Mi reacci\'on al ver que las demostraciones no entran

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diff --git a/ts/n1.lyx b/ts/n1.lyx
index 910f51e..63d574b 100644
--- a/ts/n1.lyx
+++ b/ts/n1.lyx
@@ -678,9 +678,9 @@ toro
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
 \begin_layout Enumerate
 \begin_inset Argument item:1
 status open
@@ -719,6 +719,7 @@ Tenemos
 
 \end_layout
 
+\begin_deeper
 \begin_layout Enumerate
 \begin_inset Argument item:1
 status open
@@ -808,6 +809,11 @@ Dado
 \end_layout
 
 \end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 La 
 \series bold
@@ -1037,10 +1043,10 @@ suma
 \end_inset
 
 , con la topología usual.
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Plain Layout
 Como los abiertos en 
 \begin_inset Formula $\mathbb{R}$
 \end_inset
@@ -1101,7 +1107,11 @@ y por tanto
  es abierto.
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 El 
 \series bold
@@ -1116,10 +1126,10 @@ producto
 \end_inset
 
 , con la topología usual.
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Plain Layout
 Dado 
 \begin_inset Formula $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$
 \end_inset
@@ -1174,7 +1184,11 @@ con lo que
  es abierto.
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 La 
 \series bold
@@ -1189,10 +1203,10 @@ diagonal
 \end_inset
 
 , con la topología usual.
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Plain Layout
 Basta ver que, dada una bola 
 \begin_inset Formula $B_{\infty}(y,r)$
 \end_inset
@@ -1217,9 +1231,46 @@ Basta ver que, dada una bola
 , que es abierto.
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Una función 
+\begin_inset Formula $f:X\to\prod_{i\in I}Y_{i}$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si los componentes 
+\begin_inset Formula $f_{i}(x):=f(x)_{i}$
+\end_inset
+
+ lo son.
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 Los polinomios reales, con la topología usual.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Se pueden expresar como suma de restricciones del producto a una constante
+ (el coeficiente) aplicados a una potencia de la incógnita, teniendo en
+ cuenta el punto anterior, y ver que las potencias son continuas porque
+ la potencia 
+\begin_inset Formula $x\mapsto x^{0}=1$
+\end_inset
+
+ lo es y 
+\begin_inset Formula $x^{n}=p(x^{n-1},x)=(p\circ((x\mapsto x^{n-1}),Id))(x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -1228,28 +1279,36 @@ El determinante
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 Es un polinomio.
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 La inversa matricial 
 \begin_inset Formula $\text{inv}:GL(n,\mathbb{R})\to GL(n,\mathbb{R})$
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 Es una función racional en cada componente.
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 \begin_inset CommandInset label
 LatexCommand label
@@ -1257,7 +1316,7 @@ name "enu:angle"
 
 \end_inset
 
-La aplicación 
+La aplicación suprayectiva 
 \begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{3}\to{\cal SO}(3)$
 \end_inset
 
@@ -1286,10 +1345,10 @@ que asocia a
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 La función es continua porque lo es en cada componente, al serlo la suma
  y el producto.
  Dado 
@@ -1406,6 +1465,7 @@ Para
 .
 \end_layout
 
+\begin_deeper
 \begin_layout Enumerate
 Rotamos sobre el eje 
 \begin_inset Formula $Y$
@@ -1544,7 +1604,7 @@ D:=(BA)^{-1}=(BA)^{t}=\left(\begin{array}{ccc}
 
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 Multiplicando todo, la matriz es
 \begin_inset Formula 
 \begin{eqnarray*}
@@ -1590,9 +1650,31 @@ Claramente esta matriz es ortogonal especial por ser producto de matrices
 \end_inset
 
 , que también es ortogonal especial.
+ Por otro lado, como todo punto 
+\begin_inset Formula $(x,y,z)\in\mathbb{S}^{2}$
+\end_inset
+
+ y ángulo 
+\begin_inset Formula $\theta\in[0,\pi)$
+\end_inset
+
+ se pueden expresar como 
+\begin_inset Formula $(\cos\theta,x\sin\theta,y\sin\theta,z\sin\theta)\in\mathbb{R}^{3}$
+\end_inset
+
+ y los elementos de 
+\begin_inset Formula ${\cal SO}(3)$
+\end_inset
+
+ son todos rotaciones, esta aplicación es suprayectiva.
 \end_layout
 
 \end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 La aplicación 
 \begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{2}\to{\cal SO}(3)$
@@ -1615,10 +1697,10 @@ que asocia a cada punto de la esfera la rotación de
 \end_inset
 
  alrededor de la recta que genera.
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 Se obtiene tomando 
 \begin_inset Formula $w=0$
 \end_inset
@@ -1636,7 +1718,11 @@ noprefix "false"
  y simplificando.
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
 Base de una topología
 \end_layout
@@ -1842,7 +1928,8 @@ Sean
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
 \begin_layout Description
 \begin_inset Formula $[1\implies2]$
@@ -1921,6 +2008,11 @@ una unión de elementos de
 .
 \end_layout
 
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Standard
 \begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal P}(X)$
 \end_inset
@@ -2001,7 +2093,12 @@ topología del límite inferior
 \end_inset
 
 .
- En efecto, 
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+En efecto, 
 \begin_inset Formula $[a,b)$
 \end_inset
 
@@ -2036,6 +2133,11 @@ topología del límite inferior
 .
 \end_layout
 
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
 Axiomas de numerabilidad
 \end_layout
@@ -2112,10 +2214,10 @@ Si
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 Tomamos la base 
 \begin_inset Formula $\{(p,q)\}_{p,q\in\mathbb{Q},p<q}$
 \end_inset
@@ -2160,7 +2262,11 @@ Tomamos la base
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 \begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$
 \end_inset
@@ -2170,10 +2276,10 @@ Tomamos la base
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 Sea 
 \begin_inset Formula ${\cal B}$
 \end_inset
@@ -2220,7 +2326,11 @@ Sea
  no es numerable.
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Standard
 Dados 
 \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
@@ -2276,7 +2386,18 @@ primer axioma de numerabilidad
 \end_inset
 
  tiene una base de entornos numerable.
- Ejemplos:
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage newpage
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejemplos:
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
@@ -2284,44 +2405,52 @@ primer axioma de numerabilidad
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 \begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 Todo espacio métrico 
 \begin_inset Formula $(X,d)$
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 \begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{B_{d}(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Enumerate
 Todo espacio 2A
 \begin_inset Formula $\mathbb{N}$
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
 Dada una base 
 \begin_inset Formula ${\cal B}$
 \end_inset
@@ -2353,6 +2482,10 @@ Dada una base
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \end_body
 \end_document
diff --git a/ts/n2.lyx b/ts/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..18577dc
--- /dev/null
+++ b/ts/n2.lyx
@@ -0,0 +1,1784 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
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+\font_sc false
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+\shortcut idx
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+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
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+\paragraph_indentation default
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+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Conexión
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+separación
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es un par 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ de abiertos disjuntos no vacíos cuya unión es 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+conexo
+\series default
+ si no admite ninguna separación, si y sólo si los únicos subconjuntos de
+ 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ abiertos y cerrados son el vacío y el total, y en caso contrario es 
+\series bold
+disconexo
+\series default
+, si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $A\subseteq X$
+\end_inset
+
+ no vacío, abierto y cerrado.
+ Un espacio discreto 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $|X|\leq1$
+\end_inset
+
+, y uno indiscreto es siempre conexo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si no existe una aplicación continua y sobreyectiva
+ 
+\begin_inset Formula $X\to\mathbb{S}^{0}=\{1,-1\}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Probamos el contrarrecíproco.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es tal aplicación, como 
+\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{0}$
+\end_inset
+
+ es discreto, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(1)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(-1)$
+\end_inset
+
+ son abiertos, que son no vacíos porque 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva, y además son disjuntos, luego 
+\begin_inset Formula $\{f^{-1}(1),f^{-1}(-1)\}$
+\end_inset
+
+ es una separación de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Probamos el contrarrecíproco.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ es una separación de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f:X\to\mathbb{S}^{0}$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(x):=\left\{ \begin{aligned}1 & \text{si }x\in U,\\
+-1 & \text{si }x\in V
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+es continua y suprayectiva.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Conexión en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es conexo, así como sus intervalos y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, o algún intervalo de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, o 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+, admite una separación 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+, y sean 
+\begin_inset Formula $x\in U$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y\in V$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos suponer 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+, con lo que el intervalo 
+\begin_inset Formula $[x,y]$
+\end_inset
+
+ tiene un extremo en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y otro en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\frac{x+y}{2}\in U$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[x,\frac{x+y}{2}]$
+\end_inset
+
+ tiene un extremo en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y otro en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y de lo contrario esto le ocurre a 
+\begin_inset Formula $[\frac{x+y}{2},y]$
+\end_inset
+
+.
+ En cualquier caso tenemos un intervalo de tamaño 
+\begin_inset Formula $\frac{x+y}{2}$
+\end_inset
+
+ con un extremo en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y otro en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y repitiendo esto sucesivamente, obtenemos una sucesión de intervalos
+ encajados con un extremo en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y otro en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ cuya intersección es un único punto 
+\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $z\in U$
+\end_inset
+
+, habrá un intervalo abierto 
+\begin_inset Formula $(z-\delta,z+\delta)\subseteq U$
+\end_inset
+
+, pero para 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ suficientemente grande, el intervalo de la sucesión de tamaño 
+\begin_inset Formula $\frac{y-x}{2^{n}}$
+\end_inset
+
+ estará contenido en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, pero uno de sus extremos está en 
+\begin_inset Formula $V\#$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $z\in V$
+\end_inset
+
+ ocurre algo análogo.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toda función continua 
+\begin_inset Formula $f:[0,1]\to[0,1]$
+\end_inset
+
+ tiene algún punto fijo.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $\forall x\in[0,1],f(x)\neq x$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $f(0)>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(1)<1$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $g(x):=\frac{f(x)-x}{|f(x)-x|}$
+\end_inset
+
+ está bien definida, es continua y va de 
+\begin_inset Formula $[0,1]$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{0}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $g(0)=\frac{f(0)}{|f(0)|}\overset{f(0)>0}{=}1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(1)=\frac{f(1)-1}{|f(1)-1|}\overset{f(1)<1}{=}-1$
+\end_inset
+
+, es sobreyectiva, por lo que 
+\begin_inset Formula $[0,1]$
+\end_inset
+
+ no sería conexo.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua, si 
+\begin_inset Formula $f(a)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(b)$
+\end_inset
+
+ tienen signos contrarios, existe 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x_{0})=0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ De lo contrario existiría 
+\begin_inset Formula $g:[a,b]\to\mathbb{S}^{0}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}$
+\end_inset
+
+, que es continua, y es suprayectiva porque 
+\begin_inset Formula $g(a)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(b)$
+\end_inset
+
+ tienen signos contrarios, pero 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ es continua.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Subespacios conexos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+subespacio conexo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}_{Y})$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+ Una 
+\series bold
+separación
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es un par 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ de abiertos en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq U\cap V$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $U\cap Y,V\cap Y\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U\cap V\cap Y=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es un subespacio conexo de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ si y sólo si no existe ninguna separación de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:X\to Y$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es conexo, 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+En efecto, de no serlo existiría 
+\begin_inset Formula $\sigma:f(X)\to\mathbb{S}^{0}$
+\end_inset
+
+ continua y suprayectiva, por lo que 
+\begin_inset Formula $\sigma\circ f$
+\end_inset
+
+ sería continua y suprayectiva y 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ sería conexo.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $X\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ es conexo e 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ es discreto, toda función continua 
+\begin_inset Formula $X\to Y$
+\end_inset
+
+ es constante, pues 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ debe ser conexo, y en particular toda función 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ es constante.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Probamos el contrarrecíproco.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ es tal separación, 
+\begin_inset Formula $U\cap Y,V\cap Y\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ son abiertos de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(U\cap Y)\cup(V\cap Y)=(U\cup V)\cap Y\overset{Y\subseteq U\cap V}{=}Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(U\cap Y)\cap(V\cap Y)=U\cap V\cap Y=\emptyset$
+\end_inset
+
+, por lo que forman una separación de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Probamos el contrarrecíproco.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ es una separación de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $U'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V'$
+\end_inset
+
+ abiertos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $U=U'\cap Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V=V'\cap Y$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $Y=U\cap V=(U'\cap Y)\cap(V'\cap Y)=U'\cap V'\cap Y\subseteq U'\cap V'$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $U=U'\cap Y,V=V'\cap Y\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U'\cap V'\cap Y=(U'\cap Y)\cap(V'\cap Y)=U\cap V=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una separación 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es un subespacio conexo de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq U$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, si no fuera así, serían 
+\begin_inset Formula $U\cap Y,V\cap Y\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq X=U\cap V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U\cap V\cap Y=\emptyset\cap Y=\emptyset$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ sería una separación de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X\#$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, dado un subespacio conexo 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, todo 
+\begin_inset Formula $Z$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq Z\subseteq\overline{Y}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si hubiera una separación 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $Z$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es entorno de algún elemento de 
+\begin_inset Formula $\overline{Y}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $U\cap Y\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, y análogamente 
+\begin_inset Formula $V\cap Y\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $U\cap V\cap Y\subseteq U\cap V\cap Z=\emptyset$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq Z\subseteq U\cap V$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ es separación de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $\{Y_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es una colección arbitraria de subespacios conexos de un espacio topológico
+ 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}Y_{i}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $Y:=\bigcup_{i\in I}Y_{i}$
+\end_inset
+
+ es conexo
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues si hubiera una separación 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, si dado un 
+\begin_inset Formula $j\in I$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Y_{j}\in U$
+\end_inset
+
+, por ejemplo, entonces todos los 
+\begin_inset Formula $Y_{i}$
+\end_inset
+
+ cortan con 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y por conexión están contenidos en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $V=\emptyset\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterio del peine:
+\series default
+ Dada una familia 
+\begin_inset Formula $\{Y_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ de subespacios conexos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $Y'\subseteq X$
+\end_inset
+
+ conexo, si 
+\begin_inset Formula $\forall i\in I,Y'\cap Y_{i}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Y'\cup\bigcup_{i}Y_{i}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si hubiera una separación 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $Y:=Y'\cup\bigcup_{i}Y_{i}$
+\end_inset
+
+, si por ejemplo 
+\begin_inset Formula $Y'\subseteq U$
+\end_inset
+
+, todos los 
+\begin_inset Formula $Y_{i}$
+\end_inset
+
+ cortan con 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y por tanto están contenidos, luego 
+\begin_inset Formula $V=\emptyset\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un espacio topológico es 
+\series bold
+totalmente disconexo
+\series default
+ si sus únicos subconjuntos conexos no vacíos son los unipuntuales, como
+ ocurre con los espacios discretos, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+En efecto, si un conjunto 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ tiene al menos dos puntos 
+\begin_inset Formula $a\neq b$
+\end_inset
+
+ (por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $a<b$
+\end_inset
+
+), entonces admite una separación por abiertos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\{(-\infty,b),[b,+\infty)\}$
+\end_inset
+
+.
+ Todo espacio topológico no vacío totalmente disconexo es disconexo.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Ejemplos de conexión
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La hipérbola 
+\begin_inset Formula $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}-y^{2}=1\}$
+\end_inset
+
+ no es conexa.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sean 
+\begin_inset Formula $U:=\{(x,y):x>0\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $V:=\{(x,y):x<0\}$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ la hipérbola, es claro que ningún punto de la hipérbola cumple 
+\begin_inset Formula $x=0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq U\cap V=\{(x,y):x\neq0\}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(1,0)\in U\cap Y$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(-1,0)\in V\cap Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U\cap V\cap Y=\emptyset\cap Y=\emptyset$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+ es una separación de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La esfera 
+\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}$
+\end_inset
+
+ es conexa si y sólo si 
+\begin_inset Formula $n\geq1$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Si 
+\begin_inset Formula $n=0$
+\end_inset
+
+ claramente es disconexa.
+ Para 
+\begin_inset Formula $n\geq1$
+\end_inset
+
+, la función 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{S}^{n}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(t_{1},\dots,t_{n})=(\cos t_{1},\sin t_{1}\cos t_{2},\sin t_{1}\sin t_{2}\cos t_{3},\dots,\sin t_{1}\cdots\cos t_{n},\sin t_{1}\cdots\sin t_{n})$
+\end_inset
+
+ es continua y suprayectiva.
+ En efecto, dado 
+\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n},x_{n+1})\in\mathbb{S}^{n}$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $x_{1}\in[-1,1]$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $t_{1}\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\cos t_{1}=x_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $x_{2}^{2}+\dots+x_{n+1}^{2}=\sin t_{1}^{2}=1-x_{1}^{2}$
+\end_inset
+
+ como queríamos, y para 
+\begin_inset Formula $x_{2}$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $x_{2}\in[-\sin t_{1}^{2},\sin t_{1}^{2}]$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $t_{2}\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\sin t_{1}\cos t_{2}=x_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Repetimos este proceso hasta llegar a la última coordenada.
+ Si 
+\begin_inset Formula $x_{n+1}$
+\end_inset
+
+ aparece con signo contrario al que debería, cambiamos el signo de 
+\begin_inset Formula $\cos t_{n}$
+\end_inset
+
+, lo que no afecta a su valor pero cambia el signo a 
+\begin_inset Formula $x_{n+1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ es conexo para 
+\begin_inset Formula $n>1$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+La función 
+\begin_inset Formula $h_{t}:\mathbb{S}^{n-1}\to\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $h_{t}(x):=tx$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $t>0$
+\end_inset
+
+ es continua y suprayectiva, así como la función 
+\begin_inset Formula $\sigma:(0,+\infty)\to\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\sigma(x):=(x,0,\dots,0)$
+\end_inset
+
+, por lo que sus imágenes son conexas.
+ 
+\begin_inset Formula $\sigma((0,+\infty))$
+\end_inset
+
+ corta con 
+\begin_inset Formula $h_{t}(\mathbb{S}^{n-1})$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $\sigma(t)=h_{t}((1,0,\dots,0))$
+\end_inset
+
+, luego por el criterio del peine, 
+\begin_inset Formula $\sigma((0,+\infty))\cup\bigcup_{t>0}h_{t}(\mathbb{S}^{n-1})=\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal GL}(3,\mathbb{R})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal O}(3,\mathbb{K})$
+\end_inset
+
+ no son conexos.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula ${\cal GL}(3,\mathbb{R})=\{A\in{\cal M}_{3}(\mathbb{R}):\det A\neq0\}$
+\end_inset
+
+, luego existe la función continua 
+\begin_inset Formula $f:{\cal GL}(3,\mathbb{R})\to\mathbb{S}^{0}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(A):=\frac{\det A}{|\det A|}$
+\end_inset
+
+ y es suprayectiva, pues 
+\begin_inset Formula $f(I_{3})=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(-I_{3})=-1$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal O}(3,\mathbb{K})=\{A\in{\cal M}_{3}(\mathbb{R}):\det A\in\{-1,1\}\}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\det:{\cal O}(3,\mathbb{K})\to\mathbb{S}^{0}$
+\end_inset
+
+ es una continua, y es suprayectiva tomando 
+\begin_inset Formula $I_{3},-I_{3}\in{\cal O}(3,\mathbb{K})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal SO}(3)$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Se debe a la aplicación continua y suprayectiva 
+\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{3}\to{\cal SO}(3)$
+\end_inset
+
+ vista en el capítulo anterior.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Componentes conexas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, la relación en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $x\sim y$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existe un subespacio conexo de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ que contiene a 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es de equivalencia, y sus clases de equivalencia son las 
+\series bold
+componentes conexas
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Estas forman una partición de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ en subespacios conexos 
+\series bold
+maximales
+\series default
+, pues todo subespacio conexo de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ está en una componente conexa, con lo que la componente conexa que contiene
+ un cierto 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ es la unión de todos los subespacios conexos que contienen a 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si tiene una única componente conexa.
+ Las componentes conexas son cerradas en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, pues si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es una componente conexa, 
+\begin_inset Formula $\overline{A}$
+\end_inset
+
+ es también conexo, pero como 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es conexo maximal, 
+\begin_inset Formula $A=\overline{A}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Conexión por caminos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+conexo por caminos
+\series default
+ o 
+\series bold
+por arcos
+\series default
+ si para 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+, existe un camino que une 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio conexo por arcos es conexo.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+En efecto, si tuviera una separación 
+\begin_inset Formula $\{U,V\}$
+\end_inset
+
+, sean 
+\begin_inset Formula $u\in U$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $v\in V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha:[a,b]\to X$
+\end_inset
+
+ un camino que une 
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $S:=\alpha([a,b])$
+\end_inset
+
+ es conexa por ser la imagen de un conexo por una función continua, debería
+ ser 
+\begin_inset Formula $S\subseteq U$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $S\subseteq V\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ El recíproco no se cumple
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues, por ejemplo, si 
+\begin_inset Formula $S:=\{(x,\sin\frac{1}{x})\}_{0<x\leq1}\subseteq\mathbb{R}^{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\overline{S}$
+\end_inset
+
+ es conexo pero no conexo por arcos
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $f:X\to Y$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es conexo por caminos, 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ también lo es
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues para 
+\begin_inset Formula $a,b\in f(X)$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a=f(x)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b=f(y)$
+\end_inset
+
+ y un camino 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ que une 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $f\circ\sigma$
+\end_inset
+
+ es un camino que une 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si 
+\begin_inset Formula $\{Y_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es una colección de subespacios conexos por caminos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}Y_{i}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Y:=\bigcup_{i\in I}Y_{i}$
+\end_inset
+
+ es conexo por caminos
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues dados 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in\bigcap_{i\in I}Y_{i}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x_{1},x_{2}\in Y$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $i_{1},i_{2}\in I$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $x_{1}\in Y_{i_{1}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{2}\in Y_{i_{2}}$
+\end_inset
+
+, por conexión por arcos existen caminos 
+\begin_inset Formula $\sigma_{1}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $Y_{i_{1}}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $x_{1}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sigma_{2}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $Y_{i_{2}}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $x_{2}$
+\end_inset
+
+, y concatenándolos se obtiene un camino en 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ que une 
+\begin_inset Formula $x_{1}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X\subseteq E$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+convexo
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,[x,y]:=\{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}\subseteq X$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+estrellado
+\series default
+ respecto a un 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in X$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x\in X,[x_{0},x]\subseteq X$
+\end_inset
+
+.
+ Todo 
+\begin_inset Formula $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ estrellado o convexo es conexo por caminos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Compacidad
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document