diff options
| author | Juan Marin Noguera <juan@mnpi.eu> | 2023-01-25 12:53:51 +0100 |
|---|---|---|
| committer | Juan Marin Noguera <juan@mnpi.eu> | 2023-01-25 12:53:51 +0100 |
| commit | 8e44c44aff96736ab0d529c44cfcd5cfdac68dfa (patch) | |
| tree | 44cb76238b24d7086ece58641859e11008232afe | |
| parent | de18ff7a6082d8c3ba37b681ba4cc1057cc437f0 (diff) | |
Erratas
Esta vez en algunas asignaturas no llegué a comprobar erratas:
- En funcional a partir de 2.11
- En DSI
- En conmutativa a partir de la enumeración antes del lema de Artin
en 3.8
| -rw-r--r-- | ac/n1.lyx | 3030 | ||||
| -rw-r--r-- | ac/n2.lyx | 35 | ||||
| -rw-r--r-- | ac/n3.lyx | 364 | ||||
| -rw-r--r-- | ac/n4.lyx | 10 | ||||
| -rw-r--r-- | af/n1.lyx | 355 | ||||
| -rw-r--r-- | af/n2.lyx | 333 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n1.lyx | 25 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n2.1.dot | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n2.1.tex | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n2.lyx | 351 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n3.lyx | 200 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n4.lyx | 37 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n5.lyx | 125 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n6.lyx | 39 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n7.lyx | 153 | ||||
| -rw-r--r-- | mc/n8.lyx | 88 | ||||
| -rw-r--r-- | pia/n4.lyx | 630 | ||||
| -rw-r--r-- | pia/n5.lyx | 214 | ||||
| -rw-r--r-- | pia/n6.lyx | 53 | ||||
| -rw-r--r-- | pia/n7.lyx | 45 |
20 files changed, 2683 insertions, 3412 deletions
@@ -187,10 +187,14 @@ El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos \begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$ \end_inset - y +, \begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$ \end_inset + y +\begin_inset Formula $(-na)\coloneqq-(na)$ +\end_inset + . \end_layout @@ -212,8 +216,8 @@ identidad uno \series default . - Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos - a anillos conmutativos y con identidad. + Salvo que se indique lo contrario, los anillos serán conmutativos y con + identidad. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -232,10 +236,6 @@ uno \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset - para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - son anillos con la suma y el producto usuales. \end_layout @@ -265,25 +265,25 @@ El conjunto de funciones \begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset - que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad + que se anulan en casi todo punto es un anillo conmutativo sin identidad con la suma y producto de funciones. \end_layout \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset - son anillos, -\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ + es una familia de anillos, +\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$ \end_inset es un anillo con las operaciones componente a componente, el \series bold anillo producto \series default - de -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ + de los +\begin_inset Formula $A_{i}$ \end_inset . @@ -351,15 +351,7 @@ Llamamos \end_inset . - [...] Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo [...], -\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ -\end_inset - - es un anillo [...]. + [...]. Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -368,19 +360,11 @@ Llamamos \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es un entero positivo, el conjunto + es un entero positivo, [...] \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ \end_inset - de matrices cuadradas en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - de tamaño -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es un anillo con la suma y el producto habituales. + [...] es un anillo con la suma y el producto habituales. \end_layout \begin_layout Standard @@ -480,87 +464,8 @@ status open . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -8. -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son invertibles si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $ab$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $ba$ -\end_inset - -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, definimos -\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq0$ -\end_inset - -, y para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $na\coloneqq(n-1)a+a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq-(na)$ -\end_inset - -. - Definimos -\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq1_{A}$ -\end_inset - -, para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a^{n}\coloneqq a^{n-1}a$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es invertible, -\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}$ -\end_inset - -. - -\end_layout - \begin_layout Standard -Dados un anillo +[...] Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -596,263 +501,6 @@ Dados un anillo . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $n,m\geq0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es invertible, esto se cumple para -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - enteros arbitrarios. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si [...] -\begin_inset Formula $n\geq0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ -\end_inset - -, y si [...] -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son invertibles, esto se cumple para todo entero -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo es -\series bold -conmutativo -\series default - si su producto es conmutativo, y tiene -\series bold -identidad -\series default - si este tiene elemento neutro -\begin_inset Formula $1\in A$ -\end_inset - - llamado -\series bold -uno -\series default -. - Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos - a anillos conmutativos y con identidad. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - - son anillos con la suma y el producto usuales. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $c\in\mathbb{C}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[c]\coloneqq\left\{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n}\right\} _{a\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\subseteq\mathbb{C}$ -\end_inset - - es un anillo con la suma y el producto de complejos, y en particular lo - es -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\text{i}]\coloneqq\{a+b\text{i}\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$ -\end_inset - -, el -\series bold -anillo de los enteros de Gauss -\series default -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -El conjunto de funciones -\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ -\end_inset - - que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad - con la suma y producto de funciones. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ -\end_inset - - son anillos, -\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ -\end_inset - - es un anillo con las operaciones componente a componente, el -\series bold -anillo producto -\series default - de -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$ -\end_inset - - es un anillo con la suma componente a componente y el producto -\begin_inset Formula $a\cdot b\coloneqq(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})_{n}$ -\end_inset - -, el -\series bold -anillo de las series de potencias -\series default - sobre -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, y un -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - se suele denotar como -\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\begin_inset Formula $Y^{X}$ -\end_inset - - al conjunto de funciones de -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $Y$ -\end_inset - -. - [...] Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo [...], -\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ -\end_inset - - es un anillo [...]. - Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo y -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es un entero positivo, el conjunto -\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ -\end_inset - - de matrices cuadradas en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - de tamaño -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es un anillo con la suma y el producto habituales. -\end_layout - \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -989,31 +637,6 @@ status open . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -6. -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es invertible, -\begin_inset Formula $f(a)$ -\end_inset - - también lo es y -\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Standard [...] Ejemplos: \end_layout @@ -1040,25 +663,19 @@ Dados anillos \end_inset . + [...] \end_layout \begin_layout Enumerate -Sea -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - un subanillo de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +3. +\end_layout -, la inclusión -\begin_inset Formula $i:B\to A$ \end_inset - es un homomorfismo. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1083,6 +700,15 @@ Dado un anillo \end_layout \begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + Dada una familia de anillos \begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset @@ -1107,6 +733,15 @@ proyección \end_layout \begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + La \series bold conjugación @@ -1164,6 +799,22 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Un homomorfismo \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -1212,6 +863,22 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Un \series bold isomorfismo de anillos @@ -1396,10 +1063,154 @@ grupo de las unidades \begin_inset Formula $xy\in A^{*}\iff x,y\in A^{*}$ \end_inset +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in A^{*}$ +\end_inset + +, llamamos +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}=(a^{n})^{-1}$ +\end_inset + . \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $n,m\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, esto se cumple para +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + enteros arbitrarios. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + +Si [...] +\begin_inset Formula $n\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ +\end_inset + +, y si [...] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son invertibles, esto se cumple para todo entero +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +6. +\end_layout + +\end_inset + +Si [ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo de anillos y] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, +\begin_inset Formula $f(a)$ +\end_inset + + también lo es y +\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset @@ -1412,7 +1223,7 @@ cancelable \begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ \end_inset -, si y sólo si no es divisor de cero. +. Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. Si \begin_inset Formula $A$ @@ -1606,26 +1417,6 @@ begin{exinfo} \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es nilpotente entonces -\begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $e\in A$ \end_inset @@ -1683,12 +1474,8 @@ Dados anillos \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a=(a_{1},\dots,a_{n})\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ -\end_inset - , -\begin_inset Formula $a$ +\begin_inset Formula $a\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset es invertible, cancelable, divisor de cero, nilpotente o idempotente en @@ -1761,11 +1548,11 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$ +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}|>2$ \end_inset , -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$ +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}|=|\mathbb{N}|$ \end_inset . @@ -1788,1244 +1575,6 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Section -Dominios -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo es -\series bold -reducido -\series default - si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento - no nulo tiene cuadrado no nulo. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Trivial. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si hubiera -\begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, sea -\begin_inset Formula $n>0$ -\end_inset - - mínimo con -\begin_inset Formula $b^{n}=0$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un -\series bold -dominio -\series default - si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo - es cancelable, y es un -\series bold -cuerpo -\series default - si todo elemento no nulo es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. - Los recíprocos no se cumplen, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es un dominio que no es un cuerpo y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ -\end_inset - - es un anillo reducido que no es un dominio. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular - lo es todo dominio finito. -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a,b\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - -\series bold -divide a -\series default - -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es -\series bold -divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - o -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - es -\series bold -múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - -, si existe -\begin_inset Formula $c\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $ac=b$ -\end_inset - -. - Esta relación es reflexiva y transitiva, y para -\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\mid c$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ -\end_inset - -. - Dos elementos -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son -\series bold -asociados -\series default - si -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\mid a$ -\end_inset - -, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $b=au$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $b=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=0$ -\end_inset - - y tomamos -\begin_inset Formula $u=1$ -\end_inset - -. - En otro caso, sean -\begin_inset Formula $c,d\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $ac=b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $bd=a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $dc=1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $c$ -\end_inset - - es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo [...] y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es -\series bold -irreducible -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ -\end_inset - -, y es -\series bold -primo -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, todo primo es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Irreducible en un dominio no implica primo. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es irreducible si y sólo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es maximal entre los ideales principales no nulos de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, es decir, si -\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $S\subseteq A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es un -\series bold -máximo común divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\gcd S$ -\end_inset - -], si divide a cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un -\series bold -mínimo común múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ -\end_inset - -], si es múltiplo de cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y divide a cada elemento que cumple esto. - Para -\begin_inset Formula $a,b\in A$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - - si y solo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es el menor ideal principal de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - que contiene a -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - -. - En particular, si -\begin_inset Formula $(a)=(S)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es el mayor ideal principal de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - contenido en -\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ -\end_inset - -. - En particular, si -\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son asociados en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son asociados en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - divide a todo elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in(S)$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -. - En tal caso llamamos -\series bold -identidad de Bézout -\series default - a una expresión de la forma -\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ -\end_inset - -, que existe porque -\begin_inset Formula $a\in(S)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ -\end_inset - - si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - son las unidades de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $1\in(S)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Dado un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, una -\series bold -factorización en producto de irreducibles -\series default - de -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - - es una expresión de la forma -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ -\end_inset - -, donde -\begin_inset Formula $u$ -\end_inset - - es una unidad de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ -\end_inset - - son irreducibles en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. - Dos factorizaciones en producto de irreducibles de -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ -\end_inset - -, son -\series bold -equivalentes -\series default - si -\begin_inset Formula $m=n$ -\end_inset - - y existe una permutación -\begin_inset Formula $\sigma$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ -\end_inset - - tal que para -\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p_{k}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ -\end_inset - - son asociados, en cuyo caso -\begin_inset Formula $u$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $v$ -\end_inset - - también lo son. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un -\series bold -dominio de factorización -\series default - ( -\series bold -DF -\series default -) si todo elemento no nulo de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - admite una factorización en producto de irreducibles, y es un -\series bold -dominio de factorización única -\series default - ( -\series bold -DFU -\series default - o -\series bold -UFD -\series default -) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate - -\series bold -Teorema Fundamental de la Aritmética: -\series default - -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es un DFU. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dado -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ -\end_inset - - es un DF. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es producto de una unidad por primos, si y sólo si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. - También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n\geq2$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es unidad si y sólo si -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si fuera -\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$ -\end_inset - -, sean -\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $r=dr'$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n=dn'$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ -\end_inset - - pero -\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - - es divisor de cero. -\begin_inset Formula $\#$ -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $ar+bn=1$ -\end_inset - - se traduce en que -\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - dividen a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Sean -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - un divisor primo de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -, como -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Sea -\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ -\end_inset - - la descomposición prima de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -, como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ -\end_inset - - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es primo. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ -\end_inset - - Visto. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ -\end_inset - - Probamos el contrarrecíproco. - Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $1<p,q<n$ -\end_inset - -, con -\begin_inset Formula $n=pq$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es divisor de 0 en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ -\end_inset - - Para -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - y por tanto -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - - es unidad. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es reducido si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es -\series bold -libre de cuadrados -\series default -, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si no fuera libre de cuadrados, sea -\begin_inset Formula $n=p^{2}q$ -\end_inset - - para ciertos -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - primo, en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - -\begin_inset Formula $pq\neq0$ -\end_inset - - pero -\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -La descomposición en primos de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es de la forma -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - con los -\begin_inset Formula $p_{i}$ -\end_inset - - distintos, y si -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - cumple -\begin_inset Formula $r^{2}=0$ -\end_inset - - entonces en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - cada -\begin_inset Formula $p_{i}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{2}$ -\end_inset - - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $r=0$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Section Subanillos \end_layout @@ -3404,20 +1953,23 @@ Dado un anillo \end_layout \begin_layout Standard -[...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -9. + + +\backslash +vspace{6pt} \end_layout \end_inset -Si +[...] Si [ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo y] \begin_inset Formula $B'$ \end_inset @@ -3436,27 +1988,6 @@ Si . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -10. -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es un isomorfismo de anillos, -\begin_inset Formula $f^{-1}$ -\end_inset - - también. -\end_layout - \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -3473,20 +2004,6 @@ end{reminder} \end_layout -\begin_layout Standard -Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido - es reducido. - No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es subanillo del cuerpo -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - - pero no es un cuerpo. -\end_layout - \begin_layout Section Ideales \end_layout @@ -3670,11 +2187,11 @@ Sean \begin_inset Formula $x+y\in I$ \end_inset -, luego + y \begin_inset Formula $a+b\equiv a'+b'$ \end_inset - y la suma está bien definida. +. Además \begin_inset Formula $ab=(a'+x)(b'+y)=a'b'+a'y+b'x+xy$ \end_inset @@ -3838,7 +2355,7 @@ La intersección de una familia de ideales de \begin_inset Formula $S\subseteq A$ \end_inset -, llamamos +, el \series bold ideal de \begin_inset Formula $A$ @@ -3850,7 +2367,7 @@ ideal de \series default - a + es \begin_inset Formula \[ (S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A\mid S\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}}, @@ -3858,7 +2375,7 @@ ideal de \end_inset -y decimos que +y \begin_inset Formula $S$ \end_inset @@ -3899,8 +2416,8 @@ conjunto generador \begin_inset Formula $S$ \end_inset -, y el conjunto de estas combinaciones es claramente un ideal, luego ambos - conjuntos son iguales. +, y el conjunto de estas es claramente un ideal, luego ambos conjuntos son + iguales. \end_layout \begin_layout Standard @@ -3937,7 +2454,7 @@ ideal principal \end_inset es uno de la forma -\begin_inset Formula $Ab\coloneqq(b)$ +\begin_inset Formula $(b)$ \end_inset para algún @@ -3979,31 +2496,252 @@ ideal principal \end_inset si y sólo si -\begin_inset Formula $b'\mid b$ +\begin_inset Formula $b'$ \end_inset -, y en un dominio -\begin_inset Formula $(b)=(b')$ + divide a +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $b$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + es nilpotente entonces +\begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b'$ +\begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset - son asociados. - + cancelable no invertible, +\begin_inset Formula $(b,X)$ +\end_inset + + no es un ideal principal de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +, y en particular +\begin_inset Formula $(X,Y)$ +\end_inset + + no es un ideal principal de +\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $e\in A$ +\end_inset + + es idempotente, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $(e)$ +\end_inset + + es un anillo con identidad +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + +. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard -Un +No todos los ideales son finitamente generados. + En efecto, dado un anillo no trivial +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, en +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + + con las operaciones componente a componente, +\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ +\end_inset + + formado por los elementos de +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + + con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + +, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita + de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo + ceros y no generan elementos de +\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ +\end_inset + + con un 1 después de esta posición. +\end_layout + +\begin_layout Section +Dominios +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un anillo es \series bold -dominio de ideales principales +reducido \series default - (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales. + si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento + no nulo tiene cuadrado no nulo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Trivial. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si hubiera +\begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $n>0$ +\end_inset + + mínimo con +\begin_inset Formula $b^{n}=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un +\series bold +dominio +\series default + si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo + es cancelable, y es un +\series bold +cuerpo +\series default + si todo elemento no nulo es unidad. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. + Los recíprocos no se cumplen, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es un dominio que no es un cuerpo y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ +\end_inset + + es un anillo reducido que no es un dominio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido + es reducido. + No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es subanillo del cuerpo +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + pero no es un cuerpo. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4014,58 +2752,205 @@ status open \backslash -begin{reminder}{GyA} +begin{exinfo} \end_layout \end_inset -Si +Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular + lo es todo dominio finito. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset - es un DIP y -\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ + y +\begin_inset Formula $a,b\in D$ \end_inset , \begin_inset Formula $a$ \end_inset - es irreducible si y solo si -\begin_inset Formula $(a)$ + +\series bold +divide a +\series default + +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - es un ideal maximal, si y solo si -\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es un cuerpo, si y solo si + es +\series bold +divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es +\series bold +múltiplo +\series default + de \begin_inset Formula $a$ \end_inset - es primo, si y solo si -\begin_inset Formula $(a)$ +, +\begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset - es un ideal primo, si y solo si -\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ +, si existe +\begin_inset Formula $c\in D$ \end_inset - es un dominio. - [...] Todo DIP es un DFU. -\begin_inset ERT + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset + +. + Esta relación es reflexiva y transitiva, y para +\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $a\mid b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\mid c$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ +\end_inset + +. + Dos elementos +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son +\series bold +asociados +\series default + si +\begin_inset Formula $a\mid b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\mid a$ +\end_inset + +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $b=au$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $b=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + + y tomamos +\begin_inset Formula $u=1$ +\end_inset + +. + En otro caso, sean +\begin_inset Formula $c,d\in D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $bd=a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $dc=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es unidad. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset -\backslash -end{reminder} \end_layout \end_inset +\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4076,57 +2961,494 @@ status open \backslash -begin{exinfo} +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset -Dado un anillo + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b\in A$ + un anillo [...] y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - cancelable no invertible, -\begin_inset Formula $(b,X)$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X]$ + es +\series bold +irreducible +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, y en particular -\begin_inset Formula $(X,Y)$ + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ \end_inset - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ +, y es +\series bold +primo +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ \end_inset . - Si -\begin_inset Formula $e\in A$ +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es idempotente, para + es un dominio, todo primo es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Irreducible en un dominio no implica primo. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es irreducible si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es maximal entre los ideales principales no nulos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, es decir, si +\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +\end_inset + +, \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset + es un +\series bold +máximo común divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + , -\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $(e)$ +[ +\begin_inset Formula $=\gcd S$ \end_inset - es un anillo con identidad -\begin_inset Formula $e$ +], si divide a cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un +\series bold +mínimo común múltiplo +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + +[ +\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ +\end_inset + +], si es múltiplo de cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y divide a cada elemento que cumple esto. + Para +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + + si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es el menor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=(S)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es el mayor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + contenido en +\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset . + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son asociados en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son asociados en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + divide a todo elemento de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in(S)$ +\end_inset + +, [...] +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + +. + En tal caso llamamos +\series bold +identidad de Bézout +\series default + a una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ +\end_inset + +, que existe porque +\begin_inset Formula $a\in(S)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ +\end_inset + + si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + son las unidades de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $1\in(S)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Dado un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, una +\series bold +factorización en producto de irreducibles +\series default + de +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + es una unidad de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ +\end_inset + + son irreducibles en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + Dos factorizaciones en producto de irreducibles de +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ +\end_inset + +, son +\series bold +equivalentes +\series default + si +\begin_inset Formula $m=n$ +\end_inset + + y existe una permutación +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p_{k}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ +\end_inset + + son asociados, en cuyo caso +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + también lo son. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un +\series bold +dominio de factorización +\series default + ( +\series bold +DF +\series default +) si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + admite una factorización en producto de irreducibles, y es un +\series bold +dominio de factorización única +\series default + ( +\series bold +DFU +\series default + o +\series bold +UFD +\series default +) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Teorema Fundamental de la Aritmética: +\series default + +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es un DFU. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dado +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ +\end_inset + + es un DF. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es producto de una unidad por primos, si y sólo si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. +\end_layout + +\begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -4134,7 +3456,7 @@ status open \backslash -end{exinfo} +end{reminder} \end_layout \end_inset @@ -4143,34 +3465,78 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Standard -No todos los ideales son finitamente generados. - En efecto, dado un anillo no trivial -\begin_inset Formula $A$ +Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. + También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +dominio de ideales principales +\series default + (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + \end_inset -, en -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +Si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - con las operaciones componente a componente, -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ + es un DIP y +\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - formado por los elementos de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ + es irreducible si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset -, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita - de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo - ceros y no generan elementos de -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ + es un ideal maximal, si y solo si +\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ \end_inset - con un 1 después de esta posición. + es un cuerpo, si y solo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es primo, si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es un ideal primo, si y solo si +\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ +\end_inset + + es un dominio. + [...] Todo DIP es un DFU. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -4406,11 +3772,7 @@ Sean \end_inset , como -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $n\mid r^{m}$ \end_inset , @@ -4450,35 +3812,15 @@ Sea \end_inset , como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}\mid r$ \end_inset -, si +, llamando \begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ -\end_inset - - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $n\mid p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}\mid r^{m}$ \end_inset . @@ -4510,14 +3852,10 @@ Sea Probamos el contrarrecíproco. Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $1<p,q<n$ +\begin_inset Formula $p,q\in\{2,\dots,n-1\}$ \end_inset -, con + con \begin_inset Formula $n=pq$ \end_inset @@ -4662,11 +4000,7 @@ La descomposición en primos de \end_inset , luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ +\begin_inset Formula $n\mid r$ \end_inset y @@ -5760,7 +5094,7 @@ Hay tantos ideales de \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - es un DIP, luego estos elementos se corresponden precisamente con los + es un DIP, luego estos elementos se corresponden con los \begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -5777,7 +5111,7 @@ Hay tantos ideales de \end_inset positivos ya que los negativos son sus asociados y -\begin_inset Formula $(0)=(n)$ +\begin_inset Formula $0\nmid n$ \end_inset . @@ -6201,13 +5535,6 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard \begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ \end_inset @@ -6224,7 +5551,6 @@ comaximales \end_inset . - Propiedades: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -7182,27 +6508,27 @@ para \begin_layout Enumerate Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando la recurrencia -\begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq q$ +\begin_inset Formula $r_{0}\coloneqq q$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq r$ +\begin_inset Formula $r_{1}\coloneqq r$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{i-1}=r_{i}q_{i}+q_{i+1}$ +\begin_inset Formula $r_{i+1}=r_{i-1}-q_{i}r_{i}$ \end_inset , con -\begin_inset Formula $r_{i},q_{i+1}\in\mathbb{Z}$ +\begin_inset Formula $q_{i},r_{i+1}\in\mathbb{Z}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $0\leq q_{i+1}<q_{i}$ +\begin_inset Formula $0\leq r_{i+1}<r_{i}$ \end_inset , hasta llegar a un -\begin_inset Formula $q_{n}=1$ +\begin_inset Formula $r_{n}=1$ \end_inset . @@ -7212,8 +6538,8 @@ Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando Se va despejando hacia atrás, haciendo \begin_inset Formula \begin{multline*} -1=q_{n}=q_{n-2}-r_{n-1}q_{n-1}=q_{n-2}-r_{n-1}(q_{n-3}-r_{n-2}q_{n-2})=\\ -=-r_{n-1}q_{n-3}+(1+r_{n-1}r_{n-2})q_{n-2}=\dots=q_{0}t+q_{1}s. +1=r_{n}=r_{n-2}-q_{n-1}r_{n-1}=r_{n-2}-q_{n-1}(r_{n-3}-q_{n-2}r_{n-2})=\\ +=-q_{n-1}r_{n-3}+(1+q_{n-1}q_{n-2})r_{n-2}=\dots=r_{0}t+r_{1}s. \end{multline*} \end_inset @@ -7452,11 +6778,8 @@ espectro primo \begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset -, la biyección -\begin_inset Formula $\{J\in{\cal L}(A)\mid I\subseteq J\}\to{\cal L}(A/I)$ -\end_inset - - se restringe a una biyección +, la biyección del teorema de la correspondencia se restringe a una biyección + \begin_inset Formula $\{J\in\text{Spec}(A)\mid I\subseteq J\}\to\text{Spec}(A/I)$ \end_inset @@ -7770,7 +7093,7 @@ status open \backslash -vspace{6pt} +vspace{4pt} \end_layout \end_inset @@ -7792,9 +7115,6 @@ Dados un homomorfismo \end_inset es suprayectivo. -\end_layout - -\begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -8400,7 +7720,7 @@ radical a \begin_inset Formula \[ -\sqrt{I}\coloneqq\{x\in A\mid\exists n\in\mathbb{N}\mid x^{n}\in I\}=\bigcap\{J\trianglelefteq_{\text{r}}A\mid I\subseteq J\}=\bigcap\{J\trianglelefteq_{\text{p}}A\mid I\subseteq J\}, +\sqrt{I}\coloneqq\{x\in A\mid\exists n\in\mathbb{N}:x^{n}\in I\}=\bigcap\{J\trianglelefteq_{\text{r}}A\mid I\subseteq J\}=\bigcap\{J\trianglelefteq_{\text{p}}A\mid I\subseteq J\}, \] \end_inset @@ -85,11 +85,7 @@ Retículos \end_layout \begin_layout Standard -Un -\series bold -conjunto ordenado -\series default - +Un conjunto ordenado \begin_inset Formula $(A,\leq)$ \end_inset @@ -342,11 +338,6 @@ cocompacto \end_inset . - -\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}$ -\end_inset - - tiene un maximal \end_layout \begin_layout Standard @@ -533,7 +524,7 @@ Dado un anillo \end_inset es un retículo completo con supremo -\begin_inset Formula $\bigvee S=\sum S=\{a_{1}+\dots+a_{n}\}_{n\in\mathbb{N},\{a_{1},\dots,a_{n}\}\subseteq\bigcup S}$ +\begin_inset Formula $\bigvee S=\sum S=\left(\bigcup S\right)$ \end_inset e ínfimo @@ -725,7 +716,7 @@ Sean \end_deeper \begin_layout Enumerate Los dominios que no son cuerpos no son artinianos, y en particular los DIPs - son noetherianos pero no artinianos. + que no son cuerpos son noetherianos pero no artinianos. \end_layout \begin_deeper @@ -832,7 +823,7 @@ Para todo cuerpo \end_inset , -\begin_inset Formula $A=\frac{K[X]}{(X^{n})}$ +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(X^{n})}$ \end_inset es noetheriano y artiniano. @@ -1127,7 +1118,7 @@ Todo ideal suyo contiene una potencia de su radical. \end_layout \begin_layout Enumerate -si +Si \begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset @@ -2295,7 +2286,21 @@ Si existe \end_layout \begin_layout Standard -Dado un anillo artiniano +Los DIPs que no son cuerpos tienen dimensión 1, pues el único primo que + no es maximal es +\begin_inset Formula $(0)$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + cancelable no invertible, +\begin_inset Formula $(0)\subsetneq(b)$ +\end_inset + +. + Dado un anillo artiniano \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -517,23 +517,7 @@ status open \end_inset - -\begin_inset Formula $N\neq\emptyset$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $n\in N$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $1n=(1+0)n=1n+0n\implies0n=0\in N$ -\end_inset - -, y es claro que es cerrado para combinaciones -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - --lineales. +Obvio. \end_layout \begin_layout Itemize @@ -558,10 +542,6 @@ Claramente es cerrado para la suma y el producto, y también para el opuesto \begin_inset Formula $-n=(-1)n\in N$ \end_inset -, ya que -\begin_inset Formula $n+(-1)n=(1-1)n=0n=0$ -\end_inset - . \end_layout @@ -578,8 +558,8 @@ Llamamos \begin_inset Formula $M$ \end_inset - ordenado por inclusión, que es un retículo en el que el ínfimo es la intersecci -ón y el supremo es la suma, definida para + ordenado por inclusión, que es un retículo en que el ínfimo es la intersección + y el supremo es la suma, definida para \begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset @@ -766,7 +746,7 @@ Para \begin_inset Formula $IX\leq_{A}M$ \end_inset -, y en particular, para +, y para \begin_inset Formula $m\in M$ \end_inset @@ -799,7 +779,7 @@ Para \begin_inset Formula $SN\leq_{A}M$ \end_inset -, y en particular, para +, y para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset @@ -1106,7 +1086,7 @@ Si \end_inset contiene al -\begin_inset Formula $0=f^{-1}(N')$ +\begin_inset Formula $0=f^{-1}(0)$ \end_inset , y si @@ -1134,7 +1114,7 @@ La composición de \begin_inset Formula $A$ \end_inset --homomorfismos. +-homomorfismo. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1222,7 +1202,7 @@ isomorfos \begin_inset Formula $f^{-1}(n+n')=m+m'=f^{-1}(n)+f^{-1}(n')$ \end_inset - y +, y \begin_inset Formula $f(am)=af(m)=an$ \end_inset @@ -1437,15 +1417,11 @@ Demostración: \begin_inset Formula $f$ \end_inset - es suprayectivo, si -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $_{A}M$ + es suprayectivo y +\begin_inset Formula $S\leq{}_{A}M$ \end_inset --submódulo, para +, para \begin_inset Formula $b\in B$ \end_inset @@ -1525,8 +1501,8 @@ Si \begin_inset Formula $\iota:A\hookrightarrow B$ \end_inset - es una inclusión, restringir escalares es limitarse a considerar escalares - de + es una inclusión, restringir escalares es limitarse a los escalares de + \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1602,7 +1578,7 @@ Si \begin_inset Formula $nM=0$ \end_inset - y, si +, y si \begin_inset Formula $p$ \end_inset @@ -1666,11 +1642,11 @@ Si \end_deeper \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset es un cuerpo, -\begin_inset Formula $_{\mathbb{K}[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{\mathbb{K}}\text{Vect}}\text{End}_{\mathbb{K}}(V)$ +\begin_inset Formula $_{K[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{K}\text{Vect}}\text{End}_{K}(V)$ \end_inset por la biyección @@ -1682,7 +1658,7 @@ Si \end_inset y los -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -submódulos de @@ -1690,7 +1666,7 @@ y los \end_inset son sus -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -subespacios vectoriales @@ -1721,7 +1697,7 @@ y los tiene \series bold estructura de -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -módulo asociada al endomorfismo @@ -1730,14 +1706,10 @@ estructura de \begin_inset Formula $f$ \end_inset -, y si +, y para \begin_inset Formula $p\in K[X]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f:V\to V$ -\end_inset - , llamamos \begin_inset Formula $p(f):V\to V$ \end_inset @@ -1756,7 +1728,7 @@ Si \end_inset es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -módulo, @@ -1764,7 +1736,7 @@ Si \end_inset es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -endomorfismo, y por restricción de escalares @@ -1772,11 +1744,11 @@ Si \end_inset es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -módulo o -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -espacio vectorial y @@ -1793,7 +1765,7 @@ Si \end_inset es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -espacio vectorial y @@ -1801,11 +1773,11 @@ Si \end_inset un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -endomorfismo, el producto -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]\times V\to V$ +\begin_inset Formula $K[X]\times V\to V$ \end_inset dado por @@ -1825,11 +1797,11 @@ dad y distributividad por ambos lados). \end_inset Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $a\in K$ \end_inset y @@ -1837,7 +1809,7 @@ Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para \end_inset , partiendo del -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -módulo, @@ -1845,15 +1817,15 @@ Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para \end_inset por asociatividad y distributividad del producto en el -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -módulo, y partiendo del -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -espacio vectorial y endomorfismo, -\begin_inset Formula $a_{\mathbb{K}[X]}v=af^{0}(v)=a$ +\begin_inset Formula $a_{K[X]}v=af^{0}(v)=a$ \end_inset y @@ -2334,22 +2306,6 @@ Sistemas generadores \end_layout \begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $m\in_{A}M$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -submódulo cíclico -\series default - a -\begin_inset Formula $(m)\coloneqq Am=\{am\}_{a\in A}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X\subseteq_{A}M$ \end_inset @@ -2450,8 +2406,20 @@ Por definición todo \begin_inset Formula $A$ \end_inset --lineales, por lo que el conjunto de estas está en el ínfimo, y el ínfimo - está en el conjunto. +-lineales, por lo que el conjunto de estas está en el ínfimo y es en sí + un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2532,8 +2500,8 @@ El \end_layout \begin_layout Enumerate -En -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +Un +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -espacio vectorial es finitamente generado si y sólo si es de dimensión @@ -2617,7 +2585,7 @@ En general los submódulos de módulos finitamente generados no son finitamente \begin_inset Formula $A=(1)$ \end_inset - y contiene ideales no finitamente generados. + y puede contener ideales no finitamente generados. \end_layout \end_deeper @@ -2626,7 +2594,7 @@ En general los submódulos de módulos finitamente generados no son finitamente \end_inset es un -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset -módulo cíclico pero no es finitamente generado como @@ -2750,27 +2718,19 @@ Si \begin_inset Formula $N\cap K\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{r})$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(y_{1},\dots,y_{s})$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,s\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $y_{j}\eqqcolon n_{j}+k_{j}$ + y +\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(n_{1}+k_{1},\dots,n_{s}+k_{s})$ \end_inset - con + con cada \begin_inset Formula $n_{j}\in N$ \end_inset - y + y cada \begin_inset Formula $k_{j}\in K$ \end_inset -, entonces +, \begin_inset Formula $N=(x_{1},\dots,x_{r},n_{1},\dots,n_{s})$ \end_inset @@ -2817,6 +2777,22 @@ Los epimorfismos conservan los conjuntos generadores. \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +vspace{1ex} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard \series bold Lema de Nakayama: @@ -3014,7 +2990,7 @@ suma directa interna \end_inset , escrita -\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}M_{i}$ +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}N_{i}$ \end_inset , que es isomorfa con la suma directa externa. @@ -3052,7 +3028,7 @@ suma directa interna \end_inset Para -\begin_inset Formula $n\in\bigoplus_{i}N_{i}$ +\begin_inset Formula $n\in\sum_{i}N_{i}$ \end_inset con @@ -3108,7 +3084,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N\oplus N'\land N\cap N'=0$ +\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N+N'\land N\cap N'=0$ \end_inset , y entonces: @@ -3149,7 +3125,7 @@ La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial. \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong N'$ +\begin_inset Formula $N\cong\frac{M}{N'}$ \end_inset . @@ -3476,7 +3452,7 @@ En general un submódulo de \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset - ya que en todo cociente de + ya que todo cociente de \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset @@ -3616,20 +3592,21 @@ indescomponible \end_layout \begin_layout Enumerate -Todo subespacio -\begin_inset Formula $W$ -\end_inset - - de un espacio vectorial -\begin_inset Formula $V$ -\end_inset - - tiene complementos directos (no únicos). +Todo subespacio de un espacio vectorial tiene complementos directos (no + únicos). \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard -Una base de +Si +\begin_inset Formula $V\leq_{K}V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + cuerpo, una base de \begin_inset Formula $W$ \end_inset @@ -3781,11 +3758,16 @@ Como \begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$ \end_inset - divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la primera y + divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la izquierda y + \begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$ \end_inset , con lo que +\begin_inset Formula $n=\prod_{j}p_{j}^{m_{j}}\mid q_{i}a_{i}$ +\end_inset + +, \begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$ \end_inset @@ -3815,9 +3797,9 @@ Un \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open @@ -3904,66 +3886,24 @@ status open \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ -\end_inset - -, por el argumento anterior -\begin_inset Formula $(em)$ -\end_inset - - es un sumando directo, de modo que bien -\begin_inset Formula $(em)=0$ -\end_inset - - y por tanto -\begin_inset Formula $em=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $e\in\text{ann}_{A}(M)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{0}$ -\end_inset - -, bien -\begin_inset Formula $(em)=(m)$ -\end_inset - y existe -\begin_inset Formula $b\in A$ -\end_inset +\begin_inset Note Note +status open - con -\begin_inset Formula $bem=m$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio Saorín +\end_layout -, de modo que -\begin_inset Formula $(be-1)m=0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{b}\overline{e}=\overline{1}$ -\end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $\overline{e}$ -\end_inset +\end_layout - es una unidad con -\begin_inset Formula $\overline{e}\overline{e}=\overline{e}$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{1}$ -\end_inset -. \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$ @@ -4135,10 +4075,6 @@ Dados \begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset - es suprayectivo si y sólo si \begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$ \end_inset @@ -4171,7 +4107,7 @@ Dados \begin_inset Formula $am_{i}\neq0$ \end_inset -, en cuyo caso decimos que +, en cuyo caso \begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ \end_inset @@ -4308,7 +4244,7 @@ coordenadas \begin_inset Formula $m$ \end_inset - la base, con + en la base, con \begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset @@ -4341,7 +4277,7 @@ base canónica \begin_inset Formula $e_{i}$ \end_inset - tiene 1 en la entrada + tiene un 1 en la entrada \begin_inset Formula $i$ \end_inset @@ -4476,11 +4412,7 @@ status open \end_inset Un -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - --submódulo de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\begin_inset Formula $M\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset es libre si y sólo si es cíclico, si y solo si es finitamente generado. @@ -4535,7 +4467,11 @@ end{exinfo} \begin_inset Formula $I$ \end_inset -, en cuyo caso todas sus bases tienen cardinal +, en cuyo caso, si +\begin_inset Formula $A\neq0$ +\end_inset + +, todas las bases tienen cardinal \begin_inset Formula $|I|$ \end_inset @@ -4551,7 +4487,7 @@ rango \begin_inset Formula $\text{rg}M$ \end_inset -, y en particular. +. \series bold Demostración: @@ -4568,7 +4504,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ \end_inset -, y si hay tal isomorfismo, +, y recíprocamente, si hay tal isomorfismo, \begin_inset Formula $M$ \end_inset @@ -4582,28 +4518,15 @@ Demostración: por el isomorfismo. Si -\begin_inset Formula $A=0$ -\end_inset - - entonces -\begin_inset Formula $M=0$ +\begin_inset Formula $A\neq0$ \end_inset - y el resultado es claro. - En otro caso existe +, existe \begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $JM$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - --submódulo de -\begin_inset Formula $M$ +\begin_inset Formula $JM\leq_{A}M$ \end_inset , luego si @@ -4643,15 +4566,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ \end_inset - es -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -lo mismo -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - - que un + es un \begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ \end_inset @@ -4738,7 +4653,7 @@ lo mismo \begin_inset Formula $J\overline{M}$ \end_inset - que deben tener el mismo cardinal, lo que prueba la unicidad del rango. + que deben tener el mismo cardinal. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4819,8 +4734,8 @@ Obvio. \end_layout \begin_layout Standard -Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual a un generador - del módulo, pues si +Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual al cardinal de + un generador del módulo, pues si \begin_inset Formula $X$ \end_inset @@ -5000,7 +4915,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $A$ \end_inset --isomorfismo con cada +-homomorfismo con cada \begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ \end_inset @@ -5101,7 +5016,7 @@ Sean \end_inset , de modo que todo elemento de -\begin_inset Formula $I$ +\begin_inset Formula $N$ \end_inset se puede expresar como combinación lineal de los @@ -5109,7 +5024,7 @@ Sean \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}L_{ij}$ +\begin_inset Formula $N=\bigvee_{ij}L_{ij}$ \end_inset . @@ -5160,12 +5075,17 @@ end{exinfo} \series bold noetheriano \series default - si cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, + si +\begin_inset Formula $({\cal L}(_{A}M),\subseteq)$ +\end_inset + + cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, y es \series bold artiniano \series default - si cumple la DCC, con lo que un anillo + si cumple la DCC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente cogenerados +, con lo que un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -5436,7 +5356,7 @@ Como todos sus subgrupos son los de esta cadena, \end_inset es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos - sus subgrupos también lo son, sería noetheriano. + sus subgrupos propios lo son, sería noetheriano. \end_layout \end_deeper @@ -5564,24 +5484,8 @@ sucesión exacta corta \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulos, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - son homomorfismos y el núcleo de cada morfismo es la imagen del que le - precede tomando como homomorfismos -\begin_inset Formula $0\to L$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $N\to0$ -\end_inset - - los únicos posibles, lo que equivale a que +-módulos, cada flecha es un homomorfismo y el núcleo de cada morfismo es + la imagen del que le precede, lo que equivale a que \begin_inset Formula $f$ \end_inset @@ -5806,7 +5710,7 @@ Si \begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$ \end_inset - y se concluye que + y se concluye \begin_inset Formula $P=Q$ \end_inset @@ -4712,11 +4712,11 @@ pero para \end_inset y -\begin_inset Formula $Z_{i1}=Y_{ij}$ +\begin_inset Formula $Z_{1j}=Y_{1j}$ \end_inset , con lo que -\begin_inset Formula $Z_{i1}=qZ_{11}+r$ +\begin_inset Formula $Z_{1j}=qZ_{11}+r$ \end_inset con @@ -4727,7 +4727,7 @@ pero para \begin_inset Formula $\delta(r)<\delta(Z_{11})=\delta(X_{11})=\delta_{0}$ \end_inset - y, restando a la +, y restando a la \begin_inset Formula $i$ \end_inset @@ -4735,12 +4735,12 @@ pero para \begin_inset Formula $q$ \end_inset -, se obtendría una matriz + se obtendría una matriz \begin_inset Formula $Z'$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\delta(Z'_{i1})<\delta_{0}\#$ +\begin_inset Formula $\delta(Z'_{1j})<\delta_{0}\#$ \end_inset . @@ -82,8 +82,7 @@ \begin_body \begin_layout Standard -Salvo que se indique lo contrario, al hablar de espacios vectoriales entenderemo -s que lo son sobre +Salvo que se indique lo contrario, los espacios vectoriales son sobre \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset @@ -212,7 +211,7 @@ dual algebraico \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -, llamadas +, las \series bold formas lineales \series default @@ -261,6 +260,39 @@ dual topológico \end_layout \begin_layout Standard +Dados e.l.t.s +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $T:E\to F$ +\end_inset + + es un +\series bold +isomorfismo topológico +\series default + si es un isomorfismo y un homeomorfismo, y entonces +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + son +\series bold +topológicamente isomorfos +\series default +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -678,10 +710,10 @@ Si \end_inset es continua si y sólo si lo es en 0, y si -\begin_inset Formula $F=\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $T$ \end_inset - con la topología usual, + es una forma lineal, \begin_inset Formula $T$ \end_inset @@ -1229,7 +1261,7 @@ funcional de Minkowski \begin_inset Formula $p_{A}:E\to\mathbb{R}$ \end_inset - como + dada por \begin_inset Formula $p_{A}(x)\coloneqq\inf\{t>0\mid x\in tA\}$ \end_inset @@ -1253,7 +1285,7 @@ Si \end_inset es subaditiva y -\begin_inset Formula $\{x\in E\mid p_{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{x\in E\mid p_{A}(x)\leq1\}$ +\begin_inset Formula $\{p_{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{p_{A}(x)\leq1\}$ \end_inset . @@ -1336,11 +1368,11 @@ Si \end_inset , y entonces -\begin_inset Formula $\mathring{C}=\{x\in E\mid p_{C}(x)<1\}$ +\begin_inset Formula $\mathring{C}=\{p_{C}(x)<1\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\overline{C}=\{x\in E\mid p_{C}(x)\leq1\}$ +\begin_inset Formula $\overline{C}=\{p_{C}(x)\leq1\}$ \end_inset . @@ -1366,7 +1398,7 @@ Una seminorma \end_inset es abierta, si y sólo si -\begin_inset Formula $0\in\mathring{\overbrace{\{x\in E\mid p(x)<1\}}}$ +\begin_inset Formula $0\in\mathring{\overbrace{\{p(x)<1\}}}$ \end_inset , si y sólo si @@ -1435,8 +1467,7 @@ Dados dos e.l.c. \begin_inset Formula $T:E\to F$ \end_inset - lineal es continua si y sólo si lo es en 0, si y sólo si para toda seminorma - continua + lineal es continua si y sólo si para toda seminorma continua \begin_inset Formula $q:F\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -1495,6 +1526,33 @@ nproof \end_layout +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, un e.l.c. + +\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$ +\end_inset + + es metrizable si y sólo si es 1AN, si y sólo si +\begin_inset Formula ${\cal T}$ +\end_inset + + es asociada a una familia numerable de seminormas continuas. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Ejemplos de espacios localmente convexos \end_layout @@ -1574,11 +1632,7 @@ Si \begin_inset Formula $C_{\text{b}}(X)$ \end_inset - al subespacio de -\begin_inset Formula $(\mathbb{K}^{X},{\cal T}_{\text{p}})$ -\end_inset - - de las funciones continuas y acotadas. + al de las funciones continuas y acotadas. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1705,7 +1759,7 @@ d(f,g)\coloneqq\sum_{n}\frac{1}{2^{n}}\frac{p_{K_{n}}(f-g)}{1+p_{K_{n}}(f-g)}, \end_inset -con lo que +y \begin_inset Formula $(C(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$ \end_inset @@ -1818,7 +1872,7 @@ El conjunto de funciones \end_inset veces diferenciables con -\begin_inset Formula $\dif^{(m)}f$ +\begin_inset Formula $\dif^{\kern1pt{}m}\kern-2pt{}f$ \end_inset continua, @@ -1840,7 +1894,7 @@ topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y sus \left\{ p_{K}^{m}(f)\coloneqq\sup_{\begin{subarray}{c} \alpha\in\mathbb{N}^{n}\\ |\alpha|\coloneqq\alpha_{1}+\dots+\alpha_{n}\leq m -\end{subarray}}\sup_{x\in K}|D^{\alpha}f(x)|\right\} _{K\subseteq\Omega\text{ compacto}}, +\end{subarray}}\sup_{x\in K}|\text{D}^{\alpha}f(x)|\right\} _{K\subseteq\Omega\text{ compacto}}, \] \end_inset @@ -1848,7 +1902,7 @@ topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y sus donde \begin_inset Formula \[ -D^{\alpha}f(x)\coloneqq\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}. +\text{D}^{\alpha}f(x)\coloneqq\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}. \] \end_inset @@ -2083,33 +2137,6 @@ con lo que \end_layout \begin_layout Standard -Como -\series bold -teorema -\series default -, un e.l.c. - -\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$ -\end_inset - - es metrizable si y sólo si es 1AN, si y sólo si -\begin_inset Formula ${\cal T}$ -\end_inset - - es asociada a una familia numerable de seminormas continuas. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard Un e.l.c. \begin_inset Formula $(E,{\cal T})$ @@ -2234,10 +2261,7 @@ Un espacio de Banach \series default es un espacio normado completo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sea + Sea \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset @@ -2253,11 +2277,7 @@ Sea \end_inset es completo si y sólo si toda sucesión -\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $X$ +\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq X$ \end_inset con @@ -2450,7 +2470,7 @@ Operadores \end_layout \begin_layout Standard -Un operador entre espacios normados se dice +Un operador entre espacios normados es \series bold acotado \series default @@ -2462,7 +2482,7 @@ acotado \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset --espacio normado, llamamos +-espacio normado, \begin_inset Formula $X^{*}\coloneqq X'={\cal L}(X,\mathbb{K})$ \end_inset @@ -2684,16 +2704,12 @@ tomando \begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset - también lo es. - Si -\begin_inset Formula $Y=\mathbb{K}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)=X^{*}$ + también. + En +\begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset - y esta norma se llama + esta norma se llama \series bold norma dual \series default @@ -3083,25 +3099,13 @@ Isomorfismos topológicos \end_layout \begin_layout Standard -Dados dos espacios normados -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $Y$ -\end_inset - -, una función -\begin_inset Formula $T:X\to Y$ +Una función +\begin_inset Formula $T$ \end_inset - es un -\series bold -isomorfismo topológico -\series default - si es un isomorfismo y un homeomorfismo, si y sólo si es lineal, suprayectiva - y -\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x\in X,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$ + entre espacios normados es un isomorfismo topológico si y sólo si es lineal, + suprayectiva y +\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$ \end_inset . @@ -3176,27 +3180,15 @@ Para \end_layout \begin_layout Standard -Dos espacios normados -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $Y$ -\end_inset - - son -\series bold -topológicamente isomorfos -\series default - si existe un isomorfismo topológico entre ellos, y son +Dos espacios normados son \series bold isométricamente isomorfos \series default - si este se puede tomar + si entre ellos hay un isomorfismo topológico \series bold isométrico \series default -, que conserve distancias o, equivalentemente, normas. +, es decir, que conserve distancias o, equivalentemente, normas. Dos normas \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert,|\cdot|:X\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -3864,7 +3856,7 @@ Finalmente, si \end_layout \begin_layout Enumerate -La aplicación cociente +La proyección \begin_inset Formula $X\to X/Y$ \end_inset @@ -4167,12 +4159,8 @@ Desigualdad de Hölder: \begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}>0$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $p>1$ -\end_inset - y -\begin_inset Formula $q>1$ +\begin_inset Formula $p,q>1$ \end_inset con @@ -4613,11 +4601,20 @@ Por isomorfismo podemos suponer que el dominio es \series bold Teorema de Bolzano-Weierstrass: \series default - En espacio normados de dimensión finita, los conjuntos cerrados y acotados - son compactos, pues esto ocurre en + En espacios normados de dimensión finita, los cerrados acotados son compactos +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues esto ocurre en \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset + +\end_layout + +\end_inset + . \begin_inset Foot status open @@ -4637,15 +4634,15 @@ El teorema se suele enunciar como que toda sucesión en un cerrado acotado \series bold Lema de Riesz: \series default - Dados un subespacio normado + Dados un espacio normado \begin_inset Formula $X$ \end_inset -, un subespacio cerrado -\begin_inset Formula $Y\subsetneq X$ +, +\begin_inset Formula $Y<X$ \end_inset - y + cerrado y \begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$ \end_inset @@ -4839,7 +4836,7 @@ Teorema de Riesz: \end_inset tuviera dimensión infinita, habría una sucesión -\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\in S_{X}\subseteq B_{X}$ +\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq S_{X}\subseteq B_{X}$ \end_inset con @@ -4950,7 +4947,7 @@ Sean \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset - una aplicación lineal con imagen de dimensión finita, + lineal con imagen de dimensión finita, \begin_inset Formula $T$ \end_inset @@ -5180,15 +5177,10 @@ Si además \end_layout \begin_layout Enumerate -El espacio \begin_inset Formula $C_{\text{b}}(S)$ \end_inset - de funciones -\begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$ -\end_inset - - continuas y acotadas es un subespacio cerrado de + es un subespacio cerrado de \begin_inset Formula $\ell^{\infty}(S)$ \end_inset @@ -5206,8 +5198,7 @@ nproof \end_layout \begin_layout Enumerate -Una función -\begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $f:S\to\mathbb{K}$ \end_inset @@ -5228,7 +5219,7 @@ se anula en el infinito \end_inset continuas que se anulan en el infinito es un subespacio cerrado de -\begin_inset Formula $C_{\text{c}}(S)$ +\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(S)$ \end_inset . @@ -5286,7 +5277,7 @@ Llamando \begin_inset Formula $\ell^{\infty}$ \end_inset - es no separable. + no es separable. \begin_inset Note Note status open @@ -5312,7 +5303,7 @@ nproof \end_inset con -\begin_inset Formula $c_{0}\subsetneq c\subsetneq\ell^{\infty}$ +\begin_inset Formula $c_{0}<c<\ell^{\infty}$ \end_inset . @@ -5736,11 +5727,6 @@ entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$ -\end_inset - - compacto, \begin_inset Formula $({\cal D}_{K}^{m}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{m}(\Omega)\mid\text{sop}f\subseteq K\},\Vert\cdot\Vert_{m})$ \end_inset @@ -5761,11 +5747,7 @@ nproof \begin_inset Formula ${\cal D}^{m}(\Omega)\coloneqq(\{f\in{\cal C}^{m}(\Omega)\mid\text{sop}f\text{ compacto}\},\Vert\cdot\Vert_{m})$ \end_inset - es un espacio normado, y en particular lo es -\begin_inset Formula $(C_{c}(\Omega),\Vert\cdot\Vert_{\infty})={\cal D}^{0}(\Omega)$ -\end_inset - -. + es un espacio normado. \begin_inset Note Note status open @@ -5779,11 +5761,7 @@ nproof \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula ${\cal D}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{\infty}(\Omega)\mid\text{sop}f\text{ compacto}\}$ -\end_inset - - es un subespacio de -\begin_inset Formula ${\cal D}^{m}(\Omega)$ +\begin_inset Formula ${\cal D}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{\infty}(\Omega)\mid\text{sop}f\text{ compacto}\}<\text{\ensuremath{{\cal D}}}^{m}(\Omega)$ \end_inset . @@ -5828,7 +5806,7 @@ Sean \end_inset -entonces para +para \begin_inset Formula $p\in[1,\infty]$ \end_inset @@ -5837,7 +5815,7 @@ entonces para espacio de Hardy \series default -\begin_inset Formula $H^{p}(D)\coloneqq(\{f\in{\cal H}(D):\Vert f\Vert_{H_{p}}<\infty)$ +\begin_inset Formula $H^{p}(D)\coloneqq(\{f\in{\cal H}(D)\mid\Vert f\Vert_{H_{p}}<\infty\},\Vert\cdot\Vert_{H_{p}})$ \end_inset es un espacio de Banach. @@ -6270,7 +6248,11 @@ Si \end_inset , pero esto no es cierto en espacios topológicos arbitrarios. - Sean +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sean \begin_inset Formula $X\coloneqq\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ \end_inset @@ -6311,7 +6293,7 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $Y\coloneqq[0,1]^{\mathbb{R}}$ \end_inset @@ -6357,6 +6339,11 @@ nproof \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Familias sumables \end_layout @@ -6427,15 +6414,11 @@ Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset - es un espacio normado, -\begin_inset Formula $I\neq\emptyset$ -\end_inset - - y + es un espacio normado y \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$ \end_inset -: + es no vacía: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -6493,28 +6476,11 @@ nproof \end_layout \begin_layout Enumerate -Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset - es de Banach, toda familia absolutamente sumable es sumable. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - es de Banach si y sólo si toda familia sumable es absolutamente sumable. + es de Banach si y sólo si toda familia sumable es absolutamente sumable, + y entonces toda familia absolutamente sumable es sumable. \begin_inset Note Note status open @@ -6557,7 +6523,11 @@ propiedad S \end_inset . - Por ejemplo +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Por ejemplo \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$ \end_inset @@ -6582,42 +6552,18 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ -\end_inset - - es de dimensión finita y -\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$ -\end_inset - - no es vacía: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in I}$ -\end_inset - - es absolutamente sumable si y sólo si es sumable. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - \end_inset \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $I=(\mathbb{N},\geq)$ +\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ + es de dimensión finita, +\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$ \end_inset es sumable si y sólo si @@ -6625,7 +6571,7 @@ Si \end_inset es absolutamente convergente, si y sólo si -\begin_inset Formula $\sup_{n\in\mathbb{N}}\sum_{i=1}^{n}\Vert x_{i}\Vert<\infty$ +\begin_inset Formula $\sup_{n}\sum_{i\in\mathbb{N}_{n}}\Vert x_{i}\Vert<\infty$ \end_inset . @@ -6654,7 +6600,7 @@ Teorema de reordenación de Riemann: \begin_inset Formula $x\in[-\infty,\infty]$ \end_inset -, existe +, existe una biyección \begin_inset Formula $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ \end_inset @@ -6700,12 +6646,7 @@ incondicionalmente convergente \begin_inset Formula $\sum_{n}x_{\pi(n)}$ \end_inset - converge. - Si -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - es de Banach, esto ocurre si y sólo si + converge, si y sólo si \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset @@ -6742,7 +6683,7 @@ teorema , si y sólo si \begin_inset Formula \[ -\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\{z_{j}\}_{j\in\mathbb{N}_{n}}\subseteq X,\left(\sup_{S\subseteq\mathbb{N}_{n}}\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert <\delta\implies\sum_{j\in J}\Vert z_{j}\Vert<\varepsilon\right), +\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\{z_{j}\}_{j\in\mathbb{N}_{n}}\subseteq X,\left(\sup_{S\subseteq\mathbb{N}_{n}}\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert <\delta\implies\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}\Vert z_{j}\Vert<\varepsilon\right), \] \end_inset @@ -6753,7 +6694,7 @@ si y sólo si toda serie sumable en es absolutamente convergente. \begin_inset Note Note -status open +status collapsed \begin_layout Plain Layout nproof @@ -131,7 +131,7 @@ forma hermitiana \begin_inset Formula $x,y,z\in H$ \end_inset - se tiene +, \begin_inset Formula $\langle ax+by,z\rangle=a\langle x,z\rangle+b\langle y,z\rangle$ \end_inset @@ -160,7 +160,8 @@ producto escalar \series bold espacio prehilbertiano \series default - es par formado por un espacio vectorial y un producto escalar sobre este. + es un par formado por un espacio vectorial y un producto escalar sobre + este. \end_layout \begin_layout Standard @@ -256,17 +257,21 @@ Para \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\overline{\langle x,y\rangle}+\langle y,y\rangle$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard \series bold @@ -305,11 +310,7 @@ Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset - se define sobre -\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ -\end_inset - -, + es real, \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2})$ \end_inset @@ -369,15 +370,11 @@ status open \end_inset -En general -\begin_inset Formula $\langle x,y+z\rangle=\overline{\langle y+z,x\rangle}=\overline{\langle y,x\rangle}+\overline{\langle z,x\rangle}=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$ -\end_inset -, de donde \begin_inset Formula \begin{multline*} \Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=\\ -=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}). +=\langle x,x\rangle\cancel{+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle}+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle\cancel{-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle}+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}). \end{multline*} \end_inset @@ -456,7 +453,8 @@ y por tanto \end_inset -donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad con +donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad al revés con + \begin_inset Formula $z=0$ \end_inset @@ -466,7 +464,7 @@ donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad con . Usando esto y que -\begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle=-\langle x,y\rangle$ \end_inset es fácil ver que @@ -532,7 +530,7 @@ equivalentes \end_inset con -\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle T(x),T(y)\rangle_{2}$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle Tx,Ty\rangle_{2}$ \end_inset para todo @@ -573,8 +571,7 @@ ortogonales \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=0$ \end_inset -. - Decimos que +; \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset @@ -595,7 +592,7 @@ ortogonal \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H:x\bot M\}$ +\begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H\mid x\bot M\}$ \end_inset . @@ -620,7 +617,6 @@ ortonormal \end_inset . - Entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -898,11 +894,7 @@ nproof \begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ \end_inset - con la medida de Lebesgue, y entonces -\begin_inset Formula $C([a,b])$ -\end_inset - - es denso en + con la medida de Lebesgue, que es denso en \begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ \end_inset @@ -1178,11 +1170,7 @@ luego \end_inset . - Si hubiera -\begin_inset Formula $z\in Y$ -\end_inset - - con + Si fuera \begin_inset Formula $\langle x-y,z\rangle\neq0$ \end_inset @@ -1365,7 +1353,7 @@ determinante de Gram a \begin_inset Formula \[ -G(x_{1},\dots,G_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}. +G(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}. \] \end_inset @@ -1626,11 +1614,11 @@ Teorema de la proyección \series bold Teorema de la proyección: \series default - Si + Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset - es un espacio de Hilbert con un subespacio cerrado + un espacio de Hilbert con un subespacio cerrado \begin_inset Formula $M$ \end_inset @@ -1805,11 +1793,7 @@ Por la definición de producto escalar, \begin_inset Formula $\Vert P_{M}(x)\Vert,\Vert P_{M^{\bot}}(x)\Vert\leq\Vert x\Vert=1$ \end_inset -, lo que prueba la continuidad y por tanto que -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset - - es topológica. +, lo que prueba la continuidad y por tanto que la suma directa es topológica. Además, si \begin_inset Formula $M\neq0$ \end_inset @@ -1855,11 +1839,11 @@ Para \end_inset , -\begin_inset Formula $\langle P_{M}(x),y\rangle=\langle x,P_{M}(y)\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle P_{M}x,y\rangle=\langle x,P_{M}y\rangle$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\langle P_{M^{\bot}}(x),y\rangle=\langle x,P_{M^{\bot}}(y)\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle P_{M^{\bot}}x,y\rangle=\langle x,P_{M^{\bot}}y\rangle$ \end_inset . @@ -2248,7 +2232,7 @@ nproof \end_inset es un espacio de Hilbert con el producto escalar -\begin_inset Formula $\langle f,g\rangle^{*}\coloneqq\langle T(g),T(f)\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle f,g\rangle^{*}\coloneqq\langle Tg,Tf\rangle$ \end_inset . @@ -2264,27 +2248,6 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $J:H\to H^{**}$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $J(x)(f)\coloneqq f(x)$ -\end_inset - - es un isomorfismo algebraico isométrico. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - \begin_layout Standard Dado un un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ @@ -2372,8 +2335,8 @@ Si \begin_inset Formula $B$ \end_inset - es bilineal o sesquilineal, es acotada si y sólo si es continua, y para - todo + es bilineal o sesquilineal sobre un espacio normado, es acotada si y sólo + si es continua, y para todo \begin_inset Formula $x$ \end_inset @@ -2421,7 +2384,7 @@ Teorema de Lax-Milgram: \end_inset tal que -\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,T(y)\rangle$ +\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,Ty\rangle$ \end_inset . @@ -2514,21 +2477,21 @@ Y\coloneqq\{y\in H\mid\exists z\in H:\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)\}, , \begin_inset Formula \[ -c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq B(S(y),S(y))=\langle S(y),y\rangle\in\mathbb{R}^{+}, +c\Vert Sy\Vert^{2}\leq B(Sy,Sy)=\langle Sy,y\rangle\in\mathbb{R}^{+}, \] \end_inset pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, -\begin_inset Formula $\langle S(y),y\rangle^{2}=|\langle S(y),y\rangle|^{2}\leq\Vert S(y)\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$ +\begin_inset Formula $\langle Sy,y\rangle^{2}=|\langle Sy,y\rangle|^{2}\leq\Vert Sy\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$ \end_inset , luego -\begin_inset Formula $c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq\langle S(y),y\rangle\leq\Vert S(y)\Vert\Vert y\Vert=\Vert S(y)\Vert$ +\begin_inset Formula $c\Vert Sy\Vert^{2}\leq\langle Sy,y\rangle\leq\Vert Sy\Vert\Vert y\Vert=\Vert Sy\Vert$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\Vert S(y)\Vert\leq\frac{1}{c}$ +\begin_inset Formula $\Vert Sy\Vert\leq\frac{1}{c}$ \end_inset , con lo que @@ -2540,8 +2503,8 @@ pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, \begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$ \end_inset - y existe -\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}\eqqcolon y\in H$ + tiene límite +\begin_inset Formula $y\in H$ \end_inset , por continuidad de @@ -2555,7 +2518,7 @@ pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, , \begin_inset Formula \[ -\langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,S(y_{n}))=B(x,S(y)), +\langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,Sy_{n})=B(x,Sy), \] \end_inset @@ -2623,11 +2586,11 @@ luego \end_inset con -\begin_inset Formula $B(\cdot z)=\langle\cdot,w\rangle$ +\begin_inset Formula $B(\cdot,z)=\langle\cdot,w\rangle$ \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $z=S(w)$ +\begin_inset Formula $z=Sw$ \end_inset , luego @@ -2636,7 +2599,7 @@ luego es suprayectiva. Si -\begin_inset Formula $S(y)=0$ +\begin_inset Formula $Sy=0$ \end_inset , para @@ -2644,7 +2607,7 @@ luego \end_inset , -\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,S(y))=0$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,Sy)=0$ \end_inset y por tanto @@ -2665,7 +2628,7 @@ luego \end_inset cumple -\begin_inset Formula $\langle x,T(y)\rangle=B(x,y)$ +\begin_inset Formula $\langle x,Ty\rangle\equiv B(x,y)$ \end_inset . @@ -2674,7 +2637,7 @@ luego \end_inset , -\begin_inset Formula $\Vert T(y)\Vert^{2}=\langle T(y),T(y)\rangle=B(T(y),y)\leq M\Vert T(y)\Vert\Vert y\Vert=M\Vert T(y)\Vert$ +\begin_inset Formula $\Vert Ty\Vert^{2}=\langle Ty,Ty\rangle=B(Ty,y)\leq M\Vert Ty\Vert\Vert y\Vert=M\Vert Ty\Vert$ \end_inset , siendo @@ -2722,7 +2685,7 @@ En particular, dado un espacio vectorial \end_inset de espacios de Hilbert con -\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,T(y)\rangle_{2}$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,Ty\rangle_{2}$ \end_inset . @@ -2838,7 +2801,7 @@ está bien definida y es continua porque, si \begin_inset Formula $\Vert u\Vert_{L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)}=1$ \end_inset -, +, usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, \begin_inset Formula \begin{align*} |Tu| & =\left|\int_{\Omega}u\dif\mu\right|\leq\int_{\Omega}|u|\dif\mu\leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu}\leq\\ @@ -2858,16 +2821,16 @@ Por el teorema de representación de Riesz, existe , \begin_inset Formula \[ -Tu=\int_{\Omega}u\dif\mu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma, +\int_{\Omega}u\dif\mu=Tu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma, \] \end_inset -pero esta igualdad se da para cuando +pero esta igualdad se da cuando \begin_inset Formula $u=\chi_{A}$ \end_inset - para cualquier + para todo \begin_inset Formula $A\in{\cal F}$ \end_inset @@ -2906,7 +2869,7 @@ de modo que \end_inset o -\begin_inset Formula $A=\{x\mid f(x)>1\}$ +\begin_inset Formula $A=\{f(x)>1\}$ \end_inset , vemos que @@ -2917,8 +2880,8 @@ de modo que \begin_inset Formula $\omega\in\Omega$ \end_inset -, de modo que -\begin_inset Formula $\frac{1}{g}$ +, con lo que +\begin_inset Formula $\frac{1}{f}$ \end_inset es @@ -2970,14 +2933,10 @@ Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos: \end_inset -forma bilineal simétrica, acotada y fuertemente positiva, -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - una -\begin_inset Formula $H$ +\begin_inset Formula $b\in H^{*}$ \end_inset --forma lineal continua y + y \begin_inset Formula $F:H\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -2993,20 +2952,15 @@ entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $w\in H$ -\end_inset - -, \begin_inset Formula $F$ \end_inset alcanza su mínimo en -\begin_inset Formula $w$ +\begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall y\in H,B(w,y)=b(y)$ +\begin_inset Formula $B(w,\cdot)=b$ \end_inset . @@ -3127,7 +3081,11 @@ Como \begin_inset Formula $H$ \end_inset -, y como existen +, y que es equivalente al de +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + ya que existen \begin_inset Formula $c,M>0$ \end_inset @@ -3135,14 +3093,6 @@ Como \begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq B(x,x)\leq M\Vert x\Vert^{2}$ \end_inset -, el producto escalar -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - - es equivalente al de -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - , luego \begin_inset Formula $b$ \end_inset @@ -3274,15 +3224,11 @@ sucesión de Dirac \begin_inset Formula $(K_{m}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{\geq0})_{m}$ \end_inset - de funciones continuas con -\begin_inset Formula -\[ -\int_{\mathbb{R}^{n}}K_{n}=1 -\] - + de funciones continuas con integral 1 en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset -y tal que + y tal que \begin_inset Formula \[ \forall\varepsilon,\delta>0,\exists n_{0}:\forall n\geq n_{0},\int_{\mathbb{R}^{n}\setminus B(0,\delta)}K_{n}(x)\dif x<\varepsilon. @@ -3430,7 +3376,7 @@ teorema \end_inset es denso en -\begin_inset Formula $(C_{c}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ +\begin_inset Formula $(C_{\text{c}}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset y en @@ -3479,7 +3425,7 @@ entonces \begin_inset Formula $f=0$ \end_inset - en casi todo punto, y en particular, si + en casi todo punto y en particular, si \begin_inset Formula $f$ \end_inset @@ -3539,7 +3485,7 @@ armónica problema de Dirichlet \series default consiste en encontrar -\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(\overline{B_{X}})$ +\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(B_{X})$ \end_inset armónica con @@ -3643,7 +3589,7 @@ problema generalizado de valores frontera y \begin_inset Formula \[ -\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\frac{\partial v}{\partial x_{j}}\dif x\int_{G}fv. +\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j}\partial_{j}u\partial_{j}v\dif x=\int_{G}fv. \] \end_inset @@ -3712,7 +3658,7 @@ Si dada por \begin_inset Formula \[ -F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu, +F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu, \] \end_inset @@ -3814,7 +3760,7 @@ y para \end_inset llamamos -\begin_inset Formula $D^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$ +\begin_inset Formula $\text{D}^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$ \end_inset . @@ -3841,7 +3787,7 @@ espacio de Sobolev a \begin_inset Formula \[ -W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists D^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}. +W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists\text{D}^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}. \] \end_inset @@ -3867,9 +3813,39 @@ Si \end_inset como -\begin_inset Formula $f\sim g\iff\{x\in G\mid f(x)\neq g(x)\}\text{ es de medida nula}$ +\begin_inset Formula $f\sim g$ \end_inset + si y sólo si +\begin_inset Formula $\{f(x)\neq g(x)\}$ +\end_inset + + +\family roman +\series medium +\shape up +\size normal +\emph off +\bar no +\strikeout off +\xout off +\uuline off +\uwave off +\noun off +\color none +es de medida nula +\family default +\series default +\shape default +\size default +\emph default +\bar default +\strikeout default +\xout default +\uuline default +\uwave default +\noun default +\color inherit , y \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1,2}:W^{1}(G)/\sim\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -3951,7 +3927,7 @@ Si \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset - es un abierto acotado no vacío y + es abierto acotado no vacío y \begin_inset Formula $u\in W^{1}(G)$ \end_inset @@ -4022,7 +3998,7 @@ Desigualdad de Poincaré-Friedrichs: , \begin_inset Formula \[ -C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}. +C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}. \] \end_inset @@ -4086,7 +4062,7 @@ Para \begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset -,existe una sucesión +, existe una sucesión \begin_inset Formula $\{u_{m}\}_{m}\subseteq{\cal D}(G)$ \end_inset @@ -4141,25 +4117,25 @@ Principio de Dirichlet: dada por \begin_inset Formula \[ -F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu +F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu \] \end_inset alcanza su mínimo en un único punto, que es el único -\begin_inset Formula $u\in\text{Dom}f$ +\begin_inset Formula $u\in\text{Dom}F$ \end_inset tal que \begin_inset Formula \[ -\forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv +\forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv \] \end_inset -y la única solución en -\begin_inset Formula $\text{Dom}f$ +y es la única solución en +\begin_inset Formula $\text{Dom}F$ \end_inset del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson @@ -4231,13 +4207,12 @@ y \begin_inset Formula $b_{0}$ \end_inset - es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como además - + es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como \begin_inset Formula $B$ \end_inset es bilineal y acotada, -\begin_inset Formula $b_{0}$ +\begin_inset Formula $b$ \end_inset es lineal acotada y se dan las condiciones del teorema principal de los @@ -4336,7 +4311,7 @@ operador diferencial lineal de coeficientes constantes es uno de la forma \begin_inset Formula \[ -L\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{\alpha}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}, +L\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\text{D}^{\alpha}, \] \end_inset @@ -4348,7 +4323,7 @@ operador adjunto es \begin_inset Formula \[ -L^{*}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}(-1)^{|\alpha|}\overline{a_{\alpha}}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{\alpha}. +L^{*}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}(-1)^{|\alpha|}\overline{a_{\alpha}}\text{D}^{\alpha}. \] \end_inset @@ -4366,7 +4341,7 @@ Si \end_inset y una de las dos tiene soporte compacto, entonces -\begin_inset Formula $\langle L\psi,\varphi\rangle=\langle\psi,L^{*}\varphi\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle L\varphi,\psi\rangle=\langle\varphi,L^{*}\psi\rangle$ \end_inset . @@ -4602,8 +4577,8 @@ Demostración: , \begin_inset Formula \begin{align*} -\psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)\leq\\ - & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}, +\psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)^{2}\leq\\ + & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t, \end{align*} \end_inset @@ -4694,7 +4669,7 @@ donde \end_inset para todo -\begin_inset Formula $C$ +\begin_inset Formula $\psi$ \end_inset , de modo que @@ -4968,56 +4943,36 @@ Dados \end_inset , -\begin_inset Formula $c\Vert u\Vert\leq\Vert b\Vert$ +\begin_inset Formula $\Vert u\Vert\leq\frac{\Vert b\Vert}{c}$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - +, +\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$ \end_inset + y, si +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Enumerate + es cota inferior de +\begin_inset Formula $J(H)$ +\end_inset -\series bold -Razón de convergencia: -\series default - -\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$ +, +\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq\frac{2}{c}(J(u_{n})-\beta)$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_layout Enumerate - -\series bold -Estimación del error: -\series default - Si -\begin_inset Formula $\beta\leq J(x)$ -\end_inset +\begin_inset Note Note +status open - para todo -\begin_inset Formula $x\in H$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout -, para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $\frac{c}{2}\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq J(u_{n})-\beta$ -\end_inset -. \end_layout \begin_layout Standard @@ -5631,26 +5586,6 @@ Aproximaciones por polinomios \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$ -\end_inset - - es un intervalo cerrado, llamamos -\begin_inset Formula ${\cal C}(I)$ -\end_inset - - al conjunto de funciones -\begin_inset Formula $I\to\mathbb{R}$ -\end_inset - - continuas en el interior de -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard \series bold Teorema de Korovkin: @@ -103,7 +103,7 @@ cadena \end_inset es un elemento de -\begin_inset Formula $\Sigma^{*}\coloneqq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Sigma^{n}$ +\begin_inset Formula $\Sigma^{*}\coloneqq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Sigma^{n}$ \end_inset , que solemos escribir como @@ -136,7 +136,11 @@ concatenación \begin_inset Formula $\Sigma^{*}$ \end_inset - es un monoide con la concatenación de cadenas. + es un monoide con la concatenación de cadenas, y llamamos +\begin_inset Formula $\epsilon$ +\end_inset + + a su elemento neutro. Dada \begin_inset Formula $u=u_{1}\cdots u_{n}\in\Sigma^{*}$ \end_inset @@ -902,7 +906,7 @@ Para dibujar un NFA \begin_inset Formula $q\in Q$ \end_inset - con su etiqueta dentro, o un círculo doble si + con su etiqueta dentro, o un doble círculo si \begin_inset Formula $q\in F$ \end_inset @@ -966,7 +970,7 @@ También podemos representar un NFA con una tabla con un estado por fila, \begin_inset Formula $\epsilon$ \end_inset - cuyas celdas contienen los valores de la función de transición. +, cuyas celdas contienen los valores de la función de transición. \end_layout \begin_layout Section @@ -2154,7 +2158,7 @@ Demostración: es final. Finalmente, -\begin_inset Formula $L\cap M=\overline{\overline{L}\cap\overline{M}}$ +\begin_inset Formula $L\cap M=\overline{\overline{L}\cup\overline{M}}$ \end_inset y @@ -2248,7 +2252,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $|w|\geq p$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq|w|\geq p$ \end_inset y @@ -2259,7 +2263,8 @@ Demostración: \begin_inset Formula $q_{i+1}=\delta(q_{i},w_{i+1})$ \end_inset -, como +. + Como \begin_inset Formula $\{q_{0},\dots,q_{p}\}\subseteq Q$ \end_inset @@ -2293,7 +2298,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $|y|\geq0$ +\begin_inset Formula $|y|>0$ \end_inset , @@ -2388,8 +2393,8 @@ pumping length \end_layout \begin_layout Standard -Los autómatas sencillos son demasiado sencillos como para teorizar sobre - lo computable o no computable debido a su falta de memoria. +Los autómatas finitos son demasiado sencillos para teorizar sobre lo computable + o no computable debido a su falta de memoria. \end_layout \end_body diff --git a/mc/n2.1.dot b/mc/n2.1.dot index c7c9b48..59eb2ff 100644 --- a/mc/n2.1.dot +++ b/mc/n2.1.dot @@ -5,8 +5,8 @@ digraph G { q4[shape=doublecircle, label=""] begin -> q1 q1 -> q2[label="e, e->$",texlbl="$\epsilon, \epsilon \to \$$"] - q2 -> q2[label="0, e->0",texlbl="$\begin{matrix}0, \epsilon \to 0\\1, \epsilon \to 1\\\ \end{matrix}$"] + q2 -> q2[label="0, e->#",texlbl="$0, \epsilon \to \#$"] q2 -> q3[label="c, e->e",texlbl="$c, \epsilon \to \epsilon$"] - q3 -> q3[label="0, 0->x",texlbl="$\begin{matrix}0, 0 \to \epsilon\\1, 1 \to \epsilon\\\ \end{matrix}$"] + q3 -> q3[label="1, #->e",texlbl="$1, \# \to \epsilon$"] q3 -> q4[label="e, $->e",texlbl="$\epsilon, \$ \to \epsilon$"] } diff --git a/mc/n2.1.tex b/mc/n2.1.tex index 3feb215..2a38805 100644 --- a/mc/n2.1.tex +++ b/mc/n2.1.tex @@ -9,13 +9,13 @@ \draw (120.6bp,29.5bp) node {$\epsilon, \epsilon \to \$$}; % Edge: q2 -> q2 \draw [->] (172.45bp,37.167bp) .. controls (169.37bp,47.664bp) and (172.76bp,58.0bp) .. (182.6bp,58.0bp) .. controls (189.06bp,58.0bp) and (192.74bp,53.549bp) .. (192.75bp,37.167bp); - \draw (182.6bp,65.5bp) node {$\begin{matrix}0, \epsilon \to 0\\1, \epsilon \to 1\\\ \end{matrix}$}; + \draw (182.6bp,65.5bp) node {$0, \epsilon \to \#$}; % Edge: q2 -> q3 \draw [->] (200.79bp,22.0bp) .. controls (220.49bp,22.0bp) and (253.02bp,22.0bp) .. (286.44bp,22.0bp); \draw (243.6bp,29.5bp) node {$c, \epsilon \to \epsilon$}; % Edge: q3 -> q3 \draw [->] (294.45bp,37.167bp) .. controls (291.37bp,47.664bp) and (294.76bp,58.0bp) .. (304.6bp,58.0bp) .. controls (311.06bp,58.0bp) and (314.74bp,53.549bp) .. (314.75bp,37.167bp); - \draw (304.6bp,65.5bp) node {$\begin{matrix}0, 0 \to \epsilon\\1, 1 \to \epsilon\\\ \end{matrix}$}; + \draw (304.6bp,65.5bp) node {$1, \# \to \epsilon$}; % Edge: q3 -> q4 \draw [->] (322.86bp,22.0bp) .. controls (342.7bp,22.0bp) and (375.68bp,22.0bp) .. (410.35bp,22.0bp); \draw (366.6bp,29.5bp) node {$\epsilon, \$ \to \epsilon$}; @@ -196,7 +196,7 @@ PDA \series default ) es una tupla -\begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,A_{0},q_{0},F)$ +\begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,A_{0},q_{0})$ \end_inset similar a un PDA pero sin @@ -371,7 +371,8 @@ Podemos suponer que una transición añade o elimina más de un elemento de \begin_inset Formula $\delta:Q\times\Sigma_{\epsilon}\times\Gamma^{*})\to{\cal P}(Q\times\Gamma^{*})$ \end_inset -), lo que equivale a añadir algunos estados intermedios en la transición. +), lo que equivale a tener varios estados intermedios en la transición para + primero quitar elementos y luego añadir. \end_layout \begin_layout Standard @@ -544,31 +545,31 @@ GLC \begin_inset Formula $(V,\Sigma,{\cal R},S)$ \end_inset -, donde -\begin_inset Formula $\Sigma$ -\end_inset - - es un alfabeto de + formada por un \series bold -símbolos terminales +alfabeto de variables \series default -, + \begin_inset Formula $V$ \end_inset - es un alfabeto de +, un alfabeto de \series bold -variables +símbolos terminales \series default + +\begin_inset Formula $\Sigma$ +\end_inset + disjunto de \begin_inset Formula $V$ \end_inset -, +, un conjunto finito \begin_inset Formula ${\cal R}$ \end_inset - es un conjunto finito de + de \series bold reglas de producción \series default @@ -580,14 +581,14 @@ reglas de producción \begin_inset Formula $S\to w$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $S\in V$ -\end_inset - - es la +, y una \series bold variable inicial \series default + +\begin_inset Formula $S\in V$ +\end_inset + . Se puede representar con una línea por cada variable \begin_inset Formula $T\in V$ @@ -602,7 +603,7 @@ variable inicial \end_inset , donde -\begin_inset Formula $\{w_{1},\dots,w_{n}\}=\{w\mid(T,w)\in V\}$ +\begin_inset Formula $\{w_{1},\dots,w_{n}\}=\{w\mid(T,w)\in{\cal R}\}$ \end_inset . @@ -625,22 +626,6 @@ Dadas \begin_inset Formula $(R\to x)\in{\cal R}$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $v\Rightarrow^{*}w$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $v=w$ -\end_inset - - o existe -\begin_inset Formula $x\in(V\cup\Sigma)^{*}$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $v\Rightarrow x\Rightarrow^{*}w$ -\end_inset - . Una \series bold @@ -658,6 +643,18 @@ derivación \begin_inset Formula $v_{i}\Rightarrow v_{i+1}$ \end_inset +, y escribimos +\begin_inset Formula $v\Rightarrow w$ +\end_inset + + si existe una derivación que empieza por +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + y termina por +\begin_inset Formula $w$ +\end_inset + . El \series bold @@ -709,8 +706,8 @@ Dada una GLC \begin_inset Formula $uRv\Rightarrow uxv$ \end_inset - en la derivación de -\begin_inset Formula $S$ + en la derivación +\begin_inset Formula $S\Rightarrow^{*}w$ \end_inset , aristas de @@ -726,7 +723,7 @@ Dada una GLC \series bold derivación por la izquierda \series default - es una derivación en la que, en cada paso + es una en la que, en cada paso \begin_inset Formula $uRv\Rightarrow uxv$ \end_inset @@ -805,7 +802,7 @@ Para{$A \backslash to \backslash -lambda +epsilon \backslash in{ \backslash @@ -818,7 +815,7 @@ cal R}$}{ \backslash to \backslash -varepsilon$ de ${ +epsilon$ de ${ \backslash cal R}$ \backslash @@ -859,16 +856,11 @@ cal R}$ para cada $w'$ resultante de \begin_layout Plain Layout - excepción de que si habíamos eliminado $B + excepción de que no añadimos $B \backslash to \backslash -lambda$ no la -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - - volvemos a añadir +epsilon$ \backslash ; \end_layout @@ -1234,17 +1226,21 @@ in F$}{% \begin_layout Plain Layout - añadir $(q_{ + añadir $q \backslash -text a}, +to^{ \backslash -epsilon)$ a $ +epsilon, \backslash -delta(q, +epsilon \backslash -epsilon, +to +\backslash +epsilon}q_{ \backslash -epsilon)$} +text a}$ a $ +\backslash +delta$} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1275,17 +1271,21 @@ Gamma$}{% \begin_layout Plain Layout - añadir $(q_{ + añadir $q_{ \backslash -text a}, +text a} \backslash -epsilon)$ a $ +to^{ \backslash -delta(q_{ +epsilon,x \backslash -text a}, +to +\backslash +epsilon}q_{ +\backslash +text a}$ a $ \backslash -epsilon,x)$} +delta$} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1532,19 +1532,23 @@ epsilon \begin_layout Plain Layout - (r,u) + p \backslash -in +to^{q, \backslash -delta(p,a, +epsilon \backslash -epsilon);(q, +to u}r,s \backslash -epsilon) +to^{b,u +\backslash +to +\backslash +epsilon}q \backslash in \backslash -delta(s,b,u)% +delta% \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1624,18 +1628,10 @@ Nótese que sólo probamos \end_inset equivale al PDAD -\begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\{\$\},\delta',\$,q_{0},F)$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula -\begin{align*} -\delta'(q,a\in\Sigma,\epsilon) & =\{(\delta(q,a),\epsilon)\}; & \delta'(q,a,x) & =\emptyset. -\end{align*} - +\begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\{\$\},\{(q,a,\epsilon,\delta(q,a),\epsilon)\}_{q\in Q}^{a\in\Sigma},\$,q_{0},F)$ \end_inset -(En esta notación se usa la primera expresión aplicable, por columnas.) +. \end_layout \begin_layout Description @@ -1646,7 +1642,21 @@ Nótese que sólo probamos \begin_inset Formula $L=\{0^{n}c1^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset - no es un lenguaje regular. + es reconocido por el PDAD +\size small +de la figura +\begin_inset CommandInset ref +LatexCommand ref +reference "fig:pdad" +plural "false" +caps "false" +noprefix "false" + +\end_inset + + +\size default +, pero no es regular. Si lo fuera, tendría una \emph on \lang english @@ -1686,18 +1696,18 @@ pumping length \end_inset . - Sin embargo, -\begin_inset Formula $L$ -\end_inset - -, es reconocido por el -\size small -PDAD \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard \align center +\begin_inset Float figure +wide false +sideways false +status open + +\begin_layout Plain Layout +\align center \begin_inset ERT status open @@ -1734,6 +1744,33 @@ end{tikzpicture} \end_layout +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Caption Standard + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset CommandInset label +LatexCommand label +name "fig:pdad" + +\end_inset + +PDAD de +\begin_inset Formula $\{0^{n}c1^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \end_deeper \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\subseteq3]$ @@ -1760,10 +1797,9 @@ end{tikzpicture} con \begin_inset Formula -\begin{align*} -\delta'(q_{\text{s}},\epsilon,\epsilon) & =\{(q_{0},A_{0})\}; & \delta'(q\in F,\epsilon,\epsilon) & =\delta(q,\epsilon,\epsilon)\cup\{(q_{\text{e}},\epsilon)\};\\ -\delta'(q_{\text{e}},\epsilon,x) & =\{(q_{\text{e}},\epsilon)\}; & \delta'(q\in Q,a,x) & =\delta(q,a,x); & \delta'(q,a,x) & =\emptyset. -\end{align*} +\[ +\delta'\coloneqq\delta\cup\{(q_{\text{s}},\epsilon,\epsilon,q_{0},A_{0})\}\cup\{(q,\epsilon,a,q_{\text{e}},\epsilon)\}_{q\in F\cup\{q_{\text{e}}\}}^{a\in\Gamma}. +\] \end_inset @@ -1922,10 +1958,9 @@ En efecto, si con \begin_inset Formula -\begin{align*} -\delta'(q_{\text{s}},\epsilon,\epsilon) & =\{(q_{0},A_{0})\}; & \delta'(q\in Q,a,x\in\Sigma\cup\{\epsilon\}) & =\delta(q,a,x);\\ -\delta'(q\in Q,\epsilon,\$) & =\{(q_{\text{e}},\epsilon)\}; & \delta'(q,a,x) & =\emptyset. -\end{align*} +\[ +\delta'\coloneqq\delta\cup\{(q_{\text{s}},\epsilon,\epsilon,q_{0},A_{0})\}\cup\{(q,\epsilon,\$,q_{\text{e}},\epsilon)\}_{q\in Q}. +\] \end_inset @@ -2056,7 +2091,7 @@ noprefix "false" , luego para que siempre que se acepte una cadena, se pueda aceptar con la pila vacía, y finalmente para que todas las transiciones añadan o eliminen - un elemento de la pila pero no ambos, usando estados intermedios. + un elemento de la pila pero no ambos. Entonces queremos ver que, para \begin_inset Formula $p,q\in Q$ \end_inset @@ -2385,10 +2420,9 @@ Si la secuencia de acciones tiene 0 pasos, debe ser de la forma con \begin_inset Formula -\begin{align*} -\delta(s,\epsilon,A_{0}) & =(l,A_{0}S); & \delta(l,\epsilon,x\in V) & =\{(l,w^{\text{R}})\}_{(x,w)\in{\cal R}};\\ -\delta(l,a,a) & =(l,\epsilon); & \delta(l,\epsilon,A_{0}) & =(e,\epsilon); & \delta(q,a,x) & =\emptyset -\end{align*} +\[ +\delta\coloneqq\{(s,\epsilon,A_{0},l,A_{0}S),(\ell,\epsilon,A_{0},e,\epsilon)\}\cup\{(\ell,a,a,\ell,\epsilon)\}_{a\in\Sigma}\cup\{(\ell,\epsilon,x,l,w^{\text{R}})\}_{(x,w)\in{\cal R}} +\] \end_inset @@ -2586,15 +2620,16 @@ Sean \series bold Lema del bombeo \series default - ( + o \series bold \emph on \lang english pumping lemma -\series default \emph default \lang spanish -): Si +: +\series default + Si \begin_inset Formula $L\in{\cal CF}$ \end_inset @@ -2647,11 +2682,11 @@ Demostración: \begin_inset Formula $b\coloneqq\max_{(A\to v)\in{\cal R}}|v|$ \end_inset -, en cualquier árbol de derivación por +, en cualquier árbol de derivación de \begin_inset Formula $G$ \end_inset -, ningún nodo tiene más de + ningún nodo tiene más de \begin_inset Formula $b$ \end_inset @@ -2700,7 +2735,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $w$ \end_inset - con número de nodos mínimo, cuya altura sera al menos + con número de nodos mínimo, cuya altura será al menos \begin_inset Formula $|V|+1$ \end_inset @@ -2834,7 +2869,7 @@ Demostración: \end_inset una descomposición en las condiciones de dicho lema. - Si o + Si \begin_inset Formula $v$ \end_inset @@ -2859,7 +2894,7 @@ Demostración: \end_inset contienen cada una un sólo tipo de símbolo y, como al menos una de las - 2 no es vacía y hay un tipo de símbolo no contenido en ninguna, + 2 no es vacía, hay un tipo de símbolo no contenido en ninguna, luego \begin_inset Formula $uv^{2}xy^{2}z\in L$ \end_inset @@ -2871,23 +2906,15 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -Dados -\begin_inset Formula $L_{1},L_{2}\in{\cal CF}$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $L_{1}\cup L_{2}\in{\cal CF}$ +\begin_inset Formula ${\cal CF}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Dadas gramáticas + es cerrado para la unión, concatenación y clausura. + +\series bold +Demostración: +\series default + Dadas gramáticas \begin_inset Formula $(V_{1},\Sigma_{1},{\cal R}_{1},S_{1})$ \end_inset @@ -2937,19 +2964,7 @@ Dadas gramáticas \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $L_{1}L_{2}\in{\cal CF}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -La gramática + \begin_inset Formula $G\coloneqq(V_{1}\sqcup V_{2}\sqcup\{S\},\Sigma_{1}\cup\Sigma_{2},{\cal R}_{1}\cup{\cal R}_{2}\cup\{S\to S_{1}S_{2}\},S)$ \end_inset @@ -3011,19 +3026,7 @@ La gramática \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $L_{1}^{*}\in{\cal CF}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -La gramática + Finalmente, \begin_inset Formula $G\coloneqq(V_{1}\sqcup\{S\},\Sigma_{1},{\cal R}_{1}\cup\{S\to S_{1}S,S\to\epsilon\},S)$ \end_inset @@ -3104,17 +3107,16 @@ La gramática . \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En general -\begin_inset Formula $L_{1}\cap L_{2}\notin{\cal CF}$ +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula ${\cal CF}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard + no es cerrado para la intersección, el complemento y la diferencia. + +\series bold +Demostración: +\series default + \begin_inset Formula $L_{1}\coloneqq\{a^{n}b^{n}c^{m}\}_{n,m\in\mathbb{N}}$ \end_inset @@ -3153,49 +3155,18 @@ B & \to bBc\mid\epsilon \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En general -\begin_inset Formula $\overline{L_{1}}\notin{\cal CF}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Si lo fuera, sería siempre -\begin_inset Formula $L_{1}\cap L_{2}=\overline{\overline{L_{1}}\cup\overline{L_{2}}}\in{\cal CF}\#$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En general -\begin_inset Formula $L_{1}\setminus L_{2}\notin{\cal CF}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Si lo fuera, como -\begin_inset Formula $\Sigma^{*}\in{\cal CF}$ + Si fuera cerrado para la diferencia, lo sería para el complemento ya que + +\begin_inset Formula $\overline{L}=\Sigma^{*}\setminus L$ \end_inset - sería siempre -\begin_inset Formula $\overline{L_{1}}=\Sigma^{*}\setminus L_{1}\in{\cal CF}$ +, y entonces lo sería para la intersección ya que +\begin_inset Formula $L_{1}\cap L_{2}=\overline{\overline{L_{1}}\cup\overline{L_{2}}}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Standard Los autómatas de pila no son un buen modelo de computación, pues un ordenador puede reconocer si una cadena está en @@ -111,8 +111,7 @@ Cambridge \lang spanish probaron, de forma independiente, que no. Para ello tuvieron que definir formalmente este tipo de procesos, llamados - algoritmos. - Church a partir de su + algoritmos, Church a partir de su \series bold cálculo \series default @@ -312,37 +311,25 @@ posición de la cabeza de lectura/escritura . Podemos representar una configuración -\begin_inset Formula $(c_{0}\cdots c_{n}\text{BB}\cdots\text{B}\cdots,q,k)$ -\end_inset - -, donde -\begin_inset Formula $k\leq n$ -\end_inset - - y solo se da -\begin_inset Formula $c_{n}=\text{B}$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $c_{j}=\text{B}$ -\end_inset - - para todo -\begin_inset Formula $c_{j}\geq k$ +\begin_inset Formula $(c,q,p)$ \end_inset -, como + como \begin_inset Quotes cld \end_inset -\begin_inset Formula $c_{0}\cdots c_{k-1}qc_{k}\cdots c_{n}$ +\begin_inset Formula $c_{0}\cdots c_{p-1}qc_{p}\cdots c_{n}$ \end_inset \begin_inset Quotes crd \end_inset +, donde +\begin_inset Formula $n\ge\max(\{n\mid c_{n}\neq\text{B}\}\cup\{p-1\})$ +\end_inset + . \end_layout @@ -356,19 +343,7 @@ configuración inicial \end_inset es -\begin_inset Formula $(c,q_{0},0)$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $c_{0},\dots,c_{|w|-1}=w$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $c_{k}=\text{B}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $k\geq|w|$ +\begin_inset Formula $q_{0}w$ \end_inset . @@ -448,7 +423,7 @@ rechaza \begin_inset Formula $w$ \end_inset -, o bien no termina. +, y puede no terminar. \end_layout \begin_layout Standard @@ -556,11 +531,11 @@ Ejecutar una u otra instrucción según el símbolo leído y los \begin_inset Formula $n$ \end_inset - anteriores para cierto + anteriores para \begin_inset Formula $n$ \end_inset -. + fijo. \end_layout \begin_deeper @@ -586,7 +561,7 @@ Se mueve \begin_inset Formula $\overline{x_{1}x_{2}}$ \end_inset -, etc., hasta llegar a la posición inicial en el estado +, etc., hasta llegar al estado \begin_inset Formula $\overline{x_{1}\cdots x_{n}}$ \end_inset @@ -600,7 +575,7 @@ Ejecutar una instrucción mientras el símbolo leído cumpla una condición. \begin_deeper \begin_layout Standard -Para estos símbolos, pasar a la instrucción, que termina volviendo a la +Para estos símbolos, pasar a la instrucción, que al terminar vuelve a la comprobación. Para el resto, pasar a la siguiente. \end_layout @@ -629,7 +604,7 @@ Se añade un nuevo estado inicial \begin_inset Formula $\$$ \end_inset - y, en bucle, se mueve a la derecha y se escribe el símbolo en la posición + y, en bucle, se mueve a la derecha y se escribe el símbolo de la posición anterior, hasta que este sea B. Entonces se va moviendo a la izquierda hasta encontrar \begin_inset Formula $\$$ @@ -644,7 +619,7 @@ Se añade un nuevo estado inicial \begin_inset Formula $\$$ \end_inset - al principio, de modo que detectar el límite izquierdo de la cinta es detectar + al principio, con lo que detectar el límite izquierdo de la cinta es detectar \begin_inset Formula $\$$ \end_inset @@ -684,12 +659,8 @@ Se usan estados en ciclo. Mientras no se lea B, se pasa al estado siguiente si se lee el símbolo o al mismo en otro caso, y se mueve a la derecha. - En el último estado, antes de hacer esto, si se detecta el símbolo se hace - la acción a realizar cada -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - apariciones. + En el último estado, antes de hacer esto, se detecta si está el símbolo + y se actúa en consecuencia. \end_layout \end_deeper @@ -838,7 +809,7 @@ menos expresivo \begin_inset Formula $\text{MOD}_{1}$ \end_inset -; +, en cuyo caso es \series bold equivalente \series default @@ -851,10 +822,6 @@ equivalente \end_inset , si -\begin_inset Formula $\text{MOD}_{1}\preceq\text{MOD}_{2}$ -\end_inset - - y \begin_inset Formula $\text{MOD}_{2}\preceq\text{MOD}_{1}$ \end_inset @@ -870,15 +837,7 @@ estrictamente menos expresivo \begin_inset Formula $\text{MOD}_{1}\prec\text{MOD}_{2}$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $\text{MOD}_{1}\preceq\text{MOD}_{2}$ -\end_inset - - pero -\begin_inset Formula $\text{MOD}_{2}\npreceq\text{MOD}_{1}$ -\end_inset - -. +, en otro caso. \end_layout \begin_layout Standard @@ -944,7 +903,6 @@ stay \begin_deeper \begin_layout Standard -Claramente \begin_inset Formula $\text{MT}\subseteq\text{SMT}$ \end_inset @@ -956,7 +914,7 @@ Claramente \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset - sustituyendo una transición con S con una que primero se mueve a la derecha + cambiando cada transición con S por una que primero se mueve a la derecha y luego a la izquierda. \end_layout @@ -1136,60 +1094,56 @@ máquinas de Turing multicinta \end_inset es -\begin_inset Formula $(q_{0},w\text{B}\cdots,(\text{B}\cdots)^{k-1})$ +\begin_inset Formula $(q_{0},(w\text{B}\cdots,0),(\text{B}\cdots,0)^{k-1})$ \end_inset . - Definiendo -\begin_inset Formula $\nu:(\Gamma^{\mathbb{N}}\times\mathbb{N})\times(\Gamma\times\{\text{L},\text{R}\})\to\Gamma^{\mathbb{N}}\times\mathbb{N}$ -\end_inset - - de forma que, para -\begin_inset Formula $a,b\in\Gamma$ + Una configuración +\begin_inset Formula $(q,(u_{1},n_{1}),\dots,(u_{k},n_{k}))$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + lleva a otra +\begin_inset Formula $(r,(v_{1},m_{1}),\dots,(v_{k},m_{k}))$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $u\in\Gamma^{n}$ + si, siendo +\begin_inset Formula $\delta(q,u_{1n_{1}},\dots,u_{kn_{k}})=(r,(c_{1},d_{1}),\dots,(c_{k},d_{k}))$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $v\in\Gamma^{\mathbb{N}}$ +, para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,k\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\nu((uav,n),(b,\text{R}))=(ubv,n+1)$ +\begin_inset Formula $v_{i}$ \end_inset - y, si -\begin_inset Formula $n>0$ + es como +\begin_inset Formula $u_{i}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\nu((uav,n),(b,\text{L}))=(ubv,n-1)$ + pero cambiando el término +\begin_inset Formula $n_{i}$ \end_inset -, una configuración -\begin_inset Formula $(q,(u_{1},n_{1}),\dots,(u_{k},n_{k}))$ +-ésimo por +\begin_inset Formula $c$ \end_inset - lleva a otra -\begin_inset Formula $(r,(v_{1},m_{1}),\dots,(v_{k},m_{k}))$ + y, bien +\begin_inset Formula $d_{i}=\text{L}$ \end_inset - dada por -\begin_inset Formula $\delta(q,u_{1n_{1}},u_{2n_{2}},\dots,u_{kn_{k}})=(r,t_{1},\dots,t_{k})$ + y +\begin_inset Formula $m_{i}=n_{i}-1$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(v_{i},m_{i})=\nu((u_{i},n_{i}),t_{i})$ +, bien +\begin_inset Formula $d_{i}=\text{R}$ \end_inset - para cada -\begin_inset Formula $i$ + y +\begin_inset Formula $m_{i}=n_{i}+1$ \end_inset . @@ -1261,7 +1215,7 @@ Claramente una \end_inset por -\begin_inset Formula $\#w(\#\dot{\text{B}})^{k-1}$ +\begin_inset Formula $\#\dot{w}_{1}w_{2}\cdots w_{|w|}(\#\dot{\text{B}})^{k-1}$ \end_inset , vuelve al principio y pasa a @@ -1325,7 +1279,7 @@ Si \end_inset por -\begin_inset Formula $a_{i}$ +\begin_inset Formula $s_{i}$ \end_inset . @@ -1346,6 +1300,22 @@ Si \begin_inset Formula $\dot{x}$ \end_inset +, o si +\begin_inset Formula $x=\#$ +\end_inset + +, rechazar si +\begin_inset Formula $d_{i}=\text{L}$ +\end_inset + + o insertar antes +\begin_inset Formula $\dot{\text{B}}$ +\end_inset + + desplazando el resto a la derecha si +\begin_inset Formula $d_{i}=\text{R}$ +\end_inset + . \end_layout @@ -1473,8 +1443,8 @@ Toda \begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_{0},q_{\text{F}})$ \end_inset - e intentamos convertirla en una 3-MT, que guardará la entrada en la cinta - 1, simulará la + y la convertimos en una 3-MT, que guardará la entrada en la cinta 1, simulará + la \begin_inset Formula $\text{MTND}$ \end_inset @@ -1500,7 +1470,7 @@ Escribir \begin_inset Formula $c\gets\text{FALSE}$ \end_inset -en el estado del 3-MT. + en el estado. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -1510,7 +1480,7 @@ name "enu:begin-step" \end_inset -Copiar la cinta 1 en la cinta 2, escribiendo +Copiar la cinta 1 en la 2, escribiendo \begin_inset Formula $\#$ \end_inset @@ -1578,7 +1548,7 @@ noprefix "false" \begin_inset Formula $i>|\delta(q,a)|$ \end_inset -, escribir B y moverse a la izquierda en la cinta 3 e ir al paso +, escribir B, moverse a la izquierda en la cinta 3 e ir al paso \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "enu:next-step" @@ -1725,7 +1695,7 @@ Kurt Gödel tesis de Church-Turing \series default , que afirma que esta definición de algoritmo se corresponde con la noción - intuitiva, o la máquina de Turing es el modelo de computación más expresivo + intuitiva, o que la máquina de Turing es el modelo de computación más expresivo posible y todos los modelos suficientemente expresivos son equivalentes a este. \end_layout @@ -1744,12 +1714,12 @@ máquinas con infinitos registros \series bold lenguaje S \series default - (simple), todas equivalentes a las máquinas de Turing. + (simple), todas equivalentes a MT. Un lenguaje de programación es \series bold Turing completo \series default - si es equivalente a las máquinas de Turing. + si es equivalente a MT. \end_layout \begin_layout Section @@ -1820,7 +1790,6 @@ Si se lee B, rechazar (longitud 0). \begin_layout Enumerate Si solo hay un 0, se acepta. - Se vuelve al principio. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -1879,7 +1848,7 @@ Se va leyendo la cadena de izquierda a derecha y, si hay una \begin_inset Formula $c$ \end_inset -, aceptando si no hay ninguno, se vuelve al principio de la cinta, se marca +, aceptando si no hay ninguna, se vuelve al principio de la cinta, se marca con \begin_inset Formula $\#$ \end_inset @@ -2112,8 +2081,7 @@ Tomamos una \begin_inset Formula $\text{MTND}$ \end_inset - que al inicio, de forma no determinista, se quede donde está ejecute una - + que al inicio, de forma no determinista, ejecute una \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset @@ -2121,7 +2089,7 @@ Tomamos una \begin_inset Formula $L_{1}$ \end_inset - o una que ejecute + o una que enumere \begin_inset Formula $L_{2}$ \end_inset @@ -2154,11 +2122,7 @@ Sean \begin_inset Formula ${\cal M}_{2}$ \end_inset - una -\begin_inset Formula $\text{MT}$ -\end_inset - - que enumera + una que enumera \begin_inset Formula $L_{2}$ \end_inset @@ -2171,7 +2135,7 @@ Sean \end_inset a la vez sobre dos copias de la entrada (alternándolas), aceptando cuando - ambas hayan aceptado y rechazando si una termina. + ambas hayan aceptado y rechazando si una rechaza. \end_layout \end_deeper @@ -2200,11 +2164,11 @@ Similar al caso decidible pero haciendo todas las simulaciones en paralelo: \begin_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $L_{1}^{*}=\{\lambda\}\cup(L_{1}\setminus\{\lambda\})^{*}$ +\begin_inset Formula $L_{1}^{*}=\{\epsilon\}\cup(L_{1}\setminus\{\epsilon\})^{*}$ \end_inset , por lo que si la entrada es -\begin_inset Formula $\lambda$ +\begin_inset Formula $\epsilon$ \end_inset aceptamos y, en otro caso, hacemos como en el caso anterior pero iterando @@ -2228,8 +2192,8 @@ Algoritmos \end_layout \begin_layout Standard -Las máquinas de Turing y mecanismos generales no solo permiten reconocer - cadenas, sino ejecutar algoritmos en general. +Las máquinas de Turing no solo permiten reconocer cadenas, sino ejecutar + algoritmos en general. La entrada siempre es una cadena, por lo que para que otro tipo de objeto actúe de entrada hay que representarla como una cadena y la máquina de Turing debe decodificar esta representación. @@ -2245,7 +2209,7 @@ Las máquinas de Turing y mecanismos generales no solo permiten reconocer \begin_inset Formula $O$ \end_inset -, y dados objetos + en cierta representación, y dados objetos \begin_inset Formula $O_{1},\dots,O_{n}$ \end_inset @@ -2257,7 +2221,7 @@ Las máquinas de Turing y mecanismos generales no solo permiten reconocer \begin_inset Formula $(O_{1},\dots,O_{n})$ \end_inset -, en cierta representación. +. La \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset @@ -439,7 +439,7 @@ input \end_inset que reconoce -\begin_inset Formula $K\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid \text{la MT \ensuremath{{\cal A}} acepta \ensuremath{w}}\}$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid\text{la MT \ensuremath{{\cal A}} acepta \ensuremath{w}}\}$ \end_inset . @@ -1953,7 +1953,7 @@ Algunos lenguajes decidibles: \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{DFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid \text{el DFA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{DFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid\text{el DFA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ \end_inset . @@ -2044,7 +2044,7 @@ fun m q0 finals w -> contains (==) (sim m w q0) finals \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{NFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid \text{el NFA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{NFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid\text{el NFA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ \end_inset . @@ -2275,7 +2275,7 @@ fun (states, syms, m, r0, finals) -> \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{PDA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid \text{el PDA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{PDA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid\text{el PDA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ \end_inset . @@ -2322,7 +2322,7 @@ forma normal de Chomsky \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{DFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid \text{el DFA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{DFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid\text{el DFA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ \end_inset . @@ -2433,7 +2433,7 @@ fun (trans, q0, finals) -> anystring trans finals nil (cons q0 nil) \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{NFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid \text{el NFA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{NFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid\text{el NFA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ \end_inset . @@ -2446,7 +2446,7 @@ Análogo. \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{PDA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid \text{el PDA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{PDA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid\text{el PDA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ \end_inset . @@ -2580,7 +2580,7 @@ numeración de Gödel \series bold computables \series default -, es decir existe una +, es decir, existe una \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset @@ -2609,19 +2609,15 @@ Demostración: \begin_inset Formula $f:A\to{\cal P}(A)$ \end_inset -, sea +, sean \begin_inset Formula $B\coloneqq\{x\in A\mid x\notin f(x)\}$ \end_inset -, existe -\begin_inset Formula $y\in A$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $f(y)=B$ + e +\begin_inset Formula $Y\coloneqq f^{-1}(B)$ \end_inset -, pero si +, si \begin_inset Formula $y\in B$ \end_inset @@ -2641,7 +2637,7 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -Existen lenguajes no recursivamente enumerables, pues el conjunto lenguajes +Existen lenguajes no recursivamente enumerables, pues el conjunto de lenguajes sobre un alfabeto \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset @@ -2767,7 +2763,7 @@ status open \begin_layout Standard \begin_inset Formula \[ -K\coloneqq\{\langle{\cal M},w\rangle\mid \text{la MT }{\cal M}\text{ acepta con entrada }w\}\in{\cal RE}\setminus{\cal DEC}. +K\coloneqq\{\langle{\cal M},w\rangle\mid\text{la MT }{\cal M}\text{ acepta con entrada }w\}\in{\cal RE}\setminus{\cal DEC}. \] \end_inset @@ -2806,7 +2802,7 @@ Demostración: \end_inset que decide -\begin_inset Formula $\{\langle{\cal M}\rangle\mid {\cal H}\text{ rechaza }\langle{\cal M},\langle{\cal M}\rangle\rangle\}$ +\begin_inset Formula $\{\langle{\cal M}\rangle\mid{\cal H}\text{ rechaza }\langle{\cal M},\langle{\cal M}\rangle\rangle\}$ \end_inset , pero entonces @@ -2854,7 +2850,8 @@ Para un lenguaje \begin_inset Formula $\overline{L}$ \end_inset - hasta que una termine y aceptar o rechazar según cuál termine. + hasta que una termine y aceptar o rechazar según cuál termine y con qué + resultado. \end_layout \begin_layout Standard @@ -81,48 +81,6 @@ \begin_body \begin_layout Standard -Un -\series bold -oráculo -\series default - para un lenguaje -\begin_inset Formula $L$ -\end_inset - - es una caja negra que decide -\begin_inset Formula $L$ -\end_inset - -. - Un lenguaje -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - se -\series bold -reduce -\series default - a un lenguaje -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - - si existe una -\begin_inset Formula $\text{MT}$ -\end_inset - - que decide -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - usando un oráculo de -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - -. - -\end_layout - -\begin_layout Standard Una \series bold reducción @@ -144,26 +102,38 @@ reducción \end_inset . - Una función -\begin_inset Formula $f:\Sigma_{1}^{*}\to\Sigma_{2}^{*}$ + Una MT +\begin_inset Formula ${\cal M}$ \end_inset - es + \series bold -computable +computa \series default - si existe una -\begin_inset Formula $\text{MT}$ + una función +\begin_inset Formula $f:\Sigma_{1}^{*}\to\Sigma_{2}^{*}$ \end_inset - que siempre termina y que, para una entrada + si siempre termina y, para \begin_inset Formula $w\in\Sigma_{1}^{*}$ \end_inset -, termina conteniendo en su cinta únicamente +, +\begin_inset Formula ${\cal M}$ +\end_inset + + termina conteniendo en su cinta únicamente \begin_inset Formula $f(w)$ \end_inset +, y entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es +\series bold +computable +\series default . Una \series bold @@ -211,6 +181,46 @@ reducir \end_layout \begin_layout Standard +Equivalentemente, un +\series bold +oráculo +\series default + para un lenguaje +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + es una caja negra que decide +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + +, y un lenguaje +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + +\series bold +se reduce +\series default + a un lenguaje +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + si existe una +\begin_inset Formula $\text{MT}$ +\end_inset + + con un oráculo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + que decide +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard \series bold Teoremas de reducibilidad: @@ -327,7 +337,7 @@ Problema de la parada. \begin_inset Formula \[ -\text{HALT}^{\text{MT}}\coloneqq\{\langle{\cal M},w\rangle\mid {\cal M}\text{ es una MT que para con entrada }w\}\notin{\cal DEC}. +\text{HALT}^{\text{MT}}\coloneqq\{\langle{\cal M},w\rangle\mid{\cal M}\text{ es una MT que para con entrada }w\}\notin{\cal DEC}. \] \end_inset @@ -341,7 +351,7 @@ Sea \begin_inset Formula ${\cal M}'$ \end_inset - es una + una \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset @@ -380,7 +390,7 @@ mapping \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{EMPTY}^{\text{MT}}\coloneqq\{\langle{\cal M}\rangle\mid {\cal M}\text{ es una MT que no acepta ninguna cadena}\}\notin{\cal DEC}$ +\begin_inset Formula $\text{EMPTY}^{\text{MT}}\coloneqq\{\langle{\cal M}\rangle\mid{\cal M}\text{ es una MT que no acepta ninguna cadena}\}\notin{\cal DEC}$ \end_inset . @@ -454,7 +464,7 @@ mapping \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Pass}\coloneqq\{\langle{\cal M},w,q\rangle\mid {\cal M}\text{ es una MT que, con entrada }w\text{, pasa por el estado \ensuremath{q}}\}\notin{\cal DEC}$ +\begin_inset Formula $\text{Pass}\coloneqq\{\langle{\cal M},w,q\rangle\mid{\cal M}\text{ es una MT que, con entrada }w\text{, pasa por el estado \ensuremath{q}}\}\notin{\cal DEC}$ \end_inset . @@ -512,7 +522,6 @@ mapping \end_deeper \begin_layout Standard -Un lenguaje \begin_inset Formula $L\in{\cal RE}$ \end_inset @@ -674,7 +683,7 @@ Teorema de Rice: no trivial, \begin_inset Formula \[ -{\cal L}_{P}\coloneqq\{\langle{\cal M}\rangle\mid {\cal M}\text{ es una MT con }L(M)\in P\}\notin{\cal DEC}. +{\cal L}_{P}\coloneqq\{\langle{\cal M}\rangle\mid{\cal M}\text{ es una MT con }L(M)\in P\}\notin{\cal DEC}. \] \end_inset @@ -713,7 +722,7 @@ Demostración: \end_inset . - Si, por ejemplo, + Si \begin_inset Formula $L_{2}=\emptyset$ \end_inset @@ -808,7 +817,7 @@ mapping \begin_inset Formula $L_{1}=\emptyset$ \end_inset - esto permite probar que + por este argumento \begin_inset Formula ${\cal RE}\setminus{\cal L}_{P}\notin{\cal DEC}$ \end_inset @@ -170,7 +170,7 @@ límite superior asintótico \begin_layout Standard Para -\begin_inset Formula $t:\mathbb{N}\to\mathbb{R}^{+}$ +\begin_inset Formula $t:\mathbb{N}\to\mathbb{R}^{\geq0}$ \end_inset , llamamos @@ -190,8 +190,7 @@ clase de complejidad \end_inset . - Nótese que esta magnitud se refiere al lenguaje o problema, no a un algoritmo - concreto. + Esta magnitud se refiere al lenguaje o problema, no a un algoritmo concreto. En general, la clase de complejidad de un problema depende del modelo de computación usado, aun para modelos equivalentes. Este orden no difiere mucho entre modelos deterministas, pero sí entre @@ -252,7 +251,7 @@ Demostración: y luego para aplicarla, actualizando el contenido de las celdas y las posicione s de los cursores. Cada cinta tiene tamaño como mucho -\begin_inset Formula $O(t(n))$ +\begin_inset Formula $O(\max\{t(n),n\})=O(t(n))$ \end_inset , pues en cada transición se añade como mucho un caracter en cada cinta, @@ -265,11 +264,7 @@ s de los cursores. \end_inset de estos, el tiempo total es -\begin_inset Formula $O(t(n)^{2}+n)=O(t(n)^{2})$ -\end_inset - -, usando que -\begin_inset Formula $t(n)\geq n$ +\begin_inset Formula $O(t(n)^{2})$ \end_inset . @@ -383,16 +378,7 @@ backtracking \lang spanish y para evitar la interferencia entre una simulación y la siguiente, por lo que el total de transiciones es como mucho -\begin_inset Formula $O(n+mc^{m})=O(n+f(n)c^{f(n)})$ -\end_inset - -, usando que -\begin_inset Formula $n\leq f(n)$ -\end_inset - -. - Entonces el total es -\begin_inset Formula $O(f(n)c^{f(n)})=O(2^{\log_{2}f(n)+f(n)\log_{2}c})=2^{O(\log_{2}f(n)+f(n)\log_{2}c})=2^{O(f(n))}$ +\begin_inset Formula $O(n+mc^{m})=O(n+f(n)c^{f(n)})=O(f(n)c^{f(n)})=O(2^{\log_{2}f(n)+f(n)\log_{2}c})=2^{O(\log_{2}f(n)+f(n)\log_{2}c)}=2^{O(f(n))}$ \end_inset , y por el teorema anterior, al simular esto en un @@ -419,16 +405,7 @@ Nótese que \begin_inset Formula $3^{n}\neq O(2^{n})$ \end_inset - pero -\begin_inset Formula $3^{n}=2^{\log_{2}3^{n}}=2^{n\log_{2}3}=2^{O(n)}$ -\end_inset - -. - En efecto, claramente -\begin_inset Formula $n\log_{2}3\in O(n)$ -\end_inset - -, pero para cualesquiera + porque para cualesquiera \begin_inset Formula $c,n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset @@ -444,6 +421,10 @@ Nótese que \begin_inset Formula $n>\log_{\frac{3}{2}}c$ \end_inset +, pero +\begin_inset Formula $3^{n}=2^{\log_{2}3^{n}}=2^{n\log_{2}3}=2^{O(n)}$ +\end_inset + . \end_layout @@ -135,31 +135,6 @@ Los problemas en esta clase se consideran tratables, y el resto intratables. \begin_layout Standard Una -\begin_inset Formula $\text{MT}$ -\end_inset - - -\series bold -computa -\series default - una función -\begin_inset Formula $f:D\subseteq\Sigma^{*}\to\Sigma^{*}$ -\end_inset - - si decide -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $w\in D$ -\end_inset - -, termina conteniendo solo -\begin_inset Formula $f(w)$ -\end_inset - - en su cinta. - Una \series bold función polinómica \series default @@ -219,10 +194,15 @@ representación interna Las formas que hemos usado para representar autómatas, grafos, etc. son razonables, pero no lo es la representación unaria de números, pues - es exponencialmente más larga que una representación en base 2 o más. + es exponencialmente más larga que una representación en base 2 o más que + sí es razonable. \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Float algorithm wide false sideways false @@ -362,7 +342,7 @@ Suma \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Float algorithm wide false sideways false @@ -506,7 +486,7 @@ Resta saturada \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Float algorithm wide false sideways false @@ -648,7 +628,7 @@ Producto \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Float algorithm wide false sideways false @@ -844,6 +824,11 @@ Cociente entero \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard \begin_inset Float algorithm wide false @@ -886,7 +871,7 @@ in L(G)$, rechaza en otro caso.} \backslash SSi{$w= \backslash -lambda$}{ +epsilon$}{ \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -897,7 +882,7 @@ lSSi{$S \backslash to \backslash -lambda +epsilon \backslash in{ \backslash @@ -922,7 +907,17 @@ $T \backslash gets \backslash -emptyset$ +{((i,j), +\backslash +emptyset) +\backslash +}_{1 +\backslash +leq i +\backslash +leq j +\backslash +leq n}$ \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -931,15 +926,7 @@ emptyset$ \backslash tcp*{{ \backslash -rm Para $ -\backslash -{(i,j) -\backslash -}_{1 -\backslash -leq i<j -\backslash -leq n}$, $T(i,j)$ contiene las variables que generan $w_i +rm $T(i,j)$ contiene las variables que generan $w_i \backslash cdots w_j$.}} \end_layout @@ -1105,6 +1092,9 @@ Algoritmo CYK de programación dinámica para establecer si una cadena está \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Newpage newpage +\end_inset + Están en \begin_inset Formula ${\cal P}$ \end_inset @@ -1113,6 +1103,10 @@ Están en \end_layout \begin_layout Enumerate +La suma, resta saturada, producto, cociente entero y resto de números naturales. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\text{RELPRIM}\coloneqq\{\langle x,y\rangle\mid x,y\in\mathbb{N}\text{ son primos relativos}\}$ \end_inset @@ -1135,6 +1129,10 @@ Una forma de comprobarlo es usar el algoritmo de Euclides para ver que . La operación más cara en un paso es el módulo, +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $O(n^{3})$ \end_inset @@ -1148,7 +1146,12 @@ noprefix "false" \end_inset -, y basta ver que el número de pasos es polinómico respecto al tamaño de +, +\end_layout + +\end_inset + + y basta ver que el número de pasos es polinómico respecto al tamaño de la entrada, para lo que vemos que, excluyendo el primer paso, cada 2 pasos \begin_inset Formula $x$ @@ -1238,7 +1241,7 @@ Se añade el nodo \end_inset . - Se acepta si y sólo si + Se acepta si y sólo si al final \begin_inset Formula $t$ \end_inset @@ -1348,22 +1351,21 @@ noprefix "false" \end_deeper \begin_layout Standard -Dados -\begin_inset Formula $L_{1},L_{2}\in{\cal P}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $L_{1}\cup L_{2},L_{1}\cap L_{2},\overline{L_{1}},L_{1}L_{2},L_{1}^{*}\in{\cal P}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}$ \end_inset -. + es cerrada para unión, intersección, complemento, concatenación y clausura. \series bold Demostración: \series default La unión, intersección y clausura son triviales. - Respecto a la concatenación, para cada partición de la entrada en 2 partes, - posiblemente vacías, se decide + Respecto a la concatenación +\begin_inset Formula $L_{1}L_{2}$ +\end_inset + +, para cada partición de la entrada en 2 partes, posiblemente vacías, se + decide \begin_inset Formula $L_{1}$ \end_inset @@ -1372,8 +1374,12 @@ Demostración: \end_inset en la segunda. - Para ver que -\begin_inset Formula $L_{1}^{*}\in{\cal P}$ + Para ver que, si +\begin_inset Formula $L\in{\cal P}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $L^{*}\in{\cal P}$ \end_inset , hacemos lo siguiente: Para una entrada @@ -1398,7 +1404,7 @@ Demostración: \end_inset indica si -\begin_inset Formula $w_{i}\cdots w_{j}\in L_{1}^{*}$ +\begin_inset Formula $w_{i}\cdots w_{j}\in L^{*}$ \end_inset . @@ -1423,7 +1429,7 @@ Demostración: \end_inset , si -\begin_inset Formula $w_{i}\cdots w_{j}\in L_{1}$ +\begin_inset Formula $w_{i}\cdots w_{j}\in L$ \end_inset , se marca @@ -1473,7 +1479,7 @@ Demostración: \end_inset ejecuciones de la máquina que decide -\begin_inset Formula $L_{1}$ +\begin_inset Formula $L$ \end_inset . @@ -1562,7 +1568,7 @@ verificador \end_inset tal que -\begin_inset Formula $L=\{w\mid \exists c\mid V\text{ acepta }\langle w,c\rangle\}$ +\begin_inset Formula $L=\{w\mid\exists c:V\text{ acepta }\langle w,c\rangle\}$ \end_inset . @@ -1599,7 +1605,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $M$ +\begin_inset Formula ${\cal M}$ \end_inset una @@ -1615,26 +1621,22 @@ Sea \end_inset , simula -\begin_inset Formula $M$ +\begin_inset Formula ${\cal M}$ \end_inset tratando \begin_inset Formula $c$ \end_inset - como una secuencia con la opción que hace -\begin_inset Formula $M$ + como una secuencia con la opción que toma +\begin_inset Formula ${\cal M}$ \end_inset - en cada paso para aceptar -\begin_inset Formula $w$ -\end_inset - -, y que acepta o rechaza según lo haga -\begin_inset Formula $M$ + en cada paso, y que acepta o rechaza según lo haga +\begin_inset Formula ${\cal M}$ \end_inset - con esta configuración. + con estas elecciones. \end_layout \begin_layout Itemize @@ -1723,20 +1725,11 @@ end{samepage} \end_layout \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $L_{1},L_{2}\in{\cal NP}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $L_{1}\cup L_{2},L_{1}\cap L_{2},L_{1}L_{2},L_{1}^{*}\in{\cal NP}$ -\end_inset - -. - Se desconoce si \begin_inset Formula ${\cal NP}$ \end_inset - es cerrada para el complemento o no. + es cerrada para la unión, intersección, concatenación y clausura. + Se desconoce si es cerrada para el complemento o no. \begin_inset Formula ${\cal P}$ \end_inset @@ -223,7 +223,11 @@ status open \end_inset -Obvio. +Por la existencia de lenguajes +\begin_inset Formula ${\cal NP}$ +\end_inset + +-completos, que vamos a ver. \end_layout \begin_layout Itemize @@ -299,7 +303,7 @@ variable \series bold proposición atómica \series default - dada por una secuencia de letras, una + (dada por una secuencia de letras), una \series bold conjunción \series default @@ -404,11 +408,11 @@ Una proposición es \series bold satisfacible \series default - si existe una asignación de valores que le asigna el valor de verdad verdadero. + si existe una asignación de valores que le asigna verdadero. Definimos \begin_inset Formula \[ -\text{SAT}\coloneqq\text{SAT}_{0}\coloneqq\text{SAT}_{\text{LP}}\coloneqq\{\langle\Phi\rangle\mid \Phi\text{ es una fórmula booleana satisfacible}\}. +\text{SAT}\coloneqq\text{SAT}_{0}\coloneqq\text{SAT}_{\text{LP}}\coloneqq\{\langle\Phi\rangle\mid\Phi\text{ es una fórmula booleana satisfacible}\}. \] \end_inset @@ -417,7 +421,7 @@ satisfacible \end_layout \begin_layout Standard -Sea +Sean \begin_inset Formula $N=(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_{0},q_{\text{f}})$ \end_inset @@ -425,7 +429,7 @@ Sea \begin_inset Formula $\text{MNTD}$ \end_inset - en tiempo polinómico, sean + en tiempo polinómico y \begin_inset Formula $m,c,k\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset @@ -496,7 +500,7 @@ ventana \end_inset , donde -\begin_inset Formula $a_{p0}\coloneqq a_{p,t(n)+1}\coloneqq\#\notin Q\sqcup\Gamma$ +\begin_inset Formula $a_{p0}\coloneqq a_{p,t(n)+2}\coloneqq\#\notin Q\sqcup\Gamma$ \end_inset . @@ -586,7 +590,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $q_{\text{f}}$ \end_inset - se puede seguir hasta completar las + se pueda seguir hasta completar las \begin_inset Formula $t(n)$ \end_inset @@ -676,8 +680,7 @@ s\neq t Finalmente queremos ver que, si una fila es una configuración válida, la siguiente también lo es y se sigue de ella. Si esto es así, todas las ventanas entre las dos filas serán legales. - Ahora bien, las ventanas legales son las que tienen las siguientes formas, - donde + Ahora bien, las ventanas legales son las siguientes, donde \begin_inset Formula $a,b,c,d\in\Gamma$ \end_inset @@ -734,9 +737,9 @@ Con esto es claro que, si todas las ventanas entre dos filas son legales, \begin_inset Quotes crd \end_inset - a los lados se conservan y, si una fila tiene un único estado, la siguiente - tendrá uno único que estará a la izquierda o a la derecha, la transición - estará en + a los lados se conservan y, si una fila tiene una única celda de estado, + la siguiente tendrá una única que estará a la izquierda o a la derecha, + la transición estará en \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset @@ -803,15 +806,7 @@ Si \begin_inset Formula $t(n)=O(n^{k})$ \end_inset -, esta fórmula tiene -\begin_inset Formula $O(n^{2k})$ -\end_inset - - variables ( -\begin_inset Formula $C$ -\end_inset - - por celda), +, \begin_inset Formula $\Phi_{\text{start}}$ \end_inset @@ -844,12 +839,11 @@ Si \end_inset tiene -\begin_inset Formula $O(2^{nk})$ +\begin_inset Formula $O(n^{2k})$ \end_inset (hasta 6 por ventana legal y ventana, el número de ventanas legales es - fijo y hay menos ventanas que celdas). - Por tanto + fijo y hay menos ventanas que celdas), por lo que \begin_inset Formula $\Phi$ \end_inset @@ -857,7 +851,7 @@ Si \begin_inset Formula $O(n^{2k})$ \end_inset -, y para + y, para \begin_inset Formula $N$ \end_inset @@ -889,7 +883,7 @@ La cual hay que saberse pese a que es incorrecta porque hacen preguntas \begin_inset Formula $n$ \end_inset - esto es imposible; añade una columa llena de + esto es imposible; añade una columna llena de \begin_inset Formula $\#$ \end_inset @@ -916,11 +910,7 @@ La cual hay que saberse pese a que es incorrecta porque hacen preguntas \begin_layout Standard Este teorema lo descubrieron Stephen Cook y Leonid Levin en los 70, siendo - -\begin_inset Formula $\text{SAT}$ -\end_inset - - el primer lenguaje que se descubrió + la primera vez que se descubre que un lenguaje es \begin_inset Formula ${\cal NP}$ \end_inset @@ -975,7 +965,7 @@ Llamando \end_inset -completos. - Sin embargo + Sin embargo, \begin_inset Formula $\text{SAT}_{\text{2-CNF}}$ \end_inset @@ -1022,6 +1012,13 @@ Entscheidungsproblem en 1936. \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage newpage +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Otros lenguajes \begin_inset Formula ${\cal NP}$ @@ -1271,10 +1268,10 @@ Veamos que \begin_inset Formula \begin{align*} V\coloneqq & \{a_{i}\}_{i=0}^{m}\cup\{b_{ij}\}_{i\in\{1,\dots,m\}}^{j\in\{1,\dots,3n+3\}}\cup\{c_{j}\}_{j=1}^{n},\\ -E\coloneqq & \{(a_{i-1},b_{i1}),(a_{i-1},b_{i,3n+3}),(b_{i1},a_{i}),(b_{i1},a_{i,3n+3})\}_{i=1}^{m}\cup\\ +E\coloneqq & \{(a_{i-1},b_{i1}),(a_{i-1},b_{i,3n+3}),(b_{i1},a_{i}),(b_{i,3n+3},a_{i})\}_{i=1}^{m}\cup\\ & \cup\{(b_{ij},b_{i,j+1}),(b_{i,j+1},b_{ij})\}_{i\in\{1,\dots,m\}}^{j\in\{1,\dots,3n+2\}}\cup\\ & \cup\{(b_{i,3j},c_{j}),(c_{j},b_{i,3j+1})\}_{i\in\{1,\dots m\},j\in\{1,\dots,n\}}^{p_{i}\text{ aparece en }k_{j}}\cup\\ - & \cup\{(b_{i,3j+1},c_{j}),(c_{j},b_{i,3j})\}_{i\in\{1,\dots,m\},j\in\{1,\dots,n\}}^{\neg p_{1}\text{ aparece en }k_{j}}. + & \cup\{(b_{i,3j+1},c_{j}),(c_{j},b_{i,3j})\}_{i\in\{1,\dots,m\},j\in\{1,\dots,n\}}^{\neg p_{i}\text{ aparece en }k_{j}}. \end{align*} \end_inset @@ -1323,7 +1320,7 @@ Tomamos una asignación de valores que haga verdadera a \begin_inset Formula $k_{j}$ \end_inset - que tenga valor verdadero. + que valga verdadero. Para construir el camino, primero, para \begin_inset Formula $i$ \end_inset @@ -1415,11 +1412,6 @@ Para \end_inset , y en el segundo le asignamos falso. - Veamos que esta asignación hace verdadera a -\begin_inset Formula $\Phi$ -\end_inset - -. Para \begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset @@ -1432,7 +1424,7 @@ Para \begin_inset Formula $b_{i,3j}$ \end_inset -, la queremos ver que el siguiente es +, queremos ver que el siguiente es \begin_inset Formula $b_{i,3j+1}$ \end_inset @@ -1744,6 +1736,10 @@ El ciclo hamiltoniano debe contener el subcamino \begin_inset Formula $b$ \end_inset + en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + que pasa por todos los nodos en \begin_inset Formula $V$ \end_inset @@ -1990,7 +1986,7 @@ Si \begin_inset Formula $(u_{k},1)$ \end_inset - y + y luego \begin_inset Formula $(u_{k},2)$ \end_inset @@ -2154,7 +2150,7 @@ Traveling Salesman Problem . Dado un grafo no dirigido -\begin_inset Formula $G=VE$ +\begin_inset Formula $G=(V,E)$ \end_inset , definimos un grafo no dirigido con pesos @@ -2503,7 +2499,7 @@ Para cada \end_inset verdadera. - Ahora bien, para cada cláusula + Para cada cláusula \begin_inset Formula $k_{j}$ \end_inset @@ -2658,7 +2654,7 @@ Para ver que es \end_inset distintas y cláusulas -\begin_inset Formula $(l_{11}\land l_{12}\land l_{13})\land\dots\land(l_{n1}\land l_{n2}\land l_{n3})$ +\begin_inset Formula $(l_{11}\lor l_{12}\lor l_{13})\land\dots\land(l_{n1}\lor l_{n2}\lor l_{n3})$ \end_inset , definimos un grafo no dirigido @@ -745,7 +745,7 @@ ghci \series bold sesión \series default - es la secuencia de iteraciones entre el usuario y este programa. + es la secuencia de interacciones entre el usuario y este programa. Las definiciones también se pueden guardar en ficheros, generalmente con extensión \family typewriter @@ -1220,8 +1220,12 @@ El tipo \emph on fuente \emph default - -> + -> \emph on + +\begin_inset space ~ +\end_inset + resultado \family default \emph default @@ -1259,8 +1263,8 @@ estricta \series bold iguales \series default - si devuelven los mismos resultados para los mismos argumentos, y el compilador - es libre de cambiar una función por otra igual. + si devuelven los mismos resultados para los mismos argumentos, y entonces + el compilador es libre de cambiar una por otra. Normalmente las funciones están currificadas, pues esto reduce el número de paréntesis y permite aplicar una función de varios argumentos a menos argumentos para obtener otra función que puede ser útil por sí misma. @@ -1421,7 +1425,7 @@ tuplas \series bold listas \series default -, secuencias finitas de elementos del mismo tipo escrito entre corchetes, +, secuencias finitas de elementos del mismo tipo, escrito entre corchetes, y el \series bold tipo unidad @@ -1456,7 +1460,7 @@ atype /= \begin_inset Quotes crd \end_inset - type + type) \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -1563,7 +1567,12 @@ data \begin_inset Quotes crd \end_inset - constrs [deriving] + constrs +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + [deriving] \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1581,7 +1590,12 @@ constrs = constr *( \begin_layout Plain Layout -constr = conid *atype / (btype / +constr = conid *atype +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + / (btype / \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -1619,11 +1633,23 @@ constr \family typewriter atype \family default + o +\family typewriter +btype +\family default etiquetado con el \family typewriter conid \family default -, o bien a un tipo unipuntual con ese nombre, y el tipo + o +\family typewriter +conop +\family default +, o bien a un tipo unipuntual con nombre +\family typewriter +conid +\family default +, y el tipo \family typewriter simpletype \family default @@ -1741,7 +1767,7 @@ Cada var \family default define un campo del tipo producto, y por cada una se crea una función del - tipo definido al tipo de la variable que devuelve el valor en esa posición + tipo definido al tipo de la variable, que devuelve el valor en esa posición si la variable es de la variante \family typewriter con @@ -1755,8 +1781,8 @@ con \series bold tipo recursivo \series default - es uno que se tiene al mismo en la parte derecha de la definición, consiguiendo - valores recursivos. + es uno que se tiene a sí mismo en la parte derecha de la definición, consiguien +do valores recursivos. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2002,7 +2028,12 @@ inst = gtycon / \begin_inset Quotes crd \end_inset - / + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + / \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -2026,7 +2057,7 @@ inst = gtycon / \begin_inset Quotes crd \end_inset - / + \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -2130,7 +2161,7 @@ varid \family typewriter conid \family default - y debe aparecer alguna vez en el tipo. + y debe aparecer alguna vez en el tipo asignado. Una \series bold declaración de instancia @@ -2147,8 +2178,11 @@ inst \family typewriter qconid \family default - y da las definiciones de los vínculos establecidos por la clase cuando - el tipo + y da las definiciones, llamadas +\series bold +métodos +\series default +, de los vínculos establecidos por la clase cuando el tipo \family typewriter varid \family default @@ -2156,10 +2190,6 @@ varid \family typewriter inst \family default -, llamadas -\series bold -métodos -\series default . Los nombres de métodos son miembros de una única clase, lo que evita conflictos entre nombres. @@ -2302,7 +2332,7 @@ qconid . Esto es necesario cuando en la definición de una función se quieren usar funciones definidas en una clase, y de hecho el tipo de estas funciones - tiene una restricción en su contexto. + en el entorno global tiene una restricción en su contexto. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2313,8 +2343,12 @@ class ... \family typewriter - => + => \emph on + +\begin_inset space ~ +\end_inset + Foo a \family default \emph default @@ -2450,10 +2484,10 @@ Haskell tiene disciplina de tipos \series default , consistente en que toda expresión bien formada tiene un tipo deducible - a partir de sus subexpresiones y el contexto, y las expresiones a las que - no se puede asignar un tipo están mal formadas. + a partir de sus subexpresiones y los tipos de los vínculos en el contexto, + y las expresiones a las que no se puede asignar un tipo están mal formadas. Esto permite detectar errores antes de la evaluación y fuerza al programador - se plantearse tipos apropiados para los valores, ayudando a diseñar programas + a plantearse tipos apropiados para los valores, ayudando a diseñar programas claros y bien estructurados. \end_layout @@ -2656,114 +2690,7 @@ lexp qop infixexp (qop) lexp infixexp \family default , aunque realmente distintos operadores tienen distinta precedencia del - 0 al 9 y asociatividad. - El operador -\family typewriter -- -\family default - es el único unario, y representa la negación. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Una -\series bold -sección -\series default - es un operador con una expresión delante o detrás: -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset listings -inline false -status open - -\begin_layout Plain Layout - -aexp /= -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -( -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - - infixexp qop -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -) -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - - / -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -( -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - - ! -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - -- -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - - qop infixexp -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -) -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\family typewriter -( -\emph on -infixexp qop -\emph default -) -\family default - equivale a -\family typewriter - -\backslash -y -> -\emph on -infixexp qop -\emph default - y -\family default - y -\family typewriter -( -\emph on -qop infixexp -\emph default -) -\family default - a -\family typewriter - -\backslash -x -> x -\emph on -qop infixexp -\family default -\emph default -. + 0 al 9 y asociatividad por la izquierda o la derecha. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2949,7 +2876,7 @@ La primera sintaxis indica una tupla, la segunda una lista de un tamaño \family typewriter () \family default - el tipo unidad, + el único elemento del tipo unidad, \family typewriter [] \family default @@ -2958,8 +2885,8 @@ La primera sintaxis indica una tupla, la segunda una lista de un tamaño qconid \family default es un constructor de tipo, que actúa como una función currificada que recibe - tantos parámetros como aparezcan en la definición y del tipo correcto y - devuelve un elemento del tipo definido. + tantos parámetros como aparezcan en su definición y del tipo correcto y + devuelve un elemento del tipo correspondiente. Finalmente, \family typewriter (:) :: a -> [a] -> [a] @@ -2999,6 +2926,141 @@ an . \end_layout +\begin_layout Standard +Una +\series bold +sección +\series default + es un operador con una expresión delante o detrás: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset listings +inline false +status open + +\begin_layout Plain Layout + +aexp /= +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +( +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + infixexp qop +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +) +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + / +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +( +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + ! +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +- +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + qop infixexp +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +) +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{sloppypar} +\end_layout + +\end_inset + + +\family typewriter +( +\emph on +infixexp qop +\emph default +) +\family default + equivale a +\family typewriter + +\backslash +y -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + +\emph on +infixexp qop +\emph default + y +\family default + y +\family typewriter +( +\emph on +qop infixexp +\emph default +) +\family default + a +\family typewriter + +\backslash +x -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + +x +\emph on +qop infixexp +\family default +\emph default +. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{sloppypar} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Patrones \end_layout @@ -3060,7 +3122,7 @@ _ \begin_inset Quotes crd \end_inset - / gcon / + / gcon \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -3113,7 +3175,7 @@ _ \begin_inset Quotes crd \end_inset - / + \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -3542,7 +3604,7 @@ True \family typewriter gdpat \family default - en el mismo contexto y devuelve su valor, o bien devuelve + en el contexto extendido y devuelve su valor, o bien devuelve \begin_inset Formula $\bot$ \end_inset @@ -3557,14 +3619,22 @@ alt \family default de la forma \family typewriter --> +-> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on exp \family default \emph default equivale a \family typewriter -| True -> +| True -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on exp \family default @@ -3628,11 +3698,19 @@ case \emph on condition \emph default - of { True -> + of { True -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on when-true \emph default -; False -> +; False -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on when-false \emph default @@ -3724,20 +3802,37 @@ t \begin_inset Formula $_{1}$ \end_inset - -> -\family default + -> \emph default + +\begin_inset space ~ +\end_inset + + +\family default ... \family typewriter \emph on - -> t + -> +\emph default + +\begin_inset space ~ +\end_inset + + +\emph on +t \begin_inset Formula $_{n}$ \end_inset \emph default - -> + -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on r \family default @@ -3777,6 +3872,12 @@ t \family default \emph default . + Los +\begin_inset Formula $\text{\emph{\texttt{t}}}_{i}$ +\end_inset + + y el contexto son los más generales posibles para que los patrones y la + expresión sean legales, salvo que se asigne un tipo más restringido. \end_layout \begin_layout Section @@ -4021,7 +4122,35 @@ z z \family default \emph default - sin incluirlo. + sin incluirlo, y +\family typewriter +[ +\emph on +x +\emph default +.. +\emph on +z +\emph default +] +\family default + equivale a +\family typewriter +[ +\emph on +x +\emph default +, +\emph on +x +\emph default ++1.. +\emph on +z +\emph default +] +\family default +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4163,7 +4292,7 @@ Q \emph default ] \family default -, para cada elemento de la lista + evalúa, para cada elemento de la lista \family typewriter \emph on f @@ -4175,7 +4304,7 @@ f p \family default \emph default -, evalúa +, \family typewriter [ \emph on @@ -4187,8 +4316,8 @@ Q \emph default ] \family default - en un entorno extendido por los vínculos del encaje, y concatena los resultados -, y +, en un entorno extendido por los vínculos del encaje, y concatena los resultado +s, y \family typewriter [ \emph on @@ -4381,7 +4510,11 @@ rest \emph on exp \emph default - >> do { + >> +\begin_inset space ~ +\end_inset + +do { \emph on rest \emph default @@ -4414,7 +4547,11 @@ exp \emph on pat \emph default - -> do { + -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + +do { \emph on rest \emph default @@ -4439,8 +4576,8 @@ definición asignación de tipo \series default opcional, que indica el tipo de la variable, y una serie de ecuaciones. - La asignación del tipo debe corresponder o al tipo inferido o a una restricción -, no se puede dar más de una asignación a la misma variable y, si se asigna + La asignación del tipo debe corresponder o al tipo inferido o a una restricción. + No se puede dar más de una asignación a la misma variable y, si se asigna un tipo más restringido, no se puede usar la variable como si tuviera el tipo más general. \end_layout @@ -4818,7 +4955,12 @@ export = qvar / qconid [ \begin_inset Quotes crd \end_inset - / + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + / \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -4916,6 +5058,95 @@ module cname = var / con \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Haskell organiza los elementos en módulos, uno por fichero, cada uno con + un nombre único y un contexto global formado por los vínculos establecidos + en el módulo y los que se importan de otros. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +entidad +\series default + es un vínculo importado o exportado por un módulo, con un nombre (que no + incluye el nombre del módulo) y un valor. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se exportan las entidades indicadas por +\family typewriter +exports +\family default +: +\family typewriter +\emph on +qvar +\family default +\emph default + para una variable, +\family typewriter +\emph on +qconid +\family default +\emph default + para un tipo o clase, +\family typewriter +\emph on +qconid +\emph default +(..) +\family default + para el tipo y todos sus constructores o la clase y todos sus métodos; + +\family typewriter +\emph on +qconid +\emph default +( +\emph on +cname +\emph default +, +\family default +... +\family typewriter +) +\family default + para el tipo y los constructores indicados, y +\family typewriter +\emph on +qconid +\emph default +( +\emph on +qvar +\emph default +, +\family default +... +\family typewriter +) +\family default + para el tipo y los métodos indicados. + Si no hay un +\family typewriter +exports +\family default +, se exportan todos los vínculos definidos en el módulo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset listings +inline false +status open + \begin_layout Plain Layout body /= @@ -5136,85 +5367,6 @@ import = var / qconid[ \end_layout \begin_layout Standard -Haskell organiza los elementos en módulos, uno por fichero, cada uno con - un nombre único y un contexto global formado por los vínculos establecidos - en el módulo y los que se importan de otros. - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Una -\series bold -entidad -\series default - es un vínculo importado o exportado por un módulo, con un nombre que no - incluye el nombre del módulo y un valor. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Se exportan las entidades indicadas por -\family typewriter -exports -\family default -: -\family typewriter -\emph on -qvar -\family default -\emph default - para una variable, -\family typewriter -\emph on -qconid -\family default -\emph default - para un tipo o clase, -\family typewriter -\emph on -qconid -\emph default -(..) -\family default - para el tipo y todos sus constructores o la clase y todos sus métodos; - -\family typewriter -\emph on -qconid -\emph default -( -\emph on -cname -\emph default -, -\family default -... -\family typewriter -) -\family default - para el tipo y los constructores indicados, y -\family typewriter -\emph on -qconid -\emph default -( -\emph on -qvar -\emph default -, -\family default -... -\family typewriter -) -\family default - para el tipo y los métodos indicados. - Si no hay un -\family typewriter -exports -\family default -, se exportan todos los vínculos definidos en el módulo. -\end_layout - -\begin_layout Standard Una \family typewriter impdecl @@ -5264,12 +5416,12 @@ entidad módulo \family default \emph default - es el nombre del módulo del que se importa o el que se indica después de + es el nombre del módulo del que se importa o el que se indica detrás de \family typewriter as \family default - si aparece. + si este aparece. \end_layout \begin_layout Standard @@ -153,7 +153,12 @@ Cuando se indica ... \family default - en código significa que no se puede definir en Haskell. + en código significa que no se puede definir en Haskell, y cuando se indica + con +\family typewriter +,,, +\family default + significa que sería demasiado engorroso. Si se define que un tipo es de una clase, también lo es de sus superclases, y si no se da la definición de la instancia de superclase es porque no se puede definir en Haskell. @@ -186,27 +191,31 @@ newtype \family typewriter (a,b) \family default - y +, \family typewriter (a,b,c) \family default + y +\family typewriter +[a] +\family default implementan \family typewriter Eq \family default -, + y \family typewriter Ord \family default - y + como se indica, las tres primeras implementan también \family typewriter Bounded \family default - como se indica, y + y \family typewriter () \family default - también implementa + implementa también \family typewriter Enum \family default @@ -236,6 +245,10 @@ class Eq a where {-# MINIMAL (==) | (/=) #-} \begin_layout Plain Layout +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + x /= y = not (x == y) \end_layout @@ -454,7 +467,7 @@ a b \family default \emph default -, + según la definición por defecto, \family typewriter \emph on a @@ -519,12 +532,7 @@ class Bounded a where \begin_layout Plain Layout - minBound :: a -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - - maxBound :: a + minBound, maxBound :: a \end_layout \end_inset @@ -1145,17 +1153,12 @@ until :: (a -> Bool) -> (a -> a) -> a -> a \begin_layout Plain Layout -until p f x -- until p f aplica f hasta que se cumple p +until p f x | p x = x \end_layout \begin_layout Plain Layout - | p x = x -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - - | otherwise = until p f (f x) + | otherwise = until p f (f x) \end_layout \end_inset @@ -1404,22 +1407,17 @@ class (Real a, Enum a) => Integral a where \begin_layout Plain Layout - divMod n d = if signum r == - signum d -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - - then (q-1, r+d) + divMod n d = let (q, r) = quotRem n d in \end_layout \begin_layout Plain Layout - else (q, r) + if signum r == - signum d then (q-1, r+d) \end_layout \begin_layout Plain Layout - where (q, r) = quotRem n d + else (q, r) \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1442,20 +1440,10 @@ class (Real a, Enum a) => Integral a where n `mod` d = r where (q, r) = divMod n d \end_layout -\end_inset - +\begin_layout Plain Layout \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak -\end_inset - - -\begin_inset listings -inline false -status open - \begin_layout Plain Layout class (Num a) => Fractional a where @@ -1616,11 +1604,6 @@ gcd, lcm :: (Integral a) => a -> a -> a \begin_layout Plain Layout -gcd 0 0 = undefined -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - gcd x y = gcd' (abs x) (abs y) \end_layout @@ -1792,24 +1775,101 @@ type String = [Char] \end_layout +\begin_layout Section +Lectura y escritura +\end_layout + \begin_layout Standard -\begin_inset Note Note +\begin_inset listings +inline false status open \begin_layout Plain Layout -Complex, read + +instance Show Int where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Int where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show Integer where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Integer where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show Float where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Float where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show Double where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Double where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show () where show _ = +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +() +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read () where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show Char where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Char where ,,, \end_layout \begin_layout Plain Layout -Eq a => Eq [a] + +instance (Show a) => Show [a] where showsPrec _ = showList \end_layout \begin_layout Plain Layout -Ord a => Ord [a] + +instance (Read a) => Read [a] where readsPrec _ = readList \end_layout \begin_layout Plain Layout -putStr + +instance (Show a, Show b) => Show (a, b) where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance (Read a, Read b) => Read (a, b) where ,,, \end_layout \end_inset @@ -1817,5 +1877,61 @@ putStr \end_layout +\begin_layout Standard + +\family typewriter +Int +\family default + e +\family typewriter +Integer +\family default + se muestran como +\family typewriter +<integer> +\family default + en decimal, +\family typewriter +Float +\family default + y +\family typewriter +Double +\family default + como +\family typewriter +<float> +\family default + y +\family typewriter +Char +\family default + como +\family typewriter +<char> +\family default + en +\family typewriter +showsPrec +\family default + y +\family typewriter +readsPrec +\family default + y como +\family typewriter +<string> +\family default + en +\family typewriter +showList +\family default + y +\family typewriter +readList +\family default +. +\end_layout + \end_body \end_document @@ -363,7 +363,7 @@ take _ [] = [] \begin_layout Plain Layout -take (n+1) (x:xs) = x : take (n-1) xs +take n (x:xs) = x : take (n-1) xs \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -378,7 +378,7 @@ drop _ [] = [] \begin_layout Plain Layout -drop (n+1) (_:xs) = drop n xs +drop n (_:xs) = drop (n-1) xs \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -387,7 +387,7 @@ drop (n+1) (_:xs) = drop n xs \begin_layout Plain Layout -takeWhile :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] +takeWhile, dropWhile :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -402,15 +402,6 @@ takeWhile _ _ = [] \begin_layout Plain Layout -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - -dropWhile :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - dropWhile p [] = [] \end_layout @@ -445,11 +436,7 @@ n xs devuelve el \family typewriter \emph on - -\begin_inset Formula $\text{\emph{\texttt{n}}}$ -\end_inset - - +n \family default \emph default -ésimo elemento de @@ -482,7 +469,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout -(_:xs) !! (n+1) = xs !! n +(_:xs) !! n = xs !! (n-1) \end_layout \end_inset @@ -553,7 +540,7 @@ unzip xs = (map fst xs, map snd xs) \family typewriter foldl \emph on -f z xs +f a xs \family default \emph default aplica la función @@ -565,7 +552,7 @@ f de dos parámetros a \family typewriter \emph on -z +a \family default \emph default y al primer elemento de @@ -584,7 +571,7 @@ xs \family typewriter foldr \emph on -f a xs +f z xs \family default \emph default aplica @@ -629,12 +616,12 @@ foldl :: (a -> b -> a) -> a -> [b] -> a \begin_layout Plain Layout -foldl f z [] = z +foldl f a [] = a \end_layout \begin_layout Plain Layout -foldl f z (x:xs) = foldl f (f z x) xs +foldl f a (x:xs) = foldl f (f a x) xs \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1076,20 +1063,6 @@ concatMap, iterate, repeat, replicate, cycle, splitAt, takeWhile, dropWhile, \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -TODO instance (Show a) => Show [a], instance (Read a) => Read [a], instance - Show Char, instance Read Char -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - \begin_layout Section Secuencias aritméticas en punto flotante \end_layout @@ -1127,12 +1100,12 @@ instance Enum Float where \begin_layout Plain Layout - toEnum = fromIntegral + toEnum = fromIntegral \end_layout \begin_layout Plain Layout - fromEnum = fromInteger . + fromEnum = fromInteger . truncate \end_layout @@ -1173,7 +1146,7 @@ instance Enum Float where \begin_layout Plain Layout - | otherwise = (>= b + (n'-n)/2) + | otherwise = (>= b + (a'-a)/2) \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -469,7 +469,7 @@ sequence_ = foldr (>>) (return ()) \begin_layout Plain Layout -mapM_ :: Monad m => (a -> m b) -> [a] -> m [b] +mapM_ :: Monad m => (a -> m b) -> [a] -> m () \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -602,12 +602,17 @@ putStr, putStrLn :: String -> IO () \begin_layout Plain Layout -putStr s = map_ putChar s +putStr s = mapM_ putChar s \end_layout \begin_layout Plain Layout -putStrLn s = putStr s >> putStr +putStrLn s = do putStr s +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + putStr \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -645,9 +650,12 @@ getLine :: IO String \begin_layout Plain Layout -getLine = getChar >>= -\backslash -c -> if c == ' +getLine = do c <- getChar +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + if c == ' \backslash n' then return \begin_inset Quotes cld @@ -662,9 +670,12 @@ n' then return \begin_layout Plain Layout - else getLine >>= -\backslash -s -> return (c:s) + else do s <- getLine +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + return (c:s) \end_layout \end_inset @@ -706,31 +717,29 @@ interact :: (String -> String) -> IO () \begin_layout Plain Layout -interact f = hSetBuffering stdin NoBuffering >>= +interact f = do hSetBuffering stdin NoBuffering \end_layout \begin_layout Plain Layout - hSetBuffering stdout NoBuffering >>= + hSetBuffering stdout NoBuffering \end_layout \begin_layout Plain Layout - s <- getContents >>= putStr (f s) + s <- getContents \end_layout \begin_layout Plain Layout - where hSetBuffering = ... + putStr (f s) \end_layout -\end_inset - +\begin_layout Plain Layout + where hSetBuffering = ... \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak \end_inset @@ -802,7 +811,7 @@ Un programa en Haskell es una colección de módulos de los que uno es el \family typewriter main :: IO () \family default -, que se ejecuta al ejecutar el programa. +, que se ejecuta al iniciar el programa. \end_layout \end_body |