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diff --git a/ts/n4.lyx b/ts/n4.lyx
index 3a63435..03ba08e 100644
--- a/ts/n4.lyx
+++ b/ts/n4.lyx
@@ -144,7 +144,7 @@ homotopía
 Lema del pegamiento:
 \series default
  Sean 
-\begin_inset Formula $X:=A\cup B$
+\begin_inset Formula $X:= A\cup B$
 \end_inset
 
  con 
@@ -239,7 +239,7 @@ Demostración:
 
 \begin_layout Standard
 La relación ser funciones homotópicas es de equivalencia, y llamamos 
-\begin_inset Formula $[X,Y]:={\cal C}(X,Y)\slash\simeq$
+\begin_inset Formula $[X,Y]:= {\cal C}(X,Y)\slash\simeq$
 \end_inset
 
 .
@@ -257,7 +257,7 @@ Demostración:
 
  continuas.
  
-\begin_inset Formula $F(x,t):=f(x)$
+\begin_inset Formula $F(x,t):= f(x)$
 \end_inset
 
  es una homotopía de 
@@ -286,7 +286,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $G(x,t):=F(x,1-t)$
+\begin_inset Formula $G(x,t):= F(x,1-t)$
 \end_inset
 
  lo es de 
@@ -396,7 +396,7 @@ status open
 \end_inset
 
  dada por 
-\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tg(x)$
+\begin_inset Formula $F(x,t):= (1-t)f(x)+tg(x)$
 \end_inset
 
 
@@ -604,7 +604,7 @@ Dado otro espacio
 \end_inset
 
  dada por 
-\begin_inset Formula $\Phi([h]):=[h\circ g]$
+\begin_inset Formula $\Phi([h]):= [h\circ g]$
 \end_inset
 
  es biyectiva con inversa 
@@ -616,7 +616,7 @@ Dado otro espacio
 \end_inset
 
  dada por 
-\begin_inset Formula $\Psi([h]):=[f\circ h]$
+\begin_inset Formula $\Psi([h]):= [f\circ h]$
 \end_inset
 
  es biyectiva con inversa 
@@ -650,7 +650,7 @@ Demostración:
 
  está bien definida.
  Sean 
-\begin_inset Formula $\Phi'([j]):=[j\circ f]$
+\begin_inset Formula $\Phi'([j])\coloneqq [j\circ f]$
 \end_inset
 
  y 
@@ -714,7 +714,7 @@ status open
 \end_inset
 
  es el homeomorfismo y 
-\begin_inset Formula $g:=f^{-1}:Y\to X$
+\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}:Y\to X$
 \end_inset
 
 , entonces 
@@ -786,7 +786,7 @@ Sea
 \end_inset
 
  dadas por 
-\begin_inset Formula $f(x):=\frac{x}{\Vert x\Vert}$
+\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$
 \end_inset
 
  y 
@@ -795,7 +795,7 @@ Sea
 
  es la inclusión.
  Entonces 
-\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tx$
+\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$
 \end_inset
 
  es una homotopía de 
@@ -845,15 +845,15 @@ No son homeomorfos porque
 \end_inset
 
  dadas por 
-\begin_inset Formula $f(x):=\frac{x}{\Vert x\Vert}$
+\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$
 \end_inset
 
  y 
-\begin_inset Formula $g(x):=x$
+\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x$
 \end_inset
 
 , y entonces 
-\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tx$
+\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$
 \end_inset
 
  es una homotopía de 
@@ -936,7 +936,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
  las equivalencias homotópicas, e 
-\begin_inset Formula $y_{0}:=k(p)\in Y$
+\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq k(p)\in Y$
 \end_inset
 
 , para 
@@ -978,7 +978,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
  las equivalencias homotópicas, 
-\begin_inset Formula $x_{0}:=g(p)=g(f(X))$
+\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq g(p)=g(f(X))$
 \end_inset
 
  y 
@@ -999,7 +999,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
 , definimos el camino 
-\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t):=F(x,t)$
+\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t)\coloneqq F(x,t)$
 \end_inset
 
  que une 
@@ -1115,7 +1115,7 @@ Si
 \end_inset
 
  y por tanto un camino 
-\begin_inset Formula $\gamma(t):=F(y,t)$
+\begin_inset Formula $\gamma(t)\coloneqq F(y,t)$
 \end_inset
 
  de 
@@ -1197,7 +1197,7 @@ Si
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t):=F(p,t)$
+\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t)\coloneqq F(p,t)$
 \end_inset
 
  un camino que une 
@@ -1255,11 +1255,11 @@ status open
 Demostración:
 \series default
  Dados 
-\begin_inset Formula $X:=\{0\}$
+\begin_inset Formula $X\coloneqq \{0\}$
 \end_inset
 
  e 
-\begin_inset Formula $Y:=\{0,1\}$
+\begin_inset Formula $Y\coloneqq \{0,1\}$
 \end_inset
 
  con sus topologías indiscretas y 
@@ -1407,7 +1407,7 @@ Sean
 \end_inset
 
  e 
-\begin_inset Formula $y_{0}:=r(x_{0})$
+\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq r(x_{0})$
 \end_inset
 
 , existe un único camino 
@@ -1455,7 +1455,7 @@ Demostración:
 \end_inset
 
  es un homeomorfismo, luego 
-\begin_inset Formula $V_{x}:=V\cap f(U_{X})$
+\begin_inset Formula $V_{x}\coloneqq V\cap f(U_{X})$
 \end_inset
 
  es abierto, con lo que 
@@ -1588,7 +1588,7 @@ aplicación exponencial
 \end_inset
 
  dada por 
-\begin_inset Formula $e(\theta):=(\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$
+\begin_inset Formula $e(\theta)\coloneqq (\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$
 \end_inset
 
 .
@@ -1605,7 +1605,7 @@ lazo
 \end_inset
 
  es continua, 
-\begin_inset Formula $\alpha_{f}:=f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
+\begin_inset Formula $\alpha_{f}\coloneqq f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
 \end_inset
 
  es un lazo, y dado 
@@ -1629,7 +1629,7 @@ lazo
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $\theta_{1}:=\tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$
+\begin_inset Formula $\theta_{1}\coloneqq \tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$
 \end_inset
 
  para algún 
@@ -1650,7 +1650,7 @@ grado
 \end_inset
 
  a 
-\begin_inset Formula $\deg f:=n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$
+\begin_inset Formula $\deg f\coloneqq n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$
 \end_inset
 
 .
@@ -1729,7 +1729,7 @@ alpha}_f(s)=e(2s)$, tomamos ${
 \backslash
 tilde
 \backslash
-alpha}_f(s):=2s$, $
+alpha}_f(s):= 2s$, $
 \backslash
 deg(f)=2
 \backslash
@@ -1757,7 +1757,7 @@ alpha_f(s)=e(ns)$, tomamos ${
 \backslash
 tilde
 \backslash
-alpha}_f(s):=ns$, $
+alpha}_f(s):= ns$, $
 \backslash
 deg f={
 \backslash
@@ -1795,7 +1795,7 @@ pi s))=e(-s)$, tomamos ${
 \backslash
 tilde
 \backslash
-alpha}_f(s):=-s$, $
+alpha}_f(s):= -s$, $
 \backslash
 deg(f)={
 \backslash
@@ -1920,16 +1920,16 @@ Si
 \end_inset
 
  dado por 
-\begin_inset Formula $h(t):=e(t+\theta_{0})$
+\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq e(t+\theta_{0})$
 \end_inset
 
 , donde 
-\begin_inset Formula $e(\theta_{0}):=z_{0}$
+\begin_inset Formula $e(\theta_{0})\coloneqq z_{0}$
 \end_inset
 
 .
  Por tanto, si 
-\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s):=f(e(s))$
+\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))$
 \end_inset
 
 , existe un levantamiento de 
@@ -1937,7 +1937,7 @@ Si
 \end_inset
 
  dado por 
-\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s):=\theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$
+\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq \theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$
 \end_inset
 
 , pues 
@@ -1966,7 +1966,7 @@ status open
 
 \begin_layout Plain Layout
 Sea 
-\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s):=f(e(s))=e(s)$
+\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))=e(s)$
 \end_inset
 
 , 
@@ -1974,7 +1974,7 @@ Sea
 \end_inset
 
 , y tomamos 
-\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s):=s$
+\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq s$
 \end_inset
 
 .
@@ -2000,7 +2000,7 @@ Si
 función antípoda
 \series default
 , 
-\begin_inset Formula $f(x):=-x$
+\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq -x$
 \end_inset
 
 , 
@@ -2012,7 +2012,7 @@ función antípoda
 
 \begin_layout Enumerate
 Si 
-\begin_inset Formula $f(x,y):=(x^{2}-y^{2},2xy)$
+\begin_inset Formula $f(x,y)\coloneqq (x^{2}-y^{2},2xy)$
 \end_inset
 
 , 
@@ -2028,7 +2028,7 @@ Dado
 \end_inset
 
 , si 
-\begin_inset Formula $f(z):=z^{n}$
+\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq z^{n}$
 \end_inset
 
  en 
@@ -2213,7 +2213,7 @@ begin{itemize}
 \backslash
 item{$
 \backslash
-implies]$} Sea $I:=[0,1]$, existe una homotopía $H:
+implies]$} Sea $I:= [0,1]$, existe una homotopía $H:
 \backslash
 mathbb{S}^1
 \backslash
@@ -2227,7 +2227,7 @@ times I
 \backslash
 to
 \backslash
-mathbb{S}^1$ como $F(s,t):=H(e(s),t)$.
+mathbb{S}^1$ como $F(s,t):= H(e(s),t)$.
  Sea $
 \backslash
 alpha_f:I
@@ -2236,7 +2236,7 @@ to
 \backslash
 mathbb{S}^1$ dado por $
 \backslash
-alpha_f(s):=f(e(s))$, $
+alpha_f(s):= f(e(s))$, $
 \backslash
 deg f=
 \backslash
@@ -2393,7 +2393,7 @@ tilde F(s,t)$, que está bien definida porque $
 \backslash
 tilde F(0,t)=
 \backslash
-tilde F(1,t)$, y definimos $H:=e
+tilde F(1,t)$, y definimos $H:= e
 \backslash
 circ
 \backslash
@@ -2418,7 +2418,7 @@ theta_0$ es tal que $R_{
 \backslash
 theta_0}(g(1,0))=f(1,0)$.
  Las funciones $f$ y $g'$ son homotópicas, y entre $g$ y $g'$ hay una homotopía
- $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):=R_{
+ $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):= R_{
 \backslash
 theta_0t}(g(z))$.
  Esto completa la prueba.
@@ -2480,7 +2480,7 @@ Si
 \end_inset
 
  admite una extensión continua a 
-\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:=B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$
+\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:= B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$
 \end_inset
 
 , es decir, una función continua 
@@ -2535,7 +2535,7 @@ Si
 \end_inset
 
  como 
-\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):=F(e(\theta),r)$
+\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):= F(e(\theta),r)$
 \end_inset
 
 , que está bien definida porque, si 
@@ -2575,7 +2575,7 @@ Basta ver que
 \end_inset
 
  dada por 
-\begin_inset Formula $F(z,t):=\hat{f}(zt)$
+\begin_inset Formula $F(z,t):= \hat{f}(zt)$
 \end_inset
 
  es una homotopía de la función constante en 
@@ -2632,7 +2632,7 @@ status open
 
 \begin_layout Plain Layout
 Si $f(-1)=-1$ o $f(1)=1$ hemos terminado.
- De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):=f(x)-x$, $g(-1)>0$
+ De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):= f(x)-x$, $g(-1)>0$
  y $g(1)<0$, y basta aplicar el teorema de Bolzano.
 \end_layout
 
@@ -2667,7 +2667,7 @@ mathbb{S}^1}$.
  a $z$.
  Este punto está en la imagen de $
 \backslash
-gamma(t):=z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$.
+gamma(t):= z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$.
  Entonces $
 \backslash
 gamma(t)
@@ -2712,15 +2712,15 @@ rangle+t^2
 \backslash
 Vert f(z)-z
 \backslash
-Vert^2.$$ Llamando $a(z):=
+Vert^2.$$ Llamando $a(z):= 
 \backslash
 Vert f(z)-z
 \backslash
-Vert^2$, $b(z):=
+Vert^2$, $b(z):= 
 \backslash
 langle z,f(z)-z
 \backslash
-rangle$ y $c(z):=
+rangle$ y $c(z):= 
 \backslash
 Vert z
 \backslash
@@ -2846,13 +2846,13 @@ teorema
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):={v(z)
+Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):= {v(z)
 \backslash
 over
 \backslash
 Vert v(z)
 \backslash
-Vert}$ y $g(z):=-f(z)$.
+Vert}$ y $g(z):= -f(z)$.
  Entonces $f,g:
 \backslash
 mathbb{S}^1
@@ -2862,7 +2862,7 @@ to
 mathbb{S}^1$ son continuas.
  Como $f$ admite una extensión continua a $
 \backslash
-mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):={v(tz)
+mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):= {v(tz)
 \backslash
 over
 \backslash
@@ -2915,7 +2915,7 @@ Un campo de vectores tangente a
 \end_inset
 
  con 
-\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:=\text{span}\{p\}^{\bot}$
+\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:= \text{span}\{p\}^{\bot}$
 \end_inset
 
  para cada