path: root/dsi/n8.lyx

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\begin_body

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
base de reglas borrosas
\series default
 es una familia finita de reglas IF-THEN de la forma
\begin_inset Formula 
\[
R_{k}:\text{IF }x_{1}\text{ es }A_{k1}\text{ and }\dots\text{ and }x_{n}\text{ es }A_{kn}\text{ THEN }y\text{ es }B_{k},
\]

\end_inset

donde cada 
\begin_inset Formula $A_{ki}$
\end_inset

 es un conjunto borroso sobre un universo 
\begin_inset Formula $U_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B_{k}$
\end_inset

 sobre un universo 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $U\coloneqq U_{1}\times\dots\times U_{n}$
\end_inset

.
 La base de reglas es 
\series bold
completa
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x\in U_{1}\times\dots\times U_{n},\exists k:\forall j,A_{kj}(x_{j})>0$
\end_inset

, 
\series bold
consistente
\series default
 si no existen reglas con los mismos antecedentes pero distintos consecuentes,
 y 
\series bold
continua
\series default
 si no existen dos reglas adyacentes
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
No sé qué significa adyacentes aquí.
\end_layout

\end_inset

 cuyos consecuentes tienen intersección vacía, asegurando un comportamiento
 suave.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
regla parcial
\series default
 es una de la forma
\begin_inset Formula 
\[
\text{IF }x_{p_{1}}\text{ es }A_{k1}\text{ and }\dots\text{ and }x_{p_{m}}\text{ es }A_{km}\text{ THEN }y\text{ es }B_{k},
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $1\leq p_{1}<\dots<p_{m}\leq n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m<n$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $A_{ki}$
\end_inset

 definido sobre 
\begin_inset Formula $U_{p_{i}}$
\end_inset

, y equivale a una regla completa que en cada 
\begin_inset Formula $j\neq p_{1},\dots p_{m}$
\end_inset

 incluye en el antecedente 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x_{j}\text{ es }U_{j}$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $U_{j}\coloneqq\int_{x\in U_{j}}\frac{1}{x}$
\end_inset

.
 Una 
\series bold
regla OR
\series default
 es una de la forma
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\text{IF }(x_{t_{11}}\text{ es }A_{11}\text{ and }\dots\text{ and }x_{t_{1s_{1}}}\text{ es }A_{1s_{1}})\text{ or }\dots\text{ or }\\
(x_{t_{m1}}\text{ es }A_{m1}\text{ and }\dots\text{ and }x_{t_{ms_{m}}}\text{ es }A_{ms_{m}})\text{ THEN }B,
\end{multline*}

\end_inset

y equivale a 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 reglas
\begin_inset Formula 
\[
\text{IF }x_{t_{i1}}\text{ es }A_{i1}\text{ and }\dots\text{ and }x_{t_{is_{i}}}\text{ es }A_{is_{i}}\text{ THEN }B.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
función de agregación
\series default
 es una que toma una familia finita de conjuntos borrosos sobre 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y devuelve otro.
 Las más comunes son la unión y la intersección, normalmente con las normas
 del máximo y el mínimo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
motor de inferencia borrosa
\series default
 es un sistema que toma como entrada conjuntos borrosos 
\begin_inset Formula $A'_{i}$
\end_inset

 sobre los 
\begin_inset Formula $U_{i}$
\end_inset

, aplica modus ponens entre los elementos y cada una de las reglas de una
 base de reglas y aplica una función de agregación a los resultados.
 Aunque es preferible que la base de reglas sea consistente, puede haber
 reglas inconsistentes y los resultados se agregan, lo que no es posible
 en un sistema de inferencia clásico.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $D\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

, un 
\series bold
fuzzificador
\series default
 es una función 
\begin_inset Formula $f:D\to(D\to[0,1])$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall x\in D,f(x)(x)=\max_{y\in D}f(x)(y)$
\end_inset

, y un 
\series bold
defuzzificador
\series default
 es una función 
\begin_inset Formula $g:(D\to[0,1])\to D$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
sistema de inferencia borroso
\series default
 (
\series bold
SIB
\series default
) está formado por una base de reglas borrosas 
\begin_inset Formula $(U=U_{1}\times\dots\times U_{n})\to V$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $U_{i},V\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

, fuzzificadores sobre cada 
\begin_inset Formula $U_{i}$
\end_inset

 y un defuzzificador sobre 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, y tiene asociada una función 
\begin_inset Formula $U\to V$
\end_inset

 que asigna a cada 
\begin_inset Formula $x\in U$
\end_inset

 el resultado de pasar cada 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 por su fuzzificador, aplicar el motor de inferencia a los resultados y
 pasar el conjunto borroso devuelto por el defuzzificador.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un fuzzificador debe ayudar a eliminar el ruido de las variables de entrada,
 si existe, y a simplificar los cálculos implicados en el motor de inferencia.
 Algunos fuzzificadores:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Unitario:
\series default
 
\begin_inset Formula $f(x)(y)=\delta_{xy}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Triangular:
\series default
 Para un 
\begin_inset Formula $b>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x)(y)=\max\left\{ 0,1-\frac{|y-x|}{b}\right\} $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Gaussiano:
\series default
 Para un 
\begin_inset Formula $b>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x)(y)=\text{e}^{-\left(\frac{x-y}{b}\right)^{2}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El fuzzificador unitario simplifica mucho los cálculos ya que 
\begin_inset Formula $\text{DOF}(A,f(x))=A(x)$
\end_inset

.
 Los fuzzificadores triangulares y gaussianos sólo simplifican los cálculos
 si las funciones de pertenencia en los antecedentes son triangulares o
 gaussianas respectivamente, pero permiten eliminar ruido en la entrada.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un defuzzificador debería ser continuo; 
\series bold
creíble
\series default
 o 
\series bold
intuitivamente plausible
\series default
, con una salida que represente intuitivamente el conjunto de entrada, y
 con poca complejidad computacional, especialmente en controladores borrosos
 ya que operan en tiempo real.
 Algunos defuzzificadores:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Centro de gravedad
\series default
 o 
\series bold
centroide:
\series default

\begin_inset Formula 
\[
g(B)=\frac{\int_{V}yB(y)\dif y}{\int_{V}B(y)\dif y},
\]

\end_inset

cambiando las integrales por sumatorios si el denominador es 0.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Media ponderada de los centros:
\series default
 En vez de agregar y luego defuzzificar, se defuzzifica cada resultado 
\begin_inset Formula $B_{k}$
\end_inset

 por centro de gravedad obteniendo centros 
\begin_inset Formula $y_{k}$
\end_inset

 y el resultado es
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\sum_{k}y_{k}B_{k}(y_{k})}{\sum_{k}B_{k}(y_{k})}.
\]

\end_inset

Es el más usado ya que es continuo y creíble y el cálculo es sencillo cuando
 las funciones son simétricas, aunque también se puede aplicar a funciones
 no simétricas.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Máximo:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $\text{hgt}(B)\coloneqq\{y\in V\mid B(y)=\sup_{y\in V}B(y)\}\neq\emptyset$
\end_inset

, se puede tomar:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize

\series bold
Máximo más pequeño:
\series default
 
\begin_inset Formula $\inf\text{hgt}(B)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Máximo más grande:
\series default
 
\begin_inset Formula $\sup\text{hgt}(B)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Media de los máximos:
\series default
 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\int_{\text{hgt}B}y\dif y}{\int_{\text{hgt}B}\dif y},
\]

\end_inset

cambiando las integrales por sumatorios si el denominador es 0.
\end_layout

\begin_layout Standard
Es creíble y computacionalmente simple, pero no continuo, y si 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es no convexo, 
\begin_inset Formula $B(f(B))$
\end_inset

 puede ser pequeño.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, dado un SIB con reglas
\begin_inset Formula 
\[
\text{IF }x_{1}\text{ es }A_{k1}\text{ and }\dots\text{ and }x_{n}\text{ es }A_{kn}\text{ THEN }y\text{ es }B_{k},
\]

\end_inset

fuzzificador unitario, t-norma producto, implicación de Larsen y defuzzificador
 media de los centros, si cada 
\begin_inset Formula $B_{k}$
\end_inset

 es normalizado con centro 
\begin_inset Formula $y_{k}$
\end_inset

, la función asociada al SIB es
\begin_inset Formula 
\[
f(x)\coloneqq\frac{\sum_{k}y_{k}\prod_{i}A_{ki}(x_{i})}{\sum_{k}\prod_{i}A_{ki}(x_{i})}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema universal de aproximación:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 compacto, 
\begin_inset Formula $g:U\to\mathbb{R}$
\end_inset

 continua y 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe un SIB del tipo del teorema anterior con los 
\begin_inset Formula $A_{ki}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B_{k}$
\end_inset

 de la forma
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A_{ki}(x) & =a_{ki}\text{e}^{-\left(\frac{x-\overline{x}_{ki}}{\sigma_{ki}}\right)^{2}}, & B_{k}(y) & =\text{e}^{-(y-\overline{y})^{2}},
\end{align*}

\end_inset

para la que la función asociada 
\begin_inset Formula $f:U\to\mathbb{R}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $\Vert f-g\Vert_{\infty}<\varepsilon$
\end_inset

, y se dice entonces que un SIB de este tipo es un 
\series bold
aproximador universal
\series default
.
 Otros aproximadores universales son las redes neuronales y los controladores
 convencionales.
\end_layout

\end_body
\end_document