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@@ -157,11 +157,11 @@ Que \end_inset sea inyectiva equivale a que -\begin_inset Formula $X_{u}(q):=dX(q)(e_{1})$ +\begin_inset Formula $X_{u}(q)\coloneqq dX(q)(e_{1})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $X_{v}(q):=dX(q)(e_{2})$ +\begin_inset Formula $X_{v}(q)\coloneqq dX(q)(e_{2})$ \end_inset sean linealmente independientes, lo que equivale a que el jacobiano @@ -209,7 +209,7 @@ Sean grafo \series default -\begin_inset Formula $G(f):=\{(u,v,f(u,v))\}_{(u,v)\in U}$ +\begin_inset Formula $G(f)\coloneqq \{(u,v,f(u,v))\}_{(u,v)\in U}$ \end_inset es una superficie regular. @@ -218,7 +218,7 @@ grafo \end_inset dada por -\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u,v,f(u,v))$ \end_inset es continua y su inversa es la proyección sobre el plano @@ -400,7 +400,7 @@ valor regular superficie de nivel \series default -\begin_inset Formula $S:=f^{-1}(\{a\})$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq f^{-1}(\{a\})$ \end_inset es una superficie regular. @@ -409,7 +409,7 @@ superficie de nivel Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $p_{0}:=(x_{0},y_{0},z_{0})\in S$ +\begin_inset Formula $p_{0}\coloneqq (x_{0},y_{0},z_{0})\in S$ \end_inset , como @@ -466,7 +466,7 @@ Demostración: \end_inset , y por la proposición anterior, -\begin_inset Formula $V:=(U\times I)\cap S=G(g)$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq (U\times I)\cap S=G(g)$ \end_inset es una superficie regular. @@ -495,7 +495,7 @@ Dados \end_inset , el plano -\begin_inset Formula $\pi:=\{ax+by+cz=d\}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \{ax+by+cz=d\}$ \end_inset es una superficie regular. @@ -504,7 +504,7 @@ Dados \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=ax+by+cz$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq ax+by+cz$ \end_inset , @@ -533,7 +533,7 @@ Dados elipsoide \series default -\begin_inset Formula $E:=\{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\}$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\}$ \end_inset es una superficie regular. @@ -547,7 +547,7 @@ elipsoide \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ \end_inset , @@ -577,7 +577,7 @@ El hiperboloide de una hoja \series default -\begin_inset Formula $H:=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}$ +\begin_inset Formula $H\coloneqq \{x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}$ \end_inset y el @@ -585,7 +585,7 @@ hiperboloide de una hoja hiperboloide de dos hojas \series default -\begin_inset Formula $H':=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\}$ +\begin_inset Formula $H'\coloneqq \{x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\}$ \end_inset son superficies regulares. @@ -615,7 +615,7 @@ hiperboloide de dos hojas \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}-z^{2}$ \end_inset , @@ -644,7 +644,7 @@ Sea \begin_layout Standard Para ver que los ejes de simetría de la hipérbola son los mencionados, sean -\begin_inset Formula $v:=(a,b)$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq (a,b)$ \end_inset unitario tal que @@ -652,7 +652,7 @@ Para ver que los ejes de simetría de la hipérbola son los mencionados, sean \end_inset es un eje de simetría y -\begin_inset Formula $p:=(x,\frac{1}{x})\in\{xy=1\}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq (x,\frac{1}{x})\in\{xy=1\}$ \end_inset , el simétrico de @@ -767,7 +767,7 @@ Queda ver que las figuras de revolución son efectivamente las mencionadas. \end_inset y los puntos son de la forma -\begin_inset Formula $(x,y,z):=((u+\frac{1}{u})\cos v,(u+\frac{1}{u})\sin v,-u+\frac{1}{u})/2$ +\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq ((u+\frac{1}{u})\cos v,(u+\frac{1}{u})\sin v,-u+\frac{1}{u})/2$ \end_inset , de modo que @@ -857,7 +857,7 @@ u+\frac{1}{u} \end_inset y los puntos son de la forma -\begin_inset Formula $(x,y,z):=((u-\frac{1}{u})\cos v,(u-\frac{1}{u})\sin v,u+\frac{1}{u})/2$ +\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq ((u-\frac{1}{u})\cos v,(u-\frac{1}{u})\sin v,u+\frac{1}{u})/2$ \end_inset , de modo que @@ -924,7 +924,7 @@ Dados \end_inset , el toro -\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}:=\{(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}=r^{2}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}\coloneqq \{(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}=r^{2}\}$ \end_inset es una superficie regular, y se obtiene de girar sobre el eje @@ -983,7 +983,7 @@ encia es siempre \begin_layout Standard Sea ahora -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq (\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}$ \end_inset , entonces @@ -1076,7 +1076,7 @@ Demostración: tiene un menor de orden 2 con determinante no nulo, que podemos suponer que es el formado por las dos primeras filas, y tomamos correspondientemente la proyección -\begin_inset Formula $\pi(x,y,z):=(x,y)$ +\begin_inset Formula $\pi(x,y,z)\coloneqq (x,y)$ \end_inset . @@ -1153,11 +1153,11 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $p_{0}\in V:=X(U)$ +\begin_inset Formula $p_{0}\in V\coloneqq X(U)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{0}:=X^{-1}(p_{0})$ +\begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq X^{-1}(p_{0})$ \end_inset , el resultado anterior nos da un entorno @@ -1177,12 +1177,12 @@ Demostración: \end_inset ) de forma que -\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U'':=(\pi\circ X)(U'))$ +\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U''\coloneqq (\pi\circ X)(U'))$ \end_inset es un difeomorfismo. Sea ahora -\begin_inset Formula $V:=X(U')$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U')$ \end_inset , @@ -1215,7 +1215,7 @@ Ejemplos: \begin_layout Enumerate El cono -\begin_inset Formula $C:=\{x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$ \end_inset no es una superficie regular. @@ -1274,7 +1274,7 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}-z^{2}$ \end_inset , entonces @@ -1326,7 +1326,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $p_{0}:=X(q_{0})$ +\begin_inset Formula $p_{0}\coloneqq X(q_{0})$ \end_inset , existen un entorno @@ -1342,7 +1342,7 @@ Demostración: \end_inset en un plano coordenado de forma que -\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U'':=(\pi\circ X)(U'))$ +\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U''\coloneqq (\pi\circ X)(U'))$ \end_inset es un homeomorfismo. @@ -1351,7 +1351,7 @@ Demostración: \end_inset es inyectiva, -\begin_inset Formula $X:U'\to(V':=X(U'))$ +\begin_inset Formula $X:U'\to(V'\coloneqq X(U'))$ \end_inset es biyectiva, y queda ver que @@ -1371,7 +1371,7 @@ Ejemplos: \begin_layout Enumerate Sean -\begin_inset Formula $U:=(0,\pi)\times(0,2\pi)$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,\pi)\times(0,2\pi)$ \end_inset y @@ -1379,7 +1379,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi):=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ +\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi)\coloneqq (\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ \end_inset , @@ -1391,7 +1391,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $M:=X([0,\pi],0)$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq X([0,\pi],0)$ \end_inset . @@ -1561,11 +1561,11 @@ Finalmente, dado \end_inset , sean -\begin_inset Formula $\theta:=\arccos z$ +\begin_inset Formula $\theta\coloneqq \arccos z$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\varphi:=\arccos\frac{x}{\sin\theta}=\arccos\frac{x}{\sqrt{1-z^{2}}}$ +\begin_inset Formula $\varphi\coloneqq \arccos\frac{x}{\sin\theta}=\arccos\frac{x}{\sqrt{1-z^{2}}}$ \end_inset (usando que @@ -1622,11 +1622,11 @@ Finalmente, dado \end_deeper \begin_layout Enumerate Sean -\begin_inset Formula $S:=\{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $N:=(0,0,2)$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq (0,0,2)$ \end_inset y @@ -1721,7 +1721,7 @@ dado \end_inset , si -\begin_inset Formula $(x,y,z):=X(u,v)$ +\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq X(u,v)$ \end_inset , @@ -1741,7 +1741,7 @@ Recíprocamente, dado \end_inset , si -\begin_inset Formula $(u,v):=\pi(x,y,z)$ +\begin_inset Formula $(u,v)\coloneqq \pi(x,y,z)$ \end_inset , @@ -1873,7 +1873,7 @@ Sean \end_inset parametrizaciones con -\begin_inset Formula $V:=X_{1}(U_{1})\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X_{1}(U_{1})\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$ \end_inset , llamamos @@ -1889,7 +1889,7 @@ cambio de coordenadas \end_inset a -\begin_inset Formula $F:=X_{2}^{-1}\circ X_{1}:X_{1}^{-1}(V)\to X_{2}^{-1}(V)$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq X_{2}^{-1}\circ X_{1}:X_{1}^{-1}(V)\to X_{2}^{-1}(V)$ \end_inset . @@ -1910,7 +1910,7 @@ teorema Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $F:=X_{2}^{-1}\circ X_{1}$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq X_{2}^{-1}\circ X_{1}$ \end_inset . @@ -1919,11 +1919,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(V)$ +\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(V)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(p)$ \end_inset , existe un entorno @@ -1952,7 +1952,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $U'_{1}:=F^{-1}(U'_{2})$ +\begin_inset Formula $U'_{1}\coloneqq F^{-1}(U'_{2})$ \end_inset es un entorno de @@ -2095,7 +2095,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $p:=X(q)$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq X(q)$ \end_inset , existe una parametrización @@ -2104,11 +2104,11 @@ Sea que cumple las condiciones. Sean -\begin_inset Formula $q':=U_{p}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q'\coloneqq U_{p}^{-1}(p)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V:=X(U)\cap X_{p}(U_{p})$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)\cap X_{p}(U_{p})$ \end_inset , @@ -2533,11 +2533,11 @@ Queremos ver que \end_inset , -\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$ +\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$ \end_inset es diferenciable en su dominio -\begin_inset Formula $U:=U_{1}\cap X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}^{-1}(U_{2})))$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq U_{1}\cap X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}^{-1}(U_{2})))$ \end_inset , luego @@ -2577,7 +2577,7 @@ Si \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $G:=F\circ X_{1}:U_{1}\to S_{2}$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq F\circ X_{1}:U_{1}\to S_{2}$ \end_inset es diferenciable. @@ -2598,11 +2598,11 @@ Si \end_inset es continua, el dominio de la expresión en coordenadas -\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ G$ +\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ G$ \end_inset , -\begin_inset Formula $U:=U_{1}\cap G^{-1}(X_{2}(U_{2}))$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq U_{1}\cap G^{-1}(X_{2}(U_{2}))$ \end_inset , es un abierto no vacío. @@ -2620,7 +2620,7 @@ Para cada \end_inset , si -\begin_inset Formula $p:=G(q)\in V_{2}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq G(q)\in V_{2}$ \end_inset , existe una parametrización @@ -2628,7 +2628,7 @@ Para cada \end_inset con -\begin_inset Formula $p\in V_{p}:=X_{p}(U_{p})$ +\begin_inset Formula $p\in V_{p}\coloneqq X_{p}(U_{p})$ \end_inset de tipo grafo, por ejemplo de la forma @@ -2775,7 +2775,7 @@ Dado \end_inset las parametrizaciones mencionadas y -\begin_inset Formula $U:=X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}(U_{2})))$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}(U_{2})))$ \end_inset , que es abierto, entonces @@ -2898,7 +2898,7 @@ localmente difeomorfa Demostración: \series default Tomamos el plano -\begin_inset Formula $\pi:=\mathbb{R}^{2}\times\{0\}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \mathbb{R}^{2}\times\{0\}$ \end_inset . @@ -2919,7 +2919,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $V:=X(U)$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)$ \end_inset e @@ -2927,11 +2927,11 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $i(u,v):=(u,v,0)$ +\begin_inset Formula $i(u,v)\coloneqq (u,v,0)$ \end_inset , tomamos -\begin_inset Formula $f:=i\circ X^{-1}:V\to i(U)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq i\circ X^{-1}:V\to i(U)$ \end_inset , y como @@ -2980,11 +2980,11 @@ Sean \end_inset con -\begin_inset Formula $\alpha(I)\cap(V:=X(U))\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $\alpha(I)\cap(V\coloneqq X(U))\neq\emptyset$ \end_inset y -\begin_inset Formula $J:=\{t\in I\mid \alpha(t)\in V\}$ +\begin_inset Formula $J\coloneqq \{t\in I\mid \alpha(t)\in V\}$ \end_inset , entonces @@ -2992,7 +2992,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=X^{-1}(\alpha(t))$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t)\coloneqq X^{-1}(\alpha(t))$ \end_inset es una curva en @@ -3089,7 +3089,7 @@ plano tangente \end_inset y -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset , @@ -3133,7 +3133,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=q+tw$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t)\coloneqq q+tw$ \end_inset definida en un entorno de la forma @@ -3145,7 +3145,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha:=X\circ\tilde{\alpha}:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq X\circ\tilde{\alpha}:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ \end_inset , @@ -3306,7 +3306,7 @@ diferencial \end_inset dada por -\begin_inset Formula $df_{p}(v):=(f\circ\alpha)'(0)$ +\begin_inset Formula $df_{p}(v)\coloneqq (f\circ\alpha)'(0)$ \end_inset , siendo @@ -3339,7 +3339,7 @@ diferencial \end_inset y -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset , entonces @@ -3356,7 +3356,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset , @@ -3372,7 +3372,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=X^{-1}\circ\alpha:\alpha^{-1}(X(U))\to U$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq X^{-1}\circ\alpha:\alpha^{-1}(X(U))\to U$ \end_inset , entonces @@ -3445,7 +3445,7 @@ Si función altura \series default -\begin_inset Formula $h(p):=\langle p,v\rangle$ +\begin_inset Formula $h(p)\coloneqq \langle p,v\rangle$ \end_inset representa la distancia de @@ -3502,7 +3502,7 @@ Dado \end_inset , la función distancia -\begin_inset Formula $g(p):=|p-p_{0}|$ +\begin_inset Formula $g(p)\coloneqq |p-p_{0}|$ \end_inset es diferenciable en @@ -3584,7 +3584,7 @@ función antípoda \end_inset dada por -\begin_inset Formula $A(p):=-p$ +\begin_inset Formula $A(p)\coloneqq -p$ \end_inset es diferenciable con @@ -3630,7 +3630,7 @@ Dado \end_inset , -\begin_inset Formula $F:=\hat{F}|_{\mathbb{S}^{2}}:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq \hat{F}|_{\mathbb{S}^{2}}:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$ \end_inset es diferenciable con @@ -3649,7 +3649,7 @@ Es diferenciable por ser la restricción de una función diferenciable en . Tomando una curva -\begin_inset Formula $\alpha(t):=(x(t),y(t),z(t))$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq (x(t),y(t),z(t))$ \end_inset apropiadamente, @@ -3676,7 +3676,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(p):=p/|p|$ +\begin_inset Formula $F(p)\coloneqq p/|p|$ \end_inset es diferenciable con @@ -3743,11 +3743,11 @@ Dadas dos superficies regulares \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(p)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(F(p))$ +\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(F(p))$ \end_inset , la matriz asociada a @@ -3755,11 +3755,11 @@ Dadas dos superficies regulares \end_inset respecto de las bases -\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}:=((X_{1})_{u}(q_{1}),(X_{1})_{v}(q_{1}))$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}\coloneqq ((X_{1})_{u}(q_{1}),(X_{1})_{v}(q_{1}))$ \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}:=((X_{2})_{u}(q_{2}),(X_{2})_{v}(q_{2}))$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}\coloneqq ((X_{2})_{u}(q_{2}),(X_{2})_{v}(q_{2}))$ \end_inset es el jacobiano de la expresión en coordenadas de @@ -3776,7 +3776,7 @@ Dadas dos superficies regulares Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $v:=v_{1}(X_{1})_{u}+v_{2}(X_{1})_{v}$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq v_{1}(X_{1})_{u}+v_{2}(X_{1})_{v}$ \end_inset , de modo que @@ -3788,7 +3788,7 @@ Demostración: \end_inset , pero la expresión en coordenadas -\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}:U_{1}\to U_{2}$ +\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}:U_{1}\to U_{2}$ \end_inset cumple @@ -3884,7 +3884,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $\beta:=F\circ\alpha$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq F\circ\alpha$ \end_inset , @@ -3960,7 +3960,7 @@ Teorema de la función inversa: \end_inset [y] -\begin_inset Formula ${\cal V}\in{\cal E}(y_{0}:=f(x_{0}))$ +\begin_inset Formula ${\cal V}\in{\cal E}(y_{0}\coloneqq f(x_{0}))$ \end_inset tales que @@ -4081,19 +4081,19 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(p)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(F(p))$ +\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(F(p))$ \end_inset , -\begin_inset Formula $V_{1}:=X_{1}(U_{1})$ +\begin_inset Formula $V_{1}\coloneqq X_{1}(U_{1})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V_{2}:=X_{2}(U_{2})$ +\begin_inset Formula $V_{2}\coloneqq X_{2}(U_{2})$ \end_inset . @@ -4114,7 +4114,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $U:=X_{1}^{-1}(F^{-1}(V_{2}))$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq X_{1}^{-1}(F^{-1}(V_{2}))$ \end_inset el dominio de @@ -4155,11 +4155,11 @@ Demostración: es un difeomorfismo. Sea -\begin_inset Formula $V:=X_{1}(\tilde{U}_{1})$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X_{1}(\tilde{U}_{1})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $F|_{V}:=(X_{2}\circ\tilde{F}\circ X_{1}^{-1})|_{V}:V\to F(V)$ +\begin_inset Formula $F|_{V}\coloneqq (X_{2}\circ\tilde{F}\circ X_{1}^{-1})|_{V}:V\to F(V)$ \end_inset es un difeomorfismo por ser composición de difeomorfismos. @@ -4304,7 +4304,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $A:=\{p\in S\mid f(p)=a\}\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{p\in S\mid f(p)=a\}\neq\emptyset$ \end_inset , pues @@ -4350,7 +4350,7 @@ Sean \end_inset es conexo, -\begin_inset Formula $V:=X(U)$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)$ \end_inset y @@ -4445,7 +4445,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $h:=f\circ\alpha:I\to\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq f\circ\alpha:I\to\mathbb{R}$ \end_inset , @@ -4482,7 +4482,7 @@ Dados una superficie regular \end_inset , definimos el producto escalar -\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{p}:=\langle\cdot,\cdot\rangle|_{T_{p}S}$ +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{p}\coloneqq \langle\cdot,\cdot\rangle|_{T_{p}S}$ \end_inset como el producto escalar usual restringido al plano tangente. @@ -4503,7 +4503,7 @@ primera forma fundamental \end_inset dada por -\begin_inset Formula ${\cal I}_{p}(v):=\langle v,v\rangle_{p}$ +\begin_inset Formula ${\cal I}_{p}(v)\coloneqq \langle v,v\rangle_{p}$ \end_inset . @@ -4523,15 +4523,15 @@ coeficientes de la primera forma fundamental \end_inset a -\begin_inset Formula $E:=\langle X_{u},X_{u}\rangle$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \langle X_{u},X_{u}\rangle$ \end_inset , -\begin_inset Formula $F:=\langle X_{u},X_{v}\rangle$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq \langle X_{u},X_{v}\rangle$ \end_inset y -\begin_inset Formula $G:=\langle X_{v},X_{v}\rangle$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \langle X_{v},X_{v}\rangle$ \end_inset , de modo que para @@ -4539,7 +4539,7 @@ coeficientes de la primera forma fundamental \end_inset , -\begin_inset Formula $p:=X(q)$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq X(q)$ \end_inset y @@ -4579,7 +4579,7 @@ Sean \end_inset diferenciable, -\begin_inset Formula $S:=G(f)$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq G(f)$ \end_inset , @@ -4591,15 +4591,15 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u,v,f(u,v))$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f_{u}:=\frac{\partial f}{\partial u}$ +\begin_inset Formula $f_{u}\coloneqq \frac{\partial f}{\partial u}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f_{v}:=\frac{\partial f}{\partial v}$ +\begin_inset Formula $f_{v}\coloneqq \frac{\partial f}{\partial v}$ \end_inset , entonces @@ -4636,7 +4636,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $S:=p+\langle v,w\rangle$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq p+\langle v,w\rangle$ \end_inset un plano y @@ -4698,7 +4698,7 @@ Dados \end_inset , el cilindro -\begin_inset Formula $C:=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ \end_inset y la parametrización @@ -4710,11 +4710,11 @@ Dados \end_inset dada por -\begin_inset Formula $U:=(0,2\pi)\times\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,2\pi)\times\mathbb{R}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $X(u,v):=(r\cos u,r\sin u,v)$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (r\cos u,r\sin u,v)$ \end_inset , entonces @@ -4751,7 +4751,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha(u):=(\cos u,\sin u,au)$ +\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq (\cos u,\sin u,au)$ \end_inset , el @@ -4776,7 +4776,7 @@ helicoide \end_inset con -\begin_inset Formula $X(u,v):=(v\cos u,v\sin u,au)$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (v\cos u,v\sin u,au)$ \end_inset , y entonces @@ -4909,11 +4909,11 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=(u,v):I\to U$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq (u,v):I\to U$ \end_inset su expresión en coordenadas y -\begin_inset Formula $s(t):=L_{0}^{t}(\alpha)$ +\begin_inset Formula $s(t)\coloneqq L_{0}^{t}(\alpha)$ \end_inset , entonces @@ -4995,11 +4995,11 @@ curvas coordenadas \end_inset , dadas por -\begin_inset Formula $\alpha(u):=X(u,v_{0})$ +\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq X(u,v_{0})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\beta(v):=X(u_{0},v)$ +\begin_inset Formula $\beta(v)\coloneqq X(u_{0},v)$ \end_inset . @@ -5131,7 +5131,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $h:=(\overline{u},\overline{v}):=\overline{X}^{-1}\circ X$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq (\overline{u},\overline{v})\coloneqq \overline{X}^{-1}\circ X$ \end_inset , como @@ -5172,7 +5172,7 @@ Por tanto \begin_layout Standard El área del toro -\begin_inset Formula $X(u,v):=((r\cos u+a)\cos v,(r\cos u+a)\sin v,r\sin u)$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq ((r\cos u+a)\cos v,(r\cos u+a)\sin v,r\sin u)$ \end_inset es @@ -5211,11 +5211,11 @@ luego los coeficientes de la primera forma fundamental son . La parametrización dada con el abierto -\begin_inset Formula $U:=(0,2\pi)\times(0,2\pi)$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,2\pi)\times(0,2\pi)$ \end_inset no cubre todo el toro, pero si definimos la región -\begin_inset Formula $R_{\varepsilon}:=X((\varepsilon,2\pi-\varepsilon)\times(\varepsilon,2\pi-\varepsilon))\subseteq X(U)$ +\begin_inset Formula $R_{\varepsilon}\coloneqq X((\varepsilon,2\pi-\varepsilon)\times(\varepsilon,2\pi-\varepsilon))\subseteq X(U)$ \end_inset , |