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diff --git a/ch1_cats.tex b/ch1_cats.tex index e0efd29..c8a2520 100644 --- a/ch1_cats.tex +++ b/ch1_cats.tex @@ -1,28 +1,28 @@ Al estudiar distintas ramas de las matemáticas de manera formal es inevitable -notar que existen ciertos patrones que se repiten. Todas empiezan con los -axiomas que caracterizan los objetos de estudio, como pueden ser los grupos, -espacios vectoriales, espacios topológicos, variedades, etc., y pese a que estos -se definen de forma muy diferente, en la mayoría se pueden definir de manera -natural conceptos como subobjetos, objetos producto u objetos cociente, entre -otros. Además, estos objetos no se suelen estudiar de forma aislada, sino que se -estudian funciones entre los objetos que cumplen ciertas propiedades, como -pueden ser las aplicaciones lineales en el álgebra lineal, las aplicaciones -continuas en la topología y los homomorfismos del álgebra abstracta. +notar ciertos patrones que se repiten. Todas empiezan con los axiomas que +caracterizan los objetos de estudio, como pueden ser los grupos, espacios +vectoriales, espacios topológicos, variedades, etc., y pese a que estos se +definen de forma muy diferente, en la mayoría de casos se pueden definir +naturalmente conceptos como subobjetos, objetos producto u objetos cociente, +entre otros. Además, junto a estos objetos se estudian funciones entre objetos +que cumplen ciertas propiedades, como las aplicaciones lineales en el álgebra +lineal, las aplicaciones continuas en la topología y los homomorfismos en el +álgebra abstracta. Estos patrones no son una coincidencia, pues las propiedades generales que exhiben son las mismas en todos los casos. Por ejemplo, la clase de funciones <<destacables>> entre objetos es cerrada para la composición, y el producto de subobjetos de dos objetos es un subobjeto del producto de los objetos -originales. Esto motiva el estudio de dichos patrones como otra área de las +originales. Esto motiva el estudio de dichos patrones como parte de las matemáticas, con el fin de obtener propiedades aplicables a muchas de las áreas -de las matemáticas existentes o, incluso, a áreas desarrolladas posteriormente, -como veremos que ocurre con la teoría de la computación. Así, en este área de -las matemáticas los objetos de estudio son representaciones de los conceptos -fundamentales de otras áreas, que podemos representar como la clase de los -objetos de estudio junto con la clase de funciones destacables entre ellos, -llamadas \emph{morfismos}, lo que da lugar al concepto de \emph{categoría}. -Este capítulo introduce las categorías y estudia sus propiedades de manera -general, y se basa principalmente en \cite[caps. 3, 4, 7 y 10]{joyofcats}. +existentes o, incluso, a áreas desarrolladas posteriormente, como veremos que +ocurre con la teoría de la computación. Así, en la teoría de categorías, los +objetos de estudio son representaciones de los conceptos fundamentales de otras +teorías matemáticas, que podemos representar como la clase de los objetos de +estudio junto con la clase de funciones destacables entre ellos, llamadas +\emph{morfismos}, dando lugar al concepto de \emph{categoría}. Este capítulo +introduce las categorías y estudia sus propiedades de manera general, y se basa +principalmente en \cite[caps. 3, 4, 7 y 10]{joyofcats}. \begin{definition} \label{def:category} @@ -47,12 +47,11 @@ general, y se basa principalmente en \cite[caps. 3, 4, 7 y 10]{joyofcats}. \end{enumerate} \end{definition} -Es común en teoría de categorías representar situaciones con diagramas, como los -usados en buena parte del álgebra, donde los vértices representan objetos y las -flechas representan morfismos, y una flecha aparece punteada si su existencia se -debe a la existencia de las otras flechas del diagrama. No se suelen representar -las flechas identidad ni la composición de flechas que ya aparecen en el -diagrama. +Es común en teoría de categorías representar situaciones con diagramas, en los +que los vértices representan objetos y las flechas representan morfismos, y una +flecha aparece punteada si su existencia se debe a la existencia de las otras +flechas del diagrama. No se suelen representar las flechas identidad ni la +composición de otras flechas del diagrama. Un diagrama \conc{conmuta} si, dados dos caminos cualesquiera del diagrama con el mismo objeto de origen y de destino, la composición de los morfismos en cada @@ -87,35 +86,33 @@ categorías se pueden expresar como en la figura \ref{fig:cat-axiom}. \end{diagram} \caption{Elemento neutro} \end{subfigure} - \caption{Axiomas de categoría} + \caption{Axiomas de categoría.} \label{fig:cat-axiom} \end{figure} -\begin{samepage} - \begin{example} - Ciertos conceptos fundacionales se pueden ver como categorías: - \begin{enumerate} - \item La categoría $\bSet$ tiene como objetos todos los conjuntos y como - morfismos todas las funciones, cualificadas por su dominio y codominio, con - la composición e identidad obvias. - \item Un \conc{preorden} es una relación reflexiva y transitiva, que se puede - ver intuitivamente como un orden parcial entre clases de equivalencia. Un - \conc{conjunto preordenado} es un conjunto con un preorden asociado, y - llamamos $\bPrord$ a la categoría de los conjuntos preordenados cuyos - morfismos son funciones que conservan el preorden, es decir, funciones - $f:(a,\preceq)\to(b,\preccurlyeq)$ tales que para $x,y\in a$, - $x\preceq y\implies f(x)\preccurlyeq f(y)$. - \item \label{enu:mot-subcat} La categoría $\bOrd$ tiene como objetos los - conjuntos parcialmente ordenados y como morfismos las funciones que - conservan el orden. $\bLat$ es similar pero los objetos son retículos y los - morfismos deben además preservar supremos e ínfimos de pares de elementos. - \item La categoría $\bGrph$ tiene como objetos los grafos dirigidos, - permitiendo ejes reflexivos, y como morfismos las funciones entre los - vértices de dos grafos que llevan ejes del primer grafo a ejes del - segundo. - \end{enumerate} - \end{example} -\end{samepage} +\begin{example} + Ciertos conceptos fundacionales se pueden ver como categorías: + \begin{enumerate} + \item La categoría $\bSet$ tiene como objetos todos los conjuntos y como + morfismos todas las funciones, cualificadas por su dominio y codominio, con + la composición e identidad obvias. + \item Un \conc{preorden} es una relación reflexiva y transitiva, que se puede + ver intuitivamente como un orden parcial entre clases de equivalencia. Un + \conc{conjunto preordenado} es un conjunto con un preorden asociado, y + llamamos $\bPrord$ a la categoría de los conjuntos preordenados cuyos + morfismos son funciones que conservan el preorden, es decir, funciones + $f:(a,\preceq)\to(b,\preccurlyeq)$ tales que para $x,y\in a$, + $x\preceq y\implies f(x)\preccurlyeq f(y)$. + \item \label{enu:mot-subcat} La categoría $\bOrd$ tiene como objetos los + conjuntos parcialmente ordenados y como morfismos las funciones que + conservan el orden. $\bLat$ es similar pero los objetos son retículos y los + morfismos deben además preservar supremos e ínfimos de pares de elementos. + \item La categoría $\bGrph$ tiene como objetos los grafos dirigidos, + permitiendo ejes reflexivos, y como morfismos las funciones entre los + vértices de dos grafos que llevan ejes del primer grafo a ejes del + segundo. + \end{enumerate} +\end{example} El apartado \ref{enu:mot-subcat} de la lista anterior lleva naturalmente al concepto de subcategoría. @@ -180,12 +177,22 @@ operadores. \item Para $\lambda\in \Lambda$ de aridad $n$ y $f:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,m\}$, $\lambda_f$ de aridad $m$. \end{enumerate} - \item Si $\mu$ es una acción sobre $I$, la extensión de $\mu$ a $\Lambda$ es - la acción $\nu$ sobre $\Lambda$ dada por $\nu_i=\mu_i$ para $i\in I$, - $nmu_{id}(x)\coloneqq x$, - $\nu_{\omega(i_1,\dots,i_n)}(x_{11},\dots,x_{1a_1},\dots,x_{n1},\dots,x_{na_n})\coloneqq\nu_\omega(\nu_{i_1}(x_{11},\dots,x_{1a_1}),\dots,\nu_{i_n}(x_{n1},\dots,x_{na_n}))$ - y - $\nu_{\lambda_f}(x_1,\dots,x_m)\coloneqq\nu_\lambda(x_{f(1)},\dots,x_{f(n)})$. + \item Si $\mu$ es una acción sobre $I$, la \conc{extensión} de $\mu$ a $\Lambda$ es + la acción $\nu$ sobre $\Lambda$ definida por las siguientes ecuaciones: + \bgroup + \setlength{\belowdisplayskip}{0pt} + \setlength{\abovedisplayskip}{0pt} + \begin{eqnarray*} + \nu_i & \coloneqq & \mu_i,\quad i\in I;\\ + \nu_{id}(x) & \coloneqq & x;\\ + \nu_{\lambda_f}(x_1,\dots,x_m) & \coloneqq & \nu_\lambda(x_{f(1)},\dots,x_{f(n)}); + \end{eqnarray*} + \begin{multline*} + \nu_{\omega(i_1,\dots,i_n)}(x_{11},\dots,x_{1a_1},\dots,x_{n1},\dots,x_{na_n})\coloneqq\\ + \coloneqq\nu_\omega(\nu_{i_1}(x_{11},\dots,x_{1a_1}),\dots,\nu_{i_n}(x_{n1},\dots,x_{na_n})). + \end{multline*} + \vspace{0pt} + \egroup \item Una \conc{identidad} sobre $I$ es un par $(\lambda,\sigma)$ de operadores $\Lambda$ de igual aridad. \item Una acción $\mu$ sobre $I$ \conc{satisface} una identidad @@ -202,7 +209,7 @@ $x+(-x)=0$ y $x+y=y+x$. \begin{definition} Sean $\Omega$ un conjunto graduado finito y $E$ un conjunto finito de - identidades sobre $\Omega$: + identidades sobre $\Omega$. \begin{enumerate} \item Una $(\Omega,E)$-álgebra es un par $(S,\mu)$ formado por un conjunto $S$ y una acción $\mu$ de $\Omega$ sobre $S$ que satisface las identidades en @@ -218,7 +225,7 @@ $x+(-x)=0$ y $x+y=y+x$. Claramente todas las categorías del ejemplo \ref{ex:variety} son variedades algebraicas, y de hecho podemos ver $\bSet$ como $(\emptyset,\emptyset)\dash\bAlg$, pero sin embargo $\bField$, la subcategoría -completa de $\bRing$ de los cuerpos (incluyendo el cuerpo trivial), no es una +completa de $\bCRng$ de los cuerpos (incluyendo el cuerpo trivial), no es una variedad algebraica, ya que requiere una propiedad de la inversa del producto, que no está definida en el 0. @@ -233,7 +240,7 @@ simplemente $\bVec$ si $K=\sReal$. Hasta ahora, en todas las categorías que hemos visto, los objetos son conjuntos con estructura y los morfismos son funciones entre ellos. Las categorías de esta forma se llaman \emph{constructos}\footnote{Veremos una definición más abstracta - de constructo cuando veamos los funtores.}, y aunque son muy comunes, también + de constructo al estudiar los funtores.}, y aunque son muy comunes, también hay muchas categorías relevantes que no son constructos. \begin{example} @@ -243,22 +250,24 @@ hay muchas categorías relevantes que no son constructos. del tamaño correspondiente. \end{example} -\begin{example} - Algunas estructuras matemáticas se pueden ver como categorías. - \begin{enumerate} - \item Una categoría es \conc{discreta} si sólo tiene los morfismos - identidad. Un conjunto, o en general una clase, se puede ver como una - categoría discreta cuyos objetos son los elementos del conjunto. - \item Una categoría es \conc{fina} si sus \conc{conjuntos hom} (conjuntos de - la forma $\hom(a,b)$) tienen como máximo un elemento. Un conjunto - preordenado $(X,\preceq)$ se puede ver como una categoría fina cuyos objetos - son los elementos del conjunto y tal que, para $x,y\in X$, $\hom(x,y)$ está - habitado si y sólo si $x\preceq y$. - \item Un monoide se puede ver como una categoría con un solo objeto, cuyos - morfismos son los elementos del monoide, la identidad es su elemento neutro - y la composición es el producto. - \end{enumerate} -\end{example} +\begin{samepage} + \begin{example} + Algunas estructuras matemáticas se pueden ver como categorías. + \begin{enumerate} + \item Una categoría es \conc{discreta} si sólo tiene los morfismos + identidad. Un conjunto, o en general una clase, se puede ver como una + categoría discreta cuyos objetos son los elementos del conjunto. + \item Una categoría es \conc{fina} si sus \conc{conjuntos hom} (conjuntos de + la forma $\hom(a,b)$) tienen como máximo un elemento. Un conjunto + preordenado $(X,\preceq)$ se puede ver como una categoría fina cuyos + objetos son los elementos del conjunto y tal que, para $x,y\in X$, + $\hom(x,y)$ está habitado si y sólo si $x\preceq y$. + \item Un monoide se puede ver como una categoría con un solo objeto, cuyos + morfismos son los elementos del monoide y donde la identidad es su + elemento neutro y la composición es el producto. + \end{enumerate} + \end{example} +\end{samepage} \begin{example} Las siguientes categorías se usan principalmente en el estudio de categorías @@ -288,8 +297,8 @@ topológicos y las funciones continuas entre ellos. \begin{enumerate} \item $\bMetc$, con las funciones continuas. \item $\bMetu$, con las funciones uniformemente continuas. - \item $\bMet$, con las contracciones, funciones continuas que - \emph{acercan} los puntos. + \item $\bMet$, con las contracciones, funciones continuas que <<acercan>> los + puntos. \end{enumerate} Asimismo tenemos la categoría $\bBanb$ de los espacios de Banach con las formas lineales acotadas y $\bBan$ con las contracciones lineales. @@ -318,26 +327,26 @@ topológicos y las funciones continuas entre ellos. \section{Isomorfismos} -Ya hemos visto las categorías más importantes de distintas áreas, por lo que -pasamos a ver algunas propiedades de sus objetos y morfismos. Un primer ejemplo -es el de isomorfismo, que se suele definir como un homomorfismo biyectivo cuya -inversa también es un homomorfismo. En topología tenemos también el concepto -de homeomorfismo, que viene a ser lo mismo salvo por el cambio de terminología. +Una vez vistas las categorías más importantes de distintas áreas, pasamos a ver +algunas propiedades de sus objetos y morfismos. Por ejemplo, en álgebra, se +suele definir un isomorfismo como un homomorfismo biyectivo cuya inversa también +es un homomorfismo. En topología tenemos también el concepto de homeomorfismo, +que viene a ser lo mismo salvo por el cambio de terminología. \begin{definition} - Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{isomorfismo}, si existe otro morfismo + Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{isomorfismo} si existe otro morfismo $g:b\to a$ tal que $g\circ f=1_a$ y $f\circ g=1_b$, en cuyo caso escribimos - $f:a\cong b$ y decimos que $a$ y $b$ son \conc{isomorfos}, $a\cong b$. + $f:a\cong b$ y decimos que $a$ y $b$ son \conc{isomorfos}, $a\cong b$, y que + $g$ es el \conc{inverso} de $f$, $g=f^{-1}$. \end{definition} -Claramente el inverso de un isomorfismo es único, pues si $f:a\to b$ tiene -inversos $g,h:b\to a$, entonces $g=g\circ 1_b=g\circ f\circ h=1_a\circ h=h$. -Llamamos entonces $f^{-1}$ a la inversa de $f$. Además, la composición de dos -isomorfismos es un isomorfismo. +El inverso de un isomorfismo es único, pues si $f:a\to b$ tiene inversos +$g,h:b\to a$, entonces $g=g\circ 1_b=g\circ f\circ h=1_a\circ h=h$. -\begin{example} - Algunos isomorfismos: +\begin{example}\; \begin{enumerate} + \item Son isomorfismos las identidades, el inverso de un isomorfismo y la + composición de isomorfismos. \item En $\bSmgrp$, $\bMon$, $\bGrp$, $\bAb$, $\bRing$ y $R\dash\bMod$, el concepto de isomorfismo categórico se corresponde con el concepto usual de isomorfismo. @@ -348,7 +357,8 @@ isomorfismos es un isomorfismo. son los isomorfismos isométricos. \item En $\bSet$, los isomorfismos son las funciones biyectivas. \item Un \conc{grupoide} es una categoría en la que todos los morfismos son - isomorfismos. Esto ocurre, por ejemplo, en el grupoide fundamental. + isomorfismos. Esto ocurre, por ejemplo, en el grupoide fundamental. Entonces + un grupo es un grupoide con un solo objeto. \item En un conjunto preordenado visto como categoría, dos objetos $a$ y $b$ son isomorfos si y sólo si $a\preceq b\preceq a$, por lo que en particular un conjunto (parcialmente) ordenado visto como categoría no tiene @@ -362,13 +372,12 @@ isomorfismos es un isomorfismo. \section{Objetos iniciales y finales} En álgebra, muchas categorías tienen un objeto trivial, como el cuerpo trivial, -el grupo trivial o el espacio vectorial trivial. Sin embargo, a la hora de -intentar definir la topología trivial nos encontramos que hay dos candidatos -posibles, la topología vacía y la unipuntual, y ninguna es enteramente -satisfactoria. Esto se debe a que, al hablar de un objeto trivial estamos -juntando dos propiedades: por un lado, el objeto trivial está contenido en todos -los demás, y por otro, siempre es posible pasar de un objeto al objeto trivial -por un morfismo. +el espacio vectorial trivial, etc. A la hora de definir la topología trivial, +sin embargo, no está claro si deberíamos tomar la topología vacía o la +unipuntual, y ninguna de las dos opciones es enteramente satisfactoria. Esto se +debe a que, al hablar de un objeto trivial estamos juntando dos propiedades: por +un lado, el objeto trivial está contenido en todos los demás, y por otro, +siempre es posible pasar de un objeto al objeto trivial por un morfismo. \begin{definition} Un objeto $a$ es \conc{inicial} si para cualquier otro objeto $x$ existe un @@ -377,15 +386,14 @@ por un morfismo. \end{definition} \begin{example} - Veamos los objetos iniciales y finales de algunas categorías típicas. + Muchas categorías típicas tienen objetos iniciales y finales. \begin{enumerate} \item En $\bMon$, $\bGrp$ y $\bAb$, el grupo trivial es un objeto cero; en - $\bRing$ y $\bField$ lo es el cuerpo trivial, y en $R\dash\bMod$ lo es el + $\bCRng$ y $\bField$ lo es el cuerpo trivial, y en $R\dash\bMod$ lo es el módulo trivial. \item En $\bSet$, el conjunto vacío $\emptyset$ es inicial, mientras que los conjuntos unipuntuales $\{*\}$ son finales. Lo mismo ocurre en $\bTop$ y en - $\bOrd$ dotando a $\emptyset$ y $\{*\}$ de la única estructura posible en - cada caso. + $\bOrd$ dotando a $\emptyset$ y $\{*\}$ de la única estructura posible. \item En un conjunto ordenado visto como categoría, un objeto inicial es un mínimo y un objeto final es un máximo. En particular el único conjunto ordenado con un cero es el unipuntual. @@ -409,7 +417,7 @@ La respuesta es que no, como se deduce de las siguientes proposiciones. \end{proof} \item Si $a\cong b$ y $a$ es inicial, entonces $b$ es inicial. \begin{proof} - Sea $f:b\to a$ un isomorfismo y $x$ un objeto cualquiera, existe un único + Sean $f:b\to a$ un isomorfismo y $x$ un objeto cualquiera, existe un único $h:a\to x$ y por tanto $h\circ f$ es un morfismo de $b$ a $x$, que es único ya que, para $k:b\to x$, $k\circ f^{-1}:a\to x$ y así $k\circ f^{-1}=h$, con lo que $k=h\circ f$. @@ -434,7 +442,7 @@ general diremos que un objeto con una cierta propiedad es \conc{único salvo son isomorfos a dicho objeto. \begin{corollary} - En los grupoides no vacíos, las siguientes condiciones son equivalentes: + En los grupoides no vacíos, son equivalentes: \begin{enumerate} \item \label{enu:goid-initial} Existe un objeto inicial. \item \label{enu:goid-final} Existe un objeto final. @@ -446,19 +454,20 @@ son isomorfos a dicho objeto. \end{corollary} \begin{proof} La equivalencia (\ref{enu:goid-initial}$\iff$\ref{enu:goid-final}) se debe a - que, por unicidad del isomorfismo inverso, $\hom(a,b)=\hom(b,a)$ para + que, por unicidad del isomorfismo inverso, $|\hom(a,b)|=|\hom(b,a)|$ para cualesquiera $a$ y $b$, y esto prueba la equivalencia con (\ref{enu:goid-zero}). Ahora bien, si $a$ es cero y $x$ es otro objeto, el único morfismo $a\to x$ es un isomorfismo, por lo que $x$ es cero y queda - probado (\ref{enu:goid-zero}$\iff$\ref{enu:goid-all}). La última - observación es por definición. + probado (\ref{enu:goid-zero}$\iff$\ref{enu:goid-all}). La última observación + es por definición. \end{proof} \section{Monomorfismos y epimorfismos} En muchas ramas del álgebra llamamos monomorfismos a los morfismos inyectivos y epimorfismos a los morfismos suprayectivos. Esta definición depende de que los -morfismos sean funciones, por lo que no nos sirve para categorías generales. +morfismos sean funciones, por lo que para categorías generales debemos buscar +una definición alternativa. Para los monomorfismos podemos basarnos en que, en $\bSet$, los elementos de un conjunto $S$ se identifican con los morfismos $\{*\}\to S$, con lo que la @@ -471,40 +480,31 @@ propiedad de que $f(x)=f(y)\implies x=y$ se puede traducir como sigue. \end{definition} \begin{example}[Monomorfismos en constructos]\; - % En el caso de $\bSet$, tomando $c=\{*\}$ se tiene por construcción que todo - % monomorfismo es inyectivo, y recíprocamente, si $f:X\to Y$ es una función - % inyectiva y $h,k:S\to X$ con $f\circ h=f\circ k$, entonces para $x\in S$ es - % $f(h(x))=f(k(x))$ y por tanto $h(x)=k(x)$, por lo que $h=k$ y $f$ es un - % monomorfismo. Veamos lo que ocurre en otros constructos. \begin{enumerate} - \item En $\bSet$, por construcción, todo monomorfismo es inyectivo sin más que - tomar $c=\{*\}$ en la definición anterior. Lo mismo ocurre en $\bTop$, - $\bMet$, $\bOrd$ y otros constructos en que los elementos de un conjunto se - identifiquen con los morfismos $\{*\}\to S$. + \item \label{enu:mono-free-point} En $\bSet$, por construcción, todo + monomorfismo es inyectivo sin más que tomar $c=\{*\}$ en la definición + anterior. Lo mismo ocurre en $\bTop$, $\bMet$, $\bOrd$ y otros constructos + en que los elementos de un objeto $S$ se identifiquen con los morfismos + $\{*\}\to S$. \item En todos los constructos, los morfismos inyectivos son monomorfismos, pues si $f:X\to Y$ es un morfismo inyectivo y $h,k:S\to X$ con $f\circ h=f\circ k$, entonces para $x\in S$, $f(h(x))=f(k(x))$ y por tanto $h(x)=k(x)$, de modo que $h=k$. - \item En $R\dash\bMod$, si $f:M\to N$ es un monomorfismo y $x,y\in M$ cumplen - $f(x)=f(y)$, los morfismos $R\to M$ dados por $a\mapsto ax$ y $a\mapsto ay$ - quedan iguales al componerlos con $f$ y por tanto son iguales, por lo que - $x=1x=1y=y$ y los monomorfismos son inyectivos. \item Aunque en la mayoría de constructos relevantes los monomorfismos son precisamente los morfismos inyectivos, esto no es siempre así, como muestra - el constructo con objetos $\{*\}$, $\{\$\}$ y $\{x,y\}$ y como morfismos las - identidades, las funciones con codominio $\{\$\}$ y el morfismo - $*\mapsto x$, en el cual el morfismo $\{x,y\}\to\{\$\}$ es un monomorfismo - pero no es inyectivo. + el constructo cuyos objetos son $\{*\}$, $\{\$\}$ y $\{x,y\}$ y cuyos + morfismos son las identidades, las funciones con codominio $\{\$\}$ y el + morfismo $*\mapsto x$, en el cual el morfismo $\{x,y\}\to\{\$\}$ es un + monomorfismo pero no es inyectivo. \end{enumerate} \end{example} -Hasta ahora para probar que los monomorfismos de un constructo son inyectivos -hemos tomado un objeto $D$ y un elemento $*\in D$ tal que, para cualquier otro -objeto $A$ y $a\in A$, podemos definir un morfismo $f:D\to A$ tal que $f(*)=a$. -Para las variedades algebraicas, sin embargo, no es inmediato ver cuál es este -objeto. +En el ejemplo \ref{enu:mono-free-point} de la lista anterior usamos que los +elementos de un objeto se identifican con los morfismos desde un objeto +unipuntual. En otras categorías como $R\dash\bMod$ nos gustaría hacer lo mismo, +pero el objeto unipuntual no nos sirve. -\begin{definition} +\begin{definition}\label{def:free-object} En un constructo, un objeto $D$ es \conc{libre} sobre un conjunto $X\in\Ob{\bSet}$ respecto a una función $u:X\to D$ si, para todo objeto $A$ del constructo y función $f:X\to A$, existe un único morfismo $\hat f:D\to A$ @@ -514,19 +514,22 @@ objeto. Es fácil ver que el objeto libre sobre un cierto conjunto, si existe, es único salvo isomorfismo, y que un objeto libre sobre un conjunto $X$ también es libre sobre cualquier otro conjunto del mismo tamaño que $X$. Además, en un constructo -en que exista algún objeto con al menos dos elementos, la función $u$ asociada a -un objeto libre es inyectiva, por lo que en general supondremos que es una +en que algún objeto tenga más de un elemento, la función $u$ asociada a un +objeto libre es inyectiva, por lo que en general supondremos que es una inclusión. Si $X$ es unipuntual, identificamos los morfismos de $D$ hacia un objeto $A$ con los elementos de $A$. -\begin{proposition} +Así, por ejemplo, el $R$-módulo libre sobre $X$ es $R^{(X)}$, la suma directa +externa de $|X|$ copias de $R$, y el conjunto libre sobre $X$ es el propio $X$. + +\begin{proposition}\label{prop:free-algebra} Dados un conjunto graduado $\Omega=\{s_1,\dots,s_k\}$ donde cada $s_i$ tiene aridad $n_i$ y un conjunto finito $E$ de identidades en $\Omega$, el objeto libre de $(\Omega,E)\dash\bAlg$ sobre el conjunto $X$ se construye tomando el - conjunto de los árboles con raíz cuyos nodos se etiquetan con un $s_i$ y - tienen $n_i$ hijos, o con un $x\in X$ y tienen 0 hijos, haciendo el conjunto - cociente por reescritura según las identidades en $E$, y definiendo las - operaciones por construcción de árboles. + conjunto de los árboles finitos con raíz y ordenados cuyos nodos se etiquetan + con un $s_i$ y tienen $n_i$ hijos, o con un $x\in X$ y tienen 0 hijos, + haciendo el conjunto cociente por reescritura según las identidades en $E$, y + definiendo las operaciones por construcción de árboles. \end{proposition} \begin{example}[Objetos libres en variedades algebraicas comunes]\; @@ -535,9 +538,9 @@ objeto $A$ con los elementos de $A$. $X$ junto a la concatenación, mientras que el semigrupo libre es similar pero excluyendo la cadena vacía. \item El grupo libre sobre $X$ está formado por cadenas de símbolos de la - forma $x$ o $\overline x$ para $x\in X$, con la condición de que no aparecen - subsecuencias $x\overline x$ u $\overline xx$, y la operación es la - concatenación eliminando sucesivamente las subcadenas de esta forma. + forma $x$ o $\overline x$ para $x\in X$ en las que no aparecen subsecuencias + $x\overline x$ u $\overline xx$, y la operación es la concatenación + eliminando sucesivamente las subcadenas de esta forma. \item El grupo abeliano libre sobre $X$ es $\mathbb{Z}^X$. \item El anillo conmutativo libre sobre $\{x_1,\dots,x_n\}$ es el anillo de polinomios $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$. @@ -545,16 +548,15 @@ objeto $A$ con los elementos de $A$. \end{example} \begin{proposition} - En las variedades algebraicas, los monomorfismos son precisamente los - morfismos inyectivos. + En los constructos con un objeto libre sobre el conjunto unipuntual, los + monomorfismos son precisamente los morfismos inyectivos. \end{proposition} \begin{proof} - Sean $f:A\to B$ un monomorfismo en $(\Omega,E)\dash\bAlg$ y $x,y\in A$ con - $f(x)=f(y)$. Si $F$ es la $(\Omega,E)$-álgebra libre sobre $\{*\}$, $h$ es el - único morfismo $F\to A$ con $h(*)=x$ y $k:F\to A$ es el único con $h(*)=y$, - para $c\in F$, $f(h(c))$ y $f(k(c))$ vienen dados por $f(h(*))$ y $f(k(*))$ - siguiendo la estructura de $c$, por lo que $f\circ h=f\circ k$, $h=k$ y, - finalmente, $x=y$. + Sean $f:A\to B$ un monomorfismo en un tal constructo $\cC$ y $x,y\in A$ con + $f(x)=f(y)$. Si $F$ es el objeto libre sobre $\{*\}$, $h$ es el único morfismo + $F\to A$ con $h(*)=x$ y $k:F\to A$ es el único con $h(*)=y$, para $c\in F$, + $f(h(c))$ y $f(k(c))$ vienen dados por $f(h(*))$ y $f(k(*))$ siguiendo la + estructura de $c$, por lo que $f\circ h=f\circ k$, $h=k$ y, finalmente, $x=y$. \end{proof} \begin{proposition}\label{prop:mono-comp}\; @@ -573,10 +575,10 @@ objeto $A$ con los elementos de $A$. \end{enumerate} \end{proposition} -Para caracterizar los epimorfismos vemos que, en $\bSet$, si $f:A\to B$ no -es suprayectiva, sea $y\in B\setminus\Img{f}$, es posible crear dos funciones -$g,h:B\to\{0,1\}$ con $g\circ f=h\circ f$ pero $g(y)=0$ y $h(y)=1$, mientras -que fuera suprayectiva, $g\circ f=h\circ f$ implica claramente $g=h$. +Respecto a los epimorfismos, en $\bSet$, si $f:A\to B$ no es suprayectiva, +existe $y\in B\setminus\Img{f}$ y podemos crear dos funciones $g,h:B\to\{0,1\}$ +con $g\circ f=h\circ f$ pero que difieran en $y$, mientras que si $f$ es +suprayectiva, $g\circ f=h\circ f$ implica claramente $g=h$. \begin{definition} Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{epimorfismo}, $f:a\epicTo b$, si es @@ -602,18 +604,19 @@ correspondiente para epimorfismos. suprayectivas, pues para $f:A\to B$ no suprayectiva es fácil encontrar $g,h:B\to\{0,1\}$ distintas con $g\circ f=h\circ f$. Lo mismo ocurre en $\bTop$ dotando a $\{0,1\}$ de la topología indiscreta y en $\bGrph$ usando - el grafo completo de dos elementos. + el grafo completo de dos elementos.\footnote{En este trabajo, por comodidad, + consideramos que el grafo completo tiene también las aristas reflexivas.} \item En $R\dash\bMod$, si $f:M\to N$ es un epimorfismo, sean $p,z:N\to\frac{N}{\Img{f}}$ la proyección canónica y la función constante en 0, respectivamente, entonces $p\circ f=z\circ f$, luego $p=z$, $\frac{N}{\Img{f}}\cong0$ y así $\Img{f}=N$, con lo que los epimorfismos son suprayectivos. - \item No en todas las variedades algebraicas los epimorfismos son son + \item No en todas las variedades algebraicas los epimorfismos son suprayectivos. Por ejemplo, en $\bRing$, la inclusión $u:\sInt\to\sRat$ es suprayectiva, pues si $f,g:\sRat\to R$ cumplen que - $f\circ u=g\circ u:\sInt\to R$, entonces $f=g$ ya que para $x,y\in\sInt$, + $f\circ u=g\circ u:\sInt\to R$, para $x,y\in\sInt$, $f(\frac xy)=\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{(f\circ u)(x)}{(f\circ u)(y)}$, y lo - mismo ocurre con $g$. + mismo ocurre con $g$, luego $f=g$. \item En $\bMet$ y $\bMetc$, los epimorfismos son precisamente las funciones con imagen densa. \begin{proof} @@ -629,9 +632,9 @@ correspondiente para epimorfismos. \end{enumerate} \end{example} -Los dos últimos ejemplos muestran que, al contrario de lo que ocurre en muchos -campos del álgebra, no siempre los morfismos que son a la vez monomorfismos y -epimorfismos son isomorfismos. +Los dos últimos ejemplos muestran que, al contrario que en muchos campos del +álgebra, no siempre los morfismos que son a la vez monomorfismos y epimorfismos +son isomorfismos. \begin{definition} Un \conc{bimorfismo} es un morfismo que es a la vez un monomorfismo y un @@ -656,18 +659,18 @@ epimorfismos son isomorfismos. Hemos estudiado los morfismos cancelables por uno de los lados, por lo que cabe preguntarse qué ocurre con los morfismos invertibles por uno de los -lados. Claramente este es un concepto más fuerte, y de hecho es estrictamente -más fuerte. +lados. Claramente este es un concepto más fuerte, y de hecho lo es +estrictamente. \begin{definition} Una \conc{sección} es un morfismo con inverso por la izquierda, y una - \conc{retracción} es un morfismo con inverso por la derecha. Es decir, si - $f:a\to b$ y $g:b\to a$ son tales que $g\circ f=1_a$, entonces $f$ es una - sección y $g$ es una retracción. + \conc{retracción} es un morfismo con inverso por la derecha. Dicho de otro + modo, si $f:a\to b$ y $g:b\to a$ son tales que $g\circ f=1_a$, decimos que $f$ + es una sección y $g$ es una retracción. \end{definition} Claramente las secciones son monomorfismos y las retracciones son -epimorfismos. Veamos algunos ejemplos. +epimorfismos. \begin{example}\; \begin{enumerate} @@ -679,23 +682,23 @@ epimorfismos. Veamos algunos ejemplos. sumando directo del codominio, y las retracciones son los epimorfismos cuyo núcleo es un sumando directo del dominio. \begin{proof} - Si $f:M\to N$ es un monomorfismo cuya imagen es un sumando directo de $N$, - por ejemplo $N=\Img{f}\oplus P$, un $g:N\to M$ que lleva los elementos de - $\Img{f}$ a su única preimagen por $f$ y los $p\in P$ a 0 es inverso de - $f$ por la derecha. Si es un epimorfismo cuyo núcleo es un sumando directo - de $M$, por ejemplo $M=\ker{f}\oplus L$, sean $p:M\to\frac{M}{\ker{f}}$ la - proyección canónica, $h:\frac{M}{\ker{f}}\cong L$ el isomorfismo <<obvio>> - y $u:L\inTo M$ la inclusión, entonces $p\circ u\circ h=1$, pero el teorema - del factor nos da un único isomorfismo - $\overline{f}:\frac{M}{\ker{f}}\cong N$ con $\overline{f}\circ p=f$, por - lo que $\overline{f}=f\circ u\circ h$ y + Si $f:M\to N$ es un monomorfismo cuya imagen es un sumando directo de + $N$, por ejemplo $N=\Img{f}\oplus P$, un $g:N\epicTo M$ que lleva los + elementos de $\Img{f}$ a su única preimagen por $f$ y los $p\in P$ a 0 es + su inverso por la derecha. Si es un epimorfismo cuyo núcleo es un sumando + directo de $M$, por ejemplo $M=\ker{f}\oplus L$, sean + $p:M\to\frac{M}{\ker{f}}$ la proyección canónica, + $h:\frac{M}{\ker{f}}\cong L$ el isomorfismo <<obvio>> y $u:L\inTo M$ la + inclusión, entonces $p\circ u\circ h=1$, pero el teorema del factor nos da + un único isomorfismo $\overline{f}:\frac{M}{\ker{f}}\cong N$ con + $\overline{f}\circ p=f$, por lo que $\overline{f}=f\circ u\circ h$ y $f\circ(u\circ h\circ\overline{f}^{-1})=1$. Para el recíproco, sean $f:M\monicTo N$ y $g:N\epicTo M$ con $g\circ f=1_M$, basta ver que $N=\Img{f}\oplus\ker{g}$. En efecto, todo $n\in N$ se descompone como suma de $n_1\coloneqq f(g(n))\in\Img{f}$ y $n_2\coloneqq n-f(g(n))\in\ker{g}$, y si $p_1\in\Img{f}$ y $p_2\in\ker{g}$ - cumplen $n=p_1+p_2$, sea $m_1\in M$ la preimagen de $p_1$ por $f$, + cumplen $n=p_1+p_2$ y $m_1\in M$ es la preimagen de $p_1$ por $f$, entonces $g(n)=g(p_1+p_2)=g(f(m_1))+g(p_2)=m_1+0$ y $n_1=f(g(n))=g(m_1)=p_1$, con lo que $n_2=p_2$. \end{proof} @@ -765,9 +768,8 @@ invertible. La respuesta es que sí, y además esta condición se puede relajar. La mayoría de las propiedades que hemos visto hasta ahora vienen en pares con definiciones muy parecidas, y de hecho, cada vez que demostrábamos algo sobre -una de los propiedades, la misma idea servía para demostrar algo similar sobre -la otra. Esto ocurre mucho en teoría de categorías, y para sacar ventaja de esto -definimos el concepto de dualidad. +una de ellas, la misma idea permitía demostrar algo similar sobre la otra. Esto +ocurre mucho en teoría de categorías, y se conoce como dualidad. \begin{definition} Dada una categoría $\cC$, su \conc{categoría dual} es una categoría @@ -777,7 +779,7 @@ definimos el concepto de dualidad. la composición se define como $f\circ_{\dual{\cC}}g\coloneqq g\circ_{\cC}f$. \end{definition} -\begin{example} +\begin{example}\; \begin{enumerate} \item Si $(X,\preceq)$ es un conjunto preordenado, su dual visto como categoría es $(X,\succeq)$. @@ -785,9 +787,6 @@ definimos el concepto de dualidad. \end{enumerate} \end{example} -La principal utilidad de la categoría dual está en definir el dual de un -concepto o propiedad. - \begin{definition} Si $P$ es un predicado aplicable a una o más categorías $\cC_1,\dots,\cC_n$, su \conc{dual} es @@ -795,30 +794,28 @@ concepto o propiedad. decimos que $P$ es \conc{auto-dual} si $P\equiv\dual{P}$. \end{definition} -En esencia, tomar la categoría dual consiste en invertir el sentido de las -flechas en la categoría, y tomar el predicado dual consiste en invertir el -sentido de los morfismos que se mencionan. En general al tratar un concepto -categórico es conveniente fijarse en el dual del concepto, ya que suele ser un -concepto relevante y, además, las propiedades de dicho concepto se derivan -directamente de las del concepto original, sin necesidad de demostración aparte. +En esencia, tomar la categoría dual o el predicado dual consiste en invertir el +sentido de los morfismos. En general al tratar un concepto categórico es +conveniente fijarse en el dual del concepto, ya que suele ser un concepto +relevante, y además las propiedades de dicho concepto se derivan directamente +de las del concepto original, sin demostración aparte. \section{Producto y coproducto} En muchas categorías es posible tomar el producto de dos o más objetos, como el -de dos conjuntos, el espacio topológico producto, el espacio vectorial producto, -etc. Para definir productos en una categoría arbitraria tenemos que encontrar -una propiedad universal del producto, de modo que el producto quede definido de -forma única salvo homomorfismo. - -Para ello, si, por ejemplo, $A$ y $B$ son conjuntos, el producto $A\times B$ es -un conjunto de pares de un elemento $a\in A$ y un elemento $b\in B$, de modo que -dadas dos funciones $f:X\to A$ y $g:X\to B$ existe una única función -$h:X\to (A\times B)$ tal que, para todo $x\in X$, $h(x)=(f(x),g(x))$. Dicho de -otro modo, si $p:A\times B\to A$ y $q:A\times B\to B$ son las proyecciones sobre -las componentes, $h$ es la única función con $f=p\circ h$ y $g=q\circ h$. Esta -definición se puede generalizar a categorías arbitrarias y a una cantidad -arbitraria de factores, y la figura \ref{fig:product} muestra el caso para dos -factores. +de dos conjuntos, espacios topológicos, espacios vectoriales, etc. Para definir +productos en una categoría arbitraria tenemos que encontrar una propiedad +universal del producto, de modo que este quede definido de forma única +salvo homomorfismo. + +Para ello, si, por ejemplo, $A$ y $B$ son conjuntos, el producto $A\times B$ +cumple que, dadas dos funciones $f:X\to A$ y $g:X\to B$, existe una única +función $h:X\to (A\times B)$ tal que para todo $x\in X$, +$h(x)=(f(x),g(x))$. Dicho de otro modo, si $p:A\times B\to A$ y +$q:A\times B\to B$ son las proyecciones sobre las componentes, $h$ es la única +función con $f=p\circ h$ y $g=q\circ h$. Esta definición se puede generalizar a +categorías arbitrarias y a una cantidad arbitraria de factores. La figura +\ref{fig:product} muestra el caso para dos factores. \begin{figure} \centering @@ -829,10 +826,10 @@ factores. \draw[->] (AB) -- node[below]{$q$} (B); \draw[->] (X) -- node[left]{$f$} (A); \draw[->] (X) -- node[right]{$g$} (B); - \draw[->,dotted] (X) -- node{$f\times g$} (AB); + \draw[->,dotted] (X) -- node{$h$} (AB); \end{diagram} - \caption[Objeto producto]{Objeto producto de $a$ y $b$. Para - cualesquiera $x$, $f$ y $g$, existe un único $f\times g$ de modo + \caption[Objeto producto.]{Objeto producto de $a$ y $b$. Para + cualesquiera $x$, $f$ y $g$, existe un único $h$ de modo que el diagrama conmuta.} \label{fig:product} \end{figure} @@ -874,20 +871,19 @@ factores. El producto de una familia de objetos es único salvo isomorfismo. \end{proposition} \begin{proof} - Sean $b$ y $c$ productos de $(a_i)_{i\in I}$ con familias de proyecciones + Sean $b$ y $c$ productos de $(a_i)_{i\in I}$ con proyecciones $(f_i:b\to a_i)_{i\in I}$ y $(g_i:c\to a_i)_{i\in I}$, existe $h:b\to c$ tal que cada $f_i=g_i\circ h$ y $k:c\to b$ tal que cada $g_i=f_i\circ k$, pero - entonces $g_i=g_i=g_i\circ h\circ k$ para cada $i$, y como para la familia + entonces $g_i=g_i\circ h\circ k$ para cada $i$, y como para la familia $(g_i)_i$ debe haber un único $f:c\to c$ con cada $g_i=g_i\circ f$, debe ser $h\circ k=f=1_c$, y análogamente $k\circ h=1_b$. Es fácil ver que los isomorfismos conservan productos. \end{proof} En vista de esto, llamamos $\prod_{i\in I}a_i$ al objeto producto de -$(a_i)_{i\in I}$. Denotamos el objeto producto de dos objetos $a$ y $b$ como -$a\times b$, y esta notación se puede extender a un número finito de factores -($a_1\times\dots\times a_n$) debido a que el producto es asociativo, en el -sentido de la siguiente proposición. +$(a_i)_{i\in I}$, y $a\times b$ al objeto producto de dos objetos $a$ y +$b$. Esta última notación se puede extender a un número finito de factores +($a_1\times\dots\times a_n$), en vista de la siguiente proposición. \begin{proposition} Si $(p_i:c\to b_i)_{i\in I}$ es un producto y, para cada $i$, @@ -904,8 +900,8 @@ sentido de la siguiente proposición. $p_i\circ k=g_i$ y por tanto $k=h$. \end{proof} -Así, en particular, $(a\times b)\times c=a\times b\times c$ y una categoría -tiene todos los productos finitos si y sólo si tiene objetos terminales y +En particular $a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$, y una +categoría tiene todos los productos finitos si y sólo si tiene objeto final y productos de todos los pares de objetos. \begin{definition} @@ -923,17 +919,17 @@ la figura \ref{fig:coproduct}. \begin{figure} \centering \begin{diagram} - \path (0,2) node(A){$a$} (2,2) node(AB){$a\times b$} (4,2) node(B){$b$} + \path (0,2) node(A){$a$} (2,2) node(AB){$a\oplus b$} (4,2) node(B){$b$} (2,0) node(X){$x$}; \draw[->] (A) -- node[above]{$u$} (AB); \draw[->] (B) -- node[above]{$v$} (AB); \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (X); \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (X); - \draw[->,dotted] (AB) -- node{$f\oplus g$} (X); + \draw[->,dotted] (AB) -- node{$h$} (X); \end{diagram} - \caption[Objeto coproducto]{Objeto coproducto de $a$ y $b$. Para cualesquiera - $X$, $f$ y $g$, existe un único $f\oplus g$ de modo que el - diagrama conmuta.} + \caption[Objeto coproducto.]{Objeto coproducto de $a$ y $b$. Para cualesquiera + $X$, $f$ y $g$, existe un único $f\oplus g$ de modo que el diagrama + conmuta.} \label{fig:coproduct} \end{figure} @@ -946,23 +942,23 @@ la figura \ref{fig:coproduct}. inyecciones. \end{definition} -\begin{example} +\begin{example}\; \begin{enumerate} - \item En $\bSet$, el coproducto de una familia pequeña de conjuntos (pequeños) - $(a_i)_{i\in I}$ es la \conc{unión disjunta}, - $\biguplus_{i\in I}a_i\coloneqq\bigcup_{i\in I}(a_i\times\{i\})$, aunque si + \item En $\bSet$, el coproducto de una familia de conjuntos $(a_i)_{i\in I}$ + es la \conc{unión disjunta}, + $\biguplus_{i\in I}a_i\coloneqq\bigcup_{i\in I}(\{i\}\times a_i)$, aunque si los $a_i$ son disjuntos dos a dos se puede tomar como coproducto la unión convencional. - \item En $\bTop$, el coproducto de una familia pequeña de espacios topológicos - es el espacio topológico de la unión disjunta, que tiene como abiertos las - uniones de abiertos de cada espacio. + \item En $\bTop$, el coproducto de una familia de espacios topológicos es la + unión disjunta con la topología formada por las uniones de abiertos de cada + espacio. \item En $R\dash\bMod$, el coproducto de una familia pequeña de módulos $\{a_i\}_{i\in I}$ es la suma directa $\bigoplus_{i\in I}a_i$, el subespacio del producto directo $\prod_{i\in I}a_i$ formado por los elementos con casi todas las entradas nulas. En particular, si $I$ es finito el producto coincide con el coproducto. \item Todo objeto es coproducto de sí mismo. - \item Un objeto es coproducto de la familia vacía si y sólo si es final. + \item Un objeto es coproducto de la familia vacía si y sólo si es inicial. \item En un conjunto preordenado visto como categoría, el coproducto de una familia de elementos es su ínfimo, si existe. \end{enumerate} @@ -975,8 +971,7 @@ Las siguientes propiedades son duales de las correspondientes del producto. \end{proposition} Esto nos permite llamar $\coprod_{i\in I}a_i$ al objeto coproducto de -$(a_i)_{i\in I}$, y $a\oplus b$ al objeto coproducto de dos objetos $a$ -y $b$. +$(a_i)_{i\in I}$, y $a\oplus b$ al objeto coproducto de dos objetos $a$ y $b$. \begin{proposition} Si $(u_i:b_i\to c)_{i\in I}$ es un coproducto y, para cada $i$, @@ -993,19 +988,18 @@ y $b$. En álgebra es común hablar del núcleo de un morfismo $f:a\to b$ como el conjunto de puntos $x\in a$ con $f(x)=0$, que es un subobjeto de $a$. Entonces, si -$k\subseteq a$ es el núcleo de $f$ y $u:k\inTo a$ es la inclusión, se tiene -$f\circ u=0$ y, si $u':k'\to a$ es otro morfismo tal que $f\circ u'=0$, existe +$k\subseteq a$ es el núcleo de $f$ y $u:k\inTo a$ es la inclusión, $f\circ u=0$, +y si $u':k'\to a$ es otro morfismo con $f\circ u'=0$, existe $\tilde u:k'\to k$ tal que $u'=u\circ\tilde u$. Esta definición nos sirve para teoría de categorías salvo por la presencia del 0. Si, para cada objeto $a$, llamamos $i_a:0\to a$ a la única flecha desde el -objeto cero hasta $a$ y llamamos $t_a:a\to 0$ a la única flecha desde $a$ hasta +objeto cero hasta $a$ y $t_a:a\to 0$ a la única flecha desde $a$ hasta el objeto 0, entonces podríamos escribir <<$f\circ u=0$>> como <<$f\circ u=i_b\circ t_k$>>, pero esta caracterización sólo nos sirve para el caso de categorías con cero. En general, podemos notar que $t_k=t_a\circ u$, de modo que $u$ <<iguala>> $f$ con $i_b\circ t_a$, y aunque no podemos hablar del -núcleo de un morfismo, podemos hablar del núcleo de un par de morfismos en el -sentido siguiente. +núcleo de un morfismo, podemos hablar del núcleo de un par de morfismos. \begin{definition} Dados dos morfismos $f,g:a\to b$, un morfismo $e:k\to a$ es un \conc{núcleo} @@ -1028,37 +1022,38 @@ sentido siguiente. \draw[->] (A.15) -- node[above]{$f$} (B.165); \draw[->] (A.345) -- node[below]{$g$} (B.195); \end{diagram} - \caption[Núcleo de dos morfismos]{Núcleo $e$ de un par de morfismos $f$ y $g$.} + \caption[Núcleo de dos morfismos.]{Núcleo $e$ de un par de morfismos $f$ y + $g$.} \label{fig:equalizer} \end{figure} \begin{example}\; \label{ex:equalizer} \begin{enumerate} - \item En $\bSet$, para $f,g:a\to b$, $k\coloneqq\{x\in a\mid f(x)=g(x)\}$ es - un subconjunto de $a$ y la inclusión $u:k\inTo a$ es un núcleo de $f$ y - $g$. Lo mismo ocurre en $R\dash\bMod$, $\bTop$, $\bGrp$ y $\bGrph$ dotando a - $k$ de su estructura como submódulo, subespacio topológico, subgrupo o - subgrafo. - \item En $\bRng$, al contrario que en muchas estructuras algebraicas, el - concepto de núcleo de un morfismo en teoría de categorías que en álgebra no - coincide con el convencional, ya que convencionalmente el núcleo de un - anillo no es un anillo sino un ideal. - \item En $R\dash\bMat$, dadas dos matrices $n\times m$ $A,B:m\to n$, un núcleo - de $A$ y $B$ es precisamente una matriz $X:p\to m$ cuyas columnas forman una - base de soluciones de la ecuación $Ax=Bx$. En efecto, $AX=BX$ y, si - $Y:q\to m$ cumple que $AY=BY$, cada columna de $Y$ es combinación lineal - única de las columnas de $X$ y hay por tanto existe una única $Z$ con - $Y=XZ$. La existencia de $Z$ implica que las columnas de $X$ deben generar - el espacio de soluciones, y la unicidad implica que estan deben ser - linealmente independientes. % Ref. by siguiente párrafo ("último ejemplo") + \item En $\bSet$, para $f,g:a\to b$, si $k\coloneqq\{x\in a\mid f(x)=g(x)\}$, + la inclusión $u:k\inTo a$ es un núcleo de $f$ y $g$. Lo mismo ocurre en + $R\dash\bMod$, $\bTop$, $\bGrp$, $\bGrph$ y $(\Omega,E)\dash\bAlg$, dotando + a $k$ de su estructura como submódulo, subespacio topológico, subgrupo, + subgrafo o subálgebra. + \item En $\bCRng$, al contrario que en muchas estructuras algebraicas, el + concepto de núcleo de un morfismo en teoría de categorías no coincide con el + convencional, pues convencionalmente el núcleo de un anillo no es un + subanillo sino un ideal. + \item En $R\dash\bMat$, dadas dos matrices $A_{n\times m},B_{n\times m}$, un + núcleo de $A$ y $B$ es precisamente una matriz $X_{m\times p}$ cuyas + columnas forman una base de soluciones de la ecuación $Ax=Bx$. En efecto, + $AX=BX$ y, si $Y_{m\times q}$ cumple que $AY=BY$, cada columna de $Y$ es + combinación lineal única de las columnas de $X$ y hay por tanto una única + $Z$ con $Y=XZ$. La existencia de $Z$ implica que las columnas de $X$ deben + generar el espacio de soluciones, y la unicidad implica que estan deben ser + linealmente independientes. \end{enumerate} - % TODO Ejemplo en (Ω,E)-Alg \end{example} -En el último ejemplo hemos demostrado que todos los núcleos tienen la misma -forma. Esto no es necesario, y basta con encontrar un núcleo, por la siguiente -definición. +En el último ejemplo hemos tenido que demostrar no sólo que una cierta matriz es +el núcleo sino que todos los demás núcleos también tienen la misma forma. A +continuación vemos que esto último no es necesario, y basta con encontrar un +núcleo. \begin{proposition} \label{prop:equ-uniq} @@ -1077,37 +1072,34 @@ definición. análogamente $1_{k'}=h'\circ h$, luego $h$ es un isomorfismo. \end{proof} -Esta prueba parece sugerir que los núcleos son monomorfismos. Parece interesante -entonces comparar el concepto de núcleo con el de monomorfismo, así como con el -concepto relacionado de sección. +Hasta ahora todos los núcleos que hemos visto son monomorfismos, por lo que +parece interesante comparar el concepto de núcleo con el de monomorfismo y con +el de sección. \begin{proposition}\; \label{prop:equ-middle} \begin{enumerate} \item Todo núcleo es un monomorfismo. \begin{proof} - Si $e:k\to a$ es el núcleo de $f,g:a\to b$ y $h,k:c\to k$ cumplen - $e\circ h=e\circ k\eqqcolon e'$, entonces $f\circ e'=g\circ e'$, luego el - $h$ con $e'=e\circ h$ es único y por tanto $h=k$. + Si $e:k\to a$ es el núcleo de $f,g:a\to b$ y $h,h':c\to k$ cumplen + $e\circ h=e\circ h'\eqqcolon e'$, entonces $f\circ e'=g\circ e'$, luego el + $h$ con $e'=e\circ h$ es único y por tanto $h=h'$. \end{proof} \item Toda sección es un núcleo. En concreto, si $f:a\to b$ es una sección y $g:b\to a$ es la correspondiente retracción, entonces $f$ es núcleo de $f\circ g$ y $1_b$. \begin{proof} - Para empezar, $(f\circ g)\circ f=f\circ(g\circ f)=f=1_b\circ f$, pero si - $e:k\to b$ es tal que $(f\circ g)\circ e=1_b\circ e$, entonces $g\circ e$ - es el morfismo con $f\circ(g\circ e)=e$, y es único porque $f$ es un - monomorfismo. + $(f\circ g)\circ f=f\circ(g\circ f)=f=1_b\circ f$, pero si $e:k\to b$ es + tal que $(f\circ g)\circ e=1_b\circ e$, entonces $g\circ e$ es el morfismo + con $f\circ(g\circ e)=e$, y es único porque $f$ es un monomorfismo. \end{proof} \item \label{enu:equ-mid-strict} Los recíprocos no se cumplen. \begin{proof} En $\bAb$, el único homomorfismo $\sInt\to\sInt_2$ tiene como núcleo la - inclusión $2\sInt\inTo\sInt$, que claramente no es una seccion (no tiene - inverso por la izquierda). Y en $\bRng$, la inclusión $\sInt\inTo\sRat$ es - un monomorfismo pero no es un núcleo, ya que de serlo, como también es un - epimorfismo, sería un isomorfismo por la siguiente proposición - (\ref{prop:iso-equalizer}). - % TODO Igual debería poner la "siguiente" proposición antes. + inclusión $2\sInt\inTo\sInt$, que claramente no es una sección. Y en + $\bCRng$, la inclusión $\sInt\inTo\sRat$ es un monomorfismo pero no es un + núcleo, ya que de serlo, como también es un epimorfismo, sería un + isomorfismo por la siguiente proposición \ref{prop:iso-equalizer}. \end{proof} \end{enumerate} \end{proposition} @@ -1126,8 +1118,8 @@ concepto relacionado de sección. Claramente (\ref{enu:eq-equal})$\implies$(\ref{enu:eq-ident}); (\ref{enu:eq-ident})$\implies$(\ref{enu:eq-iso}) por (\ref{prop:equ-uniq}); obviamente (\ref{enu:eq-iso})$\implies$(\ref{enu:eq-epi}), y - (\ref{enu:eq-epi})$\implies$(\ref{enu:eq-equal}) por definición de - núcleo y de epimorfismo. + (\ref{enu:eq-epi})$\implies$(\ref{enu:eq-equal}) es por definición de núcleo y + de epimorfismo. \end{proof} El concepto dual de núcleo es el de conúcleo. @@ -1153,7 +1145,8 @@ El concepto dual de núcleo es el de conúcleo. \draw[<-] (A.165) -- node[above]{$f$} (B.15); \draw[<-] (A.195) -- node[below]{$g$} (B.345); \end{diagram} - \caption[Conúcleo de dos morfismos]{Conúcleo $q$ de un par de morfismos $f$ y $g$.} + \caption[Conúcleo de dos morfismos.]{Conúcleo $q$ de un par de morfismos $f$ y + $g$.} \label{fig:coequalizer} \end{figure} @@ -1167,30 +1160,31 @@ El concepto dual de núcleo es el de conúcleo. $c'\circ f=c'\circ g$, entonces $\overline c:\frac{b}{\sim}\to r$ dada por $\overline c(\overline x)=c'(x)$ es la única función con $\overline c\circ c=c'$, y queda ver que está bien definida. Pero si - $x\sim{}y$, bien $x=y$, bien hay una cadena $x=t_0,\dots,t_k=y\in b$ y - $s_1,\dots,s_k\in a$ con $(t_{i-1},t_i)$ igual a $(f(s_i),g(s_i))$ o a - $(g(s_i),f(s_i))$ para cada $i$, pero entonces por hipótesis + $x\sim{}y$, bien $x=y$, bien existen una cadena $x=t_0,\dots,t_k=y\in b$ y + objetos $s_1,\dots,s_k\in a$ con $(t_{i-1},t_i)$ igual a $(f(s_i),g(s_i))$ + o $(g(s_i),f(s_i))$ para cada $i$, pero entonces por hipótesis $c'(t_{i-1})=c'(t_i)$ para cada $i$ y por tanto $c'(x)=c'(y)$. \end{proof} \item En $\bTop$, los conúcleos se calculan como en $\bSet$ asignando a $\frac{b}{\sim}$ la topología cociente, cuyos abiertos son los subconjuntos - de $\frac{b}{\sim}$ con $c^{-1}\subseteq b$ abierto. Es fácil ver que esta + $S\subseteq\frac{b}{\sim}$ con $c^{-1}(S)\subseteq b$ abierto, pues esta topología hace a $c$ y $\overline c$ del apartado anterior continuas - (supuesto que $c'$ es continua). - \item En $\bGrph$, ocurre lo mismo, estableciendo como ejes en + (supuesto que $c'$ sea continua). Esto significa que superficies como el + toro, la cinta de Möbius o la botella de Klein se definen naturalmente como + conúcleos. + \item En $\bGrph$ ocurre lo mismo, estableciendo como ejes en $\frac{b}{\sim}$ las imágenes de ejes en $b$. En $\bPrord$ los conúcleos se construyen de igual forma pero tomando la clausura transitiva de la relación resultante en $\frac{b}{\sim}$. - \item En $(\Omega,E)\dash\bAlg$ el conúcleo se establece de la misma forma - pero sustituyendo $\sim$ por la menor relación de congruencia en $b$ con - $f(x)\sim g(x)$ para todo $x\in a$. Una \conc{relación de congruencia} es - una relación de equivalencia en que, para cada operación $f:b^n\to b$ en la - acción de $\Omega$ asociada a $b$ y cada $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n\in b$ - se tiene que, si cada $x_i\sim y_i$, entonces - $f(x_1,\dots,x_n)\sim f(y_1,\dots,y_n)$. Esta propiedad permite dotar a - $\frac{b}{\sim}$ una estructura algebraica cuyas operaciones se derivan de - las de $b$ de la forma evidente. - \item En $\bRng$, el conúcleo de $f,g:A\to B$ es la proyección canónica + \item En $(\Omega,E)\dash\bAlg$ el conúcleo es similar pero tomando como + $\sim$ la menor relación de congruencia en $b$ con $f(x)\sim g(x)$ para todo + $x\in a$. Una \conc{relación de congruencia} es una relación de equivalencia + en que, para cada operación $f:b^n\to b$ en la acción de $\Omega$ asociada a + $b$ y cada $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n\in b$ se tiene que, si cada + $x_i\sim y_i$, entonces $f(x_1,\dots,x_n)\sim f(y_1,\dots,y_n)$. Esta + propiedad permite dotar a $\frac{b}{\sim}$ de una estructura algebraica cuyas + operaciones se derivan de las de $b$ de la forma evidente. + \item En $\bCRng$, el conúcleo de $f,g:A\to B$ es la proyección canónica $p:B\to\frac{B}{I}$, donde $I\coloneqq(\Img{f-g})$ es el ideal generado por la imagen de $f-g$. \begin{proof} @@ -1230,7 +1224,7 @@ Las siguientes proposiciones son las duales de las vistas para el núcleo. \item $f=g$. \item $1_b$ es conúcleo de $f$ y $g$. \item $c$ es un isomorfismo. - \item $c$ es un epimorfismo. + \item $c$ es un monomorfismo. \end{enumerate} \end{proposition} @@ -1252,9 +1246,8 @@ Las distintas definiciones dependen, pues, de qué conjunto $M$ usemos. Si estamos en un constructo tiene sentido considerar el conjunto de morfismos que son inclusiones. Para el caso general, sin embargo, existen varios conceptos usados en la práctica, siendo el más amplio el de monomorfismo y el más -restringido el de sección. Por supuesto, uno de los conceptos intermedios, útil -para categorías algebraicas como $R\dash\bMod$, es el de un monomorfismo que es -el núcleo de algún morfismo. +restringido el de sección. Para categorías algebraicas como $R\dash\bMod$, es +útil el concepto de un monomorfismo que es el núcleo de algún morfismo. \begin{definition} Un monomorfismo es \conc{regular} si es el núcleo de algún par de morfismos. @@ -1262,10 +1255,9 @@ el núcleo de algún morfismo. Así, si $M$ es el conjunto de los monomorfismos regulares, los $M$-subobjetos se llamarían \conc{subobjetos regulares}, mientras que si $M$ es el conjunto de -todos los monomorfismos, los $M$-subobjetos son los \conc{subobjetos} a secas. - -Para todos estos conceptos aplicables en general, el conjunto de subobjetos es -cerrado para isomorfismos, en el sentido siguiente. +todos los monomorfismos, los $M$-subobjetos son los \conc{subobjetos} a +secas. Para estos conceptos, el conjunto de subobjetos es cerrado para +isomorfismos, en el sentido siguiente. \begin{definition} Dados dos $M$-subobjetos $(a,m)$ y $(b,n)$ de un objeto $c$, $(a,m)$ es @@ -1274,13 +1266,17 @@ cerrado para isomorfismos, en el sentido siguiente. además $f$ es un isomorfismo. \end{definition} -Cabe destacar la importancia de los morfismos en la definición de -subobjetos. Por ejemplo, en $\bOrd$, $\{1,3,5\}$ y $\{2,4,6\}$ son subconjuntos -ordenados de $\sNat$ y, vistos como objetos, son isomorfos y por tanto -<<esencialmente lo mismo>>; lo que los distingue es el monomorfismo inclusión en -$\sNat$. A lo largo de la teoría de categorías se da mucho esta situación, en -que los objetos como tales, <<vistos desde fuera>>, no dan demasiada información -y, sin embargo, los morfismos permiten codificar la información relevante. +Cabe destacar la importancia del uso de morfismos para definir subobjetos, pues +estos en general aportan mucha más información que los objetos. Por ejemplo, en +$\bOrd$, $\{1,3,5\}$ y $\{2,4,6\}$ son subconjuntos ordenados de $\sNat$ y, +vistos como objetos, son isomorfos, pero como subobjetos son distintos aun tras +componer el monomorfismo inclusión con un isomorfismo a cada lado. En $\bSet$, +aunque no son isomorfos como subobjetos, se pueden igualar componiendo con un +isomorfismo por la izquierda, pues la única información que conservaríamos es +que se trata de subconjuntos de tamaño 3 de un conjunto numerable. Esto refleja +el hecho de que la teoría de categorías estudia la estructura de los objetos, +viéndolos <<desde fuera>>, y no estudia su contenido, que es materia de la +teoría de conjuntos. \begin{example}\; \label{ex:reg-mono} @@ -1294,26 +1290,25 @@ y, sin embargo, los morfismos permiten codificar la información relevante. isomorfismo) con los subconjuntos, y un subobjeto es más pequeño que otro si y sólo si es un subconjunto del otro. \item En $\bTop$ los monomorfismos regulares son, salvo isomorfismo, las - inclusiones de subespacios, sin más que tomar la prueba del apartado - anterior y dotar a $\{0,1\}$ de la topología indiscreta, por lo que los - monomorfismos regulares son los subespacios topológicos. + inclusiones de subespacios, usando la prueba del apartado anterior y dotando + a $\{0,1\}$ de la topología indiscreta, por lo que los subobjetos regulares + son los subespacios topológicos. \item En muchas categorías algebraicas como $R\dash\bMod$ o $\bGrp$, todos los - monomorfismos son regulares, de modo que los subobjetos regulares son - respectivamente los submódulos y los subgrupos. En el caso de $R\dash\bMod$, - si $e:K\monicTo M$ es un monomorfismo de módulos, $e$ es el núcleo de la - proyección canónica $M\mapsto\frac{M}{\Img{e}}$, y en $\bGrp$ la prueba es - similar. + monomorfismos son regulares, con lo que los subobjetos regulares son + respectivamente los submódulos y los subgrupos. Esto es porque todo + monomorfismo $e:K\monicTo M$ es núcleo de la proyección canónica + $M\mapsto\frac{M}{\Img{e}}$. \item En $R\dash\bMod$, todos los monomorfismos son regulares. En efecto, un monomorfismo $m:M\to N$ es núcleo de la proyección canónica - $p:N\to\frac{N}{\Img{m}}$ y el correspondiente morfismo cero. - \item En $\bRing$ hemos visto (\ref{prop:equ-middle}, apartado + $p:N\to\frac{N}{\Img{m}}$. + \item En $\bCRng$ hemos visto (\ref{prop:equ-middle}, apartado \ref{enu:equ-mid-strict}) que no todos los monomorfismos son regulares. Sin embargo, los subobjetos (a secas) son precisamente los subanillos. \item En una categoría fina, sólo las identidades son regulares. \item En $R\dash\bMat$, los núcleos son las matrices $m\times p$, $p\leq m$, - de rango máximo (\ref{ex:equalizer}), con lo que los subobjetos de un número - $m$ son los pares formados por un $p\leq m$ y una matriz $m\times p$ de - rango $p$. + de rango máximo (\ref{ex:equalizer}), con lo que los subobjetos regulares de + un número $m$ son los pares formados por un $p\leq m$ y una matriz + $m\times p$ de rango $p$. \end{enumerate} \end{example} @@ -1330,14 +1325,15 @@ El concepto dual de subobjeto es el de objeto cociente. \end{definition} Si $E$ es el conjunto de los epimorfismos regulares, hablamos de \conc{objetos - cociente regulares}, mientras que si $E$ es el conjunto de todos los -epimorfismos hablamos de \conc{objetos cociente} a secas. - -Si estamos en constructos tiene sentido considerar los epimorfismos que son -proyecciones al conjunto cociente por alguna relación de equivalencia en el -dominio, o a algún conjunto irredundante de representantes de dicha relación. En -la mayoría de constructos relevantes, si para una cierta relación de -equivalencia existe una de estas proyecciones, el resto también existe y son + cociente regulares}, mientras que si es el conjunto de todos los epimorfismos +hablamos de \conc{objetos cociente}. + +En constructos, tiene sentido considerar los epimorfismos que son proyecciones +al conjunto cociente por alguna relación de equivalencia en el dominio, o a +algún conjunto irredundante de representantes de dicha relación. En la mayoría +de constructos relevantes, si para una cierta relación de equivalencia existe +una de estas proyecciones (al cociente o algún conjunto irredundante de +representantes, con la estructura apropiada), el resto también existe y son isomorfas en el sentido siguiente. \begin{definition} @@ -1350,25 +1346,24 @@ isomorfas en el sentido siguiente. \begin{example}\; \begin{enumerate} \item \label{enu:reg-epi-set} En $\bSet$, todos los epimorfismos son - regulares, pues si $e:A\to B$ es suprayectiva, es el conúcleo de las dos + regulares, pues si $e:A\epicTo B$ es suprayectiva, es el conúcleo de las dos proyecciones $D_e\to A$ con - $D_e\coloneqq\{(a,a')\in A\times A\mid e(a)=e(a')\}$, por un argumento + \[D_e\coloneqq\{(a,a')\in A\times A\mid e(a)=e(a')\},\] por un argumento similar al usado en el ejemplo \ref{ex:reg-mono}, apartado \ref{enu:reg-mono-set}. Además, claramente los objetos cociente de $A$ son, salvo isomorfismo, los conjuntos cociente con sus proyecciones, y si $(B,d)$ y $(C,e)$ son objetos cociente (regulares) de $A$, entonces $(B,d)\geq(C,e)$ si y sólo si $D_d\subseteq D_e$. - \item De forma similar se ve que los objetos cocientes regulares en $\bTop$ - son, salvo isomorfismo, los objetos topológicos cociente y las + \item De forma similar se ve que los objetos cociente regulares en $\bTop$ + son, salvo isomorfismo, los espacios topológicos cociente con las correspondientes proyecciones. Aquí, sin embargo, no todos los epimorfismos - son regulares, pues el codominio debe tener la topología <<correcta>>, y no - una más gruesa. + son regulares, pues para ello el codominio debe tener la topología final y + no una más gruesa. \item En $R\dash\bMod$, todos los epimorfismos son regulares. En efecto, si $e:M\to N$ es un morfismo, $D_e$ (apartado \ref{enu:reg-epi-set}) es el núcleo del homomorfismo $(m,m')\mapsto e(m-m')$, por lo que es un $R$-módulo - y, por el argumento del apartado \ref{enu:reg-epi-set}, $e$ es el conúcleo - de las dos proyecciones $D_e\to M$. Además es fácil comprobar que los - objetos cociente son los módulos cociente. + y $e$ es el conúcleo de las dos proyecciones $D_e\to M$. Además, los objetos + cociente son los módulos cociente. \end{enumerate} \end{example} diff --git a/ch2_funs.tex b/ch2_funs.tex index 45d0a15..4faae5f 100644 --- a/ch2_funs.tex +++ b/ch2_funs.tex @@ -1,8 +1,9 @@ Buena parte del poder de la teoría de categorías se deriva de su reflexividad: las categorías son estructuras algebraicas y, como tales, es posible estudiarlas usando teoría de categorías. Para ello primero debemos ver cuáles son los -morfismos entre categorías, los llamados \emph{funtores}. Este capítulo se -basa principalmente en \cite[pp. 21--32]{joyofcats} y \cite[pp. 13--15]{maclane}. +morfismos entre categorías, los llamados \emph{funtores}. Este capítulo se basa +principalmente en \cite[pp. 21--32 y cap. 7]{joyofcats} y +\cite[pp. 13--15]{maclane}. \begin{definition} Un \conc{funtor} entre dos categorías $\cC$ y $\cD$ es un par de funciones @@ -15,12 +16,11 @@ basa principalmente en \cite[pp. 21--32]{joyofcats} y \cite[pp. 13--15]{maclane} \end{enumerate} \end{definition} -Observamos que la última condición determina unívocamente la función sobre los -objetos a partir de la función sobre los morfismos, por lo que la primera es -redundante. Si $\cC$ y $\cD$ son categorías, escribimos $T:\cC\to\cD$ para decir -que $T$ es un funtor de $\cC$ a $\cD$, y usamos $T$ para referirnos -indistintamente al funtor, a la función sobre los objetos y a la función sobre -los morfismos. +La última condición determina unívocamente la función sobre los objetos a partir +de la función sobre los morfismos, por lo que la primera es redundante. Si $\cC$ +y $\cD$ son categorías, escribimos $T:\cC\to\cD$ para decir que $T$ es un funtor +de $\cC$ a $\cD$, y usamos $T$ para referirnos indistintamente al funtor, a la +función sobre los objetos y a la función sobre los morfismos. \begin{example}\label{ex:functors}\; \begin{enumerate} @@ -33,10 +33,10 @@ los morfismos. respectivamente. \item Si $\cB$ es una subcategoría de $\cC$, existe un \conc{funtor inclusión} $u:\cB\to\cC$ que envía cada objeto y morfismo de $\cB$ a sí mismo en $\cC$. - \item \label{enu:funct-power} La operación <<conjunto potencia>> es - un funtor $\power:\bSet\to\bSet$, que lleva cada función - $f:A\to B$ a la función $(\power f)(S)\coloneqq f[S]$, que asocia - a cada subconjunto de $A$ su \emph{imagen} por $f$. + \item \label{enu:funct-power} La operación \emph{conjunto potencia} es un + funtor $\power:\bSet\to\bSet$, que lleva cada función $f:A\to B$ a la + función $(\power f)(S)\coloneqq f[S]$, que asocia a cada subconjunto de $A$ + su \emph{imagen} por $f$. \item \label{enu:funct-copower} De forma similar podemos definir el funtor \conc{conjunto potencia contravariante}, $\copower:\bSet\to\dual{\bSet}$, que lleva un conjunto $S$ a su @@ -59,16 +59,16 @@ los morfismos. \begin{proof} Primero vemos que la operación sobre morfismos está bien definida. Sea $f:(X,x)\to(Y,y)$ un morfismo en $\bTop_*$, y sean - $\gamma,\sigma:[0,1]\to X$ representantes de un mismo elemento - $\overline{\gamma}=\overline{\sigma}$ de $\pi(X,x)$, entonces existe una - homotopía $s:[0,1]\times[0,1]\to X$ de $\gamma$ a $\sigma$, con lo que - $f\circ s:[0,1]\times[0,1]\to Y$ es una homotopía de $f(\sigma)$ a - $f(\gamma)$ y $(\pi f)(\overline{\gamma})=(\pi f)(\overline{\sigma})$. - Además $\pi f$ es un morfismo de grupos, pues la composición con $f$ lleva - la curva constante en $x$ a la curva constante en $y$ y respeta la - concatenación de curvas. Finalmente, dados morfismos $f:(X,x)\to (Y,y)$ y - $g:(Y,y)\to(Z,z)$ en $\bTop_*$, es fácil ver que - $\pi(g\circ f)=\pi g\circ\pi f$ y que $\pi(1_{(X,x)})=1_{\pi(X,x)}$. + $\gamma,\sigma:[0,1]\to X$ representantes de un mismo elemento de + $\pi(X,x)$, entonces existe una homotopía $s:[0,1]\times[0,1]\to X$ de + $\gamma$ a $\sigma$, con lo que $f\circ s:[0,1]\times[0,1]\to Y$ es una + homotopía de $f(\sigma)$ a $f(\gamma)$ y + $(\pi f)(\overline{\gamma})=(\pi f)(\overline{\sigma})$. Además $\pi f$ + es un morfismo de grupos, pues la composición con $f$ lleva la curva + constante en $x$ a la curva constante en $y$ y respeta la concatenación de + curvas. Finalmente, dados morfismos $f:(X,x)\to (Y,y)$ y $g:(Y,y)\to(Z,z)$ + en $\bTop_*$, es fácil ver que $\pi(g\circ f)=\pi g\circ\pi f$ y que + $\pi(1_{(X,x)})=1_{\pi(X,x)}$. \end{proof} \item Los funtores se pueden componer. Dados dos funtores $S:\cB\to\cC$ y $T:\cC\to\cD$, el \conc{funtor composición} $T\circ S:\cB\to\cC$ viene dado @@ -97,7 +97,8 @@ ZFC para lidiar con estos casos. Mac Lane\cite[pp. 21--26]{maclane} propone una extensión basada en universos de Grothendieck. \begin{definition} - Un \conc{universo} (\conc{de Grothendieck}) es un conjunto $\UNIVERSE$ tal que: + Un \conc{universo} (\concsuffix{de Grothendieck}) es un conjunto $\UNIVERSE$ + tal que: \begin{enumerate} \item Si $x\in u\in\UNIVERSE$ entonces $x\in\UNIVERSE$. \item Si $u,v\in\UNIVERSE$ entonces $\{u,v\}\in\UNIVERSE$. @@ -108,9 +109,9 @@ extensión basada en universos de Grothendieck. \end{enumerate} \end{definition} -La idea es que un universo contendría todos los conjuntos con lo que uno -trataría trabajar normalmente dentro de ZFC, como ilustran las siguientes -propiedades fáciles de probar. +La idea es que un universo contendría todos los conjuntos con los que uno +trataría normalmente dentro de ZFC, como ilustran las siguientes propiedades +fáciles de probar. \begin{proposition} Sea $\UNIVERSE$ un universo: @@ -138,9 +139,9 @@ sencillo. Existe un universo de Grothendieck $\UNIVERSE$. \end{axiom} -Entonces basta considerar un universo $\UNIVERSE$ fijo y notar que, cuando -hablábamos de conjuntos, ahora hablamos de elementos de $\UNIVERSE$, y -cuando hablábamos de clases, ahora hablamos de subconjuntos de $\UNIVERSE$. +En adelante fijamos un universo $\UNIVERSE$ y notamos que, cuando hablábamos de +conjuntos, ahora hablamos de elementos de $\UNIVERSE$, y cuando hablábamos de +clases, ahora hablamos de subconjuntos de $\UNIVERSE$. \begin{definition} Un conjunto $x$ es \conc{pequeño} si $x\in\UNIVERSE$, es una \conc{clase} si @@ -185,34 +186,28 @@ y en general de todas las matemáticas, no basados en teoría de conjuntos. \section{Equivalencias de categorías} Un funtor en $\bCat_X$ es un isomorfismo si y sólo si es biyectivo sobre los -morfismos. Además, esta idea de isomorfismo es la que podríamos esperar. - -\begin{example}\; - \begin{enumerate} - \item Dos conjuntos, conjuntos preordenados o monoides vistos como categorías - son isomorfos en $\bCat$ si y sólo si lo son en $\bSet$, $\bPrord$ o - $\bMon$, respectivamente. - \item $\sInt\dash\bMod$ es isomorfo a $\bAb$ en $\bCAT$. - \end{enumerate} -\end{example} +morfismos. Esta idea de isomorfismo es la que podríamos esperar, ya que, por +ejemplo, dos conjuntos, conjuntos preordenados o monoides vistos como categorías +son isomorfos en $\bCat$ si y sólo si lo son en $\bSet$, $\bPrord$ o $\bMon$, +respectivamente, y en $\bCAT$ $\sInt\dash\bMod$ es isomorfo a $\bAb$. En ocasiones, sin embargo, esta definición de isomorfismo es demasiado -estricta. Por ejemplo, las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de -dimensión finita sobre un cuerpo no trivial $K$ se pueden representar mediante -matrices, pero en general $K\dash\bVecf$, la categoría de $K$-espacios -vectoriales de dimensión finita y las transformaciones lineales entre ellos, no -es isomorfa a $K\dash\bMat$, pues tiene muchos más objetos, y sin embargo a cada -objeto de $K\dash\bMat$ le corresponde una clase de isomorfía en $K\dash\bVecf$. - -Para estos casos es útil la noción de equivalencia. Una equivalencia entre +estricta. Por ejemplo, si $K\dash\bVecf$ es la subcategoría de $K\dash\bVec$ de +los espacios de dimensión finita, los morfismos de $K\dash\bVecf$ se pueden +representar mediante matrices, pero en general $K\dash\bVecf$ no es isomorfa a +$K\dash\bMat$ debido a que tiene muchos más objetos, y para obtener el +isomorfismo habría que sustituir $K\dash\bVecf$ por una subcategoría completa +formada por un conjunto irredundante de representantes de los objetos por +isomorfismo. + +En estos casos es útil la noción de equivalencia. Una equivalencia entre categorías viene a ser un funtor que respeta las clases de isomorfía de los objetos y que <<se porta bien>> con los morfismos. Para caracterizar el significado de esto último, vemos que un funtor, al estar formado por una función sobre objetos y una sobre morfismos, puede ser inyectivo o suprayectivo sobre los objetos o sobre los morfismos. Serlo sobre los morfismos implica serlo -sobre los objetos, y no queremos obligar a que las categorías sean biyectivas -sobre los objetos, por lo que es preferible abordar esta cuestión en función de -los conjuntos hom de las categorías involucradas. +sobre los objetos, y no queremos obligar a que sean biyectivos sobre objetos, +por lo que es preferible abordar esta cuestión en función de los conjuntos hom. \begin{definition} Sea $T:\cC\to\cD$ un funtor: @@ -235,16 +230,16 @@ los conjuntos hom de las categorías involucradas. inmersiones no plenas. \item El funtor $u:\bMetc\to\bTop$ que lleva los espacios métricos a sus correspondientes espacios topológicos y los morfismos a ellos mismos es fiel - y pleno pero no es una inmersión. + y pleno, pero no es una inmersión. \item Los funtores \conc{espacio discreto} y \conc{espacio indiscreto} $D,N:\bSet\to\bTop$, que asocian a cada conjunto la topología discreta o indiscreta, respectivamente, y llevan cada función a ella misma, son inmersiones plenas pero no son isomorfismos. - \item $\bZero$ es un objeto inicial de $\bCat$, y el único funtor de $\bZero$ - a una cierta categoría $\cC$ es una inmersión pero en general no es pleno. - \item $\bOne$ es un objeto final de $\bCat$, y el único funtor de una cierta - categoría $\cC$ a $\bOne$ es pleno y suprayectivo en objetos pero en general - no es inyectivo en objetos, y es fiel si y sólo si $\cC$ es fina. + \item $\bZero$ es un objeto inicial de $\bCat$. El único funtor de $\bZero$ a + una cierta categoría $\cC$ es una inmersión, pero en general no es pleno. + \item $\bOne$ es un objeto final de $\bCat$. El único funtor de una cierta + categoría $\cC$ a $\bOne$ es pleno y suprayectivo en objetos, pero en + general no es inyectivo en objetos, y es fiel si y sólo si $\cC$ es fina. \end{enumerate} \end{example} @@ -271,10 +266,9 @@ Parece razonable entonces requerir que las equivalencias sean fieles y plenas. \end{definition} Estos requisitos son suficientes para satisfacer la noción intuitiva que hemos -descrito antes, pues los funtores llevan isomorfismos (de objetos) a -isomorfismos y, dados dos objetos isomorfos en $\Img{T}$, como $T$ es biyectiva -sobre los conjuntos hom, dos preimágenes cualesquiera de estos dos objetos serán -isomorfas en $\cC$. +descrito antes, pues los funtores llevan isomorfismos a isomorfismos y, dados +dos objetos isomorfos en $\Img{T}$, como $T$ es biyectiva sobre los conjuntos +hom, dos preimágenes cualesquiera de estos dos objetos serán isomorfas en $\cC$. \begin{example}\; \begin{enumerate} @@ -291,7 +285,7 @@ isomorfas en $\cC$. \end{enumerate} \end{example} -\begin{proposition}\; +\begin{proposition}\label{prop:cat-equiv}\; \begin{enumerate} \item La composición de equivalencias es una equivalencia. \begin{proof} @@ -309,7 +303,7 @@ isomorfas en $\cC$. equivalencia es reflexiva, y el apartado anterior prueba que es transitiva. Para ver que es simétrica, sea $T:\cC\to\cD$ una equivalencia, usando el axioma de elección, para cada objeto $d$ de $\cD$ tomamos un - objeto $Sd$ de $a$ con $T(Sd)\cong d$ y un isomorfismo $h_d:TSd\to d$. + objeto $Sd$ de $\cC$ con $T(Sd)\cong d$ y un isomorfismo $h_d:TSd\to d$. Como $T$ es biyectiva en conjuntos hom, para cada morfismo $g:a\to b$ en $\cD$ existe un único morfismo $Sg:Sa\to Sb$ para el que la figura \ref{fig:equiv-sym} conmuta. @@ -323,15 +317,15 @@ isomorfas en $\cC$. \draw[->] (IB) -- node[right]{$h_b$} (B); \draw[->] (A) -- node[below]{$g$} (B); \end{diagram} - \caption{Definición del <<funtor inverso>> $S$ sobre los morfismos} + \caption[Funtor <<inverso>> de una equivalencia]{Actuación sobre los + morfismos del funtor <<inverso>> $S$ de una equivalencia.} \label{fig:equiv-sym} \end{figure} - Es decir $Sg=(T|_{\hom(Sa,Sb)})^{-1}(h_b^{-1}\circ g\circ h_a)$. Usando - esta fórmula y que $T$ respeta las identidades y la composición se - concluye que $S$ también las respeta, por lo que $S$ es un funtor. $S$ es - fiel, pues para $g,g':a\to b$ en $\cD$ con $Sg=Sh$, por el diagrama, - $g=h_b\circ TSg\circ h_a^{-1}=h_b\circ TSg'\circ h_a^{-1}=g$'. Y $S$ es - plena, pues para $f:Sa\to Sb$ en $\cC$, + A partir de esta figura, de la unicidad de $Sg$ y de que $T$ respeta las + identidades y la composición, se concluye que $S$ también las respeta, por + lo que $S$ es un funtor. $S$ es fiel, pues para $g,g':a\to b$ en $\cD$ con + $Sg=Sh$, $g=h_b\circ TSg\circ h_a^{-1}=h_b\circ TSg'\circ h_a^{-1}=g$'. Y + $S$ es plena, pues para $f:Sa\to Sb$ en $\cC$, $g\coloneqq h_b\circ Tf\circ h_a^{-1}$ cumple $g\circ h_a=h_b\circ Tf$ y, por la unicidad de la figura \ref{fig:equiv-sym}, $Tf=TSg$ y $f=Sg$. @@ -362,18 +356,14 @@ objetos\cite[p. 42]{joyofcats}. \begin{enumerate} \item Toda categoría posee un esqueleto. \item Todo esqueleto de $\cC$ es equivalente a $\cC$. - \begin{proof} - La inclusión de un esqueleto de $\cC$ en $\cC$ es una - equivalencia. - \end{proof} \item Todos los esqueletos de una misma categoría son isomorfos. \begin{proof} - Sean $\cA$ y $\cB$ esqueletos de $\cC$, cada objeto de $\cC$, y - en particular cada objeto $a$ de $\cA$, es isomorfo en $\cC$ a - un único objeto $Ta$ de $\cB$ por un isomorfismo $h_a:a\to Ta$, - de forma que el funtor $T:\cA\to\cB$ definido sobre objetos de - esta forma y sobre morfismos $f:a_1\to a_2$ como en la figura - \ref{fig:skel-iso} es un isomorfismo de categorías. + Sean $\cA$ y $\cB$ esqueletos de $\cC$, cada objeto de $\cC$, y en + particular cada objeto $a$ de $\cA$, es isomorfo en $\cC$ a un único + objeto $Ta$ de $\cB$ por un isomorfismo $h_a:a\to Ta$, de forma que el + funtor $T:\cA\to\cB$ definido sobre objetos de esta forma y sobre + morfismos $f:a_1\to a_2$ como en la figura \ref{fig:skel-iso} es un + isomorfismo de categorías. \begin{figure}[H] \centering \begin{diagram} @@ -384,7 +374,7 @@ objetos\cite[p. 42]{joyofcats}. \draw[->] (A2) -- node[right]{$h_{a_2}$} (TA2); \draw[->] (A1) -- node[below]{$f$} (A2); \end{diagram} - \caption{Isomorfismo entre dos esqueletos de $\cC$} + \caption{Isomorfismo entre dos esqueletos de $\cC$.} \label{fig:skel-iso} \end{figure} \end{proof} @@ -393,7 +383,7 @@ objetos\cite[p. 42]{joyofcats}. \begin{example}\; \begin{enumerate} - \item El esqueleto de $\bSet$ es la categoría de todos los números cardinales. + \item El esqueleto de $\bSet$ es la subcategoría completa de los números cardinales. \item Si $K$ es un cuerpo no trivial, el esqueleto de $K\dash\bMat$ es el propio $K\dash\bMat$, y el de $K\dash\bVec$ está formado por los $K^m$ para todo cardinal $m$. @@ -443,30 +433,12 @@ fieles. \end{enumerate} \end{example} -% Los funtores olvidadizos no tienen por qué ser inyectivos en objetos, -% y de hecho normalmente no lo son, pero podemos estudiar lo que ocurre -% con los objetos de la categoría concreta que van a parar a la misma -% categoría base. - -% \begin{definition} -% Sean $(\cC,U)$ una categoría concreta sobre $\cB$ y $b\in\cB$: -% \begin{enumerate} -% \item La \conc{fibra} de $b$ es el conjunto de objetos -% $c\in\bOb{\cC}$ con $Uc=b$ con el preorden parcial $c\preceq d$ si -% y sólo si $1_x$ es la imagen por $U$ de un morfismo $id:c\to d$. -% \item Dos objetos $c,d\in U^{-1}(\{b\})$ son \conc{equivalentes} si -% $c\preceq d\preceq c$. -% \end{enumerate} -% \end{definition} - -% % TODO Ejemplos de la pág. 55 y el ejemplo de fibras de Mod->CRng - \section{Funtores contravariantes} -Si $T:\cC\to\cD$ es un funtor, entonces $T:\dual{\cC}\to\dual{\cD}$ -también es un funtor, y de hecho, al tomar el dual de una propiedad -con categorías y funtores, invertimos el sentido de los morfismos en -las categorías pero no entre los funtores entre dichas categorías. +Si $T:\cC\to\cD$ es un funtor, entonces $T:\dual{\cC}\to\dual{\cD}$ también es +un funtor, y de hecho, podemos tomar el dual de una propiedad sobre categorías y +funtores invirtiendo el sentido de los morfismos en las categorías pero no el de +los funtores entre dichas categorías. Sin embargo, es bastante común tener funtores de la forma $S:\dual{\cC}\to\cD$ o, equivalentemente, $S:\cC\to\dual{\cD}$. A los @@ -476,33 +448,26 @@ funtores $\dual{\cC}\to\cD$ los llamamos \conc{funtores \begin{example}\; \begin{enumerate} - \item Ya hemos visto el funtor covariante $\power:\bSet\to\bSet$ y - el funtor contravariante $\copower:\dual{\bSet}\to\bSet$ en los - apartados \ref{enu:funct-power} y \ref{enu:funct-copower} del - ejemplo \ref{ex:functors}. - \item Sea $K$ un cuerpo. $^*:\dual{K\dash\bVec}\to K\dash\bVec$ es - un funtor contravariante que a cada espacio vectorial $V$ le - asigna el \emph{espacio dual} $V^*$ de aplicaciones lineales - $V\to K$ y a cada morfismo $f:V\to U$ le asigna el morfismo - $f^*:U^*\to V^*$ dado por $f^*u\coloneqq u\circ f$. + \item Ya hemos visto el funtor covariante $\power:\bSet\to\bSet$ y el funtor + contravariante $\copower:\dual{\bSet}\to\bSet$ en los apartados + \ref{enu:funct-power} y \ref{enu:funct-copower} del ejemplo + \ref{ex:functors}. + \item Sea $K$ un cuerpo. $^*:\dual{K\dash\bVec}\to K\dash\bVec$ es un funtor + contravariante que a cada espacio vectorial $V$ le asigna el \emph{espacio + dual} $V^*$ de aplicaciones lineales $V\to K$ y a cada morfismo $f:V\to U$ + le asigna el morfismo $f^*:U^*\to V^*$ dado por $f^*u\coloneqq u\circ f$. \end{enumerate} \end{example} -% \section{Funtores hom} - -% Si $\cC$ es una categoría, podemos ver $\hom_{\cC}$ como un funtor. La -% clase de elementos de $\hom$ serán pares -% TODO Mac Lane 34, 38 - \section{Funtores hom} Si $\cC$ es una categoría con conjuntos hom pequeños, podemos intentar considerar $\hom_{\cC}:\cA\times\cB\to\bSet$ como un funtor, donde $\Ob{\cA}=\Ob{\cB}=\Ob{\cC}$. Queremos encontrar una forma <<natural>> de llevar los morfismos del dominio a los del codominio, y para ello una buena idea es -considerar primero los funtores parciales, en los que uno de los elementos de la -entrada está fijo. +fijar uno de los dos componentes y ver cómo podría ser el <<funtor parcial>> +respecto al otro. Si $\cB$ y $\cC$ son categorías cualesquiera, su producto $\cB\times\cC$ (en una categoría de categorías apropiada) es una categoría con @@ -551,28 +516,28 @@ Al primero lo llamamos \conc{funtor hom covariante}, y al segundo, \conc{funtor El producto en sí también es un bifuntor, y no solo en $\bCat$ o en $\bCAT$ sino en toda categoría que tenga productos de pares de objetos. En efecto, sea $\cC$ -tal categoría, y definimos el funtor $\times:\cC\times\cC\to\cC$ del siguiente +tal categoría, y definimos el funtor $\otimes:\cC\times\cC\to\cC$ del siguiente modo. Para objetos $a$ y $b$, $a\times b$ es un producto cualquiera de $a$ y $b$, aunque en general elegiremos un producto <<canónico>>. Para morfismos $f:a\to a'$ y $g:b\to b'$, $f\times g:a\times b\to a'\times b'$ es el único -morfismo para el que la figura \ref{fig:prod-functor} conmuta, donde $p,q,p',q'$ -son las correspondientes proyecciones. +morfismo para el que la figura \ref{fig:prod-functor} conmuta, donde los +morfismos sin etiquetar son las proyecciones. \begin{figure} \centering \begin{diagram} \path (0,2) node(A){$a$} (2,2) node(AB){$a\times b$} (4,2) node(B){$b$} (0,0) node(AP){$a'$} (2,0) node(ABP){$a'\times b'$} (4,0) node(BP){$b'$}; - \draw[->] (AB) -- node[above]{$p$} (A); - \draw[->] (AB) -- node[above]{$q$} (B); - \draw[->] (ABP) -- node[below]{$p'$} (AP); - \draw[->] (ABP) -- node[below]{$q'$} (BP); + \draw[->] (AB) -- (A); + \draw[->] (AB) -- (B); + \draw[->] (ABP) -- (AP); + \draw[->] (ABP) -- (BP); \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (AP); \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (BP); \draw[->,dotted] (AB) -- node{$f\times g$} (ABP); \end{diagram} \caption[Producto de morfismos]{Morfismo producto de $f$ y $g$. Los morfismos - $p,q,p',q'$ son las proyecciones.} + sin etiquetar son las proyecciones.} \label{fig:prod-functor} \end{figure} @@ -604,17 +569,18 @@ preservación son distintas, pero podemos definirlas de forma abstracta. \item $T$ \conc{refleja} $P$ si, cuando $P((T(o_i))_i,(T(m_j))_j)$ se cumple en $\cD$ para ciertos $o_i$ y $m_j$ de $\cC$, entonces $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ se cumple en $\cC$. - \item $T$ \conc{levanta} $P$ si, cuando $P((p_i)_i,(n_j)_j)$ se cumple en - $\cD$ para ciertos $p_i$ y $n_j$ de $\cD$, entonces existen $(o_i)_i$ y - $(m_j)_j$ de $\cC$ con cada $T(o_i)=p_i$, cada $T(m_j)=n_j$ y tal que - $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ se cumple en $\cC$. + \item $T$ \conc{levanta} $P$ (\concsuffix{de forma única}) si, cuando + $P((p_i)_i,(n_j)_j)$ se cumple en $\cD$ para ciertos $p_i$ y $n_j$ de $\cD$, + entonces existen (únicos) $(o_i)_i$ y $(m_j)_j$ de $\cC$ con cada + $T(o_i)=p_i$, cada $T(m_j)=n_j$ y tal que $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ se cumple en + $\cC$. \end{enumerate} \end{definition} El concepto de funtor, como el de función, es bastante general y por ello no es de esperar que haya muchas propiedades respetadas por todos los funtores. Sin -embargo, algunas propiedades son respetadas por todos o por muchos de ellos, -como vamos a ver. +embargo, algunas son respetadas por todos o por muchos de ellos, como vamos a +ver. \begin{proposition} Los funtores preservan isomorfismos, secciones y retracciones. @@ -645,18 +611,17 @@ Ambas condiciones de esta proposición son necesarias. Por ejemplo, la inclusió de monoides aditivos $\sNat\inTo\sInt$ vista como funtor es fiel pero no pleno, y el único morfismo de monoides $\sNat\epicTo\bOne$ es pleno pero no fiel, y ambos llevan una categoría en que la mayoría de morfismos no son secciones ni -retracciones (sólo el 0 lo es) a una en que todos los son. +retracciones (sólo el 0 lo es) a una en la que todos los son. \begin{proposition} - Los funtores hom covariantes reflejan monomorfismos y epimorfismos. + Los funtores hom covariantes reflejan monomorfismos. \end{proposition} \begin{proof} - Si $a$ un objeto de $\cC$ y $f:b\to c$ un morfismo tal que $\hom(a,f)$ es un - monomorfismo, si $f\circ h=f\circ k$, entonces $\hom(a,f)(h)=\hom(a,f)(k)$ y - por inyectividad $h=k$. + Si $a$ es un objeto de $\cC$ y $f:b\to c$ un morfismo tal que $\hom(a,f)$ es + un monomorfismo, si $f\circ h=f\circ k$, entonces $\hom(a,f)(h)=\hom(a,f)(k)$ + y por inyectividad $h=k$. \end{proof} -% TODO Todo funtor representable refleja monomorfismos y epimorfismos. \begin{proposition} Todo funtor fiel refleja monomorfismos y epimorfismos. \end{proposition} @@ -666,10 +631,6 @@ retracciones (sólo el 0 lo es) a una en que todos los son. $Tf\circ Th=Tf\circ Tk$ y $Th=Tk$, y por fidelidad $h=k$. Los epimorfismos son la propiedad dual. \end{proof} - -% TODO Preservación de -% monomorfismos/epimorfismos/secciones/retracciones por funtores, -% salvo que sea mejor hacerlo en el apartado de límites (JoC 96--103). %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "main" diff --git a/ch3_limits.tex b/ch3_limits.tex index a6ab56b..3c4a32b 100644 --- a/ch3_limits.tex +++ b/ch3_limits.tex @@ -4,7 +4,8 @@ objetos y morfismos son los puntos y flechas del diagrama, y una instanciación de ese diagrama como un funtor de dicha categoría a la categoría que nos interesa. Este capítulo estudia una serie de conceptos que nos permitirán razonar sobre propiedades algebraicas en base a diagramas, y se basa -principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y \cite[cap. III]{maclane}. +principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y +\cite[cap. III.3--4]{maclane}. \section{Diagramas} @@ -118,7 +119,7 @@ razonamientos mediante el concepto de límite. \draw[->] (KP) -- (B); \draw[->,dotted] (KP) -- node[left]{$\tilde e$} (K); \end{diagram} - \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$} + \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$.} \label{fig:equ-diagram} \end{figure} @@ -170,7 +171,7 @@ El concepto dual al de límite es el de colímite. \end{enumerate} \end{definition} -\begin{example} +\begin{example}\; \begin{enumerate} \item El coproducto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el colímite de un diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como @@ -200,7 +201,7 @@ diagrama identidad. los sumideros $(h\circ g_i:Di\to b)_i$ donde $h:c\to b$ es un isomorfismo. \end{proposition} -\section{Productos y coproductos fibrados} +\section{Productos fibrados} Los límites y colímites, al ser fuentes y sumideros, respectivamente, se pueden ver como diagramas que pueden tener a su vez un límite y un colímite. Claramente @@ -237,7 +238,7 @@ fuente. Empezamos con el primer caso, y vemos algunas definiciones. \draw[->] (X) -- (B); \draw[->,dotted] (X) -- (D); \end{diagram} - \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$} + \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$.} \label{fig:pullback} \end{figure} @@ -289,22 +290,24 @@ todas las categorías en las que dichos límites existen. \draw[->] (K) -- node[above]{$p_1\circ e$} (A); \draw[->] (K) -- node[left]{$p_2\circ e$} (B); \end{diagram} - \caption{Construcción canónica de productos fibrados} + \caption{Construcción canónica de productos fibrados.} \label{fig:pullback-canon} \end{figure} \end{proposition} \begin{proof} - Obviamente el cuadrado conmuta, y si $r:p\to b$ y $s:p\to a$ son tales que - $f\circ s=g\circ r$, entonces $f\circ p_1\circ(s,r)=g\circ p_2\circ(s,r)$ y - existe un único $h:p\to k$ tal que $(s,r)=e\circ h$ y así + Obviamente el cuadrado conmuta, y si $r:x\to b$ y $s:x\to a$ son + tales que $f\circ s=g\circ r$, existe $t:x\to a\times b$ con + $p_1\circ t=s$ y $p_2\circ t=r$, y entonces + $f\circ p_1\circ t=f\circ s=g\circ r=g\circ p_2\circ t$ y existe un + único $h:x\to k$ tal que $t=e\circ h$, con lo que $s=(p_1\circ e)\circ h$ y $r=(p_2\circ e)\circ h$. \end{proof} \begin{example} - La anterior proposición caracteriza el producto fibrado en la mayoría de - categorías como un subobjeto regular de un objeto producto. Así: + La anterior proposición permite calcular el producto fibrado en + muchas categorías comunes. \begin{enumerate} - \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, dados dos homomorfismos + \item En $\bCRng$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, dados dos homomorfismos $f:A\to C$ y $g:B\to C$, el producto fibrado de $A$ y $B$ por $C$ es el subanillo, subgrupo, submódulo o subespacio topológico, respectivamente, de $A\times B$ dado por $A\times_C B=\{ (a,b)\in A\times B\mid f(a)=g(b) \}$. @@ -345,7 +348,7 @@ inclusiones es la intersección de los dominios, lo cual podemos generalizar. \begin{proof} Sea $(b,n)$ una intersección de la familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de subobjetos de $c$ y sea $(f_i:b\to a_i)_{i\in I\sqcup\{*\}}$ el producto - fibrado correspondiente, con $f_*=n$, para $g,h:d\to b$ con + fibrado correspondiente, con $f_*=n$. Para $g,h:d\to b$ con $n\circ g=n\circ h$, $m_i\circ f_i\circ g=m_i\circ f_i\circ h$ para cada $i\in I$ y por tanto $f_i\circ g=f_i\circ h$, y por la unicidad en la definición de límite es $g=h$, con lo que $n$ es un monomorfismo. @@ -361,6 +364,8 @@ inclusiones es la intersección de los dominios, lo cual podemos generalizar. \end{enumerate} \end{example} +\section{Coproductos fibrados} + El concepto dual al producto fibrado es el coproducto fibrado. \begin{definition}\; @@ -391,7 +396,8 @@ la figura \ref{fig:pushout}. \draw[<-] (X) -- (B); \draw[<-,dotted] (X) -- (D); \end{diagram} - \caption[Coproducto fibrado]{Coproducto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$} + \caption[Coproducto fibrado]{Coproducto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y + $g$.} \label{fig:pushout} \end{figure} @@ -406,15 +412,15 @@ la figura \ref{fig:pushout}. \begin{diagram} \path (0,0) node(B){$b$} (-3,0) node(C){$d$} (-3,-3) node(A){$a$}; \path (-1.5,-1.5) node(AB){$a\oplus b$} (0,-3) node(K){$q$}; - \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (C); - \draw[->] (B) -- node[above]{$g$} (C); - \draw[->] (K) -- node[above]{$c$} (AB); - \draw[->] (AB) -- node[above]{$u_1$} (A); - \draw[->] (AB) -- node[left]{$u_2$} (B); - \draw[->] (K) -- node[below]{$u_1\circ c$} (A); - \draw[->] (K) -- node[right]{$u_2\circ c$} (B); + \draw[<-] (A) -- node[left]{$f$} (C); + \draw[<-] (B) -- node[above]{$g$} (C); + \draw[<-] (K) -- node[above]{$c$} (AB); + \draw[<-] (AB) -- node[above]{$u_1$} (A); + \draw[<-] (AB) -- node[left]{$u_2$} (B); + \draw[<-] (K) -- node[below]{$c\circ u_1$} (A); + \draw[<-] (K) -- node[right]{$c\circ u_2$} (B); \end{diagram} - \caption{Construcción canónica de coproductos fibrados} + \caption{Construcción canónica de coproductos fibrados.} \label{fig:pushout-canon} \end{figure} \end{proposition} @@ -425,8 +431,11 @@ la figura \ref{fig:pushout}. fibrado de $A$ y $B$ por $D$ es el conjunto cociente de $A\sqcup B$ por la menor relación de equivalencia que identifica $f(d)$ con $g(d)$ para cada $d\in D$. - \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, el coproducto se obtiene - de manera similar. + \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, el coproducto fibrado se + obtiene de manera similar. + \item La unión de espacios topológicos por un punto se puede expresar como el + coproducto fibrado respecto a $\{*\}$ en $\bTop$ o como el coproducto + convencional en $\bTop_*$. \item En una categoría fina, un coproducto fibrado es un coproducto convencional. \item El concepto dual de la intersección es el de \conc{cointersección} de @@ -441,14 +450,17 @@ la figura \ref{fig:pushout}. \section{Completitud} -Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos, pero -todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta depende del caso; por -ejemplo, en $\bSet$ todos los productos existen, pero en una categoría discreta -no existe el producto de dos o más elementos distintos, y en conjuntos -parcialmente ordenados puede haber pares de elementos que tengan producto y -otros que no. Se podría pensar entonces que caracterizar la existencia de -límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente compleja, pero de -hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación. +Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos salvo +isomorfismo, pero todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta +depende del caso; por ejemplo, en $\bSet$ todos los productos existen, pero en +una categoría discreta no existe el producto de dos o más elementos distintos, y +en conjuntos parcialmente ordenados puede haber pares de elementos que tengan +producto y otros que no. Se podría pensar entonces que caracterizar la +existencia de límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente +compleja, pero de hecho esta se puede reducir a la existencia de ciertos tipos +de límites, como veremos a continuación. + +Por brevedad no vemos los casos duales, aunque estos se pueden deducir fácilmente. \begin{definition} Sea $\cC$ una categoría: @@ -467,6 +479,8 @@ hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación. \end{enumerate} \end{definition} +El concepto dual de la completitud es la cocompletitud. + \begin{theorem} Para una categoría $\cC$, son equivalentes: \begin{enumerate} @@ -479,34 +493,41 @@ hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación. (\ref{enu:lim-complete})$\implies$(\ref{enu:lim-prodint}) es obvio. Veamos (\ref{enu:lim-prodint})$\implies$(\ref{enu:lim-prodeq}). Si $\cC$ tiene - productos e intersecciones finitas, sean $f,g:a\to b$, existe $a\times b$ y - $(a,(1_a,f))$ y $(a,(1_a,g))$ son subobjetos de $a\times b$ con una cierta - intersección $(k,n)$. Sean entonces $p_1:a\times b\to a$ y - $p_2:a\times b\to b$ las proyecciones canónicas y $e_1,e_2:k\to a$ tales que - $n=(1_a,f)\circ e_1=(1_a,g)\circ e_2$, y queremos ver que $e_1=p_1\circ n=e_2$ - es un núcleo de $f$ y $g$. Pero $f\circ e_1=p_2\circ n=g\circ e_2=g\circ e_1$, - y si $e':k'\to a$ cumple $f\circ e'=g\circ e'$, entonces es fácil ver que - $(1_a,f)\circ e'=(1_a,g)\circ e'$, y por la definición de intersección existe + productos e intersecciones finitas, para $f,g:a\to b$, existe $a\times + b$. Sean entonces $p_1:a\times b\to a$ y $p_2:a\times b\to b$ las proyecciones + canónicas y $\hat f,\hat g:a\monicTo a\times b$ los únicos morfismos con + $p_1\circ\hat f=p_2\circ\hat f=1_a$, $p_2\circ\hat f=f$ y $p_2\circ\hat g=g$, + que claramente son monomorfismos, los subobjetos $(a,\hat f)$ y $(a,\hat g)$ + de $a\times b$ tienen una intersección $(k,n)$. Sean entonces $e_1,e_2:k\to a$ + tales que $n=\hat f\circ e_1=\hat g\circ e_2$, y queremos ver que + $e_1=p_1\circ\hat f\circ e_1=p_1\circ\hat g\circ e_2=e_2$ es un núcleo de $f$ + y $g$. Pero $f\circ e_1=p_2\circ n=g\circ e_2=g\circ e_1$, y si $e':k'\to a$ + cumple $f\circ e'=g\circ e'$, entonces es fácil ver que + $\hat f\circ e'=\hat g\circ e'$, y por la definición de intersección existe un único $h:k'\to k$ con $e'=e_1\circ h$. - Queda por probar (\ref{enu:lim-prodeq})$\implies$\ref{enu:lim-complete}. Si - $D:\cS\to\cC$ un diagrama pequeño y $\cC$ tiene productos y núcleos, existen - los productos $(p_j:O\coloneqq\prod_{i\in\Ob{\cS}}Di\to Dj)_{j\in\Ob{\cS}}$ y + Queda por probar (\ref{enu:lim-prodeq})$\implies$(\ref{enu:lim-complete}). Si + $D:\cS\to\cC$ es un diagrama pequeño y $\cC$ tiene productos y núcleos, + existen los productos + $(p_j:O\coloneqq\prod_{i\in\Ob{\cS}}Di\to Dj)_{j\in\Ob{\cS}}$ y $(\pi_s:C\coloneqq\prod_{t\in\Mor{\cS}}D(\cod t)\to D(\cod - s))_{s\in\Mor{\cS}}$. Además, si tomamos - $p_{\cod t},Dt\circ p_{\dom t}:O\to D(\cod t)$ para cada $t\in\Mor{\cS}$, el - par de morfismos - $\hat c\coloneqq(p_{\cod t})_{t\in\Mor{\cS}},\hat d\coloneqq(Dt\circ p_{\dom - t})_{t\in\Mor{\cS}}:O\to M$ tiene un núcleo $e:k\to O$, y queremos ver que - $(p_i\circ e:E\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es límite de $D$. En primer lugar, para - cada $s:i\to j$ en $\cS$, - $p_i\circ e=p_{\cod s}\circ e=\pi_s\circ\hat c\circ e=\pi_s\circ\hat d\circ - e=Ds\circ p_{\dom t}\circ e=Ds\circ(p_i\circ e)$. En segundo lugar, si - $(f_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es otra fuente tal que $f_j=Ds\circ f_i$ para - todo $s:i\to j$ en $\cS$, sea $\hat f\coloneqq(f_i)_{i\in\Ob{\cS}}:x\to O$, - para $s:i\to j$ en $\cS$, - $\pi_s\circ\hat c\circ\hat f=p_j\circ\hat f=f_j=Ds\circ f_i=Ds\circ - p_i\circ\hat f=\pi_s\circ\hat d\circ\hat f$, y como esto se da para todo $s$, + s))_{s\in\Mor{\cS}}$. Tomando $p_{\cod t},Dt\circ p_{\dom t}:O\to D(\cod t)$ + para cada $t\in\Mor{\cS}$, el par de morfismos $\hat c,\hat d:O\to M$ dados + por $\pi_t\circ\hat c\coloneqq p_{\cod t}$ y + $\pi_t\circ\hat d\coloneqq Dt\circ p_{\dom t}$ tiene un núcleo $e:k\to O$, y + queremos ver que $(p_i\circ e:E\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es límite de $D$. En + primer lugar, para cada $s:i\to j$ en $\cS$, + \[ + p_j\circ e=\pi_s\circ\hat c\circ e=\pi_s\circ\hat d\circ e=Ds\circ p_i\circ e. + \] + En segundo lugar, si $(f_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es otra fuente tal que + $f_j=Ds\circ f_i$ para todo $s:i\to j$ en $\cS$, sea $\hat f:x\to O$ dada por + $p_i\circ\hat f\coloneqq f_i$, para $s:i\to j$ en $\cS$, + \[ + \pi_s\circ\hat c\circ\hat f=p_j\circ\hat f=f_j=Ds\circ f_i=Ds\circ + p_i\circ\hat f=\pi_s\circ\hat d\circ\hat f, + \] + y como esto se da para todo $s$, por definición de producto, $\hat c\circ\hat f=\hat d\circ\hat f$, pero por definición de núcleo, existe un único $g:x\to k$ con $\hat f=e\circ g$, de modo que $f_i=p_i\circ e\circ g$ para cada $i$ y $g$ es el único morfismo con @@ -536,23 +557,21 @@ Para el caso finito tenemos una propiedad similar. producto de una familia vacía es un objeto terminal, los de una unipuntual siempre existen y los de dos objetos son productos fibrados respecto a un objeto terminal, y basta usar la asociatividad del producto. Además, una - intersección de una familia vacía es un morfismo identidad, la de un sólo + intersección de una familia vacía es el subobjeto total, la de un sólo subobjeto es el propio subobjeto, la de dos subobjetos es un producto fibrado y es fácil ver que, si $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$ son subobjetos de $c$ con $n>2$, $(b,q)$ es intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_{n-1},m_{n-1})$ y - $(b',q')$ es intersección de $(b,q)$ y $(a_n,m_n)$, entonces $(b',q')$ es + $(b',q')$ es intersección de $(b,q)$ y de $(a_n,m_n)$, entonces $(b',q')$ es intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$. \end{proof} -El dual de una categoría completa es una categoría \emph{cocompleta}, y -análogamente se define tener colímites, coproductos, conúcleos, etc. - \begin{example}\; \begin{enumerate} \item Las categorías $\bSet$, $R\dash\bMod$, $\bTop$, $\bOrd$ y $\bGrp$ tienen - productos y núcleos, por lo que son completas. + productos y núcleos, por lo que son completas.\pagebreak \item Un conjunto pequeño parcialmente ordenado visto como categoría es - completo si y sólo si es un retículo completo, si y sólo si es cocompleto. + completo si y sólo si es un retículo completo, si y sólo si es + cocompleto.\nopagebreak \begin{proof} Sea $(C,\leq)$ este conjunto. Claramente, si $(C,\leq)$ es un retículo completo, es una categoría completa y cocompleta, pues tiene productos y @@ -575,22 +594,18 @@ análogamente se define tener colímites, coproductos, conúcleos, etc. \section{Preservación por funtores} -En esta sección estudiamos si los funtores conservan los límites y colímites, o +En esta sección estudiamos si los funtores respetan los límites y colímites, o más precisamente, qué funtores preservan qué límites y qué colímites, y qué nos dice eso. -El concepto de <<conservar límites>> se puede entender de varias formas. Una es -que la imagen conserve el límite, es decir, que al aplicar el funtor a un límite -de un diagrama, se obtiene uno de la composición del diagrama con el funtor. Sin -embargo, el que la preimagen lo conserve no es tan fácil de definir. Por -ejemplo, se puede hablar de que, si la composición del diagrama con el funtor -tiene un límite, entonces todas las preimágenes del límite son límites, o al -menos una lo es, o si simplemente esto implica que el diagrama original tiene -límite pero este no tiene que estar en la preimagen. +Como sabemos, el concepto de respetar una propiedad es ambiguo, y podemos hablar +de que la preserva, la refleja, etc. A continuación formalizamos las formas en +que un funtor puede respetar un límite y estudiamos sus relaciones. Algunas de +estas definiciones son redundantes porque ya se han definido para propiedades, +pero las definimos también para límites por claridad. -A continuación formalizamos estos conceptos y estudiamos su relación. Por -brevedad, nos enfocamos en los conceptos relativos a límites, pero los conceptos -duales se obtienen fácilmente. +Por brevedad nos enfocamos en los conceptos relativos a límites, pero los +conceptos y las propiedades duales se deducen fácilmente. \begin{definition} Un funtor $F:\cC\to\cD$ \conc{preserva} un límite $(f_i:L\to Di)_i$ de un @@ -624,16 +639,16 @@ duales se obtienen fácilmente. Sea $(f_i:l\to Di)_i$ un límite de $D:\cS\to\cC$, y sea $(g_i:x\to FDi)_i$ una fuente conmutativa al diagrama $F\circ D$, donde $F:\cC\to\bSet$ es el funtor olvidadizo. Si $\hat x\in\Ob{\cC}$ es el objeto libre asociado a - $x$ y $u:x\to F\hat x$ es la función asociada, entonces para cada $i$ + $x$ por la función $u:x\to F\hat x$, entonces para cada $i$ existe ${\hat g}_i:\hat x\to Di$ con $g_i=F{\hat g}_i\circ u$, pero por hipótesis existe un único $h:\hat x\to l$ con cada ${\hat g}_i=f_i\circ h$, con lo que $g_i=Ff_i\circ(Fh\circ u)$. La unicidad de $Fh\circ u$ es clara si $u$ es inyectiva, lo que ocurre si $\cC$ tiene algún objeto que, como conjunto, tiene al menos 2 elementos, - pero si este no es el caso sólo hay como mucho una función $x\to l$. + pero si este no es el caso sólo existe una función $x\to l$ a lo sumo. \end{proof} \item En $\bGrp$, $\bRing$ y $\bVec$, los funtores - olvidadizos preservan límites pero no coproductos ni conúcleos. + olvidadizos preservan límites, pero no coproductos ni conúcleos. \begin{proof} La preservación de límites es por el apartado anterior. Para los coproductos, el coproducto en estas categorías es la suma directa y en @@ -650,12 +665,13 @@ duales se obtienen fácilmente. \end{proof} \item Los funtores hom preservan límites. \begin{proof} - Sean $F=\hom(c,-):\cC\to\bSet$ un funtor hom, $(f_i:l\to Di)_i$ un límite - de $D:\cS\to\cC$ y $(g_i:X\to\hom(c,Di))_i$ una fuente en $\bSet$ que - conmuta con $F\circ D$. Para cada $x\in X$, $(g_i(x):c\to Di)_i$ es una - fuente en $\cC$ que conmuta con $D$, por lo que existe un único morfismo - $\hat g(x):c\to l$ con cada $g_i(x)=f_i\circ\hat g(x)$ y así - $\hat g:X\to\hom(c,l)$ es la única función con $g_i=f_i\circ\hat g$. + Sean $c\in\Ob{\cC}$,$F\coloneqq\hom(c,-):\cC\to\bSet$, $(f_i:l\to Di)_i$ + un límite de $D:\cS\to\cC$ y $(g_i:X\to\hom(c,Di))_i$ una fuente en + $\bSet$ que conmuta con $F\circ D$. Para cada $x\in X$, + $(g_i(x):c\to Di)_i$ es una fuente en $\cC$ que conmuta con $D$, por lo + que existe un único morfismo $\hat g(x):c\to l$ con cada + $g_i(x)=f_i\circ\hat g(x)$ y así $\hat g:X\to\hom(c,l)$ es la única + función con $g_i=f_i\circ\hat g$. \end{proof} \item El funtor potencia $\power:\bSet\to\bSet$ no preserva productos, coproductos, núcleos ni conúcleos. @@ -663,7 +679,8 @@ duales se obtienen fácilmente. \end{example} Las propiedades de completitud y cocompletitud se pueden usar a la hora de -determinar si un determinado funtor preserva límites. +determinar si un determinado funtor preserva límites, como vemos en las +siguientes proposiciones fáciles de probar. \begin{proposition} Si $\cC$ es finitamente completa, un funtor $F:\cC\to\cD$ preserva límites @@ -682,8 +699,8 @@ determinar si un determinado funtor preserva límites. \end{proposition} \begin{proof} Claramente conserva monomorfismos regulares ya que conserva núcleos, y - claramente un morfismo $f$ es un monomorfismo si y sólo si $(1,1)$ es producto - fibrado de $(f,f)$ como se muestra en la figura \ref{fig:monic-pullback}. + claramente un morfismo $f$ es un monomorfismo si y sólo si la figura + \ref{fig:monic-pullback} muestra un producto fibrado. \begin{figure} \centering \begin{diagram} @@ -694,7 +711,7 @@ determinar si un determinado funtor preserva límites. \draw[->] (I1) -- node[below]{$f$} (B); \draw[->] (I2) -- node[right]{$f$} (B); \end{diagram} - \caption{Caracterización de un monomorfismo por producto fibrado} + \caption{Caracterización de un monomorfismo por producto fibrado.} \label{fig:monic-pullback} \end{figure} \end{proof} @@ -732,15 +749,15 @@ son ciertos, como vemos a continuación. $f_i\circ\mu_p=t_{pi}=\nu_p\circ(f_i\times\dots\times f_i)$. Pero esta es precisamente la condición para que cada $f_i$ sea un homomorfismo $(L,(\mu_1,\dots,\mu_n))\to Di$, con lo que la fuente existe y es - única. Que las operaciones $\mu_p$ respetan las igualdades se debe, al - componerlas con cada $f_i$, las operaciones resultantes en términos de las - $\nu_{pi}$ las respetan, y por la unicidad en la definición del límite en - $\bSet$. - - Para ver que es un límite, si $(g_i:(X,\gamma)\to Di)_i$ es otra fuente - que conmuta con $D$, $(Fg_i)_i$ conmuta con $F\circ D$ y por tanto existe - una única función $h:X\to L$ con cada $g_i=f_i\circ h$, y queda ver que - $h$ es un homomorfismo. Pero para cada $p$ y cada $i$, usando que los + única. Que las operaciones $\mu_p$ respetan las igualdades en $E$ se debe + a que, al componerlas con cada $f_i$, las operaciones resultantes en + términos de las $\nu_{pi}$ las respetan, y a la unicidad en la definición + del límite en $\bSet$. + + Para ver que la fuente es un límite, si $(g_i:(X,\gamma)\to Di)_i$ es otra + fuente que conmuta con $D$, $(Fg_i)_i$ conmuta con $F\circ D$ y por tanto + existe una única función $h:X\to L$ con cada $g_i=f_i\circ h$, y queda ver + que $h$ es un homomorfismo. Pero para cada $p$ y cada $i$, usando que los $g_i$ son homomorfismos, \begin{multline*} f_i\circ h\circ\gamma_p = g_i\circ\gamma_p @@ -750,12 +767,14 @@ son ciertos, como vemos a continuación. \end{multline*} y como $(f_i)_i$ es un límite, $h\circ\gamma_p=\mu_p\circ(h\times\dots\times h)$, lo que termina la - prueba. El caso de $R\dash\bMod$ se puede reducir a este último - convirtiendo el producto por elementos de $R$ una cantidad potencialmente - infinita de operaciones de aridad 1 en el módulo y convirtiendo cada - instancia de una propiedad de este producto en una igualdad en la lista de - igualdades, y usando que esta prueba no depende de que el número de - operaciones e igualdades sea finito. + prueba. + + El caso de $R\dash\bMod$ se puede reducir al anterior convirtiendo el + producto por elementos de $R$ una cantidad potencialmente infinita de + operaciones de aridad 1 en el módulo y convirtiendo cada instancia de una + propiedad de este producto en una igualdad en la lista de igualdades, y + usando que esta prueba no depende de que el número de operaciones e + igualdades sea finito. \end{proof} \item Los funtores olvidadizos de $\bTop$ y $\bGrph$ a $\bSet$ levantan límites y colímites de forma única, pero no los crean. @@ -768,8 +787,7 @@ son ciertos, como vemos a continuación. o colímites que son preimagen del correspondiente en $\bSet$ por el funtor, pero en general hay más fuentes o sumideros que también son preimagen, por ejemplo tomando la topología discreta, la indiscreta, el - grafo discreto y el grafo total (completo con ejes reflexivos), - respectivamente. + grafo discreto y el grafo completo, respectivamente. \end{proof} \item El funtor olvidadizo de $\bMetc$ levanta límites finitos, pero no de forma única. @@ -823,10 +841,17 @@ son ciertos, como vemos a continuación. \end{enumerate} \end{proposition} -Otros tipos de relaciones no tienen por qué darse. Por ejemplo, el funtor -olvidadizo $\bTop\to\bSet$ levanta límites de forma única pero no los refleja, y -un funtor biyectivo en objetos que lleva una categoría discreta a una no -discreta refleja límites pero no los levanta ni los detecta. +\begin{example} + No hay una relación de implicación entre los conceptos de levantar límites y + reflejarlos, como vemos en estos ejemplos. + \begin{enumerate} + \item El funtor olvidadizo $\bTop\to\bSet$ levanta límites de forma única pero + no los refleja. + \item Un funtor biyectivo en objetos que lleva una categoría discreta a una no + discreta refleja límites pero no los levanta ni los detecta. + \end{enumerate} +\end{example} + %%% Local Variables: %%% mode: latex @@ -9,8 +9,7 @@ \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \setlength{\headheight}{16pt} -% \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} -% \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\fullwidthdisplay}{} % Bibliography \usepackage[autolang=hyphen]{biblatex} |