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@@ -144,7 +144,7 @@ homotopía Lema del pegamiento: \series default Sean -\begin_inset Formula $X:=A\cup B$ +\begin_inset Formula $X:= A\cup B$ \end_inset con @@ -239,7 +239,7 @@ Demostración: \begin_layout Standard La relación ser funciones homotópicas es de equivalencia, y llamamos -\begin_inset Formula $[X,Y]:={\cal C}(X,Y)\slash\simeq$ +\begin_inset Formula $[X,Y]:= {\cal C}(X,Y)\slash\simeq$ \end_inset . @@ -257,7 +257,7 @@ Demostración: continuas. -\begin_inset Formula $F(x,t):=f(x)$ +\begin_inset Formula $F(x,t):= f(x)$ \end_inset es una homotopía de @@ -286,7 +286,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $G(x,t):=F(x,1-t)$ +\begin_inset Formula $G(x,t):= F(x,1-t)$ \end_inset lo es de @@ -396,7 +396,7 @@ status open \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tg(x)$ +\begin_inset Formula $F(x,t):= (1-t)f(x)+tg(x)$ \end_inset @@ -604,7 +604,7 @@ Dado otro espacio \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Phi([h]):=[h\circ g]$ +\begin_inset Formula $\Phi([h]):= [h\circ g]$ \end_inset es biyectiva con inversa @@ -616,7 +616,7 @@ Dado otro espacio \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Psi([h]):=[f\circ h]$ +\begin_inset Formula $\Psi([h]):= [f\circ h]$ \end_inset es biyectiva con inversa @@ -650,7 +650,7 @@ Demostración: está bien definida. Sean -\begin_inset Formula $\Phi'([j]):=[j\circ f]$ +\begin_inset Formula $\Phi'([j])\coloneqq [j\circ f]$ \end_inset y @@ -714,7 +714,7 @@ status open \end_inset es el homeomorfismo y -\begin_inset Formula $g:=f^{-1}:Y\to X$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}:Y\to X$ \end_inset , entonces @@ -786,7 +786,7 @@ Sea \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $f(x):=\frac{x}{\Vert x\Vert}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$ \end_inset y @@ -795,7 +795,7 @@ Sea es la inclusión. Entonces -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tx$ +\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$ \end_inset es una homotopía de @@ -845,15 +845,15 @@ No son homeomorfos porque \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $f(x):=\frac{x}{\Vert x\Vert}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g(x):=x$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x$ \end_inset , y entonces -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tx$ +\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$ \end_inset es una homotopía de @@ -936,7 +936,7 @@ Demostración: \end_inset las equivalencias homotópicas, e -\begin_inset Formula $y_{0}:=k(p)\in Y$ +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq k(p)\in Y$ \end_inset , para @@ -978,7 +978,7 @@ Demostración: \end_inset las equivalencias homotópicas, -\begin_inset Formula $x_{0}:=g(p)=g(f(X))$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq g(p)=g(f(X))$ \end_inset y @@ -999,7 +999,7 @@ Demostración: \end_inset , definimos el camino -\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t):=F(x,t)$ +\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t)\coloneqq F(x,t)$ \end_inset que une @@ -1115,7 +1115,7 @@ Si \end_inset y por tanto un camino -\begin_inset Formula $\gamma(t):=F(y,t)$ +\begin_inset Formula $\gamma(t)\coloneqq F(y,t)$ \end_inset de @@ -1197,7 +1197,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t):=F(p,t)$ +\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t)\coloneqq F(p,t)$ \end_inset un camino que une @@ -1255,11 +1255,11 @@ status open Demostración: \series default Dados -\begin_inset Formula $X:=\{0\}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \{0\}$ \end_inset e -\begin_inset Formula $Y:=\{0,1\}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq \{0,1\}$ \end_inset con sus topologías indiscretas y @@ -1407,7 +1407,7 @@ Sean \end_inset e -\begin_inset Formula $y_{0}:=r(x_{0})$ +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq r(x_{0})$ \end_inset , existe un único camino @@ -1455,7 +1455,7 @@ Demostración: \end_inset es un homeomorfismo, luego -\begin_inset Formula $V_{x}:=V\cap f(U_{X})$ +\begin_inset Formula $V_{x}\coloneqq V\cap f(U_{X})$ \end_inset es abierto, con lo que @@ -1588,7 +1588,7 @@ aplicación exponencial \end_inset dada por -\begin_inset Formula $e(\theta):=(\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$ +\begin_inset Formula $e(\theta)\coloneqq (\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$ \end_inset . @@ -1605,7 +1605,7 @@ lazo \end_inset es continua, -\begin_inset Formula $\alpha_{f}:=f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}\coloneqq f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$ \end_inset es un lazo, y dado @@ -1629,7 +1629,7 @@ lazo \end_inset , -\begin_inset Formula $\theta_{1}:=\tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$ +\begin_inset Formula $\theta_{1}\coloneqq \tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$ \end_inset para algún @@ -1650,7 +1650,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $\deg f:=n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$ +\begin_inset Formula $\deg f\coloneqq n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$ \end_inset . @@ -1729,7 +1729,7 @@ alpha}_f(s)=e(2s)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=2s$, $ +alpha}_f(s):= 2s$, $ \backslash deg(f)=2 \backslash @@ -1757,7 +1757,7 @@ alpha_f(s)=e(ns)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=ns$, $ +alpha}_f(s):= ns$, $ \backslash deg f={ \backslash @@ -1795,7 +1795,7 @@ pi s))=e(-s)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=-s$, $ +alpha}_f(s):= -s$, $ \backslash deg(f)={ \backslash @@ -1920,16 +1920,16 @@ Si \end_inset dado por -\begin_inset Formula $h(t):=e(t+\theta_{0})$ +\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq e(t+\theta_{0})$ \end_inset , donde -\begin_inset Formula $e(\theta_{0}):=z_{0}$ +\begin_inset Formula $e(\theta_{0})\coloneqq z_{0}$ \end_inset . Por tanto, si -\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s):=f(e(s))$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))$ \end_inset , existe un levantamiento de @@ -1937,7 +1937,7 @@ Si \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s):=\theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq \theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$ \end_inset , pues @@ -1966,7 +1966,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sea -\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s):=f(e(s))=e(s)$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))=e(s)$ \end_inset , @@ -1974,7 +1974,7 @@ Sea \end_inset , y tomamos -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s):=s$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq s$ \end_inset . @@ -2000,7 +2000,7 @@ Si función antípoda \series default , -\begin_inset Formula $f(x):=-x$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq -x$ \end_inset , @@ -2012,7 +2012,7 @@ función antípoda \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $f(x,y):=(x^{2}-y^{2},2xy)$ +\begin_inset Formula $f(x,y)\coloneqq (x^{2}-y^{2},2xy)$ \end_inset , @@ -2028,7 +2028,7 @@ Dado \end_inset , si -\begin_inset Formula $f(z):=z^{n}$ +\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq z^{n}$ \end_inset en @@ -2213,7 +2213,7 @@ begin{itemize} \backslash item{$ \backslash -implies]$} Sea $I:=[0,1]$, existe una homotopía $H: +implies]$} Sea $I:= [0,1]$, existe una homotopía $H: \backslash mathbb{S}^1 \backslash @@ -2227,7 +2227,7 @@ times I \backslash to \backslash -mathbb{S}^1$ como $F(s,t):=H(e(s),t)$. +mathbb{S}^1$ como $F(s,t):= H(e(s),t)$. Sea $ \backslash alpha_f:I @@ -2236,7 +2236,7 @@ to \backslash mathbb{S}^1$ dado por $ \backslash -alpha_f(s):=f(e(s))$, $ +alpha_f(s):= f(e(s))$, $ \backslash deg f= \backslash @@ -2393,7 +2393,7 @@ tilde F(s,t)$, que está bien definida porque $ \backslash tilde F(0,t)= \backslash -tilde F(1,t)$, y definimos $H:=e +tilde F(1,t)$, y definimos $H:= e \backslash circ \backslash @@ -2418,7 +2418,7 @@ theta_0$ es tal que $R_{ \backslash theta_0}(g(1,0))=f(1,0)$. Las funciones $f$ y $g'$ son homotópicas, y entre $g$ y $g'$ hay una homotopía - $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):=R_{ + $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):= R_{ \backslash theta_0t}(g(z))$. Esto completa la prueba. @@ -2480,7 +2480,7 @@ Si \end_inset admite una extensión continua a -\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:=B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:= B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$ \end_inset , es decir, una función continua @@ -2535,7 +2535,7 @@ Si \end_inset como -\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):=F(e(\theta),r)$ +\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):= F(e(\theta),r)$ \end_inset , que está bien definida porque, si @@ -2575,7 +2575,7 @@ Basta ver que \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(z,t):=\hat{f}(zt)$ +\begin_inset Formula $F(z,t):= \hat{f}(zt)$ \end_inset es una homotopía de la función constante en @@ -2632,7 +2632,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Si $f(-1)=-1$ o $f(1)=1$ hemos terminado. - De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):=f(x)-x$, $g(-1)>0$ + De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):= f(x)-x$, $g(-1)>0$ y $g(1)<0$, y basta aplicar el teorema de Bolzano. \end_layout @@ -2667,7 +2667,7 @@ mathbb{S}^1}$. a $z$. Este punto está en la imagen de $ \backslash -gamma(t):=z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$. +gamma(t):= z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$. Entonces $ \backslash gamma(t) @@ -2712,15 +2712,15 @@ rangle+t^2 \backslash Vert f(z)-z \backslash -Vert^2.$$ Llamando $a(z):= +Vert^2.$$ Llamando $a(z):= \backslash Vert f(z)-z \backslash -Vert^2$, $b(z):= +Vert^2$, $b(z):= \backslash langle z,f(z)-z \backslash -rangle$ y $c(z):= +rangle$ y $c(z):= \backslash Vert z \backslash @@ -2846,13 +2846,13 @@ teorema status open \begin_layout Plain Layout -Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):={v(z) +Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):= {v(z) \backslash over \backslash Vert v(z) \backslash -Vert}$ y $g(z):=-f(z)$. +Vert}$ y $g(z):= -f(z)$. Entonces $f,g: \backslash mathbb{S}^1 @@ -2862,7 +2862,7 @@ to mathbb{S}^1$ son continuas. Como $f$ admite una extensión continua a $ \backslash -mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):={v(tz) +mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):= {v(tz) \backslash over \backslash @@ -2915,7 +2915,7 @@ Un campo de vectores tangente a \end_inset con -\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:=\text{span}\{p\}^{\bot}$ +\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:= \text{span}\{p\}^{\bot}$ \end_inset para cada |