path: root/mne/n1.lyx

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\end_header

\begin_body

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
problema de valores iniciales
\series default
 real es uno de la forma
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{aligned}\dot{x} & =f(t,x),\\
x(t_{0}) & =x_{0},
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset

dado por 
\begin_inset Formula $f:\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 abierto y 
\begin_inset Formula $(t_{0},x_{0})\in\Omega$
\end_inset

, y donde 
\begin_inset Formula $x:I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es la incógnita, siendo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 un entorno de 
\begin_inset Formula $t_{0}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
El problema está 
\series bold
bien planteado
\series default
 en un intervalo 
\begin_inset Formula $[a,b]\subseteq I$
\end_inset

 si tiene solución única en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y para todo 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe un 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $c\in(-\varepsilon,\varepsilon)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $e:[a,b]\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es tal que 
\begin_inset Formula $|e(t)|<\varepsilon$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $t\in[a,b]$
\end_inset

, entonces el 
\series bold
problema perturbado
\series default

\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{aligned}\dot{z} & =f(t,z)+e(t),\\
z(t_{0}) & =x_{0}+c,
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset

tiene solución única.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $D\coloneqq [a,b]\times\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t_{0}\in[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f:D\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua y lipschitziana en la segunda variable en todo 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{aligned}\dot{x} & =f(t,x),\\
x(t_{0}) & =x_{0}
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset

está bien planteado.
\end_layout

\begin_layout Standard
En adelante supondremos que el dominio de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 incluye un intervalo 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t_{0}=a$
\end_inset

.
 No siempre se puede resolver un problema de valores iniciales de forma
 analítica, por lo que usamos métodos de resolución numérica, que aproximan
 
\begin_inset Formula $x|_{[a,b]}$
\end_inset

 creando una partición 
\begin_inset Formula $a=t_{0}<\dots<t_{n}=c$
\end_inset

, para un cierto 
\begin_inset Formula $c\geq b$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $[a,c]$
\end_inset

 en el dominio de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, y obtienen una secuencia 
\begin_inset Formula $(\omega_{i})_{i=0}^{n}$
\end_inset

 que aproxima 
\begin_inset Formula $(x(t_{i}))_{i=0}^{n}$
\end_inset

 con un error 
\begin_inset Formula $\max_{i=0}^{n}\Vert x(t_{i})-\omega_{i}\Vert$
\end_inset

 aceptable.
 Los valores de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en el resto de puntos de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 se obtienen por interpolación.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{CN}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si el polinomio interpolador de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x_{0},\dots,x_{n}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $P(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $f[x_{0},\dots,x_{n}]\coloneqq a_{n}$
\end_inset

.
 [...] 
\begin_inset Formula $f[x]=f(x)$
\end_inset

.
 [...] Para 
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
f[x_{0},\dots,x_{n}]=\frac{f[x_{1},\dots,x_{n}]-f[x_{0},\dots,x_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}.
\]

\end_inset

[...] Una forma de hallar 
\begin_inset Formula $f[x_{0},\dots,x_{n}]$
\end_inset

 es usando una tabla triangular que se va llenando por columnas, donde la
 primera columna contiene los 
\begin_inset Formula $x_{k}$
\end_inset

, la segunda, los 
\begin_inset Formula $f(x_{k})$
\end_inset

, [...], y la 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

-ésima, los 
\begin_inset Formula $f[x_{k-j+1},\dots,x_{k}]$
\end_inset

, llegando a 
\begin_inset Formula $f[x_{0},\dots,x_{n}]$
\end_inset

 en la 
\begin_inset Formula $(n+1)$
\end_inset

-ésima fila.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] 
\series bold
Forma de Newton
\series default
 del polinomio interpolador, [...]
\begin_inset Formula 
\[
f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+\dots+f[x_{0},\dots,x_{n}](x-x_{0})\cdots(x-x_{n-1}).
\]

\end_inset

Para cálculo computacional es más apropiada la forma anidada,
\begin_inset Formula 
\[
f[x_{0}]+(x-x_{0})(f[x_{0},x_{1}]+(x-x_{1})(f[x_{0},x_{1},x_{2}]+\dots)).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
[...] Un 
\series bold
problema de Hermite
\series default
 consiste en hallar un polinomio 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 de grado 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $k\in\{0,\dots,m\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in S_{k}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P^{(k)}(x)=f^{(k)}(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Existe un único polinomio de grado máximo 
\begin_inset Formula $\sum_{k=0}^{m}|S_{k}|$
\end_inset

 que cumpla las condiciones, y podemos hallarlo mediante 
\series bold
diferencias divididas generalizadas
\series default
.
 Si 
\begin_inset Formula $x_{0}\leq\dots\leq x_{n}$
\end_inset

, [...]
\begin_inset Formula 
\[
f[x_{0},\dots,x_{n}]:=\begin{cases}
\frac{f[x_{1},\dots,x_{n}]-f[x_{0},\dots,x_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}, & x_{0}<x_{n};\\
\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}, & x_{0}=\dots=x_{n}.
\end{cases}
\]

\end_inset

Creamos una tabla de diferencias divididas en la que cada elemento 
\begin_inset Formula $x\in S_{0}$
\end_inset

 aparece tantas veces como conjuntos de entre 
\begin_inset Formula $S_{0},\dots,S_{m}$
\end_inset

 lo contienen, y expresamos el polinomio resultante [...] en forma de Newton.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document