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@@ -158,7 +158,7 @@ topología trivial indiscreta \series default a -\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{ind}}:=\{\emptyset,X\}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{ind}}\coloneqq \{\emptyset,X\}$ \end_inset y @@ -166,7 +166,7 @@ indiscreta topología discreta \series default a -\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{dis}}:={\cal P}(X)$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{dis}}\coloneqq {\cal P}(X)$ \end_inset . @@ -268,7 +268,7 @@ entorno \end_inset es un elemento de -\begin_inset Formula ${\cal E}(x):=\{U\in{\cal T}\mid x\in{\cal U}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal E}(x)\coloneqq \{U\in{\cal T}\mid x\in{\cal U}\}$ \end_inset . @@ -343,7 +343,7 @@ En \end_inset tenemos la distancia usual -\begin_inset Formula $d_{u}(x,y):=|x-y|$ +\begin_inset Formula $d_{u}(x,y)\coloneqq |x-y|$ \end_inset . @@ -368,7 +368,7 @@ d_{p}(x,y):=\left(\sum_{k=1}^{n}d(x_{k},y_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \end_inset , y -\begin_inset Formula $d_{\infty}(x,y):=\max_{k=1}^{n}d(x_{k},y_{k})$ +\begin_inset Formula $d_{\infty}(x,y)\coloneqq \max_{k=1}^{n}d(x_{k},y_{k})$ \end_inset . @@ -485,7 +485,7 @@ inducida \end_inset a la topología -\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}:=\{A\in X\mid \forall x\in A,\exists\delta>0\mid B_{d}(x,\delta)\subseteq A\}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}\coloneqq \{A\in X\mid \forall x\in A,\exists\delta>0\mid B_{d}(x,\delta)\subseteq A\}$ \end_inset . @@ -537,7 +537,7 @@ Dados un espacio topológico \end_inset , -\begin_inset Formula ${\cal T}_{Y}:=\{U\cap Y\}_{U\in{\cal T}}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{Y}\coloneqq \{U\cap Y\}_{U\in{\cal T}}$ \end_inset es una topología sobre @@ -578,7 +578,7 @@ La -esfera \series default , -\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}(r):=\{(x_{1},\dots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\mid x_{1}^{2}+\dots+x_{n+1}^{2}=r^{2}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}(r)\coloneqq \{(x_{1},\dots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\mid x_{1}^{2}+\dots+x_{n+1}^{2}=r^{2}\}$ \end_inset . @@ -610,7 +610,7 @@ El intervalo cerrado \series default -\begin_inset Formula $I:=[0,1]\subseteq\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $I\coloneqq [0,1]\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset o el @@ -630,7 +630,7 @@ El cilindro \series default , -\begin_inset Formula $C:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1,0\leq z\leq1\}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1,0\leq z\leq1\}$ \end_inset , cono de rotación sobre el eje @@ -666,7 +666,7 @@ El toro \series default , -\begin_inset Formula $\mathbb{T}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}}+3=0\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{T}\coloneqq \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}}+3=0\}$ \end_inset , cono de rotación sobre el eje @@ -695,7 +695,7 @@ status open \end_inset Tenemos -\begin_inset Formula $\{(x,0,z)\mid (x-2)^{2}+z^{2}=1\}=\{\alpha(s)\mid =(\cos s+2,0,\sin s)\}_{s\in[0,2\pi]}$ +\begin_inset Formula $\{(x,0,z)\mid (x-2)^{2}+z^{2}=1\}=\{\alpha(s)\coloneqq (\cos s+2,0,\sin s)\}_{s\in[0,2\pi]}$ \end_inset , luego el cono de rotación es @@ -820,7 +820,7 @@ La cinta de Möbius \series default , -\begin_inset Formula $M:=\{(\cos\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),\sin\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),t\cos\frac{\theta}{2})\}_{\theta\in[0,2\pi],t\in[-1,1]}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \{(\cos\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),\sin\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),t\cos\frac{\theta}{2})\}_{\theta\in[0,2\pi],t\in[-1,1]}$ \end_inset . @@ -947,7 +947,7 @@ restricción del rango \end_inset , dada por -\begin_inset Formula $f'(x):=f(x)$ +\begin_inset Formula $f'(x)\coloneqq f(x)$ \end_inset , es continua. @@ -1039,7 +1039,7 @@ suma \end_inset , -\begin_inset Formula $s(x,y):=x+y$ +\begin_inset Formula $s(x,y)\coloneqq x+y$ \end_inset , con la topología usual. @@ -1065,7 +1065,7 @@ Como los abiertos en \end_inset , -\begin_inset Formula $t:=s(x_{0},y_{0})$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq s(x_{0},y_{0})$ \end_inset y @@ -1122,7 +1122,7 @@ producto \end_inset , -\begin_inset Formula $p(x,y):=xy$ +\begin_inset Formula $p(x,y)\coloneqq xy$ \end_inset , con la topología usual. @@ -1144,7 +1144,7 @@ Dado \end_inset , -\begin_inset Formula $t:=p(x_{0},y_{0})$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq p(x_{0},y_{0})$ \end_inset , @@ -1156,7 +1156,7 @@ Dado \end_inset y -\begin_inset Formula $\delta:=\min\{1,\frac{r}{|x_{0}|+|y_{0}|+1}\}$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{1,\frac{r}{|x_{0}|+|y_{0}|+1}\}$ \end_inset , para @@ -1199,7 +1199,7 @@ diagonal \end_inset , -\begin_inset Formula $d(x):=(x,\dots,x)$ +\begin_inset Formula $d(x)\coloneqq (x,\dots,x)$ \end_inset , con la topología usual. @@ -1217,7 +1217,7 @@ Basta ver que, dada una bola , su inversa es un abierto. Tenemos -\begin_inset Formula $d^{-1}(B_{d_{\infty}}(y,r))=\{x\mid d_{\infty}((x,\dots,x),y)<r\}=\{t\mid |x-y_{1}|,\dots,|x-y_{n}|<r\}$ +\begin_inset Formula $d^{-1}(B_{d_{\infty}}(y,r))=\{x\mid d_{\infty}((x,\dots,x),y)<r\}=\{t\mid|x-y_{1}|,\dots,|x-y_{n}|<r\}$ \end_inset , pero @@ -1242,7 +1242,7 @@ Una función \end_inset es continua si y sólo si los componentes -\begin_inset Formula $f_{i}(x):=f(x)_{i}$ +\begin_inset Formula $f_{i}(x)\coloneqq f(x)_{i}$ \end_inset lo son. @@ -1352,15 +1352,15 @@ status open La función es continua porque lo es en cada componente, al serlo la suma y el producto. Dado -\begin_inset Formula $u:=(\cos\theta,x,y,z)$ +\begin_inset Formula $u\coloneqq (\cos\theta,x,y,z)$ \end_inset , sean -\begin_inset Formula $v:=(x,y,z)$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq (x,y,z)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=\Vert v\Vert$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \Vert v\Vert$ \end_inset . @@ -1565,7 +1565,7 @@ C:=\left(\begin{array}{ccc} \begin_layout Enumerate Revertimos las dos rotaciones anteriores. Sea -\begin_inset Formula $t:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ \end_inset , @@ -2043,7 +2043,7 @@ topología generada \end_inset a -\begin_inset Formula ${\cal T}_{{\cal B}}:=\{U\subseteq X\mid \forall x\in U,\exists B\in{\cal B}\mid x\in B\subseteq U\}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{{\cal B}}\coloneqq \{U\subseteq X\mid \forall x\in U,\exists B\in{\cal B}\mid x\in B\subseteq U\}$ \end_inset , y se tiene que @@ -2075,7 +2075,7 @@ topología del límite inferior \end_inset generada por la base -\begin_inset Formula ${\cal B}_{\ell i}:=\{[a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R};a<b}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{\ell i}\coloneqq \{[a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R};a<b}$ \end_inset . @@ -2107,7 +2107,7 @@ En efecto, \end_inset , pero tomando la base -\begin_inset Formula ${\cal B}_{u}:=\{(a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R},a<b}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{u}\coloneqq \{(a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R},a<b}$ \end_inset de la topología usual de @@ -2240,11 +2240,11 @@ Tomamos la base \end_inset , -\begin_inset Formula $(p_{n}:=\frac{\lceil an\rceil}{n})_{n\geq n_{0}}$ +\begin_inset Formula $(p_{n}\coloneqq \frac{\lceil an\rceil}{n})_{n\geq n_{0}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(q_{n}:=\frac{\lfloor bn\rfloor}{n})_{n\geq n_{0}}$ +\begin_inset Formula $(q_{n}\coloneqq \frac{\lfloor bn\rfloor}{n})_{n\geq n_{0}}$ \end_inset , @@ -2294,7 +2294,7 @@ Sea \end_inset , sea -\begin_inset Formula $U_{x}:=[x,x+1)\in{\cal T}_{\ell i}$ +\begin_inset Formula $U_{x}\coloneqq [x,x+1)\in{\cal T}_{\ell i}$ \end_inset , existe @@ -2409,7 +2409,7 @@ Ejemplos: status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset . @@ -2430,7 +2430,7 @@ Todo espacio métrico status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{B_{d}(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{B_{d}(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset . @@ -2456,7 +2456,7 @@ Dada una base \end_inset numerable, -\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{B\in{\cal B}\mid x\in B\}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{B\in{\cal B}\mid x\in B\}$ \end_inset es base de entornos de @@ -440,7 +440,7 @@ Demostración: . Entonces -\begin_inset Formula $g(x):=\frac{f(x)-x}{|f(x)-x|}$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq \frac{f(x)-x}{|f(x)-x|}$ \end_inset está bien definida, es continua y va de @@ -510,7 +510,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq \frac{f(x)}{|f(x)|}$ \end_inset , que es continua, y es suprayectiva porque @@ -957,7 +957,7 @@ teorema \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $Y:=\bigcup_{i\in I}Y_{i}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq \bigcup_{i\in I}Y_{i}$ \end_inset es conexo @@ -1044,7 +1044,7 @@ Demostración: \end_inset por abiertos de -\begin_inset Formula $Y:=Y'\cup\bigcup_{i}Y_{i}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq Y'\cup\bigcup_{i}Y_{i}$ \end_inset , si por ejemplo @@ -1134,11 +1134,11 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $U:=\{(x,y)\mid x>0\}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq \{(x,y)\mid x>0\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $V:=\{(x,y)\mid x<0\}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq \{(x,y)\mid x<0\}$ \end_inset e @@ -1294,7 +1294,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $h_{t}(x):=tx$ +\begin_inset Formula $h_{t}(x)\coloneqq tx$ \end_inset para @@ -1306,7 +1306,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\sigma(x):=(x,0,\dots,0)$ +\begin_inset Formula $\sigma(x)\coloneqq (x,0,\dots,0)$ \end_inset , por lo que sus imágenes son conexas. @@ -1359,7 +1359,7 @@ status open \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(A):=\frac{\det A}{|\det A|}$ +\begin_inset Formula $f(A)\coloneqq \frac{\det A}{|\det A|}$ \end_inset y es suprayectiva, pues @@ -1566,7 +1566,7 @@ En efecto, si tuviera una separación \end_inset , como -\begin_inset Formula $S:=\alpha([a,b])$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \alpha([a,b])$ \end_inset es conexa por ser la imagen de un conexo por una función continua, debería @@ -1589,7 +1589,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout , pues, por ejemplo, si -\begin_inset Formula $S:=\{(x,\sin\frac{1}{x})\}_{0<x\leq1}\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{(x,\sin\frac{1}{x})\}_{0<x\leq1}\subseteq\mathbb{R}^{2}$ \end_inset , @@ -1693,7 +1693,7 @@ teorema \end_inset , -\begin_inset Formula $Y:=\bigcup_{i\in I}Y_{i}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq \bigcup_{i\in I}Y_{i}$ \end_inset es conexo por caminos @@ -1787,7 +1787,7 @@ Dado un espacio vectorial convexo \series default si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,[x,y]:=\{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}\subseteq X$ +\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,[x,y]\coloneqq \{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}\subseteq X$ \end_inset y @@ -1898,11 +1898,11 @@ status open \end_inset Dados el recubrimiento -\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{\{x\}\}_{x\in X}$ +\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \{\{x\}\}_{x\in X}$ \end_inset y un subrecubrimiento finito -\begin_inset Formula ${\cal B}:=\{\{x_{1}\},\dots,\{x_{n}\}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq \{\{x_{1}\},\dots,\{x_{n}\}\}$ \end_inset , @@ -2179,7 +2179,7 @@ Demostración: y supongamos que no admite un subrecubrimiento finito. Sea -\begin_inset Formula $I_{0}:=[0,1]^{n}$ +\begin_inset Formula $I_{0}\coloneqq [0,1]^{n}$ \end_inset , de los @@ -2222,7 +2222,7 @@ Demostración: \end_inset , luego existe un único -\begin_inset Formula $z:=(z_{1},\dots,z_{n})\in\bigcap_{k}I_{k}$ +\begin_inset Formula $z\coloneqq (z_{1},\dots,z_{n})\in\bigcap_{k}I_{k}$ \end_inset . @@ -2293,7 +2293,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x):=((1-x_{j})a_{j}+x_{j}b_{j})_{j=1}^{n}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq ((1-x_{j})a_{j}+x_{j}b_{j})_{j=1}^{n}$ \end_inset . @@ -2393,7 +2393,7 @@ Sea . Ahora bien, -\begin_inset Formula $\{U_{\delta}\mid =(-\infty,z-\delta)\cup(z+\delta,+\infty)\}_{\delta>0}$ +\begin_inset Formula $\{U_{\delta}\coloneqq (-\infty,z-\delta)\cup(z+\delta,+\infty)\}_{\delta>0}$ \end_inset es un recubrimiento de @@ -2406,7 +2406,7 @@ Sea . Entonces, si -\begin_inset Formula $d:=\min_{k=1}^{n}\delta_{k}$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \min_{k=1}^{n}\delta_{k}$ \end_inset , @@ -2560,7 +2560,7 @@ En efecto, dados un espacio métrico \end_inset , sea -\begin_inset Formula $d:=d(x,y)>0$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq d(x,y)>0$ \end_inset , @@ -2750,7 +2750,7 @@ Sea \end_inset continua, -\begin_inset Formula $\text{fix}f:=\{x\in X\mid f(x)=x\}$ +\begin_inset Formula $\text{fix}f\coloneqq \{x\in X\mid f(x)=x\}$ \end_inset es cerrado en @@ -2776,7 +2776,7 @@ status open Demostración: \series default Queremos ver que -\begin_inset Formula $S:=X\setminus\text{fix}f$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq X\setminus\text{fix}f$ \end_inset es abierto. @@ -2876,11 +2876,11 @@ En efecto, dados \end_inset disjuntos, luego -\begin_inset Formula $U_{1}:=f^{-1}(V_{1})$ +\begin_inset Formula $U_{1}\coloneqq f^{-1}(V_{1})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $U_{2}:=f^{-1}(V_{2})$ +\begin_inset Formula $U_{2}\coloneqq f^{-1}(V_{2})$ \end_inset son entornos respectivos de @@ -2968,7 +2968,7 @@ Demostración: . Entonces -\begin_inset Formula $A_{q}:=V_{p_{1}}\cap\dots\cap V_{p_{k}}\subseteq U_{p_{1}}^{\complement}\cap\dots\cap U_{p_{k}}^{\complement}=(U_{p_{1}}\cup\dots\cup U_{p_{k}})^{\complement}\subseteq K^{\complement}$ +\begin_inset Formula $A_{q}\coloneqq V_{p_{1}}\cap\dots\cap V_{p_{k}}\subseteq U_{p_{1}}^{\complement}\cap\dots\cap U_{p_{k}}^{\complement}=(U_{p_{1}}\cup\dots\cup U_{p_{k}})^{\complement}\subseteq K^{\complement}$ \end_inset es un entorno de @@ -165,11 +165,11 @@ Las funciones \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $f(x):=\tan(\frac{\pi}{2}x)$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \tan(\frac{\pi}{2}x)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g(x):=\frac{x}{1-x^{2}}$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq \frac{x}{1-x^{2}}$ \end_inset son homeomorfismos. @@ -177,7 +177,7 @@ Las funciones \begin_layout Enumerate Sea -\begin_inset Formula $N:=(0,\dots,0,1)\in\mathbb{R}^{n+1}$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq (0,\dots,0,1)\in\mathbb{R}^{n+1}$ \end_inset , la @@ -202,7 +202,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $\pi:=\mathbb{R}^{n}\times\{-1\}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \mathbb{R}^{n}\times\{-1\}$ \end_inset y @@ -215,7 +215,7 @@ Sean \series default la proyección estereográfica. Si -\begin_inset Formula $y:=g(x)$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq g(x)$ \end_inset , @@ -309,7 +309,7 @@ Sean status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}\setminus\{N\mid =(0,\dots,0,1)\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}\setminus\{N\coloneqq (0,\dots,0,1)\}$ \end_inset y @@ -321,7 +321,7 @@ status open \end_inset y -\begin_inset Formula $\pi:=\mathbb{R}^{n}\times\{-1\}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \mathbb{R}^{n}\times\{-1\}$ \end_inset , son linealmente isomorfos, por lo que son homeomorfos y @@ -338,7 +338,7 @@ status open \begin_layout Enumerate El disco -\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{n}:=\overline{B}_{d_{2}}(0;1)\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{n}\coloneqq \overline{B}_{d_{2}}(0;1)\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es homeomorfo a @@ -355,7 +355,7 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x):=x\frac{\Vert x\Vert_{\infty}}{\Vert x\Vert_{2}}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq x\frac{\Vert x\Vert_{\infty}}{\Vert x\Vert_{2}}$ \end_inset para @@ -363,7 +363,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $f(0):=0$ +\begin_inset Formula $f(0)\coloneqq 0$ \end_inset , queremos ver que @@ -371,7 +371,7 @@ Sea \end_inset es biyectiva con inversa -\begin_inset Formula $g(y):=y\frac{\Vert y\Vert_{2}}{\Vert y\Vert_{\infty}}$ +\begin_inset Formula $g(y)\coloneqq y\frac{\Vert y\Vert_{2}}{\Vert y\Vert_{\infty}}$ \end_inset para @@ -723,7 +723,7 @@ unión disjunta \end_inset a -\begin_inset Formula $X\amalg Y:=(X\times\{0\})\cup(Y\times\{1\})$ +\begin_inset Formula $X\amalg Y\coloneqq (X\times\{0\})\cup(Y\times\{1\})$ \end_inset . @@ -736,7 +736,7 @@ unión disjunta \end_inset son espacios topológicos, definimos la topología -\begin_inset Formula ${\cal T}_{X\amalg Y}:=\{U\subseteq X\amalg Y\mid \{x\mid (x,0)\in U\}\in{\cal T}_{X}\land\{y\mid (y,1)\in U\}\in{\cal T}_{Y}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{X\amalg Y}\coloneqq \{U\subseteq X\amalg Y\mid \{x\mid (x,0)\in U\}\in{\cal T}_{X}\land\{y\mid(y,1)\in U\}\in{\cal T}_{Y}\}$ \end_inset . @@ -806,11 +806,11 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x,0):=e^{x_{1}}v_{1}+\sum_{k=2}^{n}x_{k}v_{k}$ +\begin_inset Formula $f(x,0)\coloneqq e^{x_{1}}v_{1}+\sum_{k=2}^{n}x_{k}v_{k}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(y,0):=-e^{x_{1}}v_{1}+\sum_{k=2}^{n}x_{k}v_{k}$ +\begin_inset Formula $f(y,0)\coloneqq -e^{x_{1}}v_{1}+\sum_{k=2}^{n}x_{k}v_{k}$ \end_inset es un homeomorfismo. @@ -934,7 +934,7 @@ Sea \end_inset , -\begin_inset Formula $\{U_{i}\mid =\{x\mid (x,0)\in A_{i}\}\}_{i\in I}$ +\begin_inset Formula $\{U_{i}\coloneqq \{x\mid (x,0)\in A_{i}\}\}_{i\in I}$ \end_inset lo es de @@ -947,7 +947,7 @@ Sea . Del mismo modo -\begin_inset Formula $\{V_{j}\mid =\{y\mid (y,1)\in A_{i}\}\}_{j\in I}$ +\begin_inset Formula $\{V_{j}\coloneqq \{y\mid (y,1)\in A_{i}\}\}_{j\in I}$ \end_inset admite un subrecubrimiento finito @@ -1257,7 +1257,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f((x_{1},\dots,x_{m}),(y_{1},\dots,y_{n})):=(x_{1},\dots,x_{m},y_{1},\dots,y_{n})$ +\begin_inset Formula $f((x_{1},\dots,x_{m}),(y_{1},\dots,y_{n}))\coloneqq (x_{1},\dots,x_{m},y_{1},\dots,y_{n})$ \end_inset es biyectiva. @@ -1278,11 +1278,11 @@ Demostración: \end_inset , sean -\begin_inset Formula $a:=d_{\infty}(z,x)<\varepsilon_{x}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq d_{\infty}(z,x)<\varepsilon_{x}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b:=d_{\infty}(w,y)<\delta_{y}$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq d_{\infty}(w,y)<\delta_{y}$ \end_inset , la bola @@ -1312,11 +1312,11 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(L(x)):=(x,-1)$ +\begin_inset Formula $f(L(x))\coloneqq (x,-1)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(R(y)):=(y,1)$ +\begin_inset Formula $f(R(y))\coloneqq (y,1)$ \end_inset es biyectiva. @@ -1370,11 +1370,11 @@ proyecciones \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $\pi_{1}(a,b):=a$ +\begin_inset Formula $\pi_{1}(a,b)\coloneqq a$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\pi_{2}(a,b):=b$ +\begin_inset Formula $\pi_{2}(a,b)\coloneqq b$ \end_inset son continuas. @@ -1416,7 +1416,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x):=(a(x),b(x))$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq (a(x),b(x))$ \end_inset es continua si y sólo si lo son @@ -2144,7 +2144,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $U:=\bigcap_{k=1}^{n}U_{y_{k}}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq \bigcap_{k=1}^{n}U_{y_{k}}$ \end_inset , entonces @@ -2269,7 +2269,7 @@ Sean \end_inset , sea -\begin_inset Formula $I_{x}:=\{i\in I\mid x\in U_{i}\}$ +\begin_inset Formula $I_{x}\coloneqq \{i\in I\mid x\in U_{i}\}$ \end_inset , @@ -2376,7 +2376,7 @@ proyección canónica aplicación cociente \series default -\begin_inset Formula $p(x):=\overline{x}:=[x]$ +\begin_inset Formula $p(x)\coloneqq \overline{x}\coloneqq [x]$ \end_inset que a cada @@ -2429,7 +2429,7 @@ Si \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $X/A:=X/\sim_{A}$ +\begin_inset Formula $X/A\coloneqq X/\sim_{A}$ \end_inset donde @@ -2467,7 +2467,7 @@ Ejemplos: \begin_layout Enumerate Sea -\begin_inset Formula $X:=\mathbb{D}^{2}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \mathbb{D}^{2}$ \end_inset , @@ -2501,11 +2501,11 @@ para \end_inset , -\begin_inset Formula $f(0):=(0,0,1)$ +\begin_inset Formula $f(0)\coloneqq (0,0,1)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(*):=(0,0,-1)$ +\begin_inset Formula $f(*)\coloneqq (0,0,-1)$ \end_inset . @@ -2631,7 +2631,7 @@ Para \end_inset , sea -\begin_inset Formula $X:=[0,1]^{n}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq [0,1]^{n}$ \end_inset , @@ -2643,7 +2643,7 @@ Para \begin_layout Enumerate Sean -\begin_inset Formula $X:=\mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}$ \end_inset y @@ -2663,7 +2663,7 @@ Sean \begin_layout Standard Además, sea -\begin_inset Formula $X:=[0,1]\times[0,1]$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq [0,1]\times[0,1]$ \end_inset : @@ -144,7 +144,7 @@ homotopía Lema del pegamiento: \series default Sean -\begin_inset Formula $X:=A\cup B$ +\begin_inset Formula $X:= A\cup B$ \end_inset con @@ -239,7 +239,7 @@ Demostración: \begin_layout Standard La relación ser funciones homotópicas es de equivalencia, y llamamos -\begin_inset Formula $[X,Y]:={\cal C}(X,Y)\slash\simeq$ +\begin_inset Formula $[X,Y]:= {\cal C}(X,Y)\slash\simeq$ \end_inset . @@ -257,7 +257,7 @@ Demostración: continuas. -\begin_inset Formula $F(x,t):=f(x)$ +\begin_inset Formula $F(x,t):= f(x)$ \end_inset es una homotopía de @@ -286,7 +286,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $G(x,t):=F(x,1-t)$ +\begin_inset Formula $G(x,t):= F(x,1-t)$ \end_inset lo es de @@ -396,7 +396,7 @@ status open \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tg(x)$ +\begin_inset Formula $F(x,t):= (1-t)f(x)+tg(x)$ \end_inset @@ -604,7 +604,7 @@ Dado otro espacio \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Phi([h]):=[h\circ g]$ +\begin_inset Formula $\Phi([h]):= [h\circ g]$ \end_inset es biyectiva con inversa @@ -616,7 +616,7 @@ Dado otro espacio \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Psi([h]):=[f\circ h]$ +\begin_inset Formula $\Psi([h]):= [f\circ h]$ \end_inset es biyectiva con inversa @@ -650,7 +650,7 @@ Demostración: está bien definida. Sean -\begin_inset Formula $\Phi'([j]):=[j\circ f]$ +\begin_inset Formula $\Phi'([j])\coloneqq [j\circ f]$ \end_inset y @@ -714,7 +714,7 @@ status open \end_inset es el homeomorfismo y -\begin_inset Formula $g:=f^{-1}:Y\to X$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}:Y\to X$ \end_inset , entonces @@ -786,7 +786,7 @@ Sea \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $f(x):=\frac{x}{\Vert x\Vert}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$ \end_inset y @@ -795,7 +795,7 @@ Sea es la inclusión. Entonces -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tx$ +\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$ \end_inset es una homotopía de @@ -845,15 +845,15 @@ No son homeomorfos porque \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $f(x):=\frac{x}{\Vert x\Vert}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g(x):=x$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x$ \end_inset , y entonces -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tx$ +\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$ \end_inset es una homotopía de @@ -936,7 +936,7 @@ Demostración: \end_inset las equivalencias homotópicas, e -\begin_inset Formula $y_{0}:=k(p)\in Y$ +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq k(p)\in Y$ \end_inset , para @@ -978,7 +978,7 @@ Demostración: \end_inset las equivalencias homotópicas, -\begin_inset Formula $x_{0}:=g(p)=g(f(X))$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq g(p)=g(f(X))$ \end_inset y @@ -999,7 +999,7 @@ Demostración: \end_inset , definimos el camino -\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t):=F(x,t)$ +\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t)\coloneqq F(x,t)$ \end_inset que une @@ -1115,7 +1115,7 @@ Si \end_inset y por tanto un camino -\begin_inset Formula $\gamma(t):=F(y,t)$ +\begin_inset Formula $\gamma(t)\coloneqq F(y,t)$ \end_inset de @@ -1197,7 +1197,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t):=F(p,t)$ +\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t)\coloneqq F(p,t)$ \end_inset un camino que une @@ -1255,11 +1255,11 @@ status open Demostración: \series default Dados -\begin_inset Formula $X:=\{0\}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \{0\}$ \end_inset e -\begin_inset Formula $Y:=\{0,1\}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq \{0,1\}$ \end_inset con sus topologías indiscretas y @@ -1407,7 +1407,7 @@ Sean \end_inset e -\begin_inset Formula $y_{0}:=r(x_{0})$ +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq r(x_{0})$ \end_inset , existe un único camino @@ -1455,7 +1455,7 @@ Demostración: \end_inset es un homeomorfismo, luego -\begin_inset Formula $V_{x}:=V\cap f(U_{X})$ +\begin_inset Formula $V_{x}\coloneqq V\cap f(U_{X})$ \end_inset es abierto, con lo que @@ -1588,7 +1588,7 @@ aplicación exponencial \end_inset dada por -\begin_inset Formula $e(\theta):=(\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$ +\begin_inset Formula $e(\theta)\coloneqq (\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$ \end_inset . @@ -1605,7 +1605,7 @@ lazo \end_inset es continua, -\begin_inset Formula $\alpha_{f}:=f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}\coloneqq f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$ \end_inset es un lazo, y dado @@ -1629,7 +1629,7 @@ lazo \end_inset , -\begin_inset Formula $\theta_{1}:=\tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$ +\begin_inset Formula $\theta_{1}\coloneqq \tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$ \end_inset para algún @@ -1650,7 +1650,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $\deg f:=n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$ +\begin_inset Formula $\deg f\coloneqq n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$ \end_inset . @@ -1729,7 +1729,7 @@ alpha}_f(s)=e(2s)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=2s$, $ +alpha}_f(s):= 2s$, $ \backslash deg(f)=2 \backslash @@ -1757,7 +1757,7 @@ alpha_f(s)=e(ns)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=ns$, $ +alpha}_f(s):= ns$, $ \backslash deg f={ \backslash @@ -1795,7 +1795,7 @@ pi s))=e(-s)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=-s$, $ +alpha}_f(s):= -s$, $ \backslash deg(f)={ \backslash @@ -1920,16 +1920,16 @@ Si \end_inset dado por -\begin_inset Formula $h(t):=e(t+\theta_{0})$ +\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq e(t+\theta_{0})$ \end_inset , donde -\begin_inset Formula $e(\theta_{0}):=z_{0}$ +\begin_inset Formula $e(\theta_{0})\coloneqq z_{0}$ \end_inset . Por tanto, si -\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s):=f(e(s))$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))$ \end_inset , existe un levantamiento de @@ -1937,7 +1937,7 @@ Si \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s):=\theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq \theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$ \end_inset , pues @@ -1966,7 +1966,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sea -\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s):=f(e(s))=e(s)$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))=e(s)$ \end_inset , @@ -1974,7 +1974,7 @@ Sea \end_inset , y tomamos -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s):=s$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq s$ \end_inset . @@ -2000,7 +2000,7 @@ Si función antípoda \series default , -\begin_inset Formula $f(x):=-x$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq -x$ \end_inset , @@ -2012,7 +2012,7 @@ función antípoda \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $f(x,y):=(x^{2}-y^{2},2xy)$ +\begin_inset Formula $f(x,y)\coloneqq (x^{2}-y^{2},2xy)$ \end_inset , @@ -2028,7 +2028,7 @@ Dado \end_inset , si -\begin_inset Formula $f(z):=z^{n}$ +\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq z^{n}$ \end_inset en @@ -2213,7 +2213,7 @@ begin{itemize} \backslash item{$ \backslash -implies]$} Sea $I:=[0,1]$, existe una homotopía $H: +implies]$} Sea $I:= [0,1]$, existe una homotopía $H: \backslash mathbb{S}^1 \backslash @@ -2227,7 +2227,7 @@ times I \backslash to \backslash -mathbb{S}^1$ como $F(s,t):=H(e(s),t)$. +mathbb{S}^1$ como $F(s,t):= H(e(s),t)$. Sea $ \backslash alpha_f:I @@ -2236,7 +2236,7 @@ to \backslash mathbb{S}^1$ dado por $ \backslash -alpha_f(s):=f(e(s))$, $ +alpha_f(s):= f(e(s))$, $ \backslash deg f= \backslash @@ -2393,7 +2393,7 @@ tilde F(s,t)$, que está bien definida porque $ \backslash tilde F(0,t)= \backslash -tilde F(1,t)$, y definimos $H:=e +tilde F(1,t)$, y definimos $H:= e \backslash circ \backslash @@ -2418,7 +2418,7 @@ theta_0$ es tal que $R_{ \backslash theta_0}(g(1,0))=f(1,0)$. Las funciones $f$ y $g'$ son homotópicas, y entre $g$ y $g'$ hay una homotopía - $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):=R_{ + $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):= R_{ \backslash theta_0t}(g(z))$. Esto completa la prueba. @@ -2480,7 +2480,7 @@ Si \end_inset admite una extensión continua a -\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:=B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:= B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$ \end_inset , es decir, una función continua @@ -2535,7 +2535,7 @@ Si \end_inset como -\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):=F(e(\theta),r)$ +\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):= F(e(\theta),r)$ \end_inset , que está bien definida porque, si @@ -2575,7 +2575,7 @@ Basta ver que \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(z,t):=\hat{f}(zt)$ +\begin_inset Formula $F(z,t):= \hat{f}(zt)$ \end_inset es una homotopía de la función constante en @@ -2632,7 +2632,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Si $f(-1)=-1$ o $f(1)=1$ hemos terminado. - De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):=f(x)-x$, $g(-1)>0$ + De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):= f(x)-x$, $g(-1)>0$ y $g(1)<0$, y basta aplicar el teorema de Bolzano. \end_layout @@ -2667,7 +2667,7 @@ mathbb{S}^1}$. a $z$. Este punto está en la imagen de $ \backslash -gamma(t):=z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$. +gamma(t):= z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$. Entonces $ \backslash gamma(t) @@ -2712,15 +2712,15 @@ rangle+t^2 \backslash Vert f(z)-z \backslash -Vert^2.$$ Llamando $a(z):= +Vert^2.$$ Llamando $a(z):= \backslash Vert f(z)-z \backslash -Vert^2$, $b(z):= +Vert^2$, $b(z):= \backslash langle z,f(z)-z \backslash -rangle$ y $c(z):= +rangle$ y $c(z):= \backslash Vert z \backslash @@ -2846,13 +2846,13 @@ teorema status open \begin_layout Plain Layout -Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):={v(z) +Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):= {v(z) \backslash over \backslash Vert v(z) \backslash -Vert}$ y $g(z):=-f(z)$. +Vert}$ y $g(z):= -f(z)$. Entonces $f,g: \backslash mathbb{S}^1 @@ -2862,7 +2862,7 @@ to mathbb{S}^1$ son continuas. Como $f$ admite una extensión continua a $ \backslash -mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):={v(tz) +mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):= {v(tz) \backslash over \backslash @@ -2915,7 +2915,7 @@ Un campo de vectores tangente a \end_inset con -\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:=\text{span}\{p\}^{\bot}$ +\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:= \text{span}\{p\}^{\bot}$ \end_inset para cada @@ -173,7 +173,7 @@ lazo \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula ${\cal L}(X,x):={\cal C}(X,x,x)$ +\begin_inset Formula ${\cal L}(X,x)\coloneqq {\cal C}(X,x,x)$ \end_inset . @@ -198,11 +198,11 @@ La relación \end_inset es de equivalencia, y llamamos -\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x,y):={\cal C}(X,x,y)/\simeq_{p}$ +\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x,y)\coloneqq {\cal C}(X,x,y)/\simeq_{p}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x):={\cal L}(X,x)/\simeq_{p}$ +\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x)\coloneqq {\cal L}(X,x)/\simeq_{p}$ \end_inset . @@ -223,7 +223,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(s,t):=\alpha(s)$ +\begin_inset Formula $F(s,t)\coloneqq \alpha(s)$ \end_inset es una homotopía de caminos de @@ -252,7 +252,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $G(s,t):=F(s,1-t)$ +\begin_inset Formula $G(s,t)\coloneqq F(s,1-t)$ \end_inset es una homotopía de caminos de @@ -364,7 +364,7 @@ La operación \end_inset dada por -\begin_inset Formula $[\alpha]*[\beta]:=[\alpha\land\beta]$ +\begin_inset Formula $[\alpha]*[\beta]\coloneqq [\alpha\land\beta]$ \end_inset está bien definida. @@ -516,7 +516,7 @@ camino constante \end_inset dado por -\begin_inset Formula $c_{x}(s):=x$ +\begin_inset Formula $c_{x}(s)\coloneqq x$ \end_inset . @@ -607,7 +607,7 @@ camino inverso \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\overline{\alpha}(s):=\alpha(1-s)$ +\begin_inset Formula $\overline{\alpha}(s)\coloneqq \alpha(1-s)$ \end_inset . @@ -636,7 +636,7 @@ Tenemos \end_inset luego -\begin_inset Formula $F(s,t):=\alpha(t(1-|1-2s|))$ +\begin_inset Formula $F(s,t)\coloneqq \alpha(t(1-|1-2s|))$ \end_inset es una homotopía de caminos de @@ -714,7 +714,7 @@ Dado \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\hat{\alpha}([\gamma]):=[\overline{\alpha}]*[\gamma]*[\alpha]$ +\begin_inset Formula $\hat{\alpha}([\gamma])\coloneqq [\overline{\alpha}]*[\gamma]*[\alpha]$ \end_inset es un isomorfismo de grupos. @@ -885,7 +885,7 @@ homomorfismo inducido \end_inset a -\begin_inset Formula $(f_{x_{0}})_{*}:=f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\to\pi_{1}(Y,y_{0})$ +\begin_inset Formula $(f_{x_{0}})_{*}\coloneqq f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\to\pi_{1}(Y,y_{0})$ \end_inset dada por @@ -1082,7 +1082,7 @@ En efecto, sean \end_inset , -\begin_inset Formula $G(s,t):=F(\alpha(s),t)$ +\begin_inset Formula $G(s,t)\coloneqq F(\alpha(s),t)$ \end_inset es una homotopía de @@ -1324,7 +1324,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $G(s,t):=\Gamma((1-t,0)+te(s))$ +\begin_inset Formula $G(s,t)\coloneqq \Gamma((1-t,0)+te(s))$ \end_inset , @@ -1442,7 +1442,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $r(x_{0}):=y_{0}$ +\begin_inset Formula $r(x_{0})\coloneqq y_{0}$ \end_inset , si para @@ -1466,7 +1466,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\phi([\alpha]):=\tilde{\alpha}(1)$ +\begin_inset Formula $\phi([\alpha])\coloneqq \tilde{\alpha}(1)$ \end_inset , llamamos @@ -1554,7 +1554,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\tau(t):=\phi(s\mapsto F(s,t))$ +\begin_inset Formula $\tau(t)\coloneqq \phi(s\mapsto F(s,t))$ \end_inset , como @@ -1601,11 +1601,11 @@ Demostración: \end_inset , sea -\begin_inset Formula $k:=x-\theta_{0}\in\mathbb{Z}$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq x-\theta_{0}\in\mathbb{Z}$ \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\alpha(s):=e(ks+\theta_{0})$ +\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq e(ks+\theta_{0})$ \end_inset cumple @@ -1654,7 +1654,7 @@ Demostración: \end_inset , de donde -\begin_inset Formula $F'(s,t):=F(s,t)\frac{y_{0}}{F((1,0),t)}$ +\begin_inset Formula $F'(s,t)\coloneqq F(s,t)\frac{y_{0}}{F((1,0),t)}$ \end_inset es otra homotopía de @@ -1674,7 +1674,7 @@ Demostración: \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $G(s,t):=F(e(s),t)$ +\begin_inset Formula $G(s,t)\coloneqq F(e(s),t)$ \end_inset es una homotopía de caminos de @@ -1879,11 +1879,11 @@ status open \end_inset es su polo sur, -\begin_inset Formula $U:=\mathbb{S}^{n}\setminus\{N\}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq \mathbb{S}^{n}\setminus\{N\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V:=\mathbb{S}^{n}\setminus\{S\}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq \mathbb{S}^{n}\setminus\{S\}$ \end_inset son abiertos homeomorfos a @@ -2125,7 +2125,7 @@ unión por un punto \end_inset a -\begin_inset Formula $X\lor Y:=(X\amalg Y)/\{x,y\}$ +\begin_inset Formula $X\lor Y\coloneqq (X\amalg Y)/\{x,y\}$ \end_inset . @@ -2162,7 +2162,7 @@ La figura ocho \series default es -\begin_inset Formula $E:=\mathbb{S}^{1}\lor\mathbb{S}^{1}$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \mathbb{S}^{1}\lor\mathbb{S}^{1}$ \end_inset , y @@ -2325,7 +2325,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $j_{*}([\alpha]):=[j\circ\alpha]=[\alpha]$ +\begin_inset Formula $j_{*}([\alpha])\coloneqq [j\circ\alpha]=[\alpha]$ \end_inset es biyectiva. @@ -2356,7 +2356,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\beta(s):=r(\alpha(s))=j(r(\alpha(s)))$ +\begin_inset Formula $\beta(s)\coloneqq r(\alpha(s))=j(r(\alpha(s)))$ \end_inset es homotópica a @@ -2364,7 +2364,7 @@ Demostración: \end_inset por la homotopía de caminos -\begin_inset Formula $H(s,t):=R(\alpha(s),t)$ +\begin_inset Formula $H(s,t)\coloneqq R(\alpha(s),t)$ \end_inset de @@ -2414,7 +2414,7 @@ Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \end_inset , y que la figura ocho es -\begin_inset Formula $E:={\cal C}(p;1)\cup{\cal C}(q;1)$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq {\cal C}(p;1)\cup{\cal C}(q;1)$ \end_inset . @@ -2532,7 +2532,7 @@ Ahora queda ver que la función es continua en las fronteras de los trozos. \begin_layout Enumerate La intersección del primer trozo y el tercero es -\begin_inset Formula $I_{1}:=\{-1\}\times(\mathbb{R}\setminus[-1,1])$ +\begin_inset Formula $I_{1}\coloneqq \{-1\}\times(\mathbb{R}\setminus[-1,1])$ \end_inset . @@ -2550,7 +2550,7 @@ La intersección del primer trozo y el tercero es . Las fronteras también intersecan en -\begin_inset Formula $I_{2}:={\cal C}(p;1)\cap([-1,0]\times\mathbb{R})$ +\begin_inset Formula $I_{2}\coloneqq {\cal C}(p;1)\cap([-1,0]\times\mathbb{R})$ \end_inset . @@ -2649,7 +2649,7 @@ El espacio theta \series default , -\begin_inset Formula $\theta:=\mathbb{S}^{1}\cup([-1,1]\times\{0\})$ +\begin_inset Formula $\theta\coloneqq \mathbb{S}^{1}\cup([-1,1]\times\{0\})$ \end_inset , es un retracto de deformación de @@ -317,7 +317,7 @@ Sea . Sea -\begin_inset Formula $v:=t_{1}v_{1}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{1},\dots,v_{k}]$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq t_{1}v_{1}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{1},\dots,v_{k}]$ \end_inset . @@ -345,7 +345,7 @@ Sea . En otro caso, -\begin_inset Formula $w:=\frac{t_{1}}{1-t_{k}}v_{1}+\dots+\frac{t_{k-1}}{1-t_{k}}v_{k-1}\in\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k-1}\}\subseteq\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k}\}\subseteq C$ +\begin_inset Formula $w\coloneqq \frac{t_{1}}{1-t_{k}}v_{1}+\dots+\frac{t_{k-1}}{1-t_{k}}v_{k-1}\in\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k-1}\}\subseteq\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k}\}\subseteq C$ \end_inset , luego @@ -385,12 +385,12 @@ símplice vértices \series default , en posición general, -\begin_inset Formula $[v_{0},\dots,v_{k}]:=\text{conv}\{v_{0},\dots,v_{k}\}$ +\begin_inset Formula $[v_{0},\dots,v_{k}]\coloneqq \text{conv}\{v_{0},\dots,v_{k}\}$ \end_inset . Si -\begin_inset Formula $v:=t_{0}v_{0}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{0},\dots,v_{k}]$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq t_{0}v_{0}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{0},\dots,v_{k}]$ \end_inset con cada @@ -418,7 +418,7 @@ coordinadas baricéntricas \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $W:=\{v_{0},\dots,v_{k}\}$ +\begin_inset Formula $W\coloneqq \{v_{0},\dots,v_{k}\}$ \end_inset determina un @@ -648,7 +648,7 @@ característica de Euler \end_inset es -\begin_inset Formula $\chi(T):=i_{0}-i_{1}+\dots+(-1)^{n}i_{n}$ +\begin_inset Formula $\chi(T)\coloneqq i_{0}-i_{1}+\dots+(-1)^{n}i_{n}$ \end_inset . @@ -721,19 +721,19 @@ status open \begin_layout Plain Layout En efecto, sean -\begin_inset Formula $a:=(0,0,1)$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq (0,0,1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b:=(0,1,-1)$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq (0,1,-1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c:=(-1,-1,-1)$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq (-1,-1,-1)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $d:=(1,-1,-1)$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq (1,-1,-1)$ \end_inset , entonces el complejo simplicial dado por @@ -746,7 +746,7 @@ En efecto, sean \end_inset junto con el homeomorfismo -\begin_inset Formula $h(x,y,z):=\frac{(x,y,z)}{|(x,y,z)|}$ +\begin_inset Formula $h(x,y,z)\coloneqq \frac{(x,y,z)}{|(x,y,z)|}$ \end_inset forman una triangulación de @@ -831,7 +831,7 @@ Presentaciones poligonales \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $S:=\overline{B_{d_{1}}}(0;1)$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \overline{B_{d_{1}}}(0;1)$ \end_inset . @@ -927,7 +927,7 @@ Una presentación poligonal \series default es una expresión de la forma -\begin_inset Formula ${\cal P}:=\langle S\mid W_{1},\dots,W_{k}\rangle$ +\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq \langle S\mid W_{1},\dots,W_{k}\rangle$ \end_inset , donde @@ -995,7 +995,7 @@ Para cada palabra \end_inset , sea -\begin_inset Formula $n_{i}:=|W_{i}|$ +\begin_inset Formula $n_{i}\coloneqq |W_{i}|$ \end_inset . @@ -1028,7 +1028,7 @@ Si \end_inset dados por -\begin_inset Formula $a_{ij}:=[v_{ij},v_{i(j+1)}]$ +\begin_inset Formula $a_{ij}\coloneqq [v_{ij},v_{i(j+1)}]$ \end_inset entendiendo @@ -1036,7 +1036,7 @@ Si \end_inset , y el polígono -\begin_inset Formula $P_{i}:=\text{conv}\{v_{i1},\dots,v_{in_{i}}\}$ +\begin_inset Formula $P_{i}\coloneqq \text{conv}\{v_{i1},\dots,v_{in_{i}}\}$ \end_inset . @@ -1076,7 +1076,7 @@ Si \end_inset disjuntos (salvo en los puntos inicial y final), y -\begin_inset Formula $P_{i}:=\text{conv}\{a_{ij}(s)\}_{s\in[0,1]}^{j\in\{1,2\}}$ +\begin_inset Formula $P_{i}\coloneqq \text{conv}\{a_{ij}(s)\}_{s\in[0,1]}^{j\in\{1,2\}}$ \end_inset . @@ -1090,7 +1090,7 @@ Sea . Tomamos el espacio topológico -\begin_inset Formula $X:=(P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k})/\sim$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq (P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k})/\sim$ \end_inset , donde @@ -1233,7 +1233,7 @@ aristas \end_inset son regiones poligonales, -\begin_inset Formula $P:=P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k}$ \end_inset y @@ -1716,39 +1716,39 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $a_{0}:=(0,1,0)$ +\begin_inset Formula $a_{0}\coloneqq (0,1,0)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a_{1}:=(0,3,1)$ +\begin_inset Formula $a_{1}\coloneqq (0,3,1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a_{2}:=(0,3,-1)$ +\begin_inset Formula $a_{2}\coloneqq (0,3,-1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b_{0}:=(-1,-1,0)$ +\begin_inset Formula $b_{0}\coloneqq (-1,-1,0)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b_{1}:=(-3,-3,1)$ +\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq (-3,-3,1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b_{2}:=(-3,-3,-1)$ +\begin_inset Formula $b_{2}\coloneqq (-3,-3,-1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c_{0}:=(1,-1,0)$ +\begin_inset Formula $c_{0}\coloneqq (1,-1,0)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c_{1}:=(3,-3,1)$ +\begin_inset Formula $c_{1}\coloneqq (3,-3,1)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $c_{2}:=(3,-3,-1)$ +\begin_inset Formula $c_{2}\coloneqq (3,-3,-1)$ \end_inset . @@ -1764,7 +1764,7 @@ Sean y cuyas aristas y vértices son los subsímplices de estas caras. Entonces, si -\begin_inset Formula $r:=\frac{29}{20}$ +\begin_inset Formula $r\coloneqq \frac{29}{20}$ \end_inset , la circunferencia @@ -1794,11 +1794,11 @@ y cuyas aristas y vértices son los subsímplices de estas caras. . Entonces, si -\begin_inset Formula $p(x,y):=r(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},0)$ +\begin_inset Formula $p(x,y)\coloneqq r(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},0)$ \end_inset , la función -\begin_inset Formula $h(x,y,z):=r(x,y)+\frac{(x,y,z)-r(x,y)}{|(x,y,z)-r(x,y)|}$ +\begin_inset Formula $h(x,y,z)\coloneqq r(x,y)+\frac{(x,y,z)-r(x,y)}{|(x,y,z)-r(x,y)|}$ \end_inset es un homeomorfismo del complejo al toro con circunferencia interior |