path: root/ggs/n8.lyx

#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 544
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\end_header

\begin_body

\begin_layout Standard
Una superficie regular 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es 
\series bold
minimal
\series default
 si su curvatura media 
\begin_inset Formula $H\equiv0$
\end_inset

.
 Entonces, para 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K(p)\leq0$
\end_inset

, con igualdad si y sólo si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es 
\series bold
totalmente geodésico
\series default
, es decir, 
\begin_inset Formula $A_{p}=0$
\end_inset

.
 En efecto, por el vídeo de 3Blue1Brown
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout

\emph on
\lang english
A quick trick for computing eigenvalues
\emph default
\lang spanish
 (
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

https://www.youtube.com/watch?v=e50Bj7jn9IQ
\end_layout

\end_inset

).
 También puedes usar la forma tradicional si quieres, pero perderías la
 oportunidad de usar el minuto 4:48.
\end_layout

\end_inset

, las curvaturas principales de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $\{\lambda_{1},\lambda_{2}\}=\{H(p)\pm\sqrt{H(p)^{2}-K(p)}\}=\{\pm\sqrt{-K(p)}\}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $A_{p}$
\end_inset

 es autoadjunto y por tanto diagonalizable en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sqrt{-K(p)}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K(p)\leq0$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $K(p)=0\iff\lambda_{1}=\lambda_{2}=0\iff A_{p}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Toda superficie compacta tiene un punto esférico, por lo que no existen
 superficies minimales compactas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 una superficie regular y 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 una parametrización de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, una 
\series bold
variación
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es una función diferenciable 
\begin_inset Formula $\Phi:U\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 tal que, llamando 
\begin_inset Formula $\Phi_{t}(q)\coloneqq \Phi(q,t)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Phi_{0}=X$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(U,\Phi_{t})$
\end_inset

 es una parametrización.
 Para 
\begin_inset Formula $((u,v),t)\in U\times(-\varepsilon,\varepsilon)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\left(\frac{\partial\Phi_{t}}{\partial u}\wedge\frac{\partial\Phi_{t}}{\partial v}\right)(u,v)\neq0,
\]

\end_inset

pues 
\begin_inset Formula $(d\Phi_{t})_{(u,v)}$
\end_inset

 es un isomorfismo lineal.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
campo variacional
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\xi:U\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\xi(u,v):=\frac{\partial\Phi}{\partial t}(u,v,0).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una parametrización 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi:U\to\mathbb{R}$
\end_inset

 diferenciable, la 
\series bold
variación normal de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 determinada por 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset


\series default
 es una variación 
\begin_inset Formula $\Phi:U\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\Phi(u,v,t)=X(u,v)+t\varphi(u,v)N(X(u,v)),
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula 
\[
N(X(u,v))=\frac{\frac{\partial X}{\partial u}\wedge\frac{\partial X}{\partial v}}{\left\Vert \frac{\partial X}{\partial u}\wedge\frac{\partial X}{\partial v}\right\Vert }(u,v)
\]

\end_inset

y 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 es lo suficientemente pequeño para que cada 
\begin_inset Formula $\Phi_{t}$
\end_inset

 sea una parametrización.
 Si 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 tiene soporte compacto, dicho 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

 existe.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración
\series default
 parcial
\series bold
:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $(u,v)\notin\text{sop}\varphi$
\end_inset

 no hay problema.
 Para 
\begin_inset Formula $(u,v)\in\text{sop}\varphi$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \frac{\partial\Phi_{0}}{\partial u}\wedge\frac{\partial\Phi_{0}}{\partial v}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \frac{\partial X}{\partial u}\wedge\frac{\partial X}{\partial v}\right\Vert ^{2}>0,
\]

\end_inset

y por continuidad existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{u,v}>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\left\Vert \frac{\partial\Phi_{t}}{\partial u}\wedge\frac{\partial\Phi_{t}}{\partial v}\right\Vert ^{2}>0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $t\in(-\varepsilon_{u,v},\varepsilon_{u,v})$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\text{sop}\varphi$
\end_inset

 es compacto, habría que ver que 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{u,v}$
\end_inset

 depende continuamente de 
\begin_inset Formula $(u,v)$
\end_inset

 y entonces tomaríamos 
\begin_inset Formula $\varepsilon\coloneqq \min_{(u,v)\in\text{sop}\varphi}\varepsilon_{u,v}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 una región de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 una parametrización de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\overline{R}\subseteq X(U)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Phi:U\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 una variación de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A(t)\coloneqq A(R_{t})\coloneqq A(\Phi_{t}(X^{-1}(R)))$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es diferenciable en un entorno de 
\begin_inset Formula $t=0$
\end_inset

 con
\begin_inset Formula 
\[
A'(t)=\iint_{X^{-1}(R)}\frac{\partial}{\partial t}\left\Vert \frac{\partial\Phi_{t}}{\partial u}\wedge\frac{\partial\Phi_{t}}{\partial v}\right\Vert (u,v)\,du\,dv.
\]

\end_inset


\series bold
Primera fórmula de variación del área:
\series default
 En estas condiciones, si 
\begin_inset Formula $\Phi$
\end_inset

 es la variación normal de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 dada por cierta 
\begin_inset Formula $\varphi:U\to\mathbb{R}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
A'(0)=-2\int_{R}(\varphi\circ X^{-1})H\,dS.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, una superficie regular 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es minimal si y sólo si para toda parametrización 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, región 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\overline{R}\subseteq X(U)$
\end_inset

 y variación normal de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $A'(0)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $H\equiv0$
\end_inset

 y, por la primera fórmula de variación del área, 
\begin_inset Formula $A'(0)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Demostramos el contrarrecíproco.
 Si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 no es minimal, sea 
\begin_inset Formula $p_{0}\in S$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $H(p_{0})\neq0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $H(p_{0})>0$
\end_inset

, existe un 
\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(p_{0})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $H(V)>0$
\end_inset

 y, dada una parametrización 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $X(U)\subseteq V$
\end_inset

, existe una bola cerrada 
\begin_inset Formula $\overline{R}\subseteq X(U)$
\end_inset

 cuyo interior 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 es una región, de modo que llamando 
\begin_inset Formula $\varphi\coloneqq H\circ X:R\to\mathbb{R}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\varphi\circ X^{-1}=H$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
A'(0)=-2\int_{R}H^{2}dS<0\#.
\]

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $H(p_{0})<0$
\end_inset

 es análogo.
\end_layout

\end_body
\end_document