path: root/cyn/n8.lyx

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\begin_body

\begin_layout Section
Polinomios con coeficientes en un cuerpo
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
polinomio
\series default
 con coeficientes en el cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es una expresión de la forma
\begin_inset Formula 
\[
a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X_{i}
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{n}\in K$
\end_inset

.
 El símbolo 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 se llama 
\series bold
indeterminada
\series default
 y llamamos 
\series bold
coeficiente
\series default
 de grado 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $a_{i}$
\end_inset

, 
\series bold
término independiente
\series default
 a 
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset

 y 
\series bold
coeficiente principal
\series default
 o 
\series bold
líder
\series default
 a 
\begin_inset Formula $a_{n}$
\end_inset

 si es 
\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$
\end_inset

.
 Un polinomio es 
\series bold
mónico
\series default
 si 
\begin_inset Formula $a_{n}=1$
\end_inset

.
 Los polinomios de forma 
\begin_inset Formula $a_{0}$
\end_inset

 se llaman 
\series bold
constantes
\series default
 y los identificamos con los elementos de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
 El conjunto de todos los polinomios con coeficientes en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 se denota 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

, y dos polinomios 
\begin_inset Formula $P=a_{0}+\dots+a_{n}X^{n},Q=b_{0}+\dots+b_{m}X^{m}\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n\leq m$
\end_inset

 son iguales si 
\begin_inset Formula $a_{i}=b_{i}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{j}=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $j\in\{n+1,\dots,m\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Definimos 
\begin_inset Formula $P+Q=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})X+\dots+(a_{n}+b_{n})X^{n}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $PQ=c_{0}+c_{1}X+\dots+c_{n+m}X^{n+m}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $c_{k}=\sum_{i+j=k}a_{i}b_{j}=a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\dots+a_{k}b_{0}$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 es un anillo conmutativo.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 tiene 
\series bold
grado
\series default
 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $P=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$
\end_inset

, y se denota con 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)$
\end_inset

.
 Por convención, si 
\begin_inset Formula $P(X)=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=-\infty$
\end_inset

.
 Si tomamos el convenio de que 
\begin_inset Formula $-\infty+n=-\infty$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(-\infty)+(-\infty)=-\infty$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $-\infty<n$
\end_inset

, se tiene que:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)=\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $PQ=0\implies P=0\lor Q=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\exists P^{-1}:P^{-1}P=1\iff\text{gr}(P)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se define el 
\series bold
valor de 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset


\series default
 como 
\begin_inset Formula $P(b)=a_{0}+a_{1}b+\dots+a_{n}b^{n}\in K$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 define una aplicación 
\begin_inset Formula $P:K\rightarrow K$
\end_inset

 que llamamos 
\series bold
función polinomial asociada a 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset


\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de la división:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
\end_inset

 existen dos únicos polinomios, 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 (
\series bold
cociente
\series default
) y 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 (
\series bold
resto
\series default
) en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $A=BQ+R$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(R)<\text{gr}(B)$
\end_inset

.
 
\series bold
Teorema del resto:
\series default
 El resto de la división de 
\begin_inset Formula $P/X-a$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $P(a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Decimos que 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 divide a 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, o que 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es múltiplo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $A|B$
\end_inset

) si 
\begin_inset Formula $\exists C:B=AC$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A|B\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un 
\series bold
divisor
\series default
 de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A|B\land A|C\implies A|PB+QC$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A|B\land B|C\implies A|C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A|B\land B|A\implies\exists\mu\in K\backslash\{0\}:A=\mu B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Los polinomios de la forma 
\begin_inset Formula $\lambda A$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $0\neq\lambda\in K$
\end_inset

 se llaman 
\series bold
polinomios asociados
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Cada polinomio tiene un único polinomio asociado mónico.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es el máximo común divisor de 
\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $D|A,B$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S|A,B\implies S|D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es mónico.
 Si 
\begin_inset Formula $D'$
\end_inset

 verifica las dos primeras condiciones, entonces es asociado a 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 Además, si 
\begin_inset Formula $A,B\neq0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es el único polinomio mónico de grado mínimo que es combinación lineal
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
\end_inset

 son coprimos o primos entre sí si 
\begin_inset Formula $\text{mcd}(A,B)=1$
\end_inset

, es decir, si existen 
\begin_inset Formula $S,T\in K[X]$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $SA+TB=1$
\end_inset

.
 En tal caso, 
\begin_inset Formula $A|BC\implies A|C$
\end_inset

.
 Además, si 
\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
\end_inset

 con alguno de los dos no nulo y 
\begin_inset Formula $D=\text{mcd}(A,B)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\frac{A}{D}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{B}{D}$
\end_inset

 son coprimos.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es el mínimo común múltiplo de 
\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $A,B|M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A,B|N\implies M|N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es mónico.
 Si 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

 cumple las dos primeras condiciones, entonces es asociado a 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
 Además, existe 
\begin_inset Formula $\mu\in K$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\text{mcm}(A,B)=\mu\frac{AB}{\text{mcd}(A,B)}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Raíces de polinomios
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $r\in K$
\end_inset

 es una 
\series bold
raíz
\series default
 de 
\begin_inset Formula $P\in K[X]$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $P(r)=0$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 coprimos, es raíz de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $p|a_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q|a_{n}$
\end_inset

.
 La 
\series bold
regla de Ruffini
\series default
 se basa en que 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es raíz de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $X-a|P$
\end_inset

.
 Así, decimos que 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es una raíz de 
\series bold
multiplicidad 
\begin_inset Formula $s\geq1$
\end_inset


\series default
 de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $(X-a)^{s}|P$
\end_inset

 pero no 
\begin_inset Formula $(X-a)^{s+1}|P$
\end_inset

.
 Una raíz es 
\series bold
múltiple
\series default
 si tiene multiplicidad mayor que 1, de lo contrario es una raíz 
\series bold
simple
\series default
.
 Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n\neq-\infty$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 tiene a lo sumo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 raíces en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, contando cada raíz tantas veces como su multiplicidad.
 Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n$
\end_inset

 y existen 
\begin_inset Formula $m>n$
\end_inset

 raíces de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $P=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n\geq0$
\end_inset

 y existen 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{m}\in K$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $P(a_{i})=Q(a_{i})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $m>n$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $P=Q$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un cuerpo infinito y 
\begin_inset Formula $P,Q\in K[X]$
\end_inset

 son distintos, entonces las funciones 
\begin_inset Formula $P,Q:K\rightarrow K$
\end_inset

 son distintas.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $P=a_{0}+\dots+a_{n}X^{n}\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n$
\end_inset

 y raíces 
\begin_inset Formula $r_{1},\dots,r_{n}$
\end_inset

 (no necesariamente distintas), entonces 
\begin_inset Formula $P=a_{n}(X-r_{1})\cdots(X-r_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Factorización y raíces de polinomios
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $P\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)>0$
\end_inset

 es 
\series bold
irreducible
\series default
 o 
\series bold
primo
\series default
 si 
\begin_inset Formula $Q|P\implies\text{gr}(Q)=0\lor\exists k\in K:Q=kP$
\end_inset

.
 Así:
\begin_inset Formula 
\[
P\text{ es irreducible}\iff(P|QR\implies P|Q\lor P|R)\iff(P|Q_{1}\cdots Q_{n}\implies\exists i:P|Q_{i})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema:
\series default
 Todo 
\begin_inset Formula $P\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)\geq1$
\end_inset

 factoriza como producto de polinomios irreducibles, y esta factorización
 es única salvo asociados y orden.
\end_layout

\begin_layout Section
Polinomios irreducibles en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}[X]$
\end_inset

.
 Teorema Fundamental del Álgebra
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
Teorema Fundamental del Álgebra
\series default
 afirma que todo 
\begin_inset Formula $P\in\mathbb{C}[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)>0$
\end_inset

 tiene al menos una raíz en 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

.
 Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P\in\mathbb{C}[X]$
\end_inset

 es irreducible si y sólo si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall P\in\mathbb{C}[X],\text{gr}(P)=n\geq1,\exists r,r_{1},\dots,r_{n}\in\mathbb{C}:P=r(X-r_{1})\cdots(X-r_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}$
\end_inset

 es raíz de 
\begin_inset Formula $P\in\mathbb{R}[X]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\overline{z}$
\end_inset

 también lo es.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $P\in\mathbb{R}[X]$
\end_inset

 es irreducible, entonces, o 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=1$
\end_inset

, o 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=2$
\end_inset

 y no tiene raíces reales.
\end_layout

\end_body
\end_document