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4 files changed, 106 insertions, 106 deletions
diff --git a/fvv2/n1.lyx b/fvv2/n1.lyx index e7eda47..fee5af0 100644 --- a/fvv2/n1.lyx +++ b/fvv2/n1.lyx @@ -128,7 +128,7 @@ integral indefinida \end_inset con -\begin_inset Formula $F(x):=\int_{a}^{x}f$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int_{a}^{x}f$ \end_inset . @@ -243,7 +243,7 @@ rectángulo \end_inset -dimensional -\begin_inset Formula $R:=[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]\subset\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq [a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]\subset\mathbb{R}^{n}$ \end_inset se define como @@ -308,7 +308,7 @@ Una partición \series default sobre este rectángulo es una lista -\begin_inset Formula $P:=(P_{1},\dots,P_{n})$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq (P_{1},\dots,P_{n})$ \end_inset en la que cada @@ -361,7 +361,7 @@ Si \end_inset es acotada y -\begin_inset Formula $P:=(P_{i})_{i=1}^{n}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq (P_{i})_{i=1}^{n}$ \end_inset es una partición de @@ -377,7 +377,7 @@ Si \end_inset denotamos -\begin_inset Formula $m_{S_{h}}(f):=\inf\{f(x)\}_{x\in S_{h}}$ +\begin_inset Formula $m_{S_{h}}(f)\coloneqq \inf\{f(x)\}_{x\in S_{h}}$ \end_inset y @@ -1251,7 +1251,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(0.c_{1}c_{2}\cdots c_{n}\cdots_{(3)}):=0.\frac{c_{1}}{2}\frac{c_{2}}{2}\cdots\frac{c_{n}}{2}\cdots_{(2)}$ +\begin_inset Formula $f(0.c_{1}c_{2}\cdots c_{n}\cdots_{(3)})\coloneqq 0.\frac{c_{1}}{2}\frac{c_{2}}{2}\cdots\frac{c_{n}}{2}\cdots_{(2)}$ \end_inset es suprayectiva, luego @@ -1452,7 +1452,7 @@ Sea \end_inset , -\begin_inset Formula $B:=\{x\in A\mid \text{osc}(f,x)\geq\varepsilon\}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \{x\in A\mid \text{osc}(f,x)\geq\varepsilon\}$ \end_inset es cerrado. @@ -1539,7 +1539,7 @@ teorema de Lebesgue de caracterización de las funciones integrables \end_inset si y sólo si -\begin_inset Formula $B:=\{x\in R\mid f\text{ no es continua en }x\}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \{x\in R\mid f\text{ no es continua en }x\}$ \end_inset tiene medida nula. @@ -1559,7 +1559,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $B_{k}:=\{x\in R\mid o(f,x)\geq\frac{1}{k}\}$ +\begin_inset Formula $B_{k}\coloneqq \{x\in R\mid o(f,x)\geq\frac{1}{k}\}$ \end_inset , basta probar que cada @@ -1671,7 +1671,7 @@ Fijado . Es claro que -\begin_inset Formula $C:=R\backslash\bigcup_{k}N_{k}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq R\backslash\bigcup_{k}N_{k}$ \end_inset es compacto, y como para cada @@ -1868,15 +1868,15 @@ Sean \end_inset como -\begin_inset Formula $lf_{x}(y):=f(x,y)$ +\begin_inset Formula $lf_{x}(y)\coloneqq f(x,y)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $s_{lf}(x):=\underline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$ +\begin_inset Formula $s_{lf}(x)\coloneqq \underline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $S_{lf}(x):=\overline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$ +\begin_inset Formula $S_{lf}(x)\coloneqq \overline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$ \end_inset , y para cada @@ -1884,15 +1884,15 @@ Sean \end_inset definimos -\begin_inset Formula $rf_{y}(x):=f(x,y)$ +\begin_inset Formula $rf_{y}(x)\coloneqq f(x,y)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $s_{rf}(y):=\int_{R_{1}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$ +\begin_inset Formula $s_{rf}(y)\coloneqq \int_{R_{1}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $S_{rf}(y):=\overline{\int_{R_{1}}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$ +\begin_inset Formula $S_{rf}(y)\coloneqq \overline{\int_{R_{1}}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$ \end_inset . @@ -1944,11 +1944,11 @@ En la práctica esto significa que \end_inset donde -\begin_inset Formula $d\vec{x}:=dx_{1}\cdots dx_{n}$ +\begin_inset Formula $d\vec{x}\coloneqq dx_{1}\cdots dx_{n}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $d\vec{y}:=dy_{1}\cdots dy_{m}$ +\begin_inset Formula $d\vec{y}\coloneqq dy_{1}\cdots dy_{m}$ \end_inset . @@ -2408,7 +2408,7 @@ Funciones que contienen \begin_layout Standard Llamamos -\begin_inset Formula $d:=\frac{ac-b^{2}}{a}$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \frac{ac-b^{2}}{a}$ \end_inset y se tiene @@ -2787,7 +2787,7 @@ donde . Si existe el límite de estas sumas cuando -\begin_inset Formula $|P|:=\sup\{t_{i}-t_{i-1}\}_{i=1}^{n}$ +\begin_inset Formula $|P|\coloneqq \sup\{t_{i}-t_{i-1}\}_{i=1}^{n}$ \end_inset tiende a 0 se dice que @@ -2840,7 +2840,7 @@ Vemos que si es la identidad entonces la integral es exactamente la de Riemann. Denotamos -\begin_inset Formula $\lambda_{\varphi}([a,b]):=\varphi(b)-\varphi(a)$ +\begin_inset Formula $\lambda_{\varphi}([a,b])\coloneqq \varphi(b)-\varphi(a)$ \end_inset . @@ -3045,11 +3045,11 @@ Demostración: . Sean -\begin_inset Formula $P:=\{a=x_{0}<\dots<x_{n}=b\}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{a=x_{0}<\dots<x_{n}=b\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $Q:=\{a=y_{0}<\dots<y_{m}=b\}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq \{a=y_{0}<\dots<y_{m}=b\}$ \end_inset particiones con @@ -3245,15 +3245,15 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{1}:=t_{0}=a\in[\xi_{0},\xi_{1}]$ +\begin_inset Formula $x_{1}\coloneqq t_{0}=a\in[\xi_{0},\xi_{1}]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{i}:=t_{i-1}\in[\xi_{i-1},\xi_{i}]\forall i\in\{1,\dots,n\}$ +\begin_inset Formula $x_{i}\coloneqq t_{i-1}\in[\xi_{i-1},\xi_{i}]\forall i\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{n+1}:=t_{n}=b\in[\xi_{n},\xi_{n+1}]$ +\begin_inset Formula $x_{n+1}\coloneqq t_{n}=b\in[\xi_{n},\xi_{n+1}]$ \end_inset . diff --git a/fvv2/n2.lyx b/fvv2/n2.lyx index bd555e8..0442b74 100644 --- a/fvv2/n2.lyx +++ b/fvv2/n2.lyx @@ -123,7 +123,7 @@ Un \end_inset y -\begin_inset Formula $A\Delta B:=(A\backslash B)\cup(B\backslash A)\in{\cal A}$ +\begin_inset Formula $A\Delta B\coloneqq (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\in{\cal A}$ \end_inset (diferencia simétrica). @@ -177,11 +177,11 @@ Una \end_inset , tomando la sucesión creciente -\begin_inset Formula $U_{n}:=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$ +\begin_inset Formula $U_{n}\coloneqq \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$ \end_inset , vemos que -\begin_inset Formula $A:=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_{n}\in{\cal A}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_{n}\in{\cal A}$ \end_inset . @@ -239,7 +239,7 @@ Si \end_inset es un conjunto de álgebras, su intersección -\begin_inset Formula $\Sigma:=\bigcap_{\alpha\in A}\Sigma_{\alpha}$ +\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq \bigcap_{\alpha\in A}\Sigma_{\alpha}$ \end_inset es un álgebra, y si los @@ -314,7 +314,7 @@ Sea \end_inset a -\begin_inset Formula ${\cal B}(T):=\sigma({\cal J})=\sigma({\cal F})$ +\begin_inset Formula ${\cal B}(T)\coloneqq \sigma({\cal J})=\sigma({\cal F})$ \end_inset , y sus elementos son los @@ -356,7 +356,7 @@ Dados \end_inset , escribimos -\begin_inset Formula $[a,b):=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})$ +\begin_inset Formula $[a,b)\coloneqq \prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})$ \end_inset , y definimos @@ -634,7 +634,7 @@ espacio de medida \end_inset , -\begin_inset Formula $\Sigma:={\cal P}(\Omega)$ +\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq {\cal P}(\Omega)$ \end_inset y @@ -642,7 +642,7 @@ espacio de medida \end_inset , la función dada por -\begin_inset Formula $\mu(E):=\sum_{x\in E}f(x)$ +\begin_inset Formula $\mu(E)\coloneqq \sum_{x\in E}f(x)$ \end_inset es una medida en @@ -718,11 +718,11 @@ Subaditividad \end_inset Si llamamos -\begin_inset Formula $B_{1}:=A_{1}$ +\begin_inset Formula $B_{1}\coloneqq A_{1}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $B_{n}:=A_{n}\backslash\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}$ +\begin_inset Formula $B_{n}\coloneqq A_{n}\backslash\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}$ \end_inset para @@ -1181,7 +1181,7 @@ Demostración: . Entonces -\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A:=\bigcup_{k=1}^{+\infty}(a'_{k},b_{k}))\leq\sum_{k=1}^{+\infty}((a'_{k},b_{k}))<\sum_{k=1}^{+\infty}(v([a_{k},b_{k}))+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}})=\sum_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})+\frac{\varepsilon}{2}<\lambda_{n}^{*}(S)+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\lambda_{n}^{*}(S)+\varepsilon$ +\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A\coloneqq \bigcup_{k=1}^{+\infty}(a'_{k},b_{k}))\leq\sum_{k=1}^{+\infty}((a'_{k},b_{k}))<\sum_{k=1}^{+\infty}(v([a_{k},b_{k}))+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}})=\sum_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})+\frac{\varepsilon}{2}<\lambda_{n}^{*}(S)+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\lambda_{n}^{*}(S)+\varepsilon$ \end_inset . @@ -1217,7 +1217,7 @@ Lebesgue medida de Lebesgue \series default es -\begin_inset Formula $\lambda_{n}(M):=\lambda_{n}^{*}(M)$ +\begin_inset Formula $\lambda_{n}(M)\coloneqq \lambda_{n}^{*}(M)$ \end_inset . @@ -1242,7 +1242,7 @@ teorema \end_inset tal que su intersección -\begin_inset Formula $B:=\bigcap_{k}A_{k}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \bigcap_{k}A_{k}$ \end_inset cumple que @@ -1293,7 +1293,7 @@ conjuntos y un conjunto de medida nula. Si -\begin_inset Formula $M:=\bigcup_{k}M_{k}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \bigcup_{k}M_{k}$ \end_inset es unión numerable de conjuntos medibles, @@ -1429,7 +1429,7 @@ Demostración: \end_inset -\begin_inset Formula $B:=\bigcap_{k}A_{k}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \bigcap_{k}A_{k}$ \end_inset tl que @@ -1751,7 +1751,7 @@ Si la medida exterior de \end_inset tiene medida nula y como -\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{k}H_{k}$ +\begin_inset Formula $H\coloneqq \bigcup_{k}H_{k}$ \end_inset es medible, entonces @@ -1844,7 +1844,7 @@ Si \end_inset , donde -\begin_inset Formula $c:=\mu([0,1)^{n})$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \mu([0,1)^{n})$ \end_inset . @@ -1970,7 +1970,7 @@ teorema para transformaciones lineales \end_inset , donde -\begin_inset Formula $c:=\lambda_{n}(T([0,1)^{n}))=|\det(T)|$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \lambda_{n}(T([0,1)^{n}))=|\det(T)|$ \end_inset . diff --git a/fvv2/n3.lyx b/fvv2/n3.lyx index 11ac40c..74dc33c 100644 --- a/fvv2/n3.lyx +++ b/fvv2/n3.lyx @@ -172,7 +172,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{E\in\Sigma'\mid f^{-1}(E)\in\Sigma\}$ +\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \{E\in\Sigma'\mid f^{-1}(E)\in\Sigma\}$ \end_inset , vemos que @@ -200,11 +200,11 @@ Sea \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $T:=(X,{\cal T})$ +\begin_inset Formula $T\coloneqq (X,{\cal T})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $T':=(X,{\cal T}')$ +\begin_inset Formula $T'\coloneqq (X,{\cal T}')$ \end_inset espacios topológicos, toda función @@ -315,7 +315,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\varphi(\omega):=(u_{1}(\omega),\dots,u_{n}(\omega))$ +\begin_inset Formula $\varphi(\omega)\coloneqq (u_{1}(\omega),\dots,u_{n}(\omega))$ \end_inset es medible. @@ -601,7 +601,7 @@ Una función -medible \series default si es -\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma':=\sigma(\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}}))$ +\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma'\coloneqq \sigma(\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}}))$ \end_inset -medible. @@ -627,7 +627,7 @@ Una función \end_inset y la notación -\begin_inset Formula $\{f\bullet a\}\mid =\{\omega\in\Omega\mid f(\omega)\bullet a\}$ +\begin_inset Formula $\{f\bullet a\}\coloneqq \{\omega\in\Omega\mid f(\omega)\bullet a\}$ \end_inset . @@ -1002,7 +1002,7 @@ Si \begin_deeper \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $Z:=\{f\neq g\}$ +\begin_inset Formula $Z\coloneqq \{f\neq g\}$ \end_inset , @@ -1478,11 +1478,11 @@ Toda función \begin_deeper \begin_layout Standard Basta aplicar lo anterior a -\begin_inset Formula $f^{+}:=\max\{0,f\}$ +\begin_inset Formula $f^{+}\coloneqq \max\{0,f\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f^{-}:=-\min\{0,f\}$ +\begin_inset Formula $f^{-}\coloneqq -\min\{0,f\}$ \end_inset y restar las sucesiones resultantes. @@ -1554,7 +1554,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal S}(\Omega)^{+}:=\{h\in{\cal S}(\Omega)\mid h\geq0\}$ +\begin_inset Formula ${\cal S}(\Omega)^{+}\coloneqq \{h\in{\cal S}(\Omega)\mid h\geq0\}$ \end_inset , llamamos @@ -1562,7 +1562,7 @@ Sea integral \series default de una función simple -\begin_inset Formula $h:=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\chi_{E_{k}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq \sum_{k=1}^{n}a_{k}\chi_{E_{k}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ \end_inset como @@ -1633,11 +1633,11 @@ Supongamos \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $C:=\{c_{1},\dots,c_{r}\}=\{a_{i}+b_{j}\}_{i\in\{1,\dots,n\},j\in\{1,\dots,m\}}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{c_{1},\dots,c_{r}\}=\{a_{i}+b_{j}\}_{i\in\{1,\dots,n\},j\in\{1,\dots,m\}}$ \end_inset , y -\begin_inset Formula $C_{k}:=\bigcup_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}(A_{i}\cap B_{j})$ +\begin_inset Formula $C_{k}\coloneqq \bigcup_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}(A_{i}\cap B_{j})$ \end_inset para cada @@ -1688,7 +1688,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(E):=\int f\chi_{E}d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(E)\coloneqq \int f\chi_{E}d\mu$ \end_inset es una medida finita. @@ -1817,7 +1817,7 @@ Si para \end_inset definimos -\begin_inset Formula $E_{t}:=E\cap\{f>t\}$ +\begin_inset Formula $E_{t}\coloneqq E\cap\{f>t\}$ \end_inset , entonces @@ -1950,7 +1950,7 @@ teorema de convergencia monótona de Lebesgue Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\int f_{n}d\mu\in[0,+\infty]$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup\int f_{n}d\mu\in[0,+\infty]$ \end_inset , como @@ -1979,7 +1979,7 @@ Demostración: \end_inset , se tiene que -\begin_inset Formula $(E_{n}:=\{f_{n}\geq s\})_{n}$ +\begin_inset Formula $(E_{n}\coloneqq \{f_{n}\geq s\})_{n}$ \end_inset es creciente con @@ -2041,7 +2041,7 @@ teorema de Beppo-Levi Demostración: \series default -\begin_inset Formula $(F_{n}:=\sum_{k=1}^{n}f_{k})_{n}$ +\begin_inset Formula $(F_{n}\coloneqq \sum_{k=1}^{n}f_{k})_{n}$ \end_inset es una sucesión de funciones medibles, por lo que basta tomar límites en @@ -2116,7 +2116,7 @@ lema de Fatou \end_inset es una sucesión de funciones medibles, su límite inferior -\begin_inset Formula $f(\omega):=\liminf_{n}f_{n}(\omega)$ +\begin_inset Formula $f(\omega)\coloneqq \liminf_{n}f_{n}(\omega)$ \end_inset es medible y @@ -2129,7 +2129,7 @@ lema de Fatou Demostración: \series default -\begin_inset Formula $(g_{n}:=\inf_{m\geq n}\{f_{m}(x)\})_{n}$ +\begin_inset Formula $(g_{n}\coloneqq \inf_{m\geq n}\{f_{m}(x)\})_{n}$ \end_inset define una sucesión creciente de funciones medibles convergente hacia @@ -2162,7 +2162,7 @@ teorema \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(E):=\int_{E}g\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(E)\coloneqq \int_{E}g\,d\mu$ \end_inset es una medida y para @@ -2203,7 +2203,7 @@ Demostración: es una medida. Sea -\begin_inset Formula $s:=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\chi_{E_{i}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq \sum_{i=1}^{m}a_{i}\chi_{E_{i}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ \end_inset , @@ -2236,7 +2236,7 @@ Una función medible \end_inset , si y sólo si -\begin_inset Formula $f^{+}=\max\{f,0\},f^{-}=\min\{f,0\}\mid \Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$ +\begin_inset Formula $f^{+}=\max\{f,0\},f^{-}=\min\{f,0\}:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$ \end_inset son integrables, y definimos @@ -2391,7 +2391,7 @@ La aplicación \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(f):=\int f\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(f)\coloneqq \int f\,d\mu$ \end_inset es lineal. @@ -2418,7 +2418,7 @@ Sean \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $h:=u+v\implies h^{+}-h^{-}=u^{+}-u^{-}+v^{+}-v^{-}\implies h^{+}+(u^{-}+v^{-})=(u^{+}+v^{+})+h^{-}\implies\int h^{+}d\mu+\int u^{-}d\mu+\int v^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu+\int v^{+}d\mu+\int h^{-}d\mu\implies\int h\,d\mu=\int h^{+}d\mu-\int h^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu-\int u^{-}d\mu+\int v^{+}d\mu-\int v^{-}d\mu=\int u\,d\mu+\int v\,d\mu$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq u+v\implies h^{+}-h^{-}=u^{+}-u^{-}+v^{+}-v^{-}\implies h^{+}+(u^{-}+v^{-})=(u^{+}+v^{+})+h^{-}\implies\int h^{+}d\mu+\int u^{-}d\mu+\int v^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu+\int v^{+}d\mu+\int h^{-}d\mu\implies\int h\,d\mu=\int h^{+}d\mu-\int h^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu-\int u^{-}d\mu+\int v^{+}d\mu-\int v^{-}d\mu=\int u\,d\mu+\int v\,d\mu$ \end_inset . @@ -2458,7 +2458,7 @@ Si \end_inset , sea -\begin_inset Formula $a:=\frac{\int f\,d\mu}{|\int f\,d\mu|}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \frac{\int f\,d\mu}{|\int f\,d\mu|}$ \end_inset y como @@ -2498,11 +2498,11 @@ integrable sobre extensión canónica \series default -\begin_inset Formula $\tilde{f}:=f\chi_{E}$ +\begin_inset Formula $\tilde{f}\coloneqq f\chi_{E}$ \end_inset es integrable, y entonces se define -\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu:=\int\tilde{f}\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu\coloneqq \int\tilde{f}\,d\mu$ \end_inset . @@ -2691,7 +2691,7 @@ teorema de la convergencia dominada \end_inset , entonces la función límite -\begin_inset Formula $f(\omega):=\lim_{n}f_{n}(\omega)$ +\begin_inset Formula $f(\omega)\coloneqq \lim_{n}f_{n}(\omega)$ \end_inset , definida en casi todo punto, es integrable, @@ -2828,15 +2828,15 @@ teorema Demostración: \series default Por el teorema de la convergencia monótona, -\begin_inset Formula $G:=\sum_{n}|f_{n}|$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \sum_{n}|f_{n}|$ \end_inset converge en casi todo punto y es integrable, y -\begin_inset Formula $S:=\sum_{n}f_{n}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \sum_{n}f_{n}$ \end_inset también, y como para -\begin_inset Formula $(g_{m}:=\sum_{n=0}^{m}f_{n})_{m}$ +\begin_inset Formula $(g_{m}\coloneqq \sum_{n=0}^{m}f_{n})_{m}$ \end_inset se tiene @@ -2908,11 +2908,11 @@ Demostración: \end_inset de funciones simples -\begin_inset Formula $s_{k}(t):=\sum_{i=1}^{m_{k}}\chi_{N_{ki}}\inf_{x\in N_{ki}}\{f(x)\}$ +\begin_inset Formula $s_{k}(t)\coloneqq \sum_{i=1}^{m_{k}}\chi_{N_{ki}}\inf_{x\in N_{ki}}\{f(x)\}$ \end_inset está acotada por la función constante -\begin_inset Formula $M:=\chi_{[a,b]}\sup_{x\in[a,b]}\{|f(x)|\}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \chi_{[a,b]}\sup_{x\in[a,b]}\{|f(x)|\}$ \end_inset y converge a @@ -3064,7 +3064,7 @@ status open \end_inset , -\begin_inset Formula $(f_{k}:=\chi_{I_{k}}f)$ +\begin_inset Formula $(f_{k}\coloneqq \chi_{I_{k}}f)$ \end_inset es una sucesión de funciones que tiende a @@ -3218,7 +3218,7 @@ soporte \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{sop}(g):=\overline{\{g\neq0\}}$ +\begin_inset Formula $\text{sop}(g)\coloneqq \overline{\{g\neq0\}}$ \end_inset , y @@ -3315,11 +3315,11 @@ Demostración: \end_inset es continua, y como -\begin_inset Formula $\delta:=\min\{d(x,K)\mid x\notin A\}>0$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{d(x,K)\mid x\notin A\}>0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $A_{0}:=\{x\mid d(x,K)<\frac{\delta}{2}\}$ +\begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq \{x\mid d(x,K)<\frac{\delta}{2}\}$ \end_inset es un abierto acotado con @@ -3328,11 +3328,11 @@ Demostración: . Tomando -\begin_inset Formula $F_{0}:=\mathbb{R}^{n}\backslash A_{0}=\{x\mid d(x,K)\geq\frac{\delta}{2}\}$ +\begin_inset Formula $F_{0}\coloneqq \mathbb{R}^{n}\backslash A_{0}=\{x\mid d(x,K)\geq\frac{\delta}{2}\}$ \end_inset , podemos definir -\begin_inset Formula $f_{0}(y):=\frac{d(y,F_{0})}{1+d(y,F_{0})}$ +\begin_inset Formula $f_{0}(y)\coloneqq \frac{d(y,F_{0})}{1+d(y,F_{0})}$ \end_inset , que cumple @@ -3352,11 +3352,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $f_{0}(y)\geq k_{0}:=\frac{\frac{\delta}{2}}{1+\frac{\delta}{2}}$ +\begin_inset Formula $f_{0}(y)\geq k_{0}\coloneqq \frac{\frac{\delta}{2}}{1+\frac{\delta}{2}}$ \end_inset y la función continua -\begin_inset Formula $f(x):=\min\{1,\frac{f_{0}(x)}{k_{0}}\}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \min\{1,\frac{f_{0}(x)}{k_{0}}\}$ \end_inset tiene soporte compacto en @@ -3400,7 +3400,7 @@ Para casi todo \end_inset -\begin_inset Formula $f^{\omega}(x):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f^{\omega}(x)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es continua. @@ -3412,7 +3412,7 @@ Para todo \end_inset -\begin_inset Formula $f_{x}(\omega):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f_{x}(\omega)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es medible. @@ -3448,7 +3448,7 @@ Entonces para todo \end_inset es integrable y -\begin_inset Formula $F(x):=\int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ \end_inset es continua. @@ -3572,7 +3572,7 @@ Para casi todo \end_inset -\begin_inset Formula $f^{\omega}(x):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f^{\omega}(x)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es derivable ( @@ -3588,7 +3588,7 @@ Para todo \end_inset -\begin_inset Formula $f_{x}(\omega):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f_{x}(\omega)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es medible, siendo integrable para algún @@ -3628,7 +3628,7 @@ Entonces para todo \end_inset es integrable, -\begin_inset Formula $F(x):=\int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ \end_inset es derivable y diff --git a/fvv2/n4.lyx b/fvv2/n4.lyx index 2db00c5..ada1c91 100644 --- a/fvv2/n4.lyx +++ b/fvv2/n4.lyx @@ -103,11 +103,11 @@ Dados dos espacios medibles rectángulo medible \series default en -\begin_inset Formula $\Omega:=\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ +\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq \Omega_{1}\times\Omega_{2}$ \end_inset a los elementos de -\begin_inset Formula ${\cal R}:=\{A\times B\}_{A\in\Sigma_{1},B\in\Sigma_{2}}$ +\begin_inset Formula ${\cal R}\coloneqq \{A\times B\}_{A\in\Sigma_{1},B\in\Sigma_{2}}$ \end_inset . @@ -124,7 +124,7 @@ rectángulo medible \end_inset a -\begin_inset Formula $\Sigma:=\Sigma_{1}\times\Sigma_{2}:=\sigma({\cal R})$ +\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq \Sigma_{1}\times\Sigma_{2}\coloneqq \sigma({\cal R})$ \end_inset . @@ -224,11 +224,11 @@ medida imagen \end_inset a la medida -\begin_inset Formula $\nu:=\mu g^{-1}:\Sigma'\rightarrow[0,+\infty]$ +\begin_inset Formula $\nu\coloneqq \mu g^{-1}:\Sigma'\rightarrow[0,+\infty]$ \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(A):=\mu(g^{-1}(A))$ +\begin_inset Formula $\nu(A)\coloneqq \mu(g^{-1}(A))$ \end_inset . @@ -360,7 +360,7 @@ teorema \end_inset es acotada y -\begin_inset Formula $D(f):=\{x\in[a,b]\mid f\text{ es discontinua en }x\}$ +\begin_inset Formula $D(f)\coloneqq \{x\in[a,b]\mid f\text{ es discontinua en }x\}$ \end_inset , entonces @@ -450,11 +450,11 @@ función de distribución \end_inset a -\begin_inset Formula $F(x):=\mu(\{f\leq x\})$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \mu(\{f\leq x\})$ \end_inset o a -\begin_inset Formula $\varphi(x):=\mu(\{f>x\})=\mu(\Omega)-F(x)$ +\begin_inset Formula $\varphi(x)\coloneqq \mu(\{f>x\})=\mu(\Omega)-F(x)$ \end_inset . @@ -463,11 +463,11 @@ función de distribución \end_inset una variable aleatoria, -\begin_inset Formula $F(x):=\mu(\{f\leq x\})$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \mu(\{f\leq x\})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\varphi(x):=\mu(\{f>x\})$ +\begin_inset Formula $\varphi(x)\coloneqq \mu(\{f>x\})$ \end_inset , entonces @@ -524,7 +524,7 @@ Si \end_inset no es acotada, podemos aplicar este resultado a los conjuntos -\begin_inset Formula $E_{a,b}:=\{a<f\leq b\}$ +\begin_inset Formula $E_{a,b}\coloneqq \{a<f\leq b\}$ \end_inset para @@ -532,7 +532,7 @@ Si \end_inset cualesquiera definiendo -\begin_inset Formula $\mu_{a,b}(E):=\mu(E\cap E_{a,b})$ +\begin_inset Formula $\mu_{a,b}(E)\coloneqq \mu(E\cap E_{a,b})$ \end_inset y usando esta medida. @@ -601,7 +601,7 @@ Si \end_inset es medible con -\begin_inset Formula $\varphi(x):=\mu(\{f>x\})$ +\begin_inset Formula $\varphi(x)\coloneqq \mu(\{f>x\})$ \end_inset y @@ -673,7 +673,7 @@ Llamamos \end_inset , escribimos -\begin_inset Formula ${\cal L}^{p}(\mu):={\cal L}_{\phi}(\mu)$ +\begin_inset Formula ${\cal L}^{p}(\mu)\coloneqq {\cal L}_{\phi}(\mu)$ \end_inset . |