Errata /ga

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diff --git a/ga/n1.lyx b/ga/n1.lyx
index 94f9570..c494c8e 100644
--- a/ga/n1.lyx
+++ b/ga/n1.lyx
@@ -137,7 +137,7 @@ Asociativa
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Un elemento 
+Un 
 \begin_inset Formula $x\in X$
 \end_inset
 
@@ -245,7 +245,7 @@ simétrico
 \begin_inset Formula $y$
 \end_inset
 
- o 
+ e 
 \series bold
 invertible
 \series default
@@ -430,7 +430,11 @@ Llamamos
 \begin_inset Formula $(X^{X},\circ)$
 \end_inset
 
- es un monoide, pero no es conmutativo si hay al menos dos elementos.
+ es un monoide, pero no es conmutativo si 
+\begin_inset Formula $|X|\geq2$
+\end_inset
+
+.
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
@@ -485,45 +489,6 @@ Claramente
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-Llamamos 
-\series bold
-grupo simétrico
-\series default
- en 
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $S_{X}$
-\end_inset
-
-, al conjunto de biyecciones de 
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- en 
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
-.
- Entonces 
-\begin_inset Formula $(S_{X},\circ)$
-\end_inset
-
- es un grupo.
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-Es asociativa, tiene como neutro la identidad y todo elemento es invertible.
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
 Sea 
 \begin_inset Formula $X$
 \end_inset
@@ -615,7 +580,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $f$
 \end_inset
 
- lo es por la derecha, entonces 
+ lo es por la derecha, 
 \begin_inset Formula $e=f$
 \end_inset
 
@@ -700,7 +665,7 @@ Si
 \end_inset
 
  tiene simétrico por un lado, es cancelable por dicho lado.
- En particular, todo elemento invertible es cancelable.
+ En particular, todo invertible es cancelable.
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
@@ -779,7 +744,7 @@ distributivo
 \begin_inset Formula $\cdot$
 \end_inset
 
- es conmutativo, decimos que 
+ es conmutativo, 
 \begin_inset Formula $(A,+,\cdot)$
 \end_inset
 
@@ -791,8 +756,7 @@ anillo conmutativo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Asumimos que el producto tiene más preferencia que la suma, y escribimos
- 
+Asumimos que el producto tiene más prioridad que la suma, y escribimos 
 \begin_inset Formula $ab:=a\cdot b$
 \end_inset
 
@@ -920,7 +884,7 @@ Dada una familia de anillos
 \begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$
 \end_inset
 
- es un anillos con las operaciones definidas componente a componente, esto
+ es un anillo con las operaciones definidas componente a componente, esto
  es, dados 
 \begin_inset Formula $a,b\in\prod_{i\in I}A_{i}$
 \end_inset
@@ -942,7 +906,7 @@ Dada una familia de anillos
 \begin_inset Formula $X$
 \end_inset
 
- es un conjunto, el conjunto 
+ es un conjunto, 
 \begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$
 \end_inset
 
@@ -966,7 +930,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- es un entero positivo, entonces el conjunto 
+ es un entero positivo, el conjunto 
 \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$
 \end_inset
 
@@ -978,7 +942,23 @@ Si
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- es un anillo con la suma y el producto habituales de matrices.
+ es un anillo con la suma y el producto habituales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -1228,7 +1208,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $0=1$
 \end_inset
 
-, entonces 
+, 
 \begin_inset Formula $A=\{0\}$
 \end_inset
 
@@ -1249,6 +1229,22 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Dado un anillo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -1316,7 +1312,7 @@ Dado un anillo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Propiedades: Dados un anillo 
+Dados un anillo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -1476,7 +1472,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
- es invertible, esto también se cumple para 
+ es invertible, esto se cumple para 
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
@@ -1614,7 +1610,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $b$
 \end_inset
 
- son invertibles, esto también se cumple para todo entero 
+ son invertibles, esto se cumple para todo entero 
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
@@ -1682,7 +1678,7 @@ Sean
 \begin_inset Formula $B\subseteq A$
 \end_inset
 
-, decimos que 
+, 
 \begin_inset Formula $B$
 \end_inset
 
@@ -1727,7 +1723,7 @@ inducida
 \begin_inset Formula $B$
 \end_inset
 
- es cerrado respecto a 
+ cerrado respecto a 
 \begin_inset Formula $*$
 \end_inset
 
@@ -1832,12 +1828,12 @@ Para que
 \begin_inset Formula $B\subseteq A$
 \end_inset
 
- es un subanillo de un anillo 
+ es un subanillo de 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
  si y sólo si contiene al 1 y es cerrado para sumas productos y opuestos,
- si y sólo si contiene al 1 es cerrado para restas y productos, y en tal
+ si y sólo si contiene al 1 y es cerrado para restas y productos, y en tal
  caso el cero de 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -1947,6 +1943,22 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Algunos subanillos:
 \end_layout
 
@@ -2151,7 +2163,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$
 \end_inset
 
- no es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de 
+ es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de 
 \begin_inset Formula $A\times B$
 \end_inset
 
@@ -2211,7 +2223,7 @@ Dado
 \begin_inset Formula $m$
 \end_inset
 
- es el cuadrado de un entero, entonces 
+ es el cuadrado de un entero, 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]=\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
@@ -2292,6 +2304,22 @@ Dado un anillo
 .
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
 Homomorfismos
 \end_layout
@@ -2313,16 +2341,40 @@ homomorfismo
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
 
- tal que 
-\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(f(x+y)=f(x)+f(y)\land f(xy)=f(x)f(y))$
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $x,y\in A$
 \end_inset
 
- y 
+: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(x)+f(y)=f(x+y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
 \begin_inset Formula $f(1)=1$
 \end_inset
 
 .
- Un 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+isomorfismo
+\series default
+ es un homomorfismo biyectivo, y un 
 \series bold
 automorfismo
 \series default
@@ -2330,7 +2382,7 @@ automorfismo
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es un homomorfismo de 
+ es un isomorfismo de 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -2338,11 +2390,7 @@ automorfismo
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, y un 
-\series bold
-isomorfismo de anillos
-\series default
- es un homomorfismo de anillos biyectivo.
+.
  Dos anillos 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -2359,7 +2407,7 @@ isomorfos
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Propiedades: Sean 
+Sean 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
 
@@ -2789,7 +2837,7 @@ Dado un anillo
 \begin_inset Formula $\mu(n):=n1$
 \end_inset
 
- es el único homomorfismo de anillos 
+ es el único homomorfismo de anillos de 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
@@ -2969,11 +3017,6 @@ status open
 \end_inset
 
 .
- 
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Ejemplos:
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -3189,7 +3232,7 @@ congruentes módulo
 
 \series default
 , 
-\begin_inset Formula $a\equiv b$
+\begin_inset Formula $a\equiv b\bmod I$
 \end_inset
 
 , si 
@@ -3209,7 +3252,11 @@ congruentes módulo
 \end_inset
 
 .
- 
+ Además, 
+\begin_inset Formula $a\equiv b\bmod(0)\iff a=b$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -3233,7 +3280,7 @@ Las operaciones
 \begin_inset Formula $[1]$
 \end_inset
 
-, y llamamos a este anillo 
+, que llamamos 
 \series bold
 anillo cociente de 
 \begin_inset Formula $A$
@@ -3337,7 +3384,16 @@ Demostración:
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
 Es claro que 
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \begin_inset Formula $A/0\cong A$
 \end_inset
 
@@ -3396,6 +3452,22 @@ En efecto, dado
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Dado un anillo conmutativo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -3541,6 +3613,22 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Sea 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
@@ -3772,11 +3860,11 @@ Teorema de la correspondencia:
 \begin_inset Formula $I$
 \end_inset
 
- y el conjunto de los ideales de 
+ y el de los ideales de 
 \begin_inset Formula $A/I$
 \end_inset
 
- y tanto 
+, y tanto 
 \begin_inset Formula $\pi$
 \end_inset
 
@@ -3800,7 +3888,7 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- , 
+, 
 \begin_inset Formula $J/I$
 \end_inset
 
@@ -3809,7 +3897,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
 .
- En efecto, como 
+ Como 
 \begin_inset Formula $0\in J$
 \end_inset
 
@@ -3980,7 +4068,8 @@ Para ver que
 \begin_inset Formula $J/I\subseteq K/I$
 \end_inset
 
-, pero para 
+.
+ Para 
 \begin_inset Formula $[x]\in J/I$
 \end_inset
 
@@ -4019,7 +4108,7 @@ Para ver que
 \end_inset
 
 .
- En efecto, sea 
+ Sea 
 \begin_inset Formula $x\in\pi^{-1}(X)$
 \end_inset
 
@@ -4035,7 +4124,7 @@ Para ver que
 \begin_inset Formula $x+a\in\pi^{-1}(Y)$
 \end_inset
 
-, pero como 
+, y como 
 \begin_inset Formula $\pi^{-1}(Y)$
 \end_inset
 
@@ -4080,7 +4169,7 @@ La intersección de una familia de ideales de
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, definimos 
+, definimos los ideales 
 \begin_inset Formula 
 \begin{eqnarray*}
 \sum_{x\in X}I_{x} & := & \left\{ \sum_{x\in S}a_{x}:S\subseteq X\text{ finito},a_{x}\in I_{x}\right\} ,\\
@@ -4141,7 +4230,7 @@ Sean
 \begin_inset Formula $(n)\cap(m)=(\text{mcm}(n,m))$
 \end_inset
 
-, 
+ y 
 \begin_inset Formula $(n)+(m)=(\text{mcd}(n,m))$
 \end_inset
 
@@ -4268,11 +4357,6 @@ Demostración:
 \end_inset
 
 .
- De aquí que 
-\begin_inset Formula $\tilde{f}$
-\end_inset
-
- es un homomorfismo.
  Para ver que 
 \begin_inset Formula $i\circ\tilde{f}\circ p=f$
 \end_inset
@@ -4287,7 +4371,7 @@ Demostración:
 
 .
  Para la unicidad, sea 
-\begin_inset Formula $\tilde{f}:A/K\to I$
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A/K\to I$
 \end_inset
 
  otro isomorfismo con 
@@ -4356,15 +4440,7 @@ Segundo teorema de isomorfía:
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, el ideal 
-\begin_inset Formula $J/I$
-\end_inset
-
- de 
-\begin_inset Formula $A/I$
-\end_inset
-
- cumple 
+,
 \begin_inset Formula 
 \[
 \frac{A/I}{J/I}\cong\frac{A}{J}.
@@ -4564,12 +4640,12 @@ Sea
 \begin_inset Formula $\text{Im}f=(B+I)/I$
 \end_inset
 
-, y entonces basta aplicar el primer teorema de isomorfía.
+, y basta aplicar el primer teorema de isomorfía.
 \end_layout
 
 \end_deeper
 \begin_layout Standard
-Decimos que un anillo 
+Un anillo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -4817,6 +4893,13 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage pagebreak
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 
 \series bold
 Teorema chino de los restos:
@@ -4825,12 +4908,12 @@ Teorema chino de los restos:
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- un anillo conmutativo e 
-\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}$
+ un anillo conmutativo, 
+\begin_inset Formula $n\geq1$
 \end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $n\geq1$
+ e 
+\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}$
 \end_inset
 
  ideales de