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diff --git a/ch1_cats.tex b/ch1_cats.tex index aade600..3c1f2ad 100644 --- a/ch1_cats.tex +++ b/ch1_cats.tex @@ -269,6 +269,8 @@ hay muchas categorías relevantes que no son constructos. \item La categoría discreta de dos objetos, $\bTwo$. \item La categoría $\bDown$, con dos objetos y una sola flecha de uno a otro ($\bullet\to\bullet$). + \item La categoría $\bDDown$, con dos objetos y dos morfismos de uno + a otro ($\bullet\rightrightarrows\bullet$). \end{enumerate} \end{example} @@ -1195,15 +1197,17 @@ Las siguientes proposiciones son las duales de las vistas para el núcleo. morfismos de la forma $h\circ c:b\to q'$ donde $h:q\to q'$ es un isomorfismo. \end{proposition} -\begin{proposition}\; - \begin{enumerate} - \item Todo conúcleo es un epimorfismo. - \item Toda retracción es un conúcleo. En concreto, si $g:a\to b$ es una - retracción y $f:b\to a$ es la correspondiente sección, entonces $g$ es - conúcleo de $f\circ g$ y $1_a$. - \item Los recíprocos no se cumplen. - \end{enumerate} -\end{proposition} +\begin{samepage} + \begin{proposition}\; + \begin{enumerate} + \item Todo conúcleo es un epimorfismo. + \item Toda retracción es un conúcleo. En concreto, si $g:a\to b$ es una + retracción y $f:b\to a$ es la correspondiente sección, entonces $g$ es + conúcleo de $f\circ g$ y $1_a$. + \item Los recíprocos no se cumplen. + \end{enumerate} + \end{proposition} +\end{samepage} \begin{proposition} Si $c:b\to q$ es conúcleo de $f,g:a\to b$, son equivalentes: diff --git a/ch3_limits.tex b/ch3_limits.tex new file mode 100644 index 0000000..ea679e4 --- /dev/null +++ b/ch3_limits.tex @@ -0,0 +1,117 @@ +Los funtores se pueden usar para modelar diagramas dentro de las +matemáticas. Podríamos ver un diagrama <<abstracto>> como una categoría cuyos +objetos y morfismos son los puntos y flechas del diagrama, y una instanciación +de ese diagrama como un funtor de dicha categoría a la categoría que nos +interesa. Este capítulo estudia una serie de conceptos que nos permitirán +razonar sobre propiedades algebraicas en base a diagramas, y se basa +principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y \cite[cap. III]{maclane}. + +\begin{definition} + Una categoría es \conc{finita} si lo son su conjunto de objetos y su conjunto + de morfismos. +\end{definition} + +\begin{definition} + Un \conc{diagrama} en una categoría $\cC$ es un funtor $D:\cS\to\cC$, y + llamamos \conc{esquema} del diagrama a $\cS$. $D$ es \conc{pequeño} o + \conc{finito} si lo es $\cS$. +\end{definition} + +\begin{example} + Esta definición permite modelar una variedad de situaciones. Por ejemplo: + \begin{enumerate} + \item Un diagrama con esquema discreto es una familia de objetos. + \item Un diagrama con esquema $\bOne$ es un objeto, y uno con esquema $\bDown$ + es un morfismo. + \item Un diagrama con esquema $\bDDown$ es un par de morfismos con dominio y + codominio común. + \item Un diagrama $S$ cuyo esquema lo forman un punto distinguido $d$, un + conjunto de objetos $I$ y una flecha $f_i:d\to i$ para cada $i\in I$ (además + de las identidades) es una \conc{fuente}. Llamamos \conc{dominio} de la + fuente a $Sd$ y \conc{codominio} a $(Si)_{i\in I}$, y denotamos la fuente + como $(Sf_i:Sd\to Si)_{i\in I}$. + \item De forma dual, un diagrama $S$ cuyo esquema lo forman un punto + distinguido $c$, un conjunto de objetos $I$ y una flecha $g_i:i\to c$ para + cada $i\in I$ (además de las identidades) es un \conc{sumidero}. Llamamos + \conc{dominio} del sumidero a $(Si)_{i\in I}$ y \conc{codominio} a $Sd$, y + denotamos el sumidero como $(Sg_i:Si\to Sc)_{i\in I}$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\section{Límites} + +Podemos expresar muchas relaciones entre objetos mediante diagramas. Por +ejemplo, un producto de $(a_i)_{i\in I}$ en una categoría $\cC$ es una fuente +$(p_i:b\to a_i)_{i\in I}$ tal que para cualquier otra fuente +$(f_i:x\to a_i)_{i\in I}$ existe un único morfismo $g:x\to b$ tal que +$f_i=p_i\circ g$ para todo $i\in I$. Por su parte, si consideramos el esquema +$\cS$ de la figura \ref{fig:scheme-equ}, el núcleo de dos morfismos $f$ y $g$ de +$\cC$ es la imagen de $\tilde e$ por un diagrama $D:\cS\to\cC$ tal que +$D\tilde f=f$, $D\tilde g=g$ y, para cualquier otro $D':\cS\to\cC$ que cumpla +esto, existe un único $\overline e:D'k\to Dk$ tal que +$D'\tilde e=D\tilde e\circ\overline e$. El hecho de que +$f\circ D\tilde e=g\circ D\tilde e$ se deduce de que el diagrama sólo tiene una +flecha $k\to b$. + +\begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (1,{sqrt(3)}) node(K){$k$} (0,0) node(A){$a$} (2,0) node(B){$b$}; + \draw[->] (K) -- node[left]{$\tilde e$} (A); + \draw[->] (A.15) -- node[above]{$\tilde f$} (B.165); + \draw[->] (A.345) -- node[below]{$\tilde g$} (B.195); + \draw[->] (K) -- (B); + \end{diagram} + \caption{Esquema del diagrama asociado al núcleo de dos morfismos.} + \label{fig:scheme-equ} +\end{figure} + +Las descripciones de esta forma son tediosas y muy parecidas unas a +otras. Afortunadamente, esta repetición se puede abstraer y usar en +razonamientos mediante el concepto de límite. + +\begin{definition} + Un \conc{límite} de un diagrama $D:\cS\to\cC$ es una fuente + $(f_i:c\to Di)_{i\in\Ob{S}}$ en $\cC$ tal que: + \begin{enumerate} + \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $f_j = Ds \circ f_i$, es decir, el diagrama + \ref{fig:nat-source} conmuta. + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0.9,2) node(C){$c$} (0,0) node(DI){$Di$} (1.8,0) node(DJ){$Dj$}; + \draw[->] (C) -- node[left]{$f_i$} (DI); + \draw[->] (C) -- node[right]{$f_j$} (DJ); + \draw[->] (DI) -- node[below]{$Ds$} (DJ); + \end{diagram} + \caption[Conmutatividad de fuente respecto a diagrama]{Conmutatividad de + una fuente $(f_i)_i$ respecto a un diagrama $D$.} + \label{fig:nat-source} + \end{figure} + \item Para cualquier otra fuente $(g_i:x\to D_i)_{i\in\Ob{s}}$ con esta + propiedad, existe un único $s:x\to c$ con $g_i=f_i\circ s$ para cada + $i\in\Ob{S}$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item El producto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el límite de un + diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como categoría + discreta le asocia $a_i$. + \item El núcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el límite de + un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyo par de morfismos no identidad va a parar + a $f$ y $g$. Esta situación se muestra en la figura \ref{fig:equ-diagram}. + \begin{figure} + \centering + % TODO ver mi pizarra + \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$} + \label{fig:equ-diagram} + \end{figure} + \end{enumerate} +\end{example} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "main" +%%% End: @@ -78,6 +78,7 @@ \dCat{\bOne}{1} \dCat{\bTwo}{2} \dCat{\bDown}{\downarrow} +\dCat{\bDDown}{\downdownarrows} \dCat{\bCat}{Cat} \dCat{\bCAT}{CAT} \dCat{\bCls}{Cls} @@ -86,6 +87,7 @@ \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} +\newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\dKey}[2]{\newcommand{#1}{\text{#2}}} \newcommand{\dKeyPar}[2]{\newcommand{#1}[1]{\text{#2}({##1})}} \dKeyPar{\Ob}{Ob} @@ -105,7 +107,7 @@ \newcommand{\epicTo}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\inTo}{\hookrightarrow} \renewcommand{\mapsto}{\rightsquigarrow} -\renewcommand{\Im}{\error{You probably meant \backslash{}Im}} +\renewcommand{\Im}{\error{You probably meant \backslash{}Img}} \newcommand{\dual}[1]{#1^{\text{op}}} \newcommand{\power}{\mathcal{P}} \newcommand{\copower}{\mathcal{Q}} @@ -157,7 +159,7 @@ \chapter{Funtores} \input{ch2_funs} -\chapter{Límites} +\chapter{Límites y colímites} \input{ch3_limits} \chapter{Transformaciones naturales} |