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diff --git a/ch4_trans.tex b/ch4_trans.tex new file mode 100644 index 0000000..a20d7cc --- /dev/null +++ b/ch4_trans.tex @@ -0,0 +1,355 @@ +Si tenemos un espacio vectorial de dimensión finita, sabemos que su espacio dual +es isomorfo a este, por lo que el doble dual también lo es. Sin embargo, +mientras el isomorfismo con el dual es algo más +\foreignlanguage{english}{ad-hoc}, el del doble dual se ve como algo más +fundamental, pues se obtiene <<de forma natural>> un isomorfismo que podríamos +llamar <<canónico>>, dado por $v\mapsto(f\mapsto f(v))$. + +El hecho de considerar una cierta transformación, o una cierta operación, como +natural es algo común en distintas áreas de las matemáticas, y si bien el uso +del término suele ser informal, en la primera mitad del siglo XX se hicieron +esfuerzos por formalizarlo que, de hecho, fueron los que llevaron a la creación +de la teoría de categorías. En este capítulo exploramos este concepto, +basándonos principalmente en \cite[cap. 6]{joyofcats} y \cite[I.4 y +II.4--5]{maclane}. + +\begin{definition} + Dados dos morfismos $S,T:\cC\to\cD$, una \conc{transformación natural} + $\tau:S\to T$, también escrita como + \[\cC\natg{\downarrow\tau}{S}{T}\cD,\] + es una función $\tau:\Ob{\cC}\to\Mor{\cD}$ que a cada objeto $c$ en $\cC$ le + asigna un morfismo $\tau_c:Sc\to Tc$ de forma que, para todo morfismo + $f:a\to b$ en $\cC$, la figura \ref{fig:natural} conmuta, esto es, + $Tf\circ\tau_a=\tau_b\circ Sf$. + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,2) node(A){$a$} (2,2) node(SA){$Sa$} (4,2) node(TA){$Ta$}; + \path (0,0) node(B){$b$} (2,0) node(SB){$Sb$} (4,0) node(TB){$Tb$}; + \draw[->] (A) -- node[right]{$f$} (B); + \draw[->] (SA) -- node[left]{$Sf$} (SB); + \draw[->] (TA) -- node[right]{$Tf$} (TB); + \draw[->] (SA) -- node[above]{$\tau_a$} (TA); + \draw[->] (SB) -- node[below]{$\tau_b$} (TB); + \end{diagram} + \caption{Transformación natural.} + \label{fig:natural} + \end{figure} +\end{definition} + +Si pensamos en los funtores $S$ y $T$ como imágenes en $\cD$ de los objetos y +los morfismos de $\cC$, una transformación natural nos da un conjunto de +morfismos de la imagen de $S$ a la de $T$ de forma que todos los cuadrados como +los de la figura \ref{fig:natural} conmutan. + +También podemos pensar en la transformación natural como un morfismo +<<genérico>> en $\cD$, parametrizado por un objeto de $\cC$, y lo que nos dice +el diagrama a grandes rasgos es que el morfismo <<se comporta igual>> para +cualquier valor del parámetro. + +\begin{example}\label{ex:nattrans}\; + \begin{enumerate} + \item En $\bVecf$, un isomorfismo de un espacio $V$ a su dual $V^*$ viene dado + por una forma bilineal no degenerada, pero como esta no es única y no hay + una forma general de elegir una, el isomorfismo no puede ser natural. Sin + embargo, $\phi_V:V\to V^{**}$ dado por $\phi_V(x)(f)\coloneqq f(x)$ es un + isomorfismo y se puede definir del mismo modo para todo $V$, por lo que + $\phi$ es una transformación natural $\phi:1_{\bVecf}\to(^{**})$ y, de + hecho, es una transformación natural $\phi:1_{K\dash\bVec}\to(^{**})$, donde + el funtor $(^{**})$ viene dado por la composición + $(^{**}):\bVec\overset{(^*)}{\to}\dual{\bVec}\overset{(^*)}{\to}\bVec$. + \item Para cada $n\in\sNat$, el determinante de matrices $n\times n$ es una + transformación natural. Más concretamente, si para un anillo conmutativo $R$ + tomamos la función determinante $\det_R:{\mathcal{M}}_n(R)\to R$, $\det_R$ + no es un homomorfismo de anillos porque no conserva la suma, pero sí es un + homomorfismo de grupos multiplicativos $\det_R:\text{GL}_n(R)\to R^*$. Si + $f$ es un homomorfismo de anillos, podemos definir $\text{GL}_n(f)$ + componente a componente y $f^*=f$, y entonces $\det:\text{GL}_n\to(\cdot)^*$ + es una transformación natural entre funtores $\bCRng\to\bGrp$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\section{Categorías de funtores} + +Las transformaciones naturales se pueden componer de varias formas. Una forma +sencilla es componiendo los morfismos imagen de dos transformaciones naturales +\[\cC\nattwos{\sigma}{\tau}\cD.\] + +\begin{definition} + Dados tres funtores $R,S,T:\cC\to\cD$ y dos transformaciones naturales + $\sigma:R\to S$ y $\tau:S\to T$, llamamos \conc{composición vertical} de + $\sigma$ y $\tau$ a la transformación natural $\tau\cdot\sigma:R\to T$ dada + por $(\tau\cdot\sigma)_c\coloneqq \tau_c\circ \sigma_c$. +\end{definition} + +Claramente esta composición es asociativa y tiene identidad, lo que sugiere la +siguiente definición. + +\begin{definition} + Dadas dos categorías $\cC$ y $\cD$, la \conc{categoría de funtores} de $\cC$ y + $\cD$, $\cD^\cC$, es aquella que tiene como objetos los funtores $\cC\to\cD$, + como morfismos las transformaciones naturales entre ellos, como composición la + composición vertical y como identidad la \conc{transformación natural + identidad}, que para un funtor $T:\cC\to\cD$ viene dada por + $1_T(c)\coloneqq 1_{Tc}$. +\end{definition} + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item Si $I$ es un conjunto, la categoría de funtores $\cC^I$ es precisamente + la $I$-ésima potencia de $\cC$ en una categoría de categorías apropiada. En + concreto, si $X$ es otro conjunto, $X^I$ es el conjunto de familias + $(x_i)_{i\in I}$ con entradas en $X$, o de funciones $I\to X$. + \item Si $X$ es un conjunto, $\{0,1\}^X$ es su conjunto potencia. + \item $\cC^\bOne$ es isomorfa a $\cC$, mientras que $\cC^\bZero$ es la categoría unipuntual. + \item $\cC^\bDown$ es la \conc{categoría de flechas} de $\cC$, cuyos objetos + son los morfismos de $\cC$ y cuyos morfismos $f\to g$ son los pares de + flechas $(h,k)$ para los que la figura \ref{fig:arrow-cat} conmuta. + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,2) node(A){$\cdot$} (2,2) node(AP){$\cdot$}; + \path (0,0) node(B){$\cdot$} (2,0) node(BP){$\cdot$}; + \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (B); + \draw[->] (AP) -- node[right]{$g$} (BP); + \draw[->] (A) -- node[above]{$h$} (AP); + \draw[->] (B) -- node[below]{$k$} (BP); + \end{diagram} + \caption[Categoría de flechas.]{Morfismos $f\to g$ de la categoría de flechas.} + \label{fig:arrow-cat} + \end{figure} + \item Si $M$ es un monoide, $\bSet^M$ es la categoría de las acciones de $M$ + sobre algún conjunto. + \item Consideremos el \conc{funtor diagonal} $\Delta:\cC\to\cC^\cS$. Para cada + objeto $c$, $\Delta c:\cS\to\cC$ es el funtor constante que lleva cada + objeto a $c$ y cada morfismo a $1_c$, y para cada morfismo $f$, + $\Delta f:\Delta a\to\Delta b$ es la transformación natural que lleva todos + los objetos a $f$. Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama, un morfismo + $\Delta c\to D$ es una fuente que conmuta con $D$, y un morfismo + $D\to\Delta c$ es un sumidero que conmuta con $D$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{proposition} + Dadas dos categorías $\cC$ y $\cD$: + \begin{enumerate} + \item Si $\cC$ y $\cD$ son pequeñas, también lo es $\cD^\cC$. + \begin{proof} + Los objetos de $\cD^\cC$ son funciones $\Mor{\cC}\to\Mor{\cD}$, los + morfismos son funciones $\Ob{\cC}\to\Mor{\cD}$, y ambos conjuntos de + funciones son pequeños. + \end{proof} + \item Si $\cC$ es pequeña y $\cD$ es una clase, $\cD^\cC$ es una clase. + \begin{proof} + Si $T:\cC\to\cD$ es un funtor, como $\Mor{\cC}$ es pequeño, su imagen por + $\cC$ también y $T$ es pequeño, por lo que el conjunto de funtores es una + clase, y análogamente para el de transformaciones naturales. + \end{proof} + \item Si $\cC$ es pequeña y $\cD$ tiene conjuntos hom pequeños, $\cD^\cC$ + tiene conjuntos hom pequeños. + \begin{proof} + Los elementos de $\hom_{\cD^\cC}(S,T)$ son funciones de $\Ob{\cC}$ a + $\bigcup_{c\in\Ob{\cC}}\hom(Sc,Tc)$, pero estos conjuntos son pequeños y + por tanto el conjunto de estas funciones también. + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\section{Isomorfismos naturales} + +Los isomorfismos de las categorías de funtores son particularmente importantes, +pues proporcionan una forma general de obtener isomorfismos que, además, +conmutan con los morfismos imágenes de los correspondientes funtores, +proporcionando una forma directa de pasar de uno al otro. + +\begin{definition} + Un \conc{isomorfismo natural} es un isomorfismo en una categoría de funtores, + es decir, una transformación natural $\tau:S\to T$ en que todos los $\tau_c$ + son isomorfismos, y si existe decimos que los funtores $S$ y $T$ son + \conc{naturalmente isomorfos}. +\end{definition} + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item La transformación natural $\phi:1\to(^{**})$ del ejemplo \ref{ex:nattrans} + no es un isomorfismo natural, pero sí lo es si restringimos el dominio y + codominio de los funtores a $K\dash\bVecf$. + \item Si $a$ y $b$ son objetos de una cierta categoría con coproducto + $a\oplus b$, existe una biyección + $\hom(a,d)\times\hom(b,d)\cong\hom(a\oplus b,d)$ natural respecto a $d$, + como se muestra en la figura \ref{fig:nat-coproduct}. + \begin{figure} + \centering + \begin{subfigure}{.45\textwidth} + \begin{diagram}\smaller + \path (0,2) node(ABX){$\hom(a,x)\times\hom(b,x)$} (4,2) node(SX){$\hom(a\oplus b,x)$}; + \path (0,0) node(ABY){$\hom(a,y)\times\hom(b,y)$} (4,0) node(SY){$\hom(a\oplus b,y)$}; + \draw[->] (ABX) -- node[right]{$\hom(a,f)\times\hom(b,f)$} (ABY); + \draw[->] (SX) -- node[right]{$\hom(a\oplus b,f)$} (SY); + \draw[->] (ABX) -- node[above]{$\tau_x$} (SX); + \draw[->] (ABY) -- node[below]{$\tau_y$} (SY); + \end{diagram} + \caption{Diagrama asociativo.} + \end{subfigure} + \hfill + \begin{subfigure}{.45\textwidth} + \begin{diagram}\smaller + \path (0,2) node(ABX){$(h,k)$} (4,2) node(SX){$h\oplus k$}; + \path (0,0) node(ABY){$(f\circ h,f\circ k)$} + (4,0) node(SY){$(f\circ h)\oplus(f\circ k)=f\circ(h\oplus k)$}; + \tikzsquig (ABX) -- (ABY); + \tikzsquig (SX) -- (SY); + \tikzsquig (ABX) -- (SX); + \tikzsquig (ABY) -- node[below]{\vphantom{$\tau_y$}} (SY); + \end{diagram} + \caption{Persecución de flechas.} + \end{subfigure} + \caption{Transformación natural en un coproducto.} + \label{fig:nat-coproduct} + \end{figure} + Esto se puede generalizar de forma obvia a coproductos de una familia + arbitraria de objetos. + \item Del mismo modo, si existe el producto de los objetos $a$ y $b$, existe + una biyección $\hom(c,a)\times\hom(c,b)\cong\hom(c,a\times b)$ natural + respecto a $c$, que también se puede extender a productos arbitrarios. + \end{enumerate} +\end{example} + +Ciertas propiedades de funtores se pueden caracterizar mediante isomorfismos +naturales. + +\begin{proposition} + Un funtor $T:\cC\to\cD$ es una equivalencia si y sólo si existe $S:\cD\to\cC$ + tal que $S\circ T=1_\cC$ y $T\circ S=1_\cD$. +\end{proposition} +\begin{proof} + Si $T$ es una equivalencia, hemos visto en la prueba de la proposición + \ref{prop:cat-equiv} que existen $S:\cD\to\cC$ y un isomorfismo natural + $h:T\circ S\to 1_\cD$. Además, si $c$ es un objeto de $\cC$, + $h_{Tc}^{-1}:Tc\to TSTc$ es un isomorfismo, y como $T$ es fiel y pleno, existe + un único $\mu_c:c\to STc$ con $T\mu_c=h_{Tc}^{-1}$. La naturalidad de + $\mu:1_\cC\to S\circ T$ se deriva de la de $h$ y la fidelidad de $T$. + + Recíprocamente, si existen $S:\cD\to\cC$ e isomorfismos naturales + $\mu:1_\cC\to S\circ T$ y $\sigma:T\circ S\to1_\cD$, para cada objeto $d$ en + $\cD$, $T(Sd)\cong d$, y queda ver que $T$ es fiel y pleno. Es fiel porque, + dados dos morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$, + \[ + Tf=Tg\implies\mu_b\circ f=STf\circ\mu_a=STg\circ\mu_a=\mu_b\circ g\implies + f=g, + \] + y es plena porque, dado un morfismo $g:Ta\to Tb$ en $\cD$, + $f\coloneqq\mu_b^{-1}\circ Sg\circ\mu_a$ cumple $Tf=g$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Un funtor $T:\cC\to\bSet$ es \conc{representable} por un objeto $c$ si es + naturalmente isomorfo a $\hom(c,-)$. +\end{definition} + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item Un funtor olvidadizo es representable por un objeto $c$ si y sólo si $c$ + es un objeto libre sobre $\{*\}$. + \item El funtor olvidadizo de $\bBan$ no es representable. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{proposition} + Dados un funtor $T:\cC\to\bSet$, un objeto $c$ de $\cC$ y $x\in Tc$, existe + una única transformación natural $\tau:\hom(c,-)\to T$ con $\tau_c(1_c)=x$. +\end{proposition} +\begin{proof} + Si $\tau$ es tal transformación natural, $b$ es un objeto de $\cC$ y + $f:c\to b$, necesariamente + $\tau_b(f)=\tau_b(f\circ + 1_c)=(\tau_b\circ\hom(c,f))(1_c)=(Tf\circ\tau_c)(1_c)=(Tf)(x)$. Esta fórmula + define una transformación natural, que es pues la única que cumple la + condición. +\end{proof} + +\section{Composición horizontal} + +Además de componer transformaciones naturales verticalmente, podemos componer +dos transformaciones naturales $\cB\nats{\tau}\cC\nats{\sigma}\cD$ de la +siguiente manera. + +\begin{definition} + Dados cuatro funtores $S,T:\cB\to\cC$ y $S',T':\cC\to\cD$ y dos + transformaciones naturales $\tau:S\to T$ y $\sigma:S'\to T'$, llamamos + \conc{composición horizontal} de $\tau$ y $\sigma$ a la transformación natural + $\sigma\circ\tau:S'\circ S\to T'\circ T$ dada por la figura + \ref{fig:horiz-comp} como + $(\sigma\circ\tau)_b\coloneqq T'\tau_b\circ\sigma_{Sb}=\sigma_{Tb}\circ + S'\tau_b$, donde la conmutatividad se debe a la naturalidad de $\sigma$. + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,2) node(SS){$S'Sb$} (2,2) node(TS){$T'Sb$}; + \path (0,0) node(ST){$S'Tb$} (2,0) node(TT){$T'Tb$}; + \draw[->] (SS) -- node[left]{$S'\tau_b$} (ST); + \draw[->] (TS) -- node[right]{$T'\tau_b$} (TT); + \draw[->] (SS) -- node[above]{$\sigma_{Sb}$} (TS); + \draw[->] (ST) -- node[below]{$\sigma_{Tb}$} (TT); + \draw[->] (SS) -- node[above]{$\sigma\circ\tau$} (TT); + \end{diagram} + \caption{Composición horizontal de transformaciones naturales.} + \label{fig:horiz-comp} + \end{figure} +\end{definition} + +Es fácil ver que la composición horizontal de transformaciones naturales es otra +transformación natural y que esta operación es asociativa. Además, la +transformación natural identidad en un funtor identidad es una identidad de esta +composición, por lo que las transformaciones naturales son los morfismos de una +categoría cuyos objetos son categorías. + +La siguiente proposición es fácil de probar. + +\begin{proposition}[Ley del intercambio] + Dadas las transformaciones naturales + \[ + \cB\nattwos{\sigma}{\tau}\cC\nattwos{\sigma'}{\tau'}\cD, + \] + se tiene $(\tau'\cdot\sigma')\circ(\tau\cdot\sigma)=(\tau'\circ\tau)\cdot(\sigma'\circ\sigma)$. +\end{proposition} +% \begin{proof} +% La figura \ref{fig:nat-interchange} conmuta. +% \begin{figure} +% \centering +% \begin{diagram} +% \path (0,4) node(SS){$S'Sb$} (2,4) node(TS){$T'Sb$} (4,4) node(US){$U'Sb$}; +% \path (2,2) node(TT){$T'Tb$} (4,2) node(UT){$U'Tb$}; +% \path (4,0) node(UU){$U'Ub$}; +% \draw[->] (SS) -- node[above]{$\sigma'_{Sb}$} (TS); +% \draw[->] (TS) -- node[above]{$\tau'_{Sb}$} (US); +% \draw[->] (US) -- node[right]{$U'\sigma_b$} (UT); +% \draw[->] (UT) -- node[right]{$U'\tau_b$} (UU); +% \draw[->] (TS) -- node[right]{$T'\sigma_b$} (TT); +% \draw[->] (TT) -- node[above]{$\tau'_{Tb}$} (UT); +% \draw[->] (SS) -- node[above]{$\sigma'\circ\sigma$} (TT); +% \draw[->] (TT) -- node[above]{$\tau'\circ\tau$} (UU); +% \path (0,2) node(ST){$S'Tb$} (0,0) node(SU){$S'Ub$} (2,0) node(TU){$T'Ub$}; +% \draw[->] (SS) -- node[left]{$S'\sigma_b$} (ST); +% \draw[->] (ST) -- node[left]{$S'\tau_b$} (SU); +% \draw[->] (SU) -- node[below]{$\sigma'_{Ub}$} (TU); +% \draw[->] (TU) -- node[below]{$\tau'_{Ub}$} (UU); +% \draw[->] (ST) -- node[below]{$\sigma'_{Tb}$} (TT); +% \draw[->] (TT) -- node[left]{$T'\tau_b$} (TU); +% \end{diagram} +% \caption{Ley del intercambio.} +% \label{fig:nat-interchange} +% \end{figure} +% \end{proof} + +Esto muestra un ejemplo de \conc{bicategoría} o \conc{categoría bidimensional}, +un par de categorías con el mismo conjunto de morfismos que cumple la ley del +intercambio y en que las identidades de una de las dos lo son de la otra. Las +categorías implicadas son, por supuesto, una categoría de categorías con sus +transformaciones naturales y la unión disjunta de las categorías de funtores +entre ellas. + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "main" +%%% End: @@ -24,12 +24,22 @@ \usepackage{hyperref} \newenvironment{diagram}{\begin{tikzpicture}\selectlanguage{english}}{\end{tikzpicture}} +\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} +\newcommand{\tikzsquig}{\draw[->, +line join=round, +decorate, decoration={ + zigzag, + segment length=4, + amplitude=.9,post=lineto, + post length=2pt +}]} % https://tex.stackexchange.com/questions/12678/squiggly-arrows-in-tikz#12680 % Math packages \usepackage{mathtools} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} +\usepackage{stackrel} % Theorem styles \newtheorem{proposition}{Proposición}[chapter] @@ -47,6 +57,7 @@ \newcommand{\dash}{\text{-}} \newcommand{\dCat}[2]{\newcommand{#1}{{\bf #2}}} \newcommand{\conc}[1]{\emph{#1}} +\newcommand{\concsuffix}[1]{\emph{#1}} \dCat{\bAlg}{Alg} \dCat{\bSet}{Set} \dCat{\bRel}{Rel} @@ -112,6 +123,15 @@ \newcommand{\power}{\mathcal{P}} \newcommand{\copower}{\mathcal{Q}} \newcommand{\UNIVERSE}{\mathcal{U}} +\newcommand{\natg}[3]{% + \stackrel[#3]{#2}{\overrightarrow{\underrightarrow{\;{#1}\;}}}} +\newcommand{\nats}[1]{\natg{\downarrow\,{#1}}{}{}} +\newcommand{\nati}[1]{\natg{\cong\,{#1}}{}{}} +\newcommand{\nattwog}[4]{% + \stackrel[#4]{#3}{\overrightarrow{\underrightarrow{% + \xrightarrow[\;{#2}\hfil]{\;{#1}\hfil}}}}} +\newcommand{\nattwos}[2]{\nattwog{\downarrow\,{#1}}{\downarrow\,{#2}}{}{}} +\newcommand{\nattwoi}[2]{\nattwog{\cong\,{#1}}{\cong\,{#2}}{}{}} \begin{document} \begin{titlepage} @@ -163,7 +183,7 @@ \input{ch3_limits} \chapter{Transformaciones naturales} -% TODO +\input{ch4_trans} \chapter{Adjunciones} % TODO |