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+    <path style="opacity:1;fill:#edd400;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:2;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-opacity:1" d="M -23.677586,-65.029423 L -13.677586,-65.029423" id="path4805"/>
+  </g>
+</svg>
\ No newline at end of file
diff --git a/etc/n.lyx b/etc/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..ef67ce2
--- /dev/null
+++ b/etc/n.lyx
@@ -0,0 +1,241 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\input{../defs}
+\end_preamble
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+\graphics default
+\default_output_format default
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+\index_command default
+\paperfontsize 10
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+\use_hyperref false
+\papersize a5paper
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+\use_package mathdots 1
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+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
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+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
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+\leftmargin 0.2cm
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+\bottommargin 0.7cm
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\dynamic_quotes 0
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+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Estructura y Tecnología de Computadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2018}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Estructura y Tecnología de Computadores, Manuel Eugenio Acacio Sánchez,
+ Ricardo Fernández Pascual, Pilar González Férez & Alberto Ros Bardisa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Sistemas secuenciales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Componentes de un procesador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Diseño de un procesador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Gestión de caché
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n4.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Memoria virtual
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Gestión de la E/S
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n6.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+\start_of_appendix
+Ensamblador de MIPS
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "na.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/etc/n1.lyx b/etc/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..0dc24aa
--- /dev/null
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@@ -0,0 +1,741 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\secnumdepth 3
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+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Existen dos tipos de circuitos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Combinacionales:
+\series default
+ La salida depende únicamente de la entrada en ese momento.
+ Se pueden representar mediante grafos acíclicos dirigidos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Secuenciales:
+\series default
+ La salida no depende solo de la entrada en ese momento sino también de
+ su 
+\series bold
+estado
+\series default
+, que depende de las entradas anteriores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para representar la evolución en el tiempo de un circuito se emplean 
+\series bold
+cronogramas
+\series default
+, diagramas con el tiempo en el eje horizontal y el valor lógico (0 ó 1)
+ de ciertas señales (normalmente las entradas y salidas) en el eje vertical.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+
+\emph on
+Latches
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+biestable asíncrono
+\series default
+, 
+\series bold
+cerrojo
+\series default
+ o 
+\series bold
+\emph on
+latch
+\series default
+\emph default
+ es un circuito básico capaz de almacenar un bit.
+ Existen dos tipos que se diferencian en su 
+\series bold
+ecuación característica
+\series default
+ o 
+\series bold
+función de transición
+\series default
+, que define el valor de salida (
+\begin_inset Formula $Q^{*}$
+\end_inset
+
+) en función de su entrada y la salida anterior (
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipo 
+\series bold
+S-R
+\series default
+ (
+\emph on
+Set-Reset
+\emph default
+)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipo 
+\series bold
+D
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $Q^{*}=S+\overline{R}\cdot Q$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $Q^{*}=D\cdot C+Q\cdot\overline{C}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado1.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado2.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+
+\emph on
+Flip-flops
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+biestable síncrono
+\series default
+ o 
+\series bold
+\emph on
+flip-flop
+\series default
+\emph default
+ también almacena un bit, pero las señales de entrada solo tienen efecto
+ durante un instante de tiempo.
+ Este depende de una 
+\series bold
+señal de reloj
+\series default
+, señal periódica encargada de determinar en qué momento el circuito será
+ sensible a su entrada.
+ Llamamos 
+\series bold
+flanco
+\series default
+ a un cambio en la señal de reloj, que puede ser 
+\series bold
+ascendente
+\series default
+ si es de 0 a 1 o 
+\series bold
+descendente
+\series default
+ si es de 1 a 0.
+ Aunque en los cronogramas representamos estas transiciones con líneas verticale
+s, realmente no son instantáneas.
+ Un 
+\emph on
+flip-flop
+\emph default
+ puede ser activo en flanco ascendente o en flanco descendente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En general, los 
+\emph on
+flip-flops
+\emph default
+ están formados por dos 
+\emph on
+latches
+\emph default
+ en serie, donde el primero se llama 
+\series bold
+maestro
+\series default
+ y el segundo 
+\series bold
+esclavo
+\series default
+.
+ La entrada de reloj se indica con un triángulo, que tiene además un círculo
+ si el 
+\emph on
+flip-flop
+\emph default
+ es activo en flanco descendente.
+ Tipos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tipo 
+\series bold
+D
+\series default
+: Puede tener o no una señal de control 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+, dependiendo de si queremos actualizar el valor en cada ciclo de reloj
+ o no.
+ 
+\begin_inset Formula $Q^{*}=D\cdot W+Q\cdot\overline{W}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0pt">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado3.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado5.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado4.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado6.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tipo 
+\series bold
+S-R
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $Q^{*}=S+\overline{R}\cdot Q$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="1" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0pt">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado7.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado8.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top" width="45col%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="45col%">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipo 
+\series bold
+J-K
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $Q^{*}=J\cdot\overline{Q}+\overline{K}\cdot Q$
+\end_inset
+
+.
+ Similar al S-R con 
+\begin_inset Formula $J\equiv S$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $K\equiv R$
+\end_inset
+
+, pero si 
+\begin_inset Formula $J=K=1$
+\end_inset
+
+ el estado se alterna.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipo 
+\series bold
+T
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $Q^{*}=\overline{Q}\cdot T+Q\cdot\overline{T}$
+\end_inset
+
+.
+ Invierte su estado cuando su entrada valga 1.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado9.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado10.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Diseño de un circuito secuencial
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Está formado por una serie de 
+\series bold
+entradas
+\series default
+ y 
+\series bold
+salidas
+\series default
+ digitales, así como una serie de bits que determinan su 
+\series bold
+estado actual
+\series default
+ y dos funciones combinacionales:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Función de transición
+\series default
+: Determina el estado siguiente a partir del estado actual y la entrada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Función de salida
+\series default
+: Determina la salida a partir del estado del circuito (circuito de 
+\series bold
+Moore
+\series default
+) y quizá también de las entradas (de 
+\series bold
+Mealy
+\series default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Fases en el diseño:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Especificación verbal
+\series default
+: Resumen con palabras del funcionamiento deseado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Especificación del autómata
+\series default
+: Se crea un diagrama de estados llamado 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+autómata finito determinista
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (AFD), en el que se representan los posibles estados del sistema, la función
+ de transición y la función de salida.
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado11.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Caption Standard
+
+\begin_layout Plain Layout
+Ejemplo de AFD.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Minimización del autómata
+\series default
+: Buscar el mismo comportamiento con menos estados, reduciendo la circuitería
+ necesaria.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Codificación de estados:
+\series default
+ Asignar a cada uno de los 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ estados una combinación de 
+\begin_inset Formula $n=\lceil\log_{2}M\rceil$
+\end_inset
+
+ bits, que se almacenan en 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ biestables.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Determinación de las funciones
+\series default
+ de transición y de salida.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Minimización de las funciones
+\series default
+, por ejemplo, mediante mapas de Karnaugh.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Implementación del circuito
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Debemos tener en cuenta que desde un cambio de señal de reloj hasta el siguiente
+, las señales de entrada de los 
+\emph on
+flip-flops
+\emph default
+ deben ser estables, por lo que la frecuencia de esta señal no debe ser
+ mayor al retardo de los circuitos combinacionales, es decir, la máxima
+ suma de los retardos de puertas lógicas que se usan en serie dentro de
+ estos, incluyendo el retardo de otros biestables que son entradas de los
+ circuitos combinacionales.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/etc/n2.lyx b/etc/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..097f459
--- /dev/null
+++ b/etc/n2.lyx
@@ -0,0 +1,1105 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
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+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+CPU
+\series default
+ (
+\emph on
+Central Processing Unit
+\emph default
+) es un bloque lógico complejo que ejecuta instrucciones de un programa
+ escrito de acuerdo a un juego de instrucciones o 
+\series bold
+ISA
+\series default
+ (
+\emph on
+Instruction Set Architecture
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Componentes combinacionales sencillos
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+
+\series bold
+Decodificador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tiene 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ líneas de entrada y 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+ de salida, y para cada valor posible de la entrada, una y sólo una línea
+ de salida tiene el valor 1.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado14.png
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado15.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+
+\series bold
+Multiplexor
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tiene 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ líneas de entrada de control y 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+ de datos, y devuelve en su única línea de salida la línea de datos indicada
+ por las de control.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado18.png
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado19.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+
+\series bold
+Desplazador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Recibe una palabra de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ bits y devuelve otra de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ bits resultado de desplazar a la izquierda o a la derecha la palabra de
+ entrada un cierto número de bits, que suele ser fijo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado16.png
+	width 100text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado17.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+
+\series bold
+Extensor de signo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Recibe un entero de 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ bits con signo y devuelve el mismo en 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ bits (
+\begin_inset Formula $n>m$
+\end_inset
+
+).
+ En complemento a 2, esto equivale a replicar el bit de signo en los 
+\begin_inset Formula $n-m$
+\end_inset
+
+ bits más significativos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado20.png
+	width 100text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado21.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Unidad aritmético-lógica
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+ALU
+\series default
+ (
+\emph on
+Arithmetic Logic Unit
+\emph default
+) es un circuito combinacional capaz de realizar operaciones aritméticas
+ y lógicas sobre operandos de entrada para generar una salida.
+ La operación a realizar viene dada por unos bits de control.
+ Como ejemplo mostramos una ALU capaz de realizar las operaciones de conjunción
+ (AND) y disyunción (OR) bit a bit; suma y resta detectando desbordamientos,
+ y comparación de dos números (SLT, 
+\emph on
+set less than
+\emph default
+), comprobando si uno es mayor, menor o igual al otro.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado22.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+semisumador
+\series default
+ (
+\emph on
+half adder
+\emph default
+) recibe dos entradas y devuelve una salida con la suma, mientras que un
+ 
+\series bold
+sumador completo
+\series default
+ (
+\emph on
+full adder
+\emph default
+), que es lo que utilizamos, recibe tres entradas, dos con los sumandos
+ y una de acarreo, y devuelve dos salidas para la suma y el acarreo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado23.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para implementar una ALU de 32 bits conectamos 32 ALUs de 1 bit conectando
+ el acarreo de salida de un sumador con el de entrada del siguiente, obteniendo
+ un 
+\series bold
+sumador con propagación del acarreo
+\series default
+ (
+\emph on
+ripple carry adder
+\emph default
+).
+ Esto significa que los bits se calculan uno por uno, lo que es ineficiente,
+ por lo que en la práctica se usan 
+\series bold
+circuitos con acarreo anticipado
+\series default
+ (
+\emph on
+look-ahead carry
+\emph default
+), que no veremos en este curso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Restar equivale a sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo, que se
+ obtiene a su vez negando cada bit de este y sumando 1 al resultado (o estableci
+endo el acarreo de entrada del sumador menos significativo a 1).
+ Por su parte, podemos implementar la comparación (SLT) restando ambos números
+ y comprobando el bit de signo del resultado.
+ Nos queda por tanto lo siguiente:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado24.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aquí 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Menor
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ es cero salvo para el bit menos significativo, que entonces es el resultado
+ de la suma en el bit más significativo, indicado por 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Comparación
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ Para el desbordamiento, nótese que ocurre si el resultado de la suma es
+ negativo con ambos operandos positivos o positivo con ambos operandos negativos
+ (si se trata de una resta, el signo del sustraendo se obtiene una vez éste
+ ha sido negado), obteniendo el siguiente mapa de Karnaugh:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="4" columns="6">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+A,B
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+00
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+11
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Res.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La ALU nos queda de la siguiente forma:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado25.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="1" columns="1">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado26.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="6" columns="4">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Op.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $Op_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $Op_{0}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+AND
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+OR
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+ADD
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+SUB
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+SLT
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Registros
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un registro es una concatenación de 
+\emph on
+flip-flops
+\emph default
+ que comparten las señales de reloj y de permiso de escritura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado27.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado28.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+banco de registros
+\series default
+ es un conjunto de registros que pueden ser leídos y escritos selectivamente
+ a través de 
+\series bold
+puertos de escritura
+\series default
+ y 
+\series bold
+puertos de lectura
+\series default
+.
+ Se usan multiplexores y decodificadores para seleccionar los registros.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado29.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Memoria
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las memorias 
+\series bold
+SRAM
+\series default
+ (
+\emph on
+Static Random Access Memory
+\emph default
+) son 
+\emph on
+arrays
+\emph default
+ de memoria usadas principalmente en caché por tener un tiempo de acceso
+ muy corto.
+ Llamamos 
+\series bold
+altura
+\series default
+ al número de posiciones direccionables y 
+\series bold
+anchura
+\series default
+ al número de bits por unidad de memoria.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado30.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como direccionar una SRAM con un multiplexor sería demasiado costoso (por
+ el tamaño), se usan líneas de salida compartidas (
+\series bold
+líneas de bits
+\series default
+) que permiten que varias fuentes compartan una sola línea de datos, utilizando
+ un 
+\series bold
+\emph on
+buffer
+\emph default
+ triestado
+\series default
+.
+ Este tiene dos entradas (
+\emph on
+data
+\emph default
+ y 
+\emph on
+enable
+\emph default
+) y una salida (
+\emph on
+out
+\emph default
+), y la salida es igual a 
+\emph on
+data
+\emph default
+ si 
+\emph on
+enable
+\emph default
+ está activa y en otro caso permanece con alta impedancia permitiendo el
+ uso de la línea de salida a los otros 
+\emph on
+buffers
+\emph default
+.
+ Como todavía se requiere un decodificador a la entrada que sería demasiado
+ grande, las memorias se organizan de forma bidimensional con decodificación
+ en dos pasos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado31.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las memorias 
+\series bold
+DRAM
+\series default
+ (
+\emph on
+Dynamic Random Access Memory
+\emph default
+) almacenan cada bit con un único transistor, con lo que son mucho más baratas
+ y densas.
+ Como la información se almacena en un condensador, este se va descargando,
+ con lo que debe ser refrescada periódicamente, normalmente por un circuito
+ en el propio chip, que lee su contenido y lo vuelve a escribir.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/etc/n3.lyx b/etc/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..14af896
--- /dev/null
+++ b/etc/n3.lyx
@@ -0,0 +1,2537 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
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+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
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+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\leftmargin 0.2cm
+\topmargin 0.7cm
+\rightmargin 0.2cm
+\bottommargin 0.7cm
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+repertorio de instrucciones
+\series default
+ o 
+\series bold
+ISA
+\series default
+ de un procesador define el conjunto de instrucciones que implementa, y
+ otros aspectos como el número y tipo de registros, los modos de direccionamient
+o y el manejo de excepciones.
+ MIPS implementa un ISA RISC (
+\emph on
+Reduced Instruction Set Computer
+\emph default
+), que se caracteriza por tener un número de instrucciones relativamente
+ pequeño, normalmente sencillas, que operan con datos en los registros,
+ utilizan pocos modos de direccionamiento y se codifican todas con el mismo
+ número de bits (en el caso de MIPS, 32 bits).
+ En este capítulo implementamos una versión simplificada del ISA MIPS de
+ 32 bits con unas pocas instrucciones de cada tipo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Codificación de las instrucciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+MIPS dispone de 32 registros de propósito general con 32 bits cada uno,
+ además de algunos específicos como el contador de programa (PC), y ve la
+ memoria como un conjunto de celdas de 1 byte cada una con una dirección
+ de 32 bits, permitiendo indexar hasta 
+\begin_inset Formula $\unit[4]{GiB}$
+\end_inset
+
+ de memoria.
+ Usa cinco modos de direccionamiento:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Registro:
+\series default
+ El operando se encuentra en un registro, cuyo número está codificado en
+ la instrucción en un campo de 5 bits (
+\begin_inset Formula $2^{5}=\unit[32]{registros}$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Base más desplazamiento:
+\series default
+ Indica una dirección de memoria a leer o escribir mediante un registro
+ base (codificado con 5 bits) al que se le suma una constante de 16 bits,
+ codificada en el código de instrucción como un entero con signo en complemento
+ a dos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inmediato:
+\series default
+ Constante en un campo de 16 bits.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Relativo al PC:
+\series default
+ Indica una dirección de destino de un salto mediante un campo de 16 bits
+ en complemento a dos que indica el número de 
+\series bold
+palabras
+\series default
+ (32 bits o 4 bytes) desde el valor actual del registro PC, que será la
+ dirección de la instrucción inmediatamente posterior a la que se está ejecutand
+o.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Pseudodirecto:
+\series default
+ Indica una dirección de destino mediante un campo de 26 bits.
+ Como las direcciones de memoria son de 32, a este se le añaden al final
+ 2 bits a 0 (porque las instrucciones están alineadas a la palabra) y al
+ principio los 4 bits más significativos del PC.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Formato de instrucción R
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="6">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top" width="12text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="10text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="10text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="10text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="10text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="12text%">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+31
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+26
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+25
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+21
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+20
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+16
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+15
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+11
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+10
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+5
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+op
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+rs
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+rt
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+rd
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+shamt
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+func
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Donde 
+\series bold
+op
+\series default
+ es el código de operación, que aparece en todos los formatos de instrucción,
+ 
+\series bold
+rs
+\series default
+ y 
+\series bold
+rt
+\series default
+ son los registros fuente, 
+\series bold
+rd
+\series default
+ el registro de destino y 
+\series bold
+func
+\series default
+ indica a la ALU qué función debe realizar.
+ 
+\series bold
+shamt
+\series default
+ es el tamaño de desplazamiento en las instrucciones de desplazamiento y
+ rotación, y vale 0 en el resto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Este formato se usa para operaciones aritmético-lógicas con modo de direccionami
+ento registro (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{op}=0$
+\end_inset
+
+), cuyo formato es 
+\family typewriter
+func $rd, $rs, $rt
+\family default
+, y de las cuales implementaremos 
+\family typewriter
+and
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{func}=44|_{8}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+or
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{func}=45|_{8}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+add
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{func}=40|_{8}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+sub
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{func}=42|_{8}$
+\end_inset
+
+) y 
+\family typewriter
+slt
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{func}=52|_{8}$
+\end_inset
+
+), que ya implementamos en la ALU del capítulo anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Formato de instrucción I
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="4">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top" width="12text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="10text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="10text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="32text%">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+31
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+26
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+25
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+21
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+20
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+16
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+15
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+op
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+rs
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+rt
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+imm
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+16
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Usado para:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Instrucciones aritmético-lógicas con un operando constante, por direccionamiento
+ in
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+me
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+dia
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+to.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Instrucciones de acceso a memoria, por direccionamiento base más desplazamiento.
+ El formato es 
+\family typewriter
+instr $rt, imm($rs)
+\family default
+, y veremos 
+\family typewriter
+lw
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{op}=35$
+\end_inset
+
+) y 
+\family typewriter
+sw
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{op}=43$
+\end_inset
+
+), que cargan una palabra de una dirección de memoria a un registro y viceversa,
+ respectivamente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Instrucciones de salto condicional, por direccionamiento relativo a PC.
+ El formato es 
+\family typewriter
+instr $rs, $rt, label
+\family default
+, con 
+\begin_inset Formula $\mathtt{label}=PC+4\boldsymbol{imm}$
+\end_inset
+
+, y veremos 
+\family typewriter
+beq
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{op}=4$
+\end_inset
+
+), que salta a una dirección si los dos registros contienen lo mismo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Formato de instrucción J
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top" width="12text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="52text%">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+31
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+26
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\size scriptsize
+25
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hfill
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+op
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+j
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+26
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Donde 
+\series bold
+j
+\series default
+ almacena la dirección de destino por direccionamiento pseudodirecto.
+ Lo usa la instrucción de salto incondicional 
+\family typewriter
+j
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{op}=2$
+\end_inset
+
+), cuyo formato es 
+\family typewriter
+j label
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Modelo del tiempo de ejecución
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+T_{CPU}=N_{inst}\cdot CPI\cdot T_{ciclo}
+\]
+
+\end_inset
+
+ Donde 
+\begin_inset Formula $T_{CPU}$
+\end_inset
+
+ es el tiempo que tarda la CPU en ejecutar un programa, 
+\begin_inset Formula $N_{inst}$
+\end_inset
+
+ es el número de 
+\series bold
+instrucciones dinámicas
+\series default
+ que se ejecutan (cada 
+\series bold
+instrucción estática
+\series default
+ del código se cuenta tantas veces como se ejecuta), 
+\begin_inset Formula $CPI$
+\end_inset
+
+ es el promedio del número de ciclos que tarda en ejecutarse cada instrucción
+ y 
+\begin_inset Formula $T_{ciclo}$
+\end_inset
+
+ es la duración del ciclo de reloj (tiempo entre dos flancos activos), que
+ debe ser lo suficientemente largo para permitir que se estabilicen todas
+ las señales de entrada a los elementos secuenciales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En una implementación 
+\series bold
+monociclo
+\series default
+, todas las instrucciones tardan exactamente un ciclo en ejecutarse.
+ El tiempo de ciclo tiene que ser suficiente para ejecutar la instrucción
+ más larga, por lo que sobrará tiempo para las cortas, reduciendo el rendimiento.
+ Construiremos un procesador 
+\series bold
+multiciclo
+\series default
+, en el que las instrucciones se dividen en pasos y cada uno ocupa un ciclo,
+ y el tiempo de ciclo es el necesario para ejecutar el paso más largo.
+ También se pueden realizar implementaciones con 
+\begin_inset Formula $CPI<1$
+\end_inset
+
+ mediante técnicas para ejecutar varias instrucciones a la vez, que no veremos
+ aquí.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+El camino de datos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un procesador está formado por un 
+\series bold
+camino de datos
+\series default
+, donde se encuentran los elementos que realizan el trabajo indicado, y
+ una 
+\series bold
+unidad de control
+\series default
+, que gestiona el camino de datos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para el camino de datos, tomamos como componentes principales la memoria,
+ el banco de registros y la ALU, y suponemos que solo estos conllevan un
+ retardo significativo.
+ Entonces toda operación con uno de estos componentes consume un ciclo,
+ y la salida de estos debe almacenarse en registros auxiliares para ser
+ usada en el ciclo siguiente.
+ Con esto, nuestro camino de datos tendrá los siguientes componentes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Memoria:
+\series default
+ Acepta direcciones de 32 bits y permite leer o escribir una palabra de
+ 4 bytes en cada ciclo.
+ Tiene dos señales de control para habilitación de lectura y escritura,
+ así como puertos de entrada para la dirección y el dato a escribir y de
+ salida para el dato leído.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Banco de registros (Reg):
+\series default
+ Banco de 32 registros capaz de leer dos registros y escribir otro en el
+ mismo ciclo.
+ El registro 0 es virtual y contiene siempre el valor 0, por lo que toda
+ escritura en este es ignorada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+ALU:
+\series default
+ La que vimos en el capítulo anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Contador de programa (PC):
+\series default
+ De 32 bits, con señal de habilitación de escritura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Registro de instrucción (IR):
+\series default
+ De 32 bits con habilitación de escritura, almacena la instrucción que se
+ está ejecutando actualmente, y tiene varios puertos de salida para los
+ distintos campos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Registro de datos de memoria (MDR):
+\series default
+ De 32 bits sin habilitación de escritura, almacena un valor leído de memoria.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Registros A y B:
+\series default
+ De 32 bits sin habilitación de escritura, almacenan los valores leídos
+ del banco de registros.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Registro ALUOut:
+\series default
+ De 32 bits sin habilitación de escritura, almacena la salida de la ALU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Algunos desplazadores y extensores de signo, así como multiplexores para
+ permitir distintas conexiones entre unidades funcionales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Veamos ahora la descomposición de instrucciones en pasos.
+ Para esta parte usaremos 
+\series bold
+lenguaje de transferencia entre registros
+\series default
+ o 
+\series bold
+RTL
+\series default
+ (
+\emph on
+Register Transfer Language
+\emph default
+).
+ La transferencia de un registro o resultado de una operación a un registro
+ se escribe como 
+\family typewriter
+A <- B
+\family default
+, donde 
+\family typewriter
+B
+\family default
+ indica una operación y 
+\family typewriter
+A
+\family default
+ es el registro al que se transfiere el resultado.
+ Si una sentencia se debe ejecutar sólo bajo cierta condición 
+\family typewriter
+C
+\family default
+, que puede incluir operadores booleanos, se indica con 
+\family typewriter
+C: A <- B
+\family default
+.
+ Finalmente, para indicar que varias sentencias se ejecutan en paralelo,
+ se separan por comas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los dos primeros pasos son comunes a todas las instrucciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Lectura de instrucción desde la memoria (memoria) y cálculo de la dirección
+ de la ins
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+truc
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ción siguiente (ALU).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+IR <- Memoria[PC], PC <- PC + 4
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Decodificación de la instrucción, lectura de operandos (banco de registros)
+ y cálculo de la dirección de destino de salto condicional (ALU).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+A <- Reg[IR[25-21]], B <- Reg[IR[20-16]],
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+ALUOut <- PC + sign_extend(IR[15-0]) << 2
+\family default
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como hasta que no acaba el segundo paso no se ha decodificado la instrucción,
+ el resto de acciones se hacen de manera 
+\series bold
+especulativa
+\series default
+, por si resultaran útiles luego, pues las unidades funcionales necesarias
+ están desocupadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A continuación, para una instrucción aritmético-lógica:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+3a.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Realización de la operación (ALU).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ALUOut <- A func B
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+4a.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Escritura del resultado (banco de registros).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+Reg[IR[15-11]] <- ALUOut
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\family typewriter
+lw
+\family default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+3b.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Cálculo de la dirección de memoria (ALU).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ALUOut <- A + sign_extend(IR[15-0])
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+4b.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Lectura del dato de memoria (memoria).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+MDR <- Mem[ALUOut]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+5.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Escritura del dato leído (banco de registros).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+Reg[IR[20-16]] <- MDR
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\family typewriter
+sw
+\family default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+3b.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Cálculo de la dirección de memoria (ALU).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+4c.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Escritura del dato en memoria (memoria).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+Mem[ALUOut] <- B
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\family typewriter
+beq
+\family default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+3c.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Comprobación de la condición del salto (ALU) y actualización del contador
+ de programa si procede.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+A=B: PC <- ALUOut
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\family typewriter
+j
+\family default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+3d.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Actualización del contador de programa.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+PC <- (PC[31-28] << 28) | (IR[25-0] << 2)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Nos queda por tanto lo siguiente:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{verbatim}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T1: IR <- Mem[PC], PC <- PC + 4
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T2: A <- Reg[IR[25-21]], B <- Reg[IR[20-16]],
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+        ALUOut <- PC + sign_extend(IR[15-0]) << 2
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T3 && op=0: ALUOut <- A func B
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T3 && (op=35 || op=43): ALUOut <- A + sign_extend(IR[15-0])
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T3 && (op=4) && (A=B): PC <- ALUOut
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T3 && (op=2): PC <- (PC[31-28] << 28) | (IR[25-0] << 2)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T4 && (op=0): Reg[IR[15-11]] <- ALUOut
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T4 && (op=35): MDR <- Mem[ALUOut]
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T4 && (op=43): Mem[ALUOut] <- B
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+T5 && (op=35): Reg[IR[20-16]] <- MDR
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{verbatim}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las conexiones que necesitamos dependen del ciclo actual y la instrucción
+ que se esté ejecutando, por lo que tenemos que añadir algunos multiplexores
+ en algunos puertos de entrada para seleccionar:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="9" columns="9">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Nombre
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Puerto
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Unidad
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+V.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Entrada
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pasos
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+V.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Entrada
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pasos
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+IoD
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Dirección
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Memoria
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+PC
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+ALUOut
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+4b,4c
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+DestReg
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Reg.
+ a escr.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+B.
+ de regs.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+rt
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+rd
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+4a
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+MemAReg
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Dato a escr.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+B.
+ de regs.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+ALUOut
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+4a
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+MDR
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+SelALUA
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $1^{\text{er}}$
+\end_inset
+
+ op.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+ALU
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+PC
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1,2
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+A
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+3a,3b,3c
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+SelALUB
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $2^{\text{o}}$
+\end_inset
+
+ op.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+ALU
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+00
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+B
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+3a
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Const.
+ 4
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+imm
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+3b
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+11
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+imm
+\series default
+*4
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+2
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+PCSrc
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Entrada
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+PC
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+00
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+ALU
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+ALUOut
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+3c
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+...
+\series bold
+j
+\series default
+...
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+3d
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+La unidad de control
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Debemos asegurar que el valor de las señales de control de los multiplexores
+ y de todas las unidades funcionales sea el adecuado.
+ Primero haremos un circuito de control de la ALU, que debe realizar una
+ suma en los pasos 1, 2 y 3b, una resta en el paso 3c y una función en 3a
+ que depende de los bits del campo 
+\series bold
+func
+\series default
+.
+ Para ello diseñamos un circuito combinacional con dos bits de entrada (
+\family typewriter
+ALUOp
+\family default
+) además de los seis del campo 
+\series bold
+func
+\series default
+ y tres bits de salida correspondientes a 
+\family typewriter
+ALUCtl
+\family default
+, como se muestra en la figura.
+ No necesitamos los dos bytes más significativos de 
+\family typewriter
+func
+\family default
+, pues son iguales en las cinco operaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado32.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hecho esto, las señales que debe controlar la unidad de control principal
+ son: las señales de control de los multiplexores indicados, incluyendo
+ 
+\family typewriter
+ALUOp
+\family default
+; las señales 
+\family typewriter
+MemR
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+MemW
+\family default
+ de habilitación de lectura y escritura de memoria, y la señales de habilitación
+ de escritura 
+\family typewriter
+WrtIR
+\family default
+, 
+\family typewriter
+WrtPC
+\family default
+, 
+\family typewriter
+WrtPCCond
+\family default
+ (similar pero solo escribe si la señal 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Cero
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ de la ALU está activa, para implementar la condición 
+\family typewriter
+A=B
+\family default
+) y 
+\family typewriter
+WrtReg
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El valor de las señales de control depende sólo del paso actual, mientras
+ que la transición de un paso a otro depende de la instrucción en ejecución,
+ por lo que podemos implementar la unidad de control como un autómata de
+ Moore cuya entrada es el campo 
+\series bold
+op
+\series default
+ de la instrucción en IR y cuya salida son los valores de las señales de
+ control.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado33.png
+	width 100text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado34.png
+	width 100text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Metodología para añadir instrucciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Análisis
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Especificación semántica precisa:
+\series default
+ Traducir la descripción verbal de la instrucción a notación RTL.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Identificación del trabajo:
+\series default
+ Identificar qué acciones realiza cada unidad funcional.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Establecimiento del orden de precedencia:
+\series default
+ Ver qué relaciones de dependencia existen entre las acciones.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Diseño
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Definición de la codificación:
+\series default
+ Asignar una codificación ajustándose a uno de los tres formatos de instrucción
+ existentes (salvo que sea imposible), de forma que se pueda diferenciar
+ la instrucción de las ya existentes.
+ Para decidir la colocación de los operandos, conviene tener en cuenta el
+ uso que se va a hacer de ellos y las conexiones ya disponibles, minimizando
+ el número de cambios a realizar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+División del trabajo en ciclos:
+\series default
+ Respetando las dependencias, sin usar la misma unidad dos veces en el mismo
+ ciclo, e intentando aprovechar las instrucciones que ya se realizan en
+ los dos primeros ciclos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Extensión del camino de datos:
+\series default
+ Detallar las modificaciones a realizar en este para permitir la realización
+ de las acciones indicadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Extensión del control:
+\series default
+ Indicar los nuevos estados, el paso de uno a otro y el valor de las señales
+ de control en cada uno.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_body
+\end_document
diff --git a/etc/n4.lyx b/etc/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..db7c4de
--- /dev/null
+++ b/etc/n4.lyx
@@ -0,0 +1,662 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Hoy en día (a precio razonable) podemos construir memorias de gran capacidad
+ pero lentas, o memorias rápidas pero con poca capacidad.
+ Para crear la ilusión de que tenemos una memoria con ambas características,
+ combinamos tipos de memoria con distintas velocidades y tamaños en una
+ 
+\series bold
+jerarquía de memoria
+\series default
+, formada normalmente por los siguientes componentes, de mayor a menor cercanía
+ a la CPU:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Registros de la CPU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Memoria caché
+\series default
+ (SRAM).
+ Suele haber 3 niveles (llamados L1–L3), donde el L3 puede estar fuera de
+ la CPU (los demás están dentro) y L1 es el de menor capacidad pero menor
+ tiempo de acceso, y por tanto el más cercano a la CPU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Memoria principal (
+\series bold
+SDRAM
+\series default
+, 
+\emph on
+Synchronous DRAM
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Almacenamiento secundario local (discos SSD o magnéticos).
+ Los 
+\series bold
+discos SSD
+\series default
+ (
+\emph on
+Solid State Drive
+\emph default
+) usan memoria flash para almacenar los datos y por tanto son más rápidos
+ que los 
+\series bold
+discos duros
+\series default
+ o 
+\series bold
+magnéticos
+\series default
+, pues no presentan limitaciones mecánicas, si bien quedan lejos de las
+ memorias RAM.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Almacenamiento secundario remoto (sistemas de ficheros distribuidos, servidores,
+ etc.).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El objetivo es proporcionar la máxima capacidad de memoria con la tecnología
+ más barata pero con un tiempo medio de acceso similar al de la tecnología
+ más rápida.
+ Por lo general, los datos solo se transfieren entre niveles adyacentes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Funcionamiento
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Principio de localidad
+\series default
+: en un momento concreto, los programas acceden a una parte relativamente
+ pequeña de su espacio de direcciones.
+ Tipos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Localidad temporal
+\series default
+: Si se consulta un dato, probablemente será consultado próximamente.
+ En los programas aparecen multitud de bucles, por lo que se accederá repetidame
+nte a instrucciones y datos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Localidad espacial
+\series default
+: Si se consulta un dato, probablemente serán consultados otros cercanos.
+ A las instrucciones se suele acceder secuencialmente, así como a los elementos
+ de una tabla.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para aprovechar la localidad espacial, la información se transfiere entre
+ niveles adyacentes en 
+\series bold
+bloques
+\series default
+, cuyo tamaño depende de los niveles.
+ El 
+\series bold
+tamaño de bloque
+\series default
+ es el número de bytes que contiene, y para las cachés suele ser 64.
+ Decimos que hay un 
+\series bold
+acierto
+\series default
+ (
+\emph on
+hit
+\emph default
+) cuando la información pedida por el procesador se encuentra en el nivel
+ superior, y un 
+\series bold
+fallo
+\series default
+ (
+\emph on
+miss
+\emph default
+) cuando no.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+tasa de aciertos
+\series default
+ (
+\emph on
+hit rate
+\emph default
+) es la fracción de accesos a memoria que son aciertos, y se usa como medida
+ del rendimiento, mientras que la 
+\series bold
+tasa de fallos
+\series default
+ (
+\emph on
+miss rate
+\emph default
+) es 1 menos la tasa de aciertos.
+ El 
+\series bold
+tiempo de acierto
+\series default
+ es el tiempo necesario para acceder al nivel superior de la memoria, incluyendo
+ el necesario para determinar si el acceso es un acierto o un fallo, y la
+ 
+\series bold
+penalización por fallo
+\series default
+ es el tiempo necesario para reemplazar un bloque del nivel superior por
+ otro del nivel inferior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las direcciones de memoria se asignan a bytes individuales, lo que llamamos
+ 
+\series bold
+dirección de byte
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $D_{byte}$
+\end_inset
+
+).
+ Como las palabras (en general) son de varios bytes, cada palabra tiene
+ varias direcciones de byte, a las que asignamos una 
+\series bold
+dirección de palabra
+\series default
+ con 
+\begin_inset Formula $D_{palabra}=\left\lfloor \frac{D_{byte}}{T_{palabra}}\right\rfloor $
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $T_{palabra}$
+\end_inset
+
+ es el número de bytes de la palabra, y el resto de esta división es el
+ desplazamiento de byte dentro de la palabra.
+ Igualmente, podemos asignar a cada bloque una 
+\series bold
+dirección de bloque
+\series default
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $D_{bloque}=\left\lfloor \frac{D_{byte}}{T_{bloque}}\right\rfloor $
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $T_{bloque}$
+\end_inset
+
+ el tamaño del bloque, y el resto de esta división es el desplazamiento
+ de byte dentro del bloque.
+ Tanto el tamaño de palabra como el de bloque son potencias de 2, por lo
+ que el cálculo de las direcciones y desplazamientos es trivial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Estructura
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una caché esta organizada en una serie de 
+\series bold
+conjuntos
+\series default
+ de bloques o 
+\series bold
+huecos
+\series default
+, y una serie de 
+\series bold
+vías
+\series default
+, que son el número de bloques por conjunto.
+ Llamamos 
+\series bold
+asociatividad
+\series default
+ de la caché al número de vías que contiene.
+ A cada bloque le corresponde un conjunto, dado por el resto de la dirección
+ de bloque entre el número de conjuntos, y dentro de este puede ocupar cualquier
+a de los huecos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una mayor asociatividad aumenta la tasa de acierto por tener más libertad
+ a la hora de elegir qué bloques quitar, pero también aumenta el número
+ de comparaciones que hay que realizar, por lo que aumenta el coste al necesitar
+ más comparadores, así como el tiempo de acierto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una caché se dice 
+\series bold
+de correspondencia directa
+\series default
+ si tiene sólo una vía (un bloque por conjunto), y 
+\series bold
+totalmente asociativa
+\series default
+ si sólo tiene un conjunto.
+ A cada posición de la caché se le añade una 
+\series bold
+etiqueta
+\series default
+ (
+\emph on
+tag
+\emph default
+) dada por 
+\begin_inset Formula $E=\left\lfloor \frac{D_{bloque}}{N_{S}}\right\rfloor $
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $N_{S}$
+\end_inset
+
+ es el número de conjuntos.
+ Además, es necesario un 
+\series bold
+bit de validez
+\series default
+ en cada hueco que indique que el bloque tiene información válida.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Políticas de escritura
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Escritura directa
+\series default
+ (
+\emph on
+write through
+\emph default
+): Las escrituras se hacen a la vez en la caché y en memoria.
+ Si el bloque no está en caché, se suele escribir directamente la palabra
+ en memoria principal (
+\emph on
+no write allocate
+\emph default
+), si bien también se puede traer el bloque a la caché (
+\emph on
+write allocate
+\emph default
+), pero esto es mucho menos común.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Esta política es más fácil de implementar y tiene la ventaja de que los
+ fallos son menos costosos.
+ Sin embargo, en la práctica es necesario un 
+\series bold
+buffer de escrituras
+\series default
+ que almacene los datos para ser escritos de forma que el procesador no
+ tenga que detenerse hasta que acabe la escritura, salvo que el buffer esté
+ lleno.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Postescritura
+\series default
+ (
+\emph on
+write back
+\emph default
+): Las escrituras se hacen sólo en la caché, y sólo se actualiza la información
+ en memoria al sacar el bloque de la caché.
+ Es necesario un 
+\series bold
+bit de modificación
+\series default
+ o 
+\series bold
+de sucio
+\series default
+ (
+\emph on
+dirty bit
+\emph default
+) en cada bloque, y si el bloque no está en caché se debe traer a caché.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Esta política tiene la ventaja de que en caso de acierto se puede escribir
+ más rápidamente, y que múltiples escrituras en un bloque requieren una
+ sola escritura en memoria, pudiendo hacer uso de 
+\series bold
+escritura en ráfaga
+\series default
+ para conseguir mayor ancho de banda.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Políticas de reemplazo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En una caché asociativa (con más de una vía), al traer un bloque se puede
+ poner en cualquier hueco del conjunto, y si el conjunto está lleno (como
+ ocurre normalmente) hay que elegir qué bloque sacar de la cache.
+ Para ello hay varias políticas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Aleatoria
+\series default
+: Se elige un bloque al azar.
+ Es la más sencilla de construir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+LRU
+\series default
+ (
+\emph on
+Least Recently Used
+\emph default
+, Menos Recientemente Usado): Se elige el bloque que haya estado más tiempo
+ sin ser accedido.
+ Consigue menores tasas de fallo que el aleatorio, pero al aumentar la asociativ
+idad se vuelve demasiado costoso, pues necesita mantener mucha información.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Pseudo-LRU
+\series default
+: Esquemas que 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+imitan
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ al LRU pero con implementación más sencilla.
+ Por ejemplo, el que utiliza un 
+\series bold
+bit de uso
+\series default
+ o 
+\series bold
+de referencia
+\series default
+ en cada bloque, que se pone a cero al traer el bloque y a 1 cada vez que
+ se accede a él, volviéndose a poner a cero en todos los bloques periódicamente.
+ A la hora de elegir un bloque que sustituir, se prefiere uno que tenga
+ a 0 el bit de uso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+NRU
+\series default
+ (
+\emph on
+Not Recently Used
+\emph default
+): Para una caché de asociatividad 2, se puede implementar el LRU con un
+ sólo bit por conjunto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tamaño real y rendimiento
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $N_{S}$
+\end_inset
+
+ es el número de conjuntos de la caché, 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es la asociatividad, 
+\begin_inset Formula $T_{bloque}$
+\end_inset
+
+ es el tamaño de bloque, 
+\begin_inset Formula $W_{dir}$
+\end_inset
+
+ el número de bits de las direcciones de memoria y 
+\begin_inset Formula $N_{bits-control}$
+\end_inset
+
+ el número de bits de control necesarios por bloque (de 1 a 3 según lo visto
+ y puede que algunos más en una caché real), el tamaño útil de la caché
+ en bytes será 
+\begin_inset Formula $T_{útil}=N_{S}AT_{bloque}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por su parte, el tamaño total en bits será 
+\begin_inset Formula $T_{total}=N_{S}T_{conjunto}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $T_{conjunto}=AT_{entrada}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $T_{entrada}=N_{bits-control}+W_{etiqueta}+8T_{bloque}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W_{etiqueta}=W_{dir}-\log_{2}N_{S}-\log_{2}T_{bloque}$
+\end_inset
+
+.
+ En resumen,
+\begin_inset Formula 
+\[
+T_{total}=N_{S}A(8T_{bloque}+N_{bits-control}+W_{dir}-\log_{2}N_{S}-\log_{2}T_{bloque})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para hallar el rendimiento de la caché usamos que 
+\begin_inset Formula $T_{ejec}=T_{CPU}+T_{bloqueo}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $T_{CPU}$
+\end_inset
+
+ el tiempo de ejecución normal de CPU, contando aciertos en accesos de memoria,
+ y 
+\begin_inset Formula $T_{bloqueo}$
+\end_inset
+
+ el bloqueo debido a fallos de caché.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $T_{bloqueo}=N_{accesos}T_{F}P_{F}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $N_{accesos}$
+\end_inset
+
+ es el total de accesos, 
+\begin_inset Formula $T_{F}$
+\end_inset
+
+ la tasa de fallos y 
+\begin_inset Formula $P_{F}$
+\end_inset
+
+ la penalización por fallos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ahora bien, normalmente un procesador tiene cachés separadas para datos
+ e instrucciones para evitar que los datos 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+expulsen
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ instrucciones y viceversa y mejorar así el rendimiento.
+ Por tanto, si la caché de instrucciones tiene tasa de fallos 
+\begin_inset Formula $T_{Fi}$
+\end_inset
+
+ y penalización 
+\begin_inset Formula $P_{Fi}$
+\end_inset
+
+ y la de datos tiene tasa de fallos 
+\begin_inset Formula $T_{Fd}$
+\end_inset
+
+ y penalización 
+\begin_inset Formula $P_{Fd}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $D/I$
+\end_inset
+
+ es la tasa de acceso a datos por instrucción (accesos a datos por número
+ de instrucciones), nos queda que
+\begin_inset Formula 
+\[
+T_{bloqueo}=N_{instrucciones}(T_{Fi}P_{Fi}+D/I\cdot T_{Fd}P_{Fd})
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $N_{instrucciones}$
+\end_inset
+
+ es el número de instrucciones que se ejecutan.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/etc/n5.lyx b/etc/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..d673bdf
--- /dev/null
+++ b/etc/n5.lyx
@@ -0,0 +1,315 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+memoria virtual
+\series default
+ es una técnica consistente en usar la memoria principal como caché para
+ almacenamiento secundario, normalmente discos duros.
+ Objetivos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Proporcionar un gran espacio de direcciones:
+\series default
+ Anteriormente, si un programa era demasiado grande, el programador debía
+ dividir el programa en segmentos independientes (
+\emph on
+overlays
+\emph default
+) cargados y liberados de memoria por el propio programa, lo que dificultaba
+ la programación.
+ Además, debía haber un hueco de memoria libre contigua para cargar estos
+ segmentos, pero esta podía estar fragmentada en varios huecos demasiado
+ pequeños.
+ Con memoria virtual, el programador trabaja como si hubiera una gran memoria
+ sólo para el programa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Permitir la compartición segura y eficiente de memoria entre varios programas:
+\series default
+ La memoria principal sólo tiene que contener lo que se ejecuta en un momento
+ dado, por lo que se aprovecha mejor, y consigue que un proceso sólo pueda
+ leer y escribir la memoria que tiene asignada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El sistema de memoria virtual crea un 
+\series bold
+espacio de direcciones virtuales
+\series default
+ para cada proceso, de forma que la CPU produce direcciones virtuales y
+ la 
+\series bold
+MMU
+\series default
+ (
+\emph on
+Memory Management Unit
+\emph default
+) realiza la 
+\series bold
+traducción de direcciones
+\series default
+ (
+\emph on
+address translation
+\emph default
+) a 
+\series bold
+direcciones físicas
+\series default
+.
+ Un bloque de memoria virtual es una 
+\series bold
+página
+\series default
+, un acierto es un 
+\series bold
+acierto de página
+\series default
+ y un fallo es un 
+\series bold
+fallo de página
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las páginas deben ser lo bastante grandes para amortizar el tiempo de acceso
+ a disco, normalmente 
+\begin_inset Formula $\unit[4]{KiB}$
+\end_inset
+
+ para páginas pequeñas y tamaños mucho mas grandes (de megabytes) para ciertos
+ casos.
+ Como la penalización por fallo es muy alta (de millones de ciclos e incluso
+ visible al usuario), es muy importante reducir la tasa de fallos, por lo
+ que se usa un esquema totalmente asociativo, y como los fallos de página
+ los gestiona el sistema operativo (porque la sobrecarga de usar software
+ aquí es despreciable) se pueden usar algoritmos de reemplazo más complejos.
+ Siempre se usa postescritura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+La tabla de páginas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una página virtual puede estar asociada a cualquier página física o a ninguna,
+ y esta información se almacena en la 
+\series bold
+tabla de páginas
+\series default
+, una tabla multinivel manejada por el sistema operativo, almacenada en
+ memoria principal e indexada por el número de página virtual, que en cada
+ entrada contiene el número de página física junto con información adicional
+ como el bit de validez, el bit de sucio, bits de protección (permisos de
+ lectura, escritura y ejecución) y un bit de uso para políticas de reemplazo
+ o direcciones de disco, y su tamaño se redondea por exceso al tamaño de
+ palabra para facilitar el indexado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La MMU incluye una caché especial, el 
+\series bold
+buffer de traducción adelantada de direcciones
+\series default
+ o 
+\series bold
+TLB
+\series default
+ (
+\emph on
+Translation Lookaside Buffer
+\emph default
+) que guarda traducciones de número de página virtual a número de página
+ física.
+ Suele emplear postescritura (principalmente para actualizar el bit de uso),
+ pues se espera una tasa de fallos pequeña.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tratamiento de los fallos de página
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Al producirse un fallo de página se produce una 
+\series bold
+excepción por fallo de página
+\series default
+, transfiriendo el control de la CPU al sistema operativo que, una vez guardado
+ el estado del programa en ejecución, debe encontrar la página solicitada
+ en memoria secundaria y colocarla en la principal, o notificar de un 
+\series bold
+fallo de segmentación
+\series default
+ (
+\emph on
+segmentation fault
+\emph default
+) si la página solicitada no se corresponde con ningún dato del proceso.
+ El sistema operativo mantiene información de la posición en memoria secundaria
+ donde se guarda cada página virtual, bien en la propia tabla de páginas
+ o en una estructura aparte.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Normalmente se usa una política de reemplazo similar a LRU (pseudo-LRU),
+ pues se quieren minimizar los fallos de página pero un LRU puro es demasiado
+ caro por requerir actualizar la estructura en cada acceso a memoria.
+ Por ello algunas MMU proporcionan un 
+\series bold
+bit de uso
+\series default
+ o 
+\series bold
+de referencia
+\series default
+ que se activa por hardware cuando se accede a la página, y periódicamente
+ el sistema operativo desactiva todos los bits de uso, de forma similar
+ a como se hacía en las cachés.
+ Este esquema se puede perfeccionar más si en vez de tener en cuenta el
+ bit de uso en el último periodo se tiene en cuenta el bit de uso en un
+ número fijo de periodos anteriores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Protección
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El sistema operativo mantiene separadas las páginas virtuales de programas
+ distintos para que uno no pueda acceder a los datos de otro, y cuando cambia
+ de proceso (
+\series bold
+cambio de contexto
+\series default
+ o
+\series bold
+ de proceso
+\series default
+), cambia el valor del registro de tabla de páginas y, si hay TLB, lo vacía.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para que esta protección sea efectiva, la CPU tiene (al menos) dos modos
+ de funcionamiento: 
+\series bold
+modo usuario
+\series default
+, para programas de usuario, y 
+\series bold
+modo supervisor
+\series default
+ o 
+\series bold
+núcleo
+\series default
+, para el sistema operativo.
+ Desde el modo usuario, la lectura y escritura queda limitada a su espacio
+ de direcciones virtuales, puede que con ciertas restricciones adicionales,
+ impidiendo además que escriba en la tabla de páginas, la TLB o el registro
+ que apunta a la tabla de páginas, o cambie el modo de la CPU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La CPU cambia de modo usuario a supervisor si se produce una interrupción,
+ una excepción producida por el programa o una llamada al sistema, basada
+ en una instrucción especial (
+\emph on
+syscall
+\emph default
+) que transfiere el control al sistema operativo.
+ El retorno a modo usuario se realiza mediante una 
+\series bold
+instrucción de retorno de excepción
+\series default
+ (RFE).
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/etc/n6.lyx b/etc/n6.lyx
new file mode 100644
index 0000000..37bb144
--- /dev/null
+++ b/etc/n6.lyx
@@ -0,0 +1,717 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
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+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
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+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
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+\paragraph_indentation default
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+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Según el 
+\series bold
+modelo von Neumann
+\series default
+, un computador está formado por: procesador, memoria y entrada/salida (E/S).
+ Podemos clasificar los dispositivos de E/S en dispositivos de 
+\series bold
+almacenamiento
+\series default
+, 
+\series bold
+interfaz con el usuario
+\series default
+, 
+\series bold
+visualización y multimedia
+\series default
+, 
+\series bold
+comunicaciones
+\series default
+ y 
+\series bold
+adquisición de datos
+\series default
+.
+ También podemos clasificarlos según su ancho de banda.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Puertos y buses
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los periféricos tienen una serie de 
+\series bold
+puertos
+\series default
+ de E/S, registros externos a la CPU a través de los cuales se comunican
+ la CPU y los dispositivos, integrados en la 
+\series bold
+controladora
+\series default
+ del dispositivo.
+ Tipos de puertos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De datos
+\series default
+: Lectura o escritura del dato a transferir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De control
+\series default
+: Donde la CPU escribe las órdenes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De estado
+\series default
+: Indica el estado en que se encuentra el dispositivo (por ejemplo, 
+\emph on
+ready
+\emph default
+/
+\emph on
+not ready
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La comunicación se realiza por 
+\series bold
+buses
+\series default
+ o 
+\series bold
+canales compartidos
+\series default
+, canales de comunicación en los que existen puntos de acceso en los que
+ un dispositivo puede conectarse para formar parte del bus y comunicarse
+ con el resto de dispositivos conectados.
+ El hecho de ser compartido implica que las señales transmitidas por un
+ dispositivo están disponibles para el resto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si se conectan muchos dispositivos a un bus, sus prestaciones disminuyen,
+ al aumentar la latencia por el tiempo de coordinación, y se forma un 
+\series bold
+cuello de botella
+\series default
+ o 
+\series bold
+congestión
+\series default
+ por estar los dispositivos esperando a su turno para usar el bus.
+ Este problema se soluciona usando varios buses de distintas velocidades
+ organizados de forma jerárquica, con los dispositivos más exigentes conectados
+ a los buses más rápidos y cercanos al procesador.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+control de acceso al bus
+\series default
+ o 
+\series bold
+arbitraje del bus
+\series default
+ es un mecanismo para resolver conflictos en el uso del bus, como que varios
+ dispositivos intentasen realizar una operación a través del bus a la vez.
+ Este mecanismo decide qué dispositivo puede tomar control en cada instante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La forma más simple es establecer un 
+\series bold
+amo
+\series default
+ del bus (
+\emph on
+master
+\emph default
+), normalmente la CPU, que es el único elemento que puede ordenar transferencias
+, y el resto de dispositivos deben enviar una señal al amo para realizarlas;
+ sin embargo esto no suele ser posible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un bus está formado por:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Líneas de control
+\series default
+: para gestionar el acceso y uso de las líneas de información.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Líneas de información
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Líneas de datos
+\series default
+: Para transmitir datos entre dispositivos.
+ El conjunto de estas es el 
+\series bold
+bus de datos
+\series default
+, y su cardinal es la 
+\series bold
+anchura del bus de datos
+\series default
+, factor clave para determinar las prestaciones del sistema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Líneas de dirección
+\series default
+: Para determinar la fuente o destino del dato.
+ El conjunto de estas líneas es el 
+\series bold
+bus de direcciones
+\series default
+, y su cardinal es la 
+\series bold
+anchura del bus de direcciones
+\series default
+, que determina el número de direcciones disponibles y por tanto el máximo
+ de memoria y puertos direccionables.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Las líneas de información pueden ser 
+\series bold
+multiplexadas
+\series default
+, si se usa el mismo conjunto de líneas para direcciones y datos en instantes
+ distintos definidos por un protocolo, o 
+\series bold
+dedicadas
+\series default
+, en las que cada grupo de líneas tiene una función específica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+anchura del bus
+\series default
+ es el total de líneas de información, y distinguimos entre 
+\series bold
+buses en serie
+\series default
+, con una sola línea de información, y 
+\series bold
+buses en paralelo
+\series default
+, con varias líneas transmitiendo bits simultáneamente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+longitud del bus
+\series default
+ es su longitud física, desde menos de un metro hasta cientos de metros.
+ Los eventos en el bus se coordinan con una 
+\series bold
+temporización
+\series default
+, que puede ser:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Síncrona
+\series default
+: Una de las líneas de control es de reloj, y en esta se transmite una secuencia
+ alterna de unos y ceros a intervalos iguales que marcan cuándo suceden
+ los eventos.
+ El tiempo entre dos flancos del mismo tipo es el 
+\series bold
+tiempo de ciclo de reloj
+\series default
+ o 
+\series bold
+ciclo de bus
+\series default
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Estos protocolos permiten un elevado ancho de banda, pero a cambio todos
+ los dispositivos deben funcionar a la misma frecuencia y puede aparecer
+ un problema por 
+\series bold
+sesgo de reloj
+\series default
+, la diferencia de tiempo entre que dos elementos ven un flanco de reloj,
+ por lo que la señal de reloj debe ser encauzada cuidadosamente para minimizar
+ el sesgo.
+ Por ello el bus tiene un tamaño limitado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Asíncrona
+\series default
+: No hay señal de reloj, por lo que el bus puede ser todo lo largo que que
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ra
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+mos, y podemos conectar dispositivos con distintas frecuencias de funcionameinto
+s.
+ Sin embargo, son más lentos que los síncronos, necesitan más líneas de
+ control y puede haber fallos de sincronización.
+ Se usa un 
+\series bold
+protocolo de presentación
+\series default
+ (
+\emph on
+handshaking
+\emph default
+) con una serie de pasos de modo que emisor y receptor solo proceden al
+ siguiente paso si están de acuerdo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+frecuencia de funcionamiento
+\series default
+ de un bus síncrono es la de la señal de reloj que rige las transferencias.
+ El 
+\series bold
+ancho de banda
+\series default
+ (
+\emph on
+bandwidth
+\emph default
+) 
+\series bold
+teórico
+\series default
+ es la cantidad de información que puede ser transmitida por un bus, en
+ cantidad de información por unidad de tiempo.
+ Su valor en bytes por segundo es 
+\begin_inset Formula $\frac{fn}{8}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es la anchura del bus de datos y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es la frecuencia de funcionamiento en hercios.
+ Por su parte, el 
+\series bold
+ancho de banda efectivo
+\series default
+ se refiere a la cantidad de información por unidad de tiempo que realmente
+ se transmite, pues puede ser necesario dedicar varios ciclos para el protocolo
+ de acceso y el arbitraje del bus.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Direccionamiento
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El acceso a los dispositivos se puede hacer de dos formas, que afectan al
+ bus de direcciones y a la forma de programarlos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+E/S mapeada en memoria
+\series default
+: Parte del espacio de direcciones de memoria se asocia a los dispositivos
+ de E/S.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+E/S aislada
+\series default
+: Cada puerto de un dispositivo tiene un 
+\series bold
+número de puerto
+\series default
+, al que se accede con instrucciones de la ISA específicas, y estos números
+ forman un espacio de direcciones de E/S dedicado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La E/S aislada no consume parte del espacio de direcciones de memoria, lo
+ que era útil en los procesadores de 8 y 16 bits como Intel 8086 que tenían
+ un espacio de direcciones limitado.
+ Sin embargo, supone mayor complejidad de la CPU por tener que implementar
+ instrucciones de E/S adicionales, y resulta en un menor repertorio de instrucci
+ones para realizar estas operaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Manejo de la E/S
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La técnica más simple es el 
+\series bold
+sondeo
+\series default
+ (
+\emph on
+polling
+\emph default
+), 
+\series bold
+encuesta
+\series default
+ o 
+\series bold
+escrutinio
+\series default
+, en la el procesador 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+sondea
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ los puertos para, una vez detectado un cambio de estado, actuar en consecuencia.
+ La encuesta puede ser:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Continua
+\series default
+ (
+\series bold
+espera activa
+\series default
+): El procesador se dedica exclusivamente a esto para detectar un cambio
+ de estado.
+ Sólo es permisible en dispositivos dedicados (sistemas empotrados).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Periódica
+\series default
+: Se sondea cada cierta cantidad de tiempo.
+ Lo habitual es usarla sólo para algunos dispositivos como el ratón.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El sondeo es la técnica con menor latencia, pero también supone una gran
+ pérdida de tiempo de CPU, por lo que en la práctica los dispositivos se
+ manejan por 
+\series bold
+interrupciones
+\series default
+: La CPU encarga al dispositivo una transferencia y continúa haciendo otras
+ cosas, y cuando la tarea termina, el dispositivo avisa a la CPU mediante
+ una interrupción externa.
+ Entonces la CPU:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Deja automáticamente lo que esté haciendo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Identifica qué dispositivo ha enviado la interrupción.
+ Para ello, bien existe una línea de interrupción dedicada para cada dispositivo
+, como ocurre en MIPS, o se activa una línea de interrupción única y el
+ dispositivo se identifica insertando un 
+\series bold
+número de interrupción
+\series default
+ en el bus de datos de la CPU, como ocurre en IA32.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Salta a la 
+\series bold
+rutina de servicio de la interrupción
+\series default
+ (
+\series bold
+RSI
+\series default
+) o 
+\series bold
+manejador
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ Este puede estar en una dirección de memoria fija, como ocurre en MIPS,
+ y contener código para comprobar qué interrupción concreta se ha producido,
+ o puede saltar a una dirección variable indicada en una tabla de direcciones
+ indexada por el número de interrupción, como ocurre en IA32, lo que se
+ conoce como 
+\series bold
+interrupciones vectorizadas
+\series default
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Antes de saltar a esta rutina es necesario guardar, como mínimo, el contador
+ de programa y posiblemente el registro de estado para las condiciones (
+\emph on
+flags
+\emph default
+).
+ El resto de registros los puede guardar la propia rutina.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Una vez ejecutada la RSI, recupera el estado y reanuda el proceso interrumpido.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Este método, si bien puede mejorar el rendimiento respecto al sondeo, también
+ puede incluso empeorarlo, por lo que normalmente se usa junto con DMA.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+acceso directo a memoria
+\series default
+ o 
+\series bold
+DMA
+\series default
+ (
+\emph on
+Direct Memory Access
+\emph default
+) es un mecanismo que permite la transferencia de datos desde un dispositivo
+ a memoria, o viceversa, sin intervención del procesador.
+ Para ello se una una 
+\series bold
+controladora de DMA
+\series default
+ (normalmente varias), circuito especializado en transferir datos entre
+ dispositivos y memoria.
+ Esto conlleva que el bus tenga varios amos (CPU y DMA), por lo que es necesario
+ un sistema de arbitraje.
+ Para realizar una transferencia DMA:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La CPU inicializa la controladora de DMA con datos como origen y destino
+ de datos, número de bytes a transferir y sentido del desplazamiento (direccione
+s crecientes, decrecientes o fijas para origen y destino).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La controladora de DMA pide el bus, y cuando lo consigue va realizando las
+ operaciones solicitadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Finalmente, la controladora de DMA genera una interrupción indicando fin
+ de trans
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+fe
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ren
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+cia o error.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+El sistema operativo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cuando arranca el ordenador, se realizan algunas comprobaciones y operaciones
+ iniciales y a continuación se carga el sistema operativo, que a su vez
+ carga los 
+\emph on
+drivers
+\emph default
+ de los dispositivos, es decir, las rutinas de petición de E/S y las posibles
+ RSI asociadas.
+ Sólo el sistema operativo tiene conocimiento de los puertos, órdenes, etc.,
+ y por seguridad es el único que puede acceder a E/S, mientras que el resto
+ de programas deben solicitar sus servicios mediante 
+\series bold
+llamadas al sistema
+\series default
+ (
+\emph on
+syscalls
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/etc/na.lyx b/etc/na.lyx
new file mode 100644
index 0000000..44a9476
--- /dev/null
+++ b/etc/na.lyx
@@ -0,0 +1,2030 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
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+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
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+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
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+\output_sync 0
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+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
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+\justification true
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+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Número
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+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
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+
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+Nombre ABI
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Uso
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
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+
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+
+\family typewriter
+$0
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+
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+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
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+
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+
+\family typewriter
+$zero
+\end_layout
+
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+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Conectado al valor 0.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
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+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
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+
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+
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+
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+$at
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+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Para uso temporal por el ensamblador.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$2
+\family default
+, 
+\family typewriter
+$3
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$v0
+\family default
+, 
+\family typewriter
+$v1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Resultados de llamadas a procedimiento.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$4
+\family default
+–
+\family typewriter
+$7
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$a0
+\family default
+–
+\family typewriter
+$a3
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Parámetros de las llamadas a procedimiento.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$8
+\family default
+–
+\family typewriter
+$15
+\family default
+, 
+\family typewriter
+$24
+\family default
+, 
+\family typewriter
+$25
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$t0
+\family default
+–
+\family typewriter
+$t9
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Valores temporales.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$16
+\family default
+–
+\family typewriter
+$23
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$s0
+\family default
+–
+\family typewriter
+$s7
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Variables locales, preservadas entre llamadas.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$26
+\family default
+, 
+\family typewriter
+$27
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$k0
+\family default
+, 
+\family typewriter
+$k1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Reservados para su uso por el sistema operativo.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$28
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$gp
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Puntero al segmento de datos (no us.
+ en práct.).
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$29
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$sp
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Puntero de pila.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$30
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$fp
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Puntero de marco (no usado en prácticas).
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$31
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+$ra
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Dirección de retorno, preservada entre llamadas.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Además:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El coprocesador 0, de manejo de excepciones, posee los registros 
+\family typewriter
+$8
+\family default
+ (
+\family typewriter
+vaddr
+\family default
+), 
+\family typewriter
+$12
+\family default
+ (
+\family typewriter
+status
+\family default
+), 
+\family typewriter
+$13
+\family default
+ (
+\family typewriter
+cause
+\family default
+) y 
+\family typewriter
+$14
+\family default
+ (
+\family typewriter
+epc
+\family default
+), de 32 bits cada uno.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El coprocesador 1, de punto flotante, posee los registros 
+\family typewriter
+$f0
+\family default
+–
+\family typewriter
+$f31
+\family default
+, de 32 bits cada uno, que representan un entero de simple precisión o se
+ combinan en parejas (nombradas como el registro de menor número, que será
+ par) para representar enteros de doble precisión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El registro 
+\family typewriter
+pc
+\family default
+ contiene la 
+\emph on
+siguiente
+\emph default
+ instrucción a ejecutar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Los registros 
+\family typewriter
+hi
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+lo
+\family default
+ se combinan para representar un entero de 64 bits, usado en multiplicaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Al inicio de un procedimiento, se disminuye 
+\family typewriter
+$sp
+\family default
+ tanto como sea necesario y se guardan, en las direcciones 
+\family typewriter
+0($sp)
+\family default
+, 
+\family typewriter
+4($sp)
+\family default
+, etc., si es necesario, el valor del registro 
+\family typewriter
+$ra
+\family default
+ y el de los re
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+gis
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+tros 
+\family typewriter
+$s
+\emph on
+x
+\family default
+\emph default
+ que vayamos a utilizar.
+ Al final, se vuelven a cargar estos valores en los registros correspondientes,
+ se aumenta 
+\family typewriter
+$sp
+\family default
+ y se salta a la dirección apuntada por 
+\family typewriter
+$ra
+\family default
+\SpecialChar endofsentence
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Instrucciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Aritmético-lógicas:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+add[i][u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}+Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+and[i]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}\land Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+div[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $LO\leftarrow\left\lfloor \frac{R_{s}}{R_{t}}\right\rfloor $
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $HI\leftarrow R_{s}-R_{t}LO$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+madd[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $HI:LO\leftarrow HI:LO+R_{s}\cdot R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+msub[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $HI:LO\leftarrow HI:LO-R_{s}\cdot R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mul
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $HI:LO\leftarrow R_{s}\cdot R_{t}$
+\end_inset
+
+, seguido de 
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow LO$
+\end_inset
+
+, sin desbordamiento), 
+\family typewriter
+mult[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $HI:LO\leftarrow R_{s}\cdot R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+nor
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow\neg(R_{s}\lor R_{t})$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+or[i]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}+R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+slt[i][u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow\begin{cases}
+1 & \text{si }R_{s}<Op2\\
+0 & \text{si }R_{s}\geq Op2
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+sub[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}-R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+xor[i]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}\text{ XOR }R_{t}$
+\end_inset
+
+).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Parámetros: 
+\begin_inset Formula $R_{d}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $R_{s}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Op2$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $Op2$
+\end_inset
+
+ es un inmediato si se añade 
+\family typewriter
+i
+\family default
+ o un registro si no.
+ La 
+\family typewriter
+u
+\family default
+ indica que se ignora el posible desbordamiento, salvo en instrucciones
+ de multiplicación, en cuyo caso indica que la multiplicación es sin signo.
+ Las operaciones lógicas son bit a bit.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De desplazamiento de bits:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+sll[v]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}<<Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+sra[v]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}>>Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+srl[v]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow(unsigned)R_{s}>>Op2$
+\end_inset
+
+).
+ Parámetros: 
+\begin_inset Formula $R_{d}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $R_{s}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Op2$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $Op2$
+\end_inset
+
+ es un registro si se añade 
+\family typewriter
+v
+\family default
+ o un inmediato si no.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De punto flotante:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+abs.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow|R_{s}|$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+add.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}+R_{t}$
+\end_inset
+
+),
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+c.[eq|le|lt].[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $coproc1.cond[l]\leftarrow R_{s}[=|\leq|<]R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+ceil.w.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $((int)R_{d})\leftarrow\lceil R_{s}\rceil$
+\end_inset
+
+),
+\family typewriter
+ cvt.[d.[s|w]|s.[d|w]|w.[d.s]]
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family default
+(
+\begin_inset Formula $((double|float|int)R_{d})\leftarrow((double|float|int)R_{s})$
+\end_inset
+
+,
+\family typewriter
+ div.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow\frac{R_{s}}{R_{t}}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+floor.w.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $((int)R_{d})=\lfloor R_{s}\rfloor$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mul.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}\cdot R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+round.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $((int)R_{d})\leftarrow round(R_{s})$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+sqrt.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow\sqrt{R_{s}}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+sub.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}-R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+trunc.w.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $((int)R_{d})\leftarrow\lfloor R_{s}\rfloor$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Parámetros: 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ opcional para 
+\family typewriter
+c.[eq|le|lt].[d|s]
+\family default
+ (por defecto 0), seguido de 
+\begin_inset Formula $R_{d}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $R_{s}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+ (sólo los que se indican en la descripción de instrucción).
+ Estos corresponden a los registros del coprocesador 1, tratados como de
+ simple precisión, si la instrucción termina en 
+\family typewriter
+.s
+\family default
+, o parejas de estos, tratados como de doble precisión, si termina en 
+\family typewriter
+.d
+\family default
+; sin embargo, el indicar 
+\begin_inset Formula $float$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $double$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $int$
+\end_inset
+
+ junto a estos indica que se trata de números en punto flotante de simple
+ precisión, de doble precisión (mediante parejas de registros) o enteros
+ de 32 bits (en los tres casos registros del coprocesador 1).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De salto:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+bc1f
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $coproc1.cond[l]=0$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+bc1t
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $coproc1.cond[l]=1$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+beq
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}=R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+bgez[al]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}\geq0$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+bgtz
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}>0$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+blez
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}\leq0$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+bltz[al]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}<0$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+bne
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}\neq R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+j[al]
+\family default
+ (siempre).
+ Entre paréntesis se indica la condición necesaria para 
+\begin_inset Formula $PC\leftarrow label$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\family typewriter
+al
+\family default
+ además hace antes 
+\begin_inset Formula $\mathtt{\$ra}\leftarrow PC$
+\end_inset
+
+.
+ Parámetros: 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ opcional para 
+\family typewriter
+bc1f
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+bc1t
+\family default
+ (por defecto 0) o uno o dos registros (
+\family typewriter
+\emph on
+Rs
+\emph default
+[, 
+\emph on
+Rt
+\emph default
+]
+\family default
+) según requiera la condición, seguidos de 
+\begin_inset Formula $label$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+También, 
+\family typewriter
+jr Rs
+\family default
+ para 
+\begin_inset Formula $PC\leftarrow R_{s}$
+\end_inset
+
+, o 
+\family typewriter
+jalr [Rd, ]Rs
+\family default
+ (por defecto 
+\begin_inset Formula $R_{d}=\mathtt{\$ra}$
+\end_inset
+
+) para antes hacer 
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow PC$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De excepción:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+teq[i]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}=Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+tge[i][u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}\geq Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+tlt[i][u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}<Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+tne[i]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}\neq Op2$
+\end_inset
+
+).
+ Entre paréntesis se indica la condición para provocar una excepción de
+ software.
+ Parámetros: 
+\begin_inset Formula $R_{s}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Op2$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $Op2$
+\end_inset
+
+ es un inmediato si se añade 
+\family typewriter
+i
+\family default
+ o un registro si no.
+ La comparación es con signo salvo si se especifica 
+\family typewriter
+u
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De acceso a memoria:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+l[b][u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow(s16|u16)Mem)$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+l[d|w]c1
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\family default
+(
+\begin_inset Formula $((double|float)R_{d})\leftarrow Mem$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+lh[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow(s16|u16)Mem$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+lw
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow(int)Mem$
+\end_inset
+
+),
+\family typewriter
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+sb
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $(s8|u8)Mem\leftarrow R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+s[d|w]c1
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $(double|float)Mem\leftarrow((double|float)R_{t})$
+\end_inset
+
+),
+\family typewriter
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+sh
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $(s16|u16)Mem\leftarrow R_{t}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+sw
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $(int)Mem\leftarrow R_{t}$
+\end_inset
+
+).
+ Parámetros: 
+\family typewriter
+
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+, [
+\begin_inset Formula $despl.$
+\end_inset
+
+][(
+\begin_inset Formula $R_{s}$
+\end_inset
+
+)]
+\family default
+ (por defecto, 
+\begin_inset Formula $despl.=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $R_{s}=\mathtt{\$0}$
+\end_inset
+
+), con 
+\begin_inset Formula $Mem=*(despl.+R_{s})$
+\end_inset
+
+.
+\family typewriter
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+ll
+\family default
+ es como 
+\family typewriter
+lw
+\family default
+ pero, en sistemas multinúcleo funciona con 
+\family typewriter
+sc
+\family default
+, similar a 
+\family typewriter
+sw
+\family default
+, para lectura-modificación-escritura atómica.
+ 
+\family typewriter
+lwl
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+lwr
+\family default
+ cargan de 1 a 4 bytes, justificados respectivamente a izquierda o derecha,
+ desde la dirección dada hasta el byte, respectivamente, menos o más significati
+vo de la palabra.
+ 
+\family typewriter
+swl
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+swr
+\family default
+ hacen lo mismo pero al revés (almacenan).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De transferencia:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+lui
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow2^{16}\cdot imm$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mfc0
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow E_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mfc1
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow F_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mfhi
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow HI$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mflo
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow LO$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mov.d
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $D_{d}\leftarrow D_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mov.s
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $F_{d}\leftarrow F_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+movf[|.d|.s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $coproc1.cond[l]=0:G_{d}\leftarrow G_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+movt[|.d|.s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $coproc1.cond[l]=1:G_{d}\leftarrow G_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+movn[|.d|.s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{t}\neq0:G_{d}\leftarrow G_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+movz[|.d|.s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{t}=0:G_{d}\leftarrow G_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mtc0
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $E_{t}\leftarrow R_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mtc1
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $F_{t}\leftarrow R_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mthi
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $HI\leftarrow R_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+mtlo
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $LO\leftarrow R_{s}$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Parámetros: En orden, 
+\begin_inset Formula $X_{d}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X_{s}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X_{t}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $imm$
+\end_inset
+
+ (de estos sólo los que aparezcan en la des
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+crip
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ción), más 
+\family typewriter
+l
+\family default
+ opcional (por defecto 0) para 
+\family typewriter
+movf[|.d|.s]
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+movt[|.d|.s]
+\family default
+.
+ En la descripción, la 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ aparece como una 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ para registros del procesador, 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ si son del coprocesador 0, 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ si son del 1 y 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ si son parejas de registros del 1 para doble precisión, y 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ indica 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ cuando la instrucción acaba en 
+\family typewriter
+.s
+\family default
+, 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ cuando acaba en 
+\family typewriter
+.d
+\family default
+ o 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ en caso contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Miscelánea:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+break [imm]
+\family default
+ (termina la ejecución con una excepción, con código especificado opcionalmente
+ por 
+\family typewriter
+imm
+\family default
+), 
+\family typewriter
+clo Rd, Rs
+\family default
+ (establece 
+\begin_inset Formula $R_{d}$
+\end_inset
+
+ como el número de 1s desde el bit más significativo de 
+\begin_inset Formula $R_{s}$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+clz Rd, Rs
+\family default
+ (igual pero con 0s), 
+\family typewriter
+eret
+\family default
+ (vuelve de una excepción, 
+\begin_inset Formula $PC\leftarrow\mathtt{epc}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\mathtt{status}[1]\leftarrow0$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+nop
+\family default
+ (no hace nada), 
+\family typewriter
+syscall
+\family default
+ (realiza una llamada al sistema).
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Pseudoinstrucciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Aritmético-lógicas
+\series default
+: Poder omitir 
+\begin_inset Formula $R_{d}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $R_{d}=R_{s}$
+\end_inset
+
+.
+ Poder especificar un inmediato mayor que 
+\begin_inset Formula $2^{16}-1$
+\end_inset
+
+ (o fuera del rango 
+\begin_inset Formula $[-2^{15},2^{15}-1]$
+\end_inset
+
+ si es con signo).
+ 
+\family typewriter
+abs Rd, Rs
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow|R_{s}|$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\family typewriter
+div[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow\left\lfloor \frac{R_{s}}{R_{t}}\right\rfloor $
+\end_inset
+
+).
+ 
+\family typewriter
+mulo[u]
+\family default
+ (como 
+\family typewriter
+mul[u]
+\family default
+ pero con detección de desbordamiento).
+ 
+\family typewriter
+neg[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow-R_{s}$
+\end_inset
+
+, la 
+\family typewriter
+u
+\family default
+ indica que no se detectan desbordamientos).
+ 
+\family typewriter
+not
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow\neg R_{s}$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\family typewriter
+rem[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow R_{s}-R_{t}\left\lfloor \frac{R_{s}}{R_{t}}\right\rfloor $
+\end_inset
+
+).
+ 
+\family typewriter
+seq
+\family default
+, 
+\family typewriter
+sge[u]
+\family default
+, 
+\family typewriter
+sgt[u]
+\family default
+, 
+\family typewriter
+sle[u]
+\family default
+, 
+\family typewriter
+sne
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}=\begin{cases}
+1 & \text{si }R_{s}[=|\geq|>|\leq|\neq]Op2\\
+0 & \text{si }R_{s}[\neq|<|\leq|>|=]Op2
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De desplazamiento de bits
+\series default
+: 
+\family typewriter
+ro[l|r] Rd, Rs, Op2
+\family default
+ (rota los bits de 
+\begin_inset Formula $R_{s}$
+\end_inset
+
+, respectivamente a izquierda o derecha, en un número de bits indicado por
+ 
+\begin_inset Formula $Op2$
+\end_inset
+
+, que puede ser registro o inmediato).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De salto
+\series default
+: Poder comparar con inmediatos y de tamaño arbitrario.
+ 
+\family typewriter
+b label
+\family default
+ (incondicional).
+ 
+\family typewriter
+bge[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}\geq Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+bgt[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}>Op2$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+ble[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}\leq Op2$
+\end_inset
+
+) y 
+\family typewriter
+blt[u]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}<Op2$
+\end_inset
+
+), donde la 
+\family typewriter
+u
+\family default
+ indica que la comparación es sin signo.
+ 
+\family typewriter
+beqz
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}=0$
+\end_inset
+
+) y 
+\family typewriter
+bnez
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{s}\neq0$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De acceso a memoria
+\series default
+: Poder especificar un desplazamiento fuera del rango 
+\begin_inset Formula $[-2^{15},2^{15}-1]$
+\end_inset
+
+, o una etiqueta, o la suma de 
+\begin_inset Formula $etiqueta\mathtt{+}despl.$
+\end_inset
+
+.
+\family typewriter
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+l.[d|s]
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $((double|float)R_{d})\leftarrow(double|float)Mem$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\family typewriter
+ld
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d+1}:R_{d}\leftarrow(long)Mem$
+\end_inset
+
+).
+ Análogamente se definen 
+\family typewriter
+s.[d|s]
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+sd
+\family default
+.
+ También 
+\family typewriter
+ulh[u]
+\family default
+, 
+\family typewriter
+ulw
+\family default
+, 
+\family typewriter
+ush
+\family default
+, 
+\family typewriter
+usw
+\family default
+ (similares, respectivamente, a 
+\family typewriter
+lh[u]
+\family default
+, 
+\family typewriter
+lw
+\family default
+, 
+\family typewriter
+sh
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+sw
+\family default
+ pero no requieren que la dirección dada sea múltiplo del tamaño del dato
+ a mover).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De transferencia
+\series default
+: 
+\family typewriter
+la
+\family default
+ (similar a 
+\family typewriter
+lb
+\family default
+ pero carga la 
+\emph on
+dirección
+\emph default
+ dada en vez de su contenido).
+ 
+\family typewriter
+li
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d}\leftarrow imm$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $imm$
+\end_inset
+
+ de tamaño arbitrario).
+ 
+\family typewriter
+mfc1.d
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $R_{d+1}:R_{d}\leftarrow D_{s}$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\family typewriter
+mtc1.d
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $D_{s}\leftarrow R_{t+1}:R_{t}$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/etc/pegado1.png b/etc/pegado1.png
new file mode 100644
index 0000000..e082650
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado1.png
diff --git a/etc/pegado10.png b/etc/pegado10.png
new file mode 100644
index 0000000..e7fe543
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado10.png
diff --git a/etc/pegado11.png b/etc/pegado11.png
new file mode 100644
index 0000000..deb255a
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado11.png
diff --git a/etc/pegado12.png b/etc/pegado12.png
new file mode 100644
index 0000000..4aba998
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado12.png
diff --git a/etc/pegado13.png b/etc/pegado13.png
new file mode 100644
index 0000000..6984489
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado13.png
diff --git a/etc/pegado14.png b/etc/pegado14.png
new file mode 100644
index 0000000..66e370f
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado14.png
diff --git a/etc/pegado15.png b/etc/pegado15.png
new file mode 100644
index 0000000..0df67e6
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado15.png
diff --git a/etc/pegado16.png b/etc/pegado16.png
new file mode 100644
index 0000000..06d3243
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado16.png
diff --git a/etc/pegado17.png b/etc/pegado17.png
new file mode 100644
index 0000000..524e2f8
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado17.png
diff --git a/etc/pegado18.png b/etc/pegado18.png
new file mode 100644
index 0000000..b550627
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado18.png
diff --git a/etc/pegado19.png b/etc/pegado19.png
new file mode 100644
index 0000000..14bd712
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado19.png
diff --git a/etc/pegado2.png b/etc/pegado2.png
new file mode 100644
index 0000000..16b592a
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado2.png
diff --git a/etc/pegado20.png b/etc/pegado20.png
new file mode 100644
index 0000000..1a0576c
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado20.png
diff --git a/etc/pegado21.png b/etc/pegado21.png
new file mode 100644
index 0000000..fae9c4c
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado21.png
diff --git a/etc/pegado22.png b/etc/pegado22.png
new file mode 100644
index 0000000..b83750d
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado22.png
diff --git a/etc/pegado23.png b/etc/pegado23.png
new file mode 100644
index 0000000..c8ee106
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado23.png
diff --git a/etc/pegado24.png b/etc/pegado24.png
new file mode 100644
index 0000000..8322367
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado24.png
diff --git a/etc/pegado25.png b/etc/pegado25.png
new file mode 100644
index 0000000..be728d1
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado25.png
diff --git a/etc/pegado26.png b/etc/pegado26.png
new file mode 100644
index 0000000..f2c318f
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado26.png
diff --git a/etc/pegado27.png b/etc/pegado27.png
new file mode 100644
index 0000000..5919338
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado27.png
diff --git a/etc/pegado28.png b/etc/pegado28.png
new file mode 100644
index 0000000..8265520
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado28.png
diff --git a/etc/pegado29.png b/etc/pegado29.png
new file mode 100644
index 0000000..8e38d87
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado29.png
diff --git a/etc/pegado3.png b/etc/pegado3.png
new file mode 100644
index 0000000..1f1a8e5
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado3.png
diff --git a/etc/pegado30.png b/etc/pegado30.png
new file mode 100644
index 0000000..c0d7714
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado30.png
diff --git a/etc/pegado31.png b/etc/pegado31.png
new file mode 100644
index 0000000..4b68285
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado31.png
diff --git a/etc/pegado32.png b/etc/pegado32.png
new file mode 100644
index 0000000..2b6aa45
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado32.png
diff --git a/etc/pegado33.png b/etc/pegado33.png
new file mode 100644
index 0000000..4fb20f2
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado33.png
diff --git a/etc/pegado34.png b/etc/pegado34.png
new file mode 100644
index 0000000..173d636
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado34.png
diff --git a/etc/pegado35.png b/etc/pegado35.png
new file mode 100644
index 0000000..b1170e8
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado35.png
diff --git a/etc/pegado36.png b/etc/pegado36.png
new file mode 100644
index 0000000..ae92763
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado36.png
diff --git a/etc/pegado37.png b/etc/pegado37.png
new file mode 100644
index 0000000..c5c5950
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado37.png
diff --git a/etc/pegado38.png b/etc/pegado38.png
new file mode 100644
index 0000000..cdd0e06
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado38.png
diff --git a/etc/pegado39.png b/etc/pegado39.png
new file mode 100644
index 0000000..ba8d4dd
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado39.png
diff --git a/etc/pegado4.png b/etc/pegado4.png
new file mode 100644
index 0000000..6ec2ae1
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado4.png
diff --git a/etc/pegado40.png b/etc/pegado40.png
new file mode 100644
index 0000000..4ed2b75
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado40.png
diff --git a/etc/pegado41.png b/etc/pegado41.png
new file mode 100644
index 0000000..5ae2c6d
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado41.png
diff --git a/etc/pegado42.png b/etc/pegado42.png
new file mode 100644
index 0000000..14ec3a0
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado42.png
diff --git a/etc/pegado43.png b/etc/pegado43.png
new file mode 100644
index 0000000..dc9a751
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado43.png
diff --git a/etc/pegado44.png b/etc/pegado44.png
new file mode 100644
index 0000000..3861a71
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado44.png
diff --git a/etc/pegado5.png b/etc/pegado5.png
new file mode 100644
index 0000000..9687f75
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado5.png
diff --git a/etc/pegado6.png b/etc/pegado6.png
new file mode 100644
index 0000000..37cee54
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado6.png
diff --git a/etc/pegado7.png b/etc/pegado7.png
new file mode 100644
index 0000000..69b5307
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado7.png
diff --git a/etc/pegado8.png b/etc/pegado8.png
new file mode 100644
index 0000000..2a17519
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado8.png
diff --git a/etc/pegado9.png b/etc/pegado9.png
new file mode 100644
index 0000000..3aa281d
--- /dev/null
+++ b/etc/pegado9.png
diff --git a/ffi/n.lyx b/ffi/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..6f9f53b
--- /dev/null
+++ b/ffi/n.lyx
@@ -0,0 +1,217 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
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+\usepackage{tikz}
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+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Fundamentos físicos de la informática
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2018}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Electronics and Communication for Scientists and Engineers, Martin Plonus.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Diapositivas de D.
+ Miguel Ángel Zamora Izquierdo, Universidad de Murcia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Circuitos de corriente continua
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Circuitos de corriente alterna
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
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+
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+
+
+\end_layout
+
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+Diodos
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+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
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+
+
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+
+\begin_layout Chapter
+Transistores
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+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
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+
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+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Amplificadores operacionales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ffi/n1.lyx b/ffi/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..2f65529
--- /dev/null
+++ b/ffi/n1.lyx
@@ -0,0 +1,1474 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+represent#1{
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\backslash
+draw (0,0) to[#1] (2,0);
+\backslash
+end{circuitikz}}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+show#1{
+\backslash
+begin{center}
+\backslash
+represent{#1}
+\backslash
+end{center}}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Magnitudes y conceptos básicos
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+carga eléctrica
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+) se mide en 
+\series bold
+culombios
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+) y será siempre múltiplo de 
+\begin_inset Formula $|e|=\unit[1.602\cdot10^{-19}]{C}$
+\end_inset
+
+, pues los electrones, protones y neutrones tienen una carga respectiva
+ de 
+\begin_inset Formula $-|e|$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|e|$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+fuerza
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $F=ma$
+\end_inset
+
+, y se mide en 
+\series bold
+newtons
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+).
+ La 
+\series bold
+ley de Coulomb
+\series default
+ afirma que entre dos cargas eléctricas 
+\begin_inset Formula $Q_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q_{2}$
+\end_inset
+
+, que medimos en culombios (
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+), existe una fuerza
+\begin_inset Formula 
+\[
+F=k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es la distancia entre ambas y 
+\begin_inset Formula $k=\unit[8.9875\cdot10^{9}]{N\cdot m^{2}/C^{2}}$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+constante de Coulomb
+\series default
+, que también podemos expresar en función de la 
+\series bold
+permitividad en el vacío
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\varepsilon_{0}$
+\end_inset
+
+) como 
+\begin_inset Formula $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva
+ en otro caso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La intensidad del 
+\series bold
+campo eléctrico
+\series default
+ en un punto es 
+\begin_inset Formula $E=\frac{F}{Q}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ la fuerza a la que estaría sometida la carga 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ en dicho punto.
+ El campo eléctrico puede representarse mediante 
+\series bold
+líneas de campo
+\series default
+, que parten de las cargas positivas (o del infinito) y van a las cargas
+ negativas (o al infinito).
+ La dirección y el sentido son en cada punto los de 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, y la densidad de líneas es proporcional al módulo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El 
+\series bold
+trabajo
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $W=\int_{a}^{b}F\,dl$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ es el recorrido y 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ los puntos de partida y de llegada (se tiene 
+\begin_inset Formula $dW=F\cdot dl$
+\end_inset
+
+).
+ Se mide en 
+\series bold
+julios
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El 
+\series bold
+voltaje
+\series default
+ o 
+\series bold
+diferencia de potencial
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $V=\int E\,dl$
+\end_inset
+
+ (se tiene 
+\begin_inset Formula $dV=E\cdot dl=\frac{dW}{Q}$
+\end_inset
+
+), y se mide en 
+\series bold
+voltios
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+).
+ Así, 
+\begin_inset Formula $E=\frac{dV}{dl}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+intensidad de corriente
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $I=\frac{dQ}{dt}$
+\end_inset
+
+, y se mide en amperios (
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+).
+ Benjamin Franklin creía que las cargas que fluían en los circuitos eléctricos
+ eran positivas, por lo que el sentido de la corriente es en el que fluirían
+ las cargas positivas sujetas al campo eléctrico dado.
+ Hoy sabemos que la corriente en un cable conductor se debe al movimiento
+ de electrones, de modo que el sentido de la corriente es opuesto al del
+ movimiento de electrones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+potencia
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $P=\frac{dW}{dt}$
+\end_inset
+
+ y se mide en vatios (
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+).
+ Se tiene que 
+\begin_inset Formula $P=\frac{dW}{dt}=\frac{dW}{dQ}\frac{dQ}{dt}=VI$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Cuando un electrón fluye a través de un material, colisiona con los átomos,
+ decelerando, y debe pues ser acelerado de nuevo por el campo eléctrico.
+ La 
+\series bold
+resistividad
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\rho$
+\end_inset
+
+) es una propiedad de los materiales relacionada con el tiempo medio entre
+ colisiones, y es muy baja en materiales conductores y muy alta en aislantes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+resistencia
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+) es una propiedad de los elementos de un circuito, y viene dada por la
+ 
+\series bold
+ley de Ohm
+\series default
+, que afirma que 
+\begin_inset Formula $V=RI$
+\end_inset
+
+.
+ Se mide en ohmios (
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+), y para un cable de sección 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y longitud 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+, viene dada por 
+\begin_inset Formula $R=\rho\frac{\ell}{A}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $\rho$
+\end_inset
+
+ la 
+\series bold
+resistividad
+\series default
+.
+ Un material conductor tiene muy baja resistividad, mientras que uno aislante
+ tiene resistividad muy alta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+conductancia
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $G=R^{-1}$
+\end_inset
+
+, y se mide en siemens (
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las colisiones de electrones con los átomos del metal transfieren energía
+ a estos haciendo que la temperatura del metal aumente.
+ El ratio de conversión es 
+\begin_inset Formula $P=VI=I^{2}R$
+\end_inset
+
+, lo que se conoce como 
+\series bold
+ley de Joule
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un circuito está formado por una serie de elementos 
+\series bold
+activos
+\series default
+ (fuentes, transistores) y 
+\series bold
+pasivos
+\series default
+ (resistencias, condensadores, inductores), interconectados por cables de
+ resistencia despreciable.
+ En los elementos pasivos, el potencial eléctrico en el terminal por donde
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+sale
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ la corriente es menor que por el que entra (lo llamamos pues terminal negativo,
+ y al otro terminal positivo).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+ley de Kirchhoff para el voltaje
+\series default
+ afirma que la suma de voltajes alrededor de cualquier bucle es cero (
+\begin_inset Formula $\sum V_{n}=0$
+\end_inset
+
+), es decir, las 
+\series bold
+caídas de potencial
+\series default
+ deben sumar lo mismo que las subidas de potencial.
+ La 
+\series bold
+ley de Kirchhoff para la intensidad
+\series default
+ afirma que la suma de las intensidades de corriente entrando a cualquier
+ nodo (punto de conexión entre al menos dos elementos del circuito) es cero
+ (
+\begin_inset Formula $\sum I_{n}=0$
+\end_inset
+
+), es decir, la misma cantidad de cargas que entran debe salir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Elementos del circuito
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Resistencias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se caracterizan por tener una resistencia determinada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show R
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Condensadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Acumulan una carga 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ al aplicárseles un voltaje 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+, y la mantienen si se desconecta de la fuente de voltaje.
+ La carga acumulada viene dada por 
+\begin_inset Formula $q=Cv$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+capacidad
+\series default
+ o 
+\series bold
+capacitancia
+\series default
+ del condensador, que se mide en 
+\series bold
+faradios
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+).
+ En general usamos letras mayúsculas para constantes y las correspondientes
+ minúsculas para valores que pueden variar con el tiempo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show C
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En general están formados por dos placas conductoras paralelas separadas
+ por un pequeño hueco de material aislante en el que existe un campo eléctrico
+ uniforme.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $C=\frac{\varepsilon A}{\ell}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ el área, 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ la separación entre las placas y 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ la 
+\series bold
+permitividad
+\series default
+ del medio entre ambas placas, con 
+\begin_inset Formula $\varepsilon\geq\varepsilon_{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ahora bien, si se reduce demasiado el espacio entre las placas, la fuerza
+ de atracción entre ambas es muy alta y se produce la 
+\series bold
+ruptura del dieléctrico
+\series default
+, convirtiendo el material aislante en conductor y arruinando el condensador.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Derivando a ambos lados de 
+\begin_inset Formula $q=Cv$
+\end_inset
+
+, nos queda
+\begin_inset Formula 
+\[
+i=C\frac{dv}{dt}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La potencia instantánea en el condensador 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es pues 
+\begin_inset Formula $p=vi=Cv\frac{dv}{dt}$
+\end_inset
+
+, de modo que la energía almacenada es
+\begin_inset Formula 
+\[
+w=\int p\,dt=\int Cv\frac{dv}{dt}\,dt=\int Cv\,dv=\frac{1}{2}Cv^{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Inductores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Almacenan energía en su campo magnético.
+ En general un inductor es una bobina, y tiene una cierta 
+\series bold
+inductancia
+\series default
+ o 
+\series bold
+autoinducción
+\series default
+, medida en 
+\series bold
+henrios
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+) y definida como 
+\begin_inset Formula $L=\frac{\Phi}{i}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $\Phi$
+\end_inset
+
+ el flujo magnético.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show L
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+ley de Faraday
+\series default
+ afirma que 
+\begin_inset Formula $v=\frac{d\Phi}{dt}$
+\end_inset
+
+, por lo que
+\begin_inset Formula 
+\[
+v=\frac{d\Phi}{dt}=L\frac{di}{dt}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La potencia instantánea es 
+\begin_inset Formula $p=vi=Li\frac{di}{dt}$
+\end_inset
+
+, de modo que la energía almacenada es
+\begin_inset Formula 
+\[
+w=\int p\,dt=\int Li\frac{di}{dt}\,dt=\int Li\,di=\frac{1}{2}Li^{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Fuentes de voltaje
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Proporcionan un voltaje que puede variar con el tiempo (como ondas sinusoidales
+ o cua
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+dra
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+das) o ser constante.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{american voltage source}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+pila
+\series default
+ o 
+\series bold
+batería
+\series default
+ es una fuente de voltaje basada en reacciones químicas que proporciona
+ un voltaje idealmente constante 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+, al que también llamamos 
+\series bold
+fuerza electromotriz
+\series default
+ (emf).
+ Una pila ideal es una 
+\series bold
+fuente independiente
+\series default
+, es decir, el voltaje suministrado no depende de otros elementos del circuito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{battery1}
+\backslash
+show{battery}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En la práctica, las pilas tienen una cierta 
+\series bold
+resistencia interna
+\series default
+, que aumenta conforme la pila se descarga.
+ Así, si la resistencia interna es 
+\begin_inset Formula $R_{i}$
+\end_inset
+
+ y la pila se conecta a una carga con resistencia 
+\begin_inset Formula $R_{L}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal E}=iR_{i}+iR_{L}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $i=\frac{{\cal E}}{R_{i}+R_{L}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $v_{L}=iR_{L}={\cal E}\frac{R_{L}}{R_{i}+R_{L}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Fuentes de intensidad
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Proporcionan una intensidad de corriente constante, si bien en la práctica
+ tienen cierta resistencia interna, que se representa conectada en paralelo.
+ Una fuente de intensidad ideal tiene resistencia interna infinita.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{american current source}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Circuitos en serie y en paralelo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Vemos a continuación dos circuitos de resistencias, el primero en serie
+ y el segundo en paralelo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) to[american voltage source, l=$v$] (3,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) -- (0,1) to[R=$R_1$] (1.5,1) to[R=$R_2$] (3,1) -- (3,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hspace{1in}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) to[american voltage source, l=$v$] (2,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) -- (0,2) to[R=$R_1$] (2,2) -- (2,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,1) to[R=$R_2$] (2,1);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En el circuito en serie, 
+\begin_inset Formula $v=v_{1}+v_{2}=iR_{1}+iR_{2}=i(R_{1}+R_{2})$
+\end_inset
+
+, de modo que la resistencia equivalente a la combinación de ambas es 
+\begin_inset Formula $R_{eq}=R_{1}+R_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ De forma general, dadas 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ resistencias en serie, 
+\begin_inset Formula $R_{eq}=\sum_{i=1}^{n}R_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En el circuito en paralelo, 
+\begin_inset Formula $i=i_{1}+i_{2}=v\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)$
+\end_inset
+
+, de modo que la resistencia equivalente es tal que 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ De forma general, dadas 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ resistencias en paralelo, 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{R_{eq}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ En particular definimos 
+\begin_inset Formula $R_{1}\parallel R_{2}:=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para condensadores ocurre lo contrario: 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ condensadores en serie equivalen a un condensador con 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{C_{eq}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ condensadores en paralelo equivalen a uno con 
+\begin_inset Formula $C_{eq}=\sum_{i=1}^{n}C_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Vemos a continuación un divisor de voltaje o 
+\series bold
+potenciómetro
+\series default
+ y un divisor de corriente:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,2) to[short, o-] (1,2) to[pR] (1,0) to[short, -o] (0,0)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+      (1,0) to[short, -o] (2,0)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+      (1.2,1) to[short, -o] (2,1)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+      (1,1.3) node[right]{$R_1$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+      (1,0.7) node[right]{$R_2$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+      (0,1) node{$v$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+      (2,0.5) node{$v^
+\backslash
+prime$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+hspace{1in}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,2) to[short, o-] (2,2) to[R=$R_2$] (2,0) to[short, -o] (0,0)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+      (1,2) to[R=$R_1$] (1,0)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+      (0,1) node{$v$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En el divisor de voltaje, la corriente es 
+\begin_inset Formula $i=\frac{v}{R_{1}+R_{2}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $v'=iR_{2}=v\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ En el divisor de corriente, 
+\begin_inset Formula $i=\frac{v}{R_{1}\parallel R_{2}}=v\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $i_{1}=\frac{v}{R_{1}}=i\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $i_{2}=\frac{v}{R_{2}}=i\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Simplificación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si dos fuentes, o circuitos en general, producen el mismo voltaje e intensidad
+ en una cierta carga 
+\begin_inset Formula $R_{L}$
+\end_inset
+
+, se dice que son 
+\series bold
+equivalentes
+\series default
+.
+ Una fuente de intensidad 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ con resistencia interna 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ equivale a una fuente de voltaje 
+\begin_inset Formula $V=IR$
+\end_inset
+
+ con resistencia interna 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Superposición
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cuando un circuito tiene varias fuentes, el voltaje o la intensidad en cualquier
+ punto del circuito puede obtenerse sumando, para cada una de las fuentes,
+ el voltaje o intensidad que habría en un circuito igual pero con sólo dicha
+ fuente.
+ Para obtener dicho circuito 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+apagamos
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+matamos
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ el resto de fuentes, cortocircuitando las fuentes de voltaje (
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+convirtiéndolas
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ en parte del cable) y abriendo el circuito en las fuentes de intensidad
+ (
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+eliminando
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ la fuente sin reconectar el circuito).
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Teorema de Thevenin
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si tomamos un circuito con dos terminales (por ejemplo, un circuito cerrado
+ en el que desconectamos una resistencia 
+\begin_inset Formula $R_{L}$
+\end_inset
+
+), podemos sustituirlo por una fuente ideal de voltaje 
+\begin_inset Formula $V_{th}$
+\end_inset
+
+ y una resistencia 
+\begin_inset Formula $R_{th}$
+\end_inset
+
+ en serie.
+ 
+\begin_inset Formula $V_{th}$
+\end_inset
+
+ es la diferencia de voltaje entre ambos terminales, y la intensidad se
+ obtiene mediante cortocircuito, uniendo ambos terminales.
+ Cuando calcular la intensidad no es práctico, podemos obtener 
+\begin_inset Formula $R_{th}$
+\end_inset
+
+ directamente matando todas las fuentes del circuito y calculando la resistencia
+ resultante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Teorema de Norton
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si tomamos un circuito con dos terminales, también podemos representarlo
+ como una fuente de corriente 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+ conectada en paralelo a una resistencia 
+\begin_inset Formula $R_{n}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $R_{n}=R_{th}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $I_{n}=\frac{V_{th}}{R_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Ecuaciones de mallas y nudos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Son una forma de analizar circuitos complicados.
+ Un 
+\series bold
+nudo
+\series default
+ es la unión de tres o más cables, y una 
+\series bold
+rama
+\series default
+ es cualquier conexión entre dos nudos.
+ Los métodos de análisis por mallas y por nudos permiten obtener un sistema
+ de ecuaciones con 
+\begin_inset Formula $b-n+1$
+\end_inset
+
+ incógnitas, siendo 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ el número de ramas y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ el de nudos.
+ Para el método por mallas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Reemplazamos las fuentes de corriente por fuentes de voltaje.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Contamos el número de mallas (bucles 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+representados sin nada dentro
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+), que debe ser 
+\begin_inset Formula $b-n+1$
+\end_inset
+
+ y dibujamos una flecha, habitualmente en sentido horario, en cada malla,
+ con una variable indicando la intensidad que circula por esta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Aplicamos la ley de Kirchhoff del voltaje a cada malla.
+ Ponemos todas las fuentes de voltaje a un lado de la ecuación y todas las
+ caídas de voltaje en el otro, teniendo en cuenta que la intensidad que
+ pasa por un elemento pasivo del circuito es la suma de la intensidad en
+ cada malla en la que se encuentra, con signo positivo si la flecha de dicha
+ malla indica el mismo sentido que el de la malla sobre la que estamos aplicando
+ la ley de Kirchhoff, y negativo si va en sentido contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Obtenemos un sistema de ecuaciones, una por malla, que podemos resolver,
+ por ejemplo, por Cramer.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El método por nudos es similar, pero utiliza la ley de Kirchhoff de la corriente
+ sobre cada nudo para obtener un sistema de ecuaciones donde las incógnitas
+ son el voltaje en cada nudo.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ffi/n2.lyx b/ffi/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..3f2163c
--- /dev/null
+++ b/ffi/n2.lyx
@@ -0,0 +1,875 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\usepackage{circuitikz}
+\usepackage{tikz}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
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+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
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+\use_indices false
+\paperorientation portrait
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+\justification true
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+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
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+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+represent#1{
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\backslash
+draw (0,0) to[#1] (2,0);
+\backslash
+end{circuitikz}}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+show#1{
+\backslash
+begin{center}
+\backslash
+represent{#1}
+\backslash
+end{center}}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+corriente alterna
+\series default
+ es aquella que cambia de sentido periódicamente, en contraste con la 
+\series bold
+corriente continua
+\series default
+, en la que la intensidad y el voltaje son constantes.
+ La forma de oscilación más típica es la 
+\series bold
+oscilación senoidal
+\series default
+, dada por
+\begin_inset Formula 
+\[
+v_{s}=V_{p}\cos(\omega t+\theta)
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $V_{p}$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+amplitud
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+velocidad angular
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $\unit{rad/s}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+fase
+\series default
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+voltaje pico-pico
+\series default
+ o 
+\series bold
+pico-valle
+\series default
+ a la máxima diferencia de voltaje en el tiempo, que para una oscilación
+ senoidal es 
+\begin_inset Formula $V_{pp}=2V_{p}$
+\end_inset
+
+.
+ La 
+\series bold
+frecuencia
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $f:=\frac{\omega}{2\pi}$
+\end_inset
+
+ y se mide en hercios (
+\begin_inset Formula $\text{Hz}=\text{s}^{-1}$
+\end_inset
+
+), y el 
+\series bold
+periodo
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $T:=\frac{1}{f}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un circuito con una fuente de voltaje senoidal tendrá en cualquier punto
+ un voltaje con oscilación senoidal de igual velocidad angular, si bien
+ la amplitud y la fase pueden variar.
+ Dos oscilaciones senoidales que van una delante o detrás de la otra se
+ dice que están 
+\series bold
+desfasadas
+\series default
+, mientras que si la diferencia de fase es 0, están 
+\series bold
+en fase
+\series default
+.
+ Otras oscilaciones típicas son las ondas cuadradas y las triangulares.
+ Una fuente de corriente alterna se representa con
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{sV}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Análisis fasorial
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se trata de una forma práctica de analizar circuitos donde la fuente de
+ voltaje es alterna senoidal.
+ Un circuito de resistencias (R), inductores (L) y condensadores (C) se
+ suele denominar circuito RLC.
+ Tomemos el siguiente ejemplo sencillo:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+newcommand*{
+\backslash
+equal}{=}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (4.5,0) to[sV=$v
+\backslash
+equal V_p
+\backslash
+cos(
+\backslash
+omega t)$] (0,0) -- (0,2) to[R=$R$] (1.5,2) to[L=$L$] (3,2) to[C=$C$] (4.5,2)
+ -- (4.5,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aplicando mallas,
+\begin_inset Formula 
+\[
+v(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int i(t)\,dt
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Estamos ante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.
+ Las soluciones naturales para este tipo de ecuaciones son exponenciales,
+ pues la derivada de una exponencial es la misma exponencial.
+ La identidad de Euler o de De Moivre nos dice que 
+\begin_inset Formula $e^{jx}=\cos x\pm j\sin x$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $j:=\sqrt{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Tenemos que 
+\begin_inset Formula $V_{p}\cos(\omega t)=\text{Re}V_{p}e^{j\omega t}$
+\end_inset
+
+, y como la ecuación es lineal, podemos representar la fuente con 
+\begin_inset Formula $V_{p}e^{j\omega t}$
+\end_inset
+
+, omitiendo el operador 
+\begin_inset Formula $\text{Re}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+parte real
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La intensidad es 
+\begin_inset Formula $i(t)=\text{Re}I_{p}e^{j\omega t+\theta}=\text{Re}I_{p}e^{\theta}e^{j\omega t}:=\text{Re}Ie^{j\omega t}$
+\end_inset
+
+, por tanto basta encontrar el 
+\series bold
+fasor
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ para resolver el problema.
+ Sustituyendo 
+\begin_inset Formula $v(t)$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $V_{p}e^{j\omega t}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $i(t)$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $Ie^{j\omega t}$
+\end_inset
+
+ y despejando, obtenemos
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+V_{p}e^{j\omega t}=RIe^{j\omega t}+L\frac{d}{dt}\left(Ie^{j\omega t}\right)+\frac{1}{C}\int Ie^{j\omega t}\,dt\implies\\
+\implies V_{p}=RI+j\omega LI+\frac{I}{j\omega C}=\left(R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right)I=:ZI
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $Z$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+impedancia
+\series default
+, una cantidad compleja 
+\begin_inset Formula $Z=R+jX$
+\end_inset
+
+ medida en ohmios, en la que 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ es la resistencia y 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+reactancia
+\series default
+.
+ Todos los resultados obtenidos en el anterior capítulo para circuitos de
+ corriente continua sirven igualmente para corriente alterna sinoidal sin
+ más que reemplazar la resistencia por la impedancia.
+ Nos quedamos con que
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Z_{R}=R\text{, } & Z_{L}=j\omega L\text{, } & Z_{C}=-\frac{1}{\omega C}j
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El inverso de la impedancia es la 
+\series bold
+admitancia
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $Y=G+jB:=\frac{1}{Z}$
+\end_inset
+
+, medida en siemens, donde 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ es la conductancia y 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+susceptancia
+\series default
+.
+ Ahora solo queda despejar 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y obtener 
+\begin_inset Formula $i(t)=\text{Re}Ie^{j\omega t}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $I=I_{p}e^{j\theta}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+i(t)=\text{Re}I_{p}e^{j\theta}e^{j\omega t}=I_{p}\cos(\omega t+\theta)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Potencia en circuitos de corriente alterna
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si un voltaje senoidal 
+\begin_inset Formula $v(t)=V_{p}\cos(\omega t)$
+\end_inset
+
+ resulta en una corriente 
+\begin_inset Formula $i(t)=I_{p}\cos(\omega t+\theta)$
+\end_inset
+
+, la potencia instantánea es 
+\begin_inset Formula $p(t)=v(t)i(t)=V_{p}I_{p}\cos(\omega t)\cos(\omega t+\theta)=\frac{V_{p}I_{p}}{2}(\cos\theta+\cos(2\omega t+\theta))$
+\end_inset
+
+.
+ La potencia media 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ la podemos obtener como
+\begin_inset Formula 
+\[
+P=\frac{1}{T}\int p\,dt
+\]
+
+\end_inset
+
+u observando que el primer término de la suma en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es constante respecto al tiempo mientras que el segundo es un sinusoide
+ cuya media es cero, luego
+\begin_inset Formula 
+\[
+P=\frac{V_{p}I_{p}}{2}\cos\theta
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si el circuito es sólo resistivo, la diferencia de fase entre 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ es 0 y 
+\begin_inset Formula $P=\frac{V_{p}I_{p}}{2}=\frac{1}{2}RI_{p}^{2}$
+\end_inset
+
+, mientras que si el circuito es sólo capacitivo o inductivo entonces 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+ es respectivamente 
+\begin_inset Formula $\unit[90]{\mathring{}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\unit[-90]{\mathring{}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P=0$
+\end_inset
+
+.
+ En términos de fasores,
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+p(t) & = & \frac{1}{2}\text{Re}\left(V\overline{I}+VIe^{2j\omega t}\right)\\
+P & = & \frac{1}{2}\text{Re}V\overline{I}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $V=V_{p}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $I=I_{p}e^{j\theta}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $\overline{I}$
+\end_inset
+
+ es el conjugado de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ Despejando 
+\begin_inset Formula $V=IZ$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+P=\frac{1}{2}\text{Re}|I|^{2}Z=\frac{1}{2}|I|^{2}R=\frac{1}{2}|I_{p}|^{2}R
+\]
+
+\end_inset
+
+O bien, despejando 
+\begin_inset Formula $I=\frac{V}{Z}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+P=\frac{1}{2}\text{Re}V\frac{\overline{V}}{\overline{Z}}=\frac{1}{2}\text{Re}\frac{|V|^{2}}{\overline{Z}}=\frac{1}{2}\text{Re}\frac{|V|^{2}Z}{|Z|^{2}}=\frac{1}{2}\frac{|V|^{2}R}{R^{2}+X^{2}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Valores efectivos o RMS
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Vemos que definiendo 
+\begin_inset Formula $I_{eff}=\frac{I_{p}}{\sqrt{2}}$
+\end_inset
+
+, obtenemos 
+\begin_inset Formula $P=I_{eff}^{2}R$
+\end_inset
+
+, similar a la fórmula de la potencia en corriente continua.
+ Así, podemos definir 
+\begin_inset Formula $I_{eff}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $P=I_{eff}^{2}R$
+\end_inset
+
+ para corrientes de forma arbitraria.
+ Dado que 
+\begin_inset Formula $P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}R\,dt=\frac{R}{T}\int_{0}^{T}i^{2}\,dt$
+\end_inset
+
+, se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\[
+I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}\,dt}
+\]
+
+\end_inset
+
+lo que en inglés se conoce como 
+\emph on
+root mean square
+\emph default
+, por lo que escribimos 
+\begin_inset Formula $I_{rms}:=I_{eff}$
+\end_inset
+
+.
+ Así pues,
+\begin_inset Formula 
+\[
+P=\frac{V_{rms}^{2}}{R}=I_{rms}^{2}R
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Factor de potencia
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado que 
+\begin_inset Formula $P=VI\cos\theta$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $V=V_{rms}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $I=I_{rms}$
+\end_inset
+
+, podemos definir el factor de potencia como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\text{pf}=\frac{P}{VI}=\cos\theta
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Este valor será 1 para cargas puramente resistivas y 0 para cargas puramente
+ reactivas.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Transformadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node[transformer core]{};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Son dispositivos de una frecuencia (normalmente 
+\begin_inset Formula $\unit[60]{Hz}$
+\end_inset
+
+) con eficiencia cercana al 
+\begin_inset Formula $\unit[100]{\%}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $W_{out}\cong W_{in}$
+\end_inset
+
+) formados por un núcleo de material ferromagnético, normalmente hierro
+ blando (se magnetiza y desmagnetiza fácilmente), en el que se enrollan
+ dos bobinas, como se muestra en la figura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado1.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si conectamos la bobina primaria a una fuente de voltaje 
+\begin_inset Formula $v_{s}=V_{p}\cos(\omega t)$
+\end_inset
+
+ y dejamos la segunda sin conectar, se producirá una pequeña corriente en
+ la primaria que inducirá un flujo magnético en el núcleo de hierro produciendo
+ a su vez un voltaje inducido en la misma bobina, lo que se conoce como
+ 
+\series bold
+autoinducción
+\series default
+.
+ Este voltaje viene dado por la ley de Faraday como 
+\begin_inset Formula $v_{1}=-N_{1}\frac{d\psi}{dt}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ el número de vueltas de la bobina y 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ el flujo magnético inducido.
+ También se producirá una diferencia de potencial en la bobina secundaria,
+ dada por 
+\begin_inset Formula $v_{2}=-N_{2}\frac{d\psi}{dt}$
+\end_inset
+
+.
+ Despejando, 
+\begin_inset Formula $\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si ahora conectamos la bobina secundaria a una carga 
+\begin_inset Formula $R_{L}$
+\end_inset
+
+, se produce 
+\series bold
+inducción mutua
+\series default
+: la corriente producida por la diferencia de voltaje en el circuito secundario
+ induce un flujo magnético en el núcleo de hierro, induciendo a su vez un
+ voltaje en el circuito primario, y viceversa.
+ Entonces, en un transformador ideal, 
+\begin_inset Formula $V_{1}I_{1}=W_{1}=W_{2}=V_{2}I_{2}$
+\end_inset
+
+, y en un transformador real esta es una buena aproximación.
+ Así,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{\frac{V_{1}}{I_{1}}}{\frac{V_{2}}{I_{2}}}=\frac{V_{1}I_{2}}{V_{2}I_{1}}=\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+luego si 
+\begin_inset Formula $N_{1}>N_{2}$
+\end_inset
+
+, una impedancia pequeña 
+\begin_inset Formula $Z_{2}$
+\end_inset
+
+ aparece en el circuito primario como una impedancia más grande 
+\begin_inset Formula $Z_{1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ffi/n3.lyx b/ffi/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..283dc35
--- /dev/null
+++ b/ffi/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1166 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\usepackage{circuitikz}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
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+\spacing single
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+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
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+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
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+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
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+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
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+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+represent#1{
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\backslash
+draw (0,0) to[#1] (2,0);
+\backslash
+end{circuitikz}}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+show#1{
+\backslash
+begin{center}
+\backslash
+represent{#1}
+\backslash
+end{center}}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+semiconductor
+\series default
+ es un material que conduce o no la electricidad dependiendo de su estado.
+ Para fabricar dispositivos electrónicos con semiconductores podemos usar
+ silicio, germanio o arseniuro de galio.
+ Tipos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Intrínseco
+\series default
+ o 
+\series bold
+puro
+\series default
+: Cada par de átomos forma un enlace covalente con los 4 átomos cercanos
+ (disposición tetraédrica).
+ La concentración de huecos (
+\begin_inset Formula $n_{p}$
+\end_inset
+
+) (zonas sin electrón con carga 
+\begin_inset Formula $+|e|$
+\end_inset
+
+) es igual a la de electrones libres (
+\begin_inset Formula $n_{i}$
+\end_inset
+
+), y ambos contribuyen al flujo de corriente.
+ A 
+\begin_inset Formula $\unit[0]{K}$
+\end_inset
+
+ no hay electrones libres, pero a 
+\begin_inset Formula $\unit[300]{K}$
+\end_inset
+
+ los electrones libres permiten flujo de corriente si se aplica una diferencia
+ de potencial, y así a mayor temperatura más rápido se generan electrones
+ libres y huecos.
+ La 
+\series bold
+recombinación
+\series default
+ consiste en que el hueco y el electrón libre se combinan en un enlace covalente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Extrínseco
+\series default
+ o 
+\series bold
+impurificado
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Tipo 
+\series bold
+N
+\series default
+: Con impurezas donantes de electrones.
+ Los portadores 
+\series bold
+mayoritarios
+\series default
+ son los electrones y los 
+\series bold
+minoritarios
+\series default
+ los huecos.
+ 
+\begin_inset Formula $n_{i}=n_{p}+N_{D}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $N_{D}$
+\end_inset
+
+ es la concentración de átomos donantes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Tipo 
+\series bold
+P
+\series default
+: Con impurezas que aceptan electrones (aportan huecos).
+ Los portadores mayoritarios son los huecos y los minoritarios los electrones.
+ 
+\begin_inset Formula $n_{p}=n_{i}+N_{A}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $N_{A}$
+\end_inset
+
+ es la concentración de átomos aceptadores.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+unión pn
+\series default
+ es un cristal semiconductor con impurezas con las que se obtiene una zona
+ P y una N, de modo que, por el elevado gradiente, en la unión se forma
+ una 
+\series bold
+zona de deplexión
+\series default
+ o 
+\series bold
+de carga espacial
+\series default
+ en la que los átomos están cargados negativamente al lado de la zona P
+ y positivamente al lado de la zona N.
+ El efecto de esta zona es una barrera de potencial que impide la circulación
+ de electrones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{tikz}[scale=.7]
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (1,0) -- (5,0) -- (5,2.5) -- (1,2.5) -- (1,0) (3,2.5) -- (3,0) (0,1.25)
+ -- (1,1.25) (5,1.25) -- (6,1.25) (1.5,1.25) node{P} (2.5,0.4) node{$-$} (2.5,1.25)
+ node{$-$} (2.5,2.1) node{$-$} (4.5,1.25) node{N} (3.5,0.4) node{$+$} (3.5,1.25)
+ node{$+$} (3.5,2.1) node{$+$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{tikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+El diodo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+diodo
+\series default
+ es un dispositivo semiconductor con dos terminales, 
+\series bold
+ánodo
+\series default
+ y 
+\series bold
+cátodo
+\series default
+, y que, mediante una unión pn, ofrece una baja resistencia cuando los electrone
+s van del ánodo (N) al cátodo (P) (polarización 
+\series bold
+directa
+\series default
+) y una alta resistencia en la otra polarización (
+\series bold
+inversa
+\series default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{Do}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cuando el diodo se conecta en polarización directa, la zona de carga espacial
+ se estrecha y permite el flujo de portadores mayoritarios.
+ Los electrones pasan de la zona n a la p, donde pasan a ser minoritarios
+ y se combinan con los huecos existentes, y la corriente total corresponde
+ a la suma de la corriente debida a los electrones y la debida a los huecos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si se conecta en polarización inversa, la tensión aumenta la zona de carga
+ espacial y la corriente está formada por portadores minoritarios, que como
+ son pocos dan lugar a una co
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+rrien
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+te pequeña, independiente de la tensión aplicada.
+ Sin embargo, como la concentración de minoritarios depende de la temperatura,
+ conforme esta aumenta también aumenta el valor de la corriente inversa.
+ Si la tensión inversa es suficientemente alta el campo eléctrico puede
+ romper los enlaces covalentes, produciendo gran cantidad de pares hueco-electró
+n y por tanto un gran flujo de corriente inversa, a partir de lo que llamamos
+ la 
+\series bold
+zona de ruptura
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Modelos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La gráfica V-I de un diodo típico es la siguiente:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado2.png
+	scale 50
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $V_{r}$
+\end_inset
+
+ a la 
+\series bold
+tensión de ruptura
+\series default
+ (negativa), a partir de la cual está la 
+\series bold
+zona de ruptura
+\series default
+ o 
+\series bold
+de avalancha
+\series default
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula $V_{f}$
+\end_inset
+
+ a la 
+\series bold
+tensión umbral
+\series default
+, donde está la asíntota vertical en la zona de polarización directa de
+ la gráfica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+ecuación de Shockley
+\series default
+ del diodo es 
+\begin_inset Formula $i_{D}=I_{S}(e^{\frac{v_{D}}{nV_{T}}}-1)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $I_{S}$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+corriente de saturación inversa
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+coeficiente de emisión
+\series default
+, entre 1 y 2, y 
+\begin_inset Formula $V_{T}=\frac{kT}{q}$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+tensión térmica
+\series default
+, donde 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ es una constante, 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ es la temperatura y 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ no sé lo que es.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+diodo ideal
+\series default
+ es aquel que en polarización directa actúa como un cortocircuito (
+\begin_inset Formula $R=0$
+\end_inset
+
+) y en polarización inversa actúa como un circuito abierto (
+\begin_inset Formula $R=+\infty$
+\end_inset
+
+).
+ Para análisis con diodos ideales, primero suponemos cuáles están en corte
+ y en conducción, y si 
+\begin_inset Formula $i_{D}$
+\end_inset
+
+ es positiva en los diodos en conducción y 
+\begin_inset Formula $V_{D}$
+\end_inset
+
+ negativa en aquellos en corte, la suposición es correcta, y de lo contrario
+ hay que cambiarla.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otro modelo similar al del diodo ideal es modelo con caída de potencial,
+ que se diferencia del diodo ideal en que en polarización directa se produce
+ una caída de potencial fija, normalmente alrededor de 
+\begin_inset Formula $\unit[0.7]{V}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+modelo completo
+\series default
+ del diodo es como sigue:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) -- (1,0) to[R=$R_f$] (2.5,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (4,0) to[battery, l=$V_{0n}$,mirror] (2.5,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (4,0) to[D*, l=Ideal] (5.5,0) -- (6.5,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (5.5,0) -- (5.5,2) to[R=$R_r$] (1,2) -- (1,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tipos
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+LED
+\series default
+ (
+\emph on
+Light-Emitting Diode
+\emph default
+): Al ser atravesado por una corriente emite una cantidad de luz proporcional
+ a la cantidad de corriente que circula, cuya longitud de onda depende del
+ material.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{leDo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Fotodiodos
+\series default
+: Si se polarizan en inversa y reciben luz, la intensidad de corriente es
+ proporcional a la cantidad de luz incidente.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{pDo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Diodos 
+\series bold
+Schottky
+\series default
+: Conmutación rápida, usada en aplicaciones de alta frecuencia.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{sDo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Diodos 
+\series bold
+Zener
+\series default
+: Capaces de trabajar en la zona de ruptura inversa.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{zzDo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Circuitos rectificadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+circuito rectificador
+\series default
+ o 
+\series bold
+convertidor AC-DC
+\series default
+
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Viva el 
+\emph on
+rock 'n' roll
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ es aquel que convierte corriente alterna en corriente continua.
+ Está formado por un transformador, que reduce el voltaje de la corriente
+ alterna, un trafo, que hace que el sentido de la corriente resultante sea
+ siempre el mismo, y un condensador, paralelo a la carga, que 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+suaviza
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ la salida del trafo para obtener una corriente prácticamente continua.
+ Tipos de rectificador según el trafo (se muestra la imagen del trafo):
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De media onda
+\series default
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) to[sI=$V_p
+\backslash
+sin(
+\backslash
+omega t)$] (0,1.5) to[Do] (2,1.5) to[R=$R_L$] (2,0) -- (0,0);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+El valor medio de la tensión es 
+\begin_inset Formula $V_{out(DC)}=\frac{V_{p}}{\pi}$
+\end_inset
+
+, la tensión eficaz resultante es 
+\begin_inset Formula $V_{out(rms)}=\frac{1}{2}V_{m}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\omega_{out}=\omega_{in}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De onda completa con trafo de toma intermedia
+\series default
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node[transformer core](T){}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(T.A2) -- ($(T.A2)+(-1,0)$) to[sI] ($(T.A1)+(-1,0)$) -- (T.A1)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(T.B2) to[Do] ($(T.B2)+(3,0)$) to ($(T.B1)+(3,0)$)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(T.B1) to[Do] ($(T.B1)+(3,0)$)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+($0.5*(T.B1)+0.5*(T.B2)+(-0.5,0)$) to ($0.5*(T.B1)+0.5*(T.B2)+(0.5,0)$) node[ground]{}
+ to[R=$R_L$] ($0.5*(T.B1)+0.5*(T.B2)+(3,0)$);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+El valor medio de la tensión es 
+\begin_inset Formula $V_{out(DC)}=\frac{2V_{p}}{\pi}$
+\end_inset
+
+, la tensión eficaz resultante es 
+\begin_inset Formula $V_{out(rms)}=\frac{1}{\sqrt{2}}V_{m}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\omega_{out}=2\omega_{in}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De onda completa con puente de diodos
+\series default
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (3.5,0) -- (0,0) to[sI] (0,3) -- (3.5,3)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(1,1.5) (1,1.5) node[ground]{} -- (2,1.5) to[Do] (3.5,3) to[Do] (5,1.5)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(2,1.5) to[Do] (3.5,0) to[Do] (5,1.5)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(5,1.5) to[R=$R_L$] (2,1.5);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Similar al de onda completa con trafo de toma intermedia, pero la corriente
+ soportada por cada diodo es aproximadamente la mitad y el transformador
+ usado es más barato, por lo que se reduce el precio del sistema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El diodo sólo conduce cuando la tensión de entrada sea superior a la mantenida
+ por el condensador.
+ Obtenemos una componente continua y sobre ella una componente alterna,
+ cuyo rizado máximo es 
+\begin_inset Formula $Q=V_{r}C=It\implies V_{r}=\frac{I}{f_{out}C}$
+\end_inset
+
+, y en valor eficaz, 
+\begin_inset Formula $V_{r(ef.)}=\frac{I}{2\sqrt{2}Cf_{out}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Circuitos recortadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Recortan una porción de la señal de entrada cuando la tensión es mayor o
+ menor que un límite, que depende de la diferencia de potencial producida
+ por cada batería más diodo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,3) to[american voltage source,l=$v_{in}$] (0,0) (0,3) to[R=$R$]
+ (2,3) to[short,-o] (4,3)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(0,0) to[short,-o] (4,0)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(2,3) to[Do] (2,1.5) (2,0) to[battery] (2,1.5)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(3,3) to[battery] (3,1.5) (3,0) to[Do] (3,1.5)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(4,1.5) node{$v_{out}$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para analizar circuitos recortadores, comprobamos qué condición se tiene
+ que cumplir para que el primero conduzca, el segundo conduzca y no conduzca
+ ninguno.
+ Para ello vemos que, si no hay nada conectado, 
+\begin_inset Formula $v_{in}=v_{out}$
+\end_inset
+
+.
+ A continuación, para cada caso, obtenemos 
+\begin_inset Formula $v_{out}$
+\end_inset
+
+ en el circuito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Diodos Zener
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Estos trabajan entre 
+\begin_inset Formula $I_{mín}$
+\end_inset
+
+, la intensidad correspondiente a 
+\begin_inset Formula $V_{r}$
+\end_inset
+
+, e 
+\begin_inset Formula $I_{máx}$
+\end_inset
+
+, la intensidad correspondiente a la 
+\series bold
+ruptura Zener
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $V_{z}<V_{r}$
+\end_inset
+
+.
+ Por seguridad nos mantenemos entre 
+\begin_inset Formula $0.9\cdot I_{mín}+0.1\cdot I_{máx}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $0.1\cdot I_{mín}+0.9\cdot I_{máx}$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos modelarlo como sigue:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,1) -- (1,1) 
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(1,0) -- (1,2) to[D*] (2.5,2)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(4,0) -- (4,2) to[battery] (2.5,2)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(4,0) to[D*] (1,0)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(5,1) -- (4,1);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Estos diodos se usan para mantener una tensión prácticamente constante en
+ un punto, y funcionan consumiendo la energía sobrante.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ffi/n4.lyx b/ffi/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..7eed60a
--- /dev/null
+++ b/ffi/n4.lyx
@@ -0,0 +1,1545 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\usepackage{circuitikz}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
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+\use_package mhchem 1
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+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
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+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+represent#1{
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\backslash
+draw (0,0) to[#1] (2,0);
+\backslash
+end{circuitikz}}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+show#1{
+\backslash
+begin{center}
+\backslash
+represent{#1}
+\backslash
+end{center}}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+representnode#1{
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\backslash
+draw (0,0) node[#1]{};
+\backslash
+end{circuitikz}}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+shownode#1{
+\backslash
+begin{center}
+\backslash
+representnode{#1}
+\backslash
+end{center}}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+transistor
+\series default
+ (
+\emph on
+transfer resistor
+\emph default
+) es un dispositivo semiconductor con tres terminales en el que una pequeña
+ corriente (en los 
+\series bold
+BJT
+\series default
+, transistores de unión bipolar) o tensión (en los 
+\series bold
+FET
+\series default
+, transistores de efecto de campo) modula la corriente entre los otros dos
+ terminales.
+ Se usan como 
+\series bold
+amplificadores
+\series default
+ o como 
+\series bold
+conmutadores
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+El transistor BJT
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Consta de tres terminales (
+\series bold
+emisor
+\series default
+, 
+\series bold
+base
+\series default
+ y 
+\series bold
+colector
+\series default
+) y equivale a dos diodos unidos en sentido opuesto, donde la unión base-emisor
+ se polariza en directa y la base-colector en inversa.
+ El emisor emite portadores de carga hacia la base, donde se gobiernan los
+ portadores hacia el colector.
+ Este recoge los portadores que no pueden acaparar la base, que son la mayoría.
+ Dos tipos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+vspace{12px}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top" width="40text%">
+<column alignment="center" valignment="top" width="40text%">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+NPN
+\series default
+.
+ La base está conectada al cátodo de los diodos.
+ El emisor emite electrones.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+PNP
+\series default
+.
+ La base está conectada al ánodo de los diodos.
+ El emisor emite huecos.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(npn)[npn]{} (npn.B) node[left]{Base} (npn.E) node[right]{Emisor}
+ (npn.C) node[right]{Colector};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(pnp)[pnp,yscale=-1]{} (pnp.B) node[left]{Base} (pnp.E) node[right]
+{Emisor} (pnp.C) node[right]{Colector};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un transistor BJT puede estar en 3 
+\series bold
+zonas de trabajo
+\series default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Activa
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $i_{C}=\beta i_{B}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $i_{C}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $i_{B}$
+\end_inset
+
+ son las intensidades de corriente respectivas en colector y base y 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ depende del transistor concreto y la temperatura.
+ Se da cuando la unión emisor-base está en polarización directa y la colector-ba
+se en inversa.
+ La 
+\series bold
+recta de carga estática
+\series default
+ indica todos los puntos de funcionamiento (V-I) que pueden darse por la
+ ecuación de malla de colector.
+ El 
+\series bold
+punto de trabajo
+\series default
+ o 
+\series bold
+reposo
+\series default
+, sobre esta, es 
+\begin_inset Formula $(V_{CE},I_{C})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Corte
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $i_{E}=i_{C}=i_{B}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Se da cuando tanto la unión emisor-base como la colector-base están en
+ polarización inversa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Saturación
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $V_{CE}=V_{CE_{SAT}}\approx\unit[0.2]{V}$
+\end_inset
+
+.
+ Se da cuando tanto la unión emisor-base como la colector-base están en
+ polarización directa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un BJT disipa una potencia de 
+\begin_inset Formula $P_{BE}+P_{CE}=V_{BE}I_{B}+V_{CE}I_{C}$
+\end_inset
+
+, que se puede simplificar a 
+\begin_inset Formula $V_{CE}I_{C}$
+\end_inset
+
+ por ser 
+\begin_inset Formula $V_{BE}$
+\end_inset
+
+ mucho menor que 
+\begin_inset Formula $V_{CE}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta potencia causa un aumento de la temperatura de la unión, y debe ser
+ menor que 
+\begin_inset Formula $P_{máx}$
+\end_inset
+
+ dada por el fabricante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para resolver un problema de polarización con BJT, obtenemos las ecuaciones
+ de las mallas de colector y base y consideramos que el transistor está
+ en zona activa para poder añadir 
+\begin_inset Formula $I_{C}=\beta I_{B}$
+\end_inset
+
+.
+ Resuelta la ecuación y hallado el punto de trabajo, si 
+\begin_inset Formula $I_{C}\leq0$
+\end_inset
+
+ el transistor estará en corte, si 
+\begin_inset Formula $V_{CE}\leq V_{CE_{SAT}}\approx\unit[0.2]{V}$
+\end_inset
+
+ estará en saturación, y en ambos casos debemos sustituir la hipótesis de
+ zona activa por la ecuación de corte (
+\begin_inset Formula $I_{C}=0$
+\end_inset
+
+) o saturación (
+\begin_inset Formula $V_{CE}=V_{CE_{SAT}}$
+\end_inset
+
+) y recalcular el punto de trabajo.
+ De lo contrario el transistor está en zona activa y los resultados son
+ correctos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+El transistor FET
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En este la corriente colector-emisor es controlada por una tensión, lo que
+ resulta en un apagado y encendido más fácil que por corriente, y son más
+ fáciles de fabricar.
+ Tipos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="19text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="22text%">
+<column alignment="center" valignment="middle" width="22text%">
+<column alignment="center" valignment="middle" width="22text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Canal N
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Canal P
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+De unión (
+\series bold
+JFET
+\series default
+)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+shownode{njfet}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+shownode{pjfet,yscale=-1}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="3" alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+De metal-óxido (
+\series bold
+MOSFET
+\series default
+)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="3" alignment="left" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+De 
+\series bold
+acumulación
+\series default
+ o 
+\series bold
+enriquecimiento
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+shownode{nigfete}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+shownode{pigfete,yscale=-1}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="4" alignment="left" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multirow="4" alignment="left" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+NMOS
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+PMOS
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multirow="4" alignment="left" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+De 
+\series bold
+deplexión
+\series default
+ o 
+\series bold
+empobrecimiento
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+shownode{nigfetd}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+shownode{pigfetd,yscale=-1}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+vspace{12px}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un JFET consiste en un canal de semiconductor tipo N o P (dependiendo del
+ tipo de JFET) con contactos óhmicos (no rectificadores) en cada extremo,
+ llamados 
+\series bold
+fuente
+\series default
+ o 
+\series bold
+surtidor
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+) y 
+\series bold
+drenador
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+).
+ A los lados de este hay regiones de material semiconductor del tipo contrario
+ al del canal, que forman el terminal 
+\series bold
+puerta
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En la unión pn, al polarizar en inversa 
+\begin_inset Formula $V_{GS}$
+\end_inset
+
+, una capa del canal adyacente a la puerta, la zona de carga espacial, se
+ convierte en no conductora.
+ Zonas de trabajo:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Óhmica
+\series default
+: Para valores de 
+\begin_inset Formula $V_{DS}$
+\end_inset
+
+ pequeños, 
+\begin_inset Formula $I_{D}$
+\end_inset
+
+ es proporcional a 
+\begin_inset Formula $V_{DS}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Saturación
+\series default
+: A mayores valores de 
+\begin_inset Formula $V_{DS}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $I_{D}$
+\end_inset
+
+ aumenta cada vez más lentamente, llegando a un punto en que 
+\begin_inset Formula $I_{D}$
+\end_inset
+
+ es casi constante para incrementos de 
+\begin_inset Formula $V_{DS}$
+\end_inset
+
+.
+ En esta zona, 
+\begin_inset Formula $I_{D}=I_{DSS}\left(1-\frac{V_{GS}}{V_{GS_{off}}}\right)^{2}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $I_{DSS}$
+\end_inset
+
+ la intensidad de saturación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Corte
+\series default
+: Si 
+\begin_inset Formula $V_{GS}<V_{GS_{off}}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $V_{GS_{off}}$
+\end_inset
+
+ es la tensión umbral de corte.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un MOSFET consta de cuatro terminales: 
+\series bold
+Drenador
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+); 
+\series bold
+fuente
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+); 
+\series bold
+sustrato
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+), debajo del drenador y la fuente, y 
+\series bold
+puerta
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+), de aluminio o silicio policristalino, separada de drenador y fuente por
+ una fina capa aislante de dióxido de silicio.
+ 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ están hechos de semiconductor del tipo del canal, mientras que 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ está compuesto por semiconductor de tipo contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En los MOSFET de acumulación, 
+\begin_inset Formula $I_{D}=\frac{K}{2}(V_{GS}-V_{T})^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ En un transistor NMOS, al aplicar en 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ una tensión positiva respecto a 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, los electrones se ven atraídos a la región situada bajo 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+, induciéndose un canal de material de tipo n entre 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ Si se aplica entonces una tensión entre ambos, fluirá una corriente de
+ electrones de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En los MOSFET de deplexión, ya existe un pequeño canal de semiconductor
+ entre 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, y la puerta puede 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+anular
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ dicho canal.
+ Se aplican las ecuaciones del JFET.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Amplificadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un transistor BJT se dice que trabaja en 
+\series bold
+amplificación
+\series default
+ si se mantiene en zona activa, y que trabaja en 
+\series bold
+conmutación
+\series default
+ si alterna entre las zonas corte y saturación.
+ De igual modo, un transistor FET trabaja en amplificación si se mantiene
+ en zona de saturación, y en conmutación si alterna entre las zonas corte
+ y óhmica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+amplificador
+\series default
+ es un 
+\series bold
+cuadripolo
+\series default
+, es decir, un dispositivo con dos terminales de entrada y dos de salida,
+ en el que la salida tiene una potencia proporcional a la entrada.
+ La salida se representa como
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+show{american controlled voltage source}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+impedancia de entrada
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $Z_{in}=\frac{\boldsymbol{V}_{in}}{\boldsymbol{I}_{in}}$
+\end_inset
+
+, e 
+\series bold
+impedancia de salida
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $Z_{out}=\frac{\boldsymbol{V}_{out}}{\boldsymbol{I}_{out}}$
+\end_inset
+
+.
+ La 
+\series bold
+ganancia de tensión en circuito abierto
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $A_{V_{0}}=\frac{V_{out}}{V_{in}}$
+\end_inset
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $I_{out}=0$
+\end_inset
+
+, y la 
+\series bold
+ganancia de potencia
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $G=\frac{P_{s}}{P_{e}}=\frac{V_{s}I_{s}}{V_{e}I_{e}}=A_{V}A_{I}$
+\end_inset
+
+.
+ La potencia que necesitan los circuitos internos la proporciona una fuente
+ de alimentación, y el 
+\series bold
+rendimiento
+\series default
+ o 
+\series bold
+eficiencia
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\eta=\frac{P_{out}}{P_{in}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La ganancia se suele expresar en 
+\series bold
+decibelios
+\series default
+ (dB), siendo 
+\begin_inset Formula $G_{\text{dB}}=10\log G=10\log\frac{P_{s}}{P_{e}}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+amplificador
+\series default
+ como tal a aquel con 
+\begin_inset Formula $G_{\text{dB}}>0$
+\end_inset
+
+, y 
+\series bold
+atenuador
+\series default
+ a aquel con 
+\begin_inset Formula $G_{\text{dB}}<0$
+\end_inset
+
+.
+ En amplificadores en cascada (uno detrás de otro), 
+\begin_inset Formula $G=G_{1}\cdots G_{n}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $G_{1},\dots,G_{n}$
+\end_inset
+
+ las ganancias de los amplificadores implicados y 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ la ganancia resultante.
+ La ganancia en tensión en decibelios es 
+\begin_inset Formula $A_{V_{\text{dB}}}=20\log|A_{V}|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Transistores en conmutación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En BJT, un circuito de conmutación es aquel en que el paso de bloqueo a
+ saturación se considera inmediato (el transistor no permanece en zona activa).
+ En corte, 
+\begin_inset Formula $I_{B}=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $I_{C}$
+\end_inset
+
+ es igual a la corriente de fugas, 
+\begin_inset Formula $V_{CE}=V_{cc}$
+\end_inset
+
+ si se desprecia la caída de tensión producida por la corriente de fugas,
+ y el transistor se comporta como un interruptor abierto.
+ En saturación, 
+\begin_inset Formula $V_{CE}\approx\unit[0.2]{V}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $I_{C}\cong\frac{V_{cc}}{\sum R}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $\sum R$
+\end_inset
+
+ la suma de resistencias en la malla colector-emisor, y el transistor se
+ comporta como un interruptor cerrado.
+ El 
+\series bold
+tiempo de conmutación
+\series default
+ limita la frecuencia máxima de trabajo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En FET, se trabaja entre zona de corte y óhmica.
+ La 
+\series bold
+razón conexión-desconexión
+\series default
+ es aquella entre la señal de salida a nivel alto (1) y la de salida a nivel
+ bajo (0), y cuanto mayor sea más fácil es distinguir entre ambos estados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El NMOS es ideal para su uso en computadoras.
+ Tres tipos de inversor:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Inversor con 
+\series bold
+carga pasiva
+\series default
+: Si 
+\begin_inset Formula $V_{in}<V_{T}$
+\end_inset
+
+, estará en corte y 
+\begin_inset Formula $V_{out}=V_{dd}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $V_{in}>V_{T}$
+\end_inset
+
+ estará en conducción, y 
+\begin_inset Formula $V_{out}$
+\end_inset
+
+ cae a un valor muy pequeño.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Inversor con 
+\series bold
+carga activa
+\series default
+: El MOS inferior actúa como conmutador y el superior sustituye a la resistencia.
+ Mejor integración en el chip, pues no necesita una resistencia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Inversor 
+\series bold
+CMOS
+\series default
+: MOS complementarios.
+ Cuando uno conduce el otro está en corte.
+ Tiene un consumo extremadamente bajo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="3">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="middle" width="29text%">
+<column alignment="center" valignment="middle" width="29text%">
+<column alignment="center" valignment="middle" width="29text%">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(T)[nigfete]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(T.G) node[left]{$V_{in}$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(T.S) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(T.D) -- (T.D) to[R] ($(T.D)+(0,2)$) node[above]{$V_{dd}$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(T.D) -- ($(T.D)+(0.5,0)$) node[right]{$V_{out}$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(A)[nigfete]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+($(A)+(A.D)-(A.S)$) node(B)[nigfete]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(A.S) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(A.G) node[left]{$V_{in}$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(A.D) -- ($(A.D)+(0.5,0)$) node[right]{$V_{out}$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(B.G) -- (B.G |- B.D) -- (B.D) -- ($(B.D)+(0,0.5)$) node[above]{$V_{dd}$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(A)[nigfete]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+($(A)+(A.D)-(A.S)$) node(B)[pigfete,yscale=-1]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(A.G) -- (B.G)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+($0.5*(A.G)+0.5*(B.G)+(-0.5,0)$) node[left]{$V_{in}$} -- ($0.5*(A.G)+0.5*(B.G)$)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(B.D) node[above]{$V_{dd}$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(A.S) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(A.D) -- ($(A.D)+(0.5,0)$) node[right]{$V_{out}$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Con carga pasiva
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Con carga activa
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+CMOS
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ffi/n5.lyx b/ffi/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..5b5a503
--- /dev/null
+++ b/ffi/n5.lyx
@@ -0,0 +1,1246 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\usepackage{circuitikz}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
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+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
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+\spacing single
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+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
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+\shortcut idx
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+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+representnode#1{
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\backslash
+draw (0,0) node[#1]{};
+\backslash
+end{circuitikz}}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+shownode#1{
+\backslash
+begin{center}
+\backslash
+representnode{#1}
+\backslash
+end{center}}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+amplificador operacional
+\series default
+ es un tipo de amplificador diferencial usado junto con componentes pasivos
+ para sumar, restar, integrar, derivar, etc.
+ Tiene dos terminales de entrada, una no inversora y otra inversora; un
+ terminal de salida, y dos terminales para alimentación 
+\begin_inset Formula $+V_{cc}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $-V_{cc}$
+\end_inset
+
+.
+ La tensión en cada uno debe ser constante y de signo opuesto al otro, pero
+ no tienen por qué ser tensiones opuestas.
+ Si lo son decimos que la alimentación es 
+\series bold
+simétrica
+\series default
+, y de lo contrario es 
+\series bold
+asimétrica
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(oa)[op amp]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(oa.+) node[left]{$v_+$} (oa.-) node[left]{$v_-$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(oa.up) node[vcc]{$+V_{cc}$} (oa.down) node[vee]{$-V_{cc}$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(oa.out) node[right]{$v_{out}$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos zonas de funcionamiento:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Lineal
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $-V_{cc}<V_{out}<+V_{cc}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Saturación
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $V_{out}=+V_{cc}$
+\end_inset
+
+ ó 
+\begin_inset Formula $V_{out}=-V_{cc}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Su función es 
+\begin_inset Formula $v_{out}=A_{V}(v_{+}-v_{-})$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $v_{+}$
+\end_inset
+
+ es la entrada no inversora y 
+\begin_inset Formula $v_{-}$
+\end_inset
+
+ la inversora.
+ Llamamos 
+\series bold
+tensión de entrada diferencial
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $v_{in}:=v_{+}-v_{-}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $v_{out}=A_{V}\cdot v_{in}$
+\end_inset
+
+; 
+\series bold
+ganancia diferencial
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $A_{d}:=A_{V}$
+\end_inset
+
+, y 
+\series bold
+tensión de entrada de modo común
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $v_{icm}:=\frac{v_{+}+v_{-}}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ La variación de la tensión de salida en el tiempo está limitada por el
+ 
+\series bold
+\emph on
+slew-rate
+\series default
+\emph default
+, 
+\begin_inset Formula $SR:=\max\left\{ \frac{dv_{out}}{dt}\right\} $
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los AO contienen circuitos de entrada acoplados en continua, y la corriente
+ entra y sale de los terminales de entrada del AO.
+ En el caso real, las corrientes de polarización (?) no son iguales, lo
+ que crea una 
+\series bold
+corriente de desviación
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $I_{off}:=I_{B^{+}}-I_{B^{-}}$
+\end_inset
+
+.
+ También puede haber una tensión de salida distinta de cero para una tensión
+ de entrada nula (
+\series bold
+\emph on
+offset voltage
+\series default
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+realimentación
+\series default
+ es la conexión de una señal de salida con alguna de las entradas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Realimentación positiva
+\series default
+: Cuando se hace a la entrada no inversora.
+ Resulta en circuitos inestables que rápidamente se saturan.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Realimentación negativa
+\series default
+: Cuando se hace a la entrada inversora.
+ La ganancia se reduce respecto al valor en lazo abierto y el circuito es
+ más estable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un AO (amplificador operacional) ideal tiene 
+\begin_inset Formula $Z_{in}=+\infty$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A_{V_{0}}=+\infty$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $G=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Z_{out}=0$
+\end_inset
+
+, ancho de banda 
+\begin_inset Formula $W_{D}=+\infty$
+\end_inset
+
+ y ausencia de desviación de características con la temperatura.
+ Con esto se facilitan los cálculos, pues como 
+\begin_inset Formula $Z_{in}=+\infty$
+\end_inset
+
+, las corrientes de entrada se pueden considerar nulas, y si existe realimentaci
+ón negativa podemos considerar que, siempre que no se llegue a la zona de
+ saturación, las dos entradas se encuentran al mismo potencial, situación
+ a la que llamamos 
+\series bold
+cortocircuito virtual
+\series default
+.
+ Esto se debe a que la ganancia es tan elevada que una pequeña tensión diferenci
+al entre las entradas saturaría la salida, y al realimentar negativamente,
+ si las tensiones se desequilibran, la realimentación negativa compensa
+ esta diferencia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Circuitos con AO
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Amplificador inversor
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(OA)[op amp]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.+) -- ++(0,-1) node(G)[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) to[R=$R_1$] ++(-2,0) to[american voltage source,l=$v_{in}$] ($(OA.-
+ |- G) + (-2,0)$) -- (G)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) -- ++(0,1) to[R=$R_2$] ($(OA.out |- OA.-) + (0,1)$) -- (OA.out) -- ($(OA.out)+
+(.5,0)$) to[R=$R_L$] ($(OA.out |- G) + (.5,0)$) -- (G);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tenemos en cuenta que 
+\begin_inset Formula $V_{+}=V_{-}=0$
+\end_inset
+
+ y las leyes de Kirchhoff.
+ Como 
+\begin_inset Formula $I_{-}=0$
+\end_inset
+
+, toda la corriente pasa por 
+\begin_inset Formula $R_{2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $i_{1}=i_{2}$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $\frac{v_{in}-v_{-}}{R_{1}}=\frac{v_{-}-v_{out}}{R_{2}}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v_{-}=0$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $v_{out}=-v_{in}\frac{R_{2}}{R_{1}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{V}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Amplificador no inversor
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(OA)[op amp,yscale=-1]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) -- ++(0,-1) to[R=$R_1$] ++(0,-2) node(G)[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.+) -- ++(-2,0) to[american voltage source,l=$v_{in}$] ($(OA.+ |- G) +
+ (-2,0)$) -- (G)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.out) -- ($(OA.out |- OA.-)+(0,-1)$) to[R=$R_2$] ($(OA.-)+(0,-1)$)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.out) -- ($(OA.out)+(1,0)$) to[R=$R_L$] ($(OA.out |- G)+(1,0)$) -- (G);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tenemos que 
+\begin_inset Formula $v_{-}=v_{+}=v_{in}$
+\end_inset
+
+, y que 
+\begin_inset Formula $i_{-}=i_{+}=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $i_{1}=i_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero 
+\begin_inset Formula $i_{1}=\frac{v_{-}}{R_{1}}=\frac{v_{in}}{R_{1}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $v_{out}=i_{1}(R_{1}+R_{2})=v_{in}\left(1+\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{V}=\frac{V_{out}}{V_{in}}=1+\frac{R_{2}}{R_{1}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Seguidor de tensión
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(OA)[op amp,yscale=-1]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.+) -- ++(-2,0) to[american voltage source,l=$v_{in}$] ($(OA.+ |- OA.out)+(-2,-2
+)$) node(G)[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) -- ++(0,-1) -- ($(OA.out |- OA.-)+(0,-1)$) -- (OA.out) -- ++(1,0) to[R=$R_L$]
+ ($(OA.out |- G) + (1,0)$) node[ground]{};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tenemos 
+\begin_inset Formula $v_{out}=v_{in}$
+\end_inset
+
+ (por tanto 
+\begin_inset Formula $A_{V}=1$
+\end_inset
+
+).
+ Esto se usa principalmente como etapa de adaptación de la entrada al sistema,
+ proporcionando una elevada resistencia de entrada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Sumador inversor
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(OA)[op amp]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) -- ++(-1,0) -- ++(0,1) to[R=$R_A$] ++(-4,0) to[american voltage source,l=$
+v_A$] ++(0,-4) node(G)[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+($(OA.-)+(-1,0)$) -- ++(0,-1) to[R=$R_B$] ++(-2,0) to[american voltage source,l=$
+v_B$] ++(0,-2) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) -- ++(0,1) to[R=$R_f$] ($(OA.out |- OA.-) + (0,1)$) -- (OA.out) -- ++(1,0)
+ to[R=$R_L$] ($(OA.out |- G) + (1,0)$) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.+) to[R=$R_{bias}$] (OA.+ |- G) node[ground]{};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aquí, como 
+\begin_inset Formula $i_{-}=i_{+}=0$
+\end_inset
+
+, se tiene 
+\begin_inset Formula $v_{+}=R_{bias}i_{+}=0$
+\end_inset
+
+, y como hay realimentación negativa, 
+\begin_inset Formula $v_{-}=v_{+}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, 
+\begin_inset Formula $\frac{v_{A}-v_{-}}{R_{A}}+\frac{v_{B}-v_{-}}{R_{B}}=\frac{v_{-}-v_{out}}{R_{f}}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $v_{-}=0$
+\end_inset
+
+, nos queda que 
+\begin_inset Formula $v_{out}=-R_{f}\left(\frac{v_{A}}{R_{A}}+\frac{v_{B}}{R_{B}}\right)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Amplificador diferencial
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(OA)[op amp]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) to[R=$R_A$] ++(-4,0) to[american voltage source,l=$v_A$] ++(0,-3)
+ node(G)[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.+) to[R=$R_B$] ++(-2,0) to[american voltage source,l=$v_B$] ($(OA.+ |-
+ G) + (-2,0)$) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.+) to[R=$R_C$] (OA.+ |- G) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) -- ++(0,1) to[R=$R_f$] ($(OA.out |- OA.-)+(0,1)$) -- (OA.out) -- ++(1,0)
+ to[R=$R_L$] ($(OA.out |- G)+(1,0)$) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(1,-2) node{$
+\backslash
+frac{R_C}{R_B}=
+\backslash
+frac{R_f}{R_A}$};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\begin_inset Formula $i_{+}=0$
+\end_inset
+
+, toda la corriente que sale de 
+\begin_inset Formula $R_{B}$
+\end_inset
+
+ va a 
+\begin_inset Formula $R_{C}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v_{B}=i_{B}(R_{B}+R_{C})$
+\end_inset
+
+, y se tiene 
+\begin_inset Formula $v_{-}=v_{+}=i_{B}R_{C}=v_{B}\frac{R_{C}}{R_{B}+R_{C}}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, como 
+\begin_inset Formula $i_{-}=0$
+\end_inset
+
+, nos queda 
+\begin_inset Formula $v_{-}=v_{A}-i_{A}R_{A}=i_{A}R_{f}+v_{out}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $i_{A}=\frac{v_{A}-v_{out}}{R_{A}+R_{f}}$
+\end_inset
+
+.
+ Sustituyendo e igualando,
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+v_{B}\frac{R_{C}}{R_{B}+R_{C}}=\frac{v_{A}-v_{out}}{R_{A}+R_{f}}R_{f}+v_{out}=v_{A}\frac{R_{C}}{R_{B}+R_{C}}+v_{out}\frac{R_{B}}{R_{B}+R_{C}}\implies\\
+\implies v_{B}R_{C}-v_{A}R_{C}=v_{out}R_{B}\implies v_{out}=\frac{R_{C}}{R_{B}}(v_{B}-v_{A})=\frac{R_{f}}{R_{A}}(v_{B}-v_{A})
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+Para minimizar los efectos de la corriente de polarización (?) se deben
+ seleccionar 
+\begin_inset Formula $R_{A}=R_{B}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $R_{C}=R_{f}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Integrador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(OA)[op amp]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.+) -- ++(0,-2) node(G)[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) to[R=$R$] ++(-2,0) to[american voltage source,l=$v_{in}$] ($(OA.- |-
+ G)+(-2,0)$) -- (G)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) -- ($(OA.-)+(0,2.5)$) to[ospst,l=Reset] ($(OA.out |- OA.-)+(0,2.5)$) --
+ (OA.out)   
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+($(OA.-)+(0,1)$) to[C=$C$] ($(OA.out |- OA.-)+(0,1)$)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.out) -- ++(1,0) to[R=$R_L$] ($(OA.out |- G)+(1,0)$) -- (G);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La tensión de salida es 
+\begin_inset Formula $v_{out}=-\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}v_{in}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Derivador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,0) node(OA)[op amp]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.out) -- ++(1,0) to[R=$R_L$] ++(0,-2) node(H){}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.+) -- (OA.+ |- H) node(G)[ground]{} -- (H)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) -- ++(0,1) to[R=$R$] ($(OA.out |- OA.-)+(0,1)$) -- (OA.out)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(OA.-) to[C=$C$] ++(-2,0) to[american voltage source,l=$v_{in}$] ($(OA.- |-
+ G)+(-2,0)$) -- (G);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La tensión de salida es 
+\begin_inset Formula $v_{out}=-RC\frac{dv_{in}}{dt}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conversión digital a analógica (DAC)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Consiste en reconstruir una señal analógica a partir de una serie de muestras
+ en código binario.
+ La señal reconstruida no es la misma que la original, pues está retrasada
+ en el tiempo respecto a esta y los códigos no contienen información sobre
+ el valor de la señal entre dos muestras ni representan las amplitudes exactas
+ de estas.
+ La diferencia entre el valor de muestreo y la amplitud reconstruida se
+ denomina 
+\series bold
+error
+\series default
+ o 
+\series bold
+ruido de cuantificación
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una posible implementación de DAC es aquella basada en una red de resistencias
+ pon
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+de
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ra
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+das y un amplificador operacional.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{center}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+newcommand*{
+\backslash
+equal}{=}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+draw (0,3) node(sa)[spdt,rotate=-90]{} node[left]{$d_0$} (2,3) node(sb)[spdt,rot
+ate=-90]{} node[left]{$d_1$} (4,3) node(sc)[spdt,rotate=-90]{} node[left]{$d_2$}
+ (7,3) node(sn)[spdt,rotate=-90]{} node[left]{$d_{n-1}$} (9,1) node(oa)[op
+ amp]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(sa.out 1) node[ground]{} (sb.out 1) node[ground]{} (sc.out 1) node[ground]{}
+ (sn.out 1) node[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(sa.in) to[R=$R$] ++(0,2) (sb.in) to[R=$2R$] ++(0,2) (sc.in) to[R=$4R$] ++(0,2)
+ (sn.in) to[R=$
+\backslash
+cdots
+\backslash
+ 
+\backslash
+ 
+\backslash
+ 2^{n-1}R$] ++(0,2)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+%($0.5*(sc.in)+0.5*(sn.in)+(0,1)$) node{$
+\backslash
+cdots$} 
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+($0.5*(sa.in)+0.5*(sn.in)+(0,2)$) -- ++(0,1) node[right]{$V_{ref}$}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+($(sa.in)+(0,2)$) -- ++(7,0)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(sa.out 2) -- (sa.out 2 |- oa.-) -- (oa.-) (sb.out 2) -- (sb.out 2 |- oa.-) (sc.out
+ 2) -- (sc.out 2 |- oa.-) (sn.out 2) -- (sn.out 2 |- oa.-)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(oa.-) -- ++(0,1) to[R=$R_f
+\backslash
+equal
+\backslash
+frac R2$] ($(oa.out |- oa.-)+(0,1)$) -- (oa.out) -- ++(1,0) to[R=$R_L$] ++(0,-2)
+ node(G)[ground]{}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+(oa.+) -- (oa.+ |- G) node[ground]{};
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{circuitikz}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{center}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ffi/pegado1.png b/ffi/pegado1.png
new file mode 100644
index 0000000..8bf26d5
--- /dev/null
+++ b/ffi/pegado1.png
diff --git a/ffi/pegado2.png b/ffi/pegado2.png
new file mode 100644
index 0000000..4aa54a1
--- /dev/null
+++ b/ffi/pegado2.png
diff --git a/fuvr2/n.lyx b/fuvr2/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..49459e8
--- /dev/null
+++ b/fuvr2/n.lyx
@@ -0,0 +1,190 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+
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+Funciones de una variable real II
+\end_layout
+
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+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2018}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Análisis Matemático I, J.
+ M.
+ Mira & S.
+ Sánchez-Pedreño.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Funciones reales de una variable real: Notas de clase, B.
+ Cascales, L.
+ Oncina & S.
+ Sánchez-Pedreño (Curso 2017–18).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Cálculo diferencial
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
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+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Cálculo integral
+\end_layout
+
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+\begin_inset CommandInset include
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+
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+
+
+\end_layout
+
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+Series de potencias
+\end_layout
+
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+
+
+\end_layout
+
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diff --git a/fuvr2/n1.lyx b/fuvr2/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..a8766da
--- /dev/null
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@@ -0,0 +1,4028 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una función 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ un intervalo abierto, es 
+\series bold
+derivable
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+ si existe
+\begin_inset Formula 
+\[
+f'(c):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}
+\]
+
+\end_inset
+
+y se dice derivable en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ si es derivable en cada punto de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ Al valor 
+\begin_inset Formula $f'(c)$
+\end_inset
+
+ lo llamamos 
+\series bold
+derivada
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\series bold
+cociente incremental
+\series default
+ a la expresión 
+\begin_inset Formula $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
+\end_inset
+
+.
+ Otra definición de derivada es
+\begin_inset Formula 
+\[
+f'(c):=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}
+\]
+
+\end_inset
+
+ Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+derivada de la función
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ a la función 
+\begin_inset Formula $f':I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ que a cada 
+\begin_inset Formula $x\in I$
+\end_inset
+
+ le hace corresponder 
+\begin_inset Formula $f'(x)$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos definir la 
+\series bold
+derivada por la izquierda
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $f'(c^{-}):=f'_{-}(c):=\lim_{h\rightarrow0^{-}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
+\end_inset
+
+, y la 
+\series bold
+derivada por la derecha
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $f'(c^{+}):=f'_{+}(c):=\lim_{h\rightarrow0^{+}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+recta tangente
+\series default
+ a la curva 
+\begin_inset Formula $y=f(x)$
+\end_inset
+
+ en el punto 
+\begin_inset Formula $(c,f(c))$
+\end_inset
+
+ a la función dada por 
+\begin_inset Formula $g(x)=f(c)+f'(c)(x-c)$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos formular que 
+\begin_inset Formula $f'(c)=m$
+\end_inset
+
+ diciendo que
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(c+h)=f(c)+mh+h\phi(h)
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $\phi:(-\delta,\delta)\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es una función tal que 
+\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\phi(h)=0$
+\end_inset
+
+.
+ Equivalentemente, podemos hacer uso de la 
+\series bold
+
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+o
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ pequeña de Landau
+\series default
+, que representa una función cualquiera definida en un entorno reducido
+ o perforado del origen, 
+\begin_inset Formula $(-\delta,\delta)\backslash\{0\}$
+\end_inset
+
+, y cumple que 
+\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\frac{o(h)}{h}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Así,
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(c+h)=f(c)+mh+o(h)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+diferenciable
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+ si existe una aplicación 
+\emph on
+lineal
+\emph default
+ 
+\begin_inset Formula $L:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ llamada 
+\series bold
+diferencial
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, denotada 
+\begin_inset Formula $df(c)$
+\end_inset
+
+, tal que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)-L(h)}{h}=0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se tiene que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es diferenciable en 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+ si y sólo si es derivable en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $df(c)(x)=f'(c)x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $\alpha(h):=\frac{f(c+h)-f(c)-L(h)}{h}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-L\left(\frac{h}{h}\right)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-L(1)$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+f'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\alpha(h)+L(1)=L(1)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-f'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)-f'(c)h}{h}=0
+\]
+
+\end_inset
+
+por lo que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f'(c)=L(1)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:I\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Se tiene que 
+\begin_inset Formula $f(c+h)-f(c)=(f'(c)+\phi(h))h$
+\end_inset
+
+, luego dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\delta'>0$
+\end_inset
+
+ tal que todo 
+\begin_inset Formula $|h|<\delta'$
+\end_inset
+
+ cumple que 
+\begin_inset Formula $|\phi(h)|<1$
+\end_inset
+
+, y tomando 
+\begin_inset Formula $\delta:=\min\{\delta',\frac{\varepsilon}{|f'(c)|+1}\}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $|h|<\delta$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|f(c+h)-f(c)|=|f'(c)+\phi(h)||h|\leq(|f'(c)+|\phi(h)|)|h|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Cálculo de derivadas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $f,g:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ un intervalo abierto, derivables en 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(f+g)'(c)=f'(c)+g'(c)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f+g)(c+h)-(f+g)(c)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)+g(c+h)-g(c)}{h}=f'(c)+g'(c)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\begin{gather*}
+(fg)'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c)}{h}=\\
+=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c+h)+f(c)g(c+h)-f(c)g(c)}{h}=\\
+=\lim_{h\rightarrow0}g(c+h)\frac{f(c+h)-f(c)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}f(c)\frac{g(c+h)-g(c)}{h}=g(c)f'(c)+f(c)g'(c)
+\end{gather*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $g(x)\neq0\forall x\in I\implies\left(\frac{f}{g}\right)'(c)=\frac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g(c)^{2}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{gathered}\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{f(c+h)}{g(c+h)}-\frac{f(c)}{g(c)}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)g(c)-f(c)g(c+h)}{hg(c)g(c+h)}=\\
+=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)g(c)-f(c)g(c)+f(c)g(c)-f(c)g(c+h)}{hg(c)g(c+h)}=\\
+=\lim_{h\rightarrow0}g(c)\frac{f(c+h)-f(c)}{hg(c)g(c+h)}+f(c)\frac{g(c)-g(c+h)}{hg(c)g(c+h)}=\frac{f'(c)g(c)}{g(c)^{2}}-\frac{f(c)g'(c)}{g(c)^{2}}
+\end{gathered}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\alpha f)'(c)=\alpha f'(c)\forall\alpha\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $g(x)=\alpha$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\in I$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+g'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(c+h)-g(c)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\alpha-\alpha}{h}=0
+\]
+
+\end_inset
+
+luego
+\begin_inset Formula 
+\[
+(\alpha f)'(c)=(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)=f'(c)g(c)=\alpha f'(c)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla de la cadena:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $I,J$
+\end_inset
+
+ intervalos abiertos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:J\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\text{Im}f\subseteq J$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ lo es en 
+\begin_inset Formula $f(c)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula 
+\[
+(g\circ f)'(c)=g'(f(c))f'(c)
+\]
+
+\end_inset
+
+Para demostrarlo usamos que 
+\begin_inset Formula $f(c+h)=f(c)+hf'(c)+h\phi(h)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(f(c)+k)=g(f(c))+kg'(f(c))+k\psi(k)$
+\end_inset
+
+.
+ Así,
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+g(f(c+h)) & = & g(f(c)+hf'(c)+h\phi(h))\\
+ & = & g(f(c))+(hf'(c)+h\phi(h))g'(f(c))+(hf'(c)+h\phi(h))\psi(hf'(c)+h\phi(h))\\
+ & = & g(f(c))+hf'(c)g'(f(c))+\\
+ &  & +h(\phi(h)g'(f(c))+(f'(c)+\phi(h))\psi(hf'(c)+h\phi(h)))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Si llamamos 
+\begin_inset Formula $\gamma(h)$
+\end_inset
+
+ al último sumando, vemos que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(c+h)=(g\circ f)(c)+hf'(c)g'(f(c))+h\gamma(h)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\gamma(h)=0$
+\end_inset
+
+, lo que prueba el teorema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow J$
+\end_inset
+
+ es una biyección derivable entre los intervalos 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ continua y 
+\begin_inset Formula $f'(x)\neq0\forall x\in I$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ es derivable y
+\begin_inset Formula 
+\[
+(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
+\]
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $y=f(x),y_{0}=f(x_{0})$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{y\rightarrow y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}}=\lim_{y\rightarrow y_{0}}\frac{1}{\frac{y-y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Veamos algunas derivadas importantes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x)=\sin x$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f'(x)=\cos x$
+\end_inset
+
+.
+ Si es 
+\begin_inset Formula $g(x)=\cos x$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $g'(x)=-\sin x$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\sin x=\sin\left(\frac{x+c}{2}+\frac{x-c}{2}\right)=\cos\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}+\sin\frac{x+c}{2}\cos\frac{x-c}{2}\\
+\sin c=\sin\left(\frac{x+c}{2}-\frac{x-c}{2}\right)=-\cos\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}+\sin\frac{x+c}{2}\cos\frac{x-c}{2}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+Por tanto,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{x\rightarrow c}\frac{\sin x-\sin c}{x-c}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{\cos\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}}{\frac{x-c}{2}}=\lim_{x\rightarrow c}\cos\frac{x+c}{2}\cdot1=\cos c
+\]
+
+\end_inset
+
+La derivada del coseno se obtiene de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f(x)=\tan x$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f'(x)=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula $f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$
+\end_inset
+
+, partiendo de la derivada del seno y del coseno,
+\begin_inset Formula 
+\[
+f'(x)=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x)=e^{x}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f'(x)=e^{x}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}e^{x}\frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:I\subseteq(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x)=\log x$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f'(x)=\frac{1}{x}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+El logaritmo es la inversa de 
+\begin_inset Formula $g(x)=e^{x}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $g'(x)=e^{x}$
+\end_inset
+
+, luego
+\begin_inset Formula 
+\[
+f'(x)=\frac{1}{e^{\log x}}=\frac{1}{x}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:I\subseteq(-1,1)\rightarrow(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x)=\arcsin x$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $g:I\subseteq(-1,1)\rightarrow(0,\pi)$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $g(x)=\arccos x$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $g'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Al ser 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ la inversa del seno y 
+\begin_inset Formula $\sin'(x)=\cos x$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+f'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin x)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}(\arcsin x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
+\]
+
+\end_inset
+
+La derivada del arcocoseno se hace de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x)=\arctan x$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Esta función es la inversa de la tangente, y como 
+\begin_inset Formula $\tan'(x)=1+\tan^{2}x$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+f'(x)=\frac{1}{1+\tan^{2}(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^{2}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado 
+\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, la derivada de 
+\begin_inset Formula $f(x)=x^{\alpha}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Para demostrarlo usamos 
+\series bold
+derivación logarítmica
+\series default
+: Tomamos logaritmos en la definición de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y derivamos la expresión resultante.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\log(f(x))=\log(x^{\alpha})=\alpha\log x\implies\log(f(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{\alpha}{x}\implies f'(x)=f(x)\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Derivabilidad en un intervalo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una función 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ definida en un intervalo 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+creciente
+\series default
+, 
+\series bold
+estrictamente creciente
+\series default
+, 
+\series bold
+decreciente
+\series default
+ o 
+\series bold
+estrictamente decreciente
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ si para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $x,y\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+ se tiene, respectivamente, que 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq f(y)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(x)<f(y)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(x)\geq f(y)$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $f(x)>f(y)$
+\end_inset
+
+.
+ Es creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente
+ en un punto 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+ si existe un entorno perforado 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $x\in I\cap V$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $m:=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$
+\end_inset
+
+ es, respectivamente, 
+\begin_inset Formula $m\geq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $m>0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $m\leq0$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $m<0$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es creciente o decreciente en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ si y sólo si lo es en cada punto de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Trivial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ creciente en cada 
+\begin_inset Formula $x\in I$
+\end_inset
+
+, es menester demostrar que, dados 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq f(y)$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A:=\{z\in(x,y]:f(x)\leq f(z)\}$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ porque 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es creciente en 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es acotado superiormente, podemos definir 
+\begin_inset Formula $\alpha:=\sup A$
+\end_inset
+
+, y basta probar que 
+\begin_inset Formula $\alpha=y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq f(\alpha)$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es creciente en 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(z)\leq f(\alpha)$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $z\in(\alpha-\delta,\alpha)$
+\end_inset
+
+.
+ Pero por definición de 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ para alguno de esos valores es 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq f(z)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq f(\alpha)$
+\end_inset
+
+.
+ Si fuera 
+\begin_inset Formula $\alpha<y$
+\end_inset
+
+ existiría 
+\begin_inset Formula $z\in(\alpha,y]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(\alpha)\leq f(z)$
+\end_inset
+
+ por el crecimiento de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, pero entonces se tendría que 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq f(\alpha)\leq f(z)$
+\end_inset
+
+, contradiciendo la definición de 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene un 
+\series bold
+máximo relativo
+\series default
+ o 
+\series bold
+local
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+ si existe un entorno 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq f(c)\forall x\in I\cap V$
+\end_inset
+
+, tiene un 
+\series bold
+mínimo relativo
+\series default
+ o 
+\series bold
+local
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $c\in I$
+\end_inset
+
+ si existe un entorno 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(x)\geq f(c)\forall x\in I\cap V$
+\end_inset
+
+, y tiene un 
+\series bold
+extremo relativo
+\series default
+ o 
+\series bold
+local
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ si tiene un máximo o mínimo relativo en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f'(c)>0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es estrictamente creciente en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+f'(c)=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0
+\]
+
+\end_inset
+
+por lo que existe un entorno reducido 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall x\in I\cap V,\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f'(c)<0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es estrictamente decreciente en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ es un punto interior del intervalo 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ (no es un extremo) y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es derivable y tiene un extremo relativo en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f'(c)=0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Supongamos que el extremo es un máximo.
+ Existe un entorno 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall x\in I\cap V,f(x)\leq f(c)$
+\end_inset
+
+, luego para 
+\begin_inset Formula $x\in I\cap V$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\{ \begin{array}{ccccc}
+x<c & \implies & \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0 & \implies & f'(c^{-})=\lim_{x\rightarrow c^{-}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0\\
+x>c & \implies & \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0 & \implies & f(c^{+})=\lim_{x\rightarrow c^{+}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+Pero como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0\leq f'(c^{-})=f'(c)=f'(c^{+})\leq0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f'(c)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ derivable, 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+punto crítico
+\series default
+ o 
+\series bold
+estacionario
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $f'(c)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Teoremas del valor medio
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de Rolle:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ y derivable en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(b)$
+\end_inset
+
+ entonces existe 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f'(c)=0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es constante, tomamos 
+\begin_inset Formula $c:=\frac{a+b}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Si no, supongamos por ejemplo que existe 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x_{0})>f(a)=f(b)$
+\end_inset
+
+.
+ Por el teorema de Weierstrass, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ alcanza su máximo absoluto en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, y por lo anterior debe alcanzarse en un punto interior 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ Pero por ser máximo absoluto es también máximo relativo y por tanto 
+\begin_inset Formula $f'(c)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema del valor medio de Cauchy:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continuas en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ y derivables en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)$
+\end_inset
+
+ (si 
+\begin_inset Formula $g(b)\neq g(a)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g'(c)\neq0$
+\end_inset
+
+ podemos expresar esto como 
+\begin_inset Formula $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Aplicamos el teorema de Rolle a 
+\begin_inset Formula $h(x):=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $h(a)=h(b)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema del valor medio de Lagrange:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ y derivable en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\theta\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f'(\theta)(b-a)=f(b)-f(a)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Es un caso particular del teorema del valor medio de Cauchy tomando 
+\begin_inset Formula $g(x):=x$
+\end_inset
+
+.
+ El teorema de Rolle es un caso particular de este, por lo que estos tres
+ teoremas son equivalentes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de los incrementos finitos:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ y derivable en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $|f'(x)|\leq M\forall x\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$
+\end_inset
+
+ para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $x,y\in[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ A efectos prácticos, esto significa que si 
+\begin_inset Formula $f'$
+\end_inset
+
+ es acotada entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es uniformemente continua.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Basta aplicar el teorema del valor medio de Lagrange a 
+\begin_inset Formula $f|_{[x,y]}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ continuas en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ y derivable en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+ se cumplen las siguientes propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall x\in(a,b),f'(x)=0\implies\exists k\in\mathbb{R}:\forall x\in(a,b),f(x)=k$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Aplicando el teorema de Lagrange en 
+\begin_inset Formula $[a,x]$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $c\in(a,x)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)=0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f(x)=f(a)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall x\in(a,b),f'(x)=g'(x)\implies\exists k\in\mathbb{R}:\forall x\in(a,b),f(x)=g(x)+k$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $h(x):=f(x)-g(x)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $h'(x)=f'(x)-g'(x)=0$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $h(x)$
+\end_inset
+
+ es constante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si para todo 
+\begin_inset Formula $x\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $f'(x)\geq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f'(x)>0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f'(x)\leq0$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $f'(x)<0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es, respectivamente, creciente, estrictamente creciente, decreciente o
+ estrictamente decreciente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ derivable y 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f'(c)=0$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\exists\delta>0:(\forall x\in(c-\delta,c)\subseteq(a,b),f'(x)\leq0\land\forall x\in(c,c+\delta)\subseteq(a,b),f'(x)\geq0)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ posee un mínimo relativo en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente, si 
+\begin_inset Formula $\exists\delta>0:(\forall x\in(c-\delta,c)\subseteq(a,b),f'(x)\geq0\land\forall x\in(c,c+\delta)\subseteq(a,b),f'(x)\leq0)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ posee un máximo relativo en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para el primer caso, si 
+\begin_inset Formula $y\in(c-\delta,c)$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\eta\in(y,c)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(c)-f(y)=f'(\eta)(c-y)\leq0$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $f(c)\leq f(y)$
+\end_inset
+
+, mientras que si 
+\begin_inset Formula $y\in(c,c+\delta)$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\beta\in(c,y)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(y)-f(c)=f'(\beta)(y-c)\geq0$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $f(c)\leq f(y)$
+\end_inset
+
+; luego si 
+\begin_inset Formula $y\in(c-\delta,c+\delta)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f(y)\geq f(c)$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene un mínimo relativo en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+ El segundo caso se prueba de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Con esto podemos probar la 
+\series bold
+desigualdad de Bernouilli
+\series default
+ de forma más general: dados 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha>1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(1+x)^{\alpha}>1+\alpha x$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ definida por 
+\begin_inset Formula $f(x)=(1+x)^{\alpha}-1-\alpha x$
+\end_inset
+
+ para un cierto 
+\begin_inset Formula $\alpha>1$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $f(0)=0$
+\end_inset
+
+, basta probar que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es estrictamente creciente si 
+\begin_inset Formula $\alpha>1$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $f'(x)=\alpha((1+x)^{\alpha-1}-1)>0$
+\end_inset
+
+, probando la desigualdad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Teorema de la función inversa
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+propiedad de los valores intermedios
+\series default
+ afirma que, sea 
+\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ derivable y 
+\begin_inset Formula $x,y\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f'(x)<\eta<f'(y)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists z\in(x,y):f'(z)=\eta$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $g:[x,y]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g(t)=f(t)-\eta t$
+\end_inset
+
+ continua y derivable, que por el teorema de Weierstrass (que usamos en
+ lugar del de Bolzano porque 
+\begin_inset Formula $g'$
+\end_inset
+
+ no tiene por qué ser continua), tiene un mínimo absoluto en un 
+\begin_inset Formula $z\in[x,y]$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $g'(x)<0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g'(y)>0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ no puede ser 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ni 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $z\in(x,y)$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $g'(z)=0$
+\end_inset
+
+, o dicho de otra forma, 
+\begin_inset Formula $f'(z)=\eta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí deducimos el 
+\series bold
+teorema de la función inversa:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua en el intervalo 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y derivable en su interior con derivada no nula, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es una biyección de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ sobre un intervalo 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f^{-1}:J\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua y derivable en el interior de 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula 
+\[
+(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Por la propiedad anterior, bien 
+\begin_inset Formula $f'(x)>0$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $f'(x)<0$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es estrictamente monótona, de modo que es biyectiva de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ sobre un intervalo 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ siendo 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ estrictamente monótona y continua.
+ Sean entonces 
+\begin_inset Formula $y,y_{0}\in J,x=f^{-1}(y),x_{0}=f^{-1}(y_{0})$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{y\rightarrow y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}}=\lim_{y\rightarrow y_{0}}\frac{1}{\frac{y-y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Regla de L'Hospital
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ derivables en 
+\begin_inset Formula $I=(a,b)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $-\infty\leq a<b\leq+\infty$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g'$
+\end_inset
+
+ no tienen ceros en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y se cumple que o bien 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow b^{-}}g(x)=0$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}g(x)=\pm\infty$
+\end_inset
+
+, entonces, si existe 
+\begin_inset Formula $L:=\lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in\overline{\mathbb{R}}$
+\end_inset
+
+, es también 
+\begin_inset Formula $L=\lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f(x)}{g(x)}$
+\end_inset
+
+.
+ Por supuesto, esto también se cumple para límites por la derecha y por
+ tanto también para límites ordinarios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Desarrollos de Taylor
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es derivable en el intervalo abierto 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f'$
+\end_inset
+
+ también lo es, se dice que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es dos veces derivable en 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ y la derivada de 
+\begin_inset Formula $f'$
+\end_inset
+
+ se denota por 
+\begin_inset Formula $f^{(2)}:=f''$
+\end_inset
+
+, y por inducción, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ veces derivable y 
+\begin_inset Formula $f^{(n-1)}$
+\end_inset
+
+ es derivable, se dice que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ veces derivable y llamamos 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}:=(f^{(n-1)})'$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es de clase 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{n}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ si existe 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}$
+\end_inset
+
+ y es continua, y es de clase 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\Omega$
+\end_inset
+
+ si es de clase 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{n}$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ Por ejemplo, los polinomios son funciones de clase 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, de modo que conociendo el valor de 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y sus derivadas en un cierto punto es posible reconstruir el polinomio.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dividiendo 
+\begin_inset Formula $P(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $(x-x_{0})^{n}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $P(x)=b_{n}(x-x_{0})^{n}+Q_{n-1}(x)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $Q_{n-1}(x)$
+\end_inset
+
+ es de grado 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+.
+ Por inducción se obtiene 
+\begin_inset Formula $P(x)=b_{n}(x-x_{0})^{n}+\dots+b_{0}$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $b_{0}=P(x_{0})$
+\end_inset
+
+, y derivando sucesivamente:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{ccccc}
+P(x)=b_{n}(x-x_{0})^{n}+\dots+b_{0} &  & P(x_{0})=b_{0}\\
+P'(x)=nb_{n}(x-x_{0})^{n-1}+\dots+b_{1} &  & P'(x_{0})=b_{1} &  & b_{1}=\frac{P'(x_{0})}{1!}\\
+P''(x)=n(n-1)(x-x_{0})^{n-2}+\dots+2b_{2} &  & P''(x_{0})=2b_{2} &  & b_{2}=\frac{P''(x_{0})}{2!}\\
+P'''(x)=n(n-1)(n-2)(x-x_{0})^{n-3}+\dots+6b_{3} &  & P'''(x_{0})=6b_{3} &  & b_{3}=\frac{P'''(x_{0})}{3!}\\
+\vdots &  & \vdots &  & \vdots\\
+P^{(n)}(x)=n!b_{n} &  & P^{(n)}(x_{0})=n!b_{n} &  & b_{n}=\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+Con lo que 
+\begin_inset Formula $P(x)=P(x_{0})+\frac{P'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\dots+\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+polinomio de Taylor
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ de grado 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ a la siguiente expresión:
+\begin_inset Formula 
+\[
+P_{n}(f,x;x_{0})=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\dots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+El 
+\series bold
+resto del polinomio
+\series default
+ es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor: 
+\begin_inset Formula $R_{n}(x;x_{0}):=f(x)-P_{n}(f,x;x_{0})$
+\end_inset
+
+.
+ Una función 
+\begin_inset Formula $g:(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ definida en un entorno reducido de 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+o
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ pequeña
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $|x-x_{0}|^{n}$
+\end_inset
+
+, escrito 
+\begin_inset Formula $g(x)=o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+ o informalmente 
+\begin_inset Formula $o(x-x_{0})^{n}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{|g(x)|}{|x-x_{0}|^{n}}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $g(x)=o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $g(x)=o(|x-x_{0}|^{k})$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $1\leq k\leq n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{|g(x)|}{|x-x_{0}|^{k}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{|g(x)|}{|x-x_{0}|^{n}}|x-x_{0}|^{n-k}=0\cdot0=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Resto de Landau y desarrollos limitados
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ veces derivable en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+ y existe la derivada 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésima en 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f(x)=P_{n}(f,x;x_{0})+o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Aplicando la regla de L'Hospital 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ veces y la definición de derivada 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésima de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-P_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\dots=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(n-1)}(x)-P_{n}^{(n-1)}(x)}{n(n-1)\cdots2(x-x_{0})}
+\]
+
+\end_inset
+
+pero, al derivar 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ veces 
+\begin_inset Formula $P_{n}(x)$
+\end_inset
+
+, desaparecen todos los términos salvo los de grado 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $P_{n}^{(n-1)}(x)=(n-1)!\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}+n!\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})=f^{(n-1)}(x_{0})+f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-P_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}} & = & \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})-f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})}{n!(x-x_{0})}\\
+ & = & \frac{1}{n!}\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})}{(x-x_{0})}-f^{(n)}(x_{0})\right)\\
+ & = & 0
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A una expresión como la de arriba la llamamos 
+\series bold
+desarrollo limitado
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ de grado 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+, y cuando existe es única.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos que una expresión admite dos desarrollos limitados de orden
+ 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\dots+a_{n}(x-x_{0})^{n}+o(|x-x_{0}|^{n})=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+\dots+b_{n}(x-x_{0})^{n}+o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Igualando, 
+\begin_inset Formula $(b_{0}-a_{0})+(b_{1}-a_{1})(x-x_{0})+\dots+(b_{n}-a_{n})(x-x_{0})^{n}=o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Tomando límites cuando 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ tiende a 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{0}=b_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Eliminando este sumando, dividiendo por 
+\begin_inset Formula $(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+ y tomando límites de nuevo, queda 
+\begin_inset Formula $a_{1}=b_{1}$
+\end_inset
+
+, y así sucesivamente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para calcular desarrollos limitados, muy útiles en el cálculo de límites
+ de cocientes sustituyendo a la regla de L'Hospital, sean 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ funciones de clase 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{n}$
+\end_inset
+
+ definidas en entornos de 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y_{0}$
+\end_inset
+
+, respectivamente, y derivables 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ veces en dichos puntos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $x_{0}=y_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(f+g)(x)=P_{n}(f,x;x_{0})+P_{n}(g,x;x_{0})+o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $x_{0}=y_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(fg)(x)=P_{n}(f,x;x_{0})P_{n}(g,x;x_{0})+o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Aquí hay que agrupar los términos convenientemente teniendo en cuenta que
+ los términos de grado mayor a 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $x_{0}=y_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{P_{n}(f,x;x_{0})}{P_{n}(g,x;x_{0})}+o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Aquí hay que considerar la 
+\emph on
+fracción continua
+\emph default
+ de polinomios, que es igual que la división normal de polinomios pero tomando
+ los términos de menor grado del divisor y el dividendo en vez de los de
+ mayor grado, y terminando cuando el grado del término resultante del cociente
+ sea mayor que 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, pues a partir de ahí el resto de términos son 
+\begin_inset Formula $o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f(x)=P_{n}(f,x;x_{0})+o(|x-x_{0}|^{n})$
+\end_inset
+
+, el desarrollo limitado de orden 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $f'$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $f'(x)=(P_{n}(f,x;x_{0}))'+o(|x-x_{0}|^{n-1})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f(x_{0})=y_{0}$
+\end_inset
+
+ y la función 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ está definida en un entorno de 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ en el que admite un desarrollo limitado en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+, este se obtiene sustituyendo el desarrollo de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en el de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ y agrupando los términos convenientemente tanto en la parte polinómica
+ de grado menor o igual a 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ como en la del resto de Landau.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ veces derivable en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $f'(x_{0})=\dots=f^{(n-1)}(x_{0})=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})\neq0$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es par, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ presenta un máximo relativo en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})<0$
+\end_inset
+
+ o un mínimo relativo si 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})>0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como todas las derivadas en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ hasta 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ son 0,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+f(x)=f(x_{0})+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})\implies\\
+\implies\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})<0$
+\end_inset
+
+, existe un entorno de 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ en el que el segundo miembro de la igualdad es estrictamente negativo y
+ por tanto también el primero, pero como 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es par, esto significa que 
+\begin_inset Formula $f(x)-f(x_{0})<0$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $f(x)<f(x_{0})$
+\end_inset
+
+ y hay un máximo relativo.
+ El caso en que 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})>0$
+\end_inset
+
+ es análogo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es impar, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no tiene extremo relativo en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Llegamos a que existe un entorno de 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ en el que el primer miembro de la igualdad es estrictamente positivo o
+ estrictamente negativo, pero cualquiera de las situaciones significa que
+ la función es estrictamente creciente a ambos lados o estrictamente decreciente
+ a ambos lados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Fórmula de Taylor con resto de Lagrange
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ veces derivable en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+ y sean 
+\begin_inset Formula $x_{0},x\in(a,b)$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ estrictamente entre 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula 
+\[
+R_{n-1}(x;x_{0})=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Aplicando el teorema del valor medio de Cauchy a 
+\begin_inset Formula 
+\[
+F(t):=f(x)-\left(f(t)+\frac{1}{1!}f'(t)(x-t)+\dots+\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-1}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $G(t):=(x-t)^{n}$
+\end_inset
+
+ entre 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ estrictamente entre 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(F(x_{0})-F(x))G'(c)=(G(x_{0})-G(x))F'(c)$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $F(x)=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $F(x_{0})=R_{n-1}(x;x_{0})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $G(x)=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $G(x_{0})=(x-x_{0})^{n}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $R_{n-1}(x;x_{0})G'(c)=(x-x_{0})^{n}F'(c)$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora calculamos las derivadas de 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene que 
+\begin_inset Formula $G'(t)=-n(x-t)^{n-1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $G'(c)=-n(x-c)^{n-1}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+F'(t)=-\left(f'(t)+\frac{1}{1!}f''(t)(x-t)+\dots+\frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}\right)+\\
++\left(\frac{1}{1!}f'(t)+\dots+\frac{n-1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-2}\right)=-\frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+luego 
+\begin_inset Formula $F'(c)=-\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!}(x-c)^{n-1}$
+\end_inset
+
+, y sustituyendo, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+R_{n-1}(x;x_{0})=\frac{F'(c)}{G'(c)}(x-x_{0})^{n}=\frac{-\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!}(x-c)^{n-1}}{-n(x-c)^{n-1}}(x-x_{0})^{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esta forma de expresar el resto se llama 
+\series bold
+forma de Lagrange
+\series default
+, y a veces se escribe 
+\begin_inset Formula $c=x_{0}+\theta(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $0<\theta<1$
+\end_inset
+
+, de modo que si 
+\begin_inset Formula $x_{0}=0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $c=\theta x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las funciones 
+\series bold
+analíticas
+\series default
+ son funciones de clase 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ en las que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ coincide con su polinomio de Taylor 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+infinito
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ No todas las de clase 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ cumplen esta propiedad, pues, por ejemplo, la función 
+\begin_inset Formula $g(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $x\neq0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(0)=0$
+\end_inset
+
+ cumple que 
+\begin_inset Formula $g^{(n)}(0)=0$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y por tanto su 
+\series bold
+polinomio de Mac-Laurin
+\series default
+ (polinomio de Taylor en 
+\begin_inset Formula $x_{0}=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $P_{n}(g,x;0)$
+\end_inset
+
+) es nulo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Desarrollos de Taylor importantes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\dots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{e^{\theta x}}{n!}=\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}\right)+\frac{e^{\theta x}}{n!}x^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para cualquier 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}(x)=e^{x}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f^{(n)}(0)=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\dots+\frac{\sin(\theta x+n\pi/2)}{n!}x^{n}=\left(\sum_{k=0}^{\lfloor(n-2)/2\rfloor}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+\frac{\sin(\theta x+n\pi/2)}{n!}x^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{rccclrcl}
+f(x) & = & \sin x &  &  & f(0) & = & 0\\
+f'(x) & = & \cos x & = & \sin(x+\pi/2) & f'(0) & = & 1\\
+f''(x) & = & -\sin x & = & \sin(x+\pi) & f''(0) & = & 0\\
+f'''(x) & = & -\cos x & = & \sin(x+3\pi/2) & f'''(0) & = & -1\\
+f^{(4)}(x) & = & \sin x & = & \sin(x+2\pi) & f^{(4)}(0) & = & 0\\
+\vdots\\
+f^{(n)}(x) &  &  & = & \sin(x+n\pi/2) & f^{(n)}(0) & = & \sin(n\pi/2)
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\dots+\frac{\cos(\theta x+n\pi/2)}{n!}x^{n}=\left(\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}\right)+\frac{\cos(\theta x+n\pi/2)}{n!}x^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\log(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n(1+\theta x)^{n}}x^{n}=\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k}\right)+\frac{(-1)^{n-1}}{n(1+\theta x)^{n}}x^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{rclrcl}
+f(x) & = & \log(1+x) & f(0) & = & 0\\
+f'(x) & = & (1+x)^{-1} & f'(0) & = & 1\\
+f''(x) & = & (-1)(1+x)^{-2} & f''(0) & = & -1=-1!\\
+f'''(x) & = & (-1)(-2)(1+x)^{-3} & f'''(0) & = & (-1)(-2)=2!\\
+\vdots\\
+f^{(n)}(x) & = & (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} & f^{(n)} & = & (-1)^{n-1}(n-1)!
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(1+x)^{\alpha}=1+\binom{\alpha}{1}x+\binom{\alpha}{2}x^{2}+\binom{\alpha}{3}x^{3}+\dots+\binom{\alpha}{n-1}x^{n-1}+\binom{\alpha}{n}\frac{(1+\theta x)^{\alpha}}{(1+\theta x)^{n}}x^{n}=1+\left(\sum_{k=1}^{n-1}\binom{\alpha}{k}x^{k}\right)+\binom{\alpha}{n}\frac{(1+\theta x)^{\alpha}}{(1+\theta x)^{n}}x^{n}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $\binom{\alpha}{k}:=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{rclrcl}
+f(x) & = & (1+x)^{\alpha} & f(0) & = & 1\\
+f'(x) & = & \alpha(1+x)^{\alpha-1} & f'(0) & = & \alpha\\
+f''(x) & = & \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2} & f''(0) & = & \alpha(\alpha-1)\\
+\vdots\\
+f^{(n)}(x) & = & \alpha\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n} & f^{(n)}(0) & = & \alpha\cdots(\alpha-n+1)
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Funciones convexas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una función 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+convexa
+\series default
+ en el intervalo 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in I,t\in[0,1],f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)$
+\end_inset
+
+, y es 
+\series bold
+cóncava
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in I,t\in[0,1],f((1-t)x+ty)\geq(1-t)f(x)+tf(y)$
+\end_inset
+
+.
+ Geométricamente, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es convexa en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ si para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $x,y\in I$
+\end_inset
+
+, la secante que une los puntos 
+\begin_inset Formula $(x,f(x))$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(y,f(y))$
+\end_inset
+
+ está por encima de la gráfica de la función en el intervalo 
+\begin_inset Formula $[x,y]$
+\end_inset
+
+, y cóncava si está por debajo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename pegado1.png
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Caption Standard
+
+\begin_layout Plain Layout
+Interpretación geométrica de la convexidad.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La pendiente de la recta secante que pasa por 
+\begin_inset Formula $(x,f(x))$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(y,f(y))$
+\end_inset
+
+ se denota 
+\begin_inset Formula $p_{x}(y):=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es convexa en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ si y sólo si para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $a,x,b\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a<x<b$
+\end_inset
+
+ se verifica 
+\begin_inset Formula $p_{a}(x)\leq p_{b}(x)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $x=a+t(b-a)=(1-t)a+tb$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $t\in(0,1)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $x-a=t(b-a)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x-b=(1-t)(a-b)$
+\end_inset
+
+, y se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+p_{a}(x)\leq p_{b}(x) & \iff & \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\\
+ & \iff & (f(x)-f(a))(x-b)\geq(f(x)-f(b))(x-a)\\
+ & \iff & f(x)(a-b)\geq f(a)(x-b)-f(b)(x-a)\\
+ & \iff & f(x)(a-b)\geq f(a)(1-t)(a-b)-f(b)t(b-a)\\
+ & \iff & f(x)\leq f(a)(1-t)+f(b)t
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es convexa en un intervalo 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+, entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para cada 
+\begin_inset Formula $a\in I$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p_{a}:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es creciente.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $a<x<y\in I$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+p_{a}(x)\leq p_{a}(y)\iff\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq\frac{f(y)-f(a)}{y-a}\iff\\
+\iff f(x)-f(a)\leq\frac{f(y)-f(a)}{y-a}(x-a)\iff f(x)\leq f(a)+\frac{f(y)-f(a)}{y-a}(x-a)
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+lo cual es cierto por ser 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ convexa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Lema de las tres pendientes:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,x,b\in I,(a<x<b\implies p_{a}(x)\leq p_{a}(b)\leq p_{b}(x)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula $p_{a}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p_{b}$
+\end_inset
+
+ son crecientes, 
+\begin_inset Formula $p_{a}(x)\leq p_{a}(b)=p_{b}(a)\leq p_{b}(x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en los puntos del interior del intervalo.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ un punto interior de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x',x\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x'<x_{0}<x$
+\end_inset
+
+.
+ Por lo anterior, 
+\begin_inset Formula $p_{x_{0}}(x')=p_{x'}(x_{0})\leq p_{x}(x_{0})=p_{x_{0}}(x)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $p_{x_{0}}$
+\end_inset
+
+ es creciente y por tanto existe 
+\begin_inset Formula $\alpha:=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}p_{x_{0}}(x)$
+\end_inset
+
+.
+ Por otra parte, 
+\begin_inset Formula $f(x)=f(x_{0})+\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+, y tomando límites, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})+\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}(x-x_{0})=f(x_{0})+\alpha\cdot0=f(x_{0})
+\]
+
+\end_inset
+
+lo que prueba la continuidad por la derecha de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos probar la continuidad por la izquierda de manera análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, sea 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ derivable en el intervalo abierto 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+f\text{ es convexa en }I\iff f'\text{ es creciente en }I\iff\forall x_{0},x\in I,f(x)-f(x_{0})\geq f'(x_{0})(x-x_{0})
+\]
+
+\end_inset
+
+La última condición significa que para cada punto de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+, la gráfica de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ está por encima de la tangente en dicho punto.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $1\implies2]$
+\end_inset
+
+ Sean 
+\begin_inset Formula $a,b\in I$
+\end_inset
+
+ arbitrarios con 
+\begin_inset Formula $a<b$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f'(a) & = & \lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a^{+}}p_{a}(x)\\
+f'(b) & = & \lim_{x'\rightarrow b^{-}}\frac{f(x')-f(b)}{x'-b}=\lim_{x'\rightarrow b^{-}}p_{b}(x')
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es convexa, 
+\begin_inset Formula $p_{a}(x)\leq p_{x'}(x)=p_{x}(x')\leq p_{b}(x')$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $a<x<x'<b$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f'(a)\leq f'(b)$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $f'$
+\end_inset
+
+ es creciente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $2\implies3]$
+\end_inset
+
+ Sean 
+\begin_inset Formula $x_{0},x\in I$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $x_{0}<x$
+\end_inset
+
+, por el teorema del valor medio de Lagrange, 
+\begin_inset Formula $f(x)-f(x_{0})=f'(c)(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $f'$
+\end_inset
+
+ es creciente y 
+\begin_inset Formula $c\in(x_{0},x)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f'(c)(x-x_{0})\geq f'(x_{0})(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+.
+ El caso en que 
+\begin_inset Formula $x_{0}>x$
+\end_inset
+
+ se hace de forma análoga, y el caso en que 
+\begin_inset Formula $x_{0}=x$
+\end_inset
+
+ es trivial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $3\implies1]$
+\end_inset
+
+ Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no fuera convexa existirían 
+\begin_inset Formula $a,x_{0},b\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a<x_{0}<b$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $f(x_{0})$
+\end_inset
+
+ estaría por encima de la secante entre 
+\begin_inset Formula $(a,f(a))$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(b,f(b))$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $p_{b}(x_{0})<p_{b}(a)=p_{a}(b)<p_{a}(x_{0})$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, la tangente de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ viene dada por 
+\begin_inset Formula $g(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+, y si suponemos que 
+\begin_inset Formula $(b,f(b))$
+\end_inset
+
+ está por encima de la recta, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+f(b)>g(b)=f(x_{0})+f'(x_{0})(b-x_{0})\iff f(b)-f(x_{0})>f'(x_{0})(b-x_{0})\iff\\
+\iff f'(x_{0})<\frac{f(b)-f(x_{0})}{b-x_{0}}=p_{b}(x_{0})\overset{\text{hip.}}{<}p_{a}(x_{0})=\frac{f(x_{0})-f(a)}{x_{0}-a}\iff\\
+\iff f'(x_{0})(x_{0}-a)<f(x_{0})-f(a)\iff f(a)<f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{0}-a)
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+por lo que 
+\begin_inset Formula $(a,f(a))$
+\end_inset
+
+ queda por debajo de la tangente.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Convexidad local:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y derivable en 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+convexa
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists\delta>0:\forall x\in B(x_{0},\delta)\cap I,f(x)\geq f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+, y es 
+\series bold
+cóncava
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists\delta>0:\forall x\in B(x_{0},\delta)\cap I,f(x)\leq f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos que 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+punto de inflexión
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $x\in B(x_{0},\delta)\cap I$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $x<x_{0}$
+\end_inset
+
+ implica 
+\begin_inset Formula $f(x)>f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+ mientras que 
+\begin_inset Formula $x>x_{0}$
+\end_inset
+
+ implica 
+\begin_inset Formula $f(x)<f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
+\end_inset
+
+ (o al revés).
+ Puede no darse ninguna de las tres situaciones como en el punto 
+\begin_inset Formula $x_{0}=0$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $f(x)=x^{2}\sin(1/x)$
+\end_inset
+
+.
+ Una función 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ derivable en el intervalo abierto 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es convexa en 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ si y sólo si es convexa para cada 
+\begin_inset Formula $x\in I$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Ver teorema anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Supongamos que existen 
+\begin_inset Formula $a,b,c\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a<c<b$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $f(c)>f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-a)$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $g(x)=f(x)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $0=g(a)=g(b)<g(c)$
+\end_inset
+
+, existe un máximo absoluto de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+ y en este 
+\begin_inset Formula $g'(\xi)=0$
+\end_inset
+
+, así que 
+\begin_inset Formula $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(z)<g(\xi)\forall z\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, luego
+\begin_inset Formula 
+\[
+g(b)=f(b)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)\right)<f(\xi)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(\xi-a)\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+es decir,
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(b)<f(\xi)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-\xi)=f(\xi)+f'(\xi)(b-\xi)
+\]
+
+\end_inset
+
+lo que contradice la convexidad de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\xi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es cóncava si y sólo si 
+\begin_inset Formula $-f$
+\end_inset
+
+ es convexa, todas las proposiciones sobre funciones convexas se pueden
+ aplicar a funciones cóncavas adaptándolas convenientemente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Representación gráfica de funciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $y=f(x)$
+\end_inset
+
+.
+ La recta 
+\begin_inset Formula $x=a$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+asíntota vertical
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f(x)$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty$
+\end_inset
+
+, sea el límite por la izquierda o por la derecha.
+ La recta 
+\begin_inset Formula $y=b$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+asíntota horizontal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f(x)$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=b$
+\end_inset
+
+, sea cuando 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ tiende a 
+\begin_inset Formula $-\infty$
+\end_inset
+
+ o a 
+\begin_inset Formula $+\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Finalmente, la recta 
+\begin_inset Formula $y=mx+b$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+asíntota oblicua
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f(x)$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-(mx+b))=0$
+\end_inset
+
+, y entonces podemos calcular 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b=\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-mx)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una función 
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+par
+\series default
+ o 
+\series bold
+simétrica respecto del eje de coordenadas 
+\series default
+si 
+\begin_inset Formula $f(-x)=f(x)\forall x\in D$
+\end_inset
+
+, y es 
+\series bold
+impar
+\series default
+ o 
+\series bold
+simétrica respecto del origen de coordenadas
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $f(-x)=-f(x)\forall x\in D$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fuvr2/n2.lyx b/fuvr2/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..9d5d103
--- /dev/null
+++ b/fuvr2/n2.lyx
@@ -0,0 +1,3720 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
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+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
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+\cite_engine_type default
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+\html_math_output 0
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+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+partición
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ es una colección de puntos 
+\begin_inset Formula $a=t_{0}<t_{1}<\dots<t_{n}=b$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula ${\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ al conjunto de todas las particiones de 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ Dada 
+\begin_inset Formula $\pi\equiv(t_{0}<\dots<t_{n})\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, escribimos 
+\begin_inset Formula $M_{i}:=\sup\{f(t)\}_{t\in[t_{i-1},t_{i}]}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m_{i}:=\inf\{f(t)\}_{t\in[t_{i-1},t_{i}]}$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\series bold
+suma superior
+\series default
+ y 
+\series bold
+suma inferior
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ correspondiente a 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+, respectivamente, a
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+S(f,\pi):=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(t_{i}-t_{i-1}) & \text{ y } & s(f,\pi):=\sum_{i=1}^{n}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Obviamente 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq S(f,\pi)$
+\end_inset
+
+ para cualquier 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+.
+ Dadas 
+\begin_inset Formula $\pi,\pi'\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, decimos que 
+\begin_inset Formula $\pi'$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+más fina
+\series default
+ que 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\pi'\succ\pi$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\pi'\supseteq\pi$
+\end_inset
+
+, y denotamos 
+\begin_inset Formula $\pi\lor\pi':=\pi\cup\pi'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\pi\preceq\pi'$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq s(f,\pi')$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)\geq S(f,\pi')$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $\pi'$
+\end_inset
+
+ tiene un punto más que 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $\pi\equiv t_{0}<\dots<t_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\pi'\equiv t_{0}<\dots<t_{k-1}<p<t_{k}<\dots<t_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)=\sum_{i\neq k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m_{k}(t_{k}-t_{k-1})=\sum_{i\neq k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m_{k}((t_{k}-p)+(p-t_{k-1}))\leq\sum_{i\neq k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+\inf\{f(t)\}_{t\in[t_{k-1},p]}(p-t_{k-1})+\inf\{f(t)\}_{t\in[p,t_{k}]}(t_{k}-p)=s(f,\pi')$
+\end_inset
+
+.
+ La segunda afirmación se hace de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas 
+\begin_inset Formula $\pi,\pi'\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq S(f,\pi')$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Como 
+\begin_inset Formula $\pi,\pi'\prec\pi\lor\pi'$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq s(f,\pi\lor\pi')\leq S(f,\pi\lor\pi')\leq S(f,\pi')$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos pues 
+\series bold
+integral inferior
+\series default
+ e 
+\series bold
+integral superior
+\series default
+ (
+\series bold
+de Darboux
+\series default
+), respectivamente, a
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\underline{\int_{a}^{b}}f:=\sup\{s(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])} & \text{ y } & \overline{\int_{a}^{b}}f:=\inf\{S(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Decimos que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+integrable Riemann
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, escrito 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+, si las integrales superior e inferior coinciden y llamamos 
+\series bold
+integral Riemann
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, escrito 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+, a este valor.
+ Definimos, para 
+\begin_inset Formula $a<b$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\int_{b}^{a}f:=-\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+, e 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{a}f=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Caracterización
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, dada 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ acotada, 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]\iff\forall\varepsilon>0,\exists\pi\in{\cal P}([a,b]):S(f,\pi)-s(f,\pi)<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=\inf\{S(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])}$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\pi_{1}\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0\leq S(f,\pi_{1})-\int_{a}^{b}f<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, y análogamente existe 
+\begin_inset Formula $\pi_{2}\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0\leq\int_{a}^{b}f-s(f,\pi_{2})<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\pi:=\pi_{1}\lor\pi_{2}$
+\end_inset
+
+ cumple ambas desigualdades, pues 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)\leq S(f,\pi_{1})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\geq s(f,\pi_{2})$
+\end_inset
+
+, y sumándolas obtenemos 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\pi_{\varepsilon}\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi_{\varepsilon})-s(f,\pi_{\varepsilon})<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, por la definición de integral superior e inferior, 
+\begin_inset Formula $0\leq\overline{\int_{a}^{b}}f-\underline{\int_{a}^{b}}f\leq S(f,\pi_{\varepsilon})-s(f,\pi_{\varepsilon})\leq\varepsilon$
+\end_inset
+
+, lo que para 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ arbitrario implica que las integrales superior e inferior coinciden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]\iff\exists!\alpha\in\mathbb{R}:\forall\pi\in{\cal P}([a,b]),s(f,\pi)\leq\alpha\leq S(f,\pi)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $\alpha:=\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+, para toda 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq\alpha\leq S(f,\pi)$
+\end_inset
+
+.
+ Si existiera 
+\begin_inset Formula $\beta\neq\alpha$
+\end_inset
+
+ que cumpliera la condición, como 
+\begin_inset Formula $\alpha=\sup\{s(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])}$
+\end_inset
+
+ se tendría 
+\begin_inset Formula $\beta>\alpha$
+\end_inset
+
+, pero análogamente que 
+\begin_inset Formula $\beta<\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Supongamos que existe un 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ que verifica la condición pero 
+\begin_inset Formula $f\notin{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces para cualquier 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq\underline{\int_{a}^{b}}f<\overline{\int_{a}^{b}}f\leq S(f,\pi)$
+\end_inset
+
+, por lo que existen infinitos números reales que verifican la condición
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ no es único.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otro 
+\series bold
+teorema 
+\series default
+importante es que las funciones 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continuas son integrables en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, y además, dados 
+\begin_inset Formula $z_{k,n}\in[a+\frac{b-a}{n}(k-1),a+\frac{b-a}{n}k]$
+\end_inset
+
+ cualesquiera,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f(z_{k,n})=\int_{a}^{b}f
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)=\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(t_{i}-t_{i-1})$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ también es uniformemente continua, luego existe 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $|x-y|<\delta$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\frac{b-a}{n_{0}}<\delta$
+\end_inset
+
+.
+ Para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ definimos 
+\begin_inset Formula $\pi_{n}=(a<a+\frac{b-a}{n}<\dots<a+n\frac{b-a}{n}=b)\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $t_{k,n}=a+k\frac{b-a}{n}$
+\end_inset
+
+, y tenemos que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $t_{k,n}-t_{k-1,n}<\delta$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $M_{k,n}-m_{k,n}\leq\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+S(f,\pi_{n_{0}})-s(f,\pi_{n_{0}})\leq\sum_{i=1}^{n_{0}}\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(t_{i,n_{0}}-t_{i-1,n_{0}})=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+De aquí que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es integrable.
+ Pero entonces existe un único 
+\begin_inset Formula $\alpha=\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq\alpha\leq S(f,\pi)$
+\end_inset
+
+, y en particular, 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi_{n})\leq\alpha\leq S(f,\pi_{n})$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea ahora 
+\begin_inset Formula $z_{k,n}\in[a+\frac{b-a}{n}(k-1),a+\frac{b-a}{n}k]$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $1\leq k\leq n$
+\end_inset
+
+ arbitrario y 
+\begin_inset Formula $a_{n}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f(z_{k,n})$
+\end_inset
+
+.
+ Por definición, 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi_{n})\leq a_{n}\leq S(f,\pi_{n})$
+\end_inset
+
+, y dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi_{n})-s(f,\pi_{n})<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi_{n})-\alpha\leq\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi_{n})-a_{n}<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $|a_{n}-\alpha|\leq|a_{n}-S(f,\pi_{n})|+|S(f,\pi_{n})-\alpha|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ monótona y acotada entonces 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dada 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)=\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(t_{i}-t_{i-1})$
+\end_inset
+
+, y dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, si por ejemplo 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es monótona creciente y 
+\begin_inset Formula $f(a)<f(b)$
+\end_inset
+
+, dada 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $t_{i}-t_{i-1}<\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $M_{i}=f(t_{i})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $m_{i}=f(t_{i-1})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)=\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(t_{i}-t_{i-1})\leq\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es acotada y 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[c,b]\forall c>a$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $|f(x)|\leq A\forall x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $-A\leq\inf\{f(x)\}_{x\in[a,b]}\leq\sup\{f(x)\}_{x\in[a,b]}\leq A$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $c-a<\frac{\varepsilon}{4A}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([c,b])$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, si tomamos 
+\begin_inset Formula $\pi'\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ resultado de añadir a 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+ el intervalo 
+\begin_inset Formula $[a,c]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $M_{1}=\sup\{f(x)\}_{x\in[a,c]}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m_{1}=\inf\{f(x)\}_{x\in[a,c]}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi')-s(f,\pi')=M_{1}(c-a)+S(f,\pi)-m_{1}(c-a)-s(f,\pi)\leq2A(c-a)+S(f,\pi)-s(f,\pi)\leq2A(c-a)+\frac{\varepsilon}{2}<2A\frac{\varepsilon}{4A}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Sumas de Riemann
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\pi\equiv(t_{0}<\dots<t_{n})\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+suma de Riemann
+\series default
+ asociada a la partición 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+ y los puntos 
+\begin_inset Formula $z_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula 
+\[
+S(f,\pi,z_{i}):=\sum_{i=1}^{n}f(z_{i})(t_{i}-t_{i-1})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es integrable Riemann en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $A\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}\prec\pi$
+\end_inset
+
+, para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $z_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
+\end_inset
+
+ se cumple 
+\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $A=\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $A=\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi_{0})-s(f,\pi_{0})<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}\prec\pi$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)\leq S(f,\pi_{0})-s(f,\pi_{0})<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq S(f,\pi,z_{i})\leq S(f,\pi)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq A\leq S(f,\pi)$
+\end_inset
+
+.
+ Pero esto implica que 
+\begin_inset Formula $0\leq A-s(f,\pi)\leq S(f,\pi)-s(f,\pi)\leq\varepsilon$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A-S(f,\pi,z_{i})\leq S(f,\pi)-s(f,\pi)\leq\varepsilon$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi,z_{i})-A\geq s(f,\pi)-S(f,\pi)\geq-\varepsilon$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+ para puntos 
+\begin_inset Formula $z_{i}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $M_{i}-f(z_{i})<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)-S(f,\pi,z_{i})=\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-f(z_{i}))(t_{i}-t_{i-1})\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(t_{i}-t_{i-1})=\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi)|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente se tiene que 
+\begin_inset Formula $|A-s(f,\pi)|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $|S(f,\pi)-s(f,\pi)|<2\varepsilon$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Queda ver que 
+\begin_inset Formula $A=\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos que existe 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi_{0})\leq S(f,\pi_{0})<A$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=A-S(f,\pi_{0})$
+\end_inset
+
+, existe por hipótesis 
+\begin_inset Formula $\pi_{1}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $\pi\succ\pi_{1}$
+\end_inset
+
+ y elección de 
+\begin_inset Formula $z_{i}$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $\pi'=\pi_{0}\lor\pi_{1}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi',z_{i})>A-\frac{\varepsilon}{2}=\frac{A+S(f,\pi_{0})}{2}>S(f,\pi_{0})$
+\end_inset
+
+, pero al mismo tiempo 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi',z_{i})<S(f,\pi')\leq S(f,\pi_{0})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\series bold
+medida cero
+\series default
+ si para cada 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ existe una sucesión 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+ de intervalos cerrados y acotados con 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\bigcup_{n}I_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}\text{long}(I_{n})\leq\varepsilon$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $\text{long}([a,b]):=b-a$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene medida cero y 
+\begin_inset Formula $B\subseteq A$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ tiene medida cero, y si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es numerable tiene medida cero tomando, para cada 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, la sucesión con 
+\begin_inset Formula $I_{n}=\{x_{n}-\frac{\varepsilon}{2^{n+1}},x_{n}+\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}\}$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}\text{long}(I_{n})=\sum_{n}\frac{\varepsilon}{2^{n}}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Lebesgue
+\series default
+ afirma que dada una función acotada 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $D(f)\subseteq[a,b]$
+\end_inset
+
+ es el conjunto de puntos en los que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no es continua, entonces 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $D(f)$
+\end_inset
+
+ tiene medida cero.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $\pi=(t_{0}<\dots<t_{n})\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+norma
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\Vert\pi\Vert:=\max\{t_{i}-t_{i-1}\}_{1\leq i\leq n}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+,
+\series bold
+ 
+\series default
+si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es acotada, son equivalentes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A=\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\exists A\in\mathbb{R}:\forall\varepsilon>0,\exists\pi_{0}\in{\cal P}([a,b]):\forall\pi\succ\pi_{0},|A-S(f,\pi,z_{i})|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ para cualquier suma de Riemann correspondiente a 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\exists A\in\mathbb{R}:\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\pi:\Vert\pi\Vert<\delta,|A-S(f,\pi,z_{i})|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ para cualquier suma de Riemann correspondiente a 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Propiedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Linealidad 
+\begin_inset Formula ${\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial y el operador 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}$
+\end_inset
+
+ es lineal.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $f,g\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}\prec\pi$
+\end_inset
+
+ se tienen 
+\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f-S(f,\pi,z_{i})\right|,\left|\int_{a}^{b}g-S(g,\pi,z_{i})\right|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\int_{a}^{b}f+\int_{a}^{b}g-S(f+g,\pi,z_{i})\right|<\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+con lo que 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}(f+g)=\int_{a}^{b}f+\int_{a}^{b}g$
+\end_inset
+
+.
+ Sea ahora 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $\pi_{0}\prec\pi$
+\end_inset
+
+ se cumple 
+\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f-S(f,\pi,z_{i})\right|<\frac{\varepsilon}{1+|k|}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|k\int_{a}^{b}f-S(kf,\pi,z_{i})\right|=|k|\left|\int_{a}^{b}f-S(f,\pi,z_{i})\right|<|k|\frac{\varepsilon}{1+|k|}<\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+luego 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}kf=k\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Producto Si 
+\begin_inset Formula $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ son integrables Riemann, también lo es 
+\begin_inset Formula $fg$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Por el teorema de Lebesgue, si 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+, tendrá medida cero, pero 
+\begin_inset Formula $D(f^{2})\subseteq D(f)$
+\end_inset
+
+, pues si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en un punto también lo es 
+\begin_inset Formula $f^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $D(f^{2})$
+\end_inset
+
+ tiene medida cero, lo que nos da la integrabilidad de 
+\begin_inset Formula $f^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ El caso general se sigue de que 
+\begin_inset Formula $fg=\frac{1}{2}\left((f+g)^{2}-f^{2}-g^{2}\right)$
+\end_inset
+
+ por la linealidad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Monotonía Si 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq g(x)$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f\leq\int_{a}^{b}g$
+\end_inset
+
+, y en particular si 
+\begin_inset Formula $m\leq f(x)\leq M$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f\leq M(b-a)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq s(g,\pi)$
+\end_inset
+
+, y tomando supremos, 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f\leq\int_{a}^{b}g$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Valor
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+medio Sea 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua, existe 
+\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Por el teorema de Weierstrass, existen 
+\begin_inset Formula $c_{1},c_{2}\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(c_{1})\leq f(x)\leq f(c_{2})$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, y por la monotonía de la integral, 
+\begin_inset Formula $f(c_{1})\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\leq f(c_{2})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, aplicando la propiedad de los valores intermedios, existe 
+\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Valor
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+absoluto Si 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|f|\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f\right|\leq\int_{a}^{b}|f|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $M'_{i}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m'_{i}$
+\end_inset
+
+ son el supremo y el ínfimo, respectivamente, de 
+\begin_inset Formula $|f|$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[t_{i-1},t_{i}]$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $M_{i}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+ son los de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, entonces para 
+\begin_inset Formula $z,w\in[t_{i-1},t_{i}]$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $||f(z)|-|f(w)||\leq|f(z)-f(w)|\leq M_{i}-m_{i}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\sup\{|f(z)|-|f(w)|\}_{z,w\in[t_{i-1},t_{i}]}=M'_{i}-m'_{i}\leq M_{i}-m_{i}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $S(|f|,\pi)-s(|f|,\pi)\leq S(f,\pi)-s(f,\pi)<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $|f|\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, 
+\begin_inset Formula $-|f(x)|\leq f(x)\leq|f(x)|$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}-|f|=-\int_{a}^{b}|f|\leq\int_{a}^{b}f\leq\int_{a}^{b}|f|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Aditividad
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+respecto
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+de
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+intervalo Dada 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ acotada y 
+\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]\iff f\in{\cal R}[a,c],{\cal R}[c,b]$
+\end_inset
+
+, y además 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Basta refinar una partición 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ añadiéndole el punto 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Discontinuidades Si 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ coincide con 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ salvo en un número finito de puntos, entonces 
+\begin_inset Formula $g\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{b}g$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Supongamos que cambian en un punto 
+\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, y basta probar que 
+\begin_inset Formula $h:=g-f$
+\end_inset
+
+ es integrable.
+ Ahora bien, 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ es nula en todos los puntos salvo en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, por lo que dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ podemos tomar 
+\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $t_{i}-t_{i-1}\leq\frac{\varepsilon}{h(c)}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $S(f,\pi,z_{i})\leq\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+El Teorema Fundamental del Cálculo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+integral indefinida
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ a la función 
+\begin_inset Formula $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $F(x):=\int_{a}^{x}f$
+\end_inset
+
+.
+ El 
+\series bold
+TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
+\series default
+ afirma que, si 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es su integral indefinida, entonces 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ y si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F'(c)=f(c)$
+\end_inset
+
+, y esto también ocurre con los extremos del intervalo y las correspondientes
+ derivadas laterales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $M:=\sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}$
+\end_inset
+
+, por las propiedades de la integral, 
+\begin_inset Formula $|F(x)-F(y)|=\left|\int_{x}^{y}f\right|\leq M|x-y|$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es uniformemente continua en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, pues dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\delta=\frac{\varepsilon}{M}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $|x-y|\leq\delta$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|F(x)-F(y)|\leq\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos ahora que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $h>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $c+h\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|=\left|\frac{\int_{a}^{c+h}f-\int_{a}^{c}f}{h}-\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}f(c)\right|=\left|\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}(f-f(c))\right|\leq\\
+\leq\frac{1}{h}\sup\{|f(t)-f(c)|\}_{t\in[c,c+h]}|h|=\sup\{|f(t)-f(c)|\}_{t\in[c,c+h]}
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+y como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, el último miembro de la desigualdad tiende a 0 cuando 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ tiende a 0, y lo mismo ocurre para 
+\begin_inset Formula $h<0$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $F'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=f(c)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, decimos que 
+\begin_inset Formula $g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+primitiva
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es derivable en 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+ y para todo 
+\begin_inset Formula $x\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $g'(x)=f(x)$
+\end_inset
+
+.
+ Por el teorema fundamental del cálculo, toda 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ continua en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ tiene primitivas en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, donde la integral indefinida es una de ellas y el resto se obtienen sumando
+ a esta una constante.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es la integral indefinida de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es otra primitiva de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $(F-g)'(x)=F'(x)-g'(x)=f(x)-f(x)=0$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $x\in(a,b)$
+\end_inset
+
+, y por el teorema del valor medio, 
+\begin_inset Formula $F-g$
+\end_inset
+
+ es constante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, la 
+\series bold
+fórmula de Barrow
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ admite una primitiva 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=g(b)-g(a)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración: 
+\series default
+Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $\pi\equiv(t_{0}<\dots<t_{n})\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ tal que para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $z_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f-S(f,\pi,z_{i})\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Por el teorema del valor medio aplicado a 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[t_{i-1},t_{i}]$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $z_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g(t_{i})-g(t_{i-1})=g'(z_{i})(t_{i}-t_{i-1})=f(z_{i})(t_{i}-t_{i-1})$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $g(b)-g(a)=\sum_{i=1}^{n}(g(t_{i})-g(t_{i-1}))=\sum_{i=1}^{n}g'(z_{i})(t_{i}-t_{i-1})=S(f,\pi,z_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f-(g(b)-g(a))\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Cálculo de primitivas
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int u^{n}u'\,dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\forall n\neq-1$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{u}dx=\ln|u|+C\forall u\neq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int e^{u}u'\,dx=e^{u}+C$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\int a^{u}u'\,dx=\frac{a^{u}}{\ln a}+C\forall a>0,a\neq1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\cos u\,u'\,dx=\sin u+C$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\int\sin u\,u'\,dx=-\cos u+C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\cosh u\,u'\,dx=\sinh u+C$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\int\sinh u\,u'\,dx=\cosh u+C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sin^{2}u}dx=\int\frac{u'}{\sinh^{2}u}dx=-\cot u+C$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\cos^{2}u}dx=\int\frac{u'}{\cosh^{2}u}dx=\tan u+C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{1+u^{2}}dx=\arctan u+C$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{1-u^{2}}dx=\arg\tanh u+C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}dx=\arcsin u+C=-\arccos u+C'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}dx=\arg\sinh u+C$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{u^{2}-1}}dx=\arg\cosh u+C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} & \sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} & \cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1\\
+\arg\cosh(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1}) & \arg\sinh(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}) & \arg\tanh(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Integración por partes
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $f,g\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+ con primitivas respectivas 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\int_{a}^{b}Fg=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}fG
+\]
+
+\end_inset
+
+lo que suele escribirse como 
+\begin_inset Formula $\int u\,dv=uv-\int v\,du$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(FG)'(x)=F'(x)G(x)+F(x)G'(x)=f(x)G(x)+F(x)g(x)$
+\end_inset
+
+, y por la fórmula de Barrow, 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}Fg+\int_{a}^{b}fG=\int_{a}^{b}(Fg+fG)=F(b)G(b)-F(a)G(a)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}Fg=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}fG$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Cambio de variable
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, sea 
+\begin_inset Formula $\varphi:[c,d]\rightarrow[a,b]\in{\cal C}^{1}[c,d]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\varphi(c)=a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\varphi(d)=b$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\int_{a}^{b}f=\int_{c}^{d}(f\circ\varphi)\varphi'
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es una primitiva de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $F\circ\varphi$
+\end_inset
+
+ lo es de 
+\begin_inset Formula $(f\circ\varphi)\varphi'$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[c,d]$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)=F(\varphi(d))-F(\varphi(c))=(F\circ\varphi)(d)-(F\circ\varphi)(c)=\int_{c}^{d}(f\circ\varphi)\varphi'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esto da sentido a la notación de 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)dx:=\int_{a}^{b}f$
+\end_inset
+
+, porque entonces si 
+\begin_inset Formula $x=\varphi(t)$
+\end_inset
+
+ es fácil recordar 
+\begin_inset Formula $dx=\varphi'(t)dt$
+\end_inset
+
+ y entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Funciones racionales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $P(x)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q(x)$
+\end_inset
+
+ polinomios y queremos resolver 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\frac{P(x)}{Q(x)}dx$
+\end_inset
+
+.
+ Si el grado de 
+\begin_inset Formula $P(x)$
+\end_inset
+
+ es mayor o igual que el de 
+\begin_inset Formula $Q(x)$
+\end_inset
+
+ hacemos 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int C(x)dx+\int\frac{R(x)}{Q(x)}dx$
+\end_inset
+
+ para que el grado del numerador sea menor que el del denominador.
+ Entonces descomponemos en fracciones simples.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Descomponemos 
+\begin_inset Formula $Q(x)$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $Q(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-a_{i})^{m_{i}}\prod_{i=1}^{s}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{n_{i}}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $q_{i}>\frac{p_{i}^{2}}{4}$
+\end_inset
+
+ para que los factores sean irreducibles.
+ Entonces (si el grado de 
+\begin_inset Formula $P(x)$
+\end_inset
+
+ es menor que el de 
+\begin_inset Formula $Q(x)$
+\end_inset
+
+) podemos expresar la fracción como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{m_{i}}\frac{A_{ij}}{(x-a_{i})^{j}}+\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{n_{i}}\frac{M_{ij}x+N_{ij}}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{j}}
+\]
+
+\end_inset
+
+Resolvemos los 
+\begin_inset Formula $A_{k,i}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $M_{k,i}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $N_{k,i}$
+\end_inset
+
+ y nos queda hallar la integral de cada sumando como sigue:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\frac{A}{x-a}dx=A\ln|x-a|+C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\frac{A}{(x-a)^{n}}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $n\in2,3,\dots$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\int\frac{Mx+N}{x^{2}+px+q}dx=\frac{M}{2}\ln\left(\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}+c^{2}\right)+\frac{N-\frac{Mp}{2}}{c}\arctan\left(\frac{x+\frac{p}{2}}{c}\right)+C$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c=\frac{\sqrt{4q-p^{2}}}{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Funciones que contienen 
+\begin_inset Formula $\cos x$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sin x$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En general, haremos 
+\begin_inset Formula $t=\tan\frac{x}{2}$
+\end_inset
+
+ y entonces
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\cos x=\frac{\cos(2\frac{x}{2})}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}} & \overset{\text{div. }\cos^{2}\frac{x}{2}}{=} & \frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{\tan^{2}\frac{x}{2}+1}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\
+\sin x=\frac{\sin(2\frac{x}{2})}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}} & \overset{\text{div. }\cos^{2}\frac{x}{2}}{=} & \frac{2\tan\frac{x}{2}}{\tan^{2}\frac{x}{2}+1}=\frac{2t}{1+t^{2}}\\
+x=2\arctan t & \text{ y } & dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si la función es de la forma 
+\begin_inset Formula $f(x)=g(\sin x)\cos x$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ una función racional, hacemos 
+\begin_inset Formula $t=\sin x$
+\end_inset
+
+, y si es 
+\begin_inset Formula $f(x)=g(\cos x)\sin x$
+\end_inset
+
+ hacemos 
+\begin_inset Formula $t=\cos x$
+\end_inset
+
+.
+ Si es 
+\begin_inset Formula $f(x)=g(\tan x)$
+\end_inset
+
+ hacemos 
+\begin_inset Formula $\tan x=t$
+\end_inset
+
+, y podemos llegar a esta situación cuando al sustituir 
+\begin_inset Formula $\sin x$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $\cos x\tan x$
+\end_inset
+
+ quedan solo potencias pares de 
+\begin_inset Formula $\cos x$
+\end_inset
+
+, y hacemos 
+\begin_inset Formula $\cos^{2}x=\frac{1}{1+\tan^{2}x}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En el caso 
+\begin_inset Formula $f(x)=\cos^{n}x\sin^{m}x$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es impar hacemos 
+\begin_inset Formula $t=\sin x$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ es impar, 
+\begin_inset Formula $t=\cos x$
+\end_inset
+
+, y si ambos son pares, usamos 
+\begin_inset Formula $\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+reducir el grado
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Funciones de la forma 
+\begin_inset Formula $f(e^{x})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hacemos el cambio 
+\begin_inset Formula $t=e^{x}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $dt=e^{x}dx$
+\end_inset
+
+, y esto también sirve para el coseno y seno hiperbólicos (
+\begin_inset Formula $\cosh$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sinh$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Funciones que contienen 
+\begin_inset Formula $\sqrt{ax^{2}+2bx+c}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $d:=\frac{ac-b^{2}}{a}$
+\end_inset
+
+ y se tiene 
+\begin_inset Formula $ax^{2}+2bx+c=a\left(x+\frac{b}{a}\right)^{2}+d$
+\end_inset
+
+.
+ Hacemos entonces el cambio de variable 
+\begin_inset Formula $t=x+\frac{b}{a}$
+\end_inset
+
+ y a continuación:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $a>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d>0$
+\end_inset
+
+ hacemos 
+\begin_inset Formula $at^{2}=d\tan^{2}u$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=\sqrt{d\tan^{2}u+d}=\sqrt{d}\sqrt{1+\tan^{2}u}=\sqrt{d}\sqrt{\sec^{2}u}=\sqrt{d}\sec u$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $dt=\sqrt{\frac{d}{a}}\sec^{2}u\,du$
+\end_inset
+
+.
+ También podemos hacer 
+\begin_inset Formula $at^{2}=d\sinh^{2}u$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=\sqrt{d\sinh^{2}u+d}=\sqrt{d}\sqrt{\sinh^{2}u+1}=\sqrt{d}\cosh u$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $dt=\sqrt{\frac{d}{a}}\cosh u\,du$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $a>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d<0$
+\end_inset
+
+ hacemos 
+\begin_inset Formula $at^{2}=-d\sec^{2}u$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\sqrt{-d\sec^{2}u+d}=\sqrt{-d}\sqrt{\sec^{2}u+1}=\sqrt{-d}\tan u$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\sec u\tan u\,du$
+\end_inset
+
+.
+ También podemos hacer 
+\begin_inset Formula $at^{2}=-d\cosh^{2}u$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=\sqrt{-d\cosh^{2}u+d}=\sqrt{-d}\sqrt{\cosh^{2}u-1}=\sqrt{-d}\sinh u$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\sinh u\,du$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $a<0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d>0$
+\end_inset
+
+ hacemos 
+\begin_inset Formula $at^{2}=-d\sin^{2}u$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=\sqrt{-d\sin^{2}u+d}=\sqrt{d}\sqrt{1-\sin^{2}u}=\sqrt{d}\cos u$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\cos u\,du$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Aplicaciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continuas, si 
+\begin_inset Formula $f(a)=g(a)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(b)=g(b)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(x)\geq g(x)$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, se define el 
+\series bold
+área encerrada
+\series default
+ por las gráficas de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\in{\cal C}^{1}[a,b]$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+longitud de la curva
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $C=\{(x,f(x))\}_{x\in[a,b]}$
+\end_inset
+
+ viene dada por 
+\begin_inset Formula $L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Interpretación:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\pi\equiv(a=x_{0}<\dots<x_{n}=b)\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $P_{i}=(x_{i},f(x_{i}))$
+\end_inset
+
+, una aproximación a la curva es
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\sum_{i=1}^{n}d(P_{i-1},P_{i})=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(f(x_{i})-f(x_{i-1}))^{2}+(x_{i}-x_{i-1})^{2}}=\\
+=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left(\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}\right)^{2}+1}(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+f'(\xi_{i})^{2}}(x_{i}-x_{i-1})
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\xi_{i}\in(x_{i-1},x_{i})$
+\end_inset
+
+, que converge a 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}dx$
+\end_inset
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $\Vert\pi\Vert$
+\end_inset
+
+ tiende a 0.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+sólido de revolución
+\series default
+ al cuerpo obtenido al girar una función 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ alrededor del eje horizontal.
+ Su 
+\series bold
+volumen
+\series default
+ viene dado por 
+\begin_inset Formula $V=\pi\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx$
+\end_inset
+
+, y su 
+\series bold
+área
+\series default
+ (lateral) por 
+\begin_inset Formula $A=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Interpretación:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ continua y positiva.
+ Para hallar el volumen tomamos 
+\begin_inset Formula $\pi\equiv(x_{0}<\dots<x_{n})\in{\cal P}([a,b])$
+\end_inset
+
+ y aproximamos el volumen por secciones cilíndricas con radio 
+\begin_inset Formula $f(x_{i})$
+\end_inset
+
+ y altura 
+\begin_inset Formula $x_{i}-x_{i-1}$
+\end_inset
+
+, con lo que su radio viene dado por 
+\begin_inset Formula $\pi f(x_{i})^{2}(x_{i}-x_{i-1})$
+\end_inset
+
+.
+ Sumando obtenemos 
+\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}\pi f(x_{i})^{2}(x_{i}-x_{i-1})$
+\end_inset
+
+, que converge a 
+\begin_inset Formula $\pi\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx$
+\end_inset
+
+.
+ El área se obtiene con un razonamiento similar al usado para la longitud
+ de la curva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+volumen
+\series default
+ del sólido resultante de girar alrededor del eje vertical la superficie
+ encerrada por las rectas 
+\begin_inset Formula $x=a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x=b$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y=f(x)$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\,dx$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Integrales impropias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una función 
+\begin_inset Formula $f:[a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $b\leq+\infty$
+\end_inset
+
+) es 
+\series bold
+localmente integrable
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall u\in[a,b),f|_{[a,u]}\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ Si además existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{u\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{u}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+ diremos que la 
+\series bold
+integral impropia
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+ es convergente y su valor es este límite.
+ Análogamente, 
+\begin_inset Formula $f:(a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $a\geq-\infty$
+\end_inset
+
+) es localmente integrable si 
+\begin_inset Formula $\forall u\in(a,b],f|_{[u,b]}\in{\cal R}[a,b]$
+\end_inset
+
+, y si además existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{u\rightarrow a^{+}}\int_{u}^{b}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+ diremos que la integral impropia 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+ es convergente y su valor es este límite.
+ En ambos casos, si el límite es 
+\begin_inset Formula $+\infty$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $-\infty$
+\end_inset
+
+, diremos que la integral 
+\series bold
+diverge
+\series default
+, y si no existe el límite diremos que no existe la integral impropia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, sea 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ localmente integrable en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es integrable en sentido impropio en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ si y sólo si lo es en 
+\begin_inset Formula $[c,b)$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $a<c<t<b$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{t}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{t}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+, por lo que existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}\int_{c}^{t}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+, lo que demuestra el teorema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $a\geq-\infty,b\leq+\infty$
+\end_inset
+
+) es integrable Riemann en cada subintervalo cerrado de 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+, diremos que la integral impropia 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+ es convergente si para un 
+\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ son convergentes 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{c}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\int_{c}^{b}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+, y definimos
+\begin_inset Formula 
+\[
+\int_{a}^{b}f(x)\,dx:=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El valor de esta integral no depende de 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+ La 
+\series bold
+condición de Cauchy
+\series default
+ afirma que, dada 
+\begin_inset Formula $f:[a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists b_{0}\in(a,b):\forall x_{1},x_{2}\in(b_{0},b):x_{1}<x_{2},|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+ y consecuencia de lo anterior, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es localmente integrable en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+, la integral impropia 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
+\end_inset
+
+ es convergente si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists b_{0}\in(a,b):\forall x_{1},x_{2}\in(b_{0},b):x_{1}<x_{2},\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Más 
+\series bold
+teoremas
+\series default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son integrables en sentido impropio en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+, dados 
+\begin_inset Formula $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lambda f+\mu g$
+\end_inset
+
+ es integrable en sentido impropio con
+\begin_inset Formula 
+\[
+\int_{a}^{b}(\lambda f+\mu g)(t)\,dt=\lambda\int_{a}^{b}f(t)\,dt+\mu\int_{a}^{b}g(t)\,dt
+\]
+
+\end_inset
+
+Basta tomar límites cuando 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ tiende a 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ por la izquierda en la linealidad de integrales propias.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son continuas en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es derivable con derivada continua, sea 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ una primitiva de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, la siguiente igualdad se cumple si existen dos de los tres límites e integrale
+s impropias en ella:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,dt=\lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)g(x)-F(a)g(a)-\int_{a}^{b}F(t)g'(t)\,dt
+\]
+
+\end_inset
+
+Basta tomar límites en la identidad dada por la regla de integración por
+ partes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Integrales no negativas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es localmente integrable en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ y no negativa, 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ converge si y sólo si 
+\begin_inset Formula $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ está acotada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es no negativa, 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es creciente, y si no estuviese acotada sería 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)=+\infty$
+\end_inset
+
+ y la integral impropia divergería.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ está acotada existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)=\sup\{F(x)\}_{x\in[a,b)}$
+\end_inset
+
+, luego la integral impropia converge.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otro 
+\series bold
+teorema
+\series default
+ es que si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son localmente integrables en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ y no negativas y existe 
+\begin_inset Formula $K\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ entorno de 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $x\in V\implies f(x)\leq Kg(x)$
+\end_inset
+
+, entonces si 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}g(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ converge, también lo hace 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+, por lo que si 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ diverge también lo hace 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}g(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ (y divergir también).
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ La convergencia depende sólo del comportamiento de las funciones en un
+ entorno, y en este 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}f(t)\,dt\leq K\int_{a}^{x}g(t)\,dt$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son localmente integrables en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ y no negativas con 
+\begin_inset Formula $A:=\lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f(t)}{g(t)}$
+\end_inset
+
+, entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $A\neq0,\infty$
+\end_inset
+
+, ambas integrales tienen el mismo carácter.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\varepsilon<A$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $a_{\varepsilon}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $a_{\varepsilon}\leq x\leq b$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|\leq\varepsilon$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $A-\varepsilon\leq\frac{f(x)}{g(x)}\leq A+\varepsilon$
+\end_inset
+
+, luego para 
+\begin_inset Formula $x\in[a_{\varepsilon},b)$
+\end_inset
+
+ tenemos 
+\begin_inset Formula $(A-\varepsilon)g(x)\leq f(x)\leq(A+\varepsilon)g(x)$
+\end_inset
+
+, y no hay más que aplicar el teorema anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $A=0$
+\end_inset
+
+, la convergencia de 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}g(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ implica la de 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como antes, obtenemos 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq\varepsilon g(x)$
+\end_inset
+
+ y aplicamos el teorema anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $A=\infty$
+\end_inset
+
+, la convergencia de 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ implica la de 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}g(t)\,dt$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otro 
+\series bold
+teorema
+\series default
+ es que si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es no negativa y localmente integrable en 
+\begin_inset Formula $(0,1]$
+\end_inset
+
+ y existe 
+\begin_inset Formula $\alpha<1$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t)t^{\alpha}$
+\end_inset
+
+ finito, 
+\begin_inset Formula $\int_{0}^{1}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ es convergente, mientras que si existe 
+\begin_inset Formula $\alpha\geq1$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t)t^{\alpha}$
+\end_inset
+
+ no nulo, la integral diverge.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t)t^{\alpha}=\lim_{t\rightarrow0^{+}}\frac{f(t)}{\left(\frac{1}{t^{\alpha}}\right)}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $\alpha<1$
+\end_inset
+
+, la integral 
+\begin_inset Formula $\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}}$
+\end_inset
+
+ es convergente y, por lo anterior, 
+\begin_inset Formula $\int_{0}^{1}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ también.
+ De que 
+\begin_inset Formula $\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}}$
+\end_inset
+
+ diverge si 
+\begin_inset Formula $t\geq1$
+\end_inset
+
+ se desprende la última afirmación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es no negativa y localmente integrable en 
+\begin_inset Formula $[a,+\infty)$
+\end_inset
+
+, si existe 
+\begin_inset Formula $\alpha>1$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)t^{\alpha}$
+\end_inset
+
+ finito, 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{\infty}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ converge, mientras que si existe 
+\begin_inset Formula $\alpha\leq1$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)t^{\alpha}$
+\end_inset
+
+ no nulo, la integral diverge.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Convergencia absoluta
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ localmente integrable en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+, decimos que la integral impropia de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+absolutamente convergente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}|f(t)|\,dt$
+\end_inset
+
+ es convergente.
+ La convergencia absoluta implica la convergencia.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Por el criterio de convergencia de Cauchy aplicado a 
+\begin_inset Formula $|f(t)|$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $b_{0}\in(a,b)$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $b_{0}<x_{1}<x_{2}<b$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\int_{x_{1}}^{x_{2}}|f(t)|\,dt<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, lo que implica que 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ es convergente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son funciones continuas en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ tiene derivada continua, si 
+\begin_inset Formula $F(x):=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ está acotada superiormente por 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}|g'(t)|\,dt$
+\end_inset
+
+ está acotada superiormente por 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}g(t)=0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ es convergente.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Basta probar la existencia de 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)g(x)$
+\end_inset
+
+ y de 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{x}F(t)g'(t)\,dt$
+\end_inset
+
+.
+ Las condiciones 
+\begin_inset Formula $F(x)\leq K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}g(t)=0$
+\end_inset
+
+ aseguran que el primer límite es 0, y las dos primeras (
+\begin_inset Formula $F(x)\leq K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}|g'(t)|dt\leq k$
+\end_inset
+
+) implican que 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}F(t)g'(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ es absolutamente convergente, pues 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\int_{a}^{x}|F(t)||g'(t)|\,dt\leq Kk
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+criterio de Dirichlet
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son continuas en 
+\begin_inset Formula $[a,b)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ tiene derivada continua, si existe 
+\begin_inset Formula $K\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right|\leq K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es monótona decreciente con 
+\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}g(t)=0$
+\end_inset
+
+, la integral impropia 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,dt$
+\end_inset
+
+ es convergente.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Como 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es decreciente, 
+\begin_inset Formula $g'(t)\leq0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}|g'(t)|\,dt=-\int_{a}^{x}g'(t)\,dt=g(a)-g(x)\overset{g(x)\geq0}{\leq}g(a)$
+\end_inset
+
+, y se tienen entonces todas las condiciones del teorema anterior.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fuvr2/n3.lyx b/fuvr2/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..5d9c1ab
--- /dev/null
+++ b/fuvr2/n3.lyx
@@ -0,0 +1,631 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+En este capítulo, 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ representa indistintamente a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+.
+ Una 
+\series bold
+serie de potencias
+\series default
+ en torno a 
+\begin_inset Formula $z_{0}\in K$
+\end_inset
+
+ es una expresión de la forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n=0}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión de elementos de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $z\in K$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+radio de convergencia
+\series default
+ de la serie al valor
+\begin_inset Formula 
+\[
+R:=\frac{1}{\limsup_{n}\sqrt[n]{|a_{n}|}}
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $\limsup_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ es el supremo de las subsucesiones convergentes de 
+\begin_inset Formula $(a_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Se entiende que si 
+\begin_inset Formula $\limsup_{n}\sqrt[n]{|a_{n}|}=0$
+\end_inset
+
+ se toma 
+\begin_inset Formula $R=\infty$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $\limsup_{n}\sqrt[n]{|a_{n}|}=\infty$
+\end_inset
+
+ se toma 
+\begin_inset Formula $R=0$
+\end_inset
+
+.
+ Por el criterio de la raíz, o el del cociente, la serie converge sólo en
+ la bola abierta 
+\begin_inset Formula $B(z_{0};R)$
+\end_inset
+
+, llamada 
+\series bold
+disco de convergencia
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La serie de funciones 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+converge uniformemente
+\series default
+ en un conjunto 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ a una función 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall z\in A,m\geq n_{0};\left|f(z)-\sum_{n=0}^{m}f_{n}(z)\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ El 
+\series bold
+criterio de Cauchy de convergencia uniforme
+\series default
+ afirma que una serie de funciones es uniformemente convergente en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall z\in A,n_{0}<p\leq q;\left|\sum_{n=p}^{q}f_{n}(z)\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, y el 
+\series bold
+criterio de Weierstrass
+\series default
+ afirma que si existe una serie de términos positivos 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+ convergente con 
+\begin_inset Formula $|f_{n}(z)|\leq b_{n}\forall z\in A,n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}$
+\end_inset
+
+ converge uniformemente en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La serie de potencias 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}(z-z_{0})^{n}$
+\end_inset
+
+ con radio de convergencia 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ converge absoluta y uniformemente en la bola cerrada 
+\begin_inset Formula $B[z_{0};r]$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $r<R$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}f_{n}$
+\end_inset
+
+ converge uniformemente en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y las 
+\begin_inset Formula $f_{n}$
+\end_inset
+
+ son continuas en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+criterio de Abel
+\series default
+ afirma que, dada una serie de potencias 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}z^{n}$
+\end_inset
+
+, si para 
+\begin_inset Formula $z=c$
+\end_inset
+
+ la serie converge, también converge uniformemente en 
+\begin_inset Formula $[0,c]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $f(z):=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $z\in B(0;R)$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ el radio de convergencia de la serie, entonces la serie 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n-1}$
+\end_inset
+
+, obtenida derivando formalmente la anterior, tiene radio de convergencia
+ 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+, y de hecho esta serie converge a la derivada de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es infinitamente derivable en el disco de convergencia y 
+\begin_inset Formula $a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n\geq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$
+\end_inset
+
+ con radio de convergencia 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+, entonces la función 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $F(z):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}a_{n}z^{n+1}$
+\end_inset
+
+ tiene radio de convergencia 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ y es primitiva de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Funciones elementales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+exponencial compleja
+\series default
+ se define como
+\begin_inset Formula 
+\[
+e^{z}:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+Podemos ver que su radio de convergencia es infinito, 
+\begin_inset Formula $(e^{z})'=e^{z}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $e^{z}e^{w}=e^{z+w}$
+\end_inset
+
+.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $e^{x}>0$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, y es estrictamente creciente con
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\lim_{x\rightarrow\infty}e^{x}=+\infty & \text{ y } & \lim_{x\rightarrow-\infty}e^{x}=0
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ Definimos el 
+\series bold
+seno
+\series default
+ y el 
+\series bold
+coseno
+\series default
+, respectivamente, como
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\sin x:=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & \text{ y } & \cos x:=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Vemos que 
+\begin_inset Formula $e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\sin x=\text{Im}e^{ix}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\cos x=\text{Re}e^{ix}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $|e^{iy}|^{2}=1$
+\end_inset
+
+, se tiene 
+\begin_inset Formula $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
+\end_inset
+
+.
+ Además:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\sin'x=\cos x$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\cos'x=-\sin x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\sin(-x)=-\sin x$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\cos(-x)=\cos x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El conjunto 
+\begin_inset Formula $\{x>0:\cos x=0\}$
+\end_inset
+
+ es no vacío y de hecho tiene un primer elemento, que se denota 
+\begin_inset Formula $\frac{\pi}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Además, las funciones seno y coseno son 
+\begin_inset Formula $2\pi$
+\end_inset
+
+-periódicas, y 
+\begin_inset Formula $\psi:[0,2\pi)\rightarrow S$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\psi(t)=e^{it}$
+\end_inset
+
+ es una biyección de 
+\begin_inset Formula $[0,2\pi)$
+\end_inset
+
+ sobre la circunferencia unidad 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+.
+ Tenemos 
+\begin_inset Formula $\sin0=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\sin\frac{\pi}{2}=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\sin t=\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\cos t=\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por la biyección 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+, y como dado 
+\begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\frac{z}{|z|}\in S$
+\end_inset
+
+, existe un único 
+\begin_inset Formula $t\in[0,2\pi)$
+\end_inset
+
+, llamado 
+\series bold
+argumento principal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+, tal que 
+\begin_inset Formula $z=|z|(\cos t+i\sin t)=|z|e^{it}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $z_{1}z_{2}=|z_{1}|e^{it_{1}}|z_{2}|e^{it_{2}}=|z_{1}||z_{2}|e^{i(t_{1}+t_{2})}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\frac{1}{z}=z^{-1}=|z|^{-1}e^{-it}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $z^{n}=|z|^{n}e^{int}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Los 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ complejos de la forma 
+\begin_inset Formula $w=\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{2k\pi+t}{n}}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $k=0,\dots,n-1$
+\end_inset
+
+ son los únicos con 
+\begin_inset Formula $w^{n}=z$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $z=|z|e^{it}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fuvr2/pegado1.png b/fuvr2/pegado1.png
new file mode 100644
index 0000000..bc7c4e2
--- /dev/null
+++ b/fuvr2/pegado1.png
diff --git a/gae/n.lyx b/gae/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..ef7ae41
--- /dev/null
+++ b/gae/n.lyx
@@ -0,0 +1,212 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\usepackage{tikz}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
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+\papersize a5paper
+\use_geometry true
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\leftmargin 0.2cm
+\topmargin 0.7cm
+\rightmargin 0.2cm
+\bottommargin 0.7cm
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle empty
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Geometría afín y euclídea
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2018}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Material clases teóricas, Geometría Afín y Euclídea, Universidad de Murcia
+ (anónimo).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Espacios afines y variedades afines
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Aplicaciones afines
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Espacios euclídeos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Transformaciones ortogonales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n4.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Movimientos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/gae/n1.lyx b/gae/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..acdf0f9
--- /dev/null
+++ b/gae/n1.lyx
@@ -0,0 +1,1753 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
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+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
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+\inputencoding auto
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+\font_roman "default" "default"
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+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
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+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Espacios afines
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1b.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Variedades afines
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un subconjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal E}$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+variedad (lineal) afín
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists P\in{\cal E},W\subseteq V:{\cal L}=P+W:=\{P+\vec{w}\}_{\vec{w}\in W}$
+\end_inset
+
+.
+ Se dice que 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+pasa por
+\series default
+ el punto 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+dirección
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\text{dir}({\cal L})=W$
+\end_inset
+
+), y se define la dimensión de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\dim({\cal L}):=\text{dim}(\text{dir}({\cal L}))=\dim_{K}(W)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una variedad de dimensión 1 es una 
+\series bold
+recta (afín)
+\series default
+, determinada por cualquier 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+ y vector 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in\text{dir}({\cal L})$
+\end_inset
+
+ no nulo, llamado 
+\series bold
+vector director
+\series default
+ de la recta.
+ Una variedad de dimensión 2 es un 
+\series bold
+plano afín
+\series default
+, y una de dimensión 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ (con 
+\begin_inset Formula $n=\dim({\cal E})$
+\end_inset
+
+) es un 
+\series bold
+hiperplano afín
+\series default
+.
+ Así, para todo 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $P+V={\cal E}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades: Sean 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W'$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $Q\in{\cal L}\iff\overrightarrow{PQ}\in W$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $Q\in{\cal L}\implies\exists\vec{w}\in W:Q=P+\vec{w}\implies\overrightarrow{PQ}=\vec{w}\in W$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}\in W\implies Q=P+\overrightarrow{PQ}\in P+W={\cal L}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $W=\{\overrightarrow{PR}\}_{R\in{\cal L}}=\{\overrightarrow{QR}\}_{Q,R\in{\cal L}}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ está unívocamente determinado por 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Vemos que 
+\begin_inset Formula $W\subseteq\{\overrightarrow{PR}\}_{R\in{\cal L}}\subseteq\{\overrightarrow{QR}\}_{Q,R\in{\cal L}}\subseteq W$
+\end_inset
+
+.
+ Primero, si 
+\begin_inset Formula $\vec{w}\in W$
+\end_inset
+
+, podemos definir 
+\begin_inset Formula $R:=P+\vec{w}\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\vec{w}=\overrightarrow{PR}\in\{\overrightarrow{PR}\}_{R\in{\cal L}}$
+\end_inset
+
+.
+ El segundo contenido es evidente, y para el tercero, dados 
+\begin_inset Formula $Q,R\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}\in W$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}\in W$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $P'\in{\cal L}\implies{\cal L}=P'+W$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $P'\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in W$
+\end_inset
+
+, y así,
+\begin_inset Formula 
+\[
+Q\in{\cal L}'\iff\overrightarrow{P'Q}\in W\iff\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{P'Q}\in W\iff Q\in{\cal L}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $({\cal L},W,\varphi|_{{\cal L}\times W})$
+\end_inset
+
+ es un espacio afín.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $Q\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}\in W$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $Q+\vec{w}\in Q+W={\cal L}$
+\end_inset
+
+.
+ Las propiedades 
+\begin_inset Formula $(P+\vec{v})+\vec{w}=P+(\vec{v}+\vec{w})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P+\overrightarrow{0}=P$
+\end_inset
+
+ se cumplen trivialmente, y si 
+\begin_inset Formula $R,Q\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{RQ}\in W$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal L}'\iff W\subseteq W'\land\overrightarrow{PP'}\in W'\iff W\subseteq W'\land P\in{\cal L}'$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula ${\cal L}={\cal L}'\iff W=W'\land\overrightarrow{PP'}\in W$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Basta ver la primera serie de equivalencias.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[1\implies2]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal L}'\implies P\in{\cal L}'\implies\overrightarrow{PP'}\in W'$
+\end_inset
+
+.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $W=\{\overrightarrow{QR}\}_{Q,R\in{\cal L}}\subseteq\{\overrightarrow{QR}\}_{Q,R\in{\cal L}'}=W'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[2\implies3]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in W'\implies\overrightarrow{P'P}\in W'\implies P\in{\cal L}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[3\implies1]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $W\subseteq W'\land P\in{\cal L}'\implies{\cal L}=P+W\subseteq P+W'={\cal L}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Subsection
+Paralelismo, intersección y cruce de variedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos variedades 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+paralelas
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula ${\cal L}\parallel{\cal L}'$
+\end_inset
+
+) si tienen la misma dirección.
+ Si solo se tiene que 
+\begin_inset Formula $\text{dir}({\cal L})\subseteq\text{dir}({\cal L}')$
+\end_inset
+
+, se dice que 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+débilmente paralela
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal L}'$
+\end_inset
+
+).
+ Cuando no hay ambigüedad, a veces se omite el 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+débilmente
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ Se trata de una relación reflexiva y transitiva en la que 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal L}'\land{\cal L}'\ll{\cal L}\implies{\cal L}\parallel{\cal L}'$
+\end_inset
+
+, pero no es antisimétrica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+postulado de las paralelas de Euclides
+\series default
+ afirma que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela
+ a esta.
+ Esto se puede generalizar a que, dados 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ y una variedad afín 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+, existe una única variedad 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'$
+\end_inset
+
+ que pasa por 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y es paralela a 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+, y esta es 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'=P+\text{dir}({\cal L})$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal L}'\implies{\cal L}\subseteq{\cal L}'\lor{\cal L}\cap{\cal L}'=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+W\subseteq W'\land\exists Q\in{\cal L}\cap{\cal L}'\implies{\cal L}=Q+W\subseteq Q+W'={\cal L}'
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}\parallel{\cal L}'\implies{\cal L}={\cal L}'\lor{\cal L}\cap{\cal L}'=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+W=W'\land\exists Q\in{\cal L}\cap{\cal L}'\implies{\cal L}=Q+W=Q+W'={\cal L}'
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal L}'\iff\exists{\cal S}:{\cal L}\parallel{\cal S}\subseteq{\cal L}'\iff\exists{\cal S}':{\cal L}\subseteq{\cal S}'\parallel{\cal L}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[1\implies2,3]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $W\subseteq W'\implies{\cal L}=P+W\parallel P'+W\subseteq P'+W'={\cal L}'\land{\cal L}=P+W\subseteq P+W'\parallel P'+W'={\cal L}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[2\implies1]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\parallel{\cal S}\subseteq{\cal L}'\implies\text{dir}({\cal L})=\text{dir}({\cal S})\subseteq\text{dir}({\cal L}')\implies{\cal L}\ll{\cal L}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[3\implies1]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal S}'\parallel{\cal L}\implies\text{dir}({\cal L})\subseteq\text{dir}({\cal S}')=\text{dir}({\cal L}')\implies{\cal L}\ll{\cal L}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Se dice que dos variedades 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+se cortan
+\series default
+ o son 
+\series bold
+incidentes
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\cap{\cal L}'\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, y que 
+\series bold
+se cruzan
+\series default
+ si ni se cortan ni ninguna es débilmente paralela a la otra.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\{{\cal L}_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es una familia de variedades afines de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{i}=P+W_{i}\forall i\in I$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}{\cal L}_{i}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ entonces la intersección es una variedad afín con dirección 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}W_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula 
+\[
+Q\in P+\bigcap_{i\in I}W_{i}\iff\forall i\in I,\overrightarrow{PQ}\in W_{i}\iff\forall i\in I,Q\in P+W_{i}={\cal L}_{i}\iff Q\in\bigcap_{i\in I}{\cal L}_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}\cap{\cal L}'\neq\emptyset\iff\overrightarrow{PP'}\in W+W'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $Q\in{\cal L}\cap{\cal L}'\implies\overrightarrow{PP'}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP'}\in W+W'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\exists\vec{w}\in W,\vec{w}'\in W':\overrightarrow{PP'}=\vec{w}+\vec{w}'\implies P+\vec{w}=P+\overrightarrow{PP'}-\vec{w}'=P'-\vec{w}'\in{\cal L}\cap{\cal L}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Dos variedades 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W'$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+complementarias
+\series default
+ si lo son sus direcciones, es decir, si 
+\begin_inset Formula $V=W\oplus W'$
+\end_inset
+
+.
+ La intersección de dos variedades afines complementarias es un punto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in V=W\oplus W'$
+\end_inset
+
+, luego se cortan, y 
+\begin_inset Formula $W\cap W'=\{0\}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\dim({\cal L}\cap{\cal L}')=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Suma de variedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+variedad afín engendrada
+\series default
+ o 
+\series bold
+generada
+\series default
+ por 
+\begin_inset Formula $X\subseteq{\cal E}$
+\end_inset
+
+ a la menor de las variedades que contienen a 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, es decir, la intersección de todas ellas, y se denota por 
+\begin_inset Formula ${\cal V}(X)$
+\end_inset
+
+.
+ Esta existe porque la intersección no es vacía (contiene a 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+) y al menos 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ es una variedad que contiene a 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Dados 
+\begin_inset Formula $P_{1},\dots,P_{n}\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula ${\cal V}(P_{1},\dots,P_{n})=P_{1}+<\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\dots,\overrightarrow{P_{1}P_{n}}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $P_{1}+<\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\dots,\overrightarrow{P_{1}P_{n}}>$
+\end_inset
+
+ contiene a 
+\begin_inset Formula $P_{1},P_{2},\dots,P_{n}$
+\end_inset
+
+, luego contiene a 
+\begin_inset Formula ${\cal V}(X)$
+\end_inset
+
+ por ser una de las variedades que se intersecan.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula ${\cal V}(P_{1},\dots,P_{n})$
+\end_inset
+
+ pasa por 
+\begin_inset Formula $P_{1}$
+\end_inset
+
+ y su dirección debe contener a los 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{j}}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $2\leq j\leq n$
+\end_inset
+
+) y por tanto a 
+\begin_inset Formula $<\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\dots,\overrightarrow{P_{1}P_{n}}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+suma
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\{{\cal L}_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es la variedad engendrada por su unión: 
+\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}{\cal L}_{i}:={\cal V}\left(\bigcup_{i\in I}{\cal L}_{i}\right)$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene que dadas 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W'$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal L}+{\cal L}'=P+(W+W'+<\overrightarrow{PP'}>)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+La variedad a la derecha del igual contiene a 
+\begin_inset Formula $P+W={\cal L}$
+\end_inset
+
+, y como en esta podemos cambiar 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $P'=P+\overrightarrow{PP'}$
+\end_inset
+
+, también contiene a 
+\begin_inset Formula $P'+W'={\cal L}'$
+\end_inset
+
+, luego contiene a la suma.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Evidentemente, 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal L}+{\cal L}'$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, como 
+\begin_inset Formula ${\cal L},{\cal L}'\subseteq{\cal L}+{\cal L}'$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $W,W'\subseteq\text{dir}({\cal L}+{\cal L}')$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $P,P'\in{\cal L}+{\cal L}'$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in\text{dir}({\cal L}+{\cal L}')$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $W+W'+<\overrightarrow{PP'}>\subseteq\text{dir}({\cal L}+{\cal L}')$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Fórmulas de Grassmann:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}\cap{\cal L}'\neq\emptyset\implies\dim({\cal L}+{\cal L}')=\dim({\cal L})+\dim({\cal L}')-\dim({\cal L}\cap{\cal L}')$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+En este caso, 
+\begin_inset Formula $\text{dir}({\cal L}\cap{\cal L}')=W\cap W'$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in W+W'$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $W+W'+$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $<\overrightarrow{PP'}>=W+W'$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\dim({\cal L}+{\cal L}')=\dim(W+W')=\dim(W)+\dim(W')-\dim(W\cap W')=\\
+=\dim({\cal L})+\dim({\cal L}')-\dim({\cal L}\cap{\cal L}')
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}\cap{\cal L}'=\emptyset\implies\dim({\cal L}+{\cal L}')=\dim({\cal L})+\dim({\cal L}')-\dim(W\cap W')+1$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+En este caso, 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\notin W+W'$
+\end_inset
+
+, por lo que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\dim({\cal L}+{\cal L}')=\dim(W+W'+\overrightarrow{PP'})=\dim(W+W')+1=\\
+=\dim(W)+\dim(W')-\dim(W\cap W')+1
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Posición relativa de variedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{i}=P_{i}+<\vec{v}_{i}>$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $i\in\{1,2\},\vec{v}_{i}\neq\vec{0}$
+\end_inset
+
+) dos rectas en un plano afín.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{2}$
+\end_inset
+
+ son proporcionales entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}\parallel{\cal L}_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\in<\vec{v}_{1}>$
+\end_inset
+
+, son coincidentes; en otro caso son paralelas distintas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En otro caso son subespacios complementarios y por tanto se cortan en un
+ punto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si tenemos dos rectas en un espacio tridimensional, la discusión es similar
+ a cuando estamos en el plano afín, pero si las rectas no son paralelas,
+ sólo se cortan si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\in<\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}>$
+\end_inset
+
+, de lo contrario se cruzan.
+ Sean ahora tres rectas, sin ser dos de ellas coincidentes, en un plano
+ afín.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si hay dos paralelas, digamos 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}\parallel{\cal L}_{2}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{3}$
+\end_inset
+
+ es proporcional a 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{2}$
+\end_inset
+
+ tenemos tres paralelas distintas, de lo contrario 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{3}$
+\end_inset
+
+ corta en un punto a cada una de las otras.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En otro caso, cada par de rectas se cortan en un punto.
+ Si dos de estos coinciden, también coinciden con el tercero, y de lo contrario
+ las rectas se cortan en puntos distintos dos a dos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ahora, sean 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=P+<\vec{v}>$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\vec{v}\neq\vec{0}$
+\end_inset
+
+) y 
+\begin_inset Formula ${\cal P}=P'+W$
+\end_inset
+
+ una recta y plano en un espacio afín tridimensional:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in W$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal P}$
+\end_inset
+
+, y en particular, si 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal P}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal P}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\notin W$
+\end_inset
+
+, las variedades son complementarias, luego se cortan en un punto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula ${\cal P}_{i}=P_{i}+W_{i}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $i\in\{1,2\},\dim(W_{i})=2$
+\end_inset
+
+) dos planos en un espacio afín tridimensional.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $W_{1}=W_{2}$
+\end_inset
+
+, los planos son paralelos.
+ En particular, son coincidentes si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\in W_{1}$
+\end_inset
+
+; de lo contrario son paralelos distintos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En otro caso, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\dim(W_{1}\cap W_{2})=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\dim(W_{1}+W_{2})=3$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\in W_{1}+W_{2}$
+\end_inset
+
+ y los planos se cortan en una recta de dirección 
+\begin_inset Formula $W_{1}\cap W_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si ahora consideramos tres planos ninguno coincidente con ningún otro, entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si hay dos paralelos, digamos 
+\begin_inset Formula ${\cal P}_{1}\parallel{\cal P}_{2}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $W_{3}=W_{1}$
+\end_inset
+
+ tenemos tres planos paralelos distintos; de lo contrario 
+\begin_inset Formula ${\cal P}_{3}$
+\end_inset
+
+ corta en una recta a cada uno de los otros.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En otro caso, sea 
+\begin_inset Formula ${\cal L}={\cal P}_{1}\cap{\cal P}_{2}=P+W\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal P}_{3}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal L}={\cal P}_{1}\cap{\cal P}_{2}\cap{\cal P}_{3}$
+\end_inset
+
+ y los tres planos se cortan en una recta.
+ Si 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal P}_{3}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $W\subseteq W_{3}$
+\end_inset
+
+) entonces 
+\begin_inset Formula $W\subseteq W_{1}\cap W_{3}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $\dim(W_{1}\cap W_{3})=\dim(W)=1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $W=W_{1}\cap W_{3}$
+\end_inset
+
+ y del mismo modo 
+\begin_inset Formula $W=W_{2}\cap W_{3}$
+\end_inset
+
+, luego los planos se cortan dos a dos en paralelas distintas.
+ Finalmente, si 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal P}_{3}$
+\end_inset
+
+ se cortan en un punto, los tres planos se cortan en este.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Ecuaciones de variedades afines
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En esta sección asumimos 
+\begin_inset Formula $\dim({\cal E})=n$
+\end_inset
+
+ e identificamos los vectores con sus coordenadas en 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ y los puntos con sus coordenadas en 
+\begin_inset Formula $\Re:=(O,{\cal B})$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $W=<\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{m}>$
+\end_inset
+
+, los puntos de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ tienen la forma 
+\begin_inset Formula $X=P+\lambda_{1}\vec{v}_{1}+\dots+\lambda_{m}\vec{v}_{m}$
+\end_inset
+
+, con cada 
+\begin_inset Formula $\lambda_{i}\in K$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $[X]_{\Re}=(x_{1},\dots,x_{n})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[P]_{\Re}=(p_{1},\dots,p_{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[\vec{v}_{i}]_{{\cal B}}=(v_{1i},\dots,v_{ni})$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\{ \begin{array}{ccc}
+x_{1} & = & p_{1}+\lambda_{1}v_{11}+\dots+\lambda_{m}v_{1m}\\
+ & \vdots\\
+x_{n} & = & p_{n}+\lambda_{1}v_{n1}+\dots+\lambda_{m}v_{nm}
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+Estas son las 
+\series bold
+ecuaciones paramétricas
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\Re$
+\end_inset
+
+, y no son únicas.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{m}$
+\end_inset
+
+ son li
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ne
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+al
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+men
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+te independientes entonces el número de parámetros es la dimensión de 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ y de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ viene dado por ecuaciones cartesianas en 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ representadas por un sistema homogéneo con matriz de coeficientes 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, es decir, si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in W\iff A\vec{v}=0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $X\in{\cal L}\iff\overrightarrow{PX}\in W\iff A(X-P)=0\iff AX=AP$
+\end_inset
+
+.
+ El resultado es un sistema de ecuaciones, denominadas 
+\series bold
+ecuaciones cartesianas
+\series default
+ o 
+\series bold
+implícitas
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\Re$
+\end_inset
+
+, que no es único, y cuyas soluciones son los puntos de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $r=\text{rg}A$
+\end_inset
+
+ (el rango del sistema), entonces 
+\begin_inset Formula $\dim({\cal L})=\dim({\cal E})-r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para obtener las paramétricas (o las implícitas) de 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ a partir de las correspondientes de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+, basta anular los términos independientes en cada caso.
+ Así, para obtener las paramétricas de la recta paralela a 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $P'$
+\end_inset
+
+, basta sustituir las coordenadas de 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$
+\end_inset
+
+) por las de 
+\begin_inset Formula $P'$
+\end_inset
+
+en las paramétricas de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+.
+ Para obtener las implícitas, si las de 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c|c}
+A & B\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+, las de la paralela son 
+\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c|c}
+A & AP'\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para obtener ecuaciones paramétricas a partir de implícitas, resolvemos
+ el sistema 
+\begin_inset Formula $(A|B)$
+\end_inset
+
+ en función de parámetros, y para pasar de paramétricas a implícitas (por
+ ejemplo, el sistema de arriba), consideramos la matriz
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{ccc|c}
+v_{11} & \cdots & v_{1m} & x_{1}-p_{1}\\
+\vdots &  & \vdots & \vdots\\
+v_{n1} & \cdots & v_{nm} & x_{n}-p_{n}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+y se trata de discutir el sistema que forma.
+ Lo mejor en general es hacerlo por menores, pues si los 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ vectores iniciales son linealmente independientes, el rango de la matriz
+ debe ser 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para obtener la intersección de dos variedades dadas sus ecuaciones implícitas,
+ basta juntarlas.
+ También, si conocemos las implícitas de una y las paramétricas de la segunda,
+ podemos sustituir el 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+punto genérico
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ que nos dan las paramétricas de la segunda y sustituirlo en la primera,
+ obteniendo como resultado las condiciones para que un punto de la segunda
+ esté además en la primera.
+ Por otro lado, si tenemos las paramétricas de dos variedades y queremos
+ hallar su suma, basta recordar que 
+\begin_inset Formula ${\cal L}+{\cal L}'=P+(W+W'+<\overrightarrow{PP'}>)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Ejemplos en dimensiones bajas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una recta en un plano afín es un hiperplano, por lo que viene dada por una
+ sóla ecuación 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{cc}
+v_{1} & x_{1}-p_{1}\\
+v_{2} & x_{2}-p_{2}
+\end{array}\right|=0
+\]
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $(p_{1},p_{2})\neq(q_{1},q_{2})$
+\end_inset
+
+, la recta que los une tiene como ecuación
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{cc}
+q_{1}-p_{1} & x_{1}-p_{1}\\
+q_{2}-p_{2} & x_{2}-p_{2}
+\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
+1 & 1 & 1\\
+p_{1} & q_{1} & x_{1}\\
+p_{2} & q_{2} & x_{2}
+\end{array}\right|=0
+\]
+
+\end_inset
+
+lo que sirve para comprobar si tres puntos están alineados.
+ Decimos que unos puntos son 
+\series bold
+coplanarios
+\series default
+ si existe un plano que los contiene a todos.
+ Los planos en un espacio tridimensional son hiperplanos, y su ecuación
+ implícita es
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{ccc}
+v_{1} & w_{1} & x_{1}-p_{1}\\
+v_{2} & w_{2} & x_{2}-p_{2}\\
+v_{3} & w_{3} & x_{3}-p_{3}
+\end{array}\right|=0
+\]
+
+\end_inset
+
+Así, si tres puntos 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ no están alineados, forman un plano dado por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{ccc}
+q_{1}-p_{1} & r_{1}-p_{1} & x_{1}-p_{1}\\
+q_{2}-p_{2} & r_{2}-p_{2} & x_{2}-p_{2}\\
+q_{3}-p_{3} & r_{3}-p_{3} & x_{3}-p_{3}
+\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
+1 & 1 & 1 & 1\\
+p_{1} & q_{1} & r_{1} & s_{1}\\
+p_{2} & q_{2} & r_{2} & s_{2}\\
+p_{3} & q_{3} & r_{3} & s_{3}
+\end{array}\right|=0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En un espacio tridimensional, el punto 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2},x_{3})$
+\end_inset
+
+ está en la recta
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\ell=(p_{1},p_{2},p_{3})+$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $<(v_{1},v_{2},v_{3})>$
+\end_inset
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $(v_{1},v_{2},v_{3})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2},x_{3}-p_{3})$
+\end_inset
+
+ sean proporcionales, lo que nos lleva a las 
+\series bold
+ecuaciones continuas
+\series default
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\frac{x_{2}-p_{2}}{v_{2}}=\frac{x_{3}-p_{3}}{v_{3}}
+\]
+
+\end_inset
+
+Si una de las coordenadas del vector director es 0, este caso debe ser tratado
+ de forma especial.
+ A partir de estas ecuaciones podemos obtener las implícitas.
+ El 
+\series bold
+haz de planos
+\series default
+ que contienen a 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ es el conjunto de todos los planos que la contienen.
+ Así, si
+\begin_inset Formula 
+\[
+\ell\equiv\left\{ \begin{array}{rcl}
+ax+by+cz+d & = & 0\\
+a'x+b'y+c'z+d' & = & 0
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+su haz de planos está formado por las combinaciones lineales de estas ecuaciones
+, es decir, el plano 
+\begin_inset Formula $a'x+b'y+c'z+d'=0$
+\end_inset
+
+ y los planos 
+\begin_inset Formula $(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d)=0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\mu\in K$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/gae/n1b.lyx b/gae/n1b.lyx
new file mode 100644
index 0000000..7f06d5c
--- /dev/null
+++ b/gae/n1b.lyx
@@ -0,0 +1,1010 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\input defs
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
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+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
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+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
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+\use_indices false
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+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
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+\paragraph_indentation default
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+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+A lo largo del capítulo, cuando no haya ambigüedad, identificamos el espacio
+ afín 
+\begin_inset Formula $({\cal E},V,\varphi)$
+\end_inset
+
+ con el conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+.
+ Un 
+\series bold
+espacio afín
+\series default
+ sobre un cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es una terna 
+\begin_inset Formula $({\cal E},V,\varphi)$
+\end_inset
+
+ formada por un conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal E}\neq0$
+\end_inset
+
+, cuyos elementos llamamos 
+\series bold
+puntos
+\series default
+; un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, llamado 
+\series bold
+espacio vectorial asociado
+\series default
+ a o 
+\series bold
+de direcciones
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $({\cal E},V,\varphi)$
+\end_inset
+
+, y una aplicación 
+\begin_inset Formula $\varphi:{\cal E}\times V\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+, que escribimos como 
+\begin_inset Formula $P+\vec{v}:=\varphi(P,\vec{v})$
+\end_inset
+
+, que cumplen que 
+\begin_inset Formula $\forall P,Q\in{\cal E},\vec{v},\vec{w}\in V$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(P+\vec{v})+\vec{w}=P+(\vec{v}+\vec{w})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $P+\vec{0}=P$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\exists!\overrightarrow{PQ}\in V:P+\overrightarrow{PQ}=Q$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos que 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+origen
+\series default
+ y 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ el 
+\series bold
+extremo
+\series default
+ del vector 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P(P+\vec{v})}=\vec{v}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+dimensión
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ a la de su espacio vectorial asociado, 
+\begin_inset Formula $\dim({\cal E})=\dim_{K}(V)$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+rectas afines
+\series default
+ a los espacios afines de dimensión 1, 
+\series bold
+planos afines
+\series default
+ a los de dimensión 2 y 
+\series bold
+espacios (tridimensionales) afines
+\series default
+ a los de dimensión 3.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tenemos que, dado 
+\begin_inset Formula $O\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+, las aplicaciones 
+\begin_inset Formula $V\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal E}\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ dadas, respectivamente, por 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\mapsto O+\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P\mapsto\overrightarrow{OP}$
+\end_inset
+
+ son biyecciones una inversa de la otra.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\mapsto O+\vec{v}\mapsto\overrightarrow{O(O+\vec{v})}=\vec{v}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $P\mapsto\overrightarrow{OP}\mapsto O+\overrightarrow{OP}=P$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esta biyección permite dar a 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ una estructura de espacio vectorial definida por 
+\begin_inset Formula $P\hat{+}Q=O+(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lambda\cdot P=O+\lambda\overrightarrow{OP}$
+\end_inset
+
+, a la que llamamos 
+\series bold
+vectorialización
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ respecto a 
+\begin_inset Formula $O\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+, que es isomorfa a 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y cuyo elemento neutro es 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algunos espacios afines:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Espacio afín trivial:
+\series default
+ De dimensión 0, con un solo punto, pues dados 
+\begin_inset Formula $P,Q\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Q=P+\overrightarrow{PQ}=P+\vec{0}=P$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Estructura afín de un espacio vectorial:
+\series default
+ Dado un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, existe un espacio afín 
+\begin_inset Formula $(V,V,\varphi)$
+\end_inset
+
+ donde la suma es la suma usual de vectores.
+ Podemos entonces escribir 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=Q-P$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+espacio afín numérico
+\series default
+ de dimensión 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula ${\cal E}^{n}(K)$
+\end_inset
+
+, a la estructura afín de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal E}^{2}(\mathbb{R})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal E}^{3}(\mathbb{R})$
+\end_inset
+
+ son pues el plano y el espacio afín usuales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Propiedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\vec{0}\iff P=Q$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP}=\vec{0}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\overrightarrow{PQ}=\vec{0}\implies Q=P+\overrightarrow{PQ}=P+\vec{0}=P\\
+Q+\vec{0}=Q\implies\overrightarrow{QQ}=\vec{0}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Relación de Chasles:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}+\overrightarrow{P_{2}P_{3}}+\dots+\overrightarrow{P_{n-1}P_{n}}=\overrightarrow{P_{1}P_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+P+(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR})=(P+\overrightarrow{PQ})+\overrightarrow{QR}=Q+\overrightarrow{QR}=R
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{QP}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PP}=\overrightarrow{0}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Cancelación:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $P+\vec{v}=P+\vec{w}\implies\vec{v}=\vec{w}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $P+\vec{v}=Q+\vec{v}\implies P=Q$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PR}\iff Q=R\iff\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RP}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+P+\vec{v}=P+\vec{w}\implies\vec{v}=\overrightarrow{P(P+\vec{v})}=\overrightarrow{P(P+\vec{w})}=\vec{w}\\
+P+\vec{v}=Q+\vec{v}\implies P=P+\vec{v}-\vec{v}=Q+\vec{v}-\vec{v}=Q\\
+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PR}\implies Q=P+\overrightarrow{PQ}=P+\overrightarrow{PR}=R
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{(P+\vec{v})(Q+\vec{w})}=\overrightarrow{PQ}+\vec{w}-\vec{v}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P(Q+\vec{w})}=\overrightarrow{PQ}+\vec{w}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{(P+\vec{v})Q}=\overrightarrow{PQ}-\vec{v}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{(P+\vec{v})P}=-\vec{v}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+(P+\vec{v})+(\overrightarrow{PQ}+\vec{w}-\vec{v})=P+\overrightarrow{PQ}+\vec{w}=Q+\vec{w}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $P+\vec{v}=Q+\vec{w}\iff\overrightarrow{PQ}=\vec{v}-\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+P+\vec{v}=Q+\vec{w}\iff\overrightarrow{(P+\vec{v})(Q+\vec{w})}=\overrightarrow{PQ}+\vec{w}-\vec{v}=\overrightarrow{0}\iff\overrightarrow{PQ}=\vec{w}-\vec{v}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla del paralelogramo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{P'Q'}\iff\overrightarrow{PP'}=\overrightarrow{QQ'}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QQ'}=\overrightarrow{PQ'}=\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{P'Q'}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Sistemas de referencia y coordenadas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+sistema de referencia
+\series default
+ (o 
+\series bold
+referencial
+\series default
+)
+\series bold
+ cartesiano
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ es un par 
+\begin_inset Formula $\Re=(O,{\cal B})$
+\end_inset
+
+ formado por un 
+\series bold
+origen
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $O\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ y una base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Las 
+\series bold
+coordenadas (cartesianas)
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\Re$
+\end_inset
+
+ son las del vector 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{OP}$
+\end_inset
+
+ respecto de la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+, y se denotan 
+\begin_inset Formula $[P]_{\Re}:=[\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}}$
+\end_inset
+
+.
+ En particular 
+\begin_inset Formula $[O]_{\Re}=(0,\dots,0)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[P+\vec{v}]_{\Re}=[P]_{\Re}+[\vec{v}]_{{\cal B}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[\overrightarrow{PQ}]_{{\cal B}}=[Q]_{\Re}-[P]_{\Re}$
+\end_inset
+
+.
+ Cuando se trabaja con un único referencial, se omiten los subíndices 
+\begin_inset Formula $\Re$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ en los corchetes, o incluso se pueden identificar los puntos y vectores
+ con sus coordenadas, siempre que se indique esto al principio de trabajar
+ con coordenadas, y podemos entonces escribir 
+\begin_inset Formula $P=(p_{1},\dots,p_{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=(v_{1},\dots,v_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para cambiar coordenadas entre dos referenciales 
+\begin_inset Formula $\Re=(O,{\cal B})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\Re'=(O',{\cal B}')$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+, si llamamos 
+\begin_inset Formula $X_{0}:=[O]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $M:=M_{{\cal B}'{\cal B}}$
+\end_inset
+
+, se tiene que:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left.\begin{array}{c}
+X=[P]_{\Re}=[\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}}\\
+X'=[P]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'P}]_{{\cal B}'}
+\end{array}\right\} \implies X'=[\overrightarrow{O'P}]_{{\cal B}'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}+[\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}'}=X_{0}+M\cdot[\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}}=X_{0}+MX
+\]
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $X=(x_{1},\dots,x_{n})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X'=(x'_{1},\dots,x'_{n})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X_{0}=(b_{1},\dots,b_{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $M=(a_{ij})$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+ecuaciones de cambio de coordenadas
+\series default
+ a las siguientes:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\{ \begin{array}{ccc}
+x'_{1} & = & b_{1}+a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}\\
+ & \vdots\\
+x'_{n} & = & b_{n}+a_{n1}x_{1}+\dots+a_{nn}x_{n}
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+Podemos emplear la expresión matricial equivalente:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+1\\
+x'_{1}\\
+\vdots\\
+x'_{n}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
+1 & 0 & \cdots & 0\\
+b_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+b_{n} & a_{n1} & \cdots & a_{nn}
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+1\\
+x_{1}\\
+\vdots\\
+x_{n}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+O simplificadamente
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+1\\
+\hline X'
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c}
+1 & 0\\
+\hline X_{0} & M
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+1\\
+\hline X
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Rectas y puntos alineados
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+recta
+\series default
+ que pasa por 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ con 
+\series bold
+dirección
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $<\vec{v}>$
+\end_inset
+
+, o 
+\series bold
+vector director
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+, es el conjunto 
+\begin_inset Formula $P+<\vec{v}>=\{P+\lambda\vec{v}\}_{\lambda\in K}$
+\end_inset
+
+.
+ Dos rectas 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $l'$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+paralelas
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $l\parallel l'$
+\end_inset
+
+) si sus vectores directores son proporcionales.
+ Propiedades: 
+\begin_inset Formula $\forall X\in{\cal E},l=P+<\vec{v}>$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X\in l\iff\exists\lambda\in K:\overrightarrow{PX}=\lambda\vec{v}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall r\neq0,l=P+<r\vec{v}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall P'\in l,l=P'+<\vec{v}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall Q\in{\cal E},\exists!r:Q\in r\parallel l$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $r:=Q+<\vec{v}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Recta que pasa por
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $\forall A,B\in{\cal E},A\neq B,\exists!r:A,B\in r$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $r:=AB:=A+<\overrightarrow{AB}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una serie de puntos de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ están 
+\series bold
+alineados
+\series default
+ si existe una recta que los contiene a todos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Puntos medios y razón simple
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $2=1+1\neq0$
+\end_inset
+
+, se define el 
+\series bold
+punto medio
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A,B\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{A+B}{2}:=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
+\]
+
+\end_inset
+
+Esto es simplemente una notación, pues no hemos definido suma ni producto
+ por escalares en 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades: 
+\begin_inset Formula $\forall A,B\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $M=\frac{A+B}{2}\iff\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}\iff B=A+2\overrightarrow{AM}\iff\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MM}=\vec{0}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{A+B}{2}=\frac{B+A}{2}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{A+B}{2}=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=B+\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=B+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{B+A}{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{A+B}{2}=\frac{A+B'}{2}\iff B=B'$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB'}\iff B=B'
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{(A+\vec{v})+(B+\vec{w})}{2}=\frac{A+B}{2}+\frac{\vec{v}+\vec{w}}{2}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+A+\vec{v}+\frac{1}{2}\overrightarrow{(A+\vec{v})(B+\vec{w})}=A+\vec{v}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\vec{w}-\vec{v})=\left(A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{2}(\vec{v}+\vec{w})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados tres puntos alineados 
+\begin_inset Formula $A,B,C$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A\neq B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C\in AB$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+razón simple
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A,B,C$
+\end_inset
+
+ al único 
+\begin_inset Formula $\lambda\in K$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$
+\end_inset
+
+, y escribimos 
+\begin_inset Formula $\lambda=(A,B,C)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $(A,B,A)=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(A,B,B)=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/gae/n2.lyx b/gae/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..d5c7289
--- /dev/null
+++ b/gae/n2.lyx
@@ -0,0 +1,1978 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
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+\textclass book
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+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}'$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+afín
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}:V\rightarrow V'$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E},\vec{v}\in V$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(P+\vec{v})=f(P)+\overrightarrow{f}(\vec{v})$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}(\vec{v})=\overrightarrow{f(P)f(P+\vec{v})}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+ queda determinada por 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y se le llama 
+\series bold
+aplicación lineal asociada
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Las aplicaciones afines 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+transformaciones afines
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal E}'$
+\end_inset
+
+ tienen dimensión finita siendo 
+\begin_inset Formula $\Re=(O;{\cal B}=\{\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n}\})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\Re'=(O';{\cal B}')$
+\end_inset
+
+ referenciales cartesianos de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal E}'$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}'$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $X_{0}=[f(O)]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'f(O)}]_{{\cal B}'}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $M=M_{{\cal B}'{\cal B}}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+[f(X)]_{\Re'}=[f(O)+\overrightarrow{f}(\overrightarrow{OX})]_{\Re'}=[f(O)]_{\Re'}+[\overrightarrow{f}(\overrightarrow{OX})]_{{\cal B}}=X_{0}+M[X]_{\Re}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lo que nos da la 
+\series bold
+representación matricial
+\series default
+ o las 
+\series bold
+ecuaciones
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\Re$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\Re'$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $X'=X_{0}+MX$
+\end_inset
+
+ o
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+1\\
+\hline X'
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c}
+1 & 0\\
+\hline X_{0} & M
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+1\\
+\hline X
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Propiedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados 
+\begin_inset Formula $f,g:{\cal E}\rightarrow{\cal E}'$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists P\in{\cal E}:f(P)=g(P)\land\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g}\implies f=g$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Dado un 
+\begin_inset Formula $Q\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ arbitrario, 
+\begin_inset Formula $f(Q)=f(P)+\overrightarrow{f}(\overrightarrow{PQ})=g(P)+\overrightarrow{g}(\overrightarrow{PQ})=g(Q)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $P'\in{\cal E}'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\phi:V\rightarrow V'$
+\end_inset
+
+ vectorial, existe una única aplicación afín 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}'$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(P)=P'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\phi$
+\end_inset
+
+, dada por 
+\begin_inset Formula $f(Q):=P'+\phi(\overrightarrow{PQ})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(Q+\vec{v})=P'+\phi(\overrightarrow{P(Q+\vec{v})})=P'+\phi(\overrightarrow{PQ}+\vec{v})=P'+\phi(\overrightarrow{PQ})+\phi(\vec{v})=f(Q)+\phi(\vec{v})
+\]
+
+\end_inset
+
+por lo que es afín.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $f(P)=P'+\phi(\overrightarrow{PP})=P'$
+\end_inset
+
+, y la unicidad se desprende del apartado anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La composición de aplicaciones afines 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es afín, y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{g\circ f}=\overrightarrow{g}\circ\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula ${\cal E}\overset{f}{\rightarrow}{\cal E}'\overset{g}{\rightarrow}{\cal E}''$
+\end_inset
+
+, para 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E},\vec{v}\in V$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+(g\circ f)(P+\vec{v})=g(f(P)+\overrightarrow{f}(\vec{v}))=g(f(P))+\overrightarrow{g}(\overrightarrow{f}(\vec{v}))=(g\circ f)(P)+(\overrightarrow{g}\circ\overrightarrow{f})(\vec{v})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva si y sólo si lo es 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dados 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E},\vec{v}\in\text{Nuc}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(P+\vec{v})=f(P)+\overrightarrow{f}(\vec{v})=f(P)$
+\end_inset
+
+, y por la inyectividad 
+\begin_inset Formula $P+\vec{v}=P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=0$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\overrightarrow{f})=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $f(P)=f(Q)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}(\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\vec{0}$
+\end_inset
+
+, y por la inyectividad de 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\vec{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $P=Q$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva si y sólo si lo es 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $\vec{v}'\in V'$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ arbitrario, 
+\begin_inset Formula $f(P)+\vec{v}'\in{\cal E}'$
+\end_inset
+
+ y por la suprayectividad de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $Q\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(Q)=f(P)+\vec{v}'$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\vec{v}'=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{PQ})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $Q'\in{\cal E}'$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ arbitrario, 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f(P)Q'}\in V'$
+\end_inset
+
+, y por la suprayectividad de 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}(\vec{v})=\overrightarrow{f(P)Q'}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $Q'=f(P)+\overrightarrow{f}(\vec{v})=f(P+\vec{v})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}'$
+\end_inset
+
+ es afín y biyectiva, entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ es afín y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f^{-1}}=\overrightarrow{f}^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+f^{-1}(P'+\vec{v}')=f^{-1}(P')+\overrightarrow{f}^{-1}(\vec{v}')\iff f(f^{-1}(P'+\vec{v}'))=P'+\vec{v}'=f(f^{-1}(P')+\overrightarrow{f}^{-1}(\vec{v}'))
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esto último nos lleva al concepto de 
+\series bold
+isomorfismo de espacios afines
+\series default
+, una aplicación afín y biyectiva 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}'$
+\end_inset
+
+.
+ Cuando existe se dice que 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal E}'$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+isomorfos
+\series default
+.
+ Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, dos espacios afines de dimensión finita sobre el mismo cuerpo son isomorfos
+ si y sólo si tienen la misma dimensión.
+ Más propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $M=\frac{A+B}{2}\implies f(M)=\frac{f(A)+f(B)}{2}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}\implies\overrightarrow{f(A)f(B)}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{f}(2\overrightarrow{AM})=2\overrightarrow{f(A)f(M)}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
+\end_inset
+
+ es una variedad de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f({\cal L})=f(P)+\overrightarrow{f}(W)$
+\end_inset
+
+ lo es de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}'$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+Q'\in f({\cal L})\iff\exists\vec{w}\in W:Q'=f(P+\vec{w})=f(P)+\overrightarrow{f}(\vec{w})\iff\\
+\iff\overrightarrow{f(P)Q'}=\overrightarrow{f}(\vec{w})\in\overrightarrow{f}(W)\iff Q'\in f(P)+\overrightarrow{f}(W)
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}\ll{\cal L}_{2}\subseteq{\cal E}\implies f({\cal L}_{1})\ll f({\cal L}_{2})$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}\parallel{\cal L}_{2}\subseteq{\cal E}\implies f({\cal L}_{1})\parallel f({\cal L}_{2})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Se sigue de lo anterior y de que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+ conserva las inclusiones entre subespacios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ biyectiva, si 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W$
+\end_inset
+
+ es una variedad de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}'$
+\end_inset
+
+ y su inversa 
+\begin_inset Formula $f^{-1}({\cal L}')\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, esta es una variedad de 
+\begin_inset Formula ${\cal E}$
+\end_inset
+
+.
+ En concreto, 
+\begin_inset Formula $\text{dir}(f^{-1}({\cal L}'))=\overrightarrow{f}^{-1}(W')$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+Q\in f^{-1}({\cal L}')\iff f(Q)\in{\cal L}'\iff\overrightarrow{P'f(Q)}\in W'\iff\\
+\iff\overrightarrow{f(P)P'}+\overrightarrow{P'f(Q)}=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{PQ})\in W'\iff\\
+\iff\overrightarrow{PQ}\in\overrightarrow{f}^{-1}(W')\iff Q\in P+\overrightarrow{f}^{-1}(W')
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Puntos fijos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $Q\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+punto fijo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $f(Q)=Q$
+\end_inset
+
+, y definimos
+\begin_inset Formula 
+\[
+\text{Fix}(f):=\{Q\in{\cal E}:f(Q)=Q\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+subespacio invariante
+\series default
+ por 
+\begin_inset Formula $\phi:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es un subespacio 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(U)\subseteq U$
+\end_inset
+
+.
+ Destacamos el subespacio de los 
+\series bold
+vectores invariantes
+\series default
+ o asociado al autovalor 1,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\text{Inv}(\phi):=\text{Nuc}(\phi-id_{V})=\{\vec{v}\in V:\phi(\vec{v})=\vec{v}\}
+\]
+
+\end_inset
+
+y el de los 
+\series bold
+opuestos
+\series default
+ o asociado al autovalor 
+\begin_inset Formula $-1$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\text{Opp}(\phi):=\text{Nuc}(\phi+id_{V})=\{\vec{v}\in V:\phi(\vec{v})=-\vec{v}\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se tiene que 
+\begin_inset Formula $P\in\text{Fix}(f)\neq\emptyset\implies\text{Fix}(f)=P+\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $f(P)=P$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+Q\in P+\text{Inv}(\overrightarrow{f})\iff\overrightarrow{PQ}\in\text{Inv}(\overrightarrow{f})\iff\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\overrightarrow{Pf(Q)}\iff\\
+\iff Q=f(Q)\iff Q\in\text{Fix}(f)
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En coordenadas, 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+ se obtiene como las soluciones del sistema 
+\begin_inset Formula $(I-M|0)$
+\end_inset
+
+, mientras que 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(f)$
+\end_inset
+
+ se obtiene como las soluciones del sistema 
+\begin_inset Formula $(I-M|X_{0})$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto, 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(\overrightarrow{f})=0\iff|\text{Fix}(f)|=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Ejemplos de transformaciones afines
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Traslaciones 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in V$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+traslación
+\series default
+ de vector 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ es la aplicación 
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}(P)=P+\vec{v}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}$
+\end_inset
+
+ es afín y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{t_{\vec{v}}}=id_{V}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+t_{\vec{v}}(P+\vec{w})=P+\vec{w}+\vec{v}=t_{\vec{v}}(P)+id_{V}(\vec{w})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Recíprocamente, si 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ es afín con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=id_{V}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f=t_{\overrightarrow{Pf(P)}}$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ arbitrario y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}:=\overrightarrow{Pf(P)}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}$
+\end_inset
+
+ son aplicaciones afines con la misma lineal asociada y actúan igual sobre
+ 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f=t_{\vec{v}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $t_{\vec{0}}=id_{{\cal E}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\vec{v}\neq\vec{0}\implies\text{Fix}(t_{\vec{v}})=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{w}}=t_{\vec{w}}\circ t_{\vec{v}}=t_{\vec{v}+\vec{w}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}^{-1}=t_{-\vec{v}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La expresión matricial de 
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\Re=(O,{\cal B})$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $X'=[\vec{v}]_{{\cal B}}+X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ afín, 
+\begin_inset Formula $f\circ t_{\vec{v}}=t_{\vec{v}}\circ f\iff\vec{v}\in\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como ambas tienen la misma lineal asociada (
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+), serán iguales si y sólo si actúan igual sobre un 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ arbitrario.
+\begin_inset Formula 
+\[
+f\circ t_{\vec{v}}=t_{\vec{v}}\circ f\iff f(t_{\vec{v}}(P))=t_{\vec{v}}(f(P))\iff f(P+\vec{v})=f(P)+\vec{v}\iff\overrightarrow{f}(\vec{v})=\vec{v}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f=t_{\vec{v}}\circ g$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\overrightarrow{Pf(P)}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es una transformación afín con 
+\begin_inset Formula $g(P)=P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $g:=t_{-\vec{v}}\circ f$
+\end_inset
+
+ es afín con 
+\begin_inset Formula $g(P)=t_{-\vec{v}}(f(P))=f(P)-\vec{v}=f(P)+\overrightarrow{f(P)P}=P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{t_{-\vec{v}}}\circ\overrightarrow{f}=\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+, y componiendo se obtiene 
+\begin_inset Formula $f=t_{\vec{v}}\circ g$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Homotecias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $O\in{\cal E},\lambda\in K$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+homotecia
+\series default
+ de centro 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+ y razón 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ es la aplicación 
+\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}(P):=O+\lambda\overrightarrow{OP}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, para 
+\begin_inset Formula $P\neq O$
+\end_inset
+
+, la razón simple 
+\begin_inset Formula $(O,P,H_{O,\lambda}(P))=\lambda$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $\lambda=0$
+\end_inset
+
+ se obtiene la aplicación constante, que lleva todos los puntos a 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+; para 
+\begin_inset Formula $\lambda=1$
+\end_inset
+
+ se obtiene la identidad, y para 
+\begin_inset Formula $\lambda=-1$
+\end_inset
+
+ se obtiene la 
+\series bold
+simetría central
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+, escrita 
+\begin_inset Formula $s_{O}:=H_{O,-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}$
+\end_inset
+
+ es afín con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{H_{O,\lambda}}=h_{\lambda}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+H_{O,\lambda}(P+\vec{w})=O+\lambda\overrightarrow{O(P+\vec{w})}=O+\lambda(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{w})=(O+\lambda\overrightarrow{OP})+\lambda\vec{w}=H_{O,\lambda}(P)+h_{\lambda}(\vec{w})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lambda\neq1\implies\text{Fix}(H_{O,\lambda})=\{O\}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+P=H_{O,\lambda}(P)=O+\lambda\overrightarrow{OP}\iff\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OP}\iff\\
+\iff(\lambda-1)\overrightarrow{OP}=\vec{0}\overset{\lambda\neq1}{\iff}\overrightarrow{OP}=\vec{0}\iff P=O
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ es afín con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=h_{\lambda}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lambda\neq1$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es la homotecia 
+\begin_inset Formula $f=H_{O,\lambda}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $O=P+\frac{1}{1-\lambda}\overrightarrow{Pf(P)}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, para una simetría central, 
+\begin_inset Formula $O=\frac{P+f(P)}{2}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{H_{O,\lambda}}$
+\end_inset
+
+, será 
+\begin_inset Formula $f=H_{O,\lambda}$
+\end_inset
+
+ si actúan igual sobre un punto.
+ Por la definición de 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PO}=\frac{1}{1-\lambda}\overrightarrow{Pf(P)}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $(1-\lambda)\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{Pf(P)}$
+\end_inset
+
+, luego
+\begin_inset Formula 
+\[
+\overrightarrow{Of(O)}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{Pf(P)}+\overrightarrow{f(P)f(O)}=-\overrightarrow{PO}+(1-\lambda)\overrightarrow{PO}+\lambda\overrightarrow{PO}=\vec{0}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}\circ H_{O,\mu}=H_{O,\mu}\circ H_{O,\lambda}=H_{O,\lambda\mu}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lambda\neq0\implies H_{O,\lambda}^{-1}=H_{O,\lambda^{-1}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La expresión matricial de 
+\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}$
+\end_inset
+
+ en el referencial 
+\begin_inset Formula $\Re$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $X'=(1-\lambda)[O]_{\Re}+\lambda X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\lambda\neq1$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}\circ H_{O,\lambda}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}\circ t_{\vec{v}}$
+\end_inset
+
+ son homotecias de razón 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ y centros respectivos 
+\begin_inset Formula $O+\frac{1}{1-\lambda}\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $O+\frac{\lambda}{1-\lambda}\vec{v}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $O\neq O'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lambda\lambda'=1$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}\circ H_{O',\lambda'}=t_{(1-\lambda)\overrightarrow{O'O}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Proyecciones y simetrías vectoriales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $V=W_{1}\oplus W_{2}$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+proyección vectorial
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+ y la 
+\series bold
+simetría vectorial
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ de 
+\series bold
+base
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+dirección
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $W_{2}$
+\end_inset
+
+, o sobre 
+\begin_inset Formula $W_{1}$
+\end_inset
+
+ y paralelamente a 
+\begin_inset Formula $W_{2}$
+\end_inset
+
+ son los endomorfismos de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tales que, si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ se descompone como 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{2}\in W_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\pi_{W_{1},W_{2}}(\vec{v})=\vec{w}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sigma_{W_{1},W_{2}}(\vec{v})=\vec{w}_{1}-\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\sigma+id_{V}=2\pi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+idempotente
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\pi^{2}=\pi$
+\end_inset
+
+) y 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+involutiva
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\sigma^{2}=id_{V}$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $\sigma^{-1}=\sigma$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $W_{1}=\text{Inv}(\pi)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W_{2}=\text{Nuc}(\pi)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $W_{1}=\text{Inv}(\sigma)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W_{2}=\text{Opp}(\sigma)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\phi\text{ es proyección (con }W_{1}=\text{Inv}(\phi)\text{ y }W_{2}=\text{Nuc}(\phi)\text{)}\iff\phi\text{ es \textbf{idempotente} (}\phi^{2}=\phi\text{)}\iff V=\text{Inv}(\phi)\oplus\text{Nuc}(\phi)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[2\implies3]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\phi(\vec{v})+(\vec{v}-\phi(\vec{v}))\in\text{Inv}(\phi)+\text{Nuc}(\phi)$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in V$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in\text{Inv}(\phi)\cap\text{Nuc}(\phi)\implies\vec{v}\overset{\text{Inv}}{=}\phi(\vec{v})\overset{\text{Nuc}}{=}\vec{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[3\implies1]$
+\end_inset
+
+ Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in\text{Inv}(\phi)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{2}\in\text{Nuc}(\phi)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\phi(\vec{v})=\phi(\vec{w}_{1})+\phi(\vec{w}_{2})=\vec{w}_{1}+\vec{0}=\vec{w}_{1}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ es la proyección de base 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(\phi)$
+\end_inset
+
+ y dirección 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\phi)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\phi\text{ es simetría (con }W_{1}=\text{Inv}(\phi)\text{ y }W_{2}=\text{Nuc}(\phi)\text{)}\iff\text{\phi}\text{ es \textbf{involutiva} (}\phi^{2}=id_{V}\text{)}\iff V=\text{Inv}(\phi)\oplus\text{Opp}(\phi)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Demostración análoga, tomando 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\frac{1}{2}(\vec{v}+\phi(\vec{v}))+\frac{1}{2}(\vec{v}-\phi(\vec{v}))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\{\vec{w}_{1},\dots,\vec{w}_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es de 
+\begin_inset Formula $W_{2}$
+\end_inset
+
+, podemos definir la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}:=\{\vec{w}_{1},\dots,\vec{w}_{n},\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(\pi_{W_{1},W_{2}})=\left(\begin{array}{c|c}
+I_{n} & 0\\
+\hline 0 & 0
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(\sigma_{W_{1},W_{2}})=\left(\begin{array}{c|c}
+I_{n} & 0\\
+\hline 0 & -I_{m}
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Proyecciones y simetrías afines
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=A+W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V=W_{1}\oplus W_{2}$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+proyección afín
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y la 
+\series bold
+simetría afín
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ paralelamente a 
+\begin_inset Formula $W_{2}$
+\end_inset
+
+ son las aplicaciones 
+\begin_inset Formula $p_{{\cal L},W_{2}},s_{{\cal L},W_{2}}:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $p(Q)\in{\cal L}\cap(Q+W_{2})$
+\end_inset
+
+ (conjunto unitario porque las variedades son complementarias) y 
+\begin_inset Formula $s(Q)=p(Q)+\overrightarrow{Qp(Q)}=Q+2\overrightarrow{Qp(Q)}$
+\end_inset
+
+.
+ Visto de otro modo, si 
+\begin_inset Formula $Q=A+\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{2}\in W_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $p(Q)=A+\vec{w}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s(Q)=A+\vec{w}_{1}-\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=\{O\}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es la aplicación constante en 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ es la simetría central de centro 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $p_{{\cal L},W_{2}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s_{{\cal L},W_{2}}$
+\end_inset
+
+ son afines con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{p_{{\cal L},W_{2}}}=\pi_{W_{1},W_{2}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{s_{{\cal L},W_{2}}}=\sigma_{W_{1},W_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{AQ}=\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{u}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{1},\vec{w}_{1}\in W_{1},\vec{u}_{2},\vec{w}_{2}\in W_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+p(Q+\vec{u})=p(A+(\vec{w}_{1}+\vec{u}_{1})+(\vec{w}_{2}+\vec{u}_{2}))=A+(\vec{w}_{1}+\vec{u}_{1})=(A+\vec{w}_{1})+\vec{u}_{1}=p(A)+\pi(\vec{u})
+\]
+
+\end_inset
+
+La simetría se hace de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}=\text{Fix}(p)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W_{2}=\text{Nuc}(\pi)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in W_{1},\vec{w}_{2}\in W_{2}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+Q:=A+\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}\in\text{Fix}(p)\iff\vec{w}_{2}=0\iff Q=A+\vec{w}_{1}\iff Q\in{\cal L}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal L}=\text{Fix}(s)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W_{2}=\text{Opp}(\sigma)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una transformación afín 
+\begin_inset Formula $f:{\cal E}\rightarrow{\cal E}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f\text{ es una proyección afín (con }{\cal L}=\text{Fix}(f)\text{ y }W_{2}=\text{Nuc}(\overrightarrow{f})\text{)}\iff f\text{ es idempotente}\iff\overrightarrow{f}^{2}=\overrightarrow{f}\land\text{Fix}(f)\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[1\implies2]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $f^{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ actúan igual sobre los puntos de 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(f)\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, pues ambas los fijan, y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f^{2}}=\overrightarrow{f}^{2}=\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f^{2}=f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[2\implies3]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}^{2}=\overrightarrow{f^{2}}\overset{f^{2}=f}{=}\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+ es proyección vectorial.
+ Por otro lado, dado 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(P)=f(f(P))\in\text{Fix}(f)\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[3\implies1]$
+\end_inset
+
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A\in\text{Fix}(f)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(f)=A+\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+ es la proyección de base 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+ y dirección 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, dados 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in\text{Inv}(\overrightarrow{f}),\vec{w}_{2}\in\text{Nuc}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(A+\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2})=f(A)+\overrightarrow{f}(\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2})=A+\vec{w}_{1}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es la proyección de base 
+\begin_inset Formula $A+\text{Inv}(\overrightarrow{f})=\text{Fix}(f)$
+\end_inset
+
+ y dirección 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una transformación afín 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f\text{ es una simetría afín (con }{\cal L}=\text{Fix}(f)\text{ y }W_{2}=\text{Opp}(\overrightarrow{f})\text{)}\iff f\text{ es involutiva}\iff\overrightarrow{f}^{2}=id_{V}\land\text{Fix}(f)\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[1\implies2]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $f^{2}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $id_{{\cal E}}$
+\end_inset
+
+ actúan igual sobre los puntos de 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(f)$
+\end_inset
+
+, pues ambos los fijan, y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f^{2}}=\overrightarrow{f}^{2}=id_{V}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f^{2}=f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[2\implies3]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}^{2}=\overrightarrow{f^{2}}=\overrightarrow{id_{{\cal E}}}=id_{V}$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, dado 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
+\end_inset
+
+ y sea 
+\begin_inset Formula $A:=\frac{P+f(P)}{2}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f(A)=\frac{f(P)+f(f(P))}{2}=\frac{f(P)+P}{2}=A\in\text{Fix}(f)\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $[3\implies1]$
+\end_inset
+
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A\in\text{Fix}(f)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(f)=A+\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+ es la simetría de base 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+ y dirección 
+\begin_inset Formula $\text{Opp}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, dados 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in\text{Inv}(\overrightarrow{f}),\vec{w}_{2}\in\text{Opp}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(A+\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2})=f(A)+\overrightarrow{f}(\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2})=A+\vec{w}_{1}-\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es la simetría de base 
+\begin_inset Formula $A+\text{Inv}(\overrightarrow{f})=\text{Fix}(f)$
+\end_inset
+
+ y dirección 
+\begin_inset Formula $\text{Opp}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/gae/n3.lyx b/gae/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..142ff61
--- /dev/null
+++ b/gae/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1832 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
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+\index Index
+\shortcut idx
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+\end_index
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+\paragraph_indentation default
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+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+producto escalar
+\series default
+ en un espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $V\times V\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, representada por 
+\begin_inset Formula $(\vec{v},\vec{w})\mapsto\vec{v}\cdot\vec{w}$
+\end_inset
+
+, que verifica que 
+\begin_inset Formula $\forall\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Es 
+\series bold
+simétrico
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Es 
+\series bold
+lineal
+\series default
+ (en cada variable): 
+\begin_inset Formula $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\lambda\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\lambda\vec{u}\cdot\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Es 
+\series bold
+definido positivo
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\neq\vec{0}\implies\vec{v}\cdot\vec{v}>0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio vectorial euclídeo
+\series default
+ es un espacio vectorial real en el que hay definido un producto escalar.
+ Todo subespacio vectorial suyo es también euclídeo.
+ Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El 
+\series bold
+producto escalar usual
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ viene dado por 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\vec{v}\cdot\vec{w}=\left(\begin{array}{ccc}
+- & \vec{v} & -\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+|\\
+\vec{w}\\
+|
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El 
+\series bold
+producto escalar integral
+\series default
+ en el espacio 
+\begin_inset Formula ${\cal C}[a,b]$
+\end_inset
+
+ de las funciones reales continuas en el intervalo 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+, o en sus subespacios 
+\begin_inset Formula ${\cal P}[a,b]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal P}_{n}[a,b]$
+\end_inset
+
+ de funciones polinómicas arbitrarias y de grado máximo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, respectivamente, viene dado por
+\begin_inset Formula 
+\[
+f\cdot g=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Norma y coseno
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+norma
+\series default
+, 
+\series bold
+módulo
+\series default
+ o 
+\series bold
+longitud
+\series default
+ de un vector 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+unitario
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert=1$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert=0\iff\vec{v}=\vec{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Vert r\vec{v}\Vert=|r|\Vert\vec{v}\Vert$
+\end_inset
+
+, y en particular 
+\begin_inset Formula $\frac{\vec{v}}{\Vert\vec{v}\Vert}$
+\end_inset
+
+ es unitario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Teorema del coseno
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\pm\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}\pm2\vec{v}\cdot\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdad de Cauchy-Schwartz
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $|\vec{v}\cdot\vec{w}|\leq\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+, y la igualdad se cumple si y sólo si no son proporcionales.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=0$
+\end_inset
+
+ es trivial.
+ Si no, para cada 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0\leq\Vert x\vec{v}-\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}x^{2}-(2\vec{v}\cdot\vec{w})x+\Vert\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Luego tenemos un polinomio de 
+\begin_inset Formula $2^{o}$
+\end_inset
+
+ grado con a lo más una raíz real (pues 
+\begin_inset Formula $\Vert x\vec{v}-\vec{w}\Vert^{2}=0\iff x\vec{v}-\vec{w}=0$
+\end_inset
+
+), de modo que el discriminante 
+\begin_inset Formula $4(\vec{v}\cdot\vec{w})^{2}-4\Vert\vec{v}\Vert^{2}\Vert\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+ no puede ser estrictamente positivo, es decir, debe ser 
+\begin_inset Formula $|\vec{v}\cdot\vec{w}|\leq\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdades de Minkowski y triangular
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert-\Vert\vec{w}\Vert\leq\Vert\vec{v}\pm\vec{w}\Vert\leq\Vert\vec{v}\Vert+\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Tomando cuadrados, 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}-2\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert\leq\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}\pm2\vec{v}\cdot\vec{w}\leq\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}+2\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+, y cancelando 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+ y aplicando Cauchy-Schwartz tenemos el resultado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+coseno
+\series default
+ del ángulo formado por dos vectores 
+\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\neq\vec{0}$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula 
+\[
+\cos(\vec{v},\vec{w}):=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos vectores 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+ortogonales
+\series default
+ o 
+\series bold
+perpendiculares
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\vec{v}\bot\vec{w}$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\vec{0}$
+\end_inset
+
+ es ortogonal a todos y 
+\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\neq\vec{0}$
+\end_inset
+
+ son ortogonales si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\cos(\vec{v},\vec{w})=0$
+\end_inset
+
+.
+ Del teorema del coseno se deduce el 
+\series bold
+teorema de Pitágoras
+\series default
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\vec{v}\bot\vec{w}\iff\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conjuntos ortogonales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se dice que 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\in V$
+\end_inset
+
+ es ortogonal al subespacio 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ si lo es a todos los vectores de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, o por linealidad a los de un conjunto generador de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ cualquiera.
+ Llamamos 
+\series bold
+subespacio ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, escrito 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, al conjunto de todos los vectores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ ortogonales a 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, que por la linealidad del producto escalar es un subespacio (incluso aunque
+ 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ no lo sea).
+ Sólo el vector nulo es ortogonal a sí mismo, luego 
+\begin_inset Formula $U\cap U^{\bot}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos subespacios 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+ortogonales
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\vec{u}\in U,\vec{w}\in W;\vec{u}\bot\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\dim(U)+\dim(W)>\dim(V)$
+\end_inset
+
+, diremos que 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ son ortogonales cuando lo sean 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $U+W=V$
+\end_inset
+
+, diremos que 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+complemento ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ (o al revés).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto de vectores en un espacio euclídeo 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+ortogonal
+\series default
+ si sus vectores son no nulos y ortogonales dos a dos, y es 
+\series bold
+ortonormal
+\series default
+ si además son unitarios.
+ Si en un conjunto ortogonal dividimos cada vector por su norma, nos queda
+ un conjunto ortonormal que genera el mismo subespacio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo conjunto ortogonal 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si no lo fuera, habría un vector combinación lineal del resto, por ejemplo,
+ 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{1}=a_{2}\vec{u}_{2}+\dots+a_{m}\vec{u}_{m}$
+\end_inset
+
+, y se tendría que
+\begin_inset Formula 
+\[
+0\neq\vec{u}_{1}\cdot\vec{u}_{1}=\vec{u}_{1}\cdot(a_{2}\vec{u}_{2}+\dots+a_{m}\vec{u}_{m})=a_{2}(\vec{u}_{1}\cdot\vec{u}_{2})+\dots+a_{m}(\vec{u}_{1}\cdot\vec{u}_{m})=0\#
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por esto también hablamos de 
+\series bold
+bases ortogonales
+\series default
+ u 
+\series bold
+ortonormales
+\series default
+.
+ Por ejemplo, en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+, la base canónica es una base ortonormal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una matriz 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+ortogonal
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $A^{t}=A^{-1}$
+\end_inset
+
+, si y sólo si sus columnas (o filas) forman una base ortonormal de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración: 
+\series default
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{n}$
+\end_inset
+
+ son vectores no nulos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es la matriz que tiene por columnas estos vectores, 
+\begin_inset Formula $A^{t}A$
+\end_inset
+
+ es una matriz cuadrada 
+\begin_inset Formula $n\times n$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(A^{t}A)_{ij}=\vec{u}_{i}\cdot\vec{u}_{j}$
+\end_inset
+
+, luego los vectores son ortogonales si y sólo si 
+\begin_inset Formula $A^{t}A$
+\end_inset
+
+ es diagonal (sin ceros en la diagonal), y son ortonormales si y sólo si
+ 
+\begin_inset Formula $A^{t}A=I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Método de Gram-Schmidt
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un conjunto ortogonal 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\notin U=<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k}>$
+\end_inset
+
+, el vector 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}:=\vec{x}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{1}}{\Vert\vec{u}_{1}\Vert^{2}}\vec{u}_{1}-\dots-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{k}}{\Vert\vec{u}_{k}\Vert^{2}}\vec{u}_{k}$
+\end_inset
+
+ es ortogonal a los del conjunto y 
+\begin_inset Formula $<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k},\vec{u}_{k+1}>=<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k},\vec{x}>$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ El que ambos generen el mismo subespacio es consecuencia de que 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}-\vec{x}\in<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{k}>$
+\end_inset
+
+.
+ Además, dado 
+\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,k\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}\cdot\vec{u}_{j}=\vec{x}\cdot\vec{u}_{j}-\sum_{i=1}^{k}\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{i}}{\Vert\vec{u}_{i}\Vert^{2}}\vec{u}_{i}\cdot\vec{u}_{j}=\vec{x}\cdot\vec{u}_{j}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{j}}{\Vert\vec{u}_{j}\Vert^{2}}\vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{j}=0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}\bot U$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que todo subespacio 
+\begin_inset Formula $U=\{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ admite una base ortogonal 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $<\vec{x}_{1}>=<\vec{u}_{1}>,\dots,<\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{m}>=<\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}>$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos obtener esta base por el 
+\series bold
+algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt
+\series default
+: Tomamos 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{1}=\vec{x}_{1}$
+\end_inset
+
+ y, para cada 
+\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,m\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vec{u}_{j}=\vec{x}_{j}-\sum_{i=1}^{j-1}\frac{\vec{x}_{j}\cdot\vec{u}_{i}}{\Vert\vec{u}_{i}\Vert^{2}}\vec{u}_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto, todo subespacio 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tiene una base ortonormal, que podemos ampliar a una base ortonormal de
+ 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y los vectores añadidos son una base ortonormal de 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $U\oplus U^{\bot}=V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que, si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ son subespacios de un espacio vectorial euclídeo 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ de dimensión finita, entonces 
+\begin_inset Formula $(U^{\bot})^{\bot}=U$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $U\subseteq W\iff W^{\bot}\subseteq U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}\cap W^{\bot}=(U+W)^{\bot}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}+W^{\bot}=(U\cap W)^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ con el producto escalar usual, si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ está generado por las filas de la matriz 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}=\text{Nuc}(A)$
+\end_inset
+
+, y viceversa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Coeficientes de Fourier y proyección ortogonal
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\in V$
+\end_inset
+
+, los 
+\series bold
+coeficientes de Fourier
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\vec{x}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ son los escalares 
+\begin_inset Formula $r_{i}=\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{i}}{\Vert\vec{u}_{i}\Vert^{2}}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,m\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\in<{\cal B}>$
+\end_inset
+
+, estas son sus coordenadas respecto a la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $\vec{x}\cdot\vec{u}_{i}=\left(\sum_{j=1}^{m}r_{j}\vec{u}_{j}\right)\cdot\vec{u}_{i}=\sum_{j=1}^{m}r_{j}(\vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{i})=r_{i}\Vert\vec{u}_{i}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+proyección ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ a la aplicación lineal 
+\begin_inset Formula $\pi_{U}:V=U\oplus U^{\bot}\rightarrow U$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{1}\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{2}\in U^{\bot}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\pi_{U}(\vec{v})=\vec{v}_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $r_{1},\dots,r_{m}$
+\end_inset
+
+ son los coeficientes de Fourier de 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ sobre la base ortogonal 
+\begin_inset Formula $\{\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\pi_{U}(\vec{v})=\sum_{i=1}^{m}r_{i}\vec{u}_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\vec{u}:=\pi_{U}(\vec{v})$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+mejor aproximación
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $\min\{\Vert\vec{v}-\vec{z}\Vert\}_{\vec{z}\in U}=\Vert\vec{v}-\vec{u}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $\vec{z}\in U$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\vec{u}-\vec{z}\bot\vec{w}$
+\end_inset
+
+, y por el teorema de Pitágoras, 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}-\vec{z}\Vert=\Vert\vec{w}+\vec{u}-\vec{z}\Vert=\sqrt{\Vert\vec{w}\Vert^{2}+\Vert\vec{u}-\vec{z}\Vert^{2}}$
+\end_inset
+
+, con lo que el valor mínimo de 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}-\vec{z}\Vert$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{w}\Vert$
+\end_inset
+
+ y se alcanza cuando 
+\begin_inset Formula $\vec{z}=\vec{u}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+simetría ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es la aplicación lineal 
+\begin_inset Formula $\sigma_{U}:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\sigma_{U}(\vec{v})=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=2\pi_{U}(\vec{v})-\vec{v}$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in V$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{1}\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{2}\in U^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Productos vectorial y mixto
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+producto vectorial
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}=(w_{1},w_{2},w_{3})$
+\end_inset
+
+ es el vector
+\begin_inset Formula 
+\[
+\vec{v}\land\vec{w}:=\left|\begin{array}{ccc}
+\vec{e}_{1} & v_{1} & w_{1}\\
+\vec{e}_{2} & v_{2} & w_{2}\\
+\vec{e}_{3} & v_{3} & w_{3}
+\end{array}\right|
+\]
+
+\end_inset
+
+y el 
+\series bold
+producto mixto
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\vec{u}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ es el escalar 
+\begin_inset Formula $\vec{u}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\vec{u}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})=\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land\vec{w}=-(\vec{w}\land\vec{v})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land(\vec{w}_{1}+\mu\vec{w}_{2})=\vec{v}\land\vec{w}_{1}+\mu\vec{v}\land\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ son linealmente independientes, 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land\vec{w}$
+\end_inset
+
+ es perpendicular a ambos, por lo que genera la recta ortogonal al plano
+ que determinan: 
+\begin_inset Formula $<\vec{v}\land\vec{w}>=<\vec{v},\vec{w}>^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})=\vec{w}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})=\vec{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert^{2}+(\vec{v}\cdot\vec{w})^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}\Vert\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert}{\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert}\right)^{2}+\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert}\right)^{2}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por la última propiedad, el 
+\series bold
+seno
+\series default
+ del ángulo que forman 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ cumple que
+\begin_inset Formula 
+\[
+|\sin(\vec{v},\vec{w})|=\frac{\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert}{\Vert\vec{v}\Vert\Vert\vec{w}\Vert}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto, el 
+\series bold
+área del paralelogramo
+\series default
+ dado por 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{x}\land\vec{z}\Vert=\Vert\vec{x}\Vert(\Vert\vec{z}\Vert|\sin(\vec{x},\vec{z})|)$
+\end_inset
+
+, y el 
+\series bold
+volumen del paralelepípedo
+\series default
+ determinado por 
+\begin_inset Formula $\vec{u}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $|\vec{u}\cdot(\vec{v}\land\vec{w})|=\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert(\Vert\vec{u}\Vert|\cos(\vec{v}\land\vec{w},\vec{u})|)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Espacios afines euclídeos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio afín euclídeo
+\series default
+ es un espacio afín 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ cuyo espacio vectorial asociado 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es euclídeo.
+ Si 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tiene dimensión finita, llamamos 
+\series bold
+sistema de referencia ortonormal
+\series default
+ o 
+\series bold
+referencial ortonormal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ a un referencial cartesiano 
+\begin_inset Formula $\Re=(O,{\cal B})$
+\end_inset
+
+ en el que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base ortonormal de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Denotamos con 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ un espacio afín euclídeo de dimensión finita y 
+\begin_inset Formula $E_{n}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ con su estructura afín y euclídea estándar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+distancia
+\series default
+ entre dos puntos 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $d(P,Q):=\Vert\overrightarrow{PQ}\Vert$
+\end_inset
+
+, y por las propiedades de la norma, 
+\begin_inset Formula $d(P,Q)\geq0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(P,Q)=0\iff P=Q$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d(P,Q)=d(Q,P)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d(P,R)\leq d(P,Q)+d(Q,R)$
+\end_inset
+
+, por lo que se trata de una métrica.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ tienen coordenadas 
+\begin_inset Formula $(p_{1},\dots,p_{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(q_{1},\dots,q_{n})$
+\end_inset
+
+ en un referencial ortonormal, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+d(P,Q)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La distancia entre dos variedades 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'$
+\end_inset
+
+ se define como 
+\begin_inset Formula $d({\cal L},{\cal L}'):=\inf\{d(P,P')\}_{P\in{\cal L},P'\in{\cal L}'}$
+\end_inset
+
+, y la distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a una variedad 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $d(Q,{\cal L})=\inf\{d(P,Q)\}_{P\in{\cal L}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos variedades 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}'$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+ortogonales
+\series default
+ o 
+\series bold
+perpendiculares
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula ${\cal L}\bot{\cal L}'$
+\end_inset
+
+) si lo son sus direcciones, y llamamos 
+\series bold
+variedad perpendicular
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ que pasa por 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a la variedad 
+\begin_inset Formula $Q+W^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, si 
+\begin_inset Formula $\ell_{1}=P_{1}+<\vec{v}_{1}>$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ell_{2}=P_{2}+<\vec{v}_{2}>$
+\end_inset
+
+ son rectas en 
+\begin_inset Formula $E_{3}$
+\end_inset
+
+ que se cruzan, sea 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}\land\vec{v}_{2}$
+\end_inset
+
+ la dirección perpendicular a ambas, como 
+\begin_inset Formula $\vec{v}_{3}\notin<\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}>$
+\end_inset
+
+, existe una única recta con esta dirección que corte a 
+\begin_inset Formula $\ell_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\ell_{2}$
+\end_inset
+
+, que llamamos 
+\series bold
+perpendicular común
+\series default
+ de ambas.
+ Para calcularla, hallamos el punto 
+\begin_inset Formula $Q\in\ell_{1}\cap(P_{2}+<\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}>)$
+\end_inset
+
+ y tomamos la recta 
+\begin_inset Formula $Q+<\vec{v}_{3}>$
+\end_inset
+
+, o buscamos 
+\begin_inset Formula $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{(P_{1}+\lambda_{1}\vec{v}_{1})(P_{2}+\lambda_{2}\vec{v}_{2})}=\lambda_{3}\vec{v}_{3}$
+\end_inset
+
+, es decir, tales que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\lambda_{1}\vec{v}_{1}-\lambda_{2}\vec{v}_{2}+\lambda_{3}\vec{v}_{3}$
+\end_inset
+
+, y tomamos la recta 
+\begin_inset Formula $(P_{1}+\lambda_{1}\vec{v}_{1})+<\vec{v}_{3}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ y una variedad 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+proyección ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula ${\cal L}$
+\end_inset
+
+ como el único punto 
+\begin_inset Formula $Q'\in{\cal L}\cap(Q+W^{\bot})$
+\end_inset
+
+, y el 
+\series bold
+simétrico ortogonal
+\series default
+ como el punto 
+\begin_inset Formula $Q''=Q+2\overrightarrow{QQ'}$
+\end_inset
+
+.
+ Con esto, 
+\begin_inset Formula $d(Q,{\cal L})=d(Q,Q')$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $Q'\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{QQ'}\in W^{\bot}$
+\end_inset
+
+, luego para un 
+\begin_inset Formula $X\in{\cal L}$
+\end_inset
+
+ arbitrario, 
+\begin_inset Formula $Q',X\in{\cal L}\implies\overrightarrow{Q'X}\in W\implies\overrightarrow{QQ'}\bot\overrightarrow{Q'X}\implies d(Q,X)=\sqrt{d(Q,Q')^{2}+d(Q',X)^{2}}$
+\end_inset
+
+, con lo que el mínimo se alcanza en 
+\begin_inset Formula $X=Q'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q=(q_{1},\dots,q_{n})$
+\end_inset
+
+ a un hiperplano 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ de ecuación 
+\begin_inset Formula $a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b=0$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,{\cal H})=\frac{|a_{1}q_{1}+\dots+a_{n}q_{n}+b|}{\Vert(a_{1},\dots,a_{n})\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+La recta ortogonal a 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $Q+<\vec{a}>$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{a}=(a_{1},\dots,a_{n})$
+\end_inset
+
+, y sus puntos tienen la forma 
+\begin_inset Formula $(q_{1}+\lambda a_{1},\dots,q_{n}+\lambda a_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Para cierto 
+\begin_inset Formula $\lambda_{0}$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $Q':=Q+\lambda_{0}\vec{a}\in{\cal H}$
+\end_inset
+
+.
+ Sustituyendo, 
+\begin_inset Formula $0=a_{1}(q_{1}+\lambda_{0}a_{1})+\dots+a_{n}(q_{n}+\lambda_{0}a_{n})+b=a_{1}q_{1}+\dots+a_{n}q_{n}+b+\lambda_{0}\Vert\vec{a}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\lambda_{0}=-\frac{a_{1}q_{1}+\dots+a_{n}q_{n}+b}{\Vert\vec{a}\Vert^{2}}$
+\end_inset
+
+, y la fórmula se obtiene de que 
+\begin_inset Formula $d(Q,Q')=|\lambda_{0}|\Vert\vec{a}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a una recta 
+\begin_inset Formula $\ell=P+<\vec{v}=(v_{1},v_{2})>$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $E_{2}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,\ell)=\frac{|\det(\overrightarrow{PQ},\vec{v})|}{\Vert\vec{v}\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+La ecuación implícita de la recta es 
+\begin_inset Formula $\det(\overrightarrow{PX},\vec{v})=0$
+\end_inset
+
+, cuyos coeficientes, 
+\begin_inset Formula $(-v_{2},v_{1})$
+\end_inset
+
+, tienen la misma norma que 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\Vert$
+\end_inset
+
+, con lo que la fórmula se deduce del ejemplo anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a un plano 
+\begin_inset Formula $\pi=P+<\vec{v},\vec{w}>$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,\pi)=\frac{|\det(\overrightarrow{PQ},\vec{v},\vec{w})|}{\Vert\vec{v}\land\vec{w}\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+La ecuación implícita del plano es 
+\begin_inset Formula $\det(\overrightarrow{PX},\vec{v},\vec{w})=0$
+\end_inset
+
+ , cuyos coeficientes son los del vector ortogonal al plano, 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ a una recta 
+\begin_inset Formula $\ell=P+<\vec{v}>$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $d(Q,\ell)=\frac{\Vert\vec{v}\land\overrightarrow{PQ}\Vert}{\Vert\vec{v}\Vert}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $Q'$
+\end_inset
+
+ es la proyección ortogonal de 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+, se tiene 
+\begin_inset Formula $d(Q,\ell)=\Vert\overrightarrow{Q'Q}\Vert$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ'}+\overrightarrow{Q'Q}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ'}$
+\end_inset
+
+ proporcional a 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Q'Q}\bot\vec{v}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\land\overrightarrow{PQ}=\vec{v}\land\overrightarrow{Q'Q}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}\land\overrightarrow{PQ}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert\Vert\overrightarrow{Q'Q}\Vert$
+\end_inset
+
+, de donde se deduce la fórmula.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}=P_{1}+W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{2}=P_{2}+W_{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d({\cal L}_{1},{\cal L}_{2})=d(P_{1},P_{2}+(W_{1}+W_{2}))$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Veamos que los conjuntos 
+\begin_inset Formula $A=\{d(X_{1},X_{2})\}_{X_{1}\in{\cal L}_{1},X_{2}\in{\cal L}_{2}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B=\{d(P_{1},X)\}_{X\in P_{2}+(W_{1}+W_{2})}$
+\end_inset
+
+ son iguales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $X_{1}=P_{1}+\vec{w}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $X_{2}=P_{2}+\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{2}\in W_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\[
+d(X_{1},X_{2})=\Vert\overrightarrow{X_{1}X_{2}}\Vert=\Vert\overrightarrow{(P_{1}+\vec{w}_{1})(P_{2}+\vec{w}_{2})}\Vert=\Vert\overrightarrow{P_{1}(P_{2}+\vec{w}_{2}-\vec{w}_{1})}\Vert\in B
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $X=P_{2}+\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{1}\in W_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}_{2}\in W_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+d(P_{1},X)=\Vert\overrightarrow{P_{1}(P_{2}+\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2})}\Vert=\Vert\overrightarrow{(P_{1}-\vec{w}_{1})(P_{2}+\vec{w}_{2})}\Vert\in A
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/gae/n4.lyx b/gae/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..8e02e9a
--- /dev/null
+++ b/gae/n4.lyx
@@ -0,0 +1,1509 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
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+\cite_engine_type default
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+\shortcut idx
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+\end_index
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+\paragraph_indentation default
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+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+transformación ortogonal
+\series default
+ de un espacio vectorial euclídeo 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=f(\vec{v})\cdot f(\vec{w})$
+\end_inset
+
+ para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\in V$
+\end_inset
+
+, y el conjunto de estas transformaciones se conoce como 
+\series bold
+grupo ortogonal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula ${\cal O}(V)$
+\end_inset
+
+).
+ Si la aplicación es entre espacios distintos hablamos de una 
+\series bold
+aplicación ortogonal
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es una transformación ortogonal si y sólo si es lineal y conserva normas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si se conservan productos escalares se conservan normas.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\in V$
+\end_inset
+
+.
+ Para ver que 
+\begin_inset Formula $f(r\vec{v})=rf(\vec{v})$
+\end_inset
+
+, vemos que
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\Vert f(r\vec{v})-rf(\vec{v})\Vert^{2}=\Vert f(r\vec{v})\Vert^{2}+\Vert rf(\vec{v})\Vert^{2}-2f(r\vec{v})\cdot(rf(\vec{v}))=\\
+=\Vert r\vec{v}\Vert^{2}+r^{2}\Vert f(\vec{v})\Vert^{2}-2r(f(r\vec{v})\cdot f(\vec{v}))=r^{2}\Vert\vec{v}\Vert^{2}+r^{2}\Vert\vec{v}\Vert^{2}-2r(r\vec{v}\cdot\vec{v})=0
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+Para ver que 
+\begin_inset Formula $f(\vec{v}+\vec{w})=f(\vec{v})+f(\vec{w})$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\Vert f(\vec{v}+\vec{w})-f(\vec{v})-f(\vec{w})\Vert^{2}=\\
+=\Vert f(\vec{v}+\vec{w})\Vert^{2}+\Vert f(\vec{v})\Vert^{2}+\Vert f(\vec{w})\Vert^{2}+2(f(\vec{v})\cdot f(\vec{w})-f(\vec{v}+\vec{w})\cdot f(\vec{v})-f(\vec{v}+\vec{w})\cdot f(\vec{w}))=\\
+=\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}+\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}+2(\vec{v}\cdot\vec{w}-(\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{v}-(\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{w})=\\
+=\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}+(\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}+2\vec{v}\cdot\vec{w})-2\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}=0
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}+2\vec{v}\cdot\vec{w}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=\frac{1}{2}(\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}-\Vert\vec{v}\Vert^{2}-\Vert\vec{w}\Vert^{2})$
+\end_inset
+
+ y por tanto si una aplicación lineal conserva normas también conserva productos
+ escalares.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades de las transformaciones ortogonales:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $U\bot W\implies f(U)\bot f(W)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Su composición es ortogonal.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\Vert g(f(\vec{v}))\Vert=\Vert f(\vec{v})\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Son inyectivas.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $(f(\vec{v})=\vec{0}\implies\Vert\vec{v}\Vert=\Vert f(\vec{v})\Vert=0\implies\vec{v}=\vec{0})\implies\text{Nuc}(f)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La inversa de una transformación ortogonal biyectiva es ortogonal.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\Vert f^{-1}(\vec{v})\Vert=\Vert f(f^{-1}(\vec{v}))\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tiene dimensión finita, sus transformaciones ortogonales son biyectivas
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal O}(V)$
+\end_inset
+
+ con la composición de aplicaciones es un grupo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ un espacio vectorial de dimensión finita y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n}\}$
+\end_inset
+
+ una base ortonormal de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Otra base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es ortonormal si 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}{\cal B}'}$
+\end_inset
+
+ es ortogonal.
+ 
+\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es ortogonal si y sólo si 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ es ortogonal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $A=M_{{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es ortogonal, 
+\begin_inset Formula $A^{t}\cdot A=(f(\vec{v}_{i})\cdot f(\vec{v}_{j}))_{ij}=(\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{j})_{ij}=(\delta_{ij})_{ij}=I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $A^{t}\cdot A=(f(\vec{v}_{i})\cdot f(\vec{v}_{j}))_{ij}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es ortogonal, 
+\begin_inset Formula $f(\vec{v}_{i})\cdot f(\vec{v}_{j})=\delta_{ij}$
+\end_inset
+
+, por lo que si 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\sum_{i}r_{i}\vec{v}_{i}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f(\vec{v})=\sum_{i}r_{i}f(\vec{v}_{i})$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\Vert f(\vec{v})\Vert^{2}=(\sum_{i}r_{i}f(\vec{v}_{i}))(\sum_{j}r_{j}f(\vec{v}_{j}))=\sum_{i}\sum_{j}r_{i}r_{j}f(\vec{v}_{i})\cdot f(\vec{v}_{j})=\sum_{i}\sum_{j}r_{i}r_{j}\delta_{ij}=\sum_{i}r_{i}^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El determinante de una transformación ortogonal solo puede ser 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $-1$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $1=\det(I_{n})=\det(A^{t})\det(A)=\det(A)^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal O}(V)$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+positiva
+\series default
+ o 
+\series bold
+directa
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $f\in{\cal O}^{+}(V)$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\det(f)=1$
+\end_inset
+
+, y es 
+\series bold
+negativa
+\series default
+ o 
+\series bold
+inversa
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $f\in{\cal O}^{-}(V)$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\det(f)=-1$
+\end_inset
+
+.
+ Claramente 
+\begin_inset Formula ${\cal O}(V)={\cal O}^{+}(V)\dot{\cup}{\cal O}^{-}(V)$
+\end_inset
+
+.
+ Se cumple la 
+\series bold
+regla de los signos
+\series default
+: La composición de transformaciones del mismo signo es positiva, y la de
+ transformaciones de distinto signo es negativa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los únicos valores propios que puede tener 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal O}(V)$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $\pm1$
+\end_inset
+
+, y los subespacios 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(f)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{Opp}(f)$
+\end_inset
+
+, que pueden ser nulos, son ortogonales.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $\dim(V)$
+\end_inset
+
+ es impar, al menos uno de estos subespacios es no nulo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ El polinomio característico de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene pues grado impar y por tanto al menos una raíz real, que por lo anterior
+ debe ser 
+\begin_inset Formula $\pm1$
+\end_inset
+
+, y el correspondiente subespacio propio es no nulo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es un subespacio invariante de 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal O}(V)$
+\end_inset
+
+, también lo es 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, y de hecho, 
+\begin_inset Formula $f(U)=U$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(U^{\bot})=U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f|_{U}\in{\cal O}(U)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f|_{U^{\bot}}\in{\cal O}(U^{\bot})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva y la dimensión finita, 
+\begin_inset Formula $f(U)\subseteq U$
+\end_inset
+
+ implica 
+\begin_inset Formula $f(U)=U$
+\end_inset
+
+, y por la conservación del producto escalar, 
+\begin_inset Formula $f(U^{\bot})\bot f(U)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f(U^{\bot})\subseteq U^{\bot}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $f(U^{\bot})=U^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ conserva el producto escalar, también lo conservan 
+\begin_inset Formula $f|_{U}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f|_{U^{\bot}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas 
+\begin_inset Formula $g\in{\cal O}(U)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $h\in{\cal O}(U^{\bot})$
+\end_inset
+
+, existe una única 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal O}(V)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f|_{U}=g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f|_{U^{\bot}}=h$
+\end_inset
+
+.
+ Se cumple entonces que si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}$
+\end_inset
+
+ son bases ortonormales respectivas de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U^{\bot}$
+\end_inset
+
+ entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B}}(f)=\left(\begin{array}{c|c}
+M_{{\cal B}_{1}}(g) & 0\\
+\hline 0 & M_{{\cal B}_{2}}(h)
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $V=U\oplus W$
+\end_inset
+
+ y tenemos 
+\begin_inset Formula $g:U\rightarrow U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $h:W\rightarrow W$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}\mapsto g(\vec{u})+h(\vec{w})$
+\end_inset
+
+ es lineal y el único endomorfismo con 
+\begin_inset Formula $f|_{U}=g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f|_{W}=h$
+\end_inset
+
+.
+ Si además 
+\begin_inset Formula $W=U^{\bot}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ son ortogonales, entonces por el teorema de Pitágoras, 
+\begin_inset Formula $\Vert f(\vec{u}+\vec{w})\Vert^{2}=\Vert g(\vec{u})+h(\vec{w})\Vert^{2}=\Vert g(\vec{u})\Vert^{2}+\Vert h(\vec{w})\Vert^{2}=\Vert\vec{u}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{u}+\vec{w}\Vert^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En adelante llamamos 
+\begin_inset Formula ${\cal E}_{n}$
+\end_inset
+
+ a cualquier espacio vectorial euclídeo isomorfo a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ con el producto escalar ordinario, pues todos los de igual dimensión sobre
+ el mismo cuerpo son isomorfos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos bases 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula ${\cal E}_{n}$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+equivalentes
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\det(M_{{\cal B}{\cal B}'})>0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Orientar
+\series default
+ el espacio 
+\begin_inset Formula ${\cal E}_{n}$
+\end_inset
+
+ es elegir en él una base, de modo que las bases equivalentes a esta son
+ 
+\series bold
+positivas
+\series default
+ o 
+\series bold
+directas
+\series default
+ y el resto son 
+\series bold
+negativas
+\series default
+ o 
+\series bold
+inversas
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Transformaciones ortogonales en 
+\begin_inset Formula ${\cal E}_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un vector en 
+\begin_inset Formula ${\cal E}_{1}$
+\end_inset
+
+ solo puede ser llevado por una transformación ortogonal a sí mismo y su
+ inverso, luego 
+\begin_inset Formula ${\cal O}^{+}({\cal E}_{1})=\{id_{{\cal E}_{1}}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal O}^{-}({\cal E}_{1})=\{-id_{{\cal E}_{1}}\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tranformaciones ortogonales en 
+\begin_inset Formula ${\cal E}_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $M=M_{{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ para una base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ arbitraria.
+ Si 
+\begin_inset Formula $M=\left(\begin{array}{cc}
+a & b\\
+c & d
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+ es ortogonal positiva, entonces 
+\begin_inset Formula $M^{-1}=M^{t}=\left(\begin{array}{cc}
+d & -c\\
+-b & a
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $d=a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c=-b$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula 
+\[
+M=\left(\begin{array}{cc}
+a & -b\\
+b & a
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $a^{2}+b^{2}=1$
+\end_inset
+
+.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula ${\cal O}^{+}(2,\mathbb{R}):={\cal O}^{+}({\cal E}_{2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $b=0$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $a^{2}=1$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $a=\pm1$
+\end_inset
+
+ y se obtienen las transformaciones 
+\begin_inset Formula $\pm id_{{\cal E}_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, 
+\begin_inset Formula $id_{{\cal E}_{2}}$
+\end_inset
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=2$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=0$
+\end_inset
+
+, mientras que 
+\begin_inset Formula $-id_{{\cal E}_{2}}$
+\end_inset
+
+ cumple lo contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $b\neq0$
+\end_inset
+
+, el polinomio característico tiene raíces complejas, luego
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=\dim(\text{Opp}(f))=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas 
+\begin_inset Formula $f,g\in{\cal O}^{+}({\cal E}_{2})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f\circ g=g\circ f$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{cc}
+a & -b\\
+b & a
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
+c & -d\\
+d & c
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
+ac-bd & -ad-bc\\
+ad+bc & ac-bd
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
+c & -d\\
+d & c
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
+a & -b\\
+b & a
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos a la aplicación 
+\begin_inset Formula $g_{\theta}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(g_{\theta})=\left(\begin{array}{cc}
+\cos\theta & -\sin\theta\\
+\sin\theta & \cos\theta
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+ la 
+\series bold
+rotación
+\series default
+ o 
+\series bold
+giro
+\series default
+ de ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+.
+ Se cumple que 
+\begin_inset Formula $g_{\theta'}\circ g_{\theta}=g_{\theta+\theta'}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g_{\theta}^{-1}=g_{-\theta}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $M=\left(\begin{array}{cc}
+a & b\\
+c & d
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+ es ortogonal negativa, entonces 
+\begin_inset Formula $M^{-1}=M^{t}=\left(\begin{array}{cc}
+-d & c\\
+b & -a
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a=-d$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b=c$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto
+\begin_inset Formula 
+\[
+M=\left(\begin{array}{cc}
+a & b\\
+b & -a
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $a^{2}+b^{2}=1$
+\end_inset
+
+.
+ Por el polinomio característico hallamos que 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(f)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{Opp}(f)$
+\end_inset
+
+ son rectas ortogonales, y decimos que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+simetría axial
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(f)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toda rotación puede expresarse como composición de 2 simetrías axiales,
+ y una de ellas puede elegirse arbitrariamente.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ la rotación y 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ una simetría axial, entonces 
+\begin_inset Formula $\sigma':=\sigma\circ f$
+\end_inset
+
+ es negativa y por tanto una simetría axial.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\sigma\circ\sigma'=\sigma\circ\sigma\circ f=f$
+\end_inset
+
+.
+ Si queremos que 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ aparezca a la derecha, hacemos un razonamiento análogo con 
+\begin_inset Formula $\sigma'':=f\circ\sigma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Transformaciones ortogonales en 
+\begin_inset Formula ${\cal E}_{3}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f\in{\cal O}({\cal E}_{3})$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=3$
+\end_inset
+
+, todo vector de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es invariante y por tanto 
+\begin_inset Formula $f=id_{{\cal E}_{3}}$
+\end_inset
+
+, una transformación positiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=2$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $H=\text{Inv}(f)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f|_{H^{\bot}}$
+\end_inset
+
+ es una transformación ortogonal de la recta 
+\begin_inset Formula $H^{\bot}$
+\end_inset
+
+ que no puede tener invariantes, luego 
+\begin_inset Formula $H^{\bot}=\text{Opp}(f)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=1$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f=\sigma_{H}$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+simetría especular
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+, una transformación negativa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=1$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $\ell=\text{Inv}(f)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f|_{\ell^{\bot}}$
+\end_inset
+
+ es una transformación ortogonal del plano 
+\begin_inset Formula $\ell^{\bot}$
+\end_inset
+
+ sin vectores invariantes, luego es una rotación distinta de la identidad,
+ de ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+rotación
+\series default
+ de eje 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ y ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+, una transformación positiva.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $\theta=\pi$
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+simetría axial
+\series default
+), entonces 
+\begin_inset Formula $f|_{\ell^{\bot}}=-id_{\ell^{\bot}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=2$
+\end_inset
+
+, mientras que en otro caso 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Opp}(f)\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in\text{Opp}(f)$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\ell:=<\vec{v}>\subseteq\text{Opp}(f)$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f|_{\ell}=-id_{\ell}$
+\end_inset
+
+, mientras que 
+\begin_inset Formula $f|_{\ell^{\bot}}$
+\end_inset
+
+ es una transformación ortogonal del plano 
+\begin_inset Formula $\ell^{\bot}$
+\end_inset
+
+ sin vectores invariantes y por tanto una rotación distinta de la identidad,
+ de ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+rotación con simetría
+\series default
+ de eje 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ y ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+, una transformación negativa.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $\theta=\pi$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f|_{\ell^{\bot}}=-id_{\ell^{\bot}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $f=-id_{{\cal E}_{3}}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=3$
+\end_inset
+
+, mientras que si 
+\begin_inset Formula $\theta\neq\pi$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Opp}(f|_{\ell^{\bot}})=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así pues, en general, 
+\begin_inset Formula ${\cal O}^{+}({\cal E}_{3})$
+\end_inset
+
+ son las rotaciones (incluyendo de ángulo 0) y 
+\begin_inset Formula ${\cal O}^{-}({\cal E}_{3})$
+\end_inset
+
+ son las rotaciones con simetría.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para construir la matriz de una transformación en 
+\begin_inset Formula ${\cal E}_{3}$
+\end_inset
+
+, tomamos una base 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+cómoda
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}$
+\end_inset
+
+ y aplicamos la fórmula de cambio de base.
+ Entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="4" columns="3">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Rotación (eje 
+\begin_inset Formula $<\vec{v}_{1}>$
+\end_inset
+
+, ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Rotación con simetría (ídem)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Matriz
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{ccc}
+1 & 0 & 0\\
+0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
+0 & \sin\theta & \cos\theta
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{ccc}
+-1 & 0 & 0\\
+0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
+0 & \sin\theta & \cos\theta
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Traza
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $1+2\cos\theta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $-1+2\cos\theta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Det.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $-1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aquí se incluyen la identidad, menos identidad y simetrías axiales y especulares
+ como casos especiales de estos dos.
+ La traza de un endomorfismo (suma de los elementos de la diagonal de la
+ matriz) no depende de la base, pues 
+\begin_inset Formula $\text{tr}(M')=\text{tr}(P^{-1}MP)=\text{tr}(MPP^{-1})=\text{tr}(M)$
+\end_inset
+
+, pudiendo servir para determinar el ángulo de una transformación dada su
+ matriz en cualquier base.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toda rotación se expresa como composición de 2 simetrías especulares, de
+ las que una se puede elegir arbitrariamente siempre que su base contenga
+ al eje de la rotación.
+ Por tanto toda rotación con simetría se expresa como composición de tres
+ simetrías especulares.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ una rotación de eje 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ la simetría especular sobre un plano que contiene a 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\sigma':=\sigma\circ f$
+\end_inset
+
+ es negativa con vectores invariantes y por tanto otra simetría especular,
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\sigma\circ\sigma'=\sigma\circ\sigma\circ f=f$
+\end_inset
+
+.
+ Si queremos que 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ aparezca a la derecha basta hacer lo mismo con 
+\begin_inset Formula $\sigma'':=f\circ\sigma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/gae/n5.lyx b/gae/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..8332603
--- /dev/null
+++ b/gae/n5.lyx
@@ -0,0 +1,887 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
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+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
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+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
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+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
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+\use_package esint 1
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+\use_package mathtools 1
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+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
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+\justification true
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+\shortcut idx
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+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
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+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+isometría
+\series default
+ o 
+\series bold
+movimiento
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:E\rightarrow E$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $d(P,Q)=d(f(P),f(Q))$
+\end_inset
+
+ (también se puede hablar de isometrías entre espacios distintos).
+ El conjunto que forman es el 
+\series bold
+grupo de los movimientos
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, escrito 
+\begin_inset Formula $\text{Is}(E)$
+\end_inset
+
+.
+ Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:E\rightarrow E$
+\end_inset
+
+ es un movimiento si y sólo si es afín y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es ortogonal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Fijado 
+\begin_inset Formula $A\in E$
+\end_inset
+
+, demostramos que si 
+\begin_inset Formula $\ell:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\ell(\vec{v}):=\overrightarrow{f(A)f(A+\vec{v})}$
+\end_inset
+
+ es lineal, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es afín con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\ell$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, para 
+\begin_inset Formula $P\in E$
+\end_inset
+
+ arbitrario, 
+\begin_inset Formula $\ell(\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{f(A)f(A+\overrightarrow{AP})}=\overrightarrow{f(A)f(P)}$
+\end_inset
+
+, y dados 
+\begin_inset Formula $P,Q\in E$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\ell(\overrightarrow{PQ})=\ell(-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ})=-\ell(\overrightarrow{AP})+\ell(\overrightarrow{AQ})=-\overrightarrow{f(A)f(P)}+\overrightarrow{f(A)f(Q)}=\overrightarrow{f(P)f(Q)}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+A continuación veamos que 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+ es ortogonal, y por tanto será lineal y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ será afín con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\ell$
+\end_inset
+
+.
+ Dados 
+\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\in V$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $P:=A+\vec{v}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q:=A+\vec{w}$
+\end_inset
+
+, deducimos 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=\frac{1}{2}\left(\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}-\Vert\vec{w}-\vec{v}\Vert^{2}\right)$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $=\frac{1}{2}\left(\Vert\overrightarrow{AP}\Vert^{2}+\Vert\overrightarrow{AQ}\Vert^{2}-\Vert\overrightarrow{PQ}\Vert^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(d(A,P)^{2}+d(A,Q)^{2}-d(P,Q)^{2}\right)$
+\end_inset
+
+.
+ Pero del mismo modo, 
+\begin_inset Formula $\ell(\vec{v})\cdot\ell(\vec{w})=\frac{1}{2}\left(d(\ell(A),\ell(P))^{2}+d(\ell(A),\ell(Q))^{2}-d(\ell(P),\ell(Q))^{2}\right)$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ conserva distancias, entonces 
+\begin_inset Formula $\ell(\vec{v})\cdot\ell(\vec{w})=\vec{v}\cdot\vec{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $d(P,Q)=\Vert\overrightarrow{PQ}\Vert=\Vert\overrightarrow{f}(\overrightarrow{PQ})\Vert=\Vert\overrightarrow{f(P)f(Q)}\Vert=d(f(P),f(Q))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades: Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son isometrías:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}\bot{\cal L}_{2}\implies f({\cal L}_{1})\bot f({\cal L}_{2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $f\circ g$
+\end_inset
+
+ es una isometría.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es biyectiva, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ es una isometría.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\dim(E)<\infty$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\text{Is}(E)$
+\end_inset
+
+ es un grupo con la composición de aplicaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un movimiento 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+positivo/directo
+\series default
+ o 
+\series bold
+negativo/inverso
+\series default
+ según lo sea 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\begin_inset Formula $\text{Is}^{+}(E)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de todos los movimientos positivos de 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, e 
+\begin_inset Formula $\text{Is}^{-}(E)$
+\end_inset
+
+ al de todos los negativos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Movimientos en 
+\begin_inset Formula $E_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=id$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f=t_{\vec{v}}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\overrightarrow{Qf(Q)}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $Q\in E$
+\end_inset
+
+ arbitrario.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=-id$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f=s_{P}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $P=\frac{Q+f(Q)}{2}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $Q\in E$
+\end_inset
+
+ arbitrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Movimientos en 
+\begin_inset Formula $E_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Además de los dos casos posibles en 
+\begin_inset Formula $E_{1}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+ es una simetría ortogonal, si hay puntos fijos entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+simetría ortogonal (afín)
+\series default
+ de base 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(f)$
+\end_inset
+
+ (y con dirección 
+\begin_inset Formula $\text{dir}(\text{Fix}(f))^{\bot}$
+\end_inset
+
+), y de lo contrario es la 
+\series bold
+simetría ortogonal con deslizamiento
+\series default
+ de base 
+\begin_inset Formula ${\cal L}=A+\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+ y con vector de deslizamiento 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\overrightarrow{Af(A)}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $A:=\frac{Q+f(Q)}{2}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $Q\in E$
+\end_inset
+
+ arbitrario, de modo que 
+\begin_inset Formula $f=s_{{\cal L}}\circ t_{\vec{v}}=t_{\vec{v}}\circ s_{{\cal L}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+En efecto, dado 
+\begin_inset Formula $Q\in E$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Qf(Q)}=\vec{v}+\vec{w}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in W=\text{Inv}(\overrightarrow{f})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}\in W^{\bot}$
+\end_inset
+
+ y llamamos 
+\begin_inset Formula $A:=\frac{Q+f(Q)}{2}=Q+\frac{1}{2}(\vec{v}+\vec{w})$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\sigma_{W}$
+\end_inset
+
+ es la simetría de base 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ y dirección 
+\begin_inset Formula $W^{\bot}$
+\end_inset
+
+, se tiene 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}(\overrightarrow{QA})=\overrightarrow{f}(\frac{1}{2}(\vec{v}+\vec{w}))=\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{w}$
+\end_inset
+
+, con lo que si 
+\begin_inset Formula $g=t_{-\vec{v}}\circ f$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $g(A)=(t_{-\vec{v}}\circ f)(A)=f(A)-\vec{v}=f(Q)+\overrightarrow{f}(\overrightarrow{QA})-\vec{v}=f(Q)-\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{w}-\vec{v}=f(Q)-\frac{1}{2}(\vec{v}+\vec{w})=A$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(g)\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y como 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{f}$
+\end_inset
+
+, resulta 
+\begin_inset Formula $g=s_{A+\text{Inv}(\overrightarrow{g})}=s_{{\cal L}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f=t_{\vec{v}}\circ g$
+\end_inset
+
+, y es fácil comprobar que 
+\begin_inset Formula $t_{\vec{v}}\circ g=g\circ t_{\vec{v}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=g_{\theta}$
+\end_inset
+
+ es la rotación de ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta\neq0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f=\rho_{P,\theta}$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+rotación
+\series default
+ de centro 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ el único punto fijo de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(\overrightarrow{f})=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Movimientos en 
+\begin_inset Formula $E_{3}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lo dicho respecto a las traslaciones y simetrías también se aplica aquí,
+ pero también se pueden dar otros dos casos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\rho_{F,\theta}$
+\end_inset
+
+ es la rotación de eje 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ y ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+, si hay puntos fijos entonces 
+\begin_inset Formula $f=\rho_{\ell,\theta}$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+rotación
+\series default
+ de eje 
+\begin_inset Formula $\ell=\text{Fix}(f)$
+\end_inset
+
+ y ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+, y de lo contrario 
+\begin_inset Formula $f=t_{\vec{v}}\circ\rho_{\ell,\theta}=\rho_{\ell,\theta}\circ t_{\vec{v}}$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+rotación con deslizamiento
+\series default
+ o 
+\series bold
+movimiento helicoidal
+\series default
+ de eje 
+\begin_inset Formula $\ell$
+\end_inset
+
+, ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+ y vector de deslizamiento 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\pi_{F}(\overrightarrow{Qf(Q)})$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $Q\in E_{3}$
+\end_inset
+
+ arbitrario y 
+\begin_inset Formula $\ell=\text{Fix}(t_{-\vec{v}}\circ f)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Todo movimiento 
+\begin_inset Formula $f:E_{3}\rightarrow E_{3}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\rho_{F,\theta}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $\theta\neq0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(f)=\emptyset$
+\end_inset
+
+ es un movimiento helicoidal con los elementos mencionados, y viceversa.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $Q\in E_{3}$
+\end_inset
+
+ arbitrario y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Qf(Q)}=\vec{v}+\vec{w}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vec{w}\in F^{\bot}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ es la proyección ortogonal de 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Qf(Q)}$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ Sean ahora 
+\begin_inset Formula $g:=t_{-\vec{v}}\circ f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal H}:=Q+F^{\bot}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $g({\cal H})\subseteq{\cal H}$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $Q'\in{\cal H}\implies\exists\vec{x}\in F^{\bot}:Q'=Q+\vec{x}\implies g(Q')=g(Q+\vec{x})=f(Q+\vec{x})-\vec{v}=f(Q)-\vec{v}+\overrightarrow{f}(\vec{x})=Q+\vec{w}+\overrightarrow{f}(\vec{x})\in Q+F^{\bot}={\cal H}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $g|_{{\cal H}}$
+\end_inset
+
+ es un movimiento para el que 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{g}|_{F^{\bot}}=\overrightarrow{f}|_{F^{\bot}}$
+\end_inset
+
+ es una rotación, luego existe 
+\begin_inset Formula $P\in{\cal H}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g(P)=P$
+\end_inset
+
+.
+ Esto implica 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\neq\vec{0}$
+\end_inset
+
+, pues de lo contrario sería 
+\begin_inset Formula $f=g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tendría puntos fijos.
+ Deducimos pues que 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es la rotación 
+\begin_inset Formula $\rho_{\ell,\theta}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\ell=\text{Fix}(g)=\text{Fix}(t_{-\vec{v}}\circ f)$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $f=t_{\vec{v}}\circ g$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $g:=\rho_{\ell,\theta}$
+\end_inset
+
+, para un 
+\begin_inset Formula $Q\in E_{3}$
+\end_inset
+
+ arbitrario, 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Qf(Q)}=\overrightarrow{Q(g(Q)+\vec{v})}=\vec{v}+\overrightarrow{Qg(Q)}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $\vec{v}\in F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Qg(Q)}\in F^{\bot}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\vec{v}$
+\end_inset
+
+ es la proyección ortogonal de 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Qf(Q)}$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ Esto prueba que 
+\begin_inset Formula $\text{Fix}(f)=\emptyset$
+\end_inset
+
+, pues de lo contrario se tendría 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{Qf(Q)}=\vec{0}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\rho_{F,\theta}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $\overrightarrow{f}=\rho_{F,\theta}\circ\sigma_{F^{\bot}}$
+\end_inset
+
+ es una rotación con simetría, entonces 
+\begin_inset Formula $f=\rho_{\ell,\theta}\circ s_{{\cal H}}=s_{{\cal H}}\circ p_{\ell,\theta}$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+rotación con simetría especular
+\series default
+ de base 
+\begin_inset Formula ${\cal H}$
+\end_inset
+
+ y ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $\ell=P+F$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal H}=P+F^{\bot}$
+\end_inset
+
+ siendo 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ el único punto fijo de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ (pues 
+\begin_inset Formula $\text{Inv}(\overrightarrow{f})=0$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/license.lyx b/license.lyx
index ef038d6..4288ef3 100644
--- a/license.lyx
+++ b/license.lyx
@@ -132,6 +132,18 @@ literal "false"
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
 Esta obra está bajo la licencia Reconocimiento-CompartirIgual 4.0 Internacional
  de Creative Commons (CC-BY-SA 4.0).
  Para ver una copia de esta licencia, visite 
@@ -146,6 +158,19 @@ https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
 \end_inset
 
 .
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \end_body
diff --git a/tem/n.lyx b/tem/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..c17307e
--- /dev/null
+++ b/tem/n.lyx
@@ -0,0 +1,212 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
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+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Topología de espacios métricos
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2018}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Topología de Espacios Métricos, Grado en Matemáticas, Dr.
+ Luis J.
+ Alías & Dr.
+ Miguel Ángel Javaloyes, Departamento de Matemáticas, Universidad de Murcia
+ (Curso 2017–18).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Espacios métricos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Subconjuntos notables
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Aplicaciones continuas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Espacios compactos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n4.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Espacios conexos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tem/n1.lyx b/tem/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..63ebf66
--- /dev/null
+++ b/tem/n1.lyx
@@ -0,0 +1,2320 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Espacios topológicos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio topológico
+\series default
+ es un par 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ en el que 
+\begin_inset Formula ${\cal T}\subseteq{\cal P}(X)$
+\end_inset
+
+ y cumple que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,\emptyset\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\{A_{1},\dots,A_{n}\}\subseteq{\cal T}\implies\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal T}\implies\bigcup_{i\in I}A_{i}\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que 
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+topología
+\series default
+ para 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ y sus elementos son 
+\series bold
+conjuntos abiertos
+\series default
+, o simplemente 
+\series bold
+abiertos
+\series default
+, de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+cerrados
+\series default
+ a los complementarios de los abiertos: 
+\begin_inset Formula ${\cal C_{T}}:={\cal C}:=\{X\backslash A\}_{A\in{\cal T}}$
+\end_inset
+
+.
+ Un 
+\series bold
+entorno
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ es un abierto que contiene a 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula ${\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ a la familia de todos los entornos de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall p\in A,\exists{\cal U}\in{\cal E}(p):{\cal U}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $x\in A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula ${\cal U}=A$
+\end_inset
+
+ es un entorno de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Para cada 
+\begin_inset Formula $x\in A$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula ${\cal U}_{x}\in{\cal E}(x)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula ${\cal U}_{x}\subseteq A$
+\end_inset
+
+, se afirma que 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{x\in A}{\cal U}_{x}=A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula ${\cal U}_{x}\subseteq A\forall x\in A\implies\bigcup_{x\in A}{\cal U}_{x}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\forall x\in A,x\in{\cal U}_{x}\subseteq\bigcup_{x\in A}{\cal U}_{x}\implies A\subseteq\bigcup_{x\in A}{\cal U}_{x}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Propiedades de los cerrados:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $X,\emptyset\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\{C_{1},\dots,C_{n}\}\subseteq{\cal C_{T}}\implies\bigcup_{i=1}^{n}C_{i}\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\{C_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal C_{T}}\implies\bigcap_{i\in I}C_{i}\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un abierto y 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ un cerrado, entonces 
+\begin_inset Formula $A\backslash C$
+\end_inset
+
+ es abierto y 
+\begin_inset Formula $C\backslash A$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $X\backslash C$
+\end_inset
+
+ es abierto, por lo que 
+\begin_inset Formula $A\backslash C=A\cap(X\backslash C)$
+\end_inset
+
+ también.
+ Por otro lado, 
+\begin_inset Formula $X\backslash(C\backslash A)=(X\backslash C)\cup A$
+\end_inset
+
+, que es abierto, por lo que 
+\begin_inset Formula $C\backslash A$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algunas topologías:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+topología discreta
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{D}:={\cal P}(X)$
+\end_inset
+
+, la topología más grande que se puede definir sobre 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+topología trivial
+\series default
+ o 
+\series bold
+indiscreta
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{T}=\{\emptyset,X\}$
+\end_inset
+
+, la topología más pequeña que se puede definir sobre 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+topología cofinita
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{CF}=\{\emptyset\}\cup\{A\subseteq X:X\backslash A\text{ es finito}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta se define sobre conjuntos infinitos, pues de lo contrario es 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{CF}={\cal T}_{D}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $A,B\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ no vacíos, 
+\begin_inset Formula $X\backslash A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $X\backslash B$
+\end_inset
+
+ son finitos, por lo que 
+\begin_inset Formula $(X\backslash A)\cup(X\backslash B)=X\backslash(A\cap B)$
+\end_inset
+
+ también lo es y 
+\begin_inset Formula $A\cap B\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+ Si, por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $B=\emptyset$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, si 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal T}$
+\end_inset
+
+ es tal que 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}A_{i}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $X\backslash\bigcup_{i\in I}A_{i}=\bigcap_{i\in I}(X\backslash A_{i})$
+\end_inset
+
+ es finito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado el espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+topología inducida
+\series default
+ por 
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $H\subseteq X$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+topología relativa
+\series default
+ o 
+\series bold
+topología de subespacio
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula ${\cal T}|_{H}:={\cal T}_{H}:=\{A\cap H\}_{A\in{\cal T}}$
+\end_inset
+
+.
+ Los abiertos de 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+ se llaman 
+\series bold
+abiertos relativos
+\series default
+, y 
+\begin_inset Formula $(H,{\cal T}_{H})$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+subespacio topológico
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+.
+ Todo subespacio topológico es un espacio topológico.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\emptyset=\emptyset\cap H$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H=X\cap H$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean 
+\begin_inset Formula $A',B'\in{\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $A,B\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $A'=A\cap H$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B'=B\cap H$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $A'\cap B'=A\cap B\cap H\in{\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{A'_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+ existe un 
+\begin_inset Formula $A_{i}\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $A'_{i}=A_{i}\cap H$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}A'_{i}=\bigcup_{i\in I}(A_{i}\cap H)=\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)\cap H\in{\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ es abierto en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ entonces todo abierto relativo 
+\begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+ también es abierto en el total.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $A'=A\cap H$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $A,H\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A'\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, un subconjunto 
+\begin_inset Formula $C'\subseteq H\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es cerrado relativo (
+\begin_inset Formula $C'\in{\cal C}_{H})$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $C\in{\cal C}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $C'=C\cap H$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $C'\in{\cal C}_{H}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $H\backslash C'\in{\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+, por lo que existe 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $H\backslash C'=A\cap H$
+\end_inset
+
+.
+ Pero si 
+\begin_inset Formula $C:=X\backslash A$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $C'=H\backslash(H\backslash C')=H\backslash(A\cap H)=H\backslash A=H\cap(X\backslash A)=H\cap C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $C'=C\cap H$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $C\in{\cal C}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $H\backslash C'=H\backslash(C\cap H)=H\backslash C=H\cap(X\backslash C)$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $X\backslash C\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $H\backslash C'\in{\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $C'\in{\cal C}_{H}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Primer axioma de numerabilidad y condición de Hausdorff
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+base de entornos
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ es una subfamilia 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(p)\subseteq{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(p),\exists U\in{\cal B}(p):U\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+ A partir de aquí, un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ satisface el 
+\series bold
+primer axioma de numerabilidad
+\series default
+, o es 
+\series bold
+1AN
+\series default
+, si todo punto posee una base de entornos numerable, es decir, si 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X,\exists{\cal B}(p)\text{ base de }p:|{\cal B}(p)|\leq|\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{T})$
+\end_inset
+
+ es 1AN, pues cada punto posee la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(p)=\{X\}$
+\end_inset
+
+.
+ Sin embargo, 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{CF})$
+\end_inset
+
+ no es 1AN.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si lo fuera, tendríamos 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(0)=\{U_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $U_{n}=\mathbb{R}\backslash F_{n}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $F_{n}$
+\end_inset
+
+ finito, para cada 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, como la unión numerable de conjuntos finitos es numerable y
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ no lo es, podemos elegir un punto 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}\backslash\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_{n}\right)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{R}\backslash F_{n})=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A=\mathbb{R}\backslash\{x\}\in{\cal E}(0)$
+\end_inset
+
+, existirá un 
+\begin_inset Formula $U_{i}\subseteq A$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $x\in U_{i}\subseteq A=\mathbb{R}\backslash\{x\}\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La propiedad 1AN es hereditaria, es decir, si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 1AN, también lo es cualquier 
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+subes
+\backslash
+-pa
+\backslash
+-cio
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ topológico de este.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Debemos probar que si 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $y\in Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(y)$
+\end_inset
+
+ una base de entornos de 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, debemos probar que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{Y}(y)=\{B\cap Y\}_{B\in{\cal B}(y)}$
+\end_inset
+
+ es base de entornos de 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, pues entonces 
+\begin_inset Formula $|{\cal B}_{Y}(y)|\leq|{\cal B}(y)|\leq|\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+.
+ Para ello, vemos que todo 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal B}_{Y}(y)$
+\end_inset
+
+ es entorno de 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $A=B\cap Y\in{\cal T}_{Y}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ un entorno de 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, si 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es un entorno de 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es abierto en 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, por lo que existe un 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ abierto en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $V=A\cap Y$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es entorno de 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, existe un 
+\begin_inset Formula $B\in{\cal B}(y)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B\subseteq A$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $y\in B\cap Y\subseteq A\cap Y=V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+de Hausdorff
+\series default
+ o 
+\begin_inset Formula $T_{2}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall p,q\in X,p\neq q;\exists U\in{\cal E}(p),V\in{\cal E}(q):U\cap V=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Así, por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{T})$
+\end_inset
+
+ no es de Hausdorff para 
+\begin_inset Formula $|X|\geq2$
+\end_inset
+
+, pues dados 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\neq y$
+\end_inset
+
+, el único entorno de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ y contiene a 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Espacios métricos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio métrico
+\series default
+ es un par 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ formado por un conjunto 
+\begin_inset Formula $X\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y una aplicación 
+\begin_inset Formula $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ que cumple que 
+\begin_inset Formula $\forall x,y,z\in X:$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $d(x,y)\geq0\land(d(x,y)=0\iff x=y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Simetría:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $d(y,x)=d(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdad triangular:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+métrica
+\series default
+ o 
+\series bold
+distancia
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Ejemplos de métricas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica usual
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $d_{u}(x,y)=d_{|\,|}(x,y)=|x-y|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica del ascensor
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
+\end_inset
+
+
+\series bold
+:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula 
+\[
+d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))=\begin{cases}
+|x_{2}-y_{2}| & \text{si }x_{1}=y_{1}\\
+|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}|+|y_{2}| & \text{si }x_{1}\neq y_{1}
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica discreta
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $d_{D}(x,y)=\begin{cases}
+0 & \text{si }x=y\\
+1 & \text{si }x\neq y
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Espacios métricos producto
+\series default
+: Dados los espacios métricos 
+\begin_inset Formula $(X_{1},d_{1}),\dots,(X_{n},d_{n})$
+\end_inset
+
+, sean 
+\begin_inset Formula $x=(x_{1},\dots,x_{n}),y=(y_{1},\dots,y_{n})\in\prod_{i=1}^{n}X_{i}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica del taxi:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $d_{T}(x,y)=\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica euclídea:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $d_{E}(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})^{2}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica del ajedrez:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}(x,y)=\max\{d_{i}(x_{i},y_{i})\}_{1\leq i\leq n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $d_{k}(x,y)=(\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i}y_{i})^{k})^{\frac{1}{k}}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces se tiene que 
+\begin_inset Formula $d_{T}=d_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d_{E}=d_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+ tiene un nombre apropiado.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica estándar acotada
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\overline{d}(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}$
+\end_inset
+
+.
+ En general, obtenemos las mismas propiedades cambiando el 1 por cualquier
+ otro número real positivo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica estándar acotada (bis)
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Métrica inducida
+\series default
+ por 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $H\subseteq X$
+\end_inset
+
+
+\series bold
+:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $d_{H}:H\times H\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d_{H}(x,y)=d(x,y)$
+\end_inset
+
+ para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $x,y\in H$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos que 
+\begin_inset Formula $(H,d_{H})$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+subespacio métrico
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Se define la distancia de un punto 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ a un subconjunto 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $d(p,S)=\inf\{d(p,x)\}_{x\in S}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $p\in S$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $d(p,S)=0$
+\end_inset
+
+, si bien el recíproco no es cierto.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Círculos y bolas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+círculo
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ centrado en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con radio 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es el conjunto 
+\begin_inset Formula $C_{d}(p;r):=C(p;r):=\{x\in X:d(p,x)=r\}$
+\end_inset
+
+.
+ Del mismo modo, la 
+\series bold
+bola abierta
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ centrada en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con radio 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es el conjunto 
+\begin_inset Formula $B_{d}(p;r):=B(p;r):=\{x\in X:d(p,x)<r\}$
+\end_inset
+
+, y la 
+\series bold
+bola cerrada
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ centrada en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con radio 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es el conjunto 
+\begin_inset Formula $\overline{B}_{d}(p;r):=\overline{B}(p;r):=B[p;r]:=\{x\in X:d(p,x)\leq r\}$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene que 
+\begin_inset Formula $B_{d}(p;r)=\bigcup_{0<s<r}C_{d}(p;s)$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\overline{B}_{d}(p;r)=\bigcup_{0<s\leq r}C_{d}(p;s)$
+\end_inset
+
+.
+ Dado el espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H\subseteq X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B_{d_{H}}(p;r)=B_{d}(p;r)\cap H$
+\end_inset
+
+ para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $p\in H$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+acotado
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists k>0:\forall x,y\in X,d(x,y)\leq k$
+\end_inset
+
+, y decimos entonces que 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+métrica acotada
+\series default
+.
+ Esto sucede si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\exists k>0,x_{0}\in X:B(x_{0};k)=X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in X$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\forall x\in X,d(x_{0},x)\leq k<k+1\implies x\in B_{d}(x_{0},k+1)\implies X\subseteq B_{d}(x_{0},k+1)\subseteq X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Por la desigualdad triangular, 
+\begin_inset Formula $\forall p,q\in X,d(p,q)\leq d(p,x_{0})+d(x_{0},q)<k+k=2k$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es acotado por 
+\begin_inset Formula $2k$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También se dice que 
+\begin_inset Formula $H\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es acotado si 
+\begin_inset Formula $(H,d_{H})$
+\end_inset
+
+ es acotado, o equivalentemente, si 
+\begin_inset Formula $\exists k>0,x_{0}\in X:H\subseteq B_{d}(x_{0};k)$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto las bolas son subconjuntos acotados, pues 
+\begin_inset Formula $B(p;r)$
+\end_inset
+
+ está acotado por 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overline{B}_{d}(x;r)$
+\end_inset
+
+ por (al menos) 
+\begin_inset Formula $2r$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos el 
+\series bold
+diámetro
+\series default
+ de un espacio métrico acotado 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $\text{diám}(X)=\sup\{d(x,y)\}_{x,y\in X}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subconjuntos abiertos y cerrados
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En un espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+subconjunto abierto
+\series default
+, o simplemente un 
+\series bold
+abierto
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $\forall x\in A,\exists r_{x}>0:B(x;r_{x})\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ Toda bola abierta es un abierto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $B(x;r)$
+\end_inset
+
+ una bola abierta en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y\in B(x;r)$
+\end_inset
+
+, si tomamos 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $0<\delta\leq r-d(x,y)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $z\in B(y;\delta)$
+\end_inset
+
+, por la desigualdad triangular, 
+\begin_inset Formula $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+\delta\leq r$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $B(y;\delta)\subseteq B(x;r)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La condición de ser abierto depende de la métrica y del conjunto sobre el
+ que esta se define, si bien el conjunto total 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ y el vacío 
+\begin_inset Formula $\emptyset$
+\end_inset
+
+ son abiertos en cualquier espacio métrico.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
+\end_inset
+
+ abiertos en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+, la intersección finita 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si tomamos un 
+\begin_inset Formula $p\in\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$
+\end_inset
+
+ arbitrario, para cada 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $1\leq i\leq n$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $p\in A_{i}$
+\end_inset
+
+ y existe un 
+\begin_inset Formula $r_{i}>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B(p;r_{i})\subseteq A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, si tomamos 
+\begin_inset Formula $r:=\min\{r_{1},\dots,r_{n}\}$
+\end_inset
+
+, vemos que 
+\begin_inset Formula $B(p;r)\subseteq B(p;r_{i})\subseteq A_{i}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $B(p;r)\subseteq\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada la familia 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ de abiertos en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ también es un abierto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $p\in\bigcup_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ arbitrario.
+ Entonces existe un 
+\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $p\in A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+ es abierto, existe un 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B(p;r)\subseteq A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $B(p;r)\subseteq A_{i_{0}}\subseteq\bigcup_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así pues, todo espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ lleva asociado un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{d})$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+ es el conjunto de abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Espacios metrizables
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+metrizable
+\series default
+ si existe una métrica 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula ${\cal T}={\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La métrica discreta lleva asociada la topología discreta (
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{D}={\cal T}_{d_{D}}$
+\end_inset
+
+).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Todo subconjunto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es abierto en 
+\begin_inset Formula $(X,d_{D})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La topología indiscreta solo es metrizable si 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+unipuntual
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $|X|=1$
+\end_inset
+
+).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+De lo contrario tendríamos 
+\begin_inset Formula $p,q\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $p\neq q$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $d(p,q)=r>0$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $q\notin B(p;\frac{r}{2})$
+\end_inset
+
+, pero esta bola sería un abierto distinto del vacío y del total, lo que
+ no existe en 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado el espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H\subseteq X$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}|_{H}={\cal T}_{d_{H}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{d}|_{H}$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $A'=A\cap H$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces para todo 
+\begin_inset Formula $p\in A'\subseteq A$
+\end_inset
+
+ existe un 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\subseteq A$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\cap H\subseteq A'$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\cap H=B_{d_{H}}(p;r)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{d_{H}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{d_{H}}$
+\end_inset
+
+, entonces para todo 
+\begin_inset Formula $p\in A'$
+\end_inset
+
+ existe un 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B_{d_{H}}(p;r)=B_{d}(p;r)\cap H\subseteq A'$
+\end_inset
+
+, y si llamamos 
+\begin_inset Formula $A=\bigcup_{p\in A'}B_{d}(p;r)$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $A'\subseteq A\cap H=\left(\bigcup_{p\in A'}B_{d}(p;r)\right)\cap H=\bigcup_{p\in A'}(B_{d}(p;r)\cap H)=\bigcup_{p\in A'}B_{d_{H}}(p;r)\subseteq A'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A'=A\cap H$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{d}|_{H}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio metrizable es 1AN, pues cada punto 
+\begin_inset Formula $x\in X$
+\end_inset
+
+ posee la base de entornos 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(x)=\{B(x;\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+.
+ También es 
+\begin_inset Formula $T_{2}$
+\end_inset
+
+, pues dados 
+\begin_inset Formula $p,q\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $p\neq q$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $r=d(p,q)>0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $B(p;\frac{r}{2})\cap B(q;\frac{r}{2})=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Métricas equivalentes
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos métricas 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d'$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+equivalentes
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}={\cal T}_{d'}$
+\end_inset
+
+.
+ Equivalentemente, lo son si 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X,r>0;(\exists\delta>0:B_{d}(p;\delta)\subseteq B_{d'}(p;r)\land\exists\delta'>0:B_{d'}(p;\delta')\subseteq B_{d}(p;r))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d'$
+\end_inset
+
+ equivalentes, dados 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $B_{d'}(p;r)$
+\end_inset
+
+ es un abierto en 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d'}$
+\end_inset
+
+ y por tanto en 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\exists\delta>0:B_{d}(p;\delta)\subseteq B_{d'}(p;r)$
+\end_inset
+
+.
+ La otra condición se prueba de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un abierto de 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p\in A$
+\end_inset
+
+, existe pues un 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\subseteq A$
+\end_inset
+
+ y por tanto un 
+\begin_inset Formula $\delta'>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B_{d'}(p;\delta')\subseteq B_{d}(p;r)$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es abierto en 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d'}$
+\end_inset
+
+.
+ El otro contenido se prueba de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas dos métricas 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d'$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, si existen 
+\begin_inset Formula $m,M>0$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,md(x,y)\leq d'(x,y)\leq Md(x,y)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d'$
+\end_inset
+
+ son equivalentes.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dados 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+, tomando 
+\begin_inset Formula $\delta=\frac{r}{M}$
+\end_inset
+
+, se tiene que si 
+\begin_inset Formula $d(p,q)\leq\delta$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $d'(p,q)\leq Md(p,q)\leq M\delta=r$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $B_{d}(p;\delta)\subseteq B_{d'}(p;r)$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente, tomando 
+\begin_inset Formula $\delta'=mr$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $B_{d'}(p;\delta')\subseteq B_{d}(p;r)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, las métricas 
+\begin_inset Formula $d_{E}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d_{T}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+ sobre un mismo conjunto 
+\begin_inset Formula $X=X_{1}\times\dots\times X_{n}$
+\end_inset
+
+ y métricas 
+\begin_inset Formula $d_{1},\dots,d_{n}$
+\end_inset
+
+ son equivalentes, y si un subconjunto es acotado para alguna de las tres
+ métricas también lo es para las otras dos.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Se deduce de que 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{n}d_{T}(x,y)\leq d_{\infty}(x,y)\leq d_{T}(x,y)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{\sqrt{n}}d_{E}(x,y)\leq d_{\infty}(x,y)\leq d_{E}(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+No obstante, las métricas euclídea y discreta no tienen por qué ser equivalentes
+, pues en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{(0,0)\}$
+\end_inset
+
+ es abierto en la discreta pero no en la euclídea.
+ Llamamos 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},d_{u})=(\mathbb{R}^{n},d_{E})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d_{E}$
+\end_inset
+
+ definido sobre 
+\begin_inset Formula $d_{|\,|}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{u}$
+\end_inset
+
+ a la topología asociada a 
+\begin_inset Formula $d_{u}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tem/n2.lyx b/tem/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..02c4d59
--- /dev/null
+++ b/tem/n2.lyx
@@ -0,0 +1,1269 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
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+\use_dash_ligatures true
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+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
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+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
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+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
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+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
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+\justification true
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+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Clausura
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ un espacio topológico y 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+clausura
+\series default
+ o 
+\series bold
+adherencia
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es el menor cerrado que contiene a 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, es decir, la intersección de todos los cerrados que lo contienen, y se
+ denota 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\overline{S}:=\text{cl}(S):=\text{ad}(S):=\bigcap\{C\in{\cal C}_{{\cal T}}:S\subseteq C\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}\iff\forall V\in{\cal E}(p),V\cap S\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}$
+\end_inset
+
+ y supongamos que existe 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $V\cap S=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X\backslash V\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}\subseteq X\backslash V$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $V\cap S\neq\emptyset\forall V\in{\cal E}(x)$
+\end_inset
+
+ y supongamos 
+\begin_inset Formula $p\notin\overline{S}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $p\in X\backslash\overline{S}\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $(X\backslash\overline{S})\cap S=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es un espacio métrico y 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}\iff d(p,S)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}$
+\end_inset
+
+, si suponemos 
+\begin_inset Formula $d(p,S)=r>0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $B(p;r)\cap S=\emptyset$
+\end_inset
+
+, lo que contradice 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $d(p,S)=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},\exists q\in S:d(p,q)<\frac{1}{n}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},B(p;\frac{1}{n})\cap S\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $S\subseteq T\implies\overline{S}\subseteq\overline{T}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $S\subseteq T\subseteq\overline{T}\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\overline{T}$
+\end_inset
+
+ es un cerrado que contiene a 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\overline{S}\subseteq\overline{T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}\overline{S_{i}}\subseteq\overline{\bigcup_{i\in I}S_{i}}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i=1}^{n}\overline{S_{i}}=\overline{\bigcup_{i=1}^{n}S_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\forall j\in I,S_{j}\subseteq\bigcup_{i\in I}S_{i}\implies\overline{S_{j}}\subseteq\overline{\bigcup_{i\in I}S_{i}}\implies\bigcup_{i\in I}\overline{S_{i}}\subseteq\overline{\bigcup_{i\in I}S_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\overline{\bigcup_{i\in I}S_{i}}\subseteq\overline{\bigcup_{i\in I}\overline{S_{i}}}\overset{\text{\textbf{SI \ensuremath{I} es finito}}}{=}\bigcup_{i\in I}\overline{S_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overline{\bigcap_{i\in I}S_{i}}\subseteq\bigcap_{i\in I}\overline{S_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\forall i\in I,S_{i}\subseteq\overline{S_{i}}\implies\bigcap_{i\in I}S_{i}\subseteq\bigcap_{i\in I}\overline{S_{i}}\implies\overline{\bigcap_{i\in I}S_{i}}\subseteq\overline{\bigcap_{i\in I}\overline{S_{i}}}=\bigcap_{i\in I}\overline{S_{i}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $S\in{\cal C_{T}}\iff\overline{S}=S$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $S\in{\cal C_{T}}\implies\overline{S}\subseteq S\overset{S\subseteq\overline{S}}{\implies}S=\overline{S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $S=\overline{S}\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overline{\overline{S}}=\overline{S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $D\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+denso
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\overline{D}=X$
+\end_inset
+
+, si y sólo si cualquier abierto no vacío corta a 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+separable
+\series default
+ si admite un subconjunto denso y numerable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio numerable es separable pero el recíproco no se cumple, pues
+ por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ es denso en 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ y numerable y por tanto 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es separable, pero no es numerable.
+ Igualmente 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ es separable si y sólo si es numerable, mientras que 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{CF})$
+\end_inset
+
+ es siempre separable (basta tomar un subconjunto numerable no finito).
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Puntos de acumulación y aislados
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+punto de acumulación
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal E}(p),(U\backslash\{p\})\cap S\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+acumulación
+\series default
+ o 
+\series bold
+conjunto derivado
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\text{ac}(S)$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $S'$
+\end_inset
+
+) al conjunto de todos los puntos de acumulación de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, 
+\begin_inset Formula $p\in S$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+punto aislado
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists U\in{\cal E}(p):U\cap S=\{p\}$
+\end_inset
+
+, y el conjunto de todos los puntos aislados de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{ais}(S)=S\backslash S'$
+\end_inset
+
+, y se tiene que 
+\begin_inset Formula $\overline{S}=S\cup S'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Frontera
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+punto frontera
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal E}(p),(U\cap S\neq\emptyset\land U\cap(X\backslash S)\neq\emptyset)$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+frontera
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\partial S$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\text{fr}(S)$
+\end_inset
+
+) al conjunto de todos los puntos frontera de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\partial S=\overline{S}\cap\overline{X\backslash S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\partial S\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Además, en un espacio métrico,
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+p\in\partial S & \iff & \forall r>0,(B(p;r)\cap S\neq\emptyset\land B(p;r)\cap(X\backslash S)\neq\emptyset)\\
+ & \iff & \forall n\in\mathbb{N},(B(p;\frac{1}{n})\cap S\neq\emptyset\land B(p;\frac{1}{n})\cap(X\backslash S)\neq\emptyset)\\
+ & \iff & d(p,S)=d(p,X\backslash S)=0
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Interior
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ un espacio topológico y 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+interior
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es el mayor abierto contenido en 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, y se denota
+\begin_inset Formula 
+\[
+\mathring{S}:=\text{int}S:=\bigcup\{A\in{\cal T}:A\subseteq S\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage newpage
+\end_inset
+
+Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathring{S}=X\backslash\overline{X\backslash S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $p\in\mathring{S}\implies\exists A\in{\cal T}:p\in A\subseteq\mathring{S}\subseteq S\implies A\cap(X\backslash S)=\emptyset\implies p\notin\overline{X\backslash S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\begin{array}{c}
+X\backslash S\subseteq\overline{X\backslash S}\implies X\backslash\overline{X\backslash S}\subseteq S\\
+X\backslash\overline{X\backslash S}\in{\cal T}
+\end{array}\implies X\backslash\overline{X\backslash S}\subseteq\mathring{S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $S\in{\cal T}\iff S=\mathring{S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\partial S=\overline{S}\backslash\mathring{S}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\partial S=\overline{S}\cap\overline{X\backslash S}=\overline{S}\cap(X\backslash\mathring{S})=\overline{S}\backslash\mathring{S}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $S\in{\cal T}\iff S\cap\partial S=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $S\in{\cal T}\implies\partial S=\overline{S}\backslash\mathring{S}=\overline{S}\backslash S\implies\partial S\cap S=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\emptyset=\partial S\cap S=(\overline{S}\backslash\mathring{S})\cap S=S\backslash\mathring{S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $p\in\mathring{S}\iff\exists U\in{\cal E}(p):U\subseteq S$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $S\subseteq T\implies\mathring{S}\subseteq\mathring{T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i=1}^{n}\mathring{S_{i}}=\mathring{\overbrace{\bigcap_{i=1}^{n}S_{i}}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\mathring{S}\cap\mathring{T}=(X\backslash\overline{X\backslash S})\cap(X\backslash\overline{X\backslash T})=X\backslash(\overline{X\backslash S}\cup\overline{X\backslash T})=\\
+=X\backslash\overline{(X\backslash S)\cup(X\backslash T)}=X\backslash\overline{X\backslash(S\cap T)}=\mathring{\overbrace{S\cap T}}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+Esto NO se cumple para la unión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Además, en un espacio métrico,
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+p\in\mathring{S} & \iff & \exists r>0:B(p;r)\subseteq S\\
+ & \iff & \exists n\in\mathbb{N}:B(p;\frac{1}{n})\subseteq S\\
+ & \iff & d(p,X\backslash S)>0
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Clausura, frontera e interior relativos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Escribimos 
+\begin_inset Formula $\text{cl}_{X}(S)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\text{int}_{X}(S)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\partial_{X}(S)$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{cl}_{H}(S)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\text{int}_{H}(S)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\partial_{H}(S)$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(H,{\cal T}|_{H})$
+\end_inset
+
+.
+ Así, sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ un espacio topológico y 
+\begin_inset Formula $S\subseteq H\subseteq X$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{cl}_{H}(S)=\text{cl}_{X}(S)\cap H$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sabemos que 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\text{cl}_{X}(S)\cap H\in{\cal C}_{H}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $\text{cl}_{H}(S)$
+\end_inset
+
+ es el menor cerrado en 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ que contiene a 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\text{cl}_{H}(S)\subseteq\text{cl}_{X}(S)\cap H$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $p\in\text{cl}_{X}(S)\cap H$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U'\in{\cal E}_{H}(p)$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}_{X}(p)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $U'=U\cap H$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $p\in\text{cl}_{X}(S)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $U\cap S\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, ahora bien, 
+\begin_inset Formula $U'\cap S=U\cap H\cap S=U\cap S\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $p\in\text{cl}_{H}(S)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{int}_{X}(S)\cap H\subseteq\text{int}_{H}(S)$
+\end_inset
+
+, y esta inclusión suele ser estricta.
+\series bold
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\series default
+
+\begin_inset Formula $\text{int}_{X}(S)\cap H$
+\end_inset
+
+ es un abierto de 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ contenido en 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $\text{int}_{X}(S)\cap H\subseteq\text{int}_{H}(S)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\partial_{H}(S)\subseteq\partial_{X}(S)\cap H$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\begin{array}{c}
+\partial_{H}(S)=\text{cl}_{H}(S)\backslash\text{int}_{H}(S)\subseteq(\text{cl}_{X}(S)\cap H)\backslash(\text{int}_{X}(S)\cap H)=\\
+=(\text{cl}_{X}(S)\backslash\text{int}_{X}(S))\cap H=\partial_{X}(S)\cap H
+\end{array}
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Convergencia
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ una sucesión de puntos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+converge
+\series default
+ o 
+\series bold
+tiende
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $x_{n}\rightarrow x$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\lim x_{n}=x$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal E}(x),\exists n_{U}\in\mathbb{N}:\forall n\geq n_{U},x_{n}\in U$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, en un espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x_{n}\rightarrow x\iff\forall\varepsilon>0,\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\forall n\geq n_{\varepsilon},x_{n}\in B(x;r)$
+\end_inset
+
+, o lo que es lo mismo, si la sucesión 
+\begin_inset Formula $\{d(x_{n},x)\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ converge a 0 en 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},d_{u})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ un espacio métrico, 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x\in X$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $x\in\overline{S}\iff\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S:x_{n}\rightarrow x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in\overline{S}$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B(x;\frac{1}{n})\cap S\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, luego podemos tomar 
+\begin_inset Formula $x_{n}\in B(x;\frac{1}{n})\cap S$
+\end_inset
+
+ y construir así la sucesión.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $d(x_{n},x)<\frac{1}{n}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $x_{n}\rightarrow x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Cualquier 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(x)$
+\end_inset
+
+ contiene puntos de la sucesión, de forma que 
+\begin_inset Formula $U\cap S\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $x\in\overline{S}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así pues, en un espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es denso en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall x\in X,\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S:x_{n}\rightarrow x$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $x\in\partial S$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S,\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X\backslash S:x_{n},y_{n}\rightarrow x$
+\end_inset
+
+.
+ Estas caracterizaciones sólo son ciertas en espacios métricos, pero no
+ es espacios topológicos arbitrarios.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tem/n3.lyx b/tem/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..245e95c
--- /dev/null
+++ b/tem/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1734 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
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+\shortcut idx
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+\html_math_output 0
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+continua
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(f(p)),\exists U\in{\cal E}(p):f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+ Equivalentemente, si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(p)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(f(p))$
+\end_inset
+
+ son bases de entornos de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(p)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal B}(f(p)),\exists U\in{\cal B}(p):f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal B}(f(p))$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+, pero entonces existe 
+\begin_inset Formula $U'\in{\cal B}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $U'\subseteq U$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f(U')\subseteq f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $V'\in{\cal B}(f(p))$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $V'\subseteq V$
+\end_inset
+
+, pero existe 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal B}(p)\subseteq{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V'\subseteq V$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que 
+\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ respecto a las topologías métricas 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{d'}$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in X,(d(x,p)<\delta\implies d'(f(x),f(p))<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Tomando 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(p)=\{B(p;\delta):\delta>0\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(f(p))=\{B(f(p);r)\}_{r>0}$
+\end_inset
+
+, la equivalencia es consecuencia de lo anterior y de que 
+\begin_inset Formula $x\in B(p;\delta)\iff d(x,p)<\delta$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(p)\in B(f(p);\varepsilon)\iff d(f(x),f(p))<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 1AN, 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X,(x_{n}\rightarrow p\implies f(x_{n})\rightarrow f(p))$
+\end_inset
+
+.
+ Además, la implicación a la derecha se cumple para espacios topológicos
+ arbitrarios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, dada una sucesión 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X$
+\end_inset
+
+ que converge a 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+, y por la convergencia de 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+, existe un 
+\begin_inset Formula $n_{U}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n>n_{U}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $x_{n}\in U$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $f(x_{n})\in f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f(x_{n})\rightarrow f(p)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(p)$
+\end_inset
+
+ una base de entornos de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ numerable, si suponemos que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no es continua, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists V\in{\cal B}(f(p)):\forall U\in{\cal B}(p),f(U)\nsubseteq V$
+\end_inset
+
+.
+ Sea ahora 
+\begin_inset Formula $U_{1}\in{\cal B}(p)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V_{1}$
+\end_inset
+
+ un entorno de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ que no contiene a 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos tomar 
+\begin_inset Formula $V'_{1}:=V_{1}\cap U_{1}\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ y existirá 
+\begin_inset Formula $U_{2}\in{\cal B}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $U_{2}\subseteq V'_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula ${\cal B}(p)$
+\end_inset
+
+ es numerable, podemos hacer esto sucesivamente ordenando así sus elementos
+ en una sucesión 
+\begin_inset Formula $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ de entornos con 
+\begin_inset Formula $U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq\dots$
+\end_inset
+
+.
+ Con esto formamos una sucesión 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x_{i}\in U_{i}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(x_{i})\notin V$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $x_{n}\rightarrow p$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ mientras que 
+\begin_inset Formula $f(x_{n})\not\rightarrow f(p)$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, lo que contradice la hipótesis.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})\overset{f}{\rightarrow}(Y,{\cal T}')\overset{g}{\rightarrow}(Z,{\cal T}'')$
+\end_inset
+
+ aplicaciones continuas en 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(p)$
+\end_inset
+
+, respectivamente, entonces 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $W\in{\cal E}(g(f(p)))$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $f(p)$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g(V)\subseteq W$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $g(f(U))\subseteq g(V)\subseteq W$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f(p)\in\overline{f(S)}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{S}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $U\cap S\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\emptyset\neq f(U\cap S)\subseteq f(U)\cap f(S)\subseteq V\cap f(S)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Continuidad global
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua si lo es en cualquier punto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Equivalentemente, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall A\in{\cal T}',f^{-1}(A)\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ continua, 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $p\in f^{-1}(A)$
+\end_inset
+
+ arbitrario, entonces 
+\begin_inset Formula $f(p)\in A\in{\cal E}(f(p))$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua, existe 
+\begin_inset Formula $V_{p}\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(V_{p})\subseteq A$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $V_{p}\subseteq f^{-1}(A)$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{p\in f^{-1}(A)}V_{p}=f^{-1}(A)\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal E}(f(p))$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $p\in f^{-1}(A)$
+\end_inset
+
+, y como por hipótesis 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(A)\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(A)\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ es pues el entorno de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ buscado para que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ sea continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X,V\in{\cal E}(f(p));f^{-1}(V)\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Trivial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Cada 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+ se puede escribir como 
+\begin_inset Formula $A=\bigcup_{q\in A}V_{q}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $V_{q}\in{\cal E}(q)$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(A)=f^{-1}(\bigcup_{q\in A}V_{q})=\bigcup_{q\in A}f^{-1}(V_{q})$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto, si los 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(V_{q})$
+\end_inset
+
+ son abiertos, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(A)$
+\end_inset
+
+ también lo es por ser unión arbitraria de abiertos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall C\in{\cal C}_{{\cal T}'},f^{-1}(C)\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es cerrado en 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $X\backslash f^{-1}(C)=f^{-1}(Y\backslash C)\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(C)\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algunas aplicaciones continuas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $id:(X,{\cal T})\rightarrow(X,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si 
+\begin_inset Formula ${\cal T}'\subseteq{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Una aplicación constante siempre es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Toda 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T}_{D})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Toda 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}_{T})$
+\end_inset
+
+ es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f,g:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ son continuas entonces 
+\begin_inset Formula $f+g,fg:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ también lo son.
+ Si además 
+\begin_inset Formula $g(x)\neq0\forall x\in X$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\frac{f}{g}:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Las proyecciones 
+\begin_inset Formula $\pi_{i}:(\mathbb{R}^{n},d_{u})\rightarrow(\mathbb{R},d_{u})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\pi_{i}(x_{1},\dots,x_{n})=x_{i}$
+\end_inset
+
+ son continuas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x)=(f_{1}(x),\dots,f_{n}(x))$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $f_{1},\dots,f_{n}:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ las llamadas 
+\series bold
+funciones coordenadas
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si 
+\begin_inset Formula $f_{1},\dots,f_{n}$
+\end_inset
+
+ lo son.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Las funciones polinómicas 
+\begin_inset Formula $f:(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ sobre una o varias variables son siempre continuas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para toda aplicación continua 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ y todo 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $f(\overline{S})\subseteq\overline{f(S)}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Homeomorfismos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+homeomorfismo
+\series default
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ biyectiva, continua y con aplicación inversa continua.
+ Dos espacios topológicos son 
+\series bold
+homeomorfos
+\series default
+ si existe un homeomorfismo entre ellos, y una 
+\series bold
+propiedad topológica
+\series default
+ es una propiedad de los espacios topológicos invariante por homomorfismos.
+ Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Dos espacios topológicos triviales, o dos discretos, son homeomorfos si
+ y sólo si existe una aplicación biyectiva entre ellos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+, son homeomorfos todos los intervalos de la forma 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[c,d]$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(c,d)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(a,+\infty)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(b,+\infty)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(-\infty,a)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(-\infty,b)$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $(a,+\infty)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(-\infty,b)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es homeomorfo a cualquier intervalo abierto y acotado, por ejemplo, por
+ 
+\begin_inset Formula $\tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una aplicación 
+\emph on
+biyectiva
+\emph default
+ 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+, son equivalentes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es un homeomorfismo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}\iff f(A)\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $C\in{\cal C_{T}}\iff f(C)\in{\cal C}_{{\cal T}'}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $1\implies2]$
+\end_inset
+
+ Sea 
+\begin_inset Formula $g:=f^{-1}:Y\rightarrow X$
+\end_inset
+
+ continua y 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f(A)=(f^{-1})^{-1}(A)=g^{-1}(A)\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+.
+ Recíprocamente, si 
+\begin_inset Formula $f(A)\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(f(A))=A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $2\implies1]$
+\end_inset
+
+ Para ver que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua, dado 
+\begin_inset Formula $A\subseteq X$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $f(A)\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(f(A))=A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+.
+ Para ver que 
+\begin_inset Formula $g:=f^{-1}$
+\end_inset
+
+ es continua, dado 
+\begin_inset Formula $A\subseteq X$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $g^{-1}(A)=f(A)\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $1\iff3]$
+\end_inset
+
+ Análogo usando la caracterización de continuidad por cerrados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+abierta
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall A\in{\cal T},f(A)\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+, y es 
+\series bold
+cerrada
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall C\in{\cal C_{T}},f(C)\in{\cal C}_{{\cal T}'}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, una aplicación biyectiva es un homeomorfismo si y sólo si es continua
+ y abierta (o continua y cerrada).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es abierta si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall S\subseteq X,f(\mathring{S})\subseteq\mathring{\overbrace{f(S)}}$
+\end_inset
+
+, es un homeomorfismo si y sólo si es biyectiva y 
+\begin_inset Formula $\forall S\subseteq X,f(\mathring{S})=\mathring{\overbrace{f(S)}}$
+\end_inset
+
+, y es cerrada si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall S\subseteq X,\overline{f(S)}\subseteq f(\overline{S})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Continuidad en subespacios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La aplicación inclusión 
+\begin_inset Formula $i:(H,{\cal T}_{H})\looparrowright(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es continua.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $i^{-1}(A)=A\cap H\in{\cal T}_{H}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(X)\subseteq H\subseteq Y$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\hat{f}:(X,{\cal T})\rightarrow(H,{\cal T}_{H})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\hat{f}(x)=f(x)$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\hat{f}$
+\end_inset
+
+ es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $V'\in{\cal E}_{{\cal T}'_{H}}(f(p))$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal E}_{{\cal T}'}(f(p))$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $V'=V\cap H$
+\end_inset
+
+, luego existe 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}_{{\cal T}}(p)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $f'(U)=f(U)=f(U)\cap H\subseteq V\cap H=V'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(H,{\cal T}'_{H})$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, como la inclusión es continua en 
+\begin_inset Formula $f(p)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f=i\circ\hat{f}$
+\end_inset
+
+ es también continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p\in H\subseteq X$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f|_{H}:(H,{\cal T}_{H})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ también es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua también lo es 
+\begin_inset Formula $f|_{H}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Como la inclusión es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f|_{H}=f\circ i$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f|_{U}$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Basta tomar 
+\begin_inset Formula $U=X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $f|_{U}:(U,{\cal T}_{U})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
+\end_inset
+
+, por la continuidad de 
+\begin_inset Formula $f|_{U}$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $U'\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f|_{U}(U')\subseteq V$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $f(U')=f|_{U}(U')\subseteq V$
+\end_inset
+
+, lo que prueba la continuidad de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $X=\bigcup_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $f|_{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ es continua para todo 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, existe un 
+\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $p\in A_{i_{0}}\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ y por la propiedad anterior, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{C_{1},\dots,C_{n}\}$
+\end_inset
+
+ una familia finita de cerrados de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $X=\bigcup_{i=1}^{n}C_{i}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $f|_{C_{i}}$
+\end_inset
+
+ es continua para todo 
+\begin_inset Formula $i\in1,\dots,n$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $C'\in(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(C')=f^{-1}(C')\cap X=f^{-1}(C')\cap\left(\bigcup_{i=1}^{n}C_{i}\right)=\bigcup_{i=1}^{n}(C_{i}\cap f^{-1}(C'))=\bigcup_{i=1}^{n}f|_{C_{i}}^{-1}(C')$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $f|_{C_{i}}$
+\end_inset
+
+ es continua para cualquier 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f|_{C_{i}}^{-1}(C')$
+\end_inset
+
+ es cerrado en 
+\begin_inset Formula $(C_{i},{\cal T}_{C_{i}})$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $C_{i}$
+\end_inset
+
+ es cerrado en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f|_{C_{i}}^{-1}(C')$
+\end_inset
+
+ es cerrado en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(C')$
+\end_inset
+
+ es cerrado en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Continuidad uniforme e isometrías
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+oscilación
+\series default
+ de una función 
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ en un intervalo 
+\begin_inset Formula $I\subseteq D$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\theta(f,J)=\begin{cases}
+\sup\{f(I)\}-\inf\{f(I)\} & \text{si }f(I)\text{ está acotado}\\
++\infty & \text{si }f(I)\text{ no está acotado}
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+uniformemente continua
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x_{1},x_{2}\in X,(d(x_{1},x_{2})<\delta\implies d'(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ Toda aplicación uniformemente continua es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+isometría
+\series default
+ a una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall x_{1},x_{2}\in X,(d(x_{1},x_{2})=d'(f(x_{1}),f(x_{2})))$
+\end_inset
+
+.
+ Toda isometría es inyectiva y uniformemente continua.
+ Finalmente, una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(X,d')$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+lipschitziana
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists M>0:\forall x,y\in X,d'(f(x),f(y))\leq Md(x,y)$
+\end_inset
+
+, y es además 
+\series bold
+contráctil
+\series default
+ si podemos encontrar un 
+\begin_inset Formula $M<1$
+\end_inset
+
+ para el que se cumpla la propiedad.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tem/n4.lyx b/tem/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..574a4a5
--- /dev/null
+++ b/tem/n4.lyx
@@ -0,0 +1,2144 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
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+\use_package esint 1
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+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
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+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+recubrimiento
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es una familia 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ de subconjuntos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\bigcup_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+, y un 
+\series bold
+subrecubrimiento
+\series default
+ es una familia 
+\begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal A}$
+\end_inset
+
+ que es también recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ Un recubrimiento 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+finito
+\series default
+ si está formado por una cantidad finita de conjuntos, y es 
+\series bold
+abierto
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ si cada 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ lo es.
+ Con esto, un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+compacto
+\series default
+ si todo recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ admite un subrecubrimiento finito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subespacios compactos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El subespacio 
+\begin_inset Formula $(K,{\cal T}_{K})$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si todo recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ admite un subrecubrimiento finito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\cap K\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(K,{\cal T}_{K})$
+\end_inset
+
+, por lo que existe una familia finita 
+\begin_inset Formula $A_{i_{1}},\dots,A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $K=(A_{i_{1}}\cap K)\cup\dots\cup(A_{i_{r}}\cap K)$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $K\subseteq A_{i_{1}}\cup\dots\cup A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{A'_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(K,{\cal T}_{K})$
+\end_inset
+
+, y sea por tanto 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A'_{i}=A_{i}\cap K$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $K\subseteq\bigcup_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ y por hipótesis existen 
+\begin_inset Formula $A_{i_{1}},\dots,A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $K\subseteq A_{i_{1}}\cup\dots\cup A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $K=(A_{i_{1}}\cap K)\cup\dots\cup(A_{i_{r}}\cap K)=A'_{i_{1}}\cup\dots\cup A'_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto el concepto de compacidad es intrínseco del espacio topológico,
+ pues no depende del espacio total donde se considere.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo cerrado 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ de un compacto 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal A}\cup\{X\backslash C\}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, del que extraemos un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $C\subseteq X=\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Heine-Borel
+\series default
+ afirma que todo intervalo cerrado y acotado 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ y definimos 
+\begin_inset Formula $G=\{x\in[a,b]|\exists\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}\in{\cal P}_{0}({\cal A}):[a,x]\subseteq A_{i_{1}}\cup\dots\cup A_{i_{n}}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $a\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a\in A_{i_{0}}\in{\cal T}_{u}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\exists\varepsilon>0:[a,a+\varepsilon)\subseteq A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $[a,a+\varepsilon)\subseteq G$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $G\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora veamos que 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $y\in[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $y\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $j_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y\in A_{j_{0}}\in{\cal T}_{u}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\exists\delta>0:(y-\delta,y+\delta)\subseteq A_{j_{0}}$
+\end_inset
+
+, e 
+\begin_inset Formula $(y-\delta,y+\delta)\subseteq[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, si existiera un 
+\begin_inset Formula $z\in(y-\delta,y+\delta)\cap G$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $z\in G$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $[a,z]\subseteq\bigcup_{j=1}^{n}A_{i_{j}}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $\{A_{i_{0}},\dots,A_{i_{n}},A_{j_{0}}\}\in{\cal P}_{0}({\cal A})$
+\end_inset
+
+, entonces para 
+\begin_inset Formula $t\in(y-\delta,y+\delta)$
+\end_inset
+
+ se tendría 
+\begin_inset Formula $[a,t]\subseteq\bigcup_{j=1}^{n}A_{i_{j}}\cup A_{j_{0}}$
+\end_inset
+
+, llegando así a la contradicción de que 
+\begin_inset Formula $y\in G$
+\end_inset
+
+.
+ En consecuencia, 
+\begin_inset Formula $(y-\delta,y+\delta)\subseteq[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es un elemento arbitrario de 
+\begin_inset Formula $[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+ es abierto y por tanto 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ Finalmente, vemos que 
+\begin_inset Formula $G=[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, sea 
+\begin_inset Formula $s=\sup(G)$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ es cerrado entonces 
+\begin_inset Formula $s\in G$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $s<b$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $k_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $s\in A_{k_{0}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $[s,s+\varepsilon)\subseteq A_{k_{0}}$
+\end_inset
+
+ contradiciendo que sea 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ el supremo de 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ Y como 
+\begin_inset Formula $s\in G\implies[a,s]\subseteq G$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $G=[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En un espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ donde las bolas cerradas son siempre compactas (como sabemos que ocurre
+ en 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ por el teorema anterior), todo subespacio cerrado y acotado es compacto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $C\subseteq X$
+\end_inset
+
+ cerrado y acotado, entonces existen 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $C\subseteq B_{d}(x_{0};r)\subseteq B_{d}[x_{0};r]$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es un cerrado contenido en el compacto 
+\begin_inset Formula $B_{d}[x_{0};r]$
+\end_inset
+
+, es también compacto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo subespacio compacto 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ de un espacio topológico Hausdorff 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Probamos que 
+\begin_inset Formula $X\backslash K$
+\end_inset
+
+ es abierto, para lo cual vemos que todos sus puntos son interiores, es
+ decir, 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X\backslash K,\exists A\in{\cal E}(p):A\subseteq X\backslash K$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $p\in X\backslash K$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $x\in K$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $p\neq x$
+\end_inset
+
+, la condición de Hausdorff nos asegura que existen 
+\begin_inset Formula $A_{x}\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B_{x}\in{\cal E}(x)$
+\end_inset
+
+ disjuntos.
+ Ahora bien, 
+\begin_inset Formula $\{B_{x}\}_{x\in K}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $B_{x_{1}},\dots,B_{x_{r}}$
+\end_inset
+
+ para ciertos 
+\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{r}\in K$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $A:=\bigcap_{i=1}^{r}A_{x_{i}}\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,r\}$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $a\in A_{x_{i}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $a\notin B_{x_{i}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a\notin K$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $A\subseteq X\backslash K$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo subespacio compacto 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ de un espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es acotado.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $a\in X$
+\end_inset
+
+, para todo 
+\begin_inset Formula $x\in K$
+\end_inset
+
+ existe un 
+\begin_inset Formula $n_{x}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(x,a)<n_{x}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\{B(a;n)\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\{B(a;n_{1}),\dots,B(a;n_{r})\}$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $K\subseteq B(a;n_{1})\cup\dots\cup B(a;n_{r})=B(a;\max\{n_{1},\dots,n_{r}\})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De las tres últimas proposiciones se tiene que si 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es un espacio métrico donde las bolas cerradas son siempre compactas, entonces
+ un subespacio de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{d})$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Productos finitos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados dos espacios topológicos 
+\begin_inset Formula $(X_{1},{\cal T}_{1})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(X_{2},{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+espacio topológico producto
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(X_{1},{\cal T}_{1})\times(X_{2},{\cal T}_{2})=(X_{1}\times X_{2},{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+ a aquel en el que 
+\begin_inset Formula $G\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}\iff\forall(x_{1},x_{2})\in G,\exists A_{1}\in{\cal T}_{1},A_{2}\in{\cal T}_{2}:(x_{1},x_{2})\in A_{1}\times A_{2}\subseteq G$
+\end_inset
+
+.
+ Veamos que en efecto este es un espacio topológico.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\emptyset,X_{1}\times X_{2}\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean 
+\begin_inset Formula $G,G'\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in G\cap G'$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $A_{1}\in{\cal T}_{1},A_{2}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in A_{1}\times A_{2}\subseteq G$
+\end_inset
+
+, y análogamente, existen 
+\begin_inset Formula $A'_{1}\in{\cal T}_{1},A'_{2}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A'_{1}\times A'_{2}\subseteq G'$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in(A_{1}\cap A'_{1})\times(A_{2}\cap A'_{2})\subseteq G\cap G'$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, si 
+\begin_inset Formula $(p_{1},p_{2})\in(A_{1}\cap A'_{1})\times(A_{2}\cap A'_{2})$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $p_{1}\in A_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p_{2}\in A_{2}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $(p_{1},p_{2})\in A_{1}\times A_{2}\subseteq G$
+\end_inset
+
+, y análogamente 
+\begin_inset Formula $(p_{1},p_{2})\in G'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{G_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de abiertos de 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in\bigcup_{i\in I}G_{i}$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $j\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in G_{j}\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+, de modo que existen 
+\begin_inset Formula $A_{j1}\in{\cal T}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{j2}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in A_{j1}\times A_{j2}\subseteq G_{j}\subseteq\bigcup_{i\in I}G_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $G\subseteq X_{1}\times X_{2}$
+\end_inset
+
+ es abierto en 
+\begin_inset Formula $(X_{1}\times X_{2},{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existen un conjunto de índices 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y abiertos 
+\begin_inset Formula $A_{i1}\in{\cal T}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{i2}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $G=\bigcup_{i\in I}(A_{i1}\times A_{i2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $G\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $x=(x_{1},x_{2})\in G$
+\end_inset
+
+ existen 
+\begin_inset Formula $A_{x_{1}}\in{\cal T}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{x_{2}}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $x=A_{x_{1}}\times A_{x_{2}}\subseteq G$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $G=\bigcup_{x\in G}\{x\}\subseteq\bigcup_{x\in G}(A_{x_{1}}\times A_{x_{2}})\subseteq G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $G=\bigcup_{i\in I}(A_{i1}\times A_{i2})$
+\end_inset
+
+, entonces todo punto de 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ se encuentra en algún 
+\begin_inset Formula $A_{j1}\times A_{j2}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ cumple la definición de abierto de la topología producto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Tíjonov
+\series default
+ o 
+\series bold
+Tychonoff
+\series default
+ afirma que 
+\begin_inset Formula $(X\times Y,{\cal T}\times{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ son compactos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $(X\times Y,{\cal T}\times{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es compacto, sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\times Y\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X\times Y$
+\end_inset
+
+ del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{A_{1}\times Y,\dots,A_{r}\times Y\}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\{A_{1},\dots,A_{r}\}$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ compactos, 
+\begin_inset Formula ${\cal W}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X\times Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal G}$
+\end_inset
+
+ la familia de subconjuntos 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $S\times Y$
+\end_inset
+
+ puede ser recubierto por una cantidad finita de abiertos de 
+\begin_inset Formula ${\cal W}$
+\end_inset
+
+, hemos de demostrar que 
+\begin_inset Formula $X\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Sean 
+\begin_inset Formula $S,S'\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+, entonces existen 
+\begin_inset Formula ${\cal X}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal X}'$
+\end_inset
+
+ subrecubrimientos finitos de 
+\begin_inset Formula $S\times Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S'\times Y$
+\end_inset
+
+, respectivamente, por lo que 
+\begin_inset Formula ${\cal X}\cup{\cal X}'$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $(S\cup S')\times Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S\cup S'\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Dado 
+\begin_inset Formula $x\in X$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $y\in Y$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula ${\cal W}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $X\times Y$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $W_{y}\in{\cal W}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(x,y)\in W_{y}$
+\end_inset
+
+, de modo que podemos encontrar 
+\begin_inset Formula $A_{y}\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B_{y}\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $(x,y)\in A_{y}\times B_{y}\subseteq W_{y}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\{B_{y}\}_{y\in Y}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ del que podemos obtener un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{B_{y_{1}},\dots,B_{y_{r}}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $A_{x}=A_{y_{1}}\cap\dots\cap A_{y_{r}}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A_{x}\times Y=A_{x}\times(\bigcup_{i=1}^{r}B_{y_{i}})=\bigcup_{i=1}^{r}(A_{x}\times B_{y_{i}})\subseteq\bigcup_{i=1}^{r}(A_{y_{i}}\times B_{y_{i}})\subseteq\bigcup_{i=1}^{r}W_{y_{i}}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $A_{x}\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Por lo segundo, tenemos un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ de la forma 
+\begin_inset Formula $\{A_{x}\}_{x\in X}$
+\end_inset
+
+ donde cada 
+\begin_inset Formula $A_{x}\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+, por lo que podemos encontrar un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $X=A_{x_{1}}\cup\dots\cup A_{x_{k}}$
+\end_inset
+
+, y por lo primero esto implica 
+\begin_inset Formula $X\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+De esto, junto con el apartado anterior, se obtiene la versión general del
+ teorema de Heine-Borel, que afirma que un subespacio de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado para alguna de las métricas
+ 
+\begin_inset Formula $d_{T}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d_{E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Compacidad y continuidad
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto entonces 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\{f^{-1}(A_{i})\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, que admite pues un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{f^{-1}(A_{1}),\dots,f^{-1}(A_{r})\}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\{A_{1},\dots,A_{r}\}$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esto significa que la compacidad es una propiedad topológica, es decir,
+ si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ son homeomorfos y 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto, 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ También significa que, si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto, toda función continua 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,d')$
+\end_inset
+
+ es cerrada y acotada.
+ En particular toda 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ continua alcanza su máximo y su mínimo en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})=([a,b],{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f([a,b])$
+\end_inset
+
+ es un intervalo cerrado y acotado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de la continuidad de la función inversa
+\series default
+ afirma que toda 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ biyectiva y continua, siendo 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ compacto e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ Hausdorff, es un homeomorfismo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Basta probar que 
+\begin_inset Formula $g:=f^{-1}$
+\end_inset
+
+ es continua.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ lleva compactos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ a compactos de 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+, pero dado 
+\begin_inset Formula $C\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es compacto, 
+\begin_inset Formula $f(C)$
+\end_inset
+
+ también y por ser 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ Hausdorff, 
+\begin_inset Formula $f(C)$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ Hemos probado que dado 
+\begin_inset Formula $C\subseteq X$
+\end_inset
+
+ cerrado, 
+\begin_inset Formula $g^{-1}(C)=f(C)$
+\end_inset
+
+ es cerrado, luego 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto toda aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ inyectiva y continua, siendo 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ compacto e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ Hausdorff, es un homeomorfismo entre 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(f(X),{\cal T}'_{f(X)})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toda 
+\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
+\end_inset
+
+ continua, siendo 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{d})$
+\end_inset
+
+ compacto, es uniformemente con
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ti
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+nua.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, para 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\delta_{p}>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall y\in X,(d(p,y)<\delta_{p}\implies d'(f(p),f(y))<\frac{\varepsilon}{2})$
+\end_inset
+
+.
+ Sea ahora 
+\begin_inset Formula $\delta'_{p}:=\frac{\delta_{p}}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{B(p;\delta'_{p})\}_{p\in X}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{B(p_{1};\delta'_{p_{1}}),\dots,B(p_{r};\delta'_{p_{r}})\}$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula $\delta:=\min\{\delta'_{p_{1}},\dots,\delta'_{p_{r}}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(x,y)<\delta$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots r\}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(x,p_{i})<\delta_{p_{i}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $d(y,p_{i})\leq d(y,x)+d(x,p_{i})<\delta+\delta'_{p_{i}}\leq2\delta'_{p_{i}}=\delta_{p_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $d'(f(x),f(p_{i}))<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d'(f(y),f(p_{i}))<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $d'(f(y),f(x))\leq d'(f(y),f(p_{i}))+d'(f(p_{i}),f(x))<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Compacidad por sucesiones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+compacto por sucesiones 
+\series default
+si toda sucesión admite una subsucesión convergente.
+ Ahora probaremos que todo espacio métrico compacto es compacto por sucesiones,
+ y viceversa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Primero probamos que si 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es un punto de acumulación de ella, 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ posee una subsucesión convergente a 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, sea 
+\begin_inset Formula $S=\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ el conjunto de puntos, para todo 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ debe ser 
+\begin_inset Formula $(B(p;r)\backslash\{p\})\cap S$
+\end_inset
+
+ infinito, pues si fuera finito 
+\begin_inset Formula $\{x_{n_{1}},\dots,x_{n_{r}}\}$
+\end_inset
+
+ podríamos escoger 
+\begin_inset Formula $r'>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $r'<d(p,x_{n_{i}})\forall i$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $(B(p;r')\backslash\{p\})\cap S=\emptyset$
+\end_inset
+
+, lo que contradice que 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ sea punto de acumulación.
+ Ahora bien, si para 
+\begin_inset Formula $k=1$
+\end_inset
+
+ tomamos 
+\begin_inset Formula $r=1$
+\end_inset
+
+ existirá 
+\begin_inset Formula $x_{n_{1}}\in B(p;1)$
+\end_inset
+
+, y si tenemos 
+\begin_inset Formula $x_{n_{k}}\in B(p;\frac{1}{k})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $n_{k}>n_{k-1}$
+\end_inset
+
+ entonces como 
+\begin_inset Formula $B(p;\frac{1}{k+1})\cap S$
+\end_inset
+
+ es infinito, podemos tomar 
+\begin_inset Formula $x_{n_{k+1}}\in B(p;\frac{1}{k+1})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $n_{k+1}>n_{k}$
+\end_inset
+
+, formando una subsucesión 
+\begin_inset Formula $\{x_{n_{k}}\}_{k}$
+\end_inset
+
+ que converge a 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ Esto también vale para cualquier espacio topológico 1AN y Hausdorff.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ahora vemos que todo subconjunto infinito 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ compacto tiene al menos un punto de acumulación.
+ Supongamos que no los tiene, es decir, 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X,\exists U_{p}\in{\cal E}(p):(U_{p}\backslash\{p\})\cap S=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces podríamos considerar el recubrimiento abierto 
+\begin_inset Formula $\{U_{p}\}_{p\in X}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{U_{p_{1}},\dots,U_{p_{r}}\}$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $S=S\cap X=S\cap(U_{p_{1}}\cup\dots\cup U_{p_{r}})=(S\cap U_{p_{1}})\cup\dots\cup(S\cap U_{p_{r}})\subseteq\{p_{1},\dots,p_{r}\}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Con esto podemos probar que todo espacio métrico compacto es compacto por
+ sucesiones.
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es compacto y sea 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ una sucesión en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora sea 
+\begin_inset Formula $S=\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es finito, debe existir 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ que se repite infinitas veces en la sucesión, y estos términos forman una
+ subsucesión constante y por tanto convergente.
+ Si es infinito, posee un punto de acumulación y por tanto tiene una subsucesión
+ convergente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Observamos que toda sucesión acotada en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d_{T}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d_{E}$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+ posee una subsucesión convergente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+precompacto
+\series default
+ o 
+\series bold
+totalmente acotado
+\series default
+ si para cada 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ existe una cantidad finita de puntos 
+\begin_inset Formula $\{x_{1},\dots,x_{m}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $X=B(x_{1};r)\cup\dots\cup B(x_{m};r)$
+\end_inset
+
+.
+ Esta definición es casi igual a la de compacto, pero no se considera un
+ recubrimiento abierto cualquiera sino solo los de la forma 
+\begin_inset Formula $\{B(p;r)\}_{p\in X}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, todo espacio métrico compacto es precompacto, y todo espacio precompacto
+ es acotado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio métrico compacto por sucesiones es precompacto.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ un espacio métrico compacto por sucesiones tal que 
+\begin_inset Formula $\exists r>0:\forall S\subseteq X,X\neq\bigcup_{x\in S}B(x;r)$
+\end_inset
+
+, y construiremos una sucesión 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ de la siguiente forma.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $x_{1}\in X$
+\end_inset
+
+ cualquiera y supongamos que hemos construido 
+\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{m}$
+\end_inset
+
+ de modo que 
+\begin_inset Formula $d(x_{i},x_{j})>r\forall i,j\leq m,i\neq j$
+\end_inset
+
+, y como por la hipótesis 
+\begin_inset Formula $X\neq\bigcup_{i=1}^{m}B(x_{i};r)$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $x_{m+1}\in X\backslash\bigcup_{i=1}^{m}B(x_{i};r)$
+\end_inset
+
+ y tenemos por inducción una sucesión tal que 
+\begin_inset Formula $d(x_{i},x_{j})>r\forall i\neq j$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, por la compacidad por sucesiones ha de existir una subsucesión
+ 
+\begin_inset Formula $\{x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ convergente a un 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, pero entonces existe 
+\begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $d(p,x_{n_{k}})<\frac{r}{2}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $k\geq k_{0}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $d(x_{n_{k}},x_{n_{k+1}})\leq r$
+\end_inset
+
+, lo cual es absurdo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio métrico precompacto es separable.
+ Si 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es precompacto, para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ existen 
+\begin_inset Formula $\{x_{1n},\dots,x_{r_{n}n}\}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $X=\bigcup_{i=1}^{r_{n}}B(x_{in};\frac{1}{n})$
+\end_inset
+
+.
+ El conjunto 
+\begin_inset Formula $D=\{x_{in}\}_{n\in\mathbb{N},1\leq i\leq r_{n}}$
+\end_inset
+
+ es numerable por ser unión numerable de conjuntos finitos.
+ Probaremos que es denso viendo que, dado 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, se tiene 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{D}$
+\end_inset
+
+.
+ Para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $x_{in}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $p\in B(x_{in};\frac{1}{n})$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $x_{in}\in B(p;\frac{1}{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B(p;\frac{1}{n})$
+\end_inset
+
+ corta a 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ corta a todos los entornos de la base 
+\begin_inset Formula $\{B(p;\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un recubrimiento abierto 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+número de Lebesgue
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X,\exists A_{p}\in{\cal A}:B(p;r)\subseteq A_{p}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+lema de Lebesgue
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es compacto por sucesiones entonces todo recubrimiento abierto admite un
+ número de Lebesgue.
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ que no admite un número de Lebesgue.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\forall r>0,\exists p\in X:\forall i\in I,B(p;r)\nsubseteq A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B(x_{n};\frac{1}{n})\nsubseteq A_{i}\forall i\in I$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es compacto por sucesiones, existirá 
+\begin_inset Formula $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ convergente a un 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $p\in A_{i_{0}}\in{\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $r_{0}>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B(p;r_{0})\subseteq A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $N\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(p,x_{N})<\frac{r_{0}}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{N}<\frac{r_{0}}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, tomando 
+\begin_inset Formula $t\in B(x_{N};\frac{1}{N})$
+\end_inset
+
+ vemos que 
+\begin_inset Formula $d(p,y)\leq d(p,x_{N})+d(x_{N},y)<r_{0}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $y\in B(p;r_{0})\subseteq A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $B(x_{N};\frac{1}{N})\subseteq B(p;r_{0})$
+\end_inset
+
+, lo cual es absurdo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que todo espacio métrico compacto por sucesiones es compacto.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ un espacio métrico compacto por sucesiones y 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ un número de Lebesgue para 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces existe un recubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ mediante bolas 
+\begin_inset Formula $\{B(x_{1};\varepsilon),\dots,B(x_{r};\varepsilon)\}$
+\end_inset
+
+ de radio 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como cada bola 
+\begin_inset Formula $B(x_{i};\varepsilon)$
+\end_inset
+
+ ha de estar contenida en un abierto 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+, tendremos que 
+\begin_inset Formula $\{A_{1},\dots,A_{r}\}$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tem/n5.lyx b/tem/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..93b40a3
--- /dev/null
+++ b/tem/n5.lyx
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+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
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+\origin unavailable
+\textclass book
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+\language_package default
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+\font_roman "default" "default"
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+\font_typewriter "default" "default"
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+\cite_engine_type default
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+\index Index
+\shortcut idx
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+\paragraph_indentation default
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+\html_math_output 0
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+separación por abiertos
+\series default
+ o 
+\series bold
+partición por abiertos
+\series default
+ de un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es un par 
+\begin_inset Formula $\{A,B\}$
+\end_inset
+
+ de subconjuntos abiertos no vacíos con 
+\begin_inset Formula $A\dot{\cup}B=X$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+conexo
+\series default
+ si no admite ninguna separación por abiertos, y de lo contrario es 
+\series bold
+disconexo
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ Equivalentemente, 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si no existe ningún par de cerrados 
+\begin_inset Formula $\{C,D\}$
+\end_inset
+
+ no vacíos con 
+\begin_inset Formula $C\dot{\cup}D=X$
+\end_inset
+
+, si y sólo si los únicos subconjuntos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ abiertos y cerrados al mismo tiempo son el total y el vacío.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si toda aplicación continua 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\{0,1\},{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ es constante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ conexo y supongamos que existe 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\{0,1\},{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ continua no constante.
+ Entonces existen 
+\begin_inset Formula $p,q\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(p)=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(q)=1$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $\{0\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{1\}$
+\end_inset
+
+ son abiertos, 
+\begin_inset Formula $A=f^{-1}(\{0\})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B=f^{-1}(\{1\})$
+\end_inset
+
+ forman una separación por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ disconexo y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ abiertos no vacíos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A\dot{\cup}B=X$
+\end_inset
+
+.
+ Si definimos 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\{0,1\},{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(p)=0$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $p\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(p)=1$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $p\in B$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua porque la imagen inversa de todo abierto es abierto, pero no
+ es constante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si toda aplicación continua cumple que 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,c\in(f(x),f(y));\exists z\in X:f(z)=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Supongamos que existe 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ tal que existen 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)<c<f(y)$
+\end_inset
+
+ pero 
+\begin_inset Formula $c\notin f(X)$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(-\infty,c)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(c,+\infty)$
+\end_inset
+
+ forman una separación por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ (ningún 
+\begin_inset Formula $x\in X$
+\end_inset
+
+ va a parar a 
+\begin_inset Formula $(-\infty,c)$
+\end_inset
+
+ y a 
+\begin_inset Formula $(c,+\infty)$
+\end_inset
+
+ a la vez).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ disconexo, entonces existe 
+\begin_inset Formula $g:(X,{\cal T})\rightarrow(\{0,1\},{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ no constante.
+ Si componemos esto con la inclusión 
+\begin_inset Formula $\{0,1\}\looparrowright\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, obtenemos 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(y)=1$
+\end_inset
+
+, y si tomamos 
+\begin_inset Formula $c=\frac{1}{2}$
+\end_inset
+
+ entre 
+\begin_inset Formula $f(x)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(y)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $c\notin f(X)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo y 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua entonces 
+\begin_inset Formula $(f(X),{\cal T}'|_{f(X)})$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ abierto y cerrado en 
+\begin_inset Formula $(f(X),{\cal T}'|_{f(X)})$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(B)$
+\end_inset
+
+ es abierto y cerrado en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, por lo que es el total o el vacío y por tanto 
+\begin_inset Formula $B=f(X)$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $B=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ son homeomorfos y uno es conexo, el otro también, y si 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo, la gráfica 
+\begin_inset Formula $\{(x,f(x))\}_{x\in X}$
+\end_inset
+
+ es conexa, pues es homeomorfa a 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subespacios conexos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Bolzano
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $f(a)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(b)$
+\end_inset
+
+ son de signos opuestos, existe 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)=0$
+\end_inset
+
+.
+ El 
+\series bold
+teorema de los valores intermedios
+\series default
+ o 
+\series bold
+primer teorema de Weierstrass
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $f(a)\leq c\leq f(b)$
+\end_inset
+
+ entonces existe 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ no vacío es un 
+\series bold
+intervalo
+\series default
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in S,z\in\mathbb{R};(x<z<y\implies z\in S)$
+\end_inset
+
+.
+ Un subespacio de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si es un intervalo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ no es un intervalo, existen 
+\begin_inset Formula $x,y\in S$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}\backslash S$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x<z<y$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $S\cap(-\infty,z)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S\cap(z,+\infty)$
+\end_inset
+
+ es una separación por abiertos no vacíos de 
+\begin_inset Formula $(S,{\cal T}_{u}|_{S})$
+\end_inset
+
+ y por tanto es disconexo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ un intervalo y supongamos que no es conexo.
+ Entonces existe 
+\begin_inset Formula $f:(S,{\cal T}_{u}|_{S})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ tal que existen 
+\begin_inset Formula $x,y\in S$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(x)\neq f(y)$
+\end_inset
+
+ y existe 
+\begin_inset Formula $c\in(f(x),f(y))$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $c\notin f(S)$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces existe 
+\begin_inset Formula $f:([x,y],{\cal T}_{u}|_{[x,y]})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ que no cumple el teorema de los valores intermedios.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo y 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es continua entonces 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ es un intervalo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Propiedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ es un subespacio conexo de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ entonces todo 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $H\subseteq S\subseteq\overline{H}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos que existen abiertos no vacíos 
+\begin_inset Formula $A'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B'$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(S,{\cal T}_{S})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A'\dot{\cup}B'=S$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces existen 
+\begin_inset Formula $A,B\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ no vacíos con 
+\begin_inset Formula $A'=A\cap S$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B'=B\cap S$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $(A\cap H)\cap(B\cap H)=(A'\cap H)\cap(B'\cap H)=A'\cap B'\cap H=\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(A\cap H)\cup(B\cap H)=(A'\cap H)\cup(B'\cap H)=(A'\cup B')\cap H=S\cap H=H$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $(H,{\cal T}|_{H})$
+\end_inset
+
+ es conexo, debe ser 
+\begin_inset Formula $A\cap H=\emptyset$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $B\cap H=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Si por ejemplo 
+\begin_inset Formula $A\cap H=\emptyset$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $A'\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $p\in A'=A\cap S\subseteq A\cap\overline{H}$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un entorno de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ que no corta a 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ por lo que 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ no puede estar en 
+\begin_inset Formula $\overline{H}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que la clausura de un subespacio conexo es conexa.
+ Veamos ahora el 
+\series bold
+criterio del peine
+\series default
+, que afirma que dado un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{H_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de subespacios conexos para la que existe 
+\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $H_{i}\cap H_{i_{0}}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{i\in I}H_{i}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Primero vemos que dado 
+\begin_inset Formula $C\subseteq X$
+\end_inset
+
+ conexo y 
+\begin_inset Formula $\{A,B\}$
+\end_inset
+
+ una separación de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ por abiertos entonces 
+\begin_inset Formula $C\subseteq A$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $C\subseteq B$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, si no fuera así se tendría 
+\begin_inset Formula $C\cap A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C\cap B\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $C=(C\cap A)\cup(C\cap B)$
+\end_inset
+
+ siendo 
+\begin_inset Formula $C\cap A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C\cap B$
+\end_inset
+
+ abiertos en 
+\begin_inset Formula $(C,{\cal T}_{C})$
+\end_inset
+
+ no vacíos con 
+\begin_inset Formula $(C\cap A)\cap(C\cap B)=C\cap(A\cap B)=\emptyset$
+\end_inset
+
+, contradiciendo que 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ sea conexo.
+ Ahora bien, si 
+\begin_inset Formula $\{A,B\}$
+\end_inset
+
+ es una separación por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(H,{\cal T}_{H})$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $H_{i}\subseteq B$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $H_{i}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos 
+\begin_inset Formula $H_{i_{0}}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ Como para cualquier 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $H_{i}\cap H_{i_{0}}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset$
+\end_inset
+
+ no puede ser 
+\begin_inset Formula $H_{i}\subseteq B$
+\end_inset
+
+, luego cada 
+\begin_inset Formula $H_{i}\subseteq A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H=\bigcup_{i\in I}H_{i}\subseteq A$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $B=\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En particular, si 
+\begin_inset Formula $\{H_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es una familia de subespacios conexos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}H_{i}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{i\in I}H_{i}$
+\end_inset
+
+ es conexo, y si 
+\begin_inset Formula $H_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H_{2}$
+\end_inset
+
+ son conexos con 
+\begin_inset Formula $H_{1}\cap H_{2}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $H_{1}\cup H_{2}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El espacio producto 
+\begin_inset Formula $(X_{1}\times X_{2},{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $(X_{1},{\cal T}_{1})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(X_{2},{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+ son conexos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Se deriva de que las proyecciones son continuas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $X_{1},X_{2}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ (de lo contrario 
+\begin_inset Formula $X_{1}\times X_{2}=\emptyset$
+\end_inset
+
+ y la propiedad es cierta), dado 
+\begin_inset Formula $p_{2}\in X_{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X_{1}\times\{p_{2}\}$
+\end_inset
+
+ es homeomorfo a 
+\begin_inset Formula $(X_{1},{\cal T}_{1})$
+\end_inset
+
+ y por tanto conexo, y lo mismo ocurre con 
+\begin_inset Formula $\{p_{1}\}\times X_{2}$
+\end_inset
+
+ dado 
+\begin_inset Formula $p_{1}\in X_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ La unión de espacios conexos 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{p_{1}\in X_{1}}\{p_{1}\}\times X_{2}\cup\bigcup_{p_{2}\in X_{2}}X_{1}\times\{p_{2}\}$
+\end_inset
+
+ da 
+\begin_inset Formula $(X_{1}\times X_{2},{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+, y basta aplicar el criterio del peine.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conexión por arcos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $p,q\in X$
+\end_inset
+
+, un 
+\series bold
+arco
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es una aplicación continua 
+\begin_inset Formula $\sigma:([0,1],{\cal T}_{u})\rightarrow(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\sigma(0)=p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sigma(1)=q$
+\end_inset
+
+.
+ Un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+conexo por arcos
+\series default
+ o 
+\series bold
+por caminos
+\series default
+ si cualquier par de puntos pueden ser conectados por un arco.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un subconjunto 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+convexo
+\series default
+ si para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $x,y\in S$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+segmento
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $L_{xy}:=\{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}$
+\end_inset
+
+ es un subconjunto de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ Todo subconjunto convexo de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es conexo por arcos.
+ Por tanto las bolas en 
+\begin_inset Formula $d_{T}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d_{E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+, tanto abiertas como cerradas, y los rectángulos, son conexos por arcos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio topológico conexo por arcos es conexo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos que existe una separación 
+\begin_inset Formula $\{A,B\}$
+\end_inset
+
+ por abiertos no vacíos del espacio 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ conexo por arcos.
+ Entonces podemos tomar 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ un arco de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ hasta 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $\sigma([0,1])$
+\end_inset
+
+ es conexo, debe estar contenido en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ o en 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El recíproco no se cumple, pues 
+\begin_inset Formula $([0,1]\times\{0\})\cup(\{\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\times[0,1])\cup\{(0,1)\}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{2},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es conexo pero no conexo por arcos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $\sigma_{1},\sigma_{2}:[0,1]\rightarrow X$
+\end_inset
+
+ dos arcos en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ que unen, respectivamente, 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+unión
+\series default
+, 
+\series bold
+producto
+\series default
+ o 
+\series bold
+composición de arcos
+\series default
+, escrito 
+\begin_inset Formula $\sigma_{1}\ast\sigma_{2}$
+\end_inset
+
+, a la aplicación 
+\begin_inset Formula $\tau:[0,1]\rightarrow X$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\tau(t)=\begin{cases}
+\sigma_{1}(2t) & \text{si }t\in[0,\frac{1}{2}]\\
+\sigma_{2}(2t-1) & \text{si }t\in[\frac{1}{2},1]
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+que es un arco que une 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que un subconjunto 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+estrellado
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $p\in S$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x\in S,L_{px}\subseteq S$
+\end_inset
+
+.
+ Un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo por arcos si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ tal que cualquier 
+\begin_inset Formula $q\in X$
+\end_inset
+
+ se pueda unir con 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ por un arco en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, y en particular los subconjuntos estrellados son conexos por arcos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo subconjunto abierto y conexo de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es conexo por arcos.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ un abierto conexo de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ el subconjunto de los puntos de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ que se pueden unir con 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $y\in A$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es abierto, existe 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B(y;r)\subseteq U$
+\end_inset
+
+ y si 
+\begin_inset Formula $z\in B(y;r)$
+\end_inset
+
+, la unión del arco que une 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ y el radio que une 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ es un arco que une 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $B(y;r)\subseteq A$
+\end_inset
+
+ y, como 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es arbitrario, 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es abierto.
+ Ahora bien, sea 
+\begin_inset Formula $y\in U\backslash A$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B(y;r)\subseteq U$
+\end_inset
+
+.
+ Pero si existiera 
+\begin_inset Formula $z\in B(y;r)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z\in A$
+\end_inset
+
+, la unión del arco que une 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ y el radio que une 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es un arco que une 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $y\in A\#$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $B(y;r)\subseteq U\backslash A$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es arbitrario, 
+\begin_inset Formula $U\backslash A$
+\end_inset
+
+ es abierto y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ Como 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es abierto y cerrado en un espacio conexo y 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ porque 
+\begin_inset Formula $p\in A$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A=U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es conexo por arcos.
+\end_layout
+
+\end_body
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+\end_index
+\leftmargin 0.2cm
+\topmargin 0.7cm
+\rightmargin 0.2cm
+\bottommargin 0.7cm
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
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+\is_math_indent 0
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+\dynamic_quotes 0
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+\html_math_output 0
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Tecnología de la programación
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2018}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Tecnología de la Programación, Título de Grado en Ingeniería Informática,
+ Departamento de Ingeniería de la Información y las Comunicaciones, Universidad
+ de Murcia (Curso 2017–18).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Wikipedia, la Enciclopedia Libre (
+\begin_inset Flex URL
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+https://es.wikipedia.org/
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter*
+El lenguaje C
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n0.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Abstracción de datos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Estructuras de datos enlazadas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Contenedores fundamentales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Recursión
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n4.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Estructuras arborescentes
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tp/n0.lyx b/tp/n0.lyx
new file mode 100644
index 0000000..ba19958
--- /dev/null
+++ b/tp/n0.lyx
@@ -0,0 +1,3289 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
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+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
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+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
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+\use_package amsmath 1
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+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
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+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
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+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+C
+\series default
+ es un lenguaje de programación creado en 1972 por Dennis M.
+ Ritchie orientado a implementar el sistema operativo Unix.
+ El primer estándar de C fue creado por ANSI en 1989 (
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+C89
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+), y al año siguiente fue ratificado como estándar ISO.
+ A mediados de los 80 se crea el C++, una extensión de C orientada a objetos,
+ que se convierte a estándar ISO en 1998.
+ El último estándar de C fue creado en 1999 (
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+C99
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+), pues los nuevos cambios son incorporados en C++ y no en C.
+ Usaremos el estándar C99 con extensiones de GNU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+C es un lenguaje de 
+\series bold
+medio nivel
+\series default
+, pues proporciona cierta abstracción de lenguajes de alto nivel pero con
+ la eficiencia del lenguaje máquina.
+ Es 
+\series bold
+débilmente tipado
+\series default
+, pues permite conversiones implícitas entre tipos.
+ No permite encapsulado (aunque se puede simular), y permite la programación
+ estructurada.
+ Tiene como ventajas el ser muy transportable, flexible y expresivo, además
+ de generar código eficiente, si bien es poco modular, realiza pocas comprobacio
+nes y es más difícil escribir y leer código en comparación con otros lenguajes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La compilación de un programa en C la realizan los siguientes programas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Preprocesador:
+\series default
+ Elimina los comentarios del código (.c), incluye código de otros archivos
+ (.h), sustituye las macros y permite la inclusión de código de forma condicional.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Compilador:
+\series default
+ Analiza el código resultante y lo convierte a lenguaje ensamblador (.s).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Ensamblador:
+\series default
+ Convierte el código ensamblador en código máquina dentro de un fichero
+ objeto (.o).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Enlazador:
+\series default
+ Crea el ejecutable final a partir de ficheros objeto y las bibliotecas
+ de código.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los 
+\series bold
+comentarios
+\series default
+ se usan para explicar alguna parte del código del programa, y no afectan
+ a su significado.
+ Se usan como 
+\family typewriter
+/* 
+\emph on
+comentario
+\emph default
+ */
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+// 
+\emph on
+comentario de una línea (sólo C99)
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Manipulación básica de datos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tipos básicos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Enteros:
+\series default
+ Se escriben como (expresión regular) 
+\family typewriter
+-?[1-9][0-9]*
+\family default
+ (base decimal), 
+\family typewriter
+0[0-7]*
+\family default
+ (octal) o 
+\family typewriter
+0x[0-9a-fA-F]
+\family default
+ (hexadecimal).
+ Se declaran con 
+\family typewriter
+int
+\family default
+, que puede ir precedido por 
+\family typewriter
+long
+\family default
+, 
+\family typewriter
+long long
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+short
+\family default
+ para establecer el tamaño en bits, que normalmente es, respectivamente,
+ de 32, 64 o 16 bits, y si no se especifica es de 32 bits.
+ Precediendo a esto puede ir 
+\family typewriter
+signed
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+unsigned
+\family default
+ para indicar si el entero tiene signo o no (por defecto en general tiene).
+ De hecho, si se indica cualquiera de los sufijos se puede omitir el 
+\family typewriter
+int
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\series bold
+Reales en coma flotante:
+\series default
+ Se escriben como 
+\family typewriter
+-?[0-9]*
+\backslash
+.[0-9]+([eE]-?[0-9][1-9]*)?
+\family default
+.
+ Se declaran con 
+\family typewriter
+float
+\family default
+, 
+\family typewriter
+double
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+long double
+\family default
+, que en general se corresponden con un tamaño de 32, 64 y 128 bits, respectivam
+ente.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Caracteres:
+\series default
+ Se escriben entre comillas simples como 
+\family typewriter
+'
+\emph on
+c
+\emph default
+'
+\family default
+, si bien algunos requieren secuencias de escape como 
+\family typewriter
+'
+\backslash
+''
+\family default
+ (comilla simple), 
+\family typewriter
+'
+\backslash
+n'
+\family default
+ (salto de línea), 
+\family typewriter
+'
+\backslash
+t'
+\family default
+ (tabulador), etc.
+ También pueden funcionar como enteros (por lo general de 8 bits).
+ Se declaran con 
+\family typewriter
+char
+\family default
+, que puede ir precedido de 
+\family typewriter
+signed
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+unsigned
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cadenas de caracteres:
+\series default
+ Se escriben entre comillas dobles, con secuencias de escape como las de
+ los caracteres sueltos (para las comillas dobles se usa 
+\family typewriter
+
+\backslash
+"
+\family default
+).
+ Realmente son listas de caracteres, que terminan con el caracter nulo (
+\family typewriter
+'
+\backslash
+0'
+\family default
+, que se corresponde con el entero 0).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Los 
+\series bold
+identificadores
+\series default
+ nombran variables, funciones, tipos de datos definidos por el programador
+ o macros del preprocesador.
+ Su formato es 
+\family typewriter
+[a-zA-Z_][a-zA-Z0-9_]*
+\family default
+, distinguen mayúsculas de minúsculas y no pueden ser 
+\series bold
+palabras reservadas
+\series default
+ por el compilador, que en C89 son: 
+\family typewriter
+auto break case char const continue default do double else enum extern float
+ for goto if int long register return short signed sizeof static struct
+ switch typedef union unsigned void volatile while
+\family default
+.
+ C99 añade además las palabras reservadas: 
+\family typewriter
+inline _Bool _Complex _Imaginary
+\family default
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las variables se definen con la sintaxis 
+\family typewriter
+\emph on
+tipo identificador
+\emph default
+;
+\family default
+.
+ Si antes del tipo se usa la palabra 
+\family typewriter
+const
+\family default
+, la variable es de sólo lectura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+expresión
+\series default
+ consiste en al menos un operando y cero o más operadores, donde los operandos
+ pueden ser literales (valores escritos tal cual), variables o llamadas
+ a funciones que devuelven un valor.
+ Los operadores son (si no se dice nada son binarios):
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Paréntesis: 
+\family typewriter
+(
+\emph on
+...
+\emph default
+)
+\family default
+ para agrupar una expresión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Operadores aritméticos: Suma (
+\family typewriter
++
+\family default
+), resta (
+\family typewriter
+-
+\family default
+), producto (
+\family typewriter
+*
+\family default
+), división (
+\family typewriter
+/
+\family default
+), resto (
+\family typewriter
+%
+\family default
+).
+ C no detecta desbordamientos, por lo que si el resultado está fuera del
+ rango, el valor es erróneo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Operadores relacionales: Igual (
+\family typewriter
+==
+\family default
+), distinto (
+\family typewriter
+!=
+\family default
+), mayor (
+\family typewriter
+>
+\family default
+), menor (
+\family typewriter
+<
+\family default
+), mayor o igual (
+\family typewriter
+>=
+\family default
+), menor o igual (
+\family typewriter
+<=
+\family default
+).
+ Devuelven 1 si la expresión es verdadera y 0 si es falsa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Operadores lógicos: Conjunción (
+\family typewriter
+&&
+\family default
+), disyunción (
+\family typewriter
+||
+\family default
+), negación (unario, 
+\family typewriter
+!
+\family default
+).
+ Interpretan el 0 como falso y cualquier otro valor como cierto, y devuelven
+ 1 si la expresión es cierta y 0 si es falsa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Asignación (
+\family typewriter
+\emph on
+dest
+\family default
+=
+\family typewriter
+expr
+\family default
+\emph default
+).
+ También se puede usar, por ejemplo, 
+\family typewriter
+\emph on
+a
+\emph default
+*=
+\emph on
+b
+\family default
+\emph default
+, como abreviatura de 
+\family typewriter
+\emph on
+a
+\emph default
+=
+\emph on
+a
+\emph default
+*
+\emph on
+b
+\family default
+\emph default
+.
+ Además, 
+\family typewriter
+\emph on
+x
+\emph default
+++
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+++
+\emph on
+x
+\family default
+\emph default
+ y ambas añaden 1 a la variable 
+\family typewriter
+\emph on
+x
+\family default
+\emph default
+, pero 
+\family typewriter
+\emph on
+x
+\emph default
+++
+\family default
+ devuelve el valor antes de modificarlo (postincremento) mientras que 
+\family typewriter
+++
+\emph on
+x
+\family default
+\emph default
+ lo devuelve después (preincremento).
+ Lo mismo sucede con 
+\family typewriter
+\emph on
+x
+\emph default
+--
+\family default
+ (postdecremento, resta 1) y 
+\family typewriter
+--
+\emph on
+x
+\family default
+\emph default
+ (predecremento).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Obtención del tamaño de un tipo: 
+\family typewriter
+sizeof(
+\emph on
+tipo
+\emph default
+)
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+sizeof 
+\emph on
+expr
+\family default
+\emph default
+ devuelve el tamaño (en bytes) de un tipo de dato o resultado de una expresión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En C, la asociatividad (en general) es de izquierda a derecha, y la precedencia
+ es, de mayor a menor, la siguiente:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+()
+\family default
+, 
+\family typewriter
+[]
+\family default
+, 
+\family typewriter
+->
+\family default
+, 
+\family typewriter
+.
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Unarios 
+\family typewriter
+!
+\family default
+, 
+\family typewriter
+~
+\family default
+, 
+\family typewriter
++
+\family default
+, 
+\family typewriter
+-
+\family default
+, 
+\family typewriter
+++
+\family default
+, 
+\family typewriter
+--
+\family default
+, 
+\family typewriter
+&
+\family default
+, 
+\family typewriter
+*
+\family default
+, 
+\family typewriter
+sizeof()
+\family default
+, 
+\family typewriter
+(
+\emph on
+tipo
+\emph default
+)
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+*
+\family default
+ (binario), 
+\family typewriter
+/
+\family default
+, 
+\family typewriter
+%
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
++
+\family default
+, 
+\family typewriter
+-
+\family default
+ (binarios).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+<<
+\family default
+, 
+\family typewriter
+>>
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+<
+\family default
+, 
+\family typewriter
+<=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+>
+\family default
+, 
+\family typewriter
+>=
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+==
+\family default
+, 
+\family typewriter
+!=
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+&
+\family default
+ (binario).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+^
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+|
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+&&
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+||
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+?:
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+*=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+/=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+%=
+\family default
+, 
+\family typewriter
++=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+-=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+&=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+^=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+|=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+<<=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+>>=
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+,
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si el resultado de una operación con enteros no es entero, se redondea a
+ la baja.
+ En la evaluación de una expresión pueden producirse conversiones de tipo,
+ lo que se llama 
+\series bold
+promoción
+\series default
+ si es hacia un tipo de mayor rango o 
+\series bold
+degradación
+\series default
+ si es a uno de menor rango, y pueden ser 
+\series bold
+implícitas
+\series default
+ si las hace automáticamente el compilador o 
+\series bold
+explícitas
+\series default
+ (
+\emph on
+casting
+\emph default
+) si las indica el programador mediante la sintaxis 
+\family typewriter
+(
+\emph on
+tipo
+\emph default
+)
+\emph on
+expr
+\family default
+\emph default
+.
+ Para la conversión implícita:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+char
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+short
+\family default
+ se convierten a 
+\family typewriter
+int
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+unsigned char
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+unsigned short
+\family default
+ se convierten a 
+\family typewriter
+unsigned
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Los operandos de menor rango se promueven al de mayor rango.
+ Los tipos son, de menor a mayor rango, 
+\family typewriter
+int
+\family default
+, 
+\family typewriter
+unsigned
+\family default
+, 
+\family typewriter
+long
+\family default
+, 
+\family typewriter
+unsigned long
+\family default
+, 
+\family typewriter
+float
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+double
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El resultado se degrada al asignarlo si es necesario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tipos de datos compuestos
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Enumerados
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+El tipo se define con 
+\family typewriter
+enum 
+\emph on
+nombre
+\emph default
+ { 
+\emph on
+id1
+\emph default
+, 
+\emph on
+id2
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+
+\emph default
+ } 
+\emph on
+var1
+\emph default
+, 
+\emph on
+var2
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\emph default
+;
+\family default
+, donde no es necesario definir las variables 
+\family typewriter
+\emph on
+var1
+\emph default
+, 
+\emph on
+var2
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+
+\family default
+\emph default
+ en la definición, sino que podemos definirlas después con el tipo 
+\family typewriter
+enum 
+\emph on
+nombre
+\family default
+\emph default
+.
+ Una variable de este tipo puede tomar como valor cualquiera entre 
+\family typewriter
+\emph on
+id1
+\emph default
+, 
+\emph on
+id2
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\family default
+\emph default
+, que asignamos como 
+\family typewriter
+\emph on
+var
+\emph default
+ = 
+\emph on
+id
+\family default
+\emph default
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Estructuras
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las estructuras están formadas por una serie de campos de varios tipos,
+ y se definen como 
+\family typewriter
+struct 
+\emph on
+nombre
+\emph default
+ { 
+\emph on
+tipo1 campo1
+\emph default
+; 
+\emph on
+tipo2 campo2
+\emph default
+; 
+\emph on
+...
+
+\emph default
+ } 
+\emph on
+var1
+\emph default
+, 
+\emph on
+var2
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\emph default
+;
+\family default
+, igual que con los enumerados.
+ El tipo es 
+\family typewriter
+struct 
+\emph on
+nombre
+\family default
+\emph default
+, accedemos a los campos con la sintaxis 
+\family typewriter
+\emph on
+variable
+\emph default
+.
+\emph on
+campo
+\family default
+\emph default
+ y las inicializamos como 
+\family typewriter
+struct 
+\emph on
+nombre var
+\emph default
+ = {
+\emph on
+valor_campo1
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\emph default
+}
+\family default
+.
+ Podemos asignar una variable de un tipo 
+\family typewriter
+struct
+\family default
+ a otra del mismo, pero no a otra de un tipo 
+\family typewriter
+struct
+\family default
+ de distinto nombre.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Uniones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Similares a las estructuras, pero todos los campos se almacenan en el mismo
+ espacio, con lo que no debemos acceder a uno distinto al que fue asignado.
+ Se declaran con 
+\family typewriter
+union 
+\emph on
+nombre
+\emph default
+ { 
+\emph on
+tipo1 campo1
+\emph default
+; 
+\emph on
+...
+\emph default
+} 
+\emph on
+var1
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\emph default
+;
+\family default
+.
+ El tipo es 
+\family typewriter
+union 
+\emph on
+nombre
+\family default
+\emph default
+, y se inicializan con 
+\family typewriter
+union 
+\emph on
+nombre var
+\emph default
+ = {.
+\emph on
+campo
+\emph default
+ = 
+\emph on
+valor
+\emph default
+}
+\family default
+ o con 
+\family typewriter
+union 
+\emph on
+nombre var
+\emph default
+ = {
+\emph on
+campo
+\emph default
+: 
+\emph on
+valor
+\emph default
+}
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Tablas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las tablas o 
+\emph on
+arrays
+\emph default
+ son estructuras que permiten almacenar elementos del mismo tipo consecutivament
+e.
+ Se definen con 
+\family typewriter
+\emph on
+tipo nombre
+\emph default
+[
+\emph on
+n1
+\emph default
+][
+\emph on
+...
+\emph default
+][
+\emph on
+nt
+\emph default
+]
+\family default
+, donde los índices son enteros no negativos constantes que indican el tamaño,
+ y se accede a los elementos con 
+\family typewriter
+\emph on
+nombre
+\emph default
+[
+\emph on
+j1
+\emph default
+][
+\emph on
+...
+\emph default
+][
+\emph on
+jt
+\emph default
+]
+\family default
+, donde 
+\begin_inset Formula $0\leq j_{i}\leq n_{i}-1$
+\end_inset
+
+.
+ Las tablas unidimensionales se pueden inicializar como 
+\family typewriter
+{
+\emph on
+val0
+\emph default
+, 
+\emph on
+val1
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\emph default
+, 
+\emph on
+valN-1
+\emph default
+}
+\family default
+, y de hecho podemos definirlas como 
+\family typewriter
+\emph on
+nombre
+\emph default
+[]
+\family default
+ si la inicializamos en la misma definición de esta forma.
+ También, en esta sintaxis, se pueden inicializar dentro de las llaves elementos
+ sueltos con 
+\family typewriter
+[
+\emph on
+i
+\emph default
+] 
+\emph on
+valor
+\family default
+\emph default
+ o 
+\family typewriter
+[
+\emph on
+i
+\emph default
+] = 
+\emph on
+valor
+\family default
+\emph default
+ y rangos con 
+\family typewriter
+[
+\emph on
+i0
+\emph default
+ ...
+ 
+\emph on
+if
+\emph default
+] = 
+\emph on
+valor
+\family default
+\emph default
+.
+ No podemos asignar una tabla a otra directamente, sino que para ello hemos
+ de copiar sus elementos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Renombrado de tipos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Permiten dar un nuevo nombre a un tipo mediante
+\family typewriter
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+typedef 
+\emph on
+nombre_tipo nuevo_nombre
+\emph default
+;
+\family default
+, y este nuevo nombre de tipo se usa sin ningún prefijo (seguimos pudiendo
+ usar el nombre antiguo).
+ Al definir un enumerado, estructura o unión no es necesario decir su nombre
+ (se dice que es un tipo 
+\series bold
+anónimo
+\series default
+), y de hecho tampoco hace falta definirlo antes de usarlo (se dice que
+ es un tipo 
+\series bold
+incompleto
+\series default
+) salvo si fuera necesario conocer su estructura o tamaño, de modo que con
+ frecuencia el renombrado de tipos ocurre con tipos anónimos (con la definición
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+dentro
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ del 
+\family typewriter
+typedef
+\family default
+) o incompletos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Ámbito y extensión
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+ámbito
+\series default
+ de un identificador es el contexto del programa en que este puede ser utilizado
+, mientras que la 
+\series bold
+duración
+\series default
+ de una variable es el tiempo desde que empieza a existir hasta que deja
+ de existir, liberándose el espacio que ocupaba.
+ Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Una 
+\series bold
+variable global
+\series default
+ o 
+\series bold
+estática
+\series default
+ (definida fuera de cualquier bloque) tiene como ámbito desde que se declara
+ hasta el final del módulo.
+ La declaración puede ser una definición o una declaración de su existencia
+ en otro módulo, que es como su definición pero con el prefijo 
+\family typewriter
+extern
+\family default
+.
+ Sin embargo, si la variable fue definida en su módulo con el prefijo 
+\family typewriter
+static
+\family default
+, no se puede usar en otros módulos.
+ Se almacena en el 
+\series bold
+segmento de datos
+\series default
+ del programa, por lo que su extensión es la del proceso en que se ejecuta
+ el programa.
+ Por defecto se inicializan a 0.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Una 
+\series bold
+variable local
+\series default
+ o 
+\series bold
+automática
+\series default
+ (declarada dentro de un bloque o función) tiene como ámbito desde que se
+ declara hasta el final del bloque en que se ha declarado, y oculta a cualquier
+ otra variable del mismo nombre global o definida en un bloque superior.
+ Un parámetro a función actúa como variable local a esta.
+ Se almacena en el 
+\series bold
+segmento de pila
+\series default
+ o en los registros de la CPU, por lo que su extensión es desde que se declara
+ hasta el final del bloque, salvo si se define con el prefijo 
+\family typewriter
+static
+\family default
+, cuyo efecto en una variable local es guardar el valor de la variable en
+ el segmento de datos, conservando su valor entre llamadas a la función
+ o ejecuciones del bloque.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Una 
+\series bold
+variable dinámica
+\series default
+ es accesible mediante apuntadores, y se construye y destruye en tiempo
+ de ejecución.
+ Su ámbito es el de la variable que la apunta (puede haber varias).
+ Se almacena en el 
+\series bold
+segmento montón
+\series default
+ (
+\emph on
+heap
+\emph default
+), y como se construyen y destruyen explícitamente mediante llamadas a funciones
+ de la biblioteca estándar, su extensión viene dada por estas llamadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por su parte, el ámbito de un tipo es similar al de una variable, y el de
+ una función es siempre global.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Apuntadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Son variables que almacenan una dirección de memoria.
+ Se usan para paso de parámetros por referencia, implementación de ciertas
+ estructuras, tratamiento de tablas (y por tanto cadenas de caracteres)
+ y gestión de la memoria dinámica.
+ Un apuntador a una variable de un cierto tipo se indica con 
+\family typewriter
+\emph on
+tipo
+\emph default
+ *
+\emph on
+ptr
+\emph default
+;
+\family default
+.
+ También se puede definir con 
+\family typewriter
+void *
+\emph on
+ptr
+\emph default
+;
+\family default
+ si no se quiere indicar el tipo al que apunta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para acceder al valor al que apunta se usa el 
+\series bold
+operador de desreferencia
+\series default
+ o 
+\series bold
+indirección
+\series default
+ 
+\family typewriter
+*
+\emph on
+ptr
+\family default
+\emph default
+, y para obtener la dirección de memoria de una variable se usa el 
+\series bold
+operador de referencia
+\series default
+ 
+\family typewriter
+&
+\emph on
+var
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El apuntador nulo es aquel con valor 0, y la biblioteca estándar 
+\family typewriter
+stdio.h
+\family default
+ define la macro 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+ como 0 para referirse a este.
+ No apunta a una variable válida, y se usa para inicializar apuntadores
+ o como marca de fin o de error.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos sumar y restar enteros a apuntadores mediante 
+\family typewriter
++
+\family default
+, 
+\family typewriter
+-
+\family default
+, 
+\family typewriter
+++
+\family default
+, 
+\family typewriter
+--
+\family default
+, 
+\family typewriter
++=
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+-=
+\family default
+, en cuyo caso el resultado es una dirección de memoria igual a la inicial
+ más (o menos) el entero multiplicado por el tamaño del tipo de dato al
+ que apunta si este se ha especificado, o por 1 si el tipo es 
+\family typewriter
+void*
+\family default
+.
+ Además, podemos comparar apuntadores con 
+\family typewriter
+==
+\family default
+, 
+\family typewriter
+<=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+>=
+\family default
+, 
+\family typewriter
+<
+\family default
+, 
+\family typewriter
+>
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+!=
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una tabla es una constante cuyo valor es la dirección del primer elemento,
+ con lo que, en una tabla unidimensional, 
+\family typewriter
+\emph on
+v
+\emph default
+[
+\emph on
+i
+\emph default
+]
+\family default
+ equivale a 
+\family typewriter
+*(
+\emph on
+v
+\emph default
++
+\emph on
+i
+\emph default
+)
+\family default
+.
+ Si 
+\family typewriter
+\emph on
+v
+\family default
+\emph default
+ es un array de dos dimensiones, entonces 
+\family typewriter
+v[i][j]
+\family default
+ equivale a 
+\family typewriter
+*(*(v+i)+j)
+\family default
+, y algo similar ocurre con más dimensiones.
+ No obstante, un array bidimensional no puede ser asignado a un apuntador
+ a apuntador porque lo último no asume la contigüidad de los datos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un apuntador se puede asignar a otro, si bien para un apuntador de un tipo
+ a otro (o a ninguno) el compilador da un aviso si no se realiza una conversión
+ explícita.
+ Para apuntadores a estructuras, la sintaxis 
+\family typewriter
+\emph on
+ptr
+\emph default
+->
+\emph on
+campo
+\family default
+\emph default
+ equivale a 
+\family typewriter
+(*
+\emph on
+ptr
+\emph default
+).
+\emph on
+campo
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Sentencias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+sentencia simple
+\series default
+ es una expresión (terminada en 
+\family typewriter
+;
+\family default
+), etiqueta, sentencia vacía (
+\family typewriter
+;
+\family default
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+suelto
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, no hace nada) o cualquiera de las que veremos a continuación, mientras
+ que una 
+\series bold
+sentencia compuesta
+\series default
+ o 
+\series bold
+bloque
+\series default
+ está formada por varias sentencias entre llaves.
+ Sentencias simples:
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+if
+\family default
+ 
+\family typewriter
+if (
+\emph on
+cond
+\emph default
+) 
+\emph on
+then_clause [
+\emph default
+else 
+\emph on
+else_clause]
+\family default
+\emph default
+.
+ Evalúa la expresión 
+\family typewriter
+\emph on
+cond
+\family default
+\emph default
+ y si el resultado es distinto de cero, se ejecuta 
+\family typewriter
+\emph on
+then_clause
+\family default
+\emph default
+, de lo contrario, si está presente, se ejecuta 
+\family typewriter
+\emph on
+else_clause
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+switch
+\family default
+ 
+\family typewriter
+switch (
+\emph on
+expr
+\emph default
+) { 
+\emph on
+(
+\emph default
+case 
+\emph on
+comp_expr
+\emph default
+: 
+\emph on
+clause*)+ [
+\emph default
+default: 
+\emph on
+clause*]
+\emph default
+ }
+\family default
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Compara el resultado de evaluar la expresión 
+\family typewriter
+\emph on
+expr
+\family default
+\emph default
+ con cada 
+\family typewriter
+\emph on
+comp_expr
+\family default
+\emph default
+, en orden, donde 
+\family typewriter
+\emph on
+comp_expr
+\family default
+\emph default
+ puede ser una constante o un rango de enteros consecutivos 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ en el que puede encontrarse el valor, indicado por 
+\family typewriter
+\emph on
+a
+\emph default
+ ...
+ 
+\emph on
+b
+\family default
+\emph default
+.
+ Entonces empieza a ejecutar las sentencias a partir de este caso (o a partir
+ de 
+\family typewriter
+default
+\family default
+ si está presente y la expresión no coincide con ningún caso), y hasta el
+ final del 
+\family typewriter
+switch
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+while
+\family default
+ 
+\family typewriter
+while (
+\emph on
+cond
+\emph default
+) 
+\emph on
+clause
+\family default
+\emph default
+.
+ Evalúa la expresión 
+\family typewriter
+\emph on
+cond
+\family default
+\emph default
+ y si el resultado es distinto de cero, se ejecuta 
+\family typewriter
+\emph on
+clause
+\family default
+\emph default
+ y vuelve a evaular 
+\family typewriter
+\emph on
+cond
+\family default
+\emph default
+, en bucle.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+for
+\family default
+ 
+\family typewriter
+for (
+\emph on
+init_expr
+\emph default
+; 
+\emph on
+cond
+\emph default
+; 
+\emph on
+update_expr
+\emph default
+) 
+\emph on
+clause
+\family default
+\emph default
+.
+ Equivale a 
+\family typewriter
+\emph on
+init_expr
+\emph default
+; while (
+\emph on
+cond
+\emph default
+) { 
+\emph on
+clause
+\emph default
+ 
+\emph on
+update_expr
+\emph default
+; }
+\family default
+\emph on
+.
+
+\emph default
+ Las tres expresiones entre los paréntesis se pueden omitir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+do
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+while
+\family default
+ 
+\family typewriter
+do 
+\emph on
+clause
+\emph default
+ while (
+\emph on
+cond
+\emph default
+)
+\family default
+.
+ Equivale a 
+\family typewriter
+\emph on
+clause
+\emph default
+ while (
+\emph on
+cond
+\emph default
+) 
+\emph on
+clause
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+break;
+\family default
+ Sale de un 
+\family typewriter
+while
+\family default
+, 
+\family typewriter
+do
+\family default
+, 
+\family typewriter
+for
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+switch
+\family default
+.
+ Suele usarse con 
+\family typewriter
+switch
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+continue;
+\family default
+ Termina la iteración actual de un bucle para comenzar la siguiente (incluyendo
+ evaluar 
+\family typewriter
+\emph on
+cond
+\family default
+\emph default
+, 
+\family typewriter
+\emph on
+update_expr
+\family default
+\emph default
+, etc.).
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+return
+\family default
+ 
+\family typewriter
+return 
+\emph on
+[valor]
+\emph default
+;
+\family default
+.
+ Termina la ejecución de la función y devuelve un valor, que se omite de
+ la sentencia si la función no devuelve nada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Funciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se definen con 
+\family typewriter
+\emph on
+tipo_devuelto nombre 
+\emph default
+(
+\emph on
+tipo1 param1
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\emph default
+) { 
+\emph on
+cuerpo
+\emph default
+ }
+\family default
+, donde el
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+cuerpo está formado por sentencias y definiciones de variables (y puede
+ que tipos) y debe terminar su ejecución por una sentencia 
+\family typewriter
+return
+\family default
+.
+ Para 
+\series bold
+declarar
+\series default
+ una función sin dar su definición (porque se defina más adelante o en otro
+ módulo) sustituimos 
+\family typewriter
+{ 
+\emph on
+cuerpo
+\emph default
+ }
+\family default
+ por 
+\family typewriter
+;
+\family default
+.
+ Si la función no devuelve nada, el tipo devuelto es 
+\family typewriter
+void
+\family default
+, y si no toma ningún parámetro, la lista de pa
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+rá
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+me
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+tros es 
+\family typewriter
+void
+\family default
+.
+ También se puede omitir la lista de parámetros (poniendo sólo los paréntesis),
+ pero esto indicaría que a la función se le puede pasar cualquier número
+ de parámetros de cualquier tipo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las llamadas a la función se hacen dentro de una expresión con 
+\family typewriter
+\emph on
+nombre
+\emph default
+(
+\emph on
+val1
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\emph default
+)
+\family default
+.
+ Podemos declarar una función de forma similar a como se define pero sustituyend
+o 
+\family typewriter
+{ 
+\emph on
+cuerpo
+\emph default
+ }
+\family default
+ por 
+\family typewriter
+;
+\family default
+.
+ De esta forma la función puede ser usada sin haber sido definida todavía,
+ o si pertenece a otro módulo o a una biblioteca.
+ Los procedimientos en C son funciones que no devuelven ningún valor.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los parámetros se pasan por valor, es decir, se copia el 
+\series bold
+parámetro actual
+\series default
+ (el que se indica en la llamada) al 
+\series bold
+parámetro formal
+\series default
+ (el que se indica en la lista de parámetros y que luego puede ser usado
+ en el cuerpo).
+ Por tanto una función no puede alterar el valor de las variables usadas
+ como parámetros, y esto incluye los 
+\family typewriter
+struct
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El paso de una tabla como parámetro a una función, no obstante, equivale
+ al paso de un apuntador al primer elemento de este, y si por ejemplo la
+ tabla es bidimensional, esto equivale a pasar un doble apuntador.
+ Por otro lado, si una función desea devolver una tabla, deberá construirla,
+ por ejemplo, en memoria dinámica (no puede construirla en una variable
+ local por su extensión) y devolver un apuntador.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo programa en C debe tener una función 
+\family typewriter
+main
+\family default
+, que es invocada por el sistema operativo al comienzo de la ejecución del
+ programa, y puede recibir argumentos de este.
+ Su prototipo suele ser 
+\family typewriter
+int main(int argc, char **argv)
+\family default
+, donde 
+\family typewriter
+argc
+\family default
+ es el número de argumentos (incluyendo el nombre de la aplicación), 
+\family typewriter
+argv
+\family default
+ es una tabla de longitud 
+\family typewriter
+argc
+\family default
+ de cadenas de caracteres que contiene los argumentos y el valor devuelto
+ es 0 si no ha ocurrido ningún error.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+El preprocesador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Es invocado por el compilador antes de la compilación en sí.
+ Tiene su propio lenguaje independiente del C y todas sus órdenes empiezan
+ por 
+\family typewriter
+#
+\family default
+.
+ Podemos usarlo para:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Incluir ficheros, con 
+\family typewriter
+#include <
+\emph on
+fichero
+\emph default
+>
+\family default
+ para un fichero en una lista estándar de directorios, entre los que se
+ encuentran las cabeceras de los archivos de la biblioteca estándar de C,
+ o con 
+\family typewriter
+#include "
+\emph on
+fichero
+\emph default
+"
+\family default
+, que antes busca en el directorio actual y aquellos indicados por el usuario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Definir macros, con 
+\family typewriter
+#define 
+\emph on
+nombre código_sustituido
+\family default
+\emph default
+, de forma que a partir de entonces cada aparición de 
+\family typewriter
+\emph on
+nombre
+\family default
+\emph default
+ fuera de una cadena de caracteres es sustituida.
+ También se puede usar 
+\family typewriter
+#define 
+\emph on
+nombre
+\emph default
+(
+\emph on
+par1
+\emph default
+, 
+\emph on
+par2
+\emph default
+, 
+\emph on
+...
+\emph default
+) 
+\emph on
+código_sustituido
+\family default
+\emph default
+ para definir una macro con parámetros, y entonces en el código sustituido
+ se usan dichos parámetros.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Des-definir
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ macros, con 
+\family typewriter
+#undef 
+\emph on
+nombre
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Insertar código de forma condicional.
+ Los fragmentos de código condicional empiezan por 
+\family typewriter
+#if 
+\emph on
+expr_del_preprocesador
+\family default
+\emph default
+, 
+\family typewriter
+#ifdef 
+\emph on
+macro
+\family default
+\emph default
+ o 
+\family typewriter
+#ifndef 
+\emph on
+macro
+\family default
+\emph default
+, pueden contener una directiva 
+\family typewriter
+#else
+\family default
+ en medio y terminan con 
+\family typewriter
+#endif
+\family default
+.
+ Entonces, si, respectivamente, se cumple la condición, la macro está definida
+ o la macro no está definida, se inserta el código hasta el 
+\family typewriter
+#else
+\family default
+, o hasta el 
+\family typewriter
+#endif
+\family default
+ si no hay 
+\family typewriter
+#else
+\family default
+, y de lo contrario, si existe, se inserta el código entre el 
+\family typewriter
+#else
+\family default
+ y el 
+\family typewriter
+#endif
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+La biblioteca estándar
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Entrada y salida (
+\family typewriter
+<stdio.h>
+\family default
+)
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int printf(const char *fmt, ...)
+\family default
+ imprime un texto en la salida estándar con formato indicado por 
+\family typewriter
+fmt
+\family default
+, parámetro al que le sigue un número variable de argumentos (puede ser
+ 0) que se imprimen según lo indicado por los especificadores de conversión
+ en 
+\family typewriter
+fmt
+\family default
+, que son: 
+\family typewriter
+%c
+\family default
+ para un 
+\family typewriter
+char
+\family default
+, 
+\family typewriter
+%d
+\family default
+ para un 
+\family typewriter
+int
+\family default
+, 
+\family typewriter
+%f
+\family default
+ para un 
+\family typewriter
+float
+\family default
+, 
+\family typewriter
+%lf
+\family default
+ para un 
+\family typewriter
+double
+\family default
+, 
+\family typewriter
+%s
+\family default
+ para una cadena de caracteres (
+\family typewriter
+char*
+\family default
+), etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int scanf(const char *fmt, ...)
+\family default
+ lee de la entrada estándar y usa los mismos especificadores de convesión
+ que 
+\family typewriter
+printf
+\family default
+, pero requiere que los parámetros se le pasen por referencia para poder
+ modificarlos, salvo las cadenas de caracteres, que ya son de por sí apuntadores.
+ Devuelve el número de datos de entrada asignados o 
+\family typewriter
+EOF
+\family default
+ (macro definida como -1) si ocurre un error de entrada antes de realizar
+ ninguna conversión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int puts(const char *s)
+\family default
+ imprime 
+\family typewriter
+s
+\family default
+ por la salida estándar, acabado en salto de línea, devolviendo 
+\family typewriter
+EOF
+\family default
+ si hay un error o un valor no negativo en caso contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+char *gets(char *s)
+\family default
+ lee de la entrada estándar, guardando el resultado en la cadena apuntada
+ por 
+\family typewriter
+s
+\family default
+, hasta encontrar un caracter de salto de línea, que descarta, escribiendo
+ al final un caracter nulo en 
+\family typewriter
+s
+\family default
+, que debe tener suficiente espacio para almacenar la cadena.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De forma más general, el tipo 
+\family typewriter
+FILE
+\family default
+ es un tipo opaco que representa un flujo (
+\emph on
+stream
+\emph default
+) o canal de comunicación, y que manejamos con un apuntador.
+ Por lo general contiene un identificador, un indicador de posición, un
+ apuntador a un búfer, un indicador de errores y un indicador de final de
+ fichero.
+ En C se definen como 
+\emph on
+streams
+\emph default
+ estándares la entrada estándar 
+\family typewriter
+stdin
+\family default
+, la salida estándar 
+\family typewriter
+stdout
+\family default
+ y la salida estándar de errores 
+\family typewriter
+stderr
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+FILE *fopen(const char *name, const char *mode)
+\family default
+ abre un fichero con un nombre dado y nos devuelve un manejador (apuntador
+ a 
+\family typewriter
+FILE
+\family default
+), o 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+ si no se ha podido abrir.
+ El modo puede ser:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+r
+\family default
+ Lectura, el fichero debe existir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+w
+\family default
+ Escritura, y si el fichero existe se sobrescribe.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+a
+\family default
+ Escritura, y si el fichero existe se escribe al final (el puntero para
+ escritura se sitúa al final de lo que ya hay).
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+r+
+\family default
+ Lectura y escritura, y el fichero debe existir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+w+
+\family default
+ Lectura y escritura, y si el fichero existe se sobrescribe.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+a+
+\family default
+ Lectura y escritura, con el puntero para lectura y escritura al final.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+t
+\family default
+ Fichero de texto (se especifica detrás de una de las otras opciones, pero
+ si se omite se entiende por defecto).
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+b
+\family default
+ Fichero binario (se especifica detrás de una de las primeras seis opciones).
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int fclose(FILE *f)
+\family default
+ cierra el fichero y libera el manejador asociado, junto con todo lo necesario.
+ Devuelve 0 si se ha cerrado con éxito o 
+\family typewriter
+EOF
+\family default
+ en caso contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int fprintf(FILE *f, const char *fmt, ...)
+\family default
+ es similar a 
+\family typewriter
+printf
+\family default
+, pero escribe en un flujo indicado por 
+\family typewriter
+f
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int fscanf(FILE *f, const char *fmt, ...)
+\family default
+ es similar a 
+\family typewriter
+scanf
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int fputs(char *s, FILE *f)
+\family default
+ es similar a 
+\family typewriter
+puts
+\family default
+, pero no inserta el salto de línea al final.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+char *fgets(char *s, int n, FILE *f)
+\family default
+ es similar a 
+\family typewriter
+gets
+\family default
+, pero lee de un flujo indicado por 
+\family typewriter
+f
+\family default
+ y hasta un máximo de 
+\family typewriter
+n
+\family default
+ caracteres incluyendo el caracter nulo, que siempre guarda al final.
+ Devuelve 
+\family typewriter
+s
+\family default
+ si la operación tiene éxito o 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+ si falla, en cuyo caso el contenido de 
+\family typewriter
+s
+\family default
+ queda invariable si ha encontrado un final de fichero antes de leer ningún
+ caracter, o indeterminado si ocurre un error de lectura durante el proceso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int feof(FILE *f)
+\family default
+ devuelve un valor distinto de 0 si se ha llegado al final del fichero y
+ 0 en caso contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+void rewind(FILE *f)
+\family default
+ mueve el indicador de posición de fichero al comienzo de este.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+int fseek(FILE *f, long offset, int orig)
+\family default
+ mueve el indicador de posición de fichero a una posición 
+\family typewriter
+offset
+\family default
+ respecto a un origen 
+\family typewriter
+orig
+\family default
+, que puede ser:
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+SEEK_SET
+\family default
+ El principio del fichero.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+SEEK_CUR
+\family default
+ La posición actual.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\family typewriter
+SEEK_END
+\family default
+ El final del fichero.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Subsection
+Manipulación de cadenas de caracteres (
+\family typewriter
+<string.h>
+\family default
+)
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+char *strcpy(char *dst, const char *src)
+\family default
+ copia la cadena apuntada por 
+\family typewriter
+src
+\family default
+, incluyendo el caracter nulo, a la cadena apuntada por 
+\family typewriter
+dst
+\family default
+, que debe tener espacio suficiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+char *strcat(char *dst, const char *src)
+\family default
+ copia la cadena apuntada por 
+\family typewriter
+src
+\family default
+, incluyendo el caracter nulo, al final de 
+\family typewriter
+dst
+\family default
+, con el caracter inicial de 
+\family typewriter
+src
+\family default
+ sobreescribiendo el caracter nulo de 
+\family typewriter
+dst
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+unsigned int strlen(const char *s)
+\family default
+ devuelve el número de caracteres de 
+\family typewriter
+s
+\family default
+, sin contar el caracter nulo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+int strcmp(const char *s1, const char *s2)
+\family default
+ devuelve un número mayor, igual o menor que cero según si 
+\family typewriter
+s1
+\family default
+ es mayor, igual o menor que 
+\family typewriter
+s2
+\family default
+ en orden lexicográfico.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Gestión de la memoria dinámica (
+\family typewriter
+<stdlib.h>
+\family default
+)
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+void *malloc(unsigned int bytes)
+\family default
+ asigna una zona de memoria dinámica de un tamaño dado en bytes (por lo
+ que se suele usar con 
+\family typewriter
+sizeof
+\family default
+) y devuelve un puntero a dicha zona, o 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+ si no hay espacio suficiente para ello.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{sloppypar}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+void *calloc(unsigned int bytes)
+\family default
+ actúa igual que 
+\family typewriter
+malloc
+\family default
+ pero inicializa la memoria asignada a cero.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+void *realloc(void *ptr, unsigned int bytes)
+\family default
+ cambia el tamaño de un bloque asignado inicialmente por 
+\family typewriter
+malloc
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+calloc
+\family default
+, conservando el contenido de la memoria hasta el menor de los tamaños nuevo
+ y viejo.
+ Si 
+\family typewriter
+ptr
+\family default
+ es 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+, la llamada equivale a 
+\family typewriter
+malloc(
+\emph on
+bytes
+\emph default
+)
+\family default
+, y si 
+\family typewriter
+bytes
+\family default
+ es 0, equivale a 
+\family typewriter
+free(
+\emph on
+ptr
+\emph default
+)
+\family default
+.
+ Como puede ser necesario cambiar la ubicación del contenido, liberando
+ el bloque anterior y asignando uno nuevo en otro sitio, la función devuelve
+ un puntero a la nueva ubicación del bloque.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+void free(void *ptr)
+\family default
+ libera un bloque de memoria dinámica asignado por 
+\family typewriter
+malloc
+\family default
+, 
+\family typewriter
+calloc
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+realloc
+\family default
+.
+ Es importante liberar un bloque antes de dejarlo sin un apuntador que lo
+ apunte, pues de lo contrario acumulamos 
+\series bold
+basura
+\series default
+.
+ También es importante no liberar (con 
+\family typewriter
+realloc
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+free
+\family default
+) una zona de memoria que vaya a ser utilizada posteriormente en otra parte
+ del código.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Gestión de errores
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La variable 
+\family typewriter
+extern int errno
+\family default
+, definida en 
+\family typewriter
+<errno.h>
+\family default
+, contiene el valor del último error producido, al menos por la biblioteca
+ estándar de C.
+ Esta biblioteca también define macros para los códigos de error que se
+ pueden producir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+char *strerror(int n_error)
+\family default
+, definida en 
+\family typewriter
+<string.h>
+\family default
+, devuelve el mensaje de error asociado a un valor de 
+\family typewriter
+errno
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+void perror(const char *msg)
+\family default
+, definida en 
+\family typewriter
+<stdio.h>
+\family default
+, imprime por 
+\family typewriter
+stderr
+\family default
+ el mensaje 
+\family typewriter
+msg
+\family default
+ (salvo si es 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+) y, a continuación, el mensaje de error estándar asociado al valor de 
+\family typewriter
+errno
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Programación modular
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Es un paradigma de programación consistente en dividir el programa en 
+\series bold
+módulos
+\series default
+ o 
+\series bold
+subprogramas
+\series default
+ para hacerlo más manejable.
+ Estos deben tener una tarea bien definida y normalmente requieren de otros
+ para operar.
+ La comunicación entre módulos se realiza mediante una 
+\series bold
+interfaz de comunicación
+\series default
+ bien definida.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En C, cada módulo está definido en un fichero fuente con extensión 
+\family typewriter
+.c
+\family default
+ que puede ser compilado por separado creando un fichero 
+\family typewriter
+.o
+\family default
+, y que lleva asociado un fichero cabecera con extensión 
+\family typewriter
+.h
+\family default
+, en el que ofrece una serie de funciones, tipos de datos, variables y macros.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un fichero cabecera empieza, en general, por las líneas 
+\family typewriter
+#ifndef __
+\emph on
+NOMBRE
+\emph default
+_H
+\family default
+ seguido de 
+\family typewriter
+#define __
+\emph on
+NOMBRE
+\emph default
+_H
+\family default
+, y termina por 
+\family typewriter
+#endif
+\family default
+,
+\family typewriter
+ 
+\family default
+con el fin de evitar declaraciones múltiples.
+ Dentro suele llevar lo siguiente:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Las macros que se desean exportar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Para cada tipo que se desea exportar, un renombrado de la forma 
+\family typewriter
+typedef 
+\emph on
+tipo_original
+\emph default
+ *
+\emph on
+tipo_exportado
+\family default
+\emph default
+, que define un apuntador a un tipo incompleto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La declaración de cada función que se desea exportar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los módulos que desean usar un cierto módulo deben incluir su fichero de
+ cabecera con 
+\family typewriter
+#include
+\family default
+ en el fichero fuente, o en su propio fichero de cabecera si fuera necesario.
+ Dado que un módulo no conoce el funcionamiento interno de las estructuras
+ de otro, cada módulo debe exportar funciones para la creación y liberación
+ de memoria, y para la manipulación y acceso a campos, de cada estructura
+ que defina.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tp/n1.lyx b/tp/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..4d95d9f
--- /dev/null
+++ b/tp/n1.lyx
@@ -0,0 +1,499 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+abstracción
+\series default
+ es un proceso mental consistente en simplificar un problema realzando los
+ detalles relevantes mientras se ignoran los irrelevantes.
+ En programación, consisten en enfatizar el 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+qué hace
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ sobre el 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+cómo lo hace
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, y existen tres formas fundamentales:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Abstracción de control:
+\series default
+ Establece nuevos mecanismos de control sencillos ocultando los detalles
+ de su implementación.
+ Por ejemplo, 
+\family typewriter
+while
+\family default
+ usa internamente instrucciones de salto y condicionales de más bajo nivel.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Abstracción funcional:
+\series default
+ Abstrae un conjunto de operaciones como una única operación, separando
+ el propósito de la implementación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Abstracción de datos:
+\series default
+ Permite mejorar la representación de los datos de un problema mediante
+ 
+\series bold
+tipos de datos abstractos
+\series default
+ o 
+\series bold
+TDAs
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tipos de datos abstractos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un TDA es un tipo de datos caracterizado por un conjunto de operaciones
+ o 
+\series bold
+interfaz pública
+\series default
+, que representa el comportamiento del tipo y se define mediante una 
+\series bold
+especificación
+\series default
+.
+ Cumple las propiedades de 
+\series bold
+privacidad
+\series default
+, pues los usuarios del TDA no necesitan conocer la representación de los
+ valores en memoria, y 
+\series bold
+protección
+\series default
+, pues los datos sólo pueden ser manipulados a través de las operaciones
+ previstas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los tipos primitivos de un lenguaje de programación se consideran TDAs,
+ pues cumplen estas dos propiedades.
+ El uso de TDAs tiene las siguientes ventajas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Facilidad de uso:
+\series default
+ No es necesario conocer los detalles internos, sino sólo la 
+\series bold
+documentación
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Desarrollo y mantenimiento:
+\series default
+ Cualquier cambio al TDA que siga respetando la interfaz no afecta al resto
+ del programa, y viceversa, lo que además facilita la localización de errores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Reusabilidad:
+\series default
+ El TDA puede usarse en varios programas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Fiabilidad:
+\series default
+ Es más fácil realizar pruebas sobre los módulos de forma independiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos clasificar los TDAs en 
+\series bold
+simples
+\series default
+, si usan un espacio de almacenamiento constante, o 
+\series bold
+contenedores
+\series default
+, si este espacio varía.
+ También podemos distinguir entre TDAs 
+\series bold
+mutables
+\series default
+, si cuentan con operaciones de modificación, o 
+\series bold
+inmutables
+\series default
+, si sus instancias no pueden modificarse una vez creadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Especificación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Existen dos tipos de especificaciones: 
+\series bold
+informales
+\series default
+ y 
+\series bold
+formales
+\series default
+.
+ Las informales usan lenguaje natural.
+ No son breves, pero son sencillas de entender.
+ Contienen dos partes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Definición:
+\series default
+ Se define el nuevo TDA junto con los términos relacionados necesarios para
+ comprender el resto de la especificación.
+ Se define el dominio de valores del TDA, y se puede hablar también de su
+ mutabilidad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Operaciones:
+\series default
+ Se define la sintaxis y semántica de cada operación.
+ Para la sintaxis, se incluye el nombre de la operación, los nombres y tipos
+ de los parámetros y el tipo devuelto.
+ Para la semántica se incluyen las precondiciones y efectos de la operación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las especificaciones formales permiten establecer un sistema de comunicación
+ claro, simple y conciso, que permite la deducción formal de propiedades
+ y la verificación formal de programas, si bien son más difíciles de leer
+ y escribir.
+ Constan de tres partes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Tipo:
+\series default
+ Nombre del TDA.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Sintaxis:
+\series default
+ Forma de cada operación: nombre de la función (tipo de los argumentos)
+ 
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+ tipo del resultado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Semántica:
+\series default
+ Significado de las operaciones: nombre de la función (valores particulares)
+ 
+\begin_inset Formula $\implies$
+\end_inset
+
+ expresión del resultado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A continuación vemos cómo elegir el conjunto de operaciones de un TDA.
+ Este debe ser suficiente, pero no necesariamente mínimo, pues puede ser
+ conveniente añadir nuevas operaciones a las operaciones básicas si van
+ a ser muy utilizadas, o si su eficiencia empeora si se implementa mediante
+ operaciones básicas.
+ No obstante, un TDA está sujeto a mantenimiento y es menos costoso añadir
+ nuevas operaciones que eliminar las ya existentes, por lo que conviene
+ no implementar operaciones de necesidad dudosa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Normalmente se incluyen operaciones y funciones asociadas habitualmente
+ al tipo de dato, entre las que puede haber operaciones de acceso y modificación
+ (
+\emph on
+getters
+\emph default
+ y 
+\emph on
+setters
+\emph default
+) de campos de la estructura interna.
+ Pueden incluirse también operaciones 
+\series bold
+estáticas
+\series default
+, que sirven para acceder a datos comunes a todas las instancias del TDA.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dependiendo del lenguaje de programación pueden ser necesarias operaciones
+ para, por ejemplo, liberación de memoria o gestión de errores, que no se
+ incluyen en la especificación pero sí en la documentación.
+ También se puede modificar la sintaxis de las operaciones para hacer eficiente
+ su implementación, cambiando por ejemplo un paso por valor a uno por referencia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En C es necesario diferenciar operaciones con el mismo nombre en distintos
+ TDAs, como pueden ser la creación y liberación de una instancia.
+ Para ello, una forma es anteponer el nombre del TDA al de la operación,
+ que irá seguido del nombre del tipo de sus elementos si se trata de un
+ TDA contenedor.
+ El nombre de los tipos, por su parte, debe identificarlos de forma adecuada
+ sin indicar la representación interna de estos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Implementación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En la fase de implementación, se escribe el código que implementa el comportamie
+nto especificado en un lenguaje de programación concreto, y al mismo tiempo
+ se genera la documentación del software, normalmente mediante programas
+ que generan documentación a partir de comentarios en el código.
+ Para escribir el código, se define primero la representación y a continuación
+ se implementan las operaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Representación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Primero se establece un tipo 
+\begin_inset Formula $rep$
+\end_inset
+
+ (estructura, tabla, etc.) en el que se puedan representar todos los valores
+ del TDA y operar con ellos de forma eficiente.
+ Establecemos también una 
+\series bold
+función de abstracción
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $f_{Abs}:X\subseteq rep\rightarrow{\cal A}$
+\end_inset
+
+ suprayectiva pero no necesariamente inyectiva.
+ No todos los posibles valores de 
+\begin_inset Formula $rep$
+\end_inset
+
+ corresponden a valores del TDA, sino que este debe cumplir un 
+\series bold
+invariante de la representación
+\series default
+, modelado como 
+\begin_inset Formula $f_{Inv}:rep\rightarrow\text{boolean}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f_{Inv}(x)=\text{True}\iff x\in X$
+\end_inset
+
+.
+ Todos los valores construidos con las operaciones del TDA deben cumplir
+ este invariante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Ocultación en C
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+encapsulamiento
+\series default
+ permite juntar los datos y código que los manipula manteniéndolos aislados
+ de posibles usos indebidos, de forma que el acceso a estos se realiza de
+ forma controlada a través de una interfaz (en inglés 
+\emph on
+interface
+\emph default
+, en maquinavajense 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+interfeih
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+) definida.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+C no permite encapsulamiento, pero tiene ciertos mecanismos para ocultar
+ información mediante programación modular, tipos incompletos o apuntadores
+ a 
+\family typewriter
+void
+\family default
+.
+ Los apuntadores a 
+\family typewriter
+void
+\family default
+ también se usan para obtener 
+\series bold
+genericidad
+\series default
+, creando herramientas de propósito general para posteriormente especializarlas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En particular, cada TDA se define en un módulo separado.
+ Las funciones que crean nuevos valores devuelven un puntero al valor o
+ 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+ si ha habido un error, y cada TDA debe tener una función para liberar la
+ memoria ocupada por una instancia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+C no implementa excepciones, por lo que para la gestión de errores se suele
+ utilizar uno de estos mecanismos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En la cabecera se declara una variable de tipo 
+\family typewriter
+extern int
+\family default
+ que almacena un código de error asociado al error, y una función que, dado
+ un código de error, devuelve el mensaje correspondiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En la cabecera se declara una función que devuelve el mensaje asociado al
+ último error ocurrido.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tp/n2.lyx b/tp/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..83ae4b8
--- /dev/null
+++ b/tp/n2.lyx
@@ -0,0 +1,160 @@
+#LyX 2.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 508
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\quotes_language french
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Muchas veces necesitamos estructuras de datos cuyo tamaño puede ir cambiando
+ con el tiempo.
+ Podemos usar representaciones contiguas (tablas), pero no son eficientes
+ en ciertos casos porque las inserciones y eliminaciones pueden suponer
+ reubicaciones de elementos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+estructura de datos lineal enlazada con simple enlace
+\series default
+ es una sucesión finita de nodos formados por un elemento y un enlace al
+ siguiente (o una marca de fin como 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+ si es el último).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una estructura de este tipo se gestiona a través de un apuntador al primer
+ nodo, inicialmente con valor 
+\family typewriter
+NULL
+\family default
+.
+ Podemos definir, por ejemplo, operaciones para:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Inicializar y liberar una lista enlazada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Imprimir sus elementos, comprobar si contiene uno y cuál es su índice, obtener
+ el apuntador al nodo que contiene un elemento.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Insertar un elemento al principio, al final, en un cierto índice o detrás
+ de otro dado por el apuntador al nodo.
+ Insertar en una lista enlazada ordenada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Eliminar un elemento al principio, al final, en un cierto índice o detrás
+ de otro dado por el apuntador al nodo.
+ Eliminar la primera ocurrencia de un elemento si existe, con un caso especial
+ por eficiencia para cuando la lista está ordenada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algunas de estas operaciones pueden requerir modificar el apuntador al primer
+ elemento, y por tanto es necesario pasarles un apuntador a dicho apuntador
+ (o que devuelvan el nuevo valor de este).
+ Para estos podemos añadir al principio un 
+\series bold
+nodo de encabezamiento
+\series default
+ que apunta al primer elemento 
+\begin_inset Quotes fld
+\end_inset
+
+real
+\begin_inset Quotes frd
+\end_inset
+
+, simplificando el código a cambio de ocupar más memoria.
+ Por otro lado, para ciertas operaciones conviene tener apuntadores tanto
+ al principio como al final de la estructura enlazada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También existen 
+\series bold
+estructuras de datos lineales doblemente enlazadas
+\series default
+, en las que los nodos no apuntan sólo al siguiente elemento sino también
+ al anterior, permitiendo operaciones como eliminar un elemento de la lista
+ con un apuntador al nodo correspondiente en vez de al anterior, por ejemplo.
+ 
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tp/n3.lyx b/tp/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..14fe87c
--- /dev/null
+++ b/tp/n3.lyx
@@ -0,0 +1,481 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Pilas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+pila
+\series default
+ o secuencia 
+\series bold
+LIFO
+\series default
+ (
+\emph on
+Last In First Out
+\emph default
+)
+\series bold
+ 
+\series default
+es una secuencia mutable de cero o más elementos en el que las inserciones,
+ accesos y supresiones se realizan siempre por el mismo extremo, llamado
+ 
+\series bold
+tope
+\series default
+.
+ Operaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{verbatim}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Stack create();
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void push(Stack s, Element e);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void delete(Stack s);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Element pop(Stack s);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+int isEmpty(Stack s);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{verbatim}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos implementar una pila mediante una tabla o una lista enlazada, aunque
+ si la tabla es de tamaño fijo tenemos que implementar la operación 
+\family typewriter
+int isFull(Stack s);
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Colas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+cola
+\series default
+ o secuencia 
+\series bold
+FIFO
+\series default
+ (
+\emph on
+First In First Out
+\emph default
+) es una secuencia mutable de cero o más elementos en el que las inserciones
+ se realizan en un extremo llamado 
+\series bold
+posterior
+\series default
+ o 
+\series bold
+final
+\series default
+ y los accesos y supresiones por el otro, llamado 
+\series bold
+anterior
+\series default
+ o 
+\series bold
+frente
+\series default
+.
+ Operaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{verbatim}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Queue create();
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void append(Queue q, Element e);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void delete(Queue q);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Element pop(Queue q);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+int isEmpty(Queue q);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{verbatim}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos implementar una cola mediante una lista enlazada o una tabla de
+ tamaño fijo circular, de forma que conforme se van sacando elementos al
+ principio se pueden ir añadiendo más una vez se haya llegado al final de
+ la tabla, si bien esto requiere implementar la operación 
+\family typewriter
+int isFull(Queue q);
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Listas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+lista
+\series default
+ es una secuencia mutable de cero o más elementos ordenados de acuerdo a
+ su posición.
+ Los accesos, inserciones y supresiones pueden realizarse en cualquier posición
+ de la lista, y cada valor de esta tiene asociado un valor de tipo 
+\series bold
+posición
+\series default
+.
+ Existe además una posición que indica el final de la lista y se usa para
+ insertar elementos.
+ Operaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{verbatim}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+List create();
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void insert(List l, Position p, Element e);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void delete(List l, Position p);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Element get(List l, Position p);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void set(List l, Position p, Element p);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+unsigned length(List l);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Position begin(List l);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Position end(List l);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Position nth(List l, unsigned index);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Position next(List l, Position p);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Position prev(List l, Position p);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{verbatim}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos implementar una lista mediante una tabla, en cuyo caso las posiciones
+ son enteros, o mediante una lista enlazada.
+ Si hace con una lista enlazada con simple enlace, conviene guardar los
+ apuntadores de inicio y de fin, así como la longitud, y en este caso las
+ posiciones son apuntadores al nodo anterior al que contiene el elemento,
+ pues esto es necesario para borrar un elemento por posición.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las listas implementadas por estructuras enlazadas permiten insertar y borrar
+ elementos en 
+\begin_inset Formula $O(1)$
+\end_inset
+
+, en vez de en 
+\begin_inset Formula $O(n)$
+\end_inset
+
+ como sucedería tablas, si bien requieren un tiempo 
+\begin_inset Formula $O(n)$
+\end_inset
+
+ para acceder a los elementos por índice en vez de 
+\begin_inset Formula $O(1)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conjuntos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+conjunto
+\series default
+ es una colección mutable (en este caso finita) de elementos no repetidos
+ y sin ordenación.
+ Operaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{verbatim}
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+Set create();
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void insert(Set c, Element e);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+void delete(Set c, Element e);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+int contains(Set c, Element e);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+unsigned cardinal(Set c);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+List toList(Set c);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{verbatim}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos implementarlo como una lista enlazada o como una tabla, y en el
+ último caso podemos aprovechar que los elementos no están ordenados para
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+rellenar huecos
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ al eliminar elementos en 
+\begin_inset Formula $O(1)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tp/n4.lyx b/tp/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..485838b
--- /dev/null
+++ b/tp/n4.lyx
@@ -0,0 +1,252 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un proceso es 
+\series bold
+recursivo
+\series default
+ si se especifica basándose en su propia definición.
+ Una función es recursiva si se llama a sí misma, y está bien construida
+ si contiene al menos un 
+\series bold
+caso base
+\series default
+ y al menos un 
+\series bold
+caso general
+\series default
+ o 
+\series bold
+de recursión
+\series default
+ en el que los parámetros están cada vez 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+más cerca
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ del caso base, garantizándose que este se alcanza.
+ Tipos de recursividad:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Directa
+\series default
+ o 
+\series bold
+simple
+\series default
+: La función contiene una llamada explícita a sí misma.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Múltiple
+\series default
+: Hay más de una llamada recursiva en el cuerpo de la función.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Indirecta
+\series default
+ o 
+\series bold
+cruzada
+\series default
+: La función invoca a otra que a su vez acaba llamando a la primera.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De cola
+\series default
+ o 
+\series bold
+de extremo final
+\series default
+: La llamada recursiva es la última instrucción que ejecuta la función.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Anidada
+\series default
+: En algún parámetro de la llamada recursiva hay otra llamada recursiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+pila de llamadas
+\series default
+ (
+\emph on
+call stack
+\emph default
+), 
+\series bold
+de ejecución
+\series default
+, 
+\series bold
+de control
+\series default
+, 
+\series bold
+de función
+\series default
+ o 
+\series bold
+de tiempo de ejecución
+\series default
+ es una estructura dinámica que almacena información sobre las subrutinas
+ activas en un programa.
+ Cada llamada añade un 
+\series bold
+marco de pila
+\series default
+ (
+\emph on
+stack frame
+\emph default
+), al que el profesor llama 
+\series bold
+registro de activación
+\series default
+, donde se guardan variables locales, parámetros, dirección de retorno y
+ valor devuelto.
+ Las llamadas recursivas se gestionan igual que el resto, por lo que pueden
+ producir un 
+\series bold
+desbordamiento de pila
+\series default
+ si la recursión es muy profunda.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+árbol de recursión
+\series default
+ es una representación gráfica de un algoritmo recursivo, en el que cada
+ llamada se representa con un nodo, etiquetado con los parámetros que recibe,
+ y de este parte un nodo hijo por cada llamada que hace la función a sí
+ misma, siendo el nodo raíz la llamada inicial y los nodos hoja ejecuciones
+ de los casos base.
+ Este árbol sirve para decidir si el enfoque recursivo es apropiado o es
+ mejor buscar otro enfoque como el iterativo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El mecanismo de 
+\series bold
+expansión de recurrencias
+\series default
+ sirve para calcular el tiempo de ejecución de un algoritmo recursivo.
+ Para ello, se crea una 
+\series bold
+ecuación de recurrencia
+\series default
+, una función que define el tiempo de ejecución en función de los parámetros
+ y se contiene a sí misma en la definición, y por inducción se obtiene una
+ 
+\series bold
+forma cerrada
+\series default
+ para esta ecuación, que no dependa de sí misma.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La recursión por lo general es más ineficiente que el diseño iterativo,
+ por lo que no se debe usar cuando la recursividad es por cola, el árbol
+ de recursión es lineal o el árbol es ramificado pero con nodos repetidos.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/tp/n5.lyx b/tp/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..8c3359f
--- /dev/null
+++ b/tp/n5.lyx
@@ -0,0 +1,435 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
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+\font_sc false
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+árbol
+\series default
+ es un grafo simple conexo no dirigido y acíclico.
+ Trabajaremos con 
+\series bold
+árboles con raíz etiquetados
+\series default
+ finitos, en los que a uno de los nodos lo denominamos raíz y todos los
+ nodos almacenan un valor o un elemento.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los nodos conectados al nodo raíz son 
+\series bold
+hijos
+\series default
+ del nodo raíz, siendo este el 
+\series bold
+padre
+\series default
+ de estos nodos, e inductivamente llamamos hijos de un nodo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ a los nodos 
+\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ que estén conectados a él y no son su padre, y decimos que 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es el padre de los 
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+nodo hoja
+\series default
+ a un nodo que no tiene hijos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+camino
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $n_{1}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $n_{k}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión de nodos 
+\begin_inset Formula $n_{1},\dots,n_{k}$
+\end_inset
+
+ donde cada nodo 
+\begin_inset Formula $n_{i}$
+\end_inset
+
+ es el padre del 
+\begin_inset Formula $n_{i+1}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $i=1,\dots,k-1$
+\end_inset
+
+, y decimos entonces que el camino tiene 
+\series bold
+longitud
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $k-1$
+\end_inset
+
+.
+ Dados dos nodos 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+, si existe un camino de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ se dice que 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+ancestro
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+descendiente
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ El 
+\series bold
+subárbol
+\series default
+ de un árbol por un nodo es el árbol formado por este nodo, que será la
+ nueva raíz, y todos sus descendientes, preservando las aristas entre estos
+ nodos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+altura
+\series default
+ de un nodo es el máximo de las longitudes de caminos desde este nodo hasta
+ cualquier descendiente suyo, y la 
+\series bold
+altura del árbol
+\series default
+ es la altura de su raíz.
+ La 
+\series bold
+profundidad
+\series default
+ de un nodo es la longitud del camino desde la raíz hasta el nodo.
+ El 
+\series bold
+nivel
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ de un árbol es el conjunto de todos los nodos a profundidad 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En general representamos un árbol mediante un apuntador a su raíz, y representam
+os un nodo mediante una estructura con su elemento y, bien su lista de hijos
+ (normalmente), o un apuntador hacia su primer hijo (
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+hijo izquierdo
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+) y el hermano siguiente (siguiente hijo del padre, 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+hermano derecho
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+), si bien esto es poco habitual.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Existen tres formas principales de recorrer un árbol:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Preorden
+\series default
+: En cada nodo, se considera primero el elemento del propio nodo y luego
+ cada hijo en preorden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inorden
+\series default
+: En cada nodo, se considera primero el primer hijo en inorden, después
+ el elemento del propio nodo y finalmente el resto de hijos en inorden.
+ Esto es útil en 
+\series bold
+árboles binarios
+\series default
+, donde cada nodo tiene un 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+hijo izquierdo
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ y un 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+hijo derecho
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (cada uno puede no existir).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Postorden
+\series default
+: En cada nodo, se considera primero cada uno de los hijos en postorden
+ y finalmente el elemento del propio nodo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un árbol se dice que está 
+\series bold
+balanceado
+\series default
+ si su altura es la mínima dado el máximo de hijos por nodo que puede tener.
+ Esto es útil porque minimiza el tiempo de ejecución a la hora de operar
+ con ellos.
+ Algunos tipos de árbol:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Parcialmente ordenado
+\series default
+: Los descendientes de un nodo poseen un valor no mayor al del propio nodo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Árbol binario de búsqueda
+\series default
+: Árbol binario en el que el hijo izquierdo de un nodo y sus descendientes
+ tienen un valor menor o igual al del propio nodo, a su vez menor o igual
+ al del hijo derecho y sus descendientes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Árboles AVL
+\series default
+: Árbol binario auto-balanceable, que o bien es vacío o cumple que los subárbole
+s por ambos hijos son AVL y la diferencia en la altura de ambos (valor absoluto)
+ es no mayor que 1.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Árboles B
+\series default
+: Un árbol B de orden 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es aquél en que: cada nodo tiene como máximo 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ hijos; todos los nodos salvo la raíz tienen un valor formado como mínimo
+ por 
+\begin_inset Formula $\frac{M}{2}$
+\end_inset
+
+ claves; la raíz tiene al menos 2 hijos si no es al mismo tiempo hoja; todos
+ los nodos hoja aparecen al mismo nivel; un nodo no hoja con 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ hijos tiene un valor formado por 
+\begin_inset Formula $k-1$
+\end_inset
+
+ claves, y dado un nodo no hoja con claves 
+\begin_inset Formula $r_{1},\dots,r_{m}$
+\end_inset
+
+, las claves de sus nodos hijo (y descendientes respectivos) deben ser:
+ menores que 
+\begin_inset Formula $r_{1}$
+\end_inset
+
+ para el primer hijo, entre 
+\begin_inset Formula $r_{i-1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{i}$
+\end_inset
+
+ para el nodo 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+-ésimo (
+\begin_inset Formula $i=2,\dots,m$
+\end_inset
+
+), o mayores que 
+\begin_inset Formula $r_{m}$
+\end_inset
+
+ para el último nodo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aplicaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Representación de datos jerárquicos, como sistemas de ficheros y directorios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Búsqueda (y otras operaciones) de forma eficiente en colecciones de datos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Árboles de decisión en inteligencia artificial.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document