64 files changed, 51921 insertions, 0 deletions

diff --git a/.gitignore b/.gitignore
new file mode 100644
index 0000000..56fb570
--- /dev/null
+++ b/.gitignore
@@ -0,0 +1,281 @@
+## Core latex/pdflatex auxiliary files:
+*.aux
+*.lof
+*.log
+*.lot
+*.fls
+*.out
+*.toc
+*.fmt
+*.fot
+*.cb
+*.cb2
+.*.lb
+
+## Intermediate documents:
+*.dvi
+*.xdv
+*-converted-to.*
+# these rules might exclude image files for figures etc.
+# *.ps
+# *.eps
+# *.pdf
+
+## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:"
+.pdf
+
+## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber):
+*.bbl
+*.bcf
+*.blg
+*-blx.aux
+*-blx.bib
+*.run.xml
+
+## Build tool auxiliary files:
+*.fdb_latexmk
+*.synctex
+*.synctex(busy)
+*.synctex.gz
+*.synctex.gz(busy)
+*.pdfsync
+
+## Build tool directories for auxiliary files
+# latexrun
+latex.out/
+
+## Auxiliary and intermediate files from other packages:
+# algorithms
+*.alg
+*.loa
+
+# achemso
+acs-*.bib
+
+# amsthm
+*.thm
+
+# beamer
+*.nav
+*.pre
+*.snm
+*.vrb
+
+# changes
+*.soc
+
+# comment
+*.cut
+
+# cprotect
+*.cpt
+
+# elsarticle (documentclass of Elsevier journals)
+*.spl
+
+# endnotes
+*.ent
+
+# fixme
+*.lox
+
+# feynmf/feynmp
+*.mf
+*.mp
+*.t[1-9]
+*.t[1-9][0-9]
+*.tfm
+
+#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar
+*.end
+*.?end
+*.[1-9]
+*.[1-9][0-9]
+*.[1-9][0-9][0-9]
+*.[1-9]R
+*.[1-9][0-9]R
+*.[1-9][0-9][0-9]R
+*.eledsec[1-9]
+*.eledsec[1-9]R
+*.eledsec[1-9][0-9]
+*.eledsec[1-9][0-9]R
+*.eledsec[1-9][0-9][0-9]
+*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R
+
+# glossaries
+*.acn
+*.acr
+*.glg
+*.glo
+*.gls
+*.glsdefs
+*.lzo
+*.lzs
+
+# uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!)
+# *.ist
+
+# gnuplottex
+*-gnuplottex-*
+
+# gregoriotex
+*.gaux
+*.gtex
+
+# htlatex
+*.4ct
+*.4tc
+*.idv
+*.lg
+*.trc
+*.xref
+
+# hyperref
+*.brf
+
+# knitr
+*-concordance.tex
+# TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files
+*.tikz
+*-tikzDictionary
+
+# listings
+*.lol
+
+# luatexja-ruby
+*.ltjruby
+
+# makeidx
+*.idx
+*.ilg
+*.ind
+
+# minitoc
+*.maf
+*.mlf
+*.mlt
+*.mtc[0-9]*
+*.slf[0-9]*
+*.slt[0-9]*
+*.stc[0-9]*
+
+# minted
+_minted*
+*.pyg
+
+# morewrites
+*.mw
+
+# nomencl
+*.nlg
+*.nlo
+*.nls
+
+# pax
+*.pax
+
+# pdfpcnotes
+*.pdfpc
+
+# sagetex
+*.sagetex.sage
+*.sagetex.py
+*.sagetex.scmd
+
+# scrwfile
+*.wrt
+
+# sympy
+*.sout
+*.sympy
+sympy-plots-for-*.tex/
+
+# pdfcomment
+*.upa
+*.upb
+
+# pythontex
+*.pytxcode
+pythontex-files-*/
+
+# tcolorbox
+*.listing
+
+# thmtools
+*.loe
+
+# TikZ & PGF
+*.dpth
+*.md5
+*.auxlock
+
+# todonotes
+*.tdo
+
+# vhistory
+*.hst
+*.ver
+
+# easy-todo
+*.lod
+
+# xcolor
+*.xcp
+
+# xmpincl
+*.xmpi
+
+# xindy
+*.xdy
+
+# xypic precompiled matrices and outlines
+*.xyc
+*.xyd
+
+# endfloat
+*.ttt
+*.fff
+
+# Latexian
+TSWLatexianTemp*
+
+## Editors:
+# WinEdt
+*.bak
+*.sav
+
+# Texpad
+.texpadtmp
+
+# LyX
+*.lyx~
+
+# Kile
+*.backup
+
+# gummi
+.*.swp
+
+# KBibTeX
+*~[0-9]*
+
+# TeXnicCenter
+*.tps
+
+# auto folder when using emacs and auctex
+./auto/*
+*.el
+
+# expex forward references with \gathertags
+*-tags.tex
+
+# standalone packages
+*.sta
+
+# Makeindex log files
+*.lpz
+
+# REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib
+# option is specified. Footnotes are the stored in a file with suffix Notes.bib.
+# Uncomment the next line to have this generated file ignored.
+#*Notes.bib
\ No newline at end of file
diff --git a/README.md b/README.md
new file mode 100644
index 0000000..a8c4cad
--- /dev/null
+++ b/README.md
@@ -0,0 +1,31 @@
+# Apuntes
+
+Este repositorio contiene apuntes para las asignaturas del PCEO en Matemáticas e
+Ingeniería Informática de la Universidad de Murcia. Estos apuntes no son
+oficiales ni están afiliados de algún modo a la Universidad de Murcia.
+Cualquiera es libre de enviar correcciones, modificaciones ante cambios en los
+contenidos académicos u otras mejoras.
+
+Por el momento, las asignaturas de matemáticas de las que se incluyen apuntes
+son las siguientes:
+
+* `algl`: Álgebra Lineal.
+* `cyn`: Conjuntos y Números.
+* `fuvr1`: Funciones de Una Variable Real I.
+
+Las asignaturas de ingeniería informática que se incluyen son las siguientes:
+* `fc`: Fundamentos de Computadores.
+* `ip`: Introducción a la Programación.
+* `logic`: Fundamentos Lógicos de la Informática.
+
+Los apuntes están escritos con [https://www.lyx.org/](LyX). En cada directorio,
+el fichero `n.lyx` es el fichero principal con los apuntes de la asignatura.
+En distribuciones basadas en Debian, LyX y todo lo necesario de
+[https://www.tug.org/texlive/](TeX Live) se pueden instalar mediante
+`sudo apt install lyx texlive-full`, si bien realmente muchos de los paquetes
+que se instalan con esta orden no son necesarios.
+
+Para compilar los apuntes, `lyx -e pdf2 n.lyx` convierte a PDF y
+`lyx -e html n.lyx` convierte a HTML, aunque también se puede usar la interfaz
+gráfica de LyX. Si encuentra problemas de accesibilidad, no dude en enviar una
+"Issue" al respecto.
diff --git a/algl/n.lyx b/algl/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..0b82057
--- /dev/null
+++ b/algl/n.lyx
@@ -0,0 +1,208 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize a5paper
+\use_geometry true
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\leftmargin 0.2cm
+\topmargin 0.7cm
+\rightmargin 0.2cm
+\bottommargin 0.7cm
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle empty
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Álgebra lineal
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2017}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Material clases teóricas, Álgebra Lineal, Universidad de Murcia (anónimo).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Espacios vectoriales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Aplicaciones Lineales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Sistemas de ecuaciones lineales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Determinantes
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n4.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Diagonalización de endomorfismos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/algl/n1.lyx b/algl/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..47d85c9
--- /dev/null
+++ b/algl/n1.lyx
@@ -0,0 +1,3673 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Cuerpos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Conjunto 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ con dos operaciones, 
+\series bold
+suma
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $+$
+\end_inset
+
+) y 
+\series bold
+producto
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\cdot$
+\end_inset
+
+), tales que 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in K$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad asociativa de la suma: 
+\series default
+
+\begin_inset Formula $a+(b+c)=(a+b)+c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad conmutativa de la suma: 
+\begin_inset Formula $a+b=b+a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Elemento neutro para la suma
+\series default
+ o 
+\series bold
+nulo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists!0\in K:\forall a\in K,0+a=a$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Pongamos que existe otro 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $0'$
+\end_inset
+
+), entonces 
+\begin_inset Formula $0=0+0'=0'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Inverso para la suma
+\series default
+ u 
+\series bold
+opuesto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in K,\exists!a':a+a'=0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $-a:=a'$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Pongamos que existe otro opuesto 
+\begin_inset Formula $a''$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a'=0+a'=(a''+a)+a'=a''+(a+a')=a''+0=a''$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad asociativa del producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad conmutativa del producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot b=b\cdot a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Elemento neutro para el producto
+\series default
+ o 
+\series bold
+unidad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists!1\in K:\forall a\in K,1\cdot a=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Inverso para el producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in K\backslash\{0\},\exists!a'':a\cdot a''=1$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $a^{-1}:=\frac{1}{a}:=a''$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad distributiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La congruencia 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}$
+\end_inset
+
+ con operaciones 
+\begin_inset Formula $0+0=1+1=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0+1=1+0=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $1\cdot1=1$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo.
+ Siempre existe un cuerpo 
+\begin_inset Formula $F_{p^{n}}$
+\end_inset
+
+, formado por 
+\begin_inset Formula $p^{n}$
+\end_inset
+
+ elementos, donde 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es primo.
+ Algunas propiedades: 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in K$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a+b=a+c\implies b=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0a=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(-a)b=a(-b)=-(ab)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(-1)a=-a$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(-a)(-b)=ab$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $ab=0\implies a=0\lor b=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $ab=ac\implies a=0\lor b=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+El cuerpo de los números complejos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si consideramos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
+\end_inset
+
+, obtenemos el cuerpo de los números complejos (
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+).
+ El conjunto de elementos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ con forma 
+\begin_inset Formula $(a,0)$
+\end_inset
+
+ es una copia del cuerpo 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+unidad imaginaria
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $i=(0,1)$
+\end_inset
+
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $i^{2}=i\cdot i=(-1,0)=-1$
+\end_inset
+
+.
+ Dado que 
+\begin_inset Formula $(b,0)i=(0,b)$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $(b,0)$
+\end_inset
+
+ es el número real 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, tenemos 
+\begin_inset Formula $(a,b)=a+bi$
+\end_inset
+
+, lo que denominamos la 
+\series bold
+forma binomial.
+
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+componente real,
+\series default
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ la 
+\series bold
+componente imaginaria.
+
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $z=a+bi$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+conjugado
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\overline{z}=a-bi$
+\end_inset
+
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $z=\overline{z}\iff z\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos representar un número complejo 
+\begin_inset Formula $z=a+bi$
+\end_inset
+
+ como un punto del plano, con coordenadas 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ La distancia del punto al origen de coordenadas, llamada 
+\series bold
+módulo
+\series default
+, es 
+\begin_inset Formula $r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{z\overline{z}}$
+\end_inset
+
+.
+ El ángulo con el eje 
+\begin_inset Formula $OX$
+\end_inset
+
+, llamado 
+\series bold
+argumento
+\series default
+, cumple que 
+\begin_inset Formula $a+bi=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))$
+\end_inset
+
+.
+ Esta es la 
+\series bold
+forma polar
+\series default
+ o 
+\series bold
+módulo argumental
+\series default
+ del complejo.
+ La multiplicación en forma polar es: 
+\begin_inset Formula $[r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))][r'(\cos(\alpha')+i\sin(\alpha'))]=rr'(\cos(\alpha+\alpha')+i\sin(\alpha+\alpha'))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+Teorema Fundamental del Álgebra
+\series default
+ nos dice que todo polinomio 
+\begin_inset Formula $P(x)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $n\geq1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{i}\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+, tiene raíz compleja.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Característica de un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\forall a\in K,n\in\mathbb{N},na=\underset{n\text{ veces}}{a+a+\cdots+a}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En particular, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+n1=\underset{n\text{ veces}}{1+1+\cdots+1}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto, 
+\begin_inset Formula $na=(n1)a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $n1+m1=(n+m)1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(n1)(m1)=(nm)1$
+\end_inset
+
+ para cualquier cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un cuerpo tiene 
+\series bold
+característica cero
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall n>0,n1\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ De lo contrario, se dice que tiene 
+\series bold
+característica 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\series default
+, siendo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ el menor natural tal que 
+\begin_inset Formula $n1=0$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $na=(n1)a\implies na=0$
+\end_inset
+
+.
+ Dado que 
+\begin_inset Formula $ab=0\iff a=0\lor b=0$
+\end_inset
+
+, tenemos que 
+\begin_inset Formula $\exists p,q<n:n=pq\implies0=n1=(p1)(q1)\implies p1=0\lor q1=0$
+\end_inset
+
+, por lo que la característica de un cuerpo es cero o un nº primo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Espacios vectoriales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio vectorial
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, o 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial, es una terna 
+\begin_inset Formula $(V,+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $V\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $+$
+\end_inset
+
+ es una operación 
+\begin_inset Formula $V\times V\longrightarrow V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\cdot$
+\end_inset
+
+ es una operación 
+\begin_inset Formula $K\times V\longrightarrow V$
+\end_inset
+
+, tales que 
+\begin_inset Formula $\forall u,v,w\in V,\alpha,\beta\in K$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Suma asociativa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $u+(v+w)=(u+v)+w$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Suma conmutativa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $u+v=v+u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Vector cero
+\series default
+ o 
+\series bold
+nulo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists0_{V}:\forall u\in V,0_{V}+u=u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Opuesto para la suma:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall u\in V,\exists u':u+u'=0_{V}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $u':=-u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\alpha\cdot(u+v)=\alpha\cdot u+\alpha\cdot v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\alpha+\beta)\cdot u=\alpha\cdot u+\beta\cdot u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\alpha\cdot\beta)\cdot u=\alpha\cdot(\beta\cdot u)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $1_{K}\cdot u=u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+vectores
+\series default
+ a los elementos de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+escalares
+\series default
+ a los de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+ Todo cuerpo es espacio vectorial sobre sí mismo.
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es espacio vectorial sobre 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El plano real 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}$
+\end_inset
+
+, con las operaciones 
+\begin_inset Formula $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha(x,y)=(\alpha x,\alpha y)$
+\end_inset
+
+, es un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+ El conjunto 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ de las 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-uplas de elementos de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $K^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}|x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in K\}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial con las operaciones 
+\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})+(y_{1},\dots,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\dots,x_{n}+y_{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha(x_{1},\dots x_{n})=(\alpha x_{1},\dots,\alpha x_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ También, si 
+\begin_inset Formula $V_{1},\dots,V_{n}$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales, el conjunto 
+\begin_inset Formula $V_{1}\times\dots\times V_{n}=\{(v_{1},v_{2},\dots,v_{n})|v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\dots,v_{n}\in V_{n}\}$
+\end_inset
+
+, con operaciones similares, es un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial llamado 
+\series bold
+espacio vectorial producto
+\series default
+ de los 
+\begin_inset Formula $V_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+matriz
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ de tamaño 
+\begin_inset Formula $m\times n$
+\end_inset
+
+ (con 
+\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+) sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es una disposición en 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ filas y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ columnas de 
+\begin_inset Formula $m\cdot n$
+\end_inset
+
+ elementos de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+ La matriz es 
+\series bold
+cuadrada
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $m=n$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+fila
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $m=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+columna
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de las matrices 
+\begin_inset Formula $m\times n$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $M_{n,n}(K)=M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+.
+ Se representan de la siguiente forma:
+\begin_inset Formula 
+\[
+A=\left(\begin{array}{cccc}
+a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
+a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
+\end{array}\right),\,a_{ij}\in K\forall1\leq i\leq m,1\leq j\leq n
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\forall A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in M_{m,n}(K),A+B=(c_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$
+\end_inset
+
+ para cada elemento de la matriz.
+ También, 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in K,A\in M_{m,n}(K),\alpha A=(c_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c_{ij}=\alpha a_{ij}$
+\end_inset
+
+.
+ Con estas operaciones, 
+\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+polinomio
+\series default
+ en una 
+\series bold
+indeterminada
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ con 
+\series bold
+coeficientes
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es una expresión de la forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Donde 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es un entero no negativo, 
+\begin_inset Formula $a_{i}\in K\forall i=0,1,\dots n$
+\end_inset
+
+.
+ El conjunto de polinomios sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ se llama 
+\begin_inset Formula $K(X)$
+\end_inset
+
+ y es un espacio vectorial con las operaciones: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+(a_{0}+\dots+a_{n}X^{n})+(b_{0}+\dots+b_{n}X^{n}) & = & (a_{0}+b_{0})+\dots+(a_{n}+b_{n})X^{n}\\
+\alpha(a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}) & = & \alpha a_{0}+\alpha a_{1}X+\dots+\alpha a_{n}X^{n}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, el conjunto 
+\begin_inset Formula $\mathcal{F}(\mathcal{S},K)=\{f:\mathcal{S}\rightarrow K\}$
+\end_inset
+
+, formado por todas las aplicaciones de 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, con operaciones 
+\begin_inset Formula $(f+g)(s)=f(s)+g(s)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(\alpha f)(s)=\alpha f(s)$
+\end_inset
+
+, es un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+ Con estas mismas operaciones, el conjunto 
+\begin_inset Formula $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})=\{f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}|f\text{ continua}\}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades de los espacios vectoriales: 
+\begin_inset Formula $\forall u,v,w\in V,\alpha,\beta\in K$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $u+v=u+w\implies v=w$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+u+v=u+w\implies(-u)+(u+v)=(-u)+(u+w)=((-u)+u)+v=((-u)+u)+w=v=w
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0u=0_{V}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+0u+0u=(0+0)u=0u=0u+0_{V}\implies0u=0_{V}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\alpha0_{V}=0_{V}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha0_{V}+0_{V}=\alpha0_{V}=\alpha(0_{V}+0_{V})=\alpha0_{V}+\alpha0_{V}\implies\alpha0_{V}=0_{V}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $u\in V,\alpha u=0_{V}\implies\alpha=0\lor u=0_{V}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha u=\alpha v\implies\alpha=0\lor u=v$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha u=\beta u\implies\alpha=\beta\lor u=0_{V}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\alpha u=0_{V}\\
+\alpha\neq0
+\end{array}\implies u=(\alpha^{-1}\cdot\alpha)u=\alpha^{-1}(\alpha u)=\alpha^{-1}\cdot0_{V}=0_{V}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\alpha u=\alpha v\\
+\alpha\neq0
+\end{array}\implies\alpha^{-1}(\alpha u)=\alpha^{-1}(\alpha v)=1\cdot u=1\cdot v=u=v
+\]
+
+\end_inset
+
+Para la última demostración, usamos (5):
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\begin{array}{c}
+\alpha u=\beta u\\
+u\neq0_{V}
+\end{array}\implies0_{V}=\alpha u+(-(\beta u))\overset{(5)}{=}\alpha u+(-\beta)u=(\alpha+(-\beta))u\implies\\
+\implies\alpha+(-\beta)=0\implies\alpha=\beta
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $u\in V,(-\alpha)u=\alpha(-u)=-(\alpha u)$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+(-\alpha)u+\alpha u=(-\alpha+\alpha)u=0u=0_{V}\implies(-\alpha)u=-(\alpha u)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha(-u)+\alpha u=\alpha(-u+u)=\alpha\cdot0_{V}=0_{V}\implies\alpha(-u)=-(\alpha u)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También podemos llamar 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $0_{V}$
+\end_inset
+
+ si esto no conlleva ambigüedad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subespacios vectoriales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $U\subseteq V$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $U\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+) es un 
+\series bold
+subespacio vectorial
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $U\leq V$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\forall u,v\in U,u+v\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\forall u\in U,\alpha\in K,\alpha u\in U$
+\end_inset
+
+.
+ De esta forma 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es también un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los subconjuntos 
+\begin_inset Formula $\{0\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son subespacios vectoriales de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\{(x_{1},\dots,x_{n})\in K^{n}|x_{1}+\dots+x_{n}=0\}$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ El conjunto 
+\begin_inset Formula $\mathcal{P}_{n}$
+\end_inset
+
+ de polinomios con coeficientes reales con grado menor o igual a 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, junto con el 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+, es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+.
+ También lo es 
+\begin_inset Formula $U_{a,b}=\{f\in\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}):f(a)=f(b)\}$
+\end_inset
+
+ respecto de 
+\begin_inset Formula $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Combinaciones lineales.
+ Sistemas de generadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $u\in V$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+combinación lineal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}\in V$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in K:u=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Se dice que es combinación lineal de vectores de 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ (con 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq V$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\exists n\in\mathbb{N},v_{1},\dots,v_{n}\in\mathcal{S}:u=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Los escalares 
+\begin_inset Formula $\alpha_{i}$
+\end_inset
+
+ se llaman 
+\series bold
+coeficientes
+\series default
+ de la combinación.
+ Así, un subconjunto no vacío 
+\begin_inset Formula $U\subseteq V$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si cualquier combinación lineal de vectores de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ también está en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ es un subconjunto no vacío de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, el conjunto 
+\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+ de todas las combinaciones lineales de vectores en 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ es el menor subespacio vectorial tal que 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq<{\cal S}>$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $u\in\mathcal{S}\implies1\cdot u\in<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $u,v\in<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+, entonces existirán 
+\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k},v_{1},\dots,v_{l}\in\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots\alpha_{k},\beta_{1},\dots,\beta_{l}\in K$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $u=\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v=\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{l}+v_{l}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $u+v$
+\end_inset
+
+ también es combinación lineal de vectores en 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ y por tanto está en 
+\begin_inset Formula $<S>$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\alpha\in K$
+\end_inset
+
+, tenemos que 
+\begin_inset Formula $u=\alpha\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha\alpha_{k}u_{k}\in<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+.
+ Finalmente, si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ que contiene a 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+, como toda combinación de vectores de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ está en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>\subseteq U$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un subconjunto 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq V$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+sistema de generadores
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>=V$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+de dimensión finita
+\series default
+ o 
+\series bold
+finitamente generado
+\series default
+ si tiene un sistema de generadores finito.
+ Estas definiciones también son válidas para subespacios vectoriales.
+ 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es el subespacio 
+\series bold
+generado
+\series default
+ por 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $U=<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Dependencia e independencia lineal
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq V$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+linealmente independiente
+\series default
+ si la única forma de obtener el vector nulo como combinación lineal de
+ vectores de 
+\begin_inset Formula ${\cal S}$
+\end_inset
+
+ es tomando todos los coeficientes nulos.
+ De lo contrario es 
+\series bold
+linealmente dependiente
+\series default
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\{v\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente si y sólo si 
+\begin_inset Formula $v\neq0$
+\end_inset
+
+, con lo que cualquier conjunto 
+\begin_inset Formula $\{0\}\subseteq{\cal S}$
+\end_inset
+
+ es linealmente dependiente.
+ En 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C_{R}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{1,i\}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ con escalares reales) es linealmente independiente, mientras que en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C_{C}}$
+\end_inset
+
+ es linealmente dependiente porque 
+\begin_inset Formula $1+(i)i=0$
+\end_inset
+
+.
+ Un subconjunto de un conjunto linealmente independiente también es linealmente
+ dependiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ con al menos dos vectores es linealmente dependiente si y sólo si alguno
+ de ellos es combinación lineal del resto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Se tiene que existen 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}$
+\end_inset
+
+ no todos nulos con 
+\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}v_{i}=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Suponemos 
+\begin_inset Formula $\alpha_{j}\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{j}v_{j}=-\sum_{i=1,i\neq j}^{m}\alpha_{i}v_{i}=-\alpha_{1}v_{1}-\dots-\alpha_{j-1}v_{j-1}-\alpha_{j+1}v_{j+1}-\dots-\alpha_{m}v_{m}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $v_{j}=-\sum_{i=1,i\neq j}^{m}(\alpha_{j}^{-1}\alpha_{i}v_{i})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $v_{j}$
+\end_inset
+
+ es combinación lineal de 
+\begin_inset Formula $\{v_{i}\}_{1\leq i\leq m}$
+\end_inset
+
+, existen escalares 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\dots,\alpha_{m}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $v_{j}=\alpha_{1}v_{1}\dots,\alpha_{j-1}v_{j-1}+\alpha_{j+1}v_{j+1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=\sum_{i=1,i\neq j}^{m}\alpha_{i}v_{i}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $0=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{j-1}v_{j-1}+(-1)v_{j}+\alpha_{j+1}v_{j+1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Bases.
+ Dimensión
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+base
+\series default
+ de un espacio vectorial es un sistema de generadores linealmente independiente.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\{1\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $K_{K}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{(1,0,\dots,0),(0,1,0,\dots,0),\dots,(0,0,\dots,0,1)\}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+base canónica
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{1,X,\dots,X^{n},\dots\}$
+\end_inset
+
+ lo es de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+.
+ Si llamamos 
+\begin_inset Formula $A_{ij}\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ a la matriz con un 1 en el lugar 
+\begin_inset Formula $ij$
+\end_inset
+
+ y 0 en el resto, entonces 
+\begin_inset Formula $\{A_{ij}:1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si y sólo si todo 
+\begin_inset Formula $v\in V$
+\end_inset
+
+ se expresa de modo único como combinación lineal de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base, es sistema de generadores, por lo que todo vector de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es combinación lineal de vectores de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, sea 
+\begin_inset Formula $v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}v_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $0=(\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n})-(\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}v_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $0=(\alpha_{1}-\beta_{1})v_{1}+\dots+(\alpha_{n}-\beta_{n})v_{n}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}-\beta_{1}=\dots=\alpha_{n}-\beta_{n}=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+ se expresa de modo único.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es entonces sistema de generadores y queda demostrar que es linealmente
+ dependiente.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{m}\in{\cal B}$
+\end_inset
+
+, como el 0 se representa de modo único, se tiene que si 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0=0v_{1}+\dots+0v_{m}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{m}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $S=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto linealmente independiente y 
+\begin_inset Formula $u\notin<S>$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $S\cup\{u\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m},\beta$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}+\beta u=0$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\beta\neq0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\beta u=-(\alpha v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m})$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $u=-\beta^{-1}\alpha_{1}v_{1}-\dots-\beta^{-1}\alpha_{m}v_{m}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $u\in<S>$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\beta=0$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{m}=0$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $S\cup\{u\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Todo espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V\neq\{0\}$
+\end_inset
+
+ tiene una base.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+ para espacios finitamente generados.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $V=<u_{1},\dots,u_{m}>$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ el conjunto de subconjuntos 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq\{u_{1},\dots,u_{m}\}$
+\end_inset
+
+ linealmente independientes.
+ Sabemos que 
+\begin_inset Formula ${\cal A}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ porque como 
+\begin_inset Formula $V\neq\{0\}$
+\end_inset
+
+ existe un 
+\begin_inset Formula $u_{i_{0}}\neq0$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\{u_{i_{0}}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+ un elemento de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ con un máximo de vectores, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si es sistema de generadores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $u_{i}$
+\end_inset
+
+ un elemento del conjunto de generadores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $u_{i}\in{\cal B}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $u_{i}\in<{\cal B}>$
+\end_inset
+
+.
+ Si no, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal B}\cup\{u_{i}\}\subseteq\{u_{1},\dots,u_{m}\}$
+\end_inset
+
+ tiene un elemento más que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+, que es un elemento de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ con el número máximo de vectores, por lo que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}\cup\{u_{i}\}\notin{\cal A}$
+\end_inset
+
+ y será linealmente de
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+pen
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+dien
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+te, pero entonces 
+\begin_inset Formula $u_{i}\in<{\cal B}>$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+.
+ Acabamos de probar que 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{m}\}\subseteq<{\cal B}>$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $V=<u_{1},\dots,u_{m}>\subseteq<{\cal B}>\subseteq V$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $<{\cal B}>=V$
+\end_inset
+
+ y ya hemos demostrado que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de Steinitz:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto li
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ne
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+al
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+men
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+te independiente, entonces se pueden sustituir 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ vectores de 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ por los vectores 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ y obtener una nueva base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $m\le n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Vemos que, como 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente, entonces 
+\begin_inset Formula $v_{1}\neq0$
+\end_inset
+
+, y tenemos que 
+\begin_inset Formula $v_{1}=\alpha_{1}u_{1}+\dots+a_{n}u_{n}$
+\end_inset
+
+ con algún 
+\begin_inset Formula $\alpha_{i}\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos suponer que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}\neq0$
+\end_inset
+
+, y queremos probar que 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base.
+ Primero probamos que es sistema de generadores: 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}=v_{1}-\alpha_{2}u_{2}-\dots-\alpha_{n}u_{n}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $u_{1}=\alpha_{1}^{-1}v_{1}-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{2}u_{2}-\dots-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{n}u_{n}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $u_{1}$
+\end_inset
+
+ es combinación lineal de 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $<v_{1},u_{2},\dots,u_{n}>$
+\end_inset
+
+ contiene un sistema de generadores, por lo que 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ Ahora bien, sean 
+\begin_inset Formula $\beta_{1},\dots,\beta_{n}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}u_{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+0 & = & \beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}u_{n}\\
+ & = & \beta_{1}(\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{n}u_{n})+\beta_{2}u_{2}+\dots+\beta_{n}u_{n}\\
+ & = & \beta_{1}\alpha_{1}u_{1}+(\beta_{1}\alpha_{1}+\beta_{2})u_{2}+\dots+(\beta_{1}\alpha_{n}+\beta_{n})u_{n}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Por tanto, como 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}\neq0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\beta_{1}=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\beta_{2}=\dots=\beta_{n}=0$
+\end_inset
+
+ y el nuevo conjunto es también linealmente independiente.
+ De aquí además podemos concluir que todo conjunto de vectores linealmente
+ independiente de un espacio vectorial puede completarse a una base (añadiendo
+ vectores fuera del subespacio generado por este conjunto).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Todas las bases de un espacio vectorial no nulo tienen el mismo número
+ de elementos.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ bases de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente, por el teorema de Steinitz tenemos que 
+\begin_inset Formula $m\leq n$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente, como 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ también lo es, entonces 
+\begin_inset Formula $n\leq m$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $m=n$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+dimensión
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\dim_{K}(V)$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\dim(V)$
+\end_inset
+
+) como el número de elementos de cualquier base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $V=\{0\}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\dim(V)=0$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ no es finitamente generado, entonces 
+\begin_inset Formula $\dim_{K}(V)=\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $\dim_{K}(K)=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\dim_{K}(K^{n})=n$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\dim(M_{m,n}(K))=mn$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\dim(\mathbb{R}[X])=\infty$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\dim(V)=n$
+\end_inset
+
+ entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo conjunto linealmente independiente de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vectores es una base.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Consecuencia del teorema de Steinitz.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo conjunto de generadores de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vectores es una base.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Siempre va a haber una base contenida en él y que va a tener 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vectores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $U\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\dim(U)\leq n$
+\end_inset
+
+ y además 
+\begin_inset Formula $\dim(U)=n\iff U=V$
+\end_inset
+
+.
+\series bold
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\series default
+Si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ entonces es un conjunto de vectores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ linealmente independiente y tiene como máximo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ elementos, por lo que 
+\begin_inset Formula $\dim(U)\leq\dim(V)$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(V)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ elementos y, por la primera propiedad, también es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $U=<{\cal B}'>=V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos el 
+\series bold
+rango
+\series default
+ de un conjunto de vectores como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\text{rang}(\{u_{1},\dots,u_{m}\})=\dim(<u_{1},\dots,u_{m}>)
+\]
+
+\end_inset
+
+Así, si 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}\subseteq V$
+\end_inset
+
+, es fácil comprobar que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{j},\dots,v_{i},\dots,v_{m}\})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\alpha\neq0\implies\text{rang}(\{v_{1},\dots v_{i},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,\alpha v_{i},\dots,v_{m}\})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i}+\alpha v_{j},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una forma de determinar el rango de un conjunto de vectores es ir haciendo
+ estas operaciones y eliminando posibles vectores nulos hasta encontrar
+ un conjunto linealmente independiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Operaciones elementales.
+ Matrices escalonadas.
+ Método Gauss-Jordan
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En una matriz 
+\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, a intercambiar dos columnas, multiplicar una fila por un 
+\begin_inset Formula $0\neq\alpha\in K$
+\end_inset
+
+ o añadir una fila a otra multiplicada por un 
+\begin_inset Formula $\alpha\in K$
+\end_inset
+
+ se les llama 
+\series bold
+operaciones elementales por filas
+\series default
+.
+ Las 
+\series bold
+operaciones elementales por columnas
+\series default
+ se definen de forma análoga.
+ Si 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es la matriz resultante de aplicar una serie de operaciones elementales
+ por filas a 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, entonces el subespacio de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ generado por las filas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es el mismo que el generado por las filas de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una matriz 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ está en forma 
+\series bold
+escalonada por filas
+\series default
+ si las filas nulas, de haberlas, son las últimas, el primer elemento no
+ nulo de cada fila no nula es un 1 (llamado 
+\series bold
+pivote
+\series default
+) y el pivote de cada fila no nula está en una columna posterior a la de
+ cada uno de los pivotes anteriores.
+ En las matrices escalonadas por filas, las filas no nulas son linealmente
+ independientes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si en cada columna que contenga un pivote el resto de elementos son nulos,
+ la matriz está en forma 
+\series bold
+escalonada reducida por filas
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ Cambiando filas por columnas tendríamos una matriz en forma 
+\series bold
+escalonada por columnas
+\series default
+ o 
+\series bold
+escalonada reducida por columnas
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Método de eliminación Gauss-Jordan:
+\series default
+ Toda matriz se puede llevar a forma escalonada (también escalonada reducida)
+ mediante operaciones elementales por filas.
+ Algoritmo:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Encontrar el primer elemento 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ no nulo de la primera columna no nula e intercambiar su fila con la primera.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Multiplicarla por 
+\begin_inset Formula $a^{-1}$
+\end_inset
+
+ para obtener un pivote.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Hacer operaciones 
+\begin_inset Formula $Fila_{i}-cFila_{1}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ es el elemento de cada fila debajo del pivote.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Repetir el proceso con la matriz resultado de eliminar la primera fila hasta
+ terminar la matriz.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para obtener la escalonada reducida, hacer operaciones 
+\begin_inset Formula $Fila_{i}-cFila_{k}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $i<k$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ es el elemento encima del pivote de la fila 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para obtener la base de un subespacio 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ generado por 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ vectores, escalonamos la matriz 
+\begin_inset Formula $m\times n$
+\end_inset
+
+ cuyas filas son los vectores generadores del subespacio, y los vectores
+ correspondientes a filas no nulas forman una base.
+ Los vectores fila de cada nueva matriz son combinaciones lineales de los
+ iniciales.
+ Para obtener los coeficientes de estas combinaciones, anexamos la matriz
+ identidad a la derecha de la original, separada por una línea, y le aplicamos
+ también las operaciones, sin considerar estos coeficientes como parte de
+ la matriz a escalonar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Coordenadas.
+ Cambio de base
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las 
+\series bold
+coordenadas
+\series default
+ de un vector 
+\begin_inset Formula $v\in V$
+\end_inset
+
+ respecto a la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ son la única 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-upla 
+\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}}=(x_{1},\dots,x_{n})\in K^{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v=x_{1}u_{1}+\dots+x_{n}u_{n}$
+\end_inset
+
+, de forma que dos vectores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son iguales si y solo si tienen las mismas coordenadas respecto a una base
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+, y operar con vectores en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es equivalente a operar en 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ con las 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-uplas de sus coordenadas, pues 
+\begin_inset Formula $[v+v']_{{\cal B}}=(x_{1}+x'_{1},\dots,x_{n}+x'_{n})=[v]_{{\cal B}}+[v']_{{\cal B}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[rv]_{{\cal B}}=(rx_{1},\dots,rx_{n})=r[v]_{{\cal B}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Cambio de coordenadas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'=\{u'_{1},\dots,u'_{n}\}$
+\end_inset
+
+ bases de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula $[u'_{j}]_{{\cal B}}=(p_{1j},\dots,p_{nj})$
+\end_inset
+
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $u'_{j}=\sum_{i=1}^{n}p_{ij}u_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}'}=(x'_{1},\dots,x'_{n})$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+v=x'_{1}u'_{1}+\dots+x'_{n}u'_{n}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}u'_{j}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}\left(\sum_{i=1}^{n}p_{ij}u_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}x'_{j}p_{ij}u_{i}=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}x'_{j}p_{ij}\right)u_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+De forma que si 
+\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}}=(x_{1},\dots,x_{n})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $x_{i}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}p_{ij}$
+\end_inset
+
+.
+ A las ecuaciones
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left.\begin{array}{ccccccc}
+x_{1} & = & p_{11}x'_{1} & + & \dots & + & p_{1n}x'_{n}\\
+ & \vdots\\
+x_{n} & = & p_{n1}x'_{1} & + & \dots & + & p_{nn}x'_{n}
+\end{array}\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+las llamamos 
+\series bold
+ecuaciones del cambio de base de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Producto de matrices
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B=(b_{ij})\in M_{n,p}(K)$
+\end_inset
+
+, definimos 
+\begin_inset Formula $AB=(c_{ij})\in M_{m,p}(K)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$
+\end_inset
+
+.
+ En general no es conmutativo, aun si ambos productos se pueden efectuar
+ y fuesen matrices del mismo tamaño.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Asociativa: 
+\series default
+
+\begin_inset Formula $(AB)C=A(BC)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+((AB)C)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}(AB)_{ik}C_{kj}=\sum_{k=1}^{p}\sum_{l=1}^{n}A_{il}B_{lk}C_{kj}=\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}A_{il}B_{lk}C_{kj}=\\
+=\sum_{l=1}^{n}A_{il}\left(\sum_{k=1}^{p}B_{lk}C_{kj}\right)=\sum_{l=1}^{n}A_{il}(BC)_{lj}=(A(BC))_{ij}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Distributiva respecto de la suma:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A(B+C)=AB+AC$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La 
+\series bold
+matriz identidad
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $I_{n}=(\delta_{ij})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\delta_{ii}=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\delta_{ij}=0$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $i\neq j$
+\end_inset
+
+, satisface 
+\begin_inset Formula $AI_{n}=A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $I_{n}B=B$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B\in M_{n,m}(K)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\delta_{kj}\underset{\text{(el resto son \ensuremath{=0})}}{=}A_{ij}\delta_{jj}=A_{ij}
+\]
+
+\end_inset
+
+La demostración de que 
+\begin_inset Formula $I_{n}B=B$
+\end_inset
+
+ es análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+invertible
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $B\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $AB=BA=I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+matriz inversa
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y se representa 
+\begin_inset Formula $A^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ son inversas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $C=CI_{n}=C(AB)=(CA)B=I_{n}B=B$
+\end_inset
+
+, por lo que la inversa es única.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ son invertibles, entonces 
+\begin_inset Formula $AB$
+\end_inset
+
+ es también invertible, y 
+\begin_inset Formula $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_{n}B=B^{-1}B=I_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las ecuaciones de cambio de base se pueden expresar como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+x_{1}\\
+x_{2}\\
+\vdots\\
+x_{n}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
+p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\
+p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+x'_{1}\\
+x'_{2}\\
+\vdots\\
+x'_{n}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+donde las columnas de 
+\begin_inset Formula $(p_{ij})$
+\end_inset
+
+ son los vectores de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ respecto a 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+ Abreviadamente, 
+\begin_inset Formula $X_{{\cal B}}=M_{{\cal B}{\cal B}'}X'_{{\cal B}'}$
+\end_inset
+
+, donde a 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}{\cal B}'}$
+\end_inset
+
+ la llamamos 
+\series bold
+matriz de cambio de base
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos deducir que 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}{\cal B}}=I_{n}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}''{\cal B}}=M_{{\cal B}''{\cal B}'}M_{{\cal B}'{\cal B}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}'{\cal B}}M_{{\cal B}{\cal B}'}=M_{{\cal B}{\cal B}'}M_{{\cal B}'{\cal B}}=I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, toda matriz de cambio de base es invertible, y viceversa.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+¿Buscar la demostración de que si es invertible también es de cambio de
+ base?
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Operaciones con subespacios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\{U_{i}\}_{i\in I}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ es un conjunto de subespacios vectoriales de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}U_{i}$
+\end_inset
+
+ también es subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, pero en general 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}U_{i}$
+\end_inset
+
+ no es subespacio vectorial.
+ Llamamos 
+\series bold
+suma
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+ al subespacio
+\begin_inset Formula 
+\[
+U_{1}+U_{2}=\{u_{1}+u_{2}|u_{1}\in U_{1},u_{2}\in U_{2}\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Este es el menor subespacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ que contiene a 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $u\in U_{1}$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $0\in U_{2}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $u=u+0\in U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+, y viceversa, de modo que 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cup U_{2}\subseteq U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+ y además 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Demostraremos ahora que es un espacio vectorial.
+ Si 
+\begin_inset Formula $v,v'\in U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+, existirán 
+\begin_inset Formula $u_{1},u'_{1}\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{2},u'_{2}\in U_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v=u_{1}+u_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v'=u'_{1}+u'_{2}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $\alpha,\alpha'\in K$
+\end_inset
+
+, se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha v+\alpha'v'=\alpha u_{1}+\alpha u_{2}+\alpha'u'_{1}+\alpha'u'_{2}=(\alpha u_{1}+\alpha'u'_{1})+(\alpha u_{2}+\alpha'u'_{2})\in U_{1}+U_{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+fórmula de Grassmann
+\series default
+ o 
+\series bold
+teorema de Grassman
+\series default
+ nos dice que si 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+ son subespacios de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tiene dimensión finita, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\dim(U_{1})+\dim(U_{2})=\dim(U_{1}\cap U_{2})+\dim(U_{1}+U_{2})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración.
+
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+, que completamos por un lado a la base 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y por otro a la base 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$
+\end_inset
+
+ es sistema de generadores de 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Queda ver que es además linealmente independiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Supongamos 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{t}u_{t}+\alpha_{t+1}u_{t+1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}+\beta_{t+1}v_{t+1}+\dots+\beta_{s}v_{s}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}=-\beta_{t+1}v_{t+1}-\dots-\beta_{s}v_{s}\in U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $-\beta_{t+1}v_{t+1}-\dots-\beta_{s}v_{s}=\gamma_{1}u_{1}+\dots+\gamma_{t}u_{t}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\gamma_{1}u_{1}+\dots+\gamma_{t}u_{t}+\beta_{t+1}v_{t+1}+\dots+\beta_{s}v_{s}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Al ser 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\beta_{t+1}=\dots=\beta_{s}=0$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{r}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$
+\end_inset
+
+ es una familia linealmente independiente y por tanto una base del subespacio
+ 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+, que tendrá dimensión 
+\begin_inset Formula $\dim(U_{1}+U_{2})=r+s-t=\dim(U_{1})+\dim(U_{2})-\dim(U_{1}\cap U_{2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+ subespacios de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ están en 
+\series bold
+suma directa
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+ Se dice entonces que 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+ es una suma directa y se representa 
+\begin_inset Formula $U_{1}\oplus U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\dim(U_{1}\oplus U_{2})=\dim(U_{1})+\dim(U_{2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una suma de subespacios 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+ es directa si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall v\in U_{1}+U_{2},\exists!u_{1}\in U_{1},u_{2}\in U_{2}:v=u_{1}+u_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos a 
+\begin_inset Formula $u_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{2}$
+\end_inset
+
+ las 
+\series bold
+componentes
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $u_{1}+u_{2}=u'_{1}+u'_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $u_{1},u'_{1}\in U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{2},u'_{2}\in U_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $u_{1}-u'_{1}=u'_{2}-u_{2}\in U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $u_{1}-u'_{1}=u'_{2}-u_{2}=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{1}=u'_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{2}=u'_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $u\in U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $u=u+0=0+u$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ se expresa de modo único como suma de un vector de 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y otro de 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $u=0$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $U'$
+\end_inset
+
+, llamado 
+\series bold
+complementario
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, tal que 
+\begin_inset Formula $V=U\oplus U'$
+\end_inset
+
+, pues si expandimos la base 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ a una base 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r},u_{r+1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $U'=<u_{r+1},\dots,u_{n}>$
+\end_inset
+
+ satisface la condición.
+ El complementario no tiene por qué ser único.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una suma 
+\begin_inset Formula $U_{1}+\dots+U_{k}$
+\end_inset
+
+ es suma directa si todo vector de la suma se expresa de modo único como
+ suma de un vector de cada 
+\begin_inset Formula $U_{i}$
+\end_inset
+
+, lo que ocurre si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall i\in\{1,\dots,k\},U_{i}\cap(\sum_{1\leq j\leq k,j\neq i}U_{j})=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k}\in V$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $<u_{1},\dots,u_{k}>=<u_{1}>+\dots+<u_{k}>$
+\end_inset
+
+.
+ Si además son linealmente independientes, entonces 
+\begin_inset Formula $<u_{1},\dots,u_{k}>=<u_{1}>\oplus\dots\oplus<u_{n}>$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $V=<u_{1}>\oplus\dots\oplus<u_{n}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/algl/n2.lyx b/algl/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..bd834d3
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@@ -0,0 +1,2102 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+aplicación lineal
+\series default
+ u 
+\series bold
+homomorfismo de espacios vectoriales
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $f(u+u')=f(u)+f(u')\forall u,u'\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(\alpha u)=\alpha f(u)\forall\alpha\in K,u\in U$
+\end_inset
+
+, es decir, si 
+\begin_inset Formula $f(\sum\alpha_{i}u_{i})=\sum\alpha_{i}f(u_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+aplicación identidad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $Id_{V}:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $Id_{V}(v)=v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+aplicación inclusión:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $i:U\subseteq V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $i(u)=u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+aplicación lineal nula:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $0:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0(u)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La 
+\series bold
+homotecia de razón 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $h_{\alpha}:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $h_{\alpha}(v)=\alpha v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Las 
+\series bold
+proyecciones de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+,
+\series default
+ con 
+\begin_inset Formula $V=U\oplus W$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $p_{U}:V\rightarrow U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p_{W}:V\rightarrow W$
+\end_inset
+
+, tales que si 
+\begin_inset Formula $v=u+w$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v\in V$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $u\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $w\in W$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $p_{U}(v)=u$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p_{W}(v)=w$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La aplicación 
+\begin_inset Formula $f_{A}:K^{n}\rightarrow K^{m}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, dada por 
+\begin_inset Formula 
+\[
+f_{A}(v)=A\left(\begin{array}{c}
+|\\
+v\\
+|
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tenemos que 
+\begin_inset Formula $f(0_{U})=0_{V}$
+\end_inset
+
+, y que 
+\begin_inset Formula $f(-u)=-f(u)$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:V\rightarrow W$
+\end_inset
+
+ son aplicaciones lineales, 
+\begin_inset Formula $g\circ f:U\rightarrow W$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Aplicaciones lineales y subespacios.
+ Núcleo e Imagen
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+núcleo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ se define como 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)=\ker(f)=f^{-1}(\{0\})$
+\end_inset
+
+, y la 
+\series bold
+imagen
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $\text{Im}(f)=\{f(u)\}_{u\in U}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $U'\leq U$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f(U')\leq V$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $V'\leq V$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)\leq f^{-1}(V')\leq U$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $\text{Im}(f)$
+\end_inset
+
+ son espacios vectoriales, y si 
+\begin_inset Formula $U'=<u_{1},\dots,u_{r}>\leq U$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f(U')=<f(u_{1}),\dots,f(u_{r})>$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $u_{1},u_{2}\in U,\alpha_{1},\alpha_{2}\in K$
+\end_inset
+
+, y sean 
+\begin_inset Formula $v_{1}=f(u_{1}),v_{2}=f(u_{2})\in f(U')$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}=\alpha_{1}f(u_{1})+\alpha_{2}f(u_{2})=f(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})\in f(U')$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f(U')$
+\end_inset
+
+ es un espacio vectorial.
+ Ahora bien, si 
+\begin_inset Formula $V'$
+\end_inset
+
+ es un subespacio de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\{0\}\subseteq V'$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(\{0\})=\text{Nuc}(f)\subseteq f^{-1}(V')$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces si 
+\begin_inset Formula $u_{1},u_{2}\in f^{-1}(V')$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\alpha_{2}\in K$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})=\alpha_{1}f(u_{1})+\alpha_{2}f(u_{2})\in V'$
+\end_inset
+
+, y por lo tanto 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}\in f^{-1}(V')$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(V')$
+\end_inset
+
+ es un espacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\dim(U)$
+\end_inset
+
+ finita, entonces 
+\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(\text{Nuc}(f))+\dim(\text{Im}(f))$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{n}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Im}(f)=<f(v_{1}),\dots f(v_{n})>$
+\end_inset
+
+ es de dimensión finita.
+ Ahora sea 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{k}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)\leq U$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $k\leq n$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(v_{1})=\dots=f(v_{k})=0$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\text{Im}(f)=<f(v_{1}),\dots,f(v_{k}),f(v_{k+1}),\dots,f(v_{n})>=<f(v_{k+1}),\dots,f(v_{n})>$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\{f(v_{k+1}),\dots,f(v_{n})\}$
+\end_inset
+
+ es sistema de generadores de 
+\begin_inset Formula $\text{Im}(f)$
+\end_inset
+
+.
+ A continuación mostramos que es linealmente independiente.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $0=\alpha_{k+1}f(v_{k+1})+\dots+\alpha_{n}f(v_{n})=f(\alpha_{k+1}v_{k+1}+\dots+\alpha_{n}v_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{k+1}v_{k+1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}\in\text{Nuc}(f)$
+\end_inset
+
+, por lo que existen 
+\begin_inset Formula $\beta_{1},\dots,\beta_{k}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{k+1}v_{k+1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}=\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{k}v_{k}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces 
+\begin_inset Formula $\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{k}v_{k}-\alpha_{k+1}v_{k+1}-\dots-\alpha_{n}v_{n}=0$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\beta_{1}=\dots=\beta_{k}=\alpha_{k+1}=\dots=\alpha_{n}=0$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\{v_{k+1},\dots,v_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente y por ello 
+\begin_inset Formula $\{f(v_{k+1}),\dots,f(v_{n})\}$
+\end_inset
+
+ también, por lo que es base de 
+\begin_inset Formula $\text{Im}(f)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+rango
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ a la dimensión de la imagen: 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(f)=\dim(\text{Im}(f))$
+\end_inset
+
+.
+ Así, dada 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f(U)=<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>$
+\end_inset
+
+ y por tanto
+\begin_inset Formula 
+\[
+\text{rang}(f)=\dim(\text{Im}(f))=\dim(<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>)=\text{rang}(\{f(u_{1}),\dots,f(u_{n})\})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es una aplicación lineal y 
+\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(V)<\infty$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+f\text{ inyectiva}\iff f\text{ suprayectiva}\iff f\text{ biyectiva}\iff\text{rang}(f)=\dim(U)\iff\text{Nuc}(f)=\{0\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $1\iff2\iff3]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Equivalen al hecho de que, para 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ conjuntos finitos, es lo mismo decir que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ sea inyectiva, suprayectiva o biyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $3\iff4]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\text{rang}(f)=\dim(\text{Im}(U))\overset{\text{(supray.)}}{=}\text{dim}(V)$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no fuera suprayectiva, entonces 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Im}(U))<\dim(V)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $1\implies5]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $u\in\text{Nuc}(f)\implies f(u)=0_{V}=f(0_{U})\implies u=0_{U}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $5\implies1]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)=\{0\}\implies\left(f(u)=f(u')\implies0=f(u-u')\implies u-u'\in\text{Nuc}(f)\implies u=u'\right)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El homomorfismo 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+isomorfismo de espacios vectoriales
+\series default
+ si es biyectivo, un 
+\series bold
+endomorfismo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $U=V$
+\end_inset
+
+ y un 
+\series bold
+automorfismo
+\series default
+ es un endomorfismo biyectivo.
+ Ahora, dado el isomorfismo 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}:V\rightarrow U$
+\end_inset
+
+ es una aplicación lineal y por tanto un isomorfismo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Consideramos 
+\begin_inset Formula $u=f^{-1}(v)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u'=f^{-1}(v')$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(u+u')=f(u)+f(u')=v+v'$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(v+v')=u+u'=f^{-1}(v)+f^{-1}(v')$
+\end_inset
+
+.
+ Del mismo modo, 
+\begin_inset Formula $f(\alpha u)=\alpha f(u)=\alpha v$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(\alpha v)=\alpha u=\alpha f^{-1}(v)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+isomorfos
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $U\cong V$
+\end_inset
+
+) si existe un isomorfismo 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos comprobar que la relación es de equivalencia, y si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales, entonces 
+\begin_inset Formula $U\cong V\iff\dim(U)=\dim(V)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $U\cong V\implies\dim(U)=\dim(\text{Nuc}(f))+\dim(\text{Im}(f))=0+\dim(V)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow K^{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:V\rightarrow K^{n}$
+\end_inset
+
+ isomorfismos con 
+\begin_inset Formula $f(u)=[u]_{{\cal B}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(v)=[v]_{\beta'}$
+\end_inset
+
+ ; entonces 
+\begin_inset Formula $g^{-1}\circ f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ también es un isomorfismo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Determinación de una aplicación lineal
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales con 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$
+\end_inset
+
+ vectores cualesquiera de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, existe una única 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(u_{i})=v_{i}\forall i$
+\end_inset
+
+, pues es aquella dada por 
+\begin_inset Formula $f(\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{n}u_{n})=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Esto también se cumple para espacios de dimensión infinita.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También, si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ (la cual puede ser infinita) y 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ lineal entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\{f(u_{i})\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $0=\alpha_{1}f(u_{1})+\dots+\alpha_{k}f(u_{k})=f(\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k})\implies\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}\in\text{Nuc}(f)=\{0\}\implies\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}=0\implies\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Partimos de que 
+\begin_inset Formula $\{f(u_{i})\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $u\in\text{Nuc}(f)$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $u=\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $0=f(u)=\alpha_{1}f(u_{1})+\dots+\alpha_{k}f(u_{k})\implies\alpha_{i}=0\forall i\implies u=0$
+\end_inset
+
+, por lo que entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\{f(u_{i})\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es una familia de generadores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+f\text{ suprayectiva}\iff f(U)=V\iff<\{f(u_{i})\}_{i\in I}>=V
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es biyectiva, y por tanto isomorfismo, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\{f(u_{i})\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset space \space{}
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Representación matricial de una aplicación lineal.
+ Rango de una matriz.
+ Matrices equivalentes
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales de dimensión finita, 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'=\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es un homomorfismo, entonces para cada 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+ existirán 
+\begin_inset Formula $a_{ij}$
+\end_inset
+
+ tales que
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(u_{j})=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+Así, si 
+\begin_inset Formula $[u]_{{\cal B}}=(x_{1},\dots,x_{n})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $u=\sum_{j=1}^{n}x_{j}u_{j}\in U$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(u)=f\left(\sum_{j=1}^{n}x_{j}u_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n}x_{j}f(u_{j})=\sum_{j=1}^{n}x_{j}\left(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(x_{j}a_{ij})v_{i}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)v_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+por lo que 
+\begin_inset Formula $[f(u)]_{{\cal B}'}=(\sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\dots,\sum_{j=1}^{n}a_{mj}x_{j})$
+\end_inset
+
+, de modo que, si 
+\begin_inset Formula $[f(u)]_{{\cal B}'}=(y_{1},\dots,y_{m})$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+y_{1}\\
+\vdots\\
+y_{m}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
+a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
+\vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{m1} & \cdots & a_{mn}
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+x_{1}\\
+\vdots\\
+x_{n}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Siendo las columnas de 
+\begin_inset Formula $(a_{ij})$
+\end_inset
+
+ los 
+\begin_inset Formula $[f(u_{j})]_{{\cal B}'}$
+\end_inset
+
+, es decir, las imágenes de los elementos de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ respecto de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $[f(u)]_{{\cal B}'}=A[u]_{{\cal B}}$
+\end_inset
+
+, lo que se conoce como 
+\series bold
+representación matricial de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ respecto a las bases 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+
+\series default
+.
+ A la matriz 
+\begin_inset Formula $(a_{ij})$
+\end_inset
+
+ se le llama 
+\series bold
+matriz de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ o 
+\series bold
+matriz asociada a 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ respecto a las bases 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+
+\series default
+, y se denomina 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+.
+ Así,
+\begin_inset Formula 
+\[
+[f(u)]_{{\cal B}'}=M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)[u]_{{\cal B}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tenemos que 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ está completamente determinada por 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, y de igual modo, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ está univocamente determinada por 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:V\rightarrow W$
+\end_inset
+
+ son aplicaciones lineales y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{3}$
+\end_inset
+
+ son bases respectivas de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{1}}(g\circ f)=M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)M_{{\cal B}_{2},{\cal B}_{1}}(f)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para cada 
+\begin_inset Formula $u\in U,v\in V$
+\end_inset
+
+, tenemos que 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}_{2},{\cal B}_{1}}(f)[u]_{{\cal B}_{1}}=[f(u)]_{{\cal B}_{2}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)[v]_{{\cal B}_{2}}=[g(v)]_{{\cal B}_{3}}$
+\end_inset
+
+, por lo que
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)M_{{\cal B}_{2},{\cal B}_{1}}(f)[u]_{{\cal B}_{1}}=M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)[f(u)]_{{\cal B}_{2}}=[g(f(u))]_{{\cal B}_{3}}=[(g\circ f)(u)]_{{\cal B}_{3}}
+\]
+
+\end_inset
+
+y por la unicidad de la matriz de una aplicación lineal respecto a dos bases,
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{1}}(g\circ f)=M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)M_{{\cal B}_{2},{\cal B}_{1}}(f)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales con bases respectivas 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ una aplicación lineal y 
+\begin_inset Formula $A=M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es un isomorfismo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es invertible, y entonces 
+\begin_inset Formula $A^{-1}=M_{{\cal B},{\cal B}'}(f^{-1})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $B=M_{{\cal B},{\cal B}'}(f^{-1})$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+AB=M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)M_{{\cal B},{\cal B}'}(f^{-1})=M_{{\cal B}',{\cal B}'}(f\circ f^{-1})=M_{{\cal B}',{\cal B}'}(Id_{V})=I_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+BA=M_{{\cal B},{\cal B}'}(f^{-1})M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)=M_{{\cal B},{\cal B}}(f^{-1}\circ f)=M_{{\cal B},{\cal B}}(Id_{U})=I_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Al ser invertible es cuadrada, por lo que 
+\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(V)=n$
+\end_inset
+
+, y si consideramos 
+\begin_inset Formula $g:V\rightarrow U$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B},{\cal B}'}(g)=A^{-1}$
+\end_inset
+
+, se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B},{\cal B}}(g\circ f)=M_{{\cal B},{\cal B}'}(g)M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)=A^{-1}A=I_{n}=M_{{\cal B},{\cal B}}(Id_{U})\implies g\circ f=Id_{U}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B}',{\cal B}'}(f\circ g)=M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)M_{{\cal B},{\cal B}'}(g)=AA^{-1}=I_{n}=M_{{\cal B}',{\cal B}'}(Id_{V})\implies f\circ g=Id_{V}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ son bases de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B},{\cal B}'}=M_{{\cal B},{\cal B}'}(Id_{V})$
+\end_inset
+
+, se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B}',{\cal B}}^{-1}=(M_{{\cal B}',{\cal B}}(Id_{V}))^{-1}=M_{{\cal B},{\cal B}'}(Id_{V}^{-1})=M_{{\cal B},{\cal B}'}(Id_{V})=M_{{\cal B},{\cal B}'}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También se tiene que si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}$
+\end_inset
+
+ son bases de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'_{2}$
+\end_inset
+
+ son bases de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B}'_{2},{\cal B}_{2}}(f)=M_{{\cal B}'_{2},{\cal B}_{2}}(Id_{V}\circ f\circ Id_{U})=M_{{\cal B}'_{2},{\cal B}'_{1}}\cdot M_{{\cal B}'_{1}{\cal B}_{1}}(f)\cdot M_{{\cal B}_{1},{\cal B}_{2}}
+\]
+
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $A,B\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+equivalentes
+\series default
+ si existen matrices invertibles 
+\begin_inset Formula $P\in M_{m}(K)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $B=PAQ$
+\end_inset
+
+.
+ Esta es una relación de equivalencia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se llama 
+\series bold
+rango
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ al máximo de columnas linealmente independientres consideradas como vectores
+ de 
+\begin_inset Formula $K^{m}$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\dim(<C_{1},\dots,C_{n}>)$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)\leq m,n$
+\end_inset
+
+.
+ Dado que las columnas de 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ son las imágenes en 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ de los elementos de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(M_{{\cal B}',{\cal B}}(f))=\text{rang}(f)$
+\end_inset
+
+, y como las matrices invertibles corresponden a isomorfismos, se tiene
+ que 
+\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ es invertible si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=n$
+\end_inset
+
+, para lo que basta con considerar el homomorfismo 
+\begin_inset Formula $f:K^{n}\rightarrow K^{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal C},{\cal C}}(f)=A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ con dimensiones respectivas 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+, y el homomorfismo 
+\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$
+\end_inset
+
+, existen bases 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tales que
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)=\left(\begin{array}{c|c}
+I_{r} & 0\\
+\hline 0 & 0
+\end{array}\right)\in M_{m,n}(K)
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $r=\text{rang}(f)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $r=\text{rang}(f)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Nuc}(f))=n-r$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $\{u_{r+1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)$
+\end_inset
+
+ que se extiende a la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{r},u_{r+1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f(u_{r+1})=\dots=f(u_{n})=0$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $f(u_{1}),\dots,f(u_{r})$
+\end_inset
+
+ son linealmente dependientes, dado que si 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}f(u_{1})+\dots+\alpha_{r}f(u_{r})=0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}\in\text{Nuc}(f)=<u_{r+1},\dots,u_{n}>$
+\end_inset
+
+ y como 
+\begin_inset Formula $<u_{1},\dots,u_{r}>\cap<u_{r+1},\dots,u_{n}>=\{0\}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{r}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Si extendemos este conjunto a la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'=\{f(u_{1}),\dots,f(u_{r}),v_{r+1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+, se tiene la 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ buscada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toda 
+\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ es equivalente a una de esta forma, con 
+\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f:K^{n}\rightarrow K^{m}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal C}',{\cal C}}(f)=A$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)=M_{{\cal B}',{\cal {\cal C}}'}\cdot A\cdot M_{{\cal C},{\cal B}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+matriz traspuesta
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ a la matriz 
+\begin_inset Formula $A^{t}=(b_{ij})\in M_{n,m}(K)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $b_{ij}=a_{ji}$
+\end_inset
+
+.
+ Se verifica que 
+\begin_inset Formula $(A^{t})^{t}=A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(AC)^{t}=C^{t}A^{t}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es invertible entonces 
+\begin_inset Formula $A^{t}$
+\end_inset
+
+ también lo es y 
+\begin_inset Formula $(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, si
+\begin_inset Formula 
+\[
+B=\left(\begin{array}{c|c}
+I_{r} & 0\\
+\hline 0 & 0
+\end{array}\right)\in M_{m,n}(K)
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A=M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, existirán 
+\begin_inset Formula $P\in M_{m}(K)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $B=PAQ$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $Q^{t}A^{t}P^{t}=(PAQ)^{t}=B^{t}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(B^{t})=\text{rang}(B)$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\text{rang}(A^{t})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Matrices elementales.
+ Aplicaciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+matriz elemental
+\series default
+ de tamaño 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ a toda matriz obtenida al efectuar una operación elemental (por filas o
+ columnas) en 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $E_{n}(i,j)$
+\end_inset
+
+ es la resultante de intercambiar las filas 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+, o las columnas 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+, en 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $E_{n}(i,j)^{-1}=E_{n}(i,j)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $E_{n}(r[i])$
+\end_inset
+
+ es la resultante de multiplicar por 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ la fila 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+, o la columna 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+, en 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $E_{n}(r[i])^{-1}=E_{n}(r^{-1}[i])$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $E_{n}([i]+r[j])$
+\end_inset
+
+ es la resultante de añadir a la fila 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ la fila 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+ multiplicada por 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+, o a la columna 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+ la columna 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ multiplicada por 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+, en 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $E_{n}([i]+r[j])^{-1}=E_{n}([i]-r[j])$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ se obtiene al realizar una operación elemental por filas en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ al realizar la misma en 
+\begin_inset Formula $I_{m}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $B=EA$
+\end_inset
+
+.
+ Del mismo modo, si 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ se obtiene de aplicar una operación elemental por columnas en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ al aplicarla a 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $B=AE$
+\end_inset
+
+.
+ Así, realizar una serie de estas operaciones en una matriz equivale a multiplic
+arla por uno o ambos lados por un producto de matrices elementales, el cual
+ es invertible.
+ Dada una matriz 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, para obtener las matrices 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ tales que
+\begin_inset Formula 
+\[
+PAQ=\left(\begin{array}{c|c}
+I_{r} & 0\\
+\hline 0 & 0
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+podemos partir de
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c|c}
+A & I_{m}\\
+\hline I_{n}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+y realizar operaciones elementales hasta llegar a una matriz de la forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c|c}
+\begin{array}{c|c}
+I_{r} & 0\\
+\hline 0 & 0
+\end{array} & P\\
+\hline Q
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ es invertible cuando tiene rango precisamente 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, por lo que al hacer operaciones elementales por filas para obtener una
+ matriz escalonada reducida, esta será precisamente 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $(E_{k}\cdots E_{1})A=I_{n}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $A^{-1}=E_{k}\cdots E_{1}$
+\end_inset
+
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $A^{-1}$
+\end_inset
+
+ es la matriz resultante de efectuar en 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+ las mismas operaciones elementales fila que se hacen en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ A efectos prácticos, formamos la matriz 
+\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c|c}
+A & I_{n}\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+ y hacemos operaciones elementales por filas hasta llegar a 
+\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c|c}
+I_{n} & A^{-1}\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, si 
+\begin_inset Formula $A^{-1}=E_{k}\cdots E_{1}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A=(A^{-1})^{-1}=(E_{k}\cdots E_{1})^{-1}=E_{1}^{-1}\cdots E_{k}^{-1}$
+\end_inset
+
+, de forma que toda matriz invertible es producto de matrices elementales.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/algl/n3.lyx b/algl/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..99baa10
--- /dev/null
+++ b/algl/n3.lyx
@@ -0,0 +1,652 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+ecuación lineal
+\series default
+ en las 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+incógnitas
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}$
+\end_inset
+
+ sobre el cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es una expresión de la forma 
+\begin_inset Formula $a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=b$
+\end_inset
+
+, con los 
+\begin_inset Formula $a_{i}\in K$
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+coeficientes
+\series default
+) y 
+\begin_inset Formula $b\in K$
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+término independiente
+\series default
+).
+ Un 
+\series bold
+sistema de 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ ecuaciones lineales
+\series default
+ con 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ incógnitas sobre el cuerpo 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ tiene la forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left.\begin{array}{ccccccc}
+a_{11}x_{1} & + & \dots & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1}\\
+ &  &  &  &  & \vdots\\
+a_{m1}x_{1} & + & \dots & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m}
+\end{array}\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Puede expresarse matricialmente de la forma 
+\begin_inset Formula $AX=B$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+matriz de los coeficientes
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $B=(b_{i})\in M_{m,1}(K)$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+matriz de los términos independientes
+\series default
+ y 
+\begin_inset Formula $X=(x_{i})\in M_{n,1}(K)$
+\end_inset
+
+ es la matriz de incógnitas.
+ A la matriz 
+\begin_inset Formula $(A|B)\in M_{m,n+1}(K)$
+\end_inset
+
+ se le llama 
+\series bold
+matriz ampliada
+\series default
+ del sistema.
+ Un sistema es 
+\series bold
+homogéneo
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $B=0$
+\end_inset
+
+, y a cada sistema 
+\begin_inset Formula $AX=B$
+\end_inset
+
+ se le puede asociar el sistema homogéneo 
+\begin_inset Formula $AX=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se llama 
+\series bold
+solución
+\series default
+ a toda 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-upla 
+\begin_inset Formula $(r_{1},\dots,r_{n})\in K^{n}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $R=(r_{i})\in M_{n,1}(K)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $AR=B$
+\end_inset
+
+.
+ Un sistema es 
+\series bold
+compatible
+\series default
+ si tiene alguna solución, 
+\series bold
+determinado
+\series default
+ si tiene solo una e 
+\series bold
+indeterminado
+\series default
+ si tiene más; o 
+\series bold
+incompatible
+\series default
+ si no tiene ninguna.
+ 
+\series bold
+Discutir
+\series default
+ un sistema es determinar su compatibilidad, y 
+\series bold
+resolverlo
+\series default
+ es encontrar las soluciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Si un sistema 
+\begin_inset Formula $AX=B$
+\end_inset
+
+ tiene una solución 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, todas las soluciones son de la forma 
+\begin_inset Formula $P+M$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es solución de 
+\begin_inset Formula $AX=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Teorema de Rouché-Frobenius
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un sistema 
+\begin_inset Formula $AX=B$
+\end_inset
+
+ es compatible si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$
+\end_inset
+
+, en cuyo caso es determinado si 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=n$
+\end_inset
+
+.
+ En concreto, si 
+\begin_inset Formula $k=n-\text{rang}(A)>0$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k}$
+\end_inset
+
+ soluciones linealmente independientes de 
+\begin_inset Formula $AX=0$
+\end_inset
+
+ tales que cualquier solución del sistema es de la forma 
+\begin_inset Formula $x_{0}+\lambda_{1}u_{1}+\dots+\lambda_{k}u_{k}$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos del sistema que 
+\series bold
+depende de 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ parámetros
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}$
+\end_inset
+
+ o que tiene 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+grados de libertad
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si tenemos la aplicación 
+\begin_inset Formula $f_{A}:K^{n}\rightarrow K^{m}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $A=M_{{\cal C^{0}},{\cal C}}(f)$
+\end_inset
+
+, entonces si 
+\begin_inset Formula $K^{n}=<u_{1},\dots,u_{n}>$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+ es el vector definido por 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, el conjunto de soluciones es 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(v)=\{x\in K^{n}|f(x)=v\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces,
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\exists x\in U:f(x)=v\iff v\in\text{Im}(f)\iff<f(u_{1}),\dots,f(u_{n}),v>=<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>\iff\\
+\iff\dim(<f(u_{1}),\dots,f(u_{n}),v>)=\dim(<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>)=\dim(\text{Im}(f))=\text{rang}(f)
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+Por tanto 
+\begin_inset Formula $AX=B$
+\end_inset
+
+ es compatible si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, si 
+\begin_inset Formula $f(x_{0})=v$
+\end_inset
+
+, las soluciones serán 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(v)=\{u\in U|f(u)=v\}=x_{0}+\text{Nuc}(f)$
+\end_inset
+
+.
+ Como además 
+\begin_inset Formula $\dim(K^{n})=\text{rang}(f)+\dim(\text{Nuc}(f))$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $k:=\dim(\text{Nuc}(f))=n-\text{rang}(f)$
+\end_inset
+
+, por lo que existen 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ soluciones linealmente independientes de 
+\begin_inset Formula $AX=0$
+\end_inset
+
+ (una base de 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)$
+\end_inset
+
+).
+ Por tanto las soluciones del sistema homogéneo serán combinaciones lineales
+ de dicha base.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
+ Método de Gauss
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos sistemas de 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ ecuaciones lineales con 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ incógnitas sobre un mismo cuerpo son 
+\series bold
+e
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+qui
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+va
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+len
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+tes
+\series default
+ si tienen las mismas soluciones.
+ Si 
+\begin_inset Formula $P\in M_{m}(K)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(PA)X=PB$
+\end_inset
+
+ es equivalente a 
+\begin_inset Formula $AX=B$
+\end_inset
+
+, y en particular, si 
+\begin_inset Formula $E\in M_{m}(K)$
+\end_inset
+
+ es una matriz elemental, 
+\begin_inset Formula $(EA)X=EB$
+\end_inset
+
+ también lo es, por lo que al hacer operaciones elementales por filas sobre
+ 
+\begin_inset Formula $(A|B)$
+\end_inset
+
+ se obtiene un sistema con las mismas soluciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+método de Gauss
+\series default
+ comienza por convertir la matriz ampliada a una escalonada reducida por
+ filas 
+\begin_inset Formula $(A'|B')$
+\end_inset
+
+.
+ Si obtenemos que 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A|B)>\text{rang}(A)$
+\end_inset
+
+, el sistema es incompatible.
+ Si 
+\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$
+\end_inset
+
+, las filas nulas de 
+\begin_inset Formula $A'$
+\end_inset
+
+ lo son de 
+\begin_inset Formula $B'$
+\end_inset
+
+.
+ Reordenamos las incógnitas, lo que equivale a reordenar las columnas de
+ 
+\begin_inset Formula $A'$
+\end_inset
+
+, para conseguir un sistema de la forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c|c}
+I_{r} & C\\
+\hline 0 & 0
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+y_{1}\\
+\vdots\\
+y_{r}\\
+\hline y_{r+1}\\
+\vdots\\
+y_{n}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+b_{1}^{\prime}\\
+\vdots\\
+b_{r}^{\prime}\\
+\hline 0\\
+\vdots\\
+0
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+Donde 
+\begin_inset Formula $y_{1},\dots,y_{n}$
+\end_inset
+
+ son los 
+\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}$
+\end_inset
+
+ reordenados de la misma forma que las columnas.
+ Esto equivale a
+\begin_inset Formula 
+\[
+I_{r}\left(\begin{array}{c}
+y_{1}\\
+\vdots\\
+y_{r}
+\end{array}\right)+C\left(\begin{array}{c}
+y_{r+1}\\
+\vdots\\
+y_{n}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+b_{1}^{\prime}\\
+\vdots\\
+b_{r}^{\prime}
+\end{array}\right)\implies\left(\begin{array}{c}
+y_{1}\\
+\vdots\\
+y_{r}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+b_{1}^{\prime}\\
+\vdots\\
+b_{r}^{\prime}
+\end{array}\right)-C\left(\begin{array}{c}
+y_{r+1}\\
+\vdots\\
+y_{n}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+De modo que al asignar valores arbitrarios a 
+\begin_inset Formula $y_{r+1},\dots,y_{n}$
+\end_inset
+
+, que llamamos 
+\series bold
+incógnitas libres
+\series default
+, obtenemos valores de 
+\begin_inset Formula $y_{1},\dots,y_{r}$
+\end_inset
+
+, que llamamos 
+\series bold
+incógnitas principales
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/algl/n4.lyx b/algl/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..cf26416
--- /dev/null
+++ b/algl/n4.lyx
@@ -0,0 +1,1759 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
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+\font_tt_scale 100 100
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+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
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+\papersize default
+\use_geometry false
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+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
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+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
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+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\tracking_changes false
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+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Determinante de una matriz.
+ Propiedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una aplicación 
+\begin_inset Formula $f:U_{1}\times\dots\times U_{n}\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+aplicación multilineal
+\series default
+ si es lineal en cada una de las 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ variables, es decir, si 
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(u_{1},\dots,\alpha u_{i}+\beta u_{i}^{\prime},\dots,u_{n})=\alpha f(u_{1},\dots,u_{i},\dots,u_{n})+\beta f(u_{1},\dots,u_{i}^{\prime},\dots,u_{n})
+\]
+
+\end_inset
+
+Una aplicación multilineal 
+\begin_inset Formula $f:U^{n}\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ se llama 
+\series bold
+aplicación 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-lineal
+\series default
+.
+ Si además 
+\begin_inset Formula $V=K$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+forma 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-lineal
+\series default
+.
+ Una forma 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-lineal 
+\begin_inset Formula $f:U^{n}\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+alternada
+\series default
+ si se anula en cada 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-upla con dos componentes iguales, es decir, tal que 
+\begin_inset Formula $f(u_{1},\dots,u_{k},\dots,u_{l},\dots,u_{n})=0$
+\end_inset
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $u_{k}=u_{l}$
+\end_inset
+
+ (con 
+\begin_inset Formula $k\neq l$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+aplicación determinante
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\det:M_{n}(K)\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ es una forma 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-lineal alternada que a cada matriz cuadrada 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ le asigna un escalar, llamado 
+\series bold
+determinante
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, que denotamos 
+\begin_inset Formula $\det(A)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|A|$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\det(A_{1},\dots,A_{n})$
+\end_inset
+
+ (donde 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ son las columnas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+), tal que 
+\begin_inset Formula $|I_{n}|=1$
+\end_inset
+
+.
+ Algunas aplicaciones determinantes son:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La aplicación 
+\begin_inset Formula $||:M_{2}(K)\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{cc}
+a_{11} & a_{12}\\
+a_{21} & a_{22}
+\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La 
+\series bold
+regla de Sarrus
+\series default
+, aplicación 
+\begin_inset Formula $||:M_{3}(K)\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{ccc}
+a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
+a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
+a_{31} & a_{32} & a_{33}
+\end{array}\right|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las aplicaciones determinantes verifican que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{cccc}
+a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
+0 & a_{2} & \cdots & 0\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+0 & 0 & \cdots & a_{n}
+\end{array}\right|=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $\{e_{1},\dots,e_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es la base canónica de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{cccc}
+a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
+0 & a_{2} & \cdots & 0\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+0 & 0 & \cdots & a_{n}
+\end{array}\right|=\det(a_{1}e_{1},\dots,a_{n}e_{n})=a_{1}\cdots a_{n}\det(e_{1},\dots,e_{n})=a_{1}\cdots a_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene una columna nula entonces 
+\begin_inset Formula $\det(A)=0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $A_{i}=0$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n})=\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0+0,A_{i+1},\dots,A_{n})=\\
+=\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n})
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+luego 
+\begin_inset Formula $\det A=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Al intercambiar dos columnas, el determinante cambia de signo.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+0=\det(A_{1},\dots,A_{i}+A_{j},\dots,A_{i}+A_{j},\dots,A_{n})=\\
+=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{i},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\\
++\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{i},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\
+=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{i},\dots,A_{n})
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si a una columna se le añade otra multiplicada por un escalar, el determinante
+ no varía.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\det(A_{1},\dots,A_{i}+\alpha A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\
+=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\alpha\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\
+=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si las columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, su
+ determinante es 0.
+ Por tanto una matriz no invertible tiene determinante 0.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Habrá una columna que será combinación lineal del resto: 
+\begin_inset Formula $A_{k}=\sum_{j\neq k}\alpha_{j}A_{j}$
+\end_inset
+
+.
+ Así,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\det(A_{1},\dots,A_{k},\dots,A_{n})=\det(A_{1},\dots,\sum_{j\neq k}\alpha_{j}A_{j},\dots,A_{n})=\\
+=\sum_{j\neq k}\alpha_{j}\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=0
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+Ya que cada matriz del último sumatorio tiene dos columnas iguales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí podemos deducir que 
+\begin_inset Formula $|E_{n}(i,j)|=-1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|E_{n}(\alpha[i])|=\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|E_{n}([i]+\alpha[j])|=1$
+\end_inset
+
+, y que si 
+\begin_inset Formula $A,E\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ una matriz elemental, entonces 
+\begin_inset Formula $|AE|=|A||E|$
+\end_inset
+
+.
+ Se deducen los siguientes teoremas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Una matriz cuadrada 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es invertible si y sólo si 
+\begin_inset Formula $|A|\neq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Toda matriz invertible es producto de matrices elementales, y por lo anterior,
+ 
+\begin_inset Formula $|A|=|I_{n}E_{1}\cdots E_{k}|=|I_{n}||E_{1}|\cdots|E_{k}|=|E_{1}|\cdots|E_{k}|$
+\end_inset
+
+.
+ Como ninguno de los factores es nulo, se tiene que 
+\begin_inset Formula $|A|\neq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Inmediato de la última propiedad.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $|AB|=|A||B|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si alguna de las dos no es invertible, su producto tampoco (pues si lo fuera,
+ 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ serían invertibles).
+ En tal caso, 
+\begin_inset Formula $|AB|=0=|A||B|$
+\end_inset
+
+.
+ Si son ambas invertibles, existen matrices elementales 
+\begin_inset Formula $E_{1},\dots,E_{k}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B=E_{1}\cdots E_{k}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $|AB|=|AE_{1}\cdots E_{k}|=|A||E_{1}|\cdots|E_{k}|=|A||B|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí tenemos que 
+\begin_inset Formula $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $1=|I_{n}|=|AA^{-1}|=|A||A^{-1}|$
+\end_inset
+
+.
+ Tenemos también que la aplicación determinante es única, pues 
+\begin_inset Formula $\det(A)=0$
+\end_inset
+
+ para matrices no invertibles y 
+\begin_inset Formula $\det(A)=|E_{1}|\cdots|E_{k}|$
+\end_inset
+
+ para aquellas que sí lo son, y podemos entonces comprobar que esta operación
+ está bien definida.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $|A^{t}|=|A|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ no es invertible, 
+\begin_inset Formula $A^{t}$
+\end_inset
+
+ tampoco, por lo que 
+\begin_inset Formula $|A^{t}|=0=|A|$
+\end_inset
+
+.
+ Si lo es, existen 
+\begin_inset Formula $E_{1},\dots,E_{k}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A=E_{1}\cdots E_{k}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $|A^{t}|=|(E_{1}\cdots E_{k})^{t}|=|E_{k}^{t}\cdots E_{1}^{t}|=|E_{k}^{t}|\cdots|E_{1}^{t}|=|E_{1}|\cdots|E_{k}|=|E_{1}\cdots E_{k}|=|A|$
+\end_inset
+
+.
+ Esto significa que todo lo relativo a determinantes que se diga para columnas
+ también es válido para filas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $i,j\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+menor complementario
+\series default
+ del elemento 
+\begin_inset Formula $a_{ij}$
+\end_inset
+
+ al determinante 
+\begin_inset Formula $|A_{ij}|$
+\end_inset
+
+ de la matriz 
+\begin_inset Formula $A_{ij}\in M_{n-1}(K)$
+\end_inset
+
+ resultado de eliminar la fila 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ y la columna 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+adjunto
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $a_{ij}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ al escalar 
+\begin_inset Formula $\Delta_{ij}:=(-1)^{i+j}|A_{ij}|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Las aplicaciones 
+\begin_inset Formula $||:M_{n}(K)\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ definidas para 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $|(a)|=a$
+\end_inset
+
+ y para 
+\begin_inset Formula $n>1$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $|(a_{ij})|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}$
+\end_inset
+
+ son aplicaciones determinante.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+ es trivial.
+ Ahora supongamos que la aplicación determinante está definida para 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ y probamos que se cumplen las condiciones para 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Multilineal: Sea 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{n})\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A^{\prime}=(a_{ij}^{\prime})=(A_{1},\dots,\alpha A_{k},\dots,A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $a_{ik}^{\prime}=\alpha a_{ik}$
+\end_inset
+
+ y para 
+\begin_inset Formula $j\neq k$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{ij}^{\prime}=a_{ij}$
+\end_inset
+
+.
+ Si llamamos 
+\begin_inset Formula $\Delta_{ij}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\Delta_{ij}^{\prime}$
+\end_inset
+
+ a los correspondientes adjuntos, 
+\begin_inset Formula $\Delta_{ik}^{\prime}=\Delta_{ik}$
+\end_inset
+
+ y para 
+\begin_inset Formula $j\neq k$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\Delta_{ij}^{\prime}=\alpha\Delta_{ij}$
+\end_inset
+
+.
+ Así,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+|A^{\prime}|=a_{11}^{\prime}\Delta_{11}^{\prime}+\dots+a_{1n}^{\prime}\Delta_{1n}^{\prime}=\\
+=a_{11}\alpha\Delta_{11}+\dots+a_{1(k-1)}\alpha\Delta_{1(k-1)}+\alpha a_{1k}\Delta_{ik}+a_{1(k+1)}\alpha\Delta_{i(k+1)}+\dots+a_{1n}\alpha\Delta_{in}=\\
+=\alpha(a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n})=\alpha|A|
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+Del mismo modo, sea 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime}+A_{k}^{\prime\prime},\dots,A_{n})$
+\end_inset
+
+ y sean 
+\begin_inset Formula $A^{\prime}=(a_{ij}^{\prime})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime},\dots,A_{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A^{\prime\prime}=(a_{ij}^{\prime\prime})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime\prime},\dots,A_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $a_{ik}=a_{ik}^{\prime}+a_{ik}^{\prime\prime}$
+\end_inset
+
+ y si 
+\begin_inset Formula $j\neq k$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{ij}=a_{ij}^{\prime}=a_{ij}^{\prime\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ Del mismo modo, 
+\begin_inset Formula $\Delta_{ik}=\Delta_{ik}^{\prime}=\Delta_{ik}^{\prime\prime}$
+\end_inset
+
+ y si 
+\begin_inset Formula $j\neq k$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\Delta_{ij}=\Delta_{ij}^{\prime}+\Delta_{ij}^{\prime\prime}$
+\end_inset
+
+, por lo que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+|A|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}=\\
+=a_{11}(\Delta_{11}^{\prime}+\Delta_{11}^{\prime\prime})+\dots+a_{1(k-1)}(\Delta_{1(k-1)}^{\prime}+\Delta_{1(k-1)}^{\prime\prime})+(a_{1k}^{\prime}+a_{1k}^{\prime\prime})\Delta_{1k}+\\
++a_{1(k+1)}(\Delta_{1(k+1)}^{\prime}+\Delta_{1(k+1)}^{\prime\prime})+\dots+a_{1n}(\Delta_{1n}^{\prime}+\Delta_{1n}^{\prime\prime})=\\
+=a_{11}^{\prime}\Delta_{11}^{\prime}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}^{\prime}+a_{11}^{\prime\prime}\Delta_{11}^{\prime\prime}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}^{\prime\prime}=|A^{\prime}|+|A^{\prime\prime}|
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Alternada: Sea 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{n})\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+.
+ Si para 
+\begin_inset Formula $r<s$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $A_{r}=A_{s}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a_{r}=a_{s}$
+\end_inset
+
+ y para 
+\begin_inset Formula $j\neq r,s$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\Delta_{1j}=0$
+\end_inset
+
+, pues el menor complementario posee dos columnas iguales, por lo que 
+\begin_inset Formula $|A|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}=a_{1r}\Delta_{1r}+a_{1s}\Delta_{1s}$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, si llamamos 
+\begin_inset Formula $A_{j}^{\prime}$
+\end_inset
+
+ al elemento de 
+\begin_inset Formula $A_{j}$
+\end_inset
+
+ resultado de eliminar 
+\begin_inset Formula $a_{1j}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+|A_{1s}|=|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n}^{\prime})|=\\
+=-|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},A_{r}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n}^{\prime})|=\dots=\\
+=(-1)^{s-r-1}|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{r}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n})|=(-1)^{s-r-1}|A_{1r}|
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+pues 
+\begin_inset Formula $A_{r}^{\prime}=A_{s}^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+|A|=a_{1r}(-1)^{1+r}|A_{1r}|+a_{1s}(-1)^{1+s}(-1)^{s-r-1}|A_{1r}|=\\
+=a_{1r}|A_{1r}|((-1)^{1+r}+(-1)^{1+2s-r-1})=a_{1r}|A_{1r}|((-1)^{1+r}+(-1)^{-r})=0
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|I_{n}|=\delta_{11}\Delta_{11}+\dots+\delta_{1n}\Delta_{1n}=\Delta_{11}=(-1)^{1+1}|I_{n-1}|=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se puede probar que, para 
+\begin_inset Formula $1\leq i\leq n$
+\end_inset
+
+, cada aplicación dada por 
+\begin_inset Formula $|A|=a_{i1}\Delta_{i1}+\dots+a_{in}\Delta_{in}$
+\end_inset
+
+, que llamamos 
+\series bold
+desarrollo del determinante
+\series default
+ de la matriz 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ por la 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+-ésima fila, también cumple las condiciones.
+ Por otro lado, como 
+\begin_inset Formula $|A|=|A^{t}|$
+\end_inset
+
+, también se puede desarrollar por filas.
+ En la práctica se pueden hacer operaciones elementales para obtener ceros
+ en una fila o columna y luego desarrollar por ella.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Determinantes de Vandermonde:
+\series default
+ Restando a cada fila la anterior por 
+\begin_inset Formula $x_{1}$
+\end_inset
+
+, desarrollando, dividiendo lo resultante por cada elemento de la primera
+ fila y repitiendo el proceso, se tiene que:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\left|\begin{array}{cccc}
+1 & 1 & \cdots & 1\\
+x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\
+\vdots & \vdots &  & \vdots\\
+x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}
+\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
+1 & 1 & \cdots & 1\\
+0 & x_{2}-x_{1} & \cdots & x_{n}-x_{1}\\
+\vdots & \vdots &  & \vdots\\
+0 & x_{2}^{n-1}-x_{1}x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-1}-x_{1}x_{n}^{n-2}
+\end{array}\right|=\\
+=(x_{2}-x_{1})\cdots(x_{n}-x_{1})\left|\begin{array}{ccc}
+1 & \cdots & 1\\
+x_{2} & \cdots & x_{n}\\
+\vdots &  & \vdots\\
+x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-2}
+\end{array}\right|=\dots=\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j})
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Desarrollo de un determinante por menores, de
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+sa
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+rro
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+llo de Laplace
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se llama 
+\series bold
+submatriz
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ a la obtenida al eliminar determinadas filas y columnas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Toda matriz es submatriz de sí misma.
+ Un 
+\series bold
+menor de orden 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ es el determinante de una submatriz de tamaño 
+\begin_inset Formula $n\times n$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es cuadrada, el 
+\series bold
+menor complementario
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $M^{\prime}$
+\end_inset
+
+ del menor 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es el determinante de la matriz formada por las filas y columnas restantes.
+ Un menor es de 
+\series bold
+clase par
+\series default
+ o de 
+\series bold
+clase impar
+\series default
+ según lo sea la suma de los índices de sus filas (
+\begin_inset Formula $i_{1},\dots,i_{p}$
+\end_inset
+
+) y columnas (
+\begin_inset Formula $j_{1},\dots,j_{p}$
+\end_inset
+
+).
+ La 
+\series bold
+signatura
+\series default
+ de un menor 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\varepsilon(M)=(-1)^{(i_{1}+\dots+i_{p})+(j_{1}+\dots+j_{p})}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $(1+\dots+n)+(1+\dots+n)$
+\end_inset
+
+ es par, todo menor tiene la misma signatura que su complementario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $\chi_{r}$
+\end_inset
+
+ al conjunto de combinaciones de 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ filas o columnas:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\chi_{r}=\{(i_{1},\dots,i_{r}):1\leq i_{1}<\dots<i_{r}\leq n\}
+\]
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $I,J\in\chi_{r}$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\begin_inset Formula $A_{IJ}$
+\end_inset
+
+ al menor determinado por las filas 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y las columnas 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Dado 
+\begin_inset Formula $I\in\chi_{r}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|A|=\sum_{J\in\chi_{r}}\varepsilon(A_{IJ})A_{IJ}A_{IJ}^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Dado 
+\begin_inset Formula $J\in\chi_{r}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|A|=\sum_{I\in\chi_{r}}\varepsilon(A_{IJ})A_{IJ}A_{IJ}^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esto es útil cuando 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ está formada por bloques de tamaño adecuado alguno de los cuales es nulo.
+ De aquí se tiene que 
+\begin_inset Formula $\left|\left(\begin{array}{c|c}
+P & Q\\
+\hline 0 & R
+\end{array}\right)\right|=|P||R|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Determinante de un endomorfismo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}^{\prime}$
+\end_inset
+
+ son bases de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B}}(f)=M_{{\cal B}{\cal B}^{\prime}}M_{{\cal B}^{\prime}}(f)M_{{\cal B}^{\prime}{\cal B}}=P^{-1}M_{{\cal B}^{\prime}}(f)P
+\]
+
+\end_inset
+
+por lo que 
+\begin_inset Formula $|M_{{\cal B}}(f)|=|P|^{-1}|M_{{\cal B}^{\prime}}(f)||P|=|M_{{\cal B}^{\prime}}(f)|$
+\end_inset
+
+.
+ Así, llamamos 
+\series bold
+determinante del endomorfismo 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ al de la matriz asociada a 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ respecto de cualquier base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Matriz adjunta.
+ Aplicación al cálculo de la inversa
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+matriz adjunta
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ a la matriz 
+\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A\cdot\hat{A}^{t}=\hat{A}^{t}\cdot A=|A|I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\hat{A}^{t}=(b_{ij})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $b_{ij}=\Delta_{ji}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $C=(c_{ij})=A\cdot\hat{A}^{t}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\Delta_{jk}$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $i\neq j$
+\end_inset
+
+, esto corresponde al desarrollo por la fila 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+-ésima del determinante de la matriz que se diferencia de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ en que tiene la fila 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+-ésima copiada en la 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+-ésima, por lo que entonces 
+\begin_inset Formula $c_{ij}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $i\neq j$
+\end_inset
+
+, este es el desarrollo por la fila 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+-ésima de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $c_{ii}=|A|$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C=|A|I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como consecuencia, se tiene el 
+\series bold
+teorema
+\series default
+ de que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es invertible si y sólo si 
+\begin_inset Formula $|A|\neq0$
+\end_inset
+
+ y entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+A^{-1}=\frac{1}{|A|}\hat{A}^{t}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Cálculo del rango de una matriz por determinantes
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El rango de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es el mayor de los órdenes de los menores no nulos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A\neq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ el mayor de los tamaños de los menores no nulos, que existe si 
+\begin_inset Formula $A\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A^{\prime}$
+\end_inset
+
+ es una submatriz cuadrada de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ de tamaño 
+\begin_inset Formula $p\times p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $|A^{\prime}|\neq0$
+\end_inset
+
+, entonces la submatriz 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ formada por las filas de 
+\begin_inset Formula $A^{\prime}$
+\end_inset
+
+ pero con todas las columnas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ columnas linealmente independientes (las de 
+\begin_inset Formula $A^{\prime}$
+\end_inset
+
+) y por tanto también tiene 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ filas linealmente independientes, pero entonces 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene al menos 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ filas linealmente independientes y 
+\begin_inset Formula $r\geq p$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, si 
+\begin_inset Formula $A_{i_{1}},\dots,A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+ son filas linealmente independientes de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y tomamos la submatriz 
+\begin_inset Formula $B\in M_{r,n}(K)$
+\end_inset
+
+ formada por estas filas y todas las columnas, 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ tendrá rango 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+, luego tendrá 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ columnas 
+\begin_inset Formula $j_{1},\dots,j_{r}$
+\end_inset
+
+ linealmente independientes.
+ Si tomamos la submatriz 
+\begin_inset Formula $A^{\prime}\in M_{r}(K)$
+\end_inset
+
+ formada por estas columnas, al ser linealmente independientes, 
+\begin_inset Formula $|A^{\prime}|\neq0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $p\geq r$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $p=r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $A_{i}=(a_{1i},\dots,a_{ni})\in K^{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{r}$
+\end_inset
+
+ linealmente independientes y
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{ccc}
+a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\
+\vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r}
+\end{array}\right|\neq0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $B=(b_{1},\dots,b_{n})$
+\end_inset
+
+ es combinación lineal de 
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{r}$
+\end_inset
+
+ si y sólo si para todo 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\begin{array}{cccc}
+a_{i_{1}1} & \dots & a_{i_{1}r} & b_{i_{1}}\\
+\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
+a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r} & b_{i_{r}}\\
+a_{j1} & \cdots & a_{jr} & b_{j}
+\end{array}\right|=0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si son linealmente dependientes, los determinantes son nulos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si todos son nulos, desarrollando por la última fila, se obtiene, para cada
+ 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+, que
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{j1}\left|\begin{array}{cccc}
+a_{i_{1}2} & \cdots & a_{i_{1}r} & b_{i_{1}}\\
+\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
+a_{i_{r}2} & \cdots & a_{i_{r}r} & b_{i_{r}}
+\end{array}\right|\pm\dots\pm b_{j}\left|\begin{array}{ccc}
+a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\
+\vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r}
+\end{array}\right|=0
+\]
+
+\end_inset
+
+Por lo que
+\begin_inset Formula 
+\[
+b_{j}=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc}
+a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\
+\vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r}
+\end{array}\right|}\left(\pm a_{j1}\left|\begin{array}{ccc}
+a_{i_{1}2} & \cdots & b_{i_{1}}\\
+\vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{i_{r}2} & \cdots & b_{i_{r}}
+\end{array}\right|\pm\dots\pm a_{j_{r}}\left|\begin{array}{ccc}
+a_{i_{1}1} & \cdots & b_{i1}\\
+\vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{i_{r}1} & \cdots & b_{i_{r}}
+\end{array}\right|\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A efectos prácticos, esto significa que, una vez encontrado un menor no
+ nulo de orden 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ en una matriz 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, podemos 
+\emph on
+orlarlo
+\emph default
+ (obtener otro añadiendo una fila y una columna a la submatriz) de todas
+ las formas posibles y, si todos los menores resultantes son nulos, entonces
+ 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=k$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Regla de Cramer
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un sistema de ecuaciones lineales 
+\begin_inset Formula $AX=B$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+sistema de Cramer
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es invertible.
+ En tal caso tiene solución única 
+\begin_inset Formula $X=A^{-1}B$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Regla de Cramer:
+\series default
+ si las columnas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $(A_{1},\dots,A_{n})$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+x_{i}=\frac{\det(A_{1},\dots,A_{i-1},B,A_{i+1},\dots,A_{n})}{\det(A)}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\hat{A}^{t}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $X=(x_{i})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $x_{i}=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{|A|}\Delta_{ji}b_{j}=\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^{n}\Delta_{ji}b_{j}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=r$
+\end_inset
+
+, habrá un menor 
+\begin_inset Formula $M\neq0$
+\end_inset
+
+ de orden 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+, por lo que las 
+\begin_inset Formula $n-r$
+\end_inset
+
+ últimas filas serán combinaciones lineales de las 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ primeras, y moviendo al lado derecho los 
+\begin_inset Formula $m-r$
+\end_inset
+
+ coeficientes que no están en la submatriz de 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+, nos queda el sistema
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left.\begin{array}{ccc}
+a_{11}x_{1}+\dots+a_{1r}x_{r} & = & b_{1}-(a_{1r+1}x_{r+1}+\dots+a_{1n}x_{n})\\
+ & \vdots\\
+a_{r1}x_{1}+\dots+a_{rr}x_{r} & = & b_{r}-(a_{rr+1}x_{r+1}+\dots+a_{rn}x_{n})
+\end{array}\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+que podemos resolver por Cramer.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/algl/n5.lyx b/algl/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..bb844d5
--- /dev/null
+++ b/algl/n5.lyx
@@ -0,0 +1,1323 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
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+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
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+\use_package esint 1
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+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
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+\use_indices false
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+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
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+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
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+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Semejanza de matrices
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+semejantes
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists P\in M_{n}(K):B=P^{-1}AP$
+\end_inset
+
+.
+ Esta relación es de equivalencia, y si dos matrices son semejantes también
+ son equivalentes y por tanto tienen el mismo rango, si bien el recíproco
+ no se cumple.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ una matriz formada por 
+\series bold
+bloques
+\series default
+ cuadrados en la diagonal y ceros en el resto:
+\begin_inset Formula 
+\[
+A=\left(\begin{array}{ccc}
+\boxed{A_{1}} &  & 0\\
+ & \ddots\\
+0 &  & \boxed{A_{t}}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $A_{i}\in M_{n_{i}}(K)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n_{1}+\dots+n_{t}=n$
+\end_inset
+
+.
+ Por el desarrollo de Laplace, su determinante es 
+\begin_inset Formula $|A|=|A_{1}|\cdots|A_{t}|$
+\end_inset
+
+; su rango es la suma de los rangos de los 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+, y su potencia 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+-ésima es
+\begin_inset Formula 
+\[
+A^{k}=\left(\begin{array}{ccc}
+\boxed{A_{1}^{k}} &  & 0\\
+ & \ddots\\
+0 &  & \boxed{A_{t}^{k}}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Entonces, si 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es semejante a 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|B|=|P^{-1}AP|=|P|^{-1}|A||P|=|A|$
+\end_inset
+
+, su rango es el de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula 
+\[
+B^{k}=\underset{k\text{ veces}}{(P^{-1}AP)\cdots(P^{-1}AP)}=P^{-1}A^{k}P
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subespacios invariantes
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $W\leq V$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+invariante
+\series default
+ por 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $f(W)\subseteq W$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces la restricción de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $f|_{W}\in\text{End}_{K}(W)$
+\end_inset
+
+.
+ También se tiene que 
+\begin_inset Formula $\{0\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son invariantes de cada 
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$
+\end_inset
+
+, y la suma e intersección de subespacios invariantes por 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ también son subespacios invariantes por 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora supongamos que 
+\begin_inset Formula $V=W_{1}\oplus\dots\oplus W_{t}$
+\end_inset
+
+, donde cada 
+\begin_inset Formula $W_{i}$
+\end_inset
+
+ es un subespacio invariante no nulo por 
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
+\end_inset
+
+.
+ Si tomamos 
+\begin_inset Formula ${\cal B}={\cal B}_{1}\cup\dots\cup{\cal B}_{t}$
+\end_inset
+
+, siendo cada 
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{i}$
+\end_inset
+
+ una base de 
+\begin_inset Formula $W_{i}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+M_{{\cal B}}(f)=\left(\begin{array}{ccc}
+\boxed{A_{1}} &  & 0\\
+ & \ddots\\
+0 &  & \boxed{A_{t}}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $A_{i}=M_{{\cal B}_{i}}(f|_{W})\in M_{n_{i}}(K)$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n_{i}=\dim(W_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ Recíprocamente, si 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ tiene dicha forma y
+\begin_inset Formula 
+\[
+{\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{n_{1}},v_{n_{1}+1},\dots,v_{n_{1}+n_{2}},\dots,v_{n_{1}+\dots+n_{t-1}+1},\dots,v_{n_{1}+\dots+n_{t}}\}
+\]
+
+\end_inset
+
+entonces 
+\begin_inset Formula $W_{1}=<v_{1},\dots,v_{n_{1}}>$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $W_{2}=<v_{n_{1}+1},\dots,v_{n_{1}+n_{2}}>$
+\end_inset
+
+, etc.
+ son subespacios vectoriales invariantes por 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Endomorfismos y matrices diagonalizables
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+diagonalizable
+\series default
+ si existe una base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ es diagonal, y una matriz cuadrada es diagonalizable si lo es el endomorfismo
+ de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ que cuya matriz respecto a la base canónica es 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Equivalentemente, una matriz cuadrada es diagonalizable si y sólo si es
+ semejante a una matriz diagonal, y un endomorfismo es diagonalizable si
+ su matriz asociada respecto a cualquier base lo es.
+ Denotamos las matrices diagonales como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{ccc}
+\lambda_{1} &  & 0\\
+ & \ddots\\
+0 &  & \lambda_{n}
+\end{array}\right)=\text{Diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Vectores y valores propios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1,}\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)=\text{Diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $f(u_{i})=\lambda_{1}u_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Un 
+\series bold
+vector propio
+\series default
+, 
+\series bold
+autovector
+\series default
+ o 
+\series bold
+vector característico
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es un vector 
+\begin_inset Formula $v\neq0$
+\end_inset
+
+ para el que existe un 
+\begin_inset Formula $\lambda\in K$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(v)=\lambda v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Un 
+\series bold
+valor propio
+\series default
+, 
+\series bold
+autovalor
+\series default
+ o 
+\series bold
+valor característico
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es un escalar 
+\begin_inset Formula $\lambda\in K$
+\end_inset
+
+ para el que existe un 
+\begin_inset Formula $v\in V\backslash\{0\}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(v)=\lambda v$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos que 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+\emph on
+el
+\emph default
+ valor propio asociado al vector propio 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+
+\series default
+, o que 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+\emph on
+un
+\emph default
+ vector propio asociado al valor propio 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, 
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
+\end_inset
+
+ es diagonalizable si y sólo si existe una base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ formada por vectores propios de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subespacios propios.
+ Polinomio característico
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los vectores propios de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ asociados a 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ son todos los vectores no nulos de 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f-\lambda Id)$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $V_{\lambda}=\text{Nuc}(f-\lambda Id)=\{v\in V:(f-\lambda Id)(v)=0\}=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+subespacio propio
+\series default
+ o 
+\series bold
+característico
+\series default
+ correspondiente al valor propio 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\lambda\in K$
+\end_inset
+
+ es un valor propio de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\det(f-\lambda Id)=0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\lambda\in K$
+\end_inset
+
+ es valor propio si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $0\neq v\in V_{\lambda}$
+\end_inset
+
+, es decir, si 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f-\lambda Id)\neq\{0\}$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $0<\dim(\text{Nuc}(\lambda Id-f))=\dim(V)-\text{rang}(\lambda Id-f)$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $\text{rang}(\lambda Id-f)<\dim(V)$
+\end_inset
+
+ o, equivalentemente, 
+\begin_inset Formula $\det(\lambda Id-f)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $P_{f}(x):=\det(xId-f)$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+polinomio característico
+\series default
+ de 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+
+\series default
+, y 
+\begin_inset Formula $P_{A}(x):=\det(xI_{n}-A)$
+\end_inset
+
+ es el polinomio característico de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos comprobar que
+\begin_inset Formula 
+\[
+P_{A}(x)=x^{n}-\text{tr}(A)x^{n-1}+\dots+(-1)^{n}\det(A)
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $\text{tr}(A)$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+traza
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, la suma de los elementos de su diagonal.
+ Obtenemos como resultado que los valores propios de 
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
+\end_inset
+
+ son las raíces de 
+\begin_inset Formula $P_{f}(x)$
+\end_inset
+
+, y que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene a lo sumo 
+\begin_inset Formula $\dim(V)$
+\end_inset
+
+ valores propios distintos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Independencia de los subespacios propios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{s}$
+\end_inset
+
+ son valores propios de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ distintos dos a dos, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)+\dots+\text{Nuc}(\lambda_{s}Id-f)$
+\end_inset
+
+ es suma directa, y en particular, vectores propios correspondientes a valores
+ propios distintos dos a dos son linealmente independientes.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $s=2$
+\end_inset
+
+, sean 
+\begin_inset Formula $v_{1}\in\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v_{2}\in\text{Nuc}(\lambda_{2}Id-f)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0=v_{1}+v_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $0=f(0)=f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$
+\end_inset
+
+, pero también 
+\begin_inset Formula $0=\lambda_{2}(v_{1}+v_{2})=\lambda_{2}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Restando, 
+\begin_inset Formula $0=(\lambda_{2}-\lambda_{1})v_{1}$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $\lambda_{2}\neq\lambda_{1}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $v_{1}=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $v_{2}$
+\end_inset
+
+ también.
+ Ahora sea 
+\begin_inset Formula $s>2$
+\end_inset
+
+ y supongamos el resultado cierto para 
+\begin_inset Formula $s-1$
+\end_inset
+
+.
+ Sean ahora 
+\begin_inset Formula $v_{1}\in\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f),\dots,v_{s}\in\text{Nuc}(\lambda_{s}Id-f)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0=v_{1}+\dots+v_{s}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $0=f(0)=f(v_{1}+\dots+v_{s})=f(v_{1})+\dots+f(v_{s})=\lambda_{1}v_{1}+\dots+\lambda_{s}v_{s}$
+\end_inset
+
+, pero también 
+\begin_inset Formula $0=\lambda_{s}v_{1}+\dots+\lambda_{s}v_{k-1}+\lambda_{s}v_{s}$
+\end_inset
+
+.
+ Restando, 
+\begin_inset Formula $0=(\lambda_{s}-\lambda_{1})v_{1}+\dots+(\lambda_{s}-\lambda_{s-1})v_{s-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Aplicando la hipótesis de inducción, queda que 
+\begin_inset Formula $v_{1}=\dots=v_{s-1}=0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $v_{s}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También, si 
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\begin_inset Formula $\dim(V)$
+\end_inset
+
+ autovalores, entonces es diagonalizable.
+\series bold
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$
+\end_inset
+
+ son valores propios de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ distintos dos a dos y 
+\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$
+\end_inset
+
+ son vectores propios asociados a cada uno, entonces 
+\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, por lo que constituyen una base formada por vectores propios de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Caracterización de los endomorfismos diagonalizables
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $P(x)$
+\end_inset
+
+ es un polinomio con coeficientes en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lambda\in K$
+\end_inset
+
+ es una raíz de 
+\begin_inset Formula $P(x)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\series bold
+multiplicidad
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $P(x)$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $(x-\lambda)^{m}|P(x)$
+\end_inset
+
+ pero 
+\begin_inset Formula $\neg((x-\lambda)^{m+1}|P(x))$
+\end_inset
+
+.
+ Si una raíz tiene multiplicidad 1, es una raíz 
+\series bold
+simple
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ De lo contrario es una raíz
+\series bold
+ múltiple
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ un valor propio de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $d=\dim(\text{Nuc}(\lambda Id-f))$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ es la multiplicidad de 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $P_{f}(x)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $d\leq m$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, si el valor propio es una raíz simple, entonces 
+\begin_inset Formula $d=m=1$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{d}\}$
+\end_inset
+
+ una base de 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda Id-f)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{d},v_{d+1},\dots,v_{n}\}$
+\end_inset
+
+ una base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ tiene forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{ccc|c}
+\lambda &  & 0\\
+ & \ddots &  & C\\
+0 &  & \lambda\\
+\hline  &  & \\
+ & 0 &  & D\\
+ &  & \\
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+por lo que 
+\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda)^{d}\det(xI_{n-d}-D)=(x-\lambda)^{d}Q(x)$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $d\leq m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de diagonalización:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es diagonalizable si y sólo si
+\begin_inset Formula 
+\[
+P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{d_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{d_{r}}
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}\in K$
+\end_inset
+
+ distintos dos a dos, y 
+\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$
+\end_inset
+
+ los valores propios de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, existirá una base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ de vectores propios en los que cada vector tendrá asociado un valor propio
+ y pertenecerá por tanto al subespacio propio correspondiente.
+ Agrupando, 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
+\end_inset
+
+ tendrá forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{ccccccc}
+\lambda_{1}\\
+ & \ddots &  &  &  & 0\\
+ &  & \lambda_{1}\\
+ &  &  & \ddots\\
+ &  &  &  & \lambda_{r}\\
+ & 0 &  &  &  & \ddots\\
+ &  &  &  &  &  & \lambda_{r}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+donde cada 
+\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
+\end_inset
+
+ se repetirá 
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+ veces, el número de vectores propios de la base del subespacio.
+ Por tanto, 
+\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{m_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{m_{r}}$
+\end_inset
+
+ tiene todas sus raíces en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f))$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\sum d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(\lambda_{r}Id-f))\leq\dim(V)=n$
+\end_inset
+
+, y como en la base hay 
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+ vectores linealmente independientes de 
+\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $m_{i}\leq d_{i}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $n=\text{gr}(P_{f}(x))=\sum m_{i}\leq\sum d_{i}\leq n$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $m_{i}=d_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{d_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{d_{r}}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(f-\lambda Id))$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\dim(\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(\lambda_{r}Id-f))=d_{1}+\dots+d_{r}=\text{gr}(P_{f}(x))=\dim(V)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $V=\text{Nuc}(f-\lambda_{1}Id)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(f-\lambda_{r}Id)$
+\end_inset
+
+ y la unión de las bases de cada subespacio será una base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ formada por vectores propios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, para diagonalizar una matriz 
+\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ en matrices 
+\begin_inset Formula $A=M_{{\cal CB}}DM_{{\cal BC}}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ diagonal, obtenemos su polinomio característico, hallamos sus raíces, que
+ serán los autovalores de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Si la suma de sus multiplicidades da 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, resolvemos cada ecuación 
+\begin_inset Formula $(\lambda Id-f)X=0$
+\end_inset
+
+ para obtener las bases de los subespacios propios, cuya dimensión debería
+ coincidir con la multiplicidad del autovalor si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es diagonalizable.
+ Entonces añadimos cada raíz en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ tantas veces como sea su multiplicidad y razonamos que los vectores correspondi
+entes de la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+, y por tanto las correspondientes columnas de 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal CB}}$
+\end_inset
+
+, son los de la base de dicho subespacio propio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Aplicaciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq K$
+\end_inset
+
+ verifica una 
+\series bold
+ecuación en diferencias lineales con coeficientes constantes
+\series default
+ (homogénea) si para todo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ satisface que 
+\begin_inset Formula $x_{n+r}+a_{1}x_{n+r-1}+\dots+a_{r}x_{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos a 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ el 
+\series bold
+orden
+\series default
+ de la ecuación.
+ Podemos definir entonces una sucesión auxiliar 
+\begin_inset Formula $(Y_{n})_{n}\subseteq M_{r,1}(K)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(Y_{n})_{i}=x_{n+r-i}$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene entonces que 
+\begin_inset Formula $x_{n+r}=-a_{1}x_{n+r-1}-\dots-a_{r}x_{n}$
+\end_inset
+
+, luego
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+Y_{n+1}=\left(\begin{array}{c}
+x_{n+r}\\
+\vdots\\
+x_{n+1}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+-a_{1}x_{n+r-1}-\dots-a_{r}x_{n}\\
+x_{n+r-1}\\
+\vdots\\
+x_{n+1}
+\end{array}\right)=\\
+=\left(\begin{array}{cccc}
+-a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{r}\\
+1 &  & 0 & 0\\
+ & \ddots &  & \vdots\\
+0 &  & 1 & 0
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+x_{n+r-1}\\
+\vdots\\
+x_{n}
+\end{array}\right)=AY_{n}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+sistema de ecuaciones en diferencias lineales de primer orden con coeficientes
+ constantes
+\series default
+ (homogéneo) es una relación entre los términos de unas sucesiones y sus
+ términos inmediatamente anteriores:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left.\begin{array}{ccc}
+x_{n+1} & = & a_{11}x_{n}+a_{12}y_{n}+a_{13}z_{n}\\
+y_{n+1} & = & a_{21}x_{n}+a_{22}y_{n}+a_{23}z_{n}\\
+z_{n+1} & = & a_{31}x_{n}+a_{32}y_{n}+a_{33}z_{n}
+\end{array}\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+Estos pueden expresarme matricialmente de la forma 
+\begin_inset Formula $Y_{n+1}=AY_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$
+\end_inset
+
+.
+ Por re
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+cu
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+rren
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+cia, en ambos casos se tiene que 
+\begin_inset Formula $Y_{n}=A^{n-1}Y_{1}=A^{n}Y_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces es útil diagonalizar 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, si es posible, para poder calcular las potencias rápidamente.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/cyn/n.lyx b/cyn/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..56a3b06
--- /dev/null
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+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
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+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
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+\begin_layout Title
+Conjuntos y números
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2017}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Curso de conjuntos y números: Apuntes, Juan Jacobo Simón Pinero (Curso 2017–2018
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Conjuntos y elementos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Aplicaciones
+\end_layout
+
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+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Órdenes en conjuntos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Relaciones de equivalencia
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n4.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Conjuntos numéricos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+El anillo de los números enteros
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n7.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Polinomios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n8.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/cyn/n1.lyx b/cyn/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..21cc0c8
--- /dev/null
+++ b/cyn/n1.lyx
@@ -0,0 +1,914 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
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+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
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+\papersize default
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+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
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+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
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+\use_bibtopic false
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+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
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+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
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+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Podemos definir conjuntos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Por extensión:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A=\{X_{1},\dots,X_{n},\dots\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Por comprehensión:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A=\{X\in B|p(X)\text{ (es verdadera)}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si es obvio quién es 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, se puede omitir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cualquiera de ambas escrituras determina un único conjunto.
+ 
+\series bold
+Paradoja de Russell:
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ es la colección de todos los conjuntos y 
+\begin_inset Formula $A=\{x\in{\cal U}|x\notin x\}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A\in A$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $A\notin A$
+\end_inset
+
+.
+ Lo que ocurre es que 
+\begin_inset Formula ${\cal U}$
+\end_inset
+
+ no es un conjunto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Pertenencia:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Contrario: 
+\begin_inset Formula $a\notin A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inclusión:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ está contenido, o es un subconjunto, de 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B:\iff(a\in A\implies a\in B)$
+\end_inset
+
+.
+ Es transitiva: 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B\land B\subseteq C\implies A\subseteq C$
+\end_inset
+
+.
+ Contrario: 
+\begin_inset Formula $A\nsubseteq B$
+\end_inset
+
+.
+ Subconjunto estricto: 
+\begin_inset Formula $A\subsetneq B\iff A\subseteq B\land A\neq B$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $A\subset B$
+\end_inset
+
+ es ambiguo, aunque se suele usar como 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Igualdad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A=B:\iff(a\in A\iff a\in B)\iff A\subseteq B\land B\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Múltiplos de un número 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $n\mathbb{Z}=\{nt|t\in\mathbb{Z}\}=\{nt\}_{t\in\mathbb{Z}}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $m\in n\mathbb{Z}\implies m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+.
+ Relación 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es múltiplo de 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $m|n\iff\exists t\in\mathbb{Z}:n=tm$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A=\{x\in B|p(x)\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A'=\{x\in B|p'(x)\}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $(p(x)\implies p'(x))\implies A\subseteq A'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+conjunto vacío
+\series default
+ es aquel que no tiene elementos.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es vacío, entonces 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B$
+\end_inset
+
+, dado que si 
+\begin_inset Formula $A\nsubseteq B$
+\end_inset
+
+ significaría que 
+\begin_inset Formula $\exists a\in A:a\notin B$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ no estaría vacío.
+ De aquí podemos deducir que solo hay un conjunto vacío, y lo llamamos 
+\begin_inset Formula $\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $A=\emptyset:\iff\forall x,x\notin A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal P}(A)=\{B|B\subseteq A\}$
+\end_inset
+
+ es el conjunto de las 
+\series bold
+partes de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ o el conjunto 
+\series bold
+potencia
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ También se llama 
+\begin_inset Formula $2^{A}$
+\end_inset
+
+ porque si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ elementos, 
+\begin_inset Formula ${\cal P}(A)$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+, de lo que deducimos que 
+\begin_inset Formula $A\neq{\cal P}(A)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Operaciones con subconjuntos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los 
+\series bold
+diagramas de Venn
+\series default
+ aportan una mejor comprensión de los conjuntos y sus operaciones.
+ Los conjuntos se representan como formas (normalmente círculos y cuadrados),
+ que pueden ir acompañados del nombre del conjunto, y se colorea la parte
+ deseada.
+ Operaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Unión:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Intersección:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A\cap B=\{x|x\in A\land x\in B\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+disjuntos
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Diferencia de conjuntos:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A\backslash B=\{x|x\in A\land x\notin B\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Complemento:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $A\subseteq U$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ un 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+universo
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ en el contexto en el que operamos, el complemento de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ se define como 
+\begin_inset Formula $A^{\complement}=\overline{A}=U\backslash A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\forall A\subseteq B,A\cup X\subseteq B\cup X\land A\cap X\subseteq B\cap X$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A\subseteq C\land B\subseteq C\implies(A\cup B)\subseteq C$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A\subseteq B\iff A\cup B=B\iff A\cap B=A$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A\cup\emptyset=A$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $A\cap\emptyset=\emptyset$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $X\subseteq(A\cap B)\iff(X\subseteq A)\land(X\subseteq B)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(A\cup B)\subseteq X\iff(A\subseteq X)\land(B\subseteq X)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(A\backslash B)\cup(B\backslash A)=(A\cup B)\backslash(A\cap B)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Leyes de Morgan:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(A\cap B)^{\complement}=A^{\complement}\cup B^{\complement}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(A\cup B)^{\complement}=A^{\complement}\cap B^{\complement}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Familias de conjuntos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una familia de conjuntos es una colección 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}|i\in I\}$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ son conjuntos.
+ Si todos los elementos son diferentes, tenemos un conjunto.
+ Algunas definiciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Unión arbitraria:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\cup{\cal C}=\{x|\exists A\in{\cal C}:x\in A\}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\cup_{i\in I}A_{i}=\{x|\exists i\in I:x\in A_{i}\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Intersección arbitraria:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\cap{\cal C}=\{x|\forall A\in{\cal C}:x\in A\}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\cap_{i\in I}A_{i}=\{x|\forall i\in I:x\in A_{i}\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\cap{\cal C}\subseteq A\subseteq\cup{\cal C}\forall A\in{\cal C}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\cap A_{i}\subseteq A_{j}\subseteq\cup A_{i}\forall j\in I$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X\subseteq\cap{\cal C}\iff X\subseteq A\forall A\in{\cal C}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\cup{\cal C}\subseteq X\iff A\subseteq X\forall A\in{\cal C}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\cup_{i\in I}(A\cap B_{i})=A\cap(\cup_{i\in I}B_{i})$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\cap_{i\in I}(A\cup B_{i})=A\cup(\cap_{i\in I}B_{i})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x\in\cup_{i\in I}(A\cap B_{i})\implies\exists i\in I:x\in(A\cap B_{i})\implies(x\in A)\land(x\in B_{i}\subseteq\cup B_{i})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x\in A\cap(\cup_{i\in I}B_{i})\implies\exists i:(x\in A\land x\in B_{i})\implies x\in\cup(A\cap B_{i})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\cap A_{i})^{\complement}=\cup A_{i}^{\complement}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(\cup A_{i})^{\complement}=\cap A_{i}^{\complement}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+par ordenado
+\series default
+ o 
+\series bold
+pareja ordenada
+\series default
+ formada por 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d$
+\end_inset
+
+.
+ El 
+\series bold
+producto cartesiano
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $A\times B=\{(a,b)|a\in A\land b\in B\}$
+\end_inset
+
+.
+ Este no es asociativo, pues en general, 
+\begin_inset Formula $(A\times B)\times C\neq A\times(B\times C)$
+\end_inset
+
+, pero son biyectivos.
+ Por ahora no tenemos descripción en términos de conjuntos para la expresión
+ 
+\begin_inset Formula $(a,b,c)$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades del producto cartesiano:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A\times\emptyset=\emptyset\times A=\emptyset$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+relación binaria
+\series default
+ o 
+\series bold
+correspondencia
+\series default
+ entre elementos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es un subconjunto 
+\begin_inset Formula $R\subseteq A\times B$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $(a,b)\in R$
+\end_inset
+
+, decimos que 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ está relacionado con 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, escrito 
+\begin_inset Formula $aRb$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A=B$
+\end_inset
+
+, tenemos una relación en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Definiciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Conjunto inicial:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Conjunto final:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dominio:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\text{Dom}R=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Imagen:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\text{Im}R=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos representar las relaciones en gráficas planas.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/cyn/n2.lyx b/cyn/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..386c747
--- /dev/null
+++ b/cyn/n2.lyx
@@ -0,0 +1,1510 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
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+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+aplicación
+\series default
+ entre dos conjuntos 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es una relación 
+\begin_inset Formula $f\subseteq A\times B$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall a\in A,\exists!b\in B:(a,b)\in f$
+\end_inset
+
+.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $A\overset{f}{\longrightarrow}B$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula $b=f(a)\iff(a,b)\in f$
+\end_inset
+
+.
+ Por ejemplo, podemos definir 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(n)=n^{2}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $f=\{(n,n^{2}):n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si partimos de una igualdad y queremos interpretarla como la regla de una
+ aplicación, la llamamos 
+\series bold
+función
+\series default
+.
+ Podemos representar una aplicación:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Como dos conjuntos representados de forma similar a un diagrama de Euler-Venn,
+ en el que de cada elemento de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ parte una flecha hacia uno de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Como una gráfica, en la que los elementos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ se representan en el eje horizontal y los de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ en el eje vertical, y las relaciones se representan con puntos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dominio
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $\text{Dom}f=A$
+\end_inset
+
+, por lo que el término 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+conjunto inicial
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ no se usa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Codominio
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Conjunto final
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Imagen
+\series default
+ o 
+\series bold
+imagen directa
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $\text{Im}f=f(A)=\{b\in B:\exists a:f(a)=b\}\subseteq B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Regla de correspondencia
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+: Igualdad 
+\begin_inset Formula $b=f(a)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $b=f(a)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\emph on
+una
+\emph default
+ 
+\series bold
+preimagen
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+imagen
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+ley de composición externa
+\series default
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $B\times A\overset{\circ}{\longrightarrow}A$
+\end_inset
+
+.
+ Una 
+\series bold
+operación binaria
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $A\times A\overset{\circ}{\longrightarrow}A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La aplicación 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ es:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inyectiva
+\series default
+ o 
+\series bold
+uno a uno
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies a=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Suprayectiva
+\series default
+, 
+\series bold
+sobreyectiva
+\series default
+ o 
+\series bold
+exhaustiva
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall b\in B,\exists a\in A:f(a)=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Biyectiva
+\series default
+ si es inyectiva y suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+restricción de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ a su imagen
+\series default
+ es una aplicación 
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A\rightarrow\text{Im}f$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $\hat{f}(a)=f(a)$
+\end_inset
+
+.
+ Se dice que 
+\begin_inset Formula $\hat{f}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+actúa igual
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Siempre es suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Imágenes directas e inversas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $X\subseteq A$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+imagen directa
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $f(X)=\{f(x)|x\in X\}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(\emptyset)=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+Se deriva de que 
+\begin_inset Formula $\emptyset\times B=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X\subseteq Y\implies f(X)\subseteq f(Y)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+y\in f(X)\implies\exists x\in X,y\in Y:f(x)=y\implies f(x)\in f(Y)\implies y\in f(Y)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A\implies f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $f\left(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $y\in f(\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}:f(x)=y$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:x\in X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $y\in f(X_{\alpha})\subseteq\cup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Considérese 
+\begin_inset Formula $y\in\cup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:y\in f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\exists x\in X_{\alpha}:f(x)=y$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, así que 
+\begin_inset Formula $y=f(x)\in f(\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A\implies f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $f\left(\bigcap_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)\subseteq\bigcap_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $y\in f(\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists x\in\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha}:f(x)=y$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $x\in\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,x\in X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,\exists x\in X_{\alpha}:f(x)=y$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí deducimos que 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,y\in f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $y\in\cap_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq B$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+imagen inversa
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $f(Y)^{-1}:=f^{-1}(Y):=\{a\in A|f(a)\in Y\}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(\emptyset)^{-1}=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+Se deriva de que 
+\begin_inset Formula $A\times\emptyset=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(B)^{-1}=A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X\subseteq B\implies\left(f(X)^{-1}\right)^{\complement}=f\left(X^{\complement}\right)^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X\subseteq Y\subseteq B\implies f(X)^{-1}\subseteq f(Y)^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,Y\subseteq B\implies f(X\cup Y)^{-1}=f(X)^{-1}\cup f(Y)^{-1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $f\left(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)^{-1}=\bigcup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in f(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:f(x)\in X_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $x\in f(X_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $X,Y\subseteq B\implies f(X\cap Y)^{-1}=f(X)^{-1}\cap f(Y)^{-1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $f\left(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}\right)^{-1}=\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in f(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f(x)\in Y_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $x\in f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+, para todo 
+\begin_inset Formula $\alpha\in I$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí se tiene que 
+\begin_inset Formula $x\in\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $x\in f(Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $f(x)\in Y_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, para todo 
+\begin_inset Formula $\alpha\in I$
+\end_inset
+
+.
+ Esto significa que 
+\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $x\in f(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ es una aplicación, para todo 
+\begin_inset Formula $X\subseteq A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X\subseteq f(f(X))^{-1}$
+\end_inset
+
+, y para todo 
+\begin_inset Formula $Y\subseteq B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(f(Y)^{-1})\subseteq Y$
+\end_inset
+
+, y ambos contenidos pueden ser estrictos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Composición
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow C$
+\end_inset
+
+, definimos la 
+\series bold
+composición de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ seguida de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ como la aplicación 
+\begin_inset Formula $g\circ f:A\rightarrow C$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Dom}(g\circ f)=\text{Dom}f$
+\end_inset
+
+ y el codominio de 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ es igual al de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow C$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $h:C\rightarrow D$
+\end_inset
+
+ son aplicaciones, entonces 
+\begin_inset Formula $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
+\end_inset
+
+.
+ La demostración parte de la coincidencia entre dominios y codominios que
+ permite considerar las distintas composiciones:
+\begin_inset Formula 
+\[
+(h\circ(g\circ f))(a)=h((g\circ f)(a))=h(g(f(a)))=(h\circ g)(f(a))=((h\circ g)\circ f)(a)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ aplicaciones inyectivas y 
+\begin_inset Formula $a,a'\in A$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $g(f(a))=g(f(a'))$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es inyectiva, 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La composición de aplicaciones suprayectivas es suprayectiva.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ suprayectivas y 
+\begin_inset Formula $c\in C$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists b\in B:g(b)=c$
+\end_inset
+
+ y a su vez 
+\begin_inset Formula $\exists a\in A:f(a)=b$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $a,a'\in A$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $g(f(a))=g(f(a'))$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')$
+\end_inset
+
+, y por ello 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva, 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para cualquier 
+\begin_inset Formula $c\in C$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists a\in A:(g\circ f)(a)=g(f(a))=c$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $\exists f(a)=b\in B:g(b)=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $X\subseteq A$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+restricción
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es la aplicación 
+\begin_inset Formula $f|_{X}:X\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f|_{X}(x)=f(x)$
+\end_inset
+
+.
+ También se puede interpretar como que 
+\begin_inset Formula $f|_{X}=f\circ u$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $u:X\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ como la 
+\series bold
+aplicación inclusión
+\series default
+, dada por 
+\begin_inset Formula $u(x)=x$
+\end_inset
+
+.
+ Al restringir una aplicación pueden variar sus propiedades.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Inversa de una aplicación biyectiva
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+aplicación identidad
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $1_{A}:A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $1_{A}(a)=a$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces decimos que 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+aplicación invertible
+\series default
+ o que tiene 
+\series bold
+inversa
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $g\circ f=1_{A}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f\circ g=1_{B}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora supongamos que 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ son inversas de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces,
+\begin_inset Formula 
+\[
+g=g\circ1_{B}=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=1_{A}\circ h=h
+\]
+
+\end_inset
+
+Por tanto la inversa de una aplicación es única, y la llamamos 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Además 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es invertible si y sólo si es biyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $a,a'\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(f(a))=f^{-1}(f(a'))$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+ Ahora, 
+\begin_inset Formula $\forall b\in B,\exists a=f^{-1}(b)\in A:f(a)=b$
+\end_inset
+
+, por lo que es suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Para cada 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ consideremos la imagen inversa 
+\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva, 
+\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $a,a'\in f(\{b\})^{-1}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $b=f(a)=f(a')$
+\end_inset
+
+, y como es inyectiva, 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}$
+\end_inset
+
+ tiene un solo elemento.
+ Ahora definimos 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $g(b)\in f(b)^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Es inmediato comprobar que 
+\begin_inset Formula $g=f^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son invertibles, 
+\begin_inset Formula $g\circ f$
+\end_inset
+
+ también lo es y su inversa es 
+\begin_inset Formula $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Un ejemplo de aplicaciones invertibles son las 
+\series bold
+permutaciones
+\series default
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $0\neq n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A=\{a_{1},\dots,a_{n}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces una permutación de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es una biyección 
+\begin_inset Formula $\sigma:A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+.
+ Se suelen denotar como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\sigma:\left(\begin{array}{ccc}
+a_{1} & \dots & a_{n}\\
+\sigma(a_{1}) & \dots & \sigma(a_{n})
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $S(A)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de las permutaciones de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A=\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+, se escribe como 
+\begin_inset Formula $S_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Producto directo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ un conjunto y 
+\begin_inset Formula $F=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de conjuntos, se define el 
+\series bold
+producto directo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ como el conjunto
+\begin_inset Formula 
+\[
+\prod_{i\in I}A_{i}=\left\{ f:I\rightarrow\cup_{i\in I}:f(i)\in A_{i}\forall i\in I\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f\in\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+, escribimos 
+\begin_inset Formula $f=(x_{i})_{i\in I}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es finito y se escribe como una lista, podemos escribir el conjunto como
+ 
+\begin_inset Formula $A_{1}\times\cdots\times A_{n}=\{(x_{1},\dots,x_{n}):x_{i}\in A_{i},i=1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si no se quiere escribir el conjunto de índices, este se presupone.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Debemos tener en cuenta que el producto cartesiano se usa en la definición
+ de relación y aplicación, por lo que el producto directo requiere de la
+ definición del cartesiano y no puede sustituirlo, aunque exista una biyección
+ cuando el número de factores es finito y usemos la misma escritura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ conjuntos y 
+\begin_inset Formula $F=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $G=\{B_{j}\}_{j\in J}$
+\end_inset
+
+ familias de conjuntos.
+ Si existe una biyección 
+\begin_inset Formula $\sigma:I\rightarrow J$
+\end_inset
+
+ y un conjunto de biyecciones 
+\begin_inset Formula $\{f_{i}:A_{i}\rightarrow B_{\sigma(i)}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+, entonces existe una biyección 
+\begin_inset Formula $f:\prod_{i\in I}A_{i}\rightarrow\prod_{j\in J}B_{j}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $f(x)_{j}=f_{\sigma^{-1}(j)}\left(x_{\sigma^{-1}(j)}\right)$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $x\in\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ para cada 
+\begin_inset Formula $x\in\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ y cada 
+\begin_inset Formula $j\in J$
+\end_inset
+
+ existe un único 
+\begin_inset Formula $f_{\sigma^{-1}(j)}\left(x_{\sigma^{-1}(j)}\right)$
+\end_inset
+
+, de modo que la relación es de aplicación, y debemos ver que es biyectiva.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $g:\prod_{j\in J}B_{j}\rightarrow\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $g(y)_{i}=f_{i}^{-1}\left(y_{\sigma(i)}\right)$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $f_{i}^{-1}:B_{\sigma(i)}\rightarrow A_{i}$
+\end_inset
+
+).
+ Como también es aplicación, debemos probar que sean inversas.
+ Entonces:
+\begin_inset Formula 
+\[
+g(f(x))_{i}=f_{i}^{-1}(f(x)_{\sigma(i)})=f_{i}^{-1}\left(f_{\sigma^{-1}(\sigma(i))}\left(x_{\sigma^{-1}(\sigma(i))}\right)\right)=f_{i}^{-1}(f_{i}(x_{i}))=x_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De forma análoga, 
+\begin_inset Formula $f(g(y))=y$
+\end_inset
+
+, y como tiene inversa, la aplicación es biyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Axioma de Elección:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es un conjunto no vacío y 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de conjuntos no vacíos, entonces 
+\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ es no vacío.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/cyn/n3.lyx b/cyn/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..de18e21
--- /dev/null
+++ b/cyn/n3.lyx
@@ -0,0 +1,725 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Relaciones de orden
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una relación 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ en un conjunto 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ se dice que es:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Reflexiva
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $(a,a)\in R$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Transitiva
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $(a,b),(b,c)\in R\implies(a,c)\in R$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Simétrica
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $(a,b)\in R\implies(b,a)\in R$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Antisimétrica
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $(a,b),(b,a)\in R\implies a=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una relación 
+\begin_inset Formula $\leq$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+de orden parcial
+\series default
+ (o un orden parcial) si es reflexiva, transitiva y antisimétrica.
+ Un ejemplo es el 
+\series bold
+orden lexicográfico
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})\leq(y_{1},\dots,y_{n})$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $x_{1}<y_{1}$
+\end_inset
+
+, o 
+\begin_inset Formula $x_{1}=y_{1}$
+\end_inset
+
+ y bien los vectores son de un elemento o bien 
+\begin_inset Formula $(x_{2},\dots,x_{n})\leq(y_{2},\dots,y_{n})$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $K^{n-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+conjunto parcialmente ordenado
+\series default
+ (
+\series bold
+CPO
+\series default
+ o 
+\series bold
+COPO
+\series default
+) es un par 
+\begin_inset Formula $(A,\leq)$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un conjunto y 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\leq$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ una relación de orden en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Si el contexto no deja dudas, diremos que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un COPO.
+ 
+\series bold
+Notación:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a<b:\iff a\leq b\land a\neq b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+conjunto totalmente
+\series default
+ o 
+\series bold
+linealmente ordenado
+\series default
+, y 
+\begin_inset Formula $\leq$
+\end_inset
+
+ un 
+\series bold
+orden total
+\series default
+ o 
+\series bold
+lineal
+\series default
+, si se satisface la 
+\series bold
+ley de la tricotomía
+\series default
+, es decir, si dados 
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
+\end_inset
+
+, ocurre que 
+\begin_inset Formula $a=b$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a<b$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $b<a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos representar conjuntos ordenados mediante 
+\series bold
+diagramas de Hasse
+\series default
+, también llamados 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\lang english
+upward drawing
+\lang spanish
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ o diagramas de grafo de un orden parcial.
+ Se representan los elementos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y se unen con una línea las que tienen relación de equivalencia entre sí,
+ sin contar las que se puedan deducir de la reflexividad o transitividad,
+ y con el elemento mayor situado más arriba.
+ También se pueden representar mediante 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $\zeta$
+\end_inset
+
+-matrices
+\series default
+, matrices 
+\begin_inset Formula $\zeta_{A}$
+\end_inset
+
+ con índices en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, de forma que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\zeta_{a,b}=\begin{cases}
+1 & \text{si }a<b\\
+0 & \text{en otro caso}
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Elementos notables en un COPO
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $(A,\leq)$
+\end_inset
+
+ un conjunto parcialmente ordenado y 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+máximo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Si existe, es único, pues si fueran 
+\begin_inset Formula $a,a'\in A$
+\end_inset
+
+ máximos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, se tendría que 
+\begin_inset Formula $a\leq a'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a'\leq a$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $a=a'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+mínimo
+\series default
+ o 
+\series bold
+primer elemento
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $a\leq b\forall b\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Si existe, es único, y la demostración es análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+elemento maximal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $b\geq a\implies b=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+elemento minimal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ cuando 
+\begin_inset Formula $b\leq a\implies b=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Además, si 
+\begin_inset Formula $B\subseteq A$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+cota superior
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+cota inferior
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $a\leq b\forall b\in B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+supremo
+\series default
+ o 
+\series bold
+extremo superior
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si es el mínimo de las cotas superiores de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Si existe es único, pues el mínimo de las cuotas superiores, al ser un
+ mínimo, es único.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+ínfimo
+\series default
+ o 
+\series bold
+extremo inferior
+\series default
+ de 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si es el máximo de las cotas inferiores de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Si existe es único, por razonamiento análogo al anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ es máximo de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ si y sólo si es el supremo de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Al ser máximo se tiene que 
+\begin_inset Formula $b'\geq b\forall b\in B$
+\end_inset
+
+ y por tanto también es cota superior, pero si hubiera una cota superior
+ menor, a la que llamaremos 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $c<b\in B$
+\end_inset
+
+ y por tanto no es cota superior
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Al ser supremo, es cota superior, por lo que 
+\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in B$
+\end_inset
+
+.
+ Si a esto le unimos que 
+\begin_inset Formula $a\in B$
+\end_inset
+
+, tenemos la definición de máximo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esta propiedad se cumple de forma análoga si en vez del máximo y el supremo
+ tomamos el mínimo y el ínfimo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conjuntos bien ordenados
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un CPO es 
+\series bold
+bien ordenado
+\series default
+ si todo subconjunto suyo no vacío tiene primer elemento.
+ Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ bien ordenado y 
+\begin_inset Formula $B=\{a,b\}\subseteq A$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $\{a,b\}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, tiene primer elemento, de lo que se desprende la tricotomía.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Principio de la Buena Ordenación:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, existe un orden 
+\begin_inset Formula $\leq$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(A,\leq)$
+\end_inset
+
+ es un conjunto bien ordenado.
+ Esto es equivalente al Axioma de Elección.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/cyn/n4.lyx b/cyn/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..50a4550
--- /dev/null
+++ b/cyn/n4.lyx
@@ -0,0 +1,374 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
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+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
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+\tocdepth 3
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una relación es 
+\series bold
+de equivalencia
+\series default
+ si es reflexiva, simétrica y transitiva.
+ Si 
+\begin_inset Formula $(a,b)\in R$
+\end_inset
+
+, escribimos 
+\begin_inset Formula $aRb$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a\sim_{R}b$
+\end_inset
+
+ o, si no causa confusión 
+\begin_inset Formula $a\sim b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Clases de equivalencia
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ una relación de equivalencia en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Para cada 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, su clase de equivalencia es 
+\begin_inset Formula $[a]=\{b\in A:a\sim b\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces:
+\begin_inset Formula 
+\[
+[a]\cap[b]\neq\emptyset\iff a\sim_{R}b\iff[a]=[b]
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $1\implies2]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $x\in[a]\cap[b]\implies a\sim x\land x\sim b\implies a\sim b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $2\implies3]$
+\end_inset
+
+ Por hipótesis 
+\begin_inset Formula $a\sim b$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $x\in[a]\implies x\sim a\implies x\sim b\implies x\in[b]$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente, 
+\begin_inset Formula $y\in[b]\implies y\in[a]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $3\implies1]$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $(a,a)\in R\implies a\in[a]=[b]\implies[a]\cap[b]\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es una clase de equivalencia y 
+\begin_inset Formula $a\in C$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $[a]=C$
+\end_inset
+
+, y decimos que 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+representante
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+El conjunto cociente y la proyección canónica
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se define el 
+\series bold
+conjunto cociente
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ respecto de la relación 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ como el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ respecto de 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+, y se denota 
+\begin_inset Formula $A/R$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A/\sim_{R}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A/\sim$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\frac{A}{\sim}$
+\end_inset
+
+.
+ Calcular los conjuntos cociente consiste en dar un 
+\series bold
+juego completo de representantes
+\series default
+, es decir, describir un conjunto 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ con uno y solo un representante de cada clase de equivalencia (
+\series bold
+conjunto irredundante de representantes
+\series default
+ de las clases de equivalencia).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+proyección canónica
+\series default
+ a la aplicación 
+\begin_inset Formula $\eta_{R}:A\rightarrow A/R$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a\mapsto[a]$
+\end_inset
+
+.
+ Siempre es suprayectiva, por la definición de 
+\begin_inset Formula $A/R$
+\end_inset
+
+, y solo es inyectiva cuando 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ es la igualdad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Relaciones de equivalencia y particiones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ conjuntos y 
+\begin_inset Formula $P=\{B_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de subconjuntos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, decimos que 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ forma una 
+\series bold
+partición
+\series default
+ para 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si se verifica que 
+\begin_inset Formula $B_{i}\cap B_{j}=\emptyset\iff i\neq j$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}B_{i}=A$
+\end_inset
+
+.
+ Toda relación de equivalencia induce una partición, pues 
+\begin_inset Formula $[a]\cap[b]=\emptyset\iff a\not\sim b$
+\end_inset
+
+, lo que se obtiene de las propiedades de las clases de equivalencia, y
+ 
+\begin_inset Formula $\cup_{[a]\in A/\sim}[a]=A$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $b\sim b\implies b\in[b]\subseteq\cup_{[a]\in A/\sim}[a]$
+\end_inset
+
+.
+ Del mismo modo, toda partición 
+\begin_inset Formula $\{C_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ determina una clase de equivalencia, definida por 
+\begin_inset Formula $a\sim b:\iff\exists i\in I:a,b\in C_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Solo quedaría probar que esta es una relación de equivalencia y las clases
+ de equivalencia son las 
+\begin_inset Formula $C_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/cyn/n5.lyx b/cyn/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..0315b5a
--- /dev/null
+++ b/cyn/n5.lyx
@@ -0,0 +1,2359 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
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+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
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+\font_sc false
+\font_osf false
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+\use_dash_ligatures true
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+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\spacing single
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+\papersize default
+\use_geometry false
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+\cite_engine_type default
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+\shortcut idx
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+\secnumdepth 3
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+\paragraph_indentation default
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+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Dos conjuntos son 
+\series bold
+equipotentes
+\series default
+ si existe una aplicación biyectiva entre ellos.
+ Al ser una relación reflexiva, simétrica y transitiva, podemos agrupar
+ a los conjuntos en 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+clases de equipotencia
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ que llamamos 
+\series bold
+cardinales
+\series default
+, y representamos con 
+\begin_inset Formula $|A|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+infinito
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $B\subsetneq A$
+\end_inset
+
+ equipotente a 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ En caso contrario es 
+\series bold
+finito
+\series default
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es finito, 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ es inyectiva si y sólo si es suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Se 
+\begin_inset Formula $B=\text{Im}f\subseteq A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ la restricción a la imagen de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Esta es entonces biyectiva, y como 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es finito, el subconjunto 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ no puede ser propio, por lo que es 
+\begin_inset Formula $B=A$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\text{Im}f=A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Para cualquier 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $f(\{a\})^{-1}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, por lo que existe 
+\begin_inset Formula $g:A\rightarrow A\in\prod_{a\in A}f(\{a\})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $f(g(a))=a\forall a\in A$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $f\circ g=1_{A}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es inyectiva y, por la implicación anterior, suprayectiva.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a_{1},a_{2}\in A$
+\end_inset
+
+ verifican 
+\begin_inset Formula $f(a_{1})=f(a_{2})$
+\end_inset
+
+ entonces existen, por la suprayectividad de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b_{1},b_{2}\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g(b_{1})=a_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(b_{2})=a_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $b_{1}=f(g(b_{1}))=f(a_{1})=f(a_{2})=f(g(b_{2}))=b_{2}$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $a_{1}=g(b_{1})=g(b_{2})=a_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Igualmente, si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son conjuntos finitos con 
+\begin_inset Formula $|A|=|B|$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $g:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ es inyectiva si y sólo si es suprayectiva.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Al existir una biyección 
+\begin_inset Formula $h:B\rightarrow A$
+\end_inset
+
+, podemos definir 
+\begin_inset Formula $f=h\circ g:A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es inyectiva, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ también, por lo que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva y 
+\begin_inset Formula $g=h^{-1}\circ f$
+\end_inset
+
+ también.
+ El recíproco se prueba de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es infinito, 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Existe 
+\begin_inset Formula $A_{0}\subsetneq A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f:A_{0}\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ biyectiva.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $B_{0}=A_{0}\dot{\cup}(B\backslash A)\subsetneq B$
+\end_inset
+
+, basta construir una biyección 
+\begin_inset Formula $f':B_{0}\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\in A_{0}\mapsto f(x)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x\in B\backslash A\mapsto x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números naturales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un cardinal es finito si tiene un representante finito.
+ De lo contrario es infinito.
+ Llamamos 
+\series bold
+números naturales
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+) a la colección de cardinales finitos.
+ El 
+\series bold
+axioma del infinito
+\series default
+ afirma que esta colección es un conjunto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $n=|A|$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+sucesor
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $n^{*}=|A\cup\{x\}|$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\notin A$
+\end_inset
+
+.
+ Tenemos que 
+\begin_inset Formula $n^{*}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, y escribimos 
+\begin_inset Formula $n^{*}=n+1$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos entonces definir 
+\begin_inset Formula $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\sigma(n)=n^{*}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ es inyectiva pero no suprayectiva y por tanto 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ es infinito.
+ Vemos que 
+\begin_inset Formula $0=|\emptyset|$
+\end_inset
+
+ es el único número natural que no es sucesor de ningún otro.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\backslash\{0\}$
+\end_inset
+
+, y entonces podemos definir intuitivamente la aplicación 
+\series bold
+antecesor
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\hat{\sigma}^{-1}:\mathbb{N}^{*}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $|A|\leq|B|\iff\exists f:A\rightarrow B\text{ inyectiva}$
+\end_inset
+
+, y vemos que 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{N},\leq)$
+\end_inset
+
+ es bien ordenado.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $n^{*}=\min\{x\in\mathbb{N}|n<x\}$
+\end_inset
+
+ y por tanto, si 
+\begin_inset Formula $a,n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ son tales que 
+\begin_inset Formula $n\leq a\leq n^{*}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a=n$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $a=n^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $M_{n}=\{x\in\mathbb{N}|n<x\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a=\min M_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Sabemos que existen 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ representantes respectivos de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ junto con 
+\begin_inset Formula $f:N\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ inyectiva pero no suprayectiva.
+ Entonces existe 
+\begin_inset Formula $x\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\notin\text{Im}f$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $g:N\cup\{N\}\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g(b)=f(b)$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $b\in N$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(N)=x$
+\end_inset
+
+, podemos comprobar que 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es inyectiva y por tanto 
+\begin_inset Formula $n^{*}\leq a$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $n^{*}=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+principio de inducción en los números naturales
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ cumple que 
+\begin_inset Formula $0\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\in A\implies n^{*}\in A$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $A=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Esto puede modificarse tomando que para 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $k\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $k\leq n\in A\implies n^{*}\in A$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}|n\geq k\}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ La 
+\series bold
+inducción matemática
+\series default
+ es un método de demostración consistente en demostrar la validez de la
+ propiedad 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ y luego probar la validez de 
+\begin_inset Formula $P(n+1)$
+\end_inset
+
+ suponiendo la de 
+\begin_inset Formula $P(n)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También, dados 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $k\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\forall m\in\mathbb{N},(k\leq m<n\implies m\in A)\implies n\in A$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}|n\geq k\}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ La aplicación de esto se conoce como 
+\series bold
+inducción matemática fuerte
+\series default
+.
+ El principio de inducción, el del buen orden y el axioma de elección son
+ equivalentes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo conjunto finito totalmente ordenado está bien ordenado y tiene máximo
+ y mínimo.
+ Por otro lado, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}=\{x\in\mathbb{N}|1\leq x\leq n\}$
+\end_inset
+
+ cumple que 
+\begin_inset Formula $|\mathbb{N}_{n}|=|\{1,\dots,n\}|=n$
+\end_inset
+
+ y por tanto es finito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El conjunto de números naturales que hemos construido satisface los 
+\series bold
+axiomas de Peano
+\series default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $0\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\exists\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\text{ inyectiva}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $0\notin\text{Im}\sigma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Se cumple el principio de inducción.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cualquier conjunto que cumpla estas condiciones es esencialmente igual a
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, lo que se conoce como 
+\series bold
+unicidad del sistema de Peano
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+suma
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $n+0=n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n+m^{*}=(n+m)^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta cumple que 
+\begin_inset Formula $(n+1)+m=n+(m+1)$
+\end_inset
+
+, y verifica las propiedades de 
+\series bold
+conmutatividad
+\series default
+, 
+\series bold
+asociatividad
+\series default
+ y 
+\series bold
+cancelación
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $a+c=b+c\implies a=b$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos el 
+\series bold
+producto
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $n\cdot0=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\cdot m^{*}=n\cdot m+n$
+\end_inset
+
+, y escribimos 
+\begin_inset Formula $n\cdot m=nm$
+\end_inset
+
+.
+ Este cumple que 
+\begin_inset Formula $(n+1)m=nm+m$
+\end_inset
+
+, y verifica las propiedades de 
+\series bold
+conmutatividad
+\series default
+, 
+\series bold
+asociatividad
+\series default
+, 
+\series bold
+distributividad
+\series default
+ respecto de la suma y 
+\series bold
+cancelación
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $nm=0\iff n=0\lor m=0$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema
+\series default
+ para la relación del orden y las operaciones aritméticas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\leq b\iff\exists u\in\mathbb{N}:a+u=b$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $a\leq a+u\forall u\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $B=\{n\in\mathbb{N}|a+n>b\}$
+\end_inset
+
+ y como 
+\begin_inset Formula $b^{*}\in B$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $B\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, por lo que existe 
+\begin_inset Formula $c:=\min B$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $u\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $u^{*}=c$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí, 
+\begin_inset Formula $a+u\leq b<a+u^{*}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $a+u=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\leq b\implies a+c\leq b+c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\leq b\implies ac\leq bc$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $a+u=b$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\begin_inset Formula $u=b-a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números enteros
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+números enteros
+\series default
+ al conjunto cociente 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula 
+\[
+(a,b)\sim(n,m)\iff a+m=b+n
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tenemos entonces que 
+\begin_inset Formula $\{(a,0)\}_{a\in\mathbb{N}}\dot{\cup}\{(0,b)\}_{b\in\mathbb{N}^{*}}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto irredundante de representantes.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $n\geq m$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in[(n-m,0)]$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $n<m$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in[(0,m-n)]$
+\end_inset
+
+.
+ Denotamos con 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $[(n,0)]$
+\end_inset
+
+ y los identificamos con los naturales, y denotamos con 
+\begin_inset Formula $-n$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $[(0,n)]$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos también 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{+}=\{n\in\mathbb{Z}|0\neq n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{-}=\{-n\in\mathbb{Z}|0\neq n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\backslash\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $[(a,b)]\leq[(m,n)]\iff a+n\leq b+m$
+\end_inset
+
+, y de aquí que 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},\leq)$
+\end_inset
+
+ es un conjunto totalmente ordenado en el que todo entero tiene predecesor
+ y sucesor.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+suma
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $[(a,b)]+[(m,n)]=[(a+m,b+n)]$
+\end_inset
+
+.
+ Esta está bien definida y verifica las propiedades conmutativa, asociativa,
+ existencia de 
+\series bold
+neutro
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $0=[(0,0)]$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},a+0=0$
+\end_inset
+
+) y existencia de 
+\series bold
+opuesto
+\series default
+ o 
+\series bold
+inverso bajo la suma
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},\exists a^{\prime}:a+a^{\prime}=0$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+ de que está bien definida.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $a,a',b,b',m,m',n,n'\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $[(a,b)]=[(a',b')]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[(m,n)]=[(m',n')]$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $a+b'=b+a'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m+n'=n+m'$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $a+b'+m+n'=b+a'+n+m'$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $(a+m)+(b'+n')=(a'+m')+(b+n)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[(a+m,b+n)]=[(a'+m',b'+n')]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos el 
+\series bold
+producto
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $[(a,b)]\cdot[(m,n)]=[(am+bn,an+bm)]$
+\end_inset
+
+.
+ Este está bien definido y verifica las propiedades conmutativa, asociativa,
+ distributiva respecto a la suma y existencia de neutro 
+\begin_inset Formula $1=[(1,0)]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números racionales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+números racionales
+\series default
+ al conjunto cociente 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^{*}/\sim$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula 
+\[
+[(a,b)]\sim[(n,m)]\iff am=bn
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Identificamos los enteros con los 
+\begin_inset Formula $[(n,1)]$
+\end_inset
+
+, escribimos 
+\begin_inset Formula $\frac{m}{n}:=[(m,n)]$
+\end_inset
+
+ y denotamos con 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\frac{m}{1}=[(m,1)]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $\frac{n}{m}\leq\frac{a}{b}\iff nmb^{2}\leq abm^{2}$
+\end_inset
+
+, y decimos que un racional es 
+\series bold
+positivo
+\series default
+ si es mayor que 0 y 
+\series bold
+negativo
+\series default
+ si es menor.
+ Si 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ tienen el mismo signo, podemos considerar 
+\begin_inset Formula $\frac{n}{m}\leq\frac{a}{b}\iff nb\leq ma$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene que 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{Q},\leq)$
+\end_inset
+
+ es un conjunto totalmente ordenado.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dados 
+\begin_inset Formula $\frac{n}{m}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{a}{b}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $nb=ma$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $nb>ma$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $nb<ma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la suma como 
+\begin_inset Formula $+:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\frac{a}{b}+\frac{m}{n}=\frac{an+bm}{bn}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta está bien definida, y verifica las propiedades de conmutatividad,
+ asociatividad, existencia de neutro 
+\begin_inset Formula $0=[(0,1)]$
+\end_inset
+
+ y existencia de opuesto.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $\frac{-n}{m}=\frac{n}{-m}=-\frac{n}{m}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos el producto como 
+\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\frac{a}{b}\cdot\frac{m}{n}=\frac{am}{bn}$
+\end_inset
+
+.
+ Este está bien definido y verifica las propiedades de conmutatividad, asociativ
+idad, existencia de neutro 
+\begin_inset Formula $1=[(1,1)]$
+\end_inset
+
+ y existencia de inverso para todo racional no cero (
+\begin_inset Formula $\forall\frac{m}{n}\in\mathbb{Q},\frac{m}{n}\cdot\frac{n}{m}=1$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una sucesión de números naturales 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ (o de cualquier subconjunto de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+) es 
+\series bold
+eventualmente periódica
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists m\in\mathbb{N},q\in\mathbb{N}^{*}:\forall i\geq m,a_{i}=a_{i+q}$
+\end_inset
+
+.
+ Al menor 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ que satisface la condición se le llama 
+\series bold
+término inicial del período
+\series default
+, y al menor 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+período
+\series default
+.
+ Una sucesión eventualmente periódica con 
+\begin_inset Formula $p=1$
+\end_inset
+
+ se dice que es 
+\series bold
+eventualmente constante
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ Por otro lado, una sucesión de naturales 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+decimal
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $a_{n}\in\{0,\dots,9\}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n>0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Para todo 
+\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\alpha\geq0$
+\end_inset
+
+, existe una única sucesión decimal eventualmente periódica de naturales
+ 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $0\leq\alpha-a_{0}-\frac{a_{1}}{10}-\dots-\frac{a_{n}}{10^{n}}<\frac{1}{10^{n}}$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta relación determina una biyección entre los racionales positivos y
+ las sucesiones decimales eventualmente periódicas que no son eventualmente
+ constantes con término inicial 9.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración.
+
+\series default
+ Tomamos 
+\begin_inset Formula $\alpha=\frac{k}{d}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $k\geq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(k,d)=1$
+\end_inset
+
+ y definimos 
+\begin_inset Formula $a_{0}=E(\alpha)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\alpha=a_{0}+\frac{r_{0}}{d}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $0\leq r_{0}<d$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos entonces por recurrencia 
+\begin_inset Formula $a_{n+1}=E(\frac{10r_{n}}{d})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{10r_{n}}{d}=a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $0\leq r_{n+1}<d$
+\end_inset
+
+, y también 
+\begin_inset Formula $S_{n}=a_{0}+a_{1}10^{-1}+\dots+a_{n}10^{-n}$
+\end_inset
+
+.
+ A continuación probamos las siguientes afirmaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Decimal:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $0\leq a_{n}<10$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+0\leq a_{n+1}\leq a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}=\frac{10r_{n}}{d}<10
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Lema:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha=S_{n}+\frac{r_{n}}{d}10^{-n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $n=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\alpha=a_{0}+\frac{r_{0}}{d}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora asumimos que esto se cumple para un cierto 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ y demostramos que se cumple también para 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha=S_{n}+\frac{10r_{n}}{d}10^{-(n+1)}=S_{n}+\left(a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}\right)10^{-(n+1)}=S_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}10^{-(n+1)}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Aproximación:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $0\leq\alpha-S_{n}<10^{n}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+0\leq\alpha-S_{n+1}=\frac{r_{n+1}}{d}10^{-(n+1)}<10^{-(n+1)}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Unicidad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a_{n+1}=E(10^{n+1}(\alpha-S_{n}))$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{n+1}=E\left(\frac{10r_{n}}{d}\right)=E\left(10^{n+1}10^{-n}\frac{r_{n}}{d}\right)=E(10^{n+1}(\alpha-S_{n}))
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Periodicidad:
+\series default
+ Como 
+\begin_inset Formula $0\leq r_{n}<d\forall n$
+\end_inset
+
+, los 
+\begin_inset Formula $r_{n}$
+\end_inset
+
+ deben repetirse, es decir, 
+\begin_inset Formula $\exists m,q\in\mathbb{N},q>0:r_{m}=r_{m+q}$
+\end_inset
+
+.
+ Vemos por inducción que 
+\begin_inset Formula $a_{i}=a_{i+q}\forall i\geq m+1$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $i=m+1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{m+1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{m+1}$
+\end_inset
+
+ son cociente y resto de 
+\begin_inset Formula $10r_{m}/d$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $a_{(m+q)+1}=a_{(m+1)+q}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{(m+q)+1}=r_{(m+1)+q}$
+\end_inset
+
+ son cociente y resto de 
+\begin_inset Formula $10r_{m+q}/d=10r_{m}/d$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $a_{m+1}=a_{(m+1)+q}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{m+1}=r_{(m+1)+q}$
+\end_inset
+
+.
+ El paso de inducción es análogo, partiendo de que 
+\begin_inset Formula $r_{i}=r_{i+q}$
+\end_inset
+
+ para obtener que 
+\begin_inset Formula $a_{i+1}=a_{(i+q)+1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{i+1}=r_{(i+q)+1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Estructuras algebraicas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ con una operación suma 
+\begin_inset Formula $+:A\times A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+grupo abeliano
+\series default
+ si la suma es conmutativa, asociativa, existe un elemento neutro 
+\begin_inset Formula $0\in A$
+\end_inset
+
+ y todo 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ tiene opuesto (
+\begin_inset Formula $b\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a+b=0$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si además tiene una operación producto 
+\begin_inset Formula $\cdot:A\times A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+, decimos que es un 
+\series bold
+anillo
+\series default
+ si con la suma es un grupo abeliano, el producto es asociativo, distribuye
+ a la suma y tiene neutro 
+\begin_inset Formula $1\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Un anillo en que el producto es conmutativo es un 
+\series bold
+anillo conmutativo
+\series default
+, y si además todo 
+\begin_inset Formula $a\in A\backslash\{0\}$
+\end_inset
+
+ tiene inverso (
+\begin_inset Formula $b\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $ab=1$
+\end_inset
+
+), decimos que es un 
+\series bold
+cuerpo
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números reales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos construirlos partiendo de los racionales de 3 formas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Identificándolos con los desarrollos decimales infinitos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Mediante las 
+\series bold
+cortaduras de Dedekind
+\series default
+, conjuntos 
+\begin_inset Formula $\emptyset\neq\beta\subsetneq\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ acotados superiormente y sin máximo tales que 
+\begin_inset Formula $y<x\in\beta\implies y\in\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Considerando el conjunto cociente de cierta relación de equivalencia de
+ las sucesiones de Cauchy en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Asumimos que es un conjunto no vacío 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ que contiene a los racionales y satisface los siguientes axiomas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Axiomas de cuerpo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Axiomas de orden:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ está totalmente ordenado, 
+\begin_inset Formula $x<y\implies x+z<y+z$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x,y>0\implies xy>0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es positivo si 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+ y negativo si 
+\begin_inset Formula $x<0$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí se tiene que si 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+, su opuesto 
+\begin_inset Formula $-x<0$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $x>0\implies x-x>0-x\implies0>-x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Axiomas de completitud:
+\series default
+ Todo subconjunto no vacío de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ acotado superiormente posee supremo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números complejos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+números complejos
+\series default
+ al cuerpo definido por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}
+\]
+
+\end_inset
+
+junto con las operaciones 
+\begin_inset Formula $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
+\end_inset
+
+.
+ Se representan en el plano cartesiano en las coordenadas 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ Identificamos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\{(a,0)\}_{a\in\mathbb{R}}$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos 
+\begin_inset Formula $i^{2}=-1$
+\end_inset
+
+ y escribimos 
+\begin_inset Formula $a+bi=(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $i^{n}=i^{m}\iff4|n-m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+conjugado
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $z=a+bi\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\overline{z}=a-bi$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overline{\overline{z}}=z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $z\neq0\implies\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}\iff\overline{z}=z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $z=a+bi\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+parte real
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{Re}(z)=a$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+parte imaginaria
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{Im}(z)=b$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+módulo
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
+\end_inset
+
+ y su 
+\series bold
+argumento
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{Arg}(z)=\theta=\arctan\frac{b}{a}$
+\end_inset
+
+, estableciendo primero el cuadrante de forma que 
+\begin_inset Formula $\cos(\theta)=\frac{a}{|z|}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sin(\theta)=\frac{b}{|z|}$
+\end_inset
+
+, y es único salvo múltiplos de 
+\begin_inset Formula $2\pi$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|z|^{2}=z\overline{z}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|z|=|\overline{z}|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|zw|=|z||w|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|z^{-1}|=|z|^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|\text{Re}(z)|\leq|z|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdad triangular:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $|z+w|\leq|z|+|w|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula $z\overline{w}=\overline{\overline{z}w}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $z\overline{w}+\overline{z}w=2\text{Re}(z\overline{w})$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $|z+w|^{2}=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+w\overline{w}+z\overline{w}+\overline{z}w=|z|^{2}+|w|^{2}+2\text{Re}(z\overline{w})\leq|z|^{2}+|w|^{2}+2|z\overline{w}|=(|z|+|w|)^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $z=a+bi$
+\end_inset
+
+ con módulo 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ y argumento 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+representación polar
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $z\mapsto(r,\theta)$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es la distancia al centro cartesiano y 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+ el ángulo respecto del eje de abscisas.
+ Así, su 
+\series bold
+representación trigonométrica
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $z\mapsto r(\cos\theta+i\sin\theta)$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $z=(r,\theta)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $w=(s,\sigma)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $zw=(rs,\theta+\sigma)$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí se deduce el 
+\series bold
+teorema de De Moivre:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $z=(r,\theta)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $z^{n}=(r^{n},n\theta)$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto, si 
+\begin_inset Formula $z^{n}=(s,\alpha)$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $r=\sqrt[n]{s}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\theta=\frac{\alpha+2k\pi}{n},k\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, con lo que todo número complejo tiene exactamente 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ raíces 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas complejas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\omega\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ es una raíz 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésima de la unidad si 
+\begin_inset Formula $\omega^{n}=1$
+\end_inset
+
+, y es una 
+\series bold
+raíz 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésima primitiva de la unidad
+\series default
+ si además 
+\begin_inset Formula $\omega^{m}\neq1$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $0<m<n$
+\end_inset
+
+.
+ Así, todo número complejo tiene
+\begin_inset Formula 
+\[
+\phi(n)=|\{m\in\{1,\dots,n-1\}:\text{mcd}(m,n)=1\}|
+\]
+
+\end_inset
+
+raíces 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas primitivas.
+ Esta función se conoce como 
+\series bold
+función 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ de Euler
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} & \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!} & \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto tiene sentido definir que 
+\begin_inset Formula $e^{ip}=\cos p+i\sin p$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $e^{ip}=1+ip+\frac{(ip)^{2}}{2!}+\dots=1+ip-\frac{p^{2}}{2!}-\frac{ip^{3}}{3!}+\frac{p^{4}}{4!}+\dots=\cos p+i\sin p$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto, podemos escribir 
+\begin_inset Formula $z=(r,\theta)\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $z=re^{\theta i}$
+\end_inset
+
+, y obtenemos la 
+\series bold
+identidad de Euler
+\series default
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+e^{\pi i}+1=0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conjuntos numerables y no numerables
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+a lo más numerable
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $|A|\leq|\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+numerable
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $|A|=|\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+más que numerable
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $|A|>|\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Teorema de Bernstein
+\series default
+ o 
+\series bold
+de Cantor-Schröeder-Bernstein (CSB):
+\series default
+ Dados dos conjuntos 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ tales que existen 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ inyectivas, entonces existe una biyección entre ellos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para simplificar, interpretamos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ sin el 0.
+ Ordenamos las parejas de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ en orden lexicográfico y luego vamos contando en diagonal.
+ Entonces en cada diagonal de 
+\begin_inset Formula $(1,n)$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $(n,1)$
+\end_inset
+
+ están los pares cuyas coordenadas suman 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+, y al terminar la diagonal habremos contado 
+\begin_inset Formula $S(n)=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$
+\end_inset
+
+ pares.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $(1,n)\mapsto S(n-1)+1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(2,n-1)\mapsto S(n-1)+2$
+\end_inset
+
+, etc.
+ Así, definimos 
+\begin_inset Formula $\varphi:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\varphi(i,j)=\frac{(i+j-1)(i+j-2)}{2}+i$
+\end_inset
+
+ y vemos que es una biyección.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|<(0,1)=|\mathbb{R}|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+ de que 
+\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|<(0,1)$
+\end_inset
+
+: La aplicación 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow(0,1)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(n)=\frac{1}{n+1}$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+ Para ver que no hay aplicaciones inyectivas 
+\begin_inset Formula $(0,1)\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ usamos el 
+\series bold
+método de la diagonal de Cantor
+\series default
+.
+ Supongamos que existe y hemos numerado todos los elementos en 
+\begin_inset Formula $(0,1)$
+\end_inset
+
+.
+ Si los escribimos en su forma decimal, tenemos
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{1} & = & 0,x_{11}x_{12}x_{13}\cdots\\
+x_{2} & = & 0,x_{21}x_{22}x_{23}\cdots\\
+x_{3} & = & 0,x_{31}x_{32}x_{33}\cdots
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+etcétera.
+ Ahora, sea 
+\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ una secuencia de dígitos con 
+\begin_inset Formula $y_{n}\in\{0,\dots,9\}\backslash\{x_{nn}\}$
+\end_inset
+
+ e
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $y_{1}=\{1,\dots,8\}\backslash\{x_{nn}\}$
+\end_inset
+
+ (para evitar que el número formado sea 0 o 1).
+ Entonces este número difiere con cada uno de la lista en al menos un dígito.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/cyn/n7.lyx b/cyn/n7.lyx
new file mode 100644
index 0000000..875b9a2
--- /dev/null
+++ b/cyn/n7.lyx
@@ -0,0 +1,2681 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
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+\use_package esint 1
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+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
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+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
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+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Aritmética de los enteros
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Unicidad de los neutros:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists!0\in\mathbb{Z}:\forall a\in\mathbb{Z},0+a=a$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\exists!1\in\mathbb{Z}:\forall a\in\mathbb{Z},1a=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Unicidad de los opuestos:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},\exists!(-a)\in\mathbb{Z}:a+(-a)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Cancelación en sumas:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in\mathbb{Z},(a+b=a+c\implies b=c)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Multiplicación por cero:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},a0=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Reglas de signos:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b\in\mathbb{Z},(-(-a)=a\land a(-b)=(-a)b=-(ab)\land(-a)(-b)=ab)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Cancelación en productos:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in\mathbb{Z},a\neq0,(ab=ac\implies b=c)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de la división entera:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b\in\mathbb{Z},\exists!q,r\in\mathbb{Z}:(a=bq+r\land0\leq r<|b|)$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos a 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ el 
+\series bold
+cociente
+\series default
+ de la división y a 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ el 
+\series bold
+resto
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $a,b>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $R=\{x\in\mathbb{Z}|x\geq0\land\exists n\in\mathbb{Z}:x=a-bn\}\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Sabemos que 
+\begin_inset Formula $R\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ porque 
+\begin_inset Formula $a=a-b\cdot0\in R$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto tiene primer elemento 
+\begin_inset Formula $r=a-bq\in R$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $r\geq b$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $0\leq r-b\in R\#$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $r<b$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a<0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b>0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $-a>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $-a=bq+r$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0\leq r<b$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $r=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=b(-q)+0$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $r\neq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=b(-q)-r=b(-q-1)+(b-r)$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a\neq0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b<0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $-b>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a=(-b)q+r$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0\leq r<-b=|b|$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a=b(-q)+r$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0\leq r<|b|$
+\end_inset
+
+.
+ Finalmente, si 
+\begin_inset Formula $a=0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $0=b\cdot0+0$
+\end_inset
+
+.
+ Para la unicidad de 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+, supongamos 
+\begin_inset Formula $a=bq+r=bq'+r'$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0\leq r,r'<|b|$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $b(q-q')=r-r'$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $|b||q-q'|=|r-r'|$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $0\leq r,r'<|b|$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $q-q'=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r-r'=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ o que 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es múltiplo de 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $b|a$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\exists c\in\mathbb{Z}:a=bc$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a\neq0$
+\end_inset
+
+, también decimos que 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ es divisor de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+
+\series default
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $b\neq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b|a$
+\end_inset
+
+ equivale a que la división entera de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ entre 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ dé resto 0.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La divisibilidad es reflexiva y transitiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+No es antisimétrica, pero 
+\begin_inset Formula $a|b\land b|a\implies|a|=|b|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a|b\iff a|-b$
+\end_inset
+
+, con lo que si 
+\begin_inset Formula $b\neq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $-b$
+\end_inset
+
+ tienen los mismos divisores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a|b\iff-a|b$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $-a$
+\end_inset
+
+ tienen los mismos múltiplos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $c|a\land c|b\implies c|ra+sb$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a|b\land c|d\implies ac|bd$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a|b\implies ca|cb$
+\end_inset
+
+.
+ El recíproco es cierto si 
+\begin_inset Formula $c\neq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $b\neq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a|b\implies|a|\leq|b|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+máximo común divisor
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\max\{d\in\mathbb{Z}:d|a\land d|b\}$
+\end_inset
+
+ (excepción: 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(0,0)=0$
+\end_inset
+
+).
+ Este existe porque el conjunto de divisores comunes es no vacío (contiene
+ al 1) y finito, luego tiene máximo.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\text{mcd}(a,|b|)=\text{mcd}(|a|,|b|)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,0)=|a|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=0\iff a=b=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con alguno distinto de 0, 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\min\{ra+sb>0|r,s\in\mathbb{Z}\}$
+\end_inset
+
+, y todo divisor común de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ lo es de 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\emptyset\neq D=\{ra+sb>0|r,s\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\delta=\min D$
+\end_inset
+
+.
+ Existen entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\delta=\alpha a+\beta b$
+\end_inset
+
+.
+ Por el algoritmo de la división, 
+\begin_inset Formula $a=\delta q+r$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0\leq r<\delta$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $r=(1-\alpha q)a+(-q\beta)b$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es combinación lineal y entonces 
+\begin_inset Formula $r\in D$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $r=0$
+\end_inset
+
+.
+ Lo primero es imposible porque 
+\begin_inset Formula $r<\delta=\min D$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $r=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\delta|a$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente 
+\begin_inset Formula $\delta|b$
+\end_inset
+
+.
+ Que sea máximo, y que todo divisor común de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ lo sean de 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+, se desprende de que 
+\begin_inset Formula $c|a\land c|b\implies c|\alpha a+\beta b=\delta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que para todo 
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ existen 
+\begin_inset Formula $r,s\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=ra+sb$
+\end_inset
+
+.
+ Una expresión de la forma 
+\begin_inset Formula $d=ra+sb$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+identidad de Bézout
+\series default
+.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $a=da'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b=db'$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a',b')=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $d|a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d|b$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c|a\land c|b\implies c|d$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d\geq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Las propiedades (1) y (3) son por definición, y la (2) la acabamos de demostrar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $a\neq0$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $b\neq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ es el mayor entero que divide a 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a=b=0$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $0|a,b$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $0|d$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $d=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El máximo común divisor de 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})=\max\{d\in\mathbb{Z}:\forall i,d|a_{i}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})=\text{mcd}(\text{mcd}(a_{1},a_{2}),a_{3},\dots,a_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $d:=\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $d||a_{1},\dots,a_{n}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $d|(f:=\text{mcd}(a_{1},a_{2})),a_{3},\dots,a_{n}|e:=\text{mcd}(\text{mcd}(a_{1},a_{2}),a_{3},\dots,a_{n})$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $d|e$
+\end_inset
+
+.
+ Pero 
+\begin_inset Formula $e|f,a_{3},\dots,a_{n}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $e|a_{1},\dots,a_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $e|d$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $d,e\geq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d=e$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Dados 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{Z}^{*}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})=\min\left\{ \sum_{i=1}^{n}r_{i}a_{i}>0|r_{i}\in\mathbb{Z}\right\} $
+\end_inset
+
+.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $d|a_{1},\dots,a_{n}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c|a_{1},\dots,a_{n}\implies c|d$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d\geq0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+coprimos
+\series default
+ o 
+\series bold
+primos entre sí
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=1$
+\end_inset
+
+, es decir, si 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha,\beta\in\mathbb{Z}:\alpha a+\beta b=1$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son coprimos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a|bc\implies a|c$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $1=\alpha a+\beta b$
+\end_inset
+
+, multiplicando por 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c=\alpha ac+\beta bc$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $a|bc$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c=\alpha ca+\beta na$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a|c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a|c\land b|c\implies ab|c$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\begin{array}{c}
+1=ra+sb\\
+\frac{c}{a},\frac{c}{b}\in\mathbb{Z}
+\end{array}\implies\frac{c}{a}=\frac{c}{a}ra+\frac{c}{a}sb=\frac{c}{b}rb+\frac{c}{a}sb=b\left(\frac{c}{b}r+\frac{c}{a}s\right)\implies\\
+\implies c=ab\left(\frac{c}{b}r+\frac{c}{a}s\right)\implies ab|c
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se tiene que 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\text{mcd}(a-sb,b)=\text{mcd}(a,b-sa)$
+\end_inset
+
+, y en particular, si 
+\begin_inset Formula $b\neq0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a=bq+r$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0\leq r<b$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\text{mcd}(b,r)$
+\end_inset
+
+.
+ La aplicación repetida de lo anterior se conoce como 
+\series bold
+algoritmo de Euclides
+\series default
+.
+ También permite obtener identidades de Bézout.
+ Si llamamos 
+\begin_inset Formula $(a,b)=\text{mcd}(a,b)$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+a=bq_{1}+r_{1} & (a,b)=(b,r_{1}) & r_{1}<b\\
+b=r_{1}q_{2}+r_{2} & (b,r_{1})=(r_{1},r_{2}) & r_{2}<r_{1}\\
+ & \vdots\\
+r_{n-2}=r_{n-1}q_{n}+0 & (r_{n-2},r_{n-1})=(r_{n-1},0)=r_{n-1} & 0<r_{n-1}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\begin_inset Formula $b>r_{1}>\dots\geq0$
+\end_inset
+
+, el algoritmo acaba en un número finito de pasos.
+ Además, cada dos pasos del algoritmo, el resto se reduce a la mitad.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $a=bq+r$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b=rq'+s$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r=sq''+t$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $s\leq\frac{1}{2}r$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $t<s\leq\frac{1}{2}r$
+\end_inset
+
+ y hemos terminado, y si 
+\begin_inset Formula $s>\frac{1}{2}r$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $q''=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $t=r-s<r-\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}^{*}$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+mínimo común múltiplo
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)=\min\{m\in\mathbb{Z}^{+}:a|m\land b|m\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son 0, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)=0$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)=\text{mcm}(a,|b|)=\text{mcm}(|a|,|b|)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)=0\iff a=0\lor b=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,ab)=|ab|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Teorema:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)\text{mcd}(a,b)=|ab|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $a,b>0$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a=da'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b=db'$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $m=a'b'd$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $a|m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b|m$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $c=\alpha a=\beta b$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha da'=\beta db'$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\alpha a'=\beta b'$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $a'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b'$
+\end_inset
+
+ son coprimos, 
+\begin_inset Formula $a'|\beta$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\beta=\gamma a'$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+.
+ Sustituyendo, 
+\begin_inset Formula $c=\gamma a'b=\gamma a'db'=\gamma m\geq m$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $m=\text{mcm}(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a|c\land b|c\implies\text{mcm}(a,b)|c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El mínimo común múltiplo de 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(a_{1},\dots,a_{n})=\min\{m\in\mathbb{Z}^{+}:\forall i,a_{i}|m\}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $m=\text{mcm}(a_{1},\dots,a_{n})$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}|m$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}|c\implies m|c$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m\geq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una ecuación del tipo 
+\begin_inset Formula $ax+by=c$
+\end_inset
+
+ en la que se buscan soluciones enteras es una 
+\series bold
+ecuación diofántica lineal
+\series default
+, en este caso de dos variables.
+ Tiene solución si y sólo si 
+\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)|c$
+\end_inset
+
+, y entonces estas son de la forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\{ \begin{array}{ccc}
+x & = & x_{0}+x'\\
+y & = & y_{0}+y'
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $x_{0},y_{0}$
+\end_inset
+
+ es una solución particular y 
+\begin_inset Formula $x',y'$
+\end_inset
+
+ es una solución de la 
+\series bold
+ecuación homogénea asociada
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $ax+by=0$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, si 
+\begin_inset Formula $\alpha a+\beta b=d$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c=c'd$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $x_{0}=c'\alpha$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y_{0}=c'\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $ax+by=c$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $d|ax+by=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Multiplicando la identidad de Bézout, 
+\begin_inset Formula $(c'\alpha)a+(c'\beta)b=c'd=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=a'd$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b=b'd$
+\end_inset
+
+, las soluciones de 
+\begin_inset Formula $ax+by=0$
+\end_inset
+
+ son
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\{ \begin{array}{ccc}
+x & = & -b't\\
+y & = & a't
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+para cualquier 
+\begin_inset Formula $t\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $ax=-by$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a'x=-b'y$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $a'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b'$
+\end_inset
+
+ son coprimos y 
+\begin_inset Formula $a'|-b'y$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a'|y$
+\end_inset
+
+, luego existe 
+\begin_inset Formula $t\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y=a't$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $a'x=-b'a't$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x=-b't$
+\end_inset
+
+.
+ Multiplicando, todos los enteros de esta forma son solución.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un entero 
+\begin_inset Formula $p\neq1,-1$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+primo
+\series default
+ si sus únicos divisores son 1, 
+\begin_inset Formula $-1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $-p$
+\end_inset
+
+.
+ Así,
+\begin_inset Formula 
+\[
+p\text{ es primo}\iff(p|ab\implies p|a\lor p|b)\iff(p|a_{1}\cdots a_{n}\implies\exists i:p|a_{i})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $1\implies2]$
+\end_inset
+
+ Si 
+\begin_inset Formula $p|a$
+\end_inset
+
+ ya está.
+ Si no, 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(p,a)=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p|b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $2\implies3]$
+\end_inset
+
+ Por inducción con 
+\begin_inset Formula $a_{1}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{2}\cdots a_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $3\implies1]$
+\end_inset
+
+ Si 
+\begin_inset Formula $a|p$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $p=ab$
+\end_inset
+
+ para cierto 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, y bien 
+\begin_inset Formula $p|a$
+\end_inset
+
+ (con lo que 
+\begin_inset Formula $a=p$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $a=-p$
+\end_inset
+
+) o 
+\begin_inset Formula $p|b$
+\end_inset
+
+ (con lo que 
+\begin_inset Formula $a=1$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $a=-1$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema Fundamental de la Aritmética:
+\series default
+ Todo entero distinto de 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\pm1$
+\end_inset
+
+ puede escribirse como producto de primos, y la factorización es única salvo
+ signo y orden.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Consideremos el conjunto de todos los positivos distintos de 1 que no se
+ factorizan en primos y, si este no es vacío, sea 
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ su mínimo.
+ 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ no es primo, luego 
+\begin_inset Formula $a=bc$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $b,c\in\mathbb{Z}^{+}\backslash\{1\}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es mínimo, entonces 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ sí se factorizan en primos, luego 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ también.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+ Ahora sea 
+\begin_inset Formula $a=p_{1}\cdots p_{n}=q_{1}\cdots q_{m}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{n},q_{1}\cdots q_{m}$
+\end_inset
+
+ primos y supongamos 
+\begin_inset Formula $n\leq m$
+\end_inset
+
+.
+ Procedemos por inducción sobre 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=p_{1}=q_{1}\cdots q_{m}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $p_{1}$
+\end_inset
+
+ no tiene más divisores primos que 
+\begin_inset Formula $-p_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p_{1}$
+\end_inset
+
+, debe ser 
+\begin_inset Formula $m=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $q_{1}=p_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Si suponemos el resultado válido para 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $p_{n}$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $a=q_{1}\cdots q_{n}$
+\end_inset
+
+ y por tanto divide a algún 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,m\}$
+\end_inset
+
+.
+ Reordenamos los factores para obtener 
+\begin_inset Formula $i=m$
+\end_inset
+
+, es decir 
+\begin_inset Formula $p_{n}|q_{m}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $q_{m}=\pm p_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{n-1}p_{n}=q_{1}\cdots q_{m-1}(\pm p_{n})$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{n-1}=\pm q_{1}\cdots q_{m-1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n-1=m-1$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $n=m$
+\end_inset
+
+ y además, después de ordenar si hiciera falta, 
+\begin_inset Formula $q_{i}=\pm p_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, para 
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z},a\neq0,\pm1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=\pm p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{s}^{n_{s}}$
+\end_inset
+
+ y estos primos y sus exponentes son únicos (salvo orden).
+ Entonces podemos calcular el 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)$
+\end_inset
+
+ tomando el producto de primos comunes a 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ elevados a la mínima potencia y el 
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)$
+\end_inset
+
+ tomando el producto de primos entre ambos elevados a la máxima potencia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como 
+\series bold
+teorema
+\series default
+, el conjunto de los números primos es infinito.
+ Si no lo fuera, y fuera 
+\begin_inset Formula $\{p_{1},\dots,p_{n}\}$
+\end_inset
+
+, el número 
+\begin_inset Formula $N:=p_{1}\cdots p_{n}+1$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Congruencias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+congruentes módulo 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $x\equiv y\mod m$
+\end_inset
+
+ ó 
+\begin_inset Formula $x\equiv y\,(m)$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $m|x-y$
+\end_inset
+
+.
+ Esta relación es de equivalencia.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es el resto de 
+\begin_inset Formula $a/m$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $a\equiv r\,(m)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\equiv b\,(m)\land0\leq a,b<m\implies a=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\equiv b\,(m)$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ dan el mismo resto entre 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\equiv a'\,(m)\land b\equiv b'\,(m)\implies a+b\equiv a'+b'\,(m)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a-a'=\lambda m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b-b'=\mu m$
+\end_inset
+
+ para ciertos 
+\begin_inset Formula $\lambda,\mu\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $(a+b)-(a'+b')=(\lambda+\mu)m$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\equiv a'\,(m)\land b\equiv b'\,(m)\implies ab\equiv a'b'\,(m)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+ab-a'b'=(a'+\lambda m)(b'+\mu m)-a'b'=a'b'+(a'\mu+b'\lambda+\lambda\mu m)m-a'b'\equiv0\,(m)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\equiv b\,(m)\implies ac\equiv bc\,(m)$
+\end_inset
+
+.
+ El recíproco es cierto si 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ son coprimos.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+La primera parte se sigue de lo anterior.
+ Para la segunda, 
+\begin_inset Formula $m|ac-bc=(a-b)c\implies m|a-b\implies a\equiv b\,(m)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $c\neq0\implies(a\equiv b\,(m)\iff ac\equiv bc\,(mc))$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a-b=\lambda m\iff ac-bc=\lambda mc$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Denotamos la clase de equivalencia (llamada 
+\series bold
+clase de congruencia módulo 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+
+\series default
+) de 
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $\overline{a}$
+\end_inset
+
+, y su 
+\series bold
+representante canónico
+\series default
+ es el resto de 
+\begin_inset Formula $a/m$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos entonces 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}/(m)$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}$
+\end_inset
+
+ al conjunto cociente, que tiene exactamente 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ elementos.
+ Así, para 
+\begin_inset Formula $\overline{a},\overline{b}\in\mathbb{Z}_{m}$
+\end_inset
+
+, definimos 
+\begin_inset Formula $\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{a\cdot b}$
+\end_inset
+
+, y vemos que están bien definidas y que 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}$
+\end_inset
+
+ es un anillo conmutativo.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\overline{a}\in\mathbb{Z}_{m}$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\overline{a}\text{ tiene inverso (}\exists\overline{b}\in\mathbb{Z}_{m}:\overline{a}\cdot\overline{b}=1\text{)}\iff\overline{a}\text{ es cancelable (}\overline{a}\cdot\overline{x}=\overline{a}\cdot\overline{y}\implies\overline{x}=\overline{y}\text{)}\iff\\
+\iff\text{mcd}(a,m)=1
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $1\implies2]$
+\end_inset
+
+ Multiplicando por 
+\begin_inset Formula $\overline{a}^{-1}$
+\end_inset
+
+ en ambos lados de 
+\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\overline{x}=\overline{a}\cdot\overline{y}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $2\implies3]$
+\end_inset
+
+ Si 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,m)=d>1$
+\end_inset
+
+, sean 
+\begin_inset Formula $a=a'd$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m=m'd$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\overline{m'}=\overline{a'}\cdot\overline{d}\cdot\overline{m'}=\overline{a'}\cdot\overline{m}=\overline{0}=\overline{a}\cdot\overline{0}$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $\overline{m'}\neq\overline{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+\begin_inset Formula $3\implies1]$
+\end_inset
+
+ Existen 
+\begin_inset Formula $r,s\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $ra+sm=1$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\overline{r}\cdot\overline{a}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ es primo, pues entonces todos los elementos tienen inverso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un entero es divisible por 3 si y sólo si la suma de sus cifras lo es.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $3|m\iff m\equiv0\,(3)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $10\equiv1\,(3)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $10^{s}\equiv1\,(3)$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ y si 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ se escribe como 
+\begin_inset Formula $a_{n}\cdots a_{0}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $m=a_{n}10^{n}+\dots+a_{0}\equiv a_{n}+\dots+a_{0}\,(3)$
+\end_inset
+
+.
+ De forma parecida se pueden sacar reglas para el 9 y el 11.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $a,b,t\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\overline{t}\text{ es sol. de }\overline{a}x=\overline{b}\in\mathbb{Z}_{m}\iff t\text{ es sol. de }ax\equiv b\,(m)\iff\exists s\in\mathbb{Z}:(t,s)\text{ es sol. de }ax-my=b
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La ecuación 
+\begin_inset Formula $ax\equiv b\,(m)$
+\end_inset
+
+ tiene solución si y sólo si 
+\begin_inset Formula $d:=\text{mcd}(a,m)|b$
+\end_inset
+
+, y las soluciones son todos los enteros 
+\begin_inset Formula $x=x_{0}+\lambda\frac{m}{d}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ es una solución particular, de modo que la ecuación tiene 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ soluciones distintas módulo 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $ax\equiv b$
+\end_inset
+
+ equivale a la ecuación diofántica 
+\begin_inset Formula $ax-my=b$
+\end_inset
+
+, que tiene solución si y sólo si 
+\begin_inset Formula $d|b$
+\end_inset
+
+.
+ Sean pues 
+\begin_inset Formula $b=db'$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a=da'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m=dm'$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $ax-my=b$
+\end_inset
+
+ equivale a 
+\begin_inset Formula $a'x-m'y=b'$
+\end_inset
+
+ y las soluciones son
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\{ \begin{array}{ccc}
+x & = & x_{0}+m'\lambda\\
+y & = & y_{0}+a'\lambda
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+Entonces 
+\begin_inset Formula $x_{0}+\lambda m'\equiv x_{0}+\mu m'\,(m)\iff\lambda m'\equiv\mu m'\,(dm')\iff\lambda\equiv\mu\,(d)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Teorema Chino de los Restos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{k}\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ arbitrarios y 
+\begin_inset Formula $m_{1},\dots,m_{k}\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+ coprimos dos a dos, el sistema de congruencias
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\{ \begin{array}{cc}
+x\equiv b_{1} & (m_{1})\\
+\vdots\\
+x\equiv b_{k} & (m_{k})
+\end{array}\right.
+\]
+
+\end_inset
+
+tiene solución única módulo 
+\begin_inset Formula $M:=m_{1}\cdots m_{k}$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, esta es 
+\begin_inset Formula $b_{1}M_{1}N_{1}+\dots+b_{k}M_{k}N_{k}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $M_{i}=\frac{M}{M_{i}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $N_{i}$
+\end_inset
+
+ es tal que 
+\begin_inset Formula $M_{i}N_{i}\equiv1\,(m_{i})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es un número primo que divide a 
+\begin_inset Formula $M_{i}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+, entonces divide a algún 
+\begin_inset Formula $m_{j}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $j\neq i$
+\end_inset
+
+, lo cual contradice que 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(m_{i},m_{j})=1$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $M_{i}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+ son coprimos y 
+\begin_inset Formula $M_{i}$
+\end_inset
+
+ tiene inverso 
+\begin_inset Formula $N_{i}$
+\end_inset
+
+ módulo 
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+, teniendo en cuenta que 
+\begin_inset Formula $M_{i}N_{i}\equiv0\,(m_{j})$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $j\neq i$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $x_{0}=b_{1}M_{1}N_{1}+\dots+b_{k}M_{k}N_{k}$
+\end_inset
+
+ es solución del sistema.
+ Ahora bien, si 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ son soluciones del sistema, 
+\begin_inset Formula $x,y\equiv b_{i}\,(m_{i})$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $x\equiv y\,(m_{i})$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $x-y$
+\end_inset
+
+ es múltiplo de todos los 
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $x\equiv y\,(M)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si los módulos no son coprimos, intentamos simplificar cada ecuación dividiéndol
+a entre un número, pues 
+\begin_inset Formula $a'dx\equiv b'd\,(m'd)\iff a'x\equiv b'\,(m')$
+\end_inset
+
+.
+ Si esto no es posible, resolvemos una ecuación y sustituimos en el resto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Teoremas de Euler y Fermat
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Denotamos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}^{*}=\{x\in\mathbb{Z}_{m}|x\text{ es invertible}\}$
+\end_inset
+
+, y definimos la 
+\series bold
+función 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ de Euler
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\phi(m)=|\{x\in\mathbb{N}|1\leq x\leq m\land\text{mcd}(x,m)=1\}|=|\mathbb{Z}_{m}^{*}|$
+\end_inset
+
+.
+ Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es primo, 
+\begin_inset Formula $\phi(p)=p-1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es primo, 
+\begin_inset Formula $\phi(p^{n})=p^{n-1}(p-1)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Los no-coprimos con 
+\begin_inset Formula $p^{n}$
+\end_inset
+
+ son precisamente los múltiplos de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, por lo que estos son 
+\begin_inset Formula $\frac{p^{n}}{p}=p^{n-1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\phi(p^{n})=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}(p-1)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(n,m)=1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Definimos 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}_{nm}^{*}\rightarrow\mathbb{Z}_{n}^{*}\times\mathbb{Z}_{m}^{*}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(x)=(x_{n},x_{m})$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $x_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{m}$
+\end_inset
+
+ son los restos de dividir 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ entre 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+, respectivamente.
+ Para abreviar asumimos que está bien definida, y pasamos a ver que es biyectiva.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f(x)=(x_{n},x_{m})=f(y)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $x\equiv y\,(m)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x\equiv y\,(n)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $nm|(x-y)$
+\end_inset
+
+ y en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{nm}^{*}$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+ Para ver que es suprayectiva, consideramos 
+\begin_inset Formula $(a,b)\in\mathbb{Z}_{n}^{*}\times\mathbb{Z}_{m}^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ Al existir una identidad de Bézout 
+\begin_inset Formula $1=rn+sm$
+\end_inset
+
+, podemos hacer 
+\begin_inset Formula $x=brn+asm$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $x\equiv a\,(n)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x\equiv b\,(m)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $m=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{s}^{n_{s}}$
+\end_inset
+
+ es la descomposición de 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ en factores primos, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\phi(m)=\prod_{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}-1}(p_{i}-1)=m\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_{s}}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de Euler:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $1<m\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es coprimo con 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $a^{\phi(m)}\equiv1\,(m)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Esto equivale a que 
+\begin_inset Formula $\overline{a}^{\phi(m)}=\overline{1}\in\mathbb{Z}_{m}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}^{*}=\{\overline{x_{1}},\dots,\overline{x_{\phi(m)}}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\mathbb{Z}_{m}^{*}=\{\overline{a}\overline{x}|\overline{x}\in\mathbb{Z}_{m}^{*}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Demostramos que 
+\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\mathbb{Z}_{m}^{*}=\mathbb{Z}_{m}^{*}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\subseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x=\overline{ax_{i}}\in\overline{a}\cdot\mathbb{Z}_{m}^{*}\implies x\overline{a}^{-1}\overline{x_{i}}^{-1}=\overline{1}\implies x\in\mathbb{Z}_{m}^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\supseteq]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\overline{x_{i}}\in\mathbb{Z}_{m}^{*}\implies\overline{x_{i}}=\overline{a}\,\overline{a}^{-1}\overline{x_{i}}\in\overline{a}\cdot\mathbb{Z}_{m}^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Entonces 
+\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{\phi(m)}\overline{x}_{i}=\prod_{i=1}^{\phi(m)}\overline{ax_{i}}=\overline{a}^{\phi(m)}\prod_{i=1}^{\phi(m)}\overline{x_{i}}$
+\end_inset
+
+, y dividiendo entre 
+\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{\phi(m)}\overline{x_{i}}$
+\end_inset
+
+, porque es invertible, se obtiene el resultado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema Pequeño de Fermat:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es un número primo que no divide a 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a^{p-1}\equiv1\,(p)$
+\end_inset
+
+, y para todo 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x^{p}\equiv x\,(p)$
+\end_inset
+
+.
+ Esto se deriva del teorema de Euler y de que 
+\begin_inset Formula $\phi(p)=p-1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/cyn/n8.lyx b/cyn/n8.lyx
new file mode 100644
index 0000000..1249714
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+++ b/cyn/n8.lyx
@@ -0,0 +1,954 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Polinomios con coeficientes en un cuerpo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+polinomio
+\series default
+ con coeficientes en el cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es una expresión de la forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{n}\in K$
+\end_inset
+
+.
+ El símbolo 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ se llama 
+\series bold
+indeterminada
+\series default
+ y llamamos 
+\series bold
+coeficiente
+\series default
+ de grado 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $a_{i}$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+término independiente
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $a_{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+coeficiente principal
+\series default
+ o 
+\series bold
+líder
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $a_{n}$
+\end_inset
+
+ si es 
+\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Un polinomio es 
+\series bold
+mónico
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $a_{n}=1$
+\end_inset
+
+.
+ Los polinomios de forma 
+\begin_inset Formula $a_{0}$
+\end_inset
+
+ se llaman 
+\series bold
+constantes
+\series default
+ y los identificamos con los elementos de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+ El conjunto de todos los polinomios con coeficientes en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ se denota 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+, y dos polinomios 
+\begin_inset Formula $P=a_{0}+\dots+a_{n}X^{n},Q=b_{0}+\dots+b_{m}X^{m}\in K[X]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $n\leq m$
+\end_inset
+
+ son iguales si 
+\begin_inset Formula $a_{i}=b_{i}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{j}=0$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $j\in\{n+1,\dots,m\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $P+Q=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})X+\dots+(a_{n}+b_{n})X^{n}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $PQ=c_{0}+c_{1}X+\dots+c_{n+m}X^{n+m}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $c_{k}=\sum_{i+j=k}a_{i}b_{j}=a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\dots+a_{k}b_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+ es un anillo conmutativo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\series bold
+grado
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $P=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+, y se denota con 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)$
+\end_inset
+
+.
+ Por convención, si 
+\begin_inset Formula $P(X)=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=-\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Si tomamos el convenio de que 
+\begin_inset Formula $-\infty+n=-\infty$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(-\infty)+(-\infty)=-\infty$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $-\infty<n$
+\end_inset
+
+, se tiene que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)=\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $PQ=0\implies P=0\lor Q=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\exists P^{-1}:P^{-1}P=1\iff\text{gr}(P)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se define el 
+\series bold
+valor de 
+\begin_inset Formula $P(x)$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $P(b)=a_{0}+a_{1}b+\dots+a_{n}b^{n}\in K$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ define una aplicación 
+\begin_inset Formula $P:K\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ que llamamos 
+\series bold
+función polinomial asociada a 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de la división:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
+\end_inset
+
+ existen dos únicos polinomios, 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+cociente
+\series default
+) y 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+resto
+\series default
+) en 
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $A=BQ+R$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(R)<\text{gr}(B)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Teorema del resto:
+\series default
+ El resto de la división de 
+\begin_inset Formula $P/X-a$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $P(a)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, o que 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es múltiplo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $A|B$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\exists C:B=AC$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A|B\neq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+divisor
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A|B\land A|C\implies A|PB+QC$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A|B\land B|C\implies A|C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A|B\land B|A\implies\exists\mu\in K\backslash\{0\}:A=\mu B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los polinomios de la forma 
+\begin_inset Formula $\lambda A$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $0\neq\lambda\in K$
+\end_inset
+
+ se llaman 
+\series bold
+polinomios asociados
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Cada polinomio tiene un único polinomio asociado mónico.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es el máximo común divisor de 
+\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $D|A,B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S|A,B\implies S|D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es mónico.
+ Si 
+\begin_inset Formula $D'$
+\end_inset
+
+ verifica las dos primeras condiciones, entonces es asociado a 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $A,B\neq0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es el único polinomio mónico de grado mínimo que es combinación lineal
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
+\end_inset
+
+ son coprimos o primos entre sí si 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(A,B)=1$
+\end_inset
+
+, es decir, si existen 
+\begin_inset Formula $S,T\in K[X]$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $SA+TB=1$
+\end_inset
+
+.
+ En tal caso, 
+\begin_inset Formula $A|BC\implies A|C$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
+\end_inset
+
+ con alguno de los dos no nulo y 
+\begin_inset Formula $D=\text{mcd}(A,B)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\frac{A}{D}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{B}{D}$
+\end_inset
+
+ son coprimos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es el mínimo común múltiplo de 
+\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $A,B|M$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A,B|N\implies M|N$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es mónico.
+ Si 
+\begin_inset Formula $M'$
+\end_inset
+
+ cumple las dos primeras condiciones, entonces es asociado a 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+.
+ Además, existe 
+\begin_inset Formula $\mu\in K$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\text{mcm}(A,B)=\mu\frac{AB}{\text{mcd}(A,B)}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Raíces de polinomios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $r\in K$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+raíz
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $P\in K[X]$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $P(r)=0$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ coprimos, es raíz de 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $p|a_{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $q|a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ La 
+\series bold
+regla de Ruffini
+\series default
+ se basa en que 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es raíz de 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $X-a|P$
+\end_inset
+
+.
+ Así, decimos que 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es una raíz de 
+\series bold
+multiplicidad 
+\begin_inset Formula $s\geq1$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $(X-a)^{s}|P$
+\end_inset
+
+ pero no 
+\begin_inset Formula $(X-a)^{s+1}|P$
+\end_inset
+
+.
+ Una raíz es 
+\series bold
+múltiple
+\series default
+ si tiene multiplicidad mayor que 1, de lo contrario es una raíz 
+\series bold
+simple
+\series default
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n\neq-\infty$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ tiene a lo sumo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ raíces en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, contando cada raíz tantas veces como su multiplicidad.
+ Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n$
+\end_inset
+
+ y existen 
+\begin_inset Formula $m>n$
+\end_inset
+
+ raíces de 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $P=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n\geq0$
+\end_inset
+
+ y existen 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{m}\in K$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $P(a_{i})=Q(a_{i})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $m>n$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $P=Q$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo infinito y 
+\begin_inset Formula $P,Q\in K[X]$
+\end_inset
+
+ son distintos, entonces las funciones 
+\begin_inset Formula $P,Q:K\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ son distintas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $P=a_{0}+\dots+a_{n}X^{n}\in K[X]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n$
+\end_inset
+
+ y raíces 
+\begin_inset Formula $r_{1},\dots,r_{n}$
+\end_inset
+
+ (no necesariamente distintas), entonces 
+\begin_inset Formula $P=a_{n}(X-r_{1})\cdots(X-r_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Factorización y raíces de polinomios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $P\in K[X]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)>0$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+irreducible
+\series default
+ o 
+\series bold
+primo
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $Q|P\implies\text{gr}(Q)=0\lor\exists k\in K:Q=kP$
+\end_inset
+
+.
+ Así:
+\begin_inset Formula 
+\[
+P\text{ es irreducible}\iff(P|QR\implies P|Q\lor P|R)\iff(P|Q_{1}\cdots Q_{n}\implies\exists i:P|Q_{i})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Todo 
+\begin_inset Formula $P\in K[X]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)\geq1$
+\end_inset
+
+ factoriza como producto de polinomios irreducibles, y esta factorización
+ es única salvo asociados y orden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Polinomios irreducibles en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}[X]$
+\end_inset
+
+.
+ Teorema Fundamental del Álgebra
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+Teorema Fundamental del Álgebra
+\series default
+ afirma que todo 
+\begin_inset Formula $P\in\mathbb{C}[X]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)>0$
+\end_inset
+
+ tiene al menos una raíz en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+.
+ Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $P\in\mathbb{C}[X]$
+\end_inset
+
+ es irreducible si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall P\in\mathbb{C}[X],\text{gr}(P)=n\geq1,\exists r,r_{1},\dots,r_{n}\in\mathbb{C}:P=r(X-r_{1})\cdots(X-r_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ es raíz de 
+\begin_inset Formula $P\in\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\overline{z}$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $P\in\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+ es irreducible, entonces, o 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=1$
+\end_inset
+
+, o 
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=2$
+\end_inset
+
+ y no tiene raíces reales.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/defs.tex b/defs.tex
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@@ -0,0 +1,9 @@
+% Exercises (old format)
+\font\manual=manfnt
+\def\ejercicio#1#2{\medbreak\noindent\llap{\manual\char'170\rm\kern.15em}{\bf\small EJERCICIO #1}\\#2\par\nobreak\noindent}
+\def\exercise{\ejercicio}
+\def\cuestion#1#2{\vspace{.35in}\medbreak\noindent\llap{\manual\char'170\rm\kern.15em}{\bf\small CUESTI\'ON #1}\\#2\par\nobreak\noindent}
+
+% Notices
+\def\sremember#1{\begin{center}\begin{tabular}{|p{0.9\textwidth}|}\multicolumn{1}{p{0.9\textwidth}}{{\kern-.3em\small {[}#1{]}}}\tabularnewline\hline\kern-1ex}
+\def\eremember{\tabularnewline\hline\end{tabular}\par\end{center}\vspace{.3em}}
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+++ b/fc/AND_ANSI_Labelled.pdf
diff --git a/fc/AND_ANSI_Labelled.svg b/fc/AND_ANSI_Labelled.svg
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+    <inkscape:perspective sodipodi:type="inkscape:persp3d" inkscape:vp_x="0 : 0.5 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_z="1 : 0.5 : 1" inkscape:persp3d-origin="0.5 : 0.33333333 : 1" id="perspective2806"/>
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+    <inkscape:perspective id="perspective3275" inkscape:persp3d-origin="50 : 33.333333 : 1" inkscape:vp_z="100 : 50 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_x="0 : 50 : 1" sodipodi:type="inkscape:persp3d"/>
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+  </defs>
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+      <text xml:space="preserve" style="font-size:14px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:end;line-height:100%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:end;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:DejaVu Sans;-inkscape-font-specification:DejaVu Sans" x="-15.039063" y="59.706055" id="text6866" sodipodi:linespacing="100%"><tspan sodipodi:role="line" id="tspan6868" x="-15.039063" y="59.706055">A</tspan></text>
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+      <text xml:space="preserve" style="font-size:14px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:end;line-height:100%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:end;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:DejaVu Sans;-inkscape-font-specification:DejaVu Sans" x="91.910156" y="69.706055" id="text6878" sodipodi:linespacing="100%"><tspan sodipodi:role="line" id="tspan6880" x="91.910156" y="69.706055">Q</tspan></text>
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+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+informática
+\series default
+ es la ciencia que estudia el procesamiento automático de la información.
+ Su consolidación como ciencia se produce a partir de los años 40 con el
+ desarrollo de los 
+\series bold
+computadores
+\series default
+, con los cuales esta se ha podido desarrollar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un computador es una máquina que procesa información siguiendo las instrucciones
+ de un programa, y se comunica a través de los dispositivos de entrada y
+ de salida.
+ También dispone de dispositivos para almacenar información y procesarla.
+ Esta está expresada en forma binaria (0's y 1's).
+ Distinguimos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Hardware:
+\series default
+ Conjunto de componentes que integran la parte material de un computador,
+ incluyendo componentes eléctricos, electrónicos y mecánicos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Software:
+\series default
+ Conjunto de programas e instrucciones para ejecutar ciertas tareas en un
+ computador.
+ Es intangible, aunque se encuentren almacenados en hardware.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Hardware
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tradicionalmente, los computadores siguen el 
+\series bold
+esquema de Von Neumann
+\series default
+, que consiste en una unidad central de proceso (CPU), constituida por una
+ unidad de control (UC) y un camino de datos (CD); la memoria principal,
+ y los dispositivos de entrada y salida, incluyendo almacenamiento.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Graphics
+	filename buses.png
+	width 100text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los 
+\series bold
+buses
+\series default
+ son un conjunto de hilos paralelos que conectan unidades, como se muestra
+ en la figura.
+ Cada hilo transmite 1 bit a la vez, y el 
+\series bold
+ancho de bus
+\series default
+ es el nº de hilos que tiene un bus.
+ En concreto:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El 
+\series bold
+bus de direcciones
+\series default
+ transmite la dirección en memoria, por lo que su ancho define la máxima
+ memoria instalable como 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+ bytes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El 
+\series bold
+bus de datos
+\series default
+ transmite información, por lo que a mayor ancho, mayor cantidad de información
+ se puede transmitir en una sola operación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+memoria
+\series default
+ está formada por un conjunto de celdas, normalmente de 1 byte, en la que
+ se guardan datos e instrucciones.
+ Cada celda tiene una 
+\series bold
+dirección
+\series default
+ única y correlativa.
+ Para leerla, la CPU 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+pone
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ la dirección en el bus de direcciones, activa el hilo de lectura en el
+ bus de control y la memoria 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+deja
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ el contenido de la(s) celda(s) en el bus de datos.
+ Para escribir, la CPU 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+pone
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ la dirección en el bus de direcciones, el dato en el bus de datos y activa
+ el hilo de escritura en el bus de control.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Software
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+sistema operativo
+\series default
+ un programa que gestiona los recursos del computador.
+ Es el primer programa en ejecutarse (*), gestiona a todos los demás y actúa
+ de intermediario con el hardware.
+ Es un 
+\series bold
+programa de sistema
+\series default
+, al igual que el compilador y el ensamblador.
+ Por contra, las 
+\series bold
+aplicaciones
+\series default
+ son programas orientados al usuario, como procesadores de texto, hojas
+ de cálculo, navegadores web, reproductores multimedia, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+firmware
+\series default
+ es software de bajo nivel, almacenado de forma semipermanente.
+ En general, puede cambiarse, pero no tan fácilmente como el resto de software.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Internet
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Internet
+\series default
+ es un conjunto descentralizado de redes de comunicación interconectadas
+ mediante protocolos estandarizados, de forma que las redes físicas que
+ las componen funcionan como una única red lógica mundial.
+ Existen muchos 
+\series bold
+servicios
+\series default
+ proporcionados a través de la red, como la Web, correo electrónico, transmisión
+ de archivos, chats, acceso remoto, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conceptos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La unidad mínima de información es el 
+\series bold
+bit
+\series default
+, que puede valer 0 o 1.
+ Se pueden almacenar como tensión alta o baja en un circuito, superficie
+ magnetizada en uno u otro sentido, superficie perforada, señal de alta
+ o baja frecuencia en un cable, presencia o no de señal luminosa en un cable
+ de fibra óptica, etc.
+ Generalmente se usan secuencias de bits: 1 
+\series bold
+byte
+\series default
+ = 8 bits, codifica 
+\begin_inset Formula $2^{8}=256$
+\end_inset
+
+ estados distintos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Múltiplos del byte: 
+\begin_inset Formula $\unit[1]{KB}\text{(kilobyte)}=\unit[2^{10}]{B}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\unit[1]{MB}\text{(megabyte)}=\unit[2^{20}]{B}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\unit[1]{GB}\text{(gigabyte)}=\unit[2^{30}]{B}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\unit[1]{TB}\text{(terabyte)}=\unit[2^{40}]{B}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\unit[1]{PB}\text{(petabyte)}=\unit[2^{50}]{B}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\unit[1]{EB}\text{(exabyte)}=\unit[2^{60}]{B}$
+\end_inset
+
+.
+ Los prefijos también se aplican a bits.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las variables numéricas que ocupan más de un byte se pueden guardar en memoria
+ como:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+\emph on
+Little endian
+\series default
+\emph default
+: El byte menos significativo está en la posición de memoria más baja.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+\emph on
+Big endian
+\series default
+\emph default
+: En la posición más alta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+La terminología procede de una escena de Los Viajes de Gulliver en la que
+ dos personas discuten sobre cuál es el extremo correcto para romper un
+ huevo, si el grande (
+\emph on
+big endian
+\emph default
+) o el pequeño (
+\emph on
+little endian
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+tiempo de ejecución
+\series default
+ o 
+\series bold
+de respuesta
+\series default
+ es lo que tarda el computador en realizar una tarea, incluyendo E/S, mientras
+ que el 
+\series bold
+tiempo de CPU
+\series default
+ se refiere solo al tiempo que tarda el procesador en realizar un cálculo,
+ y se calcula como:
+\begin_inset Formula 
+\[
+{Tiempo}_{CPU}=\frac{{Instrucciones}_{APLICACIÓN}\cdot\frac{Ciclos(Media)}{Instrucción}}{Frecuencia\ procesador}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Historia
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En 1791-1871, Babbage intentó diseñar una máquina mecánica capaz de resolver
+ problemas matemáticos, la cual nunca fue terminada.
+ Podemos dividir la historia de la informática en varias generaciones de
+ ordenadores:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Primera generación (1943-62):
+\series default
+ A principios de siglo, Fleming inventó la válvula de vacío, permitiendo
+ el desarrollo de la electrónica y los primeros ordenadores, de los que
+ destacamos:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Proyecto ENIAC (Eckert y Mauchly, 1943-46):
+\series default
+ 
+\emph on
+Electronic Numerical Integrator and Calculator
+\emph default
+: 
+\begin_inset Formula $30$
+\end_inset
+
+ toneladas, 
+\begin_inset Formula $\unit[180]{m^{2}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $18000$
+\end_inset
+
+ válvulas de vacío, frecuencia 
+\begin_inset Formula $\unit[0.1]{MHz}$
+\end_inset
+
+, 20 registros de 10 dígitos decimales, programación cableando directamente,
+ 1900 sumas por segundo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+UNIVAC:
+\series default
+ 
+\emph on
+Universal Automatic Computer
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Proyecto EDVAC (Von Neumann, 1952):
+\series default
+ 
+\emph on
+Electronic Discrete Variable Automatic Computer
+\emph default
+: El primero con programas almacenados; saltos condicionales, válvulas de
+ vacío.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Segunda generación (1962-67):
+\series default
+ Tras la invención del transistor en 1947; IBM System 360, PDP-8 (primer
+ minicomputador, 
+\emph on
+Digital Equipment Corporation
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Tercera generación (1967-78):
+\series default
+ En 1958 se inventa el circuito integrado, con el que se integran varios
+ elementos electrónicos en el mismo bloque.
+ Aparece la microprogramación (propuesta por Wilkes en los 50) y el primer
+ supercomputador (CDC 6000, 
+\emph on
+Control Data Corporation
+\emph default
+, Seymour Cray, 1964), y en 1965 Wilkes propone el concepto de caché.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cuarta generación (1971-):
+\series default
+ En 1971 se diseña el primer microprocesador: Intel 4004, con 2300 transistores.
+ Desde el 1981 y con el desarrollo de CPUs de Intel como el 8088 se desarrolla
+ la informática de consumo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Desde la mitad de los 90 con la aparición de la web, hay 3 grupos de ordenadores
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Ordenadores personales:
+\series default
+ PCs, 
+\emph on
+tablets
+\emph default
+, etc., para uso individual, con buen rendimiento a bajo coste.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Servidores:
+\series default
+ Para muchos usuarios, buscan fiabilidad y escalabilidad.
+ Distinguimos de clase baja (servidores de archivos, de impresión, etc.),
+ media (centros de datos,
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+datacenters
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+) y alta (supercomputadores con aplicaciones científicas).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Ordenadores embebidos
+\series default
+ o 
+\series bold
+empotrados:
+\series default
+ Ordenadores de coches, 
+\emph on
+gadgets
+\emph default
+, etc.
+ Para una sola aplicación, con grandes limitaciones, consumo de energía
+ y fiabilidad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En 2005, para ahorrar energía, aumentar el rendimiento sin aumentar el ciclo
+ de reloj y mejorar la fiabilidad del diseño, surgen los procesadores 
+\series bold
+multinúcleo,
+\series default
+ aunque requieren 
+\series bold
+programación paralela.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Organización de un PC
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Factor de forma
+\series default
+ o 
+\series bold
+geometría:
+\series default
+ Largo, ancho, ubicación de agujeros de montaje, tipo y ubicación de conectores
+ y componentes, etc.
+ Normalmente ATX, aunque los servidores suelen usar factores de forma como
+ WTX, que tienen mayores dimensiones y permiten alojar varias CPUs y más
+ memoria.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+CPUs soportadas:
+\series default
+ Depende del tipo de 
+\emph on
+socket
+\emph default
+ de CPU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Módulos de memoria soportados:
+\series default
+ Tipos (DDR [
+\lang american
+Double Data Rate
+\lang spanish
+], DDR2, DDR3, DDR4...), frecuencia del reloj de la memoria, nº de ranuras,
+ capacidad máxima, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Chipset:
+\series default
+ Formado por:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+\lang american
+Memory Controller Hub
+\series default
+\lang spanish
+ o 
+\series bold
+Northbridge:
+\series default
+ Comunica la CPU, tarjeta gráfica, módulos de memoria y el Southbridge.
+ Últimamente su funcionalidad se integra en el procesador.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+\lang american
+I/O Controller Hub
+\series default
+\lang spanish
+ o 
+\series bold
+Southbridge:
+\series default
+ Comunica el resto de elementos del sistema.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Ranuras de expansión:
+\series default
+ PCI (más antiguo, siendo el más usado un bus de 32 bits a 
+\begin_inset Formula $\unit[33]{MHz}$
+\end_inset
+
+), PCI-X (servidores, 
+\begin_inset Formula $\unit[66]{MHz}$
+\end_inset
+
+ o más) y PCI Express (más rápido, hasta 
+\begin_inset Formula $\unit[250]{MB/s}$
+\end_inset
+
+ 
+\lang american
+full duplex
+\lang spanish
+ por canal, con ranuras de hasta 16 canales).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Interfaces de almacenamiento:
+\series default
+ ATA (paralela, hasta 
+\begin_inset Formula $\unit[133]{MB/s}$
+\end_inset
+
+), actualmente sustituida por SATA (en serie, hasta 
+\begin_inset Formula $\unit[150]{MB/s}$
+\end_inset
+
+ en la versión original), y SCSI (paralela), que será sustituida por SAS
+ (serie).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Interfaces de audio y red.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Puertos de conexión periféricos
+\series default
+ como USB y Firewire.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Protección de la BIOS:
+\series default
+ La BIOS (
+\lang american
+Basic Input/Output System
+\lang spanish
+) se encarga de arrancar el PC y dar soporte para ciertos dispositivos de
+ entrada y salida.
+ También ofrece una interfaz gráfica para configurar parámetros del PC.
+ Actualmente la BIOS se almacena muchas veces en una Flash, por lo que se
+ puede actualizar, pero de hacerse incorrectamente podría dejar el equipo
+ inutilizable hasta cambiar el chip.
+ Actualmente está siendo sustituida por UEFI (
+\lang american
+Unified Extensible Firmware Interface
+\lang spanish
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename image.TZVI9Y.png
+	width 100text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fc/n2.lyx b/fc/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..7e41f7e
--- /dev/null
+++ b/fc/n2.lyx
@@ -0,0 +1,979 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
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+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
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+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
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+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
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+\cite_engine_type default
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+\shortcut idx
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+\end_index
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Representación de enteros
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En un sistema de numeración posicional en base 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $N=\dots+n_{2}b^{2}+n_{1}b^{1}+n_{0}b^{0}+n_{-1}b^{-1}+\dots$
+\end_inset
+
+.
+ Nos centraremos en las bases 2 (binario), 8 (octal), 10 (decimal) y 16
+ (hexadecimal).
+ Decimos 
+\begin_inset Formula $011)_{2}=3)_{10}$
+\end_inset
+
+.
+ Para convertir de decimal a binario, dividimos sucesivamente entre 2 la
+ parte entera hasta obtener cociente binario, y tomamos los restos y el
+ último cociente.
+ Este es el bit más significativo, y el primer resto el menos significativo.
+ Para la parte fraccionaria, multiplicamos por 2 la parte fraccionaria del
+ número decimal, y el número binario se forma con lo que se va obteniendo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El desplazamiento a la izquierda (añadir un 0 a la izquierda) multiplica
+ por 2, y el desplazamiento a la derecha (eliminarlo) divide entre 2.
+ También encontramos las operaciones lógicas 
+\family typewriter
+\lang american
+OR
+\family default
+\lang spanish
+ (
+\begin_inset Formula $0+0=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0+1=1+0=1+1=1$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+\lang american
+AND
+\family default
+\lang spanish
+ (
+\begin_inset Formula $0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $1\cdot1=1$
+\end_inset
+
+) y 
+\family typewriter
+\lang american
+NOT
+\family default
+\lang spanish
+ (
+\begin_inset Formula $\overline{0}=1$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\overline{1}=0$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los valores sin signo se representan añadiendo 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+s a la izquierda del número en binario hasta completar los 
+\begin_inset Formula $8$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $16$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $32$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $64$
+\end_inset
+
+, etc.
+ bits.
+ Para los enteros con signo existen las siguientes representaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Signo y magnitud:
+\series default
+ El bit más significativo es de signo, y vale 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ si el nº es negativo.
+ El problema es que el 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ tiene dos representaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Sesgada:
+\series default
+ Se añade una constante 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ (sesgo) al nº a representar para hacerlo positivo.
+ Normalmente 
+\begin_inset Formula $S=2^{\text{nº de bits}-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Permite realizar restas como sumas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Complemento a 2:
+\series default
+ Si tenemos 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ bits, permite representar desde 
+\begin_inset Formula $-2^{n-1}$
+\end_inset
+
+ hasta 
+\begin_inset Formula $2^{n-1}-1$
+\end_inset
+
+.
+ Los positivos se representan normalmente.
+ Para los negativos, se niegan todos los bits (
+\family typewriter
+\lang american
+NOT
+\family default
+\lang spanish
+) del opuesto y se suma 1 al resultado.
+ Así, además de poder realizar restas como sumas (despreciando los bits
+ restantes), los números positivos se representan igual a como se representarían
+ sin signo.
+ Si el resultado de una operación sale del rango, se denomina 
+\series bold
+desbordamiento
+\series default
+, y la operación no funciona.
+ Para representar un número con mayor cantidad de bits, se replica el bit
+ de signo hacia la izquierda.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Códigos intermedios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para expresar secuencias de bits de forma más concisa usamos la base 
+\series bold
+octal
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\unit[8=2^{3}]{dígitos}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{0,\dots,7\}$
+\end_inset
+
+) agrupando los bits de 3 en 3 empezando por la coma decimal, así como la
+ base 
+\series bold
+hexadecimal
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\unit[16=2^{4}]{dígitos}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{0,\dots,9,A,\dots,F\}$
+\end_inset
+
+), agrupándolos de 4 en 4.
+ Las conversiones se realizan de forma similar a la conversión entre binario
+ y decimal, pero con distinta base.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Representación de reales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se usa la 
+\series bold
+notación exponencial
+\series default
+, en
+\series bold
+ coma flotante
+\series default
+ o en
+\series bold
+ punto flotante:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $N=M\cdot B^{E}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es la mantisa, 
+\begin_inset Formula $B=2$
+\end_inset
+
+ es la base y 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es el exponente.
+ Se representa en tres campos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Signo (
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+):
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+: positivo; 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+: negativo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Exponente (
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+):
+\series default
+ Entero sesgado, con sesgo 
+\begin_inset Formula $S=2^{n_{E}-1}-1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Mantisa (
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+):
+\series default
+ Solo se representa la parte fraccionaria; la parte entera siempre es 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La norma IEEE 754 especifica reales de 
+\series bold
+simple precisión
+\series default
+ (32 bits, 
+\begin_inset Formula $n_{E}=8$
+\end_inset
+
+), y de 
+\series bold
+doble precisión
+\series default
+ (64 bits, 
+\begin_inset Formula $n_{E}=11$
+\end_inset
+
+).
+ Situaciones especiales:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $E=0$
+\end_inset
+
+, el 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ no está implícito.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $E=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $M=0$
+\end_inset
+
+, el número es 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $E=2^{n_{E}}-1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $n=+\infty\text{ o }-\infty$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $M=0$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $NaN$
+\end_inset
+
+ (
+\emph on
+\lang american
+Not a Number
+\emph default
+\lang spanish
+) si 
+\begin_inset Formula $M\neq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cuando un número como el resultado de una operación no se puede representar
+ de forma exacta, se aplica el redondeo al par: Se toman los dos primeros
+ bits que 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+no caben
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ en la mantisa (en orden, 
+\series bold
+bit de redondeo
+\series default
+ y 
+\series bold
+bit retenedor
+\series default
+).
+ Si el de redondeo es 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+, se trunca.
+ Si ambos son 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+, se redondea al alza.
+ En el caso restante, se redondea al par más cercano.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algunos números que en decimal son exactos no se pueden representar con
+ total exactitud porque en binario son periódicos, y algunas propiedades
+ como la asociatividad de la suma pueden no cumplirse debido a errores de
+ aproximación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Representación de caracteres
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para representar un carácter entre un conjunto de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ caracteres necesitamos 
+\begin_inset Formula $\left\lceil \log_{2}n\right\rceil $
+\end_inset
+
+ bits, de forma que a cada carácter le corresponde una combinación.
+ El código es arbitrario, pero existen códigos normalizados:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El ASCII (
+\emph on
+\lang american
+American Standard Code for Information Interchange
+\emph default
+\lang spanish
+) codifica desde los años 60 la mayoría de caracteres del idioma inglés.
+ Usa 
+\begin_inset Formula $7$
+\end_inset
+
+ bits para 
+\begin_inset Formula $128$
+\end_inset
+
+ caracteres.
+ Para rellenar 1 byte, el bit adicional se usaba para control de errores.
+ Un ejemplo es el 
+\series bold
+bit de paridad
+\series default
+, que garantiza que el total de unos en el byte debe ser par.
+ Si no lo es, ha habido un error en la transmisión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Más recientemente, este último bit se usa para extensiones de determinados
+ idiomas.
+ El ISO-8859-1 (
+\lang american
+Latin
+\lang spanish
+ 1) incluye extensiones como acentos y 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $ñ$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ El ISO-8859-15 es similar pero añade el signo del euro.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+El Unicode permite representar cualquier sistema de escritura del mundo.
+ Empezó siendo de 16 bits y actualmente define más de 1 millón de símbolos.
+ A cada uno se le asigna un 
+\emph on
+\lang american
+code point
+\emph default
+\lang spanish
+ en el rango de 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $0x10FFFF$
+\end_inset
+
+, que se representa como U+número.
+ El conjunto de 
+\emph on
+\lang american
+code points
+\emph default
+\lang spanish
+ que caben en 16 bits se denomina 
+\emph on
+\lang american
+Basic Multilingual Plane
+\emph default
+\lang spanish
+ (BMP).
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Los primeros 256 
+\emph on
+\lang american
+code points
+\emph default
+\lang spanish
+ corresponden al ISO-8859-1.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Todos los 
+\emph on
+\lang american
+code points
+\emph default
+\lang spanish
+ se representan como secuencias de bits de varias formas, como el UTF-8
+ y el UTF-16 (
+\emph on
+\lang american
+Unicode Transformation Format
+\emph default
+\lang spanish
+).
+ En UTF-8, cada carácter ASCII ocupa 1 byte, por compatibilidad.
+ Para otros caracteres, se usan de 2 a 4 bytes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En UTF-16, para distinguir entre 
+\emph on
+Big-Endian
+\emph default
+ y 
+\emph on
+Little-Endian
+\emph default
+, se usa la llamada 
+\emph on
+\lang american
+Byte Order Mark
+\emph default
+\lang spanish
+ (BOM) al principio del texto, codificado como 
+\begin_inset Formula $0xFEFF$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+Representación de imágenes
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las imágenes se pueden representar mediante mapas de bits o de forma vectorial.
+ Un 
+\series bold
+mapa de bits
+\series default
+ está formado por una matriz de píxeles 
+\begin_inset Formula $M_{m,n}(px.)$
+\end_inset
+
+ con resolución 
+\begin_inset Formula $n\times m$
+\end_inset
+
+, de los cuales a cada uno se le asocia un color o un tono de gris.
+ Se almacenan los píxeles sucesivamente.
+ Algunos formatos de mapa de bits son BMP (Windows), PICT (Macintosh), PPM
+ (
+\emph on
+\lang american
+Portable Pix-Map
+\emph default
+\lang spanish
+, de codificación sencilla) y JPEG (compresión normalmente con pérdida,
+ buena calidad para fotos).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Mientras tanto, una 
+\series bold
+imagen vectorial
+\series default
+ se representa como una colección de objetos como líneas, polígonos o textos,
+ que se modelan mediante vectores y ecuaciones que se evalúan al visualizar
+ las ecuaciones en pantalla.
+ Son adecuados para gráficos geométricos e ideales para aplicaciones CAD,
+ se pueden escalar a cualquier tamaño y suelen ocupar mucho menos espacio
+ que los mapas de bits.
+ Sin embargo, no son adecuadas para imágenes reales y suelen tener menor
+ calidad de imagen.
+ Algunos formatos son DXF (
+\emph on
+\lang american
+Document eXchange Format
+\emph default
+\lang spanish
+, para imágenes CAD), EPS (
+\emph on
+\lang american
+Encapsulated PostScript
+\emph default
+\lang spanish
+, de Adobe) y ODG (LibreOffice).
+ A menudo estos pueden incluir mapas de bits embebidos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El color se representa mediante escalas.
+ En 
+\series bold
+escala de grises
+\series default
+, cada píxel toma un valor de gris.
+ El modelo de color 
+\series bold
+RGB
+\series default
+ es aditivo (la suma de los colores genera el blanco), se usa sobre todo
+ en pantallas y representa la intensidad de rojo, verde y azul.
+ El modelo 
+\series bold
+CMYK
+\series default
+ es sustractivo (la suma de los colores genera el negro), se usa principalmente
+ en impresoras y representa el cían, magenta, amarillo y negro.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Algunos formatos de archivo
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+PPM
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\lang american
+Portable Pixel Map
+\lang spanish
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ está formado por un 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+número mágico
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ que identifica el tipo de archivo (caracteres 
+\series bold
+P6
+\series default
+), una cabecera y una ristra de bytes.
+ La cabecera indica, entre otras cosas, el ancho y alto de la imagen y el
+ valor máximo de un color, en decimal mediante caracteres ASCII (normalmente
+ estos son los tres últimos elementos de la cabecera, los cuales suelen
+ separarse por 0x0A).
+ La ristra de bytes contiene los píxeles uno por uno, de arriba a abajo
+ de izquierda a derecha, representados por los valores de intensidad del
+ rojo, verde y azul.
+ Normalmente el valor máximo es 255.
+ Si es más, se especifican en 
+\emph on
+\lang american
+big endian
+\emph default
+\lang spanish
+.
+ Así, en general, 
+\begin_inset Formula $\text{Offset}=(y\cdot\text{ancho}+x)\cdot3+\text{fin\_cabecera}+1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+HTML
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\emph on
+\lang american
+HyperText Markup Language
+\emph default
+\lang spanish
+ se usa para crear páginas web.
+ Se usan etiquetas con forma 
+\family typewriter
+<
+\emph on
+nombre
+\emph default
+ 
+\emph on
+attr
+\emph default
+="
+\emph on
+val
+\emph default
+" ...>...</
+\emph on
+nombre
+\emph default
+>
+\family default
+, como 
+\family typewriter
+<b>Hola</b>
+\family default
+, que indica que el texto está en negrita.
+ Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+<HTML>
+\family default
+ envuelve a todo el documento.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+<
+\lang american
+HEAD
+\lang spanish
+>
+\family default
+ contiene la cabecera.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+<
+\lang american
+TITLE
+\lang spanish
+>
+\family default
+ indica el título.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+<
+\lang american
+META NAME="AUTHOR" CONTENT=
+\lang spanish
+"
+\family default
+(autor)
+\family typewriter
+">
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+<
+\lang american
+BODY
+\lang spanish
+>
+\family default
+ contiene al cuerpo del documento.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+<P>
+\family default
+ indica un párrafo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+<
+\lang american
+BR
+\lang spanish
+>
+\family default
+ introduce una línea en blanco.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+<A 
+\lang american
+HREF
+\lang spanish
+="
+\family default
+(URL)
+\family typewriter
+">
+\family default
+ muestra un enlace.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Subsection
+ODF
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El formato 
+\emph on
+\lang american
+OpenDocument
+\emph default
+\lang spanish
+ es un formato estándar y libre para documentos, hojas de cálculo, gráficos,
+ presentaciones...
+ Es un archivo comprimido en ZIP que contiene varios ficheros y directorios,
+ siendo los más importantes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+content.xml
+\family default
+: Almacena el contenido real del documento, salvo datos binarios como imágenes,
+ y su formato es similar al HTML aunque bastante más complejo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+styles.xml
+\family default
+: Almacena los estilos para el formato y disposición del contenido, y existen
+ varios tipos como los de carácter, párrafo, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+meta.xml
+\family default
+: Contiene metadatos como el autor, la última persona que lo modificó, fecha
+ de la última modificación, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+settings.xml
+\family default
+: Incluye propiedades como el factor de zoom o la posición del cursor, pero
+ no afectan al contenido.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fc/n3.lyx b/fc/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..63254ed
--- /dev/null
+++ b/fc/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1257 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+En electrónica digital distinguimos dos niveles de tensión (alta y baja),
+ que abstraemos con el sistema binario.
+ Tipos de circuitos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Combinacionales (sin memoria):
+\series default
+ Las salidas solo dependen de las entradas actuales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Secuenciales (con memoria):
+\series default
+ Las salidas dependen de las entradas y un valor almacenado (
+\series bold
+estado
+\series default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+álgebra de Boole
+\series default
+ sirve para expresar circuitos lógicos.
+ Tenemos las operaciones 
+\begin_inset Formula $\overline{A}$
+\end_inset
+
+ (negación), 
+\begin_inset Formula $A+B$
+\end_inset
+
+ (o) y 
+\begin_inset Formula $A\cdot B$
+\end_inset
+
+ (y), y podemos expresar funciones de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ variables 
+\begin_inset Formula $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow\{0,1\}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $F(A,B,C)=\dots$
+\end_inset
+
+, o bien como tabla de verdad.
+ Si a cada entrada 
+\begin_inset Formula $(A,B,C)$
+\end_inset
+
+ le asignamos su valor 
+\begin_inset Formula $ABC_{b}$
+\end_inset
+
+, tenemos las 
+\series bold
+formas normalizadas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Suma de productos (minitérminos):
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $F(A,B,C)=\overline{A}\cdot B\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot B\cdot C+\dots=m_{2}+m_{3}+\dots=\sum m(2,3,\dots)$
+\end_inset
+
+.
+ Tomamos las combinaciones en las que la salida es 1.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Producto de sumas (maxitérminos):
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $F(A,B,C)=(A+B+C)\cdot(A+B+\overline{C})\cdot\dots=M_{0}\cdot M_{1}\cdot\dots=\prod M(0,1,\dots)$
+\end_inset
+
+.
+ Tomamos las combinaciones en las que la salida es 0 y negamos cada letra.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Mapas de Karnaugh
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Representación gráfica de una tabla de verdad.
+ Si la función tiene 
+\begin_inset Formula $m+n$
+\end_inset
+
+ variables, realizamos una tabla 
+\begin_inset Formula $2^{m}\times2^{n}$
+\end_inset
+
+ y en las cabeceras de fila y columna ponemos los nombres de estas variables
+ con sus posibles combinaciones, de forma que dos celdas adyacentes solo
+ se diferencien en 1 byte.
+ Ponemos 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ (valor no determinado) en cada celda según el valor de salida para las
+ variables.
+ Un cuadrado tiene 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ cuadrados adyacentes (que se diferencien en solo una entrada), y estos
+ se combinan en grupos de 
+\begin_inset Formula $2^{k}$
+\end_inset
+
+ celdas con igual valor de salida eliminando 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ variables.
+ Debemos intentar cubrir todos los unos (o ceros) en el menor número de
+ grupos posible.
+ Una celda puede estar en varios grupos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Terminología:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Implicante:
+\series default
+ Producto de variables.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Implicante primo:
+\series default
+ Implicante no contenido en otro.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Implicante primo esencial:
+\series default
+ Implicante primo con al menos un 1 cubierto solo por él.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cubierta:
+\series default
+ Conjunto de implicantes primos que cubren todos los unos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Al simplificar, las 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ pueden interpretarse a conveniencia como 1s o 0s.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Puertas lógicas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="1">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $A\cdot B$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename AND_ANSI_Labelled.svg
+	height 14pt
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+AND
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="1">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $A+B$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename OR_ANSI_Labelled.svg
+	height 14pt
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+OR
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="1">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $A\oplus B$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename XOR_ANSI.svg
+	height 14pt
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+XOR
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="1">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename NAND_ANSI_Labelled.svg
+	height 14pt
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NAND
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="1">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename NOR_ANSI_Labelled.svg
+	height 14pt
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NOR
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="1">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename Xnor-gate-en.svg
+	height 14pt
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+XNOR
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="1">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\overline{A}:$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+	filename Not-gate-en.svg
+	height 14pt
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NOT
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align left
+A veces la puerta NOT se representa simplemente con el círculo pequeño,
+ pegado a otra puerta.
+ Las puertas NAND, NOR y XNOR equivalen a una puerta AND, OR o XOR, respectivame
+nte, seguida de una puerta NOT.
+ La mayoría de circuitos actualmente se encuentran en chips (circuitos integrado
+s) todo lo grandes o pequeños que queramos.
+ Según el número de puertas lógicas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+SSI:
+\series default
+ 1-10 puertas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+MSI:
+\series default
+ 10-100 puertas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+LSI:
+\series default
+ 100-100000 puertas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+VLSI:
+\series default
+ >100000 puertas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Retardo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Existe un 
+\series bold
+retardo
+\series default
+ de algunos nanosegundos desde que cambia la señal a la entrada hasta que
+ se estabiliza la señal de salida en el valor deseado.
+ Podemos considerar que este es el máximo que debe 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+recorrer
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ una señal dentro del circuito una vez sabemos el retardo de cada puerta
+ lógica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Implementación con puertas NAND/NOR
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para implementar una función en forma de suma de productos sólo con puertas
+ NAND, simplificamos, negamos dos veces y aplicamos De Morgan una vez, obteniend
+o un resultado que se puede interpretar con puertas NAND.
+ El proceso es el mismo para implementar una función en forma de producto
+ de sumas sólo con puertas NOR.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Bloques lógicos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Son bloques que contienen una parte del circuito y se usan para simplificar
+ la representación.
+ Se representan como un cuadrado con flechas entrantes a un lado y salientes
+ a otro con un indicador textual del bloque.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Codificador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Circuito con 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+ líneas de entrada y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ de salida.
+ Solo una línea de entrada se activa en cada momento y su nº se representa
+ en binario en la salida.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename image.RAWR9Y.png
+	width 60text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Decodificador
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Circuito con 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ líneas de entrada y 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+ de salida que activa la línea de salida cuyo nº corresponde a la entrada
+ en binario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Graphics
+	filename image.V5MB9Y.png
+	width 60text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos implementar una función con un decodificador conectando las salidas
+ correspondientes a un 
+\begin_inset Formula $F(\dots)=1$
+\end_inset
+
+ como entrada de una puerta OR.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Multiplexores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Circuito con 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+ líneas de entrada de datos, 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ de entrada de control y una de salida.
+ Las líneas de control seleccionan qué entrada de datos pasa a la salida.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Graphics
+	filename image.0PXO9Y.png
+	width 100text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos implementar funciones como multiplexores conectando a cada entrada
+ de datos el valor de la salida correspondiente y conectando las entradas
+ como entradas de control.
+ Si el multiplexor tiene una entrada de control menos que la función, elegimos
+ una variable que no se conecta como entrada de control, agrupamos en el
+ mapa de Karnaugh las celdas que tienen el resto de entradas iguales y como
+ entradas conectamos 0, 1 o la variable en cuestión, negada o no.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Memorias ROM
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+ROM
+\series default
+ (
+\emph on
+Read Only Memory
+\emph default
+) es un circuito combinacional con 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ entradas y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ salidas que almacena 
+\begin_inset Formula $2^{m}$
+\end_inset
+
+ celdas (
+\series bold
+altura
+\series default
+ de la ROM) de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ bits (
+\series bold
+anchura
+\series default
+ de la ROM).
+ Se implementa con un plano AND con 
+\begin_inset Formula $2^{m}$
+\end_inset
+
+ puertas de 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ entradas cada una y un plano OR con 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ puertas de salida:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Graphics
+	filename image.Y3EN9Y.png
+	width 100text%
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Variantes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+PROM:
+\series default
+ 
+\emph on
+Programmable ROM
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+EPROM:
+\series default
+ 
+\emph on
+Erasable PROM
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+EEPROM:
+\series default
+ 
+\emph on
+Electronically Erasable PROM
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Memorias flash (permiten borrado y reescritura por bloques, miles de veces).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+PLA:
+\series default
+ 
+\emph on
+Programmable Logic Array
+\emph default
+.
+ Como una ROM, pero solo se implementan los productos (puertas AND) necesarios.
+ Útil cuando pocas combinaciones se usan realmente.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fc/n4.lyx b/fc/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..dbe8094
--- /dev/null
+++ b/fc/n4.lyx
@@ -0,0 +1,2821 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures false
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un sistema operativo es una capa de software situada entre el hardware y
+ las aplicaciones, que se encarga de 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+enmascarar
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ la complejidad del software a usuarios y programadores, administrando:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La CPU, que se comparte entre los procesos y el núcleo del SO.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+La memoria, que también se comparte, impidiendo que un proceso acceda a
+ la de otro indebidamente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Los dispositivos, que también se comparten, protegiendo de accesos indebidos
+ y ofreciendo una interfaz uniforme a los distintos tipos de dispositivos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejemplos: Windows (2000, XP, Vista...), Linux (Ubuntu, Fedora...), Unix, FreeBSD,
+ MacOS, etc.
+ Una distribución de un sistema operativo incluye al núcleo del SO junto
+ con software adicional.
+ Tipos de SO: De propósito general, de servidores, de tiempo real, integrados,
+ de tarjeta inteligente, de supercomputadores, etc.
+ Conceptos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Usuario Persona que trabaja en el sistema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Sesión Periodo de tiempo en el que un usuario interactúa con el sistema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Programa Código ejecutable almacenado en disco.
+ Concepto estático.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Proceso Programa en ejecución, que necesita recursos.
+ Concepto dinámico con estado cambiante.
+ Unidad de trabajo del SO.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Fichero Unidad lógica de almacenamiento de datos persistentes.
+ Secuencia de bytes con un formato determinado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Programas
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+del
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+sistema Programas que suelen acompañar al SO, como administrador de archivos,
+ intérprete de comandos, programas para información de estado, aplicaciones
+ básicas o utilidades de programación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+Interfaz
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+de
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+usuario 
+\series default
+Permite al usuario dar órdenes al sistema.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Description
+
+\lang english
+GUI
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+(
+\emph on
+Graphical
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+User
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+Interface
+\emph default
+)
+\lang spanish
+ Presenta una visión intuitiva del sistema.
+ Se basa en un gestor de ventanas que permite arrancar y terminar aplicaciones
+ y trabajar con varias al mismo tiempo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+Línea
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+de
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+comandos Órdenes tecleadas.
+ Permite llamar a 
+\series bold
+órdenes internas
+\series default
+ reconocidas por el intérprete y 
+\series bold
+programas externos
+\series default
+, en su propio ejecutable.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+Funcionamiento de un SO
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+El arranque
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Al encender, la CPU ejecuta un programa en ROM (
+\series bold
+iniciador ROM
+\series default
+ o 
+\series bold
+ROM BIOS
+\series default
+) que realiza un autodiagnóstico rápido del hardware y lee el 
+\series bold
+disco
+\series default
+ el programa 
+\series bold
+cargador
+\series default
+, que posiblemente permita seleccionar entre varios SO.
+ Este se encarga de cargar el kernel del SO en memoria, que toma el control,
+ establece sus estructuras internas básicas (tabla de procesos, memoria,
+ E/S, etc.) y ejecuta el 
+\series bold
+proceso inicial
+\series default
+, que empieza a lanzar procesos auxiliares y 
+\series bold
+demonios
+\series default
+ (para impresión, red, etc.) según esté configurado y, finalmente, lanza
+ uno (o varios) procesos de login, que permiten al usuario autenticarse
+ y comenzar a trabajar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Interrupciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las 
+\series bold
+interrupciones
+\series default
+ son un mecanismo que permite pasar el control al núcleo del SO.
+ Tipos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Interrupciones software
+\series default
+, 
+\series bold
+llamadas al sistema
+\series default
+ o 
+\series bold
+traps:
+\series default
+ Las inicia un proceso para llamar a un servicio del sistema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Interrupciones hardware:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Excepciones
+\series default
+ o 
+\series bold
+desvíos:
+\series default
+ Las produce un error en la ejecución, como una instrucción errónea, acceso
+ indebido, error numérico, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Interrupciones
+\series default
+ propiamente dichas: Las causa un evento externo como el reloj del sistema
+ o un dispositivo de E/S, y llegan a la CPU mediante el bus de control.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Algunos tipos de llamadas al sistema:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Procesos:
+\series default
+ Creación y terminación de procesos e hilos...
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Acceso a dispositivos:
+\series default
+ Apertura, cierre, lectura y escritura de ficheros y dispositivos de E/S...
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Gestión de la memoria:
+\series default
+ Solicitud y liberación de espacio...
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Manipulación del sistema de ficheros:
+\series default
+ Creación y borrado de ficheros y directorios, movimiento por directorios,
+ manipulación de permisos, acceso a metadatos...
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Otros:
+\series default
+ Sincronización y comunicación entre procesos...
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+El subsistema de gestión de procesos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los SO permiten la 
+\series bold
+multiprogramación
+\series default
+, el uso compartido de la CPU entre varios procesos, y de esta forma permite
+ múltiples usuarios.
+ Periódicamente, el reloj interrumpe al proceso en ejecución para ejecutar
+ código del kernel, que cambia el 
+\series bold
+contexto
+\series default
+ para ejecutar otro proceso.
+ Los procesos van avanzando con sensación de simultaneidad, y los que quedan
+ a la espera de E/S ceden la CPU a otro proceso.
+ La parte del kernel encargada de optimizar el uso de CPU es el 
+\series bold
+planificador
+\series default
+ o 
+\series bold
+\emph on
+scheduler
+\series default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todos los procesos son creados por otro, llamado 
+\series bold
+proceso padre
+\series default
+, siendo la raíz de la jerarquía el proceso inicial (en Linux, 
+\family typewriter
+init
+\family default
+), y terminan de forma voluntaria o externa.
+ Los procesos también pueden ser monitorizados, y se autorizan intentos
+ de comunicación entre procesos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+El subsistema de gestión de memoria
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La RAM es compartida por todos los procesos y el propio kernel, el cual
+ aísla a unos procesos de otros ubicándolos en 
+\series bold
+espacios de direccionamiento
+\series default
+ independientes.
+ Cada proceso tiene un 
+\series bold
+espacio de direcciones virtual
+\series default
+, que es mapeado por el sistema (con ayuda del hardware) a distintas 
+\series bold
+direcciones físicas
+\series default
+.
+ Si es necesario, parte del espacio virtual de un proceso se mantiene en
+ disco.
+ El SO se encarga de controlar las zonas de memoria libres y ocupadas, asignar
+ y recuperar espacio y mover datos y código entre la RAM y el disco según
+ sea necesario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+El subsistema de gestión de E/S
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El SO oculta las particularidades de distintos tipos de dispositivos.
+ Por ejemplo, mientras que el usuario ve un sistema de ficheros organizado
+ jerárquicamente, el disco en el que este está almacenado, con el que interactúa
+ el SO, se muestra como una inmensa tabla de sectores de 512 bytes cada
+ uno.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los dispositivos se manejan mediante una 
+\series bold
+controladora
+\series default
+, un CI en el propio dispositivo que lo controla físicamente y acepta comandos
+ elementales, y un 
+\series bold
+manejador de dispositivo
+\series default
+ o 
+\series bold
+
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+driver
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+
+\series default
+, un software ejecutado por el kernel del SO en 
+\series bold
+modo privilegiado
+\series default
+ (uso no restringido del procesador) que se comunica con la controladora.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las operaciones de E/S tardan un cierto tiempo en ejecutarse, por lo que
+ al enviar un comando a la controladora, el SO suspende el proceso en ejecución
+ y otorga la CPU a otro proceso, de forma que cuando termina la transferencia
+ de datos, se envía una 
+\series bold
+interrupción
+\series default
+ al procesador, causando que el SO vuelva a tomar el control y despierte
+ al proceso bloqueado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Linux
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Es un clon de Unix creado por Linus Torvalds en 1991.
+ Su código fuente está disponible bajo GPL (puede usarse, modificarse y
+ distribuirse libremente).
+ Es multiplataforma, pues funciona en gran cantidad de procesadores por
+ estar escrito casi todo en C, multiusuario, multitarea y multinúcleo.
+ Usa memoria virtual con espacios de direccionamiento diferentes, y soporta
+ múltiples sistemas de archivos, protocolos de red e infinidad de dispositivos.
+ Existen múltiples distribuciones y miles de aplicaciones disponibles, libres
+ y comerciales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se accede al sistema mediante nombre de usuario y contraseña, y solo el
+ usuario 
+\family typewriter
+root
+\family default
+ tiene el control total.
+ El 
+\emph on
+prompt
+\emph default
+ de la línea de comandos, configurable, proporciona información del usuario,
+ la máquina y el directorio actual:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+
+\family typewriter
+\emph on
+usuario
+\emph default
+@
+\emph on
+máquina
+\emph default
+:
+\emph on
+directorio_actual
+\emph default
+$
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La interfaz gráfica más común es X-Window, que actúa como proceso 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+servidor
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ al que se conectan las aplicaciones gráficas 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+cliente
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ Su diseño en red permite ejecutar aplicaciones gráficas remotas siempre
+ que en nuestra máquina se ejecute el servidor X.
+ Este captura los eventos de teclado y ratón y los envía a la aplicación,
+ a la vez que muestra la salida gráfica de la misma en ventanas.
+ Se arranca con 
+\family typewriter
+startx
+\family default
+, aunque la mayoría de distribuciones ya lo ejecutan al inicio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El principal cliente de X-Window es el gestor de ventanas, que determina
+ la apariencia del escritorio y ventanas.
+ En Linux son populares KDE y GNOME, que cuentan con aplicaciones de todo
+ tipo las cuales son compatibles entre sí por funcionar con X, aunque existen
+ muchos más, como otros más ligeros.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+La línea de comandos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La consola de texto, terminal, intérprete, línea de comandos o 
+\emph on
+shell
+\emph default
+ de Linux es un programa denominado 
+\family typewriter
+bash
+\family default
+.
+ Permite usar, configurar, personalizar y monitorizar el sistema de forma
+ muy avanzada, y realizar tareas repetitivas mediante 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+guiones shell
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ o 
+\emph on
+scripts
+\emph default
+, series de órdenes que se almacenan en un archivo para ser ejecutadas posterior
+mente con una sola orden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los caracteres 
+\family typewriter
+/|
+\backslash
+!?*<>&~()[];#
+\family default
+, así como el espacio, tienen un significado especial en 
+\family typewriter
+bash
+\family default
+, por lo que no es conveniente usarlos en nombres de archivos y directorios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los comandos se especifican como 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+<comando> [parámetros...]
+\family default
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ Los comandos que aceptan varias opciones (con 
+\family typewriter
+-
+\begin_inset Formula $(letra)$
+\end_inset
+
+
+\family default
+) permiten ponerlos separados por espacios o juntos, en cuyo caso solo se
+ indica el guión en el primero.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El tabulador completa una ruta o una orden cuando ya hemos escrito suficientes
+ caracteres para distinguirla.
+ Las teclas arriba y abajo permiten navegar por el historial de órdenes,
+ al que podemos acceder con 
+\family typewriter
+CTRL-R
+\family default
+ y tecleando una subcadena, con el comando 
+\family typewriter
+history
+\family default
+ o con 
+\family typewriter
+!
+\emph on
+número_de_orden
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para evitar la interpretación de cualquier caracter reservado, se introduce
+ 
+\family typewriter
+
+\backslash
+
+\family default
+ delante o se encierra todo (el parámetro o parte de él) entre comillas
+ simples o dobles (la interpretación de estas, y del 
+\family typewriter
+
+\backslash
+
+\family default
+, también pueden ser anuladas por 
+\family typewriter
+
+\backslash
+
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para salir de la línea de comandos se usa el comando interno 
+\family typewriter
+exit
+\family default
+.
+ Linux tiene una serie de terminales virtuales.
+ Para acceder a una, se pulsa 
+\family typewriter
+CTRL-ALT-F
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\family default
+, donde 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es el número de la terminal.
+ En una de ellas está la interfaz gráfica, en el caso de Ubuntu, en la 7.
+ Para copiar y pegar en dichas terminales virtuales, se marca el texto a
+ copiar de principio a fin pulsando el botón izquierdo del ratón y después,
+ con el cursor situado donde se quiere pegar el texto, se pulsa el botón
+ central.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Órdenes de ayuda
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+man 
+\emph on
+page
+\family default
+\emph default
+: Muestra un manual de la orden que se le indica como parámetro, del que
+ se sale pulsando 
+\family typewriter
+q
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+info 
+\emph on
+page
+\family default
+\emph default
+: Misma función, aunque funciona de forma distinta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+help 
+\emph on
+command
+\family default
+\emph default
+: Muestra algo de información sobre un comando interno.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+También se puede obtener información llamando al comando con 
+\family typewriter
+-h
+\family default
+, 
+\family typewriter
+-?
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+--help
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+El sistema de ficheros
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo el almacenamiento se considera un sistema único de ficheros jerárquico
+ que parte del directorio raíz (
+\family typewriter
+/
+\family default
+) y cuyas entradas pueden ser ficheros (regulares, por caracteres, por bloques
+ o enlaces simbólicos) u otros directorios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Los 
+\series bold
+enlaces simbólicos
+\series default
+ son 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+punteros
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ a otras entradas del sistema de ficheros, que almacenan la ruta de estas.
+ Si el archivo original cambia de lugar o es eliminado, el enlace queda
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+colgando
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, apuntado a nada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Los 
+\series bold
+enlaces físicos
+\series default
+ o 
+\series bold
+duros
+\series default
+ se diferencian en que el fichero creado originalmente es indistinguible
+ del enlace, de forma que solo al borrar el último enlace se libera el espacio
+ en disco.
+ Sin embargo, no se puede crear un enlace físico a un fichero en otro disco.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Al indicar una ruta, se usa el caracter 
+\family typewriter
+/
+\family default
+ para separar directorios y ficheros.
+ El punto (
+\family typewriter
+.
+\family default
+) en un nombre de archivo se usa opcionalmente para agrupar archivos que
+ serán abiertos con la misma aplicación, diferenciando por 
+\series bold
+extensiones
+\series default
+, y si se pone al principio de un archivo o directorio, este cuenta como
+ 
+\series bold
+oculto
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una ruta que empiece por 
+\family typewriter
+/
+\family default
+ es 
+\series bold
+absoluta
+\series default
+ y parte de la raíz.
+ Cualquier otra ruta es 
+\series bold
+relativa
+\series default
+ y parte del directorio actual.
+ El directorio actual se denota por 
+\family typewriter
+.
+\family default
+, el directorio 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+padre
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ de otro por 
+\family typewriter
+..
+
+\family default
+ y el directorio 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+home
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (del usuario que ha iniciado sesión) por 
+\family typewriter
+~
+\family default
+.
+ Los nombres de archivos diferencian mayúsculas de minúsculas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los directorios importantes son los siguientes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/bin
+\family default
+: Programas básicos del sistema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/usr/bin
+\family default
+: Aplicaciones y otros programas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/sbin
+\family default
+: Programas de administración (para superusuario).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/lib
+\family default
+: Bibliotecas del sistema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/usr/lib
+\family default
+ Bibliotecas de aplicaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/etc
+\family default
+: Ficheros de configuración.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/home
+\family default
+: Directorios de usuarios.
+ En general, cada usuario tiene una carpeta 
+\family typewriter
+/home/<user>
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/tmp
+\family default
+: Ficheros temporales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/dev
+\family default
+: Dispositivos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/proc
+\family default
+: Visión dinámica del sistema.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los dos últimos directorios mencionados no existen en el disco, sino que
+ el SO proporciona esta percepción por comodidad.
+ A veces 
+\family typewriter
+/tmp
+\family default
+ tampoco está en disco, sino que solo existe en la RAM.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los discos 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+tal cual
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ se representan como archivos, que habitualmente se denominan 
+\family typewriter
+/dev/sda
+\family default
+, 
+\family typewriter
+/dev/sdb
+\family default
+, etc., y sus particiones 
+\family typewriter
+/dev/sda1
+\family default
+, 
+\family typewriter
+/dev/sda2
+\family default
+, etc., y 
+\family typewriter
+/dev/null
+\family default
+ indica un archivo virtual que descarta todo lo que se escribe en él.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En 
+\family typewriter
+bash, 
+\family default
+si un parámetro es una ruta, podemos usar comodines, y el parámetro se sustituye
+ por la lista de rutas de archivo que cumplen la condición (si existen).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+*
+\family default
+: Cero o más caracteres.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+?
+\family default
+: Un caracter.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+[
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+-
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+]
+\family default
+: Un caracter en el rango.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+[!
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+-
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+]
+\family default
+: Un caracter que no esté en el rango.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+{
+\begin_inset Formula $n1$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $n2$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\family default
+}: Cualquier secuencia de caracteres de la lista.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Comandos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+pwd
+\family default
+.
+ Indica el directorio en que nos encontramos (ruta completa).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+cd [-|dir]
+\family default
+.
+ Cambia al directorio especificado (o a 
+\family typewriter
+~
+\family default
+).
+ Si se indica 
+\family typewriter
+-
+\family default
+, vuelve al último directorio en que estuvimos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+ls [-dlrRaStu] [dir]
+\family default
+.
+ Lista las entradas del directorio 
+\family typewriter
+dir
+\family default
+ o del actual:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-l
+\family default
+: Formato largo.
+ En vez de mostrar solo el nombre, muestra el total y a con
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ti
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+nua
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ción, para cada archivo:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Tipo (
+\family typewriter
+-
+\family default
+: Archivo; 
+\family typewriter
+d
+\family default
+: Directorio; 
+\family typewriter
+l
+\family default
+: Enlace simbólico; 
+\family typewriter
+c
+\family default
+: Fichero por caracteres; 
+\family typewriter
+b
+\family default
+: Fichero por bloques) y permisos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Número de enlaces duros.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Usuario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Grupo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Tamaño (bytes).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Fecha y hora de modificación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Nombre.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-R
+\family default
+: Lista recursiva.
+ Muestra también el contenido de todos los subdirectorios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-a
+\family default
+: Muestra también las entradas ocultas (cuyo nombre empieza por 
+\family typewriter
+.
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-S
+\family default
+: Ordena por tamaño.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-t
+\family default
+: Ordena por fecha y hora de última modificación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-u
+\family default
+: Ordena por fecha y hora de último acceso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-U
+\family default
+: Ordena por fecha y hora de creación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-r
+\family default
+: Invierte el orden escogido por 
+\family typewriter
+-S|t|u|U
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-d
+\family default
+: Lista la entrada correspondiente al subdirectorio indicado en lugar de
+ las entradas que este contiene.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+cat [file]
+\family default
+.
+ Muestra el contenido del 
+\family typewriter
+file
+\family default
+, o de la entrada estándar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+more [file]
+\family default
+.
+ Igual pero permite mostrarlo poco a poco.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+less [file]
+\family default
+.
+ Igual pero permite desplazarse arriba y abajo y buscar palabras con 
+\family typewriter
+/
+\begin_inset Formula $palabra$
+\end_inset
+
+
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+hexdump -C [file]
+\family default
+: Muestra el contenido de 
+\family typewriter
+file
+\family default
+, o de la entrada estándar, en he
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+xa
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+de
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ci
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+mal con formato.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+find [path] [match] [expr]
+\family default
+.
+ Busca en 
+\family typewriter
+path
+\family default
+ (o en el directorio actual) y sus subdirectorios, archivos que cumplan
+ los criterios (
+\family typewriter
+match
+\family default
+) (o todos) y hace lo que indique la expresión (
+\family typewriter
+expr
+\family default
+) (o muestra el nombre por la salida).
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Criterios:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-name 
+\begin_inset Formula $nombre$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Nombre de la entrada (se pueden usar comodines, pero de forma que no los
+ sustituya la 
+\emph on
+shell
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-iname 
+\begin_inset Formula $nombre$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Similar pero sin distinguir mayúsculas y minúsculas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-user 
+\begin_inset Formula $usuario$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Usuario al que pertenece.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-group 
+\begin_inset Formula $grupo$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Grupo al que pertenece.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-type [c|b|d|l|f]
+\family default
+: Tipo de fichero (igual que en 
+\family typewriter
+ls -l
+\family default
+, salvo que 
+\family typewriter
+f
+\family default
+ para fichero regular).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-mtime [+|-]
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Modificado hace más (
+\family typewriter
++
+\family default
+), menos (
+\family typewriter
+-
+\family default
+) o exactamente 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ días.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-atime [+|-]
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Igual pero con el último acceso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-amin [+|-]
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Igual que 
+\family typewriter
+-atime
+\family default
+ pero en minutos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-size [+|-]
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Tamaño de más (
+\family typewriter
++
+\family default
+), menos (
+\family typewriter
+-
+\family default
+) o exactamente 
+\begin_inset Formula $512n$
+\end_inset
+
+ bytes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+!
+\family default
+: Negación de lo siguiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-o
+\family default
+: Disyunción lógica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-a
+\family default
+: Conjunción lógica (por defecto cuando se usan varios criterios).
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+Expresiones:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-printf 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\family default
+: Imprime la secuencia de caracteres que se indica.
+ Secuencias de escape: 
+\family typewriter
+%s
+\family default
+: Tamaño; 
+\family typewriter
+%u
+\family default
+: Usuario; 
+\family typewriter
+%p
+\family default
+: Ruta completa; etc.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+which 
+\emph on
+command
+\family default
+\emph default
+.
+ Muestra la ubicación en el sistema de ficheros de un comando externo.
+ La lista de directorios donde la 
+\emph on
+shell
+\emph default
+ busca comandos externos se denomina 
+\family typewriter
+PATH
+\family default
+ y se puede consultar con 
+\family typewriter
+echo $PATH
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+touch <file>
+\family default
+.
+ Crea un fichero o, si ya existía, actualiza su fecha de modificación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+cp [-iprRu] srcfile ...
+ destfile|destdir
+\family default
+.
+ Copia un fichero a otro, o varios ficheros a un directorio.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-R
+\family default
+, 
+\family typewriter
+-r
+\family default
+: Copia recursiva, para copiar directorios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-i
+\family default
+: Pide confirmación si el fichero de destino ya existía, para evitar sobreescrib
+irlo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-p
+\family default
+: Conserva la fecha de modificación al copiar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-u
+\family default
+: No se copia si el destino tiene una fecha de modificación igual o posterior
+ al origen.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+mv srcfile|dirfile ...
+ destfile|destdir
+\family default
+.
+ Como 
+\family typewriter
+cp
+\family default
+ pero cambia la posición del archivo en vez de copiarlo.
+ Se puede usar para cambiar el nombre de un fichero o directorio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+rm [-ifrv] file|dir ...
+\family default
+.
+ Elimina ficheros y directorios.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-v
+\family default
+: Muestra los nombres de las entradas conforme se eliminan.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-i
+\family default
+: Pide confirmación para cada entrada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-r
+\family default
+: Borrado recursivo, para eliminar directorios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-f
+\family default
+: Nunca pide confirmación.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+mkdir dir
+\family default
+.
+ Crea un directorio vacío en la ruta especificada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+rmdir dir
+\family default
+.
+ Elimina el directorio indiciado si está vacío.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tar ...
+\family default
+.
+ Para manipulación de archivos.
+ Estos suelen tener la extensión 
+\family typewriter
+.tar
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+.tar.gz
+\family default
+ (comprimido, también 
+\family typewriter
+.tgz
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tar c[zv][f archive] [files|dirs ...]
+\family default
+.
+ Comprime los ficheros y directorios indicados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tar t[zv][f archive]
+\family default
+.
+ Lista los contenidos del archivo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tar x[zv][f archive]
+\family default
+.
+ Extrae el contenido del archivo, recuperando también los permisos, estructura
+ de directorios, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+z
+\family default
+: Indica compresión GZip (
+\family typewriter
+\SpecialChar endofsentence
+gz
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+v
+\family default
+: Muestra los archivos conforme se comprimen o descomprimen.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+f archive
+\family default
+: Indica el nombre del archivo.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+ln [-s] target link
+\family default
+.
+ Crea un enlace llamado 
+\family typewriter
+link
+\family default
+ al fichero 
+\family typewriter
+target
+\family default
+.
+ Si 
+\family typewriter
+link
+\family default
+ es un directorio existente, se crea dentro el enlace con el nombre de 
+\family typewriter
+target
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-s
+\family default
+: El enlace es simbólico (si no se especifica, se crea un enlace duro).
+ En tal caso, la ruta del fichero 
+\family typewriter
+target
+\family default
+ se indica de forma relativa al directorio en que está 
+\family typewriter
+link
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+df
+\family default
+.
+ Informa del espacio total y libre en todos los sistemas de archivos montados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+du [-hs] dir ...
+\family default
+.
+ Muestra lo que ocupan realmente en el disco los directorios indicados junto
+ con todos sus ficheros y subdirectorios de forma recursiva.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-h
+\family default
+: Muestra en unidades más legibles como KB, MB o GB, en vez de en bloques
+ de 1024 bytes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-s
+\family default
+: Muestra sólo el tamaño total para cada argumento en lugar de mostrar lo
+ que ocuparía cada entrada dentro de estos.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Subsection
+Usuarios, grupos y permisos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Existen tres tipos de 
+\series bold
+usuarios
+\series default
+: normales; del sistema, vinculados a ciertas tareas del SO, y 
+\family typewriter
+root
+\family default
+ o 
+\series bold
+superusuario
+\series default
+, que tiene control total y en el prompt aparece con 
+\family typewriter
+#
+\family default
+ en vez de 
+\family typewriter
+$
+\family default
+.
+ La información sobre los usuarios se guarda en 
+\family typewriter
+/etc/passwd
+\family default
+ y las contraseñas cifradas en 
+\family typewriter
+/etc/shadow
+\family default
+.
+ Los usuarios se pueden organizar en 
+\series bold
+grupos
+\series default
+, con diferentes permisos.
+ Cada usuario tiene un grupo principal, pero puede pertenecer a varios.
+ La información se almacena en 
+\family typewriter
+/etc/group
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un usuario puede tener tres permisos sobre un fichero o directorio:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+: Lectura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $w$
+\end_inset
+
+: Escritura.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+: Ejecución de un fichero o acceso al contenido de un directorio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cada entrada del sistema de ficheros lleva asociado un usuario y un grupo,
+ y existen permisos distintos para el usuario, el grupo y 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+el resto
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ Se suelen indicar con tres secuencias 
+\family typewriter
+rwx
+\family default
+ (para usuario, grupo y resto, en orden), de forma que para los permisos
+ que no se concedan se sustituye la letra por un 
+\family typewriter
+-
+\family default
+.
+ Así es como se indica en 
+\family typewriter
+ls -l
+\family default
+.
+ Comandos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+chmod perms file|dir
+\family default
+.
+ Cambia los permisos de un fichero o directorio.
+ El campo 
+\family typewriter
+perms
+\family default
+ indica los permisos en octal, asignando 1's a los permisos que se desea
+ conceder y 0's al resto, en el orden en que se muestran en 
+\family typewriter
+ls -l
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+chown user file|dir
+\family default
+.
+ Cambia el propietario de un fichero o directorio.
+ Requiere permisos de superusuario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+chgrp group file|dir
+\family default
+.
+ Igual pero con el grupo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+whoami
+\family default
+.
+ Muestra nuestro nombre de usuario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+who
+\family default
+.
+ Muestra los usuarios actualmente conectados, con sus horas y lugares (terminale
+s) de inicio de sesión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+w
+\family default
+.
+ Similar, pero además muestra qué está ejecutando cada usuario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+groups
+\family default
+.
+ Muestra a que grupos pertenecemos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+sudo command pars ...
+\family default
+.
+ Ejecuta el comando dado como superusuario (pide contraseña).
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-s
+\family default
+: Si se indica esto (sin especificar un comando), simplemente cambia a su
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+per
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+u
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+sua
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+rio.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+login user
+\family default
+.
+ Cambia al usuario especificado (pide su contraseña).
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Los procesos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los comandos separados por 
+\family typewriter
+;
+\family default
+ se ejecutan uno detrás de otro, y situar 
+\family typewriter
+&
+\family default
+ detrás de un comando (o entre dos comandos, en cuyo caso afecta al de la
+ izquierda) lanza un proceso en segundo plano, ejecutando lo que va delante
+ sin esperar o permitiendo usar la shell sin que termine de ejecutarse.
+ 
+\family typewriter
+bash
+\family default
+ muestra entonces el PID (identificador de proceso, entero único para cada
+ uno).
+ 
+\family typewriter
+CTRL-C
+\family default
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+mata
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ a un proceso en primer plano, y 
+\family typewriter
+CTRL-Z
+\family default
+ lo pausa (lo 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+duerme
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El directorio virtual 
+\family typewriter
+/proc
+\family default
+ se consulta como un sistema de ficheros normal, pero realmente lo mantiene
+ el núcleo en tiempo real, y contiene un subdirectorio por cada PID de proceso
+ activo, con información sobre el mismo como ficheros abiertos, mapa de
+ memoria, etc.
+ También contiene:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/proc/cpuinfo
+\family default
+: Información sobre la CPU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/proc/meminfo
+\family default
+: Información sobre la memoria.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/proc/version
+\family default
+: Versión del núcleo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+/proc/sys
+\family default
+: Directorio con los parámetros de distintos subsistemas del núcleo.
+ Si se tienen los permisos, se puede hasta cambiar el comportamento del
+ núcleo en tiempo de ejecución.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+kill [-9] PID
+\family default
+: Lanza una señal para terminar el proceso con el PID indicado.
+ Este puede 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+capturar
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ dicha señal evitando su finalización (puede ser útil en ciertos casos).
+ Si aun así se desea terminar dicho proceso, la opción 
+\family typewriter
+-9
+\family default
+ manda una señal 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+no capturable
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cada proceso tiene una entrada estándar (
+\family typewriter
+stdin
+\family default
+, por defecto el teclado), una salida estándar (
+\family typewriter
+stdout
+\family default
+, por defecto la pantalla) y una salida estándar de error (
+\family typewriter
+stderr
+\family default
+).
+ En 
+\family typewriter
+bash
+\family default
+, detrás de un comando, 
+\family typewriter
+> 
+\begin_inset Formula $archivo$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ redirige 
+\family typewriter
+stdout
+\family default
+ a un archivo, que sobreescribe en caso de existir, y 
+\family typewriter
+>> 
+\begin_inset Formula $archivo$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ hace lo mismo pero, si el archivo ya existe, en vez de sobreescribirlo
+ añade la salida al final.
+ Igualmente, 
+\family typewriter
+2>
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+2>>
+\family default
+ hacen lo mismo pero con 
+\family typewriter
+stderr
+\family default
+, y <
+\family typewriter
+ 
+\begin_inset Formula $archivo$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ toma 
+\family typewriter
+stdin
+\family default
+ de ese archivo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otra forma de comunicación entre procesos son las 
+\series bold
+tuberías
+\series default
+ que permiten redireccionar el 
+\family typewriter
+stdout
+\family default
+ de un fichero con el 
+\family typewriter
+stdin
+\family default
+ del siguiente.
+ En 
+\family typewriter
+bash
+\family default
+ se indican con 
+\family typewriter
+/
+\family default
+.
+ Existe un repertorio de comandos útiles, llamados 
+\series bold
+filtros
+\series default
+, especialmente diseñados para comunicarse mediante tuberías.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Comandos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+ps [-Af]
+\family default
+.
+ Lista los procesos activos.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-A
+\family default
+: Muestra todos los procesos en lugar de solo los lanzados desde ese terminal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-f
+\family default
+: Muestra información adicional de interes, como el PID, el consumo de CPU,
+ el PID del proceso padre (PPID), hora de lanzamiento, etc.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+top
+\family default
+.
+ Monitoriza en tiempo real los procesos activos, mostrando información de
+ ellos similar a 
+\family typewriter
+ps -Af
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+fg
+\family default
+: Pasa el último proceso pausado (despertándolo) o el último en ser iniciado
+ en segundo plano al primer plano.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+bg
+\family default
+: Despierta un proceso pausado pasándolo al segundo plano.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+sort [-n]
+\family default
+.
+ Ordena alfabéticamente las líneas de la entrada.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-n
+\family default
+: Ordena numéricamente.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+grep <pattern>
+\family default
+.
+ Muestra solo las líneas de la entrada que contengan cierto patrón.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+cut -c
+\family default
+
+\begin_inset Formula $start$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+-
+\begin_inset Formula $end$
+\end_inset
+
+
+\family default
+.
+ Muestra solo las columnas 
+\begin_inset Formula $start$
+\end_inset
+
+–
+\begin_inset Formula $end$
+\end_inset
+
+ de cada fila.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+head [-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+]
+\family default
+.
+ Muestra solo las primeras 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ (10) líneas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tail [-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+]
+\family default
+.
+ Muestra solo las últimas 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ (10) líneas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+uniq
+\family default
+.
+ Elimina líneas repetidas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+wc [-lcw]
+\family default
+.
+ Cuenta las líneas (
+\family typewriter
+-l
+\family default
+), caracteres (
+\family typewriter
+-c
+\family default
+) y/o palabras (
+\family typewriter
+-w
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tr
+\family default
+.
+ Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tr "-z" "A-Z"
+\family default
+.
+ Convierte minúsculas a mayúsculas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tr -d "0-9"
+\family default
+.
+ Elimina caracteres numéricos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+tr -d -c "0-9"
+\family default
+.
+ Elimina caracteres no numéricos o espacios.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Otros comandos
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+date
+\family default
+.
+ Devuelve la fecha y hora actuales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+cal
+\family default
+.
+ Calendario del mes/año actual.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+clear
+\family default
+.
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Limpia
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ la pantalla del terminal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+reset
+\family default
+.
+ Resetea el terminal (para cuando se queda con caracteres extraños, como
+ tras hacer 
+\family typewriter
+cat
+\family default
+ de un fichero binario).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+expr
+\family default
+.
+ Para cálculos aritméticos.
+ Ejemplo: 
+\family typewriter
+expr 101 + 12
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+xargs ...
+\family default
+.
+ Toma lo que se le pasa como parámetros (algún comando), le añade lo que
+ le llega por la entrada estándar, lo interpreta como comando + parámetros
+ y lo ejecuta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+split [-d] -b
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ [file [prefix]]
+\family default
+.
+ Divide el archivo 
+\family typewriter
+file
+\family default
+ (o la entrada estándar) en trozos de tamaño 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ (por defecto bytes salvo que le suceda una 
+\family typewriter
+k
+\family default
+ (KB), etc.) cuyo nombre empieza por 
+\family typewriter
+prefix
+\family default
+ (o 
+\family typewriter
+x
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-d
+\family default
+: Usa sufijos numéricos en vez de por letras.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fc/n5.lyx b/fc/n5.lyx
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index 0000000..66b2ee2
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+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+instrucción
+\series default
+ es un conjunto de símbolos que representan una operación a realizar por
+ la CPU, y un 
+\series bold
+programa
+\series default
+ es un conjunto ordenado de instrucciones que debe ejecutar el computador
+ sobre unos datos para procesarlos y obtener un resultado.
+ Las instrucciones se almacenan en memoria principal y se ejecutan en secuencia,
+ salvo por instrucciones de salto.
+ Tipos de instrucciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+De movimiento de datos
+\series default
+ entre registros de la CPU y direcciones de memoria.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Aritmético-lógicas:
+\series default
+ Suma, resta, multiplicación, división, AND, OR, desplazamientos, ...
+ y operaciones de punto flotante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Instrucciones de salto:
+\series default
+ Condicionales, incondicionales y de manejo de subrutinas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las instrucciones se organizan en campos de bits, que indican, en un determinado
+ formato, la operación a ejecutar, los operandos de entrada y el lugar donde
+ dejar el resultado.
+ Distintos tipos de instrucción utilizan distintos formatos, pues necesitan
+ codificar información distinta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La CPU está formada por un 
+\series bold
+camino de datos
+\series default
+ (
+\series bold
+CD
+\series default
+), encargado del procesamiento, y una 
+\series bold
+unidad de control
+\series default
+ (
+\series bold
+UC
+\series default
+), que decodifica las instrucciones y 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+controla
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ al camino de datos.
+ En todo momento, la UC mantiene un 
+\series bold
+contador de programa
+\series default
+ (
+\series bold
+PC
+\series default
+, 
+\emph on
+program counter
+\emph default
+ o 
+\series bold
+IP
+\series default
+, 
+\emph on
+instruction pointer
+\emph default
+) que contiene la dirección de la siguiente instrucción a ejecutar, y un
+ 
+\series bold
+registro de instrucción
+\series default
+ (
+\series bold
+RI
+\series default
+), que contiene la instrucción a ejecutar.
+ A mayor número de instrucciones mayor complejidad de la UC y más número
+ de bits necesarios en el campo de código.
+ Dos tendencias:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+RISC
+\series default
+ (
+\series bold
+\emph on
+Reduced Instruction Set Computers
+\series default
+\emph default
+): pocas instrucciones, sencillas y que se ejecutan en pocos ciclos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+CISC
+\series default
+ (
+\series bold
+\emph on
+Complex Instruction Set Computers
+\series default
+\emph default
+): muchas instrucciones, complejas y que requieren muchos ciclos de reloj.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Jerarquía de traducción
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las instrucciones de la CPU, llamadas 
+\series bold
+instrucciones máquina
+\series default
+, se almacenan en binario.
+ Programarlas directamente en 
+\series bold
+lenguaje
+\series default
+ o 
+\series bold
+código máquina
+\series default
+ es muy difícil y propenso a errores, por lo que los 
+\series bold
+lenguajes de programación
+\series default
+ representan las instrucciones de forma simbólica.
+ Existen principalmente dos tipos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Lenguaje ensamblador:
+\series default
+ Instrucciones representadas simbólicamente, en ASCII, que se corresponden
+ directamente con instrucciones máquina y datos binarios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Lenguajes de alto nivel:
+\series default
+ Permiten expresar los programas de forma más cercana a la forma de pensar
+ del programador, con variables, tipos de datos, funciones/procedimientos,
+ condiciones, bucles, etc.
+ Existen multitud de paradigmas (imperativo, orientado a objetos, funcional...)
+ y de lenguajes (C, C++, Java, Haskell, ...).
+ El lenguaje C, aun siendo de alto nivel, es más cercano a la máquina, y
+ es el lenguaje nativo de UNIX/Linux.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El programa 
+\series bold
+compilador
+\series default
+ traduce el código en un lenguaje de alto nivel a ensamblador, y el 
+\series bold
+ensamblador
+\series default
+ convierte este código a un 
+\series bold
+fichero objeto
+\series default
+, que contiene:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Segmento de código (
+\family typewriter
+.text
+\family default
+),
+\series default
+ con instrucciones máquina.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Segmento de datos (
+\family typewriter
+.data
+\family default
+),
+\series default
+ con enteros, reales en punto flotante, cadenas de caracteres, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Información de reubicación:
+\series default
+ Para accesos a memoria, saltos, etc.
+ Necesaria a la hora de unir los distintos ficheros objeto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+biblioteca
+\series default
+ (en los apuntes pone 
+\series bold
+librería
+\series default
+ pero es una mala traducción) es un conjunto de módulos de código relacionados
+ que pueden ser usados en distintos programas.
+ Por ejemplo, en C existe una biblioteca estándar con funciones de E/S,
+ funciones matemáticas, etc., pero también existen bibliotecas para cálculo
+ matricial, gráficos en 3D, acceso a redes, etc.
+ Hay dos tipos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Estáticas:
+\series default
+ El código se incluye dentro del fichero ejecutable final.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dinámicas:
+\series default
+ El código no se incluye en el ejecutable, sino que este almacena la información
+ necesaria para cargar dicho código cuando va a ejecutarse.
+ Estas pueden ser usadas por varios ejecutables al mismo tiempo usando el
+ mismo espacio en memoria, y tampoco se desperdicia espacio en disco al
+ no tener que copiarse en cada ejecutable que las use, pero al cambiar el
+ ejecutable de máquina, este puede no funcionar por no tener una biblioteca
+ necesaria.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+enlazador
+\series default
+ o 
+\series bold
+\emph on
+linker
+\series default
+\emph default
+ une los distintos ficheros objeto generados junto con las funciones de
+ bibliotecas estáticas utilizadas, para generar un 
+\series bold
+fichero ejecutable
+\series default
+ final.
+ Entonces el 
+\series bold
+cargador
+\series default
+ o 
+\series bold
+\emph on
+loader
+\series default
+\emph default
+, una parte del SO, lee este fichero del disco, lo ubica en memoria, realiza
+ las transformaciones necesarias y le pasa el control.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Ensamblador de x86-64
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los archivos de código ensamblador están formados por segmentos como el
+ segmento de datos, indicado por 
+\family typewriter
+.data
+\family default
+, y el segmento de código, indicado por 
+\family typewriter
+.text
+\family default
+.
+ En cualquier punto se puede usar una 
+\series bold
+etiqueta
+\series default
+ (identificador seguido de 
+\family typewriter
+:
+\family default
+) para representar una dirección de memoria y referirnos a ella en otra
+ parte del código.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El segmento de datos contiene directivas como 
+\family typewriter
+.long 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\family default
+, que indica un número de 32 bits, o 
+\family typewriter
+.string "
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+"
+\family default
+ que genera una secuencia de caracteres acabada en un byte 0.
+ El segmento de código contiene instrucciones en ensamblador.
+ Sus operandos pueden ser:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Registros:
+\series default
+ Son de acceso muy rápido, al estar en la propia CPU, y contienen valores
+ intermedios de los cálculos.
+ En x86-64, son de 64 bits, y son los siguientes:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+De uso general: 
+\family typewriter
+RAX
+\family default
+, 
+\family typewriter
+RBX
+\family default
+, 
+\family typewriter
+RCX
+\family default
+, 
+\family typewriter
+RDX
+\family default
+, 
+\family typewriter
+R8
+\family default
+–
+\family typewriter
+R15
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Índices: 
+\family typewriter
+RSI
+\family default
+, 
+\family typewriter
+RDI
+\family default
+, para acceder a posiciones de una tabla.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Para la pila: 
+\family typewriter
+RSP
+\family default
+ (puntero de pila), 
+\family typewriter
+RBP
+\family default
+ (puntero base de pila).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Puntero de instrucción: 
+\family typewriter
+RIP
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Registro de estado: 
+\family typewriter
+RFLAGS
+\family default
+, contiene información sobre el estado del procesador y el resultado de
+ la ejecución de instrucciones, y afecta a los saltos condicionales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+También se puede trabajar con menos de 64 bits.
+ Así, 
+\family typewriter
+EAX
+\family default
+ son los 32 bits inferiores de 
+\family typewriter
+RAX
+\family default
+, 
+\family typewriter
+AX
+\family default
+ los 16 bits inferiores de 
+\family typewriter
+EAX
+\family default
+, 
+\family typewriter
+AL
+\family default
+ los 8 bits inferiores y 
+\family typewriter
+AH
+\family default
+ los 8 bits superiores de 
+\family typewriter
+AX
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En ensamblador, se representan con 
+\family typewriter
+%
+\emph on
+nombre_en_minúsculas
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Memoria:
+\series default
+ Hay hasta 
+\begin_inset Formula $2^{64}$
+\end_inset
+
+ celdas de memoria direccionables de 1 byte.
+ Realmente los programas se mueven en un espacio virtual de direcciones
+ que el hardware transforma a direcciones físicas.
+ En x86-64 se puede trabajar muchas veces directamente en memoria, sin pasar
+ por registros, aunque el acceso es más lento.
+ En ensamblador, para hacer re
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+fe
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ren
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+cia a una dirección de memoria, se usa 
+\family typewriter
+\emph on
+dirección
+\emph default
+(
+\emph on
+%reg1
+\emph default
+,
+\emph on
+%reg2
+\emph default
+,
+\emph on
+potencia_de_2
+\emph default
+)
+\family default
+ para acceder a la celda 
+\begin_inset Formula $dirección+\%reg1+\%reg2\cdot potencia\_de\_2$
+\end_inset
+
+, donde la potencia de 2 debe ser pequeña y todos los campos son opcionales.
+ Abreviaturas: 
+\family typewriter
+(
+\emph on
+%reg1
+\emph default
+)
+\family default
+, 
+\family typewriter
+\emph on
+dirección
+\family default
+\emph default
+\SpecialChar endofsentence
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Constantes:
+\series default
+ Números enteros directamente en el código, que en ensamblador se escriben
+ 
+\family typewriter
+$
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\family default
+.
+ Se les suele llamar 
+\series bold
+inmediatos
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A continuación vemos el 
+\series bold
+repertorio de instrucciones
+\series default
+ o ISA (
+\emph on
+Instruction Set Architecture
+\emph default
+) de la arquitectura Intel x86-64, CISC, presente en los procesadores de
+ los PCs de 64 bits.
+ Los objetivos de un ISA son permitir que el diseño del procesador y del
+ compilador sean sencillos, maximizar el rendimiento y minimizar el coste.
+ En el caso de Intel, otro objetivo fue mantener la compatibilidad con procesado
+res anteriores, lo que llevó a soluciones menos elegantes y eficientes pero
+ ayudó a mantener la cuota de mercado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algunos tipos de instrucciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Aritmético-lógicas:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+add
+\family default
+, 
+\family typewriter
+sub
+\family default
+, 
+\family typewriter
+imul
+\family default
+, 
+\family typewriter
+and
+\family default
+, 
+\family typewriter
+or
+\family default
+, 
+\family typewriter
+xor
+\family default
+, ...
+ 
+\family typewriter
+\emph on
+(instr.)
+\emph default
+ 
+\emph on
+src
+\emph default
+, 
+\emph on
+dst
+\family default
+\emph default
+.
+ 
+\begin_inset Formula $dst=dst\circ src$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Incrementos y decrementos:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+inc
+\family default
+, 
+\family typewriter
+dec
+\family default
+.
+ 
+\family typewriter
+\emph on
+(instr.)
+\emph default
+ 
+\emph on
+dst
+\family default
+\emph default
+.
+ 
+\begin_inset Formula $dst=dst\pm1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desplazamiento de bits:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+shr
+\family default
+ (despl.
+ lógico a la der.), 
+\family typewriter
+shl
+\family default
+ (despl.
+ lógico a la izq.), 
+\family typewriter
+sar
+\family default
+ (despl.
+ aritmético a la der.), 
+\family typewriter
+sal
+\family default
+ (despl.
+ aritmético a la izq.) ...
+ 
+\family typewriter
+\emph on
+(instr.)
+\emph default
+ 
+\emph on
+n
+\emph default
+, 
+\emph on
+dst
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+De movimiento de datos:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+mov 
+\emph on
+src
+\emph default
+, 
+\emph on
+dst
+\family default
+\emph default
+.
+ 
+\begin_inset Formula $dst\leftarrow src$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Saltos incondicionales:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+jmp 
+\emph on
+pos
+\family default
+\emph default
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\text{\texttt{RIP}}\leftarrow pos$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Saltos condicionales:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+je
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $=$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+jne
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\neq$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+jg
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $>$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+jge
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\geq$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+jl
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $<$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+jle
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $\leq$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+ja
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $u>$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+jae
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $u\geq$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+jb
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $u<$
+\end_inset
+
+), 
+\family typewriter
+jbe
+\family default
+ (
+\begin_inset Formula $u\leq$
+\end_inset
+
+)...
+ donde 
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ en la notación signfica 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+sin signo
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ 
+\family typewriter
+\emph on
+(instr.)
+\emph default
+ 
+\emph on
+pos
+\family default
+\emph default
+.
+ Si la instrucción anterior es 
+\family typewriter
+cmp 
+\emph on
+a
+\emph default
+, 
+\emph on
+b
+\family default
+\emph default
+, entonces esta hace 
+\begin_inset Formula $\text{\texttt{RIP}}\leftarrow pos$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $bRa$
+\end_inset
+
+ (al revés de lo lógico).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+pila
+\series default
+ es una zona de memoria RAM gestionada como una estructura LIFO (
+\emph on
+Last In First Out
+\emph default
+) con dos operaciones posibles:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Apilar:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+push 
+\emph on
+src
+\family default
+\emph default
+, guarda el contenido de un registro sobre la cima de la pila.
+ Equivale a 
+\family typewriter
+sub $8,%rsp
+\family default
+ + 
+\family typewriter
+mov 
+\emph on
+src
+\emph default
+,(%rsp)
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Desapilar:
+\series default
+ 
+\family typewriter
+pop 
+\emph on
+dst
+\family default
+\emph default
+, extrae lo que hay en la cima de la pila a un registro.
+ Equivale a 
+\family typewriter
+mov (%rsp),
+\emph on
+dst
+\family default
+\emph default
+ + 
+\family typewriter
+add $8,%rsp
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+subrutina
+\series default
+ es una secuencia de instrucciones que recibe (o no) unos parámetros, realiza
+ alguna acción y devuelve (o no) un resultado al código que 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+llamó
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ a la subrutina.
+ Para dar soporte a subrutinas se utiliza la pila, que se divide en 
+\series bold
+marcos de pila
+\series default
+ o 
+\series bold
+\emph on
+stack frames
+\series default
+\emph default
+, formados por:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+8(%rbp)
+\family default
+: Dirección de retorno.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+(%rbp)
+\family default
+: 
+\family typewriter
+%rbp
+\family default
+ del marco de pila anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+-
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+(%rbp)
+\family default
+: Variables locales, valores de registros guardados (usados por la subrutina
+ anterior).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
++
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+(%rsp)
+\family default
+: Argumentos de salida para otras subrutinas (hasta 6 se pasan por registros).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Manejo implícito:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+call 
+\emph on
+sub
+\family default
+\emph default
+: Llama a una subrutina.
+ Equivale a 
+\family typewriter
+push %rip
+\family default
+ + 
+\family typewriter
+jmp 
+\emph on
+sub
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+ret
+\family default
+: Vuelve de una subrutina.
+ Equivale a 
+\family typewriter
+pop %rip
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+leave
+\family default
+: Desapila todo el marco de pila salvo la dirección de retorno y restablece
+ 
+\family typewriter
+%rbp
+\family default
+.
+ Equivale a 
+\family typewriter
+mov %rbp, %rsp
+\family default
+ + 
+\family typewriter
+pop %rbp
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los mnemónicos vistos de instrucciones que admiten parámetros de distintos
+ tamaños (todos salvo saltos y manejo implícito de subrutinas) realmente
+ son versiones generales de otros que son iguales pero se le añade una letra
+ detrás al nombre de la instrucción: 
+\family typewriter
+b
+\family default
+ (byte) 8 bits, 
+\family typewriter
+w
+\family default
+ (word) 16 bits, 
+\family typewriter
+l
+\family default
+ (long) 32 bits y 
+\family typewriter
+q
+\family default
+ (quad) 64 bits.
+ Otros caso es el de, por ejemplo, 
+\family typewriter
+movslq
+\family default
+ (
+\emph on
+Move Signed Long to Quad
+\emph default
+, mover entero con signo de 32 bits a 64).
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Codificación de las instrucciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las instrucciones de x86-64 (CISC) son de longitud variable, mientras que
+ las de MIPS 32 (RISC) son todas de 32 bits.
+ En x86-64, el código de operación es el primer byte, en el que a veces
+ se codifica el registro involucrado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En un fichero objeto, el código se encuentra sin reubicar, de forma que
+ los campos de las instrucciones correspondientes a las direcciones de memoria
+ están vacíos o contienen direcciones relativas.
+ Tras el enlazado y la carga, el programa se dice que se 
+\series bold
+reubica
+\series default
+, es decir, los campos de direcciones de memoria son modificados de acuerdo
+ a la posición de la memoria (virtual) en la que se carga el programa.
+ La memoria virtual es administrada por la 
+\series bold
+unidad de manejo de memoria
+\series default
+ (
+\series bold
+MMU
+\series default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Herramientas de GNU
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El comando 
+\family typewriter
+gcc
+\family default
+ es el compilador GNU de C, el más utilizado en Linux.
+ El comando 
+\family typewriter
+gcc main.c -o main
+\family default
+ compila el archivo 
+\family typewriter
+main.c
+\family default
+ y genera el ejecutable 
+\family typewriter
+main
+\family default
+.
+ Para generar sólo el código en ensamblador, usamos 
+\family typewriter
+gcc main.c -fno-asynchronous-unwind-tables -S -o main.s
+\family default
+, que genera el archivo 
+\family typewriter
+main.s
+\family default
+ en ensamblador, donde 
+\family typewriter
+-S
+\family default
+ indica salida en ensamblador y 
+\family typewriter
+-fno-asynchronous-unwind-tables
+\family default
+ sirve para generar un código bastante más limpio que es más útil para su
+ estudio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La opción 
+\family typewriter
+-c
+\family default
+ indica salida como fichero objeto (sin enlazarlo).
+ Si hacemos 
+\family typewriter
+gcc main.c -c -o main.o
+\family default
+ y luego 
+\family typewriter
+objdump -d main.o
+\family default
+, nos aparece una versión desensamblada del fichero objeto en el que podemos
+ ver cómo este se organiza.
+ A continuación podemos enlazar el fichero objeto con 
+\family typewriter
+gcc main.o -o main
+\family default
+.
+ Entonces podemos usar 
+\family typewriter
+ldd main
+\family default
+ para ver la lista de bibliotecas dinámicas que necesita el programa y la
+ dirección virtual del programa a la que estas son mapeadas.
+ En particular, un programa sencillo necesita 
+\family typewriter
+libc
+\family default
+, la biblioteca estándar de C, y 
+\family typewriter
+linux-vdso
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+linux-x86-64
+\family default
+, que se corresponden con las llamadas al sistema de Linux.
+ La opción 
+\family typewriter
+-static
+\family default
+ de 
+\family typewriter
+gcc
+\family default
+ (
+\family typewriter
+gcc -static main.o -o main
+\family default
+) enlaza solo con bibliotecas estáticas (lo que aumenta considerablemente
+ el tamaño).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La opción 
+\family typewriter
+-g
+\family default
+ añade al ejecutable la información necesaria para depurar el programa (es
+ decir, cargarlo en memoria, reubicado, y ejecutarlo de manera controlada).
+ Entonces podemos usar 
+\family typewriter
+gdb
+\family default
+, el depurador de GNU, llamándolo con 
+\family typewriter
+gdb main
+\family default
+.
+ Este tiene su propio intérprete, en el cual:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+l
+\family default
+ lista el código original.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+disassemble 
+\emph on
+
+\begin_inset Formula $sub$
+\end_inset
+
+
+\family default
+\emph default
+ lista el desensamblado de la subrutina 
+\begin_inset Formula $sub$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+x/
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+bx 
+\begin_inset Formula $tag$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ muestra los 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ primeros bytes a partir de la etiqueta 
+\begin_inset Formula $tag$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+x/
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+w 
+\begin_inset Formula $tag$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ hace lo mismo pero con los 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ primeros 
+\emph on
+words
+\emph default
+ (grupos de 4 bytes).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+b 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ introduce un punto de interrupción (
+\emph on
+breakpoint
+\emph default
+) en la línea 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ del programa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+r
+\family default
+ ejecuta el programa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+p 
+\begin_inset Formula $var$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ muestra el valor de una variable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+c
+\family default
+ continúa la ejecución del programa por donde se dejó.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fc/n6.lyx b/fc/n6.lyx
new file mode 100644
index 0000000..0d8903c
--- /dev/null
+++ b/fc/n6.lyx
@@ -0,0 +1,1436 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures false
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Internet
+\series default
+ es una red compuesta de millones de dispositivos, conocidos como 
+\series bold
+hosts
+\series default
+ o sistemas finales, que se conectan mediante distintos tipos de enlaces
+ con equipos de interconexión.
+ Un ejemplo de red es la RedIris, que conecta universidades y centros de
+ investigación y de
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+sa
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+rro
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+llo españoles.
+ Los 
+\series bold
+hosts
+\series default
+ están en el extremo de la red, y pueden ser ordenadores, PDAs, teléfonos
+ móviles, sensores, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La red se organiza por 
+\series bold
+protocolos
+\series default
+, que definen el formato y orden de mensajes enviados y recibidos entre
+ entidades y las acciones realizadas al enviar o recibir dichos mensajes.
+ Estos se organizan en una arquitectura por 
+\series bold
+capas
+\series default
+, en las que cada capa realiza un conjunto de tareas relacionadas, proporcionand
+o servicios a la capa superior y usando los de la capa inferior.
+ Las entidades en la misma capa pero distintos hosts se llaman 
+\series bold
+procesos pares
+\series default
+, y pueden comunicarse mediante unos protocolos.
+ Llamamos 
+\series bold
+arquitectura de red
+\series default
+ al conjunto de capas y de protocolos usados en cada una.
+ Las capas más importantes, de abajo a arriba, son:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Física:
+\series default
+ Transmisión de bits sobre el medio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Enlace:
+\series default
+ Transferencia de datos entre elementos conectados directamente.
+ Protocolos como 
+\series bold
+PPP
+\series default
+ (
+\emph on
+Point to Point Protocol
+\emph default
+), 
+\series bold
+Ethernet
+\series default
+ (IEEE 802.3), 
+\series bold
+WiFi
+\series default
+ (IEEE 802.11) o 
+\series bold
+HLDC
+\series default
+ (
+\emph on
+High-Level Data link Control
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Red:
+\series default
+ Encaminamiento de paquetes del origen al destino.
+ Protocolo 
+\series bold
+IP
+\series default
+ (
+\emph on
+Internet Protocol
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Transporte:
+\series default
+ Transferencia de información entre procesos.
+ Proporciona una forma de distinguir aplicaciones dentro de una misma máquina.
+ Protocolos 
+\series bold
+TCP
+\series default
+ (
+\emph on
+Transmission Control Protocol
+\emph default
+) y 
+\series bold
+UDP
+\series default
+ (
+\emph on
+User Datagram Protocol
+\emph default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Aplicación:
+\series default
+ Transferencia de archivos, e-mail, web...
+ Protocolos como 
+\series bold
+FTP
+\series default
+ (
+\emph on
+File Transfer Protocol
+\emph default
+), 
+\series bold
+HTTP
+\series default
+ (
+\emph on
+HyperText Transfer Protocol
+\emph default
+), 
+\series bold
+SMTP
+\series default
+ (
+\emph on
+Simple Mail Transfer Protocol
+\emph default
+), 
+\series bold
+POP3
+\series default
+ (
+\emph on
+Post Office Protocol
+\emph default
+), 
+\series bold
+BitTorrent
+\series default
+...
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Medios de transmisión
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Par trenzado:
+\series default
+ Dos hilos de cobre dispuestos de forma helicoidal y cubiertos por un aislante
+ de plástico.
+ Permite frecuencias de hasta 
+\begin_inset Formula $\unit[250]{MHz}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cable coaxial:
+\series default
+ Núcleo de cobre recubierto por un aislante envuelto a su vez en un conductor
+ externo.
+ Permite mayor distancia de transmisión e inmunidad al ruido, con frecuencias
+ de hasta 
+\begin_inset Formula $\unit[900]{MHz}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Fibra óptica:
+\series default
+ Núcleo de fibra de vidrio (mayor densidad) recubierto de cristal o plástico
+ (menor densidad).
+ La presencia o ausencia de luz codifica un bit.
+ Permite una mayor velocidad de transmisión (varios GHz y por tanto varios
+ Gbps), distancia e inmunidad al ruido, además de tener menor coste.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Redes de acceso
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para acceso residencial:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Acceso vía módem:
+\series default
+ Hasta 
+\begin_inset Formula $\unit[56]{kbps}$
+\end_inset
+
+ de ancho de banda, y no se puede hablar por teléfono mientras se usa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+DSL
+\series default
+ (
+\emph on
+Digital Suscriber Line
+\emph default
+): Se basa en una línea dedicada hasta la central telefónica, permitiendo
+ combinar datos y voz.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+ADSL
+\series default
+ (
+\emph on
+Asymmetric DSL
+\emph default
+): Modalidad donde la velocidad de bajada y la de subida son distintas,
+ con hasta 
+\begin_inset Formula $\unit[3,5]{Mbps}$
+\end_inset
+
+ en la línea ascendente (hacia Internet) y 
+\begin_inset Formula $\unit[24]{Mbps}$
+\end_inset
+
+ en la descendente (hacia el host).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+DOCSIS
+\series default
+ (
+\emph on
+Data Over Cable Service Interface Specification
+\emph default
+) sobre 
+\series bold
+HFC
+\series default
+ (
+\emph on
+Hybrid Fibre Coaxial
+\emph default
+).
+ Une el hogar al router del ISP mediante cable y fibra, y al igual que ADSL,
+ es asimétrico.
+ El enlace hacia el router es compartido entre hogares, y estas redes son
+ desplegadas por compañías de cable y TV.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Suele haber un módem ADSL o de cable, un router (normalmente con cortafuegos
+ y NAT), una red Ethernet y un punto de acceso WiFi, si bien varios de estos
+ elementos suelen agruparse.
+ Para acceso institucional, suele haber una red de área local conocida como
+ 
+\series bold
+intranet
+\series default
+, conectada a un router que conecta a Internet.
+ En ella se usa:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Ethernet:
+\series default
+ De 10 o 
+\begin_inset Formula $\unit[100]{Mbps}$
+\end_inset
+
+ o 1 o 
+\begin_inset Formula $\unit[10]{Gbps}$
+\end_inset
+
+.
+ Suele usarse sobre par trenzado, y los hosts suelen conectarse con conmutadores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+WiFi:
+\series default
+ 802.11g (
+\begin_inset Formula $\unit[54]{Mbps}$
+\end_inset
+
+), 802.11n (
+\begin_inset Formula $\unit[600]{Mbps}$
+\end_inset
+
+) u 802.11ac (
+\begin_inset Formula $\unit[1]{Gbps}$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un ejemplo de red es la RedIris (red académica española), que comunica las
+ universidades y centros de I+D españoles.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Direccionamiento IP
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En IPv4 (versión 4), cada interfaz de red tiene asignada una dirección IP
+ de 32 bits, que se expresa como 4 números entre 0 y 255 separados por puntos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Internet lo forma una serie de subredes interconectadas, y cuando un host
+ desea enviar información a otro, lo que hace mediante 
+\series bold
+paquetes
+\series default
+ IP, esta pasa normalmente a través de una serie de routers interconectados,
+ que deben decidir el siguiente router por el que enviarlo.
+ Hay dos formas de trabajar:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Conmutación de circuitos:
+\series default
+ Se establece un circuito por cada conexión, permitiendo la entrega en orden
+ y con calidad e servicio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Conmutación de paquetes:
+\series default
+ Cada paquete se encamina por separado, por lo que la entrega puede ser
+ fuera de orden y no garantiza la calidad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cualquier modalidad requiere 
+\series bold
+algoritmos de encaminamiento
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En 
+\series bold
+IPv4
+\series default
+ (versión 4), cada interfaz de red tiene asignada una dirección IP de 32
+ bits, que suele expresarse como 4 números de 0–255 separados por puntos.
+ Así, los routers suelen tener varias interfaces de red, mientras que los
+ hosts solo suelen tener una.
+ Una dirección IP se compone de dos partes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dirección de red
+\series default
+ (
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+netid
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+): Los 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ bits más significativos.
+ El tamaño es variable, y una dirección IP de la forma 
+\begin_inset Formula $xxx.xxx.xxx.xxx/nn$
+\end_inset
+
+ indica que la dirección de red ocupa 
+\begin_inset Formula $nn$
+\end_inset
+
+ bits.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dirección de host
+\series default
+ (
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+hostid
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+): El resto de bits.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Anteriormente existían 4 tipos de redes (A, B, C y D) dependiendo del tamaño
+ de la dirección de red, pero actualmente existe el 
+\series bold
+CIDR
+\series default
+ (
+\emph on
+Classless InterDomain Routing
+\emph default
+) que permite que el tamaño de la dirección de red sea arbitrario.
+ La 
+\series bold
+máscara de red
+\series default
+ es un número (con forma de dirección IP) que se forma tomando un netid
+ formado solo por 1's y un hostid formado solo por 0's.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El organismo encargado de asignar direcciones de red es el 
+\series bold
+ICANN
+\series default
+ (
+\emph on
+Internet Corporation for Assigned Names and Numbers
+\emph default
+).
+ Cuando dos hosts están en la misma red, pueden comunicarse directamente.
+ En otro caso, el host origen envía el paquete al 
+\series bold
+router
+\series default
+ por defecto (cuya dirección IP debe saber), que actúa como nexo de unión,
+ y la dirección IP del paquete es la del host destino.
+ Direcciones especiales:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dirección de red:
+\series default
+ El hostid está formado solo por 0's.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dirección de 
+\emph on
+broadcast
+\series default
+\emph default
+ (difusión): El hostid está formado solo por 1's, y el paquete llega a todos
+ los miembros de la red.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+DHCP
+\series default
+ (
+\emph on
+Dynamic Host Configuration Protocol
+\emph default
+) permite configurar hosts de forma dinámica, de forma que el router asigna
+ al host una dirección IP, máscara de subred y dirección del router por
+ defecto.
+ Además, la mayoría de routers pueden reenviar las solicitudes de configuración
+ DHCP, por lo que no es necesario tener servidores DHCP en cada subred.
+ Esquema general:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Descubrimiento:
+\series default
+ El host envía una solicitud de descubrimiento DHCP por su interfaz.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Oferta:
+\series default
+ El router responde informando de su IP y ofreciendo otra, con fecha de
+ caducidad pero renovable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Solicitud:
+\series default
+ El host solicita usar dicha IP.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Confirmación:
+\series default
+ El router confirma que el host pueda usarla.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La limitación en el rango de direcciones IP ha llevado a la creación del
+ protocolo 
+\series bold
+IPv6
+\series default
+ (IP versión 6), que permite asignar 
+\begin_inset Formula $2^{128}$
+\end_inset
+
+ direcciones, reduce el tamaño de las tablas de enrutamiento, simplifica
+ el protocolo para permitir el procesamiento más rápido de paquetes, proporciona
+ seguridad al incluir cabeceras de autenticación y confidencialidad, presta
+ más atención al tipo de servicio (especialmente al tiempo real), posibilita
+ que un host sea móvil sin cambiar su dirección y elimina la sobrecarga
+ del NAT al haber direcciones suficientes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+TCP y UDP
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las distintas capas de una arquitectura pueden ofrecer distintos tipos de
+ servicio:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Servicio orientado a conexión:
+\series default
+ Hay un establecimiento de conexión, una fase de transmisión de datos y
+ una liberación de la conexión, de forma que los datos se entregan en orden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Servicio no orientado a conexión:
+\series default
+ Cada mensaje se procesa de forma independiente, incluyendo en cada uno
+ la información de direccionamiento, y no se garantiza la entrega en orden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Servicio confirmado:
+\series default
+ El emisor tiene constancia de la recepción correcta de los datos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Servicio no confirmado:
+\series default
+ No hay tal confirmación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El término 
+\series bold
+QoS
+\series default
+ (
+\emph on
+Quality of Service
+\emph default
+) se refiere a las tecnologías que garantizan la transmisión de datos en
+ un tiempo dado, y es importante para vídeo y voz.
+ En la capa de transporte se tienen dos protocolos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+TCP:
+\series default
+ Orientado a conexión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+UDP:
+\series default
+ No orientado a conexión, para cuando prima el tiempo de llegada de los
+ datos sobre la posible existencia de fallos en la transmisión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Estos servicios permiten además definir un 
+\series bold
+puerto
+\series default
+ de origen y uno de destino, que identifican a los distintos procesos existentes
+ en los hosts que se comunican.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por otro lado, dada la limitación en el rango de direcciones IP, y que normalmen
+te en entornos domésticos solo se asigna una IP pública, en estos se suele
+ usar 
+\series bold
+NAT
+\series default
+ (Network Address Translation).
+ Los hosts usan direcciones IP en una serie de 
+\series bold
+rangos de direcciones privadas
+\series default
+ definidos, que para el exterior se traducen en una única IP pública, pues
+ el router se encarga de la conversión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cuando un host envía información (por TCP o UDP) a una dirección IP pública,
+ lo hace con un puerto de origen y uno de destino.
+ El router entonces hace corresponder un puerto de su IP pública al conjunto
+ de la IP privada y el puerto de origen, y envía entonces la información
+ a la IP y el puerto de destino desde su propia IP pública y el puerto que
+ ha asignado.
+ Cuando recibe la respuesta, le llega con el puerto asignado como puerto
+ de destino, de forma que puede redirigir la información a la IP privada
+ y puerto correspondientes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Capa de aplicación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Existen dos modelos mediante los cuales los hosts pueden conectarse en la
+ capa de aplicación:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Modelo cliente-servidor:
+\series default
+ Un servidor, siempre conectado, posiblemente replicado y con dirección
+ IP fija, atiende solicitudes de los clientes, que no se comunican entre
+ sí directamente y que posiblemente tengan direcciones IP dinámicas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+\emph on
+Peer to peer
+\emph default
+ (P2P):
+\series default
+ Los 
+\emph on
+peers
+\emph default
+ se comunican entre sí directamente.
+ Pueden estar conectados intermitentemente y tener direcciones IP dinámicas.
+ Este es un esquema muy escalable, pero difícil de gestionar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+BitTorrent
+\series default
+ es un sistema de distribución de ficheros P2P.
+ Está formado por una serie de 
+\series bold
+\emph on
+trackers
+\series default
+\emph default
+, que registran a los 
+\emph on
+peers
+\emph default
+ que participan en un 
+\emph on
+torrent
+\emph default
+, y 
+\series bold
+\emph on
+torrents
+\series default
+\emph default
+, grupos de 
+\emph on
+peers
+\emph default
+ que intercambian partes de un fichero.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El protocolo 
+\series bold
+DNS
+\series default
+ (
+\emph on
+Domain Name System
+\emph default
+) es un servicio de traducción de nombres de host a direcciones IP, implementada
+ como una base de datos distribuida mediante una jerarquía de servidores
+ DNS y un protocolo de consulta a nivel de aplicación sobre UDP en el puerto
+ 53.
+ Los hosts tienen configurado un servidor DNS primario, al que realizan
+ las consultas, y si no obtienen respuesta consultan al servidor DNS secundario.
+ Este servicio también permite realizar traducciones inversas, gestionar
+ alias (distintos nombres para la misma máquina) y otras acciones relacionadas
+ con el correo electrónico o balanceo de carga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+FTP
+\series default
+ (
+\emph on
+File Transfer Protocol
+\emph default
+) es un protocolo cliente-servidor utilizado para transferencia de archivos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+\emph on
+World Wide Web
+\series default
+\emph default
+ es el conjunto de servidores web de todo el mundo.
+ Una página web está formada por objetos como páginas HTML, imágenes, 
+\emph on
+applets
+\emph default
+ Java, archivos de audio...
+ en la cual una página HTML base incluye referencias a otros objetos.
+ Cada objeto está identificado por una 
+\series bold
+URL
+\series default
+ (
+\emph on
+Uniform Resource Locator
+\emph default
+), cuya sintaxis básica es: 
+\family typewriter
+\emph on
+protocolo
+\emph default
+://
+\emph on
+nombre_de_host
+\emph default
+/
+\emph on
+ruta_de_objeto
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se usa el protocolo 
+\series bold
+HTTP
+\series default
+ (
+\emph on
+HyperText Transfer Protocol
+\emph default
+), en el que el cliente solicita al servidor objetos web, los recibe y los
+ muestra.
+ Se basa en TCP, y habitualmente el servidor escucha en el puerto 80.
+ Existen dos tipos de mensajes HTTP: 
+\emph on
+request
+\emph default
+ y 
+\emph on
+response
+\emph default
+, basados principalmente en ASCII.
+ Ejemplo:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="35col%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="60col%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+HTTP 
+\emph on
+request
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+HTTP 
+\emph on
+response
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+GET /somedir/page.html HTTP/1.1
+\family default
+ (línea de solicitud: GET, POST...)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Host: www.someschool.edu
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+User-agent: Mozilla/4.0
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Connection: close
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Accept-language: fr
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+(cabecera)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+HTTP/1.1 200 OK
+\family default
+ (línea de estado)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Connection close
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Date: Thu, 06 Aug 2008 12:00:15 GMT
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Server: Apache/1.3.0 (Unix)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Last-Modified: Mon, 22 Jun 2008
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+ETag: "7ec0a8-141-4912c4c727280"
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Accept-Ranges: bytes
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Content-Length: 321
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Content-Type: text/html; charset=es_ES.UTF-8
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+(cabecera)
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Phantom VPhantom
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+...
+
+\family default
+ (datos solicitados)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+correo electrónico
+\series default
+ funciona mediante los siguientes componentes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Agentes de usuario:
+\series default
+ Lectores de correo, usados por los clientes para editar, enviar y recibir
+ mensajes.
+ Eudora, Outlook, elm, Mozilla Thunderbird...
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Servidores de correo:
+\series default
+ Mantienen los mensajes que llegan a los usuarios (anteriormente solo los
+ que no se habían enviado ya a estos), y también se encargan del envío.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Protocolos:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+SMTP
+\series default
+ (
+\emph on
+Simple Mail Transfer Protocol
+\emph default
+): Para el envío de mensajes, tanto desde los agentes como entre servidores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+POP
+\series default
+ (
+\emph on
+Post Office Protocol
+\emph default
+): El agente se conecta con el servidor, se autentica y descarga los mensajes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+IMAP
+\series default
+ (
+\emph on
+Internet Message Access Protocol
+\emph default
+): Más complejo que POP, permite manipular mensajes sobre el servidor.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+HTTP:
+\series default
+ La mayoría de servidores de correo tienen una interfaz web.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Así, si Alicia quiere mandar un mensaje a Bob, su agente envía un mensaje
+ a su servidor de correo con SMTP, y este queda a la cola para ser enviado.
+ Entonces el servidor de Alicia manda el mensaje por SMTP al de Bob, que
+ lo coloca en su buzón, de forma que Bob puede acceder mediante su agente
+ con POP o IMAP.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Comandos de Linux
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+ifconfig
+\family default
+: 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Interface configure
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ Para configurar la interfaz 
+\family typewriter
+eth0
+\family default
+ de un host con dirección 
+\family typewriter
+192.168.0.21/24
+\family default
+, 
+\family typewriter
+sudo ifconfig eth0 192.168.0.21 netmask 255.255.255.0 up
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+sudo ifconfig eth0 192.168.0.21/24 up
+\family default
+ (realmente no hace falta el 
+\family typewriter
+up
+\family default
+ porque es la opción por defecto).
+ Para apagarla, 
+\family typewriter
+sudo ifconfig eth0 down
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+route
+\family default
+: Para establecer el router por defecto, 
+\family typewriter
+sudo route add default gw 192.168.0.1 eth0
+\family default
+.
+ Para visualizar las tablas de enrutamiento de nuestro sistema, 
+\family typewriter
+route -n
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+dhclient 
+\emph on
+interfaz
+\family default
+\emph default
+: Configura una interfaz de red con DHCP.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+ping 
+\emph on
+servidor
+\family default
+\emph default
+: Envía paquetes a un servidor esperando a que responda, como herramienta
+ de diagnóstico.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+host
+\family default
+: Para obtener la IP correspondiente a un nombre de host, junto con posible
+ información como alias, 
+\family typewriter
+host 
+\emph on
+nombre_host
+\family default
+\emph default
+.
+ Para realizar una consulta inversa, 
+\family typewriter
+host 
+\emph on
+dir_IP
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+nm-tool
+\family default
+: Muestra la lista de servidores DNS configurados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+telnet 
+\emph on
+servidor
+\emph default
+ [
+\emph on
+puerto
+\emph default
+]
+\family default
+: Abre conexiones TCP.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+netstat
+\family default
+: 
+\family typewriter
+-net
+\family default
+ muestra todas las conexiones TCP abiertas; 
+\family typewriter
+-a
+\family default
+ muestra todas las co
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ne
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+xio
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+nes y puertos TCP y UDP incluyendo las que están 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+en escucha
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, y 
+\family typewriter
+-n
+\family default
+ muestra los puertos con su identificación numérica y no de texto.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fuvr1/n.lyx b/fuvr1/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..7998eb4
--- /dev/null
+++ b/fuvr1/n.lyx
@@ -0,0 +1,188 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize a5paper
+\use_geometry true
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\leftmargin 0.2cm
+\topmargin 0.7cm
+\rightmargin 0.2cm
+\bottommargin 0.7cm
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle empty
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Funciones de una variable real I
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2017}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Análisis Matemático I, J.
+ M.
+ Mira & S.
+ Sánchez-Pedreño.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Funciones reales de una variable real: Notas de clase, Bernardo Cascales,
+ Luis Oncina & Salvador Sánchez-Pedreño (Curso 2017–18).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Números reales y complejos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Sucesiones numéricas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Continuidad de funciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fuvr1/n1.lyx b/fuvr1/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..c26556f
--- /dev/null
+++ b/fuvr1/n1.lyx
@@ -0,0 +1,2278 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
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+\font_math "auto" "auto"
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+\output_sync 0
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+\paperfontsize default
+\spacing single
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+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
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+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
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+\quotes_style swiss
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+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Definición axiomática de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es el cuerpo conmutativo totalmente ordenado y completo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Cuerpo conmutativo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Conjunto con dos operaciones internas: suma (
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}\times\mathbb{K}\rightarrow\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto x+y$
+\end_inset
+
+) y producto (
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}\times\mathbb{K}\rightarrow\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto x\cdot y$
+\end_inset
+
+), con las siguientes propiedades: 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Asociativa de la suma: 
+\series default
+
+\begin_inset Formula $a+(b+c)=(a+b)+c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Conmutativa de la suma: 
+\begin_inset Formula $a+b=b+a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Elemento neutro para la suma
+\series default
+ o 
+\series bold
+nulo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists!0\in\mathbb{K}:\forall a\in\mathbb{K},0+a=a$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Pongamos que existe otro 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $0'$
+\end_inset
+
+), entonces 
+\begin_inset Formula $0=0+0'=0'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Inverso para la suma
+\series default
+ u 
+\series bold
+opuesto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists!a':a+a'=0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $a':=-a$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Pongamos que existe otro opuesto 
+\begin_inset Formula $a''$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a'=0+a'=(a''+a)+a'=a''+(a+a')=a''+0=a''$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Asociativa del producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Conmutativa del producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot b=b\cdot a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Elemento neutro para el producto
+\series default
+ o 
+\series bold
+unidad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists!1\in\mathbb{K}:\forall a\in K,1\cdot a=a$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Pongamos que existe otro 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $1'$
+\end_inset
+
+), entonces 
+\begin_inset Formula $1=1\cdot1'=1'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Inverso para el producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K}\backslash\{0\},\exists!a'':a\cdot a''=1$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $a'':=\frac{1}{a}:=a^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Pongamos que existe otro 
+\begin_inset Formula $a''$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $a'$
+\end_inset
+
+), entonces 
+\begin_inset Formula $a''=1\cdot a''=(a'\cdot a)\cdot a''=a'\cdot(a\cdot a'')=a'\cdot1=a'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Distributiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí podemos deducir que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a=b\iff a-b=0$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $b\neq0\implies(a=b\iff a\cdot b^{-1}=1)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+a=b\iff a+(-b)=b+(-b)\iff a-b=0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+b\neq0\implies\exists b^{-1}\implies(a=b\iff a\cdot b^{-1}=b\cdot b^{-1}=1)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\cdot0=0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+a\cdot0+0=a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0\implies-a\cdot0+a\cdot0=-a\cdot0+a\cdot0+a\cdot0\implies0=a\cdot0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(-a)\cdot b=-(ab)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(-1)\cdot a=-a$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+(-a)\cdot b+a\cdot b=(-a+a)\cdot b=0\cdot b=0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+(-1)\cdot a=-(1\cdot a)=-a
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Totalmente ordenado
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aquel con relación binaria 
+\begin_inset Formula $\leq$
+\end_inset
+
+ con las siguientes propiedades: 
+\begin_inset Formula $\forall x,y,z\in\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Reflexiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $x\leq x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Antisimétrica:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $x\leq y\land y\leq x\iff x=y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Transitiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $x\leq y\land y\leq z\implies x\leq z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Orden total:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $x\leq y\lor y\leq x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $x\leq y\implies x+z\leq y+z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $x\leq y\land0\leq z\implies x\cdot z\leq y\cdot z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una relación binaria que cumple las propiedades 1–3 se denomina de 
+\series bold
+orden.
+
+\series default
+ Si también cumple (4), de 
+\series bold
+orden total.
+
+\series default
+ El conjunto de todas definen un 
+\series bold
+cuerpo totalmente ordenado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Notación: 
+\begin_inset Formula $x<y\iff y>x\iff x\leq y\land x\neq y$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $x\geq y\iff y\leq x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos deducir que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $c<0\iff-c>0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+c<0\iff c+(-c)<-c\iff0<-c
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\leq b\land c\leq d\implies a+c\leq b+d$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+a\leq b\implies a+c\leq b+c\\
+c\leq d\implies b+c\leq b+d
+\end{array}\implies a+c\leq b+d
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\leq b\iff-a\geq-b$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+a\leq b\iff a+(-a)+(-b)\leq b+(-b)+(-a)\iff-b\leq-a
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $c<0\implies(a\leq b\iff ca\geq cb)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+c<0\implies-c>0\implies(-c)a\leq(-c)b\implies-(ca)\leq-(cb)\implies ca\geq cb
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\neq0\implies a\cdot a>0$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $1\neq0\implies1\geq0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+a\cdot a\neq0;\ \begin{cases}
+a\geq0 & \implies a\cdot a\geq a\cdot0=0\\
+a\leq0 & \implies a\cdot a\geq a\cdot0=0
+\end{cases}\implies a\cdot a>0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+0\neq1\land1=1\cdot1\implies1>0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a>0\iff a^{-1}>0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Supongamos 
+\begin_inset Formula $a^{-1}\leq0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a>0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, 
+\begin_inset Formula $1=a\cdot a^{-1}\leq0$
+\end_inset
+
+.
+ Pero 
+\begin_inset Formula $1\nleq0\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $b>0\implies(a\leq b\implies a^{-1}\leq b^{-1})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+a\geq b\implies a^{-1}\cdot a\geq b\cdot a^{-1}\implies1\geq b\cdot a^{-1}\implies b^{-1}\geq b^{-1}(b\cdot a^{-1})=a^{-1}\implies b^{-1}\geq a^{-1}
+\]
+
+\end_inset
+
+El recíproco es cierto si 
+\begin_inset Formula $a>0$
+\end_inset
+
+ también, pues en el último paso multiplicaríamos por 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Completo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aquel que cumple el 
+\series bold
+axioma del supremo:
+\series default
+ todo subconjunto no vacío de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ acotado superiormente tiene supremo.
+ Un conjunto 
+\begin_inset Formula $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ está acotado superiormente si 
+\begin_inset Formula $\exists M\in\mathbb{R}:\forall a\in A,a\leq M$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es cota superior de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es el supremo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\alpha=\sup A$
+\end_inset
+
+) si es su menor cota superior, y cumple que 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists a\in A:\alpha-\varepsilon<a\leq\alpha$
+\end_inset
+
+.
+ Cuando 
+\begin_inset Formula $\alpha\in A$
+\end_inset
+
+, se le llama también máximo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Igualmente, un subconjunto 
+\begin_inset Formula $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ está acotado inferiormente si 
+\begin_inset Formula $\exists M\in\mathbb{R}:\forall a\in A,M\leq a$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es cota inferior de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es el ínfimo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\alpha=\inf A$
+\end_inset
+
+) si es su mayor cota inferior.
+ Todo cuerpo que verifica el axioma del supremo también cumple que todo
+ subconjunto no vacío acotado inferiormente tiene ínfimo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ está acotado inferiormente por 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $-A=\{-a\}_{a\in A}$
+\end_inset
+
+ está acotado superiormente por 
+\begin_inset Formula $-\alpha$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ es su supremo, entonces 
+\begin_inset Formula $-\beta$
+\end_inset
+
+ será el ínfimo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Otras propiedades de los números (
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un subconjunto 
+\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+ inductivo
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $1\in I$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\in I\implies n+1\in I$
+\end_inset
+
+.
+ Todo cuerpo o intersección de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo.
+ Ahora tomemos el 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+bicho
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\bigcap\{I:I\text{ es un conjunto inductivo de }\mathbb{R}\}$
+\end_inset
+
+, la intersección de todos los conjuntos inductivos y por tanto el más pequeño
+ de ellos.
+ Así, el conjunto de 
+\series bold
+números naturales
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}:=\text{bicho}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos definir 
+\begin_inset Formula $2=1+1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $3=2+1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $4=3+1$
+\end_inset
+
+, etc.
+ Propiedades 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+obvias
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ de los naturales:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall n<1,n\notin\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},\nexists x\in\mathbb{N}:n<x<n+1$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Para 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+: Suponemos 
+\begin_inset Formula $\exists r\in\mathbb{N}:1<r<2=1+1$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $S=\{n\in\mathbb{N}:1<n<2\}\neq\emptyset\land r\in s$
+\end_inset
+
+.
+ Sabemos que 
+\begin_inset Formula $1\in\mathbb{N}\backslash S$
+\end_inset
+
+.
+ Consideremos un número 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}\backslash S$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $m\leq1\lor m\geq2$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{cc}
+n\leq1\implies & n=1\implies n+1=2\in\mathbb{N}\backslash S\\
+n\geq2\implies & n+1\geq2+1=3,\,n+1\in\mathbb{N}\backslash S
+\end{array}\implies\mathbb{N}\backslash S=\mathbb{N}\implies S=\emptyset
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Demostrar resto de propiedades cuando las estudiemos, si no como ejercicio.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall n,m\in\mathbb{N},n+m\in\mathbb{N}\land n\cdot m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall n,m\in\mathbb{N},m>n\implies\exists k\in\mathbb{N}:m=n+k$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}:=\{0\}\cup\{n\in\mathbb{R}:n\in\mathbb{N}\text{ o }-n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}:=\{m\cdot n^{-1}:m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Método de inducción
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Método de demostración basado en definir un conjunto 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ que cumpla la propiedad 
+\begin_inset Formula $P(n)$
+\end_inset
+
+ a demostrar en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y demostrar que es inductivo.
+ Como 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ es el conjunto inductivo más pequeño, tenemos 
+\begin_inset Formula $S=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Para demostrar esto:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Comprobamos que 
+\begin_inset Formula $P(1)$
+\end_inset
+
+ es verdad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Demostramos que 
+\begin_inset Formula $P(n)\implies P(n+1)$
+\end_inset
+
+.
+ Para ello, demostramos 
+\begin_inset Formula $P(n+1)$
+\end_inset
+
+ tomando como propiedad 
+\begin_inset Formula $P(n)$
+\end_inset
+
+ (la 
+\series bold
+hipótesis de inducción
+\series default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un número natural 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+, un conjunto 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\{n\in\mathbb{N}:n\geq N\}\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ nos sirve para realizar demostraciones para los naturales a partir de un
+ número arbitrario.
+ Por último, la 
+\series bold
+versión fuerte
+\series default
+ del método de inducción nos permite definir 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $1\in S$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $1,2,\dots,n\in S\implies n+1\in S$
+\end_inset
+
+, y entonces 
+\begin_inset Formula $S=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+De esta forma podemos demostrar el 
+\series bold
+Teorema Fundamental de la Aritmética
+\series default
+, que nos dice que todo número entero 
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+ es primo o producto de primos.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A=\{2\leq n\in\mathbb{N}:n\text{ cumple el Teorema Fund. de la Aritmética}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Sabemos que 
+\begin_inset Formula $2\in A$
+\end_inset
+
+, y queremos demostrar que, si tenemos un 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $2,3,\dots,n\in A$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $n+1\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, o bien 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+ es primo, en cuyo caso 
+\begin_inset Formula $n+1\in A$
+\end_inset
+
+, o no lo es, pero entonces 
+\begin_inset Formula $\exists p,q\in\mathbb{N}:1<p,q<n+1:p\cdot q=n+1$
+\end_inset
+
+, y como hemos supuesto que 
+\begin_inset Formula $2,3,\dots,n\in A$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $p,q\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ son primos o producto de primos, 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+ también lo es, por lo que 
+\begin_inset Formula $n+1\in A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Propiedad arquimediana
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ cumple la 
+\series bold
+propiedad arquimediana:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall0<y,x\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}:x<ny$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ De no ser así, 
+\begin_inset Formula $A:=\{ny:n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+ estaría acotado superiormente por 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\alpha:=\sup A$
+\end_inset
+
+; tendríamos que 
+\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},ny\leq\alpha$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, 
+\begin_inset Formula $\alpha-y$
+\end_inset
+
+ no sería cota superior de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\alpha-y<n_{0}y$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\alpha<(n_{0}+1)y$
+\end_inset
+
+, lo que contradice el hecho de que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ esté acotado superiormente por 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ no está acotado superiormente, y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ no está acotado superior ni inferiormente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Principio de la buena ordenación:
+\series default
+ Todo subconjunto no vacío 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\series bold
+primer elemento
+\series default
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ supongamos que 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ no tuviera primer elemento y sea 
+\begin_inset Formula $B:=\mathbb{N}\backslash A$
+\end_inset
+
+ el complementario de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $1\notin A$
+\end_inset
+
+, pues de lo contrario tendría primer elemento; por tanto 
+\begin_inset Formula $1\in B$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $1,\dots,n\in B$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $n+1\in B$
+\end_inset
+
+, pues de lo contrario tendríamos que 
+\begin_inset Formula $n+1\in A$
+\end_inset
+
+ sería el primer elemento.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $B=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+parte entera
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $[x]$
+\end_inset
+
+ al único 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ que verifica 
+\begin_inset Formula $m\leq x<m+1$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Demostremos que existe.
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $x\geq1$
+\end_inset
+
+.
+ Aplicando la propiedad arquimediana a 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+, se tiene que el conjunto 
+\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}:n>x\}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, por lo que tiene un primer elemento 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Si tomamos 
+\begin_inset Formula $m:=k-1$
+\end_inset
+
+ obtenemos el resultado.
+ La unicidad se debe a que no existe ningún número natural entre 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+ y, por inducción, tampoco entre 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m+1$
+\end_inset
+
+ para ningún 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí podemos obtener que 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+denso
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, es decir, que si 
+\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists r\in\mathbb{Q}:x<r<y$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Por la propiedad arquimediana 
+\begin_inset Formula $\exists n\in\mathbb{N}:1<n(y-x)$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{n}<y-x$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $m:=[nx]$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $m\leq nx<m+1$
+\end_inset
+
+, por lo que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{m}{n}\leq x<\frac{m+1}{n}=\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\leq x+\frac{1}{n}<x+(y-x)=y
+\]
+
+\end_inset
+
+Tomamos 
+\begin_inset Formula $r=\frac{m+1}{n}$
+\end_inset
+
+ para obtener el resultado buscado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Raíces cuadradas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $x=y^{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+raíz cuadrada
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $-y$
+\end_inset
+
+ también lo es, y 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ no puede tener más raíces cuadradas.
+ Definimos
+\begin_inset Formula 
+\[
+\sqrt{x}:=\sup\{0\leq r\in\mathbb{Q}:r^{2}<x\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos 
+\begin_inset Formula $\exists p,q\in\mathbb{N}:\frac{p^{2}}{q^{2}}=2$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$
+\end_inset
+
+ irreducible.
+ Tenemos que 
+\begin_inset Formula $p^{2}=2q^{2}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $p^{2}$
+\end_inset
+
+ es par.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ debe ser par porque si fuera 
+\begin_inset Formula $p=2k+1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p^{2}=4k^{2}+4k+1$
+\end_inset
+
+ sería impar.
+ Sea pues 
+\begin_inset Formula $2p':=p$
+\end_inset
+
+ (con 
+\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+).
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $4(p')^{2}=2q^{2}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $2(p')^{2}=q^{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\exists q'\in\mathbb{N}:q=2q'$
+\end_inset
+
+, lo que contradice el hecho de que 
+\begin_inset Formula $p/q$
+\end_inset
+
+ sea irreducible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+La siguiente demostración usa la fórmula 
+\begin_inset Formula $(1+\varepsilon)^{n}<1+3^{n}\varepsilon\forall n\in\mathbb{N},0<\varepsilon<1$
+\end_inset
+
+, que demostraremos por inducción.
+ Para 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+ tenemos que 
+\begin_inset Formula $1+\varepsilon<1+3\varepsilon=1+3\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, si se cumple para cierto 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, podemos probar que se cumple para 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+1+3^{n+1}\varepsilon=1+3\cdot3^{n}\varepsilon=3\cdot(1+3^{n}\varepsilon)-2>3\cdot(1+\varepsilon)^{n}-2\overset{?}{>}(1+\varepsilon)^{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+La última desigualdad se cumple siempre que 
+\begin_inset Formula $2\cdot(1+\varepsilon)^{n}>2$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $(1+\varepsilon)^{n}>1$
+\end_inset
+
+, lo cual es verdad, demostrando la fórmula inicial.
+ Ahora usaremos esta fórmula para demostrar que si 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r^{2}<2$
+\end_inset
+
+, existe un 
+\begin_inset Formula $t\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $r<t$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r^{2}<t^{2}<2$
+\end_inset
+
+.
+ De igual modo, si 
+\begin_inset Formula $s\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $s>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s^{2}>2$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $w\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $0<w<s$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s^{2}>w^{2}>2$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+Para demostrar la primera afirmación debemos ver que es posible encontrar
+ 
+\begin_inset Formula $0<\varepsilon\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $t:=r(1+\varepsilon)$
+\end_inset
+
+ se tenga 
+\begin_inset Formula $t^{2}<2$
+\end_inset
+
+.
+ Pero usando la afirmación anterior tenemos que 
+\begin_inset Formula $t^{2}=r^{2}(1+\varepsilon)^{2}<r^{2}(1+9\varepsilon)$
+\end_inset
+
+, y queda encontrar un 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $r^{2}(1+9\varepsilon)<2$
+\end_inset
+
+, lo que se consigue con 
+\begin_inset Formula $0<\varepsilon<\frac{1}{9}\left(\frac{2}{r^{2}}-1\right)$
+\end_inset
+
+.
+ Sabemos que este número existe porque 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo denso.
+ La demostración de la segunda afirmación es análoga, pero tomando 
+\begin_inset Formula $w:=\frac{s}{1+\varepsilon}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+Ahora veremos que esto también se cumple con si 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ no son necesariamente racionales.
+ Razonamos igual que antes, pero como no sabemos si 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es racional, tampoco sabemos si lo es 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, pero sabemos que, como 
+\begin_inset Formula $r<t$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists\tau\in\mathbb{Q}:r<\tau<t$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $r^{2}<\tau^{2}<t^{2}<2$
+\end_inset
+
+, que es lo que buscamos.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\exists\alpha\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}:(\alpha^{2}=2\land\alpha=\sup\{0\leq r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A=\{0\leq r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $1\in A$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, y está acotado superiormente por 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha:=\sup A$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora debemos demostrar que 
+\begin_inset Formula $\alpha^{2}=2$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\alpha^{2}<2$
+\end_inset
+
+, tendríamos que 
+\begin_inset Formula $\exists t\in\mathbb{Q}:\alpha<t\land\alpha^{2}<t^{2}<2$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $t\in A\#$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, si 
+\begin_inset Formula $\alpha^{2}>2$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists s\in\mathbb{Q}:\alpha>s\land s^{2}>2$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $2<s^{2}<\alpha^{2}$
+\end_inset
+
+ y, como 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ es cota superior de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $s<\alpha$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ no es el supremo
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\alpha^{2}=2$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+números irracionales
+\series default
+ a los elementos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}\backslash\text{\mathbb{Q}}$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene que si 
+\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists z\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}:x<z<y$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sea 
+\begin_inset Formula $w\in\mathbb{Q}:x<w<y$
+\end_inset
+
+.
+ Por la propiedad arquimediana, 
+\begin_inset Formula $\exists n:\frac{\sqrt{2}}{n}<y-w$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $z:=w+\frac{\sqrt{2}}{n}$
+\end_inset
+
+.
+ También podemos probar que 
+\begin_inset Formula $\forall x\in\mathbb{R},x=\sup\{r:r\in\mathbb{Q},r<x\}$
+\end_inset
+
+, pues si 
+\begin_inset Formula $\alpha>x$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ sería una cota superior menor
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+, y si fuera menor, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists r\in\mathbb{Q}:\alpha<r<x\#$
+\end_inset
+
+.
+ Por esto a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ se le llama tradicionalmente 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+el continuo
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Valor absoluto
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+|x|:=\begin{cases}
+x & \text{si }x\geq0\\
+-x & \text{si }x<0
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|x|=|-x|\geq0$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $x\neq0\implies|x|>0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|x|=\max\{x,-x\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|xy|=|x||y|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|x|\leq a\iff-a\leq x\leq a$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+|x|=\max\{x,-x\}\leq a\equiv x\leq a\land-x\leq a\equiv-a\leq x\leq a
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdad triangular:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $|x+y|\leq|x|+|y|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+-|x|\leq x\leq|x|\\
+-|y|\leq y\leq|y|
+\end{array}\implies-(|x|+|y|)\leq x+y\leq(|x|+|y|)\overset{(5)}{\implies}|x+y|\leq|x|+|y|
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\left||x|-|y|\right|\leq|x-y|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{cc}
+z:=y-x: & |x+z|\leq|x|+|z|\implies|x+y-x|=|y|\leq|x|+|y-x|\implies\\
+ & \implies|y|-|x|\leq|y-x|\\
+z':=x-y: & |y+z'|\leq|y|+|z'|\implies|y+x-y|=|x|\leq|y|+|x-y|\implies\\
+ & \implies|x|-|y|\leq|x-y|
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\left|\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right|\leq\sum_{k=1}^{n}|x_{k}|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Se obtiene por inducción sobre la desigualdad triangular.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Distancia
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $d(x,y):=|x-y|$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $d(x,y)=0\iff x=y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $d(x,y)=d(y,x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Raíces 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+ y sea 
+\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall r\in\mathbb{Q},r>0,r^{p}<x,\exists t\in\mathbb{Q}:(r<t\land r^{p}<t^{p}<x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall s\in\mathbb{Q},s>0,s^{p}>x,\exists w\in\mathbb{Q}:(0<w<s\land s^{p}>w^{p}>x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\exists!\alpha\in\mathbb{R},\alpha>0:\alpha^{p}=x$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha=\sup\{r\in\mathbb{Q}:r^{p}<x\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, la 
+\series bold
+raíz 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+-ésima
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ se define como el único número real positivo 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\alpha^{p}=x$
+\end_inset
+
+.
+ Lo escribimos como
+\begin_inset Formula 
+\[
+x^{\frac{1}{p}}:=\sqrt[p]{x}:=\sup\{r:r\in\mathbb{Q},r^{p}<x\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fuvr1/n2.lyx b/fuvr1/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..35de49d
--- /dev/null
+++ b/fuvr1/n2.lyx
@@ -0,0 +1,5306 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
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+\font_sc false
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+\shortcut idx
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+\html_math_output 0
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Resultados importantes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Ecuación ciclotómica:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(x-y)^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdad de Bernoulli:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall x>-1,x\neq0,n\in\mathbb{N},(1+x)^{n}>1+nx$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Convergencia
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+sucesión
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+) es una aplicación 
+\begin_inset Formula $\phi:\mathbb{N}\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ que denotamos como 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+, con elementos 
+\begin_inset Formula $a_{n}:=\phi(n)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $a_{n}$
+\end_inset
+
+ es el 
+\series bold
+término general
+\series default
+ de la sucesión, y puede venir dado, por ejemplo, mediante una fórmula explícita
+ o por recurrencia (
+\series bold
+sucesión recurrente
+\series default
+), como es el caso de la 
+\series bold
+sucesión de Fibonacci
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $a_{1}=a_{2}=1$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\forall n\geq3$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ tiene límite 
+\begin_inset Formula $a\in K$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\forall n\in\mathbb{N}(n\geq n_{\varepsilon}\implies|a_{n}-a|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ Escribimos
+\begin_inset Formula 
+\[
+a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n}a_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+y decimos que 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente con límite 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+ Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a=a$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+\forall\varepsilon>0,|a_{n}-a|=|a-a|=0<\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{1}{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, se trata de demostrar que 
+\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-0|=\frac{1}{n}<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{n}<\frac{1}{n_{0}}$
+\end_inset
+
+, entonces basta encontrar un 
+\begin_inset Formula $n_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $1<n_{0}\varepsilon$
+\end_inset
+
+, que existe por la propiedad arquimediana.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}|a_{n}|=|\lim_{n}a_{n}|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Si 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a-a_{n}|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, pero entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left||a|-|a_{n}|\right|\leq|a-a_{n}|<\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+por lo que 
+\begin_inset Formula $|a|=\lim_{n}|a_{n}|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt{a_{n}}=\sqrt{\lim_{n}a_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Si 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a-a_{n}|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, pero
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\sqrt{a}-\sqrt{a_{n}}\right|=\frac{|a-a_{n}|}{\sqrt{a}+\sqrt{a_{n}}}\leq\frac{|a-a_{n}|}{\sqrt{a}}<\frac{\sqrt{a}\varepsilon}{\sqrt{a}}=\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+Nótese que el caso 
+\begin_inset Formula $a=0$
+\end_inset
+
+ debe ser tratado de forma especial.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a\leq b$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+intervalo cerrado
+\series default
+ de extremos 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ al conjunto 
+\begin_inset Formula $[a,b]:=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\}$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+intervalo abierto
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $(a,b):=\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}$
+\end_inset
+
+ e 
+\series bold
+intervalos semiabiertos
+\series default
+ por la derecha e izquierda, respectivamente, a 
+\begin_inset Formula $[a,b):=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(a,b]:=\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\}$
+\end_inset
+
+.
+ La 
+\series bold
+longitud
+\series default
+ del intervalo es 
+\begin_inset Formula $b-a$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+bola cerrada
+\series default
+ de centro 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ y radio 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ al conjunto 
+\begin_inset Formula $B[x_{0},r]:=\{x\in K:|x-x_{0}|\leq r\}$
+\end_inset
+
+, y 
+\series bold
+bola abierta
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $B(x_{0},r):=\{x\in K:|x-x_{0}|<r\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El límite de una sucesión convergente es único.
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos por reducción al absurdo que 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ tuviera límites 
+\begin_inset Formula $a\neq b$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|a-b|}{4}>0$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $|a_{n}-a|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|a_{n}-b|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2}\}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $|a_{n}-a|,|a_{n}-b|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{0},$
+\end_inset
+
+ por lo que
+\begin_inset Formula 
+\[
+|a-b|=|a-a_{n}+a_{n}-b|\leq|a-a_{n}|+|a_{n}-b|<\varepsilon+\varepsilon=\frac{|a-b|}{2}\implies1<\frac{1}{2}\#
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toda sucesión convergente es acotada, es decir 
+\begin_inset Formula $\{a_{n}:n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto acotado.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<1$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $|a_{n}|=|a_{n}-a+a|\leq|a_{n}-a|+|a|<1+|a|$
+\end_inset
+
+.
+ Llamando 
+\begin_inset Formula $M:=\max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a|\}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},|a_{n}|\leq M$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es acotada.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ son convergentes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}+b_{n}=\lim_{n}a_{n}+\lim_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sean 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b=\lim_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, dado 
+\begin_inset Formula $n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}$
+\end_inset
+
+, para todo 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq|a-a_{n}|+|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}(a_{n}b_{n})=\lim_{n}a_{n}\cdot\lim_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tenemos que 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha>0:\forall n\in\mathbb{N},|a_{n}|\leq\alpha$
+\end_inset
+
+, luego
+\begin_inset Formula 
+\[
+|ab-a_{n}b_{n}|=|ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+|a_{n}||b-b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+\alpha|b-b_{n}|
+\]
+
+\end_inset
+
+Pero entonces, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2a}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{2}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2}\}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+|ab-a_{n}b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+\alpha|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}|b|+\alpha\frac{\varepsilon}{2\alpha}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $b_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim_{n}a_{n}}{\lim_{n}b_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Enumerate
+Si tomamos 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|b|}{2}$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\alpha:=\frac{|b|}{2}<|b_{n}|$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n>n_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\frac{a}{b}-\frac{a_{n}}{b_{n}}\right|=\frac{|ab_{n}-a_{n}b|}{|b||b_{n}|}=\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|}\leq\frac{|a||b_{n}-b|+|a-a_{n}||b|}{|b|\alpha}
+\]
+
+\end_inset
+
+Ahora, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $n_{2},n_{3}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}|b|\alpha$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2|b|}|b|\alpha$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $n>n_{3}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, si 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2},n_{\text{3}}\}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left|\frac{a}{b}-\frac{a_{n}}{b_{n}}\right|\leq\frac{|a||b_{n}-b|+|a-a_{n}||b|}{|b|\alpha}<|a|\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}+|b|\frac{\varepsilon}{2|b|}<\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+Aunque aquí hemos usado la definición de límite con valores de 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ complicados, esto es innecesario, pues si suponemos 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<M\varepsilon$
+\end_inset
+
+ para un 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ fijo (independiente de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+), entonces podemos aplicar lo demostrado para 
+\begin_inset Formula $\varepsilon^{\prime}=\frac{\varepsilon}{M}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\exists n_{0}^{\prime}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0}^{\prime},|a_{n}-a|<M\varepsilon^{\prime}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a_{n}\leq b_{n}\forall n\implies\lim_{n}a_{n}\leq\lim_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sean 
+\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b:=\lim_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+, y supongamos por reducción al absurdo que 
+\begin_inset Formula $a>b$
+\end_inset
+
+.
+ Tomando 
+\begin_inset Formula $\varepsilon:=\frac{a-b}{4}$
+\end_inset
+
+, debería existir 
+\begin_inset Formula $n_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto, en tal caso,
+\begin_inset Formula 
+\[
+b_{n}=b_{n}-b+b\leq|b_{n}-b|+b<\varepsilon+b<a-\varepsilon<a_{n}\#
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}<\lim_{n}b_{n}\implies\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}<b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tomemos un 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $a+\varepsilon<b-\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces existe un 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $a_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{n}\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon)$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $a_{n}<b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla del sandwich: 
+\series default
+
+\begin_inset Formula $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\land\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}=\alpha\implies\lim_{n}c_{n}=\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\in B(\alpha,\varepsilon)$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $c_{n}\in B(\alpha,\varepsilon)$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $|\alpha-c_{n}|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Sucesiones monótonas acotadas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+creciente
+\series default
+ o 
+\series bold
+monótona creciente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $a_{n}\leq a_{n+1}\forall n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, y es 
+\series bold
+decreciente
+\series default
+ o 
+\series bold
+monótona decreciente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $a_{n}\geq a_{n+1}\forall n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos que es 
+\series bold
+monótona
+\series default
+ si es creciente o decreciente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es creciente y acotada superiormente entonces converge a 
+\begin_inset Formula $\sup\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+, y si es decreciente y acotada inferiormente, converge a 
+\begin_inset Formula $\inf\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es creciente y acotada superiormente, existe 
+\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\alpha-\varepsilon<a_{n_{0}}$
+\end_inset
+
+, y al ser creciente, 
+\begin_inset Formula $\alpha-\varepsilon<a_{n}$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ El segundo caso es análogo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A continuación definimos el número 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
+\end_inset
+
+ es creciente y acotada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$
+\end_inset
+
+ es decreciente y acotada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $e:=\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+De la desigualdad de Bernoulli, para 
+\begin_inset Formula $n>1$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{a_{n}}{b_{n-1}}=\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}>1-n\frac{1}{n^{2}}=\frac{n-1}{n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-1}
+\]
+
+\end_inset
+
+luego 
+\begin_inset Formula $a_{n}>b_{n-1}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-1}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=a_{n-1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es creciente.
+ Análogamente,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{b_{n-1}}{a_{n}}=\left(\frac{n^{2}}{n^{2}-1}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n^{2}-1}\right)^{n}>\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}>1+n\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+luego 
+\begin_inset Formula $b_{n-1}>a_{n}(1+\frac{1}{n})=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=b_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es decreciente.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $2=a_{1}<a_{n}<b_{n}<b_{1}=4$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, por lo que ambas son monótonas acotadas y por tanto convergen.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $b_{n}=(1+\frac{1}{n})a_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}(1+\frac{1}{n})=1$
+\end_inset
+
+, se concluye que convergen al mismo límite, que llamamos 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $S_{n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=e$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Desarrollamos según el binomio de Newton:
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\binom{n}{0}+\frac{1}{n}\binom{n}{1}+\frac{1}{n^{2}}\binom{n}{2}+\dots+\frac{1}{n^{n-1}}\binom{n}{n-1}+\frac{1}{n^{n}}\binom{n}{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+Ahora, para 
+\begin_inset Formula $1\leq k\leq n$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{1}{n^{k}}\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+Entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{n}=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\leq
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=S_{n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}<3
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $S_{n}$
+\end_inset
+
+ es creciente y acotada superiormente, luego converge.
+ Además, para cada 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ fijo, si 
+\begin_inset Formula $n>m$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{n}=1+\dots+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)>
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+>1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+Tomando límites en 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, se obtiene que 
+\begin_inset Formula $e=\lim_{n}a_{n}\geq S_{m}$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $a_{n}\leq S_{n}\leq e$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=e$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ es irracional.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Observamos que
+\begin_inset Formula 
+\[
+e-S_{n}=\lim_{p}\sum_{k=n+1}^{p}\frac{1}{k!}
+\]
+
+\end_inset
+
+Ahora bien,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\sum_{k=n+1}^{p}\frac{1}{k!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)\cdots(n+k)}<\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)^{k}}
+\]
+
+\end_inset
+
+Y usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica,
+\begin_inset Formula 
+\[
+e-S_{n}=\lim_{q\rightarrow\infty}\sum_{k=n+1}^{n+q}\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{n!}\lim_{q}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)^{k}}=\frac{1}{n!}\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n!}\frac{1}{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+Si fuese 
+\begin_inset Formula $e=\frac{p}{q}$
+\end_inset
+
+, tomando 
+\begin_inset Formula $n=q$
+\end_inset
+
+ se tendría que
+\begin_inset Formula 
+\[
+0<\frac{p}{q}-S_{q}<\frac{1}{q!q}\implies0<q!\frac{p}{q}-q!S_{q}<\frac{1}{q}
+\]
+
+\end_inset
+
+Pero como entonces 
+\begin_inset Formula $q!\frac{p}{q},q!S_{q}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, se tendría que 
+\begin_inset Formula $\exists n\in\mathbb{N}:n<1$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Teorema de Bolzano-Weierstrass
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+principio de encaje de Cantor
+\series default
+ dice que si 
+\begin_inset Formula $(I_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión de intervalos cerrados de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $I_{n+1}\subseteq I_{n}$
+\end_inset
+
+ y el límite de la longitud de 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+ es 0, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists!a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $I_{n}:=[a_{n},b_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces para cualquier 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b_{k}$
+\end_inset
+
+ es cota superior de 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+, pues para todo 
+\begin_inset Formula $n\geq k$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{1}\leq\dots\leq a_{n}\leq b_{n}\leq b_{k}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ converge.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $a\leq b_{k}$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $a_{k}\leq a\leq b_{k}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Por otra parte, si suponemos que 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha<\beta:\alpha,\beta\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $[\alpha,\beta]\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces la longitud de todos los 
+\begin_inset Formula $I_{n}$
+\end_inset
+
+ sería mayor o igual a 
+\begin_inset Formula $\beta-\alpha>0\#$
+\end_inset
+
+, de donde se desprende la unicidad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas las sucesiones 
+\begin_inset Formula $\phi:\mathbb{N}\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\tau:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ estrictamente creciente, la sucesión 
+\begin_inset Formula $\phi\circ\tau:\mathbb{N}\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+subsucesión
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}:=(\phi(n))_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}:=(\phi\circ\tau(k))_{k\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente, cualquier subsucesión suya converge al mismo límite.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists p\in\mathbb{N}:\forall n>p,|a_{n}-a|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, si 
+\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ es una subsucesión de 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+, necesariamente 
+\begin_inset Formula $k\leq n_{k}$
+\end_inset
+
+ para cualquier 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+, por lo que si 
+\begin_inset Formula $k>p$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|a_{n_{k}}-a|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{k}a_{n_{k}}=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Bolzano-Weierstrass
+\series default
+ afirma que cualquier sucesión acotada en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ posee una subsucesión convergente.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ acotada y 
+\begin_inset Formula $c_{0},d_{0}\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $c_{0}\leq a_{n}\leq d_{0}\forall n$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $I_{0}:=[c_{0},d_{0}]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m_{0}:=\frac{c_{0}+d_{0}}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces uno de los conjuntos 
+\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}:a_{n}\in[c_{0},m_{0}]\}$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}:a_{n}\in[m_{0},d_{0}]\}$
+\end_inset
+
+ es infinito.
+ Llamamos a este 
+\begin_inset Formula $I_{1}:=[c_{1},d_{1}]$
+\end_inset
+
+ y tomamos 
+\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $a_{n_{1}}\in I_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces dividimos 
+\begin_inset Formula $I_{1}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $m_{1}:=\frac{c_{1}+d_{1}}{2}$
+\end_inset
+
+ y obtenemos, del mismo modo que antes, 
+\begin_inset Formula $I_{2}=[c_{2},d_{2}]$
+\end_inset
+
+.
+ Como es infinito podemos elegir 
+\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $a_{n_{2}}\in I_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Por inducción obtenemos una serie de intervalos 
+\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$
+\end_inset
+
+ y una subsucesión 
+\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $I_{k+1}\subsetneq I_{k}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $L(I_{k})=\frac{1}{2^{k-1}}L(I_{0})=0$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $a_{n_{k}}\in I_{k}$
+\end_inset
+
+.
+ Por el principio de encaje de Cantor, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\exists!z\in\bigcap_{k}I_{k}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $z=\lim_{k}a_{n_{k}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí obtenemos que si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión acotada y todas sus subsucesiones convergen a 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ no fuera el límite de la sucesión, existiría 
+\begin_inset Formula $\varepsilon_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\left|B(a,\varepsilon_{0})^{\complement}\cap\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\right|=\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto existiría una subsucesión 
+\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $B(a,\varepsilon_{0})^{\complement}$
+\end_inset
+
+.
+ Como esta es acotada, entonces por el teorema de Bolzano-Weierstrass, poseería
+ una subsucesión 
+\begin_inset Formula $(b_{n_{k}})_{k}$
+\end_inset
+
+—que también lo sería de 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+—convergente a 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces 
+\begin_inset Formula $|b_{n}-a|\geq\varepsilon_{0}$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ contradiciendo la hipótesis de que cualquier subsucesión que converja tenga
+ límite 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Sucesiones de Cauchy: completitud
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una sucesión 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+de Cauchy
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n,m\in\mathbb{N}(n,m\geq n_{0}\implies|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de completitud de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es convergente si y sólo si es de Cauchy.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto, si 
+\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $|a_{m}-a_{n}|=|a_{m}-a+a-a_{n}|\leq|a_{m}-a|+|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Primero probamos que una sucesión de Cauchy es acotada: Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a_{n_{0}}|<\varepsilon=1$
+\end_inset
+
+, de donde
+\begin_inset Formula 
+\[
+|a_{n}|=|a_{n}-a_{n_{0}}+a_{n_{0}}|\leq|a_{n}-a_{n_{0}}|+|a_{n_{0}}|<1+|a_{n_{0}}|
+\]
+
+\end_inset
+
+y si llamamos 
+\begin_inset Formula $M:=\max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a_{n_{0}}|\}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $a_{1}\leq|a_{n}|\leq M\forall n$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, aplicando el teorema de Bolzano-Weierstrass, sabemos que existe
+ una subsucesión 
+\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k}$
+\end_inset
+
+ convergente, digamos, a 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es de Cauchy, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|a_{n}-a_{m}|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Por otra parte, como 
+\begin_inset Formula $\lim_{k}a_{n_{k}}=b$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $k>k_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|a_{n_{k}}-b|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, si 
+\begin_inset Formula $p>\max\{n_{0},k_{0}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n>p$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+|a_{n}-b|=|a_{n}-a_{n_{p}}+a_{n_{p}}-b|\leq|a_{n}-a_{n_{p}}|+|a_{n_{p}}-b|\overset{(n_{p}>p)}{<}\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Funciones elementales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, definimos 
+\begin_inset Formula $a^{n}:=a\cdots a$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ veces).
+ Esta definición puede extenderse a 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ definiendo 
+\begin_inset Formula $a^{0}:=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a^{n}=\frac{1}{a^{-n}}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{-}$
+\end_inset
+
+.
+ Con exponentes racionales, se define 
+\begin_inset Formula $a^{\frac{m}{n}}:=\sqrt[n]{a^{m}}$
+\end_inset
+
+, y podemos probar fácilmente que si 
+\begin_inset Formula $\frac{p}{q}=\frac{m}{n}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}}$
+\end_inset
+
+, para lo cual necesitamos las propiedades de la exponencial:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a^{r+s}=a^{r}a^{s}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(a^{r})^{s}=a^{rs}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $r<s\implies(a>1\implies a^{r}<a^{s})\land(0<a<1\implies a^{r}>a^{s})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0<a<b\implies(r>0\implies a^{r}<b^{r})\land(r<0\implies a^{r}>b^{r})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos demostrar estas propiedades de forma sencilla demostrándolas primero
+ para exponentes naturales y luego generalizando en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+.
+ Para exponentes reales, definimos
+\begin_inset Formula 
+\[
+a^{x}=\lim_{n}a^{r_{n}}
+\]
+
+\end_inset
+
+donde 
+\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión de racionales que converge a 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+ Este límite existe y es independiente de la sucesión 
+\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ escogida.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Primero demostraremos que 
+\begin_inset Formula $\forall a>0,\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall r\in\mathbb{Q},0<r<\frac{1}{n_{0}},|a^{r}-1|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{\frac{1}{n}}=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a^{\frac{1}{n}}-1|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, si 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0<a^{r}-1<a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $0<a<1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a^{r}>a^{\frac{1}{n_{0}}}$
+\end_inset
+
+ luego 
+\begin_inset Formula $0<1-a^{r}<1-a^{\frac{1}{n_{0}}}<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Pasemos a demostrar la existencia de 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{r_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente entonces es acotada, por lo que 
+\begin_inset Formula $\exists K\in\mathbb{Q}:0\leq r_{n}\leq K$
+\end_inset
+
+ a partir de cierto elemento, y entonces 
+\begin_inset Formula $a^{r_{n}}\leq a^{K}:=M$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $a^{r_{n}}<a^{0}=1:=M$
+\end_inset
+
+.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $r_{m}\geq r_{n}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|=a^{r_{n}}(a^{r_{m}-r_{n}}-1)\leq M(a^{r_{m}-r_{n}}-1)$
+\end_inset
+
+, y en general, 
+\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|\leq M(a^{|r_{m}-r_{n}|}-1)$
+\end_inset
+
+, y aplicando lo anteriormente demostrado sobre el lado derecho, se tiene
+ que 
+\begin_inset Formula $(a^{r_{n}})_{n}$
+\end_inset
+
+ es de Cauchy.
+ El caso para 
+\begin_inset Formula $x<0$
+\end_inset
+
+ es análogo.
+ Así, fijado 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{m_{1}}>0$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n,m\geq k_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|r_{n}-r_{m}|<\frac{1}{m_{1}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|\leq M(a^{|r_{m}-r_{n}|}-1)\leq M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Sea ahora 
+\begin_inset Formula $y:=\lim_{n}a^{r_{n}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ otra sucesión de racionales con 
+\begin_inset Formula $x=\lim_{n}p_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{p_{n}}|\leq M(a^{|p_{n}-r_{n}|}-1)$
+\end_inset
+
+, y fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|p_{n}-r_{n}|\leq|p_{n}-x|+|x-r_{n}|<\frac{1}{2m_{1}}+\frac{1}{2m_{1}}=\frac{1}{m_{1}}$
+\end_inset
+
+, y finalmente 
+\begin_inset Formula $|a^{p_{n}}-y|\leq|a^{p_{n}}-a^{r_{n}}|+|a^{r_{n}}-y|\leq\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A continuación vemos las propiedades de la exponencial para exponentes reales:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Como 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}(q_{n}+r_{n})=\lim_{n}q_{n}+\lim_{n}r_{n}=x+y$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\[
+a^{x+y}=\lim_{n}a^{q_{n}+r_{n}}=\lim_{n}(a^{q_{n}}a^{r_{n}})=\lim_{n}a^{q_{n}}+\lim_{n}a^{r_{n}}=a^{x}+a^{y}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+(ab)^{x}=\lim_{n}(ab)^{q_{n}}=\lim_{n}a^{q_{n}}b^{q_{n}}=\lim_{n}a^{q_{n}}\lim_{n}b^{q_{n}}=a^{x}b^{x}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Primero probamos que si 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $q\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{q}=a^{q}$
+\end_inset
+
+, es decir, que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{q}=(\lim_{n}a_{n})^{q}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $q=\frac{r}{k}>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a>0$
+\end_inset
+
+.
+ Comenzamos probando que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{\frac{1}{k}}=a^{\frac{1}{k}}$
+\end_inset
+
+, para lo que usaremos la ecuación ciclotómica:
+\begin_inset Formula 
+\[
+|a_{n}^{\frac{1}{k}}-a^{\frac{1}{k}}|=\frac{|a_{n}-a|}{a_{n}^{\frac{k-1}{k}}+a_{n}^{\frac{k-2}{k}}a+\dots+a_{n}a^{\frac{k-2}{k}}+a^{\frac{k-1}{k}}}\leq\frac{|a_{n}-a|}{a^{\frac{k-1}{k}}}\leq\frac{a^{\frac{k-1}{k}}\varepsilon}{a^{\frac{k-1}{k}}}=\varepsilon
+\]
+
+\end_inset
+
+De aquí deducimos que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{n}a_{n}^{q}=\lim_{n}a_{n}^{\frac{r}{k}}=\lim_{n}(a^{\frac{1}{k}})^{r}=\left(\lim_{n}a_{n}^{\frac{1}{k}}\right)^{r}=(a^{\frac{1}{k}})^{r}=a^{\frac{r}{k}}=a^{q}
+\]
+
+\end_inset
+
+El caso en que 
+\begin_inset Formula $a<0$
+\end_inset
+
+ es análogo.
+ Ahora, si 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}=0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{1}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{1},a_{n}<\varepsilon^{\frac{1}{q}}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $|a_{n}^{q}-0|=a_{n}^{q}<(\varepsilon^{\frac{1}{q}})^{q}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Pasemos a demostrar que 
+\begin_inset Formula $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+ y tomamos 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}r_{n}=x$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}q_{n}=y$
+\end_inset
+
+ sucesiones crecientes de racionales, usando las propiedades de monotonía
+ y límites,
+\begin_inset Formula 
+\[
+(a^{x})^{y}=\sup\{(a^{x})^{q_{m}}\}_{m\in\mathbb{N}}=\sup\{\sup\{(a^{r_{n}})^{q_{m}}\}_{n\in\mathbb{N}}\}_{m\in\mathbb{N}}=
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+=\sup\{\sup\{a^{r_{n}q_{m}}\}_{n\in\mathbb{N}}\}_{m\in\mathbb{N}}=\sup\{a^{xq_{m}}\}_{m\in\mathbb{N}}=a^{xy}
+\]
+
+\end_inset
+
+El caso 
+\begin_inset Formula $a<1$
+\end_inset
+
+ se reduce a este tomando inversos, y el caso 
+\begin_inset Formula $a=1$
+\end_inset
+
+ es trivial.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $x<y\implies(a>1\implies a^{x}<a^{y})\land(0<a<1\implies a^{x}>a^{y})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Para 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+, sean 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{y-x}{3}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s,t\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $x+\varepsilon<s<t<y-\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Existe entonces 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $q_{n}<s$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $t<r_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $a^{q_{n}}<a^{s}<a^{t}<a^{r_{n}}$
+\end_inset
+
+, y tomando límites, 
+\begin_inset Formula $a^{x}\leq a^{s}<a^{t}\leq a^{y}$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $0<a<1$
+\end_inset
+
+, la demostración es análoga.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0<a<b\implies(x>0\implies a^{x}<b^{x})\land(x<0\implies a^{x}>b^{x})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Para 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+, se trata de demostrar que 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{x}=\frac{b^{x}}{a^{x}}>1$
+\end_inset
+
+ dado 
+\begin_inset Formula $\frac{b}{a}>1$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ una sucesión creciente con límite 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $p_{n}>0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{n}}\geq\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{1}}>\left(\frac{b}{a}\right)^{0}=1$
+\end_inset
+
+, y tomando límites, 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{x}\geq\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{1}}>1$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $x<0$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $a^{y}>0\forall y\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a^{-x}<b^{-x}\implies\frac{1}{a^{x}}<\frac{1}{b^{x}}\implies b^{x}<a^{x}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{x_{n}}=a^{\lim_{n}x_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sea 
+\begin_inset Formula $x:=\lim_{n}x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $|a^{x}-a^{x_{n}}|=|a^{x}||1-a^{x_{n}-x}|$
+\end_inset
+
+, basta probar que para 
+\begin_inset Formula $(y_{m})_{m}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{m}y_{m}=0$
+\end_inset
+
+, se cumple que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{y_{m}}=a^{0}=1$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $y_{m}>0\forall m$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $m_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $m>m_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $0<y_{m}<\frac{1}{n_{0}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a^{y_{m}}-1<a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $y_{m}<0\forall m$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $m_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $m>m_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $0<|y_{m}|<\frac{1}{n_{0}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $1-a^{y_{m}}=1-\frac{1}{a^{-y_{m}}}=\frac{a^{-y_{m}}-1}{a^{-y_{m}}}<\frac{\varepsilon}{1}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+ por ser 
+\begin_inset Formula $a^{-y_{m}}>1$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $y_{m}$
+\end_inset
+
+ puede cambiar de signo, combinamos ambas pruebas y obtenemos que 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists m_{0}\in\mathbb{N}:\forall m>m_{0},|a^{y_{m}}-1|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a^{x}$
+\end_inset
+
+ no está acotada superiormente para 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $a>1\implies\forall k\in\mathbb{R},\exists t\in\mathbb{R}:(x>t\implies a^{x}>k)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Supongamos por reducción al absurdo que 
+\begin_inset Formula $\exists K\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R},a^{x}\leq K$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, existe 
+\begin_inset Formula $K\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tal que para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $a^{n}\leq K$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $a\leq K^{\frac{1}{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, como 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}K^{\frac{1}{n}}=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $K^{\frac{1}{n}}<a$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $a^{n_{0}}>K\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\inf\{a^{x}\}_{x\in\mathbb{R}}=0$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $a<1$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $a<1\implies\forall\varepsilon>0,\exists t\in\mathbb{R}:(x>t\implies a^{x}<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tomamos 
+\begin_inset Formula $b:=\frac{1}{a}>1$
+\end_inset
+
+ y aplicamos el apartado anterior.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $0<a\neq1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\exists!y\in\mathbb{R}:a^{y}=x$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+ y sea 
+\begin_inset Formula $A:=\{z\in\mathbb{R}:a^{z}\leq x\}$
+\end_inset
+
+, que sabemos acotado superiormente.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $y:=\sup A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ una sucesión de elementos de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ que converge a 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $a^{x_{n}}\leq x$
+\end_inset
+
+.
+ Si fuera 
+\begin_inset Formula $a^{y}<x$
+\end_inset
+
+, dado que 
+\begin_inset Formula $\frac{x}{a^{y}}>1$
+\end_inset
+
+, existe un 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a^{\frac{1}{n}}<\frac{x}{a^{y}}$
+\end_inset
+
+, y si tomamos 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{1}{n}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $a^{\varepsilon}<\frac{x}{a^{y}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $a^{y+\varepsilon}<x$
+\end_inset
+
+.
+ Pero esto contradice la definición de 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ como supremo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora supongamos 
+\begin_inset Formula $0<a<1$
+\end_inset
+
+ y sea 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}:=\frac{1}{a}>1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x^{\prime}:=\frac{1}{x}$
+\end_inset
+
+.
+ Aplicando lo anterior, existe un único 
+\begin_inset Formula $y\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(a^{\prime})^{y}=x^{\prime}$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $\left(\frac{1}{a}\right)^{y}=\frac{1}{a^{y}}=\frac{1}{x}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a^{y}=x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+logaritmo
+\series default
+ en 
+\series bold
+base
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\log_{a}x$
+\end_inset
+
+) al único 
+\begin_inset Formula $y\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $a^{y}=x$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a=e$
+\end_inset
+
+, lo llamamos 
+\series bold
+logaritmo neperiano
+\series default
+, escrito 
+\begin_inset Formula $\log x$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\ln x$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\log_{a}a^{x}=x$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sea 
+\begin_inset Formula $z=\log_{a}a^{x}$
+\end_inset
+
+, este es el único real con 
+\begin_inset Formula $a^{z}=a^{x}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $z=x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a^{\log_{a}x}=x$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sea 
+\begin_inset Formula $z=\log_{a}x$
+\end_inset
+
+, este es el único real con 
+\begin_inset Formula $a^{z}=x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sean 
+\begin_inset Formula $\alpha=\log_{a}x$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\beta=\log_{a}y$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a^{\alpha+\beta}=a^{\alpha}a^{\beta}=xy$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\log_{a}xy=\alpha+\beta=\log_{a}x+\log_{a}y$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $a^{\alpha-\beta}=\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=\frac{x}{y}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\log_{a}\frac{x}{y}=\alpha-\beta=\log_{a}x-\log_{a}y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\log_{a}x^{y}=y\log_{a}x$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula 
+\[
+a^{y\log_{a}x}=(a^{\log_{a}x})^{y}=x^{y}\implies\log_{a}x^{y}=y\log_{a}x
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a>1\land0<x<y\implies\log_{a}x<\log_{a}y$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Si fuera 
+\begin_inset Formula $\alpha\geq\beta$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+, se tendría que 
+\begin_inset Formula $x=a^{\alpha}\geq a^{\beta}=y\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0<a<1\land0<x<y\implies\log_{a}x>\log_{a}y$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si fuera 
+\begin_inset Formula $\beta\geq\alpha$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $0<a<1$
+\end_inset
+
+, se tendría que 
+\begin_inset Formula $y=a^{\beta}\leq a^{\alpha}=x\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}>0\land\forall n,x_{n}>0\implies\lim_{n}\log_{a}x_{n}=\log_{a}\lim_{n}x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sea 
+\begin_inset Formula $x:=\lim_{n}x_{n}>0$
+\end_inset
+
+ y queremos demostrar que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}x_{n}=\log_{a}x$
+\end_inset
+
+, lo que equivale a que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}(\log_{a}x_{n}-\log_{a}x)=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto a que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}\frac{x_{n}}{x}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Para esto basta probar que si 
+\begin_inset Formula $(c_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión con 
+\begin_inset Formula $c_{n}>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n}=1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}c_{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\beta_{n}:=\log_{a}c_{n}$
+\end_inset
+
+ y supongamos que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\beta_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Debe existir por tanto un 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ tal que para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ exista un 
+\begin_inset Formula $m>n$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $|\beta_{m}|>\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Así, para 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $n_{1}>1$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $|\beta_{n_{1}}|>\varepsilon$
+\end_inset
+
+, y podemos encontrar 
+\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $|\beta_{n_{2}}|>\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos por recurrencia una subsucesión 
+\begin_inset Formula $(\beta_{n_{k}})_{k}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $|\beta_{n_{k}}|>\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos suponer que todos son positivos o negativos.
+ Pero entonces, para el primer caso, 
+\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}>a^{\varepsilon}:=M>a^{0}=1$
+\end_inset
+
+.
+ En el segundo caso, 
+\begin_inset Formula $\beta_{n_{k}}<-\varepsilon$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}<a^{-\varepsilon}:=M<a^{0}=1$
+\end_inset
+
+.
+ Para ambos casos se tiene que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n_{k}}\neq1\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin x_{n}=\sin\lim_{n}x_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\cos x_{n}=\cos\lim_{n}x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$
+\end_inset
+
+, y se tiene que 
+\begin_inset Formula $\sin x\leq x\leq\tan x$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$
+\end_inset
+
+.
+ Así,
+\begin_inset Formula 
+\[
+|\sin x-\sin c|=2\left|\sin\frac{x-c}{2}\cos\frac{x+c}{2}\right|\leq2\left|\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq2\frac{|x-c|}{2}=|x-c|
+\]
+
+\end_inset
+
+Por tanto, fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|x_{n}-c|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|\sin x_{n}-\sin c|\leq|x-c|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Para el coseno,
+\begin_inset Formula 
+\[
+|\cos x-\cos c|=\left|-2\sin\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq2\left|\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq|x-c|
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Límites infinitos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La sucesión 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ de números reales tiene límite 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+más infinito
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=+\infty$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\forall M>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}>M$
+\end_inset
+
+, y tiene límite 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+menos infinito
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=-\infty$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\forall M<0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}<M$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos generalizar el álgebra de límites con:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{ccc}
+a+(-\infty)=-\infty & a-(+\infty)=-\infty & a-(-\infty)=+\infty\\
+\frac{a}{\pm\infty}=0 & a>0\implies a(+\infty)=+\infty & a>0\implies a(-\infty)=-\infty\\
+a<0\implies a(+\infty)=-\infty & a<0\implies a(-\infty)=+\infty & (+\infty)+(+\infty)=+\infty\\
+(-\infty)+(-\infty)=-\infty & (+\infty)(+\infty)=+\infty & (-\infty)(-\infty)=+\infty\\
+(+\infty)(-\infty)=-\infty & (+\infty)^{+\infty}=+\infty & (+\infty)^{-\infty}=0
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+Además, si 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{n}>0\forall n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=+\infty$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{b_{n}}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Sin embargo, nada puede decirse en general de:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{llll}
+(+\infty)+(-\infty) & (\pm\infty)\cdot0 & \frac{\pm\infty}{\pm\infty} & \frac{0}{0}\\
+\frac{a}{0} & 1^{\pm\infty} & (\pm\infty)^{0} & 0^{0}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos a estas situaciones 
+\series bold
+indeterminaciones
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Algunas sucesiones notables.
+ Jerarquía de sucesiones divergentes
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=\pm\infty$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=e$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1-\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=e^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Para 
+\begin_inset Formula $x_{n}=n$
+\end_inset
+
+ es cierto.
+ Como 
+\begin_inset Formula $[x_{n}]\leq x_{n}<[x_{n}]+1$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{1+[x_{n}]}<\frac{1}{x_{n}}\leq\frac{1}{[x_{n}]}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\left(1+\frac{1}{[x_{n}]+1}\right)^{[x_{n}]}\leq\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{[x_{n}]}\leq\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}\leq\left(1+\frac{1}{[x_{n}]}\right)^{x_{n}}\leq\left(1+\frac{1}{[x_{n}]}\right)^{[x_{n}]+1}$
+\end_inset
+
+.
+ Sabemos además que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=e$
+\end_inset
+
+.
+ Fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}-e\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}<e+\varepsilon$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-e\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<e+\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, como 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=+\infty$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n>n_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $n_{0}<[x_{n}]\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, luego lo anterior se cumple, por lo que 
+\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}-e\right|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ La segunda parte se obtiene de que 
+\begin_inset Formula $\left(1-\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=\left(\frac{x_{n}}{x_{n}-1}\right)^{-x_{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x_{n}-1}\right)^{x_{n}}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{z_{n+1}}{z_{n}}=w\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $|w|<1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Se tendría que existe 
+\begin_inset Formula $0<a<1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\left|\frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right|<a<1$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, 
+\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+1}|<|z_{n_{0}}|a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+2}|<|z_{n_{0}+1}|a<|z_{n_{0}}|a^{2}$
+\end_inset
+
+, y en general, 
+\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+k}|<|z_{n_{0}}|a^{k}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}|z_{n}|=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{k}n^{k}+\dots+a_{0}}{b_{r}n^{r}+\dots+b_{0}}=\begin{cases}
+\frac{a_{k}}{b_{r}} & \text{si }k=r\\
+0 & \text{si }k<r\\
+\pm\infty & \text{si }k>r\text{, dependiendo del signo de \ensuremath{\frac{a_{k}}{b_{r}}}.}
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Para demostrarlo, en cada caso, dividimos numerador y denominador por 
+\begin_inset Formula $\min\{k,r\}$
+\end_inset
+
+ y aplicamos propiedades de los límites para 
+\begin_inset Formula $k=r$
+\end_inset
+
+ (pues ambos existen y son no nulos) y de los límites infinitos para 
+\begin_inset Formula $k\neq r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=\infty$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=\infty$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es un infinito 
+\series bold
+de orden superior
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ y escribimos 
+\begin_inset Formula $b_{n}\ll a_{n}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Si existen 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0<\alpha\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\beta$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+, se dice que ambas tienen el 
+\series bold
+mismo orden de infinitud
+\series default
+.
+ Y si además 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=1$
+\end_inset
+
+, se dice que son 
+\series bold
+equivalentes
+\series default
+.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $b>0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $c>1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d>0$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\log n\ll n^{b}\ll c^{n}\ll n^{dn}
+\]
+
+\end_inset
+
+Si además 
+\begin_inset Formula $d\geq1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $c^{n}\ll n!\ll n^{dn}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Todas, salvo la primera, son consecuencia del apartado (2) anterior.
+ Así, para demostrar 
+\begin_inset Formula $n^{b}\ll c^{n}$
+\end_inset
+
+, tomamos 
+\begin_inset Formula $z_{n}:=\frac{n^{b}}{c^{n}}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{z_{n+1}}{z_{n}}=\lim_{n}\frac{(n+1)^{b}c^{n}}{n^{b}c^{n+1}}=\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{b}\frac{1}{c}=\frac{1}{c}<1$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Para demostrar que 
+\begin_inset Formula $\log n\ll n^{b}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $b>0$
+\end_inset
+
+, tomamos 
+\begin_inset Formula $b=1$
+\end_inset
+
+ y tenemos en cuenta que 
+\begin_inset Formula $\log n=M\log_{10}n$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $10^{k-1}\leq n<10^{k}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $0\leq\frac{log_{10}n}{n}\leq\frac{k}{10^{k-1}}=10\frac{k}{10^{k}}$
+\end_inset
+
+.
+ Aplicando el apartado (2) anterior y la regla del sándwich se obtiene el
+ resultado.
+ Para 
+\begin_inset Formula $b>1$
+\end_inset
+
+ el resultado es consecuencia de esto y de que 
+\begin_inset Formula $n<n^{b}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $b<1$
+\end_inset
+
+, tomamos 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{m}<b$
+\end_inset
+
+.
+ Para cada 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(k-1)^{m}\leq n<k^{m}$
+\end_inset
+
+, y además 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}k=+\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, puesto que 
+\begin_inset Formula $0<\frac{\log_{10}n}{n^{b}}\leq\frac{\log_{10}n}{\sqrt[m]{n}}\leq\frac{m\log_{10}k}{k-1}$
+\end_inset
+
+ y hemos probado que 
+\begin_inset Formula $\lim_{k}\frac{\log_{10}k}{k}=0$
+\end_inset
+
+, se obtiene que, también en este caso, 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\log\frac{n}{n^{b}}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Equivalencias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $0<|x_{n}|<1$
+\end_inset
+
+, entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\log(1+x_{n})\sim x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Supongamos 
+\begin_inset Formula $0<x_{n}<1\forall n$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces, si 
+\begin_inset Formula $y_{n}:=\frac{1}{x_{n}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n})}{x_{n}}=\lim_{n}\log(1+x_{n})^{\frac{1}{x_{n}}}=\lim_{n}\log\left(1+\frac{1}{y_{n}}\right)^{y_{n}}=\log\lim_{n}\left(1+\frac{1}{y_{n}}\right)^{y_{n}}=\log e=1$
+\end_inset
+
+.
+ Cuando 
+\begin_inset Formula $0>x_{n}>-1$
+\end_inset
+
+, la prueba es idéntica, pues 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=-\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Para el caso general, los términos de 
+\begin_inset Formula $x_{n}$
+\end_inset
+
+ se dividen en dos subsucesiones distintas: 
+\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime})_{n}$
+\end_inset
+
+ de términos positivos y 
+\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime\prime})_{n}$
+\end_inset
+
+ de negativos.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n}^{\prime})}{x_{n}^{\prime}}=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n}^{\prime\prime})}{x_{n}^{\prime\prime}}=1$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n})}{x_{n}}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $e^{x_{n}}-1\sim x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sea 
+\begin_inset Formula $y_{n}:=e^{x_{n}}-1$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $y_{n}+1=e^{x_{n}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $x_{n}=\log(1+y_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=0$
+\end_inset
+
+, por el apartado anterior, 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}=\lim_{n}\frac{y_{n}}{\log(1+y_{n})}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=1$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x_{n}\neq1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=\pm\infty$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{n}x_{n}^{y_{n}}=e^{\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $(x_{n})^{y_{n}}=e^{y_{n}\log x_{n}}=e^{y_{n}\log(1+(x_{n}-1))}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n})^{y_{n}}=e^{\lim_{n}y_{n}\log(1+(x_{n}-1))}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, como 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n}-1)=0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}\log(1+(x_{n}-1))=\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)\frac{\log(1+(x_{n}-1))}{x_{n-1}}=\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\sin x_{n}\sim x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $x\in(0,\frac{\pi}{2})$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\sin x\leq x\leq\tan x$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $1\leq\frac{x}{\sin x}\leq\frac{1}{\cos x}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $x_{n}>0\forall n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $1\leq\frac{x_{n}}{\sin x_{n}}\leq\frac{1}{\cos x_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ Dado que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\cos x_{n}=\cos0=1$
+\end_inset
+
+, por la regla del sandwich, 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{x_{n}}{\sin x_{n}}=1$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $x\in(-\frac{\pi}{2},0)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\tan x\leq x\leq\sin x$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{\cos x}\geq\frac{x}{\sin x}\geq1$
+\end_inset
+
+ por ser 
+\begin_inset Formula $\sin x>0$
+\end_inset
+
+ y llegamos a la misma conclusión.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterios de Stolz:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ son sucesiones de reales tales que 
+\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es estrictamente creciente o decreciente y bien 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}=0$
+\end_inset
+
+, bien 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=\infty$
+\end_inset
+
+, si existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=L\in\overline{\mathbb{R}}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $L:=\lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ Primero vemos que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n}=L\in\overline{\mathbb{R}}$
+\end_inset
+
+ puede caracterizarse como que dados 
+\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\alpha<c_{n}<\beta$
+\end_inset
+
+, donde si 
+\begin_inset Formula $L=+\infty$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ está ausente y si 
+\begin_inset Formula $L=-\infty$
+\end_inset
+
+ lo está 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, si 
+\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a}{b},\frac{c}{d}<\beta$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a+c}{b+d}<\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}<\beta$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+m}-a_{n+m-1}}{b_{n+m}-b_{n+m-1}}<\beta$
+\end_inset
+
+, luego sumando, 
+\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+m}-a_{n}}{b_{n+m}-b_{n}}<\beta$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $\lim_{m}a_{n+m}=\lim_{m}b_{n+m}=0$
+\end_inset
+
+, entonces para todo 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\alpha\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\beta$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados 
+\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$
+\end_inset
+
+, tomamos 
+\begin_inset Formula $\alpha<\alpha^{\prime}<L<\beta^{\prime}<\beta$
+\end_inset
+
+.
+ Procediendo como antes con 
+\begin_inset Formula $n=n_{0}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\alpha^{\prime}<\frac{\frac{a_{n_{0}+m}}{b_{n_{0}+m}}-\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}}{1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}}<\beta^{\prime}$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\alpha^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}<\frac{a_{n_{0}+m}}{b_{n_{0}+m}}<\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\beta^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}$
+\end_inset
+
+, pero existe 
+\begin_inset Formula $m_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $m\geq m_{0}$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $\alpha<\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\alpha^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\beta^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}<\beta$
+\end_inset
+
+ lo que, finalmente, establece que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como consecuencia:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ converge, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{n}\frac{a_{1}+\dots+a_{n}}{n}=\lim_{n}a_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ converge y 
+\begin_inset Formula $a_{n}>0$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{n}\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}=\lim_{n}a_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sea 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a\neq0$
+\end_inset
+
+, tomando logaritmos, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{n}\log(\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}})=\lim_{n}\frac{\log a_{1}+\dots+\log a_{n}}{n}=\lim_{n}\log a_{n}=\log a
+\]
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $a=0$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $0<\varepsilon<1$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{n}<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n_{0}}a_{n_{0}+1}\cdots a_{n}}=\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n_{0}}}\sqrt[n]{a_{n_{0}+1}\cdots a_{n}}\leq\sqrt[n]{M}\sqrt[n]{\varepsilon^{n-n_{0}}}
+\]
+
+\end_inset
+
+con 
+\begin_inset Formula $M:=a_{1}\cdots a_{n_{0}}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\alpha_{n}:=\varepsilon\frac{n-n_{0}}{n}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\alpha_{n}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{M}=1$
+\end_inset
+
+.
+ Existe 
+\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $n_{1}>n_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n>n_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|M^{\frac{1}{n}}-1|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $M^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\alpha_{n}=\varepsilon$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n>n_{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|\alpha_{n}-\varepsilon|<\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{n}<\varepsilon+\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}=\frac{\varepsilon^{2}+2\varepsilon}{1+\varepsilon}\leq\frac{3\varepsilon}{1+\varepsilon}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}\leq\sqrt[n]{M}\sqrt[n]{\varepsilon^{n-n_{0}}}\leq(1+\varepsilon)\frac{3\varepsilon}{1+\varepsilon}=3\varepsilon$
+\end_inset
+
+, lo que prueba que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $a_{n}>0$
+\end_inset
+
+ y existe 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Se tiene que 
+\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{n}}=\sqrt[n]{\frac{a_{1}}{1}\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdots\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $A_{n}:=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$
+\end_inset
+
+, para 
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{1}=a_{1}$
+\end_inset
+
+, se obtiene que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n}\sqrt[n]{A_{1}\cdots A_{n}}=\lim_{n}A_{n}=\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Series numéricas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una sucesión 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ de números reales, podemos formar una sucesión 
+\begin_inset Formula $(S_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ dada por 
+\begin_inset Formula $S_{n}=\sum_{1\leq i\leq n}a_{i}$
+\end_inset
+
+, que llamamos 
+\series bold
+serie
+\series default
+ asociada de 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Sus términos se denominan 
+\series bold
+sumas parciales
+\series default
+ de la serie (
+\begin_inset Formula $S_{n}$
+\end_inset
+
+ es la suma parcial 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésima), y los de 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+, términos de la serie (el término genérico 
+\begin_inset Formula $a_{n}$
+\end_inset
+
+ se denomina 
+\series bold
+término general
+\series default
+).
+ A 
+\begin_inset Formula $(S_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ la denotamos como 
+\begin_inset Formula $a_{1}+\dots+a_{n}+\dots$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=S\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, la serie es 
+\series bold
+convergente
+\series default
+ y escribimos 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$
+\end_inset
+
+.
+ De lo contrario es 
+\series bold
+divergente
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+condición de Cauchy
+\series default
+ nos dice que 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall p,q\in\mathbb{N},(n_{0}\leq p\leq q\implies|a_{p+1}+\dots+a_{q}|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ A partir de la condición de Cauchy para la existencia de límite y que 
+\begin_inset Formula $|S_{q}-S_{p}|=\left|\sum_{n=1}^{q}a_{n}-\sum_{n=1}^{p}a_{n}\right|=|a_{p+1}+\dots+a_{q}|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí, tomando 
+\begin_inset Formula $q=p+1$
+\end_inset
+
+, se tiene que si 
+\begin_inset Formula $S_{n}$
+\end_inset
+
+ converge, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+ También se tiene que la convergencia de una serie no se altera modificando
+ un número finito de términos de esta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Linealidad de la suma:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=B$
+\end_inset
+
+, entonces para 
+\begin_inset Formula $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}(\lambda a_{n}+\mu b_{n})=\lambda A+\mu B$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para cada 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S_{n}:=\lambda A_{n}+\mu B_{n}=\sum_{k=1}^{n}\lambda a_{n}+\sum_{k=1}^{n}\mu b_{n}=\sum_{k=1}^{n}(\lambda a_{n}+\mu b_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Aplicando las propiedades de límites, 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=\lim_{n}(\lambda A_{n}+\mu B_{n})=\lambda A+\mu B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una serie 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$
+\end_inset
+
+ de términos 
+\begin_inset Formula $a_{n}\geq0$
+\end_inset
+
+, esta es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales es acotada,
+ pues esta es monótona creciente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterios de comparación:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dadas 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\geq0$
+\end_inset
+
+, si existe 
+\begin_inset Formula $M>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $a_{n}\leq Mb_{n}\forall n$
+\end_inset
+
+, entonces la convergencia de 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$
+\end_inset
+
+ implica la de 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$
+\end_inset
+
+, pues significa que esta última es acotada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dadas 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}>0$
+\end_inset
+
+ y existe 
+\begin_inset Formula $l:=\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $0<l<\infty$
+\end_inset
+
+, ambas series tienen el mismo carácter.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{l}{2}>0$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-l\right|\leq\frac{l}{2}$
+\end_inset
+
+, lo que equivale a que 
+\begin_inset Formula $\frac{l}{2}\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\frac{3}{2}l$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{l}{2}b_{n}\leq a_{n}\leq\frac{3l}{2}b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente, tenemos que 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+ también, y si 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente, también lo es 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $l=0$
+\end_inset
+
+ entonces la convergencia de 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+ implica la de 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=1$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq1$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a_{n}\leq b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $l=+\infty$
+\end_inset
+
+ entonces la convergencia de 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ implica la de 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $k=1>0$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\frac{a_{n}}{b_{n}}\geq1$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a_{n}\geq b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterio de la raíz:
+\series default
+ Dada 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a_{n}>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $a<1$
+\end_inset
+
+, la serie converge.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a<r<1$
+\end_inset
+
+.
+ Existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{n}}<r$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $a_{n}<r^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $r<1$
+\end_inset
+
+, la serie geométrica 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}r^{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente, y el criterio de comparación nos da la convergencia de
+ 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+, la serie diverge.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{n}>1$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $a=1$
+\end_inset
+
+ no se puede afirmar nada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterio del cociente:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a_{n}>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $a=\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $a<1$
+\end_inset
+
+, la serie converge.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula $a>1$
+\end_inset
+
+, la serie diverge.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterio de condensación:
+\series default
+ Dada una sucesión 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ monótona decreciente con 
+\begin_inset Formula $a_{n}>0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\in\mathbb{R}\iff\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}\in\mathbb{R}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $A_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B_{n}=\sum_{k=1}^{n}2^{k}a_{2^{k}}$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula 
+\begin{gather*}
+\begin{array}{c}
+B_{n}=2a_{2}+4a_{4}+\dots+2^{n}a_{2^{n}}=2(a_{2}+2a_{4}+\dots+2^{n-1}a_{2^{n}})\leq\\
+\leq2(a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+\dots+(a_{2^{n-1}+1}+\dots+a_{2^{n}}))=2(a_{1}+\dots+a_{2^{n}})=\\
+=2A_{2^{n}}=2(a_{1}+(a_{2}+a_{3})+(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7})+\dots+a_{2^{n}})\leq\\
+\leq2(a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\dots+2^{n-1}a_{2^{n-1}}+a_{2^{n}})=2B_{n-1}+a_{2^{n}}
+\end{array}
+\end{gather*}
+
+\end_inset
+
+Luego para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B_{n}\leq2A_{2^{n}}\leq2B_{n-1}+a_{1}$
+\end_inset
+
+, luego si una de las dos está acotada la otra también.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una serie 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a_{n}\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+absolutamente convergente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}|a_{n}|$
+\end_inset
+
+ es convergente.
+ Toda serie absolutamente convergente es convergente.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, por ser 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}|a_{n}|$
+\end_inset
+
+ convergente, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $p\geq q>n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|a_{q+1}|+\dots+|a_{p}|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Pero 
+\begin_inset Formula $|a_{q+1}+\dots+a_{p}|\leq|a_{q+1}|+\dots+|a_{p}|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
+\end_inset
+
+ cumple la condición de Cauchy y es pues convergente.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una serie es 
+\series bold
+incondicionalmente convergente
+\series default
+ si todas sus reordenadas son convergentes y tienen la misma suma.
+ 
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Esta condición equivale a ser absolutamente convergente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+La 
+\series bold
+serie alternada
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es la suma total y 
+\begin_inset Formula $S_{n}$
+\end_inset
+
+ la suma parcial 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésima, 
+\begin_inset Formula $S_{2n}\leq S\leq S_{2n+1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|S_{n}-S|<\frac{1}{n+1}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\leq\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}+\frac{1}{2n+1}=S_{2n+1}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $S_{2n}\leq S_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=S_{2n+2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $(S_{2n})_{n}$
+\end_inset
+
+ es creciente.
+ De forma análoga tenemos que 
+\begin_inset Formula $(S_{2n+1})_{n}$
+\end_inset
+
+ es decreciente.
+ Definimos la sucesión de intervalos cerrados acotados y encajados 
+\begin_inset Formula $I_{n}:=[S_{2n},S_{2n+1}]$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $L(I_{n})=|S_{2n+1}-S_{2n}|=\frac{1}{2n+1}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}L(I_{n})=0$
+\end_inset
+
+, y por Cantor se tiene que existe un único 
+\begin_inset Formula $S=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$
+\end_inset
+
+, que es 
+\begin_inset Formula $S=\lim_{n}S_{2n}=\lim_{n}S_{2n+1}=\lim_{n}S_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $n=2k$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S_{2k}\leq S\leq S_{2k+1}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $|S-S_{2k}|<\frac{1}{2k+1}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $n=2k+1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S_{2k+2}\leq S\leq S_{2k+1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|S-S_{2k+1}|\leq|S_{2k+1}-S_{2k+2}|\leq\frac{1}{2k+2}$
+\end_inset
+
+.
+ Esto prueba la segunda afirmación.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+serie geométrica
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}$
+\end_inset
+
+ es convergente si 
+\begin_inset Formula $|r|<1$
+\end_inset
+
+ con suma 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{1-r}$
+\end_inset
+
+ y divergente si 
+\begin_inset Formula $|r|\geq1$
+\end_inset
+
+.
+ La 
+\series bold
+serie armónica
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{k}}$
+\end_inset
+
+ es convergente si 
+\begin_inset Formula $k>1$
+\end_inset
+
+ y divergente si 
+\begin_inset Formula $k\leq1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/fuvr1/n3.lyx b/fuvr1/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..95517f3
--- /dev/null
+++ b/fuvr1/n3.lyx
@@ -0,0 +1,2202 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
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+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Límite de una función en un punto
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una función es una terna 
+\begin_inset Formula $(D,F,f)$
+\end_inset
+
+, escrita como 
+\begin_inset Formula $f:D\rightarrow F$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ asigna a cada 
+\begin_inset Formula $x\in D$
+\end_inset
+
+ un único valor 
+\begin_inset Formula $f(x)\in F$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+recta real ampliada
+\series default
+ al conjunto 
+\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+entorno
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $x\in K$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists r>0:B(x,r)\subseteq V$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+punto de acumulación
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A\subseteq K$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall r>0,\exists x^{\prime}\neq x:x^{\prime}\in B(x,r)\cap A$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene entonces que 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ es un punto de acumulación de 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x_{n}\neq x\forall n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x=\lim_{n}x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B(x,\frac{1}{n})\cap A$
+\end_inset
+
+ debe contener algún punto distinto de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $x_{n}$
+\end_inset
+
+ es uno de esos puntos, 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=x$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $|x_{n}-x|<\frac{1}{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que si 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $|x_{n}-x|<r$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $x_{n}\in B(x,r)$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $x_{n}\in B(x,r)\cap A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{n}\neq x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ un punto de acumulación de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ es el límite de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L
+\]
+
+\end_inset
+
+si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(0<|x-c|<\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ Dicho de otro modo, si 
+\begin_inset Formula $\forall B(L,\varepsilon),\exists B(c,\delta):f((B(c,\delta)\cap D)\backslash\{c\})\subseteq B(L,\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene entonces que 
+\begin_inset Formula $L=\lim_{x\rightarrow c}f(x)\iff\forall(x_{n})_{n}\subseteq D,(\lim_{n}x_{n}=c\land\forall n\in\mathbb{N},x_{n}\neq c\implies L=\lim_{n}f(x_{n}))$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+La implicación directa se demuestra ayudándose de un esquema, y la inversa
+ se realiza por reducción al absurdo.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ Si existe el límite de una función en un punto, este es único.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Condición de Cauchy:
+\series default
+ Dados 
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ un punto de acumulación de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists\lim_{x\rightarrow c}f(x)\in K\iff\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x,y\in B(c,\delta)\backslash\{c\},|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $L:=\lim_{x\rightarrow c}f(x)$
+\end_inset
+
+.
+ Fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $0\leq|x-c|<\delta$
+\end_inset
+
+ (es decir, 
+\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$
+\end_inset
+
+), 
+\begin_inset Formula $|L-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente, para 
+\begin_inset Formula $y\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|L-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|=|f(x)-L|+|L-f(y)|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Fijado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, tomamos 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x,y\in B(c,\delta)\backslash\{c\}\implies|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=c$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{n}\neq c$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $n_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x_{n},x_{m}\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces 
+\begin_inset Formula $|f(x_{n})-f(x_{m})|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $(f(x_{n}))_{n}$
+\end_inset
+
+ es de Cauchy y por tanto convergente, por lo que existe 
+\begin_inset Formula $L:=\lim_{n}f(x_{n})$
+\end_inset
+
+ y solo queda probar que 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ no depende de 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Dada 
+\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime})_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}^{\prime}=c$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime}\neq c$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $L^{\prime}:=\lim_{n}f(x_{n}^{\prime})$
+\end_inset
+
+ se tendría 
+\begin_inset Formula $|L-L^{\prime}|=|\lim_{n}f(x_{n})-\lim_{n}f(x_{n}^{\prime})|\leq\varepsilon$
+\end_inset
+
+ para cualquier 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, ya que al ser 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=c=\lim_{n}x_{n}^{\prime}$
+\end_inset
+
+, se cumple para 
+\begin_inset Formula $n>n_{0}^{\prime}$
+\end_inset
+
+ que 
+\begin_inset Formula $|x_{n}-x_{n}^{\prime}|<\delta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tomando límites de sucesiones, podemos concluir que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall k\in\mathbb{N},\lim_{x\rightarrow c}x^{k}=c^{k}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall k\in\mathbb{N},\lim_{x\rightarrow c}\sqrt[k]{x}=\sqrt[k]{c}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}\sin x=\sin c$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Como 
+\begin_inset Formula $\forall x\in[0,\frac{\pi}{2}],\sin x\leq x\leq\tan x$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|\sin x-\sin c|=2\left|\sin\frac{x-c}{2}\cos\frac{x+c}{2}\right|\leq2\left|\frac{x-c}{2}\right|=|x-c|$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto para 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, tomando 
+\begin_inset Formula $\delta=\varepsilon$
+\end_inset
+
+, se tiene que para 
+\begin_inset Formula $|x-c|<\delta$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|\sin x-\sin c|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $1\leq\frac{x}{\sin x}\leq\frac{1}{\cos x}$
+\end_inset
+
+, y aplicando el teorema del sandwich, 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}e^{x}=e^{c}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para 
+\begin_inset Formula $c\in(0,+\infty)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}\log x=\log c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para 
+\begin_inset Formula $c\notin\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}[x]=[c]$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $c\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\nexists\lim_{x\rightarrow c}[x]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\nexists\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Si fuera 
+\begin_inset Formula $L:=\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}$
+\end_inset
+
+, se tendría que para toda 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+ que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}}=L$
+\end_inset
+
+, pero las sucesiones 
+\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime}=\frac{1}{n\pi}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime\prime}=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$
+\end_inset
+
+ cumplen que 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}^{\prime}=\lim_{n}x_{n}^{\prime\prime}=0$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}^{\prime}}=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}^{\prime\prime}}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $|x\sin\frac{1}{x}-0|\leq|x|$
+\end_inset
+
+, por lo que tomando 
+\begin_inset Formula $\delta=\varepsilon$
+\end_inset
+
+ se cumple la definición.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $f,g:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ un punto de acumulación de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $L_{1}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)\in K$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $L_{2}=\lim_{x\rightarrow c}g(x)\in K$
+\end_inset
+
+, entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)+g(x)=L_{1}+L_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)g(x)=L_{1}L_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $L_{2}\neq0\implies\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_{1}}{L_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(x)\leq g(x)\implies L_{1}\leq L_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla del sandwich:
+\series default
+ Dada 
+\begin_inset Formula $h:D\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $L_{1}=L_{2}=L$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $L=\lim_{x\rightarrow c}h(x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Equivalencias importantes:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\log(1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\frac{x^{2}}{2}}=1
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Las tres primeras se siguen de las propiedades y equivalencias de sucesiones.
+ Para la cuarta,
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\frac{x^{2}}{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1+\cos x}\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1+\cos x}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}=\frac{2}{1+1}\left(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\right)^{2}=1
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Límites laterales:
+\series default
+ Dados 
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ un punto de acumulación de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+límite por la derecha
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $f(c^{+})=\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x):=\lim_{x\rightarrow c}g(x)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g:D\cap(c,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(x)=f(x)$
+\end_inset
+
+, y 
+\series bold
+límite por la izquierda
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $f(c^{-})=\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x):=\lim_{x\rightarrow c}g(x)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g:D\cap(-\infty,c)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+ Así,
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(c<x<c+\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=L$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(c<x<c+\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto, el límite de una función en un punto existe si y sólo si existen
+ los dos límites laterales y coinciden, en cuyo caso coinciden también con
+ el límite de la función en dicho punto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Límites infinitos y en el infinito:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $f:(a,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=l\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists M>0:\forall x\in(a,+\infty),(x>M\implies|f(x)-l|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall K>0,\exists M>0:\forall x\in(a,+\infty),(x>M\implies f(x)>K)$
+\end_inset
+
+.
+ De igual modo, si 
+\begin_inset Formula $f:D\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ es un punto de acumulación de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=+\infty$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall K>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(0<|x-c|<\delta\implies f(x)>K)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Funciones continuas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+continua
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(|x-c|<\delta\implies|f(x)-f(c)|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ si y sólo si para cada 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $f(c)=\lim_{n}f(x_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ En particular,
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(\lim_{n}x_{n})=\lim_{n}f(x_{n})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas 
+\begin_inset Formula $f,g:D\subseteq K\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ continuas en 
+\begin_inset Formula $c\in D$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f+g$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $fg$
+\end_inset
+
+ también son continuas en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $g(c)\neq0$
+\end_inset
+
+, también es continua 
+\begin_inset Formula $\frac{f}{g}$
+\end_inset
+
+.
+ Por otro lado, si 
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c\in D$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(c)\neq0$
+\end_inset
+
+ entonces existe un 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)\cap D$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(x)\neq0$
+\end_inset
+
+ y tiene el mismo signo que 
+\begin_inset Formula $f(c)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ es un punto aislado de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, es obvio.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ un punto de acumulación de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(c)\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|f(c)|}{2}>0$
+\end_inset
+
+, por la continuidad de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, existirá un 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f(c)-\varepsilon<f(x)<f(c)+\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f(c)>0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f(x)>f(c)-\varepsilon=f(c)-\frac{|f(c)|}{2}=\frac{f(c)}{2}>0$
+\end_inset
+
+, mientras que si 
+\begin_inset Formula $f(c)<0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(x)<f(c)+\varepsilon=f(c)+\frac{|f(c)|}{2}=f(c)-\frac{f(c)}{2}=\frac{f(c)}{2}<0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dadas 
+\begin_inset Formula $f_{1}:D_{1}\subseteq K\rightarrow D_{2}\subseteq K$
+\end_inset
+
+ continua en 
+\begin_inset Formula $c\in D_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f_{2}:D_{2}\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ continua en 
+\begin_inset Formula $f_{1}(c)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f_{2}\circ f_{1}:D_{1}\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$
+\end_inset
+
+, por la continuidad de 
+\begin_inset Formula $f_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f_{1}(c)=\lim_{n}f_{1}(x_{n})$
+\end_inset
+
+, pero al ser 
+\begin_inset Formula $f_{2}$
+\end_inset
+
+ continua en 
+\begin_inset Formula $f_{1}(c)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f_{2}(f_{1}(c))=\lim_{n}f_{2}(f_{1}(x_{n}))$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $(f_{2}\circ f_{1})(c)=\lim_{n}(f_{2}\circ f_{1})(x_{n})$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $f_{2}\circ f_{1}$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+continua en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ si es continua en cada punto de 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ Así, las funciones polinómicas, la exponencial, el seno y el coseno son
+ funciones continuas en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, mientras que el logaritmo es continuo en 
+\begin_inset Formula $(0,+\infty)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+¿Incluir las funciones de Dirichlet (3.2.7.8–9)? 
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Funciones reales continuas en un intervalo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Weierstrass
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua, entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es acotada.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si no lo fuera, para cada 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ existiría 
+\begin_inset Formula $x_{n}\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $|f(x_{n})|>n$
+\end_inset
+
+.
+ Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión 
+\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ convergente a un 
+\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces, como 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua en 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lim_{n}f(x_{n_{k}})_{k}=f(c)$
+\end_inset
+
+, luego la sucesión es acotada.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Existen 
+\begin_inset Formula $c,d\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(c)\leq f(x)\leq f(d)$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene máximo y mínimo.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\alpha=\lim_{n}f(x_{n})$
+\end_inset
+
+, por lo que existe una subsucesión 
+\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ convergente a un 
+\begin_inset Formula $d\in[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ Pero por la continuidad de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(d)=\lim_{k}f(x_{n_{k}})=\alpha$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ alcanza su máximo absoluto en 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+.
+ La demostración de que alcanza su mínimo absoluto es análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Bolzano
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua con 
+\begin_inset Formula $f(a)f(b)<0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists c\in(a,b):f(c)=0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos 
+\begin_inset Formula $f(a)<0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(b)>0$
+\end_inset
+
+ y sean 
+\begin_inset Formula $a_{0}:=a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b_{0}:=b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m:=\frac{a+b}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f(m)=0$
+\end_inset
+
+, hemos terminado.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f(m)>0$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\begin_inset Formula $a_{1}:=a_{0}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{1}:=m$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $f(m)<0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $a_{1}:=m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b_{1}:=b_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Procediendo recursivamente, o bien se encuentra un cero de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, o se obtiene una sucesión 
+\begin_inset Formula $[a_{n},b_{n}]$
+\end_inset
+
+ de intervalos en las condiciones del principio de encaje de Cantor, por
+ lo que 
+\begin_inset Formula $\exists!c\in\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_{n},b_{n}]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c=\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ La continuidad de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ junto con que 
+\begin_inset Formula $f(a_{n})<0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(b_{n})>0$
+\end_inset
+
+ implica que 
+\begin_inset Formula $0\leq\lim_{n}f(b_{n})=f(c)=\lim_{n}f(a_{n})\leq0$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $f(c)=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+método de bisección
+\series default
+ para resolución de ecuaciones es un algoritmo para aproximar raíces de
+ una función continua, y consiste en localizar un intervalo 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(a)f(b)<0$
+\end_inset
+
+ y proceder según la demostración del teorema de Bolzano.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+propiedad de Darboux
+\series default
+ o 
+\series bold
+de los valores intermedios
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(a)<z<f(b)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\exists c\in[a,b]:f(c)=z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es un intervalo de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua, entonces 
+\begin_inset Formula $f(I)$
+\end_inset
+
+ es un intervalo, y si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es además cerrado y acotado, también lo es 
+\begin_inset Formula $f(I)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Necesitamos demostrar que dados 
+\begin_inset Formula $y_{1},y_{2}\in f(I)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y_{1}<y_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $y_{1}<z<y_{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $z\in f(I)$
+\end_inset
+
+, inmediato de la propiedad de los valores intermedios.
+ Entonces, si 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es cerrado y acotado, por el teorema de Weierstrass, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene máximo 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ y mínimo 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, por lo que al ser un intervalo, 
+\begin_inset Formula $f(I)=[\alpha,\beta]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+monótona creciente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})\leq f(x_{2})$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+monótona decreciente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})\geq f(x_{2})$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+monótona
+\series default
+ si es monótona creciente o decreciente; 
+\series bold
+estrictamente creciente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})<f(x_{2})$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+estrictamente decreciente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})>f(x_{2})$
+\end_inset
+
+, y 
+\series bold
+estrictamente monótona
+\series default
+ si es estrictamente creciente o decreciente.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}:Y\rightarrow X$
+\end_inset
+
+ es la inversa de 
+\begin_inset Formula $f:X\rightarrow Y$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $f^{-1}\circ f=Id_{X}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f\circ f^{-1}=Id_{Y}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de la función inversa:
+\series default
+ Dada 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ continua, entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva si y sólo si es estrictamente monótona.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Supongamos por reducción al absurdo que siendo 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ inyectiva no fuera estrictamente monótona.
+ Entonces, para 
+\begin_inset Formula $x_{1}<x_{2}<x_{3}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(x_{1})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(x_{2})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(x_{3})$
+\end_inset
+
+ son distintos dos a dos.
+ Si fuera 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ estrictamente monótona se tendría que 
+\begin_inset Formula $f(x_{1})<f(x_{2})<f(x_{3})$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $f(x_{1})>f(x_{2})>f(x_{3})$
+\end_inset
+
+, por lo que si no lo es, entonces 
+\begin_inset Formula $f(x_{1})<f(x_{2})>f(x_{3})$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $f(x_{1})>f(x_{2})<f(x_{3})$
+\end_inset
+
+.
+ En el caso en que 
+\begin_inset Formula $f(x_{1})\leq f(x_{3})<f(x_{2})$
+\end_inset
+
+, por la propiedad de los valores intermedios, debe existir 
+\begin_inset Formula $c\in(x_{1},x_{2})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(c)=f(x_{3})$
+\end_inset
+
+.
+ Los otros tres casos son análogos.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no es inyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $x_{1}<x_{2}$
+\end_inset
+
+ no puede ser 
+\begin_inset Formula $f(x_{1})=f(x_{2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es estrictamente monótona, también lo es 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ que, además, es continua.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Al ser 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ estrictamente monótona es inyectiva, y al ser 
+\begin_inset Formula $J:=f(I)$
+\end_inset
+
+ un intervalo, existe la inversa 
+\begin_inset Formula $f^{-1}:J\rightarrow I$
+\end_inset
+
+, que también es una biyección estrictamente monótona.
+ Supongamos que es estrictamente creciente y sea 
+\begin_inset Formula $d\in J$
+\end_inset
+
+ que no sea un extremo del intervalo.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $c=f^{-1}(d)$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $f(c)=d$
+\end_inset
+
+), que por la monotonía no puede ser un extremo de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ no es un extremo, existe 
+\begin_inset Formula $0<\varepsilon^{\prime}<\varepsilon$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime})\subseteq I$
+\end_inset
+
+, y por ser 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ estrictamente creciente, 
+\begin_inset Formula $d:=f(c)\in(f(c-\varepsilon^{\prime}),f(c+\varepsilon^{\prime}))=f((c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime}))$
+\end_inset
+
+, por lo que existe 
+\begin_inset Formula $\delta>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B(d,\delta)\subseteq f((c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime}))$
+\end_inset
+
+, y por el crecimiento escrito de 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(B(d,\delta))\subseteq(c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime})\subseteq(c-\varepsilon,c+\varepsilon)=B(c,\varepsilon)$
+\end_inset
+
+, lo que demuestra la continuidad de 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ salvo en los extremos.
+ En estos casos, si 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ es un extremo de 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c:=f^{-1}(d)$
+\end_inset
+
+ lo es por tanto de 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+, es posible modificar ligeramente la prueba anterior para obtener el mismo
+ resultado.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:I\rightarrow J$
+\end_inset
+
+ es biyectiva, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si es estrictamente monótona.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Contenido en el apartado anterior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Por ser 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ estrictamente monótona, existen 
+\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(x_{0}^{+})$
+\end_inset
+
+ en cada 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in I$
+\end_inset
+
+.
+ Si para algún 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ fueran distintos (por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})<f(x_{0}^{+})$
+\end_inset
+
+, entonces los puntos de 
+\begin_inset Formula $(f(x_{0}^{-}),f(x_{0}^{+}))\subseteq J$
+\end_inset
+
+ deberían tener preimagen, pero por la monotonía no la tienen, con lo que
+ 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no sería biyectiva.
+ Por tanto debe ser 
+\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})=f(x_{0}^{+})$
+\end_inset
+
+ y la función es continua.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Continuidad uniforme
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+uniformemente continua
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x,y\in D,(|x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\varepsilon)$
+\end_inset
+
+.
+ El 
+\series bold
+teorema de Heine
+\series default
+ afirma que toda 
+\begin_inset Formula $f:B[a,r]\rightarrow K$
+\end_inset
+
+ continua es uniformemente continua.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si no lo fuera, existiría 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall\delta>0,\exists x,y\in D:(|x-y|<\delta\land|f(x)-f(y)|>\varepsilon)$
+\end_inset
+
+, por lo que existirían 
+\begin_inset Formula $(x_{n})_{n},(x_{n}^{\prime})_{n}\subseteq B[a,r]$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $|x_{n}-x_{n}^{\prime}|<\frac{1}{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $|f(x_{n})-f(x_{n}^{\prime})|\geq\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces existirían subsucesiones 
+\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(x_{n_{k}}^{\prime})_{k}$
+\end_inset
+
+ de estas que convergen al mismo 
+\begin_inset Formula $z\in B[a,r]$
+\end_inset
+
+.
+ Por la continuidad de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lim_{k}f(x_{n_{k}})=f(z)=\lim_{k}f(x_{n_{k}}^{\prime})$
+\end_inset
+
+, pero por otra parte 
+\begin_inset Formula $|f(x_{n_{k}})-f(x_{n_{k}}^{\prime})|\geq\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+.
+ Tomando límites, se tiene que 
+\begin_inset Formula $0\geq\varepsilon>0\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ip/n.lyx b/ip/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..f5b4510
--- /dev/null
+++ b/ip/n.lyx
@@ -0,0 +1,224 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize a5paper
+\use_geometry true
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\leftmargin 0.2cm
+\topmargin 0.7cm
+\rightmargin 0.2cm
+\bottommargin 0.7cm
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle empty
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+Introducción a la programación
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2017}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Diapositivas de teoría y guiones de prácticas, Introducción a la Programación,
+ Universidad de Murcia (anónimo).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter*
+¿Qué tareas puede realizar un ordenador?
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n0.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Léxico y organización de un algoritmo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Parametrización de acciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Composición iterativa y noción de secuencia
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Esquemas algorítmicos de recorrido y búsqueda.
+ Iteraciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n4.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Tablas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ip/n0.lyx b/ip/n0.lyx
new file mode 100644
index 0000000..782557f
--- /dev/null
+++ b/ip/n0.lyx
@@ -0,0 +1,210 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Ordenador:
+\series default
+ Mecanismo digital de propósito general.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Hardware:
+\series default
+ Le das patadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Software:
+\series default
+ La razón por la que das las patadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El ordenador procesa y ejecuta algoritmos.
+ Un 
+\series bold
+algoritmo
+\series default
+ es una secuencia de instrucciones 
+\series bold
+finita
+\series default
+ (termina en algún momento), 
+\series bold
+definida
+\series default
+ (totalmente inambigua), 
+\series bold
+efectiva
+\series default
+ (se puede hacer sólo con papel y lápiz) y 
+\series bold
+general
+\series default
+ (funciona con casos diferentes del problema a tratar y no solo con uno
+ en particular), y que tiene una serie de 
+\series bold
+entradas
+\series default
+ (parámetros, eventos, etc., incluyendo números pseudoaleatorios), 
+\series bold
+salidas
+\series default
+ (resultados) y una determinada 
+\series bold
+eficiencia
+\series default
+ (los recursos que consume, esp.
+ en función del tamaño del problema).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los problemas se clasifican en 
+\series bold
+computables
+\series default
+, cuando existe un algoritmo que los resuelve, y 
+\series bold
+no computables
+\series default
+.
+ Los computables a la vez se dividen en 
+\series bold
+tratables
+\series default
+, si hay un algoritmo eficiente que lo resuelve, o 
+\series bold
+intratables
+\series default
+ si no, entre los que destacan los NP-completos (no polinomiales).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El ordenador trabaja con 
+\series bold
+instrucciones máquina
+\series default
+, muy sencillas, y a través del código binario.
+ El bit (valor 0 o 1) es la unidad mínima de información.
+ Los 
+\series bold
+lenguajes de programación
+\series default
+ son una notación de las operaciones a realizar por el ordenador con un
+ nivel de abstracción mayor al lenguaje máquina.
+ El código escrito en estos como representación del algoritmo es convertido
+ al lenguaje máquina por el 
+\series bold
+compilador
+\series default
+ para su posterior ejecución o bien es ejecutado por un 
+\series bold
+intérprete
+\series default
+, que junta traducción y ejecución.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+IMPORTANTE:
+\series default
+ A la hora de escribir un programa o algoritmo en exámenes o prácticas a
+ entregar, 
+\series bold
+no usar NUNCA 
+\family typewriter
+return
+\family default
+ a mitad ni tampoco usar 
+\family typewriter
+goto
+\family default
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ip/n1.lyx b/ip/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..1936a5c
--- /dev/null
+++ b/ip/n1.lyx
@@ -0,0 +1,1788 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
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+\use_package amssymb 1
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+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
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+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
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+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
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+\math_numbering_side default
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+\papersides 1
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="55text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="35text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+LÉXICO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $v_{1}$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $tipo_{1}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $v_{2},v_{3}$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $tipo_{2}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $A_{1}$
+\end_inset
+
+: una acción
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+PRE { 
+\emph on
+precondición 
+\begin_inset Formula $A_{1}$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+ }
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+POST { 
+\emph on
+postcondición 
+\begin_inset Formula $A_{1}$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+ }
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+LÉXICO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+...
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+ALGORITMO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+...
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+FIN
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $f_{1}$
+\end_inset
+
+: función
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+PRE { 
+\emph on
+precondición 
+\begin_inset Formula $f_{1}$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+ }
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+POST { 
+\emph on
+postcondición 
+\begin_inset Formula $f_{1}$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+ }
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+LÉXICO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+ALGORITMO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+FIN
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+...
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+ALGORITMO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+PRE { 
+\emph on
+precondición algoritmo
+\emph default
+ }
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+POST { 
+\emph on
+postcondición algoritmo
+\emph default
+ }
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+...
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+FIN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+program
+\family default
+ 
+\begin_inset Formula $nombre$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+type
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $tipo_{1}$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ = 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $tipo_{2}$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ = 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+var
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $v_{1}$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ : 
+\begin_inset Formula $tipo_{1}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $v_{2}$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+, 
+\begin_inset Formula $v_{3}$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $tipo_{2}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+procedure 
+\begin_inset Formula $A_{1}$
+\end_inset
+
+(
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+):
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+var
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+begin
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+end;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+function 
+\begin_inset Formula $f_{1}$
+\end_inset
+
+(
+\family default
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+):
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+var
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+begin
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+end;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+var
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+begin
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+end.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+notación algorítmica
+\series default
+ establece la forma de describir las acciones e informaciones y organizarlas
+ en el tiempo, mientras que el código del programa establece la forma en
+ la que estas se implementan de forma interpretable por un ordenador.
+ Está formado por un 
+\series bold
+léxico,
+\series default
+ donde se definen las informaciones u objetos y las acciones, y el 
+\series bold
+control,
+\series default
+ que establece cómo actúan las acciones sobre los objetos.
+ La 
+\series bold
+abstracción
+\series default
+ sirve para dominar la complejidad de un programa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tipos de datos y operaciones primitivos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Especifican un dominio de valores y un conjunto de operaciones aplicables.
+ Los tipos pri
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+mi
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ti
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+vos son:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Entero
+\series default
+ (
+\family typewriter
+integer
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Real:
+\series default
+ Se usa el 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ como separador (
+\family typewriter
+real
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Booleano:
+\series default
+ Valores 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Verdadero
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Falso
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+boolean
+\family default
+, 
+\family typewriter
+true
+\family default
+, 
+\family typewriter
+false
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Carácter:
+\series default
+ Se ponen entre comillas simples (
+\family typewriter
+char
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las operaciones primitivas son:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $-$
+\end_inset
+
+: Entero
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Entero, Real
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Real
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $+$
+\end_inset
+
+, 
+\emph on
+
+\begin_inset Formula $-$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+, 
+\emph on
+
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+: Entero
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Entero
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Entero, Real
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Real
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Real
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\emph on
+\begin_inset Formula $/$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+:Entero
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Entero
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Real, Real
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Real
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Real
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\emph on
+\begin_inset Formula $DIV$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+, 
+\emph on
+
+\begin_inset Formula $MOD$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+: Entero
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Entero
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Entero
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $<$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $>$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $=$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\leq$
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+<=
+\family default
+), 
+\begin_inset Formula $\geq$
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+>=
+\family default
+), 
+\begin_inset Formula $\neq$
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+<>
+\family default
+): Entero
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Entero
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Booleano, Real
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Real
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Booleano, Carácter
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Carácter
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Booleano
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Predecesor$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $Sucesor$
+\end_inset
+
+: Entero
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Entero, Carácter
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Carácter
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $O$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $YDESPUÉS$
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+and
+\family default
+), 
+\begin_inset Formula $ODESPUÉS$
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+or
+\family default
+): Booleano
+\begin_inset Formula $\times$
+\end_inset
+
+Booleano
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Booleano
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $NO$
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+not
+\family default
+): Booleano
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Booleano
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Car$
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+chr
+\family default
+): Entero
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Carácter
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Ord$
+\end_inset
+
+ (
+\family typewriter
+ord
+\family default
+): Carácter
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+Entero
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las acciones primitivas son:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Asignación:
+\series default
+ 
+\emph on
+Variable
+\emph default
+
+\begin_inset Formula $\leftarrow$
+\end_inset
+
+
+\emph on
+Expresión
+\emph default
+.
+ Pascal: 
+\family typewriter
+\emph on
+var
+\emph default
+ := 
+\emph on
+expr
+\family default
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Entrada:
+\series default
+ Leer(
+\emph on
+lista de variables
+\emph default
+).
+ Pascal: 
+\family typewriter
+read(
+\emph on
+vars
+\emph default
+)
+\family default
+, 
+\family typewriter
+readln(
+\emph on
+vars
+\emph default
+)
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Salida:
+\series default
+ Escribir(
+\emph on
+lista de expresiones
+\emph default
+).
+ Pascal: 
+\family typewriter
+write(
+\emph on
+exprs
+\emph default
+)
+\family default
+, 
+\family typewriter
+writeln(
+\emph on
+exprs
+\emph default
+)
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todas las declaraciones e instrucciones del léxico y algoritmo terminan
+ por punto y coma, y cada Entero o Real puede ir acompañado de un rango.
+ Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $m:\text{Entero}[0,59]$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $d:\text{Entero}\geq0$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $c:\text{Caracter}[\text{'a'},\text{'z'}]$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+m : 0..59;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+c : 'a'..'z';
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+mes : febrero..abril;
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Organización de las acciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Composición secuencial:
+\series default
+ Se introducen estados intermedios para reducir la complejidad, descomponiendo
+ el problema en subproblemas más simples independientes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Análisis de casos:
+\series default
+ Se divide el problema en casos según los datos y se resuelve el caso correspond
+iente en cada situación.
+ La precondición de cada problema debe implicar la precondición inicial,
+ y la postcondición de cada uno debe cumplir la postcondición inicial.
+ Además, se deben considerar todos los casos como mucho una vez.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+SEGÚN 
+\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{n}$
+\end_inset
+
+ { Nombres de las variables a comprobar }
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $e_{1}$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $a_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $e_{n}$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $a_{n}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+EN_OTRO_CASO: 
+\begin_inset Formula $a_{n+1}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $_{opcional}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+FIN_SEGÚN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+SI 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+ENTONCES 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+SI_NO 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $_{opcional}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+FIN_SI
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+if 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+then 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+[ 
+\family typewriter
+else 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ ]
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En Pascal, los campos de expresiones solo permiten una acción, pero se pueden
+ agrupar varias en una sola con las etiquetas 
+\family typewriter
+begin
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+end
+\family default
+.
+ Además, se debe situar un punto y coma (
+\family typewriter
+;
+\family default
+) para separar las acciones.
+ No es necesario pues introducirlo antes de un 
+\family typewriter
+end
+\family default
+, ni tampoco debe usarse antes de un 
+\family typewriter
+else
+\family default
+, pues indicaría el final de la sentencia 
+\family typewriter
+if
+\family default
+ completa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tipos de datos no primitivos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Son las 
+\series bold
+tablas,
+\series default
+ los 
+\series bold
+registros
+\series default
+ o 
+\series bold
+producto de tipos
+\series default
+ (estructuras) y las 
+\series bold
+secuencias
+\series default
+.
+ Para definir un registro:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\emph on
+nombre_del_tipo
+\emph default
+ = TIPO < 
+\begin_inset Formula $a_{1},a_{2}$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $T_{1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $a_{n}$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $T_{m}$
+\end_inset
+
+>;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\emph on
+variable
+\emph default
+ : 
+\emph on
+nombre_del_tipo
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+type
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\emph on
+nombre_del_tipo
+\family typewriter
+\emph default
+ = record
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a_{1},a_{2}$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ : 
+\begin_inset Formula $T_{1}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a_{n}$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ : 
+\begin_inset Formula $T_{m}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+end;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+var
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \qquad{}
+\end_inset
+
+
+\emph on
+variable
+\family typewriter
+\emph default
+ : 
+\family default
+\emph on
+nombre_del_tipo
+\family typewriter
+\emph default
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ip/n2.lyx b/ip/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..80e064a
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+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Acciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Permiten conseguir 
+\series bold
+generalidad
+\series default
+ representando un conjunto potencialmente infinito de cálculos con el mismo
+ algoritmo, que es una 
+\series bold
+abstracción
+\series default
+ de estos.
+ Las acciones son la base para 
+\series bold
+descomposición
+\series default
+ de programas en el paradigma imperativo.
+ También mejoran la legibilidad, el mantenimiento y la reutilización de
+ partes del programa.
+ La abstracción proporcionada es por 
+\series bold
+especificación
+\series default
+ (separa el qué hace del cómo lo hace) y por 
+\series bold
+parametrización
+\series default
+ (definición general contra caso específico).
+ En lenguaje algorítmico, las acciones se definen como:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="50text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\emph on
+nombre
+\emph default
+ : una acción (
+\begin_inset Formula $tp_{1}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $par_{1}$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $td_{1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $tp_{n}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $par_{n}$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $td_{n}$
+\end_inset
+
+)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+procedure 
+\emph on
+nombre
+\emph default
+(
+\family default
+[
+\family typewriter
+var
+\family default
+] 
+\begin_inset Formula $par_{1}$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ : 
+\begin_inset Formula $td_{1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+; 
+\family default
+[
+\family typewriter
+var
+\family default
+] 
+\family typewriter
+
+\begin_inset Formula $par_{n}$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $td_{n}$
+\end_inset
+
+);
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A esto le sigue la implementación, similar a la del algoritmo en sí.
+ Aquí, 
+\begin_inset Formula $par_{i}$
+\end_inset
+
+ es el nombre del parámetro, 
+\begin_inset Formula $td_{i}$
+\end_inset
+
+ es su tipo de dato y 
+\begin_inset Formula $tp_{i}$
+\end_inset
+
+ puede ser 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+DATO
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (entrada), 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+RESULTADO
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (salida) o 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+DATO-RESULTADO
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (entrada y salida), y en Pascal los dos últimos casos se indican con 
+\family typewriter
+var
+\family default
+.
+ En 
+\begin_inset Formula $par_{i}$
+\end_inset
+
+ se pueden agrupar varios parámetros separados por comas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los nombres de los parámetros forman parte de su 
+\series bold
+léxico local
+\series default
+.
+ Pueden 
+\series bold
+enmascarar
+\series default
+ elementos del léxico global y no son utilizables fuera de la acción.
+ Llamamos 
+\series bold
+parámetros formales
+\series default
+ a los parámetros de una acción (
+\begin_inset Formula $par_{1},\dots,par_{n}$
+\end_inset
+
+) y 
+\series bold
+argumentos
+\series default
+ o 
+\series bold
+parámetros reales
+\series default
+ a los valores con los que se invoca la acción, mediante la notación 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\emph on
+nombre
+\emph default
+(
+\begin_inset Formula $expr_{1},\dots,expr_{n}$
+\end_inset
+
+)
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Funciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se diferencian de las acciones en que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Las acciones modifican el estado del proceso, mientras que las funciones
+ establecen una relación entre los elementos del 
+\series bold
+dominio
+\series default
+ y el 
+\series bold
+codominio
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Las acciones definen procedimientos complejos a partir de otros más simples,
+ mientras que las funciones extienden el repertorio de operadores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se definen de forma similar a las acciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="50text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\emph on
+nombre
+\emph default
+: Función (
+\begin_inset Formula $par_{1}$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $td_{1}$
+\end_inset
+
+; ...; 
+\begin_inset Formula $par_{n}$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $td_{n}$
+\end_inset
+
+) 
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+ tipo_retorno;
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+function 
+\emph on
+nombre
+\emph default
+(
+\family default
+
+\begin_inset Formula $par_{1}$
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+ : 
+\begin_inset Formula $td_{1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+;
+\family default
+ 
+\family typewriter
+
+\begin_inset Formula $par_{n}$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $td_{n}$
+\end_inset
+
+): 
+\emph on
+tipo_retorno
+\emph default
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para devolver un valor, se asigna al propio nombre de la función, que se
+ comporta como una variable de tipo 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+tipo_retorno
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ de solo escritura.
+ En exámenes y prácticas, no podemos hacer esto a mitad de la función, aun
+ cuando en Pascal este nombre se comporta como cualquier otra variable local.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Enumerado
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Solo en Pascal.
+ Ejemplo:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Box Boxed
+position "t"
+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
+use_parbox 0
+use_makebox 0
+width "100col%"
+special "none"
+height "1in"
+height_special "totalheight"
+thickness "0.4pt"
+separation "3pt"
+shadowsize "4pt"
+framecolor "black"
+backgroundcolor "none"
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+type colors = (red, green, blue);
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+var color : colors;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+begin
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+color := red;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+end.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ip/n3.lyx b/ip/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..d15221e
--- /dev/null
+++ b/ip/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1300 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+secuencia
+\series default
+ es un conjunto ordenado de valores.
+ Se expresa como 
+\begin_inset Formula $[a_{1},\dots,a_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+ La función 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $long(S)$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ devuelve la longitud de la secuencia 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $S=[a_{1},\dots,a_{n}]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S'=[b_{1},\dots,b_{m}]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ es un elemento, definimos conceptualmente las siguientes operaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Añadir un elemento:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $S\bullet e=[a_{1},\dots,a_{n},e]$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $e\circ S=[e,a_{1},\dots,a_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Concatenar secuencias:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $S\&S'=[a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $primero(S)=a_{1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $último(S)=a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Sucesor:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $sucesor(S,i)=S_{i+1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cola
+\series default
+ y 
+\series bold
+cabeza:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $cola(S)=[S_{2},\dots,S_{n}]$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $cabeza(S)=[S_{1},\dots,S_{n-1}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+¿Vacía?
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $esvacía(S)=\begin{cases}
+\text{Verdadero} & S=[]\\
+\text{Falso} & S\neq[]
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Primer modelo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="7" columns="4">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+E.
+ inicial
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+E.
+ final
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Efecto
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Comenzar(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Marcada/Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Comienza desde el principio.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Avanzar(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Avanza un elemento.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+EA(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Obtiene el elemento actual.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Crear(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Cualquiera
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Creación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Crea una secuencia vacía.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Registrar(S,e)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Creación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Creación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Añade un elemento.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Marcar(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Creación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Marcada
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Añade una marca de fin de secuencia.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por defecto una secuencia no está en ningún estado, por lo que solo podemos
+ usar Crear(S).
+ En Pascal, estas operaciones se encuentran en los archivos 
+\family typewriter
+unitmse1
+\family default
+, 
+\family typewriter
+unitmsc1
+\family default
+ y 
+\family typewriter
+unitmsr1
+\family default
+ para enteros, caracteres y reales.
+ Debemos añadir el código justo después de la línea con el nombre del programa,
+ con el nombre del archivo correspondiente:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Box Boxed
+position "t"
+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
+use_parbox 0
+use_makebox 0
+width "100col%"
+special "none"
+height "1in"
+height_special "totalheight"
+thickness "0.4pt"
+separation "3pt"
+shadowsize "4pt"
+framecolor "black"
+backgroundcolor "none"
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+uses
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\emph on
+unitms
+\series bold
+x
+\series default
+1
+\emph default
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El tipo de dato es 
+\begin_inset Formula $MS_{x}1$
+\end_inset
+
+ (siendo 
+\begin_inset Formula $_{x}$
+\end_inset
+
+ una 
+\family typewriter
+e
+\family default
+, 
+\family typewriter
+c
+\family default
+ o 
+\family typewriter
+r
+\family default
+), y las funciones se denominan
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $Comenzar\_MS_{x}1$
+\end_inset
+
+, etc.
+ Además, se añaden 
+\begin_inset Formula $Encender\_Maquina\_MS_{x}1(S)$
+\end_inset
+
+, que debe ser llamada una y sólo una vez antes de cualquier otra operación
+ sobre la secuencia (el 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+constructor
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+) y 
+\begin_inset Formula $Cargar\_Fichero\_MS_{x}1(S,s)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ es una cadena de caracteres (capítulo 5), y carga en la secuencia los datos
+ leídos del fichero indicado en 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Segundo modelo
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="8" columns="4">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+E.
+ inicial
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+E.
+ final
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Efecto
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Iniciar(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Cr./Inic./Cons.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Comienza desde antes del 
+\begin_inset Formula $1^{er}$
+\end_inset
+
+ elemento.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Avanzar(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Iniciada/Cons.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Avanza un elemento.
+ Error si EsÚltimo.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+EA(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Consulta
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Obtiene el elemento actual.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+EsVacía(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Cualquiera
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+(E.
+ inicial)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Devuelve si la secuencia es vacía.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+EsÚltimo(S,e)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Inic./Cons.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+(E.
+ inicial)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Devuelve si el elem.
+ actual es el último.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Crear(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Cualquiera
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Creación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Crea una secuencia vacía.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Registrar(S)
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Creación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Creación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Añade un elemento a la secuencia.
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Estas secuencias son similares a las del primer modelo, y en Pascal se usan
+ igual, pero no tienen marca de fin y empiezan antes del primer elemento.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Composición iterativa
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las iteraciones tienen un 
+\series bold
+invariante
+\series default
+ (INV), que se cumple tras cada ciclo y es un subconjunto de la post-condición,
+ además de tener una 
+\series bold
+precondición
+\series default
+ (PRE) y una 
+\series bold
+postcondición
+\series default
+ (POST).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="50text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+MIENTRAS
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+FIN_MIENTRAS
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+while 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ do
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+REPETIR
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+HASTA_QUE
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+repeat
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+
+\family default
+ (no es necesario 
+\family typewriter
+begin
+\family default
+..
+\family typewriter
+end
+\family default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+until 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+ITERAR
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+DETENER
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+FIN_ITERAR
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+repeat
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s_{1}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+if 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ then break;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s_{2}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+until false
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En exámenes y prácticas, no podemos utilizar 
+\family typewriter
+break
+\family default
+ salvo en este caso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cualquier composición iterativa se puede expresar en términos de cualquier
+ otra, pero hay que saber elegir la más apropiada en cada caso.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ip/n4.lyx b/ip/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..2e5246e
--- /dev/null
+++ b/ip/n4.lyx
@@ -0,0 +1,302 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
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+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
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+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
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+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un esquema algorítmico es una 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+plantilla
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ de algoritmo aplicable no a un problema sino a una 
+\emph on
+clase
+\emph default
+ de problemas.
+ Estudiaremos los siguientes:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Recorrido
+\series default
+ o 
+\series bold
+enumeración secuencial:
+\series default
+ Aplicación del mismo tratamiento a todos los elementos de una colección.
+ Debemos estudiar si podemos tratar la secuencia vacía como el resto (
+\begin_inset Formula $H_{1}$
+\end_inset
+
+) y si podemos tratar al primer elemento como el resto (
+\begin_inset Formula $H_{2}$
+\end_inset
+
+).
+ Dado que 
+\begin_inset Formula $H_{1}\implies H_{2}$
+\end_inset
+
+, tenemos tres esquemas: (1) 
+\begin_inset Formula $H_{1}\land H_{2}$
+\end_inset
+
+, (2) 
+\begin_inset Formula $\neg H_{1}\land H_{2}$
+\end_inset
+
+ y (3) 
+\begin_inset Formula $\neg H_{1}\land\neg H_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Búsqueda:
+\series default
+ Encontrar el primer elemento 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ en la colección 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ que cumpla cierta propiedad.
+ Puede que dicha propiedad no dependa solo de 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ sino también de los elementos anteriores (
+\begin_inset Formula $P_{iz}$
+\end_inset
+
+), en cuyo caso habrá que hacer los tratamientos necesarios.
+ Una vez encontrado el elemento buscado, la iteración se detiene.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Es muy importante identificar la clase de cada problema, pues de lo contrario
+ se podría confundir una búsqueda con un recorrido.
+ Un mismo problema puede combinar búsqueda y recorrido, bien de manera secuencia
+l o uno dentro del otro.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+iteración
+\series default
+ define una sucesión de valores dados por el conjunto de variables implicadas,
+ que denotamos 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ La secuencia se caracteriza por un valor inicial 
+\begin_inset Formula $V_{0}$
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+inicialización
+\series default
+), una 
+\series bold
+condición de continuación
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $P(V)$
+\end_inset
+
+ y un conjunto de funciones que modifican el valor de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ en cada iteración, 
+\begin_inset Formula $f(V)$
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+cuerpo
+\series default
+).
+ Para saber que la iteración finaliza después de un número finito de pasos,
+ definimos una 
+\series bold
+función de terminación
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ entera que dependa de las variables y sea estrictamente decreciente respecto
+ al progreso de la iteración con una cota inferior.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Existen dos formas de definir una sucesión:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Explícita
+\series default
+ o 
+\series bold
+calculada
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $a_{i}$
+\end_inset
+
+ se expresa como una fórmula o algoritmo desde 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Implícita
+\series default
+ o 
+\series bold
+recurrente
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $a_{i}$
+\end_inset
+
+ se expresa mediante una relación de inducción, a partir de 
+\begin_inset Formula $a_{i-r},\dots,a_{i-1}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+profundidad
+\series default
+, y los valores 
+\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{r-1}$
+\end_inset
+
+ son dados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una sucesión 
+\begin_inset Formula $a_{n}$
+\end_inset
+
+, definimos la sucesión de 
+\series bold
+sumas parciales
+\series default
+ o 
+\series bold
+serie
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $S_{1}=a_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S_{n}=S_{n-1}+a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/ip/n5.lyx b/ip/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..90076a7
--- /dev/null
+++ b/ip/n5.lyx
@@ -0,0 +1,1691 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Están formadas por un número fijo de elementos de un determinado tipo.
+ Definición:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="50text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\emph on
+nombre_tipo
+\emph default
+ = TIPO Tabla [
+\begin_inset Formula $s_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $e_{1}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $s_{n}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $e_{n}$
+\end_inset
+
+] de 
+\emph on
+tipo
+\emph default
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\emph on
+nombre_tipo
+\emph default
+ = array [
+\begin_inset Formula $s_{1}$
+\end_inset
+
+..
+\begin_inset Formula $e_{1}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $s_{n}$
+\end_inset
+
+..
+\begin_inset Formula $e_{n}$
+\end_inset
+
+] of 
+\emph on
+tipo
+\emph default
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ es una variable de un tipo tabla, podemos acceder a sus elementos con la
+ notación 
+\begin_inset Formula $T_{a_{1},\dots,a_{n}}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $s_{i}\leq a_{i}\leq e_{i}$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $s_{i}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ constantes de tipo entero, caracter o enumerado.
+ En Pascal, 
+\family typewriter
+\emph on
+T
+\emph default
+[
+\begin_inset Formula $a_{1}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\dots$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a_{n}$
+\end_inset
+
+]
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Composición 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+-RECORRIENDO
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="left" valignment="top" width="50text%">
+<column alignment="left" valignment="top" width="40text%">
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Lenguaje algorítmico
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Pascal
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+RECORRIENDO
+\series default
+ [
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+] 
+\series bold
+HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+FIN_RECORRIENDO
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+for 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ := 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ to 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ do
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+RECORRIENDO
+\series default
+ [
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+] 
+\series bold
+EN_SENTIDO_INVERSO HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+FIN_RECORRIENDO
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+for 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ := 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ downto 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ do
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejecuta 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ una vez por cada elemento entre 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, en sentido directo o inverso, y en este la variable 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+, de sólo lectura, toma el valor del elemento en cuestión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tipo 
+\family typewriter
+string
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Representa una cadena de caracteres, a los que se accede igual que en una
+ tabla definida de 1 a 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Box Boxed
+position "t"
+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
+use_parbox 0
+use_makebox 0
+width "100col%"
+special "none"
+height "1in"
+height_special "totalheight"
+thickness "0.4pt"
+separation "3pt"
+shadowsize "4pt"
+framecolor "black"
+backgroundcolor "none"
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+var 
+\emph on
+str
+\emph default
+ : string [
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+]
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage newpage
+\end_inset
+
+Se representan con comillas simples rodeando el contenido, se accede a los
+ caracteres con 
+\family typewriter
+\emph on
+str
+\emph default
+[
+\emph on
+i
+\emph default
+]
+\family default
+ y se definen las siguientes operaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+st1 + st2
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+concat(st1, ..., stn : string) : string
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+copy(st : string; start, index : integer) : string
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+delete(var st : string; start, index : integer)
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+insert(src : string; var dst : string; pos : integer)
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+length(s : string) : integer
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+pos(substr, str : string) : byte
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+str(in : 
+\family default
+(byte, integer...)
+\family typewriter
+; var out : string)
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\family typewriter
+val(in : string; var out : 
+\family default
+(byte, integer...)
+\family typewriter
+; var invalidcharpos : integer)
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Algoritmos de ordenación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Suponemos que todos los algoritmos incluyen el siguiente léxico:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Box Boxed
+position "t"
+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
+use_parbox 0
+use_makebox 0
+width "100col%"
+special "none"
+height "1in"
+height_special "totalheight"
+thickness "0.4pt"
+separation "3pt"
+shadowsize "4pt"
+framecolor "black"
+backgroundcolor "none"
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+LÉXICO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\text{TipoClave}=\text{ENTERO}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\text{TipoDatos}=\text{\textbf{TIPO}}<\text{clave}:\text{TipoClave}\text{;}\dots>$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\text{TipoIndice}=\text{\textbf{TIPO}}\text{[1..\ensuremath{n}]}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a:\text{\textbf{TABLA} [TipoIndice] \textbf{DE} TipoDatos}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Inserción directa
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Box Boxed
+position "t"
+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
+use_parbox 0
+use_makebox 0
+width "100col%"
+special "none"
+height "1in"
+height_special "totalheight"
+thickness "0.4pt"
+separation "3pt"
+shadowsize "4pt"
+framecolor "black"
+backgroundcolor "none"
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+LÉXICO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $q,j:\text{TipoIndice}$
+\end_inset
+
+
+\family default
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $b:\text{TipoDatos}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+ALGORITMO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\emph on
+
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+
+\emph default
+ 
+\series bold
+RECORRIENDO
+\series default
+ [2, 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+] 
+\series bold
+HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $b\leftarrow a_{q}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $j\leftarrow q-1$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+MIENTRAS
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $b\text{.clave}<a_{j}\text{.clave}$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a_{j+1}\leftarrow a_{j}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $j\leftarrow j-1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+FIN_MIENTRAS
+\series default
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a_{j+1}\leftarrow b$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+FIN_RECORRIENDO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+FIN
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Inserción binaria
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Box Boxed
+position "t"
+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
+use_parbox 0
+use_makebox 0
+width "100col%"
+special "none"
+height "1in"
+height_special "totalheight"
+thickness "0.4pt"
+separation "3pt"
+shadowsize "4pt"
+framecolor "black"
+backgroundcolor "none"
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+LÉXICO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $inf,sup,med:\text{TipoIndice}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x:\text{TipoDatos}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+ALGORITMO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+RECORRIENDO
+\series default
+ [2,
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+] 
+\series bold
+HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $inf\leftarrow1$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $sup\leftarrow i-1$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x\leftarrow a_{i}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+MIENTRAS
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $inf\leq sup$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $med\leftarrow(inf+sup)\text{ DIV }2$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+SI
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $x.\text{clave}<a_{med}\text{.clave}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+ENTONCES
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $sup\leftarrow med-1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+SI_NO
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $inf\leftarrow med+1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+FIN_SI
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+FIN_MIENTRAS
+\series default
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+RECORRIENDO
+\series default
+ [
+\begin_inset Formula $inf$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $i-1$
+\end_inset
+
+] 
+\series bold
+EN_SENTIDO_INVERSO
+\series default
+ 
+\series bold
+HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a_{j+1}\leftarrow a_{j}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+FIN_RECORRIENDO
+\series default
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a_{inf}\leftarrow x$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+FIN_RECORRIENDO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+FIN
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Selección directa
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Box Boxed
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+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
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+special "none"
+height "1in"
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+shadowsize "4pt"
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+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+LÉXICO
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+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $pos,j,q:\text{TipoIndice}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $min:\text{TipoDatos}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+ALGORITMO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+RECORRIENDO
+\series default
+ [1,
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+] 
+\series bold
+HACER
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $pos\leftarrow q$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $min\leftarrow a_{q}$
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+
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+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
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+
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+
+
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+\series bold
+RECORRIENDO
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+\series bold
+HACER
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+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
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+
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+\begin_inset space \hspace{}
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+\begin_inset space \hspace{}
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+
+
+\series bold
+SI
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+
+ 
+\series bold
+ENTONCES
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+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset Formula $pos\leftarrow j$
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+
+\begin_layout Plain Layout
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset Formula $min\leftarrow a_{j}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\series bold
+FIN_SI
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+FIN_RECORRIENDO
+\series default
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
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+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a_{pos}\leftarrow a_{q}$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $a_{q}\leftarrow min$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset space \hspace{}
+\length 8ex
+\end_inset
+
+
+\series bold
+FIN_RECORRIENDO
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+FIN
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otros algoritmos de ordenación, más avanzados, son el 
+\series bold
+algoritmo de Shell
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $O(n^{1.25})$
+\end_inset
+
+, y 
+\series bold
+Quicksort
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $O(n\log n)$
+\end_inset
+
+, que Charles Hoare demostró que no existe otro más rápido.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/license.lyx b/license.lyx
new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/license.lyx
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+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+
+\begin_body
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+\begin_layout Standard
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+
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+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset line
+LatexCommand rule
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+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Copyright © 
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+cryear{}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ Juan Marín Noguera, 
+\family typewriter
+
+\begin_inset CommandInset href
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+name "juan.marinn@um.es"
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+
+\end_inset
+
+
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esta obra está bajo la licencia Reconocimiento-CompartirIgual 4.0 Internacional
+ de Creative Commons (CC-BY-SA 4.0).
+ Para ver una copia de esta licencia, visite 
+\begin_inset Flex URL
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
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+https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
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+\end_document
diff --git a/logic/n.lyx b/logic/n.lyx
new file mode 100644
index 0000000..57fe1dd
--- /dev/null
+++ b/logic/n.lyx
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+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+
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+
+\begin_layout Title
+Fundamentos Lógicos de la Informática
+\end_layout
+
+\begin_layout Date
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
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+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+def
+\backslash
+cryear{2017}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "../license.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bibliografía:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Diapositivas de Fundamentos Lógicos de la Informática, Departamento de Ingenierí
+a de al Información y las Comunicaciones (nota: la errata es de ellos),
+ Facultad de Informática, Universidad de Murcia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Wikipedia, la enciclopedia libre (
+\begin_inset Flex URL
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+https://es.wikipedia.org/
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Lógica
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n1.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Lógica proposicional
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n2.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Problema SAT
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Deducción natural
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n4.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Lógica categórica
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Lógica de predicados de primer orden
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n6.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Sistemas deductivos, razonamientos y deducciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n7.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/logic/n1.lyx b/logic/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..166b2b3
--- /dev/null
+++ b/logic/n1.lyx
@@ -0,0 +1,346 @@
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+La lógica estudia las oraciones y los razonamientos, y existen tantas como
+ tipos de oraciones y razonamientos.
+ En informática, es la base de la programación, representa el conocimiento
+ en inteligencia artificial, sirve para demostraciones de resultados teóricos
+ y diseño de circuitos lógicos y define los problemas NP-completos (SAT).
+ Existen distintas lógicas, como las lógicas clásicas (proposicional, categórica
+, de primer orden...) y la lógica difusa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Oraciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dentro de una misma lógica, una oración lógica es una oración del lenguaje
+ natural que cumpla ciertas condiciones.
+ En las lógicas clásicas, es aquella que es 
+\series bold
+enunciativa
+\series default
+ y cumple la 
+\series bold
+ley del tercero excluido
+\series default
+ (solo puede ser verdadera [
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+] o falsa [
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+]) y la 
+\series bold
+ley de no contradicción
+\series default
+ (no puede ser 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ a la vez).
+ Estas pueden ser 
+\series bold
+simples
+\series default
+ (
+\series bold
+atómicas
+\series default
+) o 
+\series bold
+compuestas
+\series default
+ (
+\series bold
+moleculares
+\series default
+), dependiendo de si tienen uno o más predicados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Razonamientos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un razonamiento es una estructura que enlaza oraciones, de las cuales una
+ es la 
+\series bold
+conclusión
+\series default
+ de otras (
+\series bold
+premisas
+\series default
+) y todas (salvo ella misma) proporcionan evidencias para justificarla.
+ Así, un razonamiento está formado por 
+\series bold
+axiomas
+\series default
+ o 
+\series bold
+premisas
+\series default
+; 
+\series bold
+conclusiones
+\series default
+ o 
+\series bold
+teoremas
+\series default
+, y una 
+\series bold
+demostración
+\series default
+.
+ Existen dos tipos de razonamiento:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Deductivo:
+\series default
+ Se basa en la implicación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inductivo:
+\series default
+ Parte de casos y llega a una conclusión general.
+ Sólo es válido si se consideran todos los casos; de lo contrario la conclusión
+ es probablemente, pero no necesariamente, cierta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un razonamiento es válido si la conclusión es necesariamente cierta cuando
+ lo son las premisas, y se escribe como 
+\begin_inset Formula $\underset{\text{Premisas}}{\{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\}}\vDash\underset{\text{Conclusión}}{\beta}$
+\end_inset
+
+.
+ Para representarlo:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Representación gráfica:
+\series default
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{ccccc}
+P_{1} & \land & P_{2}\\
+\hline  & \downarrow\\
+ & C_{1} &  & \land & P_{3}\\
+\hline  &  &  & \downarrow\\
+ &  &  & C_{2}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Representación estándar:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{ccc}
+ & P_{1}\\
+ & P_{2}\\
+\hline \therefore & C_{1} & P_{1}\text{ y }P_{2}\\
+ & P_{3}\\
+\hline \therefore & C_{2} & C_{1}\text{ y }P_{3}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Tipos de definiciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Extensiva
+\series default
+ o 
+\series bold
+extensional:
+\series default
+ Lista de elementos que cumplen la condición.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Comprensiva
+\series default
+ o 
+\series bold
+intensional:
+\series default
+ Lista de propiedades necesarias.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Recursiva:
+\series default
+ Formada por una 
+\series bold
+regla base
+\series default
+, que define casos concretos, y una 
+\series bold
+regla recursiva
+\series default
+, que define todos los demás casos a partir de casos ya conocidos mediante
+ una relación.
+ También puede contener una 
+\series bold
+regla de exclusión
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Lenguajes formales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El lenguaje natural es ambiguo, y suele ser vago, paradójico, complicado...
+ Por tanto, en ciencia es imprescindible un lenguaje formal para obtener
+ rigor.
+ Un lenguaje formal consta de un conjunto de símbolos (
+\series bold
+alfabeto
+\series default
+ o 
+\series bold
+vocabulario
+\series default
+) y una definición recursiva para conectarlos (
+\series bold
+gramática
+\series default
+ o 
+\series bold
+sintaxis
+\series default
+), y es el conjunto de todas las fórmulas bien formadas (f.b.f.) obtenidas
+ a partir de estas.
+ En la práctica, necesitamos un sistema de codificación (formalización)
+ y de interpretación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Formalización e interpretación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Formalizar es obtener una oración o f.b.f.
+ en lenguaje formal a partir del lenguaje natural, mientras que interpretar
+ es entender una f.b.f.
+ expresándola en lenguaje natural.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/logic/n2.lyx b/logic/n2.lyx
new file mode 100644
index 0000000..93478b7
--- /dev/null
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+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\index Index
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Las oraciones lógicas en lógica proposicional (
+\series bold
+L0
+\series default
+) se llaman 
+\series bold
+proposiciones
+\series default
+.
+ Las proposiciones atómicas, también llamadas 
+\series bold
+sentencias
+\series default
+ o 
+\series bold
+átomos
+\series default
+, se agrupan mediante 
+\series bold
+operadores lógicos
+\series default
+ para formar oraciones compuestas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Sintaxis
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Constantes:
+\series default
+ Verdadero (
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+) o falso (
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{B}=\{V,F\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Sentencias:
+\series default
+ Se representan por un conjunto de letras latinas.
+ El conjunto de todos se denota por 
+\begin_inset Formula ${\cal P}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Operadores lógicos:
+\series default
+ Negación (
+\begin_inset Formula $\neg$
+\end_inset
+
+) y conectivos.
+ Los conectivos son: conjunción (
+\begin_inset Formula $\land$
+\end_inset
+
+), disyunción (
+\begin_inset Formula $\lor$
+\end_inset
+
+), implicación (
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+) y doble implicación (
+\begin_inset Formula $\leftrightarrow$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Paréntesis
+\series default
+ o corchetes, para agrupar expresiones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definición recursiva de una f.b.f.:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Forma básica:
+\series default
+ Todo átomo es una f.b.f.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Forma recursiva:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ son f.b.f., también lo son 
+\begin_inset Formula $\neg\alpha$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(\alpha\rightarrow\beta)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(\alpha\leftrightarrow\beta)$
+\end_inset
+
+.
+ La presencia o ausencia de paréntesis es importante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En la práctica, podemos eliminar paréntesis según estas reglas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Se pueden eliminar los paréntesis exteriores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Prioridad:
+\series default
+ De mayor a menor: 
+\begin_inset Formula $\neg$
+\end_inset
+
+, (
+\begin_inset Formula $\land$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\lor$
+\end_inset
+
+), (
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\leftrightarrow$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Asociatividad:
+\series default
+ A igual prioridad de operadores, se asocia por la izquierda.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También podemos añadir paréntesis a cualquier expresión que no sea una negación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Formalización
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Los átomos corresponden a oraciones enunciativas afirmativas, en forma presente
+ y con sujeto (salvo verbos impersonales).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\neg\alpha$
+\end_inset
+
+: No 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, no es el caso de 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, no es cierto que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, es falso que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, no sucede que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, la negación de 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\alpha\land\beta$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ (pero, aunque, además, sin embargo, también, a la vez, aún, no obstante).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\alpha\lor\beta$
+\end_inset
+
+: O 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+; ya 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, ya 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, ya ambas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+: Si 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ solo si 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, solo 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, es suficiente 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ para que 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, siempre que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, no 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ a menos que 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, es necesario 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ para que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, a no ser que 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ no 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ equivale a 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ cuando y sólo cuando 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ cuando únicamente 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ , 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es condición suficiente y necesaria para que 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Interpretación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Procedimiento que traduce las fórmulas 
+\series bold
+atómicas
+\series default
+ a oraciones naturales.
+ Una 
+\series bold
+asignación
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $v_{I}$
+\end_inset
+
+ es el procedimiento que establece un valor de verdad a una fórmula atómica
+ según una interpretación 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ En L0 no se suele hacer distinción, y hace referencia a una función 
+\begin_inset Formula $v_{I}:{\cal P_{\alpha}}\rightarrow\mathbb{B}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $V\mapsto V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F\mapsto F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+evaluación
+\series default
+ es la obtención del valor de verdad de una oración 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos 
+\begin_inset Formula $V(\alpha)=V$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $V(\alpha)=F$
+\end_inset
+
+, según corresponda.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Regla base:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\alpha\in{\cal P}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $V(\alpha)=v_{I}(\alpha)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Regla recursiva:
+\series default
+
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+V(\neg\alpha) & = & \begin{cases}
+V & \text{si }V(\alpha)=F\\
+F & \text{si }V(\alpha)=V
+\end{cases}\\
+V(\alpha\land\beta) & = & \begin{cases}
+V & \text{si }V(\alpha)=V\text{ y }V(\beta)=V\\
+F & \text{en otro caso}
+\end{cases}\\
+V(\alpha\lor\beta) & = & \begin{cases}
+F & \text{si }V(\alpha)=F\text{ y }V(\beta)=F\\
+V & \text{en otro caso}
+\end{cases}\\
+V(\alpha\rightarrow\beta) & = & \begin{cases}
+F & \text{si }V(\alpha)=V\text{ y }V(\beta)=F\\
+V & \text{en otro caso}
+\end{cases}\\
+V(\alpha\leftrightarrow\beta) & = & \begin{cases}
+V & \text{si }V(\alpha)=V(\beta)\\
+F & \text{en otro caso}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Grafos semánticos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un grafo semántico es un árbol que representa una f.b.f.
+ El nodo principal contiene el operador principal (o el único átomo).
+ De cada conectivo parten dos ramas (o una si es 
+\begin_inset Formula $\neg$
+\end_inset
+
+) con las subfórmulas que conecta, y los átomos son hojas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Decidibilidad
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una oración puede ser:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Satisfacible
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $V(\alpha)=V$
+\end_inset
+
+ en alguna interpretación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Falseable
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $V(\alpha)=F$
+\end_inset
+
+ en alguna interpretación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Contingente
+\series default
+ o 
+\series bold
+contingencia
+\series default
+ si es a la vez satisfacible y falseable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Tautológica
+\series default
+, 
+\series bold
+válida
+\series default
+ o 
+\series bold
+tautología
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $V(\alpha)=V$
+\end_inset
+
+ en todas las interpretaciones.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula $\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Insatisfacible
+\series default
+ o 
+\series bold
+contradicción
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $V(\alpha)=F$
+\end_inset
+
+ en todas las interpretaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El problema SAT, determinar si una oración lógica es satisfacible, es el
+ primer problema conocido NP-completo, y de hecho todos los problemas NP-complet
+os se pueden reducir a SAT, de modo que si uno de resuelve como P, se resuelven
+ todos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto de fórmulas 
+\begin_inset Formula ${\cal F}=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es satisfacible si su conjunción lo es, y llamamos 
+\series bold
+modelo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+ a cualquier interpretación en la que 
+\begin_inset Formula $V(\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n})=V$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos del mismo modo conjunto insatisfacible.
+ El conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal F}=\{\}$
+\end_inset
+
+ es modelo en todas las interpretaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para hallar los valores de verdad de una oración en función de la interpretación
+, podemos construir una 
+\series bold
+tabla de verdad.
+
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ átomos y 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ operadores, construimos una tabla con 
+\begin_inset Formula $2^{n}$
+\end_inset
+
+ filas (más la cabecera) y 
+\begin_inset Formula $n+m$
+\end_inset
+
+ columnas.
+ En cada fila establecemos una asignación hasta establecer todas las asignacione
+s posibles y obtenemos las evaluaciones para las oraciones definidas por
+ cada operador, en orden de evaluación y terminando con el operador principal,
+ que establece el valor de verdad.
+ Debemos indicar el orden de evaluación.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Otra forma es la 
+\series bold
+propagación de literales.
+
+\series default
+ Un literal es un átomo o la negación de un átomo.
+ Dada una fórmula 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+, definimos 
+\begin_inset Formula $\phi(p)\equiv\phi_{|V(p)=V}$
+\end_inset
+
+ a la fórmula más simplificada que, en las interpretaciones en las que 
+\begin_inset Formula $V(p)=V$
+\end_inset
+
+, tenga los mismos valores de verdad que 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+.
+ Por ejemplo, dada la oración 
+\begin_inset Formula $\phi\equiv(p\rightarrow q)\rightarrow(\neg p\rightarrow\neg q)$
+\end_inset
+
+, tendríamos que 
+\begin_inset Formula $\phi(p)\equiv\phi_{|V(p)=V}\equiv(V\rightarrow q)\rightarrow(\neg V\rightarrow\neg q)\equiv q\rightarrow(F\rightarrow q)\equiv q\rightarrow V\equiv V$
+\end_inset
+
+, mientras que 
+\begin_inset Formula $\phi(\neg p)\equiv\phi_{|V(\neg p)=V}\equiv\phi_{|V(p)=F}\equiv(F\rightarrow q)\rightarrow(\neg F\rightarrow\neg q)\equiv V\rightarrow(V\rightarrow\neg q)\equiv V\rightarrow\neg q\equiv\neg q$
+\end_inset
+
+.
+ En el segundo caso, tendríamos, por ejemplo, que 
+\begin_inset Formula $\phi(\neg p)(q)\equiv\phi(\neg p,q)\equiv\phi(\neg p)_{|V(q)=V}\equiv\neg V\equiv F$
+\end_inset
+
+.
+ En la práctica bastaría con escribir 
+\begin_inset Formula $\phi(\neg p,q)\equiv\neg V\equiv F$
+\end_inset
+
+ para este último caso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para comprobar los valores de verdad realizaríamos un 
+\series bold
+árbol semántico.
+
+\series default
+ En este, la raíz sería la fórmula inicial, y de cada nodo, que contendrá
+ una fórmula 
+\begin_inset Formula $\xi$
+\end_inset
+
+, partirán dos ramas con 
+\begin_inset Formula $\xi(p)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\xi(\neg p)$
+\end_inset
+
+ para algún átomo 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $\xi$
+\end_inset
+
+ (normalmente el que más aparece), salvo si 
+\begin_inset Formula $\xi\equiv V$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\xi\equiv F$
+\end_inset
+
+.
+ A la hora de dibujarlo, la línea que une una expresión con otra derivada
+ se etiqueta con el literal a propagar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Equivalencias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dos expresiones 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ son lógicamente equivalentes si y sólo si 
+\begin_inset Formula $V(\alpha)=V(\beta)$
+\end_inset
+
+ para cualquier interpretación.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula $\alpha\equiv\beta$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\alpha\equiv\beta\iff\vDash\alpha\leftrightarrow\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Propiedades conmutativas:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\land\beta\equiv\beta\land\alpha$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha\lor\beta\equiv\beta\land\alpha$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta\equiv\beta\leftrightarrow\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Propiedades asociativas:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\land(\beta\land\gamma)\equiv(\alpha\land\beta)\land\gamma$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha\lor(\beta\lor\gamma)\equiv(\alpha\lor\beta)\lor\gamma$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow(\beta\leftrightarrow\gamma)\equiv(\alpha\leftrightarrow\beta)\leftrightarrow\gamma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Propiedades de De Morgan:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\neg(\alpha\land\beta)\equiv\neg\alpha\lor\neg\beta$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\neg(\alpha\lor\beta)\equiv\neg\alpha\land\neg\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Propiedades distributivas:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\land(\beta\lor\gamma)\equiv(\alpha\land\beta)\lor(\alpha\land\gamma)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha\lor(\beta\land\gamma)\equiv(\alpha\lor\beta)\land(\alpha\lor\gamma)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow(\beta\lor\gamma)\equiv(\alpha\rightarrow\beta)\lor(\alpha\rightarrow\gamma)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow(\beta\land\gamma)\equiv(\alpha\rightarrow\beta)\land(\alpha\rightarrow\gamma)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Propiedades de absorción:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\lor(\alpha\land\beta)\equiv\alpha\land(\alpha\lor\beta)\equiv\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Expresión booleana:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\lor(\neg\beta\land\beta)\equiv\alpha\land(\neg\beta\lor\beta)\equiv\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Reducción al absurdo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\neg\alpha\rightarrow(\beta\land\neg\beta)\equiv\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Propiedad de contraposición
+\series default
+ o 
+\series bold
+transposición:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\beta\rightarrow\neg\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Exportación:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)\rightarrow\gamma\equiv\alpha\rightarrow(\beta\rightarrow\gamma)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Idempotencia:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\equiv\neg(\neg\alpha)\equiv\alpha\lor\alpha\equiv\alpha\land\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Eliminación del condicional:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\alpha\lor\beta\equiv\neg(\alpha\land\neg\beta)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Eliminación del bicondicional:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta\equiv(\alpha\rightarrow\beta)\land(\beta\rightarrow\alpha)\equiv(\alpha\land\beta)\lor(\neg\beta\land\neg\alpha)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Propiedades sobre tautologías:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\lor\neg\alpha\equiv V$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $V\lor\beta\equiv V$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $V\land\beta\equiv\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Propiedades sobre insatisfacibilidad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\land\neg\alpha\equiv F$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $F\lor\beta\equiv\beta$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $F\land\beta\equiv F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Razonamientos válidos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un razonamiento es válido si y sólo si en todas las interpretaciones en
+ las que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es verdad, 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ Igualmente, 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+consecuencia lógica
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal F}=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ es verdad siempre que 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+ sea un modelo.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\beta$
+\end_inset
+
+, y sabemos que 
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta\iff\vDash\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de la deducción semántica:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{\alpha\}\vDash\beta\iff{\cal F}\vDash\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+.
+ Corolario: 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\beta\iff\vDash\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\rightarrow\beta\iff\vDash\neg(\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\land\neg\beta)\iff\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\land\neg\beta\text{ es insatisfacible}$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades generales de 
+\begin_inset Formula $\vDash$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Reflexividad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Transitividad:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Monotonía:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{\beta\}\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Si 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\vDash\beta$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\backslash\{\beta\}\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\alpha\equiv\beta\iff\alpha\vDash\beta\text{ y }\beta\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algunas propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Simplificación
+\series default
+ o 
+\series bold
+eliminación de la conjunción:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\land\beta\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Adición
+\series default
+ o 
+\series bold
+introducción de la disyunción:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\alpha\lor\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Silogismos:
+\series default
+ Forma de razonamiento deductivo con dos premisas y una conclusión.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Categóricos
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Combinación
+\series default
+ o 
+\series bold
+introducción de la conjunción:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha,\beta\}\vDash\alpha\land\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inconsistencia:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha,\neg\alpha\}\vDash\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Hipotéticos
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Silogismo hipotético:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\beta\rightarrow\gamma\}\vDash\alpha\rightarrow\gamma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Demostración por casos:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\gamma,\beta\rightarrow\gamma\}\vDash\alpha\lor\beta\rightarrow\gamma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Prueba por casos:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\neg\alpha\rightarrow\beta\}\vDash\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Hipotéticos mixtos
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Modus Ponens:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\alpha\}\vDash\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Modus Tollens:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\neg\beta\}\vDash\neg\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Disyuntivo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha\lor\beta,\neg\beta\}\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Dilemas:
+\series default
+ Forma de razonamiento con una premisa disyunción que representa las opciones,
+ normalmente contrarias.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Constructivo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha\lor\beta,\alpha\rightarrow\gamma,\beta\rightarrow\delta\}\vDash\gamma\lor\delta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Destructivo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\neg\gamma\lor\neg\delta,\alpha\rightarrow\gamma,\beta\rightarrow\delta\}\vDash\neg\alpha\lor\neg\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Transposición:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\vDash\neg\beta\rightarrow\neg\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Eliminación de la equivalencia:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta\vDash\{\alpha\rightarrow\beta,\beta\rightarrow\alpha\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Introducción de la equivalencia:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\beta\rightarrow\alpha\}\vDash\alpha\leftrightarrow\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+El Corolario del Teorema de la Deducción Semántica y las propiedades básicas
+ de equivalencia y razonamientos nos permiten considerar al menos dos estrategia
+s de razonamiento deductivo: la 
+\series bold
+demostración directa
+\series default
+, comprobando que 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ es consecuencia lógica de 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ mediante definiciones, tautologías, teoremas o propiedades, y 
+\series bold
+refutación
+\series default
+ o demostración por contradicción (
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\alpha\land\neg\beta\implies\gamma\land\neg\gamma$
+\end_inset
+
+), buscando contraejemplos o encontrando un 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $V(\alpha[a]\rightarrow\beta[a])=F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/logic/n3.lyx b/logic/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..f720c27
--- /dev/null
+++ b/logic/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1512 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
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+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Algoritmos que no requieren cláusulas
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Tablas de verdad
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Construimos una tabla de verdad por filas, y si en una fila obtenemos que
+ la oración es cierta para dicha interpretación, la oración es satisfacible.
+ Si no es cierta en ninguna, la oración es insatisfacible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Árboles semánticos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una hoja de un árbol semántico es un 
+\series bold
+nodo fallo
+\series default
+ si su etiqueta es 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+, y 
+\series bold
+nodo éxito
+\series default
+ si es 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Representamos el árbol como 
+\begin_inset Formula $\vernal$
+\end_inset
+
+, y observamos que, para comprobar la satisfacibilidad, basta con encontrar
+ un nodo éxito, y entonces no es necesario seguir desarrollando.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Tableaux semánticos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+tableaux semántico
+\series default
+ es un árbol en el cual cada nodo está formado por una lista de oraciones
+ (sin paréntesis de ningún tipo), y su raíz es la lista formada por la oración
+ 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ a desarrollar.
+ Una oración puede tener 
+\series bold
+comportamiento conjuntivo
+\series default
+ (se le puede aplicar una 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+-fórmula) o 
+\series bold
+disyuntivo
+\series default
+ (se le puede aplicar una 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+-fórmula), o ser un literal.
+ Para cada rama del árbol:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Seleccionamos una oración que no sea un literal, preferiblemente con comportamie
+nto conjuntivo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si no encontramos ninguna, el nodo es un nodo hoja.
+ Lo marcamos como 
+\series bold
+cerrado
+\series default
+ si contiene un literal y su contrario, de lo contrario como 
+\series bold
+abierto
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si tiene comportamiento conjuntivo, aplicamos la 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+-fórmula correspondiente y dibujamos una rama con la etiqueta 
+\begin_inset Formula $\alpha:\text{(nom. de fórmula)}$
+\end_inset
+
+ y el nodo resultado de sustituir 
+\begin_inset Formula $\alpha,\phi_{1},\dots,\phi_{n}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\alpha_{2},\phi_{1},\dots,\phi_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si tiene comportamiento disyuntivo, aplicamos la 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+-fórmula correspondiente y dibujamos dos ramas.
+ La división se marca con la etiqueta 
+\begin_inset Formula $\beta:\text{(nom. de fórmula)}$
+\end_inset
+
+ y los nodos son los resultantes de sustituir 
+\begin_inset Formula $\beta,\phi_{1},\dots,\phi_{n}$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $\beta_{1},\phi_{1},\dots,\phi_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\beta_{2},\phi_{1},\dots,\phi_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="7" columns="6">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+-fórmulas
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+-fórmulas
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\beta_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\beta_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\neg\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha\land\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg(\alpha\land\beta)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg(\alpha\lor\beta)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha\lor\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg(\alpha\rightarrow\beta)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\beta\rightarrow\alpha$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg(\alpha\leftrightarrow\beta)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg(\alpha\rightarrow\beta)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg(\beta\rightarrow\alpha)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+tableaux completado
+\series default
+ o 
+\series bold
+completo
+\series default
+ es aquel cuya construcción ha terminado.
+ Decimos que es 
+\series bold
+cerrado
+\series default
+ cuando todas las hojas son cerradas, y 
+\series bold
+abierto
+\series default
+ cuando hay alguna abierta.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ es satisfacible si y sólo si su tableau completado es abierto.
+ Este método no detecta tautologías, pero podemos determinar que 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ es tautológica cuando 
+\begin_inset Formula $\neg\phi$
+\end_inset
+
+ es insatisfacible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Algoritmos que requieren cláusulas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una fórmula 
+\begin_inset Formula $\xi$
+\end_inset
+
+ está en 
+\series bold
+forma normal conjuntiva
+\series default
+ si es una cláusula o conjunción de cláusulas.
+ Una 
+\series bold
+cláusula
+\series default
+ es un literal o disyunción de dos o más literales (quitando todos los paréntesi
+s).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cláusula unitaria:
+\series default
+ Con un solo literal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cláusula vacía:
+\series default
+ Sin literales.
+ Se denota por 
+\begin_inset Formula $\square$
+\end_inset
+
+ y es insatisfacible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cláusula de Horn:
+\series default
+ Aquella que tiene como máximo un literal positivo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+conjunto clausal
+\series default
+ o 
+\series bold
+clausulado
+\series default
+ al conjunto de dichas cláusulas, y decimos que está en 
+\series bold
+forma clausal
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Obtención de FNC
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Aplicar las reglas de eliminación de 
+\begin_inset Formula $\leftrightarrow$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\rightarrow$
+\end_inset
+
+ hasta tener solo 
+\begin_inset Formula $\neg$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\land$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\lor$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Aplicar De Morgan hasta que las negaciones solo afecten a átomos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Eliminar las negaciones múltiples (
+\begin_inset Formula $\neg\neg$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Aplicar distributividad de 
+\begin_inset Formula $\lor$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\land$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Reducir la cantidad de paréntesis.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si queremos simplificar:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Eliminar literales opuestos: 
+\begin_inset Formula $\ell\lor\neg\ell\equiv V$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\ell\land\neg\ell\equiv F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Eliminar constantes y expresiones repetidas: 
+\begin_inset Formula $V\lor\alpha\equiv V$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $F\lor\alpha\equiv V\land\alpha\equiv\alpha$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $F\land\alpha\equiv F$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha\lor\alpha\equiv\alpha\land\alpha\equiv\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Quedarnos con expresiones subsumidas: 
+\begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)\land\alpha\equiv\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Algoritmo DPLL
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Al propagar un literal en una expresión en FNC, lo que hacemos es eliminar
+ las cláusulas en las que aparezca (
+\series bold
+cláusula cancelada
+\series default
+) y las ocurrencias de literales complementarios (
+\series bold
+ocurrencia eliminada
+\series default
+).
+ Al aplicar DPLL, representamos el conjunto clausulado como un conjunto
+ de conjuntos.
+ Por ejemplo, si 
+\begin_inset Formula $\phi\equiv p\land(q\lor\neg r)$
+\end_inset
+
+, entonces su conjunto clausal es 
+\begin_inset Formula $\Omega_{\phi}=\{p,q\lor\neg r\}$
+\end_inset
+
+, y lo representamos como 
+\begin_inset Formula $\Omega_{\phi FNC}=\{p,\{q,\neg r\}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces consideramos 5 reglas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla de la cláusula unitaria:
+\series default
+ Si hay una cláusula unitaria, propagar su literal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla del literal puro:
+\series default
+ Si hay un literal para el que no se da su complementario, propagarlo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla de la tautología:
+\series default
+ Eliminar las cláusulas que contengan literales complementarios.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla de la inclusión:
+\series default
+ Si existen conjuntos clausales 
+\begin_inset Formula $C_{1},C_{2}\in\Omega_{\phi}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $C_{1}\subseteq C_{2}$
+\end_inset
+
+, eliminar 
+\begin_inset Formula $C_{2}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $\Omega_{\phi}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Regla de ramificación:
+\series default
+ Considerar un literal 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ (normalmente el que aparece más veces) y propagar 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ por un lado y 
+\begin_inset Formula $\neg l$
+\end_inset
+
+ por otro.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El algoritmo consiste en:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\Omega_{\phi}=\{\}$
+\end_inset
+
+, devolver 
+\family typewriter
+true
+\family default
+ (se indica mediante una flecha de la expresión derivada a la original etiquetad
+a 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+true
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+), indicando que es satisfacible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\square\in\Omega_{\phi}$
+\end_inset
+
+, devolver 
+\family typewriter
+false
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+En caso contrario, aplicar la primera de las reglas que sea aplicable y
+ devolver su va
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+lor.
+ Para la regla de ramificación: Si la primera rama devuelve 
+\family typewriter
+true
+\family default
+, devolverlo.
+ Si no, proceder con la segunda rama y devolver el valor devuelto.
+ Esto es lo que se denomina 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\lang american
+backtracking
+\lang spanish
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (a partir de un algoritmo recursivo).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lo representamos con un grafo, similar al del árbol semántico.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Método de resolución
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+resolvente
+\series default
+ de dos cláusulas 
+\begin_inset Formula $\psi\equiv l_{1}\lor\dots\lor l_{n}\lor j$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{\phi}\equiv k_{1}\lor\dots\lor k_{m}\lor\neg j$
+\end_inset
+
+ es la cláusula 
+\begin_inset Formula $R_{j}(\psi,\phi)\equiv l_{1}\lor\dots\lor l_{n}\lor k_{1}\lor\dots\lor k_{m}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ son las 
+\series bold
+cláusulas padres
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $R_{j}(\psi,\phi)$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\{\psi,\phi\}$
+\end_inset
+
+ es satisfacible si y sólo si 
+\begin_inset Formula $R_{j}(\psi,\phi)$
+\end_inset
+
+ lo es.
+ Para resolver por resolución:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Definimos el conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal C}=\Omega_{\phi}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal C}_{0}^{*}={\cal C}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Por cada par de cláusulas 
+\begin_inset Formula $C_{1}=l\lor\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C_{2}=\neg l\lor\beta$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}$
+\end_inset
+
+, obtenemos su resolvente y la añadimos a 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ Si obtenemos la resolvente 
+\begin_inset Formula $\square$
+\end_inset
+
+, el conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}$
+\end_inset
+
+ es insatisfacible y por tanto 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ también.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Una vez obtenidas todas las resolventes, si 
+\begin_inset Formula $\square\notin{\cal C}^{*}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}$
+\end_inset
+
+ es satisfacible y por tanto 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+ también (solo en L0).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos expresar este algoritmo mediante un 
+\series bold
+grafo de resolución
+\series default
+, en el que de cada par de cláusulas posible parte una línea hacia abajo
+ hacia su resolvente y tenemos cuidado de no incluir un resolvente igual
+ a una cláusula ya existente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En dicho grafo, las premisas se dice que están en el nivel 0 (
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+), y si 
+\begin_inset Formula $C_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C_{2}$
+\end_inset
+
+ están en los niveles 
+\begin_inset Formula $x_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x_{2}$
+\end_inset
+
+, su resolvente está en el nivel 
+\begin_inset Formula $\max\{x_{1},x_{2}\}+1$
+\end_inset
+
+, de forma que cada nivel se representa en una misma línea horizontal, y
+ los resolventes se numeran empezando por el nivel más alto (el nivel 0).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un grafo de resolución es 
+\series bold
+básico
+\series default
+ si solo muestra dos cláusulas y su resolvente; 
+\series bold
+completo
+\series default
+ si contiene la unión de todos los grafos de resolución básicos, y es un
+ 
+\series bold
+grafo de refutación
+\series default
+ si aparece 
+\begin_inset Formula $\square$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para la elección de los pares de cláusulas padres, existen principalmente
+ dos 
+\series bold
+estrategias de resolución:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Búsqueda en anchura:
+\series default
+ Se obtienen todas las resolventes de un nivel antes de pasar al siguiente.
+ Orden 
+\begin_inset Formula $(2,1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(3,1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(3,2)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(4,1)$
+\end_inset
+
+, etc.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Búsqueda en profundidad:
+\series default
+ Una vez obtenida una resolvente de nivel 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+, intenta obtener una de nivel 
+\begin_inset Formula $i+1$
+\end_inset
+
+ a partir de ella.
+ Orden 
+\begin_inset Formula $(2,1)\rightarrow i$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(i,1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(i,2)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(i,3)\rightarrow j$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(j,1)$
+\end_inset
+
+, etc.
+ No es completa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En la práctica se utiliza la 
+\series bold
+notación
+\series default
+ o 
+\series bold
+representación Fitting
+\series default
+: Se crea una lista numerada de las cláusulas de 
+\begin_inset Formula ${\cal C}$
+\end_inset
+
+, con la indicación 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+Premisa
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+C.E.
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ (conjunto de entrada) a la derecha de cada una.
+ Después, se van comprobando los pares de cláusulas en la lista, empezando
+ por 
+\begin_inset Formula $(2,1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(3,1)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(3,2)$
+\end_inset
+
+, etc., y se va ampliando con los resolventes, que tendrán la indicación
+ 
+\begin_inset Formula $R_{l}(i,j)$
+\end_inset
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+ los ordinales de las cláusulas padres.
+ Para optimizar, se pueden tachar cláusulas por los siguientes motivos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Literal puro (
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+) [después de tachar (
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+)].
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Subsumida en (
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Tautología (
+\begin_inset Formula $l\lor\neg l$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El motivo debe indicarse a la derecha.
+ Si al final queda 
+\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}=\{\}$
+\end_inset
+
+, la oración es satisfacible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Razonamiento automático
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un razonamiento es válido (
+\begin_inset Formula $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}\vDash\beta$
+\end_inset
+
+) cuando 
+\begin_inset Formula $\vDash\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+, es decir, cuando 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\land\neg\beta$
+\end_inset
+
+ es insatisfacible.
+ Así, mediante tablas de verdad o árboles semánticos, podemos determinar
+ la validez de un razonamiento demostrando que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+ es una tautología.
+ Para el resto de los métodos, comprobamos que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\land\neg\beta$
+\end_inset
+
+ es una contradicción.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En el caso de demostración por resolución, las cláusulas de 
+\begin_inset Formula $\neg\beta$
+\end_inset
+
+ se denominan 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+conjunto soporte de entrada
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ Se marcan con un 
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ a la izquierda del ordinal tanto estas como las resolventes de alguna cláusula
+ marcada con 
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+, de forma recursiva.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/logic/n4.lyx b/logic/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..3796419
--- /dev/null
+++ b/logic/n4.lyx
@@ -0,0 +1,402 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
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+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
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+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
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+\use_indices false
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+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
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+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Las expresiones, numeradas, están dentro de una caja, que se representa
+ con los tres bordes de arriba, abajo y a la izquierda (a la derecha del
+ número de línea).
+ La caja principal no se suele representar.
+ Si se usa una 
+\emph on
+Hipótesis
+\emph default
+, se crea una nueva caja (dentro de otra), y en cada caja las 
+\emph on
+Premisas
+\emph default
+ o 
+\emph on
+Hipótesis
+\emph default
+ van al principio y la última línea es la conclusión.
+ Cada caja representa una deducción (
+\begin_inset Formula $\vdash$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Reglas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="8" columns="3">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Eliminación de
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Introducción de
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+la conjunción
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $E_{\land}:\frac{\vdash\alpha\land\beta}{\vdash\alpha},\frac{\vdash\alpha\land\beta}{\vdash\beta}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $I_{\land}:\frac{\vdash\alpha\,\vdash\beta}{\vdash\alpha\land\beta}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+la disyunción
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\underset{\text{Prueba por casos}}{E_{\lor}:\frac{\vdash\alpha\lor\beta\,\vdash(\alpha\vdash\gamma)\,\vdash(\beta\vdash\gamma)}{\vdash\gamma}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $I_{\lor}:\frac{\vdash\alpha}{\vdash\alpha\lor\beta},\frac{\vdash\alpha}{\vdash\beta\lor\alpha}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+la implicación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\underset{\text{Modus Ponens}}{E_{\rightarrow}:\frac{\vdash\alpha\rightarrow\beta\,\vdash\alpha}{\vdash\beta}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\underset{\text{Teorema de la Deducción}}{I_{\rightarrow}:\frac{\vdash(\alpha\vdash\beta)}{\vdash\alpha\rightarrow\beta}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+la doble implicación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $E_{\leftrightarrow}:\frac{\vdash(\alpha\leftrightarrow\beta)}{\vdash(\alpha\rightarrow\beta)},\frac{\vdash(\alpha\leftrightarrow\beta)}{\vdash(\beta\rightarrow\alpha)}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $I_{\leftrightarrow}:\frac{\vdash(\alpha\rightarrow\beta)\,\vdash(\beta\rightarrow\alpha)}{\vdash(\alpha\leftrightarrow\beta)}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+la negación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\underset{\text{Reducción al absurdo}}{E_{\neg}:\frac{\vdash(\neg\alpha\vdash\beta\land\neg\beta)}{\vdash\alpha}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\underset{\text{Reducción al absurdo}}{I_{\neg}:\frac{\vdash(\alpha\vdash\beta\land\neg\beta)}{\vdash\neg\alpha}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+la doble negación
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $E_{\neg\neg}:\frac{\vdash\neg\neg\alpha}{\vdash\alpha}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+la contradicción
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $CONTRA:\frac{\vdash\alpha\,\vdash\neg\alpha}{\vdash\beta}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También la iteración: 
+\begin_inset Formula $IT:\frac{\vdash\alpha}{\vdash\alpha}$
+\end_inset
+
+, que se usa cuando la hipótesis de una caja es la conclusión, dado que
+ deben estar en líneas distintas.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/logic/n5.lyx b/logic/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..e887da2
--- /dev/null
+++ b/logic/n5.lyx
@@ -0,0 +1,660 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Conjuntos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+categoría
+\series default
+ o 
+\series bold
+conjunto
+\series default
+ es una colección no ordenada de 
+\series bold
+elementos
+\series default
+.
+ Se dice que un elemento 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ pertenece al conjunto 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+, y se representa como 
+\begin_inset Formula $x\in C$
+\end_inset
+
+ (negación: 
+\begin_inset Formula $x\notin C$
+\end_inset
+
+) o 
+\begin_inset Formula $C(x)$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos definir un conjunto por extensión (
+\begin_inset Formula $C=\{x_{1},x_{2},\dots\}$
+\end_inset
+
+), intensión (
+\begin_inset Formula $C=\{x|P(x)\}$
+\end_inset
+
+) o recursión (
+\begin_inset Formula $C=\{x|R(x)\}$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Igualdad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A=B:\iff(x\in A\iff x\in B)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inclusión:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B:\iff(x\in A\implies x\in B)$
+\end_inset
+
+ (negación: 
+\begin_inset Formula $A\nsubseteq B$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Inclusión estricta:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A\subsetneq B:\iff(A\subseteq B\text{ y }A\neq B$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Conjunto total
+\series default
+ o 
+\series bold
+universo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal U}$
+\end_inset
+
+, el mayor conjunto que podemos considerar para un estudio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Conjunto vacío:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\emptyset=\{\}$
+\end_inset
+
+, sin elementos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Partes:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal P}(X)=\{A|A\subseteq X\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Unión:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A\cup B:=\{x|x\in A\text{ ó }x\in B\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Intersección:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A\cap B:=\{x|x\in A\text{ y }x\in B\}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+disjuntos
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Diferencia:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A-B:=A\backslash B:=\{x|x\in A\text{ y }x\notin B\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Complemento:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\overline{A}:=A^{\complement}:={\cal U}\backslash A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+diagrama de Euler
+\series default
+ representa los conjuntos como círculos bien unos dentro de otros, separados
+ o intersecados, indicando de esta forma sus relaciones.
+ Un 
+\series bold
+diagrama de Venn
+\series default
+ representa los conjuntos como círculos todos intersecados entre sí, con
+ las partes no vacías sombreadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+familia de conjuntos
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto formado solo por conjuntos, y es una 
+\series bold
+partición
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\bigcup{\cal A}=A$
+\end_inset
+
+ y si para todo 
+\begin_inset Formula $B,C\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B\neq C$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $B\cap C=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Sintaxis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Extensión de la lógica proposicional.
+ Las proposiciones atómicas tienen la forma 
+\begin_inset Formula $P(x)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ es una categoría y 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ una variable (ambas conjuntos de letras latinas), y se leen 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+ Además, se añaden los cuantificadores 
+\begin_inset Formula $\forall x$
+\end_inset
+
+ (para todo 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+) y 
+\begin_inset Formula $\exists x$
+\end_inset
+
+ (existe 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+), donde 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ puede ser cualquier variable.
+ Estos tienen la misma prioridad que la negación.
+ Las proposiciones compuestas se forman mediante cuatro 
+\series bold
+formas normales:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Universal afirmativa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall x(P(x)\rightarrow Q(x))$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+todo 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Universal negativa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall x(P(x)\rightarrow\neg Q(x))$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+ningún 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Existencial afirmativa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists x(P(x)\land Q(x))$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+algún 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Existencial negativa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists x(P(x)\land\neg Q(x))$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+algún 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ no es 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Evaluación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para evaluar una proposición en LC interpretada en un mundo 
+\begin_inset Formula ${\cal M}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Definimos 
+\begin_inset Formula ${\cal U}$
+\end_inset
+
+ como el conjunto de todos los elementos que aparecen en 
+\begin_inset Formula ${\cal M}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Identificamos cada categoría 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ con un conjunto 
+\begin_inset Formula $P_{{\cal M}}$
+\end_inset
+
+ del mundo.
+ El resultado es la 
+\series bold
+interpretación
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $I=\{P\mapsto P_{{\cal M}},\dots\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Evaluamos el valor de verdad de la proposición a partir de la interpretación.
+ Para ello:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si encontramos un 
+\begin_inset Formula $\forall x\alpha[x]$
+\end_inset
+
+, decimos que esto es verdad si para cualquier 
+\begin_inset Formula $x\looparrowright d$
+\end_inset
+
+ se cumple 
+\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=V$
+\end_inset
+
+.
+ Aquí, 
+\begin_inset Formula $\alpha[d]\equiv\{\alpha[x]\}_{d/x}$
+\end_inset
+
+ el resultado de aplicar la 
+\series bold
+sustitución
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\{d/x\}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces comprobamos 
+\begin_inset Formula $V(\alpha[d])$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\looparrowright d$
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+asignación
+\series default
+) con 
+\begin_inset Formula $d\in{\cal U}$
+\end_inset
+
+ hasta encontrar un caso donde 
+\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=F$
+\end_inset
+
+ (con lo que 
+\begin_inset Formula $V(\forall x\alpha[x])=F$
+\end_inset
+
+) o llegar a que en todos 
+\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=V$
+\end_inset
+
+ (con lo que 
+\begin_inset Formula $V(\forall x\alpha[x])=V$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si encontramos un 
+\begin_inset Formula $\exists x\alpha[x]$
+\end_inset
+
+ decimos que esto es verdad si encontramos un 
+\begin_inset Formula $x\looparrowright d$
+\end_inset
+
+ para el que 
+\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=V$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces comprobamos 
+\begin_inset Formula $V(\alpha[d])$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $x\looparrowright d$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d\in{\cal U}$
+\end_inset
+
+ hasta encontrar un caso donde 
+\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=V$
+\end_inset
+
+ (con lo que 
+\begin_inset Formula $V(\exists x\alpha[x])=V$
+\end_inset
+
+) o llegar a que todos son falsos (con lo que 
+\begin_inset Formula $V(\exists x\alpha[x])=F$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_body
+\end_document
diff --git a/logic/n6.lyx b/logic/n6.lyx
new file mode 100644
index 0000000..f89c446
--- /dev/null
+++ b/logic/n6.lyx
@@ -0,0 +1,1406 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Relaciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La lógica de primer orden (L1) extiende la lógica categórica permitiendo
+ expresar relaciones fuera de las formas normales y relaciones de varios
+ objetos.
+ Podemos distinguir:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Categorías:
+\series default
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x\in P$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $P(r)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Relaciones binarias:
+\series default
+ 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ se relaciona con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(x,y)\in R$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $R(x,y)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $xRy$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Relaciones
+\series default
+ de cualquier orden: 
+\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})\in S$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S(x_{1},\dots,x_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Se dice que 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\series bold
+aridad
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, o que es una relación 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-aria
+\series default
+, lo que se representa por 
+\begin_inset Formula $S/n$
+\end_inset
+
+.
+ En general, 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ es una relación 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-aria entre 
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $Q\subseteq\prod_{i=1}^{n}A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\forall i,A_{i}=A$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}=A^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En relaciones con aridad 
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+, se define el 
+\series bold
+dominio
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\text{Dom}(R)=\{(x_{1},\dots,x_{n-1})|\exists x_{n}:(x_{1},\dots,x_{n})\in R\}$
+\end_inset
+
+ (si la aridad es 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Dom}(R)=\{x|\exists y:xRy\}$
+\end_inset
+
+), y el 
+\series bold
+rango
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\text{Ran}(R)=\{x_{n}|\exists(x_{1},\dots,x_{n-1}):(x_{1},\dots,x_{n})\in R\}$
+\end_inset
+
+ (si la aridad es 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\text{Ran}(R)=\{y|\exists x:xRy\}$
+\end_inset
+
+.
+ El 
+\series bold
+campo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ se define como 
+\begin_inset Formula $\text{Campo}(R)=\text{Dom}(R)\cup\text{Ran}(R)$
+\end_inset
+
+.
+ Representaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Cartesiana:
+\series default
+ Similar a una función, con el conjunto inicial en el eje horizontal.
+ Se marcan los puntos que están en 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Tabular:
+\series default
+ Como la cartesiana pero en una tabla.
+ En cada celda se pone un 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ si el producto de tipos está en 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+, un 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ si no está y se deja en blanco si no lo sabemos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Mediante digrafo:
+\series default
+ Se representa a la izquierda el conjunto inicial y a la derecha el final,
+ y las relaciones se representan con flechas entre elementos de cada.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Grafo dirigido:
+\series default
+ Se representa 
+\begin_inset Formula ${\cal U}$
+\end_inset
+
+ y se indican las relaciones binarias con flechas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una relación 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-aria 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+función
+\series default
+ si y sólo si para cada elemento 
+\begin_inset Formula $x\in\text{Dom}(f)$
+\end_inset
+
+ existe un único 
+\begin_inset Formula $y\in\text{Ran}(f)$
+\end_inset
+
+ que se relacione con él.
+ Se escribe 
+\begin_inset Formula $f(x)=y$
+\end_inset
+
+, y la función se representa como 
+\begin_inset Formula $f:\prod_{i=1}^{n-1}A_{i}\rightarrow A_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Es 
+\series bold
+inyectiva
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $f(x)=f(x')\implies x=x'$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+suprayectiva
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\text{Ran}(f)=A_{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+biyectiva
+\series default
+ si es inyectiva y suprayectiva.
+ Definimos la aridad de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ como función como 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipos de relaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Reflexiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in A,aRa$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Irreflexiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in A,a\not Ra$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Serial:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in A,\exists b\in A:aRb$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Simétrica:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b\in A,(aRb\implies bRa)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Asimétrica:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b\in A,(aRb\implies b\not Ra)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Antisimétrica:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b\in A,(aRb\land bRa\implies a=b)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Transitiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(aRb\land bRc\implies aRc)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Intransitiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(aRb\land bRc\implies a\not Rc)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Negativamente transitiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(a\not Rb\land b\not Rc\implies a\not Rc)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Completa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b\in A,(aRb\lor bRa)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Euclídea:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(aRb\land aRc\implies bRc)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Incestuosa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(aRb\land aRc\implies\exists d\in A:(bRd\land cRd))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+Dada 
+\begin_inset Formula $R\subseteq A\times B$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+relación inversa
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $R^{-1}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $xR^{-1}y:\iff yRx$
+\end_inset
+
+.
+ Dada 
+\begin_inset Formula $R\subseteq A\times A$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Su 
+\series bold
+relación complementaria
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $R^{\complement}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $xR^{\complement}y:\iff x\not Ry$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Su 
+\series bold
+relación simétrica
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\overline{R}=R^{-1}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\overline{R}y:\iff yRx$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Su 
+\series bold
+relación dual
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $R^{d}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $aR^{d}b:\iff b\not Ra$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+Una relación de equivalencia es aquella reflexiva, simétrica y transitiva.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $(A,\sim)$
+\end_inset
+
+ de equivalencia, podemos definir la clase de equivalencia de 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $[x]$
+\end_inset
+
+, como el conjunto de todos los elementos que se relacionan con 
+\begin_inset Formula $[x]$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $y\in[x]\implies[y]=[x]$
+\end_inset
+
+, y decimos que 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es un representante de la clase.
+ El conjunto cociente es el formado por todas las clases de equivalencia,
+ y se escribe 
+\begin_inset Formula $A/\sim=\{[x]|x\in A\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Sintaxis
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Proposición atómica:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ o un predicado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Predicado:
+\series default
+ Secuencia de letras latinas que representa una relación, seguida de una
+ serie de términos: 
+\begin_inset Formula $R(t_{1},\dots,t_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Término:
+\series default
+ Constante que representa un objeto definido, variable o función.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Constante:
+\series default
+ Secuencia de letras latinas que representa a un objeto definido (salvo
+ 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Variable:
+\series default
+ Secuencia de letras latinas que representa a un objeto indefinido.
+ Puede estar 
+\series bold
+ligada
+\series default
+ a un cuantificador, y entonces es igual al resto de variables ligadas al
+ mismo, o 
+\series bold
+libre
+\series default
+, en cuyo caso puede representar cualquier cosa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Función:
+\series default
+ Secuencia de letras latinas que representa una función, seguida de una
+ serie de términos: 
+\begin_inset Formula $f(t_{1},\dots,t_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La construcción de f.b.f es igual que en L0, pero cambiando la forma de las
+ proposiciones atómicas y añadiendo que si 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es f.b.f.
+ también lo son 
+\begin_inset Formula $(\forall x\alpha)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(\exists x\alpha)$
+\end_inset
+
+.
+ Una f.b.f.
+ es 
+\series bold
+cerrada
+\series default
+ si todas las variables están ligadas y 
+\series bold
+abierta
+\series default
+ en otro caso.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Interpretación y asignación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+interpretación
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ en un 
+\series bold
+mundo
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{M}$
+\end_inset
+
+ es una cuaterna 
+\begin_inset Formula ${\cal I}_{\alpha}=(\mathbb{D},{\cal C}_{\mathbb{D}},{\cal F}_{\mathbb{D}},{\cal R}_{\mathbb{D}})$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $\mathbb{D}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto no vacío de objetos, llamado dominio, 
+\begin_inset Formula ${\cal C}_{\mathbb{D}}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto de objetos concretos (
+\begin_inset Formula ${\cal C_{\alpha}\mapsto{\cal C}_{\mathbb{D}}}$
+\end_inset
+
+), 
+\begin_inset Formula ${\cal F}_{\mathbb{D}}$
+\end_inset
+
+ de funciones concretas (
+\begin_inset Formula $f_{\alpha}\mapsto f_{\mathbb{D}}$
+\end_inset
+
+) y 
+\begin_inset Formula ${\cal R}_{\mathbb{D}}$
+\end_inset
+
+ de relaciones concretas (
+\begin_inset Formula $R_{\alpha}\mapsto R_{\mathbb{D}}$
+\end_inset
+
+).
+ La 
+\series bold
+signatura
+\series default
+ es el conjunto de todos los predicados y funciones, indicando su aridad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una asignación de variables es una función 
+\begin_inset Formula $\sigma_{{\cal I}_{\alpha}}:{\cal V}\rightarrow\mathbb{D}$
+\end_inset
+
+ que relaciona cada variable de 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ con un elemento del dominio, y definimos 
+\begin_inset Formula $\sigma_{{\cal I}_{\alpha}|x\looparrowright d}$
+\end_inset
+
+ a la asignación definida igual que 
+\begin_inset Formula $\sigma_{{\cal I}_{\alpha}}$
+\end_inset
+
+ pero asignando a 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ el objeto 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+asignación de valores de verdad
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $v_{\sigma_{{\cal I}_{\alpha}}}:{\cal P_{\alpha}\rightarrow\mathbb{B}}$
+\end_inset
+
+ asigna un valor de verdad a cada elemento atómico de 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $v(R_{\alpha}(t_{1},\dots,t_{n}))=V\iff(d_{1},\dots,d_{n})\in R_{\mathbb{D}}$
+\end_inset
+
+, donde si 
+\begin_inset Formula $t_{i}$
+\end_inset
+
+ es constante entonces 
+\begin_inset Formula $d_{i}=t_{i}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $t_{i}=f(x_{1},\dots,x_{n})$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $d_{i}$
+\end_inset
+
+ es el único 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n},y)\in f$
+\end_inset
+
+, y si es variable entonces depende de la 
+\series bold
+asignación
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+evaluación
+\series default
+ de una oración 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ se hace igual que en LC, pero partiendo de esta asignación de valores de
+ verdad.
+ También se puede hacer mediante tablas de verdad, que en L1 sólo evalúan
+ una interpretación a la vez:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Se introduce una columna por variable, dividida en una fila por cada valor
+ del dominio.
+ Puede ser necesario considerar aquí todas las posibles combinaciones de
+ variables.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Se introduce una columna por cada función que aparece en la oración, y se
+ evalúa de acuerdo al valor de la variable dado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Se introducen las filas correspondientes a la fórmula, indicando el orden
+ de evaluación.
+ Un cuantificador que no está dentro de otro ocupa la fila completa, pero
+ su contenido se divide en una fila por cada posible asignación de la variable.
+ Una vez se conoce el valor del cuantificador no es necesario evaluar el
+ resto de asignaciones, pero es importante justificar los valores de verdad
+ de los predicados (ejemplos: 
+\begin_inset Formula $V:(a,b)\in P_{{\cal M}}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $F:(c,a)\notin Q_{{\cal M}}$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Este método es impráctico, por lo que no se usa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Sustituciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+sustitución
+\series default
+ es una expresión 
+\begin_inset Formula $s=\{t_{1}/v_{1},\dots,t_{n}/v_{n}\}$
+\end_inset
+
+ que indica que toda ocurrencia de cada 
+\begin_inset Formula $v_{i}$
+\end_inset
+
+ se debe sustituir por el término 
+\begin_inset Formula $t_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Todas las sustituciones se hacen simultáneamente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+particularización por sustitución
+\series default
+ consiste en sustituir sus variables por términos.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula $Ps$
+\end_inset
+
+ como la particularización de la expresión 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ según la sustitución 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En una 
+\series bold
+particularización básica
+\series default
+, los términos son constantes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+En una 
+\series bold
+particularización alfabética
+\series default
+, los términos son otras variables.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Composición de sustituciones:
+\series default
+ Dadas 
+\begin_inset Formula $s=\{a_{1}/x_{1},\dots,a_{n}/x_{n}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $t=\{b_{1}/y_{1},\dots,b_{m}/y_{m}\}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ los conjuntos de variables sustituidas respectivamente según 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $s\cdot t=\{(a_{i}t)/x_{i}|x_{i}\neq a_{i}t\}\cup\{b_{i}/y_{i}|y_{i}\in Y\backslash X\}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $a_{i}t$
+\end_inset
+
+ es la particularización de 
+\begin_inset Formula $a_{i}$
+\end_inset
+
+ según 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Equivalencias
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\exists x\alpha[x]\equiv\forall x\neg\alpha[x]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\neg\forall x\alpha[x]\equiv\exists x\neg\alpha[x]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\forall x(\alpha[x]\land\beta[x])\equiv\forall x\alpha[x]\land\forall x\beta[x]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\exists x(\alpha[x]\lor\beta[x])\equiv\exists x\alpha[x]\lor\exists x\beta[x]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También, tanto en L1 como en LC, podemos sustituir el nombre de una variable
+ por otro siempre que lo cambiemos en el cuantificador al que está ligado
+ y en todos los símbolos ligados al mismo cuantificador (o bien la variable
+ sea libre), y al hacerlo todas las variables de la oración sigan ligadas
+ al mismo cuantificador de partida (o sigan libres).
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Satisfacibilidad
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos comprobar la satisfacibilidad de una oración mediante tableaux.
+ Añadimos dos tipos de reglas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\gamma$
+\end_inset
+
+
+\series bold
+-reglas
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\forall x\alpha[x]\mapsto\alpha[C],\forall x\alpha[x]$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\neg\exists x\alpha[x]\mapsto\neg\alpha[C],\neg\exists x\alpha[x]$
+\end_inset
+
+.
+ La sustitución 
+\begin_inset Formula $\{C/x\}$
+\end_inset
+
+ se hace sobre una constante 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ existente.
+ Si no existe ninguna, debemos suponer una nueva.
+ El 
+\begin_inset Formula $\forall x\alpha[x]$
+\end_inset
+
+ resultante no hace referencia a 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+, de modo que se debe escribir una lista debajo de cada expresión de este
+ tipo (
+\begin_inset Formula $L=\{\dots\}$
+\end_inset
+
+) con los elementos a los que sí hace referencia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+
+\series bold
+-reglas
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\exists x\alpha[x]\mapsto\alpha[C]$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\neg\forall x\alpha[x]\mapsto\neg\alpha[C]$
+\end_inset
+
+.
+ La sustitución 
+\begin_inset Formula $\{C/x\}$
+\end_inset
+
+ se hace sobre una constante 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ nueva, y entonces se debe añadir a las listas de todas las expresiones
+ de 
+\begin_inset Formula $\gamma$
+\end_inset
+
+-reglas dicha constante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Al aplicar estas reglas, se debe indicar, por ejemplo: 
+\begin_inset Formula $\gamma:\forall x;\{C/x\};C\text{ nueva}$
+\end_inset
+
+ (la última parte se incluye siempre en las 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+-reglas).
+ Las 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+-reglas se aplican después de las 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+-reglas y antes de las 
+\begin_inset Formula $\gamma$
+\end_inset
+
+-reglas, y si se llega a un bucle por una rama, se razona que el tableaux
+ es abierto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si el tableaux es cerrado (si todas las hojas están cerradas), llegamos
+ a una contradicción.
+ Sin embargo, si el tableaux es abierto, no sabemos que sea satisfacible
+ (salvo si todos los predicados son de aridad 1 o la identidad).
+ No obstante, los nodos abiertos pueden servir como ejemplos de interpretaciones
+ en las que la oración es satisfacible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Grafos semánticos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Son iguales que en L0, pero en los cuantificadores, el nombre de la variable
+ se incluye en el nombre del propio nodo junto con el cuantificador.
+ Además, debajo de cada predicado (que se escribe completo), se puede indicar
+ el f.b.f.
+ de términos, que consiste en añadir un nodo hijo por cada término.
+ Si el término es una función, se indica simplemente el nombre de la función
+ y sus parámetros se escriben como nodos hijo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Deducción natural
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se añaden reglas de deducción natural:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $E_{\forall}:\frac{\vdash\forall x\alpha[x]}{\vdash\alpha[C]}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es una constante cualquiera.
+ Se debe indicar la sustitución 
+\begin_inset Formula $\{C/x\}$
+\end_inset
+
+ y, en su caso, si 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es nueva o 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+arbitraria
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $I_{\forall}:\frac{\vdash\alpha[C]}{\vdash\forall x\alpha[x]}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ debe ser 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+arbitraria
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, es decir, no distinguible de cualquier otro individuo por suposiciones,
+ derivaciones o premisas anteriores.
+ Puede ser obtenida nueva con 
+\begin_inset Formula $E_{\forall}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $E_{\exists}:\frac{\vdash\exists x\alpha[x]\vdash(\alpha[C]\vdash\beta)}{\vdash\beta}$
+\end_inset
+
+.
+ No se debe hacer ninguna suposición sobre 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ no puede depender de 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $I_{\exists}:\frac{\vdash\alpha[C]}{\vdash\exists x\alpha[x]}$
+\end_inset
+
+.
+ Se pueden cambiar todas las apariciones de 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ o solo algunas.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/logic/n7.lyx b/logic/n7.lyx
new file mode 100644
index 0000000..b05b04e
--- /dev/null
+++ b/logic/n7.lyx
@@ -0,0 +1,609 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+sistema deductivo
+\series default
+ es un conjunto de axiomas y reglas de inferencia sintácticas (
+\begin_inset Formula $\vdash$
+\end_inset
+
+).
+ Una 
+\series bold
+demostración
+\series default
+ o 
+\series bold
+prueba formal
+\series default
+ es una secuencia de conjuntos de fórmulas en las que cada fórmula es un
+ axioma o puede obtenerse del conjunto anterior mediante una regla de inferencia.
+ Cada elemento 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ del último conjunto de la secuencia se llama 
+\series bold
+teorema por deducción
+\series default
+, y se dice que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+demostrable
+\series default
+, lo que escribimos como 
+\begin_inset Formula $\vdash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un sistema deductivo en L0 y L1 es 
+\series bold
+sólido
+\series default
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\vdash\alpha\implies\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+, es decir, si cualquier conclusión 
+\series bold
+derivable
+\series default
+ o 
+\series bold
+deducible 
+\series default
+a partir de las reglas es válida, y es 
+\series bold
+completo
+\series default
+ cuando 
+\begin_inset Formula $\vDash\alpha\implies\vdash\alpha$
+\end_inset
+
+.
+ Un conjunto de reglas es 
+\series bold
+inconsistente
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\vdash\alpha\land\neg\alpha$
+\end_inset
+
+, y es 
+\series bold
+consistente
+\series default
+ si no es inconsistente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dada una oración 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ y un conjunto de oraciones 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+ significa que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es válida y 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+ significa que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es consecuencia lógica de 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+.
+ Por su parte 
+\begin_inset Formula $\vdash\alpha$
+\end_inset
+
+ significa que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es demostrable y 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vdash\alpha$
+\end_inset
+
+ significa que 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es deducible de 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+, y representa una 
+\series bold
+deducción
+\series default
+ o 
+\series bold
+razonamiento
+\series default
+, donde 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ es la conclusión o 
+\series bold
+derivación
+\series default
+ y las 
+\begin_inset Formula $\psi\in{\cal F}$
+\end_inset
+
+ son las premisas, las fórmulas usadas para llegar a 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que un conjunto de oraciones 
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
+\end_inset
+
+ es una 
+\series bold
+teoría
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha({\cal T}\vDash\alpha\implies\alpha\in{\cal T})$
+\end_inset
+
+, y entonces cada 
+\begin_inset Formula $\alpha\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+teorema
+\series default
+.
+ Una teoría es 
+\series bold
+axiomatizable
+\series default
+ si existe un subconjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula ${\cal T}=\{\alpha|{\cal F}\vDash\alpha\}$
+\end_inset
+
+, y cada 
+\begin_inset Formula $\alpha\in{\cal F}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+axioma
+\series default
+, y es 
+\series bold
+contradictoria
+\series default
+ o 
+\series bold
+inconsistente
+\series default
+ cuando 
+\begin_inset Formula ${\cal T}\vDash\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal T}\vDash\neg\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una teoría es 
+\series bold
+decidible
+\series default
+ si se puede determinar la consistencia o inconsistencia de una fórmula
+ mediante un algoritmo; 
+\series bold
+semidecidible
+\series default
+ si hay fórmulas cuya inconsistencia no puede ser probada algorítmicamente,
+ e 
+\series bold
+indecidible
+\series default
+ si no es posible crear un algoritmo que determine la consistencia o inconsisten
+cia de una fórmula.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Hilbert
+\series default
+ opinaba que todo sistema fundamental matemático debía ser consistente,
+ completo y decidible, pero Kurt
+\series bold
+ Gödel
+\series default
+ demostró que ningún sistema capaz de representar los números naturales
+ puede ser a la vez consistente y completo, y que la consistencia no puede
+ probarse con los propios axiomas del sistema, por lo que habrá verdades
+ que no se pueden demostrar.
+ Alan 
+\series bold
+Turing
+\series default
+, por su parte, demostró que solo sistemas muy restrictivos son decidibles.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un sistema deductivo cumple el 
+\series bold
+teorema de la deducción
+\series default
+ si verifica que, dado el conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+ y las fórmulas 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{\alpha\}\vdash\beta\iff{\cal F}\vdash\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}\vdash\beta\iff{\cal F}\cup\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n-1}\}\vdash\alpha_{n}\rightarrow\beta\iff\dots\iff{\cal F}\vdash\alpha_{1}\rightarrow(\alpha_{2}\rightarrow\cdots(\alpha_{n}\rightarrow\beta)\cdots)$
+\end_inset
+
+.
+ Este teorema simplifica mucho las demostraciones, si bien no se probó su
+ corrección hasta 1930.
+ No todos los sistemas cumplen en teorema de la deducción, si bien el Teorema
+ de la Deducción Semántica (
+\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{a\}\vDash\beta\iff{\cal F}\vDash\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+) se cumple siempre.
+ Decimos que 
+\begin_inset Formula ${\cal F}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+sintácticamente completo
+\series default
+ si para todo 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vdash\alpha$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula ${\cal F}\vdash\neg\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+razonamiento deductivo
+\series default
+ es el que parte de unas hipótesis básicas para obtener unas consecuencias
+ (
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$
+\end_inset
+
+).
+ Normalmente parte de premisas sobre aspectos generales para concluir aspectos
+ particulares.
+ La relación entre premisas y conclusión es de implicación (
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta\iff\vDash\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+).
+ Algunos tipos de 
+\series bold
+demostración
+\series default
+ deductiva (de 
+\begin_inset Formula $\vDash\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+):
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Vacía
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $\forall v_{I},v(\alpha)=F$
+\end_inset
+
+ (no se usa 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Trivial
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\forall v_{I},v(\beta)=V$
+\end_inset
+
+ (no se usa 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Directa
+\series default
+: Probar que 
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$
+\end_inset
+
+ usando definiciones o teoremas ya probados, como el Modus Ponens.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Por contrarrecíproco
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\beta\rightarrow\neg\alpha$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Por contradicción
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\alpha\land\neg\beta\rightarrow\gamma\land\neg\gamma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Indirecta
+\series default
+: Si 
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\gamma$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\gamma\vDash\beta$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+refutación por contraejemplo
+\series default
+ consiste en buscar 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $v(\alpha[a]\rightarrow\beta[a])=F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+razonamiento inductivo
+\series default
+ consiste en obtener reglas generales a partir de casos particulares.
+ Para ello se observan, registran y analizan hechos y se formulan leyes
+ universales a modo de hipótesis o conjeturas, tras lo cual se diseñan experimen
+tos para ver que estas leyes se cumplen.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+inducción matemática
+\series default
+, sin embargo, se puede probar de forma deductiva, si bien esto requiere
+ lógica de segundo orden.
+ En 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, para un 
+\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, tenemos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Principio de inducción débil
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\{P(n_{0})\}\cup\bigcup_{n\geq n_{0}}\{P(n)\rightarrow P(n+1)\}\vDash\forall n\geq n_{0},P(n)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+Principio de inducción fuerte
+\series default
+: 
+\begin_inset Formula $\{P(n_{0})\}\cup\bigcup_{n\geq n_{0}}\{P(n_{0})\land\dots\land P(n)\rightarrow P(n+1)\}\vDash\forall n\geq n_{0},P(n)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+principio de inducción estructural
+\series default
+ para 
+\series bold
+demostración por recursión
+\series default
+ es una generalización de la inducción y afirma que, dado un conjunto de
+ elementos definido por recursión con una serie de casos base y reglas de
+ recursión sobre estos, si una propiedad se cumple para cada caso base,
+ y si en cada regla de recursión si la propiedad se cumple para los parámetros
+ de entrada también se cumple para el elemento resultante de aplicarla,
+ entonces esta propiedad la cumplen todos los elementos del conjunto.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document