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Buena parte del poder de la teoría de categorías se deriva de su reflexividad:
las categorías son estructuras algebraicas y, como tales, es posible estudiarlas
usando teoría de categorías. Para ello primero debemos ver cuáles son los
morfismos entre categorías, los llamados \emph{funtores}. Este capítulo se basa
principalmente en \cite[pp. 21--32 y cap. 7]{joyofcats} y
\cite[pp. 13--15]{maclane}.

\begin{definition}
  Un \conc{funtor} entre dos categorías $\cC$ y $\cD$ es un par de funciones
  $T=(o:\Ob{\cC}\to\Ob{\cD},m:\Mor{\cC}\to\Mor{\cD})$ que preserva el dominio, el
  codominio, las identidades y la composición, es decir, tal que:
  \begin{enumerate}
  \item Para cada morfismo $f:a\to b$ en $\cC$, $mf:oa\to ob$ en $\cD$.
  \item Para $f:a\to b$ y $g:b\to c$ en $\cC$, $m(g\circ f)=mg\circ mf$.
  \item Para cada objeto $c$ de $\cC$, $m(1_a)=1_{oa}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

La última condición determina unívocamente la función sobre los objetos a partir
de la función sobre los morfismos, por lo que la primera es redundante. Si $\cC$
y $\cD$ son categorías, escribimos $T:\cC\to\cD$ para decir que $T$ es un funtor
de $\cC$ a $\cD$, y usamos $T$ para referirnos indistintamente al funtor, a la
función sobre los objetos y a la función sobre los morfismos.

\begin{example}\label{ex:functors}\;
  \begin{enumerate}
  \item Toda categoría $\cC$ admite un \conc{funtor identidad} $1_\cC:\cC\to\cC$
    que asocia a cada objeto o morfismo el propio objeto o morfismo.
  \item Dadas dos categorías $\cC$ y $\cD$ y $d\in\Ob{\cD}$, existe un
    \conc{funtor constante} $C_d:\cC\to\cD$ que lleva todos los morfismos a $1_d$.
  \item Un funtor entre dos conjuntos, conjuntos preordenados o monoides vistos
    como categorías es precisamente un morfismo en $\bSet$, $\bPrord$ o $\bMon$,
    respectivamente.
  \item Si $\cB$ es una subcategoría de $\cC$, existe un \conc{funtor inclusión}
    $u:\cB\to\cC$ que envía cada objeto y morfismo de $\cB$ a sí mismo en $\cC$.
  \item \label{enu:funct-power} La operación \emph{conjunto potencia} es un
    funtor $\power:\bSet\to\bSet$, que lleva cada función $f:A\to B$ a la
    función $(\power f)(S)\coloneqq f[S]$, que asocia a cada subconjunto de $A$
    su \emph{imagen} por $f$.
  \item \label{enu:funct-copower} De forma similar podemos definir el
    funtor \conc{conjunto potencia contravariante},
    $\copower:\bSet\to\dual{\bSet}$, que lleva un conjunto $S$ a su
    potencia $\power{S}$ y una función $f:A\to B$ a la función
    $(\copower f)(T)\coloneqq f^{-1}[T]$ que asocia a cada subconjunto
    de $B$ su \emph{preimagen} por $f$.
  \item Para $n\in\sNat$, existe un funtor $\text{GL}_n:\bCRng\to\bGrp$ que a
    cada anillo conmutativo $C$ le asocia el grupo multiplicativo
    $\text{GL}_n(C)$ de matrices regulares $n\times n$ con entradas en $C$. Los
    homomorfismos de anillos se transforman en homomorfismos de grupos que
    actúan componente a componente.
  \item Sea $\bTop_*$ el constructo cuyos objetos son pares $(X,x)$ formados por
    un espacio topológico $X$ y un punto destacado $x\in X$ y cuyos morfismos
    son funciones continuas que conservan el punto destacado. Entonces podemos
    definir un funtor grupo de homotopía $\pi:\bTop_*\to\bGrp$ que a cada
    espacio topológico $X$ y cada punto $x\in X$ le asocia el grupo de homotopía
    y a cada morfismo en $\bTop_*$ le asocia el correspondiente morfismo de
    grupos.\cite[p. 13]{maclane}

    \begin{proof}
      Primero vemos que la operación sobre morfismos está bien definida. Sea
      $f:(X,x)\to(Y,y)$ un morfismo en $\bTop_*$, y sean
      $\gamma,\sigma:[0,1]\to X$ representantes de un mismo elemento de
      $\pi(X,x)$, entonces existe una homotopía $s:[0,1]\times[0,1]\to X$ de
      $\gamma$ a $\sigma$, con lo que $f\circ s:[0,1]\times[0,1]\to Y$ es una
      homotopía de $f(\sigma)$ a $f(\gamma)$ y
      $(\pi f)(\overline{\gamma})=(\pi f)(\overline{\sigma})$.  Además $\pi f$
      es un morfismo de grupos, pues la composición con $f$ lleva la curva
      constante en $x$ a la curva constante en $y$ y respeta la concatenación de
      curvas. Finalmente, dados morfismos $f:(X,x)\to (Y,y)$ y $g:(Y,y)\to(Z,z)$
      en $\bTop_*$, es fácil ver que $\pi(g\circ f)=\pi g\circ\pi f$ y que
      $\pi(1_{(X,x)})=1_{\pi(X,x)}$.
    \end{proof}
  \item Los funtores se pueden componer. Dados dos funtores $S:\cB\to\cC$ y
    $T:\cC\to\cD$, el \conc{funtor composición} $T\circ S:\cB\to\cC$ viene dado
    sobre los objetos como $a\mapsto S(Ta)$ y sobre los morfismos como
    $f\mapsto S(Tf)$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Categorías de categorías}

En vista de los ejemplos anteriores sería razonable considerar una <<categoría
de las categorías>>, pero esto plantea ciertos problemas. En primer lugar, esta
categoría no se podría contener a sí misma por la paradoja de Russell. De hecho,
sólo las categorías que son conjuntos pueden estar dentro de una categoría de
categorías, pues las clases propias no pueden estar dentro de otras clases.

\begin{definition}
  Una categoría es \conc{pequeña} si es un conjunto, es decir, si tanto su
  clase de objetos como su clase de morfismos son conjuntos. Llamamos $\bCat$
  a la categoría de las categorías pequeñas y los funtores entre ellas.
\end{definition}

Esto no es del todo satisfactorio, pues la mayoría de las categorías no son
pequeñas. Es por ello que en teoría de categorías es común usar extensiones de
ZFC para lidiar con estos casos. Mac Lane\cite[pp. 21--26]{maclane} propone una
extensión basada en universos de Grothendieck.

\begin{definition}
  Un \conc{universo} (\concsuffix{de Grothendieck}) es un conjunto $\UNIVERSE$
  tal que:
  \begin{enumerate}
  \item Si $x\in u\in\UNIVERSE$ entonces $x\in\UNIVERSE$.
  \item Si $u,v\in\UNIVERSE$ entonces $\{u,v\}\in\UNIVERSE$.
  \item Si $x\in\UNIVERSE$ entonces $\power{x},\bigcup{x}\in\UNIVERSE$.
  \item Si $I\in\UNIVERSE$ y $f:I\to\UNIVERSE$ es una función, entonces
    $\Img{f}\in\UNIVERSE$.
  \item $\sNat\in\UNIVERSE$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

La idea es que un universo contendría todos los conjuntos con los que uno
trataría normalmente dentro de ZFC, como ilustran las siguientes propiedades
fáciles de probar.

\begin{proposition}
  Sea $\UNIVERSE$ un universo:
  \begin{enumerate}
  \item Si $v\subseteq u\in\UNIVERSE$ entonces $v\in\UNIVERSE$.
    \item Si $u,v\in\UNIVERSE$, entonces $(u,v),u\times v\in\UNIVERSE$.
    \item Si $\{x_i\}_{i\in I}$ es una familia de elementos de $\UNIVERSE$ con
      $I\in\UNIVERSE$, entonces
      \[
        \prod_{i\in I}x_i,\bigcup_{i\in I}x_i,\bigcap_{i\in I}x_i\in\UNIVERSE.
      \]
    \item Si $a,b\in\UNIVERSE$, todas las funciones $f:a\to b$ cumplen
      $f\in\UNIVERSE$.
    \item Si $a\in\UNIVERSE$ y $b\subseteq\UNIVERSE$ con $|a|=|b|$ entonces
      $b\in\UNIVERSE$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Grothendieck trabajaba con un axioma adicional que afirmaba que cada conjunto
estaba contenido en un universo, desarrollando así una jerarquía de universos.
Sin embargo, para nuestros propósitos nos sirve el siguiente axioma más
sencillo.

\begin{axiom}[Mac Lane, 1969\cite{one-universe}]
  Existe un universo de Grothendieck $\UNIVERSE$.
\end{axiom}

En adelante fijamos un universo $\UNIVERSE$ y notamos que, cuando hablábamos de
conjuntos, ahora hablamos de elementos de $\UNIVERSE$, y cuando hablábamos de
clases, ahora hablamos de subconjuntos de $\UNIVERSE$.

\begin{definition}
  Un conjunto $x$ es \conc{pequeño} si $x\in\UNIVERSE$, es una \conc{clase} si
  $x\subseteq\UNIVERSE$, y es \conc{grande} o una \conc{clase propia} si es una
  clase que no es pequeña.
\end{definition}

La mayoría de categorías que hemos definido en el primer capítulo tienen como
objetos los conjuntos que cumplen cierta propiedad. Ahora refinamos esta
definición: si, por ejemplo, $\bVec$ era la categoría de los espacios
vectoriales y las aplicaciones lineales entre ellos, ahora llamamos $\bVec_X$ a
la categoría de los espacios vectoriales \emph{que están en $X$} y las
aplicaciones lineales entre ellos, y definimos $\bVec\coloneqq\bVec_{\,\UNIVERSE}$
como la categoría de los espacios vectoriales pequeños. Hacemos lo mismo con
todas las categorías definidas de esta forma, de modo que, en particular,
$\Ob{\bSet}=\UNIVERSE$ y, para un conjunto $A$, $\Ob{\bSet_X}=X$.

Además, eliminamos de la definición de categoría (\ref{def:category}) la
restricción de que las clases de objetos y de morfismos sean clases, lo que nos
permite definir la categoría de todas las categorías grandes.

\begin{definition}\;
  \begin{enumerate}
  \item Dado un conjunto $X$, llamamos $\bCat_X$ a la categoría de las categorías
    en $A$ y los funtores entre ellos.
  \item Llamamos $\bCat\coloneqq\bCat_{\,\UNIVERSE}$ a la categoría grande de
    \emph{categorías pequeñas}.
  \item Llamamos $\bCAT\coloneqq\bCat_{\power{(\,\UNIVERSE)}}$ a la categoría de
    \emph{categorías grandes}.
  \end{enumerate}
\end{definition}

La eliminación de esta restricción nos permite definir también, por ejemplo,
$\bCls\coloneqq\bSet_{\power{(\,\UNIVERSE)}}$, la categoría de todas las clases.

Una limitación de esta teoría es que, si bien es posible definir la categoría de
<<todos los conjuntos pequeños>> o de <<todos los grupos pequeños>>, etc., no es
posible definir la categoría de <<todos los conjuntos>> o de <<todos los grupos>>,
por lo que ha habido bastante debate sobre fundamentos de la teoría de categorías,
y en general de todas las matemáticas, no basados en teoría de conjuntos.

\section{Equivalencias de categorías}

Un funtor en $\bCat_X$ es un isomorfismo si y sólo si es biyectivo sobre los
morfismos. Esta idea de isomorfismo es la que podríamos esperar, ya que, por
ejemplo, dos conjuntos, conjuntos preordenados o monoides vistos como categorías
son isomorfos en $\bCat$ si y sólo si lo son en $\bSet$, $\bPrord$ o $\bMon$,
respectivamente, y en $\bCAT$ $\sInt\dash\bMod$ es isomorfo a $\bAb$.

En ocasiones, sin embargo, esta definición de isomorfismo es demasiado
estricta. Por ejemplo, si $K\dash\bVecf$ es la subcategoría de $K\dash\bVec$ de
los espacios de dimensión finita, los morfismos de $K\dash\bVecf$ se pueden
representar mediante matrices, pero en general $K\dash\bVecf$ no es isomorfa a
$K\dash\bMat$ debido a que tiene muchos más objetos, y para obtener el
isomorfismo habría que sustituir $K\dash\bVecf$ por una subcategoría completa
formada por un conjunto irredundante de representantes de los objetos por
isomorfismo.

En estos casos es útil la noción de equivalencia. Una equivalencia entre
categorías viene a ser un funtor que respeta las clases de isomorfía de los
objetos y que <<se porta bien>> con los morfismos. Para caracterizar el
significado de esto último, vemos que un funtor, al estar formado por una
función sobre objetos y una sobre morfismos, puede ser inyectivo o suprayectivo
sobre los objetos o sobre los morfismos. Serlo sobre los morfismos implica serlo
sobre los objetos, y no queremos obligar a que sean biyectivos sobre objetos,
por lo que es preferible abordar esta cuestión en función de los conjuntos hom.

\begin{definition}
  Sea $T:\cC\to\cD$ un funtor:
  \begin{enumerate}
  \item $T$ es \conc{fiel} si todas las restricciones
    $T|_{\hom_\cC(a,b)}:\hom_\cC(a,b)\to\hom_\cD(Ta,Tb)$ son inyectivas.
  \item $T$ es \conc{pleno} si todas estas restricciones son suprayectivas.
  \item $T$ es una \conc{inmersión} si es inyectivo sobre los morfismos.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{proposition}
  Un funtor es una inmersión si y sólo si es fiel e inyectivo sobre los objetos,
  y es un isomorfismo si y sólo si es fiel, pleno y biyectivo sobre los objetos.
\end{proposition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item Los funtores conjunto potencia y conjunto potencia contravariante son
    inmersiones no plenas.
  \item El funtor $u:\bMetc\to\bTop$ que lleva los espacios métricos a sus
    correspondientes espacios topológicos y los morfismos a ellos mismos es fiel
    y pleno, pero no es una inmersión.
  \item Los funtores \conc{espacio discreto} y \conc{espacio indiscreto}
    $D,N:\bSet\to\bTop$, que asocian a cada conjunto la topología discreta o
    indiscreta, respectivamente, y llevan cada función a ella misma, son
    inmersiones plenas pero no son isomorfismos.
  \item $\bZero$ es un objeto inicial de $\bCat$. El único funtor de $\bZero$ a
    una cierta categoría $\cC$ es una inmersión, pero en general no es pleno.
  \item $\bOne$ es un objeto final de $\bCat$. El único funtor de una cierta
    categoría $\cC$ a $\bOne$ es pleno y suprayectivo en objetos, pero en
    general no es inyectivo en objetos, y es fiel si y sólo si $\cC$ es fina.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}
  \label{prop:compose-faith}
  La composición de funtores fieles, plenos o inmersiones es, respectivamente,
  fiel, plena o una inmersión.
\end{proposition}

\begin{proposition}
  Dados dos funtores $F:\cB\to\cC$ y $G:\cC\to\cD$:
  \begin{enumerate}
  \item Si $g\circ f$ es fiel, $f$ también lo es.
  \item Si $g\circ f$ es pleno, $g$ también lo es.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Parece razonable entonces requerir que las equivalencias sean fieles y plenas.

\begin{definition}
  Un funtor $T:\cC\to\cD$ es una \conc{equivalencia} si es fiel, pleno y para
  cada $d\in\Ob{\cD}$ existe $c\in\Ob{\cC}$ con $Tc\cong d$, y entonces decimos
  que $\cC$ y $\cD$ son \conc{equivalentes}, $\cC\simeq\cD$.
\end{definition}

Estos requisitos son suficientes para satisfacer la noción intuitiva que hemos
descrito antes, pues los funtores llevan isomorfismos a isomorfismos y, dados
dos objetos isomorfos en $\Img{T}$, como $T$ es biyectiva sobre los conjuntos
hom, dos preimágenes cualesquiera de estos dos objetos serán isomorfas en $\cC$.

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item Si $K$ es un cuerpo no trivial, $K\dash\bMat\simeq K\dash\bVec$. La
    equivalencia envía el objeto $n$ a $K^n$ y el morfismo $C:m\to n$ a la
    función $(v\mapsto Cv):K^m\to K^n$.
  \item La categoría $\bTopm$ de topologías metrizables y funciones continuas es
    equivalente a $\bMetc$, tomando como equivalencia $\bMetc\to\bTopm$ el
    funtor que a cada espacio métrico le asocia su correspondiente espacio
    topológico (y que deja los morfismos como están).
  \item Dos conjuntos, conjuntos ordenados o monoides vistos como categorías son
    equivalentes si y sólo si son isomorfos. Esto no es cierto en general para
    conjuntos preordenados.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}\label{prop:cat-equiv}\;
  \begin{enumerate}
  \item La composición de equivalencias es una equivalencia.
    \begin{proof}
      Claramente el funtor identidad es una equivalencia, por lo que la relación
      es reflexiva. Para ver que es transitiva, sean $S:\cB\to\cC$ y
      $T:\cC\to\cD$ equivalencias, la composición $T\circ S$ es fiel y plena por
      ser composición de funtores fieles y plenos (\ref{prop:compose-faith}), y
      para $d\in\cD$, existe $c\in\cC$ con $Tc\cong d$, pero entonces existe
      $b\in\cB$ con $Sb\cong c$ y así $TSb\cong Tc\cong d$.
    \end{proof}
  \item La equivalencia de categorías es una relación de equivalencia en
    $\bCat_X$.
    \begin{proof}
      Claramente el funtor identidad es una equivalencia, por lo que la
      equivalencia es reflexiva, y el apartado anterior prueba que es
      transitiva. Para ver que es simétrica, sea $T:\cC\to\cD$ una equivalencia,
      usando el axioma de elección, para cada objeto $d$ de $\cD$ tomamos un
      objeto $Sd$ de $\cC$ con $T(Sd)\cong d$ y un isomorfismo $h_d:TSd\to d$.
      Como $T$ es biyectiva en conjuntos hom, para cada morfismo $g:a\to b$ en
      $\cD$ existe un único morfismo $Sg:Sa\to Sb$ para el que la figura
      \ref{fig:equiv-sym} conmuta.
      \begin{figure}[H]
        \centering
        \begin{diagram}
          \path (0,2) node(IA){$TSa$} (2,2) node(IB){$TSb$}
                (0,0) node(A){$a$}    (2,0) node(B){$b$};
          \draw[->] (IA) -- node[above]{$TSg$} (IB);
          \draw[->] (IA) -- node[left]{$h_a$} (A);
          \draw[->] (IB) -- node[right]{$h_b$} (B);
          \draw[->] (A) -- node[below]{$g$} (B);
        \end{diagram}
        \caption[Funtor <<inverso>> de una equivalencia]{Actuación sobre los
          morfismos del funtor <<inverso>> $S$ de una equivalencia.}
        \label{fig:equiv-sym}
      \end{figure}
      A partir de esta figura, de la unicidad de $Sg$ y de que $T$ respeta las
      identidades y la composición, se concluye que $S$ también las respeta, por
      lo que $S$ es un funtor. $S$ es fiel, pues para $g,g':a\to b$ en $\cD$ con
      $Sg=Sh$, $g=h_b\circ TSg\circ h_a^{-1}=h_b\circ TSg'\circ h_a^{-1}=g$'. Y
      $S$ es plena, pues para $f:Sa\to Sb$ en $\cC$,
      $g\coloneqq h_b\circ Tf\circ h_a^{-1}$ cumple $g\circ h_a=h_b\circ Tf$ y,
      por la unicidad de la figura \ref{fig:equiv-sym}, $Tf=TSg$ y $f=Sg$.

      Finalmente, para $c\in\Ob{\cC}$, queremos ver que $S(Tc)\cong
      c$. Pero $h\coloneqq h_{Tc}:TSTc\cong Tc$ es la imagen por $T$
      de un morfismo $\tilde{h}:STc\to c$ y su inverso
      $k\coloneqq h^{-1}:Tc\cong TSTc$ es la imagen por $T$ de otro
      morfismo $\tilde{k}:c\to STc$. Entonces, como
      $T(\tilde{h}\circ\tilde{k})=T(\tilde{h})\circ
      T(\tilde{k})=h\circ k=1$ y $T$ es fiel,
      $\tilde{h}\circ\tilde{k}=1$ y $\tilde{h}:c\cong STc$ es un
      isomorfismo.
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Una primera utilidad de las equivalencias es visualizar la estructura
de una categoría abstrayéndonos de los isomorfismos entre sus
objetos\cite[p. 42]{joyofcats}.

\begin{definition}
  Un \conc{esqueleto} de una categoría $\cC$ es una subcategoría
  completa de $\cC$ que tiene exactamente un elemento de cada clase de
  isomorfía de los objetos de $\cC$.
\end{definition}

\begin{proposition}\;
  \begin{enumerate}
  \item Toda categoría posee un esqueleto.
  \item Todo esqueleto de $\cC$ es equivalente a $\cC$.
  \item Todos los esqueletos de una misma categoría son isomorfos.
    \begin{proof}
      Sean $\cA$ y $\cB$ esqueletos de $\cC$, cada objeto de $\cC$, y en
      particular cada objeto $a$ de $\cA$, es isomorfo en $\cC$ a un único
      objeto $Ta$ de $\cB$ por un isomorfismo $h_a:a\to Ta$, de forma que el
      funtor $T:\cA\to\cB$ definido sobre objetos de esta forma y sobre
      morfismos $f:a_1\to a_2$ como en la figura \ref{fig:skel-iso} es un
      isomorfismo de categorías.
      \begin{figure}[H]
        \centering
        \begin{diagram}
          \path (0,2) node(TA1){$Ta_1$} (2,2) node(TA2){$Ta_2$}
                (0,0) node(A1){$a_1$}   (2,0) node(A2){$a_2$};
          \draw[->] (TA1) -- node[above]{$Tf$} (TA2);
          \draw[->] (A1) -- node[left]{$h_{a_1}$} (TA1);
          \draw[->] (A2) -- node[right]{$h_{a_2}$} (TA2);
          \draw[->] (A1) -- node[below]{$f$} (A2);
        \end{diagram}
        \caption{Isomorfismo entre dos esqueletos de $\cC$.}
        \label{fig:skel-iso}
      \end{figure}
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item El esqueleto de $\bSet$ es la subcategoría completa de los números cardinales.
  \item Si $K$ es un cuerpo no trivial, el esqueleto de $K\dash\bMat$
    es el propio $K\dash\bMat$, y el de $K\dash\bVec$ está formado por
    los $K^m$ para todo cardinal $m$.
  \item El conocido teorema de clasificación de los grupos abelianos
    finitos da un esqueleto para la subcategoría de $\bAb$ formada por
    los grupos abelianos finitos. Lo mismo ocurre con el teorema de
    clasificación de grupos finitos, mucho más complejo, y la
    correspondiente subcategoría de $\bGrp$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Funtores olvidadizos}

Un tipo importante de funtor es el de los funtores que <<olvidan parte
de la estructura>> de un objeto. Ya hemos visto alguno de ellos, como
la equivalencia $\bMetc\to\bTopm$ que olvida la métrica concreta a
utilizar. Otro ejemplo podría ser el funtor $\bRng\to\bAb$ que asocia
a cada anillo su grupo abeliano aditivo. No hay una definición formal
de este tipo de funtores, por lo que nos limitamos a decir que son
fieles.

\begin{definition}
  Una \conc{categoría concreta} sobre una categoría $\cB$ es un par
  $(\cC,U)$ formado por una categoría $\cC$ y un funtor fiel $U$,
  llamado \conc{funtor olvidadizo}. Un \conc{constructo} es una
  categoría concreta sobre $\bSet$.
\end{definition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item La definición de constructo en la página
    \pageref{sec:cat-abstract} coincide con la definición anterior
    identificando los morfismos en el constructo con su representación
    en $\bSet$ (debidamente etiquetada con el dominio y codominio) y
    tomando el funtor olvidadizo evidente.
  \item $\bBan$ puede ser un constructo de dos formas <<naturales>>:
    con el funtor olvidadizo <<obvio>> y con el funtor
    $O:\bBan\to\bSet$ que lleva los objetos $X$ a
    $OX\coloneqq\{x\in X\mid\Vert x\Vert\leq1\}$ y los morfismos
    $f:X\to Y$ a $f|_{OX}:OX\to OY$.
  \item La categoría $\bTopVec$ de espacios vectoriales topológicos y
    las transformaciones lineales continuas se puede ver naturalmente
    como un constructo o como una categoría concreta sobre $\bTop$ o
    $\bVec$.
  \item Las categorías concretas sobre $\bOne$ son las categorías
    finas.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Funtores contravariantes}

Si $T:\cC\to\cD$ es un funtor, entonces $T:\dual{\cC}\to\dual{\cD}$ también es
un funtor, y de hecho, podemos tomar el dual de una propiedad sobre categorías y
funtores invirtiendo el sentido de los morfismos en las categorías pero no el de
los funtores entre dichas categorías.

Sin embargo, es bastante común tener funtores de la forma
$S:\dual{\cC}\to\cD$ o, equivalentemente, $S:\cC\to\dual{\cD}$. A los
funtores $\cC\to\cD$ los llamamos \conc{funtores covariantes}, y a los
funtores $\dual{\cC}\to\cD$ los llamamos \conc{funtores
  contravariantes}.

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item Ya hemos visto el funtor covariante $\power:\bSet\to\bSet$ y el funtor
    contravariante $\copower:\dual{\bSet}\to\bSet$ en los apartados
    \ref{enu:funct-power} y \ref{enu:funct-copower} del ejemplo
    \ref{ex:functors}.
  \item Sea $K$ un cuerpo. $^*:\dual{K\dash\bVec}\to K\dash\bVec$ es un funtor
    contravariante que a cada espacio vectorial $V$ le asigna el \emph{espacio
      dual} $V^*$ de aplicaciones lineales $V\to K$ y a cada morfismo $f:V\to U$
    le asigna el morfismo $f^*:U^*\to V^*$ dado por $f^*u\coloneqq u\circ f$.
    
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Funtores hom}

Si $\cC$ es una categoría con conjuntos hom pequeños, podemos intentar
considerar $\hom_{\cC}:\cA\times\cB\to\bSet$ como un funtor, donde
$\Ob{\cA}=\Ob{\cB}=\Ob{\cC}$. Queremos encontrar una forma <<natural>> de llevar
los morfismos del dominio a los del codominio, y para ello una buena idea es
fijar uno de los dos componentes y ver cómo podría ser el <<funtor parcial>>
respecto al otro.

Si $\cB$ y $\cC$ son categorías cualesquiera, su producto $\cB\times\cC$ (en una
categoría de categorías apropiada) es una categoría con
$\Ob{\cB\times\cC}=\Ob{\cB}\times\Ob{\cC}$ y, para $b,b'\in\Ob{\cB}$ y
$c,c'\in\Ob{\cC}$, $\hom((b,c),(b',c'))=\hom(b,b')\times\hom(c,c')$, con la
composición y las identidades definidas por componentes. Entonces podemos
definir los funtores parciales como sigue.

\begin{definition}
  Un \conc{bifuntor} en dos categorías $\cB$ y $\cC$ es un funtor con dominio
  $\cB\times\cC$.
\end{definition}

\begin{definition}
  Sea $T:\cB\times\cC\to\cD$ un bifuntor.
  \begin{enumerate}
  \item Dado un objeto $b$ de $\cB$, el \conc{funtor parcial} $T(b,-):\cC\to\cD$
    viene dado para objetos por $T(b,-)(c)\coloneqq T(b,c)$ y para morfismos por
    $T(b,-)(g)\coloneqq T(b,g)\coloneqq T(1_b,g)$.
  \item Dado un objeto $c$ de $\cC$, el \conc{funtor parcial} $T(-,c):\cB\to\cD$
    viene dado para objetos por $T(-,c)(b)\coloneqq T(b,c)$ y para morfismos por
    $T(-,c)(f)\coloneqq T(f,c)\coloneqq T(f,1_c)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Para el caso que nos ocupa, sean $a$, $a'$, $b$ y $b'$ objetos de $\cC$. Para
$g:b\to b'$, podríamos definir $\hom(a,g):\hom(a,b)\to\hom(a,b')$ como
$\hom(a,g)(f)\coloneqq g\circ f$, lo que nos da un funtor parcial
$\hom(a,-):\cC\to\bSet$.

Para $f:a\to a'$ intentamos hacer lo mismo y definir
$\hom(f,b):\hom(a,b)\to\hom(a',b)$, pero vemos que aparecen dificultades. Sin
embargo, es fácil definir $\hom(f,b):\hom(a',b)\to\hom(a,b)$ como
$\hom(f,b)(g)\coloneqq g\circ f$, lo que nos da un funtor parcial contravariante
$\hom(-,b):\dual{\cC}\to\bSet$.

Al primero lo llamamos \conc{funtor hom covariante}, y al segundo, \conc{funtor
  hom contravariante}. Una vez hecho esto es fácil definir el funtor hom global
\[
  \begin{aligned}
    \hom = \hom_{\cC}: \dual{\cC} \times \cC & \to \bSet                          \\
                                      (a, b) & \mapsto \hom(a,b)                  \\
                                      (f, g) & \mapsto (h\mapsto g\circ h\circ f)
  \end{aligned}
\]

El producto en sí también es un bifuntor, y no solo en $\bCat$ o en $\bCAT$ sino
en toda categoría que tenga productos de pares de objetos. En efecto, sea $\cC$
tal categoría, y definimos el funtor $\otimes:\cC\times\cC\to\cC$ del siguiente
modo. Para objetos $a$ y $b$, $a\times b$ es un producto cualquiera de $a$ y
$b$, aunque en general elegiremos un producto <<canónico>>. Para morfismos
$f:a\to a'$ y $g:b\to b'$, $f\times g:a\times b\to a'\times b'$ es el único
morfismo para el que la figura \ref{fig:prod-functor} conmuta, donde los
morfismos sin etiquetar son las proyecciones.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{diagram}
    \path (0,2) node(A){$a$}   (2,2) node(AB){$a\times b$}    (4,2) node(B){$b$}
          (0,0) node(AP){$a'$} (2,0) node(ABP){$a'\times b'$} (4,0) node(BP){$b'$};
    \draw[->] (AB) -- (A);
    \draw[->] (AB) -- (B);
    \draw[->] (ABP) -- (AP);
    \draw[->] (ABP) -- (BP);
    \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (AP);
    \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (BP);
    \draw[->,dotted] (AB) -- node{$f\times g$} (ABP);
  \end{diagram}
  \caption[Producto de morfismos]{Morfismo producto de $f$ y $g$. Los morfismos
   sin etiquetar son las proyecciones.}
  \label{fig:prod-functor}
\end{figure}

\section{Conservación de propiedades}

Puede ser interesante ver qué propiedades de los objetos y morfismos de una
categoría son respetadas por funtores y cuáles no, o qué debe cumplir un funtor
para que respete esa propiedad.

Para ello, una primera observación es que la idea de <<respetar>> una propiedad
engloba varios conceptos. %  Puede que el funtor conserve una propiedad en un
% sentido pero no en otro.
Por ejemplo, un funtor podría llevar monomorfismos a
monomorfismos, pero que sin embargo no todos los monomorfismos del codominio
sean imagen de un monomorfismo del dominio, incluso si son imagen de algún otro
morfismo. Además, sería concebible un funtor para el que todo monomorfismo en su
codominio fuera imagen de un monomorfismo y, sin embargo, hubiera morfismos que
no son monomorfismos pero son llevados a uno. Todas estas propiedades de
preservación son distintas, pero podemos definirlas de forma abstracta.

\begin{definition}
  Sea $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ una propiedad relativa a una serie de
  objetos $(o_i)_i$ y una serie de morfismos $(m_j)_j$ de una cierta
  categoría, y sea $T:\cC\to\cD$ un funtor.
  \begin{enumerate}
  \item $T$ \conc{preserva} $P$ si, cuando $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ se cumple en
    $\cC$ para ciertos $o_i$ y $m_j$ de $\cC$, entonces
    $P((T(o_i))_i,(T(m_j))_j)$ se cumple en $\cD$.
  \item $T$ \conc{refleja} $P$ si, cuando $P((T(o_i))_i,(T(m_j))_j)$ se cumple
    en $\cD$ para ciertos $o_i$ y $m_j$ de $\cC$, entonces $P((o_i)_i,(m_j)_j)$
    se cumple en $\cC$.
  \item $T$ \conc{levanta} $P$ (\concsuffix{de forma única}) si, cuando
    $P((p_i)_i,(n_j)_j)$ se cumple en $\cD$ para ciertos $p_i$ y $n_j$ de $\cD$,
    entonces existen (únicos) $(o_i)_i$ y $(m_j)_j$ de $\cC$ con cada
    $T(o_i)=p_i$, cada $T(m_j)=n_j$ y tal que $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ se cumple en
    $\cC$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

El concepto de funtor, como el de función, es bastante general y por ello no es
de esperar que haya muchas propiedades respetadas por todos los funtores. Sin
embargo, algunas son respetadas por todos o por muchos de ellos, como vamos a
ver.

\begin{proposition}
  Los funtores preservan isomorfismos, secciones y retracciones.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Sean $T:\cC\to\cD$ un funtor y $f$ y $g$ morfismos de $\cC$ con $g\circ f=1$,
  entonces $Tg\circ Tf=T(g\circ f)=T1=1$.
\end{proof}

Un funtor entre dos categorías se puede ver como un funtor entre las categorías
duales, de modo que si, por ejemplo, todos los funtores fieles, plenos,
etc. preservan, reflejan o levantan una cierta propiedad, todos esos funtores
también preservan, reflejan o levantan (respectivamente) la propiedad dual.%  Esto
% se da para cualquier propiedad de funtores que no varíe al cambiar las
% categorías dominio y codominio por las duales.

\begin{proposition}
  Todo funtor fiel y pleno refleja secciones y retracciones.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Si $T:\cC\to\cD$ es un funtor fiel y pleno y $f:a\to b$ es un morfismo de
  $\cC$ tal que $Tf$ es una sección, sea $g':Tb\to Ta$ con $g'\circ Tf=1$, por
  plenitud existe $g:b\to a$ con $g=Tg'$ y por tanto $Tg\circ Tf=T(g\circ f)=1$,
  y por fidelidad $g\circ f=1$. Las retracciones son la propiedad dual.
\end{proof}

Ambas condiciones de esta proposición son necesarias. Por ejemplo, la inclusión
de monoides aditivos $\sNat\inTo\sInt$ vista como funtor es fiel pero no pleno,
y el único morfismo de monoides $\sNat\epicTo\bOne$ es pleno pero no fiel, y
ambos llevan una categoría en que la mayoría de morfismos no son secciones ni
retracciones (sólo el 0 lo es) a una en la que todos los son.

\begin{proposition}
  Los funtores hom covariantes reflejan monomorfismos.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Si $a$ es un objeto de $\cC$ y $f:b\to c$ un morfismo tal que $\hom(a,f)$ es
  un monomorfismo, si $f\circ h=f\circ k$, entonces $\hom(a,f)(h)=\hom(a,f)(k)$
  y por inyectividad $h=k$.
\end{proof}

\begin{proposition}
  Todo funtor fiel refleja monomorfismos y epimorfismos.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Sean $T:\cC\to\cD$ un funtor fiel y $f:a\to b$ un morfismo en $\cC$ tal que
  $Tf$ es un monomorfismo. Si $f\circ h=f\circ k$, entonces
  $Tf\circ Th=Tf\circ Tk$ y $Th=Tk$, y por fidelidad $h=k$. Los epimorfismos son
  la propiedad dual.
\end{proof}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: