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diff --git a/ch3_limits.tex b/ch3_limits.tex index afe01f4..fb7723a 100644 --- a/ch3_limits.tex +++ b/ch3_limits.tex @@ -202,114 +202,244 @@ diagrama identidad. \section{Productos y coproductos fibrados} -Cabe preguntarse si la unión y la intersección de conjuntos se pueden -generalizar en términos categóricos. En el caso general esto parece improbable, -pues la visión categórica de la teoría de conjuntos se abstrae de los elementos -concretos. Sin embargo, la unión e intersección de conjuntos arbitrarios es poco -frecuente, y en general estas operaciones se usan entre subconjuntos de un mismo -conjunto base o universo de discurso. En este caso podemos definir la unión y -la intersección según propiedades de subobjetos. +Los límites y colímites, al ser fuentes y sumideros, respectivamente, se pueden +ver como diagramas que pueden tener a su vez un límite y un colímite. Claramente +el límite de un límite es el propio límite y el colímite de un colímite es el +propio colímite, pues de hecho el límite de una fuente es la propia fuente y el +colímite de un sumidero es el propio sumidero. Sin embargo, puede ser +interesante estudiar el límite de un sumidero o el colímite de una +fuente. Empezamos con el primer caso, y vemos algunas definiciones. -\begin{definition} - Sean $M$ una colección de monomorfismos, $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ una - colección de $M$-subobjetos de un objeto $b$ y $(c,n)$ un $M$-subobjeto de - $b$. +\begin{definition}\; \begin{enumerate} - \item $(c,n)$ es una \conc{intersección} de los $(a_i,m_i)$ si - $(c,n)\leq(a_i,m_i)$ para todo $i\in I$ y, para cualquier $h:d\to b$ para el - que existen $(g_i:d\to a_i)_{i\in I}$ con $h=m_i\circ g_i$, existe - $g':d\to c$ con $h=n\circ g'$. - \item $(c,n)$ es una \conc{unión} de los $(a_i,m_i)$ si $(a_i,m_i)\leq(c,n)$ - para todo $i\in I$ y, para cualquier $h:d\to b$ para el que existen - $(c',n')$ de $b$ - con esta propiedad, $(c,n)\leq(c',n')$. + \item Un \conc{producto fibrado múltiple} es un límite de un + sumidero. + \item Un \conc{producto fibrado} es un límite de un diagrama con esquema + ($\bullet\to\bullet\leftarrow\bullet$), es decir, de un sumidero de tamaño + 2. + \item Dados dos morfismos $f:a\to c$ y $g:b\to c$, llamamos producto fibrado + de $a$ y $b$ por $c$ (respecto de $f$ y $g$), $a\times_c b$, o simplemente + producto fibrado de $f$ y $g$, al producto fibrado del sumidero determinado + por $f$ y $g$. \end{enumerate} \end{definition} -En general, $M$ será la clase de todos los monomorfismos de la categoría, por lo -que la unión e intersección serán únicas salvo isomorfismo. +\begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,0) node(A){$a$} (2,2) node(B){$b$} (2,0) node(C){$c$} + (0,2) node(D){$a\times_cb$} (-1,3) node(X){$x$}; + \draw[->] (A) -- node[below]{$f$} (C); + \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (C); + \draw[->] (D) -- node[right]{$\overline g$} (A); + \draw[->] (D) -- node[below]{$\overline f$} (B); + \draw[->] (X) -- (A); + \draw[->] (X) -- (B); + \draw[->,dotted] (X) -- (D); + \end{diagram} + \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$} + \label{fig:pullback} +\end{figure} + +Al representar gráficamente un producto fibrado, la flecha de dicho producto al +codominio del sumidero es superflua, por lo que solemos omitirla. El resultado +es un cuadrado como el de la figura \ref{fig:pullback}, llamado \conc{cuadrado + cartesiano}. Veamos algunos ejemplos. +\pagebreak \begin{example}\; \begin{enumerate} - \item La intersección de una familia vacía de subobjetos es el objeto - total. Si existe un objeto inicial y todos los morfismos que parten de él - son monomorfismos, entonces este es la unión de una familia vacía. - \item En $\bSet$, la unión e intersección de subobjetos coinciden - con las habituales, salvo isomorfismo. - \begin{proof} - Sean $\{A_i\}_{i\in I}$ un conjunto de subobjetos en $\bSet$ del conjunto - $B$, que podemos suponer por isomorfismo que son subconjuntos de $B$. Para - la intersección, si $C$ es un conjunto y $g:C\to B$ y $f_i:C\to A_i$ son - monomorfismos con $g=u_i\circ f_i$ para cada $i$, siendo $u_i:A_i\to B$ la - inclusión, entonces $\Img{g}\subseteq A_i$ para cada $i$ y por tanto - podemos tomar la restricción $g:C\to\bigcap_{i\in I}A_i$. Para la unión, - si $C$ es un conjunto y $f_i:A_i\to C$ y $g:C\to B$ son monomorfismos con - $g\circ f_i=u_i$ para cada $i$, para $i,j\in I$ y $x\in A_i\cap A_j$ es - $g(f_i(x))=x=g(f_j(x))$ y por tanto $f_i(x)=f_j(x)$, con lo que podemos - definir el monomorfismo $\hat f:\bigcup_{i\in I}A_i\to C$ de modo que - $f(x)=f_i(x)$ para cada $x\in A_i$ y cada $i\in I$ y se cumple que - $g\circ\hat f$ es la inclusión. - \end{proof} - \item En $\bVec$, la intersección es la intersección de subespacios y la unión - es la suma de subespacios. + \item En $\bSet$, el producto fibrado de dos funciones $f:A\to C$ y $g:B\to C$ + es $A\times_C B = \{(a,b) \in A \times B \mid f(a)=g(b) \}$ junto con las + correspondientes restricciones al dominio de las proyecciones $A\times B\to A$ + y $A\times B\to B$. + \item En una categoría fina, el producto fibrado coincide con el producto + convencional. + \item En un constructo con un objeto libre $1$ sobre el conjunto $\{*\}$, si + $e:1\to c$ es un elemento de $c$ y $f:b\to c$ es otro morfismo, llamamos + \conc{fibra} de $f$ sobre $e$ al producto fibrado de $e$ y + $f$.\cite[p. 79]{riehl} En $\bSet$, esta fibra coincide con la imagen + inversa $f^{-1}(e)$. En $\bTop$, si $\rho:\sReal\to\sCirc^1$ es la + aplicación $t\mapsto\E^{2\pi\I t}$, la fibra de $\rho$ sobre un punto de + $\sCirc^1$ es $\sInt$ con la inclusión $\sInt\inTo\sReal$. \end{enumerate} \end{example} -La intersección de dos objetos se puede ver como un límite. +El primer ejemplo muestra una relación entre los conceptos de producto fibrado, +producto y núcleo, mostrando que en $\bSet$ el primero se puede definir en +términos de los otros dos. Esto no es casualidad, sino que de hecho ocurre en +todas las categorías en las que dichos límites existen. -\begin{definition}\; +\begin{proposition} + Sean $f:a\to c$ y $g:b\to c$ morfismos, $p_1:a\times b\epicTo a$ y + $p_2:a\times b\epicTo b$ proyecciones canónicas y $e:k\monicTo a\times b$ un + núcleo de $f\circ p_1$ y $g\circ p_2$, entonces $p_1\circ e:k\to a$ y + $p_2\circ e:k\to b$ forman un producto fibrado de $f$ y $g$ (figura + \ref{fig:pullback-canon}). + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,0) node(B){$b$} (3,0) node(C){$c$} (3,3) node(A){$a$}; + \path (1.5,1.5) node(AB){$a\times b$} (0,3) node(K){$k$}; + \draw[->] (A) -- node[right]{$f$} (C); + \draw[->] (B) -- node[below]{$g$} (C); + \draw[->] (K) -- node[below]{$e$} (AB); + \draw[->] (AB) -- node[below]{$p_1$} (A); + \draw[->] (AB) -- node[right]{$p_2$} (B); + \draw[->] (K) -- node[above]{$p_1\circ e$} (A); + \draw[->] (K) -- node[left]{$p_2\circ e$} (B); + \end{diagram} + \caption{Construcción canónica de productos fibrados} + \label{fig:pullback-canon} + \end{figure} +\end{proposition} +\begin{proof} + Obviamente el cuadrado conmuta, y si $r:p\to b$ y $s:p\to a$ son tales que + $f\circ s=g\circ r$, entonces $f\circ p_1\circ(s,r)=g\circ p_2\circ(s,r)$ y + existe un único $h:p\to k$ tal que $(s,r)=e\circ h$ y así + $s=(p_1\circ e)\circ h$ y $r=(p_2\circ e)\circ h$. +\end{proof} + +\begin{example} + La anterior proposición caracteriza el producto fibrado en la mayoría de + categorías como un subobjeto regular de un objeto producto. Así: \begin{enumerate} - \item Un \conc{producto fibrado múltiple} es un límite de un - sumidero. - \item Un \conc{producto fibrado} es un límite de un diagrama con esquema - ($\bullet\to\bullet\leftarrow\bullet$), es decir, de un sumidero de tamaño - 2. Si los dos morfismos no identidad del esquema van a parar a $f:a\to c$ y - $g:b\to c$, llamamos producto fibrado de $a$ y $b$ por $c$ (respecto a $f$ y - $g$), $a\times_cb$, a dicho límite. + \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, dados dos homomorfismos + $f:A\to C$ y $g:B\to C$, el producto fibrado de $A$ y $B$ por $C$ es el + subanillo, subgrupo, submódulo o subespacio topológico, respectivamente, de + $A\times B$ dado por $A\times_C B=\{ (a,b)\in A\times B\mid f(a)=g(b) \}$. + \item En $\bAb$, los homomorfismos $\sInt\to\sInt$ se identifican con los + enteros. Entonces el producto fibrado de dos enteros $m$ y $n$ está formado + por pares de enteros $(x,y)\in\sInt\times\sInt$ con $xn=ym$. Si $m,n\neq0$, + esto es isomorfo a $\sInt$ y los morfismos del producto son enteros $a$ y + $b$ tales que $ma=nb$ es el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. + + Si $m$ es 0 pero $n$ no, el producto fibrado es $\sInt$, con el morfismo + paralelo a $m$ igual a 0 y el otro igual a 1. Si $n$ es 0 pero $m$ no es + análogo, y si ambos son 0 el producto fibrado es el producto convencional. + Esto encaja con la siguiente proposición. \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{proposition} + El producto fibrado de dos objetos respecto a un objeto terminal es el + producto de dichos objetos. +\end{proposition} + +Los productos fibrados se pueden usar para definir intersecciones. La +intersección de dos objetos cualesquiera no tiene una definición general en +teoría de categorías, pues en principio, en un constructo, los elementos de un +objeto son intercambiables. Sin embargo, sí que se puede definir la intersección +entre subobjetos del mismo objeto. En $\bSet$, el producto fibrado de un par de +inclusiones es la intersección de los dominios, lo cual podemos generalizar. + +\begin{definition} + La \conc{intersección} de una familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de subobjetos + de un objeto $c$ es el par $(b,n)$ formado por el dominio $b$ del producto + fibrado múltiple de los $m_i$ y el morfismo $n:b\to c$ de dicho producto. \end{definition} \begin{proposition} - Dados una familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de subobjetos de un objeto $c$ y un - morfismo $n:b\to c$, $(b,n)$ es una intersección de los $(a_i,m_i)$ si y sólo - si $b$ es producto fibrado múltiple de $(m_i:a_i\to c)_i$ y $n$ es el morfismo - $b\to c$ asociado. + La intersección de una familia de subobjetos es un subobjeto. \end{proposition} \begin{proof} - Supongamos que el sumidero tiene producto fibrado múltiple - $(f_i:b\to a_i)_{i\in I\sqcup\{*\}}$ con $f_*=n:b\to c$. Si $g,h:d\to b$ - cumplen $n\circ g=n\circ h$, entonces - $m_i\circ f_i\circ g=m_i\circ f_i\circ g$ y por tanto $f_i\circ g=f_i\circ h$, - y por unicidad al factorizar por un límite es $g=h$, de modo que $n$ es un - monomorfismo y $(b,n)$ es una intersección. Recíprocamente, si $(b,n)$ es - intersección de los $(a_i,m_i)$ y, para cada $i$, $f_i:b\to a_i$ es un - monomorfismo con $n=m_i\circ f_i$, entonces %TODO + Sea $(b,n)$ una intersección de la familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de + subobjetos de $c$ y sea $(f_i:b\to a_i)_{i\in I\sqcup\{*\}}$ el producto + fibrado correspondiente, con $f_*=n$, para $g,h:d\to b$ con + $n\circ g=n\circ h$, $m_i\circ f_i\circ g=m_i\circ f_i\circ h$ para cada + $i\in I$ y por tanto $f_i\circ g=f_i\circ h$, y por la unicidad en la + definición de límite es $g=h$, con lo que $n$ es un monomorfismo. \end{proof} -Los productos fibrados se suelen representar con un cuadrado como el de la -figura \ref{fig:pullback}, pues la flecha $d\to c$ es superflua. Este cuadrado -se llama \conc{cuadrado cartesiano}. +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item La intersección de una familia vacía de subobjetos es el objeto + total. + \item La intersección en $\bSet$, $\bTop$, $\bRing$, $K\dash\bMod$ y + $(\Omega,E)\dash\bAlg$ se corresponde con la intersección de conjuntos. + \item En una categoría fina, las intersecciones son los productos. + \end{enumerate} +\end{example} + +El concepto dual al producto fibrado es el coproducto fibrado. + +\begin{definition}\; + \begin{enumerate} + \item Un \conc{coproducto fibrado múltiple} es un colímite de una fuente. + \item Un \conc{coproducto fibrado} es un colímite de un diagrama con esquema + ($\bullet\leftarrow\bullet\to\bullet$), es decir, de una fuente de tamaño 2. + \item Dados dos morfismos $f:d\to a$ y $g:d\to b$, llamamos coproducto fibrado + de $a$ y $b$ por $d$ (respecto de $f$ y $g$), $a\oplus_d b$, o simplemente + coproducto fibrado de $f$ y $g$, al coproducto fibrado de la fuente + determinada por $f$ y $g$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +Es común representar el coproducto fibrado con un cuadrado cartesiano como el de +la figura \ref{fig:pushout}. \begin{figure} \centering \begin{diagram} - \path (0,0) node(A){$a$} (2,2) node(B){$b$} (2,0) node(C){$c$} - (0,2) node(D){$a\times_cb$} (-1,3) node(X){$x$}; - \draw[->] (A) -- node[below]{$f$} (C); - \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (C); - \draw[->] (D) -- node[right]{$\overline g$} (A); - \draw[->] (D) -- node[below]{$\overline f$} (B); - \draw[->] (X) -- (A); - \draw[->] (X) -- (B); - \draw[->,dotted] (X) -- (D); + \path (0,0) node(A){$a$} (-2,-2) node(B){$b$} (-2,0) node(C){$d$} + (0,-2) node(D){$a\oplus_cb$} (1,-3) node(X){$x$}; + \draw[<-] (A) -- node[above]{$f$} (C); + \draw[<-] (B) -- node[left]{$g$} (C); + \draw[<-] (D) -- node[left]{$\overline g$} (A); + \draw[<-] (D) -- node[above]{$\overline f$} (B); + \draw[<-] (X) -- (A); + \draw[<-] (X) -- (B); + \draw[<-,dotted] (X) -- (D); \end{diagram} - \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$} - \label{fig:pullback} + \caption[Coproducto fibrado]{Coproducto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$} + \label{fig:pushout} \end{figure} -% TODO Ejemplos de productos fibrados (ver Riehl p.79 y Wikipedia) +\begin{proposition} + Sean $f:d\to a$ y $g:d\to b$ morfismos, $u_1:a\monicTo a\oplus b$ y + $u_2:b\monicTo a\oplus b$ inclusiones canónicas y $c:a\oplus b\epicTo q$ un + conúcleo de $u_1\circ f$ y $u_2\circ g$, entonces $c\circ u_1:a\to q$ y + $c\circ u_2:b\to q$ forman un coproducto fibrado de $f$ y $g$ (figura + \ref{fig:pushout-canon}). + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,0) node(B){$b$} (-3,0) node(C){$d$} (-3,-3) node(A){$a$}; + \path (-1.5,-1.5) node(AB){$a\oplus b$} (0,-3) node(K){$q$}; + \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (C); + \draw[->] (B) -- node[above]{$g$} (C); + \draw[->] (K) -- node[above]{$c$} (AB); + \draw[->] (AB) -- node[above]{$u_1$} (A); + \draw[->] (AB) -- node[left]{$u_2$} (B); + \draw[->] (K) -- node[below]{$u_1\circ c$} (A); + \draw[->] (K) -- node[right]{$u_2\circ c$} (B); + \end{diagram} + \caption{Construcción canónica de coproductos fibrados} + \label{fig:pushout-canon} + \end{figure} +\end{proposition} -\section{Completitud y cocompletitud} +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item En $\bSet$, dadas dos funciones $f:D\to A$ y $g:D\to B$, el coproducto + fibrado de $A$ y $B$ por $D$ es el conjunto cociente de $A\sqcup B$ por la + menor relación de equivalencia que identifica $f(d)$ con $g(d)$ para cada + $d\in D$. + \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, el coproducto se obtiene + de manera similar. + \item En una categoría fina, un coproducto fibrado es un coproducto + convencional. + \item El concepto dual de la intersección es el de \conc{cointersección} de + objetos cociente. Específicamente, en $\bSet$, si $(\sim_i)_{i\in I}$ son + relaciones de equivalencia en un conjunto $A$, la cointersección de los + conjuntos cociente $(\frac{A}{\sim_i})_{i\in I}$ (con las correspondientes + proyecciones canónicas) es el conjunto cociente de $A$ por la menor relación + de equivalencia que contiene a $\bigcup_{i\in I}\sim_i$. La cointersección + de una familia vacía de objetos cociente es el objeto original. + \end{enumerate} +\end{example} + +\section{Completitud} Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos, pero todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta depende del caso; por @@ -321,14 +451,127 @@ límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente compleja, pero de hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación. \begin{definition} - Una categoría $\cC$ \conc{tiene límites} o es \conc{completa} si todos los - diagramas pequeños en $\cC$ tienen límite. $\cC$ \conc{tiene productos} si - todas las familias pequeñas de objetos de $\cC$ tienen producto, y \conc{tiene - núcleos} si todo par de morfismos con dominio y codominio común tiene un - núcleo. + Sea $\cC$ una categoría: + \begin{enumerate} + \item $\cC$ \conc{tiene límites} (\emph{finitos}) o es (\emph{finitamente}) + \conc{completa} si todos los diagramas pequeños (finitos) en $\cC$ tienen + límite. + \item $\cC$ \conc{tiene productos} (\emph{finitos}) si todas las familias + pequeñas (finitas) de objetos de $\cC$ tienen producto. + \item $\cC$ \conc{tiene núcleos} si todo par de morfismos con el mismo dominio + y codominio tiene un núcleo. + \item $\cC$ \conc{tiene productos fibrados} si todo par de morfismos con el + mismo codominio tiene un producto fibrado. + \item $\cC$ \conc{tiene intersecciones} (\emph{finitas}) si toda familia + pequeña (finita) de subobjetos de un mismo objeto de $\cC$ tiene intersección. + \end{enumerate} \end{definition} -% TODO Primeros dos teoremas del tema 12 de Joy of Cats +\begin{theorem} + Para una categoría $\cC$, son equivalentes: + \begin{enumerate} + \item \label{enu:lim-complete} $\cC$ es completa. + \item \label{enu:lim-prodint} $\cC$ tiene productos e intersecciones finitas. + \item \label{enu:lim-prodeq} $\cC$ tiene productos y núcleos. + \end{enumerate} +\end{theorem} +\begin{proof} + (\ref{enu:lim-complete})$\implies$(\ref{enu:lim-prodint}) es obvio. + + Veamos (\ref{enu:lim-prodint})$\implies$(\ref{enu:lim-prodeq}). Si $\cC$ tiene + productos e intersecciones finitas, sean $f,g:a\to b$, existe $a\times b$ y + $(a,(1_a,f))$ y $(a,(1_a,g))$ son subobjetos de $a\times b$ con una cierta + intersección $(k,n)$. Sean entonces $p_1:a\times b\to a$ y + $p_2:a\times b\to b$ las proyecciones canónicas y $e_1,e_2:k\to a$ tales que + $n=(1_a,f)\circ e_1=(1_a,g)\circ e_2$, y queremos ver que $e_1=p_1\circ n=e_2$ + es un núcleo de $f$ y $g$. Pero $f\circ e_1=p_2\circ n=g\circ e_2=g\circ e_1$, + y si $e':k'\to a$ cumple $f\circ e'=g\circ e'$, entonces es fácil ver que + $(1_a,f)\circ e'=(1_a,g)\circ e'$, y por la definición de intersección existe + un único $h:k'\to k$ con $e'=e_1\circ h$. + + Queda por probar (\ref{enu:lim-prodeq})$\implies$\ref{enu:lim-complete}. Si + $D:\cS\to\cC$ un diagrama pequeño y $\cC$ tiene productos y núcleos, existen + los productos $(p_j:O\coloneqq\prod_{i\in\Ob{\cS}}Di\to Dj)_{j\in\Ob{\cS}}$ y + $(\pi_s:C\coloneqq\prod_{t\in\Mor{\cS}}D(\cod t)\to D(\cod + s))_{s\in\Mor{\cS}}$. Además, si tomamos + $p_{\cod t},Dt\circ p_{\dom t}:O\to D(\cod t)$ para cada $t\in\Mor{\cS}$, el + par de morfismos + $\hat c\coloneqq(p_{\cod t})_{t\in\Mor{\cS}},\hat d\coloneqq(Dt\circ p_{\dom + t})_{t\in\Mor{\cS}}:O\to M$ tiene un núcleo $e:k\to O$, y queremos ver que + $(p_i\circ e:E\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es límite de $D$. En primer lugar, para + cada $s:i\to j$ en $\cS$, + $p_i\circ e=p_{\cod s}\circ e=\pi_s\circ\hat c\circ e=\pi_s\circ\hat d\circ + e=Ds\circ p_{\dom t}\circ e=Ds\circ(p_i\circ e)$. En segundo lugar, si + $(f_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es otra fuente tal que $f_j=Ds\circ f_i$ para + todo $s:i\to j$ en $\cS$, sea $\hat f\coloneqq(f_i)_{i\in\Ob{\cS}}:x\to O$, + para $s:i\to j$ en $\cS$, + $\pi_s\circ\hat c\circ\hat f=p_j\circ\hat f=f_j=Ds\circ f_i=Ds\circ + p_i\circ\hat f=\pi_s\circ\hat d\circ\hat f$, y como esto se da para todo $s$, + por definición de producto, $\hat c\circ\hat f=\hat d\circ\hat f$, pero por + definición de núcleo, existe un único $g:x\to k$ con $\hat f=e\circ g$, de + modo que $f_i=p_i\circ e\circ g$ para cada $i$ y $g$ es el único morfismo con + esta propiedad. +\end{proof} + +Para el caso finito tenemos una propiedad similar. + +\begin{theorem} + Para una categoría $\cC$, son equivalentes: + \begin{enumerate} + \item \label{enu:flim-comp} $\cC$ es finitamente completa. + \item \label{enu:flim-intr} $\cC$ tiene productos finitos e intersecciones + finitas. + \item \label{enu:flim-kern} $\cC$ tiene productos finitos y núcleos. + \item \label{enu:flim-pull} $\cC$ tiene productos fibrados y un objeto + terminal. + \end{enumerate} +\end{theorem} +\begin{proof} + (\ref{enu:flim-comp})$\iff$(\ref{enu:flim-intr})$\iff$(\ref{enu:flim-kern}) se + prueba como en el teorema anterior, y + (\ref{enu:flim-comp})$\implies$(\ref{enu:flim-pull}) es obvio usando que un + objeto terminal es un límite de un diagrama vacío. + + Queda ver (\ref{enu:flim-pull})$\implies$(\ref{enu:flim-intr}), pero un + producto de una familia vacía es un objeto terminal, los de una unipuntual + siempre existen y los de dos objetos son productos fibrados respecto a un + objeto terminal, y basta usar la asociatividad del producto. Además, una + intersección de una familia vacía es un morfismo identidad, la de un sólo + subobjeto es el propio subobjeto, la de dos subobjetos es un producto fibrado + y es fácil ver que, si $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$ son subobjetos de $c$ con + $n>2$, $(b,q)$ es intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_{n-1},m_{n-1})$ y + $(b',q')$ es intersección de $(b,q)$ y $(a_n,m_n)$, entonces $(b',q')$ es + intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$. +\end{proof} + +El dual de una categoría completa es una categoría \emph{cocompleta}, y +análogamente se define tener colímites, coproductos, conúcleos, etc. + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item Las categorías $\bSet$, $R\dash\bMod$, $\bTop$, $\bOrd$ y $\bGrp$ tienen + productos y núcleos, por lo que son completas. + \item Un conjunto pequeño parcialmente ordenado visto como categoría es + completo si y sólo si es un retículo completo, si y sólo si es cocompleto. + \begin{proof} + Sea $(C,\leq)$ este conjunto. Claramente, si $(C,\leq)$ es un retículo + completo, es una categoría completa y cocompleta, pues tiene productos y + coproductos (ínfimos y supremos) y, como toda categoría fina, tiene + núcleos y conúcleos. Supongamos que $(C,\leq)$ es una categoría completa, + y queremos ver que es un retículo completo. Si $S\subseteq C$ es no vacío, + $S$ tiene un ínfimo (el producto de los objetos). Ahora bien, sea + $X\subseteq C$ el conjunto de cotas superiores de $S$, $X$ no es vacío + porque contiene al máximo de $C$ (el objeto terminal), por lo que tiene un + ínfimo $p$, pero para $s\in S$, $s\leq x$ para todo $x\in X$ y, por + definición de ínfimo, $s\leq p$, de modo que $p$ es una cota superior de + $S$ y es la menor de ellas, por lo que es un supremo, y así $C$ es un + retículo completo. Análogamente, si $C$ es una categoría cocompleta, + también es un retículo completo. + \end{proof} + \item La subcategoría de $\bSet$ de los conjuntos finitos es finitamente + completa y cocompleta, pero no es completa ni cocompleta. + \end{enumerate} +\end{example} %%% Local Variables: %%% mode: latex @@ -20,6 +20,7 @@ \usepackage{subcaption} \usepackage{tikz} \usepackage{float} +\usepackage{hyperref} \newenvironment{diagram}{\begin{tikzpicture}\selectlanguage{english}}{\end{tikzpicture}} @@ -30,6 +31,7 @@ % Theorem styles \newtheorem{proposition}{Proposición}[chapter] +\newtheorem{theorem}[proposition]{Teorema} \newtheorem{corollary}[proposition]{Corolario} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}[proposition]{Definición} @@ -38,6 +40,8 @@ \newtheorem{example}[proposition]{Ejemplo} % Math macros +\newcommand{\E}{\text{e}} +\newcommand{\I}{\text{i}} \newcommand{\dash}{\text{-}} \newcommand{\dCat}[2]{\newcommand{#1}{{\bf #2}}} \newcommand{\conc}[1]{\emph{#1}} |