2

1 files changed, 1832 insertions, 0 deletions

diff --git a/gae/n3.lyx b/gae/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..142ff61
--- /dev/null
+++ b/gae/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1832 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+producto escalar
+\series default
+ en un espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $V\times V\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, representada por 
+\begin_inset Formula $(\vec{v},\vec{w})\mapsto\vec{v}\cdot\vec{w}$
+\end_inset
+
+, que verifica que 
+\begin_inset Formula $\forall\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Es 
+\series bold
+simétrico
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Es 
+\series bold
+lineal
+\series default
+ (en cada variable): 
+\begin_inset Formula $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\lambda\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\lambda\vec{u}\cdot\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Es 
+\series bold
+definido positivo
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\neq\vec{0}\implies\vec{v}\cdot\vec{v}>0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio vectorial euclídeo
+\series default
+ es un espacio vectorial real en el que hay definido un producto escalar.
+ Todo subespacio vectorial suyo es también euclídeo.
+ Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El 
+\series bold
+producto escalar usual
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ viene dado por 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\vec{v}\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{ccc}
+- & \vec{v} & -\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+|\\
+\vec{w}\\
+|
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El 
+\series bold
+producto escalar integral
+\series default
+ en el espacio 
+\begin_inset Formula ${\cal C}[a,b]$
+\end_inset
+
+ de las funciones reales continuas en el intervalo 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, o en sus subespacios 
+\begin_inset Formula ${\cal P}[a,b]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal P}_{n}[a,b]$
+\end_inset
+
+ de funciones polinómicas arbitrarias y de grado máximo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, respectivamente, viene dado por
+\begin_inset Formula 
+\[
+f\cdot g=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Norma y coseno
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+norma
+\series default
+, 
+\series bold
+módulo
+\series default
+ o 
+\series bold
+longitud
+\series default
+ de un vector 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+unitario
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert=1$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert=0\iff\vec{v}=\vec{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Vert r\vec{v}\Vert=|r|\Vert\vec{v}\Vert$
+\end_inset
+
+, y en particular 
+\begin_inset Formula $\frac{\vec{v}}{\Vert\vec{v}\Vert}$
+\end_inset
+
+ es unitario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Teorema del coseno
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\pm\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}\pm2\vec{v}\cdot\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdad de Cauchy-Schwartz
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $|\vec{v}\cdot\vec{w}|\leq\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+, y la igualdad se cumple si y sólo si no son proporcionales.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=0$
+\end_inset
+
+ es trivial.
+ Si no, para cada 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0\leq\Vert x\vec{v}-\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}x^{2}-(2\vec{v}\cdot\vec{w})x+\Vert\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Luego tenemos un polinomio de 
+\begin_inset Formula $2^{o}$
+\end_inset
+
+ grado con a lo más una raíz real (pues 
+\begin_inset Formula $\Vert x\vec{v}-\vec{w}\Vert^{2}=0\iff x\vec{v}-\vec{w}=0$
+\end_inset
+
+), de modo que el discriminante 
+\begin_inset Formula $4(\vec{v}\cdot\vec{w})^{2}-4\Vert\vec{v}\Vert^{2}\Vert\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+ no puede ser estrictamente positivo, es decir, debe ser 
+\begin_inset Formula $|\vec{v}\cdot\vec{w}|\leq\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdades de Minkowski y triangular
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert-\Vert\vec{w}\Vert\leq\Vert\vec{v}\pm\vec{w}\Vert\leq\Vert\vec{v}\Vert+\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Tomando cuadrados, 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}-2\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert\leq\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}\pm2\vec{v}\cdot\vec{w}\leq\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}+2\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+, y cancelando 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+ y aplicando Cauchy-Schwartz tenemos el resultado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+coseno
+\series default
+ del ángulo formado por dos vectores 
+\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\neq\vec{0}$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula 
+\[
+\cos(\vec{v},\vec{w}):=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos vectores 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+ortogonales
+\series default
+ o 
+\series bold
+perpendiculares
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\vec{v}\bot\vec{w}$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\vec{0}$
+\end_inset
+
+ es ortogonal a todos y 
+\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\neq\vec{0}$
+\end_inset
+
+ son ortogonales si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\cos(\vec{v},\vec{w})=0$
+\end_inset
+
+.
+ Del teorema del coseno se deduce el 
+\series bold
+teorema de Pitágoras
+\series default
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\vec{v}\bot\vec{w}\iff\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conjuntos ortogonales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se dice que 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\in V$
+\end_inset
+
+ es ortogonal al subespacio 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ si lo es a todos los vectores de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, o por linealidad a los de un conjunto generador de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ cualquiera.
+ Llamamos 
+\series bold
+subespacio ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, escrito 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, al conjunto de todos los vectores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ ortogonales a 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, que por la linealidad del producto escalar es un subespacio (incluso aunque
+ 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ no lo sea).
+ Sólo el vector nulo es ortogonal a sí mismo, luego 
+\begin_inset Formula $U\cap U^{\bot}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos subespacios 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+ortogonales
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\vec{u}\in U,\vec{w}\in W;\vec{u}\bot\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\dim(U)+\dim(W)>\dim(V)$
+\end_inset
+
+, diremos que 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ son ortogonales cuando lo sean 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $U+W=V$
+\end_inset
+
+, diremos que 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+complemento ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ (o al revés).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto de vectores en un espacio euclídeo 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+ortogonal
+\series default
+ si sus vectores son no nulos y ortogonales dos a dos, y es 
+\series bold
+ortonormal
+\series default
+ si además son unitarios.
+ Si en un conjunto ortogonal dividimos cada vector por su norma, nos queda
+ un conjunto ortonormal que genera el mismo subespacio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo conjunto ortogonal 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si no lo fuera, habría un vector combinación lineal del resto, por ejemplo,
+ 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{1}=a_{2}\vec{u}_{2}+\dots+a_{m}\vec{u}_{m}$
+\end_inset
+
+, y se tendría que
+\begin_inset Formula 
+\[
+0\neq\vec{u}_{1}\cdot\vec{u}_{1}=\vec{u}_{1}\cdot(a_{2}\vec{u}_{2}+\dots+a_{m}\vec{u}_{m})=a_{2}(\vec{u}_{1}\cdot\vec{u}_{2})+\dots+a_{m}(\vec{u}_{1}\cdot\vec{u}_{m})=0\#
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por esto también hablamos de 
+\series bold
+bases ortogonales
+\series default
+ u 
+\series bold
+ortonormales
+\series default
+.
+ Por ejemplo, en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+, la base canónica es una base ortonormal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una matriz 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+ortogonal
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $A^{t}=A^{-1}$
+\end_inset
+
+, si y sólo si sus columnas (o filas) forman una base ortonormal de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración: 
+\series default
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{n}$
+\end_inset
+
+ son vectores no nulos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es la matriz que tiene por columnas estos vectores, 
+\begin_inset Formula $A^{t}A$
+\end_inset
+
+ es una matriz cuadrada 
+\begin_inset Formula $n\times n$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(A^{t}A)_{ij}=\vec{u}_{i}\cdot\vec{u}_{j}$
+\end_inset
+
+, luego los vectores son ortogonales si y sólo si 
+\begin_inset Formula $A^{t}A$
+\end_inset
+
+ es diagonal (sin ceros en la diagonal), y son ortonormales si y sólo si
+ 
+\begin_inset Formula $A^{t}A=I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Método de Gram-Schmidt
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un conjunto ortogonal 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\notin U=<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k}>$
+\end_inset
+
+, el vector 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}:=\vec{x}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{1}}{\Vert\vec{u}_{1}\Vert^{2}}\vec{u}_{1}-\dots-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{k}}{\Vert\vec{u}_{k}\Vert^{2}}\vec{u}_{k}$
+\end_inset
+
+ es ortogonal a los del conjunto y 
+\begin_inset Formula $<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k},\vec{u}_{k+1}>=<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k},\vec{x}>$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ El que ambos generen el mismo subespacio es consecuencia de que 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}-\vec{x}\in<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k}>$
+\end_inset
+
+.
+ Además, dado 
+\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,k\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}\cdot\vec{u}_{j}=\vec{x}\cdot\vec{u}_{j}-\sum_{i=1}^{k}\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{i}}{\Vert\vec{u}_{i}\Vert^{2}}\vec{u}_{i}\cdot\vec{u}_{j}=\vec{x}\cdot\vec{u}_{j}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{j}}{\Vert\vec{u}_{j}\Vert^{2}}\vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{j}=0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}\bot U$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que todo subespacio 
+\begin_inset Formula $U=\{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ admite una base ortogonal 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $<\vec{x}_{1}>=<\vec{u}_{1}>,\dots,<\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{m}>=<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}>$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos obtener esta base por el 
+\series bold
+algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt
+\series default
+: Tomamos 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{1}=\vec{x}_{1}$
+\end_inset
+
+ y, para cada 
+\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,m\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{j}=\vec{x}_{j}-\sum_{i=1}^{j-1}\frac{\vec{x}_{j}\cdot\vec{u}_{i}}{\Vert\vec{u}_{i}\Vert^{2}}\vec{u}_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto, todo subespacio 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tiene una base ortonormal, que podemos ampliar a una base ortonormal de
+ 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y los vectores añadidos son una base ortonormal de 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $U\oplus U^{\bot}=V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que, si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ son subespacios de un espacio vectorial euclídeo 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ de dimensión finita, entonces 
+\begin_inset Formula $(U^{\bot})^{\bot}=U$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $U\subseteq W\iff W^{\bot}\subseteq U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}\cap W^{\bot}=(U+W)^{\bot}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}+W^{\bot}=(U\cap W)^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ con el producto escalar usual, si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ está generado por las filas de la matriz 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}=\text{Nuc}(A)$
+\end_inset
+
+, y viceversa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Coeficientes de Fourier y proyección ortogonal
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\in V$
+\end_inset
+
+, los 
+\series bold
+coeficientes de Fourier
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\vec{x}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ son los escalares 
+\begin_inset Formula $r_{i}=\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{i}}{\Vert\vec{u}_{i}\Vert^{2}}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,m\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\in<{\cal B}>$
+\end_inset
+
+, estas son sus coordenadas respecto a la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\cdot\vec{u}_{i}=\left(\sum_{j=1}^{m}r_{j}\vec{u}_{j}\right)\cdot\vec{u}_{i}=\sum_{j=1}^{m}r_{j}(\vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{i})=r_{i}\Vert\vec{u}_{i}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+proyección ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ a la aplicación lineal 
+\begin_inset Formula $\pi_{U}:V=U\oplus U^{\bot}\rightarrow U$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{1}\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{2}\in U^{\bot}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\pi_{U}(\vec{v})=\vec{v}_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $r_{1},\dots,r_{m}$
+\end_inset
+
+ son los coeficientes de Fourier de 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ sobre la base ortogonal 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\pi_{U}(\vec{v})=\sum_{i=1}^{m}r_{i}\vec{u}_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\vec{u}:=\pi_{U}(\vec{v})$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+mejor aproximación
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $\min\{\Vert\vec{v}-\vec{z}\Vert\}_{\vec{z}\in U}=\Vert\vec{v}-\vec{u}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $\vec{z}\in U$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\vec{u}-\vec{z}\bot\vec{w}$
+\end_inset
+
+, y por el teorema de Pitágoras, 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}-\vec{z}\Vert=\Vert\vec{w}+\vec{u}-\vec{z}\Vert=\sqrt{\Vert\vec{w}\Vert^{2}+\Vert\vec{u}-\vec{z}\Vert^{2}}$
+\end_inset
+
+, con lo que el valor mínimo de 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}-\vec{z}\Vert$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+ y se alcanza cuando 
+\begin_inset Formula $\vec{z}=\vec{u}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+simetría ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es la aplicación lineal 
+\begin_inset Formula $\sigma_{U}:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\sigma_{U}(\vec{v})=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=2\pi_{U}(\vec{v})-\vec{v}$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in V$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{1}\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{2}\in U^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Productos vectorial y mixto
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+producto vectorial
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}=(w_{1},w_{2},w_{3})$
+\end_inset
+
+ es el vector
+\begin_inset Formula 
+\[
+\vec{v}\land\vec{w}:=\left|\begin{array}{ccc}
+\vec{e}_{1} & v_{1} & w_{1}\\
+\vec{e}_{2} & v_{2} & w_{2}\\
+\vec{e}_{3} & v_{3} & w_{3}
+\end{array}\right|
+\]
+
+\end_inset
+
+y el 
+\series bold
+producto mixto
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\vec{u}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ es el escalar 
+\begin_inset Formula $\vec{u}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\vec{u}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})=\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land\vec{w}=-(\vec{w}\land\vec{v})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land(\vec{w}_{1}+\mu\vec{w}_{2})=\vec{v}\land\vec{w}_{1}+\mu\vec{v}\land\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ son linealmente independientes, 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land\vec{w}$
+\end_inset
+
+ es perpendicular a ambos, por lo que genera la recta ortogonal al plano
+ que determinan: 
+\begin_inset Formula $<\vec{v}\land\vec{w}>=<\vec{v},\vec{w}>^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})=\vec{w}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})=\vec{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert^{2}+(\vec{v}\cdot\vec{w})^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}\Vert\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert}{\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert}\right)^{2}+\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert}\right)^{2}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por la última propiedad, el 
+\series bold
+seno
+\series default
+ del ángulo que forman 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ cumple que
+\begin_inset Formula 
+\[
+|\sin(\vec{v},\vec{w})|=\frac{\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert}{\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto, el 
+\series bold
+área del paralelogramo
+\series default
+ dado por 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{x}\land\vec{z}\Vert=\Vert\vec{x}\Vert(\Vert\vec{z}\Vert|\sin(\vec{x},\vec{z})|)$
+\end_inset
+
+, y el 
+\series bold
+volumen del paralelepípedo
+\series default
+ determinado por 
+\begin_inset Formula $\vec{u}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $|\vec{u}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})|=\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert(\Vert\vec{u}\Vert|\cos(\vec{v}\land\vec{w},\vec{u})|)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Espacios afines euclídeos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio afín euclídeo
+\series default
+ es un espacio afín 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ cuyo espacio vectorial asociado 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es euclídeo.
+ Si 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tiene dimensión finita, llamamos 
+\series bold
+sistema de referencia ortonormal
+\series default
+ o 
+\series bold
+referencial ortonormal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ a un referencial cartesiano 
+\begin_inset Formula $\Re=(O,{\cal B})$
+\end_inset
+
+ en el que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base ortonormal de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Denotamos con 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ un espacio afín euclídeo de dimensión finita y 
+\begin_inset Formula $E_{n}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ con su estructura afín y euclídea estándar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+distancia
+\series default
+ entre dos puntos 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $d(P,Q):=\Vert\overrightarrow{PQ}\Vert$
+\end_inset
+
+, y por las propiedades de la norma, 
+\begin_inset Formula $d(P,Q)\geq0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(P,Q)=0\iff P=Q$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d(P,Q)=d(Q,P)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d(P,R)\leq d(P,Q)+d(Q,R)$
+\end_inset
+
+, por lo que se trata de una métrica.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ tienen coordenadas 
+\begin_inset Formula $(p_{1},\dots,p_{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(q_{1},\dots,q_{n})$
+\end_inset
+
+ en un referencial ortonormal, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+d(P,Q)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La distancia entre dos variedades 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'$
+\end_inset
+
+ se define como 
+\begin_inset Formula $d({\cal L},{\cal L}'):=\inf\{d(P,P')\}_{P\in{\cal L},P'\in{\cal L}'}$
+\end_inset
+
+, y la distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a una variedad 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $d(Q,{\cal L})=\inf\{d(P,Q)\}_{P\in{\cal L}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos variedades 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+ortogonales
+\series default
+ o 
+\series bold
+perpendiculares
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula ${\cal L}\bot{\cal L}'$
+\end_inset
+
+) si lo son sus direcciones, y llamamos 
+\series bold
+variedad perpendicular
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ que pasa por 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a la variedad 
+\begin_inset Formula $Q+W^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, si 
+\begin_inset Formula $\ell_{1}=P_{1}+<\vec{v}_{1}>$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ell_{2}=P_{2}+<\vec{v}_{2}>$
+\end_inset
+
+ son rectas en 
+\begin_inset Formula $E_{3}$
+\end_inset
+
+ que se cruzan, sea 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}\land\vec{v}_{2}$
+\end_inset
+
+ la dirección perpendicular a ambas, como 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{3}\notin<\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}>$
+\end_inset
+
+, existe una única recta con esta dirección que corte a 
+\begin_inset Formula $\ell_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ell_{2}$
+\end_inset
+
+, que llamamos 
+\series bold
+perpendicular común
+\series default
+ de ambas.
+ Para calcularla, hallamos el punto 
+\begin_inset Formula $Q\in\ell_{1}\cap(P_{2}+<\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}>)$
+\end_inset
+
+ y tomamos la recta 
+\begin_inset Formula $Q+<\vec{v}_{3}>$
+\end_inset
+
+, o buscamos 
+\begin_inset Formula $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{(P_{1}+\lambda_{1}\vec{v}_{1})(P_{2}+\lambda_{2}\vec{v}_{2})}=\lambda_{3}\vec{v}_{3}$
+\end_inset
+
+, es decir, tales que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\lambda_{1}\vec{v}_{1}-\lambda_{2}\vec{v}_{2}+\lambda_{3}\vec{v}_{3}$
+\end_inset
+
+, y tomamos la recta 
+\begin_inset Formula $(P_{1}+\lambda_{1}\vec{v}_{1})+<\vec{v}_{3}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ y una variedad 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+proyección ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ como el único punto 
+\begin_inset Formula $Q'\in{\cal L}\cap(Q+W^{\bot})$
+\end_inset
+
+, y el 
+\series bold
+simétrico ortogonal
+\series default
+ como el punto 
+\begin_inset Formula $Q''=Q+2\overrightarrow{QQ'}$
+\end_inset
+
+.
+ Con esto, 
+\begin_inset Formula $d(Q,{\cal L})=d(Q,Q')$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $Q'\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{QQ'}\in W^{\bot}$
+\end_inset
+
+, luego para un 
+\begin_inset Formula $X\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+ arbitrario, 
+\begin_inset Formula $Q',X\in{\cal L}\implies\overrightarrow{Q'X}\in W\implies\overrightarrow{QQ'}\bot\overrightarrow{Q'X}\implies d(Q,X)=\sqrt{d(Q,Q')^{2}+d(Q',X)^{2}}$
+\end_inset
+
+, con lo que el mínimo se alcanza en 
+\begin_inset Formula $X=Q'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q=(q_{1},\dots,q_{n})$
+\end_inset
+
+ a un hiperplano 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ de ecuación 
+\begin_inset Formula $a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b=0$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,{\cal H})=\frac{|a_{1}q_{1}+\dots+a_{n}q_{n}+b|}{\Vert(a_{1},\dots,a_{n})\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+La recta ortogonal a 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $Q+<\vec{a}>$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{a}=(a_{1},\dots,a_{n})$
+\end_inset
+
+, y sus puntos tienen la forma 
+\begin_inset Formula $(q_{1}+\lambda a_{1},\dots,q_{n}+\lambda a_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Para cierto 
+\begin_inset Formula $\lambda_{0}$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $Q':=Q+\lambda_{0}\vec{a}\in{\cal H}$
+\end_inset
+
+.
+ Sustituyendo, 
+\begin_inset Formula $0=a_{1}(q_{1}+\lambda_{0}a_{1})+\dots+a_{n}(q_{n}+\lambda_{0}a_{n})+b=a_{1}q_{1}+\dots+a_{n}q_{n}+b+\lambda_{0}\Vert\vec{a}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\lambda_{0}=-\frac{a_{1}q_{1}+\dots+a_{n}q_{n}+b}{\Vert\vec{a}\Vert^{2}}$
+\end_inset
+
+, y la fórmula se obtiene de que 
+\begin_inset Formula $d(Q,Q')=|\lambda_{0}|\Vert\vec{a}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a una recta 
+\begin_inset Formula $\ell=P+<\vec{v}=(v_{1},v_{2})>$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $E_{2}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,\ell)=\frac{|\det(\overrightarrow{PQ},\vec{v})|}{\Vert\vec{v}\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+La ecuación implícita de la recta es 
+\begin_inset Formula $\det(\overrightarrow{PX},\vec{v})=0$
+\end_inset
+
+, cuyos coeficientes, 
+\begin_inset Formula $(-v_{2},v_{1})$
+\end_inset
+
+, tienen la misma norma que 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert$
+\end_inset
+
+, con lo que la fórmula se deduce del ejemplo anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a un plano 
+\begin_inset Formula $\pi=P+<\vec{v},\vec{w}>$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,\pi)=\frac{|\det(\overrightarrow{PQ},\vec{v},\vec{w})|}{\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+La ecuación implícita del plano es 
+\begin_inset Formula $\det(\overrightarrow{PX},\vec{v},\vec{w})=0$
+\end_inset
+
+ , cuyos coeficientes son los del vector ortogonal al plano, 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a una recta 
+\begin_inset Formula $\ell=P+<\vec{v}>$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,\ell)=\frac{\Vert\vec{v}\land\overrightarrow{PQ}\Vert}{\Vert\vec{v}\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $Q'$
+\end_inset
+
+ es la proyección ortogonal de 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+, se tiene 
+\begin_inset Formula $d(Q,\ell)=\Vert\overrightarrow{Q'Q}\Vert$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ'}+\overrightarrow{Q'Q}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ'}$
+\end_inset
+
+ proporcional a 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Q'Q}\bot\vec{v}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land\overrightarrow{PQ}=\vec{v}\land\overrightarrow{Q'Q}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\land\overrightarrow{PQ}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert\Vert\overrightarrow{Q'Q}\Vert$
+\end_inset
+
+, de donde se deduce la fórmula.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}=P_{1}+W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{2}=P_{2}+W_{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d({\cal L}_{1},{\cal L}_{2})=d(P_{1},P_{2}+(W_{1}+W_{2}))$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Veamos que los conjuntos 
+\begin_inset Formula $A=\{d(X_{1},X_{2})\}_{X_{1}\in{\cal L}_{1},X_{2}\in{\cal L}_{2}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B=\{d(P_{1},X)\}_{X\in P_{2}+(W_{1}+W_{2})}$
+\end_inset
+
+ son iguales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $X_{1}=P_{1}+\vec{w}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $X_{2}=P_{2}+\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{2}\in W_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\[
+d(X_{1},X_{2})=\Vert\overrightarrow{X_{1}X_{2}}\Vert=\Vert\overrightarrow{(P_{1}+\vec{w}_{1})(P_{2}+\vec{w}_{2})}\Vert=\Vert\overrightarrow{P_{1}(P_{2}+\vec{w}_{2}-\vec{w}_{1})}\Vert\in B
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $X=P_{2}+\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{2}\in W_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+d(P_{1},X)=\Vert\overrightarrow{P_{1}(P_{2}+\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2})}\Vert=\Vert\overrightarrow{(P_{1}-\vec{w}_{1})(P_{2}+\vec{w}_{2})}\Vert\in A
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document