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@@ -678,9 +678,9 @@ toro \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -719,6 +719,7 @@ Tenemos \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -808,6 +809,11 @@ Dado \end_layout \end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate La \series bold @@ -1037,10 +1043,10 @@ suma \end_inset , con la topología usual. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout Como los abiertos en \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset @@ -1101,7 +1107,11 @@ y por tanto es abierto. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate El \series bold @@ -1116,10 +1126,10 @@ producto \end_inset , con la topología usual. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout Dado \begin_inset Formula $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset @@ -1174,7 +1184,11 @@ con lo que es abierto. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate La \series bold @@ -1189,10 +1203,10 @@ diagonal \end_inset , con la topología usual. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout Basta ver que, dada una bola \begin_inset Formula $B_{\infty}(y,r)$ \end_inset @@ -1217,9 +1231,46 @@ Basta ver que, dada una bola , que es abierto. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Una función +\begin_inset Formula $f:X\to\prod_{i\in I}Y_{i}$ +\end_inset + + es continua si y sólo si los componentes +\begin_inset Formula $f_{i}(x):=f(x)_{i}$ +\end_inset + + lo son. +\end_layout + \begin_layout Enumerate Los polinomios reales, con la topología usual. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Se pueden expresar como suma de restricciones del producto a una constante + (el coeficiente) aplicados a una potencia de la incógnita, teniendo en + cuenta el punto anterior, y ver que las potencias son continuas porque + la potencia +\begin_inset Formula $x\mapsto x^{0}=1$ +\end_inset + + lo es y +\begin_inset Formula $x^{n}=p(x^{n-1},x)=(p\circ((x\mapsto x^{n-1}),Id))(x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -1228,28 +1279,36 @@ El determinante \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Es un polinomio. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate La inversa matricial \begin_inset Formula $\text{inv}:GL(n,\mathbb{R})\to GL(n,\mathbb{R})$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Es una función racional en cada componente. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset CommandInset label LatexCommand label @@ -1257,7 +1316,7 @@ name "enu:angle" \end_inset -La aplicación +La aplicación suprayectiva \begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{3}\to{\cal SO}(3)$ \end_inset @@ -1286,10 +1345,10 @@ que asocia a \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout La función es continua porque lo es en cada componente, al serlo la suma y el producto. Dado @@ -1406,6 +1465,7 @@ Para . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Enumerate Rotamos sobre el eje \begin_inset Formula $Y$ @@ -1544,7 +1604,7 @@ D:=(BA)^{-1}=(BA)^{t}=\left(\begin{array}{ccc} \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Multiplicando todo, la matriz es \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} @@ -1590,9 +1650,31 @@ Claramente esta matriz es ortogonal especial por ser producto de matrices \end_inset , que también es ortogonal especial. + Por otro lado, como todo punto +\begin_inset Formula $(x,y,z)\in\mathbb{S}^{2}$ +\end_inset + + y ángulo +\begin_inset Formula $\theta\in[0,\pi)$ +\end_inset + + se pueden expresar como +\begin_inset Formula $(\cos\theta,x\sin\theta,y\sin\theta,z\sin\theta)\in\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + + y los elementos de +\begin_inset Formula ${\cal SO}(3)$ +\end_inset + + son todos rotaciones, esta aplicación es suprayectiva. \end_layout \end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate La aplicación \begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{2}\to{\cal SO}(3)$ @@ -1615,10 +1697,10 @@ que asocia a cada punto de la esfera la rotación de \end_inset alrededor de la recta que genera. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Se obtiene tomando \begin_inset Formula $w=0$ \end_inset @@ -1636,7 +1718,11 @@ noprefix "false" y simplificando. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Base de una topología \end_layout @@ -1842,7 +1928,8 @@ Sean \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open \begin_layout Description \begin_inset Formula $[1\implies2]$ @@ -1921,6 +2008,11 @@ una unión de elementos de . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard \begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal P}(X)$ \end_inset @@ -2001,7 +2093,12 @@ topología del límite inferior \end_inset . - En efecto, + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, \begin_inset Formula $[a,b)$ \end_inset @@ -2036,6 +2133,11 @@ topología del límite inferior . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Axiomas de numerabilidad \end_layout @@ -2112,10 +2214,10 @@ Si \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Tomamos la base \begin_inset Formula $\{(p,q)\}_{p,q\in\mathbb{Q},p<q}$ \end_inset @@ -2160,7 +2262,11 @@ Tomamos la base . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$ \end_inset @@ -2170,10 +2276,10 @@ Tomamos la base \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Sea \begin_inset Formula ${\cal B}$ \end_inset @@ -2220,7 +2326,11 @@ Sea no es numerable. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Dados \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ @@ -2276,7 +2386,18 @@ primer axioma de numerabilidad \end_inset tiene una base de entornos numerable. - Ejemplos: + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage newpage +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -2284,44 +2405,52 @@ primer axioma de numerabilidad \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Todo espacio métrico \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{B_{d}(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Todo espacio 2A \begin_inset Formula $\mathbb{N}$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Dada una base \begin_inset Formula ${\cal B}$ \end_inset @@ -2353,6 +2482,10 @@ Dada una base . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \end_body \end_document diff --git a/ts/n2.lyx b/ts/n2.lyx new file mode 100644 index 0000000..18577dc --- /dev/null +++ b/ts/n2.lyx @@ -0,0 +1,1784 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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unión es +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es +\series bold +conexo +\series default + si no admite ninguna separación, si y sólo si los únicos subconjuntos de + +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + abiertos y cerrados son el vacío y el total, y en caso contrario es +\series bold +disconexo +\series default +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $A\subseteq X$ +\end_inset + + no vacío, abierto y cerrado. + Un espacio discreto +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es conexo si y sólo si +\begin_inset Formula $|X|\leq1$ +\end_inset + +, y uno indiscreto es siempre conexo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un espacio topológico +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es conexo si y sólo si no existe una aplicación continua y sobreyectiva + +\begin_inset Formula $X\to\mathbb{S}^{0}=\{1,-1\}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Probamos el contrarrecíproco. + Si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es tal aplicación, como +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{0}$ +\end_inset + + es discreto, +\begin_inset Formula $f^{-1}(1)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f^{-1}(-1)$ +\end_inset + + son abiertos, que son no vacíos porque +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es suprayectiva, y además son disjuntos, luego +\begin_inset Formula $\{f^{-1}(1),f^{-1}(-1)\}$ +\end_inset + + es una separación de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Probamos el contrarrecíproco. + Si +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + es una separación de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f:X\to\mathbb{S}^{0}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula +\[ +f(x):=\left\{ \begin{aligned}1 & \text{si }x\in U,\\ +-1 & \text{si }x\in V +\end{aligned} +\right. +\] + +\end_inset + +es continua y suprayectiva. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Conexión en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + es conexo, así como sus intervalos y +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Supongamos que +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +, o algún intervalo de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +, o +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + +, admite una separación +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + +, y sean +\begin_inset Formula $x\in U$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y\in V$ +\end_inset + +. + Podemos suponer +\begin_inset Formula $x<y$ +\end_inset + +, con lo que el intervalo +\begin_inset Formula $[x,y]$ +\end_inset + + tiene un extremo en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y otro en +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\frac{x+y}{2}\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[x,\frac{x+y}{2}]$ +\end_inset + + tiene un extremo en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y otro en +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, y de lo contrario esto le ocurre a +\begin_inset Formula $[\frac{x+y}{2},y]$ +\end_inset + +. + En cualquier caso tenemos un intervalo de tamaño +\begin_inset Formula $\frac{x+y}{2}$ +\end_inset + + con un extremo en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y otro en +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, y repitiendo esto sucesivamente, obtenemos una sucesión de intervalos + encajados con un extremo en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y otro en +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + cuya intersección es un único punto +\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $z\in U$ +\end_inset + +, habrá un intervalo abierto +\begin_inset Formula $(z-\delta,z+\delta)\subseteq U$ +\end_inset + +, pero para +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + suficientemente grande, el intervalo de la sucesión de tamaño +\begin_inset Formula $\frac{y-x}{2^{n}}$ +\end_inset + + estará contenido en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, pero uno de sus extremos está en +\begin_inset Formula $V\#$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $z\in V$ +\end_inset + + ocurre algo análogo. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Toda función continua +\begin_inset Formula $f:[0,1]\to[0,1]$ +\end_inset + + tiene algún punto fijo. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Supongamos que +\begin_inset Formula $\forall x\in[0,1],f(x)\neq x$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $f(0)>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(1)<1$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $g(x):=\frac{f(x)-x}{|f(x)-x|}$ +\end_inset + + está bien definida, es continua y va de +\begin_inset Formula $[0,1]$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{0}$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $g(0)=\frac{f(0)}{|f(0)|}\overset{f(0)>0}{=}1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g(1)=\frac{f(1)-1}{|f(1)-1|}\overset{f(1)<1}{=}-1$ +\end_inset + +, es sobreyectiva, por lo que +\begin_inset Formula $[0,1]$ +\end_inset + + no sería conexo. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dada +\begin_inset Formula $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + continua, si +\begin_inset Formula $f(a)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(b)$ +\end_inset + + tienen signos contrarios, existe +\begin_inset Formula $x_{0}\in[a,b]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(x_{0})=0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + De lo contrario existiría +\begin_inset Formula $g:[a,b]\to\mathbb{S}^{0}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}$ +\end_inset + +, que es continua, y es suprayectiva porque +\begin_inset Formula $g(a)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g(b)$ +\end_inset + + tienen signos contrarios, pero +\begin_inset Formula $[a,b]$ +\end_inset + + es continua. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Subespacios conexos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un espacio topológico +\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Y\subseteq X$ +\end_inset + + es un +\series bold +subespacio conexo +\series default + de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}_{Y})$ +\end_inset + + es conexo. + Una +\series bold +separación +\series default + de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un par +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + de abiertos en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $Y\subseteq U\cap V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $U\cap Y,V\cap Y\neq\emptyset$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U\cap V\cap Y=\emptyset$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $Y\subseteq X$ +\end_inset + + es un subespacio conexo de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + si y sólo si no existe ninguna separación de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $f:X\to Y$ +\end_inset + + es continua y +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es conexo, +\begin_inset Formula $f(X)$ +\end_inset + + también lo es. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, de no serlo existiría +\begin_inset Formula $\sigma:f(X)\to\mathbb{S}^{0}$ +\end_inset + + continua y suprayectiva, por lo que +\begin_inset Formula $\sigma\circ f$ +\end_inset + + sería continua y suprayectiva y +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + sería conexo. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + Así, si +\begin_inset Formula $X\neq\emptyset$ +\end_inset + + es conexo e +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + es discreto, toda función continua +\begin_inset Formula $X\to Y$ +\end_inset + + es constante, pues +\begin_inset Formula $f(X)$ +\end_inset + + debe ser conexo, y en particular toda función +\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es constante. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Probamos el contrarrecíproco. + Si +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + es tal separación, +\begin_inset Formula $U\cap Y,V\cap Y\neq\emptyset$ +\end_inset + + son abiertos de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(U\cap Y)\cup(V\cap Y)=(U\cup V)\cap Y\overset{Y\subseteq U\cap V}{=}Y$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U\cap Y)\cap(V\cap Y)=U\cap V\cap Y=\emptyset$ +\end_inset + +, por lo que forman una separación de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Probamos el contrarrecíproco. + Si +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + es una separación de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + por abiertos de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $U'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V'$ +\end_inset + + abiertos de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $U=U'\cap Y$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V=V'\cap Y$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $Y=U\cap V=(U'\cap Y)\cap(V'\cap Y)=U'\cap V'\cap Y\subseteq U'\cap V'$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $U=U'\cap Y,V=V'\cap Y\neq\emptyset$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U'\cap V'\cap Y=(U'\cap Y)\cap(V'\cap Y)=U\cap V=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dada una separación +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $Y\subseteq X$ +\end_inset + + es un subespacio conexo de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $Y\subseteq U$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $Y\subseteq V$ +\end_inset + +. + En efecto, si no fuera así, serían +\begin_inset Formula $U\cap Y,V\cap Y\neq\emptyset$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $Y\subseteq X=U\cap V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U\cap V\cap Y=\emptyset\cap Y=\emptyset$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + sería una separación de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X\#$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, dado un subespacio conexo +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, todo +\begin_inset Formula $Z$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $Y\subseteq Z\subseteq\overline{Y}$ +\end_inset + + es conexo. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Si hubiera una separación +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $Z$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + es entorno de algún elemento de +\begin_inset Formula $\overline{Y}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $U\cap Y\neq\emptyset$ +\end_inset + +, y análogamente +\begin_inset Formula $V\cap Y\neq\emptyset$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $U\cap V\cap Y\subseteq U\cap V\cap Z=\emptyset$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $Y\subseteq Z\subseteq U\cap V$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + es separación de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $\{Y_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + es una colección arbitraria de subespacios conexos de un espacio topológico + +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}Y_{i}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $Y:=\bigcup_{i\in I}Y_{i}$ +\end_inset + + es conexo +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues si hubiera una separación +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + por abiertos de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + +, si dado un +\begin_inset Formula $j\in I$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Y_{j}\in U$ +\end_inset + +, por ejemplo, entonces todos los +\begin_inset Formula $Y_{i}$ +\end_inset + + cortan con +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y por conexión están contenidos en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $V=\emptyset\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio del peine: +\series default + Dada una familia +\begin_inset Formula $\{Y_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + de subespacios conexos de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $Y'\subseteq X$ +\end_inset + + conexo, si +\begin_inset Formula $\forall i\in I,Y'\cap Y_{i}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Y'\cup\bigcup_{i}Y_{i}$ +\end_inset + + es conexo. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Si hubiera una separación +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + por abiertos de +\begin_inset Formula $Y:=Y'\cup\bigcup_{i}Y_{i}$ +\end_inset + +, si por ejemplo +\begin_inset Formula $Y'\subseteq U$ +\end_inset + +, todos los +\begin_inset Formula $Y_{i}$ +\end_inset + + cortan con +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y por tanto están contenidos, luego +\begin_inset Formula $V=\emptyset\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un espacio topológico es +\series bold +totalmente disconexo +\series default + si sus únicos subconjuntos conexos no vacíos son los unipuntuales, como + ocurre con los espacios discretos, +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, si un conjunto +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + tiene al menos dos puntos +\begin_inset Formula $a\neq b$ +\end_inset + + (por ejemplo, +\begin_inset Formula $a<b$ +\end_inset + +), entonces admite una separación por abiertos de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\{(-\infty,b),[b,+\infty)\}$ +\end_inset + +. + Todo espacio topológico no vacío totalmente disconexo es disconexo. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Ejemplos de conexión +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La hipérbola +\begin_inset Formula $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}-y^{2}=1\}$ +\end_inset + + no es conexa. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sean +\begin_inset Formula $U:=\{(x,y):x>0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $V:=\{(x,y):x<0\}$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + la hipérbola, es claro que ningún punto de la hipérbola cumple +\begin_inset Formula $x=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $Y\subseteq U\cap V=\{(x,y):x\neq0\}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $(1,0)\in U\cap Y$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(-1,0)\in V\cap Y$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U\cap V\cap Y=\emptyset\cap Y=\emptyset$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + + es una separación de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La esfera +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}$ +\end_inset + + es conexa si y sólo si +\begin_inset Formula $n\geq1$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Si +\begin_inset Formula $n=0$ +\end_inset + + claramente es disconexa. + Para +\begin_inset Formula $n\geq1$ +\end_inset + +, la función +\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{S}^{n}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $f(t_{1},\dots,t_{n})=(\cos t_{1},\sin t_{1}\cos t_{2},\sin t_{1}\sin t_{2}\cos t_{3},\dots,\sin t_{1}\cdots\cos t_{n},\sin t_{1}\cdots\sin t_{n})$ +\end_inset + + es continua y suprayectiva. + En efecto, dado +\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n},x_{n+1})\in\mathbb{S}^{n}$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $x_{1}\in[-1,1]$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $t_{1}\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\cos t_{1}=x_{1}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $x_{2}^{2}+\dots+x_{n+1}^{2}=\sin t_{1}^{2}=1-x_{1}^{2}$ +\end_inset + + como queríamos, y para +\begin_inset Formula $x_{2}$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $x_{2}\in[-\sin t_{1}^{2},\sin t_{1}^{2}]$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $t_{2}\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\sin t_{1}\cos t_{2}=x_{2}$ +\end_inset + +. + Repetimos este proceso hasta llegar a la última coordenada. + Si +\begin_inset Formula $x_{n+1}$ +\end_inset + + aparece con signo contrario al que debería, cambiamos el signo de +\begin_inset Formula $\cos t_{n}$ +\end_inset + +, lo que no afecta a su valor pero cambia el signo a +\begin_inset Formula $x_{n+1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ +\end_inset + + es conexo para +\begin_inset Formula $n>1$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +La función +\begin_inset Formula $h_{t}:\mathbb{S}^{n-1}\to\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $h_{t}(x):=tx$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $t>0$ +\end_inset + + es continua y suprayectiva, así como la función +\begin_inset Formula $\sigma:(0,+\infty)\to\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\sigma(x):=(x,0,\dots,0)$ +\end_inset + +, por lo que sus imágenes son conexas. + +\begin_inset Formula $\sigma((0,+\infty))$ +\end_inset + + corta con +\begin_inset Formula $h_{t}(\mathbb{S}^{n-1})$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $t$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $\sigma(t)=h_{t}((1,0,\dots,0))$ +\end_inset + +, luego por el criterio del peine, +\begin_inset Formula $\sigma((0,+\infty))\cup\bigcup_{t>0}h_{t}(\mathbb{S}^{n-1})=\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ +\end_inset + + es conexo. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula ${\cal GL}(3,\mathbb{R})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal O}(3,\mathbb{K})$ +\end_inset + + no son conexos. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula ${\cal GL}(3,\mathbb{R})=\{A\in{\cal M}_{3}(\mathbb{R}):\det A\neq0\}$ +\end_inset + +, luego existe la función continua +\begin_inset Formula $f:{\cal GL}(3,\mathbb{R})\to\mathbb{S}^{0}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $f(A):=\frac{\det A}{|\det A|}$ +\end_inset + + y es suprayectiva, pues +\begin_inset Formula $f(I_{3})=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(-I_{3})=-1$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula ${\cal O}(3,\mathbb{K})=\{A\in{\cal M}_{3}(\mathbb{R}):\det A\in\{-1,1\}\}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\det:{\cal O}(3,\mathbb{K})\to\mathbb{S}^{0}$ +\end_inset + + es una continua, y es suprayectiva tomando +\begin_inset Formula $I_{3},-I_{3}\in{\cal O}(3,\mathbb{K})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula ${\cal SO}(3)$ +\end_inset + + es conexo. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Se debe a la aplicación continua y suprayectiva +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{3}\to{\cal SO}(3)$ +\end_inset + + vista en el capítulo anterior. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Componentes conexas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un espacio topológico +\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ +\end_inset + +, la relación en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $x\sim y$ +\end_inset + + si y sólo si existe un subespacio conexo de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + es de equivalencia, y sus clases de equivalencia son las +\series bold +componentes conexas +\series default + de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Estas forman una partición de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + en subespacios conexos +\series bold +maximales +\series default +, pues todo subespacio conexo de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + está en una componente conexa, con lo que la componente conexa que contiene + un cierto +\begin_inset Formula $p\in X$ +\end_inset + + es la unión de todos los subespacios conexos que contienen a +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es conexo si y sólo si tiene una única componente conexa. + Las componentes conexas son cerradas en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, pues si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es una componente conexa, +\begin_inset Formula $\overline{A}$ +\end_inset + + es también conexo, pero como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es conexo maximal, +\begin_inset Formula $A=\overline{A}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Conexión por caminos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ +\end_inset + + es +\series bold +conexo por caminos +\series default + o +\series bold +por arcos +\series default + si para +\begin_inset Formula $x,y\in X$ +\end_inset + +, existe un camino que une +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo espacio conexo por arcos es conexo. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, si tuviera una separación +\begin_inset Formula $\{U,V\}$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $u\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha:[a,b]\to X$ +\end_inset + + un camino que une +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $S:=\alpha([a,b])$ +\end_inset + + es conexa por ser la imagen de un conexo por una función continua, debería + ser +\begin_inset Formula $S\subseteq U$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $S\subseteq V\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + El recíproco no se cumple +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues, por ejemplo, si +\begin_inset Formula $S:=\{(x,\sin\frac{1}{x})\}_{0<x\leq1}\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\overline{S}$ +\end_inset + + es conexo pero no conexo por arcos +\end_layout + +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $f:X\to Y$ +\end_inset + + es continua y +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es conexo por caminos, +\begin_inset Formula $f(X)$ +\end_inset + + también lo es +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues para +\begin_inset Formula $a,b\in f(X)$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $x,y\in X$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a=f(x)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b=f(y)$ +\end_inset + + y un camino +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + que une +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $f\circ\sigma$ +\end_inset + + es un camino que une +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $\{Y_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + es una colección de subespacios conexos por caminos de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}Y_{i}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Y:=\bigcup_{i\in I}Y_{i}$ +\end_inset + + es conexo por caminos +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues dados +\begin_inset Formula $x_{0}\in\bigcap_{i\in I}Y_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x_{1},x_{2}\in Y$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i_{1},i_{2}\in I$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $x_{1}\in Y_{i_{1}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{2}\in Y_{i_{2}}$ +\end_inset + +, por conexión por arcos existen caminos +\begin_inset Formula $\sigma_{1}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $Y_{i_{1}}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $x_{1}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $x_{0}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma_{2}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $Y_{i_{2}}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $x_{0}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $x_{2}$ +\end_inset + +, y concatenándolos se obtiene un camino en +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + que une +\begin_inset Formula $x_{1}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x_{2}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un espacio vectorial +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X\subseteq E$ +\end_inset + + es +\series bold +convexo +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,[x,y]:=\{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}\subseteq X$ +\end_inset + + y +\series bold +estrellado +\series default + respecto a un +\begin_inset Formula $x_{0}\in X$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall x\in X,[x_{0},x]\subseteq X$ +\end_inset + +. + Todo +\begin_inset Formula $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + estrellado o convexo es conexo por caminos. +\end_layout + +\begin_layout Section +Compacidad +\end_layout + +\end_body +\end_document |