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| author | Juan Marin Noguera <juan@mnpi.eu> | 2022-12-04 22:49:17 +0100 |
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Así, podemos tomar -\begin_inset Formula $\{O\}\mid =m\cap m'$ +\begin_inset Formula $\{O\}\coloneqq m\cap m'$ \end_inset y entonces @@ -1480,7 +1480,7 @@ vértices semidistancia focal \series default a -\begin_inset Formula $c:=\Vert\overrightarrow{OF}\Vert$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \Vert\overrightarrow{OF}\Vert$ \end_inset , @@ -1496,7 +1496,7 @@ distancia focal semieje principal \series default a -\begin_inset Formula $a:=\Vert\overrightarrow{OA}\Vert$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \Vert\overrightarrow{OA}\Vert$ \end_inset y @@ -1504,7 +1504,7 @@ semieje principal semieje secundario \series default a -\begin_inset Formula $b:=\Vert\overrightarrow{OB}\Vert$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq \Vert\overrightarrow{OB}\Vert$ \end_inset . @@ -1549,7 +1549,7 @@ Llamamos excentricidad \series default de la elipse a -\begin_inset Formula $\epsilon:=\frac{c}{a}$ +\begin_inset Formula $\epsilon\coloneqq \frac{c}{a}$ \end_inset , y tenemos que @@ -1692,7 +1692,7 @@ Demostración: no está en la elipse. Sea -\begin_inset Formula $G:=s_{\ell}(F)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq s_{\ell}(F)$ \end_inset (el simétrico), entonces @@ -1834,7 +1834,7 @@ vértices semidistancia focal \series default a -\begin_inset Formula $c:=\Vert\overrightarrow{OF}\Vert$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \Vert\overrightarrow{OF}\Vert$ \end_inset , @@ -1850,7 +1850,7 @@ distancia focal semieje principal \series default a -\begin_inset Formula $a:=\Vert\overrightarrow{OA}\Vert$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \Vert\overrightarrow{OA}\Vert$ \end_inset y @@ -1858,7 +1858,7 @@ semieje principal semieje secundario \series default a -\begin_inset Formula $b:=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq \sqrt{c^{2}-a^{2}}$ \end_inset . @@ -1876,7 +1876,7 @@ equilátera excentricidad \series default a -\begin_inset Formula $\epsilon:=\frac{c}{a}>1$ +\begin_inset Formula $\epsilon\coloneqq \frac{c}{a}>1$ \end_inset , y tenemos que @@ -2124,11 +2124,11 @@ Si \end_inset , el punto -\begin_inset Formula $P:=(a\cosh t,b\sinh t)\in{\cal H}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq (a\cosh t,b\sinh t)\in{\cal H}$ \end_inset está en la misma abscisa que -\begin_inset Formula $Q:=(a\cosh t,b\cosh t)\in\ell$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq (a\cosh t,b\cosh t)\in\ell$ \end_inset , con lo que @@ -2239,7 +2239,7 @@ Si \end_inset definida por -\begin_inset Formula $h(t):=d((a\cosh t,b\sinh t),\ell)$ +\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq d((a\cosh t,b\sinh t),\ell)$ \end_inset , debería haber un @@ -2267,7 +2267,7 @@ Si \end_inset como -\begin_inset Formula $g_{c}(t):=d((a\cosh c,b\sinh c),mt+n)$ +\begin_inset Formula $g_{c}(t)\coloneqq d((a\cosh c,b\sinh c),mt+n)$ \end_inset , por el mismo argumento existiría un @@ -2309,7 +2309,7 @@ hemisferio norte \end_inset como -\begin_inset Formula $f(x):=mx+n-\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq mx+n-\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ \end_inset , tenemos que @@ -2360,7 +2360,7 @@ hemisferio norte . El hemisferio sur se hace de forma análoga, tomando -\begin_inset Formula $\hat{f}(x):=mx+n+\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ +\begin_inset Formula $\hat{f}(x)\coloneqq mx+n+\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ \end_inset , y las condiciones que deben cumplir @@ -2413,7 +2413,7 @@ Demostración \end_inset dicha recta y -\begin_inset Formula $E:=s_{\ell}(F)$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq s_{\ell}(F)$ \end_inset , se tiene que @@ -2464,7 +2464,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Para ello vemos que la hipérbola divide al plano en 3 regiones abiertas conexas y definimos -\begin_inset Formula $f(Q):=\Vert\overrightarrow{QF}\Vert-\Vert\overrightarrow{QF'}\Vert$ +\begin_inset Formula $f(Q)\coloneqq \Vert\overrightarrow{QF}\Vert-\Vert\overrightarrow{QF'}\Vert$ \end_inset . @@ -2916,7 +2916,7 @@ directriz del foco \end_inset y a -\begin_inset Formula $p:=d(F,\ell)$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq d(F,\ell)$ \end_inset el @@ -3006,7 +3006,7 @@ Si \end_inset , nos queda -\begin_inset Formula $y^{2}-2px+p^{2}=0\iff y^{2}=2p(x-\frac{p}{2})\stackrel[y':=y]{x':=x-\frac{p}{2}}{\implies}y'^{2}=2px'$ +\begin_inset Formula $y^{2}-2px+p^{2}=0\iff y^{2}=2p(x-\frac{p}{2})\stackrel[y'\coloneqq y]{x'\coloneqq x-\frac{p}{2}}{\implies}y'^{2}=2px'$ \end_inset . @@ -3106,11 +3106,11 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $Q:=(p,p\epsilon)$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq (p,p\epsilon)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\lambda:=d(F,Q)=p\epsilon$ +\begin_inset Formula $\lambda\coloneqq d(F,Q)=p\epsilon$ \end_inset , se llama @@ -3139,19 +3139,19 @@ semilado recto \end_inset con -\begin_inset Formula $k:=\frac{\epsilon}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq \frac{\epsilon}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $l:=ku$ +\begin_inset Formula $l\coloneqq ku$ \end_inset , -\begin_inset Formula $m:=kv$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq kv$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=kw$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq kw$ \end_inset , la diff --git a/aalg/n2.lyx b/aalg/n2.lyx index d6c0241..7fbd7ef 100644 --- a/aalg/n2.lyx +++ b/aalg/n2.lyx @@ -252,11 +252,11 @@ Para cambiar coordenadas entre dos referenciales \end_inset , si llamamos -\begin_inset Formula $X_{0}:=[O]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}$ +\begin_inset Formula $X_{0}\coloneqq [O]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $M:=M_{{\cal B}'{\cal B}}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq M_{{\cal B}'{\cal B}}$ \end_inset , se tiene que: @@ -371,7 +371,7 @@ característico \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $P_{f}(x):=\det(xId-f)$ +\begin_inset Formula $P_{f}(x)\coloneqq \det(xId-f)$ \end_inset es el @@ -387,7 +387,7 @@ polinomio característico \series default , y -\begin_inset Formula $P_{A}(x):=\det(xI_{n}-A)$ +\begin_inset Formula $P_{A}(x)\coloneqq \det(xI_{n}-A)$ \end_inset es el polinomio característico de @@ -756,7 +756,7 @@ Este cambio es solo vectorial, pues no modifica el origen de coordenadas, , se trata de un giro. Para la segunda reducción, sea -\begin_inset Formula $\delta:=\lambda_{1}\lambda_{2}$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \lambda_{1}\lambda_{2}$ \end_inset : @@ -999,15 +999,15 @@ Dada una cónica con matriz proyectiva \end_inset , las cantidades -\begin_inset Formula $\Delta:=|\overline{A}|$ +\begin_inset Formula $\Delta\coloneqq |\overline{A}|$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\delta:=|A|$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq |A|$ \end_inset y -\begin_inset Formula $s:=\text{tr}(A)$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq \text{tr}(A)$ \end_inset , llamadas diff --git a/aalg/n3.lyx b/aalg/n3.lyx index a6df369..e46d38f 100644 --- a/aalg/n3.lyx +++ b/aalg/n3.lyx @@ -181,11 +181,11 @@ paralelas \end_inset , definimos el plano afín -\begin_inset Formula $\mathbb{A}(V):=({\cal P}(V),{\cal L}(V),\in)$ +\begin_inset Formula $\mathbb{A}(V)\coloneqq ({\cal P}(V),{\cal L}(V),\in)$ \end_inset con -\begin_inset Formula ${\cal P}(V):=V$ +\begin_inset Formula ${\cal P}(V)\coloneqq V$ \end_inset y @@ -193,7 +193,7 @@ paralelas \end_inset , y escribimos -\begin_inset Formula $\mathbb{A}^{n}(\mathbb{K}):=\mathbb{A}(\mathbb{K}^{n})$ +\begin_inset Formula $\mathbb{A}^{n}(\mathbb{K})\coloneqq \mathbb{A}(\mathbb{K}^{n})$ \end_inset . @@ -266,11 +266,11 @@ El principio de dualidad para planos proyectivos \series default afirma que si -\begin_inset Formula $\pi:=({\cal P},{\cal L},\epsilon)$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq ({\cal P},{\cal L},\epsilon)$ \end_inset es un plano proyectivo entonces -\begin_inset Formula $\pi^{*}:=({\cal L},{\cal P},\epsilon^{*})$ +\begin_inset Formula $\pi^{*}\coloneqq ({\cal L},{\cal P},\epsilon^{*})$ \end_inset con @@ -330,15 +330,15 @@ principio de dualidad para planos proyectivos punto distinto a este para aplicar el axioma 1. Por tanto los 3 puntos son distintos. Sean ahora -\begin_inset Formula $\ell:=QR$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq QR$ \end_inset , -\begin_inset Formula $m:=RS$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq RS$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=SQ$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq SQ$ \end_inset (aplicando el axioma 1). @@ -460,15 +460,15 @@ principio de dualidad para planos proyectivos ). Por tanto, -\begin_inset Formula $\ell:=PQ$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq PQ$ \end_inset , -\begin_inset Formula $m:=PT$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq PT$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=PR$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq PR$ \end_inset cumplen las condiciones. @@ -566,7 +566,7 @@ Dada una recta \end_inset tal que -\begin_inset Formula $f'(\ell):=\overline{f(P)f(Q)}$ +\begin_inset Formula $f'(\ell)\coloneqq \overline{f(P)f(Q)}$ \end_inset . @@ -609,7 +609,7 @@ Dada una recta . Sean -\begin_inset Formula $\ell:=\overline{PQ}$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq \overline{PQ}$ \end_inset y @@ -641,7 +641,7 @@ Construcción de \begin_layout Standard Si en el espacio afín -\begin_inset Formula $\mathbb{A}:=\mathbb{A}(W)$ +\begin_inset Formula $\mathbb{A}\coloneqq \mathbb{A}(W)$ \end_inset para cierto espacio vectorial @@ -653,15 +653,15 @@ Si en el espacio afín \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{A}}:=({\cal P}',{\cal L}',\in)$ +\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{A}}\coloneqq ({\cal P}',{\cal L}',\in)$ \end_inset con -\begin_inset Formula ${\cal P}':={\cal P}\cup({\cal L}/\sim)$ +\begin_inset Formula ${\cal P}'\coloneqq {\cal P}\cup({\cal L}/\sim)$ \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal L}':=\{\ell\cup\{[\ell]\}\}_{\ell\in{\cal L}}\cup\{{\cal L}/\sim\}$ +\begin_inset Formula ${\cal L}'\coloneqq \{\ell\cup\{[\ell]\}\}_{\ell\in{\cal L}}\cup\{{\cal L}/\sim\}$ \end_inset es un plano proyectivo al que llamamos @@ -695,7 +695,7 @@ puntos del infinito rectas extendidas \series default a las -\begin_inset Formula $\overline{\ell}:=\ell\cup\{[\ell]\}$ +\begin_inset Formula $\overline{\ell}\coloneqq \ell\cup\{[\ell]\}$ \end_inset y @@ -703,7 +703,7 @@ rectas extendidas recta del infinito \series default a -\begin_inset Formula $\ell_{\infty}:={\cal L}/\sim$ +\begin_inset Formula $\ell_{\infty}\coloneqq {\cal L}/\sim$ \end_inset . @@ -719,11 +719,11 @@ Dado el \end_inset , si -\begin_inset Formula ${\cal P}(W):=\{\text{rectas vectoriales de }W\}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}(W)\coloneqq \{\text{rectas vectoriales de }W\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal L}(W):=\{\text{planos vectoriales de }W\}$ +\begin_inset Formula ${\cal L}(W)\coloneqq \{\text{planos vectoriales de }W\}$ \end_inset , entonces @@ -740,7 +740,7 @@ plano proyectivo en \series default a -\begin_inset Formula $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K}):=({\cal P}(\mathbb{K}^{3}),{\cal L}(\mathbb{K}^{3}),\subseteq)$ +\begin_inset Formula $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\coloneqq ({\cal P}(\mathbb{K}^{3}),{\cal L}(\mathbb{K}^{3}),\subseteq)$ \end_inset . @@ -849,7 +849,7 @@ Dado un Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula ${\cal P}:=W\cup\{[\ell]\}_{\ell\text{ recta afín de }W}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq W\cup\{[\ell]\}_{\ell\text{ recta afín de }W}$ \end_inset el conjunto de puntos de @@ -857,7 +857,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal P}':=\{\text{rectas vectoriales de }W\times\mathbb{K}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}'\coloneqq \{\text{rectas vectoriales de }W\times\mathbb{K}\}$ \end_inset el conjunto de puntos de @@ -1049,7 +1049,7 @@ referencial proyectivo \end_inset es una cuaterna -\begin_inset Formula ${\cal R}:=(P,Q,R,U)$ +\begin_inset Formula ${\cal R}\coloneqq (P,Q,R,U)$ \end_inset de puntos tales que tres puntos cualesquiera de ellos son independientes. @@ -1061,7 +1061,7 @@ Todo referencial proyectivo de \end_inset admite una base -\begin_inset Formula ${\cal B}:=(v_{1},v_{2},v_{3})$ +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq (v_{1},v_{2},v_{3})$ \end_inset de @@ -1141,7 +1141,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $u:=\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}$ +\begin_inset Formula $u\coloneqq \alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}$ \end_inset con @@ -1150,7 +1150,7 @@ Demostración: . Entonces hacemos -\begin_inset Formula $v_{i}:=\alpha_{i}u_{i}$ +\begin_inset Formula $v_{i}\coloneqq \alpha_{i}u_{i}$ \end_inset para @@ -1282,7 +1282,7 @@ da al referencial \end_inset ( -\begin_inset Formula $P:=[x,y,z]$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq [x,y,z]$ \end_inset ) si @@ -1337,15 +1337,15 @@ Llamamos . Las rectas -\begin_inset Formula $\ell:=[a_{1},b_{1},c_{1}]^{*}$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq [a_{1},b_{1},c_{1}]^{*}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $m:=[a_{2},b_{2},c_{2}]^{*}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq [a_{2},b_{2},c_{2}]^{*}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=[a_{3},b_{3},c_{3}]^{*}$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq [a_{3},b_{3},c_{3}]^{*}$ \end_inset son @@ -1533,19 +1533,19 @@ Un plano proyectivo Probemos el teorema de Desargues. Sean -\begin_inset Formula $O:=[\vec{o}]$ +\begin_inset Formula $O\coloneqq [\vec{o}]$ \end_inset el punto de corte entre las tres rectas, -\begin_inset Formula $A:=[\vec{a}]$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq [\vec{a}]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $B:=[\vec{b}]$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq [\vec{b}]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $C:=[\vec{c}]$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq [\vec{c}]$ \end_inset con @@ -1620,7 +1620,7 @@ Un plano proyectivo \end_inset Para el teorema de Pappus, consideremos la referencia proyectiva -\begin_inset Formula ${\cal R}:=(A',A,B,B')$ +\begin_inset Formula ${\cal R}\coloneqq (A',A,B,B')$ \end_inset , con lo que @@ -1814,7 +1814,7 @@ Dado \end_inset Si -\begin_inset Formula $f(x_{1},\dots,x_{n}):=\sum_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{d_{i}}x_{a_{ij}}$ +\begin_inset Formula $f(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq \sum_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{d_{i}}x_{a_{ij}}$ \end_inset , entonces @@ -1858,7 +1858,7 @@ Dado \end_inset Si -\begin_inset Formula $F(x_{1},\dots,x_{n+1}):=\sum_{i=1}^{k}x_{n+1}^{b_{i}}\prod_{j=1}^{d-b_{i}}x_{a_{ij}}$ +\begin_inset Formula $F(x_{1},\dots,x_{n+1})\coloneqq \sum_{i=1}^{k}x_{n+1}^{b_{i}}\prod_{j=1}^{d-b_{i}}x_{a_{ij}}$ \end_inset , entonces @@ -1883,7 +1883,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal L}:=\{(x,y)\in\mathbb{A}^{2}(\mathbb{K})\mid f(x,y)=0\}$ +\begin_inset Formula ${\cal L}\coloneqq \{(x,y)\in\mathbb{A}^{2}(\mathbb{K})\mid f(x,y)=0\}$ \end_inset , llamamos @@ -1899,7 +1899,7 @@ completación proyectiva \end_inset a -\begin_inset Formula $\overline{{\cal L}}:=\{<(x,y,z)>\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\mid f^{*}(x,y,z)=0\}$ +\begin_inset Formula $\overline{{\cal L}}\coloneqq \{<(x,y,z)>\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\mid f^{*}(x,y,z)=0\}$ \end_inset , y para @@ -1915,7 +1915,7 @@ parte afín \end_inset es -\begin_inset Formula $\hat{{\cal L}}^{\text{afín}}:=\{(x,y)\in\mathbb{A}^{2}(\mathbb{K})\mid <(x,y,1)>\in\hat{{\cal L}}\}$ +\begin_inset Formula $\hat{{\cal L}}^{\text{afín}}\coloneqq \{(x,y)\in\mathbb{A}^{2}(\mathbb{K})\mid <(x,y,1)>\in\hat{{\cal L}}\}$ \end_inset . @@ -1924,7 +1924,7 @@ parte afín \end_inset homogéneo y -\begin_inset Formula $\hat{{\cal L}}:=\{F(x,y,z)=0\}$ +\begin_inset Formula $\hat{{\cal L}}\coloneqq \{F(x,y,z)=0\}$ \end_inset , diff --git a/aalg/n4.lyx b/aalg/n4.lyx index 96b456a..c6a789e 100644 --- a/aalg/n4.lyx +++ b/aalg/n4.lyx @@ -202,7 +202,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij}:=\langle e_{i},e_{j}\rangle)\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij}\coloneqq \langle e_{i},e_{j}\rangle)\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$ \end_inset , entonces si @@ -277,7 +277,7 @@ forma cuadrática \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\langle u,v\rangle:=\frac{1}{2}(q(u+v)-q(u)-q(v))$ +\begin_inset Formula $\langle u,v\rangle\coloneqq \frac{1}{2}(q(u+v)-q(u)-q(v))$ \end_inset es una forma bilineal simétrica en @@ -315,7 +315,7 @@ Llamamos que asocia a cada forma cuadrática su forma polar es biyectiva y su inversa asocia a cada forma bilineal simétrica la forma cuadrática dada por -\begin_inset Formula $q(u):=\langle u,u\rangle$ +\begin_inset Formula $q(u)\coloneqq \langle u,u\rangle$ \end_inset . @@ -328,7 +328,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $q(u):=\langle u,u\rangle$ +\begin_inset Formula $q(u)\coloneqq \langle u,u\rangle$ \end_inset , es claro que @@ -369,7 +369,7 @@ Sean ahora \begin_layout Standard Esta correspondencia permite asociar una matriz -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$ \end_inset a una forma cuadrática @@ -409,11 +409,11 @@ Sean \end_inset un espacio bilineal, -\begin_inset Formula ${\cal C}:=(u_{1},\dots,u_{n})$ +\begin_inset Formula ${\cal C}\coloneqq (u_{1},\dots,u_{n})$ \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal B}:=(v_{1},\dots,v_{n})$ +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq (v_{1},\dots,v_{n})$ \end_inset bases de @@ -425,11 +425,11 @@ Sean \end_inset tiene matrices respectivas -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $B:=(b_{ij})$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq (b_{ij})$ \end_inset , @@ -751,7 +751,7 @@ A\sim A'\iff\langle\cdot\rangle\sim\langle\cdot\rangle'\iff(V,\langle\cdot\rangl \end_inset tienen la misma matriz asociada -\begin_inset Formula $C:=(c_{ij})$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq (c_{ij})$ \end_inset , entonces @@ -775,11 +775,11 @@ A\sim A'\iff\langle\cdot\rangle\sim\langle\cdot\rangle'\iff(V,\langle\cdot\rangl \end_inset una isometría y -\begin_inset Formula ${\cal B}:=(v_{1},\dots,v_{n})$ +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq (v_{1},\dots,v_{n})$ \end_inset , entonces -\begin_inset Formula ${\cal B}':=(f(v_{1}),\dots,f(v_{n}))$ +\begin_inset Formula ${\cal B}'\coloneqq (f(v_{1}),\dots,f(v_{n}))$ \end_inset es una base de @@ -791,7 +791,7 @@ A\sim A'\iff\langle\cdot\rangle\sim\langle\cdot\rangle'\iff(V,\langle\cdot\rangl \end_inset , ambas formas bilineales tienen la misma matriz -\begin_inset Formula $C:=(c_{ij})$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq (c_{ij})$ \end_inset , y entonces @@ -827,7 +827,7 @@ subespacio ortogonal \end_inset al subespacio -\begin_inset Formula $E^{\bot}:=\{v\in V\mid \forall e\in E,\langle v,e\rangle=0\}$ +\begin_inset Formula $E^{\bot}\coloneqq \{v\in V\mid \forall e\in E,\langle v,e\rangle=0\}$ \end_inset . @@ -865,7 +865,7 @@ radical \end_inset a -\begin_inset Formula $Rad(V):=V^{\bot}$ +\begin_inset Formula $Rad(V)\coloneqq V^{\bot}$ \end_inset . @@ -1022,7 +1022,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula ${\cal B}:=(e_{1},\dots,e_{m})$ +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq (e_{1},\dots,e_{m})$ \end_inset una base de @@ -1062,12 +1062,12 @@ x_{m} \end_inset tiene solución única y -\begin_inset Formula $x:=\sum x_{i}e_{i}\in E$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \sum x_{i}e_{i}\in E$ \end_inset . Sea -\begin_inset Formula $v:=u-x$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq u-x$ \end_inset , @@ -1147,7 +1147,7 @@ Demostración: \end_inset no isótropo y, si -\begin_inset Formula $E:=<e_{1}>$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq <e_{1}>$ \end_inset , @@ -1237,7 +1237,7 @@ Si \end_inset , basta tomar -\begin_inset Formula $P:=E_{1}^{t}\cdots E_{k}^{t}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq E_{1}^{t}\cdots E_{k}^{t}$ \end_inset . @@ -1954,11 +1954,11 @@ Reescribir \end_inset Hacer el cambio -\begin_inset Formula $x'_{1}:=x_{1}+\frac{p(x_{2},\dots,x_{n})}{2a_{11}}$ +\begin_inset Formula $x'_{1}\coloneqq x_{1}+\frac{p(x_{2},\dots,x_{n})}{2a_{11}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x'_{j}:=x_{j},j\neq1$ +\begin_inset Formula $x'_{j}\coloneqq x_{j},j\neq1$ \end_inset @@ -2040,7 +2040,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $U:=V_{(\alpha_{1})}\oplus\dots\oplus V_{(\alpha_{m})}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq V_{(\alpha_{1})}\oplus\dots\oplus V_{(\alpha_{m})}$ \end_inset , siendo @@ -2165,7 +2165,7 @@ rango \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{rg}(\langle\cdot\rangle):=\text{rg}(A)=\dim(V)-\dim Rad(\langle\cdot\rangle)$ +\begin_inset Formula $\text{rg}(\langle\cdot\rangle)\coloneqq \text{rg}(A)=\dim(V)-\dim Rad(\langle\cdot\rangle)$ \end_inset . @@ -2239,7 +2239,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $\lambda:=|P|$ +\begin_inset Formula $\lambda\coloneqq |P|$ \end_inset . @@ -2309,11 +2309,11 @@ Demostración: \end_inset es -\begin_inset Formula $D:=\text{diag}(d_{1},\dots,d_{m},0,\dots,0)$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq \text{diag}(d_{1},\dots,d_{m},0,\dots,0)$ \end_inset , siendo -\begin_inset Formula $m:=\text{rg}(\langle\cdot\rangle)$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{rg}(\langle\cdot\rangle)$ \end_inset , con @@ -2434,7 +2434,7 @@ positivos . A los elementos de -\begin_inset Formula $-P:=\{-x\}_{x\in P}$ +\begin_inset Formula $-P\coloneqq \{-x\}_{x\in P}$ \end_inset los llamamos @@ -2568,7 +2568,7 @@ Las mismas definiciones se aplican a una forma cuadrática. \end_inset , -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})$ \end_inset la matriz de @@ -2576,7 +2576,7 @@ Las mismas definiciones se aplican a una forma cuadrática. \end_inset en cierta base -\begin_inset Formula ${\cal C}:=(e_{1},\dots,e_{n})$ +\begin_inset Formula ${\cal C}\coloneqq (e_{1},\dots,e_{n})$ \end_inset y definimos @@ -2608,7 +2608,7 @@ a_{21} & a_{22} Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $E:=<e_{1},\dots,e_{n-1}>$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq <e_{1},\dots,e_{n-1}>$ \end_inset , la matriz de @@ -2675,7 +2675,7 @@ Tenemos . Sea -\begin_inset Formula $\lambda:=|P|$ +\begin_inset Formula $\lambda\coloneqq |P|$ \end_inset , @@ -2691,7 +2691,7 @@ Tenemos \end_inset en la base -\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n-1},w:=\lambda v)$ +\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n-1},w\coloneqq \lambda v)$ \end_inset es como @@ -2773,11 +2773,11 @@ teorema de Sylvester es definida positiva, definida negativa y nula, respectivamente. Además, -\begin_inset Formula $p:=\dim(V_{+})$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \dim(V_{+})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $m:=\dim(V_{-})$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \dim(V_{-})$ \end_inset son únicos, y al par @@ -2798,7 +2798,7 @@ signatura Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula ${\cal C}:=(e_{1},\dots,e_{n})$ +\begin_inset Formula ${\cal C}\coloneqq (e_{1},\dots,e_{n})$ \end_inset una base de @@ -3095,7 +3095,7 @@ Si \end_inset , y entonces definimos -\begin_inset Formula $t(w):=-w$ +\begin_inset Formula $t(w)\coloneqq -w$ \end_inset y vemos que @@ -3111,11 +3111,11 @@ Como teorema \series default , si -\begin_inset Formula $D_{1}:=\text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},b_{r+1},\dots,b_{n})$ +\begin_inset Formula $D_{1}\coloneqq \text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},b_{r+1},\dots,b_{n})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $D_{2}:=\text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},c_{r+1},\dots,c_{n})$ +\begin_inset Formula $D_{2}\coloneqq \text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},c_{r+1},\dots,c_{n})$ \end_inset son matrices con @@ -3190,7 +3190,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $E:=<s(u_{2}),\dots,s(u_{n})>=<s(u_{1})>^{\bot}=<v_{1}>^{\bot}=<v_{2},\dots,v_{n}>$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq <s(u_{2}),\dots,s(u_{n})>=<s(u_{1})>^{\bot}=<v_{1}>^{\bot}=<v_{2},\dots,v_{n}>$ \end_inset . @@ -3309,11 +3309,11 @@ Demostración: \end_inset , si -\begin_inset Formula $D_{1}:=\text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},b_{r+1},\dots,b_{n})$ +\begin_inset Formula $D_{1}\coloneqq \text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},b_{r+1},\dots,b_{n})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $D_{2}:=\text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},c_{r+1},\dots,c_{n})$ +\begin_inset Formula $D_{2}\coloneqq \text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},c_{r+1},\dots,c_{n})$ \end_inset son las matrices de @@ -3430,7 +3430,7 @@ Sean \end_inset es una base y -\begin_inset Formula $v':=\frac{v}{\langle u,v\rangle}$ +\begin_inset Formula $v'\coloneqq \frac{v}{\langle u,v\rangle}$ \end_inset , la matriz de @@ -3453,12 +3453,12 @@ A:=\left(\begin{array}{cc} \end_inset con -\begin_inset Formula $a:=\langle v',v'\rangle$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \langle v',v'\rangle$ \end_inset . Sea ahora -\begin_inset Formula $w:=xu+v'$ +\begin_inset Formula $w\coloneqq xu+v'$ \end_inset tal que @@ -3498,7 +3498,7 @@ B:=\left(\begin{array}{cc} \end_inset con -\begin_inset Formula $b:=\langle w',w'\rangle$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq \langle w',w'\rangle$ \end_inset . @@ -3576,7 +3576,7 @@ Si identificamos los vectores con sus coordenadas respecto a la base en \end_inset es isótropo no nulo y, si hubiera un -\begin_inset Formula $v:=(v_{1},v_{2})$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq (v_{1},v_{2})$ \end_inset con @@ -3744,7 +3744,7 @@ Demostración: es anisótropo. Si -\begin_inset Formula $n:=\dim(V)\geq2$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \dim(V)\geq2$ \end_inset y @@ -3827,12 +3827,12 @@ cónica proyectiva \end_inset , o de formas cuadráticas no nulas de dimensión 3, bajo la relación -\begin_inset Formula $q\sim q':\iff\exists\lambda\in\mathbb{K}\backslash\{0\}\mid q'=\lambda q$ +\begin_inset Formula $q\sim q':\iff\exists\lambda\in\mathbb{K}\backslash\{0\}:q'=\lambda q$ \end_inset . Escribimos -\begin_inset Formula ${\cal C}_{q}:=[q]$ +\begin_inset Formula ${\cal C}_{q}\coloneqq [q]$ \end_inset , y la identificamos con el conjunto de puntos @@ -3975,7 +3975,7 @@ recta polar \end_inset a -\begin_inset Formula $r_{P}:=\{X\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\mid [P]^{t}\overline{A}[X]=0\}$ +\begin_inset Formula $r_{P}\coloneqq \{X\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\mid [P]^{t}\overline{A}[X]=0\}$ \end_inset , y decimos que @@ -4035,7 +4035,7 @@ Una cónica es no degenerada \series default si -\begin_inset Formula $\Delta:=|\overline{A}|\neq0$ +\begin_inset Formula $\Delta\coloneqq |\overline{A}|\neq0$ \end_inset . @@ -519,7 +519,7 @@ status open \end_inset , definimos -\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a:=0$ +\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq 0$ \end_inset , y para @@ -527,16 +527,16 @@ status open \end_inset , -\begin_inset Formula $na:=(n-1)a+a$ +\begin_inset Formula $na\coloneqq (n-1)a+a$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(-n)a:=-(na)$ +\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq -(na)$ \end_inset . Definimos -\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}:=1_{A}$ +\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq 1_{A}$ \end_inset , para @@ -544,7 +544,7 @@ status open \end_inset , -\begin_inset Formula $a^{n}:=a^{n-1}a$ +\begin_inset Formula $a^{n}\coloneqq a^{n-1}a$ \end_inset , y si @@ -552,7 +552,7 @@ status open \end_inset es invertible, -\begin_inset Formula $a^{-n}:=(a^{-1})^{n}$ +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq (a^{-1})^{n}$ \end_inset . @@ -1068,7 +1068,7 @@ Dado un anillo \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\mu(n):=n1$ +\begin_inset Formula $\mu(n)\coloneqq n1$ \end_inset es el único homomorfismo de anillos de @@ -1100,7 +1100,7 @@ proyección \end_inset dada por -\begin_inset Formula $p_{j}(a):=a_{j}$ +\begin_inset Formula $p_{j}(a)\coloneqq a_{j}$ \end_inset es un homomorfismo. @@ -1112,7 +1112,7 @@ La conjugación \series default de complejos, dada por -\begin_inset Formula $\overline{a+bi}:=a-bi$ +\begin_inset Formula $\overline{a+bi}\coloneqq a-bi$ \end_inset para @@ -2529,7 +2529,7 @@ equivalentes \end_inset de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}:=\{1,\dots,n\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq \{1,\dots,n\}$ \end_inset tal que para @@ -3320,7 +3320,7 @@ subanillo primo \end_inset a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1:=\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq \{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset , el menor subanillo de @@ -4321,7 +4321,7 @@ Dado \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}:=\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\coloneqq \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ \end_inset . @@ -8914,7 +8914,7 @@ Sean \end_inset un dominio y -\begin_inset Formula $X:=D\times(D\setminus\{0\})$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq D\times(D\setminus\{0\})$ \end_inset , definimos la relación binaria @@ -8927,7 +8927,7 @@ Sean Esta relación es de equivalencia. Llamamos -\begin_inset Formula $a/s:=\frac{a}{s}:=[(a,s)]\in Q(D):=X/\sim$ +\begin_inset Formula $a/s\coloneqq \frac{a}{s}\coloneqq [(a,s)]\in Q(D)\coloneqq X/\sim$ \end_inset , y las operaciones @@ -9030,7 +9030,7 @@ de cocientes \end_inset dada por -\begin_inset Formula $u(a):=a/1$ +\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ \end_inset es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a @@ -9082,7 +9082,7 @@ Propiedad universal del cuerpo de fracciones: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $u(a):=a/1$ +\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ \end_inset : @@ -9342,7 +9342,7 @@ polinomios constantes \end_inset e -\begin_inset Formula $I[X]:=\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ +\begin_inset Formula $I[X]\coloneqq \{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ \end_inset son ideales de @@ -9354,7 +9354,7 @@ polinomios constantes \begin_layout Standard Dado -\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ \end_inset , llamamos @@ -9366,7 +9366,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{gr}(p):=\max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ \end_inset , @@ -9677,7 +9677,7 @@ función polinómica \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\hat{p}(b):=S_{b}(p)$ +\begin_inset Formula $\hat{p}(b)\coloneqq S_{b}(p)$ \end_inset . @@ -9916,7 +9916,7 @@ Para \end_inset , existe -\begin_inset Formula $m:=\max\{k\in\mathbb{N}\mid(X-a)^{k}\mid f\}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid(X-a)^{k}\mid f\}$ \end_inset . @@ -10142,19 +10142,19 @@ Dado un anillo conmutativo derivada \series default de -\begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ \end_inset como -\begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ +\begin_inset Formula $P'\coloneqq D(P)\coloneqq \sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ \end_inset , y escribimos -\begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$ +\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$ \end_inset y -\begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$ +\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$ \end_inset . @@ -10444,11 +10444,11 @@ Definimos \end_inset tal que, para -\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c(p):=\{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ +\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq \{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ \end_inset , y para @@ -10464,7 +10464,7 @@ Definimos \end_inset , -\begin_inset Formula $c(p):=a^{-1}c(ap)$ +\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq a^{-1}c(ap)$ \end_inset . @@ -10738,11 +10738,11 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ \end_inset , todas las raíces de @@ -10830,11 +10830,11 @@ En particular, si \end_inset es primo, -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ \end_inset es primitivo, -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ \end_inset , @@ -10870,11 +10870,11 @@ Criterio de Eisenstein: \end_inset un DFU, -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset primitivo y -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ \end_inset , si existe un irreducible @@ -10967,7 +10967,7 @@ de 1 \end_inset , donde -\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X):=X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ +\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)\coloneqq X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ \end_inset es el @@ -11028,7 +11028,7 @@ anillo de polinomios \end_inset como -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]:=A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]\coloneqq A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ \end_inset . @@ -11126,7 +11126,7 @@ Dados \end_inset e -\begin_inset Formula $i:=(i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ +\begin_inset Formula $i\coloneqq (i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ \end_inset , llamamos a @@ -11303,7 +11303,7 @@ homomorfismo de sustitución \end_inset viene dado por -\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n}):=S(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ \end_inset . @@ -11356,7 +11356,7 @@ Sean \end_inset con inversa -\begin_inset Formula $\tau:=\sigma^{-1}$ +\begin_inset Formula $\tau\coloneqq \sigma^{-1}$ \end_inset , tomando @@ -11399,7 +11399,7 @@ Todo homomorfismo de anillos conmutativos \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\hat{f}(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset . diff --git a/aed1/n2.lyx b/aed1/n2.lyx index 22a657a..67574f2 100644 --- a/aed1/n2.lyx +++ b/aed1/n2.lyx @@ -147,7 +147,7 @@ T \end_inset con -\begin_inset Formula $n:=|T|$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq |T|$ \end_inset , mientras que la inserción y eliminación y comprobación de pertenencia @@ -551,7 +551,7 @@ Métodos para enteros: División \series default : -\begin_inset Formula $h(k):=k\mod M$ +\begin_inset Formula $h(k)\coloneqq k\mod M$ \end_inset , siendo @@ -567,7 +567,7 @@ División Multiplicación \series default : -\begin_inset Formula $h(k):=\lfloor Ck\rfloor\mod M,C\in\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $h(k)\coloneqq \lfloor Ck\rfloor\mod M,C\in\mathbb{R}$ \end_inset . @@ -576,7 +576,7 @@ Multiplicación \end_inset Variante: -\begin_inset Formula $h(k):=\lfloor\text{d}(\frac{Ak}{W})M\rfloor,\text{mcd}(A,K)=1$ +\begin_inset Formula $h(k)\coloneqq \lfloor\text{d}(\frac{Ak}{W})M\rfloor,\text{mcd}(A,K)=1$ \end_inset , donde @@ -596,7 +596,7 @@ Variante: Centro del cuadrado \series default : -\begin_inset Formula $h(k):=\lfloor\frac{k^{2}}{C}\rfloor\mod M$ +\begin_inset Formula $h(k)\coloneqq \lfloor\frac{k^{2}}{C}\rfloor\mod M$ \end_inset . @@ -612,7 +612,7 @@ Para secuencias: Suma \series default : -\begin_inset Formula $h(k):=\sum_{i}x_{i}\mod M$ +\begin_inset Formula $h(k)\coloneqq \sum_{i}x_{i}\mod M$ \end_inset . @@ -625,7 +625,7 @@ Suma Suma posicional \series default : -\begin_inset Formula $h(k):=\sum_{i}k^{i}x_{i}\mod M$ +\begin_inset Formula $h(k)\coloneqq \sum_{i}k^{i}x_{i}\mod M$ \end_inset , siendo @@ -645,7 +645,7 @@ Plegado folding \emph default ): -\begin_inset Formula $h(k):=\sum_{i=0}^{\lfloor n/p\rfloor}\prod_{j=1}^{p}x_{ip+j}\mod M$ +\begin_inset Formula $h(k)\coloneqq \sum_{i=0}^{\lfloor n/p\rfloor}\prod_{j=1}^{p}x_{ip+j}\mod M$ \end_inset , tomando @@ -661,7 +661,7 @@ folding Extracción \series default : -\begin_inset Formula $h(k):=x_{n_{1}}\cdots x_{n_{k}}\mod M$ +\begin_inset Formula $h(k)\coloneqq x_{n_{1}}\cdots x_{n_{k}}\mod M$ \end_inset . @@ -712,7 +712,7 @@ Funciones de redispersión: Lineal \series default : -\begin_inset Formula $h_{i}(k):=h(k)+i\mod M$ +\begin_inset Formula $h_{i}(k)\coloneqq h(k)+i\mod M$ \end_inset . @@ -730,7 +730,7 @@ agrupamiento Con saltos \series default : -\begin_inset Formula $h_{i}(k):=h(k)+Ci\mod M$ +\begin_inset Formula $h_{i}(k)\coloneqq h(k)+Ci\mod M$ \end_inset . @@ -743,7 +743,7 @@ Con saltos Cuadrática \series default : -\begin_inset Formula $h_{i}(k):=h(k)+D(i)\mod M$ +\begin_inset Formula $h_{i}(k)\coloneqq h(k)+D(i)\mod M$ \end_inset con diff --git a/aed1/n4.lyx b/aed1/n4.lyx index 3e1e0aa..b5f46a4 100644 --- a/aed1/n4.lyx +++ b/aed1/n4.lyx @@ -203,7 +203,7 @@ Un subgrafo \series default de un grafo -\begin_inset Formula $G:=(V,E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$ \end_inset es un grafo @@ -220,7 +220,7 @@ subgrafo . Un subgrafo de un grafo etiquetado -\begin_inset Formula $G:=(V,E,\sigma)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E,\sigma)$ \end_inset es un grafo etiquetado @@ -505,11 +505,11 @@ begin{sloppypar} \end_inset En un ordenador podemos representar un grafo finito -\begin_inset Formula $(V:=\{1,\dots,n\},E)$ +\begin_inset Formula $(V\coloneqq \{1,\dots,n\},E)$ \end_inset o -\begin_inset Formula $(V:=\{1,\dots,n\},E,\sigma\mid E\rightarrow X)$ +\begin_inset Formula $(V\coloneqq \{1,\dots,n\},E,\sigma:E\rightarrow X)$ \end_inset mediante: @@ -618,7 +618,7 @@ Listas de adyacencia \begin_layout Standard En adelante, salvo que se indique lo contrario, suponemos un grafo -\begin_inset Formula $(V:=\{1,\dots,n\},E,\sigma\mid E\rightarrow X)$ +\begin_inset Formula $(V\coloneqq \{1,\dots,n\},E,\sigma:E\rightarrow X)$ \end_inset , y que las variables en pseudocódigo se inicializan con su valor por defecto. @@ -750,7 +750,7 @@ operación \end_inset visitado[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset verdadero; visitar(u) @@ -784,7 +784,7 @@ entonces para \series default i -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -945,7 +945,7 @@ operación \end_inset visitado[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset verdadero; C.meter(u); visitar(u) @@ -977,7 +977,7 @@ hacer \end_inset v -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset C.cabeza; C.sacar @@ -1044,7 +1044,7 @@ entonces \end_inset visitado[w] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset verdadero; C.meter(w); visitar(w) @@ -1057,7 +1057,7 @@ visitado[w] para \series default i -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -1197,7 +1197,7 @@ operación \end_inset visitado[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset verdadero @@ -1263,7 +1263,7 @@ hacer \end_inset p -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset C.cabeza; C.sacar @@ -1295,7 +1295,7 @@ entonces \end_inset coste -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset coste @@ -1425,7 +1425,7 @@ entonces \end_inset coste -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset coste @@ -1595,7 +1595,7 @@ de para \series default i -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 2 @@ -1614,15 +1614,15 @@ hacer \end_inset coste[i] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset C[1, i]; paso[i] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1; escogido[v] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset falso @@ -1635,7 +1635,7 @@ coste[i] para \series default i -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -1658,7 +1658,7 @@ hacer \end_inset u -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset i @@ -1679,7 +1679,7 @@ minimizando \end_inset escogido[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset verdadero @@ -1746,7 +1746,7 @@ entonces \end_inset coste[v] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset coste[u] @@ -1771,7 +1771,7 @@ coste[v] \end_inset paso[v] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset u @@ -1917,7 +1917,7 @@ de \family sans coste -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset C @@ -1930,7 +1930,7 @@ coste para \series default k -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -1953,7 +1953,7 @@ hacer para \series default i -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -1980,7 +1980,7 @@ hacer para \series default j -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -2042,7 +2042,7 @@ entonces \end_inset coste[i, j] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset coste[i, k] @@ -2071,7 +2071,7 @@ coste[i, j] \end_inset paso[i, j] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset k @@ -2126,14 +2126,14 @@ algoritmo de Warshall cierre transitivo \series default de un grafo, una matriz de booleanos -\begin_inset Formula $(a_{ij}:=\text{existe un camino de \ensuremath{i} a \ensuremath{j}})$ +\begin_inset Formula $(a_{ij}\coloneqq \text{existe un camino de \ensuremath{i} a \ensuremath{j}})$ \end_inset , y es similar al de Floyd pero cambiando la condición dentro de los bucles por \family sans A[i, j] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset A[i, j] @@ -2298,11 +2298,11 @@ operación \end_inset número[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset tiempo; enlace[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset tiempo @@ -2315,7 +2315,7 @@ número[u] \end_inset tiempo -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset tiempo @@ -2332,7 +2332,7 @@ tiempo \end_inset pila.insertar(u); apilado[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset verdadero @@ -2465,11 +2465,11 @@ repetir \end_inset v -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset pila.tope; pila.sacar; apilado[v] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset falso @@ -2533,7 +2533,7 @@ componentes.inserta(s) para \series default i -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -2575,19 +2575,19 @@ componentes grafo reducido \series default -\begin_inset Formula $G_{R}:=(V_{R},E_{R})$ +\begin_inset Formula $G_{R}\coloneqq (V_{R},E_{R})$ \end_inset de -\begin_inset Formula $G:=(V,E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$ \end_inset al grafo dirigido acíclico dado por -\begin_inset Formula $V_{R}:=\{\text{componentes fuertemente conexos de \ensuremath{G}}\}$ +\begin_inset Formula $V_{R}\coloneqq \{\text{componentes fuertemente conexos de \ensuremath{G}}\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $E_{R}:=\{(A,B)\in V_{R}\mid \exists a\in A,b\in B:(a,b)\in E\}$ +\begin_inset Formula $E_{R}\coloneqq \{(A,B)\in V_{R}\mid \exists a\in A,b\in B:(a,b)\in E\}$ \end_inset . @@ -2686,7 +2686,7 @@ operación \end_inset visitado[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset verdadero @@ -2729,7 +2729,7 @@ orden.insertar(u) para \series default i -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -2933,11 +2933,11 @@ operación \end_inset número[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset tiempo; enlace[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset tiempo @@ -2950,7 +2950,7 @@ número[u] \end_inset tiempo -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset tiempo @@ -3013,7 +3013,7 @@ entonces \end_inset padre[v] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset u @@ -3046,7 +3046,7 @@ si entonces \series default hijosRaíz -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset hijosRaíz @@ -3100,7 +3100,7 @@ si entonces \series default articulación[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset verdadero @@ -3121,7 +3121,7 @@ entonces \end_inset enlace[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset mín(enlace[u], enlace[v]) @@ -3165,7 +3165,7 @@ entonces \end_inset enlace[u] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset mín(enlace[u], número[v]) @@ -3178,7 +3178,7 @@ enlace[u] para \series default i -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 1 @@ -3220,11 +3220,11 @@ entonces \end_inset raíz -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset i; hijosRaíz -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset 0; puntosArticulación(i) @@ -3241,7 +3241,7 @@ raíz \end_inset articulación[raíz] -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset hijosRaíz @@ -3404,11 +3404,11 @@ entonces \end_inset disponible(u, v) -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset falso; disponible(v, u) -\begin_inset Formula $:=$ +\begin_inset Formula $\coloneqq $ \end_inset falso @@ -3521,11 +3521,11 @@ Coloración de grafos Isomorfismo \series default : Dos grafos -\begin_inset Formula $G:=(V,E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $G':=(V',E')$ +\begin_inset Formula $G'\coloneqq (V',E')$ \end_inset son diff --git a/algl/n1.lyx b/algl/n1.lyx index da5b457..967e0e1 100644 --- a/algl/n1.lyx +++ b/algl/n1.lyx @@ -178,7 +178,7 @@ opuesto: . -\begin_inset Formula $-a:=a'$ +\begin_inset Formula $-a\coloneqq a'$ \end_inset . @@ -242,11 +242,11 @@ unidad: Inverso para el producto: \series default -\begin_inset Formula $\forall a\in K\backslash\{0\},\exists!a''\mid a\cdot a''=1$ +\begin_inset Formula $\forall a\in K\backslash\{0\},\exists!a'':a\cdot a''=1$ \end_inset ; -\begin_inset Formula $a^{-1}:=\frac{1}{a}:=a''$ +\begin_inset Formula $a^{-1}\coloneqq \frac{1}{a}\coloneqq a''$ \end_inset . @@ -722,7 +722,7 @@ Opuesto para la suma: \end_inset ; -\begin_inset Formula $u':=-u$ +\begin_inset Formula $u'\coloneqq -u$ \end_inset . diff --git a/algl/n3.lyx b/algl/n3.lyx index 99baa10..a283418 100644 --- a/algl/n3.lyx +++ b/algl/n3.lyx @@ -406,7 +406,7 @@ Por tanto \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $k:=\dim(\text{Nuc}(f))=n-\text{rang}(f)$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq \dim(\text{Nuc}(f))=n-\text{rang}(f)$ \end_inset , por lo que existen diff --git a/algl/n4.lyx b/algl/n4.lyx index a0f5c5f..cc6c374 100644 --- a/algl/n4.lyx +++ b/algl/n4.lyx @@ -641,7 +641,7 @@ adjunto \end_inset al escalar -\begin_inset Formula $\Delta_{ij}:=(-1)^{i+j}|A_{ij}|$ +\begin_inset Formula $\Delta_{ij}\coloneqq (-1)^{i+j}|A_{ij}|$ \end_inset . diff --git a/algl/n5.lyx b/algl/n5.lyx index 963ebd6..14455ac 100644 --- a/algl/n5.lyx +++ b/algl/n5.lyx @@ -587,7 +587,7 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $P_{f}(x):=\det(xId-f)$ +\begin_inset Formula $P_{f}(x)\coloneqq \det(xId-f)$ \end_inset es el @@ -603,7 +603,7 @@ polinomio característico \series default , y -\begin_inset Formula $P_{A}(x):=\det(xI_{n}-A)$ +\begin_inset Formula $P_{A}(x)\coloneqq \det(xI_{n}-A)$ \end_inset es el polinomio característico de @@ -147,7 +147,7 @@ Llamamos \end_inset , o -\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A):={\cal M}_{nn}(A)$ +\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)\coloneqq {\cal M}_{nn}(A)$ \end_inset , pudiendo omitir @@ -184,7 +184,7 @@ Dadas \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $X+Y:=(X_{ij}+Y_{ij})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq n}$ +\begin_inset Formula $X+Y\coloneqq (X_{ij}+Y_{ij})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq n}$ \end_inset , y dadas @@ -196,7 +196,7 @@ Dadas \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $XY:=(\sum_{k=1}^{n}X_{ik}Y_{kj})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq p}$ +\begin_inset Formula $XY\coloneqq (\sum_{k=1}^{n}X_{ik}Y_{kj})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq p}$ \end_inset . @@ -238,7 +238,7 @@ matriz adjunta \end_inset a -\begin_inset Formula $M^{*}:=(\overline{M_{ji}})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{C})$ +\begin_inset Formula $M^{*}\coloneqq (\overline{M_{ji}})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{C})$ \end_inset y @@ -250,7 +250,7 @@ matriz traspuesta \end_inset a -\begin_inset Formula $M^{t}:=(M_{ji})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{C})$ +\begin_inset Formula $M^{t}\coloneqq (M_{ji})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{C})$ \end_inset , que coincide con la adjunta cuando los coeficientes son reales, y se tiene @@ -347,7 +347,7 @@ vector propio polinomio característico \series default , -\begin_inset Formula $p_{A}(\lambda):=\det(A-\lambda I)$ +\begin_inset Formula $p_{A}(\lambda)\coloneqq \det(A-\lambda I)$ \end_inset . @@ -364,7 +364,7 @@ espectro \end_inset es -\begin_inset Formula $\sigma(A):=\{\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\}$ +\begin_inset Formula $\sigma(A)\coloneqq \{\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\}$ \end_inset y su @@ -372,7 +372,7 @@ espectro radio espectral \series default es -\begin_inset Formula $\rho(A):=\max\{|\lambda_{1}|,\dots,|\lambda_{n}|\}$ +\begin_inset Formula $\rho(A)\coloneqq \max\{|\lambda_{1}|,\dots,|\lambda_{n}|\}$ \end_inset . @@ -476,7 +476,7 @@ matriz de coeficientes \end_inset -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})_{ij}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})_{ij}$ \end_inset , @@ -484,7 +484,7 @@ matriz de coeficientes columna de términos independientes \series default a la matriz columna -\begin_inset Formula $b:=(b_{i})_{ij}$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq (b_{i})_{ij}$ \end_inset y @@ -852,7 +852,7 @@ Lo probamos primero para \end_inset y -\begin_inset Formula $W:=\text{span}(p_{2},\dots,p_{n})$ +\begin_inset Formula $W\coloneqq \text{span}(p_{2},\dots,p_{n})$ \end_inset , existen @@ -987,7 +987,7 @@ Existe \end_inset unitaria tal que -\begin_inset Formula $T:=U^{-1}AU=U^{*}AU$ +\begin_inset Formula $T\coloneqq U^{-1}AU=U^{*}AU$ \end_inset es triangular superior, pero @@ -1187,7 +1187,7 @@ Para \end_inset , y haciendo -\begin_inset Formula $u_{j}:=\frac{f_{j}}{\mu_{j}}$ +\begin_inset Formula $u_{j}\coloneqq \frac{f_{j}}{\mu_{j}}$ \end_inset para @@ -1330,7 +1330,7 @@ Sean \end_inset ), -\begin_inset Formula $E_{k}:=\text{span}\{p_{1},\dots,p_{k}\}$ +\begin_inset Formula $E_{k}\coloneqq \text{span}\{p_{1},\dots,p_{k}\}$ \end_inset para cada @@ -1375,7 +1375,7 @@ Sean \end_inset unitaria tal que -\begin_inset Formula $D:=U^{*}AU=\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq U^{*}AU=\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ \end_inset , @@ -1519,7 +1519,7 @@ Queremos ver que . Si -\begin_inset Formula $E_{k-1}^{\bot}:=\{v\in V\mid v\bot E_{k-1}\}$ +\begin_inset Formula $E_{k-1}^{\bot}\coloneqq \{v\in V\mid v\bot E_{k-1}\}$ \end_inset , basta ver que para todo subespacio @@ -1671,7 +1671,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Vert f\Vert:=\sqrt{\langle f,f\rangle}$ +\begin_inset Formula $\Vert f\Vert\coloneqq \sqrt{\langle f,f\rangle}$ \end_inset define una norma en @@ -1845,7 +1845,7 @@ Entonces, para \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ \end_inset : @@ -2028,7 +2028,7 @@ La norma euclídea \series default , -\begin_inset Formula $\Vert A\Vert_{E}:=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}$ +\begin_inset Formula $\Vert A\Vert_{E}\coloneqq \sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}$ \end_inset , es una norma matricial no subordinada a ninguna norma en @@ -2150,7 +2150,7 @@ Sea \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $D_{\delta}:=\text{diag}(1,\delta,\dots,\delta^{n-1})$ +\begin_inset Formula $D_{\delta}\coloneqq \text{diag}(1,\delta,\dots,\delta^{n-1})$ \end_inset para @@ -2202,7 +2202,7 @@ La diagonal no cambia, la matriz sigue siendo triangular superior y, para . Tomando la norma -\begin_inset Formula $\Vert v\Vert_{*}:=\Vert(UD_{\delta})^{-1}v\Vert_{\infty}$ +\begin_inset Formula $\Vert v\Vert_{*}\coloneqq \Vert(UD_{\delta})^{-1}v\Vert_{\infty}$ \end_inset , la norma subordinada a esta cumple @@ -2353,7 +2353,7 @@ Demostración: \end_inset , sea -\begin_inset Formula $B_{\varepsilon}:=\frac{B}{\rho(B)+\varepsilon}$ +\begin_inset Formula $B_{\varepsilon}\coloneqq \frac{B}{\rho(B)+\varepsilon}$ \end_inset , se tiene @@ -2510,7 +2510,7 @@ número de condición \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{cond}A:=\Vert A\Vert\Vert A^{-1}\Vert$ +\begin_inset Formula $\text{cond}A\coloneqq \Vert A\Vert\Vert A^{-1}\Vert$ \end_inset , con lo que si @@ -2556,7 +2556,7 @@ número de condición \begin_layout Standard Llamamos -\begin_inset Formula $\text{cond}_{p}(A):=\Vert A^{-1}\Vert_{p}\Vert A\Vert_{p}$ +\begin_inset Formula $\text{cond}_{p}(A)\coloneqq \Vert A^{-1}\Vert_{p}\Vert A\Vert_{p}$ \end_inset . @@ -2654,7 +2654,7 @@ Sean \end_inset invertible con -\begin_inset Formula $D:=P^{-1}AP=:\text{diag}(\lambda_{i})$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq P^{-1}AP=:\text{diag}(\lambda_{i})$ \end_inset , @@ -2666,7 +2666,7 @@ Sean \end_inset para toda matriz diagonal y -\begin_inset Formula $D_{i}:=B(\lambda_{i},\text{cond}(P)\Vert\Delta A\Vert)\subseteq\mathbb{C}$ +\begin_inset Formula $D_{i}\coloneqq B(\lambda_{i},\text{cond}(P)\Vert\Delta A\Vert)\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset , @@ -289,14 +289,20 @@ status open \backslash -Entrada{$A:=(a_{ij})$, matriz cuadrada de tamaño $n$.} +Entrada{$A +\backslash +coloneqq (a_{ij})$, matriz cuadrada de tamaño $n$.} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash -Salida{Factorización $(L:=(l_{ij}),U:=(u_{ij}))$ de $A$, o error.} +Salida{Factorización $(L +\backslash +coloneqq (l_{ij}),U +\backslash +coloneqq (u_{ij}))$ de $A$, o error.} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -558,7 +564,7 @@ Una matriz \end_inset Sea -\begin_inset Formula $(L:=(l_{ij}),U:=(u_{ij}))$ +\begin_inset Formula $(L\coloneqq (l_{ij}),U\coloneqq (u_{ij}))$ \end_inset esta factorización, @@ -786,11 +792,11 @@ A partir de la factorización de Dootlittle \end_inset con -\begin_inset Formula $D:=\text{diag}(u_{11},\dots,u_{nn})$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq \text{diag}(u_{11},\dots,u_{nn})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\tilde{U}:=(u_{ij}/u_{ii})_{ij}$ +\begin_inset Formula $\tilde{U}\coloneqq (u_{ij}/u_{ii})_{ij}$ \end_inset . @@ -1045,11 +1051,11 @@ es de filas si y sólo si ninguno de sus menores principales hasta \begin_layout Standard En tal caso, sean -\begin_inset Formula $L:=M_{1}^{-1}\cdots M_{n-1}^{-1}$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq M_{1}^{-1}\cdots M_{n-1}^{-1}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $U:=A^{(n)}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq A^{(n)}$ \end_inset , entonces @@ -1270,7 +1276,7 @@ Diagonal estrictamente dominante \begin_layout Standard Una matriz -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ \end_inset tiene @@ -1303,7 +1309,7 @@ Toda matriz con diagonal estrictamente dominante es no singular y admite Demostración: \series default Si -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})$ \end_inset fuese singular, sus columnas serían linealmente dependientes y existiría @@ -1383,7 +1389,7 @@ y, despejando . Como -\begin_inset Formula $B:=(b_{ij}):=M_{1}A$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq (b_{ij})\coloneqq M_{1}A$ \end_inset tiene la misma primera fila que @@ -1491,7 +1497,7 @@ Si lo fuera, las columnas serían linealmente dependientes y existiría \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{A}:=y^{*}Ax$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{A}\coloneqq y^{*}Ax$ \end_inset es un producto escalar en @@ -1499,7 +1505,7 @@ Si lo fuera, las columnas serían linealmente dependientes y existiría \end_inset y -\begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{A}:=\sqrt{x^{*}Ax}$ +\begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{A}\coloneqq \sqrt{x^{*}Ax}$ \end_inset es una norma, la @@ -1523,7 +1529,7 @@ Para \end_inset , -\begin_inset Formula $B:=X^{t}AX\in{\cal M}_{k}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq X^{t}AX\in{\cal M}_{k}$ \end_inset es PD. @@ -1734,7 +1740,7 @@ Sea \end_inset ortogonal con -\begin_inset Formula $D:=O^{t}AO$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq O^{t}AO$ \end_inset diagonal. @@ -1824,7 +1830,7 @@ Sea \end_inset es PD, -\begin_inset Formula $\sqrt{D}:=\text{diag}(\sqrt{D_{11}},\dots,\sqrt{D_{nn}})$ +\begin_inset Formula $\sqrt{D}\coloneqq \text{diag}(\sqrt{D_{11}},\dots,\sqrt{D_{nn}})$ \end_inset tiene diagonal positiva, y como @@ -1836,7 +1842,7 @@ Sea \end_inset , basta tomar -\begin_inset Formula $L_{C}:=L\sqrt{D}$ +\begin_inset Formula $L_{C}\coloneqq L\sqrt{D}$ \end_inset y entonces @@ -1991,7 +1997,7 @@ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ \end_inset si -\begin_inset Formula $\delta_{0},\delta_{1}:=1$ +\begin_inset Formula $\delta_{0},\delta_{1}\coloneqq 1$ \end_inset y, para @@ -1999,7 +2005,7 @@ si \end_inset , -\begin_inset Formula $\delta_{k}:=b_{k}\delta_{k-1}-a_{k}c_{k-1}\delta_{k-2}$ +\begin_inset Formula $\delta_{k}\coloneqq b_{k}\delta_{k-1}-a_{k}c_{k-1}\delta_{k-2}$ \end_inset , entonces @@ -2131,7 +2137,7 @@ H_{v}a=a-\frac{2}{v^{*}v}vv^{*}a=a-\frac{2v^{*}a}{\Vert v\Vert^{2}}v=a-\frac{2\V \end_inset , pero -\begin_inset Formula $p:=(\Vert a\Vert\cos\alpha)\frac{v}{\Vert v\Vert}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq (\Vert a\Vert\cos\alpha)\frac{v}{\Vert v\Vert}$ \end_inset es la proyección de @@ -2208,7 +2214,7 @@ Dados \end_inset , las matrices -\begin_inset Formula $A_{\gamma}:=H_{a+(\gamma,0,\dots,0)}$ +\begin_inset Formula $A_{\gamma}\coloneqq H_{a+(\gamma,0,\dots,0)}$ \end_inset con @@ -2246,11 +2252,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $e_{1}:=(1,0,\dots,0)$ +\begin_inset Formula $e_{1}\coloneqq (1,0,\dots,0)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $v_{\gamma}:=a+\gamma e_{1}$ +\begin_inset Formula $v_{\gamma}\coloneqq a+\gamma e_{1}$ \end_inset , entonces @@ -2350,11 +2356,11 @@ noprefix "false" \end_inset haciendo -\begin_inset Formula $R:=H_{m}\cdots H_{1}A$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq H_{m}\cdots H_{1}A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $Q:=(H_{m}\cdots H_{1})^{-1}=H_{1}^{-1}\cdots H_{m}^{-1}=H_{1}^{*}\cdots H_{m}^{*}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq (H_{m}\cdots H_{1})^{-1}=H_{1}^{-1}\cdots H_{m}^{-1}=H_{1}^{*}\cdots H_{m}^{*}$ \end_inset . @@ -2383,7 +2389,9 @@ times n$.} \backslash -Salida{Factorización $(Q,R:=(r_{ij}))$ de $A$.} +Salida{Factorización $(Q,R +\backslash +coloneqq (r_{ij}))$ de $A$.} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -2722,7 +2730,7 @@ Si Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $K:=\{g\in G\mid \Vert f-g\Vert\leq\Vert f\Vert\}$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq \{g\in G\mid \Vert f-g\Vert\leq\Vert f\Vert\}$ \end_inset , @@ -2923,7 +2931,7 @@ Sean \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $\alpha:=\inf_{h\in C}\Vert h\Vert$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \inf_{h\in C}\Vert h\Vert$ \end_inset , para @@ -3280,7 +3288,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $G:=\text{span}(A_{1},\dots,A_{n})$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{span}(A_{1},\dots,A_{n})$ \end_inset , la mejor aproximación @@ -113,7 +113,7 @@ método iterativo de resolución \end_inset tal que la solución del sistema es el único punto fijo de -\begin_inset Formula $\Phi(x):=Tx+c$ +\begin_inset Formula $\Phi(x)\coloneqq Tx+c$ \end_inset . @@ -126,11 +126,11 @@ método iterativo de resolución \end_inset dada por -\begin_inset Formula $x_{0}:=x$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq x$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=\Phi(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq\Phi(x_{k})$ \end_inset converge hacia el punto fijo, @@ -158,11 +158,11 @@ Sea \end_inset , la sucesión -\begin_inset Formula $x_{0}:=y$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq y$ \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=Tx_{k}+c$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq Tx_{k}+c$ \end_inset , converge. @@ -186,7 +186,7 @@ Entonces existe una norma matricial tal que \end_inset , y si -\begin_inset Formula $\Phi(x):=Tx+c$ +\begin_inset Formula $\Phi(x)\coloneqq Tx+c$ \end_inset , @@ -227,7 +227,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $y:=x-v$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq x-v$ \end_inset y @@ -293,7 +293,7 @@ Dado un sistema lineal método iterativo de Richardson \series default para una matriz -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq(a_{ij})$ \end_inset sin ceros en la diagonal consiste en tomar como matriz fácil de invertir @@ -351,15 +351,15 @@ En adelante, \begin_layout Standard Para el método de Jacobi tomamos -\begin_inset Formula $M:=D$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq D$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N:=-(L+U)$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq-(L+U)$ \end_inset , y nos queda el método iterativo -\begin_inset Formula $(T_{J}:=-D^{-1}(L+U),D^{-1}b)$ +\begin_inset Formula $(T_{J}\coloneqq-D^{-1}(L+U),D^{-1}b)$ \end_inset . @@ -368,7 +368,7 @@ Para el método de Jacobi tomamos \begin_layout Standard Para calcular de forma eficiente, en cada iteración calculamos -\begin_inset Formula $r_{k}:=Ax_{k}-b$ +\begin_inset Formula $r_{k}\coloneqq Ax_{k}-b$ \end_inset y @@ -426,15 +426,15 @@ x_{(k+1)i}:=x_{ki}-\frac{\tilde{r}_{ki}}{a_{ii}}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_{i}-\su \end_inset Esto es el método -\begin_inset Formula $(T_{G}:=-(L+D)^{-1}U,(L+D)^{-1}b)$ +\begin_inset Formula $(T_{G}\coloneqq-(L+D)^{-1}U,(L+D)^{-1}b)$ \end_inset , equivalente a tomar -\begin_inset Formula $M:=L+D$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq L+D$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N:=-U$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq-U$ \end_inset . @@ -576,7 +576,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $z:=T_{G}y$ +\begin_inset Formula $z\coloneqq T_{G}y$ \end_inset , con lo que @@ -630,7 +630,7 @@ Por tanto \end_inset y, tomando -\begin_inset Formula $y:=(1,\dots,1)_{\infty}$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq(1,\dots,1)_{\infty}$ \end_inset , @@ -683,7 +683,7 @@ entonces . En efecto, sea -\begin_inset Formula $Q(\lambda):=\text{diag}(\lambda,\lambda^{2},\dots,\lambda^{n})$ +\begin_inset Formula $Q(\lambda)\coloneqq\text{diag}(\lambda,\lambda^{2},\dots,\lambda^{n})$ \end_inset , es fácil ver que @@ -696,11 +696,11 @@ entonces \end_inset son los ceros de -\begin_inset Formula $p_{J}(\lambda):=\det(-D^{-1}(L+U)-\lambda I_{n})$ +\begin_inset Formula $p_{J}(\lambda)\coloneqq\det(-D^{-1}(L+U)-\lambda I_{n})$ \end_inset , que son los mismos que los de -\begin_inset Formula $q_{J}(\lambda):=\det(L+U+\lambda D)$ +\begin_inset Formula $q_{J}(\lambda)\coloneqq\det(L+U+\lambda D)$ \end_inset . @@ -709,11 +709,11 @@ entonces \end_inset son los ceros de -\begin_inset Formula $p_{G}(\lambda):=\det(-(L+D)^{-1}U-\lambda I_{n})$ +\begin_inset Formula $p_{G}(\lambda)\coloneqq\det(-(L+D)^{-1}U-\lambda I_{n})$ \end_inset , que son los de -\begin_inset Formula $q_{G}(\lambda):=\det(U+\lambda L+\lambda D)$ +\begin_inset Formula $q_{G}(\lambda)\coloneqq\det(U+\lambda L+\lambda D)$ \end_inset . @@ -772,15 +772,15 @@ x_{(k+1)i}:=x_{ki}-\frac{\omega}{a_{ii}}\tilde{r}_{ki} en el método de Gauss-Seidel. Entonces el método es -\begin_inset Formula $(T_{R}(\omega):=(D+\omega L)^{-1}((1-\omega)D-\omega U),(D+\omega L)^{-1}\omega)$ +\begin_inset Formula $(T_{R}(\omega)\coloneqq(D+\omega L)^{-1}((1-\omega)D-\omega U),(D+\omega L)^{-1}\omega)$ \end_inset , que equivale a tomar -\begin_inset Formula $M:=\frac{1}{\omega}D+L$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq\frac{1}{\omega}D+L$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N:=\frac{1-\omega}{\omega}D-U$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq\frac{1-\omega}{\omega}D-U$ \end_inset . @@ -877,11 +877,11 @@ Si Demostración: \series default Si -\begin_inset Formula $M:=\frac{1}{\omega}D+L$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq\frac{1}{\omega}D+L$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N:=\frac{1-\omega}{\omega}D-U$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq\frac{1-\omega}{\omega}D-U$ \end_inset , @@ -907,7 +907,7 @@ Demostración: . En dimensión finita, -\begin_inset Formula $\Vert M^{-1}N\Vert_{A}=\max\{\Vert M^{-1}Nv\Vert_{A}\mid \Vert v\Vert_{A}=1\}$ +\begin_inset Formula $\Vert M^{-1}N\Vert_{A}=\max\{\Vert M^{-1}Nv\Vert_{A}\mid\Vert v\Vert_{A}=1\}$ \end_inset . @@ -924,7 +924,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $w:=M^{-1}Av$ +\begin_inset Formula $w\coloneqq M^{-1}Av$ \end_inset , entonces @@ -1007,7 +1007,7 @@ Si \end_inset si y sólo si minimiza -\begin_inset Formula $g(x):=x^{t}Ax-2x^{t}b$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x^{t}Ax-2x^{t}b$ \end_inset , y para @@ -1015,7 +1015,7 @@ Si \end_inset , el mínimo de -\begin_inset Formula $h(t):=g(x+tv)$ +\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq g(x+tv)$ \end_inset es @@ -1171,7 +1171,7 @@ método del descenso rápido \end_inset y hacer -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=x_{k}-\alpha\nabla g(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq x_{k}-\alpha\nabla g(x_{k})$ \end_inset , donde @@ -1585,7 +1585,7 @@ precondicionamiento \end_inset fácil de invertir tal que -\begin_inset Formula $\tilde{A}:=C^{-1}A(C^{-1})^{t}$ +\begin_inset Formula $\tilde{A}\coloneqq C^{-1}A(C^{-1})^{t}$ \end_inset es SPD y @@ -1594,7 +1594,7 @@ precondicionamiento . Llamando -\begin_inset Formula $\tilde{x}:=C^{t}x$ +\begin_inset Formula $\tilde{x}\coloneqq C^{t}x$ \end_inset , el sistema @@ -181,15 +181,15 @@ Sean \end_inset las sucesiones dadas por -\begin_inset Formula $x_{0}:=p$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq p$ \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=Ax_{k}$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq Ax_{k}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $r_{k}:=\frac{\langle x_{k+1},y\rangle}{\langle x_{k},y\rangle}$ +\begin_inset Formula $r_{k}\coloneqq \frac{\langle x_{k+1},y\rangle}{\langle x_{k},y\rangle}$ \end_inset , entonces @@ -214,7 +214,7 @@ Sean Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $\phi(x):=\langle x,y\rangle$ +\begin_inset Formula $\phi(x)\coloneqq \langle x,y\rangle$ \end_inset , @@ -317,11 +317,11 @@ En la práctica no se calcula \end_inset dada por -\begin_inset Formula $y_{0}:=\frac{x_{0}}{\Vert x_{0}\Vert}$ +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq \frac{x_{0}}{\Vert x_{0}\Vert}$ \end_inset e -\begin_inset Formula $y_{k+1}:=\frac{Ay_{k}}{\Vert Ay_{k}\Vert}$ +\begin_inset Formula $y_{k+1}\coloneqq \frac{Ay_{k}}{\Vert Ay_{k}\Vert}$ \end_inset , y entonces @@ -457,7 +457,7 @@ método de Jacobi de giros en planos determinados por dos vectores de la base canónica de forma que -\begin_inset Formula $(A_{k}:=(O_{1}\cdots O_{k})^{t}A(O_{1}\cdots O_{k}))_{k}$ +\begin_inset Formula $(A_{k}\coloneqq (O_{1}\cdots O_{k})^{t}A(O_{1}\cdots O_{k}))_{k}$ \end_inset , que podemos obtener como @@ -481,7 +481,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ \end_inset simétrica, @@ -689,7 +689,7 @@ egroup \end_inset y -\begin_inset Formula $B:=(b_{ij}):=O^{t}AO$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq (b_{ij})\coloneqq O^{t}AO$ \end_inset , entonces: @@ -839,7 +839,7 @@ de donde se obtiene la primera parte del enunciado. \end_inset , y dada -\begin_inset Formula $C:=(c_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq (c_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ \end_inset , @@ -885,7 +885,7 @@ Para el \end_inset descrito en el apartado anterior, sean -\begin_inset Formula $x:=\frac{a_{qq}-a_{pp}}{2a_{pq}}$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \frac{a_{qq}-a_{pp}}{2a_{pq}}$ \end_inset , @@ -900,11 +900,11 @@ t:=\begin{cases} \end_inset -\begin_inset Formula $c:=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $s:=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}$ \end_inset , para @@ -926,11 +926,11 @@ b_{pi}=b_{ip} & =ca_{ip}-sa_{iq}, & b_{qi}=b_{iq} & =sa_{ip}+ca_{iq}, & b_{ij} & \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $x:=\frac{a_{qq}-a_{pp}}{2a_{pq}}$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \frac{a_{qq}-a_{pp}}{2a_{pq}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $t:=\tan\theta$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq \tan\theta$ \end_inset . @@ -1036,7 +1036,9 @@ status open \backslash -Entrada{Matriz simétrica real $A:=(a_{ij})$ de tamaño $n$ y nivel de tolerancia +Entrada{Matriz simétrica real $A +\backslash +coloneqq (a_{ij})$ de tamaño $n$ y nivel de tolerancia a errores $e>0$.} \end_layout @@ -1644,7 +1646,7 @@ Para la primera parte del teorema, sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\varepsilon_{k}:=\sum_{i\neq j}(a_{kij})^{2}$ +\begin_inset Formula $\varepsilon_{k}\coloneqq \sum_{i\neq j}(a_{kij})^{2}$ \end_inset . @@ -1747,7 +1749,7 @@ de donde \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $D_{k}:=\text{diag}(a_{k11},\dots,a_{knn})$ +\begin_inset Formula $D_{k}\coloneqq \text{diag}(a_{k11},\dots,a_{knn})$ \end_inset . @@ -2096,11 +2098,11 @@ Dada una matriz \end_inset como -\begin_inset Formula $A_{0}:=A$ +\begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $A_{k+1}:=R_{k}Q_{k}$ +\begin_inset Formula $A_{k+1}\coloneqq R_{k}Q_{k}$ \end_inset , donde @@ -2119,11 +2121,11 @@ Dada una matriz \begin_layout Standard Para obtener una aproximación de los valores propios a partir de una aproximació n -\begin_inset Formula $A_{p}:=(u_{ij})$ +\begin_inset Formula $A_{p}\coloneqq (u_{ij})$ \end_inset de dicha matriz, definimos una matriz -\begin_inset Formula $V:=(v_{ij})\in{\cal M}_{n}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq (v_{ij})\in{\cal M}_{n}$ \end_inset dada por @@ -319,7 +319,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=f(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq f(x_{k})$ \end_inset converge. @@ -343,7 +343,7 @@ begin{samepage} \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $R:=[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq [a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]$ \end_inset , @@ -399,7 +399,7 @@ La aceleración de Gauss-Seidel \series default de una iteración de punto fijo consiste en considerar, en vez de -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=g(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq g(x_{k})$ \end_inset , @@ -483,11 +483,11 @@ teorema \end_inset , la sucesión dada por -\begin_inset Formula $x_{0}:=x$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq x$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=x_{k}-df(x_{k})^{-1}f(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq x_{k}-df(x_{k})^{-1}f(x_{k})$ \end_inset converge a @@ -523,7 +523,7 @@ Demostración : \series default Queremos ver que -\begin_inset Formula $g(x):=x-df(x)^{-1}f(x)$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x-df(x)^{-1}f(x)$ \end_inset es contractiva cerca de @@ -660,7 +660,7 @@ Para \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\varphi(t):=f(y+t(x-y))$ +\begin_inset Formula $\varphi(t)\coloneqq f(y+t(x-y))$ \end_inset , por la regla de la cadena, @@ -703,7 +703,7 @@ Cuando esto se cumple, \end_inset y tomando -\begin_inset Formula $M:=\frac{K}{2}\sup_{x\in B(\xi,r)}\Vert df(x)^{-1}\Vert$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \frac{K}{2}\sup_{x\in B(\xi,r)}\Vert df(x)^{-1}\Vert$ \end_inset se obtiene la acotación. @@ -759,7 +759,7 @@ A_{k}:=A_{k-1}+\frac{1}{\Vert x_{k}-x_{k-1}\Vert_{2}^{2}}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1}) \end_inset tomando -\begin_inset Formula $A_{0}:=df(x_{0})$ +\begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq df(x_{0})$ \end_inset . @@ -1137,7 +1137,7 @@ noprefix "false" \end_inset , y consiste en minimizar la función -\begin_inset Formula $g(x):=\Vert f(x)\Vert_{2}^{2}$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq \Vert f(x)\Vert_{2}^{2}$ \end_inset desplazándonos, en cada iteración, en la dirección de mayor descenso en @@ -1853,7 +1853,7 @@ irregular \begin_layout Standard Algunas topologías regulares simétricas, donde -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}:=\{0,\dots,n-1\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq \{0,\dots,n-1\}$ \end_inset : @@ -1885,7 +1885,7 @@ Mallas \end_inset con -\begin_inset Formula $V:=\mathbb{N}_{d_{1}}\times\dots\times\mathbb{N}_{d_{n}}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq \mathbb{N}_{d_{1}}\times\dots\times\mathbb{N}_{d_{n}}$ \end_inset y @@ -1929,7 +1929,7 @@ Toros \end_inset con -\begin_inset Formula $V:=\mathbb{N}_{d_{1}}\times\dots\times\mathbb{N}_{d_{n}}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq \mathbb{N}_{d_{1}}\times\dots\times\mathbb{N}_{d_{n}}$ \end_inset y @@ -4442,7 +4442,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{gr}R:=|T|$ +\begin_inset Formula $\text{gr}R\coloneqq |T|$ \end_inset y @@ -4454,7 +4454,7 @@ dominio \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{dom}R_{i}:=T_{i}$ +\begin_inset Formula $\text{dom}R_{i}\coloneqq T_{i}$ \end_inset . @@ -4524,7 +4524,7 @@ Unión \end_inset , -\begin_inset Formula $R\cup S:=(R\cup S,T,N)$ +\begin_inset Formula $R\cup S\coloneqq (R\cup S,T,N)$ \end_inset . @@ -4540,7 +4540,7 @@ Intersección \end_inset , -\begin_inset Formula $R\cap S:=(R\cap S,T,N)$ +\begin_inset Formula $R\cap S\coloneqq (R\cap S,T,N)$ \end_inset . @@ -4556,7 +4556,7 @@ Diferencia \end_inset , -\begin_inset Formula $R-S:=(R\setminus S,T,N)$ +\begin_inset Formula $R-S\coloneqq (R\setminus S,T,N)$ \end_inset . @@ -4600,7 +4600,7 @@ Cuando \end_inset inclusiones, entonces -\begin_inset Formula $R\times S:=(R,T,L(N))\times(S,U,R(M))$ +\begin_inset Formula $R\times S\coloneqq (R,T,L(N))\times(S,U,R(M))$ \end_inset . @@ -4639,7 +4639,7 @@ condición \end_inset es una condición, -\begin_inset Formula $\sigma_{C}(R):=(\{r\in R\mid C(r)\},T,N)$ +\begin_inset Formula $\sigma_{C}(R)\coloneqq (\{r\in R\mid C(r)\},T,N)$ \end_inset , donde @@ -4754,7 +4754,7 @@ condición de reunión \end_inset es una condición de reunión, -\begin_inset Formula $R\bowtie_{C}S:=\sigma_{C}(R\times S)$ +\begin_inset Formula $R\bowtie_{C}S\coloneqq \sigma_{C}(R\times S)$ \end_inset . @@ -4768,7 +4768,7 @@ equi-reunión \series default . Definimos también -\begin_inset Formula $R\bowtie S:=R\times S$ +\begin_inset Formula $R\bowtie S\coloneqq R\times S$ \end_inset . @@ -4787,7 +4787,7 @@ El producto cartesiano ampliado y la reunión son asociativas, y son conmutativa Reunión natural \series default : Sea -\begin_inset Formula $\{j_{1},\dots,j_{p}\}\mid =\{j\mid M_{j}\notin\{N_{i}\}\}$ +\begin_inset Formula $\{j_{1},\dots,j_{p}\}\coloneqq \{j\mid M_{j}\notin\{N_{i}\}\}$ \end_inset , si para @@ -4819,7 +4819,7 @@ R\hexstar S:=(\{r*(s_{j_{1}},\dots,s_{j_{p}})\mid r\in R,s\in S,\forall i,j,(N_{ Reunión externa \series default : Sea -\begin_inset Formula $N_{k}:=\{\mathtt{NULL}\}^{k}$ +\begin_inset Formula $N_{k}\coloneqq \{\mathtt{NULL}\}^{k}$ \end_inset . @@ -4836,7 +4836,7 @@ reunión externa izquierda \end_inset como -\begin_inset Formula $R]\bowtie_{C}S:=R\bowtie_{C}S\cup(\{r\in R\mid \nexists s\in S\mid C(r,s)\}\times N_{m})$ +\begin_inset Formula $R]\bowtie_{C}S\coloneqq R\bowtie_{C}S\cup(\{r\in R\mid \nexists s\in S\mid C(r,s)\}\times N_{m})$ \end_inset , la @@ -4844,7 +4844,7 @@ reunión externa izquierda reunión externa derecha \series default como -\begin_inset Formula $R\bowtie[_{C}S:=R\bowtie_{C}S\cup(N_{n}\times\{s\in S\mid \nexists r\in R\mid C(r,s)\})$ +\begin_inset Formula $R\bowtie[_{C}S\coloneqq R\bowtie_{C}S\cup(N_{n}\times\{s\in S\mid \nexists r\in R\mid C(r,s)\})$ \end_inset y la @@ -4852,7 +4852,7 @@ reunión externa derecha reunión externa completa \series default como -\begin_inset Formula $R]\bowtie[_{C}S:=(R]\bowtie_{C}S)\cup(R\bowtie[_{C}S)$ +\begin_inset Formula $R]\bowtie[_{C}S\coloneqq (R]\bowtie_{C}S)\cup(R\bowtie[_{C}S)$ \end_inset . @@ -4864,7 +4864,7 @@ reunión externa completa División \series default : Si -\begin_inset Formula $N:=(N_{1},\dots,N_{n},M_{1},\dots,M_{m})$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq (N_{1},\dots,N_{n},M_{1},\dots,M_{m})$ \end_inset , entonces @@ -4910,7 +4910,7 @@ Funciones de agregados es el nombre de una de estas funciones, definimos la función de agregados -\begin_inset Formula $O_{N_{i}}(R):=O_{r\in R,r_{i}\neq\mathtt{NULL}}r_{i}$ +\begin_inset Formula $O_{N_{i}}(R)\coloneqq O_{r\in R,r_{i}\neq\mathtt{NULL}}r_{i}$ \end_inset . @@ -737,7 +737,7 @@ Una gramática \series default es una tupla -\begin_inset Formula $G:=(V_{N},V_{T},P,S)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V_{N},V_{T},P,S)$ \end_inset donde @@ -827,7 +827,7 @@ deriva directamente . Si -\begin_inset Formula $\alpha=:\gamma_{0}\Rightarrow\dots\Rightarrow\gamma_{n}:=\beta$ +\begin_inset Formula $\alpha=:\gamma_{0}\Rightarrow\dots\Rightarrow\gamma_{n}\coloneqq \beta$ \end_inset , @@ -901,7 +901,7 @@ Una forma sentencial \series default es un elemento de -\begin_inset Formula $D(G):=\{\alpha\in(V_{N}\cup V_{T})^{*}\mid S\Rightarrow^{*}\alpha\}$ +\begin_inset Formula $D(G)\coloneqq \{\alpha\in(V_{N}\cup V_{T})^{*}\mid S\Rightarrow^{*}\alpha\}$ \end_inset , y una @@ -909,7 +909,7 @@ forma sentencial sentencia \series default es un elemento de -\begin_inset Formula ${\cal L}(G):=D(G)\cap V_{T}^{*}$ +\begin_inset Formula ${\cal L}(G)\coloneqq D(G)\cap V_{T}^{*}$ \end_inset , el @@ -219,7 +219,7 @@ expresiones regulares y que los tres operadores son asociativos por la izquierda, y se puede escribir -\begin_inset Formula $\alpha\beta:=\alpha\circ\beta$ +\begin_inset Formula $\alpha\beta\coloneqq \alpha\circ\beta$ \end_inset . @@ -235,11 +235,11 @@ Toda expresión regular \end_inset , dado por -\begin_inset Formula $L(\emptyset):=\emptyset$ +\begin_inset Formula $L(\emptyset)\coloneqq \emptyset$ \end_inset ; -\begin_inset Formula $L(\lambda):=\{\lambda\}$ +\begin_inset Formula $L(\lambda)\coloneqq \{\lambda\}$ \end_inset ; si @@ -247,7 +247,7 @@ Toda expresión regular \end_inset , -\begin_inset Formula $L(a):=\{a\}$ +\begin_inset Formula $L(a)\coloneqq \{a\}$ \end_inset , y si @@ -259,15 +259,15 @@ Toda expresión regular \end_inset son expresiones regulares, -\begin_inset Formula $L(\alpha|\beta):=L(\alpha)\cup L(\beta)$ +\begin_inset Formula $L(\alpha|\beta)\coloneqq L(\alpha)\cup L(\beta)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $L(\alpha\beta):=L(\alpha)L(\beta)$ +\begin_inset Formula $L(\alpha\beta)\coloneqq L(\alpha)L(\beta)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $L(\alpha^{*}):=L(\alpha)^{*}$ +\begin_inset Formula $L(\alpha^{*})\coloneqq L(\alpha)^{*}$ \end_inset . @@ -168,7 +168,7 @@ Fundamentos teóricos \begin_layout Standard Dada una gramática libre de contexto (GLC) -\begin_inset Formula $G:=(V_{N},V_{T},P,S)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V_{N},V_{T},P,S)$ \end_inset , una derivación directa @@ -265,7 +265,7 @@ reducción por la izquierda \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $\gamma A\mu\Rightarrow\alpha:=\gamma\beta\mu$ +\begin_inset Formula $\gamma A\mu\Rightarrow\alpha\coloneqq \gamma\beta\mu$ \end_inset , @@ -468,7 +468,7 @@ Un autómata de pila \series default es una tupla -\begin_inset Formula $M:=(Q,V,\Sigma,\delta,q_{0},z_{0},F)$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq (Q,V,\Sigma,\delta,q_{0},z_{0},F)$ \end_inset donde @@ -633,7 +633,7 @@ Algunas características de los lenguajes de programación no son libres de \begin_layout Itemize Declaración de identificadores. -\begin_inset Formula $L_{1}:=\{wcw\mid w\in\{a,b\}^{*}\}$ +\begin_inset Formula $L_{1}\coloneqq \{wcw\mid w\in\{a,b\}^{*}\}$ \end_inset , donde en @@ -658,7 +658,7 @@ Declaración de identificadores. \begin_layout Itemize Número de parámetros de las funciones. Si -\begin_inset Formula $L_{2}:=\{a^{n}b^{m}c^{n}d^{m}\mid n,m\geq1\}$ +\begin_inset Formula $L_{2}\coloneqq \{a^{n}b^{m}c^{n}d^{m}\mid n,m\geq1\}$ \end_inset , donde una @@ -1768,7 +1768,7 @@ Método SLR \begin_layout Standard Dadas una gramática -\begin_inset Formula $G:=(V_{N},V_{T},P,S)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V_{N},V_{T},P,S)$ \end_inset y @@ -2697,7 +2697,7 @@ noprefix "false" \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $\mathsf{Goto}(I,X):=\mathsf{Clausura}(\{[A\to\alpha X\cdot\beta,a]\}_{[A\to\alpha\cdot X\beta,a]\in I})$ +\begin_inset Formula $\mathsf{Goto}(I,X)\coloneqq \mathsf{Clausura}(\{[A\to\alpha X\cdot\beta,a]\}_{[A\to\alpha\cdot X\beta,a]\in I})$ \end_inset . @@ -3251,7 +3251,7 @@ Si, para \end_inset , -\begin_inset Formula $\rho(I):=\{R\mid \exists a\in V_{T}\mid [R,a]\in I\}$ +\begin_inset Formula $\rho(I)\coloneqq \{R\mid \exists a\in V_{T}\mid [R,a]\in I\}$ \end_inset , para @@ -3532,7 +3532,7 @@ Modo pánico: Se extraen pares de elementos de la pila hasta encontrar un \end_inset con -\begin_inset Formula $s':=\mathsf{IrA}(s,A)$ +\begin_inset Formula $s'\coloneqq \mathsf{IrA}(s,A)$ \end_inset definido, que no se llega a extraer; se introducen @@ -3965,7 +3965,9 @@ Salida{GLC $(V_N,V_T,P',S)$ equivalente sin reglas unitarias.} \backslash lPara{$A \backslash -in V_N$}{$U(A):= +in V_N$}{$U(A) +\backslash +coloneqq \backslash {B \backslash @@ -4570,7 +4572,9 @@ Llamar $ \backslash dots,A_n \backslash -}:=V_N$ con $A_1=S$ +} +\backslash +coloneqq V_N$ con $A_1=S$ \backslash ; \end_layout @@ -5179,7 +5183,7 @@ tabla de análisis \end_inset dada por -\begin_inset Formula $M(A,a):=\{A\to\alpha\in P\mid a\in\mathsf{Predict}(A\to\alpha)\}$ +\begin_inset Formula $M(A,a)\coloneqq \{A\to\alpha\in P\mid a\in\mathsf{Predict}(A\to\alpha)\}$ \end_inset , que a cada no terminal a derivar y terminal siguiente en la entrada le @@ -606,7 +606,7 @@ imagen inversa \end_inset como -\begin_inset Formula $f(Y)^{-1}:=f^{-1}(Y):=\{a\in A|f(a)\in Y\}$ +\begin_inset Formula $f(Y)^{-1}\coloneqq f^{-1}(Y)\coloneqq \{a\in A|f(a)\in Y\}$ \end_inset . @@ -835,7 +835,7 @@ Sea \end_inset , por lo que existe -\begin_inset Formula $c:=\min B$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \min B$ \end_inset . @@ -1110,7 +1110,7 @@ Identificamos los enteros con los \end_inset , escribimos -\begin_inset Formula $\frac{m}{n}:=[(m,n)]$ +\begin_inset Formula $\frac{m}{n}\coloneqq [(m,n)]$ \end_inset y denotamos con @@ -2100,7 +2100,7 @@ raíz Así, todo número complejo tiene \begin_inset Formula \[ -\phi(n)=|\{m\in\{1,\dots,n-1\}\mid \text{mcd}(m,n)=1\}| +\phi(n)=|\{m\in\{1,\dots,n-1\}\mid\text{mcd}(m,n)=1\}| \] \end_inset @@ -806,7 +806,7 @@ El máximo común divisor de Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $d:=\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})$ \end_inset , como @@ -814,7 +814,7 @@ Demostración: \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $d|(f:=\text{mcd}(a_{1},a_{2})),a_{3},\dots,a_{n}|e:=\text{mcd}(\text{mcd}(a_{1},a_{2}),a_{3},\dots,a_{n})$ +\begin_inset Formula $d|(f\coloneqq \text{mcd}(a_{1},a_{2})),a_{3},\dots,a_{n}|e\coloneqq \text{mcd}(\text{mcd}(a_{1},a_{2}),a_{3},\dots,a_{n})$ \end_inset y por tanto @@ -1735,7 +1735,7 @@ teorema \end_inset , el número -\begin_inset Formula $N:=p_{1}\cdots p_{n}+1$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq p_{1}\cdots p_{n}+1$ \end_inset también lo es. @@ -2127,7 +2127,7 @@ La ecuación \end_inset tiene solución si y sólo si -\begin_inset Formula $d:=\text{mcd}(a,m)|b$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \text{mcd}(a,m)|b$ \end_inset , y las soluciones son todos los enteros @@ -2232,7 +2232,7 @@ x\equiv b_{k} & (m_{k}) \end_inset tiene solución única módulo -\begin_inset Formula $M:=m_{1}\cdots m_{k}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq m_{1}\cdots m_{k}$ \end_inset . @@ -453,7 +453,7 @@ divisor \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A|B\land B|A\implies\exists\mu\in K\backslash\{0\}\mid A=\mu B$ +\begin_inset Formula $A|B\land B|A\implies\exists\mu\in K\backslash\{0\}:A=\mu B$ \end_inset . diff --git a/ealg/n1.lyx b/ealg/n1.lyx index a5d022d..c0fcd21 100644 --- a/ealg/n1.lyx +++ b/ealg/n1.lyx @@ -211,7 +211,7 @@ polinomios constantes \begin_layout Standard Dado -\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ \end_inset , llamamos @@ -223,7 +223,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{gr}(p):=\max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ \end_inset , @@ -831,7 +831,7 @@ euclídea \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D\mid (a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ +\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D:(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ \end_inset . @@ -968,7 +968,7 @@ Para \end_inset , existe -\begin_inset Formula $m:=\max\{k\in\mathbb{N}\mid (X-a)^{k}\mid f\}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid (X-a)^{k}\mid f\}$ \end_inset . @@ -1155,19 +1155,19 @@ Dado un anillo [...] derivada \series default de -\begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ \end_inset como -\begin_inset Formula $P':=[...]:=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ +\begin_inset Formula $P'\coloneqq [...]\coloneqq \sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ \end_inset , y escribimos -\begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$ +\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$ \end_inset y -\begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$ +\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$ \end_inset . @@ -1605,7 +1605,7 @@ Como \end_inset no es cero ni unidad, -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f>0$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f>0$ \end_inset , y como el coeficiente principal de @@ -1634,7 +1634,7 @@ Como \end_deeper \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\neq0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\neq0$ \end_inset , @@ -1713,7 +1713,7 @@ Para \end_inset y, sea -\begin_inset Formula $g:=\sum_{j}b_{j}X^{j}$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \sum_{j}b_{j}X^{j}$ \end_inset , @@ -1875,7 +1875,7 @@ teorema \end_inset ], -\begin_inset Formula $c(p):=\{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ +\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq \{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ \end_inset , y [...] si @@ -2003,11 +2003,11 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ \end_inset , todas las raíces de @@ -2043,11 +2043,11 @@ Criterio de reducción: \end_inset es primo, -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ \end_inset es primitivo, -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ \end_inset , @@ -2083,11 +2083,11 @@ Criterio de Eisenstein: \end_inset un DFU, -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset primitivo y -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ \end_inset , si existe un irreducible @@ -2157,7 +2157,7 @@ La irreducibilidad se conserva por automorfismos de dominios, por lo que \end_inset , -\begin_inset Formula $f:=X^{6}+X^{3}+1$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq X^{6}+X^{3}+1$ \end_inset es irreducible, pues @@ -2181,7 +2181,7 @@ Si \end_inset es primo, -\begin_inset Formula $f(X):=\frac{X^{p}-1}{X-1}=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots+X+1$ +\begin_inset Formula $f(X)\coloneqq \frac{X^{p}-1}{X-1}=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots+X+1$ \end_inset es irreducible en @@ -2275,7 +2275,7 @@ recíproco \end_inset son los ceros de -\begin_inset Formula $f(x):=p(x)/x^{n/2}:K^{*}\to K$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq p(x)/x^{n/2}:K^{*}\to K$ \end_inset , que será de la forma @@ -2287,12 +2287,12 @@ f(x)=p_{0}x^{k}+\dots+p_{k-1}x+p_{k}+p_{k-1}x^{-1}+\dots+p_{0}x^{-k}, \end_inset donde -\begin_inset Formula $k:=n/2$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq n/2$ \end_inset . Haciendo el cambio de variable -\begin_inset Formula $y:=x+x^{-1}$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq x+x^{-1}$ \end_inset nos queda una función polinómica de grado @@ -2681,11 +2681,11 @@ primitiva \begin_layout Standard Dado -\begin_inset Formula $f:=Y^{3}+3pY+2q\in\mathbb{C}[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq Y^{3}+3pY+2q\in\mathbb{C}[X]$ \end_inset , si -\begin_inset Formula $\omega:=e^{2\pi i/3}$ +\begin_inset Formula $\omega\coloneqq e^{2\pi i/3}$ \end_inset , existe @@ -2878,7 +2878,7 @@ Para \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $f:=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\in\mathbb{C}[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq aX^{3}+bX^{2}+cX+d\in\mathbb{C}[X]$ \end_inset , podemos obtener las raíces de @@ -3078,7 +3078,7 @@ evaluación \end_inset viene dado por -\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n}):=S(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ \end_inset [, y @@ -3098,7 +3098,7 @@ valor \end_inset en -\begin_inset Formula $b:=(b_{1},\dots,b_{n})$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq (b_{1},\dots,b_{n})$ \end_inset ]. @@ -3212,11 +3212,11 @@ A[b_{1},\dots,b_{n}]\cong\frac{A[X_{1},\dots,X_{n}]}{\ker S}, \begin_layout Standard Por ejemplo, -\begin_inset Formula $b_{1}:=1/\pi$ +\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq 1/\pi$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b_{2}:=1+\sqrt{\pi}$ +\begin_inset Formula $b_{2}\coloneqq 1+\sqrt{\pi}$ \end_inset son algebraicamente dependientes, pues satisfaces @@ -3346,7 +3346,7 @@ Sean \end_inset con inversa -\begin_inset Formula $\tau:=\sigma^{-1}$ +\begin_inset Formula $\tau\coloneqq \sigma^{-1}$ \end_inset , tomando @@ -3371,7 +3371,7 @@ Sean que permuta las indeterminadas. [Llamamos -\begin_inset Formula $f^{\sigma}:=\hat{\sigma}(f)$ +\begin_inset Formula $f^{\sigma}\coloneqq \hat{\sigma}(f)$ \end_inset .] @@ -3413,7 +3413,7 @@ Todo homomorfismo de anillos conmutativos \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\hat{f}(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset . @@ -3859,11 +3859,11 @@ Demostración: y el resultado se sigue por inducción. Sean -\begin_inset Formula $f:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}a_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}a_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}b_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}b_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset , entonces @@ -3967,19 +3967,19 @@ Queremos ver que, para . Con esto, sean -\begin_inset Formula $A:=\{i\in\mathbb{N}^{n}\mid a_{i}\neq0\}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{i\in\mathbb{N}^{n}\mid a_{i}\neq0\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $B:=\{j\in\mathbb{N}^{n}\mid b_{j}\neq0\}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \{j\in\mathbb{N}^{n}\mid b_{j}\neq0\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $i^{*}:=\max A$ +\begin_inset Formula $i^{*}\coloneqq \max A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $j^{*}:=\max B$ +\begin_inset Formula $j^{*}\coloneqq \max B$ \end_inset , para diff --git a/ealg/n2.lyx b/ealg/n2.lyx index cbcd97d..14447e8 100644 --- a/ealg/n2.lyx +++ b/ealg/n2.lyx @@ -221,7 +221,7 @@ Algunas extensiones son \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $c:=(a+b\sqrt{m})(a-b\sqrt{m})=a^{2}-mb^{2}\in\mathbb{Q}\setminus0$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq (a+b\sqrt{m})(a-b\sqrt{m})=a^{2}-mb^{2}\in\mathbb{Q}\setminus0$ \end_inset , pues @@ -311,7 +311,7 @@ subanillo primo \end_inset a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1:=\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq \{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset , el menor subanillo de @@ -389,7 +389,7 @@ Demostración: \end_inset dado por -\begin_inset Formula $f(n):=n1$ +\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq n1$ \end_inset es un homomorfismo inyectivo y la propiedad universal nos da un homomorfismo @@ -403,7 +403,7 @@ Demostración: . Es claro entonces que -\begin_inset Formula $K':=\tilde{f}(\mathbb{Q})$ +\begin_inset Formula $K'\coloneqq \tilde{f}(\mathbb{Q})$ \end_inset es isomorfo a @@ -506,7 +506,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $[L:K]:=\dim_{K}L$ +\begin_inset Formula $[L:K]\coloneqq \dim_{K}L$ \end_inset , la dimensión de @@ -926,7 +926,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $a:=\sum_{i\in I}a_{i}\alpha_{1}^{i_{1}}\cdots\alpha_{p}^{i_{p}},b:=\sum_{j\in J}b_{i}\beta_{1}^{j_{1}}\cdots\beta_{q}^{i_{q}}\in K(S)$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \sum_{i\in I}a_{i}\alpha_{1}^{i_{1}}\cdots\alpha_{p}^{i_{p}},b\coloneqq \sum_{j\in J}b_{i}\beta_{1}^{j_{1}}\cdots\beta_{q}^{i_{q}}\in K(S)$ \end_inset , con @@ -1586,7 +1586,7 @@ Extensiones \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(\tau):=\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}$ +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(\tau)\coloneqq \sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}$ \end_inset es un isomorfismo de grupos, dado que @@ -1709,15 +1709,15 @@ status open \begin_layout Plain Layout Para esto se usa el transporte de estructuras. Sea -\begin_inset Formula $\varphi:K\to(L_{0}:=K[X]/(g))$ +\begin_inset Formula $\varphi:K\to(L_{0}\coloneqq K[X]/(g))$ \end_inset el homomorfismo -\begin_inset Formula $\varphi(a):=a+(g)$ +\begin_inset Formula $\varphi(a)\coloneqq a+(g)$ \end_inset , definimos -\begin_inset Formula $L:=K\amalg(L_{0}\setminus\varphi(K))$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq K\amalg(L_{0}\setminus\varphi(K))$ \end_inset y las operaciones en @@ -1725,11 +1725,11 @@ Para esto se usa el transporte de estructuras. \end_inset -\begin_inset Formula $a+b:=\psi^{-1}(\psi(a)+\psi(b))$ +\begin_inset Formula $a+b\coloneqq \psi^{-1}(\psi(a)+\psi(b))$ \end_inset y -\begin_inset Formula $ab:=(\psi(a)\psi(b))$ +\begin_inset Formula $ab\coloneqq (\psi(a)\psi(b))$ \end_inset , donde @@ -1737,7 +1737,7 @@ Para esto se usa el transporte de estructuras. \end_inset viene dado por -\begin_inset Formula $\psi(a):=\varphi(a)$ +\begin_inset Formula $\psi(a)\coloneqq \varphi(a)$ \end_inset para @@ -1745,7 +1745,7 @@ Para esto se usa el transporte de estructuras. \end_inset y -\begin_inset Formula $\psi(a):=a$ +\begin_inset Formula $\psi(a)\coloneqq a$ \end_inset para @@ -1812,7 +1812,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $L:=K[X]/(g)$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq K[X]/(g)$ \end_inset es un cuerpo. @@ -2092,7 +2092,7 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $\omega:=e^{2\pi i/n}\in\mathbb{C}$ +\begin_inset Formula $\omega\coloneqq e^{2\pi i/n}\in\mathbb{C}$ \end_inset , @@ -2315,7 +2315,7 @@ simple \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha:=[X]=X+I\in L$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq [X]=X+I\in L$ \end_inset la raíz, para @@ -2501,7 +2501,7 @@ Como \end_deeper \begin_layout Enumerate Sea -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ \end_inset , @@ -2542,7 +2542,7 @@ Si \end_inset pero entonces -\begin_inset Formula $g:=\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in K[X]\setminus0$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in K[X]\setminus0$ \end_inset tendría a @@ -2708,7 +2708,7 @@ Si \end_inset es primo y -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/p}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/p}$ \end_inset , @@ -2965,11 +2965,11 @@ Demostración: . Sean -\begin_inset Formula $F_{p}:=\mathbb{Q}[\sqrt{p}]$ +\begin_inset Formula $F_{p}\coloneqq \mathbb{Q}[\sqrt{p}]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $F_{q}:=\mathbb{Q}[\sqrt{q}]$ +\begin_inset Formula $F_{q}\coloneqq \mathbb{Q}[\sqrt{q}]$ \end_inset , @@ -2986,12 +2986,12 @@ Demostración: . Claramente -\begin_inset Formula $S:=\{a+b\sqrt{p}+c\sqrt{q}+d\sqrt{pq}\}_{a,b,c,d\in\mathbb{Q}}\subseteq F_{p}F_{q}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{a+b\sqrt{p}+c\sqrt{q}+d\sqrt{pq}\}_{a,b,c,d\in\mathbb{Q}}\subseteq F_{p}F_{q}$ \end_inset . Sea ahora -\begin_inset Formula $\alpha:=\sqrt{p}+\sqrt{q}\in S$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sqrt{p}+\sqrt{q}\in S$ \end_inset , @@ -3105,7 +3105,7 @@ status open \end_inset , es algebraico, y si -\begin_inset Formula $d:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset , @@ -3154,7 +3154,7 @@ Sean \end_inset un isomorfismo de cuerpos y -\begin_inset Formula $f':=\sigma(f)$ +\begin_inset Formula $f'\coloneqq \sigma(f)$ \end_inset con una raíz @@ -3213,7 +3213,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(g(\alpha)):=\sigma(g)(\alpha')$ +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(g(\alpha))\coloneqq \sigma(g)(\alpha')$ \end_inset , @@ -3415,7 +3415,7 @@ Sea \end_inset Sea -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset , sabemos que al ser @@ -3880,11 +3880,11 @@ grupo cíclico \end_inset a -\begin_inset Formula $C_{n}:=\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}\}$ +\begin_inset Formula $C_{n}\coloneqq \{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}\}$ \end_inset con [...] -\begin_inset Formula $a^{i}a^{j}:=a^{[i+j]_{n}}$ +\begin_inset Formula $a^{i}a^{j}\coloneqq a^{[i+j]_{n}}$ \end_inset [...]. @@ -3921,7 +3921,7 @@ D_{n}:=\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\dots,a^{n-1}b\} \end_inset con la operación -\begin_inset Formula $(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}}):=a^{[i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}]_{n}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}$ +\begin_inset Formula $(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}})\coloneqq a^{[i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}]_{n}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}$ \end_inset . @@ -3962,7 +3962,7 @@ Teorema de Lagrange: grupo alternado \series default [...] a -\begin_inset Formula $A_{n}:=\ker\text{sgn}$ +\begin_inset Formula $A_{n}\coloneqq \ker\text{sgn}$ \end_inset , el subgrupo de @@ -4227,7 +4227,7 @@ status open Demostración: \series default Llamando -\begin_inset Formula $m:=\text{Exp}K^{*}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{Exp}K^{*}$ \end_inset , @@ -4293,7 +4293,7 @@ Llamando . Entonces el orden de -\begin_inset Formula $a:=a_{1}+\dots+a_{k}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq a_{1}+\dots+a_{k}$ \end_inset es @@ -4318,7 +4318,7 @@ Sean \end_inset primo y -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/p}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/p}$ \end_inset , @@ -4363,7 +4363,7 @@ Demostración: \end_inset donde -\begin_inset Formula $\sigma_{k}(\xi):=\xi^{k}$ +\begin_inset Formula $\sigma_{k}(\xi)\coloneqq \xi^{k}$ \end_inset . @@ -4728,7 +4728,7 @@ cuerpo de números algebraicos cuerpo de los números algebraicos \series default a -\begin_inset Formula ${\cal A}:=\overline{\mathbb{Q}}_{\mathbb{C}}$ +\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \overline{\mathbb{Q}}_{\mathbb{C}}$ \end_inset , y @@ -4767,7 +4767,7 @@ números algebraicos \end_inset para -\begin_inset Formula $\xi_{p}:=e^{2\pi i/p}$ +\begin_inset Formula $\xi_{p}\coloneqq e^{2\pi i/p}$ \end_inset , pero @@ -4935,7 +4935,7 @@ Para \end_inset , existe -\begin_inset Formula $f:=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in L[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in L[X]$ \end_inset que tiene a diff --git a/ealg/n4.lyx b/ealg/n4.lyx index 4a46a08..3ad762c 100644 --- a/ealg/n4.lyx +++ b/ealg/n4.lyx @@ -242,7 +242,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $f:=f_{1}\cdots f_{n}$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq f_{1}\cdots f_{n}$ \end_inset , @@ -389,7 +389,7 @@ Un cuerpo de descomposición de \end_inset , con -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/n}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/n}$ \end_inset , que también es el cuerpo de descomposición de @@ -567,7 +567,7 @@ por hipótesis de inducción, entonces \end_inset y -\begin_inset Formula $m:=\text{gr}g$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{gr}g$ \end_inset , podemos suponer que @@ -635,11 +635,11 @@ Esta cota no es mejorable; por ejemplo, las raíces de \end_inset con -\begin_inset Formula $\alpha:=\sqrt[3]{2}$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sqrt[3]{2}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\omega:=e^{2\pi i/3}$ +\begin_inset Formula $\omega\coloneqq e^{2\pi i/3}$ \end_inset , luego un cuerpo de descomposición es @@ -691,7 +691,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $f':=\sigma(f)$ +\begin_inset Formula $f'\coloneqq \sigma(f)$ \end_inset , si @@ -754,7 +754,7 @@ status open Demostración: \series default Hacemos inducción en -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f=\text{gr}f'$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f=\text{gr}f'$ \end_inset . @@ -816,7 +816,7 @@ Demostración: \end_inset , y como -\begin_inset Formula $g':=\sigma(g)$ +\begin_inset Formula $g'\coloneqq \sigma(g)$ \end_inset es un divisor irreducible de @@ -877,7 +877,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $h':=\overline{\sigma}(h)$ +\begin_inset Formula $h'\coloneqq \overline{\sigma}(h)$ \end_inset , luego @@ -1072,7 +1072,7 @@ grupo de Galois \end_inset es -\begin_inset Formula $G_{f}:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G_{f}\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset . @@ -1089,7 +1089,7 @@ grupo de Galois \end_inset lleva raíces a raíces y por tanto -\begin_inset Formula $\sigma|_{\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}}\mid \{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}\to\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ +\begin_inset Formula $\sigma|_{\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}}:\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}\to\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ \end_inset es inyectiva por serlo @@ -1126,7 +1126,7 @@ Para el polinomio ciclotómico \end_inset primo, sea -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/p}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/p}$ \end_inset , @@ -1728,7 +1728,7 @@ Sean \end_inset uno de -\begin_inset Formula ${\cal P}':=\sigma({\cal P})$ +\begin_inset Formula ${\cal P}'\coloneqq \sigma({\cal P})$ \end_inset sobre @@ -1808,7 +1808,7 @@ Dado un anillo \end_inset dado por -\begin_inset Formula $h(a):=a^{p}$ +\begin_inset Formula $h(a)\coloneqq a^{p}$ \end_inset es un homomorfismo de anillos, el @@ -1919,7 +1919,7 @@ Como \end_inset y, tomando -\begin_inset Formula $n:=[K:\mathbb{Z}_{p}]$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq [K:\mathbb{Z}_{p}]$ \end_inset , @@ -1956,7 +1956,7 @@ Como \end_inset y por tanto de -\begin_inset Formula $f:=X^{p^{n}}-X$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq X^{p^{n}}-X$ \end_inset , que también es raíz del 0. @@ -2010,7 +2010,7 @@ Para cada \end_inset elementos y viene dado por -\begin_inset Formula $\mathbb{F}_{p^{n}}:=\{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\mid \alpha^{p^{n}}=\alpha\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{F}_{p^{n}}\coloneqq \{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\mid \alpha^{p^{n}}=\alpha\}$ \end_inset . @@ -2019,11 +2019,11 @@ Para cada \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $S:=\{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\mid \alpha^{p^{n}}=\alpha\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\mid \alpha^{p^{n}}=\alpha\}$ \end_inset el conjunto de raíces de -\begin_inset Formula $f:=X^{p^{n}}-X$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq X^{p^{n}}-X$ \end_inset en @@ -2158,7 +2158,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $t:=\frac{n}{m}$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq \frac{n}{m}$ \end_inset , para @@ -2212,7 +2212,7 @@ Sea \begin_deeper \begin_layout Standard Como -\begin_inset Formula $F:=X^{p^{n}}-X$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq X^{p^{n}}-X$ \end_inset no tiene raíces múltiples, no tiene factores repetidos y es pues el producto @@ -2359,7 +2359,7 @@ Como \end_inset son las raíces de -\begin_inset Formula $f:=X^{p^{n}}-X$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq X^{p^{n}}-X$ \end_inset , @@ -2438,7 +2438,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $L:=\mathbb{F}_{p^{nm}}$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq \mathbb{F}_{p^{nm}}$ \end_inset , entonces @@ -2521,7 +2521,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $h(x):=x^{p}$ +\begin_inset Formula $h(x)\coloneqq x^{p}$ \end_inset es biyectiva. diff --git a/ealg/n5.lyx b/ealg/n5.lyx index 18c97fd..6531d9e 100644 --- a/ealg/n5.lyx +++ b/ealg/n5.lyx @@ -112,7 +112,7 @@ de uno , y llamamos \begin_inset Formula \[ -{\cal U}_{n}(K):=\{\xi\in K\mid \xi^{n}=1\}=\{\xi\in K\mid o_{K^{*}}(\xi)\mid n\}. +{\cal U}_{n}(K):=\{\xi\in K\mid \xi^{n}=1\}=\left\{\xi\in K\;\middle|\;o_{K^{*}}(\xi)\mid n\right\}. \] \end_inset @@ -725,7 +725,7 @@ status open Probamos el contrarrecíproco. Si -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\mid n$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\mid n$ \end_inset , existe @@ -1155,11 +1155,11 @@ Como \end_inset y -\begin_inset Formula $m:=o(x)$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq o(x)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=o(y)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq o(y)$ \end_inset son coprimos, entonces @@ -1675,7 +1675,7 @@ La extensión ciclotómica de orden \end_inset , con -\begin_inset Formula $m:=o_{\mathbb{Z}_{n}^{*}}(p)$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq o_{\mathbb{Z}_{n}^{*}}(p)$ \end_inset . @@ -1741,7 +1741,7 @@ Dado un cuerpo \end_inset con -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\neq0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\neq0$ \end_inset y @@ -2047,7 +2047,7 @@ teorema \end_inset , luego si -\begin_inset Formula $\xi:=e^{2\pi i/n}$ +\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/n}$ \end_inset , diff --git a/ealg/n6.lyx b/ealg/n6.lyx index fd441a7..1b95789 100644 --- a/ealg/n6.lyx +++ b/ealg/n6.lyx @@ -239,11 +239,11 @@ Demostración: \end_inset , sean -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $R:=\{\alpha_{1}\mid =\alpha,\dots,\alpha_{m}\}$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq \{\alpha_{1}\coloneqq \alpha,\dots,\alpha_{m}\}$ \end_inset el conjunto de las raíces de @@ -354,7 +354,7 @@ teorema \end_inset Sean -\begin_inset Formula ${\cal P}:=\{f_{\alpha}\mid =\text{Irr}(\alpha,K)\}_{\alpha\in L}\subseteq K[X]\setminus0$ +\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq \{f_{\alpha}\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)\}_{\alpha\in L}\subseteq K[X]\setminus0$ \end_inset y @@ -595,7 +595,7 @@ Si \end_inset , sean -\begin_inset Formula $f_{\alpha}:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f_{\alpha}\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset para @@ -1129,7 +1129,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal P}:=\{\text{Irr}(\alpha,K)\}_{\alpha\in S}$ +\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq \{\text{Irr}(\alpha,K)\}_{\alpha\in S}$ \end_inset , entonces @@ -1244,7 +1244,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $S:=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ \end_inset , el conjunto @@ -1371,7 +1371,7 @@ Sean \end_inset el conjunto de raíces de los -\begin_inset Formula $f_{i}:=\text{Irr}(\alpha_{i},K)$ +\begin_inset Formula $f_{i}\coloneqq \text{Irr}(\alpha_{i},K)$ \end_inset en @@ -1432,7 +1432,7 @@ Sean \end_inset , con lo que -\begin_inset Formula $E_{j}:=\overline{\sigma}_{j}(L)$ +\begin_inset Formula $E_{j}\coloneqq \overline{\sigma}_{j}(L)$ \end_inset es un subcuerpo de @@ -1610,7 +1610,7 @@ Sea \end_deeper \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\neq0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\neq0$ \end_inset y @@ -1757,7 +1757,7 @@ status open \end_inset Si -\begin_inset Formula $p:=\text{car}K\neq0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \text{car}K\neq0$ \end_inset , @@ -1819,11 +1819,11 @@ No todos los polinomios irreducibles son separables. \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $K:=\mathbb{Z}_{p}(T)$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq \mathbb{Z}_{p}(T)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(X):=X^{p}-T\in K[X]$ +\begin_inset Formula $f(X)\coloneqq X^{p}-T\in K[X]$ \end_inset , @@ -1897,11 +1897,11 @@ Si \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g:=\text{Irr}(\alpha,F)$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \text{Irr}(\alpha,F)$ \end_inset , como diff --git a/ealg/n7.lyx b/ealg/n7.lyx index f5f15b6..3801838 100644 --- a/ealg/n7.lyx +++ b/ealg/n7.lyx @@ -101,7 +101,7 @@ Sean \end_inset una extensión de cuerpos, -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset , @@ -170,7 +170,7 @@ Propiedades: Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset , @@ -448,7 +448,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset con retículo de subgrupos @@ -559,7 +559,7 @@ clase lateral módulo \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $G/H:=G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$ +\begin_inset Formula $G/H\coloneqq G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$ \end_inset . @@ -576,7 +576,7 @@ clase lateral módulo \end_inset a -\begin_inset Formula $[G:H]:=|G/H|$ +\begin_inset Formula $[G:H]\coloneqq |G/H|$ \end_inset . @@ -691,7 +691,7 @@ Dada una torre \begin_deeper \begin_layout Standard Hacemos inducción sobre -\begin_inset Formula $n:=[F:E]$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq [F:E]$ \end_inset . @@ -713,7 +713,7 @@ Hacemos inducción sobre \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $1<s:=[E(\alpha):E]\leq[F:E]=n$ +\begin_inset Formula $1<s\coloneqq [E(\alpha):E]\leq[F:E]=n$ \end_inset , luego @@ -742,7 +742,7 @@ En otro caso, \end_inset , luego -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,E)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,E)$ \end_inset tiene grado @@ -783,7 +783,7 @@ En otro caso, \end_inset como -\begin_inset Formula $f(\sigma F'):=\sigma(\alpha)$ +\begin_inset Formula $f(\sigma F')\coloneqq \sigma(\alpha)$ \end_inset , y esto está bien definido y es inyectivo ya que @@ -840,7 +840,7 @@ teorema \end_inset una torre de extensiones, -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset y @@ -1117,7 +1117,7 @@ Sea \end_inset entonces tiene -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ \end_inset raíces distintas en @@ -1142,11 +1142,11 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $g:=(X-\alpha_{1})\cdots(X-\alpha_{r})\in L[X]$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq (X-\alpha_{1})\cdots(X-\alpha_{r})\in L[X]$ \end_inset , cada -\begin_inset Formula $\sigma\in G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $\sigma\in G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset permuta las raíces de @@ -1208,7 +1208,7 @@ Como es normal es algebraica, y hay que ver que, para . Sea -\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$ \end_inset , como @@ -1216,7 +1216,7 @@ Como es normal es algebraica, y hay que ver que, para \end_inset , -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f>1$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f>1$ \end_inset , pero por la hipótesis, @@ -1547,11 +1547,11 @@ status open \end_inset Sean -\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{Gal}(L/K)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $K_{0}:=G'$ +\begin_inset Formula $K_{0}\coloneqq G'$ \end_inset , @@ -1603,7 +1603,7 @@ Sean \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\varphi(\sigma):=(\sigma|_{L_{1}},\sigma|_{L_{2}})$ +\begin_inset Formula $\varphi(\sigma)\coloneqq (\sigma|_{L_{1}},\sigma|_{L_{2}})$ \end_inset es un homomorfismo inyectivo de grupos, que es biyectivo si @@ -1086,7 +1086,7 @@ En el circuito en paralelo, . En particular definimos -\begin_inset Formula $R_{1}\parallel R_{2}:=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ +\begin_inset Formula $R_{1}\parallel R_{2}\coloneqq \frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \end_inset . @@ -190,7 +190,7 @@ pico-valle frecuencia \series default es -\begin_inset Formula $f:=\frac{\omega}{2\pi}$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \frac{\omega}{2\pi}$ \end_inset y se mide en hercios ( @@ -202,7 +202,7 @@ frecuencia periodo \series default es -\begin_inset Formula $T:=\frac{1}{f}$ +\begin_inset Formula $T\coloneqq \frac{1}{f}$ \end_inset . @@ -335,7 +335,7 @@ Estamos ante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. \end_inset , donde -\begin_inset Formula $j:=\sqrt{-1}$ +\begin_inset Formula $j\coloneqq \sqrt{-1}$ \end_inset . @@ -364,7 +364,7 @@ parte real \begin_layout Standard La intensidad es -\begin_inset Formula $i(t)=\text{Re}I_{p}e^{j\omega t+\theta}=\text{Re}I_{p}e^{\theta}e^{j\omega t}:=\text{Re}Ie^{j\omega t}$ +\begin_inset Formula $i(t)=\text{Re}I_{p}e^{j\omega t+\theta}=\text{Re}I_{p}e^{\theta}e^{j\omega t}\coloneqq \text{Re}Ie^{j\omega t}$ \end_inset , por tanto basta encontrar el @@ -446,7 +446,7 @@ El inverso de la impedancia es la admitancia \series default , -\begin_inset Formula $Y=G+jB:=\frac{1}{Z}$ +\begin_inset Formula $Y=G+jB\coloneqq \frac{1}{Z}$ \end_inset , medida en siemens, donde @@ -655,7 +655,7 @@ lo que en inglés se conoce como root mean square \emph default , por lo que escribimos -\begin_inset Formula $I_{rms}:=I_{eff}$ +\begin_inset Formula $I_{rms}\coloneqq I_{eff}$ \end_inset . @@ -259,7 +259,7 @@ Su función es tensión de entrada diferencial \series default a -\begin_inset Formula $v_{in}:=v_{+}-v_{-}$ +\begin_inset Formula $v_{in}\coloneqq v_{+}-v_{-}$ \end_inset , de modo que @@ -271,7 +271,7 @@ tensión de entrada diferencial ganancia diferencial \series default a -\begin_inset Formula $A_{d}:=A_{V}$ +\begin_inset Formula $A_{d}\coloneqq A_{V}$ \end_inset , y @@ -279,7 +279,7 @@ ganancia diferencial tensión de entrada de modo común \series default a -\begin_inset Formula $v_{icm}:=\frac{v_{+}+v_{-}}{2}$ +\begin_inset Formula $v_{icm}\coloneqq \frac{v_{+}+v_{-}}{2}$ \end_inset . @@ -291,7 +291,7 @@ slew-rate \series default \emph default , -\begin_inset Formula $SR:=\max\left\{ \frac{dv_{out}}{dt}\right\} $ +\begin_inset Formula $SR\coloneqq \max\left\{ \frac{dv_{out}}{dt}\right\} $ \end_inset . @@ -306,7 +306,7 @@ Los AO contienen circuitos de entrada acoplados en continua, y la corriente corriente de desviación \series default -\begin_inset Formula $I_{off}:=I_{B^{+}}-I_{B^{-}}$ +\begin_inset Formula $I_{off}\coloneqq I_{B^{+}}-I_{B^{-}}$ \end_inset . @@ -217,7 +217,7 @@ Partes: Unión: \series default -\begin_inset Formula $A\cup B:=\{x|x\in A\text{ ó }x\in B\}$ +\begin_inset Formula $A\cup B\coloneqq \{x|x\in A\text{ ó }x\in B\}$ \end_inset . @@ -229,7 +229,7 @@ Unión: Intersección: \series default -\begin_inset Formula $A\cap B:=\{x|x\in A\text{ y }x\in B\}$ +\begin_inset Formula $A\cap B\coloneqq \{x|x\in A\text{ y }x\in B\}$ \end_inset . @@ -258,7 +258,7 @@ disjuntos Diferencia: \series default -\begin_inset Formula $A-B:=A\backslash B:=\{x|x\in A\text{ y }x\notin B\}$ +\begin_inset Formula $A-B\coloneqq A\backslash B\coloneqq \{x|x\in A\text{ y }x\notin B\}$ \end_inset @@ -270,7 +270,7 @@ Diferencia: Complemento: \series default -\begin_inset Formula $\overline{A}:=A^{\complement}:={\cal U}\backslash A$ +\begin_inset Formula $\overline{A}\coloneqq A^{\complement}\coloneqq {\cal U}\backslash A$ \end_inset . diff --git a/fuvr1/n1.lyx b/fuvr1/n1.lyx index fe23ed5..8349d8a 100644 --- a/fuvr1/n1.lyx +++ b/fuvr1/n1.lyx @@ -189,7 +189,7 @@ opuesto: . -\begin_inset Formula $a':=-a$ +\begin_inset Formula $a'\coloneqq -a$ \end_inset . @@ -269,11 +269,11 @@ Pongamos que existe otro Inverso para el producto: \series default -\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K}\backslash\{0\},\exists!a''\mid a\cdot a''=1$ +\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K}\backslash\{0\},\exists!a'':a\cdot a''=1$ \end_inset ; -\begin_inset Formula $a'':=\frac{1}{a}:=a^{-1}$ +\begin_inset Formula $a''\coloneqq \frac{1}{a}\coloneqq a^{-1}$ \end_inset . @@ -903,7 +903,7 @@ bicho números naturales \series default -\begin_inset Formula $\mathbb{N}:=\text{bicho}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{N}\coloneqq \text{bicho}$ \end_inset . @@ -1023,11 +1023,11 @@ Demostrar resto de propiedades cuando las estudiemos, si no como ejercicio. \begin_layout Standard Definimos -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}:=\{0\}\cup\{n\in\mathbb{R}\mid n\in\mathbb{N}\text{ o }-n\in\mathbb{N}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\coloneqq \{0\}\cup\{n\in\mathbb{R}\mid n\in\mathbb{N}\text{ o }-n\in\mathbb{N}\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}:=\{m\cdot n^{-1}\mid m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\coloneqq \{m\cdot n^{-1}\mid m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\}$ \end_inset . @@ -1233,7 +1233,7 @@ propiedad arquimediana: Demostración: \series default De no ser así, -\begin_inset Formula $A:=\{ny\mid n\in\mathbb{N}\}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{ny\mid n\in\mathbb{N}\}$ \end_inset estaría acotado superiormente por @@ -1242,7 +1242,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $\alpha:=\sup A$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup A$ \end_inset ; tendríamos que @@ -1314,7 +1314,7 @@ Demostración: \end_inset no tuviera primer elemento y sea -\begin_inset Formula $B:=\mathbb{N}\backslash A$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \mathbb{N}\backslash A$ \end_inset el complementario de @@ -1414,7 +1414,7 @@ Demostremos que existe. . Si tomamos -\begin_inset Formula $m:=k-1$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq k-1$ \end_inset obtenemos el resultado. @@ -1486,7 +1486,7 @@ Demostración: . Si -\begin_inset Formula $m:=[nx]$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq [nx]$ \end_inset , entonces @@ -1597,7 +1597,7 @@ Demostración: sería impar. Sea pues -\begin_inset Formula $2p':=p$ +\begin_inset Formula $2p'\coloneqq p$ \end_inset (con @@ -1728,7 +1728,7 @@ Para demostrar la primera afirmación debemos ver que es posible encontrar \end_inset tal que si -\begin_inset Formula $t:=r(1+\varepsilon)$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq r(1+\varepsilon)$ \end_inset se tenga @@ -1759,7 +1759,7 @@ Para demostrar la primera afirmación debemos ver que es posible encontrar es un cuerpo denso. La demostración de la segunda afirmación es análoga, pero tomando -\begin_inset Formula $w:=\frac{s}{1+\varepsilon}$ +\begin_inset Formula $w\coloneqq \frac{s}{1+\varepsilon}$ \end_inset . @@ -1839,7 +1839,7 @@ Demostración: . Por tanto -\begin_inset Formula $\exists\alpha:=\sup A$ +\begin_inset Formula $\exists\alpha\coloneqq \sup A$ \end_inset . @@ -1945,7 +1945,7 @@ Sea . Entonces -\begin_inset Formula $z:=w+\frac{\sqrt{2}}{n}$ +\begin_inset Formula $z\coloneqq w+\frac{\sqrt{2}}{n}$ \end_inset . @@ -2164,7 +2164,7 @@ Distancia \end_inset : -\begin_inset Formula $d(x,y):=|x-y|$ +\begin_inset Formula $d(x,y)\coloneqq |x-y|$ \end_inset . diff --git a/fuvr1/n2.lyx b/fuvr1/n2.lyx index 6312a4f..b046ed1 100644 --- a/fuvr1/n2.lyx +++ b/fuvr1/n2.lyx @@ -139,7 +139,7 @@ sucesión \end_inset , con elementos -\begin_inset Formula $a_{n}:=\phi(n)$ +\begin_inset Formula $a_{n}\coloneqq \phi(n)$ \end_inset . @@ -369,7 +369,7 @@ intervalo cerrado \end_inset al conjunto -\begin_inset Formula $[a,b]:=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}$ +\begin_inset Formula $[a,b]\coloneqq \{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}$ \end_inset , @@ -377,7 +377,7 @@ intervalo cerrado intervalo abierto \series default a -\begin_inset Formula $(a,b):=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}$ +\begin_inset Formula $(a,b)\coloneqq \{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}$ \end_inset e @@ -385,11 +385,11 @@ intervalo abierto intervalos semiabiertos \series default por la derecha e izquierda, respectivamente, a -\begin_inset Formula $[a,b):=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\}$ +\begin_inset Formula $[a,b)\coloneqq \{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(a,b]:=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\}$ +\begin_inset Formula $(a,b]\coloneqq \{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\}$ \end_inset . @@ -415,7 +415,7 @@ bola cerrada \end_inset al conjunto -\begin_inset Formula $B[x_{0},r]:=\{x\in K\mid |x-x_{0}|\leq r\}$ +\begin_inset Formula $B[x_{0},r]\coloneqq \{x\in K\mid |x-x_{0}|\leq r\}$ \end_inset , y @@ -423,7 +423,7 @@ bola cerrada bola abierta \series default a -\begin_inset Formula $B(x_{0},r):=\{x\in K\mid |x-x_{0}|<r\}$ +\begin_inset Formula $B(x_{0},r)\coloneqq \{x\in K\mid |x-x_{0}|<r\}$ \end_inset . @@ -475,7 +475,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2}\}$ +\begin_inset Formula $n_{0}\coloneqq \max\{n_{1},n_{2}\}$ \end_inset , entonces @@ -538,7 +538,7 @@ Demostración: . Llamando -\begin_inset Formula $M:=\max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a|\}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a|\}$ \end_inset , se tiene que @@ -682,7 +682,7 @@ Pero entonces, fijado \end_inset , si -\begin_inset Formula $n>n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2}\}$ +\begin_inset Formula $n>n_{0}\coloneqq \max\{n_{1},n_{2}\}$ \end_inset , entonces @@ -728,7 +728,7 @@ Si tomamos \end_inset tal que -\begin_inset Formula $\alpha:=\frac{|b|}{2}<|b_{n}|$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \frac{|b|}{2}<|b_{n}|$ \end_inset para @@ -770,7 +770,7 @@ Ahora, fijado . Ahora, si -\begin_inset Formula $n>n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2},n_{\text{3}}\}$ +\begin_inset Formula $n>n_{0}\coloneqq \max\{n_{1},n_{2},n_{\text{3}}\}$ \end_inset , entonces @@ -828,11 +828,11 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}a_{n}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b:=\lim_{n}b_{n}$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq \lim_{n}b_{n}$ \end_inset , y supongamos por reducción al absurdo que @@ -841,7 +841,7 @@ Sean . Tomando -\begin_inset Formula $\varepsilon:=\frac{a-b}{4}$ +\begin_inset Formula $\varepsilon\coloneqq \frac{a-b}{4}$ \end_inset , debería existir @@ -1036,7 +1036,7 @@ Demostración: \end_inset es creciente y acotada superiormente, existe -\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset . @@ -1087,7 +1087,7 @@ A continuación definimos el número \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $e:=\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}$ +\begin_inset Formula $e\coloneqq \lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}$ \end_inset . @@ -1374,7 +1374,7 @@ principio de encaje de Cantor Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $I_{n}:=[a_{n},b_{n}]$ +\begin_inset Formula $I_{n}\coloneqq [a_{n},b_{n}]$ \end_inset . @@ -1405,7 +1405,7 @@ Demostración: converge. Si -\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}a_{n}$ \end_inset entonces @@ -1468,11 +1468,11 @@ subsucesión . Si -\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}:=(\phi(n))_{n\in\mathbb{N}}$ +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}\coloneqq (\phi(n))_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}:=(\phi\circ\tau(k))_{k\in\mathbb{N}}$ +\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}\coloneqq (\phi\circ\tau(k))_{k\in\mathbb{N}}$ \end_inset . @@ -1558,11 +1558,11 @@ Demostración: . Sea entonces -\begin_inset Formula $I_{0}:=[c_{0},d_{0}]$ +\begin_inset Formula $I_{0}\coloneqq [c_{0},d_{0}]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $m_{0}:=\frac{c_{0}+d_{0}}{2}$ +\begin_inset Formula $m_{0}\coloneqq \frac{c_{0}+d_{0}}{2}$ \end_inset . @@ -1576,7 +1576,7 @@ Demostración: es infinito. Llamamos a este -\begin_inset Formula $I_{1}:=[c_{1},d_{1}]$ +\begin_inset Formula $I_{1}\coloneqq [c_{1},d_{1}]$ \end_inset y tomamos @@ -1593,7 +1593,7 @@ Demostración: \end_inset por -\begin_inset Formula $m_{1}:=\frac{c_{1}+d_{1}}{2}$ +\begin_inset Formula $m_{1}\coloneqq \frac{c_{1}+d_{1}}{2}$ \end_inset y obtenemos, del mismo modo que antes, @@ -1782,7 +1782,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}a_{n}$ \end_inset . @@ -1832,7 +1832,7 @@ Primero probamos que una sucesión de Cauchy es acotada: Dado \end_inset y si llamamos -\begin_inset Formula $M:=\max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a_{n_{0}}|\}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a_{n_{0}}|\}$ \end_inset entonces @@ -1923,7 +1923,7 @@ Para \end_inset , definimos -\begin_inset Formula $a^{n}:=a\cdots a$ +\begin_inset Formula $a^{n}\coloneqq a\cdots a$ \end_inset ( @@ -1936,7 +1936,7 @@ Para \end_inset definiendo -\begin_inset Formula $a^{0}:=1$ +\begin_inset Formula $a^{0}\coloneqq 1$ \end_inset y @@ -1949,7 +1949,7 @@ Para . Con exponentes racionales, se define -\begin_inset Formula $a^{\frac{m}{n}}:=\sqrt[n]{a^{m}}$ +\begin_inset Formula $a^{\frac{m}{n}}\coloneqq \sqrt[n]{a^{m}}$ \end_inset , y podemos probar fácilmente que si @@ -2099,7 +2099,7 @@ Demostración: \end_inset a partir de cierto elemento, y entonces -\begin_inset Formula $a^{r_{n}}\leq a^{K}:=M$ +\begin_inset Formula $a^{r_{n}}\leq a^{K}\coloneqq M$ \end_inset si @@ -2107,7 +2107,7 @@ Demostración: \end_inset o -\begin_inset Formula $a^{r_{n}}<a^{0}=1:=M$ +\begin_inset Formula $a^{r_{n}}<a^{0}=1\coloneqq M$ \end_inset . @@ -2156,7 +2156,7 @@ Demostración: . Sea ahora -\begin_inset Formula $y:=\lim_{n}a^{r_{n}}$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq \lim_{n}a^{r_{n}}$ \end_inset y @@ -2518,7 +2518,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sea -\begin_inset Formula $x:=\lim_{n}x_{n}$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \lim_{n}x_{n}$ \end_inset . @@ -2703,7 +2703,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Tomamos -\begin_inset Formula $b:=\frac{1}{a}>1$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq \frac{1}{a}>1$ \end_inset y aplicamos el apartado anterior. @@ -2744,12 +2744,12 @@ Demostración: \end_inset y sea -\begin_inset Formula $A:=\{z\in\mathbb{R}\mid a^{z}\leq x\}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{z\in\mathbb{R}\mid a^{z}\leq x\}$ \end_inset , que sabemos acotado superiormente. Sea entonces -\begin_inset Formula $y:=\sup A$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq \sup A$ \end_inset y @@ -2812,11 +2812,11 @@ Demostración: \end_inset y sea -\begin_inset Formula $a^{\prime}:=\frac{1}{a}>1$ +\begin_inset Formula $a^{\prime}\coloneqq \frac{1}{a}>1$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x^{\prime}:=\frac{1}{x}$ +\begin_inset Formula $x^{\prime}\coloneqq \frac{1}{x}$ \end_inset . @@ -3089,7 +3089,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sea -\begin_inset Formula $x:=\lim_{n}x_{n}>0$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \lim_{n}x_{n}>0$ \end_inset y queremos demostrar que @@ -3123,7 +3123,7 @@ Sea . Sea -\begin_inset Formula $\beta_{n}:=\log_{a}c_{n}$ +\begin_inset Formula $\beta_{n}\coloneqq \log_{a}c_{n}$ \end_inset y supongamos que @@ -3180,7 +3180,7 @@ Sea . Podemos suponer que todos son positivos o negativos. Pero entonces, para el primer caso, -\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}>a^{\varepsilon}:=M>a^{0}=1$ +\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}>a^{\varepsilon}\coloneqq M>a^{0}=1$ \end_inset . @@ -3189,7 +3189,7 @@ Sea \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}<a^{-\varepsilon}:=M<a^{0}=1$ +\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}<a^{-\varepsilon}\coloneqq M<a^{0}=1$ \end_inset . @@ -3693,7 +3693,7 @@ Demostración: \end_inset , tomamos -\begin_inset Formula $z_{n}:=\frac{n^{b}}{c^{n}}$ +\begin_inset Formula $z_{n}\coloneqq \frac{n^{b}}{c^{n}}$ \end_inset y entonces @@ -3823,7 +3823,7 @@ Supongamos . Entonces, si -\begin_inset Formula $y_{n}:=\frac{1}{x_{n}}$ +\begin_inset Formula $y_{n}\coloneqq \frac{1}{x_{n}}$ \end_inset , @@ -3883,7 +3883,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sea -\begin_inset Formula $y_{n}:=e^{x_{n}}-1$ +\begin_inset Formula $y_{n}\coloneqq e^{x_{n}}-1$ \end_inset , entonces @@ -4083,7 +4083,7 @@ status open Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $L:=\lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}$ \end_inset . @@ -4318,12 +4318,12 @@ Si \end_inset con -\begin_inset Formula $M:=a_{1}\cdots a_{n_{0}}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq a_{1}\cdots a_{n_{0}}$ \end_inset . Si -\begin_inset Formula $\alpha_{n}:=\varepsilon\frac{n-n_{0}}{n}$ +\begin_inset Formula $\alpha_{n}\coloneqq \varepsilon\frac{n-n_{0}}{n}$ \end_inset , @@ -4420,7 +4420,7 @@ Se tiene que . Sea entonces -\begin_inset Formula $A_{n}:=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ +\begin_inset Formula $A_{n}\coloneqq \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ \end_inset , para @@ -4620,7 +4620,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $S_{n}:=\lambda A_{n}+\mu B_{n}=\sum_{k=1}^{n}\lambda a_{n}+\sum_{k=1}^{n}\mu b_{n}=\sum_{k=1}^{n}(\lambda a_{n}+\mu b_{n})$ +\begin_inset Formula $S_{n}\coloneqq \lambda A_{n}+\mu B_{n}=\sum_{k=1}^{n}\lambda a_{n}+\sum_{k=1}^{n}\mu b_{n}=\sum_{k=1}^{n}(\lambda a_{n}+\mu b_{n})$ \end_inset . @@ -4701,7 +4701,7 @@ Dadas \end_inset y existe -\begin_inset Formula $l:=\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ +\begin_inset Formula $l\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ \end_inset : @@ -4856,7 +4856,7 @@ Criterio de la raíz: \end_inset y -\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}\in\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}\in\mathbb{R}$ \end_inset : @@ -4963,7 +4963,7 @@ Criterio del cociente: \end_inset y -\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\mathbb{R}$ \end_inset . @@ -5209,7 +5209,7 @@ Demostración: es decreciente. Definimos la sucesión de intervalos cerrados acotados y encajados -\begin_inset Formula $I_{n}:=[S_{2n},S_{2n+1}]$ +\begin_inset Formula $I_{n}\coloneqq [S_{2n},S_{2n+1}]$ \end_inset . diff --git a/fuvr1/n3.lyx b/fuvr1/n3.lyx index e8b4534..ad71d13 100644 --- a/fuvr1/n3.lyx +++ b/fuvr1/n3.lyx @@ -108,7 +108,7 @@ Una función es una terna recta real ampliada \series default al conjunto -\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$ +\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{R}}\coloneqq \mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$ \end_inset . @@ -363,7 +363,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $L:=\lim_{x\rightarrow c}f(x)$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{x\rightarrow c}f(x)$ \end_inset . @@ -463,7 +463,7 @@ Fijado \end_inset es de Cauchy y por tanto convergente, por lo que existe -\begin_inset Formula $L:=\lim_{n}f(x_{n})$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{n}f(x_{n})$ \end_inset y solo queda probar que @@ -488,7 +488,7 @@ Fijado \end_inset y -\begin_inset Formula $L^{\prime}:=\lim_{n}f(x_{n}^{\prime})$ +\begin_inset Formula $L^{\prime}\coloneqq \lim_{n}f(x_{n}^{\prime})$ \end_inset se tendría @@ -674,7 +674,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Si fuera -\begin_inset Formula $L:=\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}$ \end_inset , se tendría que para toda @@ -902,7 +902,7 @@ límite por la derecha \end_inset a -\begin_inset Formula $f(c^{+})=\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x):=\lim_{x\rightarrow c}g(x)$ +\begin_inset Formula $f(c^{+})=\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)\coloneqq \lim_{x\rightarrow c}g(x)$ \end_inset con @@ -926,7 +926,7 @@ límite por la izquierda \end_inset a -\begin_inset Formula $f(c^{-})=\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x):=\lim_{x\rightarrow c}g(x)$ +\begin_inset Formula $f(c^{-})=\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)\coloneqq \lim_{x\rightarrow c}g(x)$ \end_inset con @@ -1431,7 +1431,7 @@ Existen \end_inset Si -\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\{f(x)\mid x\in[a,b]\}$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup\{f(x)\mid x\in[a,b]\}$ \end_inset , existe @@ -1506,15 +1506,15 @@ Demostración: \end_inset y sean -\begin_inset Formula $a_{0}:=a$ +\begin_inset Formula $a_{0}\coloneqq a$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b_{0}:=b$ +\begin_inset Formula $b_{0}\coloneqq b$ \end_inset y -\begin_inset Formula $m:=\frac{a+b}{2}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \frac{a+b}{2}$ \end_inset . @@ -1528,11 +1528,11 @@ Demostración: \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $a_{1}:=a_{0}$ +\begin_inset Formula $a_{1}\coloneqq a_{0}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b_{1}:=m$ +\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq m$ \end_inset , y si @@ -1540,11 +1540,11 @@ Demostración: \end_inset entonces -\begin_inset Formula $a_{1}:=m$ +\begin_inset Formula $a_{1}\coloneqq m$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b_{1}:=b_{0}$ +\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq b_{0}$ \end_inset . @@ -1922,7 +1922,7 @@ Al ser \end_inset estrictamente monótona es inyectiva, y al ser -\begin_inset Formula $J:=f(I)$ +\begin_inset Formula $J\coloneqq f(I)$ \end_inset un intervalo, existe la inversa @@ -1969,7 +1969,7 @@ Al ser \end_inset estrictamente creciente, -\begin_inset Formula $d:=f(c)\in(f(c-\varepsilon^{\prime}),f(c+\varepsilon^{\prime}))=f((c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime}))$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq f(c)\in(f(c-\varepsilon^{\prime}),f(c+\varepsilon^{\prime}))=f((c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime}))$ \end_inset , por lo que existe @@ -2002,7 +2002,7 @@ Al ser \end_inset y -\begin_inset Formula $c:=f^{-1}(d)$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq f^{-1}(d)$ \end_inset lo es por tanto de diff --git a/fuvr2/n1.lyx b/fuvr2/n1.lyx index b840f8f..0bcddb4 100644 --- a/fuvr2/n1.lyx +++ b/fuvr2/n1.lyx @@ -186,7 +186,7 @@ derivada por la izquierda \end_inset como -\begin_inset Formula $f'(c^{-}):=f'_{-}(c):=\lim_{h\rightarrow0^{-}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ +\begin_inset Formula $f'(c^{-})\coloneqq f'_{-}(c)\coloneqq \lim_{h\rightarrow0^{-}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ \end_inset , y la @@ -202,7 +202,7 @@ derivada por la derecha \end_inset como -\begin_inset Formula $f'(c^{+}):=f'_{+}(c):=\lim_{h\rightarrow0^{+}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ +\begin_inset Formula $f'(c^{+})\coloneqq f'_{+}(c)\coloneqq \lim_{h\rightarrow0^{+}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ \end_inset . @@ -369,7 +369,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $\alpha(h):=\frac{f(c+h)-f(c)-L(h)}{h}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-L\left(\frac{h}{h}\right)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-L(1)$ +\begin_inset Formula $\alpha(h)\coloneqq \frac{f(c+h)-f(c)-L(h)}{h}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-L\left(\frac{h}{h}\right)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-L(1)$ \end_inset , entonces @@ -470,7 +470,7 @@ Demostración: \end_inset , y tomando -\begin_inset Formula $\delta:=\min\{\delta',\frac{\varepsilon}{|f'(c)|+1}\}$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{\delta',\frac{\varepsilon}{|f'(c)|+1}\}$ \end_inset , si @@ -1059,7 +1059,7 @@ estrictamente decreciente \end_inset , si -\begin_inset Formula $m:=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ \end_inset es, respectivamente, @@ -1141,7 +1141,7 @@ Sea . Sea -\begin_inset Formula $A:=\{z\in(x,y]\mid f(x)\leq f(z)\}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{z\in(x,y]\mid f(x)\leq f(z)\}$ \end_inset , como @@ -1161,7 +1161,7 @@ Sea \end_inset es acotado superiormente, podemos definir -\begin_inset Formula $\alpha:=\sup A$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup A$ \end_inset , y basta probar que @@ -1505,7 +1505,7 @@ Demostración: \end_inset es constante, tomamos -\begin_inset Formula $c:=\frac{a+b}{2}$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \frac{a+b}{2}$ \end_inset . @@ -1581,7 +1581,7 @@ Teorema del valor medio de Cauchy: Demostración: \series default Aplicamos el teorema de Rolle a -\begin_inset Formula $h(x):=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))$ +\begin_inset Formula $h(x)\coloneqq f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))$ \end_inset , pues @@ -1622,7 +1622,7 @@ Teorema del valor medio de Lagrange: Demostración: \series default Es un caso particular del teorema del valor medio de Cauchy tomando -\begin_inset Formula $g(x):=x$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x$ \end_inset . @@ -1736,7 +1736,7 @@ Aplicando el teorema de Lagrange en \end_inset Sea -\begin_inset Formula $h(x):=f(x)-g(x)$ +\begin_inset Formula $h(x)\coloneqq f(x)-g(x)$ \end_inset , entonces @@ -2158,7 +2158,7 @@ Sean \end_inset , entonces, si existe -\begin_inset Formula $L:=\lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in\overline{\mathbb{R}}$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in\overline{\mathbb{R}}$ \end_inset , es también @@ -2200,7 +2200,7 @@ Si \end_inset se denota por -\begin_inset Formula $f^{(2)}:=f''$ +\begin_inset Formula $f^{(2)}\coloneqq f''$ \end_inset , y por inducción, si @@ -2224,7 +2224,7 @@ Si \end_inset veces derivable y llamamos -\begin_inset Formula $f^{(n)}:=(f^{(n-1)})'$ +\begin_inset Formula $f^{(n)}\coloneqq (f^{(n-1)})'$ \end_inset . @@ -2359,7 +2359,7 @@ El resto del polinomio \series default es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor: -\begin_inset Formula $R_{n}(x;x_{0}):=f(x)-P_{n}(f,x;x_{0})$ +\begin_inset Formula $R_{n}(x;x_{0})\coloneqq f(x)-P_{n}(f,x;x_{0})$ \end_inset . @@ -2907,7 +2907,7 @@ F(t):=f(x)-\left(f(t)+\frac{1}{1!}f'(t)(x-t)+\dots+\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(t)( \end_inset y -\begin_inset Formula $G(t):=(x-t)^{n}$ +\begin_inset Formula $G(t)\coloneqq (x-t)^{n}$ \end_inset entre @@ -3167,7 +3167,7 @@ f^{(n)}(x) & = & (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} & f^{(n)} & = & (-1)^{n-1}(n-1)! \end_inset , donde -\begin_inset Formula $\binom{\alpha}{k}:=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$ +\begin_inset Formula $\binom{\alpha}{k}\coloneqq \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$ \end_inset . @@ -3291,7 +3291,7 @@ La pendiente de la recta secante que pasa por \end_inset se denota -\begin_inset Formula $p_{x}(y):=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ +\begin_inset Formula $p_{x}(y)\coloneqq \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ \end_inset . @@ -3460,7 +3460,7 @@ Sea \end_inset es creciente y por tanto existe -\begin_inset Formula $\alpha:=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}p_{x_{0}}(x)$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}p_{x_{0}}(x)$ \end_inset . diff --git a/fuvr2/n2.lyx b/fuvr2/n2.lyx index b0dcf59..f71fecb 100644 --- a/fuvr2/n2.lyx +++ b/fuvr2/n2.lyx @@ -104,11 +104,11 @@ partición \end_inset , escribimos -\begin_inset Formula $M_{i}:=\sup\{f(t)\}_{t\in[t_{i-1},t_{i}]}$ +\begin_inset Formula $M_{i}\coloneqq \sup\{f(t)\}_{t\in[t_{i-1},t_{i}]}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $m_{i}:=\inf\{f(t)\}_{t\in[t_{i-1},t_{i}]}$ +\begin_inset Formula $m_{i}\coloneqq \inf\{f(t)\}_{t\in[t_{i-1},t_{i}]}$ \end_inset , y llamamos @@ -173,7 +173,7 @@ más fina \end_inset , y denotamos -\begin_inset Formula $\pi\lor\pi':=\pi\cup\pi'$ +\begin_inset Formula $\pi\lor\pi'\coloneqq \pi\cup\pi'$ \end_inset . @@ -263,7 +263,7 @@ de Darboux ), respectivamente, a \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} -\underline{\int_{a}^{b}}f:=\sup\{s(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])} & \text{ y } & \overline{\int_{a}^{b}}f\mid =\inf\{S(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])} +\underline{\int_{a}^{b}}f:=\sup\{s(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])} & \text{ y } & \overline{\int_{a}^{b}}f:=\inf\{S(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])} \end{eqnarray*} \end_inset @@ -306,7 +306,7 @@ integral Riemann \end_inset , -\begin_inset Formula $\int_{b}^{a}f:=-\int_{a}^{b}f$ +\begin_inset Formula $\int_{b}^{a}f\coloneqq -\int_{a}^{b}f$ \end_inset , e @@ -375,7 +375,7 @@ Dado . Entonces -\begin_inset Formula $\pi:=\pi_{1}\lor\pi_{2}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \pi_{1}\lor\pi_{2}$ \end_inset cumple ambas desigualdades, pues @@ -450,7 +450,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $\alpha:=\int_{a}^{b}f$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \int_{a}^{b}f$ \end_inset , para toda @@ -1134,7 +1134,7 @@ medida cero \end_inset , donde -\begin_inset Formula $\text{long}([a,b]):=b-a$ +\begin_inset Formula $\text{long}([a,b])\coloneqq b-a$ \end_inset . @@ -1211,7 +1211,7 @@ norma \end_inset a -\begin_inset Formula $\Vert\pi\Vert:=\max\{t_{i}-t_{i-1}\}_{1\leq i\leq n}$ +\begin_inset Formula $\Vert\pi\Vert\coloneqq \max\{t_{i}-t_{i-1}\}_{1\leq i\leq n}$ \end_inset . @@ -1662,7 +1662,7 @@ Supongamos que cambian en un punto \end_inset , y basta probar que -\begin_inset Formula $h:=g-f$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq g-f$ \end_inset es integrable. @@ -1715,7 +1715,7 @@ integral indefinida \end_inset con -\begin_inset Formula $F(x):=\int_{a}^{x}f$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int_{a}^{x}f$ \end_inset . @@ -1769,7 +1769,7 @@ TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $M:=\sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}$ \end_inset , por las propiedades de la integral, @@ -2240,7 +2240,7 @@ Demostración: \begin_layout Standard Esto da sentido a la notación de -\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)dx:=\int_{a}^{b}f$ +\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)dx\coloneqq \int_{a}^{b}f$ \end_inset , porque entonces si @@ -2527,7 +2527,7 @@ Funciones que contienen \begin_layout Standard Llamamos -\begin_inset Formula $d:=\frac{ac-b^{2}}{a}$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \frac{ac-b^{2}}{a}$ \end_inset y se tiene @@ -3306,7 +3306,7 @@ De aquí que si \end_inset y no negativas con -\begin_inset Formula $A:=\lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f(t)}{g(t)}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f(t)}{g(t)}$ \end_inset , entonces: @@ -3587,7 +3587,7 @@ teorema \end_inset tiene derivada continua, si -\begin_inset Formula $F(x):=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int_{a}^{x}f(t)\,dt$ \end_inset está acotada superiormente por diff --git a/fuvr2/n3.lyx b/fuvr2/n3.lyx index 9db6cf2..63a416b 100644 --- a/fuvr2/n3.lyx +++ b/fuvr2/n3.lyx @@ -299,7 +299,7 @@ Como teorema \series default , si -\begin_inset Formula $f(z):=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ +\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ \end_inset para @@ -353,7 +353,7 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(z):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}a_{n}z^{n+1}$ +\begin_inset Formula $F(z)\coloneqq \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}a_{n}z^{n+1}$ \end_inset tiene radio de convergencia @@ -91,7 +91,7 @@ Teorema de Cauchy-Goursat: \end_inset y -\begin_inset Formula $\Delta(a,b,c):=\{\mu a+\lambda b+\gamma c\mid \mu+\lambda+\gamma=1;\mu,\lambda,\gamma\geq0\}\subseteq\Omega$ +\begin_inset Formula $\Delta(a,b,c)\coloneqq \{\mu a+\lambda b+\gamma c\mid \mu+\lambda+\gamma=1;\mu,\lambda,\gamma\geq0\}\subseteq\Omega$ \end_inset , entonces @@ -111,23 +111,23 @@ Teorema de Cauchy-Goursat: Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $\gamma:=[a,b,c,a]$ +\begin_inset Formula $\gamma\coloneqq [a,b,c,a]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\Delta:=\Delta(a,b,c)$ +\begin_inset Formula $\Delta\coloneqq \Delta(a,b,c)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a':=\frac{b+c}{2}$ +\begin_inset Formula $a'\coloneqq \frac{b+c}{2}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b':=\frac{a+c}{2}$ +\begin_inset Formula $b'\coloneqq \frac{a+c}{2}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c':=\frac{a+b}{2}$ +\begin_inset Formula $c'\coloneqq \frac{a+b}{2}$ \end_inset e @@ -156,7 +156,7 @@ Sean \begin_layout Itemize Si -\begin_inset Formula $|J_{k}|:=\max_{i}|J_{i}|$ +\begin_inset Formula $|J_{k}|\coloneqq \max_{i}|J_{i}|$ \end_inset , @@ -206,7 +206,7 @@ Para \end_inset , -\begin_inset Formula $F(x):=\frac{x+a}{2}$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \frac{x+a}{2}$ \end_inset es una biyección de @@ -218,11 +218,11 @@ Para \end_inset , pues si -\begin_inset Formula $x:=ra+sb+tc$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq ra+sb+tc$ \end_inset , -\begin_inset Formula $F(x):=\frac{ra+sb+tc+a}{2}=\frac{ra+sb+tc+(r+s+t)a}{2}=ra+s\frac{a+b}{2}+t\frac{a+c}{2}=ra+sc'+tb'$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \frac{ra+sb+tc+a}{2}=\frac{ra+sb+tc+(r+s+t)a}{2}=ra+s\frac{a+b}{2}+t\frac{a+c}{2}=ra+sc'+tb'$ \end_inset . @@ -236,7 +236,7 @@ Para \end_inset la biyección -\begin_inset Formula $F(x):=\frac{a+b+c-x}{2}$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \frac{a+b+c-x}{2}$ \end_inset . @@ -245,11 +245,11 @@ Para \end_deeper \begin_layout Standard Sean entonces -\begin_inset Formula $I_{1}:=\max_{i}|J_{i}|$ +\begin_inset Formula $I_{1}\coloneqq \max_{i}|J_{i}|$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\gamma_{1}:=[a_{1},b_{1},c_{1},a_{1}]$ +\begin_inset Formula $\gamma_{1}\coloneqq [a_{1},b_{1},c_{1},a_{1}]$ \end_inset la curva correspondiente a @@ -257,7 +257,7 @@ Sean entonces \end_inset y -\begin_inset Formula $\Delta_{1}:=\Delta(a_{1},b_{1},c_{1})$ +\begin_inset Formula $\Delta_{1}\coloneqq \Delta(a_{1},b_{1},c_{1})$ \end_inset , con lo que @@ -297,7 +297,7 @@ Sean entonces . Sea -\begin_inset Formula $p(z):=f(\alpha)+f'(\alpha)(z-\alpha)$ +\begin_inset Formula $p(z)\coloneqq f(\alpha)+f'(\alpha)(z-\alpha)$ \end_inset una función polinómica y por tanto con primitiva, entonces @@ -539,11 +539,11 @@ Si \end_inset , sean -\begin_inset Formula $c_{\rho}:=(1-\rho)a+\rho b$ +\begin_inset Formula $c_{\rho}\coloneqq (1-\rho)a+\rho b$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b_{\rho}:=(1-\rho)a+\rho c$ +\begin_inset Formula $b_{\rho}\coloneqq (1-\rho)a+\rho c$ \end_inset para @@ -1221,7 +1221,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $f(z):=\frac{1}{p(z)}$ +\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq \frac{1}{p(z)}$ \end_inset , @@ -1279,7 +1279,7 @@ Demostración: . Sea entonces -\begin_inset Formula $g(z):=\frac{1}{f(z)-\alpha}$ +\begin_inset Formula $g(z)\coloneqq \frac{1}{f(z)-\alpha}$ \end_inset una función entera, como @@ -1393,7 +1393,7 @@ luego \end_inset , por el teorema de Taylor, sea -\begin_inset Formula $c_{n}:=\frac{F^{(n)}(\alpha)}{n!}$ +\begin_inset Formula $c_{n}\coloneqq \frac{F^{(n)}(\alpha)}{n!}$ \end_inset , como @@ -1473,7 +1473,7 @@ Teorema de convergencia de Weierstrass: \end_inset y -\begin_inset Formula $f(z):=\lim_{n}f_{n}(z)$ +\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq \lim_{n}f_{n}(z)$ \end_inset para @@ -1583,7 +1583,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $H:=\{z\in\mathbb{C}\mid d(z,K)\leq\rho\}$ +\begin_inset Formula $H\coloneqq \{z\in\mathbb{C}\mid d(z,K)\leq\rho\}$ \end_inset , con lo que @@ -87,7 +87,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $Z(f):=\{z\in\Omega\mid f(z)=0\}$ +\begin_inset Formula $Z(f)\coloneqq \{z\in\Omega\mid f(z)=0\}$ \end_inset , @@ -139,7 +139,7 @@ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n} \end_inset para -\begin_inset Formula $c_{n}:=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ +\begin_inset Formula $c_{n}\coloneqq \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ \end_inset , y queremos ver que todos los @@ -169,7 +169,7 @@ para \end_inset Sea -\begin_inset Formula $g_{k}(z):=\sum_{n=k+1}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n-k}$ +\begin_inset Formula $g_{k}(z)\coloneqq \sum_{n=k+1}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n-k}$ \end_inset una función holomorfa en @@ -210,7 +210,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $A:=\{z\in\Omega\mid \forall k\in\mathbb{N},f^{(k)}(z)=0\}\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{z\in\Omega\mid \forall k\in\mathbb{N},f^{(k)}(z)=0\}\neq\emptyset$ \end_inset , pues @@ -337,7 +337,7 @@ principio de identidad para funciones holomorfas \end_inset no es idénticamente nula, entonces todo punto de -\begin_inset Formula $Z(f):=\{z\in\Omega\mid f(z)=0\}$ +\begin_inset Formula $Z(f)\coloneqq \{z\in\Omega\mid f(z)=0\}$ \end_inset es aislado y @@ -108,7 +108,7 @@ Toda curva Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $\rho:=\min_{t\in[a,b]}|\gamma(t)|>0$ +\begin_inset Formula $\rho\coloneqq \min_{t\in[a,b]}|\gamma(t)|>0$ \end_inset , @@ -140,7 +140,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $D_{k}:=D(\gamma(t_{k}),\rho)$ +\begin_inset Formula $D_{k}\coloneqq D(\gamma(t_{k}),\rho)$ \end_inset . @@ -180,11 +180,11 @@ Demostración: . Sean ahora -\begin_inset Formula $\theta_{k}(t):=A_{k}(\gamma(t))\in\text{Arg}(\gamma(t))$ +\begin_inset Formula $\theta_{k}(t)\coloneqq A_{k}(\gamma(t))\in\text{Arg}(\gamma(t))$ \end_inset y -\begin_inset Formula $m_{k}:=\theta_{k}(t_{k})-\theta_{k+1}(t_{k})$ +\begin_inset Formula $m_{k}\coloneqq \theta_{k}(t_{k})-\theta_{k+1}(t_{k})$ \end_inset , y definimos @@ -192,7 +192,7 @@ Demostración: \end_inset como -\begin_inset Formula $\theta(t):=\theta_{k}(t)+\sum_{i=0}^{k-1}m_{k}$ +\begin_inset Formula $\theta(t)\coloneqq \theta_{k}(t)+\sum_{i=0}^{k-1}m_{k}$ \end_inset para @@ -334,7 +334,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $\rho:=\min_{t\in[a,b]}|\gamma(t)-z_{0}|>0$ +\begin_inset Formula $\rho\coloneqq \min_{t\in[a,b]}|\gamma(t)-z_{0}|>0$ \end_inset y @@ -371,7 +371,7 @@ Sean \end_inset , tenemos que -\begin_inset Formula $\theta(t):=\theta_{0}(t)+\arg\frac{\gamma(t)-z}{\gamma(t)-z_{0}}$ +\begin_inset Formula $\theta(t)\coloneqq \theta_{0}(t)+\arg\frac{\gamma(t)-z}{\gamma(t)-z_{0}}$ \end_inset es un argumento continuo de @@ -499,7 +499,7 @@ Demostración: \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\varphi(t):=\log|\gamma(t)-z|+i\theta(t)$ +\begin_inset Formula $\varphi(t)\coloneqq \log|\gamma(t)-z|+i\theta(t)$ \end_inset es un logaritmo continuo de @@ -525,7 +525,7 @@ Demostración: es derivable. Entonces -\begin_inset Formula $\varphi_{k}:=\varphi|_{[t_{k-1},t_{k}]}$ +\begin_inset Formula $\varphi_{k}\coloneqq \varphi|_{[t_{k-1},t_{k}]}$ \end_inset también lo es y @@ -560,7 +560,7 @@ Una cadena \series default es una expresión de la forma -\begin_inset Formula $\Gamma:=m_{1}\gamma_{1}+\dots+m_{q}\gamma_{q}$ +\begin_inset Formula $\Gamma\coloneqq m_{1}\gamma_{1}+\dots+m_{q}\gamma_{q}$ \end_inset donde los @@ -581,7 +581,7 @@ soporte \end_inset a -\begin_inset Formula $\Gamma^{*}:=\bigcup_{k}\gamma_{k}^{*}$ +\begin_inset Formula $\Gamma^{*}\coloneqq \bigcup_{k}\gamma_{k}^{*}$ \end_inset y @@ -593,16 +593,16 @@ longitud \end_inset a -\begin_inset Formula $\ell(\Gamma):=\sum_{k}|m_{k}|\ell(\gamma_{k})$ +\begin_inset Formula $\ell(\Gamma)\coloneqq \sum_{k}|m_{k}|\ell(\gamma_{k})$ \end_inset . Si -\begin_inset Formula $\Sigma:=n_{1}\sigma_{1}+\dots+n_{p}\sigma_{p}$ +\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq n_{1}\sigma_{1}+\dots+n_{p}\sigma_{p}$ \end_inset es otra cadena, llamamos -\begin_inset Formula $\Gamma+\Sigma:=m_{1}\gamma_{1}+\dots+m_{q}\gamma_{q}+k_{1}\sigma_{1}+\dots+k_{p}\sigma_{p}$ +\begin_inset Formula $\Gamma+\Sigma\coloneqq m_{1}\gamma_{1}+\dots+m_{q}\gamma_{q}+k_{1}\sigma_{1}+\dots+k_{p}\sigma_{p}$ \end_inset . @@ -647,7 +647,7 @@ ciclo \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Gamma}(z):=\sum_{k}m_{k}\text{Ind}_{\gamma_{k}}(z)$ +\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Gamma}(z)\coloneqq \sum_{k}m_{k}\text{Ind}_{\gamma_{k}}(z)$ \end_inset . @@ -806,7 +806,7 @@ es continua en \end_inset Como -\begin_inset Formula $K:=\{\{z_{n}\}_{n}\cup\{a\}\}\times\Gamma^{*}$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq \{\{z_{n}\}_{n}\cup\{a\}\}\times\Gamma^{*}$ \end_inset es compacto por ser producto de compactos, @@ -889,7 +889,7 @@ Si además, para \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F_{w}(z):=F(z,w)$ +\begin_inset Formula $F_{w}(z)\coloneqq F(z,w)$ \end_inset es holomorfa en @@ -1059,7 +1059,7 @@ Ahora bien, fijado \end_inset , sea -\begin_inset Formula $F_{w}(z):=F(w,z)$ +\begin_inset Formula $F_{w}(z)\coloneqq F(w,z)$ \end_inset , es claro que @@ -1083,7 +1083,7 @@ Ahora bien, fijado \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $\Omega_{0}:=\{z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}\mid \text{Ind}_{\Gamma}(z)=0\}$ +\begin_inset Formula $\Omega_{0}\coloneqq \{z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}\mid \text{Ind}_{\Gamma}(z)=0\}$ \end_inset , que es abierto por ser unión de componentes conexas de @@ -1123,7 +1123,7 @@ status open \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F_{0}(z,w):=\frac{f(w)}{w-z}$ +\begin_inset Formula $F_{0}(z,w)\coloneqq \frac{f(w)}{w-z}$ \end_inset . @@ -1302,7 +1302,7 @@ forma general del teorema de Cauchy \end_inset , aplicando la fórmula integral de Cauchy a -\begin_inset Formula $g(z):=(z-a)f(z)$ +\begin_inset Formula $g(z)\coloneqq (z-a)f(z)$ \end_inset , como @@ -1886,7 +1886,7 @@ status open . Sea -\begin_inset Formula $K:=\mathbb{C}\setminus\Omega_{0}=\Gamma^{*}\cup\{z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}\mid \text{Ind}_{\Gamma}(z)\neq0\}$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq \mathbb{C}\setminus\Omega_{0}=\Gamma^{*}\cup\{z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}\mid \text{Ind}_{\Gamma}(z)\neq0\}$ \end_inset , que es cerrado por ser complementario de un abierto y acotado porque no @@ -1934,15 +1934,15 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $m_{k}:=\text{Ind}_{\Gamma}(a_{k})$ +\begin_inset Formula $m_{k}\coloneqq \text{Ind}_{\Gamma}(a_{k})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\gamma_{k}:=C(a_{k},\rho)$ +\begin_inset Formula $\gamma_{k}\coloneqq C(a_{k},\rho)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\Sigma:=\sum_{k=1}^{q}m_{k}\gamma_{k}$ +\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq \sum_{k=1}^{q}m_{k}\gamma_{k}$ \end_inset . diff --git a/fvv1/n1.lyx b/fvv1/n1.lyx index e3422b2..8eede13 100644 --- a/fvv1/n1.lyx +++ b/fvv1/n1.lyx @@ -137,7 +137,7 @@ espacio normado distancia asociada a la norma \series default a -\begin_inset Formula $d(x,y):=\Vert x-y\Vert$ +\begin_inset Formula $d(x,y)\coloneqq \Vert x-y\Vert$ \end_inset . @@ -150,7 +150,7 @@ Ejemplos de normas en \end_inset son las dadas por -\begin_inset Formula $\Vert(x_{1},\dots,x_{n})\Vert_{p}:=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}$ +\begin_inset Formula $\Vert(x_{1},\dots,x_{n})\Vert_{p}\coloneqq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}$ \end_inset y @@ -158,16 +158,16 @@ Ejemplos de normas en \end_inset -\begin_inset Formula $\Vert(x_{1},\dots,x_{n})\Vert_{\infty}:=\max\{|x_{i}|\}_{i=1}^{n}$ +\begin_inset Formula $\Vert(x_{1},\dots,x_{n})\Vert_{\infty}\coloneqq \max\{|x_{i}|\}_{i=1}^{n}$ \end_inset . Además, -\begin_inset Formula $V:={\cal C}[a,b]:=\{f\mid [a,b]\rightarrow\mathbb{R}\text{ continua}\}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq {\cal C}[a,b]\coloneqq \{f\mid [a,b]\rightarrow\mathbb{R}\text{ continua}\}$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\Vert f\Vert_{\infty}:=\sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}$ +\begin_inset Formula $\Vert f\Vert_{\infty}\coloneqq \sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}$ \end_inset es un espacio normado. @@ -274,7 +274,7 @@ Definimos la norma de una aplicación \end_inset como -\begin_inset Formula $\Vert L\Vert:=\Vert L\Vert_{\Vert\cdot\Vert}^{\Vert\cdot\Vert'}:=\sup\{\Vert L(x)\Vert'\}_{x\in E,\Vert x\Vert\leq1}$ +\begin_inset Formula $\Vert L\Vert\coloneqq \Vert L\Vert_{\Vert\cdot\Vert}^{\Vert\cdot\Vert'}\coloneqq \sup\{\Vert L(x)\Vert'\}_{x\in E,\Vert x\Vert\leq1}$ \end_inset , y tenemos como @@ -377,7 +377,7 @@ Veamos primero que \end_inset , tomando -\begin_inset Formula $\delta:=\frac{\varepsilon}{\Vert L\Vert+1}$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \frac{\varepsilon}{\Vert L\Vert+1}$ \end_inset entonces @@ -423,11 +423,11 @@ Dos normas Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $L:=id_{E}:(E,\Vert\cdot\Vert)\rightarrow(E,\Vert\cdot\Vert')$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq id_{E}:(E,\Vert\cdot\Vert)\rightarrow(E,\Vert\cdot\Vert')$ \end_inset y -\begin_inset Formula $L':=L^{-1}$ +\begin_inset Formula $L'\coloneqq L^{-1}$ \end_inset , entonces @@ -472,7 +472,7 @@ Si \end_inset , luego -\begin_inset Formula $\Vert x\Vert'=\Vert L(x)\Vert'\leq\Vert L\Vert\Vert x\Vert\overset{\beta:=\Vert L\Vert}{=}\beta\Vert x\Vert$ +\begin_inset Formula $\Vert x\Vert'=\Vert L(x)\Vert'\leq\Vert L\Vert\Vert x\Vert\overset{\beta\coloneqq \Vert L\Vert}{=}\beta\Vert x\Vert$ \end_inset . @@ -644,7 +644,7 @@ Demostración: \end_inset y tomando -\begin_inset Formula $\delta:=\varepsilon$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \varepsilon$ \end_inset , si @@ -706,7 +706,7 @@ teorema , que es continua por ser composición de dos funciones continuas (la identidad es continua por la otra cota y la demostración del teorema anterior), entonces -\begin_inset Formula $S:=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid \Vert x\Vert_{1}=1\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{x\in\mathbb{R}^{n}\mid \Vert x\Vert_{1}=1\}$ \end_inset es cerrado dentro del compacto @@ -719,7 +719,7 @@ teorema es compacto y alcanza su máximo y su mínimo. Sea ahora -\begin_inset Formula $\mu:=\min\{\Vert x\Vert\}_{x\in S}>0$ +\begin_inset Formula $\mu\coloneqq \min\{\Vert x\Vert\}_{x\in S}>0$ \end_inset (pues @@ -1338,7 +1338,7 @@ Dadas \end_inset y existe -\begin_inset Formula $l:=\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ +\begin_inset Formula $l\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ \end_inset : @@ -1403,7 +1403,7 @@ Criterio de la raíz: \end_inset y -\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}\in\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}\in\mathbb{R}$ \end_inset : @@ -1449,7 +1449,7 @@ Criterio del cociente: \end_inset y -\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\mathbb{R}$ \end_inset . diff --git a/fvv1/n2.lyx b/fvv1/n2.lyx index 1b761e2..f9a9447 100644 --- a/fvv1/n2.lyx +++ b/fvv1/n2.lyx @@ -542,7 +542,7 @@ suma telescópica se supone lo suficientemente pequeño. Ahora llamamos -\begin_inset Formula $\varphi_{i}(t):=f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1}+t\vec{e}_{i})$ +\begin_inset Formula $\varphi_{i}(t)\coloneqq f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1}+t\vec{e}_{i})$ \end_inset , con lo que @@ -550,7 +550,7 @@ suma telescópica \end_inset , y -\begin_inset Formula $\Delta_{i}:=\varphi_{i}(h_{i})-\varphi_{i}(0)=f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i}\vec{e}_{i})-f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1})=\varphi'_{i}(\xi_{i})h_{i}$ +\begin_inset Formula $\Delta_{i}\coloneqq \varphi_{i}(h_{i})-\varphi_{i}(0)=f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i}\vec{e}_{i})-f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1})=\varphi'_{i}(\xi_{i})h_{i}$ \end_inset para algún @@ -662,11 +662,11 @@ regla de la cadena Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $L:=df(a):\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq df(a):\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $S:=dg(f(a)):\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{k}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq dg(f(a)):\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{k}$ \end_inset , tenemos que @@ -686,7 +686,7 @@ y queremos ver que \end_inset Si llamamos -\begin_inset Formula $\eta:=f(a+h)-f(a)$ +\begin_inset Formula $\eta\coloneqq f(a+h)-f(a)$ \end_inset , que tiende a 0 por la continuidad de @@ -897,17 +897,17 @@ to por abiertos de \end_inset y -\begin_inset Formula $\{B_{i}\}_{i=1}^{k}\mid =\{B(x_{i},\frac{\delta_{x_{i}}}{2})\}_{i=1}^{k}$ +\begin_inset Formula $\{B_{i}\}_{i=1}^{k}\coloneqq \{B(x_{i},\frac{\delta_{x_{i}}}{2})\}_{i=1}^{k}$ \end_inset un subrecubrimiento finito del que suponemos que no podemos quitar ninguna bola. Ahora llamamos -\begin_inset Formula $x_{0}:=a$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq a$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=b$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq b$ \end_inset y suponemos diff --git a/fvv1/n3.lyx b/fvv1/n3.lyx index 91f5019..b6138cf 100644 --- a/fvv1/n3.lyx +++ b/fvv1/n3.lyx @@ -343,12 +343,12 @@ Demostración: \end_inset , y consideramos -\begin_inset Formula $\Delta_{t,s}:=f(t,s)-f(t,y_{0})-f(x_{0},s)+f(x_{0},y_{0})$ +\begin_inset Formula $\Delta_{t,s}\coloneqq f(t,s)-f(t,y_{0})-f(x_{0},s)+f(x_{0},y_{0})$ \end_inset . Si ahora llamamos -\begin_inset Formula $F_{\overline{s}}(\overline{t}):=f(\overline{t},\overline{s})-f(\overline{t},y_{0})$ +\begin_inset Formula $F_{\overline{s}}(\overline{t})\coloneqq f(\overline{t},\overline{s})-f(\overline{t},y_{0})$ \end_inset , vemos que @@ -360,12 +360,12 @@ Demostración: \end_inset y que entonces -\begin_inset Formula $\Delta_{t,s}=F_{s}(t)-F_{s}(x_{0})=F'_{\overline{s}}(\xi_{t,s})(t-x_{0})=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{t,s},s)-\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{t,s},y_{0})\right)(t-x_{0})\overset{\Phi(\overline{s}):=\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{t,s},\overline{s})}{=}(\Phi(s)-\Phi(y_{0}))(t-x_{0})\overset{\Phi\text{ derivable por hipótesis}}{=}\Phi'(\eta_{t,s})(s-y_{0})(t-x_{0})=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(\xi_{t,s},\eta_{t,s})(s-y_{0})(t-x_{0})$ +\begin_inset Formula $\Delta_{t,s}=F_{s}(t)-F_{s}(x_{0})=F'_{\overline{s}}(\xi_{t,s})(t-x_{0})=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{t,s},s)-\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{t,s},y_{0})\right)(t-x_{0})\overset{\Phi(\overline{s})\coloneqq \frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{t,s},\overline{s})}{=}(\Phi(s)-\Phi(y_{0}))(t-x_{0})\overset{\Phi\text{ derivable por hipótesis}}{=}\Phi'(\eta_{t,s})(s-y_{0})(t-x_{0})=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(\xi_{t,s},\eta_{t,s})(s-y_{0})(t-x_{0})$ \end_inset . Permutando los papeles de las dos coordenadas (definiendo -\begin_inset Formula $\sigma_{\overline{t}}(\overline{s}):=f(\overline{t},\overline{s})-f(x,\overline{s})$ +\begin_inset Formula $\sigma_{\overline{t}}(\overline{s})\coloneqq f(\overline{t},\overline{s})-f(x,\overline{s})$ \end_inset ) obtenemos que @@ -448,7 +448,7 @@ teorema Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $R(h):=f(a+h)-f(a)-df(a)(h)-\frac{1}{2}d^{2}f(a)(h,h)$ +\begin_inset Formula $R(h)\coloneqq f(a+h)-f(a)-df(a)(h)-\frac{1}{2}d^{2}f(a)(h,h)$ \end_inset , y hemos de ver que @@ -631,7 +631,7 @@ Si \end_inset -espacio vectorial con -\begin_inset Formula $k:=\dim_{K}(V)<+\infty$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq \dim_{K}(V)<+\infty$ \end_inset y @@ -751,7 +751,7 @@ Podemos suponer que alcanza un máximo. \end_inset definimos -\begin_inset Formula $\varphi_{i}(t):=f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{m})$ +\begin_inset Formula $\varphi_{i}(t)\coloneqq f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{m})$ \end_inset , fijado @@ -848,7 +848,7 @@ suponiendo \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Phi(u):=d^{2}f(a)(u,u)=\sum_{i,j}\frac{\partial f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a)u_{i}u_{j}$ +\begin_inset Formula $\Phi(u)\coloneqq d^{2}f(a)(u,u)=\sum_{i,j}\frac{\partial f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a)u_{i}u_{j}$ \end_inset es continua, luego @@ -914,7 +914,7 @@ Como \end_inset y definimos -\begin_inset Formula $\varphi(t):=a+tu$ +\begin_inset Formula $\varphi(t)\coloneqq a+tu$ \end_inset como la función diff --git a/fvv1/n4.lyx b/fvv1/n4.lyx index f95baae..2edff4c 100644 --- a/fvv1/n4.lyx +++ b/fvv1/n4.lyx @@ -341,7 +341,7 @@ gradiente \end_inset al vector -\begin_inset Formula $\nabla f(a):=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $\nabla f(a)\coloneqq \left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , la matriz de la diferencial de @@ -495,7 +495,7 @@ teorema de los multiplicadores de Lagrange \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\nabla f(a)\in\text{span}(\nabla g_{1}(a),\dots,\nabla g_{k}(a)):=<\nabla g_{1}(a),\dots,\nabla g_{k}(a)>$ +\begin_inset Formula $\nabla f(a)\in\text{span}(\nabla g_{1}(a),\dots,\nabla g_{k}(a))\coloneqq <\nabla g_{1}(a),\dots,\nabla g_{k}(a)>$ \end_inset (el espacio generado por los vectores). diff --git a/fvv2/n1.lyx b/fvv2/n1.lyx index e7eda47..fee5af0 100644 --- a/fvv2/n1.lyx +++ b/fvv2/n1.lyx @@ -128,7 +128,7 @@ integral indefinida \end_inset con -\begin_inset Formula $F(x):=\int_{a}^{x}f$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int_{a}^{x}f$ \end_inset . @@ -243,7 +243,7 @@ rectángulo \end_inset -dimensional -\begin_inset Formula $R:=[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]\subset\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq [a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]\subset\mathbb{R}^{n}$ \end_inset se define como @@ -308,7 +308,7 @@ Una partición \series default sobre este rectángulo es una lista -\begin_inset Formula $P:=(P_{1},\dots,P_{n})$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq (P_{1},\dots,P_{n})$ \end_inset en la que cada @@ -361,7 +361,7 @@ Si \end_inset es acotada y -\begin_inset Formula $P:=(P_{i})_{i=1}^{n}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq (P_{i})_{i=1}^{n}$ \end_inset es una partición de @@ -377,7 +377,7 @@ Si \end_inset denotamos -\begin_inset Formula $m_{S_{h}}(f):=\inf\{f(x)\}_{x\in S_{h}}$ +\begin_inset Formula $m_{S_{h}}(f)\coloneqq \inf\{f(x)\}_{x\in S_{h}}$ \end_inset y @@ -1251,7 +1251,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(0.c_{1}c_{2}\cdots c_{n}\cdots_{(3)}):=0.\frac{c_{1}}{2}\frac{c_{2}}{2}\cdots\frac{c_{n}}{2}\cdots_{(2)}$ +\begin_inset Formula $f(0.c_{1}c_{2}\cdots c_{n}\cdots_{(3)})\coloneqq 0.\frac{c_{1}}{2}\frac{c_{2}}{2}\cdots\frac{c_{n}}{2}\cdots_{(2)}$ \end_inset es suprayectiva, luego @@ -1452,7 +1452,7 @@ Sea \end_inset , -\begin_inset Formula $B:=\{x\in A\mid \text{osc}(f,x)\geq\varepsilon\}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \{x\in A\mid \text{osc}(f,x)\geq\varepsilon\}$ \end_inset es cerrado. @@ -1539,7 +1539,7 @@ teorema de Lebesgue de caracterización de las funciones integrables \end_inset si y sólo si -\begin_inset Formula $B:=\{x\in R\mid f\text{ no es continua en }x\}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \{x\in R\mid f\text{ no es continua en }x\}$ \end_inset tiene medida nula. @@ -1559,7 +1559,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $B_{k}:=\{x\in R\mid o(f,x)\geq\frac{1}{k}\}$ +\begin_inset Formula $B_{k}\coloneqq \{x\in R\mid o(f,x)\geq\frac{1}{k}\}$ \end_inset , basta probar que cada @@ -1671,7 +1671,7 @@ Fijado . Es claro que -\begin_inset Formula $C:=R\backslash\bigcup_{k}N_{k}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq R\backslash\bigcup_{k}N_{k}$ \end_inset es compacto, y como para cada @@ -1868,15 +1868,15 @@ Sean \end_inset como -\begin_inset Formula $lf_{x}(y):=f(x,y)$ +\begin_inset Formula $lf_{x}(y)\coloneqq f(x,y)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $s_{lf}(x):=\underline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$ +\begin_inset Formula $s_{lf}(x)\coloneqq \underline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $S_{lf}(x):=\overline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$ +\begin_inset Formula $S_{lf}(x)\coloneqq \overline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$ \end_inset , y para cada @@ -1884,15 +1884,15 @@ Sean \end_inset definimos -\begin_inset Formula $rf_{y}(x):=f(x,y)$ +\begin_inset Formula $rf_{y}(x)\coloneqq f(x,y)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $s_{rf}(y):=\int_{R_{1}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$ +\begin_inset Formula $s_{rf}(y)\coloneqq \int_{R_{1}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $S_{rf}(y):=\overline{\int_{R_{1}}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$ +\begin_inset Formula $S_{rf}(y)\coloneqq \overline{\int_{R_{1}}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$ \end_inset . @@ -1944,11 +1944,11 @@ En la práctica esto significa que \end_inset donde -\begin_inset Formula $d\vec{x}:=dx_{1}\cdots dx_{n}$ +\begin_inset Formula $d\vec{x}\coloneqq dx_{1}\cdots dx_{n}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $d\vec{y}:=dy_{1}\cdots dy_{m}$ +\begin_inset Formula $d\vec{y}\coloneqq dy_{1}\cdots dy_{m}$ \end_inset . @@ -2408,7 +2408,7 @@ Funciones que contienen \begin_layout Standard Llamamos -\begin_inset Formula $d:=\frac{ac-b^{2}}{a}$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \frac{ac-b^{2}}{a}$ \end_inset y se tiene @@ -2787,7 +2787,7 @@ donde . Si existe el límite de estas sumas cuando -\begin_inset Formula $|P|:=\sup\{t_{i}-t_{i-1}\}_{i=1}^{n}$ +\begin_inset Formula $|P|\coloneqq \sup\{t_{i}-t_{i-1}\}_{i=1}^{n}$ \end_inset tiende a 0 se dice que @@ -2840,7 +2840,7 @@ Vemos que si es la identidad entonces la integral es exactamente la de Riemann. Denotamos -\begin_inset Formula $\lambda_{\varphi}([a,b]):=\varphi(b)-\varphi(a)$ +\begin_inset Formula $\lambda_{\varphi}([a,b])\coloneqq \varphi(b)-\varphi(a)$ \end_inset . @@ -3045,11 +3045,11 @@ Demostración: . Sean -\begin_inset Formula $P:=\{a=x_{0}<\dots<x_{n}=b\}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{a=x_{0}<\dots<x_{n}=b\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $Q:=\{a=y_{0}<\dots<y_{m}=b\}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq \{a=y_{0}<\dots<y_{m}=b\}$ \end_inset particiones con @@ -3245,15 +3245,15 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{1}:=t_{0}=a\in[\xi_{0},\xi_{1}]$ +\begin_inset Formula $x_{1}\coloneqq t_{0}=a\in[\xi_{0},\xi_{1}]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{i}:=t_{i-1}\in[\xi_{i-1},\xi_{i}]\forall i\in\{1,\dots,n\}$ +\begin_inset Formula $x_{i}\coloneqq t_{i-1}\in[\xi_{i-1},\xi_{i}]\forall i\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{n+1}:=t_{n}=b\in[\xi_{n},\xi_{n+1}]$ +\begin_inset Formula $x_{n+1}\coloneqq t_{n}=b\in[\xi_{n},\xi_{n+1}]$ \end_inset . diff --git a/fvv2/n2.lyx b/fvv2/n2.lyx index bd555e8..0442b74 100644 --- a/fvv2/n2.lyx +++ b/fvv2/n2.lyx @@ -123,7 +123,7 @@ Un \end_inset y -\begin_inset Formula $A\Delta B:=(A\backslash B)\cup(B\backslash A)\in{\cal A}$ +\begin_inset Formula $A\Delta B\coloneqq (A\backslash B)\cup(B\backslash A)\in{\cal A}$ \end_inset (diferencia simétrica). @@ -177,11 +177,11 @@ Una \end_inset , tomando la sucesión creciente -\begin_inset Formula $U_{n}:=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$ +\begin_inset Formula $U_{n}\coloneqq \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$ \end_inset , vemos que -\begin_inset Formula $A:=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_{n}\in{\cal A}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_{n}\in{\cal A}$ \end_inset . @@ -239,7 +239,7 @@ Si \end_inset es un conjunto de álgebras, su intersección -\begin_inset Formula $\Sigma:=\bigcap_{\alpha\in A}\Sigma_{\alpha}$ +\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq \bigcap_{\alpha\in A}\Sigma_{\alpha}$ \end_inset es un álgebra, y si los @@ -314,7 +314,7 @@ Sea \end_inset a -\begin_inset Formula ${\cal B}(T):=\sigma({\cal J})=\sigma({\cal F})$ +\begin_inset Formula ${\cal B}(T)\coloneqq \sigma({\cal J})=\sigma({\cal F})$ \end_inset , y sus elementos son los @@ -356,7 +356,7 @@ Dados \end_inset , escribimos -\begin_inset Formula $[a,b):=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})$ +\begin_inset Formula $[a,b)\coloneqq \prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})$ \end_inset , y definimos @@ -634,7 +634,7 @@ espacio de medida \end_inset , -\begin_inset Formula $\Sigma:={\cal P}(\Omega)$ +\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq {\cal P}(\Omega)$ \end_inset y @@ -642,7 +642,7 @@ espacio de medida \end_inset , la función dada por -\begin_inset Formula $\mu(E):=\sum_{x\in E}f(x)$ +\begin_inset Formula $\mu(E)\coloneqq \sum_{x\in E}f(x)$ \end_inset es una medida en @@ -718,11 +718,11 @@ Subaditividad \end_inset Si llamamos -\begin_inset Formula $B_{1}:=A_{1}$ +\begin_inset Formula $B_{1}\coloneqq A_{1}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $B_{n}:=A_{n}\backslash\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}$ +\begin_inset Formula $B_{n}\coloneqq A_{n}\backslash\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}$ \end_inset para @@ -1181,7 +1181,7 @@ Demostración: . Entonces -\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A:=\bigcup_{k=1}^{+\infty}(a'_{k},b_{k}))\leq\sum_{k=1}^{+\infty}((a'_{k},b_{k}))<\sum_{k=1}^{+\infty}(v([a_{k},b_{k}))+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}})=\sum_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})+\frac{\varepsilon}{2}<\lambda_{n}^{*}(S)+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\lambda_{n}^{*}(S)+\varepsilon$ +\begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A\coloneqq \bigcup_{k=1}^{+\infty}(a'_{k},b_{k}))\leq\sum_{k=1}^{+\infty}((a'_{k},b_{k}))<\sum_{k=1}^{+\infty}(v([a_{k},b_{k}))+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}})=\sum_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})+\frac{\varepsilon}{2}<\lambda_{n}^{*}(S)+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\lambda_{n}^{*}(S)+\varepsilon$ \end_inset . @@ -1217,7 +1217,7 @@ Lebesgue medida de Lebesgue \series default es -\begin_inset Formula $\lambda_{n}(M):=\lambda_{n}^{*}(M)$ +\begin_inset Formula $\lambda_{n}(M)\coloneqq \lambda_{n}^{*}(M)$ \end_inset . @@ -1242,7 +1242,7 @@ teorema \end_inset tal que su intersección -\begin_inset Formula $B:=\bigcap_{k}A_{k}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \bigcap_{k}A_{k}$ \end_inset cumple que @@ -1293,7 +1293,7 @@ conjuntos y un conjunto de medida nula. Si -\begin_inset Formula $M:=\bigcup_{k}M_{k}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \bigcup_{k}M_{k}$ \end_inset es unión numerable de conjuntos medibles, @@ -1429,7 +1429,7 @@ Demostración: \end_inset -\begin_inset Formula $B:=\bigcap_{k}A_{k}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \bigcap_{k}A_{k}$ \end_inset tl que @@ -1751,7 +1751,7 @@ Si la medida exterior de \end_inset tiene medida nula y como -\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{k}H_{k}$ +\begin_inset Formula $H\coloneqq \bigcup_{k}H_{k}$ \end_inset es medible, entonces @@ -1844,7 +1844,7 @@ Si \end_inset , donde -\begin_inset Formula $c:=\mu([0,1)^{n})$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \mu([0,1)^{n})$ \end_inset . @@ -1970,7 +1970,7 @@ teorema para transformaciones lineales \end_inset , donde -\begin_inset Formula $c:=\lambda_{n}(T([0,1)^{n}))=|\det(T)|$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \lambda_{n}(T([0,1)^{n}))=|\det(T)|$ \end_inset . diff --git a/fvv2/n3.lyx b/fvv2/n3.lyx index 11ac40c..74dc33c 100644 --- a/fvv2/n3.lyx +++ b/fvv2/n3.lyx @@ -172,7 +172,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{E\in\Sigma'\mid f^{-1}(E)\in\Sigma\}$ +\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \{E\in\Sigma'\mid f^{-1}(E)\in\Sigma\}$ \end_inset , vemos que @@ -200,11 +200,11 @@ Sea \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $T:=(X,{\cal T})$ +\begin_inset Formula $T\coloneqq (X,{\cal T})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $T':=(X,{\cal T}')$ +\begin_inset Formula $T'\coloneqq (X,{\cal T}')$ \end_inset espacios topológicos, toda función @@ -315,7 +315,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\varphi(\omega):=(u_{1}(\omega),\dots,u_{n}(\omega))$ +\begin_inset Formula $\varphi(\omega)\coloneqq (u_{1}(\omega),\dots,u_{n}(\omega))$ \end_inset es medible. @@ -601,7 +601,7 @@ Una función -medible \series default si es -\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma':=\sigma(\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}}))$ +\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma'\coloneqq \sigma(\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}}))$ \end_inset -medible. @@ -627,7 +627,7 @@ Una función \end_inset y la notación -\begin_inset Formula $\{f\bullet a\}\mid =\{\omega\in\Omega\mid f(\omega)\bullet a\}$ +\begin_inset Formula $\{f\bullet a\}\coloneqq \{\omega\in\Omega\mid f(\omega)\bullet a\}$ \end_inset . @@ -1002,7 +1002,7 @@ Si \begin_deeper \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $Z:=\{f\neq g\}$ +\begin_inset Formula $Z\coloneqq \{f\neq g\}$ \end_inset , @@ -1478,11 +1478,11 @@ Toda función \begin_deeper \begin_layout Standard Basta aplicar lo anterior a -\begin_inset Formula $f^{+}:=\max\{0,f\}$ +\begin_inset Formula $f^{+}\coloneqq \max\{0,f\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f^{-}:=-\min\{0,f\}$ +\begin_inset Formula $f^{-}\coloneqq -\min\{0,f\}$ \end_inset y restar las sucesiones resultantes. @@ -1554,7 +1554,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal S}(\Omega)^{+}:=\{h\in{\cal S}(\Omega)\mid h\geq0\}$ +\begin_inset Formula ${\cal S}(\Omega)^{+}\coloneqq \{h\in{\cal S}(\Omega)\mid h\geq0\}$ \end_inset , llamamos @@ -1562,7 +1562,7 @@ Sea integral \series default de una función simple -\begin_inset Formula $h:=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\chi_{E_{k}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq \sum_{k=1}^{n}a_{k}\chi_{E_{k}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ \end_inset como @@ -1633,11 +1633,11 @@ Supongamos \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $C:=\{c_{1},\dots,c_{r}\}=\{a_{i}+b_{j}\}_{i\in\{1,\dots,n\},j\in\{1,\dots,m\}}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{c_{1},\dots,c_{r}\}=\{a_{i}+b_{j}\}_{i\in\{1,\dots,n\},j\in\{1,\dots,m\}}$ \end_inset , y -\begin_inset Formula $C_{k}:=\bigcup_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}(A_{i}\cap B_{j})$ +\begin_inset Formula $C_{k}\coloneqq \bigcup_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}(A_{i}\cap B_{j})$ \end_inset para cada @@ -1688,7 +1688,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(E):=\int f\chi_{E}d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(E)\coloneqq \int f\chi_{E}d\mu$ \end_inset es una medida finita. @@ -1817,7 +1817,7 @@ Si para \end_inset definimos -\begin_inset Formula $E_{t}:=E\cap\{f>t\}$ +\begin_inset Formula $E_{t}\coloneqq E\cap\{f>t\}$ \end_inset , entonces @@ -1950,7 +1950,7 @@ teorema de convergencia monótona de Lebesgue Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\int f_{n}d\mu\in[0,+\infty]$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup\int f_{n}d\mu\in[0,+\infty]$ \end_inset , como @@ -1979,7 +1979,7 @@ Demostración: \end_inset , se tiene que -\begin_inset Formula $(E_{n}:=\{f_{n}\geq s\})_{n}$ +\begin_inset Formula $(E_{n}\coloneqq \{f_{n}\geq s\})_{n}$ \end_inset es creciente con @@ -2041,7 +2041,7 @@ teorema de Beppo-Levi Demostración: \series default -\begin_inset Formula $(F_{n}:=\sum_{k=1}^{n}f_{k})_{n}$ +\begin_inset Formula $(F_{n}\coloneqq \sum_{k=1}^{n}f_{k})_{n}$ \end_inset es una sucesión de funciones medibles, por lo que basta tomar límites en @@ -2116,7 +2116,7 @@ lema de Fatou \end_inset es una sucesión de funciones medibles, su límite inferior -\begin_inset Formula $f(\omega):=\liminf_{n}f_{n}(\omega)$ +\begin_inset Formula $f(\omega)\coloneqq \liminf_{n}f_{n}(\omega)$ \end_inset es medible y @@ -2129,7 +2129,7 @@ lema de Fatou Demostración: \series default -\begin_inset Formula $(g_{n}:=\inf_{m\geq n}\{f_{m}(x)\})_{n}$ +\begin_inset Formula $(g_{n}\coloneqq \inf_{m\geq n}\{f_{m}(x)\})_{n}$ \end_inset define una sucesión creciente de funciones medibles convergente hacia @@ -2162,7 +2162,7 @@ teorema \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(E):=\int_{E}g\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(E)\coloneqq \int_{E}g\,d\mu$ \end_inset es una medida y para @@ -2203,7 +2203,7 @@ Demostración: es una medida. Sea -\begin_inset Formula $s:=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\chi_{E_{i}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq \sum_{i=1}^{m}a_{i}\chi_{E_{i}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ \end_inset , @@ -2236,7 +2236,7 @@ Una función medible \end_inset , si y sólo si -\begin_inset Formula $f^{+}=\max\{f,0\},f^{-}=\min\{f,0\}\mid \Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$ +\begin_inset Formula $f^{+}=\max\{f,0\},f^{-}=\min\{f,0\}:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$ \end_inset son integrables, y definimos @@ -2391,7 +2391,7 @@ La aplicación \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(f):=\int f\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(f)\coloneqq \int f\,d\mu$ \end_inset es lineal. @@ -2418,7 +2418,7 @@ Sean \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $h:=u+v\implies h^{+}-h^{-}=u^{+}-u^{-}+v^{+}-v^{-}\implies h^{+}+(u^{-}+v^{-})=(u^{+}+v^{+})+h^{-}\implies\int h^{+}d\mu+\int u^{-}d\mu+\int v^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu+\int v^{+}d\mu+\int h^{-}d\mu\implies\int h\,d\mu=\int h^{+}d\mu-\int h^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu-\int u^{-}d\mu+\int v^{+}d\mu-\int v^{-}d\mu=\int u\,d\mu+\int v\,d\mu$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq u+v\implies h^{+}-h^{-}=u^{+}-u^{-}+v^{+}-v^{-}\implies h^{+}+(u^{-}+v^{-})=(u^{+}+v^{+})+h^{-}\implies\int h^{+}d\mu+\int u^{-}d\mu+\int v^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu+\int v^{+}d\mu+\int h^{-}d\mu\implies\int h\,d\mu=\int h^{+}d\mu-\int h^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu-\int u^{-}d\mu+\int v^{+}d\mu-\int v^{-}d\mu=\int u\,d\mu+\int v\,d\mu$ \end_inset . @@ -2458,7 +2458,7 @@ Si \end_inset , sea -\begin_inset Formula $a:=\frac{\int f\,d\mu}{|\int f\,d\mu|}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \frac{\int f\,d\mu}{|\int f\,d\mu|}$ \end_inset y como @@ -2498,11 +2498,11 @@ integrable sobre extensión canónica \series default -\begin_inset Formula $\tilde{f}:=f\chi_{E}$ +\begin_inset Formula $\tilde{f}\coloneqq f\chi_{E}$ \end_inset es integrable, y entonces se define -\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu:=\int\tilde{f}\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu\coloneqq \int\tilde{f}\,d\mu$ \end_inset . @@ -2691,7 +2691,7 @@ teorema de la convergencia dominada \end_inset , entonces la función límite -\begin_inset Formula $f(\omega):=\lim_{n}f_{n}(\omega)$ +\begin_inset Formula $f(\omega)\coloneqq \lim_{n}f_{n}(\omega)$ \end_inset , definida en casi todo punto, es integrable, @@ -2828,15 +2828,15 @@ teorema Demostración: \series default Por el teorema de la convergencia monótona, -\begin_inset Formula $G:=\sum_{n}|f_{n}|$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \sum_{n}|f_{n}|$ \end_inset converge en casi todo punto y es integrable, y -\begin_inset Formula $S:=\sum_{n}f_{n}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \sum_{n}f_{n}$ \end_inset también, y como para -\begin_inset Formula $(g_{m}:=\sum_{n=0}^{m}f_{n})_{m}$ +\begin_inset Formula $(g_{m}\coloneqq \sum_{n=0}^{m}f_{n})_{m}$ \end_inset se tiene @@ -2908,11 +2908,11 @@ Demostración: \end_inset de funciones simples -\begin_inset Formula $s_{k}(t):=\sum_{i=1}^{m_{k}}\chi_{N_{ki}}\inf_{x\in N_{ki}}\{f(x)\}$ +\begin_inset Formula $s_{k}(t)\coloneqq \sum_{i=1}^{m_{k}}\chi_{N_{ki}}\inf_{x\in N_{ki}}\{f(x)\}$ \end_inset está acotada por la función constante -\begin_inset Formula $M:=\chi_{[a,b]}\sup_{x\in[a,b]}\{|f(x)|\}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \chi_{[a,b]}\sup_{x\in[a,b]}\{|f(x)|\}$ \end_inset y converge a @@ -3064,7 +3064,7 @@ status open \end_inset , -\begin_inset Formula $(f_{k}:=\chi_{I_{k}}f)$ +\begin_inset Formula $(f_{k}\coloneqq \chi_{I_{k}}f)$ \end_inset es una sucesión de funciones que tiende a @@ -3218,7 +3218,7 @@ soporte \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{sop}(g):=\overline{\{g\neq0\}}$ +\begin_inset Formula $\text{sop}(g)\coloneqq \overline{\{g\neq0\}}$ \end_inset , y @@ -3315,11 +3315,11 @@ Demostración: \end_inset es continua, y como -\begin_inset Formula $\delta:=\min\{d(x,K)\mid x\notin A\}>0$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{d(x,K)\mid x\notin A\}>0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $A_{0}:=\{x\mid d(x,K)<\frac{\delta}{2}\}$ +\begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq \{x\mid d(x,K)<\frac{\delta}{2}\}$ \end_inset es un abierto acotado con @@ -3328,11 +3328,11 @@ Demostración: . Tomando -\begin_inset Formula $F_{0}:=\mathbb{R}^{n}\backslash A_{0}=\{x\mid d(x,K)\geq\frac{\delta}{2}\}$ +\begin_inset Formula $F_{0}\coloneqq \mathbb{R}^{n}\backslash A_{0}=\{x\mid d(x,K)\geq\frac{\delta}{2}\}$ \end_inset , podemos definir -\begin_inset Formula $f_{0}(y):=\frac{d(y,F_{0})}{1+d(y,F_{0})}$ +\begin_inset Formula $f_{0}(y)\coloneqq \frac{d(y,F_{0})}{1+d(y,F_{0})}$ \end_inset , que cumple @@ -3352,11 +3352,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $f_{0}(y)\geq k_{0}:=\frac{\frac{\delta}{2}}{1+\frac{\delta}{2}}$ +\begin_inset Formula $f_{0}(y)\geq k_{0}\coloneqq \frac{\frac{\delta}{2}}{1+\frac{\delta}{2}}$ \end_inset y la función continua -\begin_inset Formula $f(x):=\min\{1,\frac{f_{0}(x)}{k_{0}}\}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \min\{1,\frac{f_{0}(x)}{k_{0}}\}$ \end_inset tiene soporte compacto en @@ -3400,7 +3400,7 @@ Para casi todo \end_inset -\begin_inset Formula $f^{\omega}(x):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f^{\omega}(x)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es continua. @@ -3412,7 +3412,7 @@ Para todo \end_inset -\begin_inset Formula $f_{x}(\omega):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f_{x}(\omega)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es medible. @@ -3448,7 +3448,7 @@ Entonces para todo \end_inset es integrable y -\begin_inset Formula $F(x):=\int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ \end_inset es continua. @@ -3572,7 +3572,7 @@ Para casi todo \end_inset -\begin_inset Formula $f^{\omega}(x):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f^{\omega}(x)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es derivable ( @@ -3588,7 +3588,7 @@ Para todo \end_inset -\begin_inset Formula $f_{x}(\omega):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f_{x}(\omega)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es medible, siendo integrable para algún @@ -3628,7 +3628,7 @@ Entonces para todo \end_inset es integrable, -\begin_inset Formula $F(x):=\int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ \end_inset es derivable y diff --git a/fvv2/n4.lyx b/fvv2/n4.lyx index 2db00c5..ada1c91 100644 --- a/fvv2/n4.lyx +++ b/fvv2/n4.lyx @@ -103,11 +103,11 @@ Dados dos espacios medibles rectángulo medible \series default en -\begin_inset Formula $\Omega:=\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ +\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq \Omega_{1}\times\Omega_{2}$ \end_inset a los elementos de -\begin_inset Formula ${\cal R}:=\{A\times B\}_{A\in\Sigma_{1},B\in\Sigma_{2}}$ +\begin_inset Formula ${\cal R}\coloneqq \{A\times B\}_{A\in\Sigma_{1},B\in\Sigma_{2}}$ \end_inset . @@ -124,7 +124,7 @@ rectángulo medible \end_inset a -\begin_inset Formula $\Sigma:=\Sigma_{1}\times\Sigma_{2}:=\sigma({\cal R})$ +\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq \Sigma_{1}\times\Sigma_{2}\coloneqq \sigma({\cal R})$ \end_inset . @@ -224,11 +224,11 @@ medida imagen \end_inset a la medida -\begin_inset Formula $\nu:=\mu g^{-1}:\Sigma'\rightarrow[0,+\infty]$ +\begin_inset Formula $\nu\coloneqq \mu g^{-1}:\Sigma'\rightarrow[0,+\infty]$ \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(A):=\mu(g^{-1}(A))$ +\begin_inset Formula $\nu(A)\coloneqq \mu(g^{-1}(A))$ \end_inset . @@ -360,7 +360,7 @@ teorema \end_inset es acotada y -\begin_inset Formula $D(f):=\{x\in[a,b]\mid f\text{ es discontinua en }x\}$ +\begin_inset Formula $D(f)\coloneqq \{x\in[a,b]\mid f\text{ es discontinua en }x\}$ \end_inset , entonces @@ -450,11 +450,11 @@ función de distribución \end_inset a -\begin_inset Formula $F(x):=\mu(\{f\leq x\})$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \mu(\{f\leq x\})$ \end_inset o a -\begin_inset Formula $\varphi(x):=\mu(\{f>x\})=\mu(\Omega)-F(x)$ +\begin_inset Formula $\varphi(x)\coloneqq \mu(\{f>x\})=\mu(\Omega)-F(x)$ \end_inset . @@ -463,11 +463,11 @@ función de distribución \end_inset una variable aleatoria, -\begin_inset Formula $F(x):=\mu(\{f\leq x\})$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \mu(\{f\leq x\})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\varphi(x):=\mu(\{f>x\})$ +\begin_inset Formula $\varphi(x)\coloneqq \mu(\{f>x\})$ \end_inset , entonces @@ -524,7 +524,7 @@ Si \end_inset no es acotada, podemos aplicar este resultado a los conjuntos -\begin_inset Formula $E_{a,b}:=\{a<f\leq b\}$ +\begin_inset Formula $E_{a,b}\coloneqq \{a<f\leq b\}$ \end_inset para @@ -532,7 +532,7 @@ Si \end_inset cualesquiera definiendo -\begin_inset Formula $\mu_{a,b}(E):=\mu(E\cap E_{a,b})$ +\begin_inset Formula $\mu_{a,b}(E)\coloneqq \mu(E\cap E_{a,b})$ \end_inset y usando esta medida. @@ -601,7 +601,7 @@ Si \end_inset es medible con -\begin_inset Formula $\varphi(x):=\mu(\{f>x\})$ +\begin_inset Formula $\varphi(x)\coloneqq \mu(\{f>x\})$ \end_inset y @@ -673,7 +673,7 @@ Llamamos \end_inset , escribimos -\begin_inset Formula ${\cal L}^{p}(\mu):={\cal L}_{\phi}(\mu)$ +\begin_inset Formula ${\cal L}^{p}(\mu)\coloneqq {\cal L}_{\phi}(\mu)$ \end_inset . @@ -102,7 +102,7 @@ binaria \end_inset , escribimos -\begin_inset Formula $a*b:=*(a,b)$ +\begin_inset Formula $a*b\coloneqq *(a,b)$ \end_inset , y decimos que @@ -464,19 +464,19 @@ Claramente \end_inset , sean -\begin_inset Formula $f(a):=a$ +\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq a$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f(b):=a$ +\begin_inset Formula $f(b)\coloneqq a$ \end_inset , -\begin_inset Formula $g(a):=b$ +\begin_inset Formula $g(a)\coloneqq b$ \end_inset , -\begin_inset Formula $g(b):=a$ +\begin_inset Formula $g(b)\coloneqq a$ \end_inset , entonces @@ -506,7 +506,7 @@ Sea \end_inset con -\begin_inset Formula $(f+g)(a):=f(a)+g(a)$ +\begin_inset Formula $(f+g)(a)\coloneqq f(a)+g(a)$ \end_inset es un grupo abeliano, y @@ -514,7 +514,7 @@ Sea \end_inset con -\begin_inset Formula $(f\cdot g)(a):=f(a)g(a)$ +\begin_inset Formula $(f\cdot g)(a)\coloneqq f(a)g(a)$ \end_inset es un monoide conmutativo cuyos elementos invertibles son las funciones @@ -539,7 +539,7 @@ Ambas operaciones son conmutativas y asociativas, la suma tiene como neutro \end_inset dada por -\begin_inset Formula $(-f)(a):=-f(a)$ +\begin_inset Formula $(-f)(a)\coloneqq -f(a)$ \end_inset , pero respecto al producto es @@ -547,7 +547,7 @@ Ambas operaciones son conmutativas y asociativas, la suma tiene como neutro \end_inset dada por -\begin_inset Formula $g(a):=f(a)^{-1}$ +\begin_inset Formula $g(a)\coloneqq f(a)^{-1}$ \end_inset , que solo existe si @@ -770,7 +770,7 @@ anillo conmutativo \begin_layout Standard Asumimos que el producto tiene más prioridad que la suma, y escribimos -\begin_inset Formula $ab:=a\cdot b$ +\begin_inset Formula $ab\coloneqq a\cdot b$ \end_inset . @@ -791,7 +791,7 @@ opuesto \end_inset respecto de la suma, y escribimos -\begin_inset Formula $a-b:=a+(-b)$ +\begin_inset Formula $a-b\coloneqq a+(-b)$ \end_inset . @@ -829,7 +829,7 @@ inverso \end_inset es conmutativo, escribimos -\begin_inset Formula $a/b:=\frac{a}{b}:=ab^{-1}$ +\begin_inset Formula $a/b\coloneqq \frac{a}{b}\coloneqq ab^{-1}$ \end_inset . @@ -903,11 +903,11 @@ Dada una familia de anillos \end_inset , -\begin_inset Formula $a+b:=(a_{i}+b_{i})_{i\in I}$ +\begin_inset Formula $a+b\coloneqq (a_{i}+b_{i})_{i\in I}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $ab:=(a_{i}b_{i})_{i\in I}$ +\begin_inset Formula $ab\coloneqq (a_{i}b_{i})_{i\in I}$ \end_inset . @@ -924,11 +924,11 @@ Dada una familia de anillos \end_inset es un anillo con la suma y el producto dados por -\begin_inset Formula $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ +\begin_inset Formula $(f+g)(x)\coloneqq f(x)+g(x)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(fg)(x):=f(x)g(x)$ +\begin_inset Formula $(fg)(x)\coloneqq f(x)g(x)$ \end_inset . @@ -1284,7 +1284,7 @@ Dado un anillo \end_inset , definimos -\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a:=0$ +\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq 0$ \end_inset , y para @@ -1292,16 +1292,16 @@ Dado un anillo \end_inset , -\begin_inset Formula $na:=(n-1)a+a$ +\begin_inset Formula $na\coloneqq (n-1)a+a$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(-n)a:=-(na)$ +\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq -(na)$ \end_inset . Definimos -\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}:=1_{A}$ +\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq 1_{A}$ \end_inset , para @@ -1309,7 +1309,7 @@ Dado un anillo \end_inset , -\begin_inset Formula $a^{n}:=a^{n-1}a$ +\begin_inset Formula $a^{n}\coloneqq a^{n-1}a$ \end_inset , y si @@ -1317,7 +1317,7 @@ Dado un anillo \end_inset es invertible, -\begin_inset Formula $a^{-n}:=(a^{-1})^{n}$ +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq (a^{-1})^{n}$ \end_inset . @@ -1712,7 +1712,7 @@ cerrado \end_inset dada por -\begin_inset Formula $x\hat{*}y:=x*y$ +\begin_inset Formula $x\hat{*}y\coloneqq x*y$ \end_inset es la operación @@ -2092,7 +2092,7 @@ subanillo primo \end_inset a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1:=\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq \{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset , el menor subanillo de @@ -2199,11 +2199,11 @@ Dado \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[z]:=\{a+bz\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[z]\coloneqq \{a+bz\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[z]:=\{a+bz\}_{a,b\in\mathbb{Q}}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[z]\coloneqq \{a+bz\}_{a,b\in\mathbb{Q}}$ \end_inset . @@ -2847,7 +2847,7 @@ Dado un anillo \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\mu(n):=n1$ +\begin_inset Formula $\mu(n)\coloneqq n1$ \end_inset es el único homomorfismo de anillos de @@ -2921,7 +2921,7 @@ proyección \end_inset dada por -\begin_inset Formula $p_{j}(a):=a_{j}$ +\begin_inset Formula $p_{j}(a)\coloneqq a_{j}$ \end_inset es un homomorfismo. @@ -2933,7 +2933,7 @@ La conjugación \series default de complejos, dada por -\begin_inset Formula $\overline{a+bi}:=a-bi$ +\begin_inset Formula $\overline{a+bi}\coloneqq a-bi$ \end_inset para @@ -2979,7 +2979,7 @@ norma \end_inset dada por -\begin_inset Formula $N(a+b\sqrt{d}):=(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d})=a^{2}-b^{2}d$ +\begin_inset Formula $N(a+b\sqrt{d})\coloneqq (a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d})=a^{2}-b^{2}d$ \end_inset . @@ -3038,7 +3038,7 @@ Dado un anillo \end_inset , -\begin_inset Formula $0:=\{0\}$ +\begin_inset Formula $0\coloneqq \{0\}$ \end_inset es un ideal de @@ -3102,7 +3102,7 @@ ideal principal \end_inset a -\begin_inset Formula $(b):=bA:=\{b\}A$ +\begin_inset Formula $(b)\coloneqq bA\coloneqq \{b\}A$ \end_inset . @@ -3154,7 +3154,7 @@ Sea \end_inset contiene al menos un positivo y podemos definir -\begin_inset Formula $a:=\min(I\cap\mathbb{Z}^{+})$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \min(I\cap\mathbb{Z}^{+})$ \end_inset . @@ -3257,7 +3257,7 @@ congruentes módulo \end_inset con clases de equivalencia de la forma -\begin_inset Formula $[a]:=a+I:=\{a+x\}_{x\in I}$ +\begin_inset Formula $[a]\coloneqq a+I\coloneqq \{a+x\}_{x\in I}$ \end_inset y conjunto cociente @@ -3274,11 +3274,11 @@ congruentes módulo \begin_layout Standard Las operaciones -\begin_inset Formula $[a]+[b]:=[a+b]$ +\begin_inset Formula $[a]+[b]\coloneqq [a+b]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $[a][b]:=[ab]$ +\begin_inset Formula $[a][b]\coloneqq [ab]$ \end_inset están bien definidas y dotan a @@ -3420,7 +3420,7 @@ Es claro que \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}:=\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\coloneqq \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ \end_inset . @@ -3655,7 +3655,7 @@ núcleo \end_inset a -\begin_inset Formula $\ker f:=f^{-1}(0)$ +\begin_inset Formula $\ker f\coloneqq f^{-1}(0)$ \end_inset . @@ -3862,7 +3862,7 @@ Teorema de la correspondencia: \end_inset , -\begin_inset Formula $J\overset{\pi}{\mapsto}J/I:=\{[a]\}_{a\in J}$ +\begin_inset Formula $J\overset{\pi}{\mapsto}J/I\coloneqq \{[a]\}_{a\in J}$ \end_inset es una biyección entre el conjunto de los ideales de @@ -4315,11 +4315,11 @@ A/\ker f\cong\text{Im}f. Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $K:=\ker f$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq \ker f$ \end_inset e -\begin_inset Formula $I:=\text{Im}f$ +\begin_inset Formula $I\coloneqq \text{Im}f$ \end_inset . @@ -4328,7 +4328,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\tilde{f}(x+K):=f(x)$ +\begin_inset Formula $\tilde{f}(x+K)\coloneqq f(x)$ \end_inset está bien definida, pues si @@ -4425,7 +4425,7 @@ status open \end_inset , -\begin_inset Formula $f(a,b):=a$ +\begin_inset Formula $f(a,b)\coloneqq a$ \end_inset , es suprayectivo con núcleo @@ -4479,7 +4479,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(a+I):=a+J$ +\begin_inset Formula $f(a+I)\coloneqq a+J$ \end_inset , es fácil ver que @@ -4642,7 +4642,7 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x):=x+I$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq x+I$ \end_inset , es claro que @@ -5000,7 +5000,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(a):=(a+I_{1},a+I_{2})$ +\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq (a+I_{1},a+I_{2})$ \end_inset es un homomorfismo de anillos con núcleo @@ -610,7 +610,7 @@ Ambos son subanillos de \end_inset sería cuadrado de racional, pero si llamamos -\begin_inset Formula $\frac{p}{q}:=\frac{a}{b}$ +\begin_inset Formula $\frac{p}{q}\coloneqq \frac{a}{b}$ \end_inset como fracción irreducible, @@ -2549,7 +2549,7 @@ equivalentes \end_inset de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}:=\{1,\dots,n\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq \{1,\dots,n\}$ \end_inset tal que para @@ -3305,7 +3305,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $I:=(a_{1},a_{2},\dots)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(a_{n})$ +\begin_inset Formula $I\coloneqq (a_{1},a_{2},\dots)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(a_{n})$ \end_inset , como @@ -3376,7 +3376,7 @@ euclídea \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D\mid (a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ +\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D:(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ \end_inset . @@ -3416,7 +3416,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Si -\begin_inset Formula $x:=a+bi$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq a+bi$ \end_inset con @@ -3424,7 +3424,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $\delta(x):=|x|^{2}=a^{2}+b^{2}\in\mathbb{N}$ +\begin_inset Formula $\delta(x)\coloneqq |x|^{2}=a^{2}+b^{2}\in\mathbb{N}$ \end_inset . @@ -3438,11 +3438,11 @@ Si , de donde se obtiene la primera condición. Sean ahora -\begin_inset Formula $a:=a_{1}+a_{2}i$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq a_{1}+a_{2}i$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b:=b_{1}+b_{2}i\neq0$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq b_{1}+b_{2}i\neq0$ \end_inset con @@ -3450,7 +3450,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $x:=x_{1}+x_{2}i:=\frac{a}{b}$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq x_{1}+x_{2}i\coloneqq \frac{a}{b}$ \end_inset con @@ -3474,11 +3474,11 @@ Si \end_inset respectivamente, -\begin_inset Formula $q:=q_{1}+q_{2}i$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq q_{1}+q_{2}i$ \end_inset y -\begin_inset Formula $r:=a-bq$ +\begin_inset Formula $r\coloneqq a-bq$ \end_inset . @@ -3810,7 +3810,7 @@ Sean \end_inset un dominio y -\begin_inset Formula $X:=D\times(D\setminus\{0\})$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq D\times(D\setminus\{0\})$ \end_inset , definimos la relación binaria @@ -3864,7 +3864,7 @@ status open \begin_layout Standard Llamamos -\begin_inset Formula $a/s:=\frac{a}{s}:=[(a,s)]\in Q(D):=X/\sim$ +\begin_inset Formula $a/s\coloneqq \frac{a}{s}\coloneqq [(a,s)]\in Q(D)\coloneqq X/\sim$ \end_inset , y las operaciones @@ -4155,7 +4155,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $u(a):=a/1$ +\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ \end_inset es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a @@ -4191,7 +4191,7 @@ Propiedad universal del cuerpo de fracciones: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $u(a):=a/1$ +\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ \end_inset : @@ -4300,7 +4300,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout El homomorfismo -\begin_inset Formula $f:=g\circ u=h\circ u$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq g\circ u=h\circ u$ \end_inset es inyectivo por serlo @@ -4530,7 +4530,7 @@ Demostración: \end_inset , sea -\begin_inset Formula $t:=(c+d\sqrt{m})(c-d\sqrt{m})$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq (c+d\sqrt{m})(c-d\sqrt{m})$ \end_inset , entonces @@ -4633,7 +4633,7 @@ Demostración: \end_inset dado por -\begin_inset Formula $f(n):=n1$ +\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq n1$ \end_inset es un homomorfismo inyectivo y la propiedad universal nos da un homomorfismo @@ -4647,7 +4647,7 @@ Demostración: . Es claro entonces que -\begin_inset Formula $K':=\tilde{f}(\mathbb{Q})$ +\begin_inset Formula $K'\coloneqq \tilde{f}(\mathbb{Q})$ \end_inset es isomorfo a @@ -173,7 +173,7 @@ polinomios constantes \end_inset e -\begin_inset Formula $I[X]:=\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ +\begin_inset Formula $I[X]\coloneqq \{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ \end_inset son ideales de @@ -185,7 +185,7 @@ polinomios constantes \begin_layout Standard Dado -\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ \end_inset , llamamos @@ -197,7 +197,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{gr}(p):=\max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ \end_inset , @@ -321,7 +321,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $t:=\max\{m,n\}$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq \max\{m,n\}$ \end_inset , entonces @@ -901,7 +901,7 @@ función polinómica \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\hat{p}(b):=S_{b}(p)$ +\begin_inset Formula $\hat{p}(b)\coloneqq S_{b}(p)$ \end_inset . @@ -1210,7 +1210,7 @@ status open Demostración: \series default Para la existencia, basta ver que -\begin_inset Formula $d:=\mathtt{dividir}$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \mathtt{dividir}$ \end_inset termina y los valores @@ -1265,11 +1265,11 @@ Demostración: \end_inset , sea -\begin_inset Formula $p:=\frac{f_{n}}{g_{m}}X^{n-m}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \frac{f_{n}}{g_{m}}X^{n-m}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $(q,r):=d(f,acc)=d(f-pg,acc+p)$ +\begin_inset Formula $(q,r)\coloneqq d(f,acc)=d(f-pg,acc+p)$ \end_inset , pero como @@ -1570,7 +1570,7 @@ Para \end_inset , existe -\begin_inset Formula $m:=\max\{k\in\mathbb{N}\mid (X-a)^{k}\mid f\}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid (X-a)^{k}\mid f\}$ \end_inset @@ -1819,7 +1819,7 @@ status open Demostración: \series default Para -\begin_inset Formula $s:=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}=1$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}=1$ \end_inset es evidente. @@ -2059,19 +2059,19 @@ Dado un anillo conmutativo derivada \series default de -\begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ \end_inset como -\begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ +\begin_inset Formula $P'\coloneqq D(P)\coloneqq \sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ \end_inset , y escribimos -\begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$ +\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$ \end_inset y -\begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$ +\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$ \end_inset . @@ -2455,7 +2455,7 @@ status open . En efecto, sea -\begin_inset Formula $D:=A[X]$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq A[X]$ \end_inset , es claro que @@ -2734,7 +2734,7 @@ Si \end_inset , sean -\begin_inset Formula $a:=a_{0}+\dots+a_{n}X^{n},b:=b_{0}+\dots+b_{m}X^{m}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq a_{0}+\dots+a_{n}X^{n},b\coloneqq b_{0}+\dots+b_{m}X^{m}\in D[X]$ \end_inset tales que @@ -2886,7 +2886,7 @@ Demostración: \end_inset múltiplo común de los denominadores en estos representantes, -\begin_inset Formula $g:=bG\in D[X]$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq bG\in D[X]$ \end_inset , y si hacemos lo mismo con @@ -2898,7 +2898,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $h:=cH\in D[X]$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq cH\in D[X]$ \end_inset . @@ -2936,16 +2936,16 @@ Demostración: \end_inset , podemos tomar -\begin_inset Formula $g':=(bc)^{-1}g$ +\begin_inset Formula $g'\coloneqq (bc)^{-1}g$ \end_inset y -\begin_inset Formula $h':=h$ +\begin_inset Formula $h'\coloneqq h$ \end_inset . Si -\begin_inset Formula $n:=\varphi(bc)>0$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \varphi(bc)>0$ \end_inset , probado esto para @@ -3066,7 +3066,7 @@ status open \end_inset Primero vemos que todo -\begin_inset Formula $a:=a_{0}+\dots+a_{n}X^{n}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq a_{0}+\dots+a_{n}X^{n}\in D[X]$ \end_inset con @@ -3127,7 +3127,7 @@ Primero vemos que todo es obvio. De lo contrario existen -\begin_inset Formula $b:=b_{0}+\dots+b_{m}X^{m},c:=c_{0}+\dots+c_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq b_{0}+\dots+b_{m}X^{m},c\coloneqq c_{0}+\dots+c_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset no invertibles ni unidades con @@ -3469,11 +3469,11 @@ Definimos \end_inset tal que, para -\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c(p):=\{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ +\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq \{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ \end_inset , y para @@ -3489,7 +3489,7 @@ Definimos \end_inset , -\begin_inset Formula $c(p):=a^{-1}c(ap)$ +\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq a^{-1}c(ap)$ \end_inset . @@ -3747,11 +3747,11 @@ Sea \end_inset , -\begin_inset Formula $n:=n_{i}:=\max_{k}n_{k}\geq1$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq n_{i}\coloneqq \max_{k}n_{k}\geq1$ \end_inset , -\begin_inset Formula $m:=\text{mcm}_{k}s_{k}$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{mcm}_{k}s_{k}$ \end_inset y @@ -3874,7 +3874,7 @@ Lema de Gauss: Demostración: \series default -\begin_inset Formula $f':=f/c(f)$ +\begin_inset Formula $f'\coloneqq f/c(f)$ \end_inset es primitivo, pues @@ -3882,7 +3882,7 @@ Demostración: \end_inset , y análogamente -\begin_inset Formula $g':=g/c(g)$ +\begin_inset Formula $g'\coloneqq g/c(g)$ \end_inset es primitivo, luego @@ -4286,11 +4286,11 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ \end_inset , todas las raíces de @@ -4519,11 +4519,11 @@ En particular, si \end_inset es primo, -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ \end_inset es primitivo, -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ \end_inset , @@ -4559,11 +4559,11 @@ Criterio de Eisenstein: \end_inset un DFU, -\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset primitivo y -\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ \end_inset , si existe un irreducible @@ -4596,7 +4596,7 @@ status open Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $g:=b_{0}+\dots+b_{m}X^{m},h:=c_{0}+\dots+c_{k}X^{k}\in D[X]$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq b_{0}+\dots+b_{m}X^{m},h\coloneqq c_{0}+\dots+c_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset con @@ -4641,7 +4641,7 @@ Demostración: \end_inset , luego existe -\begin_inset Formula $i:=\min\{j\mid p\nmid b_{j}\}$ +\begin_inset Formula $i\coloneqq \min\{j\mid p\nmid b_{j}\}$ \end_inset y entonces @@ -4761,7 +4761,7 @@ de 1 \end_inset , donde -\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X):=X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ +\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)\coloneqq X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ \end_inset es el @@ -4876,7 +4876,7 @@ anillo de polinomios \end_inset como -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]:=A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]\coloneqq A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ \end_inset . @@ -4984,7 +4984,7 @@ Dados \end_inset e -\begin_inset Formula $i:=(i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ +\begin_inset Formula $i\coloneqq (i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ \end_inset , llamamos a @@ -5259,7 +5259,7 @@ homomorfismo de sustitución \end_inset viene dado por -\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n}):=S(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ \end_inset . @@ -5312,7 +5312,7 @@ Sean \end_inset con inversa -\begin_inset Formula $\tau:=\sigma^{-1}$ +\begin_inset Formula $\tau\coloneqq \sigma^{-1}$ \end_inset , tomando @@ -5355,7 +5355,7 @@ Todo homomorfismo de anillos conmutativos \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\hat{f}(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset . @@ -108,7 +108,7 @@ Notación multiplicativa . Definimos -\begin_inset Formula $a^{0}:=1$ +\begin_inset Formula $a^{0}\coloneqq 1$ \end_inset y, para @@ -116,11 +116,11 @@ Notación multiplicativa \end_inset , -\begin_inset Formula $a^{n+1}:=aa^{n}$ +\begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq aa^{n}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $a^{-n}:=(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}$ +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq (a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}$ \end_inset . @@ -147,7 +147,7 @@ Notación aditiva . Definimos -\begin_inset Formula $0a:=0$ +\begin_inset Formula $0a\coloneqq 0$ \end_inset y, para @@ -253,11 +253,11 @@ grupo cíclico \end_inset a -\begin_inset Formula $C_{n}:=\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}\}$ +\begin_inset Formula $C_{n}\coloneqq \{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}\}$ \end_inset con la operación -\begin_inset Formula $a^{i}a^{j}:=a^{[i+j]_{n}}$ +\begin_inset Formula $a^{i}a^{j}\coloneqq a^{[i+j]_{n}}$ \end_inset , donde @@ -297,7 +297,7 @@ D_{n}:=\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\dots,a^{n-1}b\} \end_inset con la operación -\begin_inset Formula $(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}}):=a^{[i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}]_{n}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}$ +\begin_inset Formula $(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}})\coloneqq a^{[i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}]_{n}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}$ \end_inset . @@ -331,7 +331,7 @@ El grupo diédrico infinito \series default es -\begin_inset Formula $D_{\infty}:=\{a^{n},a^{n}b\}_{n\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $D_{\infty}\coloneqq \{a^{n},a^{n}b\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset con @@ -351,7 +351,7 @@ Sea \end_inset un anillo conmutativo, -\begin_inset Formula $B^{*}\propto B:=B^{*}\times B$ +\begin_inset Formula $B^{*}\propto B\coloneqq B^{*}\times B$ \end_inset es un grupo abeliano con la operación @@ -491,7 +491,7 @@ propios subgrupo trivial \series default es -\begin_inset Formula $1:=\{1\}$ +\begin_inset Formula $1\coloneqq \{1\}$ \end_inset . @@ -577,7 +577,7 @@ Dado un cuerpo \end_inset , -\begin_inset Formula ${\cal SL}_{n}(K):={\cal SO}_{n}(K)$ +\begin_inset Formula ${\cal SL}_{n}(K)\coloneqq {\cal SO}_{n}(K)$ \end_inset es un subgrupo de @@ -650,7 +650,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $\langle X\rangle:=\{x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}\}_{m\in\mathbb{N},x_{i}\in X,n_{i}\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\langle X\rangle\coloneqq \{x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}\}_{m\in\mathbb{N},x_{i}\in X,n_{i}\in\mathbb{Z}}$ \end_inset es el @@ -675,7 +675,7 @@ subgrupo generado \end_inset , decimos que -\begin_inset Formula $\langle g\rangle:=\langle X\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle g\rangle\coloneqq \langle X\rangle$ \end_inset es el @@ -745,7 +745,7 @@ Si \end_inset es una familia de grupos, -\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}G_{i}:=\{(g_{i})_{i\in I}\in\prod_{i\in I}G_{i}\mid \{i\in I\mid g_{i}\ne1\}\text{ es finito}\}$ +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}G_{i}\coloneqq \{(g_{i})_{i\in I}\in\prod_{i\in I}G_{i}\mid \{i\in I\mid g_{i}\ne1\}\text{ es finito}\}$ \end_inset es un subgrupo de @@ -773,7 +773,7 @@ centralizador \end_inset es el subgrupo -\begin_inset Formula $C_{G}(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}$ +\begin_inset Formula $C_{G}(x)\coloneqq \{g\in G\mid gx=xg\}$ \end_inset , y el @@ -785,7 +785,7 @@ centro \end_inset es el subgrupo abeliano -\begin_inset Formula $Z(G):=\{g\in G\mid \forall x\in G,gx=xg\}=\bigcap_{x\in X}C_{G}(x)$ +\begin_inset Formula $Z(G)\coloneqq \{g\in G\mid \forall x\in G,gx=xg\}=\bigcap_{x\in X}C_{G}(x)$ \end_inset . @@ -834,7 +834,7 @@ clase lateral módulo \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $G/H:=G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$ +\begin_inset Formula $G/H\coloneqq G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$ \end_inset . @@ -867,7 +867,7 @@ clase lateral módulo \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $H\backslash G:=G/(\equiv_{d}\bmod\ H)$ +\begin_inset Formula $H\backslash G\coloneqq G/(\equiv_{d}\bmod\ H)$ \end_inset . @@ -876,7 +876,7 @@ clase lateral módulo \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\sigma(aH):=Ha^{-1}$ +\begin_inset Formula $\sigma(aH)\coloneqq Ha^{-1}$ \end_inset es biyectiva, luego @@ -896,7 +896,7 @@ clase lateral módulo \end_inset a -\begin_inset Formula $[G:H]:=|G/H|$ +\begin_inset Formula $[G:H]\coloneqq |G/H|$ \end_inset . @@ -953,7 +953,7 @@ Dados \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $AB:=\{ab\}_{a\in A,b\in B}$ +\begin_inset Formula $AB\coloneqq \{ab\}_{a\in A,b\in B}$ \end_inset , y es fácil ver que esta operación es asociativa. @@ -1385,7 +1385,7 @@ automorfismo . Llamamos -\begin_inset Formula $\ker f:=f^{-1}(1)$ +\begin_inset Formula $\ker f\coloneqq f^{-1}(1)$ \end_inset . @@ -1886,7 +1886,7 @@ proyección canónica \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\pi(x):=xN$ +\begin_inset Formula $\pi(x)\coloneqq xN$ \end_inset es un homomorfismo suprayectivo con núcleo @@ -1910,7 +1910,7 @@ Dados dos grupos \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(a):=1_{H}$ +\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq 1_{H}$ \end_inset es el @@ -1942,7 +1942,7 @@ Dado \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(n):=an$ +\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq an$ \end_inset es un endomorfismo de @@ -1966,7 +1966,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(n):=x^{n}$ +\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq x^{n}$ \end_inset es un homomorfismo, esto es, @@ -1986,11 +1986,11 @@ Dado \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(r):=\alpha^{r}$ +\begin_inset Formula $f(r)\coloneqq \alpha^{r}$ \end_inset es un isomorfismo de grupos con inversa -\begin_inset Formula $f^{-1}(s):=\log_{\alpha}s$ +\begin_inset Formula $f^{-1}(s)\coloneqq \log_{\alpha}s$ \end_inset . @@ -2257,7 +2257,7 @@ orden \end_inset , -\begin_inset Formula $|a|:=|\langle a\rangle|$ +\begin_inset Formula $|a|\coloneqq |\langle a\rangle|$ \end_inset , y escribimos @@ -2290,7 +2290,7 @@ Sea \end_inset el homomorfismo dado por -\begin_inset Formula $f(n):=a^{n}$ +\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq a^{n}$ \end_inset , @@ -2365,11 +2365,11 @@ status open \begin_layout Plain Layout En efecto, sean -\begin_inset Formula $m:=|a|$ +\begin_inset Formula $m\coloneqq |a|$ \end_inset y -\begin_inset Formula $d:=\text{mcd}\{m,n\}$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \text{mcd}\{m,n\}$ \end_inset , entonces @@ -2558,7 +2558,7 @@ status open \end_inset Si -\begin_inset Formula $d:=\text{mcd}\{n,m\}>1$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \text{mcd}\{n,m\}>1$ \end_inset , entonces @@ -2672,7 +2672,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(i,j):=g^{i}h^{j}$ +\begin_inset Formula $f(i,j)\coloneqq g^{i}h^{j}$ \end_inset es un homomorfismo de grupos con imagen @@ -2771,7 +2771,7 @@ conjugado \end_inset a -\begin_inset Formula $g^{a}:=a^{-1}ga$ +\begin_inset Formula $g^{a}\coloneqq a^{-1}ga$ \end_inset , y conjugado de @@ -2783,7 +2783,7 @@ conjugado \end_inset a -\begin_inset Formula $X^{a}:=\{x^{a}\}_{x\in X}$ +\begin_inset Formula $X^{a}\coloneqq \{x^{a}\}_{x\in X}$ \end_inset . @@ -2832,7 +2832,7 @@ automorfismo interno \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\iota_{a}(x):=x^{a}$ +\begin_inset Formula $\iota_{a}(x)\coloneqq x^{a}$ \end_inset . @@ -2872,7 +2872,7 @@ clases de conjugación \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $a^{G}:=[a]=\{a^{g}\}_{g\in G}$ +\begin_inset Formula $a^{G}\coloneqq [a]=\{a^{g}\}_{g\in G}$ \end_inset . @@ -2957,7 +2957,7 @@ Si \end_inset a -\begin_inset Formula $G\cdot x:=\{g\cdot x\}_{g\in G}$ +\begin_inset Formula $G\cdot x\coloneqq \{g\cdot x\}_{g\in G}$ \end_inset y @@ -2973,7 +2973,7 @@ estabilizador \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x):=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq \{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ \end_inset . @@ -3002,7 +3002,7 @@ estabilizador \end_inset a -\begin_inset Formula $x\cdot G:=\{x\cdot g\}_{g\in G}$ +\begin_inset Formula $x\cdot G\coloneqq \{x\cdot g\}_{g\in G}$ \end_inset y estabilizador de @@ -3014,7 +3014,7 @@ estabilizador \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x):=\{g\in G\mid x\cdot g=x\}$ +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq \{g\in G\mid x\cdot g=x\}$ \end_inset . @@ -3112,7 +3112,7 @@ acción por conjugación \end_inset es la acción por la derecha -\begin_inset Formula $x\cdot g:=x^{g}$ +\begin_inset Formula $x\cdot g\coloneqq x^{g}$ \end_inset . @@ -3170,7 +3170,7 @@ normalizador \end_inset es -\begin_inset Formula $N_{G}(H):=\text{Estab}_{G}(H)=\{g\in G\mid H^{g}=H\}$ +\begin_inset Formula $N_{G}(H)\coloneqq \text{Estab}_{G}(H)=\{g\in G\mid H^{g}=H\}$ \end_inset , el mayor subgrupo de @@ -3198,7 +3198,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\sigma\cdot(x_{1},\dots,x_{n}):=(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$ +\begin_inset Formula $\sigma\cdot(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq (x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$ \end_inset es una acción por la izquierda. @@ -3317,7 +3317,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sea -\begin_inset Formula $H:=\text{Estab}_{G}(x)$ +\begin_inset Formula $H\coloneqq \text{Estab}_{G}(x)$ \end_inset , @@ -3325,7 +3325,7 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(gH):=g^{-1}\cdot x$ +\begin_inset Formula $f(gH)\coloneqq g^{-1}\cdot x$ \end_inset está bien definida, pues si @@ -3606,7 +3606,7 @@ status open Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $X:=\{(g_{1},\dots,g_{p})\in G^{p}\mid g_{1}\cdots g_{p}=1\}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \{(g_{1},\dots,g_{p})\in G^{p}\mid g_{1}\cdots g_{p}=1\}$ \end_inset , @@ -3872,7 +3872,7 @@ Teoremas de Sylow: \end_inset un grupo finito de orden -\begin_inset Formula $n:=p^{k}m$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq p^{k}m$ \end_inset para ciertos @@ -98,7 +98,7 @@ suma \end_inset a -\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}:=\{\sum_{i\in I}b_{i}\mid b_{i}\in B_{i},\{i\in I\mid b_{i}\neq0\}\text{ es finito}\}$ +\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}\coloneqq \{\sum_{i\in I}b_{i}\mid b_{i}\in B_{i},\{i\in I\mid b_{i}\neq0\}\text{ es finito}\}$ \end_inset . @@ -404,7 +404,7 @@ Sean \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $\hat{B}_{i}:=0\times\dots\times0\times B_{i}\times0\times\dots\times0\leq B_{1}\times\dots\times B_{n}$ +\begin_inset Formula $\hat{B}_{i}\coloneqq 0\times\dots\times0\times B_{i}\times0\times\dots\times0\leq B_{1}\times\dots\times B_{n}$ \end_inset , entonces @@ -420,7 +420,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(b_{1},\dots,b_{n}):=b_{1}+\dots+b_{n}$ +\begin_inset Formula $f(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq b_{1}+\dots+b_{n}$ \end_inset es un isomorfismo de grupos. @@ -704,7 +704,7 @@ subgrupo de es \begin_inset Formula \[ -t_{p}(A):=\{a\in A\mid \exists n\in\mathbb{N}\mid p^{n}a=0\}=\{a\in A\mid |a|\text{ es potencia de }p\}. +t_{p}(A):=\{a\in A\mid \exists n\in\mathbb{N}:p^{n}a=0\}=\{a\in A\mid|a|\text{ es potencia de }p\}. \] \end_inset @@ -799,7 +799,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{i}:=\prod_{j\neq i}p_{j}^{\alpha_{j}}$ +\begin_inset Formula $q_{i}\coloneqq \prod_{j\neq i}p_{j}^{\alpha_{j}}$ \end_inset , es claro que ningún primo divide a todos los @@ -860,7 +860,7 @@ Demostración: . Sea entonces -\begin_inset Formula $t_{i}:=\prod_{j\neq i}p_{j}^{\beta_{j}}$ +\begin_inset Formula $t_{i}\coloneqq \prod_{j\neq i}p_{j}^{\beta_{j}}$ \end_inset para cada @@ -931,7 +931,7 @@ Demostración: \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $n:=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{k}^{\alpha_{k}}$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{k}^{\alpha_{k}}$ \end_inset es una factorización prima @@ -1108,11 +1108,11 @@ Queda ver que . Sean -\begin_inset Formula $B:=\langle a\rangle$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq \langle a\rangle$ \end_inset y -\begin_inset Formula $C:=A/B$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq A/B$ \end_inset , si @@ -1171,7 +1171,7 @@ Dado \end_inset , tomamos -\begin_inset Formula $y:=x$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq x$ \end_inset . @@ -1223,7 +1223,7 @@ Dado . Sea ahora -\begin_inset Formula $y:=x-rp^{m+t-s}a$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq x-rp^{m+t-s}a$ \end_inset , entonces @@ -1723,11 +1723,11 @@ A=\langle a_{11}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{1}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{1m}\rang \end_inset , sean -\begin_inset Formula $b_{j}:=a_{1j}+\dots+a_{kj}$ +\begin_inset Formula $b_{j}\coloneqq a_{1j}+\dots+a_{kj}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $d_{j}:=p_{1}^{\alpha_{1j}}\cdots p_{k}^{\alpha_{kj}}$ +\begin_inset Formula $d_{j}\coloneqq p_{1}^{\alpha_{1j}}\cdots p_{k}^{\alpha_{kj}}$ \end_inset , por el teorema chino de los restos, @@ -1809,7 +1809,7 @@ Todas las descomposiciones primarias de \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $A:=A_{11}\oplus\dots\oplus A_{1m_{1}}\oplus\dots\oplus A_{k1}\oplus\dots\oplus A_{km_{k}}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq A_{11}\oplus\dots\oplus A_{1m_{1}}\oplus\dots\oplus A_{k1}\oplus\dots\oplus A_{km_{k}}$ \end_inset con @@ -1943,7 +1943,7 @@ Sea . Entonces, si -\begin_inset Formula $q:=p^{\alpha_{i}}$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq p^{\alpha_{i}}$ \end_inset , @@ -98,7 +98,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $h(\sigma):=f\circ\sigma\circ f^{-1}$ +\begin_inset Formula $h(\sigma)\coloneqq f\circ\sigma\circ f^{-1}$ \end_inset es un isomorfismo. @@ -168,7 +168,7 @@ mueve \series default en caso contrario. Llamamos -\begin_inset Formula $M(\sigma):=\{i\in\mathbb{N}_{n}\mid \sigma(i)\neq i\}$ +\begin_inset Formula $M(\sigma)\coloneqq \{i\in\mathbb{N}_{n}\mid \sigma(i)\neq i\}$ \end_inset , y es claro que @@ -377,7 +377,7 @@ trasposiciones \begin_layout Standard Dados -\begin_inset Formula $\sigma:=(i_{1}\,\dots\,i_{s})\in S_{n}$ +\begin_inset Formula $\sigma\coloneqq (i_{1}\,\dots\,i_{s})\in S_{n}$ \end_inset y @@ -561,11 +561,11 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $i_{0}:=i$ +\begin_inset Formula $i_{0}\coloneqq i$ \end_inset e -\begin_inset Formula $i_{n}:=\sigma(i_{n-1})$ +\begin_inset Formula $i_{n}\coloneqq \sigma(i_{n-1})$ \end_inset , como los @@ -602,7 +602,7 @@ Demostración: \end_inset , y entonces -\begin_inset Formula $\tau:=(i_{0}\,\dots\,i_{k-1})$ +\begin_inset Formula $\tau\coloneqq (i_{0}\,\dots\,i_{k-1})$ \end_inset es un @@ -794,7 +794,7 @@ Dada una permutación \end_inset y un ciclo -\begin_inset Formula $\tau:=(i_{1}\,\dots\,i_{s})$ +\begin_inset Formula $\tau\coloneqq (i_{1}\,\dots\,i_{s})$ \end_inset , @@ -915,7 +915,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\alpha(x):=\alpha_{i}(x)$ +\begin_inset Formula $\alpha(x)\coloneqq \alpha_{i}(x)$ \end_inset si @@ -923,7 +923,7 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha(x):=\beta(x)$ +\begin_inset Formula $\alpha(x)\coloneqq \beta(x)$ \end_inset si @@ -1012,7 +1012,7 @@ Dados \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha:=(2\,3)(3\,4)\cdots(j-1\,j)$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq (2\,3)(3\,4)\cdots(j-1\,j)$ \end_inset , @@ -1037,11 +1037,11 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $\tau:=(1\,2)$ +\begin_inset Formula $\tau\coloneqq (1\,2)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\sigma:=(1\,2\,\dots\,n-1\,n)$ +\begin_inset Formula $\sigma\coloneqq (1\,2\,\dots\,n-1\,n)$ \end_inset , para @@ -1362,7 +1362,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $\sigma:=(m\,n)$ +\begin_inset Formula $\sigma\coloneqq (m\,n)$ \end_inset una transposición con @@ -1496,7 +1496,7 @@ grupo alternado \end_inset elementos a -\begin_inset Formula $A_{n}:=\ker\text{sgn}$ +\begin_inset Formula $A_{n}\coloneqq \ker\text{sgn}$ \end_inset , el subgrupo de @@ -1757,7 +1757,7 @@ Queda probar que \end_inset con -\begin_inset Formula $r:=|M(\sigma)|$ +\begin_inset Formula $r\coloneqq |M(\sigma)|$ \end_inset mínimo, y queremos ver que @@ -1819,7 +1819,7 @@ Que en la factorización de con longitud al menos 3. Sea -\begin_inset Formula $\alpha:=(3\,4\,5)\in A_{n}$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq (3\,4\,5)\in A_{n}$ \end_inset , por la normalidad de @@ -1831,7 +1831,7 @@ Que en la factorización de \end_inset , luego -\begin_inset Formula $\beta:=\sigma^{-1}\sigma^{\alpha}\in H$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \sigma^{-1}\sigma^{\alpha}\in H$ \end_inset . @@ -1907,11 +1907,11 @@ Que (puede haber más transposiciones o no. Sean -\begin_inset Formula $\alpha:=(3\,4\,5)\in A_{n}$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq (3\,4\,5)\in A_{n}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\beta:=\sigma^{-1}\sigma^{\alpha}\in H$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \sigma^{-1}\sigma^{\alpha}\in H$ \end_inset . @@ -105,7 +105,7 @@ Un subconjunto variedad (lineal) afín \series default si -\begin_inset Formula $\exists P\in{\cal E},W\subseteq V:{\cal L}=P+W:=\{P+\vec{w}\}_{\vec{w}\in W}$ +\begin_inset Formula $\exists P\in{\cal E},W\subseteq V:{\cal L}=P+W\coloneqq \{P+\vec{w}\}_{\vec{w}\in W}$ \end_inset . @@ -282,7 +282,7 @@ Vemos que \end_inset , podemos definir -\begin_inset Formula $R:=P+\vec{w}\in{\cal L}$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq P+\vec{w}\in{\cal L}$ \end_inset y entonces @@ -876,7 +876,7 @@ suma \end_inset es la variedad engendrada por su unión: -\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}{\cal L}_{i}:={\cal V}\left(\bigcup_{i\in I}{\cal L}_{i}\right)$ +\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}{\cal L}_{i}\coloneqq {\cal V}\left(\bigcup_{i\in I}{\cal L}_{i}\right)$ \end_inset . @@ -1299,7 +1299,7 @@ En esta sección asumimos \end_inset y los puntos con sus coordenadas en -\begin_inset Formula $\Re:=(O,{\cal B})$ +\begin_inset Formula $\Re\coloneqq (O,{\cal B})$ \end_inset . diff --git a/gae/n1b.lyx b/gae/n1b.lyx index 7f06d5c..a9308ea 100644 --- a/gae/n1b.lyx +++ b/gae/n1b.lyx @@ -136,7 +136,7 @@ de direcciones \end_inset , que escribimos como -\begin_inset Formula $P+\vec{v}:=\varphi(P,\vec{v})$ +\begin_inset Formula $P+\vec{v}\coloneqq \varphi(P,\vec{v})$ \end_inset , que cumplen que @@ -588,7 +588,7 @@ coordenadas (cartesianas) \end_inset , y se denotan -\begin_inset Formula $[P]_{\Re}:=[\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}}$ +\begin_inset Formula $[P]_{\Re}\coloneqq [\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}}$ \end_inset . @@ -640,11 +640,11 @@ Para cambiar coordenadas entre dos referenciales \end_inset , si llamamos -\begin_inset Formula $X_{0}:=[O]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}$ +\begin_inset Formula $X_{0}\coloneqq [O]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $M:=M_{{\cal B}'{\cal B}}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq M_{{\cal B}'{\cal B}}$ \end_inset , se tiene que: @@ -817,7 +817,7 @@ paralelas \end_inset ; -\begin_inset Formula $r:=Q+<\vec{v}>$ +\begin_inset Formula $r\coloneqq Q+<\vec{v}>$ \end_inset . @@ -841,7 +841,7 @@ Recta que pasa por \end_inset ; -\begin_inset Formula $r:=AB:=A+<\overrightarrow{AB}>$ +\begin_inset Formula $r\coloneqq AB\coloneqq A+<\overrightarrow{AB}>$ \end_inset . @@ -286,7 +286,7 @@ Dados \end_inset , dada por -\begin_inset Formula $f(Q):=P'+\phi(\overrightarrow{PQ})$ +\begin_inset Formula $f(Q)\coloneqq P'+\phi(\overrightarrow{PQ})$ \end_inset . @@ -910,7 +910,7 @@ Sea \end_inset arbitrario y -\begin_inset Formula $\vec{v}:=\overrightarrow{Pf(P)}$ +\begin_inset Formula $\vec{v}\coloneqq \overrightarrow{Pf(P)}$ \end_inset , @@ -1043,7 +1043,7 @@ Dado \end_inset -\begin_inset Formula $g:=t_{-\vec{v}}\circ f$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq t_{-\vec{v}}\circ f$ \end_inset es afín con @@ -1087,7 +1087,7 @@ homotecia \end_inset dada por -\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}(P):=O+\lambda\overrightarrow{OP}$ +\begin_inset Formula $H_{O,\lambda}(P)\coloneqq O+\lambda\overrightarrow{OP}$ \end_inset . @@ -1125,7 +1125,7 @@ simetría central \end_inset , escrita -\begin_inset Formula $s_{O}:=H_{O,-1}$ +\begin_inset Formula $s_{O}\coloneqq H_{O,-1}$ \end_inset . @@ -1550,7 +1550,7 @@ Si \end_inset , podemos definir la base -\begin_inset Formula ${\cal B}:=\{\vec{w}_{1},\dots,\vec{w}_{n},\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq \{\vec{w}_{1},\dots,\vec{w}_{n},\vec{u}_{1},\dots,\vec{u}_{m}\}$ \end_inset de @@ -1923,7 +1923,7 @@ Dada una transformación afín \end_inset y sea -\begin_inset Formula $A:=\frac{P+f(P)}{2}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \frac{P+f(P)}{2}$ \end_inset entonces @@ -685,7 +685,7 @@ Dado un conjunto ortogonal \end_inset , el vector -\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}:=\vec{x}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{1}}{\Vert\vec{u}_{1}\Vert^{2}}\vec{u}_{1}-\dots-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{k}}{\Vert\vec{u}_{k}\Vert^{2}}\vec{u}_{k}$ +\begin_inset Formula $\vec{u}_{k+1}\coloneqq \vec{x}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{1}}{\Vert\vec{u}_{1}\Vert^{2}}\vec{u}_{1}-\dots-\frac{\vec{x}\cdot\vec{u}_{k}}{\Vert\vec{u}_{k}\Vert^{2}}\vec{u}_{k}$ \end_inset es ortogonal a los del conjunto y @@ -938,7 +938,7 @@ proyección ortogonal \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\vec{u}:=\pi_{U}(\vec{v})$ +\begin_inset Formula $\vec{u}\coloneqq \pi_{U}(\vec{v})$ \end_inset es la @@ -1291,7 +1291,7 @@ distancia \end_inset como -\begin_inset Formula $d(P,Q):=\Vert\overrightarrow{PQ}\Vert$ +\begin_inset Formula $d(P,Q)\coloneqq \Vert\overrightarrow{PQ}\Vert$ \end_inset , y por las propiedades de la norma, @@ -1348,7 +1348,7 @@ La distancia entre dos variedades \end_inset se define como -\begin_inset Formula $d({\cal L},{\cal L}'):=\inf\{d(P,P')\}_{P\in{\cal L},P'\in{\cal L}'}$ +\begin_inset Formula $d({\cal L},{\cal L}')\coloneqq \inf\{d(P,P')\}_{P\in{\cal L},P'\in{\cal L}'}$ \end_inset , y la distancia de un punto @@ -1588,7 +1588,7 @@ La recta ortogonal a \end_inset se tiene -\begin_inset Formula $Q':=Q+\lambda_{0}\vec{a}\in{\cal H}$ +\begin_inset Formula $Q'\coloneqq Q+\lambda_{0}\vec{a}\in{\cal H}$ \end_inset . @@ -796,7 +796,7 @@ con . Escribimos -\begin_inset Formula ${\cal O}^{+}(2,\mathbb{R}):={\cal O}^{+}({\cal E}_{2})$ +\begin_inset Formula ${\cal O}^{+}(2,\mathbb{R})\coloneqq {\cal O}^{+}({\cal E}_{2})$ \end_inset . @@ -1010,7 +1010,7 @@ Demostración: \end_inset una simetría axial, entonces -\begin_inset Formula $\sigma':=\sigma\circ f$ +\begin_inset Formula $\sigma'\coloneqq \sigma\circ f$ \end_inset es negativa y por tanto una simetría axial. @@ -1024,7 +1024,7 @@ Demostración: \end_inset aparezca a la derecha, hacemos un razonamiento análogo con -\begin_inset Formula $\sigma'':=f\circ\sigma$ +\begin_inset Formula $\sigma''\coloneqq f\circ\sigma$ \end_inset . @@ -1178,7 +1178,7 @@ Si \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $\ell:=<\vec{v}>\subseteq\text{Opp}(f)$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq <\vec{v}>\subseteq\text{Opp}(f)$ \end_inset . @@ -1485,7 +1485,7 @@ Demostración: \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\sigma':=\sigma\circ f$ +\begin_inset Formula $\sigma'\coloneqq \sigma\circ f$ \end_inset es negativa con vectores invariantes y por tanto otra simetría especular, @@ -1499,7 +1499,7 @@ Demostración: \end_inset aparezca a la derecha basta hacer lo mismo con -\begin_inset Formula $\sigma'':=f\circ\sigma$ +\begin_inset Formula $\sigma''\coloneqq f\circ\sigma$ \end_inset . @@ -149,7 +149,7 @@ Fijado \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\ell(\vec{v}):=\overrightarrow{f(A)f(A+\vec{v})}$ +\begin_inset Formula $\ell(\vec{v})\coloneqq \overrightarrow{f(A)f(A+\vec{v})}$ \end_inset es lineal, entonces @@ -200,11 +200,11 @@ A continuación veamos que \end_inset , si -\begin_inset Formula $P:=A+\vec{v}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq A+\vec{v}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $Q:=A+\vec{w}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq A+\vec{w}$ \end_inset , deducimos @@ -441,7 +441,7 @@ simetría ortogonal con deslizamiento \end_inset , siendo -\begin_inset Formula $A:=\frac{Q+f(Q)}{2}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \frac{Q+f(Q)}{2}$ \end_inset para @@ -473,7 +473,7 @@ En efecto, dado \end_inset y llamamos -\begin_inset Formula $A:=\frac{Q+f(Q)}{2}=Q+\frac{1}{2}(\vec{v}+\vec{w})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \frac{Q+f(Q)}{2}=Q+\frac{1}{2}(\vec{v}+\vec{w})$ \end_inset , como @@ -709,11 +709,11 @@ Sea . Sean ahora -\begin_inset Formula $g:=t_{-\vec{v}}\circ f$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq t_{-\vec{v}}\circ f$ \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal H}:=Q+F^{\bot}$ +\begin_inset Formula ${\cal H}\coloneqq Q+F^{\bot}$ \end_inset . @@ -789,7 +789,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $g:=\rho_{\ell,\theta}$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq \rho_{\ell,\theta}$ \end_inset , para un @@ -119,7 +119,7 @@ vector tangente \end_inset a -\begin_inset Formula $\alpha':=(\alpha_{1}',\dots,\alpha_{n}'):I\to\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $\alpha'\coloneqq (\alpha_{1}',\dots,\alpha_{n}'):I\to\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . @@ -140,7 +140,7 @@ alabeada hélice cilíndrica \series default , -\begin_inset Formula $\alpha(t):=(a\cos t,a\sin t,bt)$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq (a\cos t,a\sin t,bt)$ \end_inset para ciertos @@ -215,7 +215,7 @@ cambio de parámetro \end_inset , y si tenemos una curva -\begin_inset Formula $\alpha:=I\to\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq I\to\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , llamamos @@ -231,7 +231,7 @@ reparametrización \end_inset a la curva -\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h:J\to\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h:J\to\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . @@ -300,7 +300,7 @@ Sean \end_inset , y una partición -\begin_inset Formula $P:=\{a=t_{0}<\dots<t_{m}=b\}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{a=t_{0}<\dots<t_{m}=b\}$ \end_inset , llamamos @@ -316,7 +316,7 @@ longitud \end_inset a -\begin_inset Formula $L(\alpha,P):=\sum_{k=1}^{m}|\alpha(t_{k})-\alpha(t_{k-1})|$ +\begin_inset Formula $L(\alpha,P)\coloneqq \sum_{k=1}^{m}|\alpha(t_{k})-\alpha(t_{k-1})|$ \end_inset , y longitud de @@ -375,7 +375,7 @@ L_{a}^{b}(\alpha)=\int_{a}^{b}|\alpha'(t)|dt. Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $P:=\{a=t_{0}<\dots<t_{m}=b\}\in{\cal P}[a,b]$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{a=t_{0}<\dots<t_{m}=b\}\in{\cal P}[a,b]$ \end_inset , por el teorema de los valores intermedios, en cada @@ -391,7 +391,7 @@ Demostración: \end_inset , luego si -\begin_inset Formula $f(s_{1},\dots,s_{n}):=|(\alpha'_{1}(s_{1}),\dots,\alpha'_{n}(s_{n}))|$ +\begin_inset Formula $f(s_{1},\dots,s_{n})\coloneqq |(\alpha'_{1}(s_{1}),\dots,\alpha'_{n}(s_{n}))|$ \end_inset , @@ -490,7 +490,7 @@ Con esto, la longitud de una curva es independiente de su parametrización, \end_inset es un cambio de parámetro que conserva la orientación y -\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$ \end_inset , @@ -556,7 +556,7 @@ p.p.a. \end_inset es un cambio de parámetro tal que -\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$ \end_inset es p.p.a, @@ -724,7 +724,7 @@ g(t):=\int_{t_{0}}^{t}|\alpha'(u)|du=L_{t_{0}}^{t}(\alpha), \end_inset , luego por el teorema de la función inversa, -\begin_inset Formula $J:=g(I)$ +\begin_inset Formula $J\coloneqq g(I)$ \end_inset es abierto y @@ -733,7 +733,7 @@ g(t):=\int_{t_{0}}^{t}|\alpha'(u)|du=L_{t_{0}}^{t}(\alpha), es un difeomorfismo. Llamando -\begin_inset Formula $h:=g^{-1}$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq g^{-1}$ \end_inset , como @@ -769,11 +769,11 @@ catenaria distribuida uniformemente, suspendida por sus extremos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Se expresa como -\begin_inset Formula $\alpha(t):=(t,\cosh t)$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq (t,\cosh t)$ \end_inset , y admite una reparametrización por longitud de arco -\begin_inset Formula $\beta(s):=(\arg\sinh s,\sqrt{1+s^{2}})$ +\begin_inset Formula $\beta(s)\coloneqq (\arg\sinh s,\sqrt{1+s^{2}})$ \end_inset de igual orientación. @@ -790,7 +790,7 @@ g(t):=\int_{0}^{t}|\alpha'(u)|du=\int_{0}^{t}|(1,\sinh u)|du=\int_{0}^{t}\cosh u \end_inset entonces -\begin_inset Formula $h(s):=g^{-1}(s)=\arg\sinh s$ +\begin_inset Formula $h(s)\coloneqq g^{-1}(s)=\arg\sinh s$ \end_inset , luego la reparametrización es @@ -803,7 +803,7 @@ entonces \end_deeper \begin_layout Enumerate Dada la circunferencia -\begin_inset Formula $\alpha(t):=p+(r\cos t,r\sin t)$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq p+(r\cos t,r\sin t)$ \end_inset para ciertos @@ -815,7 +815,7 @@ Dada la circunferencia \end_inset , la reparametrización por longitud de arco es -\begin_inset Formula $\beta(s):=p+(r\cos\frac{s}{r},r\sin\frac{s}{r})$ +\begin_inset Formula $\beta(s)\coloneqq p+(r\cos\frac{s}{r},r\sin\frac{s}{r})$ \end_inset . @@ -831,7 +831,7 @@ g(t):=\int_{0}^{t}|\alpha'(u)|du=\int_{0}^{t}r\,du=rt, \end_inset luego -\begin_inset Formula $h(s):=g^{-1}(s)=\frac{s}{r}$ +\begin_inset Formula $h(s)\coloneqq g^{-1}(s)=\frac{s}{r}$ \end_inset y la reparametrización es @@ -874,11 +874,11 @@ Entonces, dada una curva \end_inset p.p.a., si -\begin_inset Formula $\mathbf{t}(s):=\alpha'(s)$ +\begin_inset Formula $\mathbf{t}(s)\coloneqq \alpha'(s)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\mathbf{n}(s):=J\mathbf{t}(s)$ +\begin_inset Formula $\mathbf{n}(s)\coloneqq J\mathbf{t}(s)$ \end_inset es su @@ -1016,7 +1016,7 @@ Si radio de curvatura \series default a -\begin_inset Formula $\rho(s):=\frac{1}{|\kappa(s)|}$ +\begin_inset Formula $\rho(s)\coloneqq \frac{1}{|\kappa(s)|}$ \end_inset . @@ -1042,7 +1042,7 @@ El radio de curvatura de una circunferencia de radio \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $\alpha(s):=p+r(\cos\frac{s}{r},\sin\frac{s}{r})$ +\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq p+r(\cos\frac{s}{r},\sin\frac{s}{r})$ \end_inset con @@ -1080,7 +1080,7 @@ La curvatura de una recta es 0. \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $\alpha(s):=p+sv$ +\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq p+sv$ \end_inset para ciertos @@ -1109,7 +1109,7 @@ Sea \end_deeper \begin_layout Enumerate La catenaria -\begin_inset Formula $\alpha(s):=(\arg\sinh s,\sqrt{1+s^{2}})$ +\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq (\arg\sinh s,\sqrt{1+s^{2}})$ \end_inset tiene radio de curvatura @@ -1277,7 +1277,7 @@ movimiento rígido \end_inset dada por -\begin_inset Formula $M(x):=Ax+b$ +\begin_inset Formula $M(x)\coloneqq Ax+b$ \end_inset para ciertos @@ -1326,7 +1326,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\varphi(s):=\int_{s_{0}}^{s}\kappa$ +\begin_inset Formula $\varphi(s)\coloneqq \int_{s_{0}}^{s}\kappa$ \end_inset y @@ -1424,15 +1424,15 @@ Sean . Sean entonces -\begin_inset Formula $b:=\beta(s_{0})-A\alpha(s_{0})$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq \beta(s_{0})-A\alpha(s_{0})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $Mx:=Ax+b$ +\begin_inset Formula $Mx\coloneqq Ax+b$ \end_inset un movimiento rígido y -\begin_inset Formula $\gamma:=M\circ\alpha$ +\begin_inset Formula $\gamma\coloneqq M\circ\alpha$ \end_inset , y queremos ver que @@ -1449,7 +1449,7 @@ Sean \end_inset , luego si -\begin_inset Formula $f(s):=\frac{1}{2}|t_{\beta}(s)-t_{\gamma}(s)|^{2}$ +\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \frac{1}{2}|t_{\beta}(s)-t_{\gamma}(s)|^{2}$ \end_inset , entonces @@ -1516,7 +1516,7 @@ Dados una curva regular \end_inset que preserva la orientación tal que -\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$ \end_inset es p.p.a., llamamos @@ -1565,7 +1565,7 @@ Demostración: \end_inset , luego para -\begin_inset Formula $s:=h^{-1}(t)$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq h^{-1}(t)$ \end_inset , @@ -1602,19 +1602,19 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $p_{0}:=\alpha(s_{0})$ +\begin_inset Formula $p_{0}\coloneqq \alpha(s_{0})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\mathbf{t}_{0}:=\mathbf{t}(s_{0})$ +\begin_inset Formula $\mathbf{t}_{0}\coloneqq \mathbf{t}(s_{0})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\mathbf{n}_{0}:=\mathbf{n}(s_{0})$ +\begin_inset Formula $\mathbf{n}_{0}\coloneqq \mathbf{n}(s_{0})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\ell:=p_{0}+\langle\mathbf{t}_{0}\rangle$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq p_{0}+\langle\mathbf{t}_{0}\rangle$ \end_inset y @@ -1634,7 +1634,7 @@ distancia orientada \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{dist}(p,\ell):=\langle p-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle$ +\begin_inset Formula $\text{dist}(p,\ell)\coloneqq \langle p-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle$ \end_inset . @@ -1647,11 +1647,11 @@ distancia orientada \end_inset en dos semiplanos -\begin_inset Formula $H^{+}:=\{p\mid \text{dist}(p,\ell)\geq0\}$ +\begin_inset Formula $H^{+}\coloneqq \{p\mid \text{dist}(p,\ell)\geq0\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $H^{-}:=\{p\mid \text{dist}(p,\ell)\leq0\}$ +\begin_inset Formula $H^{-}\coloneqq \{p\mid \text{dist}(p,\ell)\leq0\}$ \end_inset , de modo que @@ -1685,7 +1685,7 @@ Si \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(s):=\text{dist}(\alpha(s),\ell)=\langle\alpha(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle$ +\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \text{dist}(\alpha(s),\ell)=\langle\alpha(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle$ \end_inset , entonces @@ -1929,7 +1929,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $f(s):=\text{dist}(\alpha(s),\ell)-\text{dist}(\beta(s),\ell)=\langle\alpha(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle-\langle\beta(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle=\langle\alpha(s)-\beta(s),\mathbf{n}_{0}\rangle$ +\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \text{dist}(\alpha(s),\ell)-\text{dist}(\beta(s),\ell)=\langle\alpha(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle-\langle\beta(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle=\langle\alpha(s)-\beta(s),\mathbf{n}_{0}\rangle$ \end_inset , entonces @@ -2065,7 +2065,7 @@ curvatura \end_inset a -\begin_inset Formula $\kappa(s):=|\mathbf{t}'(s)|$ +\begin_inset Formula $\kappa(s)\coloneqq |\mathbf{t}'(s)|$ \end_inset . @@ -2147,7 +2147,7 @@ torsión \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\tau(s):=\langle\mathbf{t}(s)\land\mathbf{n}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle=\langle\mathbf{b}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle$ +\begin_inset Formula $\tau(s)\coloneqq \langle\mathbf{t}(s)\land\mathbf{n}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle=\langle\mathbf{b}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle$ \end_inset . @@ -2321,7 +2321,7 @@ status open \end_inset Si -\begin_inset Formula $\alpha(s):=p+sv$ +\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq p+sv$ \end_inset , @@ -2472,7 +2472,7 @@ Si \end_inset y, si -\begin_inset Formula $f(s):=\langle\alpha(s),\mathbf{b}(s)\rangle$ +\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \langle\alpha(s),\mathbf{b}(s)\rangle$ \end_inset , @@ -2513,7 +2513,7 @@ Sean \end_inset un cambio de parámetro que conserva la orientación y tal que -\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$ \end_inset es p.p.a., definimos la curvatura de @@ -2521,11 +2521,11 @@ Sean \end_inset como -\begin_inset Formula $\kappa_{\alpha}(t):=\kappa_{\beta}(h^{-1}(t))$ +\begin_inset Formula $\kappa_{\alpha}(t)\coloneqq \kappa_{\beta}(h^{-1}(t))$ \end_inset y, si esta no se anula, la torsión como -\begin_inset Formula $\tau_{\alpha}(t):=\tau_{\beta}(h^{-1}(t))$ +\begin_inset Formula $\tau_{\alpha}(t)\coloneqq \tau_{\beta}(h^{-1}(t))$ \end_inset . @@ -2542,7 +2542,7 @@ Sean Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $s:=h^{-1}(t)$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq h^{-1}(t)$ \end_inset , @@ -2792,7 +2792,7 @@ Sea entonces \end_inset la curva dada por -\begin_inset Formula $\alpha(s):=\int_{s_{0}}^{s}\mathbf{t}(u)du$ +\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq \int_{s_{0}}^{s}\mathbf{t}(u)du$ \end_inset , para todo @@ -2883,15 +2883,15 @@ Sean . Sean entonces -\begin_inset Formula $b:=\beta(s_{0})-A\alpha(s_{0})$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq \beta(s_{0})-A\alpha(s_{0})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $M(x):=Ax+b$ +\begin_inset Formula $M(x)\coloneqq Ax+b$ \end_inset un movimiento rígido y -\begin_inset Formula $\gamma:=M\circ\alpha$ +\begin_inset Formula $\gamma\coloneqq M\circ\alpha$ \end_inset , y queremos ver que @@ -2918,7 +2918,7 @@ Se tiene \end_inset Sea ahora -\begin_inset Formula $f(s):=\frac{1}{2}(|\mathbf{t}_{\beta}(s)-\mathbf{t}_{\gamma}(s)|^{2}+|\mathbf{n}_{\beta}(s)-\mathbf{n}_{\gamma}(s)|^{2}+|\mathbf{b}_{\beta}(s)-\mathbf{b}_{\gamma}(s)|^{2})$ +\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \frac{1}{2}(|\mathbf{t}_{\beta}(s)-\mathbf{t}_{\gamma}(s)|^{2}+|\mathbf{n}_{\beta}(s)-\mathbf{n}_{\gamma}(s)|^{2}+|\mathbf{b}_{\beta}(s)-\mathbf{b}_{\gamma}(s)|^{2})$ \end_inset , entonces @@ -157,11 +157,11 @@ Que \end_inset sea inyectiva equivale a que -\begin_inset Formula $X_{u}(q):=dX(q)(e_{1})$ +\begin_inset Formula $X_{u}(q)\coloneqq dX(q)(e_{1})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $X_{v}(q):=dX(q)(e_{2})$ +\begin_inset Formula $X_{v}(q)\coloneqq dX(q)(e_{2})$ \end_inset sean linealmente independientes, lo que equivale a que el jacobiano @@ -209,7 +209,7 @@ Sean grafo \series default -\begin_inset Formula $G(f):=\{(u,v,f(u,v))\}_{(u,v)\in U}$ +\begin_inset Formula $G(f)\coloneqq \{(u,v,f(u,v))\}_{(u,v)\in U}$ \end_inset es una superficie regular. @@ -218,7 +218,7 @@ grafo \end_inset dada por -\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u,v,f(u,v))$ \end_inset es continua y su inversa es la proyección sobre el plano @@ -400,7 +400,7 @@ valor regular superficie de nivel \series default -\begin_inset Formula $S:=f^{-1}(\{a\})$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq f^{-1}(\{a\})$ \end_inset es una superficie regular. @@ -409,7 +409,7 @@ superficie de nivel Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $p_{0}:=(x_{0},y_{0},z_{0})\in S$ +\begin_inset Formula $p_{0}\coloneqq (x_{0},y_{0},z_{0})\in S$ \end_inset , como @@ -466,7 +466,7 @@ Demostración: \end_inset , y por la proposición anterior, -\begin_inset Formula $V:=(U\times I)\cap S=G(g)$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq (U\times I)\cap S=G(g)$ \end_inset es una superficie regular. @@ -495,7 +495,7 @@ Dados \end_inset , el plano -\begin_inset Formula $\pi:=\{ax+by+cz=d\}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \{ax+by+cz=d\}$ \end_inset es una superficie regular. @@ -504,7 +504,7 @@ Dados \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=ax+by+cz$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq ax+by+cz$ \end_inset , @@ -533,7 +533,7 @@ Dados elipsoide \series default -\begin_inset Formula $E:=\{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\}$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\}$ \end_inset es una superficie regular. @@ -547,7 +547,7 @@ elipsoide \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ \end_inset , @@ -577,7 +577,7 @@ El hiperboloide de una hoja \series default -\begin_inset Formula $H:=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}$ +\begin_inset Formula $H\coloneqq \{x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}$ \end_inset y el @@ -585,7 +585,7 @@ hiperboloide de una hoja hiperboloide de dos hojas \series default -\begin_inset Formula $H':=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\}$ +\begin_inset Formula $H'\coloneqq \{x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\}$ \end_inset son superficies regulares. @@ -615,7 +615,7 @@ hiperboloide de dos hojas \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}-z^{2}$ \end_inset , @@ -644,7 +644,7 @@ Sea \begin_layout Standard Para ver que los ejes de simetría de la hipérbola son los mencionados, sean -\begin_inset Formula $v:=(a,b)$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq (a,b)$ \end_inset unitario tal que @@ -652,7 +652,7 @@ Para ver que los ejes de simetría de la hipérbola son los mencionados, sean \end_inset es un eje de simetría y -\begin_inset Formula $p:=(x,\frac{1}{x})\in\{xy=1\}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq (x,\frac{1}{x})\in\{xy=1\}$ \end_inset , el simétrico de @@ -767,7 +767,7 @@ Queda ver que las figuras de revolución son efectivamente las mencionadas. \end_inset y los puntos son de la forma -\begin_inset Formula $(x,y,z):=((u+\frac{1}{u})\cos v,(u+\frac{1}{u})\sin v,-u+\frac{1}{u})/2$ +\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq ((u+\frac{1}{u})\cos v,(u+\frac{1}{u})\sin v,-u+\frac{1}{u})/2$ \end_inset , de modo que @@ -857,7 +857,7 @@ u+\frac{1}{u} \end_inset y los puntos son de la forma -\begin_inset Formula $(x,y,z):=((u-\frac{1}{u})\cos v,(u-\frac{1}{u})\sin v,u+\frac{1}{u})/2$ +\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq ((u-\frac{1}{u})\cos v,(u-\frac{1}{u})\sin v,u+\frac{1}{u})/2$ \end_inset , de modo que @@ -924,7 +924,7 @@ Dados \end_inset , el toro -\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}:=\{(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}=r^{2}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}\coloneqq \{(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}=r^{2}\}$ \end_inset es una superficie regular, y se obtiene de girar sobre el eje @@ -983,7 +983,7 @@ encia es siempre \begin_layout Standard Sea ahora -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq (\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}$ \end_inset , entonces @@ -1076,7 +1076,7 @@ Demostración: tiene un menor de orden 2 con determinante no nulo, que podemos suponer que es el formado por las dos primeras filas, y tomamos correspondientemente la proyección -\begin_inset Formula $\pi(x,y,z):=(x,y)$ +\begin_inset Formula $\pi(x,y,z)\coloneqq (x,y)$ \end_inset . @@ -1153,11 +1153,11 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $p_{0}\in V:=X(U)$ +\begin_inset Formula $p_{0}\in V\coloneqq X(U)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{0}:=X^{-1}(p_{0})$ +\begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq X^{-1}(p_{0})$ \end_inset , el resultado anterior nos da un entorno @@ -1177,12 +1177,12 @@ Demostración: \end_inset ) de forma que -\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U'':=(\pi\circ X)(U'))$ +\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U''\coloneqq (\pi\circ X)(U'))$ \end_inset es un difeomorfismo. Sea ahora -\begin_inset Formula $V:=X(U')$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U')$ \end_inset , @@ -1215,7 +1215,7 @@ Ejemplos: \begin_layout Enumerate El cono -\begin_inset Formula $C:=\{x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$ \end_inset no es una superficie regular. @@ -1274,7 +1274,7 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}-z^{2}$ \end_inset , entonces @@ -1326,7 +1326,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $p_{0}:=X(q_{0})$ +\begin_inset Formula $p_{0}\coloneqq X(q_{0})$ \end_inset , existen un entorno @@ -1342,7 +1342,7 @@ Demostración: \end_inset en un plano coordenado de forma que -\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U'':=(\pi\circ X)(U'))$ +\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U''\coloneqq (\pi\circ X)(U'))$ \end_inset es un homeomorfismo. @@ -1351,7 +1351,7 @@ Demostración: \end_inset es inyectiva, -\begin_inset Formula $X:U'\to(V':=X(U'))$ +\begin_inset Formula $X:U'\to(V'\coloneqq X(U'))$ \end_inset es biyectiva, y queda ver que @@ -1371,7 +1371,7 @@ Ejemplos: \begin_layout Enumerate Sean -\begin_inset Formula $U:=(0,\pi)\times(0,2\pi)$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,\pi)\times(0,2\pi)$ \end_inset y @@ -1379,7 +1379,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi):=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ +\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi)\coloneqq (\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ \end_inset , @@ -1391,7 +1391,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $M:=X([0,\pi],0)$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq X([0,\pi],0)$ \end_inset . @@ -1561,11 +1561,11 @@ Finalmente, dado \end_inset , sean -\begin_inset Formula $\theta:=\arccos z$ +\begin_inset Formula $\theta\coloneqq \arccos z$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\varphi:=\arccos\frac{x}{\sin\theta}=\arccos\frac{x}{\sqrt{1-z^{2}}}$ +\begin_inset Formula $\varphi\coloneqq \arccos\frac{x}{\sin\theta}=\arccos\frac{x}{\sqrt{1-z^{2}}}$ \end_inset (usando que @@ -1622,11 +1622,11 @@ Finalmente, dado \end_deeper \begin_layout Enumerate Sean -\begin_inset Formula $S:=\{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $N:=(0,0,2)$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq (0,0,2)$ \end_inset y @@ -1721,7 +1721,7 @@ dado \end_inset , si -\begin_inset Formula $(x,y,z):=X(u,v)$ +\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq X(u,v)$ \end_inset , @@ -1741,7 +1741,7 @@ Recíprocamente, dado \end_inset , si -\begin_inset Formula $(u,v):=\pi(x,y,z)$ +\begin_inset Formula $(u,v)\coloneqq \pi(x,y,z)$ \end_inset , @@ -1873,7 +1873,7 @@ Sean \end_inset parametrizaciones con -\begin_inset Formula $V:=X_{1}(U_{1})\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X_{1}(U_{1})\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$ \end_inset , llamamos @@ -1889,7 +1889,7 @@ cambio de coordenadas \end_inset a -\begin_inset Formula $F:=X_{2}^{-1}\circ X_{1}:X_{1}^{-1}(V)\to X_{2}^{-1}(V)$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq X_{2}^{-1}\circ X_{1}:X_{1}^{-1}(V)\to X_{2}^{-1}(V)$ \end_inset . @@ -1910,7 +1910,7 @@ teorema Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $F:=X_{2}^{-1}\circ X_{1}$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq X_{2}^{-1}\circ X_{1}$ \end_inset . @@ -1919,11 +1919,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(V)$ +\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(V)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(p)$ \end_inset , existe un entorno @@ -1952,7 +1952,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $U'_{1}:=F^{-1}(U'_{2})$ +\begin_inset Formula $U'_{1}\coloneqq F^{-1}(U'_{2})$ \end_inset es un entorno de @@ -2095,7 +2095,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $p:=X(q)$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq X(q)$ \end_inset , existe una parametrización @@ -2104,11 +2104,11 @@ Sea que cumple las condiciones. Sean -\begin_inset Formula $q':=U_{p}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q'\coloneqq U_{p}^{-1}(p)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V:=X(U)\cap X_{p}(U_{p})$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)\cap X_{p}(U_{p})$ \end_inset , @@ -2533,11 +2533,11 @@ Queremos ver que \end_inset , -\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$ +\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$ \end_inset es diferenciable en su dominio -\begin_inset Formula $U:=U_{1}\cap X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}^{-1}(U_{2})))$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq U_{1}\cap X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}^{-1}(U_{2})))$ \end_inset , luego @@ -2577,7 +2577,7 @@ Si \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $G:=F\circ X_{1}:U_{1}\to S_{2}$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq F\circ X_{1}:U_{1}\to S_{2}$ \end_inset es diferenciable. @@ -2598,11 +2598,11 @@ Si \end_inset es continua, el dominio de la expresión en coordenadas -\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ G$ +\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ G$ \end_inset , -\begin_inset Formula $U:=U_{1}\cap G^{-1}(X_{2}(U_{2}))$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq U_{1}\cap G^{-1}(X_{2}(U_{2}))$ \end_inset , es un abierto no vacío. @@ -2620,7 +2620,7 @@ Para cada \end_inset , si -\begin_inset Formula $p:=G(q)\in V_{2}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq G(q)\in V_{2}$ \end_inset , existe una parametrización @@ -2628,7 +2628,7 @@ Para cada \end_inset con -\begin_inset Formula $p\in V_{p}:=X_{p}(U_{p})$ +\begin_inset Formula $p\in V_{p}\coloneqq X_{p}(U_{p})$ \end_inset de tipo grafo, por ejemplo de la forma @@ -2775,7 +2775,7 @@ Dado \end_inset las parametrizaciones mencionadas y -\begin_inset Formula $U:=X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}(U_{2})))$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}(U_{2})))$ \end_inset , que es abierto, entonces @@ -2898,7 +2898,7 @@ localmente difeomorfa Demostración: \series default Tomamos el plano -\begin_inset Formula $\pi:=\mathbb{R}^{2}\times\{0\}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \mathbb{R}^{2}\times\{0\}$ \end_inset . @@ -2919,7 +2919,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $V:=X(U)$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)$ \end_inset e @@ -2927,11 +2927,11 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $i(u,v):=(u,v,0)$ +\begin_inset Formula $i(u,v)\coloneqq (u,v,0)$ \end_inset , tomamos -\begin_inset Formula $f:=i\circ X^{-1}:V\to i(U)$ +\begin_inset Formula $f\coloneqq i\circ X^{-1}:V\to i(U)$ \end_inset , y como @@ -2980,11 +2980,11 @@ Sean \end_inset con -\begin_inset Formula $\alpha(I)\cap(V:=X(U))\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $\alpha(I)\cap(V\coloneqq X(U))\neq\emptyset$ \end_inset y -\begin_inset Formula $J:=\{t\in I\mid \alpha(t)\in V\}$ +\begin_inset Formula $J\coloneqq \{t\in I\mid \alpha(t)\in V\}$ \end_inset , entonces @@ -2992,7 +2992,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=X^{-1}(\alpha(t))$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t)\coloneqq X^{-1}(\alpha(t))$ \end_inset es una curva en @@ -3089,7 +3089,7 @@ plano tangente \end_inset y -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset , @@ -3133,7 +3133,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=q+tw$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t)\coloneqq q+tw$ \end_inset definida en un entorno de la forma @@ -3145,7 +3145,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha:=X\circ\tilde{\alpha}:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq X\circ\tilde{\alpha}:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ \end_inset , @@ -3306,7 +3306,7 @@ diferencial \end_inset dada por -\begin_inset Formula $df_{p}(v):=(f\circ\alpha)'(0)$ +\begin_inset Formula $df_{p}(v)\coloneqq (f\circ\alpha)'(0)$ \end_inset , siendo @@ -3339,7 +3339,7 @@ diferencial \end_inset y -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset , entonces @@ -3356,7 +3356,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset , @@ -3372,7 +3372,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=X^{-1}\circ\alpha:\alpha^{-1}(X(U))\to U$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq X^{-1}\circ\alpha:\alpha^{-1}(X(U))\to U$ \end_inset , entonces @@ -3445,7 +3445,7 @@ Si función altura \series default -\begin_inset Formula $h(p):=\langle p,v\rangle$ +\begin_inset Formula $h(p)\coloneqq \langle p,v\rangle$ \end_inset representa la distancia de @@ -3502,7 +3502,7 @@ Dado \end_inset , la función distancia -\begin_inset Formula $g(p):=|p-p_{0}|$ +\begin_inset Formula $g(p)\coloneqq |p-p_{0}|$ \end_inset es diferenciable en @@ -3584,7 +3584,7 @@ función antípoda \end_inset dada por -\begin_inset Formula $A(p):=-p$ +\begin_inset Formula $A(p)\coloneqq -p$ \end_inset es diferenciable con @@ -3630,7 +3630,7 @@ Dado \end_inset , -\begin_inset Formula $F:=\hat{F}|_{\mathbb{S}^{2}}:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq \hat{F}|_{\mathbb{S}^{2}}:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$ \end_inset es diferenciable con @@ -3649,7 +3649,7 @@ Es diferenciable por ser la restricción de una función diferenciable en . Tomando una curva -\begin_inset Formula $\alpha(t):=(x(t),y(t),z(t))$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq (x(t),y(t),z(t))$ \end_inset apropiadamente, @@ -3676,7 +3676,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(p):=p/|p|$ +\begin_inset Formula $F(p)\coloneqq p/|p|$ \end_inset es diferenciable con @@ -3743,11 +3743,11 @@ Dadas dos superficies regulares \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(p)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(F(p))$ +\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(F(p))$ \end_inset , la matriz asociada a @@ -3755,11 +3755,11 @@ Dadas dos superficies regulares \end_inset respecto de las bases -\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}:=((X_{1})_{u}(q_{1}),(X_{1})_{v}(q_{1}))$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}\coloneqq ((X_{1})_{u}(q_{1}),(X_{1})_{v}(q_{1}))$ \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}:=((X_{2})_{u}(q_{2}),(X_{2})_{v}(q_{2}))$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}\coloneqq ((X_{2})_{u}(q_{2}),(X_{2})_{v}(q_{2}))$ \end_inset es el jacobiano de la expresión en coordenadas de @@ -3776,7 +3776,7 @@ Dadas dos superficies regulares Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $v:=v_{1}(X_{1})_{u}+v_{2}(X_{1})_{v}$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq v_{1}(X_{1})_{u}+v_{2}(X_{1})_{v}$ \end_inset , de modo que @@ -3788,7 +3788,7 @@ Demostración: \end_inset , pero la expresión en coordenadas -\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}:U_{1}\to U_{2}$ +\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}:U_{1}\to U_{2}$ \end_inset cumple @@ -3884,7 +3884,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $\beta:=F\circ\alpha$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq F\circ\alpha$ \end_inset , @@ -3960,7 +3960,7 @@ Teorema de la función inversa: \end_inset [y] -\begin_inset Formula ${\cal V}\in{\cal E}(y_{0}:=f(x_{0}))$ +\begin_inset Formula ${\cal V}\in{\cal E}(y_{0}\coloneqq f(x_{0}))$ \end_inset tales que @@ -4081,19 +4081,19 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(p)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(F(p))$ +\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(F(p))$ \end_inset , -\begin_inset Formula $V_{1}:=X_{1}(U_{1})$ +\begin_inset Formula $V_{1}\coloneqq X_{1}(U_{1})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V_{2}:=X_{2}(U_{2})$ +\begin_inset Formula $V_{2}\coloneqq X_{2}(U_{2})$ \end_inset . @@ -4114,7 +4114,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $U:=X_{1}^{-1}(F^{-1}(V_{2}))$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq X_{1}^{-1}(F^{-1}(V_{2}))$ \end_inset el dominio de @@ -4155,11 +4155,11 @@ Demostración: es un difeomorfismo. Sea -\begin_inset Formula $V:=X_{1}(\tilde{U}_{1})$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X_{1}(\tilde{U}_{1})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $F|_{V}:=(X_{2}\circ\tilde{F}\circ X_{1}^{-1})|_{V}:V\to F(V)$ +\begin_inset Formula $F|_{V}\coloneqq (X_{2}\circ\tilde{F}\circ X_{1}^{-1})|_{V}:V\to F(V)$ \end_inset es un difeomorfismo por ser composición de difeomorfismos. @@ -4304,7 +4304,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $A:=\{p\in S\mid f(p)=a\}\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{p\in S\mid f(p)=a\}\neq\emptyset$ \end_inset , pues @@ -4350,7 +4350,7 @@ Sean \end_inset es conexo, -\begin_inset Formula $V:=X(U)$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)$ \end_inset y @@ -4445,7 +4445,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $h:=f\circ\alpha:I\to\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq f\circ\alpha:I\to\mathbb{R}$ \end_inset , @@ -4482,7 +4482,7 @@ Dados una superficie regular \end_inset , definimos el producto escalar -\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{p}:=\langle\cdot,\cdot\rangle|_{T_{p}S}$ +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{p}\coloneqq \langle\cdot,\cdot\rangle|_{T_{p}S}$ \end_inset como el producto escalar usual restringido al plano tangente. @@ -4503,7 +4503,7 @@ primera forma fundamental \end_inset dada por -\begin_inset Formula ${\cal I}_{p}(v):=\langle v,v\rangle_{p}$ +\begin_inset Formula ${\cal I}_{p}(v)\coloneqq \langle v,v\rangle_{p}$ \end_inset . @@ -4523,15 +4523,15 @@ coeficientes de la primera forma fundamental \end_inset a -\begin_inset Formula $E:=\langle X_{u},X_{u}\rangle$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \langle X_{u},X_{u}\rangle$ \end_inset , -\begin_inset Formula $F:=\langle X_{u},X_{v}\rangle$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq \langle X_{u},X_{v}\rangle$ \end_inset y -\begin_inset Formula $G:=\langle X_{v},X_{v}\rangle$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \langle X_{v},X_{v}\rangle$ \end_inset , de modo que para @@ -4539,7 +4539,7 @@ coeficientes de la primera forma fundamental \end_inset , -\begin_inset Formula $p:=X(q)$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq X(q)$ \end_inset y @@ -4579,7 +4579,7 @@ Sean \end_inset diferenciable, -\begin_inset Formula $S:=G(f)$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq G(f)$ \end_inset , @@ -4591,15 +4591,15 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u,v,f(u,v))$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f_{u}:=\frac{\partial f}{\partial u}$ +\begin_inset Formula $f_{u}\coloneqq \frac{\partial f}{\partial u}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f_{v}:=\frac{\partial f}{\partial v}$ +\begin_inset Formula $f_{v}\coloneqq \frac{\partial f}{\partial v}$ \end_inset , entonces @@ -4636,7 +4636,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $S:=p+\langle v,w\rangle$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq p+\langle v,w\rangle$ \end_inset un plano y @@ -4698,7 +4698,7 @@ Dados \end_inset , el cilindro -\begin_inset Formula $C:=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ \end_inset y la parametrización @@ -4710,11 +4710,11 @@ Dados \end_inset dada por -\begin_inset Formula $U:=(0,2\pi)\times\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,2\pi)\times\mathbb{R}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $X(u,v):=(r\cos u,r\sin u,v)$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (r\cos u,r\sin u,v)$ \end_inset , entonces @@ -4751,7 +4751,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha(u):=(\cos u,\sin u,au)$ +\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq (\cos u,\sin u,au)$ \end_inset , el @@ -4776,7 +4776,7 @@ helicoide \end_inset con -\begin_inset Formula $X(u,v):=(v\cos u,v\sin u,au)$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (v\cos u,v\sin u,au)$ \end_inset , y entonces @@ -4909,11 +4909,11 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=(u,v):I\to U$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq (u,v):I\to U$ \end_inset su expresión en coordenadas y -\begin_inset Formula $s(t):=L_{0}^{t}(\alpha)$ +\begin_inset Formula $s(t)\coloneqq L_{0}^{t}(\alpha)$ \end_inset , entonces @@ -4995,11 +4995,11 @@ curvas coordenadas \end_inset , dadas por -\begin_inset Formula $\alpha(u):=X(u,v_{0})$ +\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq X(u,v_{0})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\beta(v):=X(u_{0},v)$ +\begin_inset Formula $\beta(v)\coloneqq X(u_{0},v)$ \end_inset . @@ -5131,7 +5131,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $h:=(\overline{u},\overline{v}):=\overline{X}^{-1}\circ X$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq (\overline{u},\overline{v})\coloneqq \overline{X}^{-1}\circ X$ \end_inset , como @@ -5172,7 +5172,7 @@ Por tanto \begin_layout Standard El área del toro -\begin_inset Formula $X(u,v):=((r\cos u+a)\cos v,(r\cos u+a)\sin v,r\sin u)$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq ((r\cos u+a)\cos v,(r\cos u+a)\sin v,r\sin u)$ \end_inset es @@ -5211,11 +5211,11 @@ luego los coeficientes de la primera forma fundamental son . La parametrización dada con el abierto -\begin_inset Formula $U:=(0,2\pi)\times(0,2\pi)$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,2\pi)\times(0,2\pi)$ \end_inset no cubre todo el toro, pero si definimos la región -\begin_inset Formula $R_{\varepsilon}:=X((\varepsilon,2\pi-\varepsilon)\times(\varepsilon,2\pi-\varepsilon))\subseteq X(U)$ +\begin_inset Formula $R_{\varepsilon}\coloneqq X((\varepsilon,2\pi-\varepsilon)\times(\varepsilon,2\pi-\varepsilon))\subseteq X(U)$ \end_inset , @@ -193,7 +193,7 @@ orientable \end_inset , basta tomar la orientación -\begin_inset Formula $N(p):=\xi(p)/|\xi(p)|$ +\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq \xi(p)/|\xi(p)|$ \end_inset . @@ -258,11 +258,11 @@ Claramente \end_inset es diferenciable, y es inyectiva en -\begin_inset Formula $U_{1}:=(0,2\pi)\times(-1,1)$ +\begin_inset Formula $U_{1}\coloneqq (0,2\pi)\times(-1,1)$ \end_inset y en -\begin_inset Formula $U_{2}:=(-\pi,\pi)\times(-1,1)$ +\begin_inset Formula $U_{2}\coloneqq (-\pi,\pi)\times(-1,1)$ \end_inset . @@ -325,7 +325,7 @@ El plano \end_inset admite la orientación -\begin_inset Formula $N(p):=v/|v|$ +\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq v/|v|$ \end_inset . @@ -349,7 +349,7 @@ Dados \end_inset , la superficie de nivel -\begin_inset Formula $S:=f^{-1}(c)$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq f^{-1}(c)$ \end_inset admite la orientación @@ -361,7 +361,7 @@ N(p):=\frac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|}, \end_inset donde -\begin_inset Formula $\nabla f(p):=(\frac{\partial f}{\partial x}(p),\frac{\partial f}{\partial y}(p),\frac{\partial f}{\partial z}(p))$ +\begin_inset Formula $\nabla f(p)\coloneqq (\frac{\partial f}{\partial x}(p),\frac{\partial f}{\partial y}(p),\frac{\partial f}{\partial z}(p))$ \end_inset es el @@ -386,7 +386,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $\alpha:=(x,y,z):I\to S$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq (x,y,z):I\to S$ \end_inset una curva diferenciable con @@ -394,7 +394,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $v:=\alpha'(0)\in T_{p}S$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq \alpha'(0)\in T_{p}S$ \end_inset , para @@ -456,7 +456,7 @@ Sean \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}+z^{2}$ \end_inset , @@ -519,7 +519,7 @@ Dada \end_inset , el grafo -\begin_inset Formula $S:=\{(x,y,f(x,y))\}_{x,y\in U}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{(x,y,f(x,y))\}_{x,y\in U}$ \end_inset admite la orientación @@ -535,7 +535,7 @@ Dada la parametrización \end_inset con -\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u,v,f(u,v))$ \end_inset , @@ -576,11 +576,11 @@ Dos cartas compatibles \series default si -\begin_inset Formula $V:=X(U)$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V':=X'(U')$ +\begin_inset Formula $V'\coloneqq X'(U')$ \end_inset son disjuntos o @@ -635,7 +635,7 @@ status open \end_inset Sean -\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{(U_{i},X_{i})\}_{i\in I}$ +\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \{(U_{i},X_{i})\}_{i\in I}$ \end_inset un atlas de cartas compatibles en @@ -680,7 +680,7 @@ N(X(u,v)):=N(u,v):=\frac{X_{u}\wedge X_{v}}{|X_{u}\wedge X_{v}|}(u,v), \end_inset , -\begin_inset Formula $\overline{N}(\overline{X}(u,v)):=\overline{N}(u,v):=\frac{\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}}{|\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}|}(u,v)$ +\begin_inset Formula $\overline{N}(\overline{X}(u,v))\coloneqq \overline{N}(u,v)\coloneqq \frac{\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}}{|\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}|}(u,v)$ \end_inset y @@ -802,7 +802,7 @@ Sea \end_inset con -\begin_inset Formula $V:=X_{a}(U_{a})\cap X_{b}(U_{b})\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq X_{a}(U_{a})\cap X_{b}(U_{b})\neq\emptyset$ \end_inset , queremos ver que el determinante del cambio de coordenadas @@ -827,11 +827,11 @@ Sea \end_inset , sean -\begin_inset Formula $q_{a}:=X_{a}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q_{a}\coloneqq X_{a}^{-1}(p)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $q_{b}:=X_{b}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q_{b}\coloneqq X_{b}^{-1}(p)$ \end_inset , entonces @@ -864,15 +864,15 @@ En adelante, cuando consideremos una parametrización \end_inset , escribiremos -\begin_inset Formula $N(u,v):=N(X(u,v))$ +\begin_inset Formula $N(u,v)\coloneqq N(X(u,v))$ \end_inset , -\begin_inset Formula $N_{u}:=\frac{\partial(N\circ X)}{\partial u}$ +\begin_inset Formula $N_{u}\coloneqq \frac{\partial(N\circ X)}{\partial u}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N_{v}:=\frac{\partial(N\circ X)}{\partial v}$ +\begin_inset Formula $N_{v}\coloneqq \frac{\partial(N\circ X)}{\partial v}$ \end_inset . @@ -881,7 +881,7 @@ En adelante, cuando consideremos una parametrización \end_inset , -\begin_inset Formula $f_{x_{i}}:=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ +\begin_inset Formula $f_{x_{i}}\coloneqq \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ \end_inset . @@ -923,7 +923,7 @@ La imagen esférica de un plano es unipuntual. \begin_deeper \begin_layout Standard Dado el plano -\begin_inset Formula $\Pi:=p_{0}+\langle v\rangle\subseteq\mathbb{R}^{3}$ +\begin_inset Formula $\Pi\coloneqq p_{0}+\langle v\rangle\subseteq\mathbb{R}^{3}$ \end_inset , donde podemos suponer @@ -931,7 +931,7 @@ Dado el plano \end_inset unitario, la imagen de -\begin_inset Formula $N(p):=v$ +\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq v$ \end_inset es @@ -1006,7 +1006,7 @@ La imagen esférica de un cilindro es un circulo máximo de la esfera. \begin_deeper \begin_layout Standard Los cilindros se obtienen por un movimiento de -\begin_inset Formula $S_{r}:=\{x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ +\begin_inset Formula $S_{r}\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ \end_inset para algún @@ -1031,7 +1031,7 @@ El catenoide \series default , -\begin_inset Formula $C:=\{x^{2}+y^{2}=\cosh^{2}z\}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=\cosh^{2}z\}$ \end_inset , tiene imagen esférica @@ -1039,7 +1039,7 @@ catenoide \end_inset , donde -\begin_inset Formula $\mathsf{N}:=(0,0,1)$ +\begin_inset Formula $\mathsf{N}\coloneqq (0,0,1)$ \end_inset es el @@ -1047,7 +1047,7 @@ catenoide polo norte \series default y -\begin_inset Formula $\mathsf{S}:=(0,0,-1)$ +\begin_inset Formula $\mathsf{S}\coloneqq (0,0,-1)$ \end_inset es el @@ -1060,7 +1060,7 @@ polo sur \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-\cosh^{2}z$ +\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}-\cosh^{2}z$ \end_inset , como @@ -1110,7 +1110,7 @@ Como \end_inset , -\begin_inset Formula $z:=\arg\tanh(-\hat{z})$ +\begin_inset Formula $z\coloneqq \arg\tanh(-\hat{z})$ \end_inset (que existe porque @@ -1118,11 +1118,11 @@ Como \end_inset ), -\begin_inset Formula $x:=\hat{x}\cosh^{2}z$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \hat{x}\cosh^{2}z$ \end_inset e -\begin_inset Formula $y:=\hat{y}\cosh^{2}z$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq \hat{y}\cosh^{2}z$ \end_inset , es claro que @@ -1197,7 +1197,7 @@ endomorfismo de Weingarten \end_inset a -\begin_inset Formula $A_{p}:=-dN_{p}:T_{p}S\to T_{p}S$ +\begin_inset Formula $A_{p}\coloneqq -dN_{p}:T_{p}S\to T_{p}S$ \end_inset . @@ -1267,7 +1267,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $q:=(u_{0},v_{0}):=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq (u_{0},v_{0})\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset , tomamos la base @@ -1280,7 +1280,7 @@ Demostración: . Sea entonces -\begin_inset Formula $\alpha(u):=X(u_{0}+u,v_{0})$ +\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq X(u_{0}+u,v_{0})$ \end_inset , @@ -1367,7 +1367,7 @@ Para el cilindro \end_inset con -\begin_inset Formula $X(u,v):=(r\cos u,r\sin u,v)$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (r\cos u,r\sin u,v)$ \end_inset , si @@ -1433,7 +1433,7 @@ paraboloide hiperbólico silla de montar \series default , -\begin_inset Formula $S:=\{y^{2}-x^{2}=z\}=\{(u,v,v^{2}-u^{2})\}_{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{y^{2}-x^{2}=z\}=\{(u,v,v^{2}-u^{2})\}_{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}}$ \end_inset , @@ -1457,7 +1457,7 @@ silla de montar \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(u,v):=v^{2}-u^{2}$ +\begin_inset Formula $f(u,v)\coloneqq v^{2}-u^{2}$ \end_inset . @@ -1516,7 +1516,7 @@ El operador forma \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\sigma_{p}(v,w):=\langle A_{p}v,w\rangle$ +\begin_inset Formula $\sigma_{p}(v,w)\coloneqq \langle A_{p}v,w\rangle$ \end_inset , así como una forma cuadrática @@ -1524,7 +1524,7 @@ El operador forma \end_inset dada por -\begin_inset Formula ${\cal II}_{p}(v):=\sigma_{p}(v,v)=\langle A_{p}v,v\rangle$ +\begin_inset Formula ${\cal II}_{p}(v)\coloneqq \sigma_{p}(v,v)=\langle A_{p}v,v\rangle$ \end_inset . @@ -1659,7 +1659,7 @@ la proyección de \begin_deeper \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $\pi:=\pi_{T_{\alpha(t)}S}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \pi_{T_{\alpha(t)}S}$ \end_inset , @@ -1805,7 +1805,7 @@ Sea triedro de Darboux \series default es la base ortonormal positivamente orientada -\begin_inset Formula $(\alpha'(s),J\alpha'(s):=\alpha'(s)\wedge N(\alpha(s)),N(\alpha(s))\rangle$ +\begin_inset Formula $(\alpha'(s),J\alpha'(s)\coloneqq \alpha'(s)\wedge N(\alpha(s)),N(\alpha(s))\rangle$ \end_inset . @@ -1818,7 +1818,7 @@ triedro de Darboux \end_inset donde -\begin_inset Formula $\kappa_{g}:=\langle\alpha'',J\alpha'\rangle:I\to\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $\kappa_{g}\coloneqq \langle\alpha'',J\alpha'\rangle:I\to\mathbb{R}$ \end_inset , es la @@ -1917,7 +1917,7 @@ curvatura normal \end_inset a -\begin_inset Formula $\kappa_{n}(v,p):={\cal II}_{p}(v)=\langle\alpha''(0),N(p)\rangle$ +\begin_inset Formula $\kappa_{n}(v,p)\coloneqq {\cal II}_{p}(v)=\langle\alpha''(0),N(p)\rangle$ \end_inset , siendo @@ -1992,7 +1992,7 @@ Dados \end_inset unitario y -\begin_inset Formula $\Pi_{v}:=\text{span}\{v,N(p)\}$ +\begin_inset Formula $\Pi_{v}\coloneqq \text{span}\{v,N(p)\}$ \end_inset , llamamos @@ -2074,7 +2074,7 @@ Si \end_inset , siendo -\begin_inset Formula $\kappa_{n}(s):=\kappa_{n}(\alpha'(s),\alpha(s))=\langle\alpha''(s),N(\alpha(s))\rangle$ +\begin_inset Formula $\kappa_{n}(s)\coloneqq \kappa_{n}(\alpha'(s),\alpha(s))=\langle\alpha''(s),N(\alpha(s))\rangle$ \end_inset , luego @@ -2275,7 +2275,7 @@ El cilindro \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $C:=\{x^{2}+y^{2}=r^{2}\}=\{X(u,v)\mid =(r\cos u,r\sin u,v)\}_{u,v\in\mathbb{R}}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=r^{2}\}=\{X(u,v)\coloneqq (r\cos u,r\sin u,v)\}_{u,v\in\mathbb{R}}$ \end_inset , @@ -2283,7 +2283,7 @@ Sean \end_inset y la orientación -\begin_inset Formula $N(p):=\frac{1}{r}(x,y,0)$ +\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq \frac{1}{r}(x,y,0)$ \end_inset , entonces @@ -2494,7 +2494,7 @@ curvatura de Gauss \end_inset es -\begin_inset Formula $K(p):=\det A_{p}=\kappa_{1}(p)\kappa_{2}(p)$ +\begin_inset Formula $K(p)\coloneqq \det A_{p}=\kappa_{1}(p)\kappa_{2}(p)$ \end_inset , y la @@ -2502,7 +2502,7 @@ curvatura de Gauss curvatura media \series default es -\begin_inset Formula $H(p):=\frac{1}{2}\text{tr}A_{p}=\frac{1}{2}(\kappa_{1}(p)+\kappa_{2}(p))$ +\begin_inset Formula $H(p)\coloneqq \frac{1}{2}\text{tr}A_{p}=\frac{1}{2}(\kappa_{1}(p)+\kappa_{2}(p))$ \end_inset . @@ -2635,7 +2635,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout La superficie es el grafo -\begin_inset Formula $S:=\{X(u,v)\mid =(u,v,(u^{2}+v^{2})^{2}\}_{u,v\in\mathbb{R}}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{X(u,v)\coloneqq (u,v,(u^{2}+v^{2})^{2}\}_{u,v\in\mathbb{R}}$ \end_inset , de modo que @@ -2772,11 +2772,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $q:=(u_{0},v_{0}):=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq (u_{0},v_{0})\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha(u):=X(u_{0}+u,v_{0})$ +\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq X(u_{0}+u,v_{0})$ \end_inset , como @@ -2888,7 +2888,7 @@ Si . Sean ahora -\begin_inset Formula $\phi(p):=\langle p,a\rangle$ +\begin_inset Formula $\phi(p)\coloneqq \langle p,a\rangle$ \end_inset , @@ -2956,7 +2956,7 @@ Si \end_inset la función diferenciable dada por -\begin_inset Formula $\phi(p):=p+\frac{1}{c}N(p)$ +\begin_inset Formula $\phi(p)\coloneqq p+\frac{1}{c}N(p)$ \end_inset , para @@ -3068,7 +3068,7 @@ y para \end_inset , si -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset y @@ -3117,7 +3117,7 @@ Demostración: \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)=(u(0),v(0))$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)=(u(0),v(0))$ \end_inset , por linealidad @@ -3535,11 +3535,11 @@ eremember \begin_layout Standard Existe una isometría local entre el plano -\begin_inset Formula $\Pi:=\{z=0\}$ +\begin_inset Formula $\Pi\coloneqq \{z=0\}$ \end_inset y el cilindro -\begin_inset Formula $C:=\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \mathbb{S}^{1}\times\mathbb{R}$ \end_inset , pero las superficies no son globalmente isométricas. @@ -3571,7 +3571,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\phi(x,y,0):=(\cos x,\sin x,y)$ +\begin_inset Formula $\phi(x,y,0)\coloneqq (\cos x,\sin x,y)$ \end_inset , que es diferenciable. @@ -3592,7 +3592,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\alpha(t):=p+tv$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq p+tv$ \end_inset , @@ -3689,7 +3689,7 @@ Demostración: \end_inset es un difeomorfismo, por lo que si -\begin_inset Formula $U:=X^{-1}(V)\subseteq\tilde{U}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq X^{-1}(V)\subseteq\tilde{U}$ \end_inset , restringiendo @@ -3714,7 +3714,7 @@ Demostración: . Entonces, si -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset , @@ -3779,7 +3779,7 @@ teorema \end_inset con los mismos parámetros de la primera forma fundamental, entonces -\begin_inset Formula $\phi:=\overline{X}\circ X^{-1}:X(U)\to\overline{X}(U)$ +\begin_inset Formula $\phi\coloneqq \overline{X}\circ X^{-1}:X(U)\to\overline{X}(U)$ \end_inset es una isometría. @@ -3794,7 +3794,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $p:=X(q)$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq X(q)$ \end_inset , @@ -4219,11 +4219,11 @@ Demostración: \end_inset lo suficientemente pequeña para que -\begin_inset Formula $\phi|_{V:=X(U)}:V\to\phi(V)$ +\begin_inset Formula $\phi|_{V\coloneqq X(U)}:V\to\phi(V)$ \end_inset sea un difeomorfismo, entonces -\begin_inset Formula $(U,\overline{X}:=\phi\circ X)$ +\begin_inset Formula $(U,\overline{X}\coloneqq \phi\circ X)$ \end_inset es una parametrización de @@ -4280,11 +4280,11 @@ Demostración: \end_inset parametrizadas por -\begin_inset Formula $X(u,v):=(u\cos v,u\sin v,\log u)$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u\cos v,u\sin v,\log u)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\overline{X}(u,v):=(u\cos v,u\sin v,v)$ +\begin_inset Formula $\overline{X}(u,v)\coloneqq (u\cos v,u\sin v,v)$ \end_inset , entonces @@ -4332,7 +4332,7 @@ luego y por tanto tienen igual determinante, que será la curvatura de Gauss. Sin embargo, -\begin_inset Formula $\phi:=\overline{X}\circ X^{-1}=((x,y,z)\mapsto(x,y,e^{z}))$ +\begin_inset Formula $\phi\coloneqq \overline{X}\circ X^{-1}=((x,y,z)\mapsto(x,y,e^{z}))$ \end_inset no es una isometría. @@ -137,15 +137,15 @@ Entonces, dada una curva \end_inset p.p.a., si -\begin_inset Formula $\mathbf{t}(s):=\alpha'(s)$ +\begin_inset Formula $\mathbf{t}(s)\coloneqq \alpha'(s)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\mathbf{n}(s):=J\mathbf{t}(s)$ +\begin_inset Formula $\mathbf{n}(s)\coloneqq J\mathbf{t}(s)$ \end_inset [...], [...] -\begin_inset Formula $\kappa_{\alpha}(s):=\langle\mathbf{t}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle$ +\begin_inset Formula $\kappa_{\alpha}(s)\coloneqq \langle\mathbf{t}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle$ \end_inset [...]. @@ -192,12 +192,12 @@ fórmulas de Frenet \end_inset es su vector tangente, [...] -\begin_inset Formula $\kappa(s):=|\mathbf{t}'(s)|$ +\begin_inset Formula $\kappa(s)\coloneqq |\mathbf{t}'(s)|$ \end_inset . [...] -\begin_inset Formula $\mathbf{n}(s):=\frac{\mathbf{t}'(s)}{\kappa(s)}[...],$ +\begin_inset Formula $\mathbf{n}(s)\coloneqq \frac{\mathbf{t}'(s)}{\kappa(s)}[...],$ \end_inset [...] @@ -613,11 +613,11 @@ Para un \end_inset , -\begin_inset Formula $V(t)^{\top}:=\pi_{T_{\alpha(t)}S}V(t)$ +\begin_inset Formula $V(t)^{\top}\coloneqq \pi_{T_{\alpha(t)}S}V(t)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V(t)^{\bot}:=\pi_{(T_{\alpha(t)}S)^{\bot}}V(t)$ +\begin_inset Formula $V(t)^{\bot}\coloneqq \pi_{(T_{\alpha(t)}S)^{\bot}}V(t)$ \end_inset . @@ -772,7 +772,7 @@ Propiedades: Sean \begin_deeper \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $\pi:=\pi_{T_{\alpha(t)}S}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \pi_{T_{\alpha(t)}S}$ \end_inset , @@ -881,7 +881,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=(u,v):=X^{-1}\circ\alpha:I\to U$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq (u,v)\coloneqq X^{-1}\circ\alpha:I\to U$ \end_inset y @@ -914,11 +914,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $p:=\alpha(t)$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \alpha(t)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset y @@ -1148,7 +1148,7 @@ E.d.o intrínseca de los campos paralelos: \end_inset , -\begin_inset Formula $(u,v):=X^{-1}\circ\alpha:I\to U$ +\begin_inset Formula $(u,v)\coloneqq X^{-1}\circ\alpha:I\to U$ \end_inset y @@ -1391,11 +1391,11 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $p:=\alpha(a)$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \alpha(a)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q:=\alpha(b)$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq \alpha(b)$ \end_inset y @@ -1440,7 +1440,7 @@ La aplicación transporte paralelo \series default es la -\begin_inset Formula $P_{\alpha}:=P_{a}^{b}(\alpha):T_{p}S\to T_{q}S$ +\begin_inset Formula $P_{\alpha}\coloneqq P_{a}^{b}(\alpha):T_{p}S\to T_{q}S$ \end_inset que a cada @@ -195,7 +195,7 @@ Sea \end_inset un cambio de parámetro y -\begin_inset Formula $\alpha:=\gamma\circ h$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \gamma\circ h$ \end_inset , entonces @@ -287,7 +287,7 @@ Si \end_inset es una curva y -\begin_inset Formula $(u,v):=X^{-1}\circ\alpha:I\to U$ +\begin_inset Formula $(u,v)\coloneqq X^{-1}\circ\alpha:I\to U$ \end_inset , @@ -360,7 +360,7 @@ Teorema de Picard en un abierto: \end_inset existe -\begin_inset Formula $K:=[t_{0}-\alpha,t_{0}+\alpha]\times\overline{B}(x_{0},b)\subseteq\Omega$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq [t_{0}-\alpha,t_{0}+\alpha]\times\overline{B}(x_{0},b)\subseteq\Omega$ \end_inset tal que @@ -569,7 +569,7 @@ intervalo maximal de existencia Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula ${\cal J}_{p,v}:=\{(I,\alpha)\mid \alpha\mid I\to S\text{ geodésica},0\in I,\alpha(0)=p,\alpha'(0)=v\}$ +\begin_inset Formula ${\cal J}_{p,v}\coloneqq \{(I,\alpha)\mid \alpha\mid I\to S\text{ geodésica},0\in I,\alpha(0)=p,\alpha'(0)=v\}$ \end_inset . @@ -586,7 +586,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $(u_{0},v_{0}):=X^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $(u_{0},v_{0})\coloneqq X^{-1}(p)$ \end_inset y @@ -619,7 +619,7 @@ Demostración: \end_inset , y entonces -\begin_inset Formula $\alpha(t):=X(u(t),v(t))$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq X(u(t),v(t))$ \end_inset es una geodésica con @@ -669,7 +669,7 @@ Sean ahora es abierto y, por el teorema del peine, también conexo, luego es un intervalo. Sea -\begin_inset Formula $A:=\{t\in I_{1}\cap I_{2}\mid \alpha_{1}(t)=\alpha_{2}(t),\alpha'_{1}(t)=\alpha'_{2}(t)\}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{t\in I_{1}\cap I_{2}\mid \alpha_{1}(t)=\alpha_{2}(t),\alpha'_{1}(t)=\alpha'_{2}(t)\}$ \end_inset , y queremos ver que @@ -694,7 +694,7 @@ Sean ahora \end_inset , y es cerrado por ser la anti-imagen del 0 por la función continua -\begin_inset Formula $F(t):=\Vert\alpha_{1}(t)-\alpha_{2}(t)\Vert+\Vert\alpha'_{1}(t)+\alpha'_{2}(t)\Vert$ +\begin_inset Formula $F(t)\coloneqq \Vert\alpha_{1}(t)-\alpha_{2}(t)\Vert+\Vert\alpha'_{1}(t)+\alpha'_{2}(t)\Vert$ \end_inset . @@ -742,15 +742,15 @@ Sean ahora \end_inset , y si -\begin_inset Formula $\varepsilon:=\min\{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\}$ +\begin_inset Formula $\varepsilon\coloneqq \min\{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $(u_{1},v_{1}):=X^{-1}\circ\alpha_{1}$ +\begin_inset Formula $(u_{1},v_{1})\coloneqq X^{-1}\circ\alpha_{1}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(u_{2},v_{2}):=X^{-1}\circ\alpha_{2}$ +\begin_inset Formula $(u_{2},v_{2})\coloneqq X^{-1}\circ\alpha_{2}$ \end_inset , entonces @@ -802,7 +802,7 @@ Así, . Sea entonces -\begin_inset Formula $I_{v}:=\bigcup_{(I,\alpha)\in{\cal J}_{p,v}}I$ +\begin_inset Formula $I_{v}\coloneqq \bigcup_{(I,\alpha)\in{\cal J}_{p,v}}I$ \end_inset , @@ -892,7 +892,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $\alpha(t):=\gamma_{v}(\lambda t)$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq \gamma_{v}(\lambda t)$ \end_inset , claramente @@ -925,7 +925,7 @@ e . Ahora bien, sea -\begin_inset Formula $w:=\lambda v$ +\begin_inset Formula $w\coloneqq \lambda v$ \end_inset y @@ -933,7 +933,7 @@ e \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\beta(t):=\gamma_{w}(\frac{1}{\lambda}v)$ +\begin_inset Formula $\beta(t)\coloneqq \gamma_{w}(\frac{1}{\lambda}v)$ \end_inset , por el mismo argumento es @@ -1024,7 +1024,7 @@ Cálculo de \end_inset , [...] -\begin_inset Formula $E(T,\lambda_{k}):=\ker(T-\lambda_{k}I)^{n_{k}}$ +\begin_inset Formula $E(T,\lambda_{k})\coloneqq \ker(T-\lambda_{k}I)^{n_{k}}$ \end_inset , y [...] @@ -1160,15 +1160,15 @@ status open \begin_layout Enumerate Sea -\begin_inset Formula $P:=M_{{\cal CB}}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq M_{{\cal CB}}$ \end_inset , entonces la parte semisimple es -\begin_inset Formula $S:=PS_{0}P^{-1}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq PS_{0}P^{-1}$ \end_inset y la nilpotente es -\begin_inset Formula $N:=A-S$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq A-S$ \end_inset . @@ -1421,7 +1421,7 @@ Dado el plano \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\gamma(t):=p+tv$ +\begin_inset Formula $\gamma(t)\coloneqq p+tv$ \end_inset . @@ -1430,7 +1430,7 @@ Dado el plano \begin_deeper \begin_layout Standard Tomando la normal -\begin_inset Formula $N(p):=a$ +\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq a$ \end_inset , como @@ -1471,7 +1471,7 @@ Dado \end_inset , la geodésica maximal de la esfera -\begin_inset Formula $S:=\mathbb{S}^{2}(r)$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \mathbb{S}^{2}(r)$ \end_inset con condiciones iniciales @@ -1500,11 +1500,11 @@ Dado \begin_deeper \begin_layout Standard Tomando la normal -\begin_inset Formula $N(p):=\frac{p}{r}$ +\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq \frac{p}{r}$ \end_inset y llamando -\begin_inset Formula $N(t):=N(\gamma(t))$ +\begin_inset Formula $N(t)\coloneqq N(\gamma(t))$ \end_inset , @@ -1524,7 +1524,7 @@ Tomando la normal \end_inset Si -\begin_inset Formula $c:=\frac{\Vert v\Vert^{2}}{r^{2}}=0$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \frac{\Vert v\Vert^{2}}{r^{2}}=0$ \end_inset , @@ -1579,7 +1579,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $S:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ \end_inset un cilindro, @@ -1634,7 +1634,7 @@ p_{3}+tv_{3} \end_inset en otro caso, donde -\begin_inset Formula $c:=\frac{\sqrt{\Vert v\Vert^{2}-v_{3}^{2}}}{r}$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \frac{\sqrt{\Vert v\Vert^{2}-v_{3}^{2}}}{r}$ \end_inset , que es una circunferencia horizontal si @@ -1679,7 +1679,7 @@ N(x,y,z)=\frac{\nabla f}{\Vert\nabla f\Vert}=\frac{(2x,2y,0)}{2\sqrt{x^{2}+y^{2} \end_inset Entonces, sean -\begin_inset Formula $N(t):=N(\gamma(t))$ +\begin_inset Formula $N(t)\coloneqq N(\gamma(t))$ \end_inset y @@ -1897,7 +1897,7 @@ Sea triedro de Darboux \series default es la base [...] -\begin_inset Formula $(\alpha'(s),J\alpha'(s):=\alpha'(s)\wedge N(\alpha(s)),N(\alpha(s))\rangle$ +\begin_inset Formula $(\alpha'(s),J\alpha'(s)\coloneqq \alpha'(s)\wedge N(\alpha(s)),N(\alpha(s))\rangle$ \end_inset . @@ -1910,7 +1910,7 @@ triedro de Darboux \end_inset donde -\begin_inset Formula $\kappa_{g}:=\langle\alpha'',J\alpha'\rangle:I\to\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $\kappa_{g}\coloneqq \langle\alpha'',J\alpha'\rangle:I\to\mathbb{R}$ \end_inset , es la @@ -1926,7 +1926,7 @@ curvatura geodésica \end_inset [, y -\begin_inset Formula $\kappa_{n}:=\langle\alpha'',N(\alpha)\rangle$ +\begin_inset Formula $\kappa_{n}\coloneqq \langle\alpha'',N(\alpha)\rangle$ \end_inset es la @@ -1995,7 +1995,7 @@ Si \end_inset es un cambio de parámetro que conserva la orientación con -\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$ \end_inset p.p.a., la curvatura geodésica de @@ -2027,7 +2027,7 @@ Demostración: \end_inset , sea -\begin_inset Formula $s:=h^{-1}(t)$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq h^{-1}(t)$ \end_inset , @@ -2080,7 +2080,7 @@ pregeodésica \end_inset tal que -\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$ \end_inset es una geodésica de @@ -2112,7 +2112,7 @@ Sea \end_inset un cambio de parámetro tal que -\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$ \end_inset es una geodésica, entonces @@ -2124,7 +2124,7 @@ Sea \end_inset , luego -\begin_inset Formula $\gamma(s):=\beta(\frac{s}{c})$ +\begin_inset Formula $\gamma(s)\coloneqq \beta(\frac{s}{c})$ \end_inset es una geodésica y es p.p.a. @@ -2134,7 +2134,7 @@ Sea . Sea entonces -\begin_inset Formula $\tilde{h}(s):=h(\frac{s}{c})$ +\begin_inset Formula $\tilde{h}(s)\coloneqq h(\frac{s}{c})$ \end_inset , entonces @@ -110,7 +110,7 @@ aplicación exponencial \end_inset donde -\begin_inset Formula ${\cal D}_{p}:=\{v\in T_{p}S\mid 1\in I_{v}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal D}_{p}\coloneqq \{v\in T_{p}S\mid 1\in I_{v}\}$ \end_inset . @@ -278,7 +278,7 @@ Como \end_inset , sea -\begin_inset Formula $\alpha(t):=tw$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq tw$ \end_inset , existe @@ -377,11 +377,11 @@ entorno normal \end_inset , sean -\begin_inset Formula $v_{p}:=\exp_{p_{0}}^{-1}(p)\in{\cal U}$ +\begin_inset Formula $v_{p}\coloneqq \exp_{p_{0}}^{-1}(p)\in{\cal U}$ \end_inset y el segmento de geodésica -\begin_inset Formula $\gamma_{p}:=\gamma_{v_{p}}|_{[0,1]}:[0,1]\to V$ +\begin_inset Formula $\gamma_{p}\coloneqq \gamma_{v_{p}}|_{[0,1]}:[0,1]\to V$ \end_inset , entonces @@ -487,7 +487,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\alpha(t):=v+tw=(1+\lambda t)v$ +\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq v+tw=(1+\lambda t)v$ \end_inset , entonces @@ -512,7 +512,7 @@ Para el caso general, sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\tau(s,t):=s\alpha(t):=s(v+tw)$ +\begin_inset Formula $\tau(s,t)\coloneqq s\alpha(t)\coloneqq s(v+tw)$ \end_inset , para todo @@ -591,7 +591,7 @@ Como . Proyectando el subrecubrimiento -\begin_inset Formula $A:=\bigcup_{i=1}^{k}B_{\infty}((s_{i},0),\varepsilon_{s_{i}})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \bigcup_{i=1}^{k}B_{\infty}((s_{i},0),\varepsilon_{s_{i}})$ \end_inset en @@ -608,7 +608,7 @@ Como . Sea -\begin_inset Formula $\varepsilon:=\min\{\varepsilon_{s_{1}},\dots,\varepsilon_{s_{k}},\varepsilon'\}$ +\begin_inset Formula $\varepsilon\coloneqq \min\{\varepsilon_{s_{1}},\dots,\varepsilon_{s_{k}},\varepsilon'\}$ \end_inset , para @@ -632,7 +632,7 @@ luego \begin_layout Standard Sea ahora -\begin_inset Formula $\varphi:=\exp_{p}\circ\tau:(-\varepsilon,1+\varepsilon)\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ +\begin_inset Formula $\varphi\coloneqq \exp_{p}\circ\tau:(-\varepsilon,1+\varepsilon)\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ \end_inset . @@ -733,7 +733,7 @@ pues \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\beta_{s}(t):=\exp_{p}(s\alpha(t))$ +\begin_inset Formula $\beta_{s}(t)\coloneqq \exp_{p}(s\alpha(t))$ \end_inset , @@ -909,7 +909,7 @@ Sean \end_inset tal que -\begin_inset Formula ${\cal D}(0,r):=\{v\in T_{p}S\mid \Vert v\Vert<r\}\subseteq{\cal D}_{p}$ +\begin_inset Formula ${\cal D}(0,r)\coloneqq \{v\in T_{p}S\mid \Vert v\Vert<r\}\subseteq{\cal D}_{p}$ \end_inset , llamamos @@ -925,7 +925,7 @@ disco geodésico \end_inset a -\begin_inset Formula $D(p,r):=\exp_{p}({\cal D}(0,r))$ +\begin_inset Formula $D(p,r)\coloneqq \exp_{p}({\cal D}(0,r))$ \end_inset , y si @@ -933,7 +933,7 @@ disco geodésico \end_inset cumple que -\begin_inset Formula ${\cal S}(0,r):=\{v\in T_{p}S\mid \Vert v\Vert=r\}\subseteq{\cal D}_{p}$ +\begin_inset Formula ${\cal S}(0,r)\coloneqq \{v\in T_{p}S\mid \Vert v\Vert=r\}\subseteq{\cal D}_{p}$ \end_inset , llamamos @@ -949,7 +949,7 @@ circunferencia geodésica \end_inset a -\begin_inset Formula $S(p,r):=\exp_{p}({\cal S}(0,r))$ +\begin_inset Formula $S(p,r)\coloneqq \exp_{p}({\cal S}(0,r))$ \end_inset . @@ -1042,7 +1042,7 @@ teorema Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $v_{p}:=\exp_{p_{0}}^{-1}(p)$ +\begin_inset Formula $v_{p}\coloneqq \exp_{p_{0}}^{-1}(p)$ \end_inset , entonces @@ -1075,11 +1075,11 @@ Sea \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $A:=\alpha^{-1}(\{p_{0}\})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \alpha^{-1}(\{p_{0}\})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $t_{0}:=\sup A$ +\begin_inset Formula $t_{0}\coloneqq \sup A$ \end_inset , existe una sucesión @@ -1132,7 +1132,7 @@ Sean \end_inset , basta demostrar la propiedad para -\begin_inset Formula $\alpha:=\alpha'$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \alpha'$ \end_inset . @@ -1148,7 +1148,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=\exp_{p_{0}}^{-1}\circ\alpha:[0,1]\to{\cal U}$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq \exp_{p_{0}}^{-1}\circ\alpha:[0,1]\to{\cal U}$ \end_inset , que cumple @@ -1165,7 +1165,7 @@ Sean . Sean entonces -\begin_inset Formula $r(t):=\Vert\tilde{\alpha}(t)\Vert$ +\begin_inset Formula $r(t)\coloneqq \Vert\tilde{\alpha}(t)\Vert$ \end_inset y, para @@ -1173,7 +1173,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $V(t):=\frac{\tilde{\alpha}(t)}{\Vert\tilde{\alpha}(t)\Vert}$ +\begin_inset Formula $V(t)\coloneqq \frac{\tilde{\alpha}(t)}{\Vert\tilde{\alpha}(t)\Vert}$ \end_inset , de modo que @@ -1392,7 +1392,7 @@ Finalmente, sea . En otro caso, sea -\begin_inset Formula $r^{*}:=\frac{r+\Vert v_{p}\Vert}{2}$ +\begin_inset Formula $r^{*}\coloneqq \frac{r+\Vert v_{p}\Vert}{2}$ \end_inset , de modo que @@ -1400,7 +1400,7 @@ Finalmente, sea \end_inset , y si -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=\exp_{p_{0}}^{-1}\circ\alpha$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq \exp_{p_{0}}^{-1}\circ\alpha$ \end_inset , como @@ -1422,7 +1422,7 @@ Finalmente, sea es \begin_inset Formula \[ -A:=\{t\in(a,b)\mid \Vert\tilde{\alpha}(t)\Vert=r^{*}\}=\{t\in[a,b]\mid \alpha(t)\in S(p_{0},r^{*})\}\neq\emptyset. +A:=\{t\in(a,b)\mid \Vert\tilde{\alpha}(t)\Vert=r^{*}\}=\{t\in[a,b]\mid\alpha(t)\in S(p_{0},r^{*})\}\neq\emptyset. \] \end_inset @@ -1436,11 +1436,11 @@ Entonces, como \end_inset también lo es y existe -\begin_inset Formula $t^{*}:=\min A$ +\begin_inset Formula $t^{*}\coloneqq \min A$ \end_inset , y llamando -\begin_inset Formula $p^{*}:=\alpha(t^{*})\in S(p_{0},r^{*})$ +\begin_inset Formula $p^{*}\coloneqq \alpha(t^{*})\in S(p_{0},r^{*})$ \end_inset , @@ -1492,7 +1492,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $U:=\phi^{-1}({\cal U})$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq \phi^{-1}({\cal U})$ \end_inset es abierto en @@ -1504,7 +1504,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $X(u,v):=\exp_{p_{0}}(\phi(u,v))$ +\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq \exp_{p_{0}}(\phi(u,v))$ \end_inset es una parametrización llamada @@ -1626,7 +1626,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $\ell:=\{\lambda e_{1}\}_{\lambda\geq0}$ +\begin_inset Formula $\ell\coloneqq \{\lambda e_{1}\}_{\lambda\geq0}$ \end_inset , @@ -1642,11 +1642,11 @@ Sean \end_inset -\begin_inset Formula $V_{0}:=\exp_{p_{0}}({\cal U}\setminus\ell)$ +\begin_inset Formula $V_{0}\coloneqq \exp_{p_{0}}({\cal U}\setminus\ell)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $U_{0}:=\phi^{-1}({\cal U}\setminus\ell)$ +\begin_inset Formula $U_{0}\coloneqq \phi^{-1}({\cal U}\setminus\ell)$ \end_inset , entonces @@ -1654,7 +1654,7 @@ Sean \end_inset dado por -\begin_inset Formula $X(r,\theta):=\exp_{p_{0}}(\phi(r,\theta))$ +\begin_inset Formula $X(r,\theta)\coloneqq \exp_{p_{0}}(\phi(r,\theta))$ \end_inset es una parametrización llamada @@ -1710,7 +1710,7 @@ teorema \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $v_{\theta}:=(\cos\theta e_{1}+\sin\theta e_{2})$ +\begin_inset Formula $v_{\theta}\coloneqq (\cos\theta e_{1}+\sin\theta e_{2})$ \end_inset , de modo que @@ -1830,7 +1830,7 @@ Para un \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $\overline{X}(u,v):=\exp_{p_{0}}(ue_{1}+ve_{2})$ +\begin_inset Formula $\overline{X}(u,v)\coloneqq \exp_{p_{0}}(ue_{1}+ve_{2})$ \end_inset la parametrización normal centrada en @@ -1846,7 +1846,7 @@ Sean \end_inset los parámetros de su primera forma fundamental, como -\begin_inset Formula $X(r,\theta)=\overline{X}(r_{\theta}):=\overline{X}(r\cos\theta,r\sin\theta)$ +\begin_inset Formula $X(r,\theta)=\overline{X}(r_{\theta})\coloneqq \overline{X}(r\cos\theta,r\sin\theta)$ \end_inset , se tiene @@ -1989,7 +1989,7 @@ Fijado \end_inset , sea -\begin_inset Formula $u(r):=\sqrt{G(r,\theta)}$ +\begin_inset Formula $u(r)\coloneqq \sqrt{G(r,\theta)}$ \end_inset , de modo que @@ -2212,11 +2212,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $V_{1}:=D(p_{1},\varepsilon)$ +\begin_inset Formula $V_{1}\coloneqq D(p_{1},\varepsilon)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V_{2}:=D(p_{2},\varepsilon)$ +\begin_inset Formula $V_{2}\coloneqq D(p_{2},\varepsilon)$ \end_inset , entonces @@ -2252,11 +2252,11 @@ Sean ahora \end_inset una isometría lineal dada por -\begin_inset Formula $\tilde{\varphi}(e_{1}):=f_{1}$ +\begin_inset Formula $\tilde{\varphi}(e_{1})\coloneqq f_{1}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\tilde{\varphi}(e_{2}):=f_{2}$ +\begin_inset Formula $\tilde{\varphi}(e_{2})\coloneqq f_{2}$ \end_inset , entonces @@ -134,7 +134,7 @@ segmento de curva diferenciable a trozos \end_inset , -\begin_inset Formula $\alpha_{i}:=\alpha|_{[t_{i-1},t_{i}]}$ +\begin_inset Formula $\alpha_{i}\coloneqq \alpha|_{[t_{i-1},t_{i}]}$ \end_inset es un segmento de curva diferenciable. @@ -258,7 +258,7 @@ Demostración: \begin_layout Standard Primero vemos que -\begin_inset Formula $A:=\{q\in S\mid \Omega(p,q)\neq\emptyset\}=S$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{q\in S\mid \Omega(p,q)\neq\emptyset\}=S$ \end_inset viendo que es abierto, cerrado y no vacío. @@ -468,7 +468,7 @@ Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, sean \end_inset y -\begin_inset Formula $v:=\frac{\overrightarrow{q-p}}{\Vert\overrightarrow{q-p}\Vert}$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq \frac{\overrightarrow{q-p}}{\Vert\overrightarrow{q-p}\Vert}$ \end_inset , entonces @@ -682,7 +682,7 @@ Existe un entorno \end_inset estrellado respecto al 0 con -\begin_inset Formula $\exp_{p}:{\cal U}\to(V:=\exp_{p}({\cal U}))$ +\begin_inset Formula $\exp_{p}:{\cal U}\to(V\coloneqq \exp_{p}({\cal U}))$ \end_inset difeomorfismo, luego existe @@ -750,7 +750,7 @@ Queremos ver que \end_inset , existe -\begin_inset Formula $t^{*}:=\inf\{t\in[a,b]\mid \alpha(t)\notin D(p,r^{*})\}$ +\begin_inset Formula $t^{*}\coloneqq \inf\{t\in[a,b]\mid \alpha(t)\notin D(p,r^{*})\}$ \end_inset , pero @@ -157,7 +157,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $w:=\alpha'(0)$ +\begin_inset Formula $w\coloneqq \alpha'(0)$ \end_inset , la geodésica maximal @@ -225,11 +225,11 @@ Demostración: . Sean -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=(\exp_{p_{0}}|_{{\cal U}})^{-1}(\alpha(t))\in{\cal U}$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t)\coloneqq (\exp_{p_{0}}|_{{\cal U}})^{-1}(\alpha(t))\in{\cal U}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $A:=\{t\in[0,1]\mid \tilde{\alpha}(t)=tw\}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{t\in[0,1]\mid \tilde{\alpha}(t)=tw\}$ \end_inset , queremos ver que @@ -488,7 +488,7 @@ realiza la distancia \end_inset , -\begin_inset Formula $\alpha_{i}:=\alpha|_{[t_{i-1},t_{i}]}$ +\begin_inset Formula $\alpha_{i}\coloneqq \alpha|_{[t_{i-1},t_{i}]}$ \end_inset es diferenciable e @@ -525,7 +525,7 @@ Demostración: \end_inset por entornos convexos con cada -\begin_inset Formula $\alpha_{i}:=\alpha|_{[t_{i-1},t_{i}]}$ +\begin_inset Formula $\alpha_{i}\coloneqq \alpha|_{[t_{i-1},t_{i}]}$ \end_inset diferenciable con imagen en @@ -797,7 +797,7 @@ Demostración: \end_inset una sucesión de Cauchy y -\begin_inset Formula $A:=\{p_{n}\}_{n}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \{p_{n}\}_{n}$ \end_inset su conjunto de puntos, para @@ -839,7 +839,7 @@ Demostración: . Tomando -\begin_inset Formula $r:=\max\{r_{0},d(p,p_{1}),\dots,d(p,p_{N-1})\}$ +\begin_inset Formula $r\coloneqq \max\{r_{0},d(p,p_{1}),\dots,d(p,p_{N-1})\}$ \end_inset , es @@ -931,7 +931,7 @@ completa \end_inset tales que -\begin_inset Formula $\gamma:=\gamma_{v}$ +\begin_inset Formula $\gamma\coloneqq \gamma_{v}$ \end_inset no está definida en todo @@ -1218,7 +1218,7 @@ Como . Sea -\begin_inset Formula $v:=\gamma'(0)$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq \gamma'(0)$ \end_inset , entonces @@ -102,7 +102,7 @@ variación \end_inset con -\begin_inset Formula $\phi_{0}(u):=\phi(u,0)=\alpha(u)$ +\begin_inset Formula $\phi_{0}(u)\coloneqq \phi(u,0)=\alpha(u)$ \end_inset para todo @@ -118,7 +118,7 @@ Para \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $\alpha_{t}:=(u\mapsto\phi(u,t)):[a,b]\to S$ +\begin_inset Formula $\alpha_{t}\coloneqq (u\mapsto\phi(u,t)):[a,b]\to S$ \end_inset y @@ -139,7 +139,7 @@ curvas de la variación \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $\beta_{u}:=(t\mapsto\phi(u,t)):(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ +\begin_inset Formula $\beta_{u}\coloneqq (t\mapsto\phi(u,t)):(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ \end_inset y @@ -269,7 +269,7 @@ funcional longitud de arco \end_inset dada por -\begin_inset Formula $L(t):=L(\alpha_{t})$ +\begin_inset Formula $L(t)\coloneqq L(\alpha_{t})$ \end_inset . @@ -422,7 +422,7 @@ de modo que sea lo mayor posible. Si -\begin_inset Formula $\varepsilon_{0}:=\inf_{u[a,b]}\delta_{u}=0$ +\begin_inset Formula $\varepsilon_{0}\coloneqq \inf_{u[a,b]}\delta_{u}=0$ \end_inset , entonces existe una sucesión @@ -732,7 +732,7 @@ Caracterización variaciones de las geodésicas: \end_inset el campo tangente dado por -\begin_inset Formula $Z(s):=-(s^{2}-s(a+b)+ab)\frac{D\alpha'}{ds}(s)$ +\begin_inset Formula $Z(s)\coloneqq -(s^{2}-s(a+b)+ab)\frac{D\alpha'}{ds}(s)$ \end_inset , si existe una variación @@ -761,7 +761,7 @@ Caracterización variaciones de las geodésicas: . Además, -\begin_inset Formula $f(s):=s^{2}-s(a+b)+ab$ +\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq s^{2}-s(a+b)+ab$ \end_inset es una parábola que vale 0 en @@ -866,7 +866,7 @@ No recuerdo haber visto este teorema. \end_inset existe -\begin_inset Formula $\varepsilon:=\min_{s\in[a,b]}\varepsilon_{s}>0$ +\begin_inset Formula $\varepsilon\coloneqq \min_{s\in[a,b]}\varepsilon_{s}>0$ \end_inset , @@ -882,7 +882,7 @@ No recuerdo haber visto este teorema. \end_inset como -\begin_inset Formula $\phi(s,t):=\gamma_{Z(s)}(t)$ +\begin_inset Formula $\phi(s,t)\coloneqq \gamma_{Z(s)}(t)$ \end_inset . @@ -156,7 +156,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $h:=\overline{X}^{-1}\circ X$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq \overline{X}^{-1}\circ X$ \end_inset la reparametrización y @@ -260,7 +260,7 @@ Dada una función \end_inset como -\begin_inset Formula $\det(d\phi)(p):=\det(J\phi_{p})$ +\begin_inset Formula $\det(d\phi)(p)\coloneqq \det(J\phi_{p})$ \end_inset . @@ -273,7 +273,7 @@ soporte \end_inset es -\begin_inset Formula $\text{sop}f:=\overline{\{x\in D\mid f(x)\neq0\}}$ +\begin_inset Formula $\text{sop}f\coloneqq \overline{\{x\in D\mid f(x)\neq0\}}$ \end_inset . @@ -318,7 +318,7 @@ Demostración \end_inset y -\begin_inset Formula $(U,\overline{X}:=\phi\circ X)$ +\begin_inset Formula $(U,\overline{X}\coloneqq \phi\circ X)$ \end_inset una parametrización de @@ -210,7 +210,7 @@ variación \end_inset tal que, llamando -\begin_inset Formula $\Phi_{t}(q):=\Phi(q,t)$ +\begin_inset Formula $\Phi_{t}(q)\coloneqq \Phi(q,t)$ \end_inset , @@ -383,7 +383,7 @@ y por continuidad existe \end_inset y entonces tomaríamos -\begin_inset Formula $\varepsilon:=\min_{(u,v)\in\text{sop}\varphi}\varepsilon_{u,v}$ +\begin_inset Formula $\varepsilon\coloneqq \min_{(u,v)\in\text{sop}\varphi}\varepsilon_{u,v}$ \end_inset . @@ -424,7 +424,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $A(t):=A(R_{t}):=A(\Phi_{t}(X^{-1}(R)))$ +\begin_inset Formula $A(t)\coloneqq A(R_{t})\coloneqq A(\Phi_{t}(X^{-1}(R)))$ \end_inset , entonces @@ -589,7 +589,7 @@ Demostramos el contrarrecíproco. \end_inset es una región, de modo que llamando -\begin_inset Formula $\varphi:=H\circ X:R\to\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $\varphi\coloneqq H\circ X:R\to\mathbb{R}$ \end_inset , como @@ -161,7 +161,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $h(t):=(f(t)-\cos\theta(t))^{2}+(g(t)-\sin\theta(t))^{2}$ +\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq (f(t)-\cos\theta(t))^{2}+(g(t)-\sin\theta(t))^{2}$ \end_inset , entonces @@ -345,7 +345,7 @@ Teorema de Liouville: \end_inset , -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=(u,v):=X^{-1}\circ\alpha:I\to U$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq (u,v)\coloneqq X^{-1}\circ\alpha:I\to U$ \end_inset , @@ -373,7 +373,7 @@ e_{1}(s):=\frac{1}{\sqrt{E(\tilde{\alpha}(s))}}X_{u}(\tilde{\alpha}(s)), \end_inset , -\begin_inset Formula $\alpha_{v}(u):=\beta_{u}(v):=X(u,v)$ +\begin_inset Formula $\alpha_{v}(u)\coloneqq \beta_{u}(v)\coloneqq X(u,v)$ \end_inset , @@ -425,7 +425,7 @@ e_{1}(s) & =\frac{X_{u}}{\Vert X_{u}\Vert}(\tilde{\alpha}(s)). \end_inset Entonces -\begin_inset Formula $e_{2}(s):=Je_{1}(s)$ +\begin_inset Formula $e_{2}(s)\coloneqq Je_{1}(s)$ \end_inset es también tangente y unitario y ortogonal a @@ -451,7 +451,7 @@ Con esto, \end_inset luego si -\begin_inset Formula $\omega:=\langle e_{1}',e_{2}\rangle=-\langle e_{1},e_{2}'\rangle$ +\begin_inset Formula $\omega\coloneqq \langle e_{1}',e_{2}\rangle=-\langle e_{1},e_{2}'\rangle$ \end_inset @@ -709,7 +709,7 @@ velocidad que llega \end_inset es -\begin_inset Formula $\alpha'_{-}(\ell):=\lim_{s\to\ell^{-}}\alpha'(s)$ +\begin_inset Formula $\alpha'_{-}(\ell)\coloneqq \lim_{s\to\ell^{-}}\alpha'(s)$ \end_inset , y la @@ -814,11 +814,11 @@ Teorema de rotación de las tangentes: \end_inset el ángulo de rotación de la velocidad de -\begin_inset Formula $\alpha_{i}:=\alpha|_{[s_{i-1},s_{i}]}$ +\begin_inset Formula $\alpha_{i}\coloneqq \alpha|_{[s_{i-1},s_{i}]}$ \end_inset respecto a -\begin_inset Formula $e_{1}(s):=X_{u}(X^{-1}(\alpha(s)))/\sqrt{E(s)}$ +\begin_inset Formula $e_{1}(s)\coloneqq X_{u}(X^{-1}(\alpha(s)))/\sqrt{E(s)}$ \end_inset , entonces @@ -842,7 +842,7 @@ Teorema de Gauss-Bonnet Teorema de Green: \series default Sea -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=(u,v):[0,\ell]\to\mathbb{R}^{2}$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq (u,v):[0,\ell]\to\mathbb{R}^{2}$ \end_inset una parametrización positivamente orientada de la frontera de un @@ -987,7 +987,7 @@ característica de Euler \end_inset es -\begin_inset Formula $\chi(T):=i_{0}-i_{1}+\dots+(-1)^{n}i_{n}$ +\begin_inset Formula $\chi(T)\coloneqq i_{0}-i_{1}+\dots+(-1)^{n}i_{n}$ \end_inset . diff --git a/graf/n1.lyx b/graf/n1.lyx index 921c7d8..0f2f84f 100644 --- a/graf/n1.lyx +++ b/graf/n1.lyx @@ -209,7 +209,7 @@ Dados un grafo \end_inset y -\begin_inset Formula $e:=(i,j)\in E$ +\begin_inset Formula $e\coloneqq (i,j)\in E$ \end_inset , @@ -346,7 +346,7 @@ G^{\complement}:=(V,E^{\complement}):=(V,\{S\in{\cal P}(V)\mid |S|=2,S\notin E\} \end_inset Un grafo -\begin_inset Formula $G':=(V',E')$ +\begin_inset Formula $G'\coloneqq (V',E')$ \end_inset es un @@ -354,7 +354,7 @@ Un grafo subgrafo \series default de -\begin_inset Formula $G:=(V,E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$ \end_inset si @@ -404,11 +404,11 @@ inducido \end_inset a -\begin_inset Formula $G_{V'}:=(V',E_{V'})$ +\begin_inset Formula $G_{V'}\coloneqq (V',E_{V'})$ \end_inset , donde -\begin_inset Formula $E_{V'}:=\{S\in E\mid S\subseteq V'\}$ +\begin_inset Formula $E_{V'}\coloneqq \{S\in E\mid S\subseteq V'\}$ \end_inset , y @@ -462,7 +462,7 @@ independiente \end_inset , -\begin_inset Formula $G-v:=G-\{v\}$ +\begin_inset Formula $G-v\coloneqq G-\{v\}$ \end_inset , y si @@ -470,7 +470,7 @@ independiente \end_inset , -\begin_inset Formula $G-e:=G-\{e\}$ +\begin_inset Formula $G-e\coloneqq G-\{e\}$ \end_inset . @@ -504,11 +504,11 @@ maximal \begin_layout Standard Dos grafos -\begin_inset Formula $G:=(V,E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $G':=(V',E')$ +\begin_inset Formula $G'\coloneqq (V',E')$ \end_inset son @@ -540,7 +540,7 @@ Grado de un nodo \begin_layout Standard Dado un grafo -\begin_inset Formula $G:=(V,E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$ \end_inset , llamamos @@ -627,11 +627,11 @@ eje colgante \series default . Llamamos -\begin_inset Formula $\delta_{G}:=\min_{v\in V}o(v)$ +\begin_inset Formula $\delta_{G}\coloneqq \min_{v\in V}o(v)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\Delta_{G}:=\max_{v\in V}o(v)$ +\begin_inset Formula $\Delta_{G}\coloneqq \max_{v\in V}o(v)$ \end_inset . @@ -749,7 +749,7 @@ Teorema de Erdös y Gallai : \series default Una secuencia -\begin_inset Formula $S:=(d_{1},\dots,d_{n})$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq (d_{1},\dots,d_{n})$ \end_inset monótona decreciente de naturales es una secuencia gráfica si y sólo si @@ -1598,7 +1598,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $G:=(\{1,\dots,n\},E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (\{1,\dots,n\},E)$ \end_inset un grafo con @@ -2008,7 +2008,7 @@ Representaciones matriciales \begin_layout Standard Dado un grafo no dirigido -\begin_inset Formula $G:=(\{1,\dots,n\},E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (\{1,\dots,n\},E)$ \end_inset , la @@ -2020,7 +2020,7 @@ matriz de adyacencia \end_inset es la matriz -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n}(\mathbb{Z})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n}(\mathbb{Z})$ \end_inset dada por diff --git a/graf/n2.lyx b/graf/n2.lyx index 9d905d7..dd4d85b 100644 --- a/graf/n2.lyx +++ b/graf/n2.lyx @@ -513,7 +513,7 @@ Recorrido de componentes conexas \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $G:=(V,E)$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$ \end_inset un grafo de orden @@ -1224,7 +1224,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $Y:=[V_{1},V\setminus V_{1}]$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq [V_{1},V\setminus V_{1}]$ \end_inset es un corte contenido estrictamente en @@ -1336,7 +1336,7 @@ Si \end_inset Sean -\begin_inset Formula $[V_{1},V_{2}]:=\{e\}$ +\begin_inset Formula $[V_{1},V_{2}]\coloneqq \{e\}$ \end_inset , @@ -1653,7 +1653,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $q:=|V_{1}|$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq |V_{1}|$ \end_inset . @@ -2013,7 +2013,7 @@ Si . Si -\begin_inset Formula $e:=(u,v)\in E$ +\begin_inset Formula $e\coloneqq (u,v)\in E$ \end_inset , como @@ -2137,15 +2137,15 @@ grafo en línea \end_inset es -\begin_inset Formula $L(G):=(V^{L},E^{L})$ +\begin_inset Formula $L(G)\coloneqq (V^{L},E^{L})$ \end_inset dado por -\begin_inset Formula $V^{L}:=E$ +\begin_inset Formula $V^{L}\coloneqq E$ \end_inset y -\begin_inset Formula $E^{L}:=\{(e,f)\mid e\neq f,e\cap f\neq\emptyset\}$ +\begin_inset Formula $E^{L}\coloneqq \{(e,f)\mid e\neq f,e\cap f\neq\emptyset\}$ \end_inset . @@ -2197,15 +2197,15 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $G':=(V',E')$ +\begin_inset Formula $G'\coloneqq (V',E')$ \end_inset dado por -\begin_inset Formula $V':=V^{L}\dot{\cup}\{x,y\}$ +\begin_inset Formula $V'\coloneqq V^{L}\dot{\cup}\{x,y\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $E':=E^{L}\cup\{((i,u),x)\}_{(i,u)\in E}\cup\{((j,v),y)\}_{(j,v)\in E}$ +\begin_inset Formula $E'\coloneqq E^{L}\cup\{((i,u),x)\}_{(i,u)\in E}\cup\{((j,v),y)\}_{(j,v)\in E}$ \end_inset . @@ -2586,7 +2586,7 @@ Si . Si -\begin_inset Formula $e:=(u,v)\in E$ +\begin_inset Formula $e\coloneqq (u,v)\in E$ \end_inset , como diff --git a/graf/n3.lyx b/graf/n3.lyx index ed819e4..b2cfb39 100644 --- a/graf/n3.lyx +++ b/graf/n3.lyx @@ -155,11 +155,11 @@ teorema . Sean -\begin_inset Formula $u_{0}:=v_{0}:=u$ +\begin_inset Formula $u_{0}\coloneqq v_{0}\coloneqq u$ \end_inset , -\begin_inset Formula $u_{p}:=u_{q}:=v$ +\begin_inset Formula $u_{p}\coloneqq u_{q}\coloneqq v$ \end_inset e @@ -228,7 +228,7 @@ teorema \end_inset , sea -\begin_inset Formula $e:=(u,v)\in E$ +\begin_inset Formula $e\coloneqq (u,v)\in E$ \end_inset , @@ -447,7 +447,7 @@ teorema \end_inset el ciclo que se forma al añadir -\begin_inset Formula $e:=(u,v)$ +\begin_inset Formula $e\coloneqq (u,v)$ \end_inset a @@ -753,7 +753,7 @@ La altura de status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\lg x:=\log_{2}x$ +\begin_inset Formula $\lg x\coloneqq \log_{2}x$ \end_inset . @@ -792,15 +792,15 @@ Todos los niveles hasta el \end_inset se alcanza en -\begin_inset Formula $T':=(V',E')$ +\begin_inset Formula $T'\coloneqq (V',E')$ \end_inset dado por -\begin_inset Formula $V':=\{b_{0},a_{1},b_{1},\dots,a_{h},b_{h}\}$ +\begin_inset Formula $V'\coloneqq \{b_{0},a_{1},b_{1},\dots,a_{h},b_{h}\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $E':=\{(a_{k},b_{k-1}),(b_{k},b_{k-1})\}_{k\in\{1,\dots,h\}}$ +\begin_inset Formula $E'\coloneqq \{(a_{k},b_{k-1}),(b_{k},b_{k-1})\}_{k\in\{1,\dots,h\}}$ \end_inset . @@ -833,15 +833,15 @@ n\leq2^{h+1}-1\iff n+1\leq2^{h+1}\iff\lg(n+1)-1\leq h\overset{h\in\mathbb{Z}}{\i \end_inset La igualdad se alcanza en -\begin_inset Formula $T':=(V',E')$ +\begin_inset Formula $T'\coloneqq (V',E')$ \end_inset con -\begin_inset Formula $V':=\{1,\dots,n\}$ +\begin_inset Formula $V'\coloneqq \{1,\dots,n\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $E':=\{(k,\lfloor\frac{k}{2}\rfloor)\}_{k\in\{2,\dots,n\}}$ +\begin_inset Formula $E'\coloneqq \{(k,\lfloor\frac{k}{2}\rfloor)\}_{k\in\{2,\dots,n\}}$ \end_inset . @@ -1025,7 +1025,7 @@ mínimo \end_inset tales que -\begin_inset Formula $a:=(u,v)\in E$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq (u,v)\in E$ \end_inset , si @@ -1095,7 +1095,7 @@ mínimo \end_inset y -\begin_inset Formula $S:=(V,E_{0}\cup\{e\})$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq (V,E_{0}\cup\{e\})$ \end_inset , como @@ -1115,7 +1115,7 @@ mínimo \end_inset y -\begin_inset Formula $T_{1}:=(V,E_{1}:=E_{0}\cup\{e\}\setminus\{a\})$ +\begin_inset Formula $T_{1}\coloneqq (V,E_{1}\coloneqq E_{0}\cup\{e\}\setminus\{a\})$ \end_inset tiene menor o igual (en concreto igual) peso que @@ -1371,7 +1371,9 @@ Mientras{$|V_1|<|V|$}{ \backslash in V_1$ y $v_2 \backslash -in V_2$ con $e:=(v_1,v_2) +in V_2$ con $e +\backslash +coloneqq (v_1,v_2) \backslash in E$ de peso mínimo \backslash diff --git a/graf/n4.lyx b/graf/n4.lyx index 5334582..3506c7c 100644 --- a/graf/n4.lyx +++ b/graf/n4.lyx @@ -90,7 +90,7 @@ Dada una red \end_inset y un camino -\begin_inset Formula $P:=v_{0}e_{1}v_{1}\cdots e_{k}v_{k}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq v_{0}e_{1}v_{1}\cdots e_{k}v_{k}$ \end_inset en @@ -198,7 +198,7 @@ Como teorema \series default , sean -\begin_inset Formula $(V:=\{1,\dots,n\},E,\ell)$ +\begin_inset Formula $(V\coloneqq \{1,\dots,n\},E,\ell)$ \end_inset una red conexa, @@ -311,7 +311,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula $P:=si_{1}\cdots i_{k}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq si_{1}\cdots i_{k}$ \end_inset un camino, y queremos ver que @@ -403,7 +403,7 @@ Si \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $P:=st_{1}\cdots t_{p}j$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq st_{1}\cdots t_{p}j$ \end_inset un camino de @@ -423,11 +423,11 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $t_{k:=i+1},\dots,t_{p},j\in R$ +\begin_inset Formula $t_{k\coloneqq i+1},\dots,t_{p},j\in R$ \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $P':=st_{1}\cdots t_{i}t_{k}$ +\begin_inset Formula $P'\coloneqq st_{1}\cdots t_{i}t_{k}$ \end_inset cumple @@ -1761,7 +1761,7 @@ Si \end_inset tal que -\begin_inset Formula $G_{i}:=(V,E_{i}):=G+\{e_{1},\dots,e_{i}\}$ +\begin_inset Formula $G_{i}\coloneqq (V,E_{i})\coloneqq G+\{e_{1},\dots,e_{i}\}$ \end_inset es hamiltoniano si y sólo si @@ -1769,7 +1769,7 @@ Si \end_inset , por lo que existe un camino hamiltoniano -\begin_inset Formula $(u=:u_{1})u_{2}\cdots(u_{n}:=v)$ +\begin_inset Formula $(u=:u_{1})u_{2}\cdots(u_{n}\coloneqq v)$ \end_inset en @@ -1777,16 +1777,16 @@ Si \end_inset , con -\begin_inset Formula $n:=|V|$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq |V|$ \end_inset . Sean ahora -\begin_inset Formula $X:=\{i\in\{2,\dots,n-2\}\mid (u_{i},v)\in E_{k}\}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \{i\in\{2,\dots,n-2\}\mid(u_{i},v)\in E_{k}\}$ \end_inset e -\begin_inset Formula $Y:=\{i\in\{2,\dots,n-2\}\mid (u_{i+1},u)\in E_{k}\}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq \{i\in\{2,\dots,n-2\}\mid(u_{i+1},u)\in E_{k}\}$ \end_inset , se tiene diff --git a/graf/n5.lyx b/graf/n5.lyx index 4ae5cf7..5914553 100644 --- a/graf/n5.lyx +++ b/graf/n5.lyx @@ -447,7 +447,7 @@ Sea \end_inset la partición, definimos -\begin_inset Formula $f(v):=0$ +\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq 0$ \end_inset para @@ -455,7 +455,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $f(v):=1$ +\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq 1$ \end_inset para @@ -502,7 +502,7 @@ Se tiene \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(v):=[n(v)]_{2}$ +\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq [n(v)]_{2}$ \end_inset es una coloración de @@ -556,7 +556,7 @@ ciclo \begin_deeper \begin_layout Standard Como -\begin_inset Formula $C_{n}:=(V:=\{0,\dots,n-1\},\{\{i,[i+1]_{n}\}\}_{i\in V})$ +\begin_inset Formula $C_{n}\coloneqq (V\coloneqq \{0,\dots,n-1\},\{\{i,[i+1]_{n}\}\}_{i\in V})$ \end_inset tiene ejes, @@ -614,7 +614,7 @@ Como \end_inset , y tomamos -\begin_inset Formula $f(i):=[i]_{2}$ +\begin_inset Formula $f(i)\coloneqq [i]_{2}$ \end_inset para @@ -622,7 +622,7 @@ Como \end_inset y -\begin_inset Formula $f(0):=2$ +\begin_inset Formula $f(0)\coloneqq 2$ \end_inset . @@ -711,7 +711,7 @@ Si \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $k:=\chi(G-v)$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq \chi(G-v)$ \end_inset y @@ -735,7 +735,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $g(i):=f(i)$ +\begin_inset Formula $g(i)\coloneqq f(i)$ \end_inset para @@ -743,7 +743,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $g(v):=k+1$ +\begin_inset Formula $g(v)\coloneqq k+1$ \end_inset es una @@ -1124,7 +1124,7 @@ Si todos los vértices de \end_inset con -\begin_inset Formula $\chi(H_{0}:=G_{0}-e_{1})=\chi(G_{0})$ +\begin_inset Formula $\chi(H_{0}\coloneqq G_{0}-e_{1})=\chi(G_{0})$ \end_inset . @@ -1172,7 +1172,7 @@ teorema Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $k:=\chi(G)$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq \chi(G)$ \end_inset y supongamos @@ -1308,11 +1308,11 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $e:=(u,v)$ +\begin_inset Formula $e\coloneqq (u,v)$ \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $G+e:=(V,E\cup\{e\})$ +\begin_inset Formula $G+e\coloneqq (V,E\cup\{e\})$ \end_inset , y si @@ -1357,7 +1357,7 @@ Teorema de reducción: Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $(u,v):=e$ +\begin_inset Formula $(u,v)\coloneqq e$ \end_inset , las coloraciones @@ -1377,7 +1377,7 @@ Demostración: \end_inset haciendo -\begin_inset Formula $f(*):=f(u)=f(v)$ +\begin_inset Formula $f(*)\coloneqq f(u)=f(v)$ \end_inset , y las coloraciones @@ -1576,7 +1576,7 @@ planar \end_inset tales que, para -\begin_inset Formula $e:=(u,v)\in E$ +\begin_inset Formula $e\coloneqq (u,v)\in E$ \end_inset , @@ -1663,11 +1663,11 @@ estrella \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $f(v_{0}):=0$ +\begin_inset Formula $f(v_{0})\coloneqq 0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f(v_{i}):=(\cos i/n,\sin i/n)$ +\begin_inset Formula $f(v_{i})\coloneqq (\cos i/n,\sin i/n)$ \end_inset para @@ -1675,7 +1675,7 @@ estrella \end_inset y -\begin_inset Formula $g(v_{0},v_{i})(t):=tv_{i}$ +\begin_inset Formula $g(v_{0},v_{i})(t)\coloneqq tv_{i}$ \end_inset . @@ -1915,7 +1915,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $c:=|F|$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq |F|$ \end_inset , como toda diff --git a/graf/n6.lyx b/graf/n6.lyx index 6bf574a..c3d6148 100644 --- a/graf/n6.lyx +++ b/graf/n6.lyx @@ -158,7 +158,7 @@ Si \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $[x,y]:=(x_{1},\dots,x_{m},y_{1},\dots,y_{n})\in\mathbb{R}^{n+m}$ +\begin_inset Formula $[x,y]\coloneqq (x_{1},\dots,x_{m},y_{1},\dots,y_{n})\in\mathbb{R}^{n+m}$ \end_inset ; si @@ -170,11 +170,11 @@ Si \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $[A,B]:=(c_{ij})\in{\cal M}_{n\times(p+q)}(\mathbb{R})$ +\begin_inset Formula $[A,B]\coloneqq (c_{ij})\in{\cal M}_{n\times(p+q)}(\mathbb{R})$ \end_inset dada por -\begin_inset Formula $c_{ij}:=a_{ij}$ +\begin_inset Formula $c_{ij}\coloneqq a_{ij}$ \end_inset para @@ -182,7 +182,7 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $c_{ij}:=b_{i(j-p)}$ +\begin_inset Formula $c_{ij}\coloneqq b_{i(j-p)}$ \end_inset para @@ -190,7 +190,7 @@ Si \end_inset , y escribimos -\begin_inset Formula $[x_{1},\dots,x_{n}]:=[x_{1},[x_{2},\dots,x_{n}]]$ +\begin_inset Formula $[x_{1},\dots,x_{n}]\coloneqq [x_{1},[x_{2},\dots,x_{n}]]$ \end_inset para @@ -198,7 +198,7 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $[x_{1}]:=x_{1}$ +\begin_inset Formula $[x_{1}]\coloneqq x_{1}$ \end_inset . @@ -222,11 +222,11 @@ teorema \end_inset , -\begin_inset Formula $P:=\{[x,y]\in\mathbb{R}^{p+q}\mid Ax+Gy\leq b\}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{[x,y]\in\mathbb{R}^{p+q}\mid Ax+Gy\leq b\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $S:=\{[x,y]\in P\mid x\in\mathbb{Z}^{p}\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{[x,y]\in P\mid x\in\mathbb{Z}^{p}\}$ \end_inset , existen @@ -253,11 +253,11 @@ teorema Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $S:=\{(x,y)\in\mathbb{Z}^{2}\mid y\leq\sqrt{2}x,x\geq0,y\geq0\}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{(x,y)\in\mathbb{Z}^{2}\mid y\leq\sqrt{2}x,x\geq0,y\geq0\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $C:=\{(x,y)\mid y<\sqrt{2}x,x\geq0,y\geq0\}\cup\{0\}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{(x,y)\mid y<\sqrt{2}x,x\geq0,y\geq0\}\cup\{0\}$ \end_inset . @@ -283,7 +283,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $p:=(1-t)a+tb$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq (1-t)a+tb$ \end_inset , si uno de @@ -406,11 +406,11 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $P:=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid Ax\leq b\}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{x\in\mathbb{R}^{n}\mid Ax\leq b\}$ \end_inset , si -\begin_inset Formula $P_{I}:=\text{ec}(P\cap\mathbb{Z}^{n})\neq\emptyset$ +\begin_inset Formula $P_{I}\coloneqq \text{ec}(P\cap\mathbb{Z}^{n})\neq\emptyset$ \end_inset , para @@ -552,11 +552,11 @@ variable básica \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $x_{B}:=(x_{s_{1}},\dots,x_{s_{m}})$ +\begin_inset Formula $x_{B}\coloneqq (x_{s_{1}},\dots,x_{s_{m}})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{N}:=(x_{t_{1}},\dots,x_{t_{n-m}})$ +\begin_inset Formula $x_{N}\coloneqq (x_{t_{1}},\dots,x_{t_{n-m}})$ \end_inset , @@ -564,7 +564,7 @@ variable básica \end_inset y -\begin_inset Formula $\mathbf{n}(x_{1},\dots,x_{n-m}):=\sum_{k}e_{t_{k}}x_{k}$ +\begin_inset Formula $\mathbf{n}(x_{1},\dots,x_{n-m})\coloneqq \sum_{k}e_{t_{k}}x_{k}$ \end_inset , @@ -609,7 +609,7 @@ factible \begin_layout Standard Dado -\begin_inset Formula $F:=\{Ax=b,x\geq0\}$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq \{Ax=b,x\geq0\}$ \end_inset , @@ -706,7 +706,7 @@ Lema de Veinott-Dantzig: \end_inset , -\begin_inset Formula $Q:=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid Ax=b,x\geq0\}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq \{x\in\mathbb{R}^{n}\mid Ax=b,x\geq0\}$ \end_inset es entero. @@ -804,11 +804,11 @@ Sea \end_inset tal que -\begin_inset Formula $z:=y+(B^{-1})_{i}\geq0$ +\begin_inset Formula $z\coloneqq y+(B^{-1})_{i}\geq0$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b:=Bz=By+e_{i}$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq Bz=By+e_{i}$ \end_inset , @@ -828,11 +828,11 @@ Sea \end_inset todos los coeficientes enteros, luego -\begin_inset Formula $Q:=\{Ax=b,x\geq0\}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq \{Ax=b,x\geq0\}$ \end_inset es entero y -\begin_inset Formula $x:=\mathbf{b}z=\mathbf{b}B^{-1}b$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \mathbf{b}z=\mathbf{b}B^{-1}b$ \end_inset es una solución básica factible de @@ -978,7 +978,7 @@ Dada una submatriz \end_inset es unimodular, con lo que -\begin_inset Formula $Q:=\{[x,y]\in\mathbb{R}^{n+m}\mid Ax+Iy=b,[x,y]\geq0\}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq \{[x,y]\in\mathbb{R}^{n+m}\mid Ax+Iy=b,[x,y]\geq0\}$ \end_inset es entero. @@ -1003,7 +1003,7 @@ Dada una submatriz \end_inset es -\begin_inset Formula $P:=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid b=b,x\geq0,b-Ax\geq0\}=\{Ax\leq b,x\geq0\}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{x\in\mathbb{R}^{n}\mid b=b,x\geq0,b-Ax\geq0\}=\{Ax\leq b,x\geq0\}$ \end_inset . @@ -1016,7 +1016,7 @@ Dada una submatriz \end_inset es un punto extremo, pues si no lo fuera existirían -\begin_inset Formula $U:=[u,b-Au],V:=[v,b-Av]\in Q$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq [u,b-Au],V\coloneqq [v,b-Av]\in Q$ \end_inset distintos y @@ -1069,11 +1069,11 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $P:=\{x\mid Ax\leq b,x\geq0\}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{x\mid Ax\leq b,x\geq0\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $Q:=\{[x,y]\mid Ax+y=b,[x,y]\geq0\}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq \{[x,y]\mid Ax+y=b,[x,y]\geq0\}$ \end_inset y @@ -1293,7 +1293,7 @@ teorema \end_inset tal que, si -\begin_inset Formula $F_{2}:=F\setminus F_{1}$ +\begin_inset Formula $F_{2}\coloneqq F\setminus F_{1}$ \end_inset , para @@ -1496,7 +1496,7 @@ Si las tareas se pueden hacer a la vez, lo que queremos minimizar es \begin_layout Standard Sean ahora -\begin_inset Formula $R:=(V:=\{1,\dots,n\},E,\omega)$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq (V\coloneqq \{1,\dots,n\},E,\omega)$ \end_inset una red y @@ -1595,7 +1595,7 @@ Para obtener el árbol generador minimal de \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $x_{ij}:=\chi_{E_{T}}(i,j)$ +\begin_inset Formula $x_{ij}\coloneqq \chi_{E_{T}}(i,j)$ \end_inset para @@ -1643,7 +1643,7 @@ Otra posible formulación, con las mismas variables resulta de cambiar la \begin_layout Standard Para el problema del viajante de comercio sobre una red completa -\begin_inset Formula $R:=(V:=\{0,\dots,n-1\},E\mid =\{\{i,j\}\}_{i,j\in V,i\neq j},d)$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq (V\coloneqq \{0,\dots,n-1\},E\coloneqq \{\{i,j\}\}_{i,j\in V,i\neq j},d)$ \end_inset , existen varias formulaciones: @@ -1774,7 +1774,7 @@ es . Llamando -\begin_inset Formula $n:=|V|$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq |V|$ \end_inset : @@ -1783,7 +1783,7 @@ es & \min & {\textstyle \sum}_{ij}d_{ij}x_{ij}\\ & & {\textstyle \sum_{(i,j)\in E}}x_{ij} & =1 & & \forall i\\ & & {\textstyle \sum_{(k,i)\in E}}x_{ki} & =1 & & \forall i\\ - & & u_{i}-u_{j}+nx_{ij} & \leq n-1 & & \forall i,j\in\{1,\dots,n-1\}\mid (i,j)\in E\\ + & & u_{i}-u_{j}+nx_{ij} & \leq n-1 & & \forall i,j\in\{1,\dots,n-1\}:(i,j)\in E\\ & & x_{ij} & \in\{0,1\} & & \forall i,j\\ & & u_{i} & \in\mathbb{R}^{>0} & & \forall i \end{alignat*} @@ -1830,7 +1830,7 @@ Sea \end_inset la representación por variables de un ciclo hamiltoniano, llamamos -\begin_inset Formula $u_{i}:=t$ +\begin_inset Formula $u_{i}\coloneqq t$ \end_inset si @@ -1928,7 +1928,7 @@ Dadas dos variables \end_inset , para definir una variable -\begin_inset Formula $y:=[x_{1}>x_{2}]$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq [x_{1}>x_{2}]$ \end_inset ( @@ -2053,7 +2053,7 @@ Si \end_inset , para definir -\begin_inset Formula $y:=\min\{x_{1},x_{2}\}$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq \min\{x_{1},x_{2}\}$ \end_inset añadimos @@ -2073,7 +2073,7 @@ Si \end_inset , y para definir -\begin_inset Formula $y:=\max\{x_{1},x_{2}\}$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq \max\{x_{1},x_{2}\}$ \end_inset añadimos diff --git a/graf/n7.lyx b/graf/n7.lyx index dc0abb4..fbf8456 100644 --- a/graf/n7.lyx +++ b/graf/n7.lyx @@ -850,11 +850,11 @@ regla de Bland: \end_inset , -\begin_inset Formula $F:=\{x\mid Ax=b,x\geq0\}$ +\begin_inset Formula $F\coloneqq \{x\mid Ax=b,x\geq0\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $P:=\{c\cdot x\}_{x\in F}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{c\cdot x\}_{x\in F}$ \end_inset . @@ -888,7 +888,7 @@ Si [...] \end_inset es la matriz formada por las columnas añadidas, escribimos -\begin_inset Formula $F^{*}:=\{[x,x^{*}]\in\mathbb{R}^{n+p}\mid Ax+Tx^{*}=b,[x,x^{*}]\geq0\}$ +\begin_inset Formula $F^{*}\coloneqq \{[x,x^{*}]\in\mathbb{R}^{n+p}\mid Ax+Tx^{*}=b,[x,x^{*}]\geq0\}$ \end_inset y vemos que @@ -957,11 +957,11 @@ Método de penalización: \end_inset lo suficientemente grande, definimos -\begin_inset Formula $P_{M}:=\{c\cdot x+M\sum_{i}x_{i}^{*}\}_{[x,x^{*}]\in F^{*}}$ +\begin_inset Formula $P_{M}\coloneqq \{c\cdot x+M\sum_{i}x_{i}^{*}\}_{[x,x^{*}]\in F^{*}}$ \end_inset si estamos minimizando o -\begin_inset Formula $P_{-M}:=\{c\cdot x-M\sum_{i}x_{i}^{*}\}_{[x,x^{*}]\in F^{*}}$ +\begin_inset Formula $P_{-M}\coloneqq \{c\cdot x-M\sum_{i}x_{i}^{*}\}_{[x,x^{*}]\in F^{*}}$ \end_inset [si maximizamos]. @@ -1103,7 +1103,9 @@ to \backslash dots,m \backslash -}$ tal que $B:=[A_{ +}$ tal que $B +\backslash +coloneqq [A_{ \backslash sigma(1)}, \backslash @@ -1335,7 +1337,7 @@ Supongamos que tenemos una tabla de símplex óptima con parámetros , podemos añadir la restricción directamente a la tabla añadiendo lo siguiente, donde -\begin_inset Formula $t:=\beta-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}x_{j}$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq \beta-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}x_{j}$ \end_inset y @@ -1501,7 +1503,7 @@ desigualdad válida factibles. Se puede usar para mejorar las cotas en los nodos del árbol de ramificación. Llamamos -\begin_inset Formula $[[x]]:=x-\lfloor x\rfloor\in[0,1)$ +\begin_inset Formula $[[x]]\coloneqq x-\lfloor x\rfloor\in[0,1)$ \end_inset . @@ -1522,7 +1524,7 @@ Dados un problema entero puro \end_inset tal que -\begin_inset Formula $x_{k':=\sigma(k)}^{*}\notin\mathbb{Z}$ +\begin_inset Formula $x_{k'\coloneqq \sigma(k)}^{*}\notin\mathbb{Z}$ \end_inset , entonces @@ -1599,11 +1601,11 @@ Dados un problema entero puro \end_inset tal que -\begin_inset Formula $k':=\sigma(k)\in I$ +\begin_inset Formula $k'\coloneqq \sigma(k)\in I$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{k':=\sigma(k)}^{*}\notin\mathbb{Z}$ +\begin_inset Formula $x_{k'\coloneqq \sigma(k)}^{*}\notin\mathbb{Z}$ \end_inset , entonces @@ -1754,7 +1756,7 @@ Desigualdades de Chvátal-Gomory \begin_layout Standard Dado un problema entero puro con conjunto factible -\begin_inset Formula $P:=\{Ax\leq b,x\in\mathbb{N}^{n}\}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq \{Ax\leq b,x\in\mathbb{N}^{n}\}$ \end_inset , donde @@ -763,7 +763,7 @@ Maximizar la eficacia \series default de la CPU, -\begin_inset Formula $E:=\frac{\text{Tiempo útil}}{\text{Tiempo total}}\cdot100$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \frac{\text{Tiempo útil}}{\text{Tiempo total}}\cdot100$ \end_inset , y el @@ -103,7 +103,7 @@ cadena \end_inset es un elemento de -\begin_inset Formula $\Sigma^{*}:=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Sigma^{n}$ +\begin_inset Formula $\Sigma^{*}\coloneqq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Sigma^{n}$ \end_inset , que solemos escribir como @@ -602,7 +602,7 @@ variable inicial \end_inset , donde -\begin_inset Formula $\{w_{1},\dots,w_{n}\}=\{w\mid (T,w)\in V\}$ +\begin_inset Formula $\{w_{1},\dots,w_{n}\}=\{w\mid(T,w)\in V\}$ \end_inset . @@ -182,7 +182,7 @@ Como teorema \series default , si -\begin_inset Formula $D:=[a,b]\times\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq [a,b]\times\mathbb{R}$ \end_inset , @@ -301,7 +301,7 @@ Si el polinomio interpolador de \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $f[x_{0},\dots,x_{n}]:=a_{n}$ +\begin_inset Formula $f[x_{0},\dots,x_{n}]\coloneqq a_{n}$ \end_inset . @@ -106,7 +106,7 @@ paso \end_inset con -\begin_inset Formula $t_{i}:=a+hi$ +\begin_inset Formula $t_{i}\coloneqq a+hi$ \end_inset , aunque esto se suele calcular como @@ -134,11 +134,11 @@ El método de Euler \series default viene dado por -\begin_inset Formula $\omega_{0}:=x_{0}$ +\begin_inset Formula $\omega_{0}\coloneqq x_{0}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\omega_{i+1}:=\omega_{i}+hf(t_{i},\omega_{i})$ +\begin_inset Formula $\omega_{i+1}\coloneqq \omega_{i}+hf(t_{i},\omega_{i})$ \end_inset . @@ -204,7 +204,7 @@ Teorema de convergencia del método de Euler: \end_inset , -\begin_inset Formula $h:=\frac{b-a}{n}$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq \frac{b-a}{n}$ \end_inset , @@ -241,7 +241,7 @@ con para dicho problema con redondeo, dado por \begin_inset Formula \[ -\left\{ \begin{aligned}\omega_{0} & \mid =x_{0}+\delta_{0},\\ +\left\{ \begin{aligned}\omega_{0} & :=x_{0}+\delta_{0},\\ \omega_{i+1} & :=\omega_{i}+hf(t_{i},\omega_{i})+\delta_{i+1}, \end{aligned} \right. @@ -258,7 +258,7 @@ con cada \end_inset , y -\begin_inset Formula $x_{i}:=x(t_{i})$ +\begin_inset Formula $x_{i}\coloneqq x(t_{i})$ \end_inset para cada @@ -451,7 +451,7 @@ Como \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $y_{i}:=2\xi_{2i}-\omega_{i}$ +\begin_inset Formula $y_{i}\coloneqq 2\xi_{2i}-\omega_{i}$ \end_inset es un método de paso fijo @@ -517,11 +517,11 @@ El método de Euler es el método de Taylor de orden 1. \begin_layout Standard Dado un método de paso fijo de la forma -\begin_inset Formula $\omega_{0}:=\alpha$ +\begin_inset Formula $\omega_{0}\coloneqq \alpha$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\omega_{i+1}:=\omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i})$ +\begin_inset Formula $\omega_{i+1}\coloneqq \omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i})$ \end_inset , llamamos @@ -222,7 +222,7 @@ teorema \end_inset , sean -\begin_inset Formula $h:=h_{i}$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq h_{i}$ \end_inset y @@ -338,7 +338,7 @@ Dar un paso con \begin_layout Enumerate Obtener el error -\begin_inset Formula $E:=\frac{2^{k}}{2^{k}-1}\Vert Y-\omega_{i+1}\Vert\approx\Vert z_{i}(t_{i+1})-\omega_{i+1}\Vert$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \frac{2^{k}}{2^{k}-1}\Vert Y-\omega_{i+1}\Vert\approx\Vert z_{i}(t_{i+1})-\omega_{i+1}\Vert$ \end_inset . @@ -374,11 +374,11 @@ Para ajustar el paso: \begin_layout Enumerate Calcular -\begin_inset Formula $q:=\left(\frac{\varepsilon h}{2E}\right)^{1/k}$ +\begin_inset Formula $q\coloneqq \left(\frac{\varepsilon h}{2E}\right)^{1/k}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $q':=\min\{4,\max\{0.1,q\}\}$ +\begin_inset Formula $q'\coloneqq \min\{4,\max\{0.1,q\}\}$ \end_inset , y hacer @@ -321,7 +321,7 @@ Consideremos un método multipaso de paso fijo que, para un problema en un \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\tau(h):=\max_{i=0}^{n_{h}}\Vert\tau_{i}(h)\Vert$ +\begin_inset Formula $\tau(h)\coloneqq \max_{i=0}^{n_{h}}\Vert\tau_{i}(h)\Vert$ \end_inset , el método es @@ -385,7 +385,7 @@ estable \end_inset , sea -\begin_inset Formula $(t_{i},\omega_{i})_{i=0}^{n}:=(t_{hi},\omega_{hi})_{i=0}^{n_{h}}$ +\begin_inset Formula $(t_{i},\omega_{i})_{i=0}^{n}\coloneqq (t_{hi},\omega_{hi})_{i=0}^{n_{h}}$ \end_inset , si se puede generar una solución @@ -393,7 +393,7 @@ estable \end_inset con -\begin_inset Formula $\tilde{\omega}_{i}:=\omega_{i}$ +\begin_inset Formula $\tilde{\omega}_{i}\coloneqq \omega_{i}$ \end_inset para @@ -468,7 +468,7 @@ Demostración: \end_inset los coeficientes del método y -\begin_inset Formula $\varepsilon_{i}:=h\tau_{i}(h)$ +\begin_inset Formula $\varepsilon_{i}\coloneqq h\tau_{i}(h)$ \end_inset , como @@ -561,11 +561,11 @@ teorema \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\omega_{0}:=x(t_{0})$ +\begin_inset Formula $\omega_{0}\coloneqq x(t_{0})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\omega_{i+1}:=\omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i},h)$ +\begin_inset Formula $\omega_{i+1}\coloneqq \omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i},h)$ \end_inset con @@ -594,11 +594,11 @@ Fijado \end_inset dados por -\begin_inset Formula $\omega_{i+1}:=\omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i},h)$ +\begin_inset Formula $\omega_{i+1}\coloneqq \omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i},h)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\tilde{\omega}_{i+1}:=\tilde{\omega}_{i}+hØ(t_{i},\tilde{\omega}_{i},h)+\varepsilon_{i+1}$ +\begin_inset Formula $\tilde{\omega}_{i+1}\coloneqq \tilde{\omega}_{i}+hØ(t_{i},\tilde{\omega}_{i},h)+\varepsilon_{i+1}$ \end_inset para ciertos @@ -641,7 +641,7 @@ Con esto, como \end_inset , llamando -\begin_inset Formula $M:=(1+hL)^{n}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq (1+hL)^{n}$ \end_inset , @@ -806,7 +806,7 @@ donde los polinomio característico \series default de la ecuación es -\begin_inset Formula $P(\lambda):=\lambda^{m}-a_{m-1}\lambda^{m-1}-\dots-a_{1}\lambda-a_{0}$ +\begin_inset Formula $P(\lambda)\coloneqq \lambda^{m}-a_{m-1}\lambda^{m-1}-\dots-a_{1}\lambda-a_{0}$ \end_inset . @@ -840,7 +840,7 @@ Dados un método multipaso de paso fijo \end_inset y -\begin_inset Formula $\omega_{i}:=\alpha_{i}$ +\begin_inset Formula $\omega_{i}\coloneqq \alpha_{i}$ \end_inset para @@ -950,11 +950,11 @@ begin{sloppypar} \end_inset Dados un método implícito -\begin_inset Formula $\omega_{i}:=F(t_{i},h,\omega_{i-1},\dots,\omega_{i-m})$ +\begin_inset Formula $\omega_{i}\coloneqq F(t_{i},h,\omega_{i-1},\dots,\omega_{i-m})$ \end_inset y uno explícito -\begin_inset Formula $\omega_{i}:=G(t_{i},h,\omega_{i},\dots,\omega_{i-m})$ +\begin_inset Formula $\omega_{i}\coloneqq G(t_{i},h,\omega_{i},\dots,\omega_{i-m})$ \end_inset , el @@ -1072,7 +1072,7 @@ Sean \begin_layout Standard El método es de paso variable, ajustando el paso como en los métodos de paso fijo pero con error -\begin_inset Formula $E:=\frac{19}{270}\Vert\beta_{i}-\omega_{i}\Vert$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \frac{19}{270}\Vert\beta_{i}-\omega_{i}\Vert$ \end_inset . @@ -186,7 +186,7 @@ En general, con los métodos de un paso fijo en \end_inset , esto es -\begin_inset Formula $Q(x):=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i}}{i!}$ +\begin_inset Formula $Q(x)\coloneqq \sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i}}{i!}$ \end_inset . @@ -362,7 +362,7 @@ El polinomio \end_inset tiene como única raíz -\begin_inset Formula $\beta:=\frac{1}{1-h\lambda}$ +\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \frac{1}{1-h\lambda}$ \end_inset , y si @@ -383,7 +383,7 @@ El polinomio \end_deeper \begin_layout Standard Para implementarlo, sea -\begin_inset Formula $F(\omega):=\omega-\omega_{i-1}-hf(t_{i},\omega)$ +\begin_inset Formula $F(\omega)\coloneqq \omega-\omega_{i-1}-hf(t_{i},\omega)$ \end_inset , se trata de resolver @@ -400,7 +400,7 @@ Para implementarlo, sea \end_inset , dada por -\begin_inset Formula $\omega_{i}^{0}:=\omega_{i-1}$ +\begin_inset Formula $\omega_{i}^{0}\coloneqq \omega_{i-1}$ \end_inset y @@ -549,11 +549,11 @@ Dado un método a \end_inset llamamos -\begin_inset Formula $\rho(z):=z^{m}-a_{m-1}z^{m-1}-\dots-a_{1}z-a_{0}$ +\begin_inset Formula $\rho(z)\coloneqq z^{m}-a_{m-1}z^{m-1}-\dots-a_{1}z-a_{0}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\sigma(z):=b_{m}z^{m}+\dots+b_{1}z+b_{0}$ +\begin_inset Formula $\sigma(z)\coloneqq b_{m}z^{m}+\dots+b_{1}z+b_{0}$ \end_inset . @@ -269,7 +269,7 @@ Y-O \end_inset , sea -\begin_inset Formula $N:=\{S\subseteq V\mid (u,S)\in A\}$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq \{S\subseteq V\mid (u,S)\in A\}$ \end_inset , @@ -665,7 +665,7 @@ f(R)=\omega(R)+h(\text{final}(R))\leq\omega(R)+\min\omega({\cal P}_{\text{final} por lo que siempre se procesa antes una solución óptima que una no óptima. Sea ahora -\begin_inset Formula $p:=\inf\omega(A)>0$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq \inf\omega(A)>0$ \end_inset , todo @@ -784,7 +784,7 @@ Si es monótona creciente. En efecto, sea -\begin_inset Formula $P_{i}:=v_{0}\cdots v_{i}$ +\begin_inset Formula $P_{i}\coloneqq v_{0}\cdots v_{i}$ \end_inset , para @@ -1008,7 +1008,9 @@ lSSi{$ \backslash text{ \backslash -rm fallo}(t):=r$}{$f_b +rm fallo}(t) +\backslash +coloneqq r$}{$f_b \backslash gets t$} \end_layout @@ -1253,7 +1255,7 @@ Entonces, si \end_inset , dado un -\begin_inset Formula $c:=(s,\{v_{1},\dots,v_{n}\})\in A$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq (s,\{v_{1},\dots,v_{n}\})\in A$ \end_inset tal que todos los @@ -1269,7 +1271,7 @@ grafo solución \end_inset es -\begin_inset Formula $(V',A'):=(\{s,v_{1},\dots,v_{n}\}\cup\bigcup_{i}V_{i},c\cup\bigcup_{i}A_{i})$ +\begin_inset Formula $(V',A')\coloneqq (\{s,v_{1},\dots,v_{n}\}\cup\bigcup_{i}V_{i},c\cup\bigcup_{i}A_{i})$ \end_inset , donde @@ -1281,7 +1283,7 @@ grafo solución \end_inset , y el coste de la solución es -\begin_inset Formula $\omega(V',A'):=\omega(c)+\sum_{i}\omega(V_{i},A_{i})$ +\begin_inset Formula $\omega(V',A')\coloneqq \omega(c)+\sum_{i}\omega(V_{i},A_{i})$ \end_inset . @@ -2430,7 +2432,7 @@ Dadas las heurísticas \end_inset para un mismo problema, -\begin_inset Formula $h(v):=\max_{i=1}^{m}h_{i}$ +\begin_inset Formula $h(v)\coloneqq \max_{i=1}^{m}h_{i}$ \end_inset es una heurística que domina a todas las @@ -449,7 +449,7 @@ soporte \end_inset es -\begin_inset Formula $s(Z):=\frac{|\{e\in D\mid Z\subseteq e\}|}{|D|}$ +\begin_inset Formula $s(Z)\coloneqq \frac{|\{e\in D\mid Z\subseteq e\}|}{|D|}$ \end_inset ; la @@ -473,7 +473,7 @@ precisión \end_inset es -\begin_inset Formula $c(X\Rightarrow Y):=\frac{s(X\cup Y)}{s(X)}$ +\begin_inset Formula $c(X\Rightarrow Y)\coloneqq \frac{s(X\cup Y)}{s(X)}$ \end_inset , y su @@ -485,12 +485,12 @@ soporte cobertura \series default es -\begin_inset Formula $s(X\Rightarrow Y):=s(X\cup Y)$ +\begin_inset Formula $s(X\Rightarrow Y)\coloneqq s(X\cup Y)$ \end_inset . Las diapositivas usan la notación de mierda -\begin_inset Formula $|X|:=|\{e\in D\mid X\subseteq e\}|$ +\begin_inset Formula $|X|\coloneqq |\{e\in D\mid X\subseteq e\}|$ \end_inset . @@ -441,11 +441,11 @@ Rivest-Shamir-Adelson Algorithm \end_inset ; se calculan -\begin_inset Formula $n:=pq$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq pq$ \end_inset y -\begin_inset Formula $z:=\phi(n)=(p-1)(q-1)$ +\begin_inset Formula $z\coloneqq \phi(n)=(p-1)(q-1)$ \end_inset ; se escogen @@ -599,11 +599,11 @@ Generan claves privadas respectivas \begin_layout Enumerate Generan claves públicas respectivas -\begin_inset Formula $Y_{A}:=\alpha^{X_{A}}\bmod q$ +\begin_inset Formula $Y_{A}\coloneqq \alpha^{X_{A}}\bmod q$ \end_inset e -\begin_inset Formula $Y_{B}:=\alpha^{X_{B}}\bmod q$ +\begin_inset Formula $Y_{B}\coloneqq \alpha^{X_{B}}\bmod q$ \end_inset y las intercambian. @@ -149,7 +149,7 @@ abiertos cerrados \series default a los complementarios de los abiertos: -\begin_inset Formula ${\cal C_{T}}:={\cal C}:=\{X\backslash A\}_{A\in{\cal T}}$ +\begin_inset Formula ${\cal C_{T}}\coloneqq {\cal C}\coloneqq \{X\backslash A\}_{A\in{\cal T}}$ \end_inset . @@ -370,7 +370,7 @@ La topología discreta \series default : -\begin_inset Formula ${\cal T}_{D}:={\cal P}(X)$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{D}\coloneqq {\cal P}(X)$ \end_inset , la topología más grande que se puede definir sobre @@ -489,7 +489,7 @@ topología relativa topología de subespacio \series default como -\begin_inset Formula ${\cal T}|_{H}:={\cal T}_{H}:=\{A\cap H\}_{A\in{\cal T}}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}|_{H}\coloneqq {\cal T}_{H}\coloneqq \{A\cap H\}_{A\in{\cal T}}$ \end_inset . @@ -671,7 +671,7 @@ Si . Pero si -\begin_inset Formula $C:=X\backslash A$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq X\backslash A$ \end_inset , entonces @@ -1381,7 +1381,7 @@ círculo \end_inset es el conjunto -\begin_inset Formula $C_{d}(p;r):=C(p;r):=\{x\in X\mid d(p,x)=r\}$ +\begin_inset Formula $C_{d}(p;r)\coloneqq C(p;r)\coloneqq \{x\in X\mid d(p,x)=r\}$ \end_inset . @@ -1402,7 +1402,7 @@ bola abierta \end_inset es el conjunto -\begin_inset Formula $B_{d}(p;r):=B(p;r):=\{x\in X\mid d(p,x)<r\}$ +\begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\coloneqq B(p;r)\coloneqq \{x\in X\mid d(p,x)<r\}$ \end_inset , y la @@ -1422,7 +1422,7 @@ bola cerrada \end_inset es el conjunto -\begin_inset Formula $\overline{B}_{d}(p;r):=\overline{B}(p;r):=B[p;r]:=\{x\in X\mid d(p,x)\leq r\}$ +\begin_inset Formula $\overline{B}_{d}(p;r)\coloneqq \overline{B}(p;r)\coloneqq B[p;r]\coloneqq \{x\in X\mid d(p,x)\leq r\}$ \end_inset . @@ -1707,7 +1707,7 @@ Demostración: . Ahora bien, si tomamos -\begin_inset Formula $r:=\min\{r_{1},\dots,r_{n}\}$ +\begin_inset Formula $r\coloneqq \min\{r_{1},\dots,r_{n}\}$ \end_inset , vemos que @@ -1160,7 +1160,7 @@ Sea \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $x\in\overline{S}\iff\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S\mid x_{n}\rightarrow x$ +\begin_inset Formula $x\in\overline{S}\iff\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S:x_{n}\rightarrow x$ \end_inset . @@ -1249,7 +1249,7 @@ Así pues, en un espacio métrico \end_inset si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x\in X,\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S\mid x_{n}\rightarrow x$ +\begin_inset Formula $\forall x\in X,\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S:x_{n}\rightarrow x$ \end_inset , y @@ -1257,7 +1257,7 @@ Así pues, en un espacio métrico \end_inset si y sólo si -\begin_inset Formula $\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S,\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X\backslash S\mid x_{n},y_{n}\rightarrow x$ +\begin_inset Formula $\exists\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq S,\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X\backslash S:x_{n},y_{n}\rightarrow x$ \end_inset . @@ -401,7 +401,7 @@ Sea . Podemos tomar -\begin_inset Formula $V'_{1}:=V_{1}\cap U_{1}\in{\cal E}(p)$ +\begin_inset Formula $V'_{1}\coloneqq V_{1}\cap U_{1}\in{\cal E}(p)$ \end_inset y existirá @@ -1096,7 +1096,7 @@ biyectiva \end_inset Sea -\begin_inset Formula $g:=f^{-1}:Y\rightarrow X$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}:Y\rightarrow X$ \end_inset continua y @@ -1142,7 +1142,7 @@ biyectiva . Para ver que -\begin_inset Formula $g:=f^{-1}$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}$ \end_inset es continua, dado @@ -369,7 +369,7 @@ Demostración: \end_inset y definimos -\begin_inset Formula $G=\{x\in[a,b]|\exists\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}\in{\cal P}_{0}({\cal A})\mid [a,x]\subseteq A_{i_{1}}\cup\dots\cup A_{i_{n}}\}$ +\begin_inset Formula $G=\{x\in[a,b]|\exists\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}\in{\cal P}_{0}({\cal A}):[a,x]\subseteq A_{i_{1}}\cup\dots\cup A_{i_{n}}\}$ \end_inset . @@ -641,7 +641,7 @@ Demostración: . Sea entonces -\begin_inset Formula $A:=\bigcap_{i=1}^{r}A_{x_{i}}\in{\cal E}(p)$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq \bigcap_{i=1}^{r}A_{x_{i}}\in{\cal E}(p)$ \end_inset , dado @@ -1379,7 +1379,7 @@ teorema de la continuidad de la función inversa Demostración: \series default Basta probar que -\begin_inset Formula $g:=f^{-1}$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}$ \end_inset es continua. @@ -1513,7 +1513,7 @@ Demostración: . Sea ahora -\begin_inset Formula $\delta'_{p}:=\frac{\delta_{p}}{2}$ +\begin_inset Formula $\delta'_{p}\coloneqq \frac{\delta_{p}}{2}$ \end_inset y @@ -1529,7 +1529,7 @@ Demostración: \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $\delta:=\min\{\delta'_{p_{1}},\dots,\delta'_{p_{r}}\}$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{\delta'_{p_{1}},\dots,\delta'_{p_{r}}\}$ \end_inset . @@ -813,7 +813,7 @@ criterio del peine \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{i\in I}H_{i}$ +\begin_inset Formula $H\coloneqq \bigcup_{i\in I}H_{i}$ \end_inset es conexo. @@ -950,7 +950,7 @@ En particular, si \end_inset entonces -\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{i\in I}H_{i}$ +\begin_inset Formula $H\coloneqq \bigcup_{i\in I}H_{i}$ \end_inset es conexo, y si @@ -1128,7 +1128,7 @@ convexo segmento \series default -\begin_inset Formula $L_{xy}:=\{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}$ +\begin_inset Formula $L_{xy}\coloneqq \{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}$ \end_inset es un subconjunto de @@ -158,7 +158,7 @@ topología trivial indiscreta \series default a -\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{ind}}:=\{\emptyset,X\}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{ind}}\coloneqq \{\emptyset,X\}$ \end_inset y @@ -166,7 +166,7 @@ indiscreta topología discreta \series default a -\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{dis}}:={\cal P}(X)$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{dis}}\coloneqq {\cal P}(X)$ \end_inset . @@ -268,7 +268,7 @@ entorno \end_inset es un elemento de -\begin_inset Formula ${\cal E}(x):=\{U\in{\cal T}\mid x\in{\cal U}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal E}(x)\coloneqq \{U\in{\cal T}\mid x\in{\cal U}\}$ \end_inset . @@ -343,7 +343,7 @@ En \end_inset tenemos la distancia usual -\begin_inset Formula $d_{u}(x,y):=|x-y|$ +\begin_inset Formula $d_{u}(x,y)\coloneqq |x-y|$ \end_inset . @@ -368,7 +368,7 @@ d_{p}(x,y):=\left(\sum_{k=1}^{n}d(x_{k},y_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \end_inset , y -\begin_inset Formula $d_{\infty}(x,y):=\max_{k=1}^{n}d(x_{k},y_{k})$ +\begin_inset Formula $d_{\infty}(x,y)\coloneqq \max_{k=1}^{n}d(x_{k},y_{k})$ \end_inset . @@ -485,7 +485,7 @@ inducida \end_inset a la topología -\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}:=\{A\in X\mid \forall x\in A,\exists\delta>0\mid B_{d}(x,\delta)\subseteq A\}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}\coloneqq \{A\in X\mid \forall x\in A,\exists\delta>0\mid B_{d}(x,\delta)\subseteq A\}$ \end_inset . @@ -537,7 +537,7 @@ Dados un espacio topológico \end_inset , -\begin_inset Formula ${\cal T}_{Y}:=\{U\cap Y\}_{U\in{\cal T}}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{Y}\coloneqq \{U\cap Y\}_{U\in{\cal T}}$ \end_inset es una topología sobre @@ -578,7 +578,7 @@ La -esfera \series default , -\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}(r):=\{(x_{1},\dots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\mid x_{1}^{2}+\dots+x_{n+1}^{2}=r^{2}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}(r)\coloneqq \{(x_{1},\dots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\mid x_{1}^{2}+\dots+x_{n+1}^{2}=r^{2}\}$ \end_inset . @@ -610,7 +610,7 @@ El intervalo cerrado \series default -\begin_inset Formula $I:=[0,1]\subseteq\mathbb{R}$ +\begin_inset Formula $I\coloneqq [0,1]\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset o el @@ -630,7 +630,7 @@ El cilindro \series default , -\begin_inset Formula $C:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1,0\leq z\leq1\}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1,0\leq z\leq1\}$ \end_inset , cono de rotación sobre el eje @@ -666,7 +666,7 @@ El toro \series default , -\begin_inset Formula $\mathbb{T}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}}+3=0\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{T}\coloneqq \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}}+3=0\}$ \end_inset , cono de rotación sobre el eje @@ -695,7 +695,7 @@ status open \end_inset Tenemos -\begin_inset Formula $\{(x,0,z)\mid (x-2)^{2}+z^{2}=1\}=\{\alpha(s)\mid =(\cos s+2,0,\sin s)\}_{s\in[0,2\pi]}$ +\begin_inset Formula $\{(x,0,z)\mid (x-2)^{2}+z^{2}=1\}=\{\alpha(s)\coloneqq (\cos s+2,0,\sin s)\}_{s\in[0,2\pi]}$ \end_inset , luego el cono de rotación es @@ -820,7 +820,7 @@ La cinta de Möbius \series default , -\begin_inset Formula $M:=\{(\cos\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),\sin\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),t\cos\frac{\theta}{2})\}_{\theta\in[0,2\pi],t\in[-1,1]}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \{(\cos\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),\sin\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),t\cos\frac{\theta}{2})\}_{\theta\in[0,2\pi],t\in[-1,1]}$ \end_inset . @@ -947,7 +947,7 @@ restricción del rango \end_inset , dada por -\begin_inset Formula $f'(x):=f(x)$ +\begin_inset Formula $f'(x)\coloneqq f(x)$ \end_inset , es continua. @@ -1039,7 +1039,7 @@ suma \end_inset , -\begin_inset Formula $s(x,y):=x+y$ +\begin_inset Formula $s(x,y)\coloneqq x+y$ \end_inset , con la topología usual. @@ -1065,7 +1065,7 @@ Como los abiertos en \end_inset , -\begin_inset Formula $t:=s(x_{0},y_{0})$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq s(x_{0},y_{0})$ \end_inset y @@ -1122,7 +1122,7 @@ producto \end_inset , -\begin_inset Formula $p(x,y):=xy$ +\begin_inset Formula $p(x,y)\coloneqq xy$ \end_inset , con la topología usual. @@ -1144,7 +1144,7 @@ Dado \end_inset , -\begin_inset Formula $t:=p(x_{0},y_{0})$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq p(x_{0},y_{0})$ \end_inset , @@ -1156,7 +1156,7 @@ Dado \end_inset y -\begin_inset Formula $\delta:=\min\{1,\frac{r}{|x_{0}|+|y_{0}|+1}\}$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{1,\frac{r}{|x_{0}|+|y_{0}|+1}\}$ \end_inset , para @@ -1199,7 +1199,7 @@ diagonal \end_inset , -\begin_inset Formula $d(x):=(x,\dots,x)$ +\begin_inset Formula $d(x)\coloneqq (x,\dots,x)$ \end_inset , con la topología usual. @@ -1217,7 +1217,7 @@ Basta ver que, dada una bola , su inversa es un abierto. Tenemos -\begin_inset Formula $d^{-1}(B_{d_{\infty}}(y,r))=\{x\mid d_{\infty}((x,\dots,x),y)<r\}=\{t\mid |x-y_{1}|,\dots,|x-y_{n}|<r\}$ +\begin_inset Formula $d^{-1}(B_{d_{\infty}}(y,r))=\{x\mid d_{\infty}((x,\dots,x),y)<r\}=\{t\mid|x-y_{1}|,\dots,|x-y_{n}|<r\}$ \end_inset , pero @@ -1242,7 +1242,7 @@ Una función \end_inset es continua si y sólo si los componentes -\begin_inset Formula $f_{i}(x):=f(x)_{i}$ +\begin_inset Formula $f_{i}(x)\coloneqq f(x)_{i}$ \end_inset lo son. @@ -1352,15 +1352,15 @@ status open La función es continua porque lo es en cada componente, al serlo la suma y el producto. Dado -\begin_inset Formula $u:=(\cos\theta,x,y,z)$ +\begin_inset Formula $u\coloneqq (\cos\theta,x,y,z)$ \end_inset , sean -\begin_inset Formula $v:=(x,y,z)$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq (x,y,z)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n:=\Vert v\Vert$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq \Vert v\Vert$ \end_inset . @@ -1565,7 +1565,7 @@ C:=\left(\begin{array}{ccc} \begin_layout Enumerate Revertimos las dos rotaciones anteriores. Sea -\begin_inset Formula $t:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ \end_inset , @@ -2043,7 +2043,7 @@ topología generada \end_inset a -\begin_inset Formula ${\cal T}_{{\cal B}}:=\{U\subseteq X\mid \forall x\in U,\exists B\in{\cal B}\mid x\in B\subseteq U\}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{{\cal B}}\coloneqq \{U\subseteq X\mid \forall x\in U,\exists B\in{\cal B}\mid x\in B\subseteq U\}$ \end_inset , y se tiene que @@ -2075,7 +2075,7 @@ topología del límite inferior \end_inset generada por la base -\begin_inset Formula ${\cal B}_{\ell i}:=\{[a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R};a<b}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{\ell i}\coloneqq \{[a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R};a<b}$ \end_inset . @@ -2107,7 +2107,7 @@ En efecto, \end_inset , pero tomando la base -\begin_inset Formula ${\cal B}_{u}:=\{(a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R},a<b}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{u}\coloneqq \{(a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R},a<b}$ \end_inset de la topología usual de @@ -2240,11 +2240,11 @@ Tomamos la base \end_inset , -\begin_inset Formula $(p_{n}:=\frac{\lceil an\rceil}{n})_{n\geq n_{0}}$ +\begin_inset Formula $(p_{n}\coloneqq \frac{\lceil an\rceil}{n})_{n\geq n_{0}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(q_{n}:=\frac{\lfloor bn\rfloor}{n})_{n\geq n_{0}}$ +\begin_inset Formula $(q_{n}\coloneqq \frac{\lfloor bn\rfloor}{n})_{n\geq n_{0}}$ \end_inset , @@ -2294,7 +2294,7 @@ Sea \end_inset , sea -\begin_inset Formula $U_{x}:=[x,x+1)\in{\cal T}_{\ell i}$ +\begin_inset Formula $U_{x}\coloneqq [x,x+1)\in{\cal T}_{\ell i}$ \end_inset , existe @@ -2409,7 +2409,7 @@ Ejemplos: status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset . @@ -2430,7 +2430,7 @@ Todo espacio métrico status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{B_{d}(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{B_{d}(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset . @@ -2456,7 +2456,7 @@ Dada una base \end_inset numerable, -\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{B\in{\cal B}\mid x\in B\}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{B\in{\cal B}\mid x\in B\}$ \end_inset es base de entornos de @@ -440,7 +440,7 @@ Demostración: . Entonces -\begin_inset Formula $g(x):=\frac{f(x)-x}{|f(x)-x|}$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq \frac{f(x)-x}{|f(x)-x|}$ \end_inset está bien definida, es continua y va de @@ -510,7 +510,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq \frac{f(x)}{|f(x)|}$ \end_inset , que es continua, y es suprayectiva porque @@ -957,7 +957,7 @@ teorema \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $Y:=\bigcup_{i\in I}Y_{i}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq \bigcup_{i\in I}Y_{i}$ \end_inset es conexo @@ -1044,7 +1044,7 @@ Demostración: \end_inset por abiertos de -\begin_inset Formula $Y:=Y'\cup\bigcup_{i}Y_{i}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq Y'\cup\bigcup_{i}Y_{i}$ \end_inset , si por ejemplo @@ -1134,11 +1134,11 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $U:=\{(x,y)\mid x>0\}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq \{(x,y)\mid x>0\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $V:=\{(x,y)\mid x<0\}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq \{(x,y)\mid x<0\}$ \end_inset e @@ -1294,7 +1294,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $h_{t}(x):=tx$ +\begin_inset Formula $h_{t}(x)\coloneqq tx$ \end_inset para @@ -1306,7 +1306,7 @@ La función \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\sigma(x):=(x,0,\dots,0)$ +\begin_inset Formula $\sigma(x)\coloneqq (x,0,\dots,0)$ \end_inset , por lo que sus imágenes son conexas. @@ -1359,7 +1359,7 @@ status open \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(A):=\frac{\det A}{|\det A|}$ +\begin_inset Formula $f(A)\coloneqq \frac{\det A}{|\det A|}$ \end_inset y es suprayectiva, pues @@ -1566,7 +1566,7 @@ En efecto, si tuviera una separación \end_inset , como -\begin_inset Formula $S:=\alpha([a,b])$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \alpha([a,b])$ \end_inset es conexa por ser la imagen de un conexo por una función continua, debería @@ -1589,7 +1589,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout , pues, por ejemplo, si -\begin_inset Formula $S:=\{(x,\sin\frac{1}{x})\}_{0<x\leq1}\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \{(x,\sin\frac{1}{x})\}_{0<x\leq1}\subseteq\mathbb{R}^{2}$ \end_inset , @@ -1693,7 +1693,7 @@ teorema \end_inset , -\begin_inset Formula $Y:=\bigcup_{i\in I}Y_{i}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq \bigcup_{i\in I}Y_{i}$ \end_inset es conexo por caminos @@ -1787,7 +1787,7 @@ Dado un espacio vectorial convexo \series default si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,[x,y]:=\{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}\subseteq X$ +\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,[x,y]\coloneqq \{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}\subseteq X$ \end_inset y @@ -1898,11 +1898,11 @@ status open \end_inset Dados el recubrimiento -\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{\{x\}\}_{x\in X}$ +\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \{\{x\}\}_{x\in X}$ \end_inset y un subrecubrimiento finito -\begin_inset Formula ${\cal B}:=\{\{x_{1}\},\dots,\{x_{n}\}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq \{\{x_{1}\},\dots,\{x_{n}\}\}$ \end_inset , @@ -2179,7 +2179,7 @@ Demostración: y supongamos que no admite un subrecubrimiento finito. Sea -\begin_inset Formula $I_{0}:=[0,1]^{n}$ +\begin_inset Formula $I_{0}\coloneqq [0,1]^{n}$ \end_inset , de los @@ -2222,7 +2222,7 @@ Demostración: \end_inset , luego existe un único -\begin_inset Formula $z:=(z_{1},\dots,z_{n})\in\bigcap_{k}I_{k}$ +\begin_inset Formula $z\coloneqq (z_{1},\dots,z_{n})\in\bigcap_{k}I_{k}$ \end_inset . @@ -2293,7 +2293,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x):=((1-x_{j})a_{j}+x_{j}b_{j})_{j=1}^{n}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq ((1-x_{j})a_{j}+x_{j}b_{j})_{j=1}^{n}$ \end_inset . @@ -2393,7 +2393,7 @@ Sea . Ahora bien, -\begin_inset Formula $\{U_{\delta}\mid =(-\infty,z-\delta)\cup(z+\delta,+\infty)\}_{\delta>0}$ +\begin_inset Formula $\{U_{\delta}\coloneqq (-\infty,z-\delta)\cup(z+\delta,+\infty)\}_{\delta>0}$ \end_inset es un recubrimiento de @@ -2406,7 +2406,7 @@ Sea . Entonces, si -\begin_inset Formula $d:=\min_{k=1}^{n}\delta_{k}$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq \min_{k=1}^{n}\delta_{k}$ \end_inset , @@ -2560,7 +2560,7 @@ En efecto, dados un espacio métrico \end_inset , sea -\begin_inset Formula $d:=d(x,y)>0$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq d(x,y)>0$ \end_inset , @@ -2750,7 +2750,7 @@ Sea \end_inset continua, -\begin_inset Formula $\text{fix}f:=\{x\in X\mid f(x)=x\}$ +\begin_inset Formula $\text{fix}f\coloneqq \{x\in X\mid f(x)=x\}$ \end_inset es cerrado en @@ -2776,7 +2776,7 @@ status open Demostración: \series default Queremos ver que -\begin_inset Formula $S:=X\setminus\text{fix}f$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq X\setminus\text{fix}f$ \end_inset es abierto. @@ -2876,11 +2876,11 @@ En efecto, dados \end_inset disjuntos, luego -\begin_inset Formula $U_{1}:=f^{-1}(V_{1})$ +\begin_inset Formula $U_{1}\coloneqq f^{-1}(V_{1})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $U_{2}:=f^{-1}(V_{2})$ +\begin_inset Formula $U_{2}\coloneqq f^{-1}(V_{2})$ \end_inset son entornos respectivos de @@ -2968,7 +2968,7 @@ Demostración: . Entonces -\begin_inset Formula $A_{q}:=V_{p_{1}}\cap\dots\cap V_{p_{k}}\subseteq U_{p_{1}}^{\complement}\cap\dots\cap U_{p_{k}}^{\complement}=(U_{p_{1}}\cup\dots\cup U_{p_{k}})^{\complement}\subseteq K^{\complement}$ +\begin_inset Formula $A_{q}\coloneqq V_{p_{1}}\cap\dots\cap V_{p_{k}}\subseteq U_{p_{1}}^{\complement}\cap\dots\cap U_{p_{k}}^{\complement}=(U_{p_{1}}\cup\dots\cup U_{p_{k}})^{\complement}\subseteq K^{\complement}$ \end_inset es un entorno de @@ -165,11 +165,11 @@ Las funciones \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $f(x):=\tan(\frac{\pi}{2}x)$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \tan(\frac{\pi}{2}x)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g(x):=\frac{x}{1-x^{2}}$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq \frac{x}{1-x^{2}}$ \end_inset son homeomorfismos. @@ -177,7 +177,7 @@ Las funciones \begin_layout Enumerate Sea -\begin_inset Formula $N:=(0,\dots,0,1)\in\mathbb{R}^{n+1}$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq (0,\dots,0,1)\in\mathbb{R}^{n+1}$ \end_inset , la @@ -202,7 +202,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $\pi:=\mathbb{R}^{n}\times\{-1\}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \mathbb{R}^{n}\times\{-1\}$ \end_inset y @@ -215,7 +215,7 @@ Sean \series default la proyección estereográfica. Si -\begin_inset Formula $y:=g(x)$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq g(x)$ \end_inset , @@ -309,7 +309,7 @@ Sean status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}\setminus\{N\mid =(0,\dots,0,1)\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}\setminus\{N\coloneqq (0,\dots,0,1)\}$ \end_inset y @@ -321,7 +321,7 @@ status open \end_inset y -\begin_inset Formula $\pi:=\mathbb{R}^{n}\times\{-1\}$ +\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \mathbb{R}^{n}\times\{-1\}$ \end_inset , son linealmente isomorfos, por lo que son homeomorfos y @@ -338,7 +338,7 @@ status open \begin_layout Enumerate El disco -\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{n}:=\overline{B}_{d_{2}}(0;1)\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{n}\coloneqq \overline{B}_{d_{2}}(0;1)\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es homeomorfo a @@ -355,7 +355,7 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x):=x\frac{\Vert x\Vert_{\infty}}{\Vert x\Vert_{2}}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq x\frac{\Vert x\Vert_{\infty}}{\Vert x\Vert_{2}}$ \end_inset para @@ -363,7 +363,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula $f(0):=0$ +\begin_inset Formula $f(0)\coloneqq 0$ \end_inset , queremos ver que @@ -371,7 +371,7 @@ Sea \end_inset es biyectiva con inversa -\begin_inset Formula $g(y):=y\frac{\Vert y\Vert_{2}}{\Vert y\Vert_{\infty}}$ +\begin_inset Formula $g(y)\coloneqq y\frac{\Vert y\Vert_{2}}{\Vert y\Vert_{\infty}}$ \end_inset para @@ -723,7 +723,7 @@ unión disjunta \end_inset a -\begin_inset Formula $X\amalg Y:=(X\times\{0\})\cup(Y\times\{1\})$ +\begin_inset Formula $X\amalg Y\coloneqq (X\times\{0\})\cup(Y\times\{1\})$ \end_inset . @@ -736,7 +736,7 @@ unión disjunta \end_inset son espacios topológicos, definimos la topología -\begin_inset Formula ${\cal T}_{X\amalg Y}:=\{U\subseteq X\amalg Y\mid \{x\mid (x,0)\in U\}\in{\cal T}_{X}\land\{y\mid (y,1)\in U\}\in{\cal T}_{Y}\}$ +\begin_inset Formula ${\cal T}_{X\amalg Y}\coloneqq \{U\subseteq X\amalg Y\mid \{x\mid (x,0)\in U\}\in{\cal T}_{X}\land\{y\mid(y,1)\in U\}\in{\cal T}_{Y}\}$ \end_inset . @@ -806,11 +806,11 @@ Sea \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x,0):=e^{x_{1}}v_{1}+\sum_{k=2}^{n}x_{k}v_{k}$ +\begin_inset Formula $f(x,0)\coloneqq e^{x_{1}}v_{1}+\sum_{k=2}^{n}x_{k}v_{k}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(y,0):=-e^{x_{1}}v_{1}+\sum_{k=2}^{n}x_{k}v_{k}$ +\begin_inset Formula $f(y,0)\coloneqq -e^{x_{1}}v_{1}+\sum_{k=2}^{n}x_{k}v_{k}$ \end_inset es un homeomorfismo. @@ -934,7 +934,7 @@ Sea \end_inset , -\begin_inset Formula $\{U_{i}\mid =\{x\mid (x,0)\in A_{i}\}\}_{i\in I}$ +\begin_inset Formula $\{U_{i}\coloneqq \{x\mid (x,0)\in A_{i}\}\}_{i\in I}$ \end_inset lo es de @@ -947,7 +947,7 @@ Sea . Del mismo modo -\begin_inset Formula $\{V_{j}\mid =\{y\mid (y,1)\in A_{i}\}\}_{j\in I}$ +\begin_inset Formula $\{V_{j}\coloneqq \{y\mid (y,1)\in A_{i}\}\}_{j\in I}$ \end_inset admite un subrecubrimiento finito @@ -1257,7 +1257,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f((x_{1},\dots,x_{m}),(y_{1},\dots,y_{n})):=(x_{1},\dots,x_{m},y_{1},\dots,y_{n})$ +\begin_inset Formula $f((x_{1},\dots,x_{m}),(y_{1},\dots,y_{n}))\coloneqq (x_{1},\dots,x_{m},y_{1},\dots,y_{n})$ \end_inset es biyectiva. @@ -1278,11 +1278,11 @@ Demostración: \end_inset , sean -\begin_inset Formula $a:=d_{\infty}(z,x)<\varepsilon_{x}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq d_{\infty}(z,x)<\varepsilon_{x}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b:=d_{\infty}(w,y)<\delta_{y}$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq d_{\infty}(w,y)<\delta_{y}$ \end_inset , la bola @@ -1312,11 +1312,11 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(L(x)):=(x,-1)$ +\begin_inset Formula $f(L(x))\coloneqq (x,-1)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(R(y)):=(y,1)$ +\begin_inset Formula $f(R(y))\coloneqq (y,1)$ \end_inset es biyectiva. @@ -1370,11 +1370,11 @@ proyecciones \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $\pi_{1}(a,b):=a$ +\begin_inset Formula $\pi_{1}(a,b)\coloneqq a$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\pi_{2}(a,b):=b$ +\begin_inset Formula $\pi_{2}(a,b)\coloneqq b$ \end_inset son continuas. @@ -1416,7 +1416,7 @@ Sean \end_inset dada por -\begin_inset Formula $f(x):=(a(x),b(x))$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq (a(x),b(x))$ \end_inset es continua si y sólo si lo son @@ -2144,7 +2144,7 @@ Demostración: . Sea -\begin_inset Formula $U:=\bigcap_{k=1}^{n}U_{y_{k}}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq \bigcap_{k=1}^{n}U_{y_{k}}$ \end_inset , entonces @@ -2269,7 +2269,7 @@ Sean \end_inset , sea -\begin_inset Formula $I_{x}:=\{i\in I\mid x\in U_{i}\}$ +\begin_inset Formula $I_{x}\coloneqq \{i\in I\mid x\in U_{i}\}$ \end_inset , @@ -2376,7 +2376,7 @@ proyección canónica aplicación cociente \series default -\begin_inset Formula $p(x):=\overline{x}:=[x]$ +\begin_inset Formula $p(x)\coloneqq \overline{x}\coloneqq [x]$ \end_inset que a cada @@ -2429,7 +2429,7 @@ Si \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $X/A:=X/\sim_{A}$ +\begin_inset Formula $X/A\coloneqq X/\sim_{A}$ \end_inset donde @@ -2467,7 +2467,7 @@ Ejemplos: \begin_layout Enumerate Sea -\begin_inset Formula $X:=\mathbb{D}^{2}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \mathbb{D}^{2}$ \end_inset , @@ -2501,11 +2501,11 @@ para \end_inset , -\begin_inset Formula $f(0):=(0,0,1)$ +\begin_inset Formula $f(0)\coloneqq (0,0,1)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(*):=(0,0,-1)$ +\begin_inset Formula $f(*)\coloneqq (0,0,-1)$ \end_inset . @@ -2631,7 +2631,7 @@ Para \end_inset , sea -\begin_inset Formula $X:=[0,1]^{n}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq [0,1]^{n}$ \end_inset , @@ -2643,7 +2643,7 @@ Para \begin_layout Enumerate Sean -\begin_inset Formula $X:=\mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}$ \end_inset y @@ -2663,7 +2663,7 @@ Sean \begin_layout Standard Además, sea -\begin_inset Formula $X:=[0,1]\times[0,1]$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq [0,1]\times[0,1]$ \end_inset : @@ -144,7 +144,7 @@ homotopía Lema del pegamiento: \series default Sean -\begin_inset Formula $X:=A\cup B$ +\begin_inset Formula $X:= A\cup B$ \end_inset con @@ -239,7 +239,7 @@ Demostración: \begin_layout Standard La relación ser funciones homotópicas es de equivalencia, y llamamos -\begin_inset Formula $[X,Y]:={\cal C}(X,Y)\slash\simeq$ +\begin_inset Formula $[X,Y]:= {\cal C}(X,Y)\slash\simeq$ \end_inset . @@ -257,7 +257,7 @@ Demostración: continuas. -\begin_inset Formula $F(x,t):=f(x)$ +\begin_inset Formula $F(x,t):= f(x)$ \end_inset es una homotopía de @@ -286,7 +286,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $G(x,t):=F(x,1-t)$ +\begin_inset Formula $G(x,t):= F(x,1-t)$ \end_inset lo es de @@ -396,7 +396,7 @@ status open \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tg(x)$ +\begin_inset Formula $F(x,t):= (1-t)f(x)+tg(x)$ \end_inset @@ -604,7 +604,7 @@ Dado otro espacio \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Phi([h]):=[h\circ g]$ +\begin_inset Formula $\Phi([h]):= [h\circ g]$ \end_inset es biyectiva con inversa @@ -616,7 +616,7 @@ Dado otro espacio \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Psi([h]):=[f\circ h]$ +\begin_inset Formula $\Psi([h]):= [f\circ h]$ \end_inset es biyectiva con inversa @@ -650,7 +650,7 @@ Demostración: está bien definida. Sean -\begin_inset Formula $\Phi'([j]):=[j\circ f]$ +\begin_inset Formula $\Phi'([j])\coloneqq [j\circ f]$ \end_inset y @@ -714,7 +714,7 @@ status open \end_inset es el homeomorfismo y -\begin_inset Formula $g:=f^{-1}:Y\to X$ +\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}:Y\to X$ \end_inset , entonces @@ -786,7 +786,7 @@ Sea \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $f(x):=\frac{x}{\Vert x\Vert}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$ \end_inset y @@ -795,7 +795,7 @@ Sea es la inclusión. Entonces -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tx$ +\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$ \end_inset es una homotopía de @@ -845,15 +845,15 @@ No son homeomorfos porque \end_inset dadas por -\begin_inset Formula $f(x):=\frac{x}{\Vert x\Vert}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g(x):=x$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x$ \end_inset , y entonces -\begin_inset Formula $F(x,t):=(1-t)f(x)+tx$ +\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$ \end_inset es una homotopía de @@ -936,7 +936,7 @@ Demostración: \end_inset las equivalencias homotópicas, e -\begin_inset Formula $y_{0}:=k(p)\in Y$ +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq k(p)\in Y$ \end_inset , para @@ -978,7 +978,7 @@ Demostración: \end_inset las equivalencias homotópicas, -\begin_inset Formula $x_{0}:=g(p)=g(f(X))$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq g(p)=g(f(X))$ \end_inset y @@ -999,7 +999,7 @@ Demostración: \end_inset , definimos el camino -\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t):=F(x,t)$ +\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t)\coloneqq F(x,t)$ \end_inset que une @@ -1115,7 +1115,7 @@ Si \end_inset y por tanto un camino -\begin_inset Formula $\gamma(t):=F(y,t)$ +\begin_inset Formula $\gamma(t)\coloneqq F(y,t)$ \end_inset de @@ -1197,7 +1197,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t):=F(p,t)$ +\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t)\coloneqq F(p,t)$ \end_inset un camino que une @@ -1255,11 +1255,11 @@ status open Demostración: \series default Dados -\begin_inset Formula $X:=\{0\}$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq \{0\}$ \end_inset e -\begin_inset Formula $Y:=\{0,1\}$ +\begin_inset Formula $Y\coloneqq \{0,1\}$ \end_inset con sus topologías indiscretas y @@ -1407,7 +1407,7 @@ Sean \end_inset e -\begin_inset Formula $y_{0}:=r(x_{0})$ +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq r(x_{0})$ \end_inset , existe un único camino @@ -1455,7 +1455,7 @@ Demostración: \end_inset es un homeomorfismo, luego -\begin_inset Formula $V_{x}:=V\cap f(U_{X})$ +\begin_inset Formula $V_{x}\coloneqq V\cap f(U_{X})$ \end_inset es abierto, con lo que @@ -1588,7 +1588,7 @@ aplicación exponencial \end_inset dada por -\begin_inset Formula $e(\theta):=(\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$ +\begin_inset Formula $e(\theta)\coloneqq (\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$ \end_inset . @@ -1605,7 +1605,7 @@ lazo \end_inset es continua, -\begin_inset Formula $\alpha_{f}:=f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}\coloneqq f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$ \end_inset es un lazo, y dado @@ -1629,7 +1629,7 @@ lazo \end_inset , -\begin_inset Formula $\theta_{1}:=\tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$ +\begin_inset Formula $\theta_{1}\coloneqq \tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$ \end_inset para algún @@ -1650,7 +1650,7 @@ grado \end_inset a -\begin_inset Formula $\deg f:=n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$ +\begin_inset Formula $\deg f\coloneqq n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$ \end_inset . @@ -1729,7 +1729,7 @@ alpha}_f(s)=e(2s)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=2s$, $ +alpha}_f(s):= 2s$, $ \backslash deg(f)=2 \backslash @@ -1757,7 +1757,7 @@ alpha_f(s)=e(ns)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=ns$, $ +alpha}_f(s):= ns$, $ \backslash deg f={ \backslash @@ -1795,7 +1795,7 @@ pi s))=e(-s)$, tomamos ${ \backslash tilde \backslash -alpha}_f(s):=-s$, $ +alpha}_f(s):= -s$, $ \backslash deg(f)={ \backslash @@ -1920,16 +1920,16 @@ Si \end_inset dado por -\begin_inset Formula $h(t):=e(t+\theta_{0})$ +\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq e(t+\theta_{0})$ \end_inset , donde -\begin_inset Formula $e(\theta_{0}):=z_{0}$ +\begin_inset Formula $e(\theta_{0})\coloneqq z_{0}$ \end_inset . Por tanto, si -\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s):=f(e(s))$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))$ \end_inset , existe un levantamiento de @@ -1937,7 +1937,7 @@ Si \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s):=\theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq \theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$ \end_inset , pues @@ -1966,7 +1966,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sea -\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s):=f(e(s))=e(s)$ +\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))=e(s)$ \end_inset , @@ -1974,7 +1974,7 @@ Sea \end_inset , y tomamos -\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s):=s$ +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq s$ \end_inset . @@ -2000,7 +2000,7 @@ Si función antípoda \series default , -\begin_inset Formula $f(x):=-x$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq -x$ \end_inset , @@ -2012,7 +2012,7 @@ función antípoda \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $f(x,y):=(x^{2}-y^{2},2xy)$ +\begin_inset Formula $f(x,y)\coloneqq (x^{2}-y^{2},2xy)$ \end_inset , @@ -2028,7 +2028,7 @@ Dado \end_inset , si -\begin_inset Formula $f(z):=z^{n}$ +\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq z^{n}$ \end_inset en @@ -2213,7 +2213,7 @@ begin{itemize} \backslash item{$ \backslash -implies]$} Sea $I:=[0,1]$, existe una homotopía $H: +implies]$} Sea $I:= [0,1]$, existe una homotopía $H: \backslash mathbb{S}^1 \backslash @@ -2227,7 +2227,7 @@ times I \backslash to \backslash -mathbb{S}^1$ como $F(s,t):=H(e(s),t)$. +mathbb{S}^1$ como $F(s,t):= H(e(s),t)$. Sea $ \backslash alpha_f:I @@ -2236,7 +2236,7 @@ to \backslash mathbb{S}^1$ dado por $ \backslash -alpha_f(s):=f(e(s))$, $ +alpha_f(s):= f(e(s))$, $ \backslash deg f= \backslash @@ -2393,7 +2393,7 @@ tilde F(s,t)$, que está bien definida porque $ \backslash tilde F(0,t)= \backslash -tilde F(1,t)$, y definimos $H:=e +tilde F(1,t)$, y definimos $H:= e \backslash circ \backslash @@ -2418,7 +2418,7 @@ theta_0$ es tal que $R_{ \backslash theta_0}(g(1,0))=f(1,0)$. Las funciones $f$ y $g'$ son homotópicas, y entre $g$ y $g'$ hay una homotopía - $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):=R_{ + $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):= R_{ \backslash theta_0t}(g(z))$. Esto completa la prueba. @@ -2480,7 +2480,7 @@ Si \end_inset admite una extensión continua a -\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:=B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:= B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$ \end_inset , es decir, una función continua @@ -2535,7 +2535,7 @@ Si \end_inset como -\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):=F(e(\theta),r)$ +\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):= F(e(\theta),r)$ \end_inset , que está bien definida porque, si @@ -2575,7 +2575,7 @@ Basta ver que \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(z,t):=\hat{f}(zt)$ +\begin_inset Formula $F(z,t):= \hat{f}(zt)$ \end_inset es una homotopía de la función constante en @@ -2632,7 +2632,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout Si $f(-1)=-1$ o $f(1)=1$ hemos terminado. - De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):=f(x)-x$, $g(-1)>0$ + De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):= f(x)-x$, $g(-1)>0$ y $g(1)<0$, y basta aplicar el teorema de Bolzano. \end_layout @@ -2667,7 +2667,7 @@ mathbb{S}^1}$. a $z$. Este punto está en la imagen de $ \backslash -gamma(t):=z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$. +gamma(t):= z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$. Entonces $ \backslash gamma(t) @@ -2712,15 +2712,15 @@ rangle+t^2 \backslash Vert f(z)-z \backslash -Vert^2.$$ Llamando $a(z):= +Vert^2.$$ Llamando $a(z):= \backslash Vert f(z)-z \backslash -Vert^2$, $b(z):= +Vert^2$, $b(z):= \backslash langle z,f(z)-z \backslash -rangle$ y $c(z):= +rangle$ y $c(z):= \backslash Vert z \backslash @@ -2846,13 +2846,13 @@ teorema status open \begin_layout Plain Layout -Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):={v(z) +Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):= {v(z) \backslash over \backslash Vert v(z) \backslash -Vert}$ y $g(z):=-f(z)$. +Vert}$ y $g(z):= -f(z)$. Entonces $f,g: \backslash mathbb{S}^1 @@ -2862,7 +2862,7 @@ to mathbb{S}^1$ son continuas. Como $f$ admite una extensión continua a $ \backslash -mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):={v(tz) +mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):= {v(tz) \backslash over \backslash @@ -2915,7 +2915,7 @@ Un campo de vectores tangente a \end_inset con -\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:=\text{span}\{p\}^{\bot}$ +\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:= \text{span}\{p\}^{\bot}$ \end_inset para cada @@ -173,7 +173,7 @@ lazo \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula ${\cal L}(X,x):={\cal C}(X,x,x)$ +\begin_inset Formula ${\cal L}(X,x)\coloneqq {\cal C}(X,x,x)$ \end_inset . @@ -198,11 +198,11 @@ La relación \end_inset es de equivalencia, y llamamos -\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x,y):={\cal C}(X,x,y)/\simeq_{p}$ +\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x,y)\coloneqq {\cal C}(X,x,y)/\simeq_{p}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x):={\cal L}(X,x)/\simeq_{p}$ +\begin_inset Formula $\pi_{1}(X,x)\coloneqq {\cal L}(X,x)/\simeq_{p}$ \end_inset . @@ -223,7 +223,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $F(s,t):=\alpha(s)$ +\begin_inset Formula $F(s,t)\coloneqq \alpha(s)$ \end_inset es una homotopía de caminos de @@ -252,7 +252,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $G(s,t):=F(s,1-t)$ +\begin_inset Formula $G(s,t)\coloneqq F(s,1-t)$ \end_inset es una homotopía de caminos de @@ -364,7 +364,7 @@ La operación \end_inset dada por -\begin_inset Formula $[\alpha]*[\beta]:=[\alpha\land\beta]$ +\begin_inset Formula $[\alpha]*[\beta]\coloneqq [\alpha\land\beta]$ \end_inset está bien definida. @@ -516,7 +516,7 @@ camino constante \end_inset dado por -\begin_inset Formula $c_{x}(s):=x$ +\begin_inset Formula $c_{x}(s)\coloneqq x$ \end_inset . @@ -607,7 +607,7 @@ camino inverso \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\overline{\alpha}(s):=\alpha(1-s)$ +\begin_inset Formula $\overline{\alpha}(s)\coloneqq \alpha(1-s)$ \end_inset . @@ -636,7 +636,7 @@ Tenemos \end_inset luego -\begin_inset Formula $F(s,t):=\alpha(t(1-|1-2s|))$ +\begin_inset Formula $F(s,t)\coloneqq \alpha(t(1-|1-2s|))$ \end_inset es una homotopía de caminos de @@ -714,7 +714,7 @@ Dado \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\hat{\alpha}([\gamma]):=[\overline{\alpha}]*[\gamma]*[\alpha]$ +\begin_inset Formula $\hat{\alpha}([\gamma])\coloneqq [\overline{\alpha}]*[\gamma]*[\alpha]$ \end_inset es un isomorfismo de grupos. @@ -885,7 +885,7 @@ homomorfismo inducido \end_inset a -\begin_inset Formula $(f_{x_{0}})_{*}:=f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\to\pi_{1}(Y,y_{0})$ +\begin_inset Formula $(f_{x_{0}})_{*}\coloneqq f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\to\pi_{1}(Y,y_{0})$ \end_inset dada por @@ -1082,7 +1082,7 @@ En efecto, sean \end_inset , -\begin_inset Formula $G(s,t):=F(\alpha(s),t)$ +\begin_inset Formula $G(s,t)\coloneqq F(\alpha(s),t)$ \end_inset es una homotopía de @@ -1324,7 +1324,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $G(s,t):=\Gamma((1-t,0)+te(s))$ +\begin_inset Formula $G(s,t)\coloneqq \Gamma((1-t,0)+te(s))$ \end_inset , @@ -1442,7 +1442,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $r(x_{0}):=y_{0}$ +\begin_inset Formula $r(x_{0})\coloneqq y_{0}$ \end_inset , si para @@ -1466,7 +1466,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\phi([\alpha]):=\tilde{\alpha}(1)$ +\begin_inset Formula $\phi([\alpha])\coloneqq \tilde{\alpha}(1)$ \end_inset , llamamos @@ -1554,7 +1554,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\tau(t):=\phi(s\mapsto F(s,t))$ +\begin_inset Formula $\tau(t)\coloneqq \phi(s\mapsto F(s,t))$ \end_inset , como @@ -1601,11 +1601,11 @@ Demostración: \end_inset , sea -\begin_inset Formula $k:=x-\theta_{0}\in\mathbb{Z}$ +\begin_inset Formula $k\coloneqq x-\theta_{0}\in\mathbb{Z}$ \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\alpha(s):=e(ks+\theta_{0})$ +\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq e(ks+\theta_{0})$ \end_inset cumple @@ -1654,7 +1654,7 @@ Demostración: \end_inset , de donde -\begin_inset Formula $F'(s,t):=F(s,t)\frac{y_{0}}{F((1,0),t)}$ +\begin_inset Formula $F'(s,t)\coloneqq F(s,t)\frac{y_{0}}{F((1,0),t)}$ \end_inset es otra homotopía de @@ -1674,7 +1674,7 @@ Demostración: \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $G(s,t):=F(e(s),t)$ +\begin_inset Formula $G(s,t)\coloneqq F(e(s),t)$ \end_inset es una homotopía de caminos de @@ -1879,11 +1879,11 @@ status open \end_inset es su polo sur, -\begin_inset Formula $U:=\mathbb{S}^{n}\setminus\{N\}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq \mathbb{S}^{n}\setminus\{N\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $V:=\mathbb{S}^{n}\setminus\{S\}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq \mathbb{S}^{n}\setminus\{S\}$ \end_inset son abiertos homeomorfos a @@ -2125,7 +2125,7 @@ unión por un punto \end_inset a -\begin_inset Formula $X\lor Y:=(X\amalg Y)/\{x,y\}$ +\begin_inset Formula $X\lor Y\coloneqq (X\amalg Y)/\{x,y\}$ \end_inset . @@ -2162,7 +2162,7 @@ La figura ocho \series default es -\begin_inset Formula $E:=\mathbb{S}^{1}\lor\mathbb{S}^{1}$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq \mathbb{S}^{1}\lor\mathbb{S}^{1}$ \end_inset , y @@ -2325,7 +2325,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $j_{*}([\alpha]):=[j\circ\alpha]=[\alpha]$ +\begin_inset Formula $j_{*}([\alpha])\coloneqq [j\circ\alpha]=[\alpha]$ \end_inset es biyectiva. @@ -2356,7 +2356,7 @@ Demostración: \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\beta(s):=r(\alpha(s))=j(r(\alpha(s)))$ +\begin_inset Formula $\beta(s)\coloneqq r(\alpha(s))=j(r(\alpha(s)))$ \end_inset es homotópica a @@ -2364,7 +2364,7 @@ Demostración: \end_inset por la homotopía de caminos -\begin_inset Formula $H(s,t):=R(\alpha(s),t)$ +\begin_inset Formula $H(s,t)\coloneqq R(\alpha(s),t)$ \end_inset de @@ -2414,7 +2414,7 @@ Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \end_inset , y que la figura ocho es -\begin_inset Formula $E:={\cal C}(p;1)\cup{\cal C}(q;1)$ +\begin_inset Formula $E\coloneqq {\cal C}(p;1)\cup{\cal C}(q;1)$ \end_inset . @@ -2532,7 +2532,7 @@ Ahora queda ver que la función es continua en las fronteras de los trozos. \begin_layout Enumerate La intersección del primer trozo y el tercero es -\begin_inset Formula $I_{1}:=\{-1\}\times(\mathbb{R}\setminus[-1,1])$ +\begin_inset Formula $I_{1}\coloneqq \{-1\}\times(\mathbb{R}\setminus[-1,1])$ \end_inset . @@ -2550,7 +2550,7 @@ La intersección del primer trozo y el tercero es . Las fronteras también intersecan en -\begin_inset Formula $I_{2}:={\cal C}(p;1)\cap([-1,0]\times\mathbb{R})$ +\begin_inset Formula $I_{2}\coloneqq {\cal C}(p;1)\cap([-1,0]\times\mathbb{R})$ \end_inset . @@ -2649,7 +2649,7 @@ El espacio theta \series default , -\begin_inset Formula $\theta:=\mathbb{S}^{1}\cup([-1,1]\times\{0\})$ +\begin_inset Formula $\theta\coloneqq \mathbb{S}^{1}\cup([-1,1]\times\{0\})$ \end_inset , es un retracto de deformación de @@ -317,7 +317,7 @@ Sea . Sea -\begin_inset Formula $v:=t_{1}v_{1}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{1},\dots,v_{k}]$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq t_{1}v_{1}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{1},\dots,v_{k}]$ \end_inset . @@ -345,7 +345,7 @@ Sea . En otro caso, -\begin_inset Formula $w:=\frac{t_{1}}{1-t_{k}}v_{1}+\dots+\frac{t_{k-1}}{1-t_{k}}v_{k-1}\in\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k-1}\}\subseteq\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k}\}\subseteq C$ +\begin_inset Formula $w\coloneqq \frac{t_{1}}{1-t_{k}}v_{1}+\dots+\frac{t_{k-1}}{1-t_{k}}v_{k-1}\in\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k-1}\}\subseteq\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k}\}\subseteq C$ \end_inset , luego @@ -385,12 +385,12 @@ símplice vértices \series default , en posición general, -\begin_inset Formula $[v_{0},\dots,v_{k}]:=\text{conv}\{v_{0},\dots,v_{k}\}$ +\begin_inset Formula $[v_{0},\dots,v_{k}]\coloneqq \text{conv}\{v_{0},\dots,v_{k}\}$ \end_inset . Si -\begin_inset Formula $v:=t_{0}v_{0}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{0},\dots,v_{k}]$ +\begin_inset Formula $v\coloneqq t_{0}v_{0}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{0},\dots,v_{k}]$ \end_inset con cada @@ -418,7 +418,7 @@ coordinadas baricéntricas \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $W:=\{v_{0},\dots,v_{k}\}$ +\begin_inset Formula $W\coloneqq \{v_{0},\dots,v_{k}\}$ \end_inset determina un @@ -648,7 +648,7 @@ característica de Euler \end_inset es -\begin_inset Formula $\chi(T):=i_{0}-i_{1}+\dots+(-1)^{n}i_{n}$ +\begin_inset Formula $\chi(T)\coloneqq i_{0}-i_{1}+\dots+(-1)^{n}i_{n}$ \end_inset . @@ -721,19 +721,19 @@ status open \begin_layout Plain Layout En efecto, sean -\begin_inset Formula $a:=(0,0,1)$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq (0,0,1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b:=(0,1,-1)$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq (0,1,-1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c:=(-1,-1,-1)$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq (-1,-1,-1)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $d:=(1,-1,-1)$ +\begin_inset Formula $d\coloneqq (1,-1,-1)$ \end_inset , entonces el complejo simplicial dado por @@ -746,7 +746,7 @@ En efecto, sean \end_inset junto con el homeomorfismo -\begin_inset Formula $h(x,y,z):=\frac{(x,y,z)}{|(x,y,z)|}$ +\begin_inset Formula $h(x,y,z)\coloneqq \frac{(x,y,z)}{|(x,y,z)|}$ \end_inset forman una triangulación de @@ -831,7 +831,7 @@ Presentaciones poligonales \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $S:=\overline{B_{d_{1}}}(0;1)$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \overline{B_{d_{1}}}(0;1)$ \end_inset . @@ -927,7 +927,7 @@ Una presentación poligonal \series default es una expresión de la forma -\begin_inset Formula ${\cal P}:=\langle S\mid W_{1},\dots,W_{k}\rangle$ +\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq \langle S\mid W_{1},\dots,W_{k}\rangle$ \end_inset , donde @@ -995,7 +995,7 @@ Para cada palabra \end_inset , sea -\begin_inset Formula $n_{i}:=|W_{i}|$ +\begin_inset Formula $n_{i}\coloneqq |W_{i}|$ \end_inset . @@ -1028,7 +1028,7 @@ Si \end_inset dados por -\begin_inset Formula $a_{ij}:=[v_{ij},v_{i(j+1)}]$ +\begin_inset Formula $a_{ij}\coloneqq [v_{ij},v_{i(j+1)}]$ \end_inset entendiendo @@ -1036,7 +1036,7 @@ Si \end_inset , y el polígono -\begin_inset Formula $P_{i}:=\text{conv}\{v_{i1},\dots,v_{in_{i}}\}$ +\begin_inset Formula $P_{i}\coloneqq \text{conv}\{v_{i1},\dots,v_{in_{i}}\}$ \end_inset . @@ -1076,7 +1076,7 @@ Si \end_inset disjuntos (salvo en los puntos inicial y final), y -\begin_inset Formula $P_{i}:=\text{conv}\{a_{ij}(s)\}_{s\in[0,1]}^{j\in\{1,2\}}$ +\begin_inset Formula $P_{i}\coloneqq \text{conv}\{a_{ij}(s)\}_{s\in[0,1]}^{j\in\{1,2\}}$ \end_inset . @@ -1090,7 +1090,7 @@ Sea . Tomamos el espacio topológico -\begin_inset Formula $X:=(P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k})/\sim$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq (P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k})/\sim$ \end_inset , donde @@ -1233,7 +1233,7 @@ aristas \end_inset son regiones poligonales, -\begin_inset Formula $P:=P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k}$ +\begin_inset Formula $P\coloneqq P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k}$ \end_inset y @@ -1716,39 +1716,39 @@ status open \begin_layout Plain Layout Sean -\begin_inset Formula $a_{0}:=(0,1,0)$ +\begin_inset Formula $a_{0}\coloneqq (0,1,0)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a_{1}:=(0,3,1)$ +\begin_inset Formula $a_{1}\coloneqq (0,3,1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a_{2}:=(0,3,-1)$ +\begin_inset Formula $a_{2}\coloneqq (0,3,-1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b_{0}:=(-1,-1,0)$ +\begin_inset Formula $b_{0}\coloneqq (-1,-1,0)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b_{1}:=(-3,-3,1)$ +\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq (-3,-3,1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b_{2}:=(-3,-3,-1)$ +\begin_inset Formula $b_{2}\coloneqq (-3,-3,-1)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c_{0}:=(1,-1,0)$ +\begin_inset Formula $c_{0}\coloneqq (1,-1,0)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $c_{1}:=(3,-3,1)$ +\begin_inset Formula $c_{1}\coloneqq (3,-3,1)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $c_{2}:=(3,-3,-1)$ +\begin_inset Formula $c_{2}\coloneqq (3,-3,-1)$ \end_inset . @@ -1764,7 +1764,7 @@ Sean y cuyas aristas y vértices son los subsímplices de estas caras. Entonces, si -\begin_inset Formula $r:=\frac{29}{20}$ +\begin_inset Formula $r\coloneqq \frac{29}{20}$ \end_inset , la circunferencia @@ -1794,11 +1794,11 @@ y cuyas aristas y vértices son los subsímplices de estas caras. . Entonces, si -\begin_inset Formula $p(x,y):=r(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},0)$ +\begin_inset Formula $p(x,y)\coloneqq r(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},0)$ \end_inset , la función -\begin_inset Formula $h(x,y,z):=r(x,y)+\frac{(x,y,z)-r(x,y)}{|(x,y,z)-r(x,y)|}$ +\begin_inset Formula $h(x,y,z)\coloneqq r(x,y)+\frac{(x,y,z)-r(x,y)}{|(x,y,z)-r(x,y)|}$ \end_inset es un homeomorfismo del complejo al toro con circunferencia interior |