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diff --git a/ch3_limits.tex b/ch3_limits.tex index ea679e4..afe01f4 100644 --- a/ch3_limits.tex +++ b/ch3_limits.tex @@ -6,6 +6,8 @@ interesa. Este capítulo estudia una serie de conceptos que nos permitirán razonar sobre propiedades algebraicas en base a diagramas, y se basa principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y \cite[cap. III]{maclane}. +\section{Diagramas} + \begin{definition} Una categoría es \conc{finita} si lo son su conjunto de objetos y su conjunto de morfismos. @@ -72,7 +74,7 @@ razonamientos mediante el concepto de límite. \begin{definition} Un \conc{límite} de un diagrama $D:\cS\to\cC$ es una fuente - $(f_i:c\to Di)_{i\in\Ob{S}}$ en $\cC$ tal que: + $(f_i:d\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ en $\cC$ tal que: \begin{enumerate} \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $f_j = Ds \circ f_i$, es decir, el diagrama \ref{fig:nat-source} conmuta. @@ -88,9 +90,9 @@ razonamientos mediante el concepto de límite. una fuente $(f_i)_i$ respecto a un diagrama $D$.} \label{fig:nat-source} \end{figure} - \item Para cualquier otra fuente $(g_i:x\to D_i)_{i\in\Ob{s}}$ con esta - propiedad, existe un único $s:x\to c$ con $g_i=f_i\circ s$ para cada - $i\in\Ob{S}$. + \item Para cualquier otra fuente $(g_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ con esta + propiedad, existe un único $s:x\to d$ con $g_i=f_i\circ s$ para cada + $i\in\Ob{\cS}$. \end{enumerate} \end{definition} @@ -100,17 +102,234 @@ razonamientos mediante el concepto de límite. diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como categoría discreta le asocia $a_i$. \item El núcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el límite de - un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyo par de morfismos no identidad va a parar - a $f$ y $g$. Esta situación se muestra en la figura \ref{fig:equ-diagram}. + un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyos dos morfismos no identidad van a parar a + $f$ y $g$, o más precisamente es el morfismo de este límite que va a parar a + $a$. Esta situación se muestra en la figura \ref{fig:equ-diagram}. \begin{figure} \centering - % TODO ver mi pizarra + \begin{diagram}[scale=1.5] + \path (0,0) node(A){$a$} (2,0) node(B){$b$} + (1,{sqrt(3)/2}) node(K){$k$} (1,{1.5*sqrt(3)}) node(KP){$k'$}; + \draw[->] (A.15) -- node[above]{$f$} (B.165); + \draw[->] (A.345) -- node[below]{$g$} (B.195); + \draw[->] (K) -- node[above]{$e$} (A); + \draw[->] (K) -- (B); + \draw[->] (KP) -- node[left]{$e'$} (A); + \draw[->] (KP) -- (B); + \draw[->,dotted] (KP) -- node[left]{$\tilde e$} (K); + \end{diagram} \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$} \label{fig:equ-diagram} \end{figure} + + Si en vez de dos flechas tenemos un número arbitrario de flechas hablamos de + \conc{multi-núcleos}. + \item Una fuente $(f_c:s\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ es un límite del diagrama + identidad $1_\cC:\cC\to\cC$ si y sólo si $s$ es un objeto inicial de $\cC$. + \begin{proof} + Si $s$ es inicial, $(f_c)_c$ conmuta respecto al diagrama identidad y, + para cualquier otra fuente $(g_c:t\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ que también + conmuta y cada objeto $c$, $g_c=f_c\circ g_s$. Recíprocamente, si + $(f_c)_c$ es un límite del diagrama identidad y $h:s\to c$ un morfismo + arbitrario, $h\circ f_s=f_c$ y en particular + $f_c\circ f_s=f_c=f_c\circ 1_s$, con lo que tanto $f_s$ como $1_s$ llevan + la fuente $(f_c)_c$ a $(f_c)_c$ y, por la unicidad en la definición de + límite, $f_s=1_s$, de modo que $h=f_c$ y $s$ es inicial. + \end{proof} + \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama y $s\in\Ob{\cS}$ es inicial, entonces + $D$ tiene límite $(Ds\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{proposition} + El límite es esencialmente único, es decir, si $(f_i:d\to Di)_i$ es un límite + de un diagrama $D:\cS\to\cC$, el resto de límites son precisamente las fuentes + $(f_i\circ h:b\to Di)_i$ donde $h:b\to d$ es un isomorfismo. +\end{proposition} +\begin{proof} + Es fácil ver que las fuentes de esta forma son límites de $D$. Para el + recíproco, si $(g_i:b\to Di)_i$ es otro límite de $D$, existe $h:b\to d$ con + cada $g_i=f_i\circ h$ y $k:d\to b$ con cada $f_i=g_i\circ k$, pero entonces + cada $f_i=f_i\circ h\circ k=f_i\circ 1_d$ y, por la unicidad en la definición + de límite, $h\circ k=1_d$, y análogamente $k\circ h=1_b$, luego $h$ es un + isomorfismo. +\end{proof} + +\section{Colímites} + +El concepto dual al de límite es el de colímite. + +\begin{definition} + Un sumidero $(g_i: Di\to c)_{i\in\Ob{\cS}}$ es un \conc{colímite} de un + diagrama $D:\cS\to\cC$ si: + \begin{enumerate} + \item Para cada $s:i\to j$ en $\cS$, $g_j=g_i\circ Ds$. + \item Para cualquier otro sumidero $(h_i:Di\to x)_{i\in\Ob{\cS}}$ con esta + propiedad, existe un único $s:c\to x$ con $h_i=s\circ g_i$ para cada + $i\in\Ob{\cS}$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example} + \begin{enumerate} + \item El coproducto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el colímite de + un diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como + categoría discreta le asocia $a_i$. + \item El conúcleo de un par de morfismos $f,g:a\to b$ en $\cC$ es el colímite + de un diagrama $D:\bDDown\to\cC$ cuyos dos morfismos no identidad van a + parar a $f$ y $g$, o más precisamente es el morfismo de este colímite que va + a parar a $b$. + + Si en vez de dos flechas tenemos un número arbitrario hablamos de + \conc{multi-conúcleos}. + \item Un sumidero $(f_c:s\to c)_{c\in\Ob{\cC}}$ es un colímite del diagrama + identidad en $\cC$ si y sólo si $s$ es un objeto final de $\cC$. + \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama y $t\in\Ob{\cS}$ es final, entonces $D$ + tiene colímite $(Di\to Ds)_{i\in\Ob{\cS}}$. + \end{enumerate} +\end{example} + +Vemos así que un objeto inicial es lo mismo que un colímite del diagrama vacío +(con esquema $\bZero$) y que un límite del diagrama identidad, mientras que un +objeto final es lo mismo que un límite del diagrama vacío y que un colímite del +diagrama identidad. + +\begin{proposition} + El colímite es esencialmente único, es decir, si $(g_i:Di\to c)_i$ es un + colímite de un diagrama $D:\cS\to\cC$, el resto de colímites son precisamente + los sumideros $(h\circ g_i:Di\to b)_i$ donde $h:c\to b$ es un isomorfismo. +\end{proposition} + +\section{Productos y coproductos fibrados} + +Cabe preguntarse si la unión y la intersección de conjuntos se pueden +generalizar en términos categóricos. En el caso general esto parece improbable, +pues la visión categórica de la teoría de conjuntos se abstrae de los elementos +concretos. Sin embargo, la unión e intersección de conjuntos arbitrarios es poco +frecuente, y en general estas operaciones se usan entre subconjuntos de un mismo +conjunto base o universo de discurso. En este caso podemos definir la unión y +la intersección según propiedades de subobjetos. + +\begin{definition} + Sean $M$ una colección de monomorfismos, $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ una + colección de $M$-subobjetos de un objeto $b$ y $(c,n)$ un $M$-subobjeto de + $b$. + \begin{enumerate} + \item $(c,n)$ es una \conc{intersección} de los $(a_i,m_i)$ si + $(c,n)\leq(a_i,m_i)$ para todo $i\in I$ y, para cualquier $h:d\to b$ para el + que existen $(g_i:d\to a_i)_{i\in I}$ con $h=m_i\circ g_i$, existe + $g':d\to c$ con $h=n\circ g'$. + \item $(c,n)$ es una \conc{unión} de los $(a_i,m_i)$ si $(a_i,m_i)\leq(c,n)$ + para todo $i\in I$ y, para cualquier $h:d\to b$ para el que existen + $(c',n')$ de $b$ + con esta propiedad, $(c,n)\leq(c',n')$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +En general, $M$ será la clase de todos los monomorfismos de la categoría, por lo +que la unión e intersección serán únicas salvo isomorfismo. + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item La intersección de una familia vacía de subobjetos es el objeto + total. Si existe un objeto inicial y todos los morfismos que parten de él + son monomorfismos, entonces este es la unión de una familia vacía. + \item En $\bSet$, la unión e intersección de subobjetos coinciden + con las habituales, salvo isomorfismo. + \begin{proof} + Sean $\{A_i\}_{i\in I}$ un conjunto de subobjetos en $\bSet$ del conjunto + $B$, que podemos suponer por isomorfismo que son subconjuntos de $B$. Para + la intersección, si $C$ es un conjunto y $g:C\to B$ y $f_i:C\to A_i$ son + monomorfismos con $g=u_i\circ f_i$ para cada $i$, siendo $u_i:A_i\to B$ la + inclusión, entonces $\Img{g}\subseteq A_i$ para cada $i$ y por tanto + podemos tomar la restricción $g:C\to\bigcap_{i\in I}A_i$. Para la unión, + si $C$ es un conjunto y $f_i:A_i\to C$ y $g:C\to B$ son monomorfismos con + $g\circ f_i=u_i$ para cada $i$, para $i,j\in I$ y $x\in A_i\cap A_j$ es + $g(f_i(x))=x=g(f_j(x))$ y por tanto $f_i(x)=f_j(x)$, con lo que podemos + definir el monomorfismo $\hat f:\bigcup_{i\in I}A_i\to C$ de modo que + $f(x)=f_i(x)$ para cada $x\in A_i$ y cada $i\in I$ y se cumple que + $g\circ\hat f$ es la inclusión. + \end{proof} + \item En $\bVec$, la intersección es la intersección de subespacios y la unión + es la suma de subespacios. \end{enumerate} \end{example} +La intersección de dos objetos se puede ver como un límite. + +\begin{definition}\; + \begin{enumerate} + \item Un \conc{producto fibrado múltiple} es un límite de un + sumidero. + \item Un \conc{producto fibrado} es un límite de un diagrama con esquema + ($\bullet\to\bullet\leftarrow\bullet$), es decir, de un sumidero de tamaño + 2. Si los dos morfismos no identidad del esquema van a parar a $f:a\to c$ y + $g:b\to c$, llamamos producto fibrado de $a$ y $b$ por $c$ (respecto a $f$ y + $g$), $a\times_cb$, a dicho límite. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{proposition} + Dados una familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de subobjetos de un objeto $c$ y un + morfismo $n:b\to c$, $(b,n)$ es una intersección de los $(a_i,m_i)$ si y sólo + si $b$ es producto fibrado múltiple de $(m_i:a_i\to c)_i$ y $n$ es el morfismo + $b\to c$ asociado. +\end{proposition} +\begin{proof} + Supongamos que el sumidero tiene producto fibrado múltiple + $(f_i:b\to a_i)_{i\in I\sqcup\{*\}}$ con $f_*=n:b\to c$. Si $g,h:d\to b$ + cumplen $n\circ g=n\circ h$, entonces + $m_i\circ f_i\circ g=m_i\circ f_i\circ g$ y por tanto $f_i\circ g=f_i\circ h$, + y por unicidad al factorizar por un límite es $g=h$, de modo que $n$ es un + monomorfismo y $(b,n)$ es una intersección. Recíprocamente, si $(b,n)$ es + intersección de los $(a_i,m_i)$ y, para cada $i$, $f_i:b\to a_i$ es un + monomorfismo con $n=m_i\circ f_i$, entonces %TODO +\end{proof} + +Los productos fibrados se suelen representar con un cuadrado como el de la +figura \ref{fig:pullback}, pues la flecha $d\to c$ es superflua. Este cuadrado +se llama \conc{cuadrado cartesiano}. + +\begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,0) node(A){$a$} (2,2) node(B){$b$} (2,0) node(C){$c$} + (0,2) node(D){$a\times_cb$} (-1,3) node(X){$x$}; + \draw[->] (A) -- node[below]{$f$} (C); + \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (C); + \draw[->] (D) -- node[right]{$\overline g$} (A); + \draw[->] (D) -- node[below]{$\overline f$} (B); + \draw[->] (X) -- (A); + \draw[->] (X) -- (B); + \draw[->,dotted] (X) -- (D); + \end{diagram} + \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$} + \label{fig:pullback} +\end{figure} + +% TODO Ejemplos de productos fibrados (ver Riehl p.79 y Wikipedia) + +\section{Completitud y cocompletitud} + +Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos, pero +todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta depende del caso; por +ejemplo, en $\bSet$ todos los productos existen, pero en una categoría discreta +no existe el producto de dos o más elementos distintos, y en conjuntos +parcialmente ordenados puede haber pares de elementos que tengan producto y +otros que no. Se podría pensar entonces que caracterizar la existencia de +límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente compleja, pero de +hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación. + +\begin{definition} + Una categoría $\cC$ \conc{tiene límites} o es \conc{completa} si todos los + diagramas pequeños en $\cC$ tienen límite. $\cC$ \conc{tiene productos} si + todas las familias pequeñas de objetos de $\cC$ tienen producto, y \conc{tiene + núcleos} si todo par de morfismos con dominio y codominio común tiene un + núcleo. +\end{definition} + +% TODO Primeros dos teoremas del tema 12 de Joy of Cats + %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "main" |