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\begin_body

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
def
\backslash
represent#1{
\backslash
begin{circuitikz}
\backslash
draw (0,0) to[#1] (2,0);
\backslash
end{circuitikz}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
def
\backslash
show#1{
\backslash
begin{center}
\backslash
represent{#1}
\backslash
end{center}}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
corriente alterna
\series default
 es aquella que cambia de sentido periódicamente, en contraste con la 
\series bold
corriente continua
\series default
, en la que la intensidad y el voltaje son constantes.
 La forma de oscilación más típica es la 
\series bold
oscilación senoidal
\series default
, dada por
\begin_inset Formula 
\[
v_{s}=V_{p}\cos(\omega t+\theta)
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $V_{p}$
\end_inset

 es la 
\series bold
amplitud
\series default
, 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 es la 
\series bold
velocidad angular
\series default
 en 
\begin_inset Formula $\unit{rad/s}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 es la 
\series bold
fase
\series default
.
 Llamamos 
\series bold
voltaje pico-pico
\series default
 o 
\series bold
pico-valle
\series default
 a la máxima diferencia de voltaje en el tiempo, que para una oscilación
 senoidal es 
\begin_inset Formula $V_{pp}=2V_{p}$
\end_inset

.
 La 
\series bold
frecuencia
\series default
 es 
\begin_inset Formula $f\coloneqq \frac{\omega}{2\pi}$
\end_inset

 y se mide en hercios (
\begin_inset Formula $\text{Hz}=\text{s}^{-1}$
\end_inset

), y el 
\series bold
periodo
\series default
 es 
\begin_inset Formula $T\coloneqq \frac{1}{f}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un circuito con una fuente de voltaje senoidal tendrá en cualquier punto
 un voltaje con oscilación senoidal de igual velocidad angular, si bien
 la amplitud y la fase pueden variar.
 Dos oscilaciones senoidales que van una delante o detrás de la otra se
 dice que están 
\series bold
desfasadas
\series default
, mientras que si la diferencia de fase es 0, están 
\series bold
en fase
\series default
.
 Otras oscilaciones típicas son las ondas cuadradas y las triangulares.
 Una fuente de corriente alterna se representa con
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
show{sV}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Análisis fasorial
\end_layout

\begin_layout Standard
Se trata de una forma práctica de analizar circuitos donde la fuente de
 voltaje es alterna senoidal.
 Un circuito de resistencias (R), inductores (L) y condensadores (C) se
 suele denominar circuito RLC.
 Tomemos el siguiente ejemplo sencillo:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{circuitikz}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
newcommand*{
\backslash
equal}{=}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
draw (4.5,0) to[sV=$v
\backslash
equal V_p
\backslash
cos(
\backslash
omega t)$] (0,0) -- (0,2) to[R=$R$] (1.5,2) to[L=$L$] (3,2) to[C=$C$] (4.5,2)
 -- (4.5,0);
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{circuitikz}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Aplicando mallas,
\begin_inset Formula 
\[
v(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int i(t)\,dt
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Estamos ante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.
 Las soluciones naturales para este tipo de ecuaciones son exponenciales,
 pues la derivada de una exponencial es la misma exponencial.
 La identidad de Euler o de De Moivre nos dice que 
\begin_inset Formula $e^{jx}=\cos x\pm j\sin x$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $j\coloneqq \sqrt{-1}$
\end_inset

.
 Tenemos que 
\begin_inset Formula $V_{p}\cos(\omega t)=\text{Re}V_{p}e^{j\omega t}$
\end_inset

, y como la ecuación es lineal, podemos representar la fuente con 
\begin_inset Formula $V_{p}e^{j\omega t}$
\end_inset

, omitiendo el operador 
\begin_inset Formula $\text{Re}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

parte real
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La intensidad es 
\begin_inset Formula $i(t)=\text{Re}I_{p}e^{j\omega t+\theta}=\text{Re}I_{p}e^{\theta}e^{j\omega t}\coloneqq \text{Re}Ie^{j\omega t}$
\end_inset

, por tanto basta encontrar el 
\series bold
fasor
\series default
 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 para resolver el problema.
 Sustituyendo 
\begin_inset Formula $v(t)$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $V_{p}e^{j\omega t}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i(t)$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $Ie^{j\omega t}$
\end_inset

 y despejando, obtenemos
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
V_{p}e^{j\omega t}=RIe^{j\omega t}+L\frac{d}{dt}\left(Ie^{j\omega t}\right)+\frac{1}{C}\int Ie^{j\omega t}\,dt\implies\\
\implies V_{p}=RI+j\omega LI+\frac{I}{j\omega C}=\left(R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right)I=:ZI
\end{multline*}

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 es la 
\series bold
impedancia
\series default
, una cantidad compleja 
\begin_inset Formula $Z=R+jX$
\end_inset

 medida en ohmios, en la que 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 es la resistencia y 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es la 
\series bold
reactancia
\series default
.
 Todos los resultados obtenidos en el anterior capítulo para circuitos de
 corriente continua sirven igualmente para corriente alterna sinoidal sin
 más que reemplazar la resistencia por la impedancia.
 Nos quedamos con que
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Z_{R}=R\text{, } & Z_{L}=j\omega L\text{, } & Z_{C}=-\frac{1}{\omega C}j
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El inverso de la impedancia es la 
\series bold
admitancia
\series default
, 
\begin_inset Formula $Y=G+jB\coloneqq \frac{1}{Z}$
\end_inset

, medida en siemens, donde 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es la conductancia y 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es la 
\series bold
susceptancia
\series default
.
 Ahora solo queda despejar 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 y obtener 
\begin_inset Formula $i(t)=\text{Re}Ie^{j\omega t}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $I=I_{p}e^{j\theta}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
i(t)=\text{Re}I_{p}e^{j\theta}e^{j\omega t}=I_{p}\cos(\omega t+\theta)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Potencia en circuitos de corriente alterna
\end_layout

\begin_layout Standard
Si un voltaje senoidal 
\begin_inset Formula $v(t)=V_{p}\cos(\omega t)$
\end_inset

 resulta en una corriente 
\begin_inset Formula $i(t)=I_{p}\cos(\omega t+\theta)$
\end_inset

, la potencia instantánea es 
\begin_inset Formula $p(t)=v(t)i(t)=V_{p}I_{p}\cos(\omega t)\cos(\omega t+\theta)=\frac{V_{p}I_{p}}{2}(\cos\theta+\cos(2\omega t+\theta))$
\end_inset

.
 La potencia media 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 la podemos obtener como
\begin_inset Formula 
\[
P=\frac{1}{T}\int p\,dt
\]

\end_inset

u observando que el primer término de la suma en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es constante respecto al tiempo mientras que el segundo es un sinusoide
 cuya media es cero, luego
\begin_inset Formula 
\[
P=\frac{V_{p}I_{p}}{2}\cos\theta
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si el circuito es sólo resistivo, la diferencia de fase entre 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 es 0 y 
\begin_inset Formula $P=\frac{V_{p}I_{p}}{2}=\frac{1}{2}RI_{p}^{2}$
\end_inset

, mientras que si el circuito es sólo capacitivo o inductivo entonces 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 es respectivamente 
\begin_inset Formula $\unit[90]{\mathring{}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\unit[-90]{\mathring{}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P=0$
\end_inset

.
 En términos de fasores,
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
p(t) & = & \frac{1}{2}\text{Re}\left(V\overline{I}+VIe^{2j\omega t}\right)\\
P & = & \frac{1}{2}\text{Re}V\overline{I}
\end{eqnarray*}

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $V=V_{p}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $I=I_{p}e^{j\theta}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\overline{I}$
\end_inset

 es el conjugado de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
 Despejando 
\begin_inset Formula $V=IZ$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
P=\frac{1}{2}\text{Re}|I|^{2}Z=\frac{1}{2}|I|^{2}R=\frac{1}{2}|I_{p}|^{2}R
\]

\end_inset

O bien, despejando 
\begin_inset Formula $I=\frac{V}{Z}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
P=\frac{1}{2}\text{Re}V\frac{\overline{V}}{\overline{Z}}=\frac{1}{2}\text{Re}\frac{|V|^{2}}{\overline{Z}}=\frac{1}{2}\text{Re}\frac{|V|^{2}Z}{|Z|^{2}}=\frac{1}{2}\frac{|V|^{2}R}{R^{2}+X^{2}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Valores efectivos o RMS
\end_layout

\begin_layout Standard
Vemos que definiendo 
\begin_inset Formula $I_{eff}=\frac{I_{p}}{\sqrt{2}}$
\end_inset

, obtenemos 
\begin_inset Formula $P=I_{eff}^{2}R$
\end_inset

, similar a la fórmula de la potencia en corriente continua.
 Así, podemos definir 
\begin_inset Formula $I_{eff}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $P=I_{eff}^{2}R$
\end_inset

 para corrientes de forma arbitraria.
 Dado que 
\begin_inset Formula $P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}R\,dt=\frac{R}{T}\int_{0}^{T}i^{2}\,dt$
\end_inset

, se tiene que
\begin_inset Formula 
\[
I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}\,dt}
\]

\end_inset

lo que en inglés se conoce como 
\emph on
root mean square
\emph default
, por lo que escribimos 
\begin_inset Formula $I_{rms}\coloneqq I_{eff}$
\end_inset

.
 Así pues,
\begin_inset Formula 
\[
P=\frac{V_{rms}^{2}}{R}=I_{rms}^{2}R
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Factor de potencia
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado que 
\begin_inset Formula $P=VI\cos\theta$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $V=V_{rms}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $I=I_{rms}$
\end_inset

, podemos definir el factor de potencia como
\begin_inset Formula 
\[
\text{pf}=\frac{P}{VI}=\cos\theta
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Este valor será 1 para cargas puramente resistivas y 0 para cargas puramente
 reactivas.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Transformadores
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{circuitikz}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
draw (0,0) node[transformer core]{};
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{circuitikz}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Son dispositivos de una frecuencia (normalmente 
\begin_inset Formula $\unit[60]{Hz}$
\end_inset

) con eficiencia cercana al 
\begin_inset Formula $\unit[100]{\%}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $W_{out}\cong W_{in}$
\end_inset

) formados por un núcleo de material ferromagnético, normalmente hierro
 blando (se magnetiza y desmagnetiza fácilmente), en el que se enrollan
 dos bobinas, como se muestra en la figura.
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Graphics
	filename pegado1.png

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si conectamos la bobina primaria a una fuente de voltaje 
\begin_inset Formula $v_{s}=V_{p}\cos(\omega t)$
\end_inset

 y dejamos la segunda sin conectar, se producirá una pequeña corriente en
 la primaria que inducirá un flujo magnético en el núcleo de hierro produciendo
 a su vez un voltaje inducido en la misma bobina, lo que se conoce como
 
\series bold
autoinducción
\series default
.
 Este voltaje viene dado por la ley de Faraday como 
\begin_inset Formula $v_{1}=-N_{1}\frac{d\psi}{dt}$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 el número de vueltas de la bobina y 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 el flujo magnético inducido.
 También se producirá una diferencia de potencial en la bobina secundaria,
 dada por 
\begin_inset Formula $v_{2}=-N_{2}\frac{d\psi}{dt}$
\end_inset

.
 Despejando, 
\begin_inset Formula $\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si ahora conectamos la bobina secundaria a una carga 
\begin_inset Formula $R_{L}$
\end_inset

, se produce 
\series bold
inducción mutua
\series default
: la corriente producida por la diferencia de voltaje en el circuito secundario
 induce un flujo magnético en el núcleo de hierro, induciendo a su vez un
 voltaje en el circuito primario, y viceversa.
 Entonces, en un transformador ideal, 
\begin_inset Formula $V_{1}I_{1}=W_{1}=W_{2}=V_{2}I_{2}$
\end_inset

, y en un transformador real esta es una buena aproximación.
 Así,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por tanto
\begin_inset Formula 
\[
\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{\frac{V_{1}}{I_{1}}}{\frac{V_{2}}{I_{2}}}=\frac{V_{1}I_{2}}{V_{2}I_{1}}=\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}
\]

\end_inset

luego si 
\begin_inset Formula $N_{1}>N_{2}$
\end_inset

, una impedancia pequeña 
\begin_inset Formula $Z_{2}$
\end_inset

 aparece en el circuito primario como una impedancia más grande 
\begin_inset Formula $Z_{1}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document