path: root/ggs/n5.lyx

#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Dada una superficie regular 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, un entorno 
\begin_inset Formula $W\subseteq S$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

 es 
\series bold
convexo
\series default
 si es normal en todos sus puntos.
 Todo 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

 tiene un entorno convexo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 un entorno normal de 
\begin_inset Formula $p_{0}\in S$
\end_inset

, para cada 
\begin_inset Formula $p\in V$
\end_inset

, el segmento de geodésica radial 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}:[0,1]\to V$
\end_inset

 es el único segmento de geodésica contenido en 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}(0)=p_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}(1)=p$
\end_inset

, salvo reparametrizaciones.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\alpha:[a,b]\to V$
\end_inset

 un segmento de geodésica que une 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, por reparametrización afín podemos suponer que 
\begin_inset Formula $\alpha:[0,1]\to V$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $w\coloneqq \alpha'(0)$
\end_inset

, la geodésica maximal 
\begin_inset Formula $\gamma_{w}:I_{w}\to S$
\end_inset

 debe cumplir 
\begin_inset Formula $[0,1]=\text{Dom}\alpha\subseteq I_{w}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $1\in I_{w}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w\in{\cal D}_{p}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha(t)=\gamma_{w}(t)=\exp_{p_{0}}(tw)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $t\in[0,1]$
\end_inset

.
 Por otro lado, 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}(t)=\exp_{p_{0}}(tv_{p})$
\end_inset

, y queda probar que 
\begin_inset Formula $w=v_{p}$
\end_inset

.
 Se tiene 
\begin_inset Formula $\exp_{p_{0}}(w)=\gamma_{w}(1)=\alpha(1)=p=\gamma_{p}(1)=\exp_{p_{0}}(v_{p})$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula ${\cal U}$
\end_inset

 un entorno de 
\begin_inset Formula $0_{p_{0}}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\exp_{p_{0}}:{\cal U}\to V$
\end_inset

 es un difeomorfismo, basta ver que 
\begin_inset Formula $w\in{\cal U}$
\end_inset

, pues entonces, como 
\begin_inset Formula $v_{p}\in{\cal U}$
\end_inset

, por el difeomorfismo 
\begin_inset Formula $w=v_{p}$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t)\coloneqq (\exp_{p_{0}}|_{{\cal U}})^{-1}(\alpha(t))\in{\cal U}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A\coloneqq \{t\in[0,1]\mid \tilde{\alpha}(t)=tw\}$
\end_inset

, queremos ver que 
\begin_inset Formula $A=[0,1]$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(0)=(\exp_{p_{0}}|_{{\cal U}})^{-1}(p)=0=0w$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\in A$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $A=(t\mapsto\tilde{\alpha}(t)-tw)^{-1}(\{0\})$
\end_inset

 es cerrado.
 Ahora bien, para 
\begin_inset Formula $t_{0}\in A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t_{0}w=\tilde{\alpha}(t_{0})\in{\cal U}$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula ${\cal U}$
\end_inset

 es abierto, existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $t\in B(t_{0},\varepsilon)$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $tw\in{\cal U}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\alpha(t)=\exp_{p_{0}}(tw)=\exp_{p_{0}}(\tilde{\alpha}(t))$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es abierto, cerrado y no vacío, 
\begin_inset Formula $A=[0,1]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\gamma:[0,b)\to S$
\end_inset

 un segmento de geodésica para el que existe 
\begin_inset Formula $\lim_{t\to b^{-}}\gamma(t)=p$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 para el que 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 se puede extender a una geodésica 
\begin_inset Formula $\gamma:[0,b+\varepsilon)\to S$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\gamma(b)=p$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Existen un entorno convexo 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in[0,b)$
\end_inset

 de modo que 
\begin_inset Formula $\gamma(t)\in W$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $t\in[a,b)$
\end_inset

.
 Dado segmento de geodésica 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}:[0,1]\to W$
\end_inset

 que une 
\begin_inset Formula $\gamma(a)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $t\in[a,b)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\gamma|_{[a,t]}$
\end_inset

 es una reparametrización de 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}|_{[0,\frac{t-a}{b-a}]}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\gamma|_{[a,b)}$
\end_inset

 es reparametrización de 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}|_{[0,1)}$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}$
\end_inset

 se existe a un segmento de geodésica 
\begin_inset Formula $\gamma_{p}:[0,1+\varepsilon)\to W$
\end_inset

 para un 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, podemos usar la reparametrización afín para extender 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\gamma:[0,b+\frac{\varepsilon}{b-a})\to S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es conexa y geodésicamente completa en un 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

, entonces para todo 
\begin_inset Formula $q\in S$
\end_inset

 existe un segmento de geodésica minimizante que une 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $p,q\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha\in\Omega(p,q)$
\end_inset

 es 
\series bold
minimizante
\series default
 o 
\series bold
realiza la distancia
\series default
 entre 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $d(p,q)=L(\alpha)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\alpha:[a,b]\to S$
\end_inset

 realiza la distancia entre 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

, existe una partición 
\begin_inset Formula $a=t_{0}<\dots<t_{n}=b$
\end_inset

 y un cubrimiento 
\begin_inset Formula $\{W_{i}\}_{i=0}^{n}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\alpha([a,b])$
\end_inset

 por entornos convexos de forma que, para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha_{i}\coloneqq \alpha|_{[t_{i-1},t_{i}]}$
\end_inset

 es diferenciable e 
\begin_inset Formula $\text{Im}\alpha_{i}\subseteq W_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo segmento de curva minimizante es una reparametrización de un segmento
 de geodésica, y en particular no tiene vértices.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\alpha:[a,b]\to S$
\end_inset

 un segmento de curva minimizante y 
\begin_inset Formula $a=t_{0}<\dots<t_{n}=b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{W_{i}\}_{i=0}^{n}$
\end_inset

 un cubrimiento de 
\begin_inset Formula $\alpha([a,b])$
\end_inset

 por entornos convexos con cada 
\begin_inset Formula $\alpha_{i}\coloneqq \alpha|_{[t_{i-1},t_{i}]}$
\end_inset

 diferenciable con imagen en 
\begin_inset Formula $W_{i}$
\end_inset

, como cada 
\begin_inset Formula $\alpha_{i}$
\end_inset

 es minimizante entre 
\begin_inset Formula $\alpha(t_{i-1})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha(t_{i})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L(\alpha_{i})=d(\alpha(t_{i-1}),\alpha(t_{i}))$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\text{Im}\alpha_{i}\subseteq W_{i}$
\end_inset

, luego viendo 
\begin_inset Formula $W_{i}$
\end_inset

 como entorno normal de 
\begin_inset Formula $\alpha(t_{i-1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha_{i}$
\end_inset

 es una reparametrización de un segmento de geodésica radial de 
\begin_inset Formula $\alpha(t_{i-1})$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\alpha(t_{i})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es una concatenación de geodésicas potenciales.
 Además, por continuidad, si 
\begin_inset Formula $i<n$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\alpha([t_{i-1},t_{i}+\varepsilon])\subseteq W$
\end_inset

 y por tanto un segmento de geodésica radial 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\alpha(t_{i-1})$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\alpha(t_{i}+\varepsilon)$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\alpha|_{[t_{i-1},t_{i}+\varepsilon]}$
\end_inset

 es minimizante, por unicidad es una reparametrización de 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $t_{i}$
\end_inset

 y reparametriza una misma geodésica en todo punto.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es conexa y geodésicamente completa en un 
\begin_inset Formula $p_{0}\in S$
\end_inset

, entonces para todo 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

 existe un segmento de geodésica minimizante que une 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{TEM}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un espacio topológico 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 es 
\series bold
de Hausdorff
\series default
 o 
\begin_inset Formula $T_{2}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall p,q\in X,p\neq q;\exists U\in{\cal E}(p),V\in{\cal E}(q):U\cap V=\emptyset$
\end_inset

.
 [...] Todo espacio metrizable es [...] 
\begin_inset Formula $T_{2}$
\end_inset

 [...].
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo [...] compacto [...] de un espacio [...] Hausdorff [...] es cerrado.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo [...] compacto 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 de un espacio métrico 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

 es acotado.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Dado 
\begin_inset Formula $a\in X$
\end_inset

, para todo 
\begin_inset Formula $x\in K$
\end_inset

 existe un 
\begin_inset Formula $n_{x}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $d(x,a)<n_{x}$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $\{B(a;n)\}_{n=1}^{\infty}$
\end_inset

 es un recubrimiento abierto de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
\begin_inset Formula $\{B(a;n_{1}),\dots,B(a;n_{r})\}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $K\subseteq B(a;n_{1})\cup\dots\cup B(a;n_{r})=B(a;\max\{n_{1},\dots,n_{r}\})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un espacio métrico 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

 cumple la 
\series bold
propiedad de Heine-Borel
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $A\subseteq S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es compacto si y sólo si es cerrado y acotado con la distancia 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 Todo espacio métrico que cumple esta propiedad es completo.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\{p_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 una sucesión de Cauchy y 
\begin_inset Formula $A\coloneqq \{p_{n}\}_{n}$
\end_inset

 su conjunto de puntos, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $N>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall n,m\geq N,d(p_{n},p_{m})<\varepsilon$
\end_inset

.
 Dados 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\geq N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d(p,p_{n})\leq d(p,p_{N})+d(p_{N},p_{n})\leq d(p,p_{N})+\varepsilon$
\end_inset

, y dado 
\begin_inset Formula $r_{0}>d(p,p_{N})+\varepsilon$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d(p,p_{n})<r_{0}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n\geq N$
\end_inset

.
 Tomando 
\begin_inset Formula $r\coloneqq \max\{r_{0},d(p,p_{1}),\dots,d(p,p_{N-1})\}$
\end_inset

, es 
\begin_inset Formula $d(p,p_{n})<r$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es acotado.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $\overline{A}$
\end_inset

 es cerrado y acotado, con lo que 
\begin_inset Formula $\overline{A}$
\end_inset

 es compacto por la propiedad de Heine-Borel y, como 
\begin_inset Formula $\{p_{n}\}_{n}\subseteq\overline{A}$
\end_inset

, existe una subsucesión convergente de 
\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$
\end_inset

, pero al ser de Cauchy con una subsucesión convergente, es convergente.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Hopf-Rinow:
\series default
 Dada una superficie regular conexa 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(S,d)$
\end_inset

 es un espacio métrico completo si y sólo si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es geodésicamente completa, si y sólo si existe un 
\begin_inset Formula $p_{0}\in S$
\end_inset

 en el que 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es geodésicamente completa, si y sólo si 
\begin_inset Formula $(S,d)$
\end_inset

 cumple la propiedad de Heine-Borel, en cuyo caso diremos que 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es 
\series bold
completa
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Supongamos que 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 no es geodésicamente completa, con lo que existen 
\begin_inset Formula $p_{0}\in S$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v\in T_{p_{0}}S$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $\gamma\coloneqq \gamma_{v}$
\end_inset

 no está definida en todo 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Podemos suponer que existe 
\begin_inset Formula $b>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 está definida en 
\begin_inset Formula $[0,b)$
\end_inset

 y no se puede extender más allá de 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, pues si 
\begin_inset Formula $I_{v}$
\end_inset

 solo estuviera acotado inferiormente, cambiamos 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $-v$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $\{t_{n}\}_{n}\subseteq[0,b)$
\end_inset

 una sucesión con 
\begin_inset Formula $\lim_{n}t_{n}=b$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $(t_{n})_{n}$
\end_inset

 es de convergente es de Cauchy, luego para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}>0$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $|t_{m}-t_{n}|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Ahora bien,
\begin_inset Formula 
\[
d(\gamma(t_{n}),\gamma(t_{m}))\leq L_{t_{n}}^{t_{m}}(\gamma|_{[t_{n},t_{m}]})=\left|\int_{t_{n}}^{t_{m}}\Vert\gamma'(t)\Vert dt\right|=|t_{m}-t_{n}|\Vert\gamma'(0)\Vert=|t_{m}-t_{n}|\Vert v\Vert,
\]

\end_inset

luego si 
\begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $d(\gamma(t_{n}),\gamma(t_{m}))\leq\Vert v\Vert\varepsilon$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $(\gamma(t_{n}))_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy en 
\begin_inset Formula $(S,d)$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $(S,d)$
\end_inset

 es completo, 
\begin_inset Formula $(\gamma(t_{n}))_{n}$
\end_inset

 es convergente, luego existe 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p=\lim_{n}\gamma(t_{n})$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\{t_{n}\}_{n}$
\end_inset

 es arbitrario, si 
\begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}\subseteq[0,b)$
\end_inset

 es otra sucesión con 
\begin_inset Formula $\lim_{n}s_{n}=b$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $p'\in S$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p'=\lim_{n}\gamma(s_{n})\in S$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula 
\[
0\leq d(\gamma(s_{n}),\gamma(t_{n}))\leq L_{s_{n}}^{t_{n}}(\gamma)=\Vert v\Vert|t_{n}-s_{n}|,
\]

\end_inset

cuando 
\begin_inset Formula $n\to\infty$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|t_{n}-s_{n}|\to0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d(p',p)=0$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $p'=p$
\end_inset

 y, como esto se cumple para cualquier 
\begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{t\to b^{-}}\gamma(t)=p$
\end_inset

.
 Por tanto existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 se puede extender a una geodésica 
\begin_inset Formula $\gamma:[0,b+\varepsilon)\to S\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies4]$
\end_inset

 Como 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es geodésicamente completa en 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exp_{p_{0}}$
\end_inset

 está definida en todo 
\begin_inset Formula $T_{p_{0}}S$
\end_inset

, y queremos ver que, para 
\begin_inset Formula $A\subseteq S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es compacto, es cerrado por estar en un espacio Hausdorff y acotado por
 estar en uno métrico.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es acotado, existe 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A\subseteq B_{d}(p_{0},M)$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es conexa y geodésicamente completa en 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $p\in A$
\end_inset

 existe un segmento de geodésica minimizante 
\begin_inset Formula $\gamma:[0,a]\to S$
\end_inset

 que une 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $v\coloneqq \gamma'(0)$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
M>d(p_{0},p)=L_{0}^{a}(\gamma)=\int_{0}^{a}\Vert\gamma'(t)\Vert dt=a\Vert\gamma'(0)\Vert=a\Vert v\Vert,
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $av\in{\cal D}(0,M)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p=\gamma(a)=\exp_{p_{0}}(av)\in\exp_{p_{0}}({\cal D}(0,M))\subseteq\exp_{p_{0}}(\overline{{\cal D}(0,M)})$
\end_inset

.
 Pero 
\begin_inset Formula $\exp_{p_{0}}(\overline{{\cal D}(0,M)})$
\end_inset

 es compacto en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 por serlo 
\begin_inset Formula $\overline{{\cal D}(0,M)}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $T_{p_{0}}S$
\end_inset

 y por ser 
\begin_inset Formula $\exp_{p_{0}}$
\end_inset

 continua, luego 
\begin_inset Formula $A\subseteq\exp_{p_{0}}(\overline{{\cal D}(0,M)})$
\end_inset

 es un cerrado dentro de un compacto y por tanto un compacto.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies1]$
\end_inset

 Visto para todo espacio métrico.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si una superficie regular conexa 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es completa, dos puntos 
\begin_inset Formula $p,q\in S$
\end_inset

 se pueden unir con un segmento de geodésica minimizante, no necesariamente
 único.
 Todo espacio métrico compacto es completo, pues sus subespacios cerrados
 y acotados, por ser cerrados, son compactos, cumpliendo la propiedad de
 Heine-Borel.
 En particular toda superficie regular, conexa y compacta es completa.
\end_layout

\begin_layout Standard
Toda superficie regular conexa y cerrada en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 es completa.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 esta superficie, dada una sucesión de Cauchy 
\begin_inset Formula $\{p_{n}\}_{n}\subseteq S$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\Vert p_{n}-p_{m}\Vert\leq d(p_{n},p_{m})$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$
\end_inset

 también es una sucesión de Cauchy en 
\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{3},\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

, pero este espacio es completo y por tanto 
\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$
\end_inset

 converge en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 a un 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

.
 Pero como 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es cerrada y 
\begin_inset Formula $\{p_{n}\}_{n}\subseteq S$
\end_inset

, el límite 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

, luego la sucesión converge también en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document