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@@ -631,90 +631,6 @@ Un producto de anillos no triviales nunca es un dominio. \end_layout \end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - es un dominio si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, pero no es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es subanillo de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Sean -\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$ -\end_inset - - no nulos, como los coeficientes principales respectivos de -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $Q$ -\end_inset - - no son nulos y -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, el de -\begin_inset Formula $PQ$ -\end_inset - - tampoco lo es. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - no es un cuerpo porque -\begin_inset Formula $(X)$ -\end_inset - - es un ideal propio no nulo. -\end_layout - -\end_deeper \begin_layout Section Ideales maximales y primos \end_layout @@ -2590,7 +2506,10 @@ DFU UFD \series default ) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. - Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -3134,6 +3053,13 @@ Un dominio Por tanto las factorizaciones iniciales son equivalentes. \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage pagebreak +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Dominios de ideales principales \end_layout @@ -3393,174 +3319,6 @@ El valor absoluto es una función euclídea en \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ -\end_inset - - es un cuerpo, el grado de un polinomio en -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ -\end_inset - - es una función euclídea. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -La primera condición es clara. - Para la segunda, sean -\begin_inset Formula $D:=\mathbb{K}[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a,b\in D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\neq0$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $a=0$ -\end_inset - -, tomando -\begin_inset Formula $q=r=0$ -\end_inset - - se tiene el resultado. - Sean -\begin_inset Formula $a\neq0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - el grado de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - el de -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $n<m$ -\end_inset - -, tomamos -\begin_inset Formula $q=0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $r=a$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $n=m=0$ -\end_inset - -, tomamos -\begin_inset Formula $q=ab^{-1}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $r=0$ -\end_inset - -, lo que prueba la condición para -\begin_inset Formula $n=0$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $n>0$ -\end_inset - -, supuesto esto probado para grado menor que -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -, sean -\begin_inset Formula $\alpha$ -\end_inset - - el término principal de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\beta$ -\end_inset - - el término principal de -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $c:=a-\alpha\beta^{-1}X^{n-m}b$ -\end_inset - - tiene grado -\begin_inset Formula $n-m<n$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $m>0$ -\end_inset - - o -\begin_inset Formula $n-1$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $m=0$ -\end_inset - -, luego existen -\begin_inset Formula $q',r'\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $c:=q'b+r$ -\end_inset - - y o bien -\begin_inset Formula $r=0$ -\end_inset - - o -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - - tiene grado menor que -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -. - Entonces -\begin_inset Formula $a+\alpha\beta^{-1}X^{n-m}b=q'b+r$ -\end_inset - -, y tomando -\begin_inset Formula $q:=q'-\alpha\beta'X^{n-m}$ -\end_inset - - se tiene -\begin_inset Formula $a=qb+r$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate El cuadrado del módulo complejo es una función euclídea en \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[i]$ \end_inset @@ -4221,22 +3979,6 @@ Así, \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset -, y si -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - es un dominio llamamos -\series bold -cuerpo de las funciones racionales -\series default - sobre -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $A(X):=D(A[X])$ -\end_inset - . Es fácil ver que función \begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ |