Grupos y Anillos: Polinomios

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index d42ecd1..8457ada 100644
--- a/ga/n1.lyx
+++ b/ga/n1.lyx
@@ -926,146 +926,6 @@ Dada una familia de anillos
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-\begin_inset CommandInset label
-LatexCommand label
-name "enu:series"
-
-\end_inset
-
-Llamamos 
-\begin_inset Formula $A[[X]]$
-\end_inset
-
- al conjunto de las sucesiones de elementos del anillo 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- entendidos como 
-\series bold
-series de potencias
-\series default
- en una 
-\series bold
-indeterminada
-\series default
- 
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n}$
-\end_inset
-
-.
- Definiendo la suma como 
-\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}+(b_{n})_{n}:=(a_{n}+b_{n})_{n}$
-\end_inset
-
- y el producto como 
-\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}(b_{n})_{n}:=(\sum_{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i})_{n}$
-\end_inset
-
-, tenemos un anillo.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Llamamos 
-\begin_inset Formula $A[X]$
-\end_inset
-
- al conjunto de las sucesiones de elementos del anillo 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- con un número finito de elementos no nulos, entendidas como 
-\series bold
-polinomios
-\series default
- en una 
-\series bold
-indeterminada
-\series default
- 
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
-.
- Este es un anillo con las mismas operaciones que en el punto 
-\begin_inset CommandInset ref
-LatexCommand ref
-reference "enu:series"
-plural "false"
-caps "false"
-noprefix "false"
-
-\end_inset
-
-.
- Dado un polinomio 
-\begin_inset Formula $P(X):=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}$
-\end_inset
-
-, llamamos 
-\series bold
-coeficiente
-\series default
- de 
-\series bold
-grado
-\series default
- 
-\begin_inset Formula $i$
-\end_inset
-
- de 
-\begin_inset Formula $P$
-\end_inset
-
- a 
-\begin_inset Formula $a_{i}$
-\end_inset
-
- y 
-\series bold
-coeficiente independiente
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $P$
-\end_inset
-
- a 
-\begin_inset Formula $a_{0}$
-\end_inset
-
-.
- Además, si 
-\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$
-\end_inset
-
-, decimos que 
-\begin_inset Formula $P$
-\end_inset
-
- tiene 
-\series bold
-grado
-\series default
- 
-\begin_inset Formula $n$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $a_{n}$
-\end_inset
-
- es su 
-\series bold
-coeficiente principal
-\series default
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
 Si 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -2315,30 +2175,6 @@ Dado un espacio vectorial
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-Todo anillo 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- es un subanillo de 
-\begin_inset Formula $A[X]$
-\end_inset
-
- identificando los elementos de 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- con los 
-\series bold
-polinomios constantes
-\series default
-, de la forma 
-\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
 Dado un anillo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -2948,34 +2784,6 @@ norma
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Enumerate
-Sea 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- un anillo y 
-\begin_inset Formula $b\in A$
-\end_inset
-
-, definimos el 
-\series bold
-homomorfismo de sustitución
-\series default
- en 
-\begin_inset Formula $b$
-\end_inset
-
- como la función 
-\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to A$
-\end_inset
-
- dada por 
-\begin_inset Formula $S_{b}(a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}):=a_{0}+a_{1}b+\dots+a_{n}b^{n}$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
 \begin_layout Section
 Ideales
 \end_layout
@@ -3015,13 +2823,6 @@ ideal
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-\begin_inset Newpage pagebreak
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
 Ejemplos:
 \end_layout
 
@@ -3212,30 +3013,6 @@ Sean
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Enumerate
-Dado un ideal 
-\begin_inset Formula $I$
-\end_inset
-
- de 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0}\in I\}$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$
-\end_inset
-
- son ideales de 
-\begin_inset Formula $A[X]$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
 \begin_layout Standard
 Dado un ideal 
 \begin_inset Formula $I$
@@ -3397,11 +3174,16 @@ Demostración:
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Algunos anillos cociente:
-\end_layout
+Es claro que 
+\begin_inset Formula $A/0\cong A$
+\end_inset
 
-\begin_layout Enumerate
-Dado 
+ y 
+\begin_inset Formula $A/A\cong0$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
 \begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
 \end_inset
 
@@ -3410,11 +3192,7 @@ Dado
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
-
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
-Dado 
+ En efecto, dado 
 \begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
@@ -3445,60 +3223,6 @@ Dado
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $A/0\cong A$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $A/A\cong0$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Dado un anillo 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $A[X]/(X)\cong A$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
-\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$
-\end_inset
-
- son congruentes módulo 
-\begin_inset Formula $(X)$
-\end_inset
-
- si y sólo si el coeficiente independiente de 
-\begin_inset Formula $P-Q$
-\end_inset
-
- es 0, si y sólo si 
-\begin_inset Formula $P$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $Q$
-\end_inset
-
- tienen igual coeficiente independiente, y es claro que entonces la composición
- de la inclusión con la proyección, 
-\begin_inset Formula $A\overset{i}{\to}A[X]\overset{\pi}{\to}A[X]/(X)$
-\end_inset
-
- es un isomorfismo.
-\end_layout
-
-\end_deeper
 \begin_layout Standard
 Dado un anillo conmutativo 
 \begin_inset Formula $A$
@@ -4206,10 +3930,6 @@ Si
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Ejemplos:
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
 Sean 
 \begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{Z}$
 \end_inset
@@ -4227,78 +3947,21 @@ Sean
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
-
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+ En efecto, 
 \begin_inset Formula $(n)(m)=(\{ab\}_{a\in(n),b\in(m)})=(\{pnqm\}_{p,q\in\mathbb{Z}})=(\{knm\})_{k\in\mathbb{Z}}=(nm)$
 \end_inset
 
-.
- 
+, 
 \begin_inset Formula $(n)\cap(m)=\{k\in\mathbb{Z}:n,m|k\}=\{k:\text{mcm}(n,m)|k\}=(\text{mcm}(n,m))$
 \end_inset
 
-.
- 
+ y 
 \begin_inset Formula $(n)+(m)=\{a+b\}_{a\in(n),b\in(m)}=\{pn+qm\}_{p,q\in\mathbb{Z}}=\{k\text{mcd}(n,m)\}_{k\in\mathbb{Z}}=(\text{mcd}(n,m))$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-En 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $(2)+(X)$
-\end_inset
-
-, formado por los polinomios cuyo término principal es par, no es principal.
-\end_layout
-
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
-Supongamos que existe 
-\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}[X]$
-\end_inset
-
- con 
-\begin_inset Formula $(2)+(X)=(a)$
-\end_inset
-
-.
- Entonces 
-\begin_inset Formula $ba=2\in(2)$
-\end_inset
-
- para algún polinomio 
-\begin_inset Formula $b$
-\end_inset
-
-, luego 
-\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
-\end_inset
-
-, y como 
-\begin_inset Formula $a\in(2,X)$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a$
-\end_inset
-
- es par, luego 
-\begin_inset Formula $X\notin(a)=(2)+(X)\#$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\end_deeper
 \begin_layout Section
 Teoremas de isomorfía
 \end_layout
@@ -4435,18 +4098,7 @@ Demostración:
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-\begin_inset Newpage pagebreak
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Así:
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Si 
+Así, si 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -4458,12 +4110,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $\frac{A\times B}{0\times B}\cong A$
 \end_inset
 
-.
-\end_layout
-
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
-El homomorfismo de proyección 
+, pues el homomorfismo de proyección 
 \begin_inset Formula $f:A\times B\to A$
 \end_inset
 
@@ -4475,74 +4122,9 @@ El homomorfismo de proyección
 \begin_inset Formula $0\times B$
 \end_inset
 
-, de donde se obtiene el resultado por el primer teorema de isomorfía.
-\end_layout
-
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-Si 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- es un anillo conmutativo, 
-\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$
-\end_inset
-
 .
 \end_layout
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
-El homomorfismo de sustitución en el 0 
-\begin_inset Formula $f:A[X]\to A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $f(\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i})=a_{0}$
-\end_inset
-
-, es suprayectivo con núcleo 
-\begin_inset Formula $(X)$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-Sea 
-\begin_inset Formula $I$
-\end_inset
-
- un ideal de de 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{I[X]}\cong(A/I)[X]$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
-La función 
-\begin_inset Formula $f:A[X]\to(A/I)[X]$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $f(\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i})=\sum_{i=0}^{n}[a_{i}]X^{i}$
-\end_inset
-
-, es un homomorfismo suprayectivo con núcleo 
-\begin_inset Formula $I[X]=\{\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}:a_{i}\in I\}$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\end_deeper
 \begin_layout Standard
 
 \series bold