Otras dos asignaturas

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diff --git a/aalg/n1.lyx b/aalg/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..613776c
--- /dev/null
+++ b/aalg/n1.lyx
@@ -0,0 +1,3205 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\usepackage{tikz}
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+doble cono recto
+\series default
+ es la figura obtenida al girar una recta 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ alrededor de una recta 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+, llamada 
+\series bold
+eje
+\series default
+, que la corta en un solo punto, el 
+\series bold
+vértice
+\series default
+.
+ La recta 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ y las que se obtienen al girar 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ alrededor del eje se llaman 
+\series bold
+generatrices
+\series default
+.
+ Una (
+\series bold
+sección
+\series default
+)
+\series bold
+ cónica
+\series default
+ es la intersección de un doble cono recto con un plano que lo corta.
+ Secciones cónicas 
+\series bold
+no degeneradas
+\series default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Circunferencia
+\series default
+: El plano es perpendicular al eje y no pasa por el vértice.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Elipse
+\series default
+: El plano forma un ángulo con el eje mayor al que este forma con una generatriz
+, sin ser perpendicular, y no pasa por el vértice.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Parábola
+\series default
+: El plano es paralelo a una generatriz y no pasa por el vértice.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Hipérbola
+\series default
+: El plano forma un ángulo con el eje menor al que este forma con una ge
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ne
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ra
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+triz, y no pasa por el vértice.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{tikzpicture}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+% Cone
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (-2,-4) -- (3,6) (2,-4) -- (-3,6);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[domain=-3:3] plot (
+\backslash
+x, {6+0.2*sqrt(9-
+\backslash
+x*
+\backslash
+x)});
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[domain=-3:3] plot (
+\backslash
+x, {6-0.2*sqrt(9-
+\backslash
+x*
+\backslash
+x)});
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[domain=-2:2] plot (
+\backslash
+x, {-4+0.2*sqrt(4-
+\backslash
+x*
+\backslash
+x)});
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[domain=-2:2] plot (
+\backslash
+x, {-4-0.2*sqrt(4-
+\backslash
+x*
+\backslash
+x)});
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+% Circumference
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (-0.75,1) -- (0.75,1);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[->] (3,1) node[right]{Circunferencia} -- (0.875,1);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[orange,domain=-0.5:0.5] plot (
+\backslash
+x, {1+0.2*sqrt(0.25-
+\backslash
+x*
+\backslash
+x)});
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[orange,domain=-0.5:0.5] plot (
+\backslash
+x, {1-0.2*sqrt(0.25-
+\backslash
+x*
+\backslash
+x)});
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+% Ellipse
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (-0.9736067977499789,1.38819660112501) -- (1.473606797749979,2.61180339887499);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[->] (3,2) node[right]{Elipse} -- (1,2);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[green,domain=-0.75:1.25] plot (
+\backslash
+x, {1.875+0.5*
+\backslash
+x+0.2*sqrt(1-(
+\backslash
+x-0.25)*(
+\backslash
+x-0.25))});
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[green,domain=-0.75:1.25] plot (
+\backslash
+x, {1.875+0.5*
+\backslash
+x-0.2*sqrt(1-(
+\backslash
+x-0.25)*(
+\backslash
+x-0.25))});
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+% Parabola
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (-0.6118033988749895,-0.7763932022500211) -- (1,-4);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[->] (3,-2.5) node[right]{Parábola} -- (1.125,-2.5);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[red,domain=-0.5:1] plot (
+\backslash
+x, {-2*
+\backslash
+x-2+0.2*sqrt(2*
+\backslash
+x+1)});%1.183493515728975
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[red,domain=-0.5:1] plot (
+\backslash
+x, {-2*
+\backslash
+x-2-0.2*sqrt(2*
+\backslash
+x+1)});%0.8365064842710254
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+% Hyperbola
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (-1, -4) -- (-2, 6);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[->] (3,4.75) node[right]{Hipérbola} -- (-1.3125,4.75);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[purple,domain=-2:-1.75] plot (
+\backslash
+x, {-10*
+\backslash
+x-14+0.2*sqrt(24*
+\backslash
+x*
+\backslash
+x+70*
+\backslash
+x+49)});%-1.960007140870476
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[purple,domain=-2:-1.75] plot (
+\backslash
+x, {-10*
+\backslash
+x-14-0.2*sqrt(24*
+\backslash
+x*
+\backslash
+x+70*
+\backslash
+x+49)});%-2.050493666883967
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[purple,domain=-1.166:-1] plot (
+\backslash
+x, {-10*
+\backslash
+x-14+0.2*sqrt(24*
+\backslash
+x*
+\backslash
+x+70*
+\backslash
+x+49)});%-0.9604664856861941
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw[purple,domain=-1.166:-1] plot (
+\backslash
+x, {-10*
+\backslash
+x-14-0.2*sqrt(24*
+\backslash
+x*
+\backslash
+x+70*
+\backslash
+x+49)});%-1.030648215444662
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{tikzpicture}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Caption Standard
+
+\begin_layout Plain Layout
+Secciones cónicas no degeneradas.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Secciones cónicas 
+\series bold
+degeneradas
+\series default
+: Cuando el plano pasa por el vértice, obtenemos un punto si el ángulo del
+ plano con el eje es mayor al del eje con la generatriz, una recta si es
+ igual y un par de rectas que se cortan si es menor.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Circunferencia
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano a la misma
+ distancia, llamada 
+\series bold
+radio
+\series default
+, a un punto fijo, el 
+\series bold
+centro
+\series default
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ el eje del cono, 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ la generatriz 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ el vértice y 
+\begin_inset Formula $O\neq V$
+\end_inset
+
+ el punto de corte de 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ con el plano perpendicular.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ están en la circunferencia, se corresponden con un giro de centro 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{VA}\Vert=\Vert\overrightarrow{VB}\Vert$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{OA}\Vert^{2}=\Vert\overrightarrow{VA}\Vert^{2}-\Vert\overrightarrow{VO}\Vert^{2}=\Vert\overrightarrow{VB}\Vert^{2}-\Vert\overrightarrow{VO}\Vert^{2}=\Vert\overrightarrow{OB}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Fijado un sistema de referencia ortonormal, la ecuación de la circunferencia
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ de centro 
+\begin_inset Formula $O=(a,b)$
+\end_inset
+
+ y radio 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+, que denotamos 
+\begin_inset Formula ${\cal C}(O,r)$
+\end_inset
+
+, es 
+\begin_inset Formula $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
+\end_inset
+
+, que podemos desarrollar como 
+\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Situando el origen de coordenadas en 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+, obtenemos la 
+\series bold
+ecuación reducida de la circunferencia
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+x^{2}+y^{2}=r^{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las 
+\series bold
+ecuaciones paramétricas
+\series default
+ de un cierto objeto 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ son las componentes de una aplicación biyectiva 
+\begin_inset Formula $p:I\rightarrow{\cal C}$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es un intervalo de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+ Para las circunferencias, tenemos 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\left\{ \begin{array}{rcl}
+x & = & r\cos t\\
+y & = & r\sin t
+\end{array}\right. & \text{ con } & t\in[0,2\pi)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas dos circunferencias 
+\begin_inset Formula ${\cal C}(O,r)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal C}(O',r')$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $r<r'$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $d:=\Vert\overrightarrow{OO'}\Vert\neq0$
+\end_inset
+
+, estas se cortan en dos puntos si 
+\begin_inset Formula $r-r'<d<r+r'$
+\end_inset
+
+ y en uno si 
+\begin_inset Formula $d=r-r'$
+\end_inset
+
+ ó 
+\begin_inset Formula $d=r+r'$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula ${\cal C}:={\cal C}(O,r)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal D}:={\cal C}(O',r')$
+\end_inset
+
+, la ecuación de 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ en un cierto referencial ortonormal es 
+\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
+\end_inset
+
+, y rotando este referencial, obtenemos uno con 
+\begin_inset Formula ${\cal C}\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal D}\equiv(x-d)^{2}+y^{2}=r'^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $P=(x,y)\in{\cal {\cal C}}\cap{\cal D}$
+\end_inset
+
+, restando la ecuación de 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ a la de 
+\begin_inset Formula ${\cal D}$
+\end_inset
+
+ obtenemos que 
+\begin_inset Formula $-2dx+d^{2}=r'^{2}-r^{2}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $x=\frac{d^{2}+r^{2}-r'^{2}}{2d}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $y=\pm\sqrt{r^{2}-x^{2}}=\pm\sqrt{r^{2}-\left(\frac{d^{2}+r^{2}-r'^{2}}{2d}\right)^{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta última ecuación tiene solución cuando
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+|r|\geq\left|\frac{d^{2}+r^{2}-r'^{2}}{2d}\right|\overset{r\geq r'}{\iff}r\geq\frac{d^{2}+r^{2}-r'^{2}}{2d}\iff2dr\geq d^{2}+r^{2}-r'^{2}\iff\\
+\iff r'^{2}\geq(d-r)^{2}\iff r'\geq|d-r|\iff r'\geq d-r,r-d\iff r-r'\leq d\leq r+r'
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+Vemos de forma análoga que esta solución es única cuando 
+\begin_inset Formula $d\in\{r-r',r+r'\}$
+\end_inset
+
+, y de lo contrario es doble.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un punto 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ pertenece a la circunferencia en que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son diametralmente opuestos si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{AP}\bot\overrightarrow{BP}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal C}(O,r)$
+\end_inset
+
+ esta circunferencia,
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\Vert\overrightarrow{OP}\Vert^{2}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP})\cdot(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP})=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=\\
+=-r^{2}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=-r^{2}+\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{AP})+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=\\
+=-r^{2}+\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA})+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=-r^{2}+2r^{2}+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=r^{2}+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+luego 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal C}(O,r)\iff\Vert\overrightarrow{OP}\Vert^{2}=r^{2}\iff\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una recta es 
+\series bold
+tangente
+\series default
+ a una circunferencia si la corta en un único punto, y 
+\series bold
+secante
+\series default
+ si la corta en dos puntos.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ un punto exterior a la circunferencia 
+\begin_inset Formula ${\cal C}:={\cal C}(O,r)$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{OP}\Vert>r$
+\end_inset
+
+), existen dos y solo dos tangentes a 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son los puntos de tangencia, 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PA}\Vert=\Vert\overrightarrow{PB}\Vert$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{OA}\bot\overrightarrow{PA}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $M:=\frac{O+P}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal D}:={\cal C}(M,\Vert\overrightarrow{MO}\Vert)$
+\end_inset
+
+, sabemos que 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal D}$
+\end_inset
+
+ se cortan en dos puntos 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $O,P,A\in{\cal D}$
+\end_inset
+
+ siendo 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ diametralmente opuestos, tenemos 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{OA}\bot\overrightarrow{PA}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ es tangente a 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, porque cualquier otro punto 
+\begin_inset Formula $A'\in PA$
+\end_inset
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{OA'}\Vert=\sqrt{\Vert\overrightarrow{OA}\Vert^{2}+\Vert\overrightarrow{AA'}\Vert^{2}}>\Vert\overrightarrow{OA}\Vert$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $A'\notin{\cal C}$
+\end_inset
+
+.
+ Por el mismo argumento, 
+\begin_inset Formula $PB$
+\end_inset
+
+ es tangente a 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+ Además, por ser 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{OA}\bot\overrightarrow{PA}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{OB}\bot\overrightarrow{PB}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PA}\Vert^{2}=\Vert\overrightarrow{OP}\Vert^{2}-\Vert\overrightarrow{OA}\Vert^{2}=\Vert\overrightarrow{OP}\Vert^{2}-r^{2}=\Vert\overrightarrow{OP}\Vert^{2}-\Vert\overrightarrow{OB}\Vert^{2}=\Vert\overrightarrow{PB}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Finalmente, supongamos que existe una tercera recta que pasa por 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y es tangente a 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ en un punto 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ el punto de 
+\begin_inset Formula $PD$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $QM\bot PD$
+\end_inset
+
+, tenemos que 
+\begin_inset Formula $\min\{\Vert\overrightarrow{P'M}\Vert\}_{P'\in PD}=\Vert\overrightarrow{QM}\Vert$
+\end_inset
+
+, y para cualquier otro punto 
+\begin_inset Formula $Q'\in PD$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{Q'M}\Vert>\Vert\overrightarrow{QM}\Vert$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $PM\bot PD\iff\min\{\Vert\overrightarrow{P'M}\Vert\}_{P'\in PD}=\Vert\overrightarrow{PM}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $PD$
+\end_inset
+
+ es perpendicular a 
+\begin_inset Formula $PM$
+\end_inset
+
+, también lo es a 
+\begin_inset Formula $PO$
+\end_inset
+
+, luego para un punto 
+\begin_inset Formula $P'\in PD$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{P'O}\Vert>\Vert\overrightarrow{PO}\Vert>r$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $PD$
+\end_inset
+
+ no corta a 
+\begin_inset Formula ${\cal C}\#$
+\end_inset
+
+.
+ Si por el contrario 
+\begin_inset Formula $Q\neq P$
+\end_inset
+
+, tomando 
+\begin_inset Formula $P'\neq P$
+\end_inset
+
+ como la simetría de 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ sobre la recta 
+\begin_inset Formula $QM$
+\end_inset
+
+ es fácil ver que 
+\begin_inset Formula $P'\in PD\cap{\cal D}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+ son diametralmente opuestos en 
+\begin_inset Formula ${\cal D}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $PP'\bot OP'$
+\end_inset
+
+.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{OP'}\Vert>r$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{OD}\Vert\geq\Vert\overrightarrow{OP'}\Vert>r\#$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{OP'}\Vert<r$
+\end_inset
+
+, tomando la simetría de 
+\begin_inset Formula $D\in{\cal C}$
+\end_inset
+
+ sobre la recta 
+\begin_inset Formula $OP'$
+\end_inset
+
+ obtenemos un punto 
+\begin_inset Formula $D'\in{\cal C}\cap PD$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $PD$
+\end_inset
+
+ es secante
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Si alguien tiene una demostración más corta o procesable de que no hay tercera
+ recta, que me lo diga, por favor.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tres puntos no alineados 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ pasa una única circunferencia.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ una circunferencia que pasa por 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+.
+ Necesariamente el centro, 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+, debe estar en las mediatrices de 
+\begin_inset Formula $AC$
+\end_inset
+
+ y de 
+\begin_inset Formula $AB$
+\end_inset
+
+, que llamaremos 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m'$
+\end_inset
+
+ respectivamente.
+ La intersección de estas es un único punto, pues de lo contrario estas
+ serían paralelas y por tanto 
+\begin_inset Formula $AB$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $AC$
+\end_inset
+
+ lo serían también entre sí, pero como tienen un punto 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ en común, los tres puntos estarían alineados.
+ Así, podemos tomar 
+\begin_inset Formula $\{O\}:=m\cap m'$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal C}(O,\overrightarrow{OA})$
+\end_inset
+
+ sería la única circunferencia que pasa por los tres puntos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal C}\equiv ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$
+\end_inset
+
+ (por ejemplo, una circunferencia) y 
+\begin_inset Formula $\ell\nsubseteq{\cal C}$
+\end_inset
+
+ una recta, entonces 
+\begin_inset Formula $|\ell\cap{\cal C}|\leq2$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+: Tras un cambio de coordenadas ortonormal tal que 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv y=0$
+\end_inset
+
+, tenemos 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\{ \begin{array}{rrcl}
+{\cal C}: & a'x^{2}+b'xy+c'y^{2}+d'x+e'y+f' & = & 0\\
+\ell: & y & = & 0
+\end{array}\right.\iff a'x^{2}+d'x+f'=0
+\]
+
+\end_inset
+
+que al ser una ecuación de segundo grado, tiene a lo sumo 2 soluciones salvo
+ si 
+\begin_inset Formula $a'=d'=f'=0$
+\end_inset
+
+, pero entonces sería 
+\begin_inset Formula ${\cal C}\equiv b'xy+c'y^{2}+e'y=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ell\subseteq{\cal C}\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+La elipse
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancia
+s a dos puntos fijos, llamados 
+\series bold
+focos
+\series default
+, es constante.
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración
+\series default
+: Sean dos esferas inscritas en el cono y tangentes a la sección del cono
+ que nos da la elipse
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Queda demostrar que estas son únicas.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'$
+\end_inset
+
+ son los puntos de tangencia, dado un punto 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ arbitrario de la elipse, si 
+\begin_inset Formula $A_{P}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B_{P}$
+\end_inset
+
+ son puntos de las esferas (huecas) que contienen respectivamente a 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'$
+\end_inset
+
+ y que están alineados con 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y el vértice del cono, entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert=\Vert\overrightarrow{PB_{P}}\Vert$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PF}\Vert=\Vert\overrightarrow{PA_{P}}\Vert$
+\end_inset
+
+, pues todas las tangentes a una esfera dese un mismo punto (
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+) tienen la misma longitud
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+También hay que probar esto último.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PF}\Vert+\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert=\Vert\overrightarrow{A_{P}B_{P}}\Vert$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{A_{P}B_{P}}\Vert$
+\end_inset
+
+ no depende del punto 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $A_{P}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B_{P}$
+\end_inset
+
+ mantienen distancia constante con el vértice del cono por estar en la intersecc
+ión del cono y la esfera que es una circunferencia perpendicular al eje
+ del cono
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lo cual hay que demostrar también.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'$
+\end_inset
+
+ son los focos de la elipse, la recta 
+\begin_inset Formula $FF'$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+eje principal
+\series default
+, la mediatriz del segmento 
+\begin_inset Formula $FF'$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+eje secundario
+\series default
+, y su intersección es el 
+\series bold
+centro
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+.
+ Los 
+\series bold
+vértices
+\series default
+ son los puntos de la elipse que intersecan con el eje principal (
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A'$
+\end_inset
+
+) o el secundario (
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B'$
+\end_inset
+
+).
+ Llamamos 
+\series bold
+semidistancia focal
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $c:=\Vert\overrightarrow{OF}\Vert$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+distancia focal
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $2c$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+semieje principal
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $a:=\Vert\overrightarrow{OA}\Vert$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+semieje secundario
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $b:=\Vert\overrightarrow{OB}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para todo punto 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ de la elipse, 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PF}\Vert+\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert=2a$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{AF}\Vert+\Vert\overrightarrow{AF}\Vert+\Vert\overrightarrow{FF'}\Vert=\Vert\overrightarrow{AF}\Vert+\Vert\overrightarrow{AF'}\Vert=\Vert\overrightarrow{A'F}\Vert+\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert=\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert+\Vert\overrightarrow{F'F}\Vert+\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{AF}\Vert=\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PF}\Vert+\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert=\Vert\overrightarrow{AF}\Vert+\Vert\overrightarrow{AF'}\Vert=\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert+\Vert\overrightarrow{AF'}\Vert=\Vert\overrightarrow{AA'}\Vert=2a$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí que 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{BF}\Vert=a$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $a^{2}=\Vert\overrightarrow{BF}\Vert^{2}=\Vert\overrightarrow{BO}\Vert^{2}+\Vert\overrightarrow{OF}\Vert^{2}=b^{2}+c^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+excentricidad
+\series default
+ de la elipse a 
+\begin_inset Formula $\epsilon:=\frac{c}{a}$
+\end_inset
+
+, y tenemos que 
+\begin_inset Formula $b=a\sqrt{1-\epsilon^{2}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $0\leq\epsilon<1$
+\end_inset
+
+, si bien cuando 
+\begin_inset Formula $\epsilon=0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $F=F'$
+\end_inset
+
+ y tenemos una circunferencia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+ecuación reducida de la elipse
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
+\]
+
+\end_inset
+
+siendo 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ el semieje mayor y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ el menor.
+ En efecto, en cierto referencial ortonormal la elipse tiene focos 
+\begin_inset Formula $F=(c,0)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'=(-c,0)$
+\end_inset
+
+, y para un punto 
+\begin_inset Formula $P(x,y)$
+\end_inset
+
+ en la elipse, 
+\begin_inset Formula $2a=\Vert\overrightarrow{PF}\Vert+\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $4a^{2}+x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}$
+\end_inset
+
+, y simplificando, 
+\begin_inset Formula $a^{2}+cx=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
+\end_inset
+
+ y de aquí, elevando al cuadrado y simplificando, 
+\begin_inset Formula $a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=a^{2}b^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Unas 
+\series bold
+ecuaciones paramétricas
+\series default
+ de esta elipse son 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\left\{ \begin{array}{rcl}
+x & = & a\cos t\\
+y & = & b\sin t
+\end{array}\right. & \text{ con } & t\in[0,2\pi)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que una recta es 
+\series bold
+tangente
+\series default
+ a una elipse si la corta en un único punto y 
+\series bold
+secante
+\series default
+ si la corta en dos puntos.
+ La 
+\series bold
+propiedad focal de la elipse
+\series default
+ dice que, dado un punto 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ de una elipse de focos 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'$
+\end_inset
+
+, la recta bisectriz del ángulo entre 
+\begin_inset Formula $-\overrightarrow{PF}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PF'}$
+\end_inset
+
+ es tangente a la elipse.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ dicha recta, basta ver que cualquier otro punto 
+\begin_inset Formula $P'\in\ell$
+\end_inset
+
+ no está en la elipse.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $G:=s_{\ell}(F)$
+\end_inset
+
+ (el simétrico), entonces 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ está en el segmento 
+\begin_inset Formula $F'G$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{F'P}\Vert+\Vert\overrightarrow{FP}\Vert=\Vert\overrightarrow{F'P}\Vert+\Vert\overrightarrow{GP}\Vert=\Vert\overrightarrow{F'G}\Vert<\Vert\overrightarrow{F'P'}\Vert+\Vert\overrightarrow{P'G}\Vert=\Vert\overrightarrow{F'P'}\Vert+\Vert\overrightarrow{P'F}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La recta tangente a la elipse 
+\begin_inset Formula ${\cal C}\equiv\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+ por el punto 
+\begin_inset Formula $P(x_{0},y_{0})$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, la tangente a la circunferencia 
+\begin_inset Formula ${\cal C}\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal C}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+: Sea 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\ell\equiv\left\{ \begin{array}{rcl}
+x & = & x_{0}+ut\\
+y & = & y_{0}+vt
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+Los puntos de 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ que están en la elipse satisfacen 
+\begin_inset Formula $\frac{(x_{0}+ut)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y_{0}+vt)^{2}}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+, y operando obtenemos 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{2ux_{0}}{a^{2}}+\frac{2vy_{0}}{b^{2}}\right)t+\left(\frac{u^{2}}{a^{2}}+\frac{v^{2}}{b^{2}}\right)t^{2}=1-\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=0$
+\end_inset
+
+, que se cumple para 
+\begin_inset Formula $t\in\left\{ 0,-\frac{2\left(\frac{ux_{0}}{a^{2}}+\frac{vy_{0}}{b^{2}}\right)}{\frac{u^{2}}{a^{2}}+\frac{v^{2}}{b^{2}}}\right\} $
+\end_inset
+
+.
+ Estos dos valores son iguales si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\frac{ux_{0}}{a^{2}}+\frac{vy_{0}}{b^{2}}=0$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\frac{x_{0}}{a^{2}}(x-x_{0})+\frac{y_{0}}{b^{2}}(y-y_{0})=0$
+\end_inset
+
+ o, equivalentemente, 
+\begin_inset Formula $\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+La hipérbola
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia
+ de distancias a dos puntos fijos distintos, llamados 
+\series bold
+focos
+\series default
+, es constante en valor absoluto.
+ Si los focos son 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+eje principal
+\series default
+ a la recta 
+\begin_inset Formula $FF'$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+eje secundario
+\series default
+ a la mediatriz del segmento 
+\begin_inset Formula $FF'$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+centro
+\series default
+ a donde intersecan ambos ejes.
+ Los 
+\series bold
+vértices
+\series default
+ de la hipérbola son los sus puntos de corte con el eje principal.
+ Llamamos 
+\series bold
+semidistancia focal
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $c:=\Vert\overrightarrow{OF}\Vert$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+distancia focal
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $2c$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+semieje principal
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $a:=\Vert\overrightarrow{OA}\Vert$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+semieje secundario
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $b:=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ Una hipérbola es 
+\series bold
+equilátera
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $a=b$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+excentricidad
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $\epsilon:=\frac{c}{a}>1$
+\end_inset
+
+, y tenemos que 
+\begin_inset Formula $b=a\sqrt{\epsilon^{2}-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo punto 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ de la hipérbola 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PF}\Vert-\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert=\pm2a$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+: Sabemos que 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{AA'}\Vert=\Vert\overrightarrow{A'F}\Vert-\Vert\overrightarrow{AF}\Vert=\Vert\overrightarrow{AF'}\Vert-\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert$
+\end_inset
+
+, y que 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{AF'}\Vert-\Vert\overrightarrow{AF}\Vert=\Vert\overrightarrow{A'F}\Vert-\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+ Sustituyendo 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{AF'}\Vert$
+\end_inset
+
+ en la segunda ecuación, nos queda 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert+\Vert\overrightarrow{A'F}\Vert-2\Vert\overrightarrow{AF}\Vert=\Vert\overrightarrow{A'F}\Vert-\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert=\Vert\overrightarrow{AF}\Vert$
+\end_inset
+
+, lo que significa que 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{OA'}\Vert=\Vert\overrightarrow{OF'}\Vert-\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert=\Vert\overrightarrow{OF}\Vert-\Vert\overrightarrow{AF}\Vert=\Vert\overrightarrow{OA}\Vert=a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{AA'}\Vert=2a$
+\end_inset
+
+.
+ Así, dado un punto 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal H}$
+\end_inset
+
+ arbitrario, se tiene 
+\begin_inset Formula $|\Vert\overrightarrow{PF}\Vert-\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert|=\Vert\overrightarrow{AF'}\Vert-\Vert\overrightarrow{AF}\Vert=\Vert\overrightarrow{AF'}\Vert-\Vert\overrightarrow{A'F'}\Vert=\Vert\overrightarrow{AA'}\Vert=2a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+ecuación reducida de la hipérbola
+\series default
+ de semieje principal 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y secundario 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
+\]
+
+\end_inset
+
+En efecto, si tomamos el referencial ortonormal en el que 
+\begin_inset Formula $F=(c,0)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'=(-c,0)$
+\end_inset
+
+, tenemos 
+\begin_inset Formula $\pm2a=\Vert\overrightarrow{PF}\Vert-\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}\pm4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=(x-c)^{2}+y^{2}$
+\end_inset
+
+, y simplificando, 
+\begin_inset Formula $a^{2}+cx=\pm a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ Elevando al cuadrado y simplificando, nos queda que 
+\begin_inset Formula $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Unas ecuaciones paramétricas para esta hipérbola son
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\left\{ \begin{array}{rcl}
+x & = & a\cosh t\\
+y & = & b\sinh t
+\end{array}\right. & \text{ con } & t\in\mathbb{R}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+sremember{FUVR1}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} & \sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} & \cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+eremember
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una recta 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+asíntota
+\series default
+ de la hipérbola 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\ell\cap{\cal H}=\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d(\ell,{\cal H})=0$
+\end_inset
+
+, es
+\series bold
+ asintótica
+\series default
+ si es paralela a una asíntota, y es 
+\series bold
+tangente
+\series default
+ si corta a la hipérbola en un único punto sin ser asintótica.
+ Las rectas 
+\begin_inset Formula $y=\pm\frac{b}{a}x$
+\end_inset
+
+ son las (únicas) asíntotas de la hipérbola dada por la ecuación reducida.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv y=\pm\frac{b}{a}x$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(x,y)\in{\cal H}\cap\ell\iff\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-\left(\frac{\pm\frac{b}{a}x}{b}\right)^{2}=1$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-\left(\frac{\pm\frac{b}{a}x}{b}\right)^{2}=\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}=0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\ell\cap{\cal H}=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, dado 
+\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, el punto 
+\begin_inset Formula $P:=(a\cosh t,b\sinh t)\in{\cal H}$
+\end_inset
+
+ está en la misma abscisa que 
+\begin_inset Formula $Q:=(a\cosh t,b\cosh t)\in\ell$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $d(P,Q)=b(\cosh t-\sinh t)=be^{-t}$
+\end_inset
+
+, que tiende a 0 cuando 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ tiende a 
+\begin_inset Formula $+\infty$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $d(\ell,{\cal H})=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\iff y=\pm b\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}=\pm\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, una recta de la forma 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv x=r$
+\end_inset
+
+ intersecará con 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(r,\pm\sqrt{r^{2}-a^{2}})$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $|r|\geq|a|$
+\end_inset
+
+.
+ De lo contrario, observamos que todo punto 
+\begin_inset Formula $P(x,y)\in{\cal H}$
+\end_inset
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $|x|\geq a$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $d(P,\ell)^{2}=(x-r)^{2}$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $|x|\geq|a|>|r|$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $|x|\neq|r|$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x\neq r$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $(x-r)^{2}>0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv y=mx+n$
+\end_inset
+
+ para ciertos 
+\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, vemos que para que sea 
+\begin_inset Formula $d(\ell,{\cal H})=0$
+\end_inset
+
+ pero 
+\begin_inset Formula $\ell\cap{\cal H}=\emptyset$
+\end_inset
+
+, la distancia 0 debe tenerse como un límite.
+ De lo contrario, dada la función 
+\begin_inset Formula $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ definida por 
+\begin_inset Formula $h(t):=d((a\cosh t,b\sinh t),\ell)$
+\end_inset
+
+, debería haber un 
+\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow c}h(c)=0$
+\end_inset
+
+, pero por ser 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ continua se tendría 
+\begin_inset Formula $h(c)=0$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $d(c,\ell)=0$
+\end_inset
+
+ y si ahora definimos 
+\begin_inset Formula $g_{c}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $g_{c}(t):=d((a\cosh c,b\sinh c),mt+n)$
+\end_inset
+
+, por el mismo argumento existiría un 
+\begin_inset Formula $d\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d((\cosh c,\sinh c),md+n)=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\ell\cap{\cal H}\neq\emptyset\#$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Centrémonos ahora en el 
+\begin_inset Quotes fld
+\end_inset
+
+hemisferio norte
+\begin_inset Quotes frd
+\end_inset
+
+ de la hipérbola (
+\begin_inset Formula $\{(x,y)\in{\cal H}:y\geq0\}$
+\end_inset
+
+), dado por 
+\begin_inset Formula $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ Si definimos la función 
+\begin_inset Formula $f:(-\infty,-a]\cup[a,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $f(x):=mx+n-\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$
+\end_inset
+
+, tenemos que 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$
+\end_inset
+
+ ó 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$
+\end_inset
+
+ debe ser 0 para que 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ sea una asíntota en el hemisferio norte de 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow+\infty}mx+n-\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$
+\end_inset
+
+ converge si y sólo si 
+\begin_inset Formula $m=\frac{b}{a}$
+\end_inset
+
+, y en este caso converge a 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, por lo que debe ser 
+\begin_inset Formula $m=\frac{b}{a}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n=0$
+\end_inset
+
+.
+ Para el 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$
+\end_inset
+
+ nos encontramos con lo mismo pero con 
+\begin_inset Formula $m=-\frac{b}{a}$
+\end_inset
+
+.
+ El hemisferio sur se hace de forma análoga, tomando 
+\begin_inset Formula $\hat{f}(x):=mx+n+\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$
+\end_inset
+
+, y las condiciones que deben cumplir 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ son las mismas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+propiedad focal de la hipérbola
+\series default
+ afirma que dado un punto 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ de una hipérbola de focos 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'$
+\end_inset
+
+, la recta bisectriz del ángulo entre 
+\begin_inset Formula $-\overrightarrow{PF}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PF'}$
+\end_inset
+
+ es tangente a la elipse en 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+: Sea 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ dicha recta y 
+\begin_inset Formula $E:=s_{\ell}(F)$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $E\in PF'$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{EF'}\Vert=|\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert-\Vert\overrightarrow{PE}\Vert|=|\Vert\overrightarrow{PF'}\Vert-\Vert\overrightarrow{PF}\Vert|=2a$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $P\neq P'\in\ell$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{P'E}\Vert<\Vert\overrightarrow{P'F'}\Vert+\Vert\overrightarrow{EF'}\Vert<\Vert\overrightarrow{P'E}\Vert+2\Vert\overrightarrow{EF'}\Vert$
+\end_inset
+
+, por lo que restando 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{P'E}\Vert+\Vert\overrightarrow{EF'}\Vert$
+\end_inset
+
+, nos queda 
+\begin_inset Formula $-\Vert\overrightarrow{EF'}\Vert<\Vert\overrightarrow{P'F'}\Vert-\Vert\overrightarrow{P'E}\Vert<\Vert\overrightarrow{EF'}\Vert$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $|\Vert\overrightarrow{P'F'}\Vert-\Vert\overrightarrow{P'E}\Vert|<\Vert\overrightarrow{EF'}\Vert=2a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P'$
+\end_inset
+
+ no está en la hipérbola.
+ Queda ver que 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ no es asintótica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+ Para ello vemos que la hipérbola divide al plano en 3 regiones abiertas
+ conexas y definimos 
+\begin_inset Formula $f(Q):=\Vert\overrightarrow{QF}\Vert-\Vert\overrightarrow{QF'}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene que 
+\begin_inset Formula $f(Q)=\pm2a$
+\end_inset
+
+ en los puntos de la hipérbola, 
+\begin_inset Formula $f(Q)<-2a$
+\end_inset
+
+ en la región que contiene un foco, 
+\begin_inset Formula $f(Q)>2a$
+\end_inset
+
+ en la región del otro y 
+\begin_inset Formula $|f(Q)|<2a$
+\end_inset
+
+ en el medio.
+ Hemos visto que en 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $-2a\leq f\leq2a$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ nunca cruza a ninguna de las regiones que contiene un foco y por tanto
+ no puede ser una recta asintótica
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Habría que demostrar esto último.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La recta tangente a la hipérbola 
+\begin_inset Formula ${\cal H}\equiv\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+ en el punto 
+\begin_inset Formula $P(x_{0},y_{0})$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv\frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+: Sea
+\begin_inset Formula 
+\[
+\ell\equiv\left\{ \begin{array}{rcl}
+x & = & x_{0}+ut\\
+y & = & y_{0}+vt
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+Los puntos de 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ en la hipérbola satisfacen 
+\begin_inset Formula $\frac{(x_{0}+ut)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y_{0}+vt)^{2}}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+, y operando, 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{2ux_{0}}{a^{2}}-\frac{2vy_{0}}{b^{2}}\right)t+\left(\frac{u^{2}}{a^{2}}-\frac{v^{2}}{b^{2}}\right)t^{2}=1-\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=0$
+\end_inset
+
+, lo que se cumple para 
+\begin_inset Formula $t\in\left\{ 0,-\frac{2\left(\frac{ux_{0}}{a^{2}}-\frac{vy_{0}}{b^{2}}\right)}{\frac{u^{2}}{a^{2}}-\frac{v^{2}}{b^{2}}}\right\} $
+\end_inset
+
+.
+ Estos dos valores son iguales si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\frac{ux_{0}}{a^{2}}=\frac{vy_{0}}{b^{2}}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\frac{x_{0}}{a^{2}}(x-x_{0})=\frac{y_{0}}{b^{2}}(y-y_{0})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{y_{0}y}{b^{2}}=\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+La parábola
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una parábola es el lugar de los puntos del plano que equidistan de un punto
+ llamado 
+\series bold
+foco
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+), y una recta llamada 
+\series bold
+directriz
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+).
+ La perpendicular a 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+eje
+\series default
+ (
+\series bold
+principal
+\series default
+) de la parábola y el punto en que la parábola interseca con el eje es el
+ 
+\series bold
+vértice
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una ecuación reducida de la parábola con 
+\begin_inset Formula $d(F,l)=:p$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula 
+\[
+y^{2}=2px
+\]
+
+\end_inset
+
+En efecto, si tomamos un referencial ortonormal en el que 
+\begin_inset Formula $x=0$
+\end_inset
+
+ sea el eje de la parábola, el origen sea el vértice, 
+\begin_inset Formula $F=(\frac{p}{2},0)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $l\equiv x=-\frac{p}{2}$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $P(x,y)$
+\end_inset
+
+ un punto 
+\begin_inset Quotes fld
+\end_inset
+
+genérico
+\begin_inset Quotes frd
+\end_inset
+
+ de la parábola, entonces 
+\begin_inset Formula $\sqrt{(x-\frac{p}{2})^{2}+y^{2}}=\Vert\overrightarrow{PF}\Vert=d(P,l)=x+\frac{p}{2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $x^{2}-px+\frac{p^{2}}{4}+y^{2}=x^{2}+px+\frac{p^{2}}{4}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y^{2}=2px$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Unas ecuaciones paramétricas son
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\left\{ \begin{array}{rcl}
+x & = & \frac{t^{2}}{2p}\\
+y & = & t
+\end{array}\right. & \text{ con } & t\in\mathbb{R}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una recta es 
+\series bold
+tangente
+\series default
+ a una parábola si la corta en un solo punto sin ser paralela al eje.
+ La 
+\series bold
+propiedad focal de la parábola
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ es un punto de la parábola de directriz 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ y foco 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es la intersección de 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ con su perpendicular por 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ entonces la recta bisectriz del ángulo entre 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PF}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PA}$
+\end_inset
+
+ es tangente a la parábola en 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+: Sea 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ la bisectriz y 
+\begin_inset Formula $P\neq P'\in r$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{P'F}\Vert=\Vert\overrightarrow{P'A}\Vert>d(P',l)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $P'$
+\end_inset
+
+ no está en la parábola.
+ Queda ver que 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ no es paralela al eje.
+ Si lo fuese, el ángulo entre 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PA}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ sería 0 y por tanto también lo sería aquel entre 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PA}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PF}$
+\end_inset
+
+ con lo que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PF}$
+\end_inset
+
+ para cierto 
+\begin_inset Formula $\lambda>0$
+\end_inset
+
+, que debe ser 1 porque 
+\begin_inset Formula $\Vert\overrightarrow{PF}\Vert=\Vert\overrightarrow{PA}\Vert=|\lambda|\Vert\overrightarrow{PF}\Vert$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $F=A\in l\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La recta tangente a la parábola 
+\begin_inset Formula $y^{2}=2px$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $P(x_{0},y_{0})$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv y_{0}y-px=px_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+: Sea 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\ell\equiv\left\{ \begin{array}{rcl}
+x & = & x_{0}+ut\\
+y & = & y_{0}+vt
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+Los puntos de 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ en la parábola satisfacen 
+\begin_inset Formula $(y_{0}+vt)^{2}=2p(x_{0}+ut)$
+\end_inset
+
+, y operando, 
+\begin_inset Formula $(2y_{0}v-2pu)t+v^{2}t^{2}=2px_{0}-y_{0}^{2}=0$
+\end_inset
+
+, lo que se cumple para 
+\begin_inset Formula $t\in\left\{ 0,\frac{2(pu-y_{0}v)}{v^{2}}\right\} $
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $v=0$
+\end_inset
+
+, la recta es paralela al eje y no tangente; de lo contrario los dos valores
+ son iguales si y sólo si 
+\begin_inset Formula $pu=y_{0}v$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $p(x-x_{0})=y_{0}(y-y_{0})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y_{0}y-px=y_{0}^{2}-px_{0}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Definición alternativa de las cónicas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ es una cónica no degenerada distinta de una circunferencia si y sólo si
+ existen 
+\begin_inset Formula $\epsilon>0$
+\end_inset
+
+, una recta 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ y un punto 
+\begin_inset Formula $F\notin\ell$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\frac{d(P,F)}{d(P,\ell)}=\epsilon$
+\end_inset
+
+, en cuyo caso 
+\begin_inset Formula $\epsilon<1$
+\end_inset
+
+ para una elipse, 
+\begin_inset Formula $\epsilon=1$
+\end_inset
+
+ para una parábola y 
+\begin_inset Formula $\epsilon>1$
+\end_inset
+
+ para una hipérbola.
+ Llamamos a 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ la 
+\series bold
+directriz del foco
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y a 
+\begin_inset Formula $p:=d(F,\ell)$
+\end_inset
+
+ el 
+\series bold
+parámetro focal
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+ el punto de intersección entre 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ y su perpendicular por 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+, y tomamos un referencial ortonormal con origen 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv x=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F=(p,0)$
+\end_inset
+
+ siendo 
+\begin_inset Formula $p>0$
+\end_inset
+
+ la distancia focal.
+ Vemos que 
+\begin_inset Formula $\frac{d(P,F)}{d(P,\ell)}=\epsilon\iff(x-p)^{2}+y^{2}=\epsilon^{2}x^{2}\iff(1-\epsilon^{2})x^{2}+y^{2}-2px+p^{2}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\epsilon<1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $1-\epsilon^{2}>0$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+0=(1-\epsilon)^{2}\left(x^{2}-\frac{2p}{1-\epsilon^{2}}x\right)+y^{2}+p^{2}=\\
+=(1-\epsilon)^{2}\left(\left(x-\frac{p}{1-\epsilon^{2}}\right)^{2}-\frac{p^{2}}{(1-\epsilon^{2})^{2}}\right)+y^{2}+p^{2}\implies\\
+\implies(1-\epsilon^{2})\left(x-\frac{p}{1-\epsilon^{2}}\right)^{2}+y^{2}=\frac{p^{2}}{1-\epsilon^{2}}-p^{2}=\frac{p^{2}\epsilon^{2}}{1-\epsilon^{2}}\implies\\
+\left.\stackrel[y':=y]{x':=x-\frac{p}{1-\epsilon^{2}}}{}\right\} \implies(1-\epsilon^{2})x'^{2}+y'^{2}=\frac{p^{2}\epsilon^{2}}{1-\epsilon^{2}}\implies\frac{(1-\epsilon^{2})^{2}}{\epsilon^{2}p^{2}}x'^{2}+\frac{1-\epsilon^{2}}{\epsilon^{2}p^{2}}y'^{2}=1\implies\\
+\left.\stackrel[b:=\frac{\epsilon p}{\sqrt{1-\epsilon^{2}}}]{a:=\frac{\epsilon p}{1-\epsilon^{2}}}{}\right\} \implies\frac{x'^{2}}{a^{2}}+\frac{y'^{2}}{b^{2}}=1
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\epsilon=1$
+\end_inset
+
+, nos queda 
+\begin_inset Formula $y^{2}-2px+p^{2}=0\iff y^{2}=2p(x-\frac{p}{2})\stackrel[y':=y]{x':=x-\frac{p}{2}}{\implies}y'^{2}=2px'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\epsilon>1$
+\end_inset
+
+, cambiando el signo a la ecuación de arriba nos queda 
+\begin_inset Formula $(\epsilon^{2}-1)x^{2}-y^{2}+2px-p^{2}=0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\epsilon^{2}-1>0$
+\end_inset
+
+, luego
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+(\epsilon^{2}-1)\left(x+\frac{p}{\epsilon^{2}-1}\right)^{2}-y^{2}=p^{2}-\frac{p^{2}}{\epsilon^{2}-1}=\frac{p^{2}\epsilon^{2}}{\epsilon^{2}-1}\implies\\
+\left.\stackrel[y':=y]{x':=x+\frac{p}{\epsilon^{2}-1}}{}\right\} \implies(\epsilon^{2}-1)x'^{2}-y'^{2}=\frac{p^{2}\epsilon^{2}}{\epsilon^{2}-1}\implies\frac{(\epsilon^{2}-1)^{2}}{p^{2}\epsilon^{2}}x'^{2}-\frac{\epsilon^{2}-1}{p^{2}\epsilon^{2}}y'^{2}=1\implies\\
+\left.\stackrel[b:=\frac{\epsilon p}{\sqrt{\epsilon^{2}-1}}]{a:=\frac{\epsilon p}{\epsilon^{2}-1}}{}\right\} \implies\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Las cuentas son aproximadamente las de la otra implicación pero al revés.
+ Así, para una elipse 
+\begin_inset Formula $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+ o una hipérbola 
+\begin_inset Formula $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
+\end_inset
+
+, tomamos 
+\begin_inset Formula $\epsilon=\frac{c}{a}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $F=(c,0)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv x=\frac{a^{2}}{c}$
+\end_inset
+
+, mientras que para una parábola 
+\begin_inset Formula $y^{2}=2px$
+\end_inset
+
+, tomamos 
+\begin_inset Formula $\epsilon=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $F=(\frac{p}{2},0)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv x=-\frac{p}{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $F=(p,0)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv x=0$
+\end_inset
+
+, la distancia entre 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q:=(p,p\epsilon)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lambda:=d(F,Q)=p\epsilon$
+\end_inset
+
+, se llama 
+\series bold
+semilado recto
+\series default
+ de la cónica.
+ La ecuación de una cónica de excentricidad 
+\begin_inset Formula $\epsilon$
+\end_inset
+
+, foco 
+\begin_inset Formula $F=(s,t)$
+\end_inset
+
+ y directriz 
+\begin_inset Formula $\ell\equiv ux+vy+w=0$
+\end_inset
+
+ se puede escribir como
+\begin_inset Formula 
+\[
+(x-s)^{2}+(y-t)^{2}=(lx+my+n)^{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $k:=\frac{\epsilon}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $l:=ku$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $m:=kv$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n:=kw$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+ecuación focal de la cónica
+\series default
+, pues 
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\frac{d(P,F)}{d(P,\ell)}=\epsilon\iff d(P,F)^{2}=\epsilon^{2}d(P,\ell)^{2}\iff\\
+\iff(x-s)^{2}+(y-t)^{2}=\epsilon^{2}\frac{(ux+vy+w)^{2}}{u^{2}+v^{2}}=(lx+my+n)^{2}
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+sremember{GAE}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q=(q_{1},\dots,q_{n})$
+\end_inset
+
+ a un hiperplano 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ de ecuación 
+\begin_inset Formula $a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b=0$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,{\cal H})=\frac{|a_{1}q_{1}+\dots+a_{n}q_{n}+b|}{\Vert(a_{1},\dots,a_{n})\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+eremember
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document