Erratas

Esta vez en algunas asignaturas no llegué a comprobar erratas:
- En funcional a partir de 2.11
- En DSI
- En conmutativa a partir de la enumeración antes del lema de Artin
  en 3.8

1 files changed, 134 insertions, 230 deletions

diff --git a/ac/n3.lyx b/ac/n3.lyx
index 9f5500e..5adcc91 100644
--- a/ac/n3.lyx
+++ b/ac/n3.lyx
@@ -517,23 +517,7 @@ status open
 
 \end_inset
 
-
-\begin_inset Formula $N\neq\emptyset$
-\end_inset
-
- y, para 
-\begin_inset Formula $n\in N$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $1n=(1+0)n=1n+0n\implies0n=0\in N$
-\end_inset
-
-, y es claro que es cerrado para combinaciones 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
--lineales.
+Obvio.
 \end_layout
 
 \begin_layout Itemize
@@ -558,10 +542,6 @@ Claramente es cerrado para la suma y el producto, y también para el opuesto
 \begin_inset Formula $-n=(-1)n\in N$
 \end_inset
 
-, ya que 
-\begin_inset Formula $n+(-1)n=(1-1)n=0n=0$
-\end_inset
-
 .
 \end_layout
 
@@ -578,8 +558,8 @@ Llamamos
 \begin_inset Formula $M$
 \end_inset
 
- ordenado por inclusión, que es un retículo en el que el ínfimo es la intersecci
-ón y el supremo es la suma, definida para 
+ ordenado por inclusión, que es un retículo en que el ínfimo es la intersección
+ y el supremo es la suma, definida para 
 \begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
 \end_inset
 
@@ -766,7 +746,7 @@ Para
 \begin_inset Formula $IX\leq_{A}M$
 \end_inset
 
-, y en particular, para 
+, y para 
 \begin_inset Formula $m\in M$
 \end_inset
 
@@ -799,7 +779,7 @@ Para
 \begin_inset Formula $SN\leq_{A}M$
 \end_inset
 
-, y en particular, para 
+, y para 
 \begin_inset Formula $a\in A$
 \end_inset
 
@@ -1106,7 +1086,7 @@ Si
 \end_inset
 
  contiene al 
-\begin_inset Formula $0=f^{-1}(N')$
+\begin_inset Formula $0=f^{-1}(0)$
 \end_inset
 
 , y si 
@@ -1134,7 +1114,7 @@ La composición de
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
--homomorfismos.
+-homomorfismo.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -1222,7 +1202,7 @@ isomorfos
 \begin_inset Formula $f^{-1}(n+n')=m+m'=f^{-1}(n)+f^{-1}(n')$
 \end_inset
 
- y 
+, y 
 \begin_inset Formula $f(am)=af(m)=an$
 \end_inset
 
@@ -1437,15 +1417,11 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula $f$
 \end_inset
 
- es suprayectivo, si 
-\begin_inset Formula $S$
-\end_inset
-
- es un 
-\begin_inset Formula $_{A}M$
+ es suprayectivo y 
+\begin_inset Formula $S\leq{}_{A}M$
 \end_inset
 
--submódulo, para 
+, para 
 \begin_inset Formula $b\in B$
 \end_inset
 
@@ -1525,8 +1501,8 @@ Si
 \begin_inset Formula $\iota:A\hookrightarrow B$
 \end_inset
 
- es una inclusión, restringir escalares es limitarse a considerar escalares
- de 
+ es una inclusión, restringir escalares es limitarse a los escalares de
+ 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -1602,7 +1578,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $nM=0$
 \end_inset
 
- y, si 
+, y si 
 \begin_inset Formula $p$
 \end_inset
 
@@ -1666,11 +1642,11 @@ Si
 \end_deeper
 \begin_layout Enumerate
 Si 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
  es un cuerpo, 
-\begin_inset Formula $_{\mathbb{K}[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{\mathbb{K}}\text{Vect}}\text{End}_{\mathbb{K}}(V)$
+\begin_inset Formula $_{K[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{K}\text{Vect}}\text{End}_{K}(V)$
 \end_inset
 
  por la biyección
@@ -1682,7 +1658,7 @@ Si
 \end_inset
 
 y los 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+\begin_inset Formula $K[X]$
 \end_inset
 
 -submódulos de 
@@ -1690,7 +1666,7 @@ y los
 \end_inset
 
  son sus 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
 -subespacios vectoriales 
@@ -1721,7 +1697,7 @@ y los
  tiene 
 \series bold
 estructura de 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+\begin_inset Formula $K[X]$
 \end_inset
 
 -módulo asociada al endomorfismo
@@ -1730,14 +1706,10 @@ estructura de
 \begin_inset Formula $f$
 \end_inset
 
-, y si 
+, y para 
 \begin_inset Formula $p\in K[X]$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $f:V\to V$
-\end_inset
-
 , llamamos 
 \begin_inset Formula $p(f):V\to V$
 \end_inset
@@ -1756,7 +1728,7 @@ Si
 \end_inset
 
  es un 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+\begin_inset Formula $K[X]$
 \end_inset
 
 -módulo, 
@@ -1764,7 +1736,7 @@ Si
 \end_inset
 
  es un 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+\begin_inset Formula $K[X]$
 \end_inset
 
 -endomorfismo, y por restricción de escalares 
@@ -1772,11 +1744,11 @@ Si
 \end_inset
 
  es un 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
 -módulo o 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
 -espacio vectorial y 
@@ -1793,7 +1765,7 @@ Si
 \end_inset
 
  es un 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
 -espacio vectorial y 
@@ -1801,11 +1773,11 @@ Si
 \end_inset
 
  un 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
 -endomorfismo, el producto 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]\times V\to V$
+\begin_inset Formula $K[X]\times V\to V$
 \end_inset
 
  dado por 
@@ -1825,11 +1797,11 @@ dad y distributividad por ambos lados).
 \end_inset
 
 Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para 
-\begin_inset Formula $p\in\mathbb{K}[X]$
+\begin_inset Formula $p\in K[X]$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $a\in K$
 \end_inset
 
  y 
@@ -1837,7 +1809,7 @@ Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para
 \end_inset
 
 , partiendo del 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+\begin_inset Formula $K[X]$
 \end_inset
 
 -módulo, 
@@ -1845,15 +1817,15 @@ Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para
 \end_inset
 
  por asociatividad y distributividad del producto en el 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+\begin_inset Formula $K[X]$
 \end_inset
 
 -módulo, y partiendo del 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
 -espacio vectorial y endomorfismo, 
-\begin_inset Formula $a_{\mathbb{K}[X]}v=af^{0}(v)=a$
+\begin_inset Formula $a_{K[X]}v=af^{0}(v)=a$
 \end_inset
 
  y 
@@ -2334,22 +2306,6 @@ Sistemas generadores
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Para 
-\begin_inset Formula $m\in_{A}M$
-\end_inset
-
-, llamamos 
-\series bold
-submódulo cíclico
-\series default
- a 
-\begin_inset Formula $(m)\coloneqq Am=\{am\}_{a\in A}$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
 Si 
 \begin_inset Formula $X\subseteq_{A}M$
 \end_inset
@@ -2450,8 +2406,20 @@ Por definición todo
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
--lineales, por lo que el conjunto de estas está en el ínfimo, y el ínfimo
- está en el conjunto.
+-lineales, por lo que el conjunto de estas está en el ínfimo y es en sí
+ un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-submódulo de 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ que contiene a 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -2532,8 +2500,8 @@ El
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-En 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+Un 
+\begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
 -espacio vectorial es finitamente generado si y sólo si es de dimensión
@@ -2617,7 +2585,7 @@ En general los submódulos de módulos finitamente generados no son finitamente
 \begin_inset Formula $A=(1)$
 \end_inset
 
- y contiene ideales no finitamente generados.
+ y puede contener ideales no finitamente generados.
 \end_layout
 
 \end_deeper
@@ -2626,7 +2594,7 @@ En general los submódulos de módulos finitamente generados no son finitamente
 \end_inset
 
  es un 
-\begin_inset Formula $A$
+\begin_inset Formula $A[X]$
 \end_inset
 
 -módulo cíclico pero no es finitamente generado como 
@@ -2750,27 +2718,19 @@ Si
 \begin_inset Formula $N\cap K\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{r})$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(y_{1},\dots,y_{s})$
-\end_inset
-
- y, para 
-\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,s\}$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $y_{j}\eqqcolon n_{j}+k_{j}$
+ y 
+\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(n_{1}+k_{1},\dots,n_{s}+k_{s})$
 \end_inset
 
- con 
+ con cada 
 \begin_inset Formula $n_{j}\in N$
 \end_inset
 
- y 
+ y cada 
 \begin_inset Formula $k_{j}\in K$
 \end_inset
 
-, entonces 
+, 
 \begin_inset Formula $N=(x_{1},\dots,x_{r},n_{1},\dots,n_{s})$
 \end_inset
 
@@ -2817,6 +2777,22 @@ Los epimorfismos conservan los conjuntos generadores.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+vspace{1ex}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 
 \series bold
 Lema de Nakayama:
@@ -3014,7 +2990,7 @@ suma directa interna
 \end_inset
 
 , escrita 
-\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}M_{i}$
+\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}N_{i}$
 \end_inset
 
 , que es isomorfa con la suma directa externa.
@@ -3052,7 +3028,7 @@ suma directa interna
 \end_inset
 
  Para 
-\begin_inset Formula $n\in\bigoplus_{i}N_{i}$
+\begin_inset Formula $n\in\sum_{i}N_{i}$
 \end_inset
 
  con 
@@ -3108,7 +3084,7 @@ Si
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N\oplus N'\land N\cap N'=0$
+\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N+N'\land N\cap N'=0$
 \end_inset
 
 , y entonces:
@@ -3149,7 +3125,7 @@ La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial.
 
 \end_deeper
 \begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong N'$
+\begin_inset Formula $N\cong\frac{M}{N'}$
 \end_inset
 
 .
@@ -3476,7 +3452,7 @@ En general un submódulo de
 \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
 \end_inset
 
- ya que en todo cociente de 
+ ya que todo cociente de 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
 \end_inset
 
@@ -3616,20 +3592,21 @@ indescomponible
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-Todo subespacio 
-\begin_inset Formula $W$
-\end_inset
-
- de un espacio vectorial 
-\begin_inset Formula $V$
-\end_inset
-
- tiene complementos directos (no únicos).
+Todo subespacio de un espacio vectorial tiene complementos directos (no
+ únicos).
 \end_layout
 
 \begin_deeper
 \begin_layout Standard
-Una base de 
+Si 
+\begin_inset Formula $V\leq_{K}V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ cuerpo, una base de 
 \begin_inset Formula $W$
 \end_inset
 
@@ -3781,11 +3758,16 @@ Como
 \begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$
 \end_inset
 
- divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la primera y 
+ divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la izquierda y
+ 
 \begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$
 \end_inset
 
 , con lo que 
+\begin_inset Formula $n=\prod_{j}p_{j}^{m_{j}}\mid q_{i}a_{i}$
+\end_inset
+
+, 
 \begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$
 \end_inset
 
@@ -3815,9 +3797,9 @@ Un
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
 \begin_layout Itemize
 \begin_inset Argument item:1
 status open
@@ -3904,66 +3886,24 @@ status open
 
 \end_inset
 
-Sea 
-\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$
-\end_inset
-
-, por el argumento anterior 
-\begin_inset Formula $(em)$
-\end_inset
-
- es un sumando directo, de modo que bien 
-\begin_inset Formula $(em)=0$
-\end_inset
-
- y por tanto 
-\begin_inset Formula $em=0$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $e\in\text{ann}_{A}(M)$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{0}$
-\end_inset
-
-, bien 
-\begin_inset Formula $(em)=(m)$
-\end_inset
 
- y existe 
-\begin_inset Formula $b\in A$
-\end_inset
+\begin_inset Note Note
+status open
 
- con 
-\begin_inset Formula $bem=m$
-\end_inset
+\begin_layout Plain Layout
+TODO ejercicio Saorín
+\end_layout
 
-, de modo que 
-\begin_inset Formula $(be-1)m=0$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $\overline{b}\overline{e}=\overline{1}$
-\end_inset
 
-, con lo que 
-\begin_inset Formula $\overline{e}$
-\end_inset
+\end_layout
 
- es una unidad con 
-\begin_inset Formula $\overline{e}\overline{e}=\overline{e}$
 \end_inset
 
- y por tanto 
-\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{1}$
-\end_inset
 
-.
 \end_layout
 
-\end_deeper
 \begin_layout Enumerate
 Si 
 \begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$
@@ -4135,10 +4075,6 @@ Dados
 \begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $\phi$
-\end_inset
-
  es suprayectivo si y sólo si 
 \begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$
 \end_inset
@@ -4171,7 +4107,7 @@ Dados
 \begin_inset Formula $am_{i}\neq0$
 \end_inset
 
-, en cuyo caso decimos que 
+, en cuyo caso 
 \begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$
 \end_inset
 
@@ -4308,7 +4244,7 @@ coordenadas
 \begin_inset Formula $m$
 \end_inset
 
- la base, con 
+ en la base, con 
 \begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$
 \end_inset
 
@@ -4341,7 +4277,7 @@ base canónica
 \begin_inset Formula $e_{i}$
 \end_inset
 
- tiene 1 en la entrada 
+ tiene un 1 en la entrada 
 \begin_inset Formula $i$
 \end_inset
 
@@ -4476,11 +4412,7 @@ status open
 \end_inset
 
 Un 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
-\end_inset
-
--submódulo de 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\begin_inset Formula $M\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$
 \end_inset
 
  es libre si y sólo si es cíclico, si y solo si es finitamente generado.
@@ -4535,7 +4467,11 @@ end{exinfo}
 \begin_inset Formula $I$
 \end_inset
 
-, en cuyo caso todas sus bases tienen cardinal 
+, en cuyo caso, si 
+\begin_inset Formula $A\neq0$
+\end_inset
+
+, todas las bases tienen cardinal 
 \begin_inset Formula $|I|$
 \end_inset
 
@@ -4551,7 +4487,7 @@ rango
 \begin_inset Formula $\text{rg}M$
 \end_inset
 
-, y en particular.
+.
  
 \series bold
 Demostración:
@@ -4568,7 +4504,7 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$
 \end_inset
 
-, y si hay tal isomorfismo, 
+, y recíprocamente, si hay tal isomorfismo, 
 \begin_inset Formula $M$
 \end_inset
 
@@ -4582,28 +4518,15 @@ Demostración:
 
  por el isomorfismo.
  Si 
-\begin_inset Formula $A=0$
-\end_inset
-
- entonces 
-\begin_inset Formula $M=0$
+\begin_inset Formula $A\neq0$
 \end_inset
 
- y el resultado es claro.
- En otro caso existe 
+, existe 
 \begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$
 \end_inset
 
  y 
-\begin_inset Formula $JM$
-\end_inset
-
- es un 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
--submódulo de 
-\begin_inset Formula $M$
+\begin_inset Formula $JM\leq_{A}M$
 \end_inset
 
 , luego si 
@@ -4643,15 +4566,7 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula $J\overline{M}=0$
 \end_inset
 
- es 
-\begin_inset Quotes cld
-\end_inset
-
-lo mismo
-\begin_inset Quotes crd
-\end_inset
-
- que un 
+ es un 
 \begin_inset Formula $\frac{A}{J}$
 \end_inset
 
@@ -4738,7 +4653,7 @@ lo mismo
 \begin_inset Formula $J\overline{M}$
 \end_inset
 
- que deben tener el mismo cardinal, lo que prueba la unicidad del rango.
+ que deben tener el mismo cardinal.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -4819,8 +4734,8 @@ Obvio.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual a un generador
- del módulo, pues si 
+Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual al cardinal de
+ un generador del módulo, pues si 
 \begin_inset Formula $X$
 \end_inset
 
@@ -5000,7 +4915,7 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
--isomorfismo con cada 
+-homomorfismo con cada 
 \begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$
 \end_inset
 
@@ -5101,7 +5016,7 @@ Sean
 \end_inset
 
 , de modo que todo elemento de 
-\begin_inset Formula $I$
+\begin_inset Formula $N$
 \end_inset
 
  se puede expresar como combinación lineal de los 
@@ -5109,7 +5024,7 @@ Sean
 \end_inset
 
  y por tanto 
-\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}L_{ij}$
+\begin_inset Formula $N=\bigvee_{ij}L_{ij}$
 \end_inset
 
 .
@@ -5160,12 +5075,17 @@ end{exinfo}
 \series bold
 noetheriano
 \series default
- si cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados,
+ si 
+\begin_inset Formula $({\cal L}(_{A}M),\subseteq)$
+\end_inset
+
+ cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados,
  y es 
 \series bold
 artiniano
 \series default
- si cumple la DCC, con lo que un anillo 
+ si cumple la DCC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente cogenerados
+, con lo que un anillo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -5436,7 +5356,7 @@ Como todos sus subgrupos son los de esta cadena,
 \end_inset
 
  es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos
- sus subgrupos también lo son, sería noetheriano.
+ sus subgrupos propios lo son, sería noetheriano.
 \end_layout
 
 \end_deeper
@@ -5564,24 +5484,8 @@ sucesión exacta corta
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
--módulos, 
-\begin_inset Formula $f$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $g$
-\end_inset
-
- son homomorfismos y el núcleo de cada morfismo es la imagen del que le
- precede tomando como homomorfismos 
-\begin_inset Formula $0\to L$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $N\to0$
-\end_inset
-
- los únicos posibles, lo que equivale a que 
+-módulos, cada flecha es un homomorfismo y el núcleo de cada morfismo es
+ la imagen del que le precede, lo que equivale a que 
 \begin_inset Formula $f$
 \end_inset
 
@@ -5806,7 +5710,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$
 \end_inset
 
- y se concluye que 
+ y se concluye 
 \begin_inset Formula $P=Q$
 \end_inset