunto de las sucesiones de elementos del anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - con un número finito de elementos no nulos, entendidas como -\series bold -polinomios -\series default - en una -\series bold -indeterminada -\series default - -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - -. - Este es un anillo con las mismas operaciones que en el punto -\begin_inset CommandInset ref -LatexCommand ref -reference "enu:series" -plural "false" -caps "false" -noprefix "false" - -\end_inset - -. - Dado un polinomio -\begin_inset Formula $P(X):=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -coeficiente -\series default - de -\series bold -grado -\series default - -\begin_inset Formula $i$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $a_{i}$ -\end_inset - - y -\series bold -coeficiente independiente -\series default - de -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $a_{0}$ -\end_inset - -. - Además, si -\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$ -\end_inset - -, decimos que -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - - tiene -\series bold -grado -\series default - -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a_{n}$ -\end_inset - - es su -\series bold -coeficiente principal -\series default -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -2315,30 +2175,6 @@ Dado un espacio vectorial \end_layout \begin_layout Enumerate -Todo anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un subanillo de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - identificando los elementos de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - con los -\series bold -polinomios constantes -\series default -, de la forma -\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -2948,34 +2784,6 @@ norma . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Sea -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo y -\begin_inset Formula $b\in A$ -\end_inset - -, definimos el -\series bold -homomorfismo de sustitución -\series default - en -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - como la función -\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to A$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $S_{b}(a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}):=a_{0}+a_{1}b+\dots+a_{n}b^{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Section Ideales \end_layout @@ -3015,13 +2823,6 @@ ideal \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard Ejemplos: \end_layout @@ -3212,30 +3013,6 @@ Sean . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Dado un ideal -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0}\in I\}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ -\end_inset - - son ideales de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Standard Dado un ideal \begin_inset Formula $I$ @@ -3397,11 +3174,16 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -Algunos anillos cociente: -\end_layout +Es claro que +\begin_inset Formula $A/0\cong A$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Dado + y +\begin_inset Formula $A/A\cong0$ +\end_inset + +. + Dado \begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset @@ -3410,11 +3192,7 @@ Dado \end_inset . -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Dado + En efecto, dado \begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -3445,60 +3223,6 @@ Dado . \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A/0\cong A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $A/A\cong0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A[X]/(X)\cong A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$ -\end_inset - - son congruentes módulo -\begin_inset Formula $(X)$ -\end_inset - - si y sólo si el coeficiente independiente de -\begin_inset Formula $P-Q$ -\end_inset - - es 0, si y sólo si -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $Q$ -\end_inset - - tienen igual coeficiente independiente, y es claro que entonces la composición - de la inclusión con la proyección, -\begin_inset Formula $A\overset{i}{\to}A[X]\overset{\pi}{\to}A[X]/(X)$ -\end_inset - - es un isomorfismo. -\end_layout - -\end_deeper \begin_layout Standard Dado un anillo conmutativo \begin_inset Formula $A$ @@ -4206,10 +3930,6 @@ Si \end_layout \begin_layout Standard -Ejemplos: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate Sean \begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -4227,78 +3947,21 @@ Sean \end_inset . -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard + En efecto, \begin_inset Formula $(n)(m)=(\{ab\}_{a\in(n),b\in(m)})=(\{pnqm\}_{p,q\in\mathbb{Z}})=(\{knm\})_{k\in\mathbb{Z}}=(nm)$ \end_inset -. - +, \begin_inset Formula $(n)\cap(m)=\{k\in\mathbb{Z}:n,m|k\}=\{k:\text{mcm}(n,m)|k\}=(\text{mcm}(n,m))$ \end_inset -. - + y \begin_inset Formula $(n)+(m)=\{a+b\}_{a\in(n),b\in(m)}=\{pn+qm\}_{p,q\in\mathbb{Z}}=\{k\text{mcd}(n,m)\}_{k\in\mathbb{Z}}=(\text{mcd}(n,m))$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $(2)+(X)$ -\end_inset - -, formado por los polinomios cuyo término principal es par, no es principal. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Supongamos que existe -\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}[X]$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $(2)+(X)=(a)$ -\end_inset - -. - Entonces -\begin_inset Formula $ba=2\in(2)$ -\end_inset - - para algún polinomio -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, y como -\begin_inset Formula $a\in(2,X)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es par, luego -\begin_inset Formula $X\notin(a)=(2)+(X)\#$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper \begin_layout Section Teoremas de isomorfía \end_layout @@ -4435,18 +4098,7 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si +Así, si \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -4458,12 +4110,7 @@ Si \begin_inset Formula $\frac{A\times B}{0\times B}\cong A$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -El homomorfismo de proyección +, pues el homomorfismo de proyección \begin_inset Formula $f:A\times B\to A$ \end_inset @@ -4475,74 +4122,9 @@ El homomorfismo de proyección \begin_inset Formula $0\times B$ \end_inset -, de donde se obtiene el resultado por el primer teorema de isomorfía. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo conmutativo, -\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$ -\end_inset - . \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -El homomorfismo de sustitución en el 0 -\begin_inset Formula $f:A[X]\to A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f(\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i})=a_{0}$ -\end_inset - -, es suprayectivo con núcleo -\begin_inset Formula $(X)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Sea -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - un ideal de de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{I[X]}\cong(A/I)[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -La función -\begin_inset Formula $f:A[X]\to(A/I)[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f(\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i})=\sum_{i=0}^{n}[a_{i}]X^{i}$ -\end_inset - -, es un homomorfismo suprayectivo con núcleo -\begin_inset Formula $I[X]=\{\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}:a_{i}\in I\}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper \begin_layout Standard \series bold |