1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
|
Al igual que cuando el dominio y el codominio de un morfismo coinciden hablamos
de un \conc{endomorfismo}, cuando esto le ocurre a un funtor hablamos de un
\conc{endofuntor}. Los endofuntores son particularmente relevantes en tanto que
se puede estudiar, por ejemplo, la relación de un objeto o morfismo con su
imagen, o lo que ocurre al aplicar el endofuntor varias veces.
Por ejemplo, tomemos el endofuntor $\power:\bSet\to\bSet$. Dado un conjunto $X$,
entre $X$ y $\power X$ podemos tomar una inyección $\eta_X:X\to\power X$ dada
por $\eta_X(x)\coloneqq\{x\}$, que es natural. Por otro lado, aunque podemos
aplicar este funtor a $X$ varias veces, siempre podemos volver de $\power^nX$ a
$\power X$ aplicando sucesivamente la unión, que podemos ver como una función
$\mu_X:\power\power X\to\power X$ dada por $\mu_X(\cA)\coloneqq\bigcup\cA$. Esto
también define una transformación natural, que, además, <<da igual>> en qué
orden se aplique, en el sentido de que, si $S\in\power^3X$, aplicar primero
$\mu_{\power X}$ a $S$ y luego $\mu_X$ al resultado es lo mismo que aplicar
$\mu_X$ a cada elemento de $S$ y a continuación aplicar $\mu_X$ al resultado.
Además, intuitivamente $\mu$ se puede ver como una inversa por un lado de
$\eta$, en tanto que $\mu_X(\eta_{\power X}(S))\equiv S$.
Muchos endofuntores relevantes admiten transformaciones naturales con
propiedades similares, y para estudiar estos casos existe el concepto de mónada.
Este capítulo se basa principalmente en \cite[VI]{maclane}.
\begin{definition}
Una \conc{mónada} en una categoría $\cC$ es una tupla $(T,\eta,\mu)$ formada
por un funtor $T:\cC\to\cC$ y dos transformaciones naturales $\eta:1_\cC\to T$
y $\mu:T^2\to T$ tales que, para cada objeto $c$ en $\cC$:
\begin{enumerate}
\item $\mu_c\circ T\mu_c=\mu_c\circ\mu_{Tc}$.
\item $\mu_c\circ\eta_{Tc}=\mu_c\circ T\eta_c=1_{Tc}$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{proposition}
Si $(T,\eta,\mu)$ es una mónada en $\cC$ y $c$ es un objeto de $\cC$,
$\eta_c:c\monicTo Tc$ es una sección y $\mu_c:TTc\epicTo Tc$ es una
retracción.
\end{proposition}
Si $\tau:R\to S$ es una transformación natural entre dos funtores
$R,S:\cB\to\cC$ y $T:\cC\to\cD$ es otro funtor, podemos definir la
transformación natural $T\tau:T\circ R\to T\circ S$ como
$(T\tau)_b\coloneqq T(\tau_b)$ para cada objeto $b$ en $\cB$. Por otro lado, si
$U:\cA\to\cB$ es otro funtor, podemos definir la transformación natural
$\tau U:R\circ U\to G\circ U$ como $(\tau U)_a\coloneqq\tau_{Ka}$ para cada
objeto $a$ en $\cA$.
Esto nos permite resumir las condiciones en la definición de mónada diciendo que
$\mu\circ T\mu=\mu\circ\mu T$ y $\mu\circ T\eta=\mu\circ\eta T=1_T$, como se
muestra en la figura \ref{fig:monad}.
\begin{figure}
\centering
\begin{subfigure}{.45\linewidth}
\begin{diagram}
\path (0,2) node(TTT){$T^3$} (2,2) node(TTP){$T^2$};
\path (0,0) node(PTT){$T^2$} (2,0) node(T){$T$};
\draw[->] (TTT) -- node[above]{$T\mu$} (TTP);
\draw[->] (TTT) -- node[left]{$\mu T$}(PTT);
\draw[->] (TTP) -- node[right]{$\mu$} (T);
\draw[->] (PTT) -- node[below]{$\mu$} (T);
\end{diagram}
\caption{Conmutatividad de $\mu$ con $T$.}
\end{subfigure}
\hfil
\begin{subfigure}{.45\linewidth}
\begin{diagram}
\path (0,2) node(IT){$1\circ T$} (2,2) node(TT){$T^2$} (4,2) node(TI){$T\circ 1$};
\path (2,0) node(T){$T$};
\draw[->] (IT) -- node[above]{$\eta T$} (TT);
\draw[->] (TI) -- node[above]{$T\eta$} (TT);
\draw[->] (TT) -- node[right]{$\mu$} (T);
\draw[->] (IT) -- node[left]{$1$} (T);
\draw[->] (TI) -- node[right]{$1$} (T);
\end{diagram}
\caption{Relación entre $\eta$ y $\mu$.}
\end{subfigure}
\caption[Definición de mónada.]{Definición de mónada en una categoría $\cC$
mediante diagramas en $\cC^\cC$.}
\label{fig:monad}
\end{figure}
\begin{example}\;
\begin{enumerate}
\item $\power:\bSet\to\bSet$ es una mónada con las operaciones indicadas en la
introducción del capítulo.
\item Sea $(^*):\bSet\to\bSet$ el endofuntor que asocia a cada objeto $X$ el
conjunto subyacente de su monoide libre, dado por $\bigcup_{n\in\sNat}X^n$,
y que lleva cada función $f:X\to Y$ a la función
$(x_1,\dots,x_k)\mapsto(fx_1,\dots,fx_k)$. Este endofuntor es una mónada con
las transformaciones naturales $\eta:1\to(^*)$ que lleva cada elemento de un
conjunto a la lista de un elemento ($\eta_X(x)=(x)$) y $\mu:(^*)^2\to(^*)$
que concatena una lista de listas en una sola lista.
\item Esto se puede generalizar a todas las variedades algebraicas. El álgebra
libre sobre un conjunto $X$ es un conjunto cociente de árboles formados por
operadores y elementos de $X$ (\ref{prop:free-algebra}), y las funciones
entre conjuntos se pueden llevar a morfismos de álgebras libres operando
sobre los elementos del dominio en el árbol. Entonces el equivalente a la
lista de un elemento sería (la clase de equivalencia de) un árbol cuya raíz
es dicho elemento, y el equivalente a concatenar listas es sustituir cada
elemento base del árbol, que es a su vez una clase de equivalencia de
árboles, por un representante de esta clase a modo de subárbol. Claramente
estas transformaciones son naturales y forman una mónada.
\item Sean $\cC$ una categoría con coproductos finitos y $d$ un objeto de
$\cC$. Sea $E:\cC\to\cC$ un endofuntor que a cada objeto $c$ le asocia
$c\oplus d$ y a cada morfismo $f:b\to c$ el morfismo <<suma>>
$Ef=f\oplus 1_d:b\oplus d\to c\oplus d$. Si $\eta_c:c\monicTo c\oplus d$ es
la inclusión canónica y $\mu_c:c\oplus d\oplus d\epicTo c\oplus d$ es la
función que <<identifica>> las dos copias de $d$ en el sentido evidente,
entonces $(E,\eta,\mu)$ es una mónada.
\item Sean $s$ un conjunto y $S\coloneqq\hom(s,-\times s)$ un endofuntor en
$\bSet$ que lleva cada conjunto $X$ al conjunto de funciones
$s\to X\times s$ y cada función $f$ a $\hom(s,f\times 1_s)$. Entonces $S$ es
una mónada con las transformaciones naturales $\eta:1\to S$ y $\mu:S^2\to S$
dadas por la formación de pares $\eta_X(x)(y)\coloneqq(x,y)$ y la <<doble
evaluación>> $\mu_X(f)(y)\coloneqq (p_1fy)(p_2fy)$, donde $p_1$ y $p_2$ son
las proyecciones canónicas de $\hom(X,s)\times s$.
% \begin{proof}
% Escribiendo $e(f,y)\coloneqq f(y)$, se tiene $\mu_X(f)(y)\equiv e(f(y))$ y
% $\mu_X(f)\equiv e\circ f$ (por abuso de notación, $e$ no representa una
% función fija, sino cualquier función expresada así independientemente de
% dominio y codominio). Entonces, para $f\in S^3X$,
% \begin{multline*}
% \mu_X((S\mu_X)(f))=\mu_X(\hom(s,\mu_X\times 1_s)(f))=\mu_X((\mu_X\times 1_s)\circ f)=
% e\circ(\mu_X\times 1_s)\circ f=\\
% =(y\mapsto e(\mu_Xpfy,qfy))=(y\mapsto(\mu_Xpfy)(qfy))=(y\mapsto e((pfy)(qfy)))=\\
% =e\circ e\circ f=e\circ(\mu_{SX}\circ f)=\mu_X(\mu_{SX}(f)),
% \end{multline*}
% y para $f\in SX$,
% \begin{multline*}
% \mu_X((S\eta_X)(f))=\mu_X(\hom(s,\eta_X\times 1_s)(f))=e\circ(\eta_X\times 1_s)\circ f=\\
% =(y\mapsto e(\eta_Xpfy,qfy))=
% (y\mapsto(\eta_Xpfy,qfy))=(y\mapsto fy)=f\\=e\circ(y\mapsto(f,y))=
% =e\circ(\eta_{SX}(f))=\mu_X(\eta_{SX}(f)).
% \end{multline*}
% \end{proof}
\item En un conjunto parcialmente ordenado $(S,\leq)$ visto como categoría, un
endofuntor es una función $f:S\to S$ monótona, es decir, tal que
$x\leq y\implies fx\leq fy$. Las transformaciones naturales asociadas a $f$
en una mónada están unívocamente determinadas y existen si y sólo si, para
todo $x\in S$, $x\leq fx$ y $f^2x\leq fx$, pues al ser una categoría fina
los diagramas correspondientes siempre conmutan. Estas ecuaciones implican
que $f$ es idempotente. Así, las mónadas en conjuntos parcialmente ordenados
son \conc{operaciones de clausura}, funciones monótonas e idempotentes con
$x\leq fx$ para todo $x$. Este término se usa especialmente cuando el orden
es la inclusión de conjuntos.
\end{enumerate}
\end{example}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End:
|
