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diff --git a/tem/n4.lyx b/tem/n4.lyx
new file mode 100644
index 0000000..574a4a5
--- /dev/null
+++ b/tem/n4.lyx
@@ -0,0 +1,2144 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+recubrimiento
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es una familia 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ de subconjuntos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\bigcup_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+, y un 
+\series bold
+subrecubrimiento
+\series default
+ es una familia 
+\begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal A}$
+\end_inset
+
+ que es también recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ Un recubrimiento 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+finito
+\series default
+ si está formado por una cantidad finita de conjuntos, y es 
+\series bold
+abierto
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ si cada 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ lo es.
+ Con esto, un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+compacto
+\series default
+ si todo recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ admite un subrecubrimiento finito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subespacios compactos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El subespacio 
+\begin_inset Formula $(K,{\cal T}_{K})$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si todo recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ admite un subrecubrimiento finito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\cap K\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(K,{\cal T}_{K})$
+\end_inset
+
+, por lo que existe una familia finita 
+\begin_inset Formula $A_{i_{1}},\dots,A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $K=(A_{i_{1}}\cap K)\cup\dots\cup(A_{i_{r}}\cap K)$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $K\subseteq A_{i_{1}}\cup\dots\cup A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{A'_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(K,{\cal T}_{K})$
+\end_inset
+
+, y sea por tanto 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A'_{i}=A_{i}\cap K$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $K\subseteq\bigcup_{i\in I}A_{i}$
+\end_inset
+
+ y por hipótesis existen 
+\begin_inset Formula $A_{i_{1}},\dots,A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $K\subseteq A_{i_{1}}\cup\dots\cup A_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $K=(A_{i_{1}}\cap K)\cup\dots\cup(A_{i_{r}}\cap K)=A'_{i_{1}}\cup\dots\cup A'_{i_{r}}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto el concepto de compacidad es intrínseco del espacio topológico,
+ pues no depende del espacio total donde se considere.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo cerrado 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ de un compacto 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal A}\cup\{X\backslash C\}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, del que extraemos un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $C\subseteq X=\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Heine-Borel
+\series default
+ afirma que todo intervalo cerrado y acotado 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $[a,b]$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ y definimos 
+\begin_inset Formula $G=\{x\in[a,b]|\exists\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}\in{\cal P}_{0}({\cal A}):[a,x]\subseteq A_{i_{1}}\cup\dots\cup A_{i_{n}}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $a\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a\in A_{i_{0}}\in{\cal T}_{u}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $\exists\varepsilon>0:[a,a+\varepsilon)\subseteq A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $[a,a+\varepsilon)\subseteq G$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $G\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora veamos que 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $y\in[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $y\in[a,b]$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $j_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y\in A_{j_{0}}\in{\cal T}_{u}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\exists\delta>0:(y-\delta,y+\delta)\subseteq A_{j_{0}}$
+\end_inset
+
+, e 
+\begin_inset Formula $(y-\delta,y+\delta)\subseteq[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, si existiera un 
+\begin_inset Formula $z\in(y-\delta,y+\delta)\cap G$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $z\in G$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $[a,z]\subseteq\bigcup_{j=1}^{n}A_{i_{j}}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $\{A_{i_{0}},\dots,A_{i_{n}},A_{j_{0}}\}\in{\cal P}_{0}({\cal A})$
+\end_inset
+
+, entonces para 
+\begin_inset Formula $t\in(y-\delta,y+\delta)$
+\end_inset
+
+ se tendría 
+\begin_inset Formula $[a,t]\subseteq\bigcup_{j=1}^{n}A_{i_{j}}\cup A_{j_{0}}$
+\end_inset
+
+, llegando así a la contradicción de que 
+\begin_inset Formula $y\in G$
+\end_inset
+
+.
+ En consecuencia, 
+\begin_inset Formula $(y-\delta,y+\delta)\subseteq[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es un elemento arbitrario de 
+\begin_inset Formula $[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $[a,b]\backslash G$
+\end_inset
+
+ es abierto y por tanto 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ Finalmente, vemos que 
+\begin_inset Formula $G=[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, sea 
+\begin_inset Formula $s=\sup(G)$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ es cerrado entonces 
+\begin_inset Formula $s\in G$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $s<b$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $k_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $s\in A_{k_{0}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $[s,s+\varepsilon)\subseteq A_{k_{0}}$
+\end_inset
+
+ contradiciendo que sea 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ el supremo de 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ Y como 
+\begin_inset Formula $s\in G\implies[a,s]\subseteq G$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $G=[a,b]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En un espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ donde las bolas cerradas son siempre compactas (como sabemos que ocurre
+ en 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ por el teorema anterior), todo subespacio cerrado y acotado es compacto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $C\subseteq X$
+\end_inset
+
+ cerrado y acotado, entonces existen 
+\begin_inset Formula $x_{0}\in X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $C\subseteq B_{d}(x_{0};r)\subseteq B_{d}[x_{0};r]$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es un cerrado contenido en el compacto 
+\begin_inset Formula $B_{d}[x_{0};r]$
+\end_inset
+
+, es también compacto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo subespacio compacto 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ de un espacio topológico Hausdorff 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Probamos que 
+\begin_inset Formula $X\backslash K$
+\end_inset
+
+ es abierto, para lo cual vemos que todos sus puntos son interiores, es
+ decir, 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X\backslash K,\exists A\in{\cal E}(p):A\subseteq X\backslash K$
+\end_inset
+
+.
+ Dado 
+\begin_inset Formula $p\in X\backslash K$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $x\in K$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $p\neq x$
+\end_inset
+
+, la condición de Hausdorff nos asegura que existen 
+\begin_inset Formula $A_{x}\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B_{x}\in{\cal E}(x)$
+\end_inset
+
+ disjuntos.
+ Ahora bien, 
+\begin_inset Formula $\{B_{x}\}_{x\in K}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $B_{x_{1}},\dots,B_{x_{r}}$
+\end_inset
+
+ para ciertos 
+\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{r}\in K$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $A:=\bigcap_{i=1}^{r}A_{x_{i}}\in{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,r\}$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $a\in A_{x_{i}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $a\notin B_{x_{i}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $a\notin K$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $A\subseteq X\backslash K$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo subespacio compacto 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ de un espacio métrico 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es acotado.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $a\in X$
+\end_inset
+
+, para todo 
+\begin_inset Formula $x\in K$
+\end_inset
+
+ existe un 
+\begin_inset Formula $n_{x}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(x,a)<n_{x}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\{B(a;n)\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\{B(a;n_{1}),\dots,B(a;n_{r})\}$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $K\subseteq B(a;n_{1})\cup\dots\cup B(a;n_{r})=B(a;\max\{n_{1},\dots,n_{r}\})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De las tres últimas proposiciones se tiene que si 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es un espacio métrico donde las bolas cerradas son siempre compactas, entonces
+ un subespacio de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{d})$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Productos finitos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados dos espacios topológicos 
+\begin_inset Formula $(X_{1},{\cal T}_{1})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(X_{2},{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+espacio topológico producto
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(X_{1},{\cal T}_{1})\times(X_{2},{\cal T}_{2})=(X_{1}\times X_{2},{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+ a aquel en el que 
+\begin_inset Formula $G\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}\iff\forall(x_{1},x_{2})\in G,\exists A_{1}\in{\cal T}_{1},A_{2}\in{\cal T}_{2}:(x_{1},x_{2})\in A_{1}\times A_{2}\subseteq G$
+\end_inset
+
+.
+ Veamos que en efecto este es un espacio topológico.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\emptyset,X_{1}\times X_{2}\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean 
+\begin_inset Formula $G,G'\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in G\cap G'$
+\end_inset
+
+, existen 
+\begin_inset Formula $A_{1}\in{\cal T}_{1},A_{2}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in A_{1}\times A_{2}\subseteq G$
+\end_inset
+
+, y análogamente, existen 
+\begin_inset Formula $A'_{1}\in{\cal T}_{1},A'_{2}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A'_{1}\times A'_{2}\subseteq G'$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in(A_{1}\cap A'_{1})\times(A_{2}\cap A'_{2})\subseteq G\cap G'$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, si 
+\begin_inset Formula $(p_{1},p_{2})\in(A_{1}\cap A'_{1})\times(A_{2}\cap A'_{2})$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $p_{1}\in A_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p_{2}\in A_{2}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $(p_{1},p_{2})\in A_{1}\times A_{2}\subseteq G$
+\end_inset
+
+, y análogamente 
+\begin_inset Formula $(p_{1},p_{2})\in G'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea 
+\begin_inset Formula $\{G_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de abiertos de 
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in\bigcup_{i\in I}G_{i}$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $j\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in G_{j}\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+, de modo que existen 
+\begin_inset Formula $A_{j1}\in{\cal T}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{j2}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2})\in A_{j1}\times A_{j2}\subseteq G_{j}\subseteq\bigcup_{i\in I}G_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $G\subseteq X_{1}\times X_{2}$
+\end_inset
+
+ es abierto en 
+\begin_inset Formula $(X_{1}\times X_{2},{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existen un conjunto de índices 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y abiertos 
+\begin_inset Formula $A_{i1}\in{\cal T}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{i2}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $G=\bigcup_{i\in I}(A_{i1}\times A_{i2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $G\in{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $x=(x_{1},x_{2})\in G$
+\end_inset
+
+ existen 
+\begin_inset Formula $A_{x_{1}}\in{\cal T}_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A_{x_{2}}\in{\cal T}_{2}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $x=A_{x_{1}}\times A_{x_{2}}\subseteq G$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $G=\bigcup_{x\in G}\{x\}\subseteq\bigcup_{x\in G}(A_{x_{1}}\times A_{x_{2}})\subseteq G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $G=\bigcup_{i\in I}(A_{i1}\times A_{i2})$
+\end_inset
+
+, entonces todo punto de 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ se encuentra en algún 
+\begin_inset Formula $A_{j1}\times A_{j2}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ cumple la definición de abierto de la topología producto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Tíjonov
+\series default
+ o 
+\series bold
+Tychonoff
+\series default
+ afirma que 
+\begin_inset Formula $(X\times Y,{\cal T}\times{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ son compactos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $(X\times Y,{\cal T}\times{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es compacto, sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\{A_{i}\times Y\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X\times Y$
+\end_inset
+
+ del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{A_{1}\times Y,\dots,A_{r}\times Y\}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\{A_{1},\dots,A_{r}\}$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ compactos, 
+\begin_inset Formula ${\cal W}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X\times Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal G}$
+\end_inset
+
+ la familia de subconjuntos 
+\begin_inset Formula $S\subseteq X$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $S\times Y$
+\end_inset
+
+ puede ser recubierto por una cantidad finita de abiertos de 
+\begin_inset Formula ${\cal W}$
+\end_inset
+
+, hemos de demostrar que 
+\begin_inset Formula $X\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Sean 
+\begin_inset Formula $S,S'\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+, entonces existen 
+\begin_inset Formula ${\cal X}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal X}'$
+\end_inset
+
+ subrecubrimientos finitos de 
+\begin_inset Formula $S\times Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S'\times Y$
+\end_inset
+
+, respectivamente, por lo que 
+\begin_inset Formula ${\cal X}\cup{\cal X}'$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $(S\cup S')\times Y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S\cup S'\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Dado 
+\begin_inset Formula $x\in X$
+\end_inset
+
+, para cada 
+\begin_inset Formula $y\in Y$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula ${\cal W}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $X\times Y$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $W_{y}\in{\cal W}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $(x,y)\in W_{y}$
+\end_inset
+
+, de modo que podemos encontrar 
+\begin_inset Formula $A_{y}\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B_{y}\in{\cal T}'$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $(x,y)\in A_{y}\times B_{y}\subseteq W_{y}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\{B_{y}\}_{y\in Y}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+ del que podemos obtener un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{B_{y_{1}},\dots,B_{y_{r}}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $A_{x}=A_{y_{1}}\cap\dots\cap A_{y_{r}}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A_{x}\times Y=A_{x}\times(\bigcup_{i=1}^{r}B_{y_{i}})=\bigcup_{i=1}^{r}(A_{x}\times B_{y_{i}})\subseteq\bigcup_{i=1}^{r}(A_{y_{i}}\times B_{y_{i}})\subseteq\bigcup_{i=1}^{r}W_{y_{i}}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $A_{x}\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Por lo segundo, tenemos un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ de la forma 
+\begin_inset Formula $\{A_{x}\}_{x\in X}$
+\end_inset
+
+ donde cada 
+\begin_inset Formula $A_{x}\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+, por lo que podemos encontrar un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $X=A_{x_{1}}\cup\dots\cup A_{x_{k}}$
+\end_inset
+
+, y por lo primero esto implica 
+\begin_inset Formula $X\in{\cal G}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+De esto, junto con el apartado anterior, se obtiene la versión general del
+ teorema de Heine-Borel, que afirma que un subespacio de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado para alguna de las métricas
+ 
+\begin_inset Formula $d_{T}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d_{E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Compacidad y continuidad
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto entonces 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ es compacto.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento de 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\{f^{-1}(A_{i})\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, que admite pues un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{f^{-1}(A_{1}),\dots,f^{-1}(A_{r})\}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\{A_{1},\dots,A_{r}\}$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Esto significa que la compacidad es una propiedad topológica, es decir,
+ si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ son homeomorfos y 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto, 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ También significa que, si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es compacto, toda función continua 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,d')$
+\end_inset
+
+ es cerrada y acotada.
+ En particular toda 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ continua alcanza su máximo y su mínimo en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})=([a,b],{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $f([a,b])$
+\end_inset
+
+ es un intervalo cerrado y acotado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de la continuidad de la función inversa
+\series default
+ afirma que toda 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ biyectiva y continua, siendo 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ compacto e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ Hausdorff, es un homeomorfismo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Basta probar que 
+\begin_inset Formula $g:=f^{-1}$
+\end_inset
+
+ es continua.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ lleva compactos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ a compactos de 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+, pero dado 
+\begin_inset Formula $C\in{\cal C_{T}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ es compacto, 
+\begin_inset Formula $f(C)$
+\end_inset
+
+ también y por ser 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ Hausdorff, 
+\begin_inset Formula $f(C)$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ Hemos probado que dado 
+\begin_inset Formula $C\subseteq X$
+\end_inset
+
+ cerrado, 
+\begin_inset Formula $g^{-1}(C)=f(C)$
+\end_inset
+
+ es cerrado, luego 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es continua.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto toda aplicación 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ inyectiva y continua, siendo 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ compacto e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ Hausdorff, es un homeomorfismo entre 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(f(X),{\cal T}'_{f(X)})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toda 
+\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
+\end_inset
+
+ continua, siendo 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{d})$
+\end_inset
+
+ compacto, es uniformemente con
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ti
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+nua.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, para 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $\delta_{p}>0$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\forall y\in X,(d(p,y)<\delta_{p}\implies d'(f(p),f(y))<\frac{\varepsilon}{2})$
+\end_inset
+
+.
+ Sea ahora 
+\begin_inset Formula $\delta'_{p}:=\frac{\delta_{p}}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{B(p;\delta'_{p})\}_{p\in X}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{B(p_{1};\delta'_{p_{1}}),\dots,B(p_{r};\delta'_{p_{r}})\}$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula $\delta:=\min\{\delta'_{p_{1}},\dots,\delta'_{p_{r}}\}$
+\end_inset
+
+.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(x,y)<\delta$
+\end_inset
+
+, entonces existe 
+\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots r\}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(x,p_{i})<\delta_{p_{i}}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $d(y,p_{i})\leq d(y,x)+d(x,p_{i})<\delta+\delta'_{p_{i}}\leq2\delta'_{p_{i}}=\delta_{p_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $d'(f(x),f(p_{i}))<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d'(f(y),f(p_{i}))<\frac{\varepsilon}{2}$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $d'(f(y),f(x))\leq d'(f(y),f(p_{i}))+d'(f(p_{i}),f(x))<\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Compacidad por sucesiones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+compacto por sucesiones 
+\series default
+si toda sucesión admite una subsucesión convergente.
+ Ahora probaremos que todo espacio métrico compacto es compacto por sucesiones,
+ y viceversa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Primero probamos que si 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión en 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es un punto de acumulación de ella, 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ posee una subsucesión convergente a 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, sea 
+\begin_inset Formula $S=\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ el conjunto de puntos, para todo 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ debe ser 
+\begin_inset Formula $(B(p;r)\backslash\{p\})\cap S$
+\end_inset
+
+ infinito, pues si fuera finito 
+\begin_inset Formula $\{x_{n_{1}},\dots,x_{n_{r}}\}$
+\end_inset
+
+ podríamos escoger 
+\begin_inset Formula $r'>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $r'<d(p,x_{n_{i}})\forall i$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $(B(p;r')\backslash\{p\})\cap S=\emptyset$
+\end_inset
+
+, lo que contradice que 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ sea punto de acumulación.
+ Ahora bien, si para 
+\begin_inset Formula $k=1$
+\end_inset
+
+ tomamos 
+\begin_inset Formula $r=1$
+\end_inset
+
+ existirá 
+\begin_inset Formula $x_{n_{1}}\in B(p;1)$
+\end_inset
+
+, y si tenemos 
+\begin_inset Formula $x_{n_{k}}\in B(p;\frac{1}{k})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $n_{k}>n_{k-1}$
+\end_inset
+
+ entonces como 
+\begin_inset Formula $B(p;\frac{1}{k+1})\cap S$
+\end_inset
+
+ es infinito, podemos tomar 
+\begin_inset Formula $x_{n_{k+1}}\in B(p;\frac{1}{k+1})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $n_{k+1}>n_{k}$
+\end_inset
+
+, formando una subsucesión 
+\begin_inset Formula $\{x_{n_{k}}\}_{k}$
+\end_inset
+
+ que converge a 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ Esto también vale para cualquier espacio topológico 1AN y Hausdorff.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ahora vemos que todo subconjunto infinito 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ compacto tiene al menos un punto de acumulación.
+ Supongamos que no los tiene, es decir, 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X,\exists U_{p}\in{\cal E}(p):(U_{p}\backslash\{p\})\cap S=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces podríamos considerar el recubrimiento abierto 
+\begin_inset Formula $\{U_{p}\}_{p\in X}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, del que podemos extraer un subrecubrimiento finito 
+\begin_inset Formula $\{U_{p_{1}},\dots,U_{p_{r}}\}$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $S=S\cap X=S\cap(U_{p_{1}}\cup\dots\cup U_{p_{r}})=(S\cap U_{p_{1}})\cup\dots\cup(S\cap U_{p_{r}})\subseteq\{p_{1},\dots,p_{r}\}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Con esto podemos probar que todo espacio métrico compacto es compacto por
+ sucesiones.
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es compacto y sea 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ una sucesión en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora sea 
+\begin_inset Formula $S=\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es finito, debe existir 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ que se repite infinitas veces en la sucesión, y estos términos forman una
+ subsucesión constante y por tanto convergente.
+ Si es infinito, posee un punto de acumulación y por tanto tiene una subsucesión
+ convergente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Observamos que toda sucesión acotada en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d_{T}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d_{E}$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+ posee una subsucesión convergente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+precompacto
+\series default
+ o 
+\series bold
+totalmente acotado
+\series default
+ si para cada 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ existe una cantidad finita de puntos 
+\begin_inset Formula $\{x_{1},\dots,x_{m}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $X=B(x_{1};r)\cup\dots\cup B(x_{m};r)$
+\end_inset
+
+.
+ Esta definición es casi igual a la de compacto, pero no se considera un
+ recubrimiento abierto cualquiera sino solo los de la forma 
+\begin_inset Formula $\{B(p;r)\}_{p\in X}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, todo espacio métrico compacto es precompacto, y todo espacio precompacto
+ es acotado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio métrico compacto por sucesiones es precompacto.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ un espacio métrico compacto por sucesiones tal que 
+\begin_inset Formula $\exists r>0:\forall S\subseteq X,X\neq\bigcup_{x\in S}B(x;r)$
+\end_inset
+
+, y construiremos una sucesión 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ de la siguiente forma.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $x_{1}\in X$
+\end_inset
+
+ cualquiera y supongamos que hemos construido 
+\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{m}$
+\end_inset
+
+ de modo que 
+\begin_inset Formula $d(x_{i},x_{j})>r\forall i,j\leq m,i\neq j$
+\end_inset
+
+, y como por la hipótesis 
+\begin_inset Formula $X\neq\bigcup_{i=1}^{m}B(x_{i};r)$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $x_{m+1}\in X\backslash\bigcup_{i=1}^{m}B(x_{i};r)$
+\end_inset
+
+ y tenemos por inducción una sucesión tal que 
+\begin_inset Formula $d(x_{i},x_{j})>r\forall i\neq j$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora bien, por la compacidad por sucesiones ha de existir una subsucesión
+ 
+\begin_inset Formula $\{x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ convergente a un 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, pero entonces existe 
+\begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $d(p,x_{n_{k}})<\frac{r}{2}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $k\geq k_{0}$
+\end_inset
+
+ y entonces 
+\begin_inset Formula $d(x_{n_{k}},x_{n_{k+1}})\leq r$
+\end_inset
+
+, lo cual es absurdo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio métrico precompacto es separable.
+ Si 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es precompacto, para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ existen 
+\begin_inset Formula $\{x_{1n},\dots,x_{r_{n}n}\}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $X=\bigcup_{i=1}^{r_{n}}B(x_{in};\frac{1}{n})$
+\end_inset
+
+.
+ El conjunto 
+\begin_inset Formula $D=\{x_{in}\}_{n\in\mathbb{N},1\leq i\leq r_{n}}$
+\end_inset
+
+ es numerable por ser unión numerable de conjuntos finitos.
+ Probaremos que es denso viendo que, dado 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+, se tiene 
+\begin_inset Formula $p\in\overline{D}$
+\end_inset
+
+.
+ Para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $x_{in}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $p\in B(x_{in};\frac{1}{n})$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $x_{in}\in B(p;\frac{1}{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B(p;\frac{1}{n})$
+\end_inset
+
+ corta a 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ corta a todos los entornos de la base 
+\begin_inset Formula $\{B(p;\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un recubrimiento abierto 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+número de Lebesgue
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall p\in X,\exists A_{p}\in{\cal A}:B(p;r)\subseteq A_{p}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+lema de Lebesgue
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es compacto por sucesiones entonces todo recubrimiento abierto admite un
+ número de Lebesgue.
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ que no admite un número de Lebesgue.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\forall r>0,\exists p\in X:\forall i\in I,B(p;r)\nsubseteq A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $B(x_{n};\frac{1}{n})\nsubseteq A_{i}\forall i\in I$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ es compacto por sucesiones, existirá 
+\begin_inset Formula $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ convergente a un 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $p\in A_{i_{0}}\in{\cal T}_{d}$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $r_{0}>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B(p;r_{0})\subseteq A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $N\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $d(p,x_{N})<\frac{r_{0}}{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{N}<\frac{r_{0}}{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, tomando 
+\begin_inset Formula $t\in B(x_{N};\frac{1}{N})$
+\end_inset
+
+ vemos que 
+\begin_inset Formula $d(p,y)\leq d(p,x_{N})+d(x_{N},y)<r_{0}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $y\in B(p;r_{0})\subseteq A_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $B(x_{N};\frac{1}{N})\subseteq B(p;r_{0})$
+\end_inset
+
+, lo cual es absurdo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que todo espacio métrico compacto por sucesiones es compacto.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $(X,d)$
+\end_inset
+
+ un espacio métrico compacto por sucesiones y 
+\begin_inset Formula ${\cal A}=\{A_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ un recubrimiento abierto de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ un número de Lebesgue para 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces existe un recubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ mediante bolas 
+\begin_inset Formula $\{B(x_{1};\varepsilon),\dots,B(x_{r};\varepsilon)\}$
+\end_inset
+
+ de radio 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como cada bola 
+\begin_inset Formula $B(x_{i};\varepsilon)$
+\end_inset
+
+ ha de estar contenida en un abierto 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+, tendremos que 
+\begin_inset Formula $\{A_{1},\dots,A_{r}\}$
+\end_inset
+
+ es un subrecubrimiento finito de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document