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diff --git a/ch5_adjoints.tex b/ch5_adjoints.tex index 33d8e1d..991c313 100644 --- a/ch5_adjoints.tex +++ b/ch5_adjoints.tex @@ -36,15 +36,15 @@ funtores libres y otras estructuras relacionadas, basándonos principalmente en Las flechas universales suelen representar inmersiones de objetos en un cierto objeto completado o con estructura adicional. \begin{enumerate} - \item Un objeto libre sobre un conjunto $X$ en un constructo es una flecha - universal de $X$ al constructo. + \item En el caso de constructos, esta definición de objeto libre coincide con + la vista en el capítulo 1. \item Si $U:\bField\inTo\bDom$ es el funtor inclusión de la subcategoría completa de los cuerpos en la categoría de dominios, una flecha universal de - un dominio $D$ en $U$ es el conjunto cociente $Q(D)$ junto con la inclusión. + un dominio $D$ a $U$ es el conjunto cociente $Q(D)$ junto con la inclusión. \item Consideremos la categoría $\bMGrph$ de los \conc{multigrafos}, los grafos dirigidos (no necesariamente finitos) que admiten varios ejes entre dos mismos vértices. Si $U:\bCat\to\bMGrph$ es el funtor que <<olvida>> la - composición y la identidad, un objeto libre de un multigrafo $M$ a $U$ es + composición y las identidades, un objeto libre de un multigrafo $M$ a $U$ es una categoría cuyos objetos son los vértices de $M$ y cuyos morfismos entre dos objetos son los caminos entre ellos en $M$, tomando como composición la concatenación de caminos y como identidad el camino vacío. @@ -61,7 +61,7 @@ definir la categoría en la que <<viven>> estas flechas. \begin{definition} Si $U:\cC\to\cB$ es un funtor y $b$ es un objeto de $\cB$, la \conc{categoría de objetos $U$-bajo $b$}, $(b\downarrow U)$, tiene como objetos los pares - $(c,f)$ formados por un objeto $c$ de $\cC$ y un morfismo $f:b\to Uc$; como + $(c,f)$ formados por un objeto $c$ de $\cC$ y un morfismo $f:b\to Uc$, y como morfismos $h:(c,f)\to(c',f')$ los morfismos $h:c\to c'$ en $\cC$ tales que $f'=Uh\circ f$, y como composición e identidad las correspondientes en $\cC$. \end{definition} @@ -121,15 +121,19 @@ universal de un funtor a un objeto. \section{Lema de Yoneda} El lema de Yoneda es un resultado clásico sobre transformaciones naturales que -permite relacionar las mismas con transformaciones naturales. Antes de verlo -conviene definir algunos funtores útiles. +apunta a una relación entre estas y las flechas universales. Antes de verlo es +conveniente definir algunos funtores útiles. + +En esta discusión a veces requeriremos que las categorías tengan conjuntos hom +pequeños. Aunque este suele ser el caso, en general es posible obtener el mismo +resultado sustituyendo $\bSet$ por una categoría de conjuntos más grande. \begin{definition} Si $\cC$ es una categoría con conjuntos hom pequeños, definimos el \conc{bifuntor hom} $\hom_\cC:\dual{\cC}\times\cC$ sobre objetos $(a,b)$ como $\hom_\cC(a,b)$, y sobre morfismos $(f,g):(a,b)\to(a',b')$ como - $\hom_\cC(f,g)(h)\coloneqq g\circ h\circ f$. Dados dos funtores $S:\cA\to\cC$ - y $T:\cB\to\cC$, definimos el bifuntor + $\hom_\cC(f,g)(h)\coloneqq g\circ h\circ f$. Además, dados dos funtores + $S:\cA\to\cC$ y $T:\cB\to\cC$, definimos el bifuntor $\hom_\cC(S-,T-):\dual{\cA}\times\cB\to\cC$ como $\hom_\cC\circ(S\times T)$. \end{definition} @@ -148,16 +152,18 @@ conviene definir algunos funtores útiles. $\hom(f,-)_c(g)\coloneqq g\circ f$. \end{definition} -\begin{lemma}[Yoneda]\label{lem:yoneda} - Sea $\cC$ una categoría con conjuntos hom pequeños. Para cada funtor $T:\cC\to\bSet$ - y objeto $c$ de $\cC$, la función - \[ - \gamma_{T,c}:\hom_{\bSet^\cC}(\hom_\cC(c,-),T)\to Tc - \] - dada por $\gamma_{T,c}(\tau)\coloneqq\tau_c1_c$ es una biyección natural entre - el funtor $\hom(Y-,-)$ (con el orden de las entradas cambiado) y - el funtor de evaluación $\bSet^\cC\times\cC\to\bSet$. -\end{lemma} +\begin{samepage} + \begin{lemma}[Yoneda]\label{lem:yoneda} + Sea $\cC$ una categoría con conjuntos hom pequeños. Para cada funtor + $T:\cC\to\bSet$ y objeto $c$ de $\cC$, la función + \[ + \gamma_{T,c}:\hom_{\bSet^\cC}(\hom_\cC(c,-),T)\to Tc + \] + dada por $\gamma_{T,c}(\tau)\coloneqq\tau_c1_c$ es una biyección natural + entre el funtor $\hom(Y-,-)$ (con el orden de las entradas cambiado) y el + funtor de evaluación $\bSet^\cC\times\cC\to\bSet$. + \end{lemma} +\end{samepage} \begin{proof} \begin{figure} \hfil @@ -234,10 +240,10 @@ flechas universales. La definición de flecha universal equivale a esta biyección, que es natural ya que, para cada morfismo $g:x\to y$ en $\cC$ y $f:c\to x$, $\hom(b,Ug)(\tau_x(f))=Ug\circ Uf\circ u=U(g\circ f)\circ - u=U(\hom(c,g)(f))=\tau_y(\hom(c,g)(f))$. + u=U(\hom(c,g)(f))\circ u=\tau_y(\hom(c,g)(f))$. - Para el recíproco, si $\tau:\hom_\cC(c,-)\to\hom_\cB(b,U-)$ es un isomorfismo - natural, por el lema de Yoneda y la biyectividad de $\tau_x$ se tiene que todo + Para la segunda parte, si $\tau:\hom_\cC(c,-)\to\hom_\cB(b,U-)$ es un + isomorfismo natural, por el lema de Yoneda y la biyectividad de $\tau_x$, todo morfismo $b\to Ux$ se expresa de forma única como $\tau_xf=\hom(b,Uf)(\tau_c1_c)=Uf\circ\tau_c1_c$ para cierto $f:c\to x$, lo que significa precisamente que $\tau_c1_c$ es universal de $b$ a $U$. @@ -245,32 +251,35 @@ flechas universales. \section{Adjunciones} -Sea $U:\cC\to\cB$ un funtor tal que todo objeto $b$ en $\cB$ admite una flecha -universal $(Fb,u_b)$ de $b$ a $U$. Para cada morfismo $f:b\to b'$ en $\cB$, -siguiendo la figura \ref{fig:universal} existe un único morfismo $Ff:Fb\to Fb'$ -en $\cC$ tal que $UFf\circ u_b=u_{b'}\circ f$, y además claramente $F1_b=1_{Cb}$ -y $Fg\circ Ff=F(g\circ f)$, de modo que $F:\cB\to\cC$ es un funtor y -$u:1_\cB\to U\circ F$ es una transformación natural. +Sea $U:\cC\to\cB$ un funtor entre categorías con conjuntos hom pequeños y tal +que todo objeto $b$ en $\cB$ admite una flecha universal $(Fb,u_b)$ de $b$ a +$U$. Para cada morfismo $f:b\to b'$ en $\cB$, siguiendo la figura +\ref{fig:universal} existe un único morfismo $Ff:Fb\to Fb'$ en $\cC$ tal que +$UFf\circ u_b=u_{b'}\circ f$, y además claramente $F1_b=1_{Cb}$ y +$Fg\circ Ff=F(g\circ f)$, de modo que $F:\cB\to\cC$ así construido es un funtor +y $u:1_\cB\to U\circ F$ es una transformación natural. El que la imagen de $u$ esté formada por flechas universales permite obtener una -especie de inversa. Dados un objeto $b$ en $\cB$ y un objeto $c$ en $\cC$, para -cada morfismo $f:b\to Uc$ existe un único $\hat f:Fb\to c$ tal que -$f=U\hat f\circ u_b$, de modo que $\psi_{b,c}:\hom_\cC(Fb,c)\to\hom_\cB(b,Uc)$ -dada por $\psi_{b,c}(g)\coloneqq Ug\circ u_b$ es una biyección, y como $U$ es un -funtor y $u$ es natural, $\psi$ es un isomorfismo natural entre los funtores -$\hom_\cC\circ(F\times 1),\hom_\cB\circ(1\times U):\dual{\cB}\times\cC\to\bSet$ -(si los conjuntos hom no son siempre pequeños, basta sustituir $\bSet$ por una -clase de conjuntos más grande). Entonces $u_b\equiv\psi_{b,Fb}(1)$ y, del mismo +especie de transformación inversa. Dados un objeto $b$ en $\cB$ y un objeto $c$ +en $\cC$, para cada morfismo $f:b\to Uc$ existe un único $\hat f:Fb\to c$ tal +que $f=U\hat f\circ u_b$, de modo que +$\psi_{b,c}:\hom_\cC(Fb,c)\to\hom_\cB(b,Uc)$ dada por +$\psi_{b,c}(g)\coloneqq Ug\circ u_b$ es una biyección, y como $U$ es un funtor y +$u$ es natural, $\psi$ es un isomorfismo natural entre los funtores +$\hom_\cC\circ(F\times 1),\hom_\cB\circ(1\times +U):\dual{\cB}\times\cC\to\bSet$. Entonces $u_b\equiv\psi_{b,Fb}(1)$ y, del mismo modo, podemos definir la transformación natural $e:F\circ U\to 1_\cC$ como $e_c\coloneqq\psi_{Uc,c}^{-1}(1)$, de modo que para cada objeto $c$, $(Uc,e_c)$ es una flecha universal de $F$ a $c$. La relación entre las transformaciones naturales $u$ y $e$ es más estrecha que -esto. Para un objeto $c$, $1_{Uc}=\psi(e_c)=Ue_c\circ u_{Uc}$, y de forma dual, -para un objeto $b$, -$\psi(e_{Fb}\circ Fu_b)=Ue_{Fb}\circ Ue_{Fb}\circ UFu_b\circ u_b=Ue_{Fb}\circ -u_{UFb}\circ u_b=1_{UFb}\circ u_b=u_b$ y por tanto -$1_{Fb}=\psi^{-1}(u_b)=e_{Fb}\circ Fu_b$. +esto. Para un objeto $c$ en $\cC$, $1_{Uc}=\psi(e_c)=Ue_c\circ u_{Uc}$, y para +un objeto $b$ en $\cB$, +\[ + \psi(e_{Fb}\circ Fu_b) = Ue_{Fb}\circ UFu_b\circ u_b + = Ue_{Fb}\circ u_{UFb}\circ u_b = 1_{UFb}\circ u_b = u_b, +\] +y por tanto $1_{Fb} = \psi^{-1}(u_b) = e_{Fb}\circ Fu_b$. Estas dos identidades se pueden expresar más elegantemente con la notación adecuada. Si $\tau:R\to S$ es una transformación natural entre dos funtores @@ -278,10 +287,10 @@ $R,S:\cB\to\cC$ y $T:\cC\to\cD$ es otro funtor, podemos definir la transformación natural $T\tau:T\circ R\to T\circ S$ como $(T\tau)_b\coloneqq T(\tau_b)$ para cada objeto $b$ en $\cB$. Por otro lado, si $U:\cA\to\cB$ es otro funtor, podemos definir la transformación natural -$\tau U:R\circ U\to G\circ U$ como $(\tau U)_a\coloneqq\tau_{Ka}$ para cada +$\tau U:R\circ U\to G\circ U$ como $(\tau U)_a\coloneqq\tau_{Ua}$ para cada objeto $a$ en $\cA$. -Con todo esto en mente, definimos las adjunciones como sigue. +Con esto, podemos caracterizar la situación anterior como sigue. \begin{definition} Una \conc{adjunción} entre dos categorías $\cB$ y $\cC$ es una tupla @@ -349,16 +358,16 @@ teorema. \end{diagram} \hfil - Con esto $1_{Gc}=\psi(\eps_c)=G\eps_c\circ\eta_{Gc}$, y la otra identidad es - dual a esta y se demuestra de forma análoga. + Esto permite probar las dos identidades en la definición de adjunción como en + el texto al principio de la sección. Para (\ref{enu:adj-univ}), $(Fb,\eta_b)$ es una flecha universal, pues para cada objeto $x$ en $\cC$, $\psi_{b,x}(g)=Gg\circ\eta_b$ es una biyección $\hom(Fb,x)\to\hom(b,Ux)$ natural respecto a $x$ (\ref{prop:yoneda-prop}). Recíprocamente, si sólo tenemos $G$ y las flechas universales $(c_b,\eta_b)$, $F$ definido de esta forma es un funtor que hace a - $\eta$ natural y $\psi_{b,c}$ definido de esta forma es un isomorfismo por - (\ref{prop:yoneda-prop}) y es claramente natural. + $\eta$ natural, y $\psi_{b,c}$ es un isomorfismo por (\ref{prop:yoneda-prop}) + y es claramente natural. Finalmente, (\ref{enu:adj-couniv}) es dual a (\ref{enu:adj-univ}). \end{proof} @@ -366,21 +375,20 @@ teorema. \begin{example} Este teorema permite definir una gran variedad de adjunciones. \begin{enumerate} - \item El caso más sencillo de adjunción se da cuando todos los conjuntos - admiten un objeto libre en un cierto constructo $\cC$. Entonces tenemos una - adjunción $(F,U,\eta,\eps)$, donde $U:\cC\to\bSet$ es el funtor olvidadizo, - $F:\bSet\to\cC$ es el funtor libre, $\eta_X:X\inTo UFX$ es la inclusión de - la base en el conjunto subyacente del objeto y $\eps_c:FUc\epicTo c$ es el - epimorfismo que aparece al describir un objeto como cociente de un cierto - objeto libre, que resulta ser el que tiene los propios elementos de $c$ como - generadores. Por ejemplo, en el caso de $R\dash\bMod$, $\eps_M$ lleva sumas - formales $\sum_{i=1}^ka_im_i$, con cada $a_i\in R$ y cada $m_i\in M$, a su - evaluación en el módulo $M$. + \item Si $\cC$ es un constructo en el que todos los conjuntos admiten un + objeto libre, tenemos una adjunción $(F,U,\eta,\eps)$, donde $U:\cC\to\bSet$ + es el funtor olvidadizo, $F:\bSet\to\cC$ es el funtor libre, + $\eta_X:X\inTo UFX$ es la inclusión de la base en el conjunto subyacente del + objeto y $\eps_c:FUc\epicTo c$ es el epimorfismo que aparece al describir un + objeto como cociente de un cierto objeto libre, en concreto del que tiene + los propios elementos de $c$ como generadores. Por ejemplo, en el caso de + $R\dash\bMod$, $\eps_M$ lleva sumas formales $\sum_{i=1}^ka_im_i$, con cada + $a_i\in R$ y cada $m_i\in M$, a su evaluación en el módulo $M$. \item Entre $\bDom$ y $\bField$ hay una adjunción $(Q,U,\eta,\eps)$ formada por la creación de cuerpos de fracciones $Q:\bDom\to\bField$, la inclusión - de categorías $U:\bField\inTo\bDom$, la inclusión canónica $\eta_D:D\to UQX$ - y la identidad $\eps_K:QUK\to K$ (recordemos que el cuerpo de fracciones de - un cuerpo es el propio cuerpo). + $U:\bField\inTo\bDom$ de una subcategoría, la inclusión canónica + $\eta_D:D\to UQD$ y la identidad $\eps_K:QUK\to K$ (recordemos que el cuerpo + de fracciones de un cuerpo es el propio cuerpo). \item Si $\cC$ es una categoría que tiene colímites con diagrama $\cS$, entre $\cC^\cS$ y $\cC$ hay una adjunción $(\underrightarrow{\lim},\Delta,\eta,\eps)$, donde $\underrightarrow{\lim}$ @@ -392,9 +400,9 @@ teorema. copias de $c$>>. \item Análogamente, si $\cC$ tiene límites con diagrama $\cS$, tenemos una adjunción $(\Delta,\underleftarrow{\lim},\eta,\eps)$ donde - $\underleftarrow{\lim}$ lleva cada diagrama a su límite, $\eta_c$ es el - límite de $\Delta c$ (una potencia de $c$) y $\eps_D$ es el límite como - fuente. + $\underleftarrow{\lim}$ lleva cada diagrama a su límite, $\eps_D$ es el + límite como fuente y $\eta_c$ tiene un codominio de la forma $c^I$ para + cierto conjunto $I$ y actúa como <<morfismo diagonal>>. \end{enumerate} \end{example} @@ -414,7 +422,7 @@ teorema. en $X$ y $\eps_T:DUT\to T$ es la identidad hacia $T$ desde el mismo conjunto pero con la topología discreta. \item Por la derecha tiene el funtor $N:\bSet\to\bTop$ que asocia a cada - conjunto su topología discreta. Aquí $\eps_X:UNX\to X$ es la identidad en + conjunto su topología indiscreta. Aquí $\eps_X:UNX\to X$ es la identidad en $X$ y $\eta_T:T\to NUT$ es la identidad desde $T$ hacia el mismo conjunto pero con la topología indiscreta. \end{enumerate} @@ -452,19 +460,20 @@ teorema. \begin{proposition}\label{prop:adj-transform} Dadas dos adjunciones $(F,G,\eta,\eps)$ de $\cB$ a $\cC$ y - $(F',G',\eta',\eps')$ de $\cB'$ a $\cC'$ y dos funtores $B:\cB\to\cB'$ y - $C:\cC\to\cC'$ con $C\circ F=F'\circ B$ y $B\circ G=G'\circ C$, son + $(F',G',\eta',\eps')$ de $\cB'$ a $\cC'$, y dados dos funtores $B:\cB\to\cB'$ + y $C:\cC\to\cC'$ con $C\circ F=F'\circ B$ y $B\circ G=G'\circ C$, son equivalentes: \begin{enumerate} \item \label{enu:adjtr-true} $(B,C)$ es una transformación de la primera adjunción a la segunda. \item \label{enu:adjtr-eta} $B\eta=\eta'B$. \item \label{enu:adjtr-eps} $\eps'C=C\eps$. - \item \label{enu:adjtr-psi} Si $\psi:\hom(F-,-)\to\hom(-,G-)$ es la - transformación natural asociada a la primera adjunción por el teorema - \ref{thm:adjoint-elems} y $\psi':\hom(F'-,-)\to\hom(-,G'-)$ la + \item \label{enu:adjtr-psi} Si $\psi:\hom(F-,-)\to\hom(-,G-)$ es el + isomorfismo natural asociado a la primera adjunción por el teorema + \ref{thm:adjoint-elems} y $\psi':\hom(F'-,-)\to\hom(-,G'-)$ es el correspondiente a la segunda adjunción, para cada objeto $b$ de $\cB$ y $c$ - de $\cC$, $B|_{hom(b,Gc)}\circ\psi_{b,c}=\psi'_{Bb,Cc}\circ C|_{\hom(Fb,c)}$. + de $\cC$, + $B|_{hom(b,Gc)}\circ\psi_{b,c}=\psi'_{Bb,Cc}\circ C|_{\hom(Fb,c)}$. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof} @@ -479,19 +488,19 @@ teorema. lo que nos da (\ref{enu:adjtr-psi}). Análogamente (\ref{enu:adjtr-eps})$\implies$(\ref{enu:adjtr-psi}). Para el recíproco, usando las fórmulas de $\eta$ y $\eta'$ en función de $\psi$ y $\psi'$ y - aplicando la fórmula en (\ref{enu:adjtr-psi}) a $1_{Fb}$, + aplicando (\ref{enu:adjtr-psi}) a $1_{Fb}$, \[ B\eta_b = B(\psi(1_{Fb})) = \psi'(C1_{Fb}) = \psi'(1_{CFb}) = \psi'(1_{F'Bb}) = \eta'_{Bb}, \] - con lo que se tiene (\ref{enu:adjtr-eta}) y, análogamente, - (\ref{enu:adjtr-eps}), y estas condiciones equivalen a - (\ref{enu:adjtr-true}). + con lo que (\ref{enu:adjtr-psi})$\implies$(\ref{enu:adjtr-eta}) y, + análogamente, (\ref{enu:adjtr-psi})$\implies$(\ref{enu:adjtr-eps}), y estas + condiciones equivalen a (\ref{enu:adjtr-true}). \end{proof} Esto nos da una categoría cuyos objetos son adjunciones entre categorías de un -cierto conjunto universal y cuyos morfismos son transformaciones de mónadas, que -se componen de la forma evidente. +cierto conjunto universal y cuyos morfismos son transformaciones de adjunciones, +que se componen de la forma evidente. %%% Local Variables: %%% mode: latex |