1 files changed, 1510 insertions, 0 deletions
diff --git a/cyn/n2.lyx b/cyn/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..386c747
--- /dev/null
+++ b/cyn/n2.lyx
@@ -0,0 +1,1510 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+aplicación
+\series default
+ entre dos conjuntos 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es una relación 
+\begin_inset Formula $f\subseteq A\times B$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall a\in A,\exists!b\in B:(a,b)\in f$
+\end_inset
+
+.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $A\overset{f}{\longrightarrow}B$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula $b=f(a)\iff(a,b)\in f$
+\end_inset
+
+.
+ Por ejemplo, podemos definir 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(n)=n^{2}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $f=\{(n,n^{2}):n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si partimos de una igualdad y queremos interpretarla como la regla de una
+ aplicación, la llamamos 
+\series bold
+función
+\series default
+.
+ Podemos representar una aplicación:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Como dos conjuntos representados de forma similar a un diagrama de Euler-Venn,
+ en el que de cada elemento de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ parte una flecha hacia uno de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Como una gráfica, en la que los elementos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ se representan en el eje horizontal y los de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ en el eje vertical, y las relaciones se representan con puntos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dominio
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $\text{Dom}f=A$
+\end_inset
+
+, por lo que el término 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+conjunto inicial
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ no se usa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Codominio
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Conjunto final
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Imagen
+\series default
+ o 
+\series bold
+imagen directa
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $\text{Im}f=f(A)=\{b\in B:\exists a:f(a)=b\}\subseteq B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Regla de correspondencia
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+: Igualdad 
+\begin_inset Formula $b=f(a)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $b=f(a)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\emph on
+una
+\emph default
+ 
+\series bold
+preimagen
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+imagen
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+ley de composición externa
+\series default
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $B\times A\overset{\circ}{\longrightarrow}A$
+\end_inset
+
+.
+ Una 
+\series bold
+operación binaria
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $A\times A\overset{\circ}{\longrightarrow}A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La aplicación 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ es:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inyectiva
+\series default
+ o 
+\series bold
+uno a uno
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies a=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Suprayectiva
+\series default
+, 
+\series bold
+sobreyectiva
+\series default
+ o 
+\series bold
+exhaustiva
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall b\in B,\exists a\in A:f(a)=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Biyectiva
+\series default
+ si es inyectiva y suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+restricción de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ a su imagen
+\series default
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A\rightarrow\text{Im}f$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\hat{f}(a)=f(a)$
+\end_inset
+
+.
+ Se dice que 
+\begin_inset Formula $\hat{f}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+actúa igual
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Siempre es suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Imágenes directas e inversas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $X\subseteq A$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+imagen directa
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $f(X)=\{f(x)|x\in X\}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(\emptyset)=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+Se deriva de que 
+\begin_inset Formula $\emptyset\times B=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X\subseteq Y\implies f(X)\subseteq f(Y)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+y\in f(X)\implies\exists x\in X,y\in Y:f(x)=y\implies f(x)\in f(Y)\implies y\in f(Y)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A\implies f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $f\left(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $y\in f(\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}:f(x)=y$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:x\in X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $y\in f(X_{\alpha})\subseteq\cup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Considérese 
+\begin_inset Formula $y\in\cup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:y\in f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\exists x\in X_{\alpha}:f(x)=y$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, así que 
+\begin_inset Formula $y=f(x)\in f(\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A\implies f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $f\left(\bigcap_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)\subseteq\bigcap_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $y\in f(\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists x\in\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha}:f(x)=y$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $x\in\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,x\in X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,\exists x\in X_{\alpha}:f(x)=y$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí deducimos que 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,y\in f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $y\in\cap_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq B$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+imagen inversa
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $f(Y)^{-1}:=f^{-1}(Y):=\{a\in A|f(a)\in Y\}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(\emptyset)^{-1}=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+Se deriva de que 
+\begin_inset Formula $A\times\emptyset=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(B)^{-1}=A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X\subseteq B\implies\left(f(X)^{-1}\right)^{\complement}=f\left(X^{\complement}\right)^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X\subseteq Y\subseteq B\implies f(X)^{-1}\subseteq f(Y)^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,Y\subseteq B\implies f(X\cup Y)^{-1}=f(X)^{-1}\cup f(Y)^{-1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $f\left(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)^{-1}=\bigcup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in f(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:f(x)\in X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $x\in f(X_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,Y\subseteq B\implies f(X\cap Y)^{-1}=f(X)^{-1}\cap f(Y)^{-1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $f\left(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}\right)^{-1}=\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in f(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f(x)\in Y_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $x\in f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+, para todo 
+\begin_inset Formula $\alpha\in I$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí se tiene que 
+\begin_inset Formula $x\in\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $x\in f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $f(x)\in Y_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, para todo 
+\begin_inset Formula $\alpha\in I$
+\end_inset
+
+.
+ Esto significa que 
+\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $x\in f(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ es una aplicación, para todo 
+\begin_inset Formula $X\subseteq A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X\subseteq f(f(X))^{-1}$
+\end_inset
+
+, y para todo 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(f(Y)^{-1})\subseteq Y$
+\end_inset
+
+, y ambos contenidos pueden ser estrictos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Composición
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow C$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+composición de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ seguida de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ como la aplicación 
+\begin_inset Formula $g\circ f:A\rightarrow C$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Dom}(g\circ f)=\text{Dom}f$
+\end_inset
+
+ y el codominio de 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ es igual al de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow C$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $h:C\rightarrow D$
+\end_inset
+
+ son aplicaciones, entonces 
+\begin_inset Formula $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
+\end_inset
+
+.
+ La demostración parte de la coincidencia entre dominios y codominios que
+ permite considerar las distintas composiciones:
+\begin_inset Formula 
+\[
+(h\circ(g\circ f))(a)=h((g\circ f)(a))=h(g(f(a)))=(h\circ g)(f(a))=((h\circ g)\circ f)(a)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ aplicaciones inyectivas y 
+\begin_inset Formula $a,a'\in A$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $g(f(a))=g(f(a'))$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es inyectiva, 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La composición de aplicaciones suprayectivas es suprayectiva.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ suprayectivas y 
+\begin_inset Formula $c\in C$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists b\in B:g(b)=c$
+\end_inset
+
+ y a su vez 
+\begin_inset Formula $\exists a\in A:f(a)=b$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $a,a'\in A$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $g(f(a))=g(f(a'))$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')$
+\end_inset
+
+, y por ello 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva, 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para cualquier 
+\begin_inset Formula $c\in C$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists a\in A:(g\circ f)(a)=g(f(a))=c$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $\exists f(a)=b\in B:g(b)=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $X\subseteq A$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+restricción
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es la aplicación 
+\begin_inset Formula $f|_{X}:X\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f|_{X}(x)=f(x)$
+\end_inset
+
+.
+ También se puede interpretar como que 
+\begin_inset Formula $f|_{X}=f\circ u$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $u:X\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ como la 
+\series bold
+aplicación inclusión
+\series default
+, dada por 
+\begin_inset Formula $u(x)=x$
+\end_inset
+
+.
+ Al restringir una aplicación pueden variar sus propiedades.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Inversa de una aplicación biyectiva
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+aplicación identidad
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $1_{A}:A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $1_{A}(a)=a$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces decimos que 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+aplicación invertible
+\series default
+ o que tiene 
+\series bold
+inversa
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $g\circ f=1_{A}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f\circ g=1_{B}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora supongamos que 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ son inversas de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces,
+\begin_inset Formula 
+\[
+g=g\circ1_{B}=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=1_{A}\circ h=h
+\]
+
+\end_inset
+
+Por tanto la inversa de una aplicación es única, y la llamamos 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Además 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es invertible si y sólo si es biyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $a,a'\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(f(a))=f^{-1}(f(a'))$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+ Ahora, 
+\begin_inset Formula $\forall b\in B,\exists a=f^{-1}(b)\in A:f(a)=b$
+\end_inset
+
+, por lo que es suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Para cada 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ consideremos la imagen inversa 
+\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva, 
+\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $a,a'\in f(\{b\})^{-1}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $b=f(a)=f(a')$
+\end_inset
+
+, y como es inyectiva, 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}$
+\end_inset
+
+ tiene un solo elemento.
+ Ahora definimos 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $g(b)\in f(b)^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Es inmediato comprobar que 
+\begin_inset Formula $g=f^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son invertibles, 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ también lo es y su inversa es 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Un ejemplo de aplicaciones invertibles son las 
+\series bold
+permutaciones
+\series default
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $0\neq n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A=\{a_{1},\dots,a_{n}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces una permutación de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es una biyección 
+\begin_inset Formula $\sigma:A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+.
+ Se suelen denotar como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\sigma:\left(\begin{array}{ccc}
+a_{1} & \dots & a_{n}\\
+\sigma(a_{1}) & \dots & \sigma(a_{n})
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $S(A)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de las permutaciones de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A=\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+, se escribe como 
+\begin_inset Formula $S_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Producto directo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ un conjunto y 
+\begin_inset Formula $F=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de conjuntos, se define el 
+\series bold
+producto directo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ como el conjunto
+\begin_inset Formula 
+\[
+\prod_{i\in I}A_{i}=\left\{ f:I\rightarrow\cup_{i\in I}:f(i)\in A_{i}\forall i\in I\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f\in\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+, escribimos 
+\begin_inset Formula $f=(x_{i})_{i\in I}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es finito y se escribe como una lista, podemos escribir el conjunto como
+ 
+\begin_inset Formula $A_{1}\times\cdots\times A_{n}=\{(x_{1},\dots,x_{n}):x_{i}\in A_{i},i=1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si no se quiere escribir el conjunto de índices, este se presupone.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Debemos tener en cuenta que el producto cartesiano se usa en la definición
+ de relación y aplicación, por lo que el producto directo requiere de la
+ definición del cartesiano y no puede sustituirlo, aunque exista una biyección
+ cuando el número de factores es finito y usemos la misma escritura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ conjuntos y 
+\begin_inset Formula $F=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $G=\{B_{j}\}_{j\in J}$
+\end_inset
+
+ familias de conjuntos.
+ Si existe una biyección 
+\begin_inset Formula $\sigma:I\rightarrow J$
+\end_inset
+
+ y un conjunto de biyecciones 
+\begin_inset Formula $\{f_{i}:A_{i}\rightarrow B_{\sigma(i)}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+, entonces existe una biyección 
+\begin_inset Formula $f:\prod_{i\in I}A_{i}\rightarrow\prod_{j\in J}B_{j}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x)_{j}=f_{\sigma^{-1}(j)}\left(x_{\sigma^{-1}(j)}\right)$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $x\in\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ para cada 
+\begin_inset Formula $x\in\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ y cada 
+\begin_inset Formula $j\in J$
+\end_inset
+
+ existe un único 
+\begin_inset Formula $f_{\sigma^{-1}(j)}\left(x_{\sigma^{-1}(j)}\right)$
+\end_inset
+
+, de modo que la relación es de aplicación, y debemos ver que es biyectiva.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $g:\prod_{j\in J}B_{j}\rightarrow\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $g(y)_{i}=f_{i}^{-1}\left(y_{\sigma(i)}\right)$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $f_{i}^{-1}:B_{\sigma(i)}\rightarrow A_{i}$
+\end_inset
+
+).
+ Como también es aplicación, debemos probar que sean inversas.
+ Entonces:
+\begin_inset Formula 
+\[
+g(f(x))_{i}=f_{i}^{-1}(f(x)_{\sigma(i)})=f_{i}^{-1}\left(f_{\sigma^{-1}(\sigma(i))}\left(x_{\sigma^{-1}(\sigma(i))}\right)\right)=f_{i}^{-1}(f_{i}(x_{i}))=x_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De forma análoga, 
+\begin_inset Formula $f(g(y))=y$
+\end_inset
+
+, y como tiene inversa, la aplicación es biyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Axioma de Elección:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es un conjunto no vacío y 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de conjuntos no vacíos, entonces 
+\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ es no vacío.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document