Errata /ga

6 files changed, 394 insertions, 233 deletions

diff --git a/ga/n1.lyx b/ga/n1.lyx
index 94f9570..c494c8e 100644
--- a/ga/n1.lyx
+++ b/ga/n1.lyx
@@ -137,7 +137,7 @@ Asociativa
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Un elemento 
+Un 
 \begin_inset Formula $x\in X$
 \end_inset
 
@@ -245,7 +245,7 @@ simétrico
 \begin_inset Formula $y$
 \end_inset
 
- o 
+ e 
 \series bold
 invertible
 \series default
@@ -430,7 +430,11 @@ Llamamos
 \begin_inset Formula $(X^{X},\circ)$
 \end_inset
 
- es un monoide, pero no es conmutativo si hay al menos dos elementos.
+ es un monoide, pero no es conmutativo si 
+\begin_inset Formula $|X|\geq2$
+\end_inset
+
+.
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
@@ -485,45 +489,6 @@ Claramente
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-Llamamos 
-\series bold
-grupo simétrico
-\series default
- en 
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $S_{X}$
-\end_inset
-
-, al conjunto de biyecciones de 
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- en 
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
-.
- Entonces 
-\begin_inset Formula $(S_{X},\circ)$
-\end_inset
-
- es un grupo.
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-Es asociativa, tiene como neutro la identidad y todo elemento es invertible.
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
 Sea 
 \begin_inset Formula $X$
 \end_inset
@@ -615,7 +580,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $f$
 \end_inset
 
- lo es por la derecha, entonces 
+ lo es por la derecha, 
 \begin_inset Formula $e=f$
 \end_inset
 
@@ -700,7 +665,7 @@ Si
 \end_inset
 
  tiene simétrico por un lado, es cancelable por dicho lado.
- En particular, todo elemento invertible es cancelable.
+ En particular, todo invertible es cancelable.
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
@@ -779,7 +744,7 @@ distributivo
 \begin_inset Formula $\cdot$
 \end_inset
 
- es conmutativo, decimos que 
+ es conmutativo, 
 \begin_inset Formula $(A,+,\cdot)$
 \end_inset
 
@@ -791,8 +756,7 @@ anillo conmutativo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Asumimos que el producto tiene más preferencia que la suma, y escribimos
- 
+Asumimos que el producto tiene más prioridad que la suma, y escribimos 
 \begin_inset Formula $ab:=a\cdot b$
 \end_inset
 
@@ -920,7 +884,7 @@ Dada una familia de anillos
 \begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$
 \end_inset
 
- es un anillos con las operaciones definidas componente a componente, esto
+ es un anillo con las operaciones definidas componente a componente, esto
  es, dados 
 \begin_inset Formula $a,b\in\prod_{i\in I}A_{i}$
 \end_inset
@@ -942,7 +906,7 @@ Dada una familia de anillos
 \begin_inset Formula $X$
 \end_inset
 
- es un conjunto, el conjunto 
+ es un conjunto, 
 \begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$
 \end_inset
 
@@ -966,7 +930,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- es un entero positivo, entonces el conjunto 
+ es un entero positivo, el conjunto 
 \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$
 \end_inset
 
@@ -978,7 +942,23 @@ Si
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- es un anillo con la suma y el producto habituales de matrices.
+ es un anillo con la suma y el producto habituales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -1228,7 +1208,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $0=1$
 \end_inset
 
-, entonces 
+, 
 \begin_inset Formula $A=\{0\}$
 \end_inset
 
@@ -1249,6 +1229,22 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Dado un anillo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -1316,7 +1312,7 @@ Dado un anillo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Propiedades: Dados un anillo 
+Dados un anillo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -1476,7 +1472,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
- es invertible, esto también se cumple para 
+ es invertible, esto se cumple para 
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
@@ -1614,7 +1610,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $b$
 \end_inset
 
- son invertibles, esto también se cumple para todo entero 
+ son invertibles, esto se cumple para todo entero 
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
@@ -1682,7 +1678,7 @@ Sean
 \begin_inset Formula $B\subseteq A$
 \end_inset
 
-, decimos que 
+, 
 \begin_inset Formula $B$
 \end_inset
 
@@ -1727,7 +1723,7 @@ inducida
 \begin_inset Formula $B$
 \end_inset
 
- es cerrado respecto a 
+ cerrado respecto a 
 \begin_inset Formula $*$
 \end_inset
 
@@ -1832,12 +1828,12 @@ Para que
 \begin_inset Formula $B\subseteq A$
 \end_inset
 
- es un subanillo de un anillo 
+ es un subanillo de 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
  si y sólo si contiene al 1 y es cerrado para sumas productos y opuestos,
- si y sólo si contiene al 1 es cerrado para restas y productos, y en tal
+ si y sólo si contiene al 1 y es cerrado para restas y productos, y en tal
  caso el cero de 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -1947,6 +1943,22 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Algunos subanillos:
 \end_layout
 
@@ -2151,7 +2163,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$
 \end_inset
 
- no es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de 
+ es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de 
 \begin_inset Formula $A\times B$
 \end_inset
 
@@ -2211,7 +2223,7 @@ Dado
 \begin_inset Formula $m$
 \end_inset
 
- es el cuadrado de un entero, entonces 
+ es el cuadrado de un entero, 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]=\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
@@ -2292,6 +2304,22 @@ Dado un anillo
 .
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
 Homomorfismos
 \end_layout
@@ -2313,16 +2341,40 @@ homomorfismo
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
 
- tal que 
-\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(f(x+y)=f(x)+f(y)\land f(xy)=f(x)f(y))$
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $x,y\in A$
 \end_inset
 
- y 
+: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(x)+f(y)=f(x+y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
 \begin_inset Formula $f(1)=1$
 \end_inset
 
 .
- Un 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+isomorfismo
+\series default
+ es un homomorfismo biyectivo, y un 
 \series bold
 automorfismo
 \series default
@@ -2330,7 +2382,7 @@ automorfismo
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es un homomorfismo de 
+ es un isomorfismo de 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -2338,11 +2390,7 @@ automorfismo
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, y un 
-\series bold
-isomorfismo de anillos
-\series default
- es un homomorfismo de anillos biyectivo.
+.
  Dos anillos 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -2359,7 +2407,7 @@ isomorfos
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Propiedades: Sean 
+Sean 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
 
@@ -2789,7 +2837,7 @@ Dado un anillo
 \begin_inset Formula $\mu(n):=n1$
 \end_inset
 
- es el único homomorfismo de anillos 
+ es el único homomorfismo de anillos de 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
@@ -2969,11 +3017,6 @@ status open
 \end_inset
 
 .
- 
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Ejemplos:
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -3189,7 +3232,7 @@ congruentes módulo
 
 \series default
 , 
-\begin_inset Formula $a\equiv b$
+\begin_inset Formula $a\equiv b\bmod I$
 \end_inset
 
 , si 
@@ -3209,7 +3252,11 @@ congruentes módulo
 \end_inset
 
 .
- 
+ Además, 
+\begin_inset Formula $a\equiv b\bmod(0)\iff a=b$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -3233,7 +3280,7 @@ Las operaciones
 \begin_inset Formula $[1]$
 \end_inset
 
-, y llamamos a este anillo 
+, que llamamos 
 \series bold
 anillo cociente de 
 \begin_inset Formula $A$
@@ -3337,7 +3384,16 @@ Demostración:
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
 Es claro que 
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \begin_inset Formula $A/0\cong A$
 \end_inset
 
@@ -3396,6 +3452,22 @@ En efecto, dado
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Dado un anillo conmutativo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
@@ -3541,6 +3613,22 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Sea 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
@@ -3772,11 +3860,11 @@ Teorema de la correspondencia:
 \begin_inset Formula $I$
 \end_inset
 
- y el conjunto de los ideales de 
+ y el de los ideales de 
 \begin_inset Formula $A/I$
 \end_inset
 
- y tanto 
+, y tanto 
 \begin_inset Formula $\pi$
 \end_inset
 
@@ -3800,7 +3888,7 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- , 
+, 
 \begin_inset Formula $J/I$
 \end_inset
 
@@ -3809,7 +3897,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
 .
- En efecto, como 
+ Como 
 \begin_inset Formula $0\in J$
 \end_inset
 
@@ -3980,7 +4068,8 @@ Para ver que
 \begin_inset Formula $J/I\subseteq K/I$
 \end_inset
 
-, pero para 
+.
+ Para 
 \begin_inset Formula $[x]\in J/I$
 \end_inset
 
@@ -4019,7 +4108,7 @@ Para ver que
 \end_inset
 
 .
- En efecto, sea 
+ Sea 
 \begin_inset Formula $x\in\pi^{-1}(X)$
 \end_inset
 
@@ -4035,7 +4124,7 @@ Para ver que
 \begin_inset Formula $x+a\in\pi^{-1}(Y)$
 \end_inset
 
-, pero como 
+, y como 
 \begin_inset Formula $\pi^{-1}(Y)$
 \end_inset
 
@@ -4080,7 +4169,7 @@ La intersección de una familia de ideales de
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, definimos 
+, definimos los ideales 
 \begin_inset Formula 
 \begin{eqnarray*}
 \sum_{x\in X}I_{x} & := & \left\{ \sum_{x\in S}a_{x}:S\subseteq X\text{ finito},a_{x}\in I_{x}\right\} ,\\
@@ -4141,7 +4230,7 @@ Sean
 \begin_inset Formula $(n)\cap(m)=(\text{mcm}(n,m))$
 \end_inset
 
-, 
+ y 
 \begin_inset Formula $(n)+(m)=(\text{mcd}(n,m))$
 \end_inset
 
@@ -4268,11 +4357,6 @@ Demostración:
 \end_inset
 
 .
- De aquí que 
-\begin_inset Formula $\tilde{f}$
-\end_inset
-
- es un homomorfismo.
  Para ver que 
 \begin_inset Formula $i\circ\tilde{f}\circ p=f$
 \end_inset
@@ -4287,7 +4371,7 @@ Demostración:
 
 .
  Para la unicidad, sea 
-\begin_inset Formula $\tilde{f}:A/K\to I$
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A/K\to I$
 \end_inset
 
  otro isomorfismo con 
@@ -4356,15 +4440,7 @@ Segundo teorema de isomorfía:
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, el ideal 
-\begin_inset Formula $J/I$
-\end_inset
-
- de 
-\begin_inset Formula $A/I$
-\end_inset
-
- cumple 
+,
 \begin_inset Formula 
 \[
 \frac{A/I}{J/I}\cong\frac{A}{J}.
@@ -4564,12 +4640,12 @@ Sea
 \begin_inset Formula $\text{Im}f=(B+I)/I$
 \end_inset
 
-, y entonces basta aplicar el primer teorema de isomorfía.
+, y basta aplicar el primer teorema de isomorfía.
 \end_layout
 
 \end_deeper
 \begin_layout Standard
-Decimos que un anillo 
+Un anillo 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -4817,6 +4893,13 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage pagebreak
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 
 \series bold
 Teorema chino de los restos:
@@ -4825,12 +4908,12 @@ Teorema chino de los restos:
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- un anillo conmutativo e 
-\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}$
+ un anillo conmutativo, 
+\begin_inset Formula $n\geq1$
 \end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $n\geq1$
+ e 
+\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}$
 \end_inset
 
  ideales de 
diff --git a/ga/n2.lyx b/ga/n2.lyx
index 6bdbc01..a013e67 100644
--- a/ga/n2.lyx
+++ b/ga/n2.lyx
@@ -253,7 +253,7 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-Un elemento 
+Un 
 \begin_inset Formula $a\in A$
 \end_inset
 
@@ -1218,11 +1218,7 @@ múltiplo
 \end_inset
 
 .
- Propiedades: 
-\begin_inset Formula $\forall a\in A$
-\end_inset
-
-:
+ Propiedades:
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -2075,7 +2071,7 @@ máximo común divisor
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
 \end_inset
 
 , si divide a cada elemento de 
@@ -2095,7 +2091,7 @@ mínimo común múltiplo
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
 \end_inset
 
 , si es múltiplo de cada elemento de 
@@ -2533,7 +2529,7 @@ factorización en producto de irreducibles
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$
+\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$
 \end_inset
 
  y 
@@ -2610,10 +2606,6 @@ UFD
 ) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes.
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-Ejemplos:
-\end_layout
-
 \begin_layout Enumerate
 
 \series bold
@@ -2886,7 +2878,7 @@ Un dominio
 \end_inset
 
  puede expresarse como producto de una unidad por irreducibles.
- Ahora bien, sea 
+ Sea entonces 
 \begin_inset Formula $p\in D$
 \end_inset
 
@@ -2996,7 +2988,7 @@ Un dominio
 \begin_inset Formula $p\in D$
 \end_inset
 
- irreducible y sean 
+ irreducible, 
 \begin_inset Formula $u\in D^{*}$
 \end_inset
 
@@ -3095,7 +3087,7 @@ Un dominio
 \begin_inset Formula $q_{i}$
 \end_inset
 
- es irreducible por ser primo, existe 
+ es irreducible, existe 
 \begin_inset Formula $w\in D^{*}$
 \end_inset
 
@@ -3230,7 +3222,7 @@ PID
 \begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
-, pero en un DIP estos son precisamente todos los ideales no nulos de 
+, pero en un DIP estos son todos los ideales no nulos de 
 \begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
@@ -3273,15 +3265,11 @@ Todo DIP es un DFU.
 Demostración:
 \series default
  Supongamos que existe 
-\begin_inset Formula $a_{0}\in D\setminus\{0\}$
-\end_inset
-
- que no admite factorización en irreducibles.
- Si 
 \begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$
 \end_inset
 
- no admite factorización, como 
+ que no admite factorización en irreducibles.
+ Entonces, como 
 \begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
@@ -3318,7 +3306,7 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
- con 
+ de elementos que no admiten factorización con 
 \begin_inset Formula $(a_{0})\subsetneq(a_{1})\subsetneq\dots$
 \end_inset
 
@@ -3408,7 +3396,6 @@ Un
 dominio euclídeo
 \series default
  es uno que admite una función euclídea.
- Ejemplos:
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -3828,8 +3815,12 @@ Sean
 \end_inset
 
 .
- Esta relación es de equivalencia; en efecto, las propiedades reflexiva
- y transitiva son claras, y si 
+ Esta relación es de equivalencia
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+; en efecto, las propiedades reflexiva y transitiva son claras, y si 
 \begin_inset Formula $a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}$
 \end_inset
 
@@ -3857,6 +3848,11 @@ Sean
 \begin_inset Formula $a_{1}s_{3}=s_{1}a_{3}$
 \end_inset
 
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
 .
 \end_layout
 
@@ -3865,7 +3861,7 @@ Llamamos
 \begin_inset Formula $a/s:=\frac{a}{s}:=[(a,s)]\in Q(D):=X/\sim$
 \end_inset
 
-, y se tiene que las operaciones
+, y las operaciones
 \begin_inset Formula 
 \begin{align*}
 \frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}},
@@ -3925,8 +3921,12 @@ Demostración:
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Propiedades: 
-\begin_inset Formula $\forall a,b\in D;s,t\in D\setminus\{0\}$
+Para 
+\begin_inset Formula $a,b\in D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$
 \end_inset
 
 :
@@ -4136,7 +4136,6 @@ Demostración:
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Así, 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
 \end_inset
 
@@ -4145,7 +4144,7 @@ Así,
 \end_inset
 
 .
- Es fácil ver que función 
+ Es fácil ver que la función 
 \begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$
 \end_inset
 
@@ -4173,7 +4172,11 @@ Así,
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Así, dados un dominio 
+
+\series bold
+Propiedad universal del cuerpo de fracciones:
+\series default
+ Dados un dominio 
 \begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
@@ -4189,11 +4192,7 @@ Así, dados un dominio
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-
-\series bold
-Propiedad universal del cuerpo de fracciones:
-\series default
- Sean 
+Sean 
 \begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
diff --git a/ga/n3.lyx b/ga/n3.lyx
index 52ff01d..78d5abb 100644
--- a/ga/n3.lyx
+++ b/ga/n3.lyx
@@ -245,7 +245,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$
 \end_inset
 
- tienen coeficientes principales 
+ tienen coeficientes principales respectivos 
 \begin_inset Formula $p$
 \end_inset
 
@@ -253,7 +253,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $q$
 \end_inset
 
- respectivamente:
+:
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -544,18 +544,22 @@ Propiedad universal
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Sean 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
 
- un anillo y 
-\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$
 \end_inset
 
- el homomorfismo inclusión:
+
 \end_layout
 
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Standard
 
 \series bold
 Propiedad universal del anillo de polinomios
@@ -568,7 +572,19 @@ PUAP
 \series bold
 :
 \series default
- Para cada homomorfismo de anillos conmutativos 
+ Sean 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo y 
+\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$
+\end_inset
+
+ el homomorfismo inclusión:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para cada homomorfismo de anillos conmutativos 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
 
@@ -766,6 +782,22 @@ Tomando
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Así:
 \end_layout
 
@@ -1037,7 +1069,7 @@ homomorfismo de reducción de coeficientes módulo
 \end_inset
 
 Su núcleo es 
-\begin_inset Formula $I[X]:=\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}:a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$
+\begin_inset Formula $I[X]$
 \end_inset
 
 , por lo que 
@@ -1126,6 +1158,8 @@ noprefix "false"
 \end_inset
 
 .
+ En particular, el grado es una función euclídea.
+ 
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
@@ -1470,7 +1504,7 @@ teorema de Ruffini
 \begin_inset Formula $f(a)=0$
 \end_inset
 
-, en cuyo caso decimos que 
+, en cuyo caso 
 \begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
@@ -1720,7 +1754,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $f$
 \end_inset
 
-, y el número de raíces, son no superiores a 
+, y el número de raíces, no son superiores a 
 \begin_inset Formula $\text{gr}(f)$
 \end_inset
 
@@ -1882,11 +1916,11 @@ Sean
 \begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
- es infinito si y sólo si dos polinomios distintos cualesquiera en 
+ es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en 
 \begin_inset Formula $D[X]$
 \end_inset
 
- definen funciones polinómicas distintas en 
+ define dos funciones polinómicas distintas en 
 \begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
@@ -2739,7 +2773,7 @@ Sea
 \end_inset
 
 , contando repetidos, y para 
-\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus0$
+\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$
 \end_inset
 
 , 
@@ -2758,11 +2792,11 @@ Si
 \begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
- es un DFU y 
+ es un DFU, 
 \begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
- es su cuerpo de fracciones, 
+ es su cuerpo de fracciones y 
 \begin_inset Formula $f\in D[X]$
 \end_inset
 
@@ -2809,7 +2843,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
  obtenemos un 
-\begin_inset Formula $c\in D\setminus0$
+\begin_inset Formula $c\in D\setminus\{0\}$
 \end_inset
 
  con 
@@ -2851,7 +2885,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
 , podemos tomar 
-\begin_inset Formula $g':=a^{-1}g$
+\begin_inset Formula $g':=(bc)^{-1}g$
 \end_inset
 
  y 
@@ -2936,13 +2970,6 @@ Demostración:
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-\begin_inset Newpage newpage
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
 Como 
 \series bold
 teorema
@@ -3285,7 +3312,11 @@ Si
 \begin_inset Formula $K$
 \end_inset
 
- es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia 
+ es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ 
 \begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$
 \end_inset
 
@@ -3406,7 +3437,7 @@ status open
 \begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$
 \end_inset
 
-, decimos que 
+, 
 \begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
@@ -3426,8 +3457,12 @@ contenido
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Propiedades: 
-\begin_inset Formula $\forall a\in K,p\in K[X]$
+Para 
+\begin_inset Formula $a\in K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p\in K[X]$
 \end_inset
 
 :
@@ -3812,6 +3847,22 @@ Demostración:
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 Dado 
 \begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$
 \end_inset
@@ -3846,11 +3897,27 @@ Dado
  Visto.
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Description
 \begin_inset Formula $3\implies4]$
 \end_inset
 
- Visto.
+ Obvio.
 \end_layout
 
 \begin_layout Description
@@ -4372,11 +4439,11 @@ En particular, si
 \begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$
 \end_inset
 
- es primitivo y 
+ es primitivo, 
 \begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$
 \end_inset
 
-, si 
+, 
 \begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$
 \end_inset
 
@@ -4970,7 +5037,15 @@ p=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}=\sum_{i\in\mat
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Sean 
+
+\series bold
+PUAP en 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ indeterminadas:
+\series default
+ Sean 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -4982,19 +5057,21 @@ Sean
 \begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$
 \end_inset
 
- la inclusión, por inducción:
-\end_layout
+ la inclusión
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Plain Layout
+, por inducción
+\end_layout
 
-\series bold
-PUAP en 
-\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- indeterminadas:
-\series default
- Dados un homomorfismo de anillos 
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados un homomorfismo de anillos 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
 
diff --git a/ga/n4.lyx b/ga/n4.lyx
index 0d54a67..ae5e58b 100644
--- a/ga/n4.lyx
+++ b/ga/n4.lyx
@@ -102,7 +102,7 @@ Notación multiplicativa
 \begin_inset Formula $a^{-1}$
 \end_inset
 
- al inverso de 
+ al simétrico de 
 \begin_inset Formula $a\in G$
 \end_inset
 
@@ -141,7 +141,7 @@ Notación aditiva
 \begin_inset Formula $-a$
 \end_inset
 
- al inverso de 
+ al simétrico de 
 \begin_inset Formula $a\in G$
 \end_inset
 
@@ -531,10 +531,10 @@ Los subgrupos de
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 Si 
 \begin_inset Formula $S$
 \end_inset
@@ -566,7 +566,11 @@ Si
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 Dado un cuerpo 
 \begin_inset Formula $K$
@@ -646,7 +650,7 @@ Si
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $\langle X\rangle:=\{x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}\}_{m\in\mathbb{N},n_{1},\dots,n_{m}\in\mathbb{Z}}$
+\begin_inset Formula $\langle X\rangle:=\{x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}\}_{m\in\mathbb{N},x_{i}\in X,n_{i}\in\mathbb{Z}}$
 \end_inset
 
  es el 
@@ -830,7 +834,7 @@ clase lateral módulo
 \end_inset
 
 , y llamamos 
-\begin_inset Formula $G/H:=G/(\equiv_{i}\bmod H)$
+\begin_inset Formula $G/H:=G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$
 \end_inset
 
 .
@@ -859,11 +863,11 @@ clase lateral módulo
  por la derecha
 \series default
 , es 
-\begin_inset Formula $Ha=\{ah\}_{h\in H}$
+\begin_inset Formula $Ha=\{ha\}_{h\in H}$
 \end_inset
 
 , y llamamos 
-\begin_inset Formula $H\backslash G:=G/(\equiv_{d}\bmod H)$
+\begin_inset Formula $H\backslash G:=G/(\equiv_{d}\bmod\ H)$
 \end_inset
 
 .
@@ -1265,7 +1269,7 @@ Teorema de la correspondencia:
 \begin_inset Formula $G/N$
 \end_inset
 
- que conserva las inclusiones y la normalidad.
+ que conserva las inclusiones y la normalidad en ambas direcciones.
  
 \series bold
 Demostración:
@@ -1388,7 +1392,7 @@ automorfismo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Propiedades: Si 
+Si 
 \begin_inset Formula $G\overset{f}{\to}H\overset{g}{\to}K$
 \end_inset
 
@@ -1930,7 +1934,7 @@ homomorfismo trivial
 
 \begin_layout Enumerate
 Dado 
-\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
 , 
@@ -1974,7 +1978,7 @@ Si
 
 \begin_layout Enumerate
 Dado 
-\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}^{+}:=\mathbb{R}^{>0}$
+\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}^{+}$
 \end_inset
 
 , 
@@ -2893,7 +2897,7 @@ acción por la izquierda
 \end_inset
 
  es una función 
-\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$
+\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$
 \end_inset
 
  tal que 
@@ -2913,7 +2917,7 @@ acción por la derecha
 \end_inset
 
  es una función 
-\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$
+\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$
 \end_inset
 
  tal que 
@@ -3021,10 +3025,6 @@ estabilizador
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-Ejemplos:
-\end_layout
-
 \begin_layout Enumerate
 Llamamos 
 \series bold
diff --git a/ga/n5.lyx b/ga/n5.lyx
index fafc084..30f01bf 100644
--- a/ga/n5.lyx
+++ b/ga/n5.lyx
@@ -98,7 +98,7 @@ suma
 \end_inset
 
  a 
-\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}:=\{\sum_{i\in I}b_{i}:b_{i}\in B_{i},\{i\in I:b_{i}\neq0\}\text{ finito}\}$
+\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}:=\{\sum_{i\in I}b_{i}:b_{i}\in B_{i},\{i\in I:b_{i}\neq0\}\text{ es finito}\}$
 \end_inset
 
 .
@@ -404,7 +404,7 @@ Sean
 
 \begin_layout Standard
 Si 
-\begin_inset Formula $\hat{B}_{i}:=0\times\dots0\times B_{i}\times0\times\dots\times0\leq B_{1}\times\dots\times B_{n}$
+\begin_inset Formula $\hat{B}_{i}:=0\times\dots\times0\times B_{i}\times0\times\dots\times0\leq B_{1}\times\dots\times B_{n}$
 \end_inset
 
 , entonces 
@@ -1544,29 +1544,31 @@ rangle$}}{
 \backslash
 gamma
 \backslash
-in C$,
+in C$, obtener $x
+\backslash
+in
+\backslash
+gamma$
 \end_layout
 
 \begin_layout Plain Layout
 
-				obtener $x
-\backslash
-in
-\backslash
-gamma=x+
-\backslash
-langle a
+								   tal que $|x|=|
 \backslash
-rangle$
+gamma|$
 \end_layout
 
 \begin_layout Plain Layout
 
-				tal que $|x|=|
+				
 \backslash
-gamma|$
+tcp*{$
 \backslash
-;
+gamma=x+
+\backslash
+langle a
+\backslash
+rangle$}
 \end_layout
 
 \begin_layout Plain Layout
@@ -1823,7 +1825,7 @@ Sea
 \end_inset
 
  con 
-\begin_inset Formula $\alpha_{i1}\geq\dots\alpha_{im_{i}}\geq1$
+\begin_inset Formula $\alpha_{i1}\geq\dots\geq\alpha_{im_{i}}\geq1$
 \end_inset
 
  para cada 
diff --git a/ga/n6.lyx b/ga/n6.lyx
index 2ba3ad9..cceac37 100644
--- a/ga/n6.lyx
+++ b/ga/n6.lyx
@@ -618,7 +618,7 @@ Demostración:
 \begin_inset Formula 
 \[
 \rho(j):=\begin{cases}
-j, & \text{j\ensuremath{\in\{i_{0}\,\dots\,i_{k-1}\}\lor j\notin M(\sigma);}}\\
+j, & j\in\{i_{0}\,\dots\,i_{k-1}\}\lor j\notin M(\sigma);\\
 \sigma(j), & \text{en otro caso}.
 \end{cases}
 \]
@@ -931,7 +931,7 @@ Si
 \end_inset
 
 , entonces 
-\begin_inset Formula $\tau_{i}=\alpha\tau_{i}\alpha^{-1}$
+\begin_inset Formula $\tau_{i}'=\alpha\tau_{i}\alpha^{-1}$
 \end_inset
 
  para todo 
@@ -939,7 +939,7 @@ Si
 \end_inset
 
  y por tanto 
-\begin_inset Formula $\sigma=\alpha\sigma\alpha^{-1}$
+\begin_inset Formula $\sigma'=\alpha\sigma\alpha^{-1}$
 \end_inset
 
 .
@@ -1537,7 +1537,7 @@ grupo alternado
 \begin_inset Formula $|A_{n}|=\frac{n!}{2}$
 \end_inset
 
- y .
+.
 \begin_inset Note Comment
 status open
 
@@ -1745,7 +1745,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
 , pero 
-\begin_inset Formula $\beta'\in A_{n}$
+\begin_inset Formula $\beta\alpha\in A_{n}$
 \end_inset
 
 .