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@@ -598,12 +598,74 @@ componente normal \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Note Note +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -TODO Recordatorio del teorema de la función inversa para la siguiente demostraci -ón. + + +\backslash +sremember{FUVR2} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de la función inversa: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $f:I\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + continua en el intervalo +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + y derivable en su interior con derivada no nula, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es una biyección de +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + sobre un intervalo +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f^{-1}:J\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + es continua y derivable en el interior de +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula +\[ +(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}. +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +eremember \end_layout \end_inset @@ -2536,12 +2598,83 @@ Teorema fundamental \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Note Note +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -TODO Recordatorio del teorema de existencia y unicidad de soluciones de - sistemas de ecuaciones diferenciales. + + +\backslash +sremember{EDO} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una e.d.o. + es +\series bold +lineal +\series default + si es de la forma +\begin_inset Formula $\dot{x}=A(t)x+b(t)$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $A:I\subseteq\mathbb{R}\to{\cal L}(\mathbb{R}^{n})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b:I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + +[...]. + Como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son continuas, para +\begin_inset Formula $(t_{0},x_{0})\in I\times\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + +, el problema +\begin_inset Formula +\[ +\left\{ \begin{aligned}\dot{x} & =A(t)x+b(t),\\ +x(t_{0}) & =x_{0}, +\end{aligned} +\right. +\] + +\end_inset + +tiene solución única definida en todo +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +[...]. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +eremember \end_layout \end_inset @@ -2600,7 +2733,7 @@ les lineales con incógnitas \end_inset , por el teorema de existencia y unicidad de soluciones de sistemas de ecuacione -s diferenciales, existe una única +s diferenciales lineales, existe una única \begin_inset Formula $f:I\to\mathbb{R}^{n}$ \end_inset @@ -2613,15 +2746,6 @@ s diferenciales, existe una única \end_inset . - El dominio de definición es -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - por ser -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - un sistema lineal. \end_layout \begin_layout Standard |