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| author | Juan Marín Noguera <juan.marinn@um.es> | 2020-02-20 13:15:34 +0100 |
|---|---|---|
| committer | Juan Marín Noguera <juan.marinn@um.es> | 2020-02-20 13:15:34 +0100 |
| commit | 29eb708670963c0ca5bd315c83a3cec8dafef1a7 (patch) | |
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Commit inicial, primer cuatrimestre.
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diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..56fb570 --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,281 @@ +## Core latex/pdflatex auxiliary files: +*.aux +*.lof +*.log +*.lot +*.fls +*.out +*.toc +*.fmt +*.fot +*.cb +*.cb2 +.*.lb + +## Intermediate documents: +*.dvi +*.xdv +*-converted-to.* +# these rules might exclude image files for figures etc. +# *.ps +# *.eps +# *.pdf + +## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" +.pdf + +## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): +*.bbl +*.bcf +*.blg +*-blx.aux +*-blx.bib +*.run.xml + +## Build tool auxiliary files: +*.fdb_latexmk +*.synctex +*.synctex(busy) +*.synctex.gz +*.synctex.gz(busy) +*.pdfsync + +## Build tool directories for auxiliary files +# latexrun +latex.out/ + +## Auxiliary and intermediate files from other packages: +# algorithms +*.alg +*.loa + +# achemso +acs-*.bib + +# amsthm +*.thm + +# beamer +*.nav +*.pre +*.snm +*.vrb + +# changes +*.soc + +# comment +*.cut + +# cprotect +*.cpt + +# elsarticle (documentclass of Elsevier journals) +*.spl + +# endnotes +*.ent + +# fixme +*.lox + +# feynmf/feynmp +*.mf +*.mp +*.t[1-9] +*.t[1-9][0-9] +*.tfm + +#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar +*.end +*.?end +*.[1-9] +*.[1-9][0-9] +*.[1-9][0-9][0-9] +*.[1-9]R +*.[1-9][0-9]R +*.[1-9][0-9][0-9]R +*.eledsec[1-9] +*.eledsec[1-9]R +*.eledsec[1-9][0-9] +*.eledsec[1-9][0-9]R +*.eledsec[1-9][0-9][0-9] +*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R + +# glossaries +*.acn +*.acr +*.glg +*.glo +*.gls +*.glsdefs +*.lzo +*.lzs + +# uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!) +# *.ist + +# gnuplottex +*-gnuplottex-* + +# gregoriotex +*.gaux +*.gtex + +# htlatex +*.4ct +*.4tc +*.idv +*.lg +*.trc +*.xref + +# hyperref +*.brf + +# knitr +*-concordance.tex +# TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files +*.tikz +*-tikzDictionary + +# listings +*.lol + +# luatexja-ruby +*.ltjruby + +# makeidx +*.idx +*.ilg +*.ind + +# minitoc +*.maf +*.mlf +*.mlt +*.mtc[0-9]* +*.slf[0-9]* +*.slt[0-9]* +*.stc[0-9]* + +# minted +_minted* +*.pyg + +# morewrites +*.mw + +# nomencl +*.nlg +*.nlo +*.nls + +# pax +*.pax + +# pdfpcnotes +*.pdfpc + +# sagetex +*.sagetex.sage +*.sagetex.py +*.sagetex.scmd + +# scrwfile +*.wrt + +# sympy +*.sout +*.sympy +sympy-plots-for-*.tex/ + +# pdfcomment +*.upa +*.upb + +# pythontex +*.pytxcode +pythontex-files-*/ + +# tcolorbox +*.listing + +# thmtools +*.loe + +# TikZ & PGF +*.dpth +*.md5 +*.auxlock + +# todonotes +*.tdo + +# vhistory +*.hst +*.ver + +# easy-todo +*.lod + +# xcolor +*.xcp + +# xmpincl +*.xmpi + +# xindy +*.xdy + +# xypic precompiled matrices and outlines +*.xyc +*.xyd + +# endfloat +*.ttt +*.fff + +# Latexian +TSWLatexianTemp* + +## Editors: +# WinEdt +*.bak +*.sav + +# Texpad +.texpadtmp + +# LyX +*.lyx~ + +# Kile +*.backup + +# gummi +.*.swp + +# KBibTeX +*~[0-9]* + +# TeXnicCenter +*.tps + +# auto folder when using emacs and auctex +./auto/* +*.el + +# expex forward references with \gathertags +*-tags.tex + +# standalone packages +*.sta + +# Makeindex log files +*.lpz + +# REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib +# option is specified. Footnotes are the stored in a file with suffix Notes.bib. +# Uncomment the next line to have this generated file ignored. +#*Notes.bib
\ No newline at end of file diff --git a/README.md b/README.md new file mode 100644 index 0000000..a8c4cad --- /dev/null +++ b/README.md @@ -0,0 +1,31 @@ +# Apuntes + +Este repositorio contiene apuntes para las asignaturas del PCEO en Matemáticas e +Ingeniería Informática de la Universidad de Murcia. Estos apuntes no son +oficiales ni están afiliados de algún modo a la Universidad de Murcia. +Cualquiera es libre de enviar correcciones, modificaciones ante cambios en los +contenidos académicos u otras mejoras. + +Por el momento, las asignaturas de matemáticas de las que se incluyen apuntes +son las siguientes: + +* `algl`: Álgebra Lineal. +* `cyn`: Conjuntos y Números. +* `fuvr1`: Funciones de Una Variable Real I. + +Las asignaturas de ingeniería informática que se incluyen son las siguientes: +* `fc`: Fundamentos de Computadores. +* `ip`: Introducción a la Programación. +* `logic`: Fundamentos Lógicos de la Informática. + +Los apuntes están escritos con [https://www.lyx.org/](LyX). En cada directorio, +el fichero `n.lyx` es el fichero principal con los apuntes de la asignatura. +En distribuciones basadas en Debian, LyX y todo lo necesario de +[https://www.tug.org/texlive/](TeX Live) se pueden instalar mediante +`sudo apt install lyx texlive-full`, si bien realmente muchos de los paquetes +que se instalan con esta orden no son necesarios. + +Para compilar los apuntes, `lyx -e pdf2 n.lyx` convierte a PDF y +`lyx -e html n.lyx` convierte a HTML, aunque también se puede usar la interfaz +gráfica de LyX. Si encuentra problemas de accesibilidad, no dude en enviar una +"Issue" al respecto. diff --git a/algl/n.lyx b/algl/n.lyx new file mode 100644 index 0000000..0b82057 --- /dev/null +++ b/algl/n.lyx @@ -0,0 +1,208 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize a5paper +\use_geometry true +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\leftmargin 0.2cm +\topmargin 0.7cm +\rightmargin 0.2cm +\bottommargin 0.7cm +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle empty +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Title +Álgebra lineal +\end_layout + +\begin_layout Date +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +def +\backslash +cryear{2017} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "../license.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Bibliografía: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Material clases teóricas, Álgebra Lineal, Universidad de Murcia (anónimo). +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Espacios vectoriales +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n1.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Aplicaciones Lineales +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n2.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Sistemas de ecuaciones lineales +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n3.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Determinantes +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n4.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Diagonalización de endomorfismos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n5.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/algl/n1.lyx b/algl/n1.lyx new file mode 100644 index 0000000..47d85c9 --- /dev/null +++ b/algl/n1.lyx @@ -0,0 +1,3673 @@ +#LyX 2.3 created this file. 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mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Section +Cuerpos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Conjunto +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + con dos operaciones, +\series bold +suma +\series default + ( +\begin_inset Formula $+$ +\end_inset + +) y +\series bold +producto +\series default + ( +\begin_inset Formula $\cdot$ +\end_inset + +), tales que +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in K$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Propiedad asociativa de la suma: +\series default + +\begin_inset Formula $a+(b+c)=(a+b)+c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Propiedad conmutativa de la suma: +\begin_inset Formula $a+b=b+a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Elemento neutro para la suma +\series default + o +\series bold +nulo: +\series default + +\begin_inset Formula $\exists!0\in K:\forall a\in K,0+a=a$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Pongamos que existe otro +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $0'$ +\end_inset + +), entonces +\begin_inset Formula $0=0+0'=0'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Inverso para la suma +\series default + u +\series bold +opuesto: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a\in K,\exists!a':a+a'=0$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $-a:=a'$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Pongamos que existe otro opuesto +\begin_inset Formula $a''$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a'=0+a'=(a''+a)+a'=a''+(a+a')=a''+0=a''$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Propiedad asociativa del producto: +\series default + +\begin_inset Formula $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Propiedad conmutativa del producto: +\series default + +\begin_inset Formula $a\cdot b=b\cdot a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Elemento neutro para el producto +\series default + o +\series bold +unidad: +\series default + +\begin_inset Formula $\exists!1\in K:\forall a\in K,1\cdot a=a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Inverso para el producto: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a\in K\backslash\{0\},\exists!a'':a\cdot a''=1$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $a^{-1}:=\frac{1}{a}:=a''$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Propiedad distributiva: +\series default + +\begin_inset Formula $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La congruencia +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}$ +\end_inset + + con operaciones +\begin_inset Formula $0+0=1+1=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $0+1=1+0=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $1\cdot1=1$ +\end_inset + + es un cuerpo. + Siempre existe un cuerpo +\begin_inset Formula $F_{p^{n}}$ +\end_inset + +, formado por +\begin_inset Formula $p^{n}$ +\end_inset + + elementos, donde +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es primo. + Algunas propiedades: +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in K$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a+b=a+c\implies b=c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $0a=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(-a)b=a(-b)=-(ab)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $(-1)a=-a$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $(-a)(-b)=ab$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $ab=0\implies a=0\lor b=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $ab=ac\implies a=0\lor b=c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +El cuerpo de los números complejos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si consideramos +\begin_inset Formula $\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ +\end_inset + +, obtenemos el cuerpo de los números complejos ( +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + +). + El conjunto de elementos de +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + + con forma +\begin_inset Formula $(a,0)$ +\end_inset + + es una copia del cuerpo +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +. + Llamamos +\series bold +unidad imaginaria +\series default + a +\begin_inset Formula $i=(0,1)$ +\end_inset + +, de forma que +\begin_inset Formula $i^{2}=i\cdot i=(-1,0)=-1$ +\end_inset + +. + Dado que +\begin_inset Formula $(b,0)i=(0,b)$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $(b,0)$ +\end_inset + + es el número real +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +, tenemos +\begin_inset Formula $(a,b)=a+bi$ +\end_inset + +, lo que denominamos la +\series bold +forma binomial. + +\series default + +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es la +\series bold +componente real, +\series default + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + la +\series bold +componente imaginaria. + +\series default + Si +\begin_inset Formula $z=a+bi$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +conjugado +\series default + de +\begin_inset Formula $z$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\overline{z}=a-bi$ +\end_inset + +, de forma que +\begin_inset Formula $z=\overline{z}\iff z\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos representar un número complejo +\begin_inset Formula $z=a+bi$ +\end_inset + + como un punto del plano, con coordenadas +\begin_inset Formula $(a,b)$ +\end_inset + +. + La distancia del punto al origen de coordenadas, llamada +\series bold +módulo +\series default +, es +\begin_inset Formula $r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{z\overline{z}}$ +\end_inset + +. + El ángulo con el eje +\begin_inset Formula $OX$ +\end_inset + +, llamado +\series bold +argumento +\series default +, cumple que +\begin_inset Formula $a+bi=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))$ +\end_inset + +. + Esta es la +\series bold +forma polar +\series default + o +\series bold +módulo argumental +\series default + del complejo. + La multiplicación en forma polar es: +\begin_inset Formula $[r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))][r'(\cos(\alpha')+i\sin(\alpha'))]=rr'(\cos(\alpha+\alpha')+i\sin(\alpha+\alpha'))$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +Teorema Fundamental del Álgebra +\series default + nos dice que todo polinomio +\begin_inset Formula $P(x)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n}$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $n\geq1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{i}\in\mathbb{C}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$ +\end_inset + +, tiene raíz compleja. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Característica de un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula +\[ +\forall a\in K,n\in\mathbb{N},na=\underset{n\text{ veces}}{a+a+\cdots+a} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +En particular, +\begin_inset Formula +\[ +n1=\underset{n\text{ veces}}{1+1+\cdots+1} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Por tanto, +\begin_inset Formula $na=(n1)a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $n1+m1=(n+m)1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(n1)(m1)=(nm)1$ +\end_inset + + para cualquier cuerpo +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un cuerpo tiene +\series bold +característica cero +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall n>0,n1\neq0$ +\end_inset + +. + De lo contrario, se dice que tiene +\series bold +característica +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\series default +, siendo +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + el menor natural tal que +\begin_inset Formula $n1=0$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $na=(n1)a\implies na=0$ +\end_inset + +. + Dado que +\begin_inset Formula $ab=0\iff a=0\lor b=0$ +\end_inset + +, tenemos que +\begin_inset Formula $\exists p,q<n:n=pq\implies0=n1=(p1)(q1)\implies p1=0\lor q1=0$ +\end_inset + +, por lo que la característica de un cuerpo es cero o un nº primo. +\end_layout + +\begin_layout Section +Espacios vectoriales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +espacio vectorial +\series default + sobre +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, o +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial, es una terna +\begin_inset Formula $(V,+,\cdot)$ +\end_inset + + donde +\begin_inset Formula $V\neq\emptyset$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $+$ +\end_inset + + es una operación +\begin_inset Formula $V\times V\longrightarrow V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\cdot$ +\end_inset + + es una operación +\begin_inset Formula $K\times V\longrightarrow V$ +\end_inset + +, tales que +\begin_inset Formula $\forall u,v,w\in V,\alpha,\beta\in K$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Suma asociativa: +\series default + +\begin_inset Formula $u+(v+w)=(u+v)+w$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Suma conmutativa: +\series default + +\begin_inset Formula $u+v=v+u$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Vector cero +\series default + o +\series bold +nulo: +\series default + +\begin_inset Formula $\exists0_{V}:\forall u\in V,0_{V}+u=u$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Opuesto para la suma: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall u\in V,\exists u':u+u'=0_{V}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $u':=-u$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\alpha\cdot(u+v)=\alpha\cdot u+\alpha\cdot v$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(\alpha+\beta)\cdot u=\alpha\cdot u+\beta\cdot u$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(\alpha\cdot\beta)\cdot u=\alpha\cdot(\beta\cdot u)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $1_{K}\cdot u=u$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +vectores +\series default + a los elementos de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y +\series bold +escalares +\series default + a los de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +. + Todo cuerpo es espacio vectorial sobre sí mismo. + +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + es espacio vectorial sobre +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + + sobre +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El plano real +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}$ +\end_inset + +, con las operaciones +\begin_inset Formula $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha(x,y)=(\alpha x,\alpha y)$ +\end_inset + +, es un +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +-espacio vectorial. + El conjunto +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + + de las +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-uplas de elementos de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $K^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}|x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in K\}$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial con las operaciones +\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})+(y_{1},\dots,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\dots,x_{n}+y_{n})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha(x_{1},\dots x_{n})=(\alpha x_{1},\dots,\alpha x_{n})$ +\end_inset + +. + También, si +\begin_inset Formula $V_{1},\dots,V_{n}$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacios vectoriales, el conjunto +\begin_inset Formula $V_{1}\times\dots\times V_{n}=\{(v_{1},v_{2},\dots,v_{n})|v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\dots,v_{n}\in V_{n}\}$ +\end_inset + +, con operaciones similares, es un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial llamado +\series bold +espacio vectorial producto +\series default + de los +\begin_inset Formula $V_{i}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +matriz +\series default + +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + de tamaño +\begin_inset Formula $m\times n$ +\end_inset + + (con +\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +) sobre +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es una disposición en +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + filas y +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + columnas de +\begin_inset Formula $m\cdot n$ +\end_inset + + elementos de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +. + La matriz es +\series bold +cuadrada +\series default + si +\begin_inset Formula $m=n$ +\end_inset + +, +\series bold +fila +\series default + si +\begin_inset Formula $m=1$ +\end_inset + + y +\series bold +columna +\series default + si +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + +. + Llamamos +\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + al conjunto de las matrices +\begin_inset Formula $m\times n$ +\end_inset + + sobre +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $M_{n,n}(K)=M_{n}(K)$ +\end_inset + +. + Se representan de la siguiente forma: +\begin_inset Formula +\[ +A=\left(\begin{array}{cccc} +a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ +a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ +a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} +\end{array}\right),\,a_{ij}\in K\forall1\leq i\leq m,1\leq j\leq n +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\forall A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in M_{m,n}(K),A+B=(c_{ij})\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ +\end_inset + + para cada elemento de la matriz. + También, +\begin_inset Formula $\forall\alpha\in K,A\in M_{m,n}(K),\alpha A=(c_{ij})\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $c_{ij}=\alpha a_{ij}$ +\end_inset + +. + Con estas operaciones, +\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +polinomio +\series default + en una +\series bold +indeterminada +\series default + +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + con +\series bold +coeficientes +\series default + en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula +\[ +a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Donde +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es un entero no negativo, +\begin_inset Formula $a_{i}\in K\forall i=0,1,\dots n$ +\end_inset + +. + El conjunto de polinomios sobre +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + se llama +\begin_inset Formula $K(X)$ +\end_inset + + y es un espacio vectorial con las operaciones: +\begin_inset Formula +\begin{eqnarray*} +(a_{0}+\dots+a_{n}X^{n})+(b_{0}+\dots+b_{n}X^{n}) & = & (a_{0}+b_{0})+\dots+(a_{n}+b_{n})X^{n}\\ +\alpha(a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}) & = & \alpha a_{0}+\alpha a_{1}X+\dots+\alpha a_{n}X^{n} +\end{eqnarray*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\mathcal{S}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, el conjunto +\begin_inset Formula $\mathcal{F}(\mathcal{S},K)=\{f:\mathcal{S}\rightarrow K\}$ +\end_inset + +, formado por todas las aplicaciones de +\begin_inset Formula $\mathcal{S}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, con operaciones +\begin_inset Formula $(f+g)(s)=f(s)+g(s)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(\alpha f)(s)=\alpha f(s)$ +\end_inset + +, es un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial. + Con estas mismas operaciones, el conjunto +\begin_inset Formula $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})=\{f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}|f\text{ continua}\}$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +-espacio vectorial. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Propiedades de los espacios vectoriales: +\begin_inset Formula $\forall u,v,w\in V,\alpha,\beta\in K$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $u+v=u+w\implies v=w$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +u+v=u+w\implies(-u)+(u+v)=(-u)+(u+w)=((-u)+u)+v=((-u)+u)+w=v=w +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $0u=0_{V}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +0u+0u=(0+0)u=0u=0u+0_{V}\implies0u=0_{V} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\alpha0_{V}=0_{V}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +\alpha0_{V}+0_{V}=\alpha0_{V}=\alpha(0_{V}+0_{V})=\alpha0_{V}+\alpha0_{V}\implies\alpha0_{V}=0_{V} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $u\in V,\alpha u=0_{V}\implies\alpha=0\lor u=0_{V}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha u=\alpha v\implies\alpha=0\lor u=v$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha u=\beta u\implies\alpha=\beta\lor u=0_{V}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +\alpha u=0_{V}\\ +\alpha\neq0 +\end{array}\implies u=(\alpha^{-1}\cdot\alpha)u=\alpha^{-1}(\alpha u)=\alpha^{-1}\cdot0_{V}=0_{V} +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +\alpha u=\alpha v\\ +\alpha\neq0 +\end{array}\implies\alpha^{-1}(\alpha u)=\alpha^{-1}(\alpha v)=1\cdot u=1\cdot v=u=v +\] + +\end_inset + +Para la última demostración, usamos (5): +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +\begin{array}{c} +\alpha u=\beta u\\ +u\neq0_{V} +\end{array}\implies0_{V}=\alpha u+(-(\beta u))\overset{(5)}{=}\alpha u+(-\beta)u=(\alpha+(-\beta))u\implies\\ +\implies\alpha+(-\beta)=0\implies\alpha=\beta +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $u\in V,(-\alpha)u=\alpha(-u)=-(\alpha u)$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +(-\alpha)u+\alpha u=(-\alpha+\alpha)u=0u=0_{V}\implies(-\alpha)u=-(\alpha u) +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +\alpha(-u)+\alpha u=\alpha(-u+u)=\alpha\cdot0_{V}=0_{V}\implies\alpha(-u)=-(\alpha u) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +También podemos llamar +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $0_{V}$ +\end_inset + + si esto no conlleva ambigüedad. +\end_layout + +\begin_layout Section +Subespacios vectoriales +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $U\subseteq V$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $U\neq\emptyset$ +\end_inset + +) es un +\series bold +subespacio vectorial +\series default + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $U\leq V$ +\end_inset + +) si +\begin_inset Formula $\forall u,v\in U,u+v\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\forall u\in U,\alpha\in K,\alpha u\in U$ +\end_inset + +. + De esta forma +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + es también un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los subconjuntos +\begin_inset Formula $\{0\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + son subespacios vectoriales de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\{(x_{1},\dots,x_{n})\in K^{n}|x_{1}+\dots+x_{n}=0\}$ +\end_inset + + es un subespacio vectorial de +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + +. + El conjunto +\begin_inset Formula $\mathcal{P}_{n}$ +\end_inset + + de polinomios con coeficientes reales con grado menor o igual a +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, junto con el +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + +, es un subespacio vectorial de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$ +\end_inset + +. + También lo es +\begin_inset Formula $U_{a,b}=\{f\in\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}):f(a)=f(b)\}$ +\end_inset + + respecto de +\begin_inset Formula $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Combinaciones lineales. + Sistemas de generadores +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $u\in V$ +\end_inset + + es +\series bold +combinación lineal +\series default + de +\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}\in V$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\exists\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in K:u=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$ +\end_inset + +. + Se dice que es combinación lineal de vectores de +\begin_inset Formula $\mathcal{S}$ +\end_inset + + (con +\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq V$ +\end_inset + +) si +\begin_inset Formula $\exists n\in\mathbb{N},v_{1},\dots,v_{n}\in\mathcal{S}:u=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$ +\end_inset + +. + Los escalares +\begin_inset Formula $\alpha_{i}$ +\end_inset + + se llaman +\series bold +coeficientes +\series default + de la combinación. + Así, un subconjunto no vacío +\begin_inset Formula $U\subseteq V$ +\end_inset + + es un subespacio vectorial de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + si cualquier combinación lineal de vectores de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + también está en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\mathcal{S}$ +\end_inset + + es un subconjunto no vacío de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, el conjunto +\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>$ +\end_inset + + de todas las combinaciones lineales de vectores en +\begin_inset Formula $\mathcal{S}$ +\end_inset + + es el menor subespacio vectorial tal que +\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq<{\cal S}>$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + +\begin_inset Formula $u\in\mathcal{S}\implies1\cdot u\in<\mathcal{S}>$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $u,v\in<\mathcal{S}>$ +\end_inset + +, entonces existirán +\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k},v_{1},\dots,v_{l}\in\mathcal{S}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots\alpha_{k},\beta_{1},\dots,\beta_{l}\in K$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $u=\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v=\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{l}+v_{l}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $u+v$ +\end_inset + + también es combinación lineal de vectores en +\begin_inset Formula $\mathcal{S}$ +\end_inset + + y por tanto está en +\begin_inset Formula $<S>$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\alpha\in K$ +\end_inset + +, tenemos que +\begin_inset Formula $u=\alpha\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha\alpha_{k}u_{k}\in<\mathcal{S}>$ +\end_inset + +. + Finalmente, si +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + es un subespacio vectorial de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $\mathcal{S}$ +\end_inset + +, como toda combinación de vectores de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + está en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>\subseteq U$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un subconjunto +\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq V$ +\end_inset + + es un +\series bold +sistema de generadores +\series default + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>=V$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + es +\series bold +de dimensión finita +\series default + o +\series bold +finitamente generado +\series default + si tiene un sistema de generadores finito. + Estas definiciones también son válidas para subespacios vectoriales. + +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + es el subespacio +\series bold +generado +\series default + por +\begin_inset Formula $\mathcal{S}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $U=<\mathcal{S}>$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Dependencia e independencia lineal +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un conjunto +\begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq V$ +\end_inset + + es +\series bold +linealmente independiente +\series default + si la única forma de obtener el vector nulo como combinación lineal de + vectores de +\begin_inset Formula ${\cal S}$ +\end_inset + + es tomando todos los coeficientes nulos. + De lo contrario es +\series bold +linealmente dependiente +\series default +. + Así, +\begin_inset Formula $\{v\}$ +\end_inset + + es linealmente independiente si y sólo si +\begin_inset Formula $v\neq0$ +\end_inset + +, con lo que cualquier conjunto +\begin_inset Formula $\{0\}\subseteq{\cal S}$ +\end_inset + + es linealmente dependiente. + En +\begin_inset Formula $\mathbb{C_{R}}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{1,i\}$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + + con escalares reales) es linealmente independiente, mientras que en +\begin_inset Formula $\mathbb{C_{C}}$ +\end_inset + + es linealmente dependiente porque +\begin_inset Formula $1+(i)i=0$ +\end_inset + +. + Un subconjunto de un conjunto linealmente independiente también es linealmente + dependiente. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un conjunto +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + + con al menos dos vectores es linealmente dependiente si y sólo si alguno + de ellos es combinación lineal del resto. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Se tiene que existen +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}$ +\end_inset + + no todos nulos con +\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}v_{i}=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0$ +\end_inset + +. + Suponemos +\begin_inset Formula $\alpha_{j}\neq0$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\alpha_{j}v_{j}=-\sum_{i=1,i\neq j}^{m}\alpha_{i}v_{i}=-\alpha_{1}v_{1}-\dots-\alpha_{j-1}v_{j-1}-\alpha_{j+1}v_{j+1}-\dots-\alpha_{m}v_{m}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $v_{j}=-\sum_{i=1,i\neq j}^{m}(\alpha_{j}^{-1}\alpha_{i}v_{i})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $v_{j}$ +\end_inset + + es combinación lineal de +\begin_inset Formula $\{v_{i}\}_{1\leq i\leq m}$ +\end_inset + +, existen escalares +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\dots,\alpha_{m}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $v_{j}=\alpha_{1}v_{1}\dots,\alpha_{j-1}v_{j-1}+\alpha_{j+1}v_{j+1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=\sum_{i=1,i\neq j}^{m}\alpha_{i}v_{i}$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $0=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{j-1}v_{j-1}+(-1)v_{j}+\alpha_{j+1}v_{j+1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Bases. + Dimensión +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +base +\series default + de un espacio vectorial es un sistema de generadores linealmente independiente. + Así, +\begin_inset Formula $\{1\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $K_{K}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{(1,0,\dots,0),(0,1,0,\dots,0),\dots,(0,0,\dots,0,1)\}$ +\end_inset + + es +\series bold +base canónica +\series default + de +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{1,X,\dots,X^{n},\dots\}$ +\end_inset + + lo es de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$ +\end_inset + +. + Si llamamos +\begin_inset Formula $A_{ij}\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + a la matriz con un 1 en el lugar +\begin_inset Formula $ij$ +\end_inset + + y 0 en el resto, entonces +\begin_inset Formula $\{A_{ij}:1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + si y sólo si todo +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + + se expresa de modo único como combinación lineal de +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Como +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + es base, es sistema de generadores, por lo que todo vector de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + es combinación lineal de vectores de +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + +. + Ahora, sea +\begin_inset Formula $v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}v_{i}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $0=(\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n})-(\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}v_{n})$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $0=(\alpha_{1}-\beta_{1})v_{1}+\dots+(\alpha_{n}-\beta_{n})v_{n}$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + es linealmente independiente, se tiene que +\begin_inset Formula $\alpha_{1}-\beta_{1}=\dots=\alpha_{n}-\beta_{n}=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + se expresa de modo único. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + es entonces sistema de generadores y queda demostrar que es linealmente + dependiente. + Sean +\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{m}\in{\cal B}$ +\end_inset + +, como el 0 se representa de modo único, se tiene que si +\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0=0v_{1}+\dots+0v_{m}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{m}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $S=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + + es un conjunto linealmente independiente y +\begin_inset Formula $u\notin<S>$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $S\cup\{u\}$ +\end_inset + + es linealmente independiente. + +\series bold +Demostración: +\series default + Supongamos +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m},\beta$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}+\beta u=0$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\beta\neq0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\beta u=-(\alpha v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m})$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $u=-\beta^{-1}\alpha_{1}v_{1}-\dots-\beta^{-1}\alpha_{m}v_{m}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $u\in<S>$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $\beta=0$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{m}=0$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $S\cup\{u\}$ +\end_inset + + es linealmente independiente. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Todo espacio vectorial +\begin_inset Formula $V\neq\{0\}$ +\end_inset + + tiene una base. + +\series bold +Demostración +\series default + para espacios finitamente generados. + Sea +\begin_inset Formula $V=<u_{1},\dots,u_{m}>$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal A}$ +\end_inset + + el conjunto de subconjuntos +\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq\{u_{1},\dots,u_{m}\}$ +\end_inset + + linealmente independientes. + Sabemos que +\begin_inset Formula ${\cal A}\neq\emptyset$ +\end_inset + + porque como +\begin_inset Formula $V\neq\{0\}$ +\end_inset + + existe un +\begin_inset Formula $u_{i_{0}}\neq0$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $\{u_{i_{0}}\}$ +\end_inset + + es linealmente independiente. + Sea +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}\in{\cal A}$ +\end_inset + + un elemento de +\begin_inset Formula ${\cal A}$ +\end_inset + + con un máximo de vectores, entonces +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + si es sistema de generadores de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $u_{i}$ +\end_inset + + un elemento del conjunto de generadores de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $u_{i}\in{\cal B}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $u_{i}\in<{\cal B}>$ +\end_inset + +. + Si no, entonces +\begin_inset Formula ${\cal B}\cup\{u_{i}\}\subseteq\{u_{1},\dots,u_{m}\}$ +\end_inset + + tiene un elemento más que +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + +, que es un elemento de +\begin_inset Formula ${\cal A}$ +\end_inset + + con el número máximo de vectores, por lo que +\begin_inset Formula ${\cal B}\cup\{u_{i}\}\notin{\cal A}$ +\end_inset + + y será linealmente de +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +pen +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +dien +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +te, pero entonces +\begin_inset Formula $u_{i}\in<{\cal B}>$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + +. + Acabamos de probar que +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{m}\}\subseteq<{\cal B}>$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $V=<u_{1},\dots,u_{m}>\subseteq<{\cal B}>\subseteq V$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $<{\cal B}>=V$ +\end_inset + + y ya hemos demostrado que +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de Steinitz: +\series default + Si +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + + es un conjunto li +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +ne +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +al +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +men +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +te independiente, entonces se pueden sustituir +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + vectores de +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + por los vectores +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + + y obtener una nueva base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $m\le n$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Vemos que, como +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + + es linealmente independiente, entonces +\begin_inset Formula $v_{1}\neq0$ +\end_inset + +, y tenemos que +\begin_inset Formula $v_{1}=\alpha_{1}u_{1}+\dots+a_{n}u_{n}$ +\end_inset + + con algún +\begin_inset Formula $\alpha_{i}\neq0$ +\end_inset + +. + Podemos suponer que +\begin_inset Formula $\alpha_{1}\neq0$ +\end_inset + +, y queremos probar que +\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + es base. + Primero probamos que es sistema de generadores: +\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}=v_{1}-\alpha_{2}u_{2}-\dots-\alpha_{n}u_{n}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $u_{1}=\alpha_{1}^{-1}v_{1}-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{2}u_{2}-\dots-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{n}u_{n}$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $u_{1}$ +\end_inset + + es combinación lineal de +\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $<v_{1},u_{2},\dots,u_{n}>$ +\end_inset + + contiene un sistema de generadores, por lo que +\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + también lo es. + Ahora bien, sean +\begin_inset Formula $\beta_{1},\dots,\beta_{n}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}u_{n}=0$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula +\begin{eqnarray*} +0 & = & \beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}u_{n}\\ + & = & \beta_{1}(\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{n}u_{n})+\beta_{2}u_{2}+\dots+\beta_{n}u_{n}\\ + & = & \beta_{1}\alpha_{1}u_{1}+(\beta_{1}\alpha_{1}+\beta_{2})u_{2}+\dots+(\beta_{1}\alpha_{n}+\beta_{n})u_{n} +\end{eqnarray*} + +\end_inset + +Por tanto, como +\begin_inset Formula $\alpha_{1}\neq0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\beta_{1}=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\beta_{2}=\dots=\beta_{n}=0$ +\end_inset + + y el nuevo conjunto es también linealmente independiente. + De aquí además podemos concluir que todo conjunto de vectores linealmente + independiente de un espacio vectorial puede completarse a una base (añadiendo + vectores fuera del subespacio generado por este conjunto). +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Todas las bases de un espacio vectorial no nulo tienen el mismo número + de elementos. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + + bases de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + + es linealmente independiente, por el teorema de Steinitz tenemos que +\begin_inset Formula $m\leq n$ +\end_inset + +. + Análogamente, como +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + también lo es, entonces +\begin_inset Formula $n\leq m$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $m=n$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos la +\series bold +dimensión +\series default + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $\dim_{K}(V)$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\dim(V)$ +\end_inset + +) como el número de elementos de cualquier base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $V=\{0\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\dim(V)=0$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + no es finitamente generado, entonces +\begin_inset Formula $\dim_{K}(V)=\infty$ +\end_inset + +. + Por ejemplo, +\begin_inset Formula $\dim_{K}(K)=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\dim_{K}(K^{n})=n$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\dim(M_{m,n}(K))=mn$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\dim(\mathbb{R}[X])=\infty$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Si +\begin_inset Formula $\dim(V)=n$ +\end_inset + + entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo conjunto linealmente independiente de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + vectores es una base. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Consecuencia del teorema de Steinitz. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo conjunto de generadores de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + vectores es una base. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Siempre va a haber una base contenida en él y que va a tener +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + vectores. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $U\neq\emptyset$ +\end_inset + + es un subespacio vectorial de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\dim(U)\leq n$ +\end_inset + + y además +\begin_inset Formula $\dim(U)=n\iff U=V$ +\end_inset + +. +\series bold + +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\series default +Si +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + entonces es un conjunto de vectores de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + linealmente independiente y tiene como máximo +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + elementos, por lo que +\begin_inset Formula $\dim(U)\leq\dim(V)$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(V)$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + tiene +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + elementos y, por la primera propiedad, también es base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $U=<{\cal B}'>=V$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos el +\series bold +rango +\series default + de un conjunto de vectores como +\begin_inset Formula +\[ +\text{rang}(\{u_{1},\dots,u_{m}\})=\dim(<u_{1},\dots,u_{m}>) +\] + +\end_inset + +Así, si +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}\subseteq V$ +\end_inset + +, es fácil comprobar que: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{j},\dots,v_{i},\dots,v_{m}\})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\alpha\neq0\implies\text{rang}(\{v_{1},\dots v_{i},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,\alpha v_{i},\dots,v_{m}\})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i}+\alpha v_{j},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una forma de determinar el rango de un conjunto de vectores es ir haciendo + estas operaciones y eliminando posibles vectores nulos hasta encontrar + un conjunto linealmente independiente. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Operaciones elementales. + Matrices escalonadas. + Método Gauss-Jordan +\end_layout + +\begin_layout Standard +En una matriz +\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + +, a intercambiar dos columnas, multiplicar una fila por un +\begin_inset Formula $0\neq\alpha\in K$ +\end_inset + + o añadir una fila a otra multiplicada por un +\begin_inset Formula $\alpha\in K$ +\end_inset + + se les llama +\series bold +operaciones elementales por filas +\series default +. + Las +\series bold +operaciones elementales por columnas +\series default + se definen de forma análoga. + Si +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es la matriz resultante de aplicar una serie de operaciones elementales + por filas a +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, entonces el subespacio de +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + + generado por las filas de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es el mismo que el generado por las filas de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una matriz +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + está en forma +\series bold +escalonada por filas +\series default + si las filas nulas, de haberlas, son las últimas, el primer elemento no + nulo de cada fila no nula es un 1 (llamado +\series bold +pivote +\series default +) y el pivote de cada fila no nula está en una columna posterior a la de + cada uno de los pivotes anteriores. + En las matrices escalonadas por filas, las filas no nulas son linealmente + independientes. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si en cada columna que contenga un pivote el resto de elementos son nulos, + la matriz está en forma +\series bold +escalonada reducida por filas +\series default +\SpecialChar endofsentence + Cambiando filas por columnas tendríamos una matriz en forma +\series bold +escalonada por columnas +\series default + o +\series bold +escalonada reducida por columnas +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Método de eliminación Gauss-Jordan: +\series default + Toda matriz se puede llevar a forma escalonada (también escalonada reducida) + mediante operaciones elementales por filas. + Algoritmo: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Encontrar el primer elemento +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + no nulo de la primera columna no nula e intercambiar su fila con la primera. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Multiplicarla por +\begin_inset Formula $a^{-1}$ +\end_inset + + para obtener un pivote. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Hacer operaciones +\begin_inset Formula $Fila_{i}-cFila_{1}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es el elemento de cada fila debajo del pivote. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Repetir el proceso con la matriz resultado de eliminar la primera fila hasta + terminar la matriz. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para obtener la escalonada reducida, hacer operaciones +\begin_inset Formula $Fila_{i}-cFila_{k}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $i<k$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es el elemento encima del pivote de la fila +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para obtener la base de un subespacio +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + + generado por +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + vectores, escalonamos la matriz +\begin_inset Formula $m\times n$ +\end_inset + + cuyas filas son los vectores generadores del subespacio, y los vectores + correspondientes a filas no nulas forman una base. + Los vectores fila de cada nueva matriz son combinaciones lineales de los + iniciales. + Para obtener los coeficientes de estas combinaciones, anexamos la matriz + identidad a la derecha de la original, separada por una línea, y le aplicamos + también las operaciones, sin considerar estos coeficientes como parte de + la matriz a escalonar. +\end_layout + +\begin_layout Section +Coordenadas. + Cambio de base +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las +\series bold +coordenadas +\series default + de un vector +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + + respecto a la base +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + son la única +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-upla +\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}}=(x_{1},\dots,x_{n})\in K^{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $v=x_{1}u_{1}+\dots+x_{n}u_{n}$ +\end_inset + +, de forma que dos vectores de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + son iguales si y solo si tienen las mismas coordenadas respecto a una base + +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + +, y operar con vectores en +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + es equivalente a operar en +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + + con las +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-uplas de sus coordenadas, pues +\begin_inset Formula $[v+v']_{{\cal B}}=(x_{1}+x'_{1},\dots,x_{n}+x'_{n})=[v]_{{\cal B}}+[v']_{{\cal B}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $[rv]_{{\cal B}}=(rx_{1},\dots,rx_{n})=r[v]_{{\cal B}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Cambio de coordenadas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'=\{u'_{1},\dots,u'_{n}\}$ +\end_inset + + bases de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, y llamamos +\begin_inset Formula $[u'_{j}]_{{\cal B}}=(p_{1j},\dots,p_{nj})$ +\end_inset + +, de forma que +\begin_inset Formula $u'_{j}=\sum_{i=1}^{n}p_{ij}u_{i}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}'}=(x'_{1},\dots,x'_{n})$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +v=x'_{1}u'_{1}+\dots+x'_{n}u'_{n}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}u'_{j}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}\left(\sum_{i=1}^{n}p_{ij}u_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}x'_{j}p_{ij}u_{i}=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}x'_{j}p_{ij}\right)u_{i} +\] + +\end_inset + +De forma que si +\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}}=(x_{1},\dots,x_{n})$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $x_{i}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}p_{ij}$ +\end_inset + +. + A las ecuaciones +\begin_inset Formula +\[ +\left.\begin{array}{ccccccc} +x_{1} & = & p_{11}x'_{1} & + & \dots & + & p_{1n}x'_{n}\\ + & \vdots\\ +x_{n} & = & p_{n1}x'_{1} & + & \dots & + & p_{nn}x'_{n} +\end{array}\right\} +\] + +\end_inset + +las llamamos +\series bold +ecuaciones del cambio de base de +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Producto de matrices +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B=(b_{ij})\in M_{n,p}(K)$ +\end_inset + +, definimos +\begin_inset Formula $AB=(c_{ij})\in M_{m,p}(K)$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$ +\end_inset + +. + En general no es conmutativo, aun si ambos productos se pueden efectuar + y fuesen matrices del mismo tamaño. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Asociativa: +\series default + +\begin_inset Formula $(AB)C=A(BC)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +((AB)C)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}(AB)_{ik}C_{kj}=\sum_{k=1}^{p}\sum_{l=1}^{n}A_{il}B_{lk}C_{kj}=\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}A_{il}B_{lk}C_{kj}=\\ +=\sum_{l=1}^{n}A_{il}\left(\sum_{k=1}^{p}B_{lk}C_{kj}\right)=\sum_{l=1}^{n}A_{il}(BC)_{lj}=(A(BC))_{ij} +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Distributiva respecto de la suma: +\series default + +\begin_inset Formula $A(B+C)=AB+AC$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La +\series bold +matriz identidad +\series default +, +\begin_inset Formula $I_{n}=(\delta_{ij})$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\delta_{ii}=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\delta_{ij}=0$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $i\neq j$ +\end_inset + +, satisface +\begin_inset Formula $AI_{n}=A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $I_{n}B=B$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B\in M_{n,m}(K)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula +\[ +C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\delta_{kj}\underset{\text{(el resto son \ensuremath{=0})}}{=}A_{ij}\delta_{jj}=A_{ij} +\] + +\end_inset + +La demostración de que +\begin_inset Formula $I_{n}B=B$ +\end_inset + + es análoga. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + es +\series bold +invertible +\series default + si existe +\begin_inset Formula $B\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $AB=BA=I_{n}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es la +\series bold +matriz inversa +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y se representa +\begin_inset Formula $A^{-1}$ +\end_inset + +. + Supongamos que +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + son inversas de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $C=CI_{n}=C(AB)=(CA)B=I_{n}B=B$ +\end_inset + +, por lo que la inversa es única. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + son invertibles, entonces +\begin_inset Formula $AB$ +\end_inset + + es también invertible, y +\begin_inset Formula $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula +\[ +(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_{n}B=B^{-1}B=I_{n} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las ecuaciones de cambio de base se pueden expresar como +\begin_inset Formula +\[ +\left(\begin{array}{c} +x_{1}\\ +x_{2}\\ +\vdots\\ +x_{n} +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} +p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ +p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ +p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} +x'_{1}\\ +x'_{2}\\ +\vdots\\ +x'_{n} +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +donde las columnas de +\begin_inset Formula $(p_{ij})$ +\end_inset + + son los vectores de +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + respecto a +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + +. + Abreviadamente, +\begin_inset Formula $X_{{\cal B}}=M_{{\cal B}{\cal B}'}X'_{{\cal B}'}$ +\end_inset + +, donde a +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}{\cal B}'}$ +\end_inset + + la llamamos +\series bold +matriz de cambio de base +\series default + de +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + +. + Podemos deducir que +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}{\cal B}}=I_{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}''{\cal B}}=M_{{\cal B}''{\cal B}'}M_{{\cal B}'{\cal B}}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}'{\cal B}}M_{{\cal B}{\cal B}'}=M_{{\cal B}{\cal B}'}M_{{\cal B}'{\cal B}}=I_{n}$ +\end_inset + +. + Así, toda matriz de cambio de base es invertible, y viceversa. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +¿Buscar la demostración de que si es invertible también es de cambio de + base? +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Operaciones con subespacios +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\{U_{i}\}_{i\in I}\neq\emptyset$ +\end_inset + + es un conjunto de subespacios vectoriales de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}U_{i}$ +\end_inset + + también es subespacio vectorial de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, pero en general +\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}U_{i}$ +\end_inset + + no es subespacio vectorial. + Llamamos +\series bold +suma +\series default + de +\begin_inset Formula $U_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U_{2}$ +\end_inset + + al subespacio +\begin_inset Formula +\[ +U_{1}+U_{2}=\{u_{1}+u_{2}|u_{1}\in U_{1},u_{2}\in U_{2}\} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Este es el menor subespacio vectorial +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $U_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U_{2}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $u\in U_{1}$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $0\in U_{2}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $u=u+0\in U_{1}+U_{2}$ +\end_inset + +, y viceversa, de modo que +\begin_inset Formula $U_{1}\cup U_{2}\subseteq U_{1}+U_{2}$ +\end_inset + + y además +\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}\neq\emptyset$ +\end_inset + +. + Demostraremos ahora que es un espacio vectorial. + Si +\begin_inset Formula $v,v'\in U_{1}+U_{2}$ +\end_inset + +, existirán +\begin_inset Formula $u_{1},u'_{1}\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u_{2},u'_{2}\in U_{2}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $v=u_{1}+u_{2}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v'=u'_{1}+u'_{2}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $\alpha,\alpha'\in K$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula +\[ +\alpha v+\alpha'v'=\alpha u_{1}+\alpha u_{2}+\alpha'u'_{1}+\alpha'u'_{2}=(\alpha u_{1}+\alpha'u'_{1})+(\alpha u_{2}+\alpha'u'_{2})\in U_{1}+U_{2} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +fórmula de Grassmann +\series default + o +\series bold +teorema de Grassman +\series default + nos dice que si +\begin_inset Formula $U_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U_{2}$ +\end_inset + + son subespacios de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + tiene dimensión finita, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\dim(U_{1})+\dim(U_{2})=\dim(U_{1}\cap U_{2})+\dim(U_{1}+U_{2}) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Demostración. + +\series default + Sea +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t}\}$ +\end_inset + + base de +\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$ +\end_inset + +, que completamos por un lado a la base +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r}\}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $U_{1}$ +\end_inset + + y por otro a la base +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $U_{2}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$ +\end_inset + + es sistema de generadores de +\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$ +\end_inset + +. + Queda ver que es además linealmente independiente. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Supongamos +\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{t}u_{t}+\alpha_{t+1}u_{t+1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}+\beta_{t+1}v_{t+1}+\dots+\beta_{s}v_{s}=0$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}=-\beta_{t+1}v_{t+1}-\dots-\beta_{s}v_{s}\in U_{1}\cap U_{2}$ +\end_inset + +. + Pero como +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t}\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $-\beta_{t+1}v_{t+1}-\dots-\beta_{s}v_{s}=\gamma_{1}u_{1}+\dots+\gamma_{t}u_{t}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\gamma_{1}u_{1}+\dots+\gamma_{t}u_{t}+\beta_{t+1}v_{t+1}+\dots+\beta_{s}v_{s}=0$ +\end_inset + +. + Al ser +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$ +\end_inset + + base de +\begin_inset Formula $U_{2}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\beta_{t+1}=\dots=\beta_{s}=0$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}=0$ +\end_inset + +. + Pero como +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r}\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $U_{1}$ +\end_inset + + se tiene que +\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{r}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, se tiene que +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$ +\end_inset + + es una familia linealmente independiente y por tanto una base del subespacio + +\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$ +\end_inset + +, que tendrá dimensión +\begin_inset Formula $\dim(U_{1}+U_{2})=r+s-t=\dim(U_{1})+\dim(U_{2})-\dim(U_{1}\cap U_{2})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $U_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U_{2}$ +\end_inset + + subespacios de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + están en +\series bold +suma directa +\series default + si +\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$ +\end_inset + +. + Se dice entonces que +\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$ +\end_inset + + es una suma directa y se representa +\begin_inset Formula $U_{1}\oplus U_{2}$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $\dim(U_{1}\oplus U_{2})=\dim(U_{1})+\dim(U_{2})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una suma de subespacios +\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$ +\end_inset + + es directa si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall v\in U_{1}+U_{2},\exists!u_{1}\in U_{1},u_{2}\in U_{2}:v=u_{1}+u_{2}$ +\end_inset + +. + Llamamos a +\begin_inset Formula $u_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u_{2}$ +\end_inset + + las +\series bold +componentes +\series default + de +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $u_{1}+u_{2}=u'_{1}+u'_{2}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $u_{1},u'_{1}\in U_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u_{2},u'_{2}\in U_{2}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $u_{1}-u'_{1}=u'_{2}-u_{2}\in U_{1}\cap U_{2}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $u_{1}-u'_{1}=u'_{2}-u_{2}=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u_{1}=u'_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u_{2}=u'_{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $u\in U_{1}\cap U_{2}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $u=u+0=0+u$ +\end_inset + +, pero como +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + se expresa de modo único como suma de un vector de +\begin_inset Formula $U_{1}$ +\end_inset + + y otro de +\begin_inset Formula $U_{2}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $u=0$ +\end_inset + +, y por tanto +\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + subespacio vectorial de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + existe +\begin_inset Formula $U'$ +\end_inset + +, llamado +\series bold +complementario +\series default + de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, tal que +\begin_inset Formula $V=U\oplus U'$ +\end_inset + +, pues si expandimos la base +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r}\}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + a una base +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r},u_{r+1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $U'=<u_{r+1},\dots,u_{n}>$ +\end_inset + + satisface la condición. + El complementario no tiene por qué ser único. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una suma +\begin_inset Formula $U_{1}+\dots+U_{k}$ +\end_inset + + es suma directa si todo vector de la suma se expresa de modo único como + suma de un vector de cada +\begin_inset Formula $U_{i}$ +\end_inset + +, lo que ocurre si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall i\in\{1,\dots,k\},U_{i}\cap(\sum_{1\leq j\leq k,j\neq i}U_{j})=\{0\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k}\in V$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $<u_{1},\dots,u_{k}>=<u_{1}>+\dots+<u_{k}>$ +\end_inset + +. + Si además son linealmente independientes, entonces +\begin_inset Formula $<u_{1},\dots,u_{k}>=<u_{1}>\oplus\dots\oplus<u_{n}>$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $V=<u_{1}>\oplus\dots\oplus<u_{n}>$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/algl/n2.lyx b/algl/n2.lyx new file mode 100644 index 0000000..bd834d3 --- /dev/null +++ b/algl/n2.lyx @@ -0,0 +1,2102 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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u,u'\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(\alpha u)=\alpha f(u)\forall\alpha\in K,u\in U$ +\end_inset + +, es decir, si +\begin_inset Formula $f(\sum\alpha_{i}u_{i})=\sum\alpha_{i}f(u_{i})$ +\end_inset + +. + Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La +\series bold +aplicación identidad: +\series default + +\begin_inset Formula $Id_{V}:V\rightarrow V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $Id_{V}(v)=v$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La +\series bold +aplicación inclusión: +\series default + +\begin_inset Formula $i:U\subseteq V\rightarrow V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $i(u)=u$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La +\series bold +aplicación lineal nula: +\series default + +\begin_inset Formula $0:U\rightarrow V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0(u)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La +\series bold +homotecia de razón +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +: +\series default + +\begin_inset Formula $h_{\alpha}:V\rightarrow V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $h_{\alpha}(v)=\alpha v$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Las +\series bold +proyecciones de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + sobre +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + +, +\series default + con +\begin_inset Formula $V=U\oplus W$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $p_{U}:V\rightarrow U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{W}:V\rightarrow W$ +\end_inset + +, tales que si +\begin_inset Formula $v=u+w$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $u\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $w\in W$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $p_{U}(v)=u$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{W}(v)=w$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La aplicación +\begin_inset Formula $f_{A}:K^{n}\rightarrow K^{m}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + +, dada por +\begin_inset Formula +\[ +f_{A}(v)=A\left(\begin{array}{c} +|\\ +v\\ +| +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Tenemos que +\begin_inset Formula $f(0_{U})=0_{V}$ +\end_inset + +, y que +\begin_inset Formula $f(-u)=-f(u)$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g:V\rightarrow W$ +\end_inset + + son aplicaciones lineales, +\begin_inset Formula $g\circ f:U\rightarrow W$ +\end_inset + + también lo es. +\end_layout + +\begin_layout Section +Aplicaciones lineales y subespacios. + Núcleo e Imagen +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +núcleo +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + se define como +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)=\ker(f)=f^{-1}(\{0\})$ +\end_inset + +, y la +\series bold +imagen +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $\text{Im}(f)=\{f(u)\}_{u\in U}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $U'\leq U$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $f(U')\leq V$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $V'\leq V$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)\leq f^{-1}(V')\leq U$ +\end_inset + +. + En particular, +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $\text{Im}(f)$ +\end_inset + + son espacios vectoriales, y si +\begin_inset Formula $U'=<u_{1},\dots,u_{r}>\leq U$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f(U')=<f(u_{1}),\dots,f(u_{r})>$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $u_{1},u_{2}\in U,\alpha_{1},\alpha_{2}\in K$ +\end_inset + +, y sean +\begin_inset Formula $v_{1}=f(u_{1}),v_{2}=f(u_{2})\in f(U')$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}=\alpha_{1}f(u_{1})+\alpha_{2}f(u_{2})=f(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})\in f(U')$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $f(U')$ +\end_inset + + es un espacio vectorial. + Ahora bien, si +\begin_inset Formula $V'$ +\end_inset + + es un subespacio de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\{0\}\subseteq V'$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $f^{-1}(\{0\})=\text{Nuc}(f)\subseteq f^{-1}(V')$ +\end_inset + +. + Entonces si +\begin_inset Formula $u_{1},u_{2}\in f^{-1}(V')$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\alpha_{2}\in K$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f(\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2})=\alpha_{1}f(u_{1})+\alpha_{2}f(u_{2})\in V'$ +\end_inset + +, y por lo tanto +\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}\in f^{-1}(V')$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f^{-1}(V')$ +\end_inset + + es un espacio vectorial. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Para +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\dim(U)$ +\end_inset + + finita, entonces +\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(\text{Nuc}(f))+\dim(\text{Im}(f))$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ +\end_inset + + base de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\text{Im}(f)=<f(v_{1}),\dots f(v_{n})>$ +\end_inset + + es de dimensión finita. + Ahora sea +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{k}\}$ +\end_inset + + base de +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)\leq U$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $k\leq n$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $f(v_{1})=\dots=f(v_{k})=0$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\text{Im}(f)=<f(v_{1}),\dots,f(v_{k}),f(v_{k+1}),\dots,f(v_{n})>=<f(v_{k+1}),\dots,f(v_{n})>$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\{f(v_{k+1}),\dots,f(v_{n})\}$ +\end_inset + + es sistema de generadores de +\begin_inset Formula $\text{Im}(f)$ +\end_inset + +. + A continuación mostramos que es linealmente independiente. + Sea +\begin_inset Formula $0=\alpha_{k+1}f(v_{k+1})+\dots+\alpha_{n}f(v_{n})=f(\alpha_{k+1}v_{k+1}+\dots+\alpha_{n}v_{n})$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\alpha_{k+1}v_{k+1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}\in\text{Nuc}(f)$ +\end_inset + +, por lo que existen +\begin_inset Formula $\beta_{1},\dots,\beta_{k}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $\alpha_{k+1}v_{k+1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}=\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{k}v_{k}$ +\end_inset + +. + Pero entonces +\begin_inset Formula $\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{k}v_{k}-\alpha_{k+1}v_{k+1}-\dots-\alpha_{n}v_{n}=0$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\beta_{1}=\dots=\beta_{k}=\alpha_{k+1}=\dots=\alpha_{n}=0$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $\{v_{k+1},\dots,v_{n}\}$ +\end_inset + + es linealmente independiente y por ello +\begin_inset Formula $\{f(v_{k+1}),\dots,f(v_{n})\}$ +\end_inset + + también, por lo que es base de +\begin_inset Formula $\text{Im}(f)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +rango +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + a la dimensión de la imagen: +\begin_inset Formula $\text{rang}(f)=\dim(\text{Im}(f))$ +\end_inset + +. + Así, dada +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + base de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f(U)=<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula +\[ +\text{rang}(f)=\dim(\text{Im}(f))=\dim(<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>)=\text{rang}(\{f(u_{1}),\dots,f(u_{n})\}) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + es una aplicación lineal y +\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(V)<\infty$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +f\text{ inyectiva}\iff f\text{ suprayectiva}\iff f\text{ biyectiva}\iff\text{rang}(f)=\dim(U)\iff\text{Nuc}(f)=\{0\} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $1\iff2\iff3]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Equivalen al hecho de que, para +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + conjuntos finitos, es lo mismo decir que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + sea inyectiva, suprayectiva o biyectiva. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $3\iff4]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\text{rang}(f)=\dim(\text{Im}(U))\overset{\text{(supray.)}}{=}\text{dim}(V)$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + no fuera suprayectiva, entonces +\begin_inset Formula $\dim(\text{Im}(U))<\dim(V)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $1\implies5]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $u\in\text{Nuc}(f)\implies f(u)=0_{V}=f(0_{U})\implies u=0_{U}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $5\implies1]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)=\{0\}\implies\left(f(u)=f(u')\implies0=f(u-u')\implies u-u'\in\text{Nuc}(f)\implies u=u'\right)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +El homomorfismo +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + es un +\series bold +isomorfismo de espacios vectoriales +\series default + si es biyectivo, un +\series bold +endomorfismo +\series default + de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $U=V$ +\end_inset + + y un +\series bold +automorfismo +\series default + es un endomorfismo biyectivo. + Ahora, dado el isomorfismo +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f^{-1}:V\rightarrow U$ +\end_inset + + es una aplicación lineal y por tanto un isomorfismo. + +\series bold +Demostración: +\series default + Consideramos +\begin_inset Formula $u=f^{-1}(v)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u'=f^{-1}(v')$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $f(u+u')=f(u)+f(u')=v+v'$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $f^{-1}(v+v')=u+u'=f^{-1}(v)+f^{-1}(v')$ +\end_inset + +. + Del mismo modo, +\begin_inset Formula $f(\alpha u)=\alpha f(u)=\alpha v$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $f^{-1}(\alpha v)=\alpha u=\alpha f^{-1}(v)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + son +\series bold +isomorfos +\series default + ( +\begin_inset Formula $U\cong V$ +\end_inset + +) si existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + +. + Podemos comprobar que la relación es de equivalencia, y si +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacios vectoriales, entonces +\begin_inset Formula $U\cong V\iff\dim(U)=\dim(V)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $U\cong V\implies\dim(U)=\dim(\text{Nuc}(f))+\dim(\text{Im}(f))=0+\dim(V)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow K^{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g:V\rightarrow K^{n}$ +\end_inset + + isomorfismos con +\begin_inset Formula $f(u)=[u]_{{\cal B}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g(v)=[v]_{\beta'}$ +\end_inset + + ; entonces +\begin_inset Formula $g^{-1}\circ f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + también es un isomorfismo. +\end_layout + +\begin_layout Section +Determinación de una aplicación lineal +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacios vectoriales con +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + base de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$ +\end_inset + + vectores cualesquiera de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, existe una única +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(u_{i})=v_{i}\forall i$ +\end_inset + +, pues es aquella dada por +\begin_inset Formula $f(\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{n}u_{n})=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$ +\end_inset + +. + Esto también se cumple para espacios de dimensión infinita. +\end_layout + +\begin_layout Standard +También, si +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + (la cual puede ser infinita) y +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + lineal entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es inyectiva si y sólo si +\begin_inset Formula $\{f(u_{i})\}_{i\in I}$ +\end_inset + + es linealmente independiente. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $0=\alpha_{1}f(u_{1})+\dots+\alpha_{k}f(u_{k})=f(\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k})\implies\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}\in\text{Nuc}(f)=\{0\}\implies\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}=0\implies\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Partimos de que +\begin_inset Formula $\{f(u_{i})\}_{i\in I}$ +\end_inset + + es linealmente independiente. + Sea +\begin_inset Formula $u\in\text{Nuc}(f)$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $u=\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $0=f(u)=\alpha_{1}f(u_{1})+\dots+\alpha_{k}f(u_{k})\implies\alpha_{i}=0\forall i\implies u=0$ +\end_inset + +, por lo que entonces +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)=\{0\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es suprayectiva si y sólo si +\begin_inset Formula $\{f(u_{i})\}_{i\in I}$ +\end_inset + + es una familia de generadores de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula +\[ +f\text{ suprayectiva}\iff f(U)=V\iff<\{f(u_{i})\}_{i\in I}>=V +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es biyectiva, y por tanto isomorfismo, si y sólo si +\begin_inset Formula $\{f(u_{i})\}_{i\in I}$ +\end_inset + + es +\begin_inset space \space{} +\end_inset + + base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Representación matricial de una aplicación lineal. + Rango de una matriz. + Matrices equivalentes +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacios vectoriales de dimensión finita, +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'=\{v_{1},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + + base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + es un homomorfismo, entonces para cada +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + existirán +\begin_inset Formula $a_{ij}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula +\[ +f(u_{j})=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}v_{i} +\] + +\end_inset + +Así, si +\begin_inset Formula $[u]_{{\cal B}}=(x_{1},\dots,x_{n})$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $u=\sum_{j=1}^{n}x_{j}u_{j}\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula +\[ +f(u)=f\left(\sum_{j=1}^{n}x_{j}u_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n}x_{j}f(u_{j})=\sum_{j=1}^{n}x_{j}\left(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(x_{j}a_{ij})v_{i}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)v_{i} +\] + +\end_inset + +por lo que +\begin_inset Formula $[f(u)]_{{\cal B}'}=(\sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\dots,\sum_{j=1}^{n}a_{mj}x_{j})$ +\end_inset + +, de modo que, si +\begin_inset Formula $[f(u)]_{{\cal B}'}=(y_{1},\dots,y_{m})$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\left(\begin{array}{c} +y_{1}\\ +\vdots\\ +y_{m} +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} +a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ +\vdots & \ddots & \vdots\\ +a_{m1} & \cdots & a_{mn} +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} +x_{1}\\ +\vdots\\ +x_{n} +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Siendo las columnas de +\begin_inset Formula $(a_{ij})$ +\end_inset + + los +\begin_inset Formula $[f(u_{j})]_{{\cal B}'}$ +\end_inset + +, es decir, las imágenes de los elementos de +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + respecto de +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $[f(u)]_{{\cal B}'}=A[u]_{{\cal B}}$ +\end_inset + +, lo que se conoce como +\series bold +representación matricial de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + respecto a las bases +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + +\series default +. + A la matriz +\begin_inset Formula $(a_{ij})$ +\end_inset + + se le llama +\series bold +matriz de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + +\series default + o +\series bold +matriz asociada a +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + respecto a las bases +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + +\series default +, y se denomina +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula +\[ +[f(u)]_{{\cal B}'}=M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)[u]_{{\cal B}} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Tenemos que +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + está completamente determinada por +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, y de igual modo, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + está univocamente determinada por +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g:V\rightarrow W$ +\end_inset + + son aplicaciones lineales y +\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}_{3}$ +\end_inset + + son bases respectivas de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{1}}(g\circ f)=M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)M_{{\cal B}_{2},{\cal B}_{1}}(f)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para cada +\begin_inset Formula $u\in U,v\in V$ +\end_inset + +, tenemos que +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}_{2},{\cal B}_{1}}(f)[u]_{{\cal B}_{1}}=[f(u)]_{{\cal B}_{2}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)[v]_{{\cal B}_{2}}=[g(v)]_{{\cal B}_{3}}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)M_{{\cal B}_{2},{\cal B}_{1}}(f)[u]_{{\cal B}_{1}}=M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)[f(u)]_{{\cal B}_{2}}=[g(f(u))]_{{\cal B}_{3}}=[(g\circ f)(u)]_{{\cal B}_{3}} +\] + +\end_inset + +y por la unicidad de la matriz de una aplicación lineal respecto a dos bases, + se tiene que +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{1}}(g\circ f)=M_{{\cal B}_{3},{\cal B}_{2}}(g)M_{{\cal B}_{2},{\cal B}_{1}}(f)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacios vectoriales con bases respectivas +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + + una aplicación lineal y +\begin_inset Formula $A=M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es un isomorfismo si y sólo si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es invertible, y entonces +\begin_inset Formula $A^{-1}=M_{{\cal B},{\cal B}'}(f^{-1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $B=M_{{\cal B},{\cal B}'}(f^{-1})$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula +\[ +AB=M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)M_{{\cal B},{\cal B}'}(f^{-1})=M_{{\cal B}',{\cal B}'}(f\circ f^{-1})=M_{{\cal B}',{\cal B}'}(Id_{V})=I_{n} +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +BA=M_{{\cal B},{\cal B}'}(f^{-1})M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)=M_{{\cal B},{\cal B}}(f^{-1}\circ f)=M_{{\cal B},{\cal B}}(Id_{U})=I_{n} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Al ser invertible es cuadrada, por lo que +\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(V)=n$ +\end_inset + +, y si consideramos +\begin_inset Formula $g:V\rightarrow U$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $M_{{\cal B},{\cal B}'}(g)=A^{-1}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B},{\cal B}}(g\circ f)=M_{{\cal B},{\cal B}'}(g)M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)=A^{-1}A=I_{n}=M_{{\cal B},{\cal B}}(Id_{U})\implies g\circ f=Id_{U} +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B}',{\cal B}'}(f\circ g)=M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)M_{{\cal B},{\cal B}'}(g)=AA^{-1}=I_{n}=M_{{\cal B}',{\cal B}'}(Id_{V})\implies f\circ g=Id_{V} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, si +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + son bases de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $M_{{\cal B},{\cal B}'}=M_{{\cal B},{\cal B}'}(Id_{V})$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B}',{\cal B}}^{-1}=(M_{{\cal B}',{\cal B}}(Id_{V}))^{-1}=M_{{\cal B},{\cal B}'}(Id_{V}^{-1})=M_{{\cal B},{\cal B}'}(Id_{V})=M_{{\cal B},{\cal B}'} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +También se tiene que si +\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}$ +\end_inset + + son bases de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'_{2}$ +\end_inset + + son bases de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B}'_{2},{\cal B}_{2}}(f)=M_{{\cal B}'_{2},{\cal B}_{2}}(Id_{V}\circ f\circ Id_{U})=M_{{\cal B}'_{2},{\cal B}'_{1}}\cdot M_{{\cal B}'_{1}{\cal B}_{1}}(f)\cdot M_{{\cal B}_{1},{\cal B}_{2}} +\] + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $A,B\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + son +\series bold +equivalentes +\series default + si existen matrices invertibles +\begin_inset Formula $P\in M_{m}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $B=PAQ$ +\end_inset + +. + Esta es una relación de equivalencia. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se llama +\series bold +rango +\series default + de +\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + al máximo de columnas linealmente independientres consideradas como vectores + de +\begin_inset Formula $K^{m}$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\dim(<C_{1},\dots,C_{n}>)$ +\end_inset + +, y por tanto +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)\leq m,n$ +\end_inset + +. + Dado que las columnas de +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + son las imágenes en +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + de los elementos de +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + sobre +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\text{rang}(M_{{\cal B}',{\cal B}}(f))=\text{rang}(f)$ +\end_inset + +, y como las matrices invertibles corresponden a isomorfismos, se tiene + que +\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + es invertible si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=n$ +\end_inset + +, para lo que basta con considerar el homomorfismo +\begin_inset Formula $f:K^{n}\rightarrow K^{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $M_{{\cal C},{\cal C}}(f)=A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacios vectoriales +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + con dimensiones respectivas +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + +, y el homomorfismo +\begin_inset Formula $f:U\rightarrow V$ +\end_inset + +, existen bases +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)=\left(\begin{array}{c|c} +I_{r} & 0\\ +\hline 0 & 0 +\end{array}\right)\in M_{m,n}(K) +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $r=\text{rang}(f)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $r=\text{rang}(f)$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\dim(\text{Nuc}(f))=n-r$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $\{u_{r+1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)$ +\end_inset + + que se extiende a la base +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{r},u_{r+1},\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f(u_{r+1})=\dots=f(u_{n})=0$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $f(u_{1}),\dots,f(u_{r})$ +\end_inset + + son linealmente dependientes, dado que si +\begin_inset Formula $\alpha_{1}f(u_{1})+\dots+\alpha_{r}f(u_{r})=0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}\in\text{Nuc}(f)=<u_{r+1},\dots,u_{n}>$ +\end_inset + + y como +\begin_inset Formula $<u_{1},\dots,u_{r}>\cap<u_{r+1},\dots,u_{n}>=\{0\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{r}=0$ +\end_inset + +. + Si extendemos este conjunto a la base +\begin_inset Formula ${\cal B}'=\{f(u_{1}),\dots,f(u_{r}),v_{r+1},\dots,v_{m}\}$ +\end_inset + +, se tiene la +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + buscada. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Toda +\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + es equivalente a una de esta forma, con +\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $f:K^{n}\rightarrow K^{m}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $M_{{\cal C}',{\cal C}}(f)=A$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}',{\cal B}}(f)=M_{{\cal B}',{\cal {\cal C}}'}\cdot A\cdot M_{{\cal C},{\cal B}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +matriz traspuesta +\series default + de +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + a la matriz +\begin_inset Formula $A^{t}=(b_{ij})\in M_{n,m}(K)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $b_{ij}=a_{ji}$ +\end_inset + +. + Se verifica que +\begin_inset Formula $(A^{t})^{t}=A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(AC)^{t}=C^{t}A^{t}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es invertible entonces +\begin_inset Formula $A^{t}$ +\end_inset + + también lo es y +\begin_inset Formula $(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$ +\end_inset + +. + Así, si +\begin_inset Formula +\[ +B=\left(\begin{array}{c|c} +I_{r} & 0\\ +\hline 0 & 0 +\end{array}\right)\in M_{m,n}(K) +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A=M_{m,n}(K)$ +\end_inset + +, existirán +\begin_inset Formula $P\in M_{m}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $B=PAQ$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $Q^{t}A^{t}P^{t}=(PAQ)^{t}=B^{t}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\text{rang}(B^{t})=\text{rang}(B)$ +\end_inset + +, y por tanto +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\text{rang}(A^{t})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Matrices elementales. + Aplicaciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +matriz elemental +\series default + de tamaño +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + a toda matriz obtenida al efectuar una operación elemental (por filas o + columnas) en +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $E_{n}(i,j)$ +\end_inset + + es la resultante de intercambiar las filas +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + +, o las columnas +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + +, en +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $E_{n}(i,j)^{-1}=E_{n}(i,j)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $E_{n}(r[i])$ +\end_inset + + es la resultante de multiplicar por +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + la fila +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, o la columna +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, en +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $E_{n}(r[i])^{-1}=E_{n}(r^{-1}[i])$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $E_{n}([i]+r[j])$ +\end_inset + + es la resultante de añadir a la fila +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + la fila +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + multiplicada por +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +, o a la columna +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + la columna +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + multiplicada por +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +, en +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $E_{n}([i]+r[j])^{-1}=E_{n}([i]-r[j])$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + se obtiene al realizar una operación elemental por filas en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + + al realizar la misma en +\begin_inset Formula $I_{m}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $B=EA$ +\end_inset + +. + Del mismo modo, si +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + se obtiene de aplicar una operación elemental por columnas en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + + al aplicarla a +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $B=AE$ +\end_inset + +. + Así, realizar una serie de estas operaciones en una matriz equivale a multiplic +arla por uno o ambos lados por un producto de matrices elementales, el cual + es invertible. + Dada una matriz +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, para obtener las matrices +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula +\[ +PAQ=\left(\begin{array}{c|c} +I_{r} & 0\\ +\hline 0 & 0 +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +podemos partir de +\begin_inset Formula +\[ +\left(\begin{array}{c|c} +A & I_{m}\\ +\hline I_{n} +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +y realizar operaciones elementales hasta llegar a una matriz de la forma +\begin_inset Formula +\[ +\left(\begin{array}{c|c} +\begin{array}{c|c} +I_{r} & 0\\ +\hline 0 & 0 +\end{array} & P\\ +\hline Q +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + es invertible cuando tiene rango precisamente +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, por lo que al hacer operaciones elementales por filas para obtener una + matriz escalonada reducida, esta será precisamente +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + +, de forma que +\begin_inset Formula $(E_{k}\cdots E_{1})A=I_{n}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $A^{-1}=E_{k}\cdots E_{1}$ +\end_inset + +, de forma que +\begin_inset Formula $A^{-1}$ +\end_inset + + es la matriz resultante de efectuar en +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + + las mismas operaciones elementales fila que se hacen en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + A efectos prácticos, formamos la matriz +\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c|c} +A & I_{n}\end{array}\right)$ +\end_inset + + y hacemos operaciones elementales por filas hasta llegar a +\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c|c} +I_{n} & A^{-1}\end{array}\right)$ +\end_inset + +. + Por otro lado, si +\begin_inset Formula $A^{-1}=E_{k}\cdots E_{1}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $A=(A^{-1})^{-1}=(E_{k}\cdots E_{1})^{-1}=E_{1}^{-1}\cdots E_{k}^{-1}$ +\end_inset + +, de forma que toda matriz invertible es producto de matrices elementales. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/algl/n3.lyx b/algl/n3.lyx new file mode 100644 index 0000000..99baa10 --- /dev/null +++ b/algl/n3.lyx @@ -0,0 +1,652 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +ecuación lineal +\series default + en las +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\series bold +incógnitas +\series default + +\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}$ +\end_inset + + sobre el cuerpo +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=b$ +\end_inset + +, con los +\begin_inset Formula $a_{i}\in K$ +\end_inset + + ( +\series bold +coeficientes +\series default +) y +\begin_inset Formula $b\in K$ +\end_inset + + ( +\series bold +término independiente +\series default +). + Un +\series bold +sistema de +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + ecuaciones lineales +\series default + con +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + incógnitas sobre el cuerpo +\series bold + +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + +\series default + tiene la forma +\begin_inset Formula +\[ +\left.\begin{array}{ccccccc} +a_{11}x_{1} & + & \dots & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1}\\ + & & & & & \vdots\\ +a_{m1}x_{1} & + & \dots & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m} +\end{array}\right\} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Puede expresarse matricialmente de la forma +\begin_inset Formula $AX=B$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + es la +\series bold +matriz de los coeficientes +\series default +, +\begin_inset Formula $B=(b_{i})\in M_{m,1}(K)$ +\end_inset + + es la +\series bold +matriz de los términos independientes +\series default + y +\begin_inset Formula $X=(x_{i})\in M_{n,1}(K)$ +\end_inset + + es la matriz de incógnitas. + A la matriz +\begin_inset Formula $(A|B)\in M_{m,n+1}(K)$ +\end_inset + + se le llama +\series bold +matriz ampliada +\series default + del sistema. + Un sistema es +\series bold +homogéneo +\series default + si +\begin_inset Formula $B=0$ +\end_inset + +, y a cada sistema +\begin_inset Formula $AX=B$ +\end_inset + + se le puede asociar el sistema homogéneo +\begin_inset Formula $AX=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se llama +\series bold +solución +\series default + a toda +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-upla +\begin_inset Formula $(r_{1},\dots,r_{n})\in K^{n}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $R=(r_{i})\in M_{n,1}(K)$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $AR=B$ +\end_inset + +. + Un sistema es +\series bold +compatible +\series default + si tiene alguna solución, +\series bold +determinado +\series default + si tiene solo una e +\series bold +indeterminado +\series default + si tiene más; o +\series bold +incompatible +\series default + si no tiene ninguna. + +\series bold +Discutir +\series default + un sistema es determinar su compatibilidad, y +\series bold +resolverlo +\series default + es encontrar las soluciones. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Si un sistema +\begin_inset Formula $AX=B$ +\end_inset + + tiene una solución +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + +, todas las soluciones son de la forma +\begin_inset Formula $P+M$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es solución de +\begin_inset Formula $AX=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Teorema de Rouché-Frobenius +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un sistema +\begin_inset Formula $AX=B$ +\end_inset + + es compatible si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$ +\end_inset + +, en cuyo caso es determinado si +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=n$ +\end_inset + +. + En concreto, si +\begin_inset Formula $k=n-\text{rang}(A)>0$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k}$ +\end_inset + + soluciones linealmente independientes de +\begin_inset Formula $AX=0$ +\end_inset + + tales que cualquier solución del sistema es de la forma +\begin_inset Formula $x_{0}+\lambda_{1}u_{1}+\dots+\lambda_{k}u_{k}$ +\end_inset + +. + Decimos del sistema que +\series bold +depende de +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + parámetros +\series default + +\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}$ +\end_inset + + o que tiene +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + +\series bold +grados de libertad +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Demostración: +\series default + Si tenemos la aplicación +\begin_inset Formula $f_{A}:K^{n}\rightarrow K^{m}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $A=M_{{\cal C^{0}},{\cal C}}(f)$ +\end_inset + +, entonces si +\begin_inset Formula $K^{n}=<u_{1},\dots,u_{n}>$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + es el vector definido por +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, el conjunto de soluciones es +\begin_inset Formula $f^{-1}(v)=\{x\in K^{n}|f(x)=v\}$ +\end_inset + +. + Entonces, +\begin_inset Formula +\begin{multline*} +\exists x\in U:f(x)=v\iff v\in\text{Im}(f)\iff<f(u_{1}),\dots,f(u_{n}),v>=<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>\iff\\ +\iff\dim(<f(u_{1}),\dots,f(u_{n}),v>)=\dim(<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>)=\dim(\text{Im}(f))=\text{rang}(f) +\end{multline*} + +\end_inset + +Por tanto +\begin_inset Formula $AX=B$ +\end_inset + + es compatible si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$ +\end_inset + +. + Por otro lado, si +\begin_inset Formula $f(x_{0})=v$ +\end_inset + +, las soluciones serán +\begin_inset Formula $f^{-1}(v)=\{u\in U|f(u)=v\}=x_{0}+\text{Nuc}(f)$ +\end_inset + +. + Como además +\begin_inset Formula $\dim(K^{n})=\text{rang}(f)+\dim(\text{Nuc}(f))$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $k:=\dim(\text{Nuc}(f))=n-\text{rang}(f)$ +\end_inset + +, por lo que existen +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + soluciones linealmente independientes de +\begin_inset Formula $AX=0$ +\end_inset + + (una base de +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)$ +\end_inset + +). + Por tanto las soluciones del sistema homogéneo serán combinaciones lineales + de dicha base. +\end_layout + +\begin_layout Section +Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. + Método de Gauss +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dos sistemas de +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + ecuaciones lineales con +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + incógnitas sobre un mismo cuerpo son +\series bold +e +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +qui +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +va +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +len +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +tes +\series default + si tienen las mismas soluciones. + Si +\begin_inset Formula $P\in M_{m}(K)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(PA)X=PB$ +\end_inset + + es equivalente a +\begin_inset Formula $AX=B$ +\end_inset + +, y en particular, si +\begin_inset Formula $E\in M_{m}(K)$ +\end_inset + + es una matriz elemental, +\begin_inset Formula $(EA)X=EB$ +\end_inset + + también lo es, por lo que al hacer operaciones elementales por filas sobre + +\begin_inset Formula $(A|B)$ +\end_inset + + se obtiene un sistema con las mismas soluciones. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +método de Gauss +\series default + comienza por convertir la matriz ampliada a una escalonada reducida por + filas +\begin_inset Formula $(A'|B')$ +\end_inset + +. + Si obtenemos que +\begin_inset Formula $\text{rang}(A|B)>\text{rang}(A)$ +\end_inset + +, el sistema es incompatible. + Si +\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$ +\end_inset + +, las filas nulas de +\begin_inset Formula $A'$ +\end_inset + + lo son de +\begin_inset Formula $B'$ +\end_inset + +. + Reordenamos las incógnitas, lo que equivale a reordenar las columnas de + +\begin_inset Formula $A'$ +\end_inset + +, para conseguir un sistema de la forma +\begin_inset Formula +\[ +\left(\begin{array}{c|c} +I_{r} & C\\ +\hline 0 & 0 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} +y_{1}\\ +\vdots\\ +y_{r}\\ +\hline y_{r+1}\\ +\vdots\\ +y_{n} +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} +b_{1}^{\prime}\\ +\vdots\\ +b_{r}^{\prime}\\ +\hline 0\\ +\vdots\\ +0 +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +Donde +\begin_inset Formula $y_{1},\dots,y_{n}$ +\end_inset + + son los +\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}$ +\end_inset + + reordenados de la misma forma que las columnas. + Esto equivale a +\begin_inset Formula +\[ +I_{r}\left(\begin{array}{c} +y_{1}\\ +\vdots\\ +y_{r} +\end{array}\right)+C\left(\begin{array}{c} +y_{r+1}\\ +\vdots\\ +y_{n} +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} +b_{1}^{\prime}\\ +\vdots\\ +b_{r}^{\prime} +\end{array}\right)\implies\left(\begin{array}{c} +y_{1}\\ +\vdots\\ +y_{r} +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} +b_{1}^{\prime}\\ +\vdots\\ +b_{r}^{\prime} +\end{array}\right)-C\left(\begin{array}{c} +y_{r+1}\\ +\vdots\\ +y_{n} +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +De modo que al asignar valores arbitrarios a +\begin_inset Formula $y_{r+1},\dots,y_{n}$ +\end_inset + +, que llamamos +\series bold +incógnitas libres +\series default +, obtenemos valores de +\begin_inset Formula $y_{1},\dots,y_{r}$ +\end_inset + +, que llamamos +\series bold +incógnitas principales +\series default +. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/algl/n4.lyx b/algl/n4.lyx new file mode 100644 index 0000000..cf26416 --- /dev/null +++ b/algl/n4.lyx @@ -0,0 +1,1759 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Section +Determinante de una matriz. + Propiedades +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una aplicación +\begin_inset Formula $f:U_{1}\times\dots\times U_{n}\rightarrow V$ +\end_inset + + es una +\series bold +aplicación multilineal +\series default + si es lineal en cada una de las +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + variables, es decir, si +\begin_inset Formula +\[ +f(u_{1},\dots,\alpha u_{i}+\beta u_{i}^{\prime},\dots,u_{n})=\alpha f(u_{1},\dots,u_{i},\dots,u_{n})+\beta f(u_{1},\dots,u_{i}^{\prime},\dots,u_{n}) +\] + +\end_inset + +Una aplicación multilineal +\begin_inset Formula $f:U^{n}\rightarrow V$ +\end_inset + + se llama +\series bold +aplicación +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-lineal +\series default +. + Si además +\begin_inset Formula $V=K$ +\end_inset + + es una +\series bold +forma +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-lineal +\series default +. + Una forma +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-lineal +\begin_inset Formula $f:U^{n}\rightarrow K$ +\end_inset + + es +\series bold +alternada +\series default + si se anula en cada +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-upla con dos componentes iguales, es decir, tal que +\begin_inset Formula $f(u_{1},\dots,u_{k},\dots,u_{l},\dots,u_{n})=0$ +\end_inset + + cuando +\begin_inset Formula $u_{k}=u_{l}$ +\end_inset + + (con +\begin_inset Formula $k\neq l$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +aplicación determinante +\series default + +\begin_inset Formula $\det:M_{n}(K)\rightarrow K$ +\end_inset + + es una forma +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-lineal alternada que a cada matriz cuadrada +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + le asigna un escalar, llamado +\series bold +determinante +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, que denotamos +\begin_inset Formula $\det(A)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|A|$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\det(A_{1},\dots,A_{n})$ +\end_inset + + (donde +\begin_inset Formula $A_{i}$ +\end_inset + + son las columnas de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +), tal que +\begin_inset Formula $|I_{n}|=1$ +\end_inset + +. + Algunas aplicaciones determinantes son: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La aplicación +\begin_inset Formula $||:M_{2}(K)\rightarrow K$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula +\[ +\left|\begin{array}{cc} +a_{11} & a_{12}\\ +a_{21} & a_{22} +\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La +\series bold +regla de Sarrus +\series default +, aplicación +\begin_inset Formula $||:M_{3}(K)\rightarrow K$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula +\[ +\left|\begin{array}{ccc} +a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ +a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ +a_{31} & a_{32} & a_{33} +\end{array}\right|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las aplicaciones determinantes verifican que: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula +\[ +\left|\begin{array}{cccc} +a_{1} & 0 & \cdots & 0\\ +0 & a_{2} & \cdots & 0\\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ +0 & 0 & \cdots & a_{n} +\end{array}\right|=a_{1}a_{2}\cdots a_{n} +\] + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $\{e_{1},\dots,e_{n}\}$ +\end_inset + + es la base canónica de +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\left|\begin{array}{cccc} +a_{1} & 0 & \cdots & 0\\ +0 & a_{2} & \cdots & 0\\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ +0 & 0 & \cdots & a_{n} +\end{array}\right|=\det(a_{1}e_{1},\dots,a_{n}e_{n})=a_{1}\cdots a_{n}\det(e_{1},\dots,e_{n})=a_{1}\cdots a_{n} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + tiene una columna nula entonces +\begin_inset Formula $\det(A)=0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $A_{i}=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n})=\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0+0,A_{i+1},\dots,A_{n})=\\ +=\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n}) +\end{array} +\] + +\end_inset + +luego +\begin_inset Formula $\det A=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Al intercambiar dos columnas, el determinante cambia de signo. +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +0=\det(A_{1},\dots,A_{i}+A_{j},\dots,A_{i}+A_{j},\dots,A_{n})=\\ +=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{i},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\\ ++\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{i},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\ +=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{i},\dots,A_{n}) +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si a una columna se le añade otra multiplicada por un escalar, el determinante + no varía. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +\det(A_{1},\dots,A_{i}+\alpha A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\ +=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\alpha\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\ +=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n}) +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si las columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, su + determinante es 0. + Por tanto una matriz no invertible tiene determinante 0. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Habrá una columna que será combinación lineal del resto: +\begin_inset Formula $A_{k}=\sum_{j\neq k}\alpha_{j}A_{j}$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +\det(A_{1},\dots,A_{k},\dots,A_{n})=\det(A_{1},\dots,\sum_{j\neq k}\alpha_{j}A_{j},\dots,A_{n})=\\ +=\sum_{j\neq k}\alpha_{j}\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=0 +\end{array} +\] + +\end_inset + +Ya que cada matriz del último sumatorio tiene dos columnas iguales. +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí podemos deducir que +\begin_inset Formula $|E_{n}(i,j)|=-1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|E_{n}(\alpha[i])|=\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|E_{n}([i]+\alpha[j])|=1$ +\end_inset + +, y que si +\begin_inset Formula $A,E\in M_{n}(K)$ +\end_inset + +, siendo +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + + una matriz elemental, entonces +\begin_inset Formula $|AE|=|A||E|$ +\end_inset + +. + Se deducen los siguientes teoremas: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Una matriz cuadrada +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es invertible si y sólo si +\begin_inset Formula $|A|\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Toda matriz invertible es producto de matrices elementales, y por lo anterior, + +\begin_inset Formula $|A|=|I_{n}E_{1}\cdots E_{k}|=|I_{n}||E_{1}|\cdots|E_{k}|=|E_{1}|\cdots|E_{k}|$ +\end_inset + +. + Como ninguno de los factores es nulo, se tiene que +\begin_inset Formula $|A|\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Inmediato de la última propiedad. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $|AB|=|A||B|$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Si alguna de las dos no es invertible, su producto tampoco (pues si lo fuera, + +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + serían invertibles). + En tal caso, +\begin_inset Formula $|AB|=0=|A||B|$ +\end_inset + +. + Si son ambas invertibles, existen matrices elementales +\begin_inset Formula $E_{1},\dots,E_{k}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $B=E_{1}\cdots E_{k}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $|AB|=|AE_{1}\cdots E_{k}|=|A||E_{1}|\cdots|E_{k}|=|A||B|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí tenemos que +\begin_inset Formula $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $1=|I_{n}|=|AA^{-1}|=|A||A^{-1}|$ +\end_inset + +. + Tenemos también que la aplicación determinante es única, pues +\begin_inset Formula $\det(A)=0$ +\end_inset + + para matrices no invertibles y +\begin_inset Formula $\det(A)=|E_{1}|\cdots|E_{k}|$ +\end_inset + + para aquellas que sí lo son, y podemos entonces comprobar que esta operación + está bien definida. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + +\begin_inset Formula $|A^{t}|=|A|$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + no es invertible, +\begin_inset Formula $A^{t}$ +\end_inset + + tampoco, por lo que +\begin_inset Formula $|A^{t}|=0=|A|$ +\end_inset + +. + Si lo es, existen +\begin_inset Formula $E_{1},\dots,E_{k}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $A=E_{1}\cdots E_{k}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $|A^{t}|=|(E_{1}\cdots E_{k})^{t}|=|E_{k}^{t}\cdots E_{1}^{t}|=|E_{k}^{t}|\cdots|E_{1}^{t}|=|E_{1}|\cdots|E_{k}|=|E_{1}\cdots E_{k}|=|A|$ +\end_inset + +. + Esto significa que todo lo relativo a determinantes que se diga para columnas + también es válido para filas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i,j\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +menor complementario +\series default + del elemento +\begin_inset Formula $a_{ij}$ +\end_inset + + al determinante +\begin_inset Formula $|A_{ij}|$ +\end_inset + + de la matriz +\begin_inset Formula $A_{ij}\in M_{n-1}(K)$ +\end_inset + + resultado de eliminar la fila +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y la columna +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Llamamos +\series bold +adjunto +\series default + de +\begin_inset Formula $a_{ij}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + al escalar +\begin_inset Formula $\Delta_{ij}:=(-1)^{i+j}|A_{ij}|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Las aplicaciones +\begin_inset Formula $||:M_{n}(K)\rightarrow K$ +\end_inset + + definidas para +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $|(a)|=a$ +\end_inset + + y para +\begin_inset Formula $n>1$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $|(a_{ij})|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}$ +\end_inset + + son aplicaciones determinante. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + + es trivial. + Ahora supongamos que la aplicación determinante está definida para +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + + y probamos que se cumplen las condiciones para +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Multilineal: Sea +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{n})\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A^{\prime}=(a_{ij}^{\prime})=(A_{1},\dots,\alpha A_{k},\dots,A_{n})$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $a_{ik}^{\prime}=\alpha a_{ik}$ +\end_inset + + y para +\begin_inset Formula $j\neq k$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{ij}^{\prime}=a_{ij}$ +\end_inset + +. + Si llamamos +\begin_inset Formula $\Delta_{ij}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\Delta_{ij}^{\prime}$ +\end_inset + + a los correspondientes adjuntos, +\begin_inset Formula $\Delta_{ik}^{\prime}=\Delta_{ik}$ +\end_inset + + y para +\begin_inset Formula $j\neq k$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\Delta_{ij}^{\prime}=\alpha\Delta_{ij}$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +|A^{\prime}|=a_{11}^{\prime}\Delta_{11}^{\prime}+\dots+a_{1n}^{\prime}\Delta_{1n}^{\prime}=\\ +=a_{11}\alpha\Delta_{11}+\dots+a_{1(k-1)}\alpha\Delta_{1(k-1)}+\alpha a_{1k}\Delta_{ik}+a_{1(k+1)}\alpha\Delta_{i(k+1)}+\dots+a_{1n}\alpha\Delta_{in}=\\ +=\alpha(a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n})=\alpha|A| +\end{array} +\] + +\end_inset + +Del mismo modo, sea +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime}+A_{k}^{\prime\prime},\dots,A_{n})$ +\end_inset + + y sean +\begin_inset Formula $A^{\prime}=(a_{ij}^{\prime})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime},\dots,A_{n})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A^{\prime\prime}=(a_{ij}^{\prime\prime})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime\prime},\dots,A_{n})$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $a_{ik}=a_{ik}^{\prime}+a_{ik}^{\prime\prime}$ +\end_inset + + y si +\begin_inset Formula $j\neq k$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{ij}=a_{ij}^{\prime}=a_{ij}^{\prime\prime}$ +\end_inset + +. + Del mismo modo, +\begin_inset Formula $\Delta_{ik}=\Delta_{ik}^{\prime}=\Delta_{ik}^{\prime\prime}$ +\end_inset + + y si +\begin_inset Formula $j\neq k$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\Delta_{ij}=\Delta_{ij}^{\prime}+\Delta_{ij}^{\prime\prime}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +|A|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}=\\ +=a_{11}(\Delta_{11}^{\prime}+\Delta_{11}^{\prime\prime})+\dots+a_{1(k-1)}(\Delta_{1(k-1)}^{\prime}+\Delta_{1(k-1)}^{\prime\prime})+(a_{1k}^{\prime}+a_{1k}^{\prime\prime})\Delta_{1k}+\\ ++a_{1(k+1)}(\Delta_{1(k+1)}^{\prime}+\Delta_{1(k+1)}^{\prime\prime})+\dots+a_{1n}(\Delta_{1n}^{\prime}+\Delta_{1n}^{\prime\prime})=\\ +=a_{11}^{\prime}\Delta_{11}^{\prime}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}^{\prime}+a_{11}^{\prime\prime}\Delta_{11}^{\prime\prime}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}^{\prime\prime}=|A^{\prime}|+|A^{\prime\prime}| +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Alternada: Sea +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{n})\in M_{n}(K)$ +\end_inset + +. + Si para +\begin_inset Formula $r<s$ +\end_inset + + se tiene que +\begin_inset Formula $A_{r}=A_{s}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a_{r}=a_{s}$ +\end_inset + + y para +\begin_inset Formula $j\neq r,s$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\Delta_{1j}=0$ +\end_inset + +, pues el menor complementario posee dos columnas iguales, por lo que +\begin_inset Formula $|A|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}=a_{1r}\Delta_{1r}+a_{1s}\Delta_{1s}$ +\end_inset + +. + Por otro lado, si llamamos +\begin_inset Formula $A_{j}^{\prime}$ +\end_inset + + al elemento de +\begin_inset Formula $A_{j}$ +\end_inset + + resultado de eliminar +\begin_inset Formula $a_{1j}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +|A_{1s}|=|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n}^{\prime})|=\\ +=-|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},A_{r}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n}^{\prime})|=\dots=\\ +=(-1)^{s-r-1}|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{r}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n})|=(-1)^{s-r-1}|A_{1r}| +\end{array} +\] + +\end_inset + +pues +\begin_inset Formula $A_{r}^{\prime}=A_{s}^{\prime}$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +|A|=a_{1r}(-1)^{1+r}|A_{1r}|+a_{1s}(-1)^{1+s}(-1)^{s-r-1}|A_{1r}|=\\ +=a_{1r}|A_{1r}|((-1)^{1+r}+(-1)^{1+2s-r-1})=a_{1r}|A_{1r}|((-1)^{1+r}+(-1)^{-r})=0 +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|I_{n}|=\delta_{11}\Delta_{11}+\dots+\delta_{1n}\Delta_{1n}=\Delta_{11}=(-1)^{1+1}|I_{n-1}|=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se puede probar que, para +\begin_inset Formula $1\leq i\leq n$ +\end_inset + +, cada aplicación dada por +\begin_inset Formula $|A|=a_{i1}\Delta_{i1}+\dots+a_{in}\Delta_{in}$ +\end_inset + +, que llamamos +\series bold +desarrollo del determinante +\series default + de la matriz +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + por la +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +-ésima fila, también cumple las condiciones. + Por otro lado, como +\begin_inset Formula $|A|=|A^{t}|$ +\end_inset + +, también se puede desarrollar por filas. + En la práctica se pueden hacer operaciones elementales para obtener ceros + en una fila o columna y luego desarrollar por ella. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Determinantes de Vandermonde: +\series default + Restando a cada fila la anterior por +\begin_inset Formula $x_{1}$ +\end_inset + +, desarrollando, dividiendo lo resultante por cada elemento de la primera + fila y repitiendo el proceso, se tiene que: +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +\left|\begin{array}{cccc} +1 & 1 & \cdots & 1\\ +x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\ +\vdots & \vdots & & \vdots\\ +x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} +\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} +1 & 1 & \cdots & 1\\ +0 & x_{2}-x_{1} & \cdots & x_{n}-x_{1}\\ +\vdots & \vdots & & \vdots\\ +0 & x_{2}^{n-1}-x_{1}x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-1}-x_{1}x_{n}^{n-2} +\end{array}\right|=\\ +=(x_{2}-x_{1})\cdots(x_{n}-x_{1})\left|\begin{array}{ccc} +1 & \cdots & 1\\ +x_{2} & \cdots & x_{n}\\ +\vdots & & \vdots\\ +x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-2} +\end{array}\right|=\dots=\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j}) +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Desarrollo de un determinante por menores, de +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +sa +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +rro +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +llo de Laplace +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se llama +\series bold +submatriz +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + a la obtenida al eliminar determinadas filas y columnas de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Toda matriz es submatriz de sí misma. + Un +\series bold +menor de orden +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\series default + es el determinante de una submatriz de tamaño +\begin_inset Formula $n\times n$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es cuadrada, el +\series bold +menor complementario +\series default + +\begin_inset Formula $M^{\prime}$ +\end_inset + + del menor +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es el determinante de la matriz formada por las filas y columnas restantes. + Un menor es de +\series bold +clase par +\series default + o de +\series bold +clase impar +\series default + según lo sea la suma de los índices de sus filas ( +\begin_inset Formula $i_{1},\dots,i_{p}$ +\end_inset + +) y columnas ( +\begin_inset Formula $j_{1},\dots,j_{p}$ +\end_inset + +). + La +\series bold +signatura +\series default + de un menor +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $\varepsilon(M)=(-1)^{(i_{1}+\dots+i_{p})+(j_{1}+\dots+j_{p})}$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $(1+\dots+n)+(1+\dots+n)$ +\end_inset + + es par, todo menor tiene la misma signatura que su complementario. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\begin_inset Formula $\chi_{r}$ +\end_inset + + al conjunto de combinaciones de +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + filas o columnas: +\begin_inset Formula +\[ +\chi_{r}=\{(i_{1},\dots,i_{r}):1\leq i_{1}<\dots<i_{r}\leq n\} +\] + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $I,J\in\chi_{r}$ +\end_inset + +, llamamos +\begin_inset Formula $A_{IJ}$ +\end_inset + + al menor determinado por las filas +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + y las columnas +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Entonces: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Dado +\begin_inset Formula $I\in\chi_{r}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|A|=\sum_{J\in\chi_{r}}\varepsilon(A_{IJ})A_{IJ}A_{IJ}^{\prime}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Dado +\begin_inset Formula $J\in\chi_{r}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|A|=\sum_{I\in\chi_{r}}\varepsilon(A_{IJ})A_{IJ}A_{IJ}^{\prime}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Esto es útil cuando +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + está formada por bloques de tamaño adecuado alguno de los cuales es nulo. + De aquí se tiene que +\begin_inset Formula $\left|\left(\begin{array}{c|c} +P & Q\\ +\hline 0 & R +\end{array}\right)\right|=|P||R|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Determinante de un endomorfismo +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}^{\prime}$ +\end_inset + + son bases de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B}}(f)=M_{{\cal B}{\cal B}^{\prime}}M_{{\cal B}^{\prime}}(f)M_{{\cal B}^{\prime}{\cal B}}=P^{-1}M_{{\cal B}^{\prime}}(f)P +\] + +\end_inset + +por lo que +\begin_inset Formula $|M_{{\cal B}}(f)|=|P|^{-1}|M_{{\cal B}^{\prime}}(f)||P|=|M_{{\cal B}^{\prime}}(f)|$ +\end_inset + +. + Así, llamamos +\series bold +determinante del endomorfismo +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + +\series default + al de la matriz asociada a +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + respecto de cualquier base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Matriz adjunta. + Aplicación al cálculo de la inversa +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +matriz adjunta +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + a la matriz +\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})\in M_{n}(K)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Teorema: +\series default + Si +\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $A\cdot\hat{A}^{t}=\hat{A}^{t}\cdot A=|A|I_{n}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\hat{A}^{t}=(b_{ij})$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $b_{ij}=\Delta_{ji}$ +\end_inset + +. + Sea entonces +\begin_inset Formula $C=(c_{ij})=A\cdot\hat{A}^{t}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\Delta_{jk}$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $i\neq j$ +\end_inset + +, esto corresponde al desarrollo por la fila +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + +-ésima del determinante de la matriz que se diferencia de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + en que tiene la fila +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +-ésima copiada en la +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + +-ésima, por lo que entonces +\begin_inset Formula $c_{ij}=0$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $i\neq j$ +\end_inset + +, este es el desarrollo por la fila +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + +-ésima de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $c_{ii}=|A|$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $C=|A|I_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como consecuencia, se tiene el +\series bold +teorema +\series default + de que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es invertible si y sólo si +\begin_inset Formula $|A|\neq0$ +\end_inset + + y entonces +\begin_inset Formula +\[ +A^{-1}=\frac{1}{|A|}\hat{A}^{t} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Cálculo del rango de una matriz por determinantes +\end_layout + +\begin_layout Standard +El rango de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es el mayor de los órdenes de los menores no nulos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $A\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + el mayor de los tamaños de los menores no nulos, que existe si +\begin_inset Formula $A\neq0$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $A^{\prime}$ +\end_inset + + es una submatriz cuadrada de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + de tamaño +\begin_inset Formula $p\times p$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $|A^{\prime}|\neq0$ +\end_inset + +, entonces la submatriz +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + formada por las filas de +\begin_inset Formula $A^{\prime}$ +\end_inset + + pero con todas las columnas de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + tiene +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + columnas linealmente independientes (las de +\begin_inset Formula $A^{\prime}$ +\end_inset + +) y por tanto también tiene +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + filas linealmente independientes, pero entonces +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + tiene al menos +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + filas linealmente independientes y +\begin_inset Formula $r\geq p$ +\end_inset + +. + Por otro lado, si +\begin_inset Formula $A_{i_{1}},\dots,A_{i_{r}}$ +\end_inset + + son filas linealmente independientes de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y tomamos la submatriz +\begin_inset Formula $B\in M_{r,n}(K)$ +\end_inset + + formada por estas filas y todas las columnas, +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + tendrá rango +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +, luego tendrá +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + columnas +\begin_inset Formula $j_{1},\dots,j_{r}$ +\end_inset + + linealmente independientes. + Si tomamos la submatriz +\begin_inset Formula $A^{\prime}\in M_{r}(K)$ +\end_inset + + formada por estas columnas, al ser linealmente independientes, +\begin_inset Formula $|A^{\prime}|\neq0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $p\geq r$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $p=r$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $A_{i}=(a_{1i},\dots,a_{ni})\in K^{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{r}$ +\end_inset + + linealmente independientes y +\begin_inset Formula +\[ +\left|\begin{array}{ccc} +a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\ +\vdots & \ddots & \vdots\\ +a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r} +\end{array}\right|\neq0 +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $B=(b_{1},\dots,b_{n})$ +\end_inset + + es combinación lineal de +\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{r}$ +\end_inset + + si y sólo si para todo +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\left|\begin{array}{cccc} +a_{i_{1}1} & \dots & a_{i_{1}r} & b_{i_{1}}\\ +\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ +a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r} & b_{i_{r}}\\ +a_{j1} & \cdots & a_{jr} & b_{j} +\end{array}\right|=0 +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si son linealmente dependientes, los determinantes son nulos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si todos son nulos, desarrollando por la última fila, se obtiene, para cada + +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + +, que +\begin_inset Formula +\[ +a_{j1}\left|\begin{array}{cccc} +a_{i_{1}2} & \cdots & a_{i_{1}r} & b_{i_{1}}\\ +\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ +a_{i_{r}2} & \cdots & a_{i_{r}r} & b_{i_{r}} +\end{array}\right|\pm\dots\pm b_{j}\left|\begin{array}{ccc} +a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\ +\vdots & \ddots & \vdots\\ +a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r} +\end{array}\right|=0 +\] + +\end_inset + +Por lo que +\begin_inset Formula +\[ +b_{j}=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc} +a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\ +\vdots & \ddots & \vdots\\ +a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r} +\end{array}\right|}\left(\pm a_{j1}\left|\begin{array}{ccc} +a_{i_{1}2} & \cdots & b_{i_{1}}\\ +\vdots & \ddots & \vdots\\ +a_{i_{r}2} & \cdots & b_{i_{r}} +\end{array}\right|\pm\dots\pm a_{j_{r}}\left|\begin{array}{ccc} +a_{i_{1}1} & \cdots & b_{i1}\\ +\vdots & \ddots & \vdots\\ +a_{i_{r}1} & \cdots & b_{i_{r}} +\end{array}\right|\right) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +A efectos prácticos, esto significa que, una vez encontrado un menor no + nulo de orden +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + en una matriz +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, podemos +\emph on +orlarlo +\emph default + (obtener otro añadiendo una fila y una columna a la submatriz) de todas + las formas posibles y, si todos los menores resultantes son nulos, entonces + +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=k$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Regla de Cramer +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un sistema de ecuaciones lineales +\begin_inset Formula $AX=B$ +\end_inset + + es un +\series bold +sistema de Cramer +\series default + si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es invertible. + En tal caso tiene solución única +\begin_inset Formula $X=A^{-1}B$ +\end_inset + +. + +\series bold +Regla de Cramer: +\series default + si las columnas de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $(A_{1},\dots,A_{n})$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +x_{i}=\frac{\det(A_{1},\dots,A_{i-1},B,A_{i+1},\dots,A_{n})}{\det(A)} +\] + +\end_inset + + +\series bold +Demostración: +\series default + +\begin_inset Formula $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\hat{A}^{t}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $X=(x_{i})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $x_{i}=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{|A|}\Delta_{ji}b_{j}=\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^{n}\Delta_{ji}b_{j}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=r$ +\end_inset + +, habrá un menor +\begin_inset Formula $M\neq0$ +\end_inset + + de orden +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +, por lo que las +\begin_inset Formula $n-r$ +\end_inset + + últimas filas serán combinaciones lineales de las +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + primeras, y moviendo al lado derecho los +\begin_inset Formula $m-r$ +\end_inset + + coeficientes que no están en la submatriz de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, nos queda el sistema +\begin_inset Formula +\[ +\left.\begin{array}{ccc} +a_{11}x_{1}+\dots+a_{1r}x_{r} & = & b_{1}-(a_{1r+1}x_{r+1}+\dots+a_{1n}x_{n})\\ + & \vdots\\ +a_{r1}x_{1}+\dots+a_{rr}x_{r} & = & b_{r}-(a_{rr+1}x_{r+1}+\dots+a_{rn}x_{n}) +\end{array}\right\} +\] + +\end_inset + +que podemos resolver por Cramer. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/algl/n5.lyx b/algl/n5.lyx new file mode 100644 index 0000000..bb844d5 --- /dev/null +++ b/algl/n5.lyx @@ -0,0 +1,1323 @@ +#LyX 2.3 created this file. 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+. + Esta relación es de equivalencia, y si dos matrices son semejantes también + son equivalentes y por tanto tienen el mismo rango, si bien el recíproco + no se cumple. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + una matriz formada por +\series bold +bloques +\series default + cuadrados en la diagonal y ceros en el resto: +\begin_inset Formula +\[ +A=\left(\begin{array}{ccc} +\boxed{A_{1}} & & 0\\ + & \ddots\\ +0 & & \boxed{A_{t}} +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $A_{i}\in M_{n_{i}}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n_{1}+\dots+n_{t}=n$ +\end_inset + +. + Por el desarrollo de Laplace, su determinante es +\begin_inset Formula $|A|=|A_{1}|\cdots|A_{t}|$ +\end_inset + +; su rango es la suma de los rangos de los +\begin_inset Formula $A_{i}$ +\end_inset + +, y su potencia +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +-ésima es +\begin_inset Formula +\[ +A^{k}=\left(\begin{array}{ccc} +\boxed{A_{1}^{k}} & & 0\\ + & \ddots\\ +0 & & \boxed{A_{t}^{k}} +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Entonces, si +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es semejante a +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|B|=|P^{-1}AP|=|P|^{-1}|A||P|=|A|$ +\end_inset + +, su rango es el de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula +\[ +B^{k}=\underset{k\text{ veces}}{(P^{-1}AP)\cdots(P^{-1}AP)}=P^{-1}A^{k}P +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Subespacios invariantes +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $W\leq V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + es +\series bold +invariante +\series default + por +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $f(W)\subseteq W$ +\end_inset + +. + Entonces la restricción de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $f|_{W}\in\text{End}_{K}(W)$ +\end_inset + +. + También se tiene que +\begin_inset Formula $\{0\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + son invariantes de cada +\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$ +\end_inset + +, y la suma e intersección de subespacios invariantes por +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + también son subespacios invariantes por +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. + Ahora supongamos que +\begin_inset Formula $V=W_{1}\oplus\dots\oplus W_{t}$ +\end_inset + +, donde cada +\begin_inset Formula $W_{i}$ +\end_inset + + es un subespacio invariante no nulo por +\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$ +\end_inset + +. + Si tomamos +\begin_inset Formula ${\cal B}={\cal B}_{1}\cup\dots\cup{\cal B}_{t}$ +\end_inset + +, siendo cada +\begin_inset Formula ${\cal B}_{i}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $W_{i}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B}}(f)=\left(\begin{array}{ccc} +\boxed{A_{1}} & & 0\\ + & \ddots\\ +0 & & \boxed{A_{t}} +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +donde +\begin_inset Formula $A_{i}=M_{{\cal B}_{i}}(f|_{W})\in M_{n_{i}}(K)$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $n_{i}=\dim(W_{i})$ +\end_inset + +. + Recíprocamente, si +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + tiene dicha forma y +\begin_inset Formula +\[ +{\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{n_{1}},v_{n_{1}+1},\dots,v_{n_{1}+n_{2}},\dots,v_{n_{1}+\dots+n_{t-1}+1},\dots,v_{n_{1}+\dots+n_{t}}\} +\] + +\end_inset + +entonces +\begin_inset Formula $W_{1}=<v_{1},\dots,v_{n_{1}}>$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $W_{2}=<v_{n_{1}+1},\dots,v_{n_{1}+n_{2}}>$ +\end_inset + +, etc. + son subespacios vectoriales invariantes por +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Endomorfismos y matrices diagonalizables +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$ +\end_inset + + es +\series bold +diagonalizable +\series default + si existe una base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + es diagonal, y una matriz cuadrada es diagonalizable si lo es el endomorfismo + de +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + + que cuya matriz respecto a la base canónica es +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Equivalentemente, una matriz cuadrada es diagonalizable si y sólo si es + semejante a una matriz diagonal, y un endomorfismo es diagonalizable si + su matriz asociada respecto a cualquier base lo es. + Denotamos las matrices diagonales como +\begin_inset Formula +\[ +\left(\begin{array}{ccc} +\lambda_{1} & & 0\\ + & \ddots\\ +0 & & \lambda_{n} +\end{array}\right)=\text{Diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Vectores y valores propios +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1,}\dots,u_{n}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)=\text{Diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $f(u_{i})=\lambda_{1}u_{1}$ +\end_inset + +. + Así: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Un +\series bold +vector propio +\series default +, +\series bold +autovector +\series default + o +\series bold +vector característico +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es un vector +\begin_inset Formula $v\neq0$ +\end_inset + + para el que existe un +\begin_inset Formula $\lambda\in K$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(v)=\lambda v$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Un +\series bold +valor propio +\series default +, +\series bold +autovalor +\series default + o +\series bold +valor característico +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es un escalar +\begin_inset Formula $\lambda\in K$ +\end_inset + + para el que existe un +\begin_inset Formula $v\in V\backslash\{0\}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $f(v)=\lambda v$ +\end_inset + +. + Decimos que +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + es +\series bold +\emph on +el +\emph default + valor propio asociado al vector propio +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + +\series default +, o que +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + es +\series bold +\emph on +un +\emph default + vector propio asociado al valor propio +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, +\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$ +\end_inset + + es diagonalizable si y sólo si existe una base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + formada por vectores propios de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Subespacios propios. + Polinomio característico +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los vectores propios de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + asociados a +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + son todos los vectores no nulos de +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f-\lambda Id)$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $V_{\lambda}=\text{Nuc}(f-\lambda Id)=\{v\in V:(f-\lambda Id)(v)=0\}=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}$ +\end_inset + + es el +\series bold +subespacio propio +\series default + o +\series bold +característico +\series default + correspondiente al valor propio +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $\lambda\in K$ +\end_inset + + es un valor propio de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $\det(f-\lambda Id)=0$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + +\begin_inset Formula $\lambda\in K$ +\end_inset + + es valor propio si y sólo si existe +\begin_inset Formula $0\neq v\in V_{\lambda}$ +\end_inset + +, es decir, si +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f-\lambda Id)\neq\{0\}$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula $0<\dim(\text{Nuc}(\lambda Id-f))=\dim(V)-\text{rang}(\lambda Id-f)$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $\text{rang}(\lambda Id-f)<\dim(V)$ +\end_inset + + o, equivalentemente, +\begin_inset Formula $\det(\lambda Id-f)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $P_{f}(x):=\det(xId-f)$ +\end_inset + + es el +\series bold +polinomio característico +\series default + de +\series bold + +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + +\series default +, y +\begin_inset Formula $P_{A}(x):=\det(xI_{n}-A)$ +\end_inset + + es el polinomio característico de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Podemos comprobar que +\begin_inset Formula +\[ +P_{A}(x)=x^{n}-\text{tr}(A)x^{n-1}+\dots+(-1)^{n}\det(A) +\] + +\end_inset + +donde +\begin_inset Formula $\text{tr}(A)$ +\end_inset + + es la +\series bold +traza +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, la suma de los elementos de su diagonal. + Obtenemos como resultado que los valores propios de +\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$ +\end_inset + + son las raíces de +\begin_inset Formula $P_{f}(x)$ +\end_inset + +, y que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + tiene a lo sumo +\begin_inset Formula $\dim(V)$ +\end_inset + + valores propios distintos. +\end_layout + +\begin_layout Section +Independencia de los subespacios propios +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{s}$ +\end_inset + + son valores propios de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + distintos dos a dos, entonces +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)+\dots+\text{Nuc}(\lambda_{s}Id-f)$ +\end_inset + + es suma directa, y en particular, vectores propios correspondientes a valores + propios distintos dos a dos son linealmente independientes. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $s=2$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $v_{1}\in\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v_{2}\in\text{Nuc}(\lambda_{2}Id-f)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0=v_{1}+v_{2}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $0=f(0)=f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$ +\end_inset + +, pero también +\begin_inset Formula $0=\lambda_{2}(v_{1}+v_{2})=\lambda_{2}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$ +\end_inset + +. + Restando, +\begin_inset Formula $0=(\lambda_{2}-\lambda_{1})v_{1}$ +\end_inset + +, pero como +\begin_inset Formula $\lambda_{2}\neq\lambda_{1}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $v_{1}=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $v_{2}$ +\end_inset + + también. + Ahora sea +\begin_inset Formula $s>2$ +\end_inset + + y supongamos el resultado cierto para +\begin_inset Formula $s-1$ +\end_inset + +. + Sean ahora +\begin_inset Formula $v_{1}\in\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f),\dots,v_{s}\in\text{Nuc}(\lambda_{s}Id-f)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0=v_{1}+\dots+v_{s}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $0=f(0)=f(v_{1}+\dots+v_{s})=f(v_{1})+\dots+f(v_{s})=\lambda_{1}v_{1}+\dots+\lambda_{s}v_{s}$ +\end_inset + +, pero también +\begin_inset Formula $0=\lambda_{s}v_{1}+\dots+\lambda_{s}v_{k-1}+\lambda_{s}v_{s}$ +\end_inset + +. + Restando, +\begin_inset Formula $0=(\lambda_{s}-\lambda_{1})v_{1}+\dots+(\lambda_{s}-\lambda_{s-1})v_{s-1}$ +\end_inset + +. + Aplicando la hipótesis de inducción, queda que +\begin_inset Formula $v_{1}=\dots=v_{s-1}=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $v_{s}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +También, si +\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$ +\end_inset + + tiene +\begin_inset Formula $\dim(V)$ +\end_inset + + autovalores, entonces es diagonalizable. +\series bold + +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ +\end_inset + + son valores propios de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + distintos dos a dos y +\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$ +\end_inset + + son vectores propios asociados a cada uno, entonces +\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, por lo que constituyen una base formada por vectores propios de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Caracterización de los endomorfismos diagonalizables +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $P(x)$ +\end_inset + + es un polinomio con coeficientes en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lambda\in K$ +\end_inset + + es una raíz de +\begin_inset Formula $P(x)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + tiene +\series bold +multiplicidad +\series default + +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $P(x)$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $(x-\lambda)^{m}|P(x)$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $\neg((x-\lambda)^{m+1}|P(x))$ +\end_inset + +. + Si una raíz tiene multiplicidad 1, es una raíz +\series bold +simple +\series default +\SpecialChar endofsentence + De lo contrario es una raíz +\series bold + múltiple +\series default +\SpecialChar endofsentence + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + un valor propio de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $d=\dim(\text{Nuc}(\lambda Id-f))$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + es la multiplicidad de +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $P_{f}(x)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $d\leq m$ +\end_inset + +. + En particular, si el valor propio es una raíz simple, entonces +\begin_inset Formula $d=m=1$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{d}\}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda Id-f)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{d},v_{d+1},\dots,v_{n}\}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + tiene forma +\begin_inset Formula +\[ +\left(\begin{array}{ccc|c} +\lambda & & 0\\ + & \ddots & & C\\ +0 & & \lambda\\ +\hline & & \\ + & 0 & & D\\ + & & \\ +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +por lo que +\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda)^{d}\det(xI_{n-d}-D)=(x-\lambda)^{d}Q(x)$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $d\leq m$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de diagonalización: +\series default + +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es diagonalizable si y sólo si +\begin_inset Formula +\[ +P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{d_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{d_{r}} +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}\in K$ +\end_inset + + distintos dos a dos, y +\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f))$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$ +\end_inset + + los valores propios de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, existirá una base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + de vectores propios en los que cada vector tendrá asociado un valor propio + y pertenecerá por tanto al subespacio propio correspondiente. + Agrupando, +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + tendrá forma +\begin_inset Formula +\[ +\left(\begin{array}{ccccccc} +\lambda_{1}\\ + & \ddots & & & & 0\\ + & & \lambda_{1}\\ + & & & \ddots\\ + & & & & \lambda_{r}\\ + & 0 & & & & \ddots\\ + & & & & & & \lambda_{r} +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + +donde cada +\begin_inset Formula $\lambda_{i}$ +\end_inset + + se repetirá +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + + veces, el número de vectores propios de la base del subespacio. + Por tanto, +\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{m_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{m_{r}}$ +\end_inset + + tiene todas sus raíces en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f))$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\sum d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(\lambda_{r}Id-f))\leq\dim(V)=n$ +\end_inset + +, y como en la base hay +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + + vectores linealmente independientes de +\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $m_{i}\leq d_{i}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $n=\text{gr}(P_{f}(x))=\sum m_{i}\leq\sum d_{i}\leq n$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $m_{i}=d_{i}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{d_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{d_{r}}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(f-\lambda Id))$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\dim(\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(\lambda_{r}Id-f))=d_{1}+\dots+d_{r}=\text{gr}(P_{f}(x))=\dim(V)$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $V=\text{Nuc}(f-\lambda_{1}Id)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(f-\lambda_{r}Id)$ +\end_inset + + y la unión de las bases de cada subespacio será una base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + formada por vectores propios. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, para diagonalizar una matriz +\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$ +\end_inset + + en matrices +\begin_inset Formula $A=M_{{\cal CB}}DM_{{\cal BC}}$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + diagonal, obtenemos su polinomio característico, hallamos sus raíces, que + serán los autovalores de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Si la suma de sus multiplicidades da +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, resolvemos cada ecuación +\begin_inset Formula $(\lambda Id-f)X=0$ +\end_inset + + para obtener las bases de los subespacios propios, cuya dimensión debería + coincidir con la multiplicidad del autovalor si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es diagonalizable. + Entonces añadimos cada raíz en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + tantas veces como sea su multiplicidad y razonamos que los vectores correspondi +entes de la base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + +, y por tanto las correspondientes columnas de +\begin_inset Formula $M_{{\cal CB}}$ +\end_inset + +, son los de la base de dicho subespacio propio. +\end_layout + +\begin_layout Section +Aplicaciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq K$ +\end_inset + + verifica una +\series bold +ecuación en diferencias lineales con coeficientes constantes +\series default + (homogénea) si para todo +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + satisface que +\begin_inset Formula $x_{n+r}+a_{1}x_{n+r-1}+\dots+a_{r}x_{n}=0$ +\end_inset + +. + Llamamos a +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + el +\series bold +orden +\series default + de la ecuación. + Podemos definir entonces una sucesión auxiliar +\begin_inset Formula $(Y_{n})_{n}\subseteq M_{r,1}(K)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(Y_{n})_{i}=x_{n+r-i}$ +\end_inset + +. + Se tiene entonces que +\begin_inset Formula $x_{n+r}=-a_{1}x_{n+r-1}-\dots-a_{r}x_{n}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +Y_{n+1}=\left(\begin{array}{c} +x_{n+r}\\ +\vdots\\ +x_{n+1} +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} +-a_{1}x_{n+r-1}-\dots-a_{r}x_{n}\\ +x_{n+r-1}\\ +\vdots\\ +x_{n+1} +\end{array}\right)=\\ +=\left(\begin{array}{cccc} +-a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{r}\\ +1 & & 0 & 0\\ + & \ddots & & \vdots\\ +0 & & 1 & 0 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} +x_{n+r-1}\\ +\vdots\\ +x_{n} +\end{array}\right)=AY_{n} +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +sistema de ecuaciones en diferencias lineales de primer orden con coeficientes + constantes +\series default + (homogéneo) es una relación entre los términos de unas sucesiones y sus + términos inmediatamente anteriores: +\begin_inset Formula +\[ +\left.\begin{array}{ccc} +x_{n+1} & = & a_{11}x_{n}+a_{12}y_{n}+a_{13}z_{n}\\ +y_{n+1} & = & a_{21}x_{n}+a_{22}y_{n}+a_{23}z_{n}\\ +z_{n+1} & = & a_{31}x_{n}+a_{32}y_{n}+a_{33}z_{n} +\end{array}\right\} +\] + +\end_inset + +Estos pueden expresarme matricialmente de la forma +\begin_inset Formula $Y_{n+1}=AY_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$ +\end_inset + +. + Por re +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +cu +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +rren +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +cia, en ambos casos se tiene que +\begin_inset Formula $Y_{n}=A^{n-1}Y_{1}=A^{n}Y_{0}$ +\end_inset + +. + Entonces es útil diagonalizar +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, si es posible, para poder calcular las potencias rápidamente. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/cyn/n.lyx b/cyn/n.lyx new file mode 100644 index 0000000..56a3b06 --- /dev/null +++ b/cyn/n.lyx @@ -0,0 +1,237 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize a5paper +\use_geometry true +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\leftmargin 0.2cm +\topmargin 0.7cm +\rightmargin 0.2cm +\bottommargin 0.7cm +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle empty +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Title +Conjuntos y números +\end_layout + +\begin_layout Date +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +def +\backslash +cryear{2017} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "../license.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Bibliografía: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Curso de conjuntos y números: Apuntes, Juan Jacobo Simón Pinero (Curso 2017–2018 +). +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Conjuntos y elementos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n1.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Aplicaciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n2.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Órdenes en conjuntos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n3.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Relaciones de equivalencia +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n4.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Conjuntos numéricos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n5.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +El anillo de los números enteros +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n7.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Polinomios +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n8.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/cyn/n1.lyx b/cyn/n1.lyx new file mode 100644 index 0000000..21cc0c8 --- /dev/null +++ b/cyn/n1.lyx @@ -0,0 +1,914 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry true +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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+Por comprehensión: +\series default + +\begin_inset Formula $A=\{X\in B|p(X)\text{ (es verdadera)}\}$ +\end_inset + +. + Si es obvio quién es +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, se puede omitir. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Cualquiera de ambas escrituras determina un único conjunto. + +\series bold +Paradoja de Russell: +\series default + si +\begin_inset Formula $\mathcal{U}$ +\end_inset + + es la colección de todos los conjuntos y +\begin_inset Formula $A=\{x\in{\cal U}|x\notin x\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $A\in A$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $A\notin A$ +\end_inset + +. + Lo que ocurre es que +\begin_inset Formula ${\cal U}$ +\end_inset + + no es un conjunto. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Pertenencia: +\series default + +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +. + Contrario: +\begin_inset Formula $a\notin A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Inclusión: +\series default + +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + está contenido, o es un subconjunto, de +\series bold + +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + +\series default +: +\begin_inset Formula $A\subseteq B:\iff(a\in A\implies a\in B)$ +\end_inset + +. + Es transitiva: +\begin_inset Formula $A\subseteq B\land B\subseteq C\implies A\subseteq C$ +\end_inset + +. + Contrario: +\begin_inset Formula $A\nsubseteq B$ +\end_inset + +. + Subconjunto estricto: +\begin_inset Formula $A\subsetneq B\iff A\subseteq B\land A\neq B$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $A\subset B$ +\end_inset + + es ambiguo, aunque se suele usar como +\begin_inset Formula $A\subseteq B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Igualdad: +\series default + +\begin_inset Formula $A=B:\iff(a\in A\iff a\in B)\iff A\subseteq B\land B\subseteq A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Múltiplos de un número +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $n\mathbb{Z}=\{nt|t\in\mathbb{Z}\}=\{nt\}_{t\in\mathbb{Z}}$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $m\in n\mathbb{Z}\implies m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}$ +\end_inset + +. + Relación +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + o +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es múltiplo de +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $m|n\iff\exists t\in\mathbb{Z}:n=tm$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $A=\{x\in B|p(x)\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A'=\{x\in B|p'(x)\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $(p(x)\implies p'(x))\implies A\subseteq A'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +conjunto vacío +\series default + es aquel que no tiene elementos. + Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es vacío, entonces +\begin_inset Formula $A\subseteq B$ +\end_inset + +, dado que si +\begin_inset Formula $A\nsubseteq B$ +\end_inset + + significaría que +\begin_inset Formula $\exists a\in A:a\notin B$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + no estaría vacío. + De aquí podemos deducir que solo hay un conjunto vacío, y lo llamamos +\begin_inset Formula $\emptyset$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $A=\emptyset:\iff\forall x,x\notin A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El conjunto +\begin_inset Formula ${\cal P}(A)=\{B|B\subseteq A\}$ +\end_inset + + es el conjunto de las +\series bold +partes de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + +\series default + o el conjunto +\series bold +potencia +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + También se llama +\begin_inset Formula $2^{A}$ +\end_inset + + porque si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + tiene +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + elementos, +\begin_inset Formula ${\cal P}(A)$ +\end_inset + + tiene +\begin_inset Formula $2^{n}$ +\end_inset + +, de lo que deducimos que +\begin_inset Formula $A\neq{\cal P}(A)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Operaciones con subconjuntos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los +\series bold +diagramas de Venn +\series default + aportan una mejor comprensión de los conjuntos y sus operaciones. + Los conjuntos se representan como formas (normalmente círculos y cuadrados), + que pueden ir acompañados del nombre del conjunto, y se colorea la parte + deseada. + Operaciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Unión: +\series default + +\begin_inset Formula $A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Intersección: +\series default + +\begin_inset Formula $A\cap B=\{x|x\in A\land x\in B\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + son +\series bold +disjuntos +\series default + si +\begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Diferencia de conjuntos: +\series default + +\begin_inset Formula $A\backslash B=\{x|x\in A\land x\notin B\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Complemento: +\series default + Si +\begin_inset Formula $A\subseteq U$ +\end_inset + +, siendo +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + un +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +universo +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + en el contexto en el que operamos, el complemento de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + se define como +\begin_inset Formula $A^{\complement}=\overline{A}=U\backslash A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\forall A\subseteq B,A\cup X\subseteq B\cup X\land A\cap X\subseteq B\cap X$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A\subseteq C\land B\subseteq C\implies(A\cup B)\subseteq C$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A\subseteq B\iff A\cup B=B\iff A\cap B=A$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A\cup\emptyset=A$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $A\cap\emptyset=\emptyset$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $X\subseteq(A\cap B)\iff(X\subseteq A)\land(X\subseteq B)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $(A\cup B)\subseteq X\iff(A\subseteq X)\land(B\subseteq X)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $(A\backslash B)\cup(B\backslash A)=(A\cup B)\backslash(A\cap B)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Leyes de Morgan: +\series default + +\begin_inset Formula $(A\cap B)^{\complement}=A^{\complement}\cup B^{\complement}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $(A\cup B)^{\complement}=A^{\complement}\cap B^{\complement}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Familias de conjuntos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una familia de conjuntos es una colección +\begin_inset Formula $\{A_{i}|i\in I\}$ +\end_inset + + donde +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A_{i}$ +\end_inset + + son conjuntos. + Si todos los elementos son diferentes, tenemos un conjunto. + Algunas definiciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Unión arbitraria: +\series default + +\begin_inset Formula $\cup{\cal C}=\{x|\exists A\in{\cal C}:x\in A\}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\cup_{i\in I}A_{i}=\{x|\exists i\in I:x\in A_{i}\}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Intersección arbitraria: +\series default + +\begin_inset Formula $\cap{\cal C}=\{x|\forall A\in{\cal C}:x\in A\}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\cap_{i\in I}A_{i}=\{x|\forall i\in I:x\in A_{i}\}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\cap{\cal C}\subseteq A\subseteq\cup{\cal C}\forall A\in{\cal C}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\cap A_{i}\subseteq A_{j}\subseteq\cup A_{i}\forall j\in I$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $X\subseteq\cap{\cal C}\iff X\subseteq A\forall A\in{\cal C}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\cup{\cal C}\subseteq X\iff A\subseteq X\forall A\in{\cal C}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\cup_{i\in I}(A\cap B_{i})=A\cap(\cup_{i\in I}B_{i})$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\cap_{i\in I}(A\cup B_{i})=A\cup(\cap_{i\in I}B_{i})$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x\in\cup_{i\in I}(A\cap B_{i})\implies\exists i\in I:x\in(A\cap B_{i})\implies(x\in A)\land(x\in B_{i}\subseteq\cup B_{i})$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x\in A\cap(\cup_{i\in I}B_{i})\implies\exists i:(x\in A\land x\in B_{i})\implies x\in\cup(A\cap B_{i})$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(\cap A_{i})^{\complement}=\cup A_{i}^{\complement}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $(\cup A_{i})^{\complement}=\cap A_{i}^{\complement}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +par ordenado +\series default + o +\series bold +pareja ordenada +\series default + formada por +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d$ +\end_inset + +. + El +\series bold +producto cartesiano +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $A\times B=\{(a,b)|a\in A\land b\in B\}$ +\end_inset + +. + Este no es asociativo, pues en general, +\begin_inset Formula $(A\times B)\times C\neq A\times(B\times C)$ +\end_inset + +, pero son biyectivos. + Por ahora no tenemos descripción en términos de conjuntos para la expresión + +\begin_inset Formula $(a,b,c)$ +\end_inset + +. + Propiedades del producto cartesiano: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A\times\emptyset=\emptyset\times A=\emptyset$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +relación binaria +\series default + o +\series bold +correspondencia +\series default + entre elementos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es un subconjunto +\begin_inset Formula $R\subseteq A\times B$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $(a,b)\in R$ +\end_inset + +, decimos que +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + está relacionado con +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +, escrito +\begin_inset Formula $aRb$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $A=B$ +\end_inset + +, tenemos una relación en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Definiciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Conjunto inicial: +\series default + +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Conjunto final: +\series default + +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Dominio: +\series default + +\begin_inset Formula $\text{Dom}R=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Imagen: +\series default + +\begin_inset Formula $\text{Im}R=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos representar las relaciones en gráficas planas. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/cyn/n2.lyx b/cyn/n2.lyx new file mode 100644 index 0000000..386c747 --- /dev/null +++ b/cyn/n2.lyx @@ -0,0 +1,1510 @@ +#LyX 2.3 created this file. 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+\begin_inset Formula $\forall a\in A,\exists!b\in B:(a,b)\in f$ +\end_inset + +. + Escribimos +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $A\overset{f}{\longrightarrow}B$ +\end_inset + +, y llamamos +\begin_inset Formula $b=f(a)\iff(a,b)\in f$ +\end_inset + +. + Por ejemplo, podemos definir +\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $f(n)=n^{2}$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $f=\{(n,n^{2}):n\in\mathbb{N}\}$ +\end_inset + +. + Si partimos de una igualdad y queremos interpretarla como la regla de una + aplicación, la llamamos +\series bold +función +\series default +. + Podemos representar una aplicación: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Como dos conjuntos representados de forma similar a un diagrama de Euler-Venn, + en el que de cada elemento de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + parte una flecha hacia uno de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Como una gráfica, en la que los elementos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + se representan en el eje horizontal y los de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + en el eje vertical, y las relaciones se representan con puntos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Dominio +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $\text{Dom}f=A$ +\end_inset + +, por lo que el término +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +conjunto inicial +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + no se usa. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Codominio +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +: +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +Conjunto final +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Imagen +\series default + o +\series bold +imagen directa +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $\text{Im}f=f(A)=\{b\in B:\exists a:f(a)=b\}\subseteq B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Regla de correspondencia +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +: Igualdad +\begin_inset Formula $b=f(a)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $b=f(a)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\emph on +una +\emph default + +\series bold +preimagen +\series default + de +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es la +\series bold +imagen +\series default + de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +ley de composición externa +\series default + es una aplicación +\begin_inset Formula $B\times A\overset{\circ}{\longrightarrow}A$ +\end_inset + +. + Una +\series bold +operación binaria +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es una aplicación +\begin_inset Formula $A\times A\overset{\circ}{\longrightarrow}A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas +\end_layout + +\begin_layout Standard +La aplicación +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + + es: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Inyectiva +\series default + o +\series bold +uno a uno +\series default + si +\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies a=b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Suprayectiva +\series default +, +\series bold +sobreyectiva +\series default + o +\series bold +exhaustiva +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall b\in B,\exists a\in A:f(a)=b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Biyectiva +\series default + si es inyectiva y suprayectiva. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +restricción de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + a su imagen +\series default + es una aplicación +\begin_inset Formula $\hat{f}:A\rightarrow\text{Im}f$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\hat{f}(a)=f(a)$ +\end_inset + +. + Se dice que +\begin_inset Formula $\hat{f}$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +actúa igual +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. + Siempre es suprayectiva. +\end_layout + +\begin_layout Section +Imágenes directas e inversas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $X\subseteq A$ +\end_inset + +, definimos la +\series bold +imagen directa +\series default + de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $f(X)=\{f(x)|x\in X\}$ +\end_inset + +. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(\emptyset)=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Se deriva de que +\begin_inset Formula $\emptyset\times B=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $X\subseteq Y\implies f(X)\subseteq f(Y)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula +\[ +y\in f(X)\implies\exists x\in X,y\in Y:f(x)=y\implies f(x)\in f(Y)\implies y\in f(Y) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A\implies f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $f\left(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $y\in f(\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha})$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\exists x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}:f(x)=y$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:x\in X_{\alpha}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $y\in f(X_{\alpha})\subseteq\cup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Considérese +\begin_inset Formula $y\in\cup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:y\in f(X_{\alpha})$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\exists x\in X_{\alpha}:f(x)=y$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ +\end_inset + +, así que +\begin_inset Formula $y=f(x)\in f(\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A\implies f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $f\left(\bigcap_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)\subseteq\bigcap_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $y\in f(\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha})$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\exists x\in\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha}:f(x)=y$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $x\in\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,x\in X_{\alpha}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,\exists x\in X_{\alpha}:f(x)=y$ +\end_inset + +. + De aquí deducimos que +\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,y\in f(X_{\alpha})$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $y\in\cap_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $Y\subseteq B$ +\end_inset + +, definimos la +\series bold +imagen inversa +\series default + de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $f(Y)^{-1}:=f^{-1}(Y):=\{a\in A|f(a)\in Y\}$ +\end_inset + +. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(\emptyset)^{-1}=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Se deriva de que +\begin_inset Formula $A\times\emptyset=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(B)^{-1}=A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $X\subseteq B\implies\left(f(X)^{-1}\right)^{\complement}=f\left(X^{\complement}\right)^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $X\subseteq Y\subseteq B\implies f(X)^{-1}\subseteq f(Y)^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $X,Y\subseteq B\implies f(X\cup Y)^{-1}=f(X)^{-1}\cup f(Y)^{-1}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $f\left(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)^{-1}=\bigcup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $x\in f(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:f(x)\in X_{\alpha}$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $x\in f(X_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $X,Y\subseteq B\implies f(X\cap Y)^{-1}=f(X)^{-1}\cap f(Y)^{-1}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $f\left(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}\right)^{-1}=\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $x\in f(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $f(x)\in Y_{\alpha}$ +\end_inset + +, y por tanto +\begin_inset Formula $x\in f(Y_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +, para todo +\begin_inset Formula $\alpha\in I$ +\end_inset + +. + De aquí se tiene que +\begin_inset Formula $x\in\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $x\in\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $x\in f(Y_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +, y por tanto +\begin_inset Formula $f(x)\in Y_{\alpha}$ +\end_inset + +, para todo +\begin_inset Formula $\alpha\in I$ +\end_inset + +. + Esto significa que +\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $x\in f(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha})^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + + es una aplicación, para todo +\begin_inset Formula $X\subseteq A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X\subseteq f(f(X))^{-1}$ +\end_inset + +, y para todo +\begin_inset Formula $Y\subseteq B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(f(Y)^{-1})\subseteq Y$ +\end_inset + +, y ambos contenidos pueden ser estrictos. +\end_layout + +\begin_layout Section +Composición +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g:B\rightarrow C$ +\end_inset + +, definimos la +\series bold +composición de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + seguida de +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + +\series default + como la aplicación +\begin_inset Formula $g\circ f:A\rightarrow C$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\text{Dom}(g\circ f)=\text{Dom}f$ +\end_inset + + y el codominio de +\begin_inset Formula $g\circ f$ +\end_inset + + es igual al de +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $g:B\rightarrow C$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $h:C\rightarrow D$ +\end_inset + + son aplicaciones, entonces +\begin_inset Formula $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ +\end_inset + +. + La demostración parte de la coincidencia entre dominios y codominios que + permite considerar las distintas composiciones: +\begin_inset Formula +\[ +(h\circ(g\circ f))(a)=h((g\circ f)(a))=h(g(f(a)))=(h\circ g)(f(a))=((h\circ g)\circ f)(a) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + aplicaciones inyectivas y +\begin_inset Formula $a,a'\in A$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $g(f(a))=g(f(a'))$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + es inyectiva, +\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$ +\end_inset + +, y entonces +\begin_inset Formula $a=a'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La composición de aplicaciones suprayectivas es suprayectiva. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + suprayectivas y +\begin_inset Formula $c\in C$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\exists b\in B:g(b)=c$ +\end_inset + + y a su vez +\begin_inset Formula $\exists a\in A:f(a)=b$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $g\circ f$ +\end_inset + + es inyectiva, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es inyectiva. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $a,a'\in A$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $g(f(a))=g(f(a'))$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')$ +\end_inset + +, y por ello +\begin_inset Formula $a=a'$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $g\circ f$ +\end_inset + + es suprayectiva, +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + también lo es. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Para cualquier +\begin_inset Formula $c\in C$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists a\in A:(g\circ f)(a)=g(f(a))=c$ +\end_inset + +, y por tanto +\begin_inset Formula $\exists f(a)=b\in B:g(b)=c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X\subseteq A$ +\end_inset + +, la +\series bold +restricción +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es la aplicación +\begin_inset Formula $f|_{X}:X\rightarrow B$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $f|_{X}(x)=f(x)$ +\end_inset + +. + También se puede interpretar como que +\begin_inset Formula $f|_{X}=f\circ u$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $u:X\rightarrow A$ +\end_inset + + como la +\series bold +aplicación inclusión +\series default +, dada por +\begin_inset Formula $u(x)=x$ +\end_inset + +. + Al restringir una aplicación pueden variar sus propiedades. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Inversa de una aplicación biyectiva +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos la +\series bold +aplicación identidad +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $1_{A}:A\rightarrow A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $1_{A}(a)=a$ +\end_inset + +. + Entonces decimos que +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + + es una +\series bold +aplicación invertible +\series default + o que tiene +\series bold +inversa +\series default + si existe +\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $g\circ f=1_{A}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f\circ g=1_{B}$ +\end_inset + +. + Ahora supongamos que +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $h$ +\end_inset + + son inversas de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. + Entonces, +\begin_inset Formula +\[ +g=g\circ1_{B}=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=1_{A}\circ h=h +\] + +\end_inset + +Por tanto la inversa de una aplicación es única, y la llamamos +\begin_inset Formula $f^{-1}$ +\end_inset + +. + Además +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es invertible si y sólo si es biyectiva. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $a,a'\in A$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $f^{-1}(f(a))=f^{-1}(f(a'))$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a=a'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es inyectiva. + Ahora, +\begin_inset Formula $\forall b\in B,\exists a=f^{-1}(b)\in A:f(a)=b$ +\end_inset + +, por lo que es suprayectiva. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Para cada +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + + consideremos la imagen inversa +\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es suprayectiva, +\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $a,a'\in f(\{b\})^{-1}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $b=f(a)=f(a')$ +\end_inset + +, y como es inyectiva, +\begin_inset Formula $a=a'$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}$ +\end_inset + + tiene un solo elemento. + Ahora definimos +\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $g(b)\in f(b)^{-1}$ +\end_inset + +. + Es inmediato comprobar que +\begin_inset Formula $g=f^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + son invertibles, +\begin_inset Formula $g\circ f$ +\end_inset + + también lo es y su inversa es +\begin_inset Formula $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ +\end_inset + +. + Un ejemplo de aplicaciones invertibles son las +\series bold +permutaciones +\series default +. + Sea +\begin_inset Formula $0\neq n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A=\{a_{1},\dots,a_{n}\}$ +\end_inset + +. + Entonces una permutación de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es una biyección +\begin_inset Formula $\sigma:A\rightarrow A$ +\end_inset + +. + Se suelen denotar como +\begin_inset Formula +\[ +\sigma:\left(\begin{array}{ccc} +a_{1} & \dots & a_{n}\\ +\sigma(a_{1}) & \dots & \sigma(a_{n}) +\end{array}\right) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\begin_inset Formula $S(A)$ +\end_inset + + al conjunto de las permutaciones de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $A=\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +, se escribe como +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Producto directo +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + un conjunto y +\begin_inset Formula $F=\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + una familia de conjuntos, se define el +\series bold +producto directo +\series default + de +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + como el conjunto +\begin_inset Formula +\[ +\prod_{i\in I}A_{i}=\left\{ f:I\rightarrow\cup_{i\in I}:f(i)\in A_{i}\forall i\in I\right\} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $f\in\prod_{i\in I}A_{i}$ +\end_inset + +, escribimos +\begin_inset Formula $f=(x_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es finito y se escribe como una lista, podemos escribir el conjunto como + +\begin_inset Formula $A_{1}\times\cdots\times A_{n}=\{(x_{1},\dots,x_{n}):x_{i}\in A_{i},i=1,\dots,n\}$ +\end_inset + +. + Si no se quiere escribir el conjunto de índices, este se presupone. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Debemos tener en cuenta que el producto cartesiano se usa en la definición + de relación y aplicación, por lo que el producto directo requiere de la + definición del cartesiano y no puede sustituirlo, aunque exista una biyección + cuando el número de factores es finito y usemos la misma escritura. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + conjuntos y +\begin_inset Formula $F=\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G=\{B_{j}\}_{j\in J}$ +\end_inset + + familias de conjuntos. + Si existe una biyección +\begin_inset Formula $\sigma:I\rightarrow J$ +\end_inset + + y un conjunto de biyecciones +\begin_inset Formula $\{f_{i}:A_{i}\rightarrow B_{\sigma(i)}\}_{i\in I}$ +\end_inset + +, entonces existe una biyección +\begin_inset Formula $f:\prod_{i\in I}A_{i}\rightarrow\prod_{j\in J}B_{j}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $f(x)_{j}=f_{\sigma^{-1}(j)}\left(x_{\sigma^{-1}(j)}\right)$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $x\in\prod_{i\in I}A_{i}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + para cada +\begin_inset Formula $x\in\prod_{i\in I}A_{i}$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $j\in J$ +\end_inset + + existe un único +\begin_inset Formula $f_{\sigma^{-1}(j)}\left(x_{\sigma^{-1}(j)}\right)$ +\end_inset + +, de modo que la relación es de aplicación, y debemos ver que es biyectiva. + Sea +\begin_inset Formula $g:\prod_{j\in J}B_{j}\rightarrow\prod_{i\in I}A_{i}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $g(y)_{i}=f_{i}^{-1}\left(y_{\sigma(i)}\right)$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $f_{i}^{-1}:B_{\sigma(i)}\rightarrow A_{i}$ +\end_inset + +). + Como también es aplicación, debemos probar que sean inversas. + Entonces: +\begin_inset Formula +\[ +g(f(x))_{i}=f_{i}^{-1}(f(x)_{\sigma(i)})=f_{i}^{-1}\left(f_{\sigma^{-1}(\sigma(i))}\left(x_{\sigma^{-1}(\sigma(i))}\right)\right)=f_{i}^{-1}(f_{i}(x_{i}))=x_{i} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +De forma análoga, +\begin_inset Formula $f(g(y))=y$ +\end_inset + +, y como tiene inversa, la aplicación es biyectiva. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Axioma de Elección: +\series default + Si +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es un conjunto no vacío y +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + una familia de conjuntos no vacíos, entonces +\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$ +\end_inset + + es no vacío. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/cyn/n3.lyx b/cyn/n3.lyx new file mode 100644 index 0000000..de18e21 --- /dev/null +++ b/cyn/n3.lyx @@ -0,0 +1,725 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Section +Relaciones de orden +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una relación +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + en un conjunto +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + se dice que es: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Reflexiva +\series default + si +\begin_inset Formula $(a,a)\in R$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Transitiva +\series default + si +\begin_inset Formula $(a,b),(b,c)\in R\implies(a,c)\in R$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Simétrica +\series default + si +\begin_inset Formula $(a,b)\in R\implies(b,a)\in R$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Antisimétrica +\series default + si +\begin_inset Formula $(a,b),(b,a)\in R\implies a=b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una relación +\begin_inset Formula $\leq$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es +\series bold +de orden parcial +\series default + (o un orden parcial) si es reflexiva, transitiva y antisimétrica. + Un ejemplo es el +\series bold +orden lexicográfico +\series default + en +\begin_inset Formula $K^{n}$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})\leq(y_{1},\dots,y_{n})$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $x_{1}<y_{1}$ +\end_inset + +, o +\begin_inset Formula $x_{1}=y_{1}$ +\end_inset + + y bien los vectores son de un elemento o bien +\begin_inset Formula $(x_{2},\dots,x_{n})\leq(y_{2},\dots,y_{n})$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $K^{n-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +conjunto parcialmente ordenado +\series default + ( +\series bold +CPO +\series default + o +\series bold +COPO +\series default +) es un par +\begin_inset Formula $(A,\leq)$ +\end_inset + + donde +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un conjunto y +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\leq$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + una relación de orden en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Si el contexto no deja dudas, diremos que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un COPO. + +\series bold +Notación: +\series default + +\begin_inset Formula $a<b:\iff a\leq b\land a\neq b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un +\series bold +conjunto totalmente +\series default + o +\series bold +linealmente ordenado +\series default +, y +\begin_inset Formula $\leq$ +\end_inset + + un +\series bold +orden total +\series default + o +\series bold +lineal +\series default +, si se satisface la +\series bold +ley de la tricotomía +\series default +, es decir, si dados +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset + +, ocurre que +\begin_inset Formula $a=b$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a<b$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $b<a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos representar conjuntos ordenados mediante +\series bold +diagramas de Hasse +\series default +, también llamados +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\lang english +upward drawing +\lang spanish + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + o diagramas de grafo de un orden parcial. + Se representan los elementos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y se unen con una línea las que tienen relación de equivalencia entre sí, + sin contar las que se puedan deducir de la reflexividad o transitividad, + y con el elemento mayor situado más arriba. + También se pueden representar mediante +\series bold + +\begin_inset Formula $\zeta$ +\end_inset + +-matrices +\series default +, matrices +\begin_inset Formula $\zeta_{A}$ +\end_inset + + con índices en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, de forma que +\begin_inset Formula +\[ +\zeta_{a,b}=\begin{cases} +1 & \text{si }a<b\\ +0 & \text{en otro caso} +\end{cases} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Elementos notables en un COPO +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $(A,\leq)$ +\end_inset + + un conjunto parcialmente ordenado y +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\series bold +máximo +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + cuando +\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in A$ +\end_inset + +. + Si existe, es único, pues si fueran +\begin_inset Formula $a,a'\in A$ +\end_inset + + máximos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, se tendría que +\begin_inset Formula $a\leq a'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a'\leq a$ +\end_inset + +, y por tanto +\begin_inset Formula $a=a'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\series bold +mínimo +\series default + o +\series bold +primer elemento +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + cuando +\begin_inset Formula $a\leq b\forall b\in A$ +\end_inset + +. + Si existe, es único, y la demostración es análoga. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es un +\series bold +elemento maximal +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + cuando +\begin_inset Formula $b\geq a\implies b=a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es un +\series bold +elemento minimal +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + cuando +\begin_inset Formula $b\leq a\implies b=a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Además, si +\begin_inset Formula $B\subseteq A$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\series bold +cota superior +\series default + de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\series bold +cota inferior +\series default + de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $a\leq b\forall b\in B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\series bold +supremo +\series default + o +\series bold +extremo superior +\series default + de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si es el mínimo de las cotas superiores de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Si existe es único, pues el mínimo de las cuotas superiores, al ser un + mínimo, es único. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\series bold +ínfimo +\series default + o +\series bold +extremo inferior +\series default + de +\series bold + +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si es el máximo de las cotas inferiores de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Si existe es único, por razonamiento análogo al anterior. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es máximo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + si y sólo si es el supremo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Al ser máximo se tiene que +\begin_inset Formula $b'\geq b\forall b\in B$ +\end_inset + + y por tanto también es cota superior, pero si hubiera una cota superior + menor, a la que llamaremos +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $c<b\in B$ +\end_inset + + y por tanto no es cota superior +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Al ser supremo, es cota superior, por lo que +\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in B$ +\end_inset + +. + Si a esto le unimos que +\begin_inset Formula $a\in B$ +\end_inset + +, tenemos la definición de máximo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Esta propiedad se cumple de forma análoga si en vez del máximo y el supremo + tomamos el mínimo y el ínfimo. +\end_layout + +\begin_layout Section +Conjuntos bien ordenados +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un CPO es +\series bold +bien ordenado +\series default + si todo subconjunto suyo no vacío tiene primer elemento. + Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + bien ordenado y +\begin_inset Formula $B=\{a,b\}\subseteq A$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $\{a,b\}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, tiene primer elemento, de lo que se desprende la tricotomía. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Principio de la Buena Ordenación: +\series default + Si +\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$ +\end_inset + +, existe un orden +\begin_inset Formula $\leq$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $(A,\leq)$ +\end_inset + + es un conjunto bien ordenado. + Esto es equivalente al Axioma de Elección. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/cyn/n4.lyx b/cyn/n4.lyx new file mode 100644 index 0000000..50a4550 --- /dev/null +++ b/cyn/n4.lyx @@ -0,0 +1,374 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Una relación es +\series bold +de equivalencia +\series default + si es reflexiva, simétrica y transitiva. + Si +\begin_inset Formula $(a,b)\in R$ +\end_inset + +, escribimos +\begin_inset Formula $aRb$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\sim_{R}b$ +\end_inset + + o, si no causa confusión +\begin_inset Formula $a\sim b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Clases de equivalencia +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + una relación de equivalencia en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Para cada +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, su clase de equivalencia es +\begin_inset Formula $[a]=\{b\in A:a\sim b\}$ +\end_inset + +. + Entonces: +\begin_inset Formula +\[ +[a]\cap[b]\neq\emptyset\iff a\sim_{R}b\iff[a]=[b] +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x\in[a]\cap[b]\implies a\sim x\land x\sim b\implies a\sim b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\end_inset + + Por hipótesis +\begin_inset Formula $a\sim b$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $x\in[a]\implies x\sim a\implies x\sim b\implies x\in[b]$ +\end_inset + +. + Análogamente, +\begin_inset Formula $y\in[b]\implies y\in[a]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $(a,a)\in R\implies a\in[a]=[b]\implies[a]\cap[b]\neq\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + es una clase de equivalencia y +\begin_inset Formula $a\in C$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $[a]=C$ +\end_inset + +, y decimos que +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es un +\series bold +representante +\series default + de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +El conjunto cociente y la proyección canónica +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se define el +\series bold +conjunto cociente +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + respecto de la relación +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + como el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + respecto de +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + +, y se denota +\begin_inset Formula $A/R$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A/\sim_{R}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A/\sim$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\frac{A}{\sim}$ +\end_inset + +. + Calcular los conjuntos cociente consiste en dar un +\series bold +juego completo de representantes +\series default +, es decir, describir un conjunto +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + con uno y solo un representante de cada clase de equivalencia ( +\series bold +conjunto irredundante de representantes +\series default + de las clases de equivalencia). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +proyección canónica +\series default + a la aplicación +\begin_inset Formula $\eta_{R}:A\rightarrow A/R$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a\mapsto[a]$ +\end_inset + +. + Siempre es suprayectiva, por la definición de +\begin_inset Formula $A/R$ +\end_inset + +, y solo es inyectiva cuando +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + es la igualdad. +\end_layout + +\begin_layout Section +Relaciones de equivalencia y particiones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + conjuntos y +\begin_inset Formula $P=\{B_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + una familia de subconjuntos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, decimos que +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + forma una +\series bold +partición +\series default + para +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si se verifica que +\begin_inset Formula $B_{i}\cap B_{j}=\emptyset\iff i\neq j$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}B_{i}=A$ +\end_inset + +. + Toda relación de equivalencia induce una partición, pues +\begin_inset Formula $[a]\cap[b]=\emptyset\iff a\not\sim b$ +\end_inset + +, lo que se obtiene de las propiedades de las clases de equivalencia, y + +\begin_inset Formula $\cup_{[a]\in A/\sim}[a]=A$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $b\sim b\implies b\in[b]\subseteq\cup_{[a]\in A/\sim}[a]$ +\end_inset + +. + Del mismo modo, toda partición +\begin_inset Formula $\{C_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + determina una clase de equivalencia, definida por +\begin_inset Formula $a\sim b:\iff\exists i\in I:a,b\in C_{i}$ +\end_inset + +. + Solo quedaría probar que esta es una relación de equivalencia y las clases + de equivalencia son las +\begin_inset Formula $C_{i}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/cyn/n5.lyx b/cyn/n5.lyx new file mode 100644 index 0000000..0315b5a --- /dev/null +++ b/cyn/n5.lyx @@ -0,0 +1,2359 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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+\end_inset + +clases de equipotencia +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + que llamamos +\series bold +cardinales +\series default +, y representamos con +\begin_inset Formula $|A|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un conjunto +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es +\series bold +infinito +\series default + si existe +\begin_inset Formula $B\subsetneq A$ +\end_inset + + equipotente a +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + En caso contrario es +\series bold +finito +\series default +. + Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es finito, +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow A$ +\end_inset + + es inyectiva si y sólo si es suprayectiva. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Se +\begin_inset Formula $B=\text{Im}f\subseteq A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\hat{f}:A\rightarrow B$ +\end_inset + + la restricción a la imagen de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. + Esta es entonces biyectiva, y como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es finito, el subconjunto +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + no puede ser propio, por lo que es +\begin_inset Formula $B=A$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $\text{Im}f=A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es suprayectiva. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Para cualquier +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + se tiene que +\begin_inset Formula $f(\{a\})^{-1}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, por lo que existe +\begin_inset Formula $g:A\rightarrow A\in\prod_{a\in A}f(\{a\})^{-1}$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $f(g(a))=a\forall a\in A$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $f\circ g=1_{A}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + es inyectiva y, por la implicación anterior, suprayectiva. + Si +\begin_inset Formula $a_{1},a_{2}\in A$ +\end_inset + + verifican +\begin_inset Formula $f(a_{1})=f(a_{2})$ +\end_inset + + entonces existen, por la suprayectividad de +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b_{1},b_{2}\in A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $g(b_{1})=a_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g(b_{2})=a_{2}$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $b_{1}=f(g(b_{1}))=f(a_{1})=f(a_{2})=f(g(b_{2}))=b_{2}$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $a_{1}=g(b_{1})=g(b_{2})=a_{2}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es inyectiva. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Igualmente, si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + son conjuntos finitos con +\begin_inset Formula $|A|=|B|$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $g:A\rightarrow B$ +\end_inset + + es inyectiva si y sólo si es suprayectiva. + +\series bold +Demostración: +\series default + Al existir una biyección +\begin_inset Formula $h:B\rightarrow A$ +\end_inset + +, podemos definir +\begin_inset Formula $f=h\circ g:A\rightarrow A$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + es inyectiva, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + también, por lo que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es suprayectiva y +\begin_inset Formula $g=h^{-1}\circ f$ +\end_inset + + también. + El recíproco se prueba de forma análoga. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $A\subseteq B$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es infinito, +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + también lo es. + +\series bold +Demostración: +\series default + Existe +\begin_inset Formula $A_{0}\subsetneq A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f:A_{0}\rightarrow A$ +\end_inset + + biyectiva. + Sea entonces +\begin_inset Formula $B_{0}=A_{0}\dot{\cup}(B\backslash A)\subsetneq B$ +\end_inset + +, basta construir una biyección +\begin_inset Formula $f':B_{0}\rightarrow B$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x\in A_{0}\mapsto f(x)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in B\backslash A\mapsto x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Números naturales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un cardinal es finito si tiene un representante finito. + De lo contrario es infinito. + Llamamos +\series bold +números naturales +\series default + ( +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + +) a la colección de cardinales finitos. + El +\series bold +axioma del infinito +\series default + afirma que esta colección es un conjunto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $n=|A|$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +sucesor +\series default + de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $n^{*}=|A\cup\{x\}|$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x\notin A$ +\end_inset + +. + Tenemos que +\begin_inset Formula $n^{*}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, y escribimos +\begin_inset Formula $n^{*}=n+1$ +\end_inset + +. + Podemos entonces definir +\begin_inset Formula $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\sigma(n)=n^{*}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + es inyectiva pero no suprayectiva y por tanto +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + + es infinito. + Vemos que +\begin_inset Formula $0=|\emptyset|$ +\end_inset + + es el único número natural que no es sucesor de ningún otro. + Escribimos +\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\backslash\{0\}$ +\end_inset + +, y entonces podemos definir intuitivamente la aplicación +\series bold +antecesor +\series default + como +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}^{-1}:\mathbb{N}^{*}\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos +\begin_inset Formula $|A|\leq|B|\iff\exists f:A\rightarrow B\text{ inyectiva}$ +\end_inset + +, y vemos que +\begin_inset Formula $(\mathbb{N},\leq)$ +\end_inset + + es bien ordenado. + Entonces +\begin_inset Formula $n^{*}=\min\{x\in\mathbb{N}|n<x\}$ +\end_inset + + y por tanto, si +\begin_inset Formula $a,n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + son tales que +\begin_inset Formula $n\leq a\leq n^{*}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a=n$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $a=n^{*}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $M_{n}=\{x\in\mathbb{N}|n<x\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a=\min M_{n}$ +\end_inset + +. + Sabemos que existen +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + representantes respectivos de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + junto con +\begin_inset Formula $f:N\rightarrow A$ +\end_inset + + inyectiva pero no suprayectiva. + Entonces existe +\begin_inset Formula $x\in A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x\notin\text{Im}f$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $g:N\cup\{N\}\rightarrow A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $g(b)=f(b)$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $b\in N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g(N)=x$ +\end_inset + +, podemos comprobar que +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + es inyectiva y por tanto +\begin_inset Formula $n^{*}\leq a$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $n^{*}=a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +principio de inducción en los números naturales +\series default + afirma que si +\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$ +\end_inset + + cumple que +\begin_inset Formula $0\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in A\implies n^{*}\in A$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $A=\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Esto puede modificarse tomando que para +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $k\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $k\leq n\in A\implies n^{*}\in A$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}|n\geq k\}\subseteq A$ +\end_inset + +. + La +\series bold +inducción matemática +\series default + es un método de demostración consistente en demostrar la validez de la + propiedad +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + y luego probar la validez de +\begin_inset Formula $P(n+1)$ +\end_inset + + suponiendo la de +\begin_inset Formula $P(n)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +También, dados +\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $k\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\forall m\in\mathbb{N},(k\leq m<n\implies m\in A)\implies n\in A$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}|n\geq k\}\subseteq A$ +\end_inset + +. + La aplicación de esto se conoce como +\series bold +inducción matemática fuerte +\series default +. + El principio de inducción, el del buen orden y el axioma de elección son + equivalentes. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo conjunto finito totalmente ordenado está bien ordenado y tiene máximo + y mínimo. + Por otro lado, +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}=\{x\in\mathbb{N}|1\leq x\leq n\}$ +\end_inset + + cumple que +\begin_inset Formula $|\mathbb{N}_{n}|=|\{1,\dots,n\}|=n$ +\end_inset + + y por tanto es finito. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El conjunto de números naturales que hemos construido satisface los +\series bold +axiomas de Peano +\series default +: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $0\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\exists\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\text{ inyectiva}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $0\notin\text{Im}\sigma$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Se cumple el principio de inducción. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Cualquier conjunto que cumpla estas condiciones es esencialmente igual a + +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + +, lo que se conoce como +\series bold +unicidad del sistema de Peano +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos la +\series bold +suma +\series default + como +\begin_inset Formula $+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $n+0=n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n+m^{*}=(n+m)^{*}$ +\end_inset + +. + Esta cumple que +\begin_inset Formula $(n+1)+m=n+(m+1)$ +\end_inset + +, y verifica las propiedades de +\series bold +conmutatividad +\series default +, +\series bold +asociatividad +\series default + y +\series bold +cancelación +\series default + ( +\begin_inset Formula $a+c=b+c\implies a=b$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos el +\series bold +producto +\series default + como +\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n\cdot0=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\cdot m^{*}=n\cdot m+n$ +\end_inset + +, y escribimos +\begin_inset Formula $n\cdot m=nm$ +\end_inset + +. + Este cumple que +\begin_inset Formula $(n+1)m=nm+m$ +\end_inset + +, y verifica las propiedades de +\series bold +conmutatividad +\series default +, +\series bold +asociatividad +\series default +, +\series bold +distributividad +\series default + respecto de la suma y +\series bold +cancelación +\series default + ( +\begin_inset Formula $nm=0\iff n=0\lor m=0$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema +\series default + para la relación del orden y las operaciones aritméticas: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\leq b\iff\exists u\in\mathbb{N}:a+u=b$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $a\leq a+u\forall u\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $B=\{n\in\mathbb{N}|a+n>b\}$ +\end_inset + + y como +\begin_inset Formula $b^{*}\in B$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $B\neq\emptyset$ +\end_inset + +, por lo que existe +\begin_inset Formula $c:=\min B$ +\end_inset + +. + Sea entonces +\begin_inset Formula $u\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $u^{*}=c$ +\end_inset + +. + De aquí, +\begin_inset Formula $a+u\leq b<a+u^{*}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $a+u=b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\leq b\implies a+c\leq b+c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\leq b\implies ac\leq bc$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $a+u=b$ +\end_inset + +, llamamos +\begin_inset Formula $u=b-a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Números enteros +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +números enteros +\series default + al conjunto cociente +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula +\[ +(a,b)\sim(n,m)\iff a+m=b+n +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Tenemos entonces que +\begin_inset Formula $\{(a,0)\}_{a\in\mathbb{N}}\dot{\cup}\{(0,b)\}_{b\in\mathbb{N}^{*}}$ +\end_inset + + es un conjunto irredundante de representantes. + Así, si +\begin_inset Formula $n\geq m$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(n,m)\in[(n-m,0)]$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $n<m$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(n,m)\in[(0,m-n)]$ +\end_inset + +. + Denotamos con +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $[(n,0)]$ +\end_inset + + y los identificamos con los naturales, y denotamos con +\begin_inset Formula $-n$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $[(0,n)]$ +\end_inset + +. + Definimos también +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{+}=\{n\in\mathbb{Z}|0\neq n\in\mathbb{N}\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{-}=\{-n\in\mathbb{Z}|0\neq n\in\mathbb{N}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos +\begin_inset Formula $[(a,b)]\leq[(m,n)]\iff a+n\leq b+m$ +\end_inset + +, y de aquí que +\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},\leq)$ +\end_inset + + es un conjunto totalmente ordenado en el que todo entero tiene predecesor + y sucesor. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos la +\series bold +suma +\series default + como +\begin_inset Formula $+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $[(a,b)]+[(m,n)]=[(a+m,b+n)]$ +\end_inset + +. + Esta está bien definida y verifica las propiedades conmutativa, asociativa, + existencia de +\series bold +neutro +\series default + +\begin_inset Formula $0=[(0,0)]$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},a+0=0$ +\end_inset + +) y existencia de +\series bold +opuesto +\series default + o +\series bold +inverso bajo la suma +\series default + ( +\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},\exists a^{\prime}:a+a^{\prime}=0$ +\end_inset + +). + +\series bold +Demostración +\series default + de que está bien definida. + Sean +\begin_inset Formula $a,a',b,b',m,m',n,n'\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $[(a,b)]=[(a',b')]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $[(m,n)]=[(m',n')]$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $a+b'=b+a'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m+n'=n+m'$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $a+b'+m+n'=b+a'+n+m'$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $(a+m)+(b'+n')=(a'+m')+(b+n)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $[(a+m,b+n)]=[(a'+m',b'+n')]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos el +\series bold +producto +\series default + como +\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $[(a,b)]\cdot[(m,n)]=[(am+bn,an+bm)]$ +\end_inset + +. + Este está bien definido y verifica las propiedades conmutativa, asociativa, + distributiva respecto a la suma y existencia de neutro +\begin_inset Formula $1=[(1,0)]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Números racionales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +números racionales +\series default + al conjunto cociente +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^{*}/\sim$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula +\[ +[(a,b)]\sim[(n,m)]\iff am=bn +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Identificamos los enteros con los +\begin_inset Formula $[(n,1)]$ +\end_inset + +, escribimos +\begin_inset Formula $\frac{m}{n}:=[(m,n)]$ +\end_inset + + y denotamos con +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\frac{m}{1}=[(m,1)]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos +\begin_inset Formula $\frac{n}{m}\leq\frac{a}{b}\iff nmb^{2}\leq abm^{2}$ +\end_inset + +, y decimos que un racional es +\series bold +positivo +\series default + si es mayor que 0 y +\series bold +negativo +\series default + si es menor. + Si +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + tienen el mismo signo, podemos considerar +\begin_inset Formula $\frac{n}{m}\leq\frac{a}{b}\iff nb\leq ma$ +\end_inset + +. + Se tiene que +\begin_inset Formula $(\mathbb{Q},\leq)$ +\end_inset + + es un conjunto totalmente ordenado. + +\series bold +Demostración: +\series default + Dados +\begin_inset Formula $\frac{n}{m}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\frac{a}{b}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $nb=ma$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $nb>ma$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $nb<ma$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos la suma como +\begin_inset Formula $+:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\frac{a}{b}+\frac{m}{n}=\frac{an+bm}{bn}$ +\end_inset + +. + Esta está bien definida, y verifica las propiedades de conmutatividad, + asociatividad, existencia de neutro +\begin_inset Formula $0=[(0,1)]$ +\end_inset + + y existencia de opuesto. + Además, +\begin_inset Formula $\frac{-n}{m}=\frac{n}{-m}=-\frac{n}{m}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos el producto como +\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\frac{a}{b}\cdot\frac{m}{n}=\frac{am}{bn}$ +\end_inset + +. + Este está bien definido y verifica las propiedades de conmutatividad, asociativ +idad, existencia de neutro +\begin_inset Formula $1=[(1,1)]$ +\end_inset + + y existencia de inverso para todo racional no cero ( +\begin_inset Formula $\forall\frac{m}{n}\in\mathbb{Q},\frac{m}{n}\cdot\frac{n}{m}=1$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una sucesión de números naturales +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + (o de cualquier subconjunto de +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + +) es +\series bold +eventualmente periódica +\series default + si +\begin_inset Formula $\exists m\in\mathbb{N},q\in\mathbb{N}^{*}:\forall i\geq m,a_{i}=a_{i+q}$ +\end_inset + +. + Al menor +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + que satisface la condición se le llama +\series bold +término inicial del período +\series default +, y al menor +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + +, +\series bold +período +\series default +. + Una sucesión eventualmente periódica con +\begin_inset Formula $p=1$ +\end_inset + + se dice que es +\series bold +eventualmente constante +\series default +\SpecialChar endofsentence + Por otro lado, una sucesión de naturales +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + es +\series bold +decimal +\series default + si +\begin_inset Formula $a_{n}\in\{0,\dots,9\}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $n>0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Para todo +\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\alpha\geq0$ +\end_inset + +, existe una única sucesión decimal eventualmente periódica de naturales + +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $0\leq\alpha-a_{0}-\frac{a_{1}}{10}-\dots-\frac{a_{n}}{10^{n}}<\frac{1}{10^{n}}$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Esta relación determina una biyección entre los racionales positivos y + las sucesiones decimales eventualmente periódicas que no son eventualmente + constantes con término inicial 9. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Demostración. + +\series default + Tomamos +\begin_inset Formula $\alpha=\frac{k}{d}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $k\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{mcd}(k,d)=1$ +\end_inset + + y definimos +\begin_inset Formula $a_{0}=E(\alpha)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r_{0}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\alpha=a_{0}+\frac{r_{0}}{d}$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $0\leq r_{0}<d$ +\end_inset + +. + Definimos entonces por recurrencia +\begin_inset Formula $a_{n+1}=E(\frac{10r_{n}}{d})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\frac{10r_{n}}{d}=a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $0\leq r_{n+1}<d$ +\end_inset + +, y también +\begin_inset Formula $S_{n}=a_{0}+a_{1}10^{-1}+\dots+a_{n}10^{-n}$ +\end_inset + +. + A continuación probamos las siguientes afirmaciones: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Decimal: +\series default + +\begin_inset Formula $0\leq a_{n}<10$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula +\[ +0\leq a_{n+1}\leq a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}=\frac{10r_{n}}{d}<10 +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Lema: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha=S_{n}+\frac{r_{n}}{d}10^{-n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $n=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha=a_{0}+\frac{r_{0}}{d}$ +\end_inset + +. + Ahora asumimos que esto se cumple para un cierto +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y demostramos que se cumple también para +\begin_inset Formula $n+1$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula +\[ +\alpha=S_{n}+\frac{10r_{n}}{d}10^{-(n+1)}=S_{n}+\left(a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}\right)10^{-(n+1)}=S_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}10^{-(n+1)} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Aproximación: +\series default + +\begin_inset Formula $0\leq\alpha-S_{n}<10^{n}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +0\leq\alpha-S_{n+1}=\frac{r_{n+1}}{d}10^{-(n+1)}<10^{-(n+1)} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Unicidad: +\series default + +\begin_inset Formula $a_{n+1}=E(10^{n+1}(\alpha-S_{n}))$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula +\[ +a_{n+1}=E\left(\frac{10r_{n}}{d}\right)=E\left(10^{n+1}10^{-n}\frac{r_{n}}{d}\right)=E(10^{n+1}(\alpha-S_{n})) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Periodicidad: +\series default + Como +\begin_inset Formula $0\leq r_{n}<d\forall n$ +\end_inset + +, los +\begin_inset Formula $r_{n}$ +\end_inset + + deben repetirse, es decir, +\begin_inset Formula $\exists m,q\in\mathbb{N},q>0:r_{m}=r_{m+q}$ +\end_inset + +. + Vemos por inducción que +\begin_inset Formula $a_{i}=a_{i+q}\forall i\geq m+1$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $i=m+1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{m+1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r_{m+1}$ +\end_inset + + son cociente y resto de +\begin_inset Formula $10r_{m}/d$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $a_{(m+q)+1}=a_{(m+1)+q}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r_{(m+q)+1}=r_{(m+1)+q}$ +\end_inset + + son cociente y resto de +\begin_inset Formula $10r_{m+q}/d=10r_{m}/d$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $a_{m+1}=a_{(m+1)+q}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r_{m+1}=r_{(m+1)+q}$ +\end_inset + +. + El paso de inducción es análogo, partiendo de que +\begin_inset Formula $r_{i}=r_{i+q}$ +\end_inset + + para obtener que +\begin_inset Formula $a_{i+1}=a_{(i+q)+1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r_{i+1}=r_{(i+q)+1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Estructuras algebraicas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un conjunto +\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$ +\end_inset + + con una operación suma +\begin_inset Formula $+:A\times A\rightarrow A$ +\end_inset + + es un +\series bold +grupo abeliano +\series default + si la suma es conmutativa, asociativa, existe un elemento neutro +\begin_inset Formula $0\in A$ +\end_inset + + y todo +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + tiene opuesto ( +\begin_inset Formula $b\in A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a+b=0$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si además tiene una operación producto +\begin_inset Formula $\cdot:A\times A\rightarrow A$ +\end_inset + +, decimos que es un +\series bold +anillo +\series default + si con la suma es un grupo abeliano, el producto es asociativo, distribuye + a la suma y tiene neutro +\begin_inset Formula $1\in A$ +\end_inset + +. + Un anillo en que el producto es conmutativo es un +\series bold +anillo conmutativo +\series default +, y si además todo +\begin_inset Formula $a\in A\backslash\{0\}$ +\end_inset + + tiene inverso ( +\begin_inset Formula $b\in A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ab=1$ +\end_inset + +), decimos que es un +\series bold +cuerpo +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Números reales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos construirlos partiendo de los racionales de 3 formas: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Identificándolos con los desarrollos decimales infinitos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Mediante las +\series bold +cortaduras de Dedekind +\series default +, conjuntos +\begin_inset Formula $\emptyset\neq\beta\subsetneq\mathbb{Q}$ +\end_inset + + acotados superiormente y sin máximo tales que +\begin_inset Formula $y<x\in\beta\implies y\in\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Considerando el conjunto cociente de cierta relación de equivalencia de + las sucesiones de Cauchy en +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Asumimos que es un conjunto no vacío +\begin_inset Formula $(\mathbb{R},+,\cdot)$ +\end_inset + + que contiene a los racionales y satisface los siguientes axiomas: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Axiomas de cuerpo: +\series default + +\begin_inset Formula $(\mathbb{R},+,\cdot)$ +\end_inset + + es un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Axiomas de orden: +\series default + +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + está totalmente ordenado, +\begin_inset Formula $x<y\implies x+z<y+z$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x,y>0\implies xy>0$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + es positivo si +\begin_inset Formula $x>0$ +\end_inset + + y negativo si +\begin_inset Formula $x<0$ +\end_inset + +. + De aquí se tiene que si +\begin_inset Formula $x>0$ +\end_inset + +, su opuesto +\begin_inset Formula $-x<0$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $x>0\implies x-x>0-x\implies0>-x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Axiomas de completitud: +\series default + Todo subconjunto no vacío de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + acotado superiormente posee supremo. +\end_layout + +\begin_layout Section +Números complejos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +números complejos +\series default + al cuerpo definido por +\begin_inset Formula +\[ +\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} +\] + +\end_inset + +junto con las operaciones +\begin_inset Formula $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ +\end_inset + +. + Se representan en el plano cartesiano en las coordenadas +\begin_inset Formula $(a,b)$ +\end_inset + +. + Identificamos +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\{(a,0)\}_{a\in\mathbb{R}}$ +\end_inset + +. + Definimos +\begin_inset Formula $i^{2}=-1$ +\end_inset + + y escribimos +\begin_inset Formula $a+bi=(a,b)$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $i^{n}=i^{m}\iff4|n-m$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +conjugado +\series default + de +\begin_inset Formula $z=a+bi\in\mathbb{C}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\overline{z}=a-bi$ +\end_inset + +. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\overline{\overline{z}}=z$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $z\neq0\implies\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}\iff\overline{z}=z$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $z=a+bi\in\mathbb{C}$ +\end_inset + +, su +\series bold +parte real +\series default + es +\begin_inset Formula $\text{Re}(z)=a$ +\end_inset + +, su +\series bold +parte imaginaria +\series default + es +\begin_inset Formula $\text{Im}(z)=b$ +\end_inset + +, su +\series bold +módulo +\series default + es +\begin_inset Formula $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ +\end_inset + + y su +\series bold +argumento +\series default + es +\begin_inset Formula $\text{Arg}(z)=\theta=\arctan\frac{b}{a}$ +\end_inset + +, estableciendo primero el cuadrante de forma que +\begin_inset Formula $\cos(\theta)=\frac{a}{|z|}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sin(\theta)=\frac{b}{|z|}$ +\end_inset + +, y es único salvo múltiplos de +\begin_inset Formula $2\pi$ +\end_inset + +. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|z|^{2}=z\overline{z}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|z|=|\overline{z}|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|zw|=|z||w|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|z^{-1}|=|z|^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|\text{Re}(z)|\leq|z|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Desigualdad triangular: +\series default + +\begin_inset Formula $|z+w|\leq|z|+|w|$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Como +\begin_inset Formula $z\overline{w}=\overline{\overline{z}w}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $z\overline{w}+\overline{z}w=2\text{Re}(z\overline{w})$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $|z+w|^{2}=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+w\overline{w}+z\overline{w}+\overline{z}w=|z|^{2}+|w|^{2}+2\text{Re}(z\overline{w})\leq|z|^{2}+|w|^{2}+2|z\overline{w}|=(|z|+|w|)^{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $z=a+bi$ +\end_inset + + con módulo +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + y argumento +\begin_inset Formula $\theta$ +\end_inset + +, la +\series bold +representación polar +\series default + de +\begin_inset Formula $z$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $z\mapsto(r,\theta)$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + es la distancia al centro cartesiano y +\begin_inset Formula $\theta$ +\end_inset + + el ángulo respecto del eje de abscisas. + Así, su +\series bold +representación trigonométrica +\series default + es +\begin_inset Formula $z\mapsto r(\cos\theta+i\sin\theta)$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $z=(r,\theta)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $w=(s,\sigma)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $zw=(rs,\theta+\sigma)$ +\end_inset + +. + De aquí se deduce el +\series bold +teorema de De Moivre: +\series default + Dado +\begin_inset Formula $z=(r,\theta)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $z^{n}=(r^{n},n\theta)$ +\end_inset + +. + Por tanto, si +\begin_inset Formula $z^{n}=(s,\alpha)$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $r=\sqrt[n]{s}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\theta=\frac{\alpha+2k\pi}{n},k\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, con lo que todo número complejo tiene exactamente +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + raíces +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimas complejas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\omega\in\mathbb{C}$ +\end_inset + + es una raíz +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésima de la unidad si +\begin_inset Formula $\omega^{n}=1$ +\end_inset + +, y es una +\series bold +raíz +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésima primitiva de la unidad +\series default + si además +\begin_inset Formula $\omega^{m}\neq1$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $0<m<n$ +\end_inset + +. + Así, todo número complejo tiene +\begin_inset Formula +\[ +\phi(n)=|\{m\in\{1,\dots,n-1\}:\text{mcd}(m,n)=1\}| +\] + +\end_inset + +raíces +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimas primitivas. + Esta función se conoce como +\series bold +función +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + de Euler +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se tiene que +\begin_inset Formula +\begin{eqnarray*} +e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} & \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!} & \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} +\end{eqnarray*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Por tanto tiene sentido definir que +\begin_inset Formula $e^{ip}=\cos p+i\sin p$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $e^{ip}=1+ip+\frac{(ip)^{2}}{2!}+\dots=1+ip-\frac{p^{2}}{2!}-\frac{ip^{3}}{3!}+\frac{p^{4}}{4!}+\dots=\cos p+i\sin p$ +\end_inset + +. + Por tanto, podemos escribir +\begin_inset Formula $z=(r,\theta)\in\mathbb{C}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $z=re^{\theta i}$ +\end_inset + +, y obtenemos la +\series bold +identidad de Euler +\series default +: +\begin_inset Formula +\[ +e^{\pi i}+1=0 +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Conjuntos numerables y no numerables +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un conjunto +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es +\series bold +a lo más numerable +\series default + si +\begin_inset Formula $|A|\leq|\mathbb{N}|$ +\end_inset + +, +\series bold +numerable +\series default + si +\begin_inset Formula $|A|=|\mathbb{N}|$ +\end_inset + + y +\series bold +más que numerable +\series default + si +\begin_inset Formula $|A|>|\mathbb{N}|$ +\end_inset + +. + +\series bold +Teorema de Bernstein +\series default + o +\series bold +de Cantor-Schröeder-Bernstein (CSB): +\series default + Dados dos conjuntos +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + tales que existen +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$ +\end_inset + + inyectivas, entonces existe una biyección entre ellos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para simplificar, interpretamos +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + + sin el 0. + Ordenamos las parejas de +\begin_inset Formula $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ +\end_inset + + en orden lexicográfico y luego vamos contando en diagonal. + Entonces en cada diagonal de +\begin_inset Formula $(1,n)$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $(n,1)$ +\end_inset + + están los pares cuyas coordenadas suman +\begin_inset Formula $n+1$ +\end_inset + +, y al terminar la diagonal habremos contado +\begin_inset Formula $S(n)=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$ +\end_inset + + pares. + Entonces +\begin_inset Formula $(1,n)\mapsto S(n-1)+1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(2,n-1)\mapsto S(n-1)+2$ +\end_inset + +, etc. + Así, definimos +\begin_inset Formula $\varphi:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\varphi(i,j)=\frac{(i+j-1)(i+j-2)}{2}+i$ +\end_inset + + y vemos que es una biyección. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + +\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|<(0,1)=|\mathbb{R}|$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración +\series default + de que +\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|<(0,1)$ +\end_inset + +: La aplicación +\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow(0,1)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(n)=\frac{1}{n+1}$ +\end_inset + + es inyectiva. + Para ver que no hay aplicaciones inyectivas +\begin_inset Formula $(0,1)\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + + usamos el +\series bold +método de la diagonal de Cantor +\series default +. + Supongamos que existe y hemos numerado todos los elementos en +\begin_inset Formula $(0,1)$ +\end_inset + +. + Si los escribimos en su forma decimal, tenemos +\begin_inset Formula +\begin{eqnarray*} +x_{1} & = & 0,x_{11}x_{12}x_{13}\cdots\\ +x_{2} & = & 0,x_{21}x_{22}x_{23}\cdots\\ +x_{3} & = & 0,x_{31}x_{32}x_{33}\cdots +\end{eqnarray*} + +\end_inset + +etcétera. + Ahora, sea +\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$ +\end_inset + + una secuencia de dígitos con +\begin_inset Formula $y_{n}\in\{0,\dots,9\}\backslash\{x_{nn}\}$ +\end_inset + + e +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Formula $y_{1}=\{1,\dots,8\}\backslash\{x_{nn}\}$ +\end_inset + + (para evitar que el número formado sea 0 o 1). + Entonces este número difiere con cada uno de la lista en al menos un dígito. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/cyn/n7.lyx b/cyn/n7.lyx new file mode 100644 index 0000000..875b9a2 --- /dev/null +++ b/cyn/n7.lyx @@ -0,0 +1,2681 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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+\begin_inset Formula $\exists!0\in\mathbb{Z}:\forall a\in\mathbb{Z},0+a=a$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\exists!1\in\mathbb{Z}:\forall a\in\mathbb{Z},1a=a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Unicidad de los opuestos: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},\exists!(-a)\in\mathbb{Z}:a+(-a)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Cancelación en sumas: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in\mathbb{Z},(a+b=a+c\implies b=c)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Multiplicación por cero: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},a0=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Reglas de signos: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b\in\mathbb{Z},(-(-a)=a\land a(-b)=(-a)b=-(ab)\land(-a)(-b)=ab)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Cancelación en productos: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in\mathbb{Z},a\neq0,(ab=ac\implies b=c)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de la división entera: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b\in\mathbb{Z},\exists!q,r\in\mathbb{Z}:(a=bq+r\land0\leq r<|b|)$ +\end_inset + +. + Llamamos a +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + el +\series bold +cociente +\series default + de la división y a +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + el +\series bold +resto +\series default +\SpecialChar endofsentence + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $a,b>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $R=\{x\in\mathbb{Z}|x\geq0\land\exists n\in\mathbb{Z}:x=a-bn\}\subseteq\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Sabemos que +\begin_inset Formula $R\neq\emptyset$ +\end_inset + + porque +\begin_inset Formula $a=a-b\cdot0\in R$ +\end_inset + +. + Por tanto tiene primer elemento +\begin_inset Formula $r=a-bq\in R$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $r\geq b$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $0\leq r-b\in R\#$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $r<b$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a<0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b>0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $-a>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $-a=bq+r$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0\leq r<b$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $r=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=b(-q)+0$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $r\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=b(-q)-r=b(-q-1)+(b-r)$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b<0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $-b>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a=(-b)q+r$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0\leq r<-b=|b|$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a=b(-q)+r$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0\leq r<|b|$ +\end_inset + +. + Finalmente, si +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $0=b\cdot0+0$ +\end_inset + +. + Para la unicidad de +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +, supongamos +\begin_inset Formula $a=bq+r=bq'+r'$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0\leq r,r'<|b|$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $b(q-q')=r-r'$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $|b||q-q'|=|r-r'|$ +\end_inset + +, pero como +\begin_inset Formula $0\leq r,r'<|b|$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $q-q'=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r-r'=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Decimos que +\series bold + +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + +\series default + o que +\series bold + +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es múltiplo de +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + +\series default + ( +\begin_inset Formula $b|a$ +\end_inset + +) si +\begin_inset Formula $\exists c\in\mathbb{Z}:a=bc$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a\neq0$ +\end_inset + +, también decimos que +\series bold + +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es divisor de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + +\series default +. + Para +\begin_inset Formula $b\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b|a$ +\end_inset + + equivale a que la división entera de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + entre +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + dé resto 0. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La divisibilidad es reflexiva y transitiva. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +No es antisimétrica, pero +\begin_inset Formula $a|b\land b|a\implies|a|=|b|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a|b\iff a|-b$ +\end_inset + +, con lo que si +\begin_inset Formula $b\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $-b$ +\end_inset + + tienen los mismos divisores. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a|b\iff-a|b$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $-a$ +\end_inset + + tienen los mismos múltiplos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $c|a\land c|b\implies c|ra+sb$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a|b\land c|d\implies ac|bd$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a|b\implies ca|cb$ +\end_inset + +. + El recíproco es cierto si +\begin_inset Formula $c\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $b\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a|b\implies|a|\leq|b|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, su +\series bold +máximo común divisor +\series default + es +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\max\{d\in\mathbb{Z}:d|a\land d|b\}$ +\end_inset + + (excepción: +\begin_inset Formula $\text{mcd}(0,0)=0$ +\end_inset + +). + Este existe porque el conjunto de divisores comunes es no vacío (contiene + al 1) y finito, luego tiene máximo. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\text{mcd}(a,|b|)=\text{mcd}(|a|,|b|)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,0)=|a|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=0\iff a=b=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + con alguno distinto de 0, +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\min\{ra+sb>0|r,s\in\mathbb{Z}\}$ +\end_inset + +, y todo divisor común de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + lo es de +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Dado +\begin_inset Formula $\emptyset\neq D=\{ra+sb>0|r,s\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $\delta=\min D$ +\end_inset + +. + Existen entonces +\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $\delta=\alpha a+\beta b$ +\end_inset + +. + Por el algoritmo de la división, +\begin_inset Formula $a=\delta q+r$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0\leq r<\delta$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $r=(1-\alpha q)a+(-q\beta)b$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + es combinación lineal y entonces +\begin_inset Formula $r\in D$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $r=0$ +\end_inset + +. + Lo primero es imposible porque +\begin_inset Formula $r<\delta=\min D$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $r=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\delta|a$ +\end_inset + +. + Análogamente +\begin_inset Formula $\delta|b$ +\end_inset + +. + Que sea máximo, y que todo divisor común de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + lo sean de +\begin_inset Formula $\delta$ +\end_inset + +, se desprende de que +\begin_inset Formula $c|a\land c|b\implies c|\alpha a+\beta b=\delta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí que para todo +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + existen +\begin_inset Formula $r,s\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=ra+sb$ +\end_inset + +. + Una expresión de la forma +\begin_inset Formula $d=ra+sb$ +\end_inset + + es una +\series bold +identidad de Bézout +\series default +. + En particular, si +\begin_inset Formula $a=da'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b=db'$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a',b')=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $d|a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d|b$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c|a\land c|b\implies c|d$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $d\geq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Las propiedades (1) y (3) son por definición, y la (2) la acabamos de demostrar. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $a\neq0$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $b\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + + es el mayor entero que divide a +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a=b=0$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $0|a,b$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $0|d$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $d=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El máximo común divisor de +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})=\max\{d\in\mathbb{Z}:\forall i,d|a_{i}\}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})=\text{mcd}(\text{mcd}(a_{1},a_{2}),a_{3},\dots,a_{n})$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $d:=\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $d||a_{1},\dots,a_{n}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $d|(f:=\text{mcd}(a_{1},a_{2})),a_{3},\dots,a_{n}|e:=\text{mcd}(\text{mcd}(a_{1},a_{2}),a_{3},\dots,a_{n})$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $d|e$ +\end_inset + +. + Pero +\begin_inset Formula $e|f,a_{3},\dots,a_{n}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $e|a_{1},\dots,a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $e|d$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $d,e\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d=e$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Dados +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{Z}^{*}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})=\min\left\{ \sum_{i=1}^{n}r_{i}a_{i}>0|r_{i}\in\mathbb{Z}\right\} $ +\end_inset + +. + Además, +\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a_{1},\dots,a_{n})$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $d|a_{1},\dots,a_{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c|a_{1},\dots,a_{n}\implies c|d$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $d\geq0$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + son +\series bold +coprimos +\series default + o +\series bold +primos entre sí +\series default + si +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=1$ +\end_inset + +, es decir, si +\begin_inset Formula $\exists\alpha,\beta\in\mathbb{Z}:\alpha a+\beta b=1$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son coprimos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a|bc\implies a|c$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $1=\alpha a+\beta b$ +\end_inset + +, multiplicando por +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c=\alpha ac+\beta bc$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $a|bc$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c=\alpha ca+\beta na$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a|c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a|c\land b|c\implies ab|c$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula +\begin{multline*} +\begin{array}{c} +1=ra+sb\\ +\frac{c}{a},\frac{c}{b}\in\mathbb{Z} +\end{array}\implies\frac{c}{a}=\frac{c}{a}ra+\frac{c}{a}sb=\frac{c}{b}rb+\frac{c}{a}sb=b\left(\frac{c}{b}r+\frac{c}{a}s\right)\implies\\ +\implies c=ab\left(\frac{c}{b}r+\frac{c}{a}s\right)\implies ab|c +\end{multline*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se tiene que +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\text{mcd}(a-sb,b)=\text{mcd}(a,b-sa)$ +\end_inset + +, y en particular, si +\begin_inset Formula $b\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a=bq+r$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0\leq r<b$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)=\text{mcd}(b,r)$ +\end_inset + +. + La aplicación repetida de lo anterior se conoce como +\series bold +algoritmo de Euclides +\series default +. + También permite obtener identidades de Bézout. + Si llamamos +\begin_inset Formula $(a,b)=\text{mcd}(a,b)$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula +\begin{eqnarray*} +a=bq_{1}+r_{1} & (a,b)=(b,r_{1}) & r_{1}<b\\ +b=r_{1}q_{2}+r_{2} & (b,r_{1})=(r_{1},r_{2}) & r_{2}<r_{1}\\ + & \vdots\\ +r_{n-2}=r_{n-1}q_{n}+0 & (r_{n-2},r_{n-1})=(r_{n-1},0)=r_{n-1} & 0<r_{n-1} +\end{eqnarray*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\begin_inset Formula $b>r_{1}>\dots\geq0$ +\end_inset + +, el algoritmo acaba en un número finito de pasos. + Además, cada dos pasos del algoritmo, el resto se reduce a la mitad. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $a=bq+r$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b=rq'+s$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r=sq''+t$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $s\leq\frac{1}{2}r$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $t<s\leq\frac{1}{2}r$ +\end_inset + + y hemos terminado, y si +\begin_inset Formula $s>\frac{1}{2}r$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $q''=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t=r-s<r-\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}r$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}^{*}$ +\end_inset + +, su +\series bold +mínimo común múltiplo +\series default + es +\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)=\min\{m\in\mathbb{Z}^{+}:a|m\land b|m\}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son 0, entonces +\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)=0$ +\end_inset + +. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)=\text{mcm}(a,|b|)=\text{mcm}(|a|,|b|)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)=0\iff a=0\lor b=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,ab)=|ab|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Teorema: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)\text{mcd}(a,b)=|ab|$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $a,b>0$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a=da'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b=db'$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $m=a'b'd$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $a|m$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b|m$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $c=\alpha a=\beta b$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\alpha da'=\beta db'$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\alpha a'=\beta b'$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $a'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b'$ +\end_inset + + son coprimos, +\begin_inset Formula $a'|\beta$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta=\gamma a'$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\gamma\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +. + Sustituyendo, +\begin_inset Formula $c=\gamma a'b=\gamma a'db'=\gamma m\geq m$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $m=\text{mcm}(a,b)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a|c\land b|c\implies\text{mcm}(a,b)|c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El mínimo común múltiplo de +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $\text{mcm}(a_{1},\dots,a_{n})=\min\{m\in\mathbb{Z}^{+}:\forall i,a_{i}|m\}$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $m=\text{mcm}(a_{1},\dots,a_{n})$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}|m$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}|c\implies m|c$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m\geq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una ecuación del tipo +\begin_inset Formula $ax+by=c$ +\end_inset + + en la que se buscan soluciones enteras es una +\series bold +ecuación diofántica lineal +\series default +, en este caso de dos variables. + Tiene solución si y sólo si +\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)|c$ +\end_inset + +, y entonces estas son de la forma +\begin_inset Formula +\[ +\left\{ \begin{array}{ccc} +x & = & x_{0}+x'\\ +y & = & y_{0}+y' +\end{array}\right. +\] + +\end_inset + +donde +\begin_inset Formula $x_{0},y_{0}$ +\end_inset + + es una solución particular y +\begin_inset Formula $x',y'$ +\end_inset + + es una solución de la +\series bold +ecuación homogénea asociada +\series default +, +\begin_inset Formula $ax+by=0$ +\end_inset + +. + En particular, si +\begin_inset Formula $\alpha a+\beta b=d$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c=c'd$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $x_{0}=c'\alpha$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y_{0}=c'\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ax+by=c$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $d|ax+by=c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Multiplicando la identidad de Bézout, +\begin_inset Formula $(c'\alpha)a+(c'\beta)b=c'd=c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $d=\text{mcd}(a,b)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=a'd$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b=b'd$ +\end_inset + +, las soluciones de +\begin_inset Formula $ax+by=0$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula +\[ +\left\{ \begin{array}{ccc} +x & = & -b't\\ +y & = & a't +\end{array}\right. +\] + +\end_inset + +para cualquier +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + +\begin_inset Formula $ax=-by$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a'x=-b'y$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $a'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b'$ +\end_inset + + son coprimos y +\begin_inset Formula $a'|-b'y$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a'|y$ +\end_inset + +, luego existe +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $y=a't$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $a'x=-b'a't$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x=-b't$ +\end_inset + +. + Multiplicando, todos los enteros de esta forma son solución. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un entero +\begin_inset Formula $p\neq1,-1$ +\end_inset + + es +\series bold +primo +\series default + si sus únicos divisores son 1, +\begin_inset Formula $-1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $-p$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula +\[ +p\text{ es primo}\iff(p|ab\implies p|a\lor p|b)\iff(p|a_{1}\cdots a_{n}\implies\exists i:p|a_{i}) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ +\end_inset + + Si +\begin_inset Formula $p|a$ +\end_inset + + ya está. + Si no, +\begin_inset Formula $\text{mcd}(p,a)=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p|b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\end_inset + + Por inducción con +\begin_inset Formula $a_{1}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{2}\cdots a_{n})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ +\end_inset + + Si +\begin_inset Formula $a|p$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $p=ab$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +, y bien +\begin_inset Formula $p|a$ +\end_inset + + (con lo que +\begin_inset Formula $a=p$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $a=-p$ +\end_inset + +) o +\begin_inset Formula $p|b$ +\end_inset + + (con lo que +\begin_inset Formula $a=1$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $a=-1$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema Fundamental de la Aritmética: +\series default + Todo entero distinto de +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\pm1$ +\end_inset + + puede escribirse como producto de primos, y la factorización es única salvo + signo y orden. + +\series bold +Demostración: +\series default + Consideremos el conjunto de todos los positivos distintos de 1 que no se + factorizan en primos y, si este no es vacío, sea +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + su mínimo. + +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + no es primo, luego +\begin_inset Formula $a=bc$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $b,c\in\mathbb{Z}^{+}\backslash\{1\}$ +\end_inset + +. + Pero como +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es mínimo, entonces +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + sí se factorizan en primos, luego +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + también. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + Ahora sea +\begin_inset Formula $a=p_{1}\cdots p_{n}=q_{1}\cdots q_{m}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{n},q_{1}\cdots q_{m}$ +\end_inset + + primos y supongamos +\begin_inset Formula $n\leq m$ +\end_inset + +. + Procedemos por inducción sobre +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=p_{1}=q_{1}\cdots q_{m}$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $p_{1}$ +\end_inset + + no tiene más divisores primos que +\begin_inset Formula $-p_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{1}$ +\end_inset + +, debe ser +\begin_inset Formula $m=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q_{1}=p_{1}$ +\end_inset + +. + Si suponemos el resultado válido para +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $p_{n}$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $a=q_{1}\cdots q_{n}$ +\end_inset + + y por tanto divide a algún +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,m\}$ +\end_inset + +. + Reordenamos los factores para obtener +\begin_inset Formula $i=m$ +\end_inset + +, es decir +\begin_inset Formula $p_{n}|q_{m}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $q_{m}=\pm p_{n}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{n-1}p_{n}=q_{1}\cdots q_{m-1}(\pm p_{n})$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{n-1}=\pm q_{1}\cdots q_{m-1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n-1=m-1$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $n=m$ +\end_inset + + y además, después de ordenar si hiciera falta, +\begin_inset Formula $q_{i}=\pm p_{i}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, para +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z},a\neq0,\pm1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\pm p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{s}^{n_{s}}$ +\end_inset + + y estos primos y sus exponentes son únicos (salvo orden). + Entonces podemos calcular el +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,b)$ +\end_inset + + tomando el producto de primos comunes a +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + elevados a la mínima potencia y el +\begin_inset Formula $\text{mcm}(a,b)$ +\end_inset + + tomando el producto de primos entre ambos elevados a la máxima potencia. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, el conjunto de los números primos es infinito. + Si no lo fuera, y fuera +\begin_inset Formula $\{p_{1},\dots,p_{n}\}$ +\end_inset + +, el número +\begin_inset Formula $N:=p_{1}\cdots p_{n}+1$ +\end_inset + + también lo es. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Congruencias +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + son +\series bold +congruentes módulo +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + +\series default +, +\begin_inset Formula $x\equiv y\mod m$ +\end_inset + + ó +\begin_inset Formula $x\equiv y\,(m)$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $m|x-y$ +\end_inset + +. + Esta relación es de equivalencia. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + es el resto de +\begin_inset Formula $a/m$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a\equiv r\,(m)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\equiv b\,(m)\land0\leq a,b<m\implies a=b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\equiv b\,(m)$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + dan el mismo resto entre +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\equiv a'\,(m)\land b\equiv b'\,(m)\implies a+b\equiv a'+b'\,(m)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a-a'=\lambda m$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b-b'=\mu m$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $\lambda,\mu\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $(a+b)-(a'+b')=(\lambda+\mu)m$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\equiv a'\,(m)\land b\equiv b'\,(m)\implies ab\equiv a'b'\,(m)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +ab-a'b'=(a'+\lambda m)(b'+\mu m)-a'b'=a'b'+(a'\mu+b'\lambda+\lambda\mu m)m-a'b'\equiv0\,(m) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\equiv b\,(m)\implies ac\equiv bc\,(m)$ +\end_inset + +. + El recíproco es cierto si +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + son coprimos. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +La primera parte se sigue de lo anterior. + Para la segunda, +\begin_inset Formula $m|ac-bc=(a-b)c\implies m|a-b\implies a\equiv b\,(m)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $c\neq0\implies(a\equiv b\,(m)\iff ac\equiv bc\,(mc))$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a-b=\lambda m\iff ac-bc=\lambda mc$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Denotamos la clase de equivalencia (llamada +\series bold +clase de congruencia módulo +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + +\series default +) de +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\overline{a}$ +\end_inset + +, y su +\series bold +representante canónico +\series default + es el resto de +\begin_inset Formula $a/m$ +\end_inset + +. + Llamamos entonces +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}/(m)$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}$ +\end_inset + + al conjunto cociente, que tiene exactamente +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + elementos. + Así, para +\begin_inset Formula $\overline{a},\overline{b}\in\mathbb{Z}_{m}$ +\end_inset + +, definimos +\begin_inset Formula $\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{a\cdot b}$ +\end_inset + +, y vemos que están bien definidas y que +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}$ +\end_inset + + es un anillo conmutativo. + Dado +\begin_inset Formula $\overline{a}\in\mathbb{Z}_{m}$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula +\begin{multline*} +\overline{a}\text{ tiene inverso (}\exists\overline{b}\in\mathbb{Z}_{m}:\overline{a}\cdot\overline{b}=1\text{)}\iff\overline{a}\text{ es cancelable (}\overline{a}\cdot\overline{x}=\overline{a}\cdot\overline{y}\implies\overline{x}=\overline{y}\text{)}\iff\\ +\iff\text{mcd}(a,m)=1 +\end{multline*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Labeling +\labelwidthstring 00.00.0000 +\begin_inset Formula $1\implies2]$ +\end_inset + + Multiplicando por +\begin_inset Formula $\overline{a}^{-1}$ +\end_inset + + en ambos lados de +\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\overline{x}=\overline{a}\cdot\overline{y}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Labeling +\labelwidthstring 00.00.0000 +\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\end_inset + + Si +\begin_inset Formula $\text{mcd}(a,m)=d>1$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $a=a'd$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m=m'd$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\overline{m'}=\overline{a'}\cdot\overline{d}\cdot\overline{m'}=\overline{a'}\cdot\overline{m}=\overline{0}=\overline{a}\cdot\overline{0}$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $\overline{m'}\neq\overline{0}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Labeling +\labelwidthstring 00.00.0000 +\begin_inset Formula $3\implies1]$ +\end_inset + + Existen +\begin_inset Formula $r,s\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ra+sm=1$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\overline{r}\cdot\overline{a}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}$ +\end_inset + + es un cuerpo si y sólo si +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + es primo, pues entonces todos los elementos tienen inverso. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un entero es divisible por 3 si y sólo si la suma de sus cifras lo es. + +\series bold +Demostración: +\series default + +\begin_inset Formula $3|m\iff m\equiv0\,(3)$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $10\equiv1\,(3)$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $10^{s}\equiv1\,(3)$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + y si +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + se escribe como +\begin_inset Formula $a_{n}\cdots a_{0}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $m=a_{n}10^{n}+\dots+a_{0}\equiv a_{n}+\dots+a_{0}\,(3)$ +\end_inset + +. + De forma parecida se pueden sacar reglas para el 9 y el 11. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $a,b,t\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula +\[ +\overline{t}\text{ es sol. de }\overline{a}x=\overline{b}\in\mathbb{Z}_{m}\iff t\text{ es sol. de }ax\equiv b\,(m)\iff\exists s\in\mathbb{Z}:(t,s)\text{ es sol. de }ax-my=b +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +La ecuación +\begin_inset Formula $ax\equiv b\,(m)$ +\end_inset + + tiene solución si y sólo si +\begin_inset Formula $d:=\text{mcd}(a,m)|b$ +\end_inset + +, y las soluciones son todos los enteros +\begin_inset Formula $x=x_{0}+\lambda\frac{m}{d}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $x_{0}$ +\end_inset + + es una solución particular, de modo que la ecuación tiene +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + + soluciones distintas módulo +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + +\begin_inset Formula $ax\equiv b$ +\end_inset + + equivale a la ecuación diofántica +\begin_inset Formula $ax-my=b$ +\end_inset + +, que tiene solución si y sólo si +\begin_inset Formula $d|b$ +\end_inset + +. + Sean pues +\begin_inset Formula $b=db'$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=da'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m=dm'$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $ax-my=b$ +\end_inset + + equivale a +\begin_inset Formula $a'x-m'y=b'$ +\end_inset + + y las soluciones son +\begin_inset Formula +\[ +\left\{ \begin{array}{ccc} +x & = & x_{0}+m'\lambda\\ +y & = & y_{0}+a'\lambda +\end{array}\right. +\] + +\end_inset + +Entonces +\begin_inset Formula $x_{0}+\lambda m'\equiv x_{0}+\mu m'\,(m)\iff\lambda m'\equiv\mu m'\,(dm')\iff\lambda\equiv\mu\,(d)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Teorema Chino de los Restos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{k}\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + arbitrarios y +\begin_inset Formula $m_{1},\dots,m_{k}\in\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + + coprimos dos a dos, el sistema de congruencias +\begin_inset Formula +\[ +\left\{ \begin{array}{cc} +x\equiv b_{1} & (m_{1})\\ +\vdots\\ +x\equiv b_{k} & (m_{k}) +\end{array}\right. +\] + +\end_inset + +tiene solución única módulo +\begin_inset Formula $M:=m_{1}\cdots m_{k}$ +\end_inset + +. + En particular, esta es +\begin_inset Formula $b_{1}M_{1}N_{1}+\dots+b_{k}M_{k}N_{k}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $M_{i}=\frac{M}{M_{i}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N_{i}$ +\end_inset + + es tal que +\begin_inset Formula $M_{i}N_{i}\equiv1\,(m_{i})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es un número primo que divide a +\begin_inset Formula $M_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + +, entonces divide a algún +\begin_inset Formula $m_{j}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $j\neq i$ +\end_inset + +, lo cual contradice que +\begin_inset Formula $\text{mcd}(m_{i},m_{j})=1$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $M_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + + son coprimos y +\begin_inset Formula $M_{i}$ +\end_inset + + tiene inverso +\begin_inset Formula $N_{i}$ +\end_inset + + módulo +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + +, teniendo en cuenta que +\begin_inset Formula $M_{i}N_{i}\equiv0\,(m_{j})$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $j\neq i$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $x_{0}=b_{1}M_{1}N_{1}+\dots+b_{k}M_{k}N_{k}$ +\end_inset + + es solución del sistema. + Ahora bien, si +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + son soluciones del sistema, +\begin_inset Formula $x,y\equiv b_{i}\,(m_{i})$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $x\equiv y\,(m_{i})$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $x-y$ +\end_inset + + es múltiplo de todos los +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $x\equiv y\,(M)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si los módulos no son coprimos, intentamos simplificar cada ecuación dividiéndol +a entre un número, pues +\begin_inset Formula $a'dx\equiv b'd\,(m'd)\iff a'x\equiv b'\,(m')$ +\end_inset + +. + Si esto no es posible, resolvemos una ecuación y sustituimos en el resto. +\end_layout + +\begin_layout Section +Teoremas de Euler y Fermat +\end_layout + +\begin_layout Standard +Denotamos +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}^{*}=\{x\in\mathbb{Z}_{m}|x\text{ es invertible}\}$ +\end_inset + +, y definimos la +\series bold +función +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + de Euler +\series default + como +\begin_inset Formula $\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\phi(m)=|\{x\in\mathbb{N}|1\leq x\leq m\land\text{mcd}(x,m)=1\}|=|\mathbb{Z}_{m}^{*}|$ +\end_inset + +. + Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $\phi(p)=p-1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $\phi(p^{n})=p^{n-1}(p-1)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Los no-coprimos con +\begin_inset Formula $p^{n}$ +\end_inset + + son precisamente los múltiplos de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, por lo que estos son +\begin_inset Formula $\frac{p^{n}}{p}=p^{n-1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi(p^{n})=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}(p-1)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{mcd}(n,m)=1$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Definimos +\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}_{nm}^{*}\rightarrow\mathbb{Z}_{n}^{*}\times\mathbb{Z}_{m}^{*}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $f(x)=(x_{n},x_{m})$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $x_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{m}$ +\end_inset + + son los restos de dividir +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + entre +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + +, respectivamente. + Para abreviar asumimos que está bien definida, y pasamos a ver que es biyectiva. + Si +\begin_inset Formula $f(x)=(x_{n},x_{m})=f(y)$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $x\equiv y\,(m)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\equiv y\,(n)$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $nm|(x-y)$ +\end_inset + + y en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{nm}^{*}$ +\end_inset + + es inyectiva. + Para ver que es suprayectiva, consideramos +\begin_inset Formula $(a,b)\in\mathbb{Z}_{n}^{*}\times\mathbb{Z}_{m}^{*}$ +\end_inset + +. + Al existir una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $1=rn+sm$ +\end_inset + +, podemos hacer +\begin_inset Formula $x=brn+asm$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $x\equiv a\,(n)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\equiv b\,(m)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $m=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{s}^{n_{s}}$ +\end_inset + + es la descomposición de +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + en factores primos, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\phi(m)=\prod_{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}-1}(p_{i}-1)=m\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_{s}}\right) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de Euler: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $1<m\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es coprimo con +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a^{\phi(m)}\equiv1\,(m)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Esto equivale a que +\begin_inset Formula $\overline{a}^{\phi(m)}=\overline{1}\in\mathbb{Z}_{m}$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{m}^{*}=\{\overline{x_{1}},\dots,\overline{x_{\phi(m)}}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\mathbb{Z}_{m}^{*}=\{\overline{a}\overline{x}|\overline{x}\in\mathbb{Z}_{m}^{*}\}$ +\end_inset + +. + Demostramos que +\begin_inset Formula $\overline{a}\cdot\mathbb{Z}_{m}^{*}=\mathbb{Z}_{m}^{*}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x=\overline{ax_{i}}\in\overline{a}\cdot\mathbb{Z}_{m}^{*}\implies x\overline{a}^{-1}\overline{x_{i}}^{-1}=\overline{1}\implies x\in\mathbb{Z}_{m}^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\overline{x_{i}}\in\mathbb{Z}_{m}^{*}\implies\overline{x_{i}}=\overline{a}\,\overline{a}^{-1}\overline{x_{i}}\in\overline{a}\cdot\mathbb{Z}_{m}^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Entonces +\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{\phi(m)}\overline{x}_{i}=\prod_{i=1}^{\phi(m)}\overline{ax_{i}}=\overline{a}^{\phi(m)}\prod_{i=1}^{\phi(m)}\overline{x_{i}}$ +\end_inset + +, y dividiendo entre +\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{\phi(m)}\overline{x_{i}}$ +\end_inset + +, porque es invertible, se obtiene el resultado. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema Pequeño de Fermat: +\series default + Si +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es un número primo que no divide a +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a^{p-1}\equiv1\,(p)$ +\end_inset + +, y para todo +\begin_inset Formula $x\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x^{p}\equiv x\,(p)$ +\end_inset + +. + Esto se deriva del teorema de Euler y de que +\begin_inset Formula $\phi(p)=p-1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/cyn/n8.lyx b/cyn/n8.lyx new file mode 100644 index 0000000..1249714 --- /dev/null +++ b/cyn/n8.lyx @@ -0,0 +1,954 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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+\begin_inset Formula +\[ +a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X_{i} +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{n}\in K$ +\end_inset + +. + El símbolo +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + se llama +\series bold +indeterminada +\series default + y llamamos +\series bold +coeficiente +\series default + de grado +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $a_{i}$ +\end_inset + +, +\series bold +término independiente +\series default + a +\begin_inset Formula $a_{0}$ +\end_inset + + y +\series bold +coeficiente principal +\series default + o +\series bold +líder +\series default + a +\begin_inset Formula $a_{n}$ +\end_inset + + si es +\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$ +\end_inset + +. + Un polinomio es +\series bold +mónico +\series default + si +\begin_inset Formula $a_{n}=1$ +\end_inset + +. + Los polinomios de forma +\begin_inset Formula $a_{0}$ +\end_inset + + se llaman +\series bold +constantes +\series default + y los identificamos con los elementos de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +. + El conjunto de todos los polinomios con coeficientes en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + se denota +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +, y dos polinomios +\begin_inset Formula $P=a_{0}+\dots+a_{n}X^{n},Q=b_{0}+\dots+b_{m}X^{m}\in K[X]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n\leq m$ +\end_inset + + son iguales si +\begin_inset Formula $a_{i}=b_{i}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{j}=0$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $j\in\{n+1,\dots,m\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos +\begin_inset Formula $P+Q=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})X+\dots+(a_{n}+b_{n})X^{n}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $PQ=c_{0}+c_{1}X+\dots+c_{n+m}X^{n+m}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $c_{k}=\sum_{i+j=k}a_{i}b_{j}=a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\dots+a_{k}b_{0}$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + + es un anillo conmutativo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + tiene +\series bold +grado +\series default + +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $P=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$ +\end_inset + +, y se denota con +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)$ +\end_inset + +. + Por convención, si +\begin_inset Formula $P(X)=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=-\infty$ +\end_inset + +. + Si tomamos el convenio de que +\begin_inset Formula $-\infty+n=-\infty$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(-\infty)+(-\infty)=-\infty$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $-\infty<n$ +\end_inset + +, se tiene que: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)=\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $PQ=0\implies P=0\lor Q=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\exists P^{-1}:P^{-1}P=1\iff\text{gr}(P)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se define el +\series bold +valor de +\begin_inset Formula $P(x)$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + +\series default + como +\begin_inset Formula $P(b)=a_{0}+a_{1}b+\dots+a_{n}b^{n}\in K$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + define una aplicación +\begin_inset Formula $P:K\rightarrow K$ +\end_inset + + que llamamos +\series bold +función polinomial asociada a +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de la división: +\series default + Para +\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$ +\end_inset + + existen dos únicos polinomios, +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + ( +\series bold +cociente +\series default +) y +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + ( +\series bold +resto +\series default +) en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $A=BQ+R$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{gr}(R)<\text{gr}(B)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Teorema del resto: +\series default + El resto de la división de +\begin_inset Formula $P/X-a$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $P(a)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Decimos que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, o que +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es múltiplo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $A|B$ +\end_inset + +) si +\begin_inset Formula $\exists C:B=AC$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $A|B\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un +\series bold +divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A|B\land A|C\implies A|PB+QC$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A|B\land B|C\implies A|C$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A|B\land B|A\implies\exists\mu\in K\backslash\{0\}:A=\mu B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los polinomios de la forma +\begin_inset Formula $\lambda A$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $0\neq\lambda\in K$ +\end_inset + + se llaman +\series bold +polinomios asociados +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Cada polinomio tiene un único polinomio asociado mónico. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es el máximo común divisor de +\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $D|A,B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S|A,B\implies S|D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es mónico. + Si +\begin_inset Formula $D'$ +\end_inset + + verifica las dos primeras condiciones, entonces es asociado a +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $A,B\neq0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es el único polinomio mónico de grado mínimo que es combinación lineal + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$ +\end_inset + + son coprimos o primos entre sí si +\begin_inset Formula $\text{mcd}(A,B)=1$ +\end_inset + +, es decir, si existen +\begin_inset Formula $S,T\in K[X]$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $SA+TB=1$ +\end_inset + +. + En tal caso, +\begin_inset Formula $A|BC\implies A|C$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$ +\end_inset + + con alguno de los dos no nulo y +\begin_inset Formula $D=\text{mcd}(A,B)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\frac{A}{D}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\frac{B}{D}$ +\end_inset + + son coprimos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es el mínimo común múltiplo de +\begin_inset Formula $A,B\in K[X]$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $A,B|M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A,B|N\implies M|N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es mónico. + Si +\begin_inset Formula $M'$ +\end_inset + + cumple las dos primeras condiciones, entonces es asociado a +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +. + Además, existe +\begin_inset Formula $\mu\in K$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\text{mcm}(A,B)=\mu\frac{AB}{\text{mcd}(A,B)}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Raíces de polinomios +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $r\in K$ +\end_inset + + es una +\series bold +raíz +\series default + de +\begin_inset Formula $P\in K[X]$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $P(r)=0$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + coprimos, es raíz de +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $p|a_{0}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q|a_{n}$ +\end_inset + +. + La +\series bold +regla de Ruffini +\series default + se basa en que +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es raíz de +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $X-a|P$ +\end_inset + +. + Así, decimos que +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es una raíz de +\series bold +multiplicidad +\begin_inset Formula $s\geq1$ +\end_inset + + +\series default + de +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $(X-a)^{s}|P$ +\end_inset + + pero no +\begin_inset Formula $(X-a)^{s+1}|P$ +\end_inset + +. + Una raíz es +\series bold +múltiple +\series default + si tiene multiplicidad mayor que 1, de lo contrario es una raíz +\series bold +simple +\series default +. + Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n\neq-\infty$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + tiene a lo sumo +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + raíces en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, contando cada raíz tantas veces como su multiplicidad. + Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n$ +\end_inset + + y existen +\begin_inset Formula $m>n$ +\end_inset + + raíces de +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $P=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n\geq0$ +\end_inset + + y existen +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{m}\in K$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $P(a_{i})=Q(a_{i})$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $m>n$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $P=Q$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es un cuerpo infinito y +\begin_inset Formula $P,Q\in K[X]$ +\end_inset + + son distintos, entonces las funciones +\begin_inset Formula $P,Q:K\rightarrow K$ +\end_inset + + son distintas. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sea +\begin_inset Formula $P=a_{0}+\dots+a_{n}X^{n}\in K[X]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=n$ +\end_inset + + y raíces +\begin_inset Formula $r_{1},\dots,r_{n}$ +\end_inset + + (no necesariamente distintas), entonces +\begin_inset Formula $P=a_{n}(X-r_{1})\cdots(X-r_{n})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Factorización y raíces de polinomios +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $P\in K[X]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)>0$ +\end_inset + + es +\series bold +irreducible +\series default + o +\series bold +primo +\series default + si +\begin_inset Formula $Q|P\implies\text{gr}(Q)=0\lor\exists k\in K:Q=kP$ +\end_inset + +. + Así: +\begin_inset Formula +\[ +P\text{ es irreducible}\iff(P|QR\implies P|Q\lor P|R)\iff(P|Q_{1}\cdots Q_{n}\implies\exists i:P|Q_{i}) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema: +\series default + Todo +\begin_inset Formula $P\in K[X]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)\geq1$ +\end_inset + + factoriza como producto de polinomios irreducibles, y esta factorización + es única salvo asociados y orden. +\end_layout + +\begin_layout Section +Polinomios irreducibles en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\mathbb{C}[X]$ +\end_inset + +. + Teorema Fundamental del Álgebra +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +Teorema Fundamental del Álgebra +\series default + afirma que todo +\begin_inset Formula $P\in\mathbb{C}[X]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)>0$ +\end_inset + + tiene al menos una raíz en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + +. + Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $P\in\mathbb{C}[X]$ +\end_inset + + es irreducible si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall P\in\mathbb{C}[X],\text{gr}(P)=n\geq1,\exists r,r_{1},\dots,r_{n}\in\mathbb{C}:P=r(X-r_{1})\cdots(X-r_{n})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}$ +\end_inset + + es raíz de +\begin_inset Formula $P\in\mathbb{R}[X]$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\overline{z}$ +\end_inset + + también lo es. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $P\in\mathbb{R}[X]$ +\end_inset + + es irreducible, entonces, o +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=1$ +\end_inset + +, o +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=2$ +\end_inset + + y no tiene raíces reales. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/defs.tex b/defs.tex new file mode 100644 index 0000000..4ae3891 --- /dev/null +++ b/defs.tex @@ -0,0 +1,9 @@ +% Exercises (old format) +\font\manual=manfnt +\def\ejercicio#1#2{\medbreak\noindent\llap{\manual\char'170\rm\kern.15em}{\bf\small EJERCICIO #1}\\#2\par\nobreak\noindent} +\def\exercise{\ejercicio} +\def\cuestion#1#2{\vspace{.35in}\medbreak\noindent\llap{\manual\char'170\rm\kern.15em}{\bf\small CUESTI\'ON #1}\\#2\par\nobreak\noindent} + +% Notices +\def\sremember#1{\begin{center}\begin{tabular}{|p{0.9\textwidth}|}\multicolumn{1}{p{0.9\textwidth}}{{\kern-.3em\small {[}#1{]}}}\tabularnewline\hline\kern-1ex} +\def\eremember{\tabularnewline\hline\end{tabular}\par\end{center}\vspace{.3em}} diff --git a/fc/AND_ANSI_Labelled.pdf b/fc/AND_ANSI_Labelled.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2cc4e43 --- /dev/null +++ b/fc/AND_ANSI_Labelled.pdf diff --git a/fc/AND_ANSI_Labelled.svg b/fc/AND_ANSI_Labelled.svg new file mode 100644 index 0000000..ee294dc --- /dev/null +++ b/fc/AND_ANSI_Labelled.svg @@ -0,0 +1,32 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> +<svg xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" width="120" height="50" id="svg2" sodipodi:version="0.32" inkscape:version="0.46" version="1.0" sodipodi:docname="AND ANSI Labelled.svg" inkscape:output_extension="org.inkscape.output.svg.inkscape"> + <defs id="defs4"> + <inkscape:perspective sodipodi:type="inkscape:persp3d" inkscape:vp_x="0 : 15 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_z="50 : 15 : 1" inkscape:persp3d-origin="25 : 10 : 1" id="perspective2714"/> + <inkscape:perspective sodipodi:type="inkscape:persp3d" inkscape:vp_x="0 : 0.5 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_z="1 : 0.5 : 1" inkscape:persp3d-origin="0.5 : 0.33333333 : 1" id="perspective2806"/> + <inkscape:perspective id="perspective2819" inkscape:persp3d-origin="372.04724 : 350.78739 : 1" inkscape:vp_z="744.09448 : 526.18109 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_x="0 : 526.18109 : 1" sodipodi:type="inkscape:persp3d"/> + <inkscape:perspective id="perspective2777" inkscape:persp3d-origin="75 : 40 : 1" inkscape:vp_z="150 : 60 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_x="0 : 60 : 1" sodipodi:type="inkscape:persp3d"/> + <inkscape:perspective id="perspective3275" inkscape:persp3d-origin="50 : 33.333333 : 1" inkscape:vp_z="100 : 50 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_x="0 : 50 : 1" sodipodi:type="inkscape:persp3d"/> + <inkscape:perspective id="perspective5533" inkscape:persp3d-origin="32 : 21.333333 : 1" inkscape:vp_z="64 : 32 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_x="0 : 32 : 1" sodipodi:type="inkscape:persp3d"/> + </defs> + <sodipodi:namedview id="base" pagecolor="#ffffff" bordercolor="#666666" borderopacity="1.0" inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" inkscape:zoom="5.6568542" inkscape:cx="42.125093" inkscape:cy="21.114818" inkscape:document-units="px" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="true" inkscape:grid-bbox="true" inkscape:grid-points="true" gridtolerance="10000" inkscape:window-width="1399" inkscape:window-height="874" inkscape:window-x="33" inkscape:window-y="0" inkscape:snap-bbox="true"> + <inkscape:grid id="GridFromPre046Settings" type="xygrid" originx="0px" originy="0px" spacingx="1px" spacingy="1px" color="#0000ff" empcolor="#0000ff" opacity="0.2" empopacity="0.4" empspacing="5" visible="true" enabled="true"/> + </sodipodi:namedview> + <metadata id="metadata7"> + <rdf:RDF> + <cc:Work rdf:about=""> + <dc:format>image/svg+xml</dc:format> + <dc:type rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage"/> + </cc:Work> + </rdf:RDF> + </metadata> + <g inkscape:label="Layer 1" inkscape:groupmode="layer" id="layer1"> + <path style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:2;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M 80,25 C 100,25 105,25 105,25" id="path3059" sodipodi:nodetypes="cc"/> + <path style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:2;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M 41,15 L 15,15" id="path3061"/> + <path style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:1.99999988;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M 42,35 L 15,35" id="path3944"/> + <path style="font-size:medium;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-indent:0;text-align:start;text-decoration:none;line-height:normal;letter-spacing:normal;word-spacing:normal;text-transform:none;direction:ltr;block-progression:tb;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:3;marker:none;visibility:visible;display:inline;overflow:visible;enable-background:accumulate;font-family:Bitstream Vera Sans;-inkscape-font-specification:Bitstream Vera Sans" d="M 40,5 L 40,6.4285714 L 40,43.571429 L 40,45 L 41.428571,45 L 60.47619,45 C 71.744098,45 80.47619,35.999955 80.47619,25 C 80.47619,14.000045 71.744099,5.0000002 60.47619,5 C 60.47619,5 60.47619,5 41.428571,5 L 40,5 z M 42.857143,7.8571429 C 50.834264,7.8571429 55.918368,7.8571429 58.095238,7.8571429 C 59.285714,7.8571429 59.880952,7.8571429 60.178571,7.8571429 C 60.327381,7.8571429 60.409227,7.8571429 60.446429,7.8571429 C 60.465029,7.8571429 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\ No newline at end of file diff --git a/fc/NAND_ANSI_Labelled.pdf b/fc/NAND_ANSI_Labelled.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..91daf42 --- /dev/null +++ b/fc/NAND_ANSI_Labelled.pdf diff --git a/fc/NAND_ANSI_Labelled.svg b/fc/NAND_ANSI_Labelled.svg new file mode 100644 index 0000000..7f97027 --- /dev/null +++ b/fc/NAND_ANSI_Labelled.svg @@ -0,0 +1,33 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> +<svg xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" width="120" height="50" id="svg2" sodipodi:version="0.32" inkscape:version="0.46" version="1.0" sodipodi:docname="NAND ANSI Labelled.svg" 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\ No newline at end of file diff --git a/fc/NOR_ANSI_Labelled.pdf b/fc/NOR_ANSI_Labelled.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..a83d273 --- /dev/null +++ b/fc/NOR_ANSI_Labelled.pdf diff --git a/fc/NOR_ANSI_Labelled.svg b/fc/NOR_ANSI_Labelled.svg new file mode 100644 index 0000000..0fd18f9 --- /dev/null +++ b/fc/NOR_ANSI_Labelled.svg @@ -0,0 +1,36 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> +<svg xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" width="120" height="50" id="svg2" sodipodi:version="0.32" inkscape:version="0.46" version="1.0" sodipodi:docname="NOR ANSI Labelled.svg" 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\ No newline at end of file diff --git a/fc/Not-gate-en.pdf b/fc/Not-gate-en.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5f6d108 --- /dev/null +++ b/fc/Not-gate-en.pdf diff --git a/fc/Not-gate-en.svg b/fc/Not-gate-en.svg new file mode 100644 index 0000000..daf957b --- /dev/null +++ b/fc/Not-gate-en.svg @@ -0,0 +1,20 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> +<svg xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:cc="http://web.resource.org/cc/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:sodipodi="http://inkscape.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" id="svg2" sodipodi:version="0.32" inkscape:version="0.43" width="400pt" height="144pt" sodipodi:docbase="D:\wiki_svg" sodipodi:docname="Not-gate-en.png.svg" version="1.0"> + <metadata id="metadata7"> + <rdf:RDF> + <cc:Work rdf:about=""> + <dc:format>image/svg+xml</dc:format> + <dc:type rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage"/> + </cc:Work> + </rdf:RDF> + </metadata> + <defs id="defs5"/> + <sodipodi:namedview inkscape:window-height="652" inkscape:window-width="756" inkscape:pageshadow="2" inkscape:pageopacity="0.0" borderopacity="1.0" bordercolor="#666666" pagecolor="#ffffff" id="base" inkscape:showpageshadow="false" borderlayer="top" inkscape:zoom="0.70710678" inkscape:cx="299.78322" inkscape:cy="81.877528" inkscape:window-x="66" inkscape:window-y="66" inkscape:current-layer="svg2"/> + <text xml:space="preserve" style="font-size:72px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:Verdana" x="9" y="116.17383" id="text1308" sodipodi:linespacing="125%"><tspan sodipodi:role="line" id="tspan1310" x="9" y="116.17383">A</tspan></text> + <path style="fill:none;fill-opacity:0.75;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:7.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-opacity:1" d="M 72,90 L 185,90" id="path1316"/> + <use x="0" y="0" xlink:href="#path1316" id="use2208" transform="translate(196.5757,0)" width="500" height="180"/> + <path style="fill:#ffffff;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:7.49999857;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1" d="M 148,10.750011 L 261.2807,89.999989 L 148,169.24995 L 148,10.750011 z " id="rect2193" sodipodi:nodetypes="cccc"/> + <text xml:space="preserve" style="font-size:56px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:Verdana" x="395.41205" y="109.23633" id="text2210" sodipodi:linespacing="125%"><tspan sodipodi:role="line" id="tspan2212" x="395.41205" y="109.23633">out</tspan></text> + <path sodipodi:type="arc" style="opacity:1;fill:#ffffff;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:7.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1" id="path2247" sodipodi:cx="285.3176" sodipodi:cy="89.843887" sodipodi:rx="20.152544" sodipodi:ry="20.152544" d="M 305.47014 89.843887 A 20.152544 20.152544 0 1 1 265.16505,89.843887 A 20.152544 20.152544 0 1 1 305.47014 89.843887 z" transform="translate(-2.828424,0.156093)"/> +</svg>
\ No newline at end of file diff --git a/fc/OR_ANSI_Labelled.pdf b/fc/OR_ANSI_Labelled.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..77fe2df --- /dev/null +++ b/fc/OR_ANSI_Labelled.pdf diff --git a/fc/OR_ANSI_Labelled.svg b/fc/OR_ANSI_Labelled.svg new file mode 100644 index 0000000..6275ef9 --- /dev/null +++ b/fc/OR_ANSI_Labelled.svg @@ -0,0 +1,35 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> +<svg xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" width="120" height="50" id="svg2" sodipodi:version="0.32" inkscape:version="0.46" version="1.0" sodipodi:docname="OR ANSI Labelled.svg" 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id="path3061"/> + <path style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:1.99999988;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M 42.03125,35 L 15.03125,35" id="path3944"/> + <g id="g2560" inkscape:label="Layer 1" transform="translate(26.5,-39.5)"> + <path style="fill:#000000;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:none;stroke-width:3;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M 7.625,44.5 L 9.625,46.9375 C 9.625,46.9375 15.28125,53.937549 15.28125,64.5 C 15.28125,75.062451 9.625,82.0625 9.625,82.0625 L 7.625,84.5 L 10.78125,84.5 L 24.78125,84.5 C 27.189326,84.500001 32.470949,84.524514 38.40625,82.09375 C 44.341551,79.662986 50.942786,74.750484 56.09375,65.21875 L 54.78125,64.5 L 56.09375,63.78125 C 45.790637,44.71559 29.537824,44.5 24.78125,44.5 L 10.78125,44.5 L 7.625,44.5 z M 13.5,47.5 L 24.78125,47.5 C 29.465423,47.5 43.0681,47.369793 52.75,64.5 C 47.983214,72.929075 42.228719,77.18391 37.03125,79.3125 C 31.670589,81.507924 27.189325,81.500001 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style="font-size:14px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:end;line-height:100%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:end;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:DejaVu Sans;-inkscape-font-specification:DejaVu Sans" x="-15.011719" y="79.706055" id="text6870" sodipodi:linespacing="100%"><tspan sodipodi:role="line" id="tspan6872" x="-15.011719" y="79.706055">B</tspan></text> + <text xml:space="preserve" style="font-size:14px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:end;line-height:100%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:end;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:DejaVu Sans;-inkscape-font-specification:DejaVu Sans" x="91.910156" y="69.706055" id="text6878" sodipodi:linespacing="100%"><tspan sodipodi:role="line" id="tspan6880" x="91.910156" y="69.706055">Q</tspan></text> + </g> + </g> +</svg>
\ No newline at end of file diff --git a/fc/XOR_ANSI.pdf b/fc/XOR_ANSI.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6670dba --- /dev/null +++ b/fc/XOR_ANSI.pdf diff --git a/fc/XOR_ANSI.svg b/fc/XOR_ANSI.svg new file mode 100644 index 0000000..6f14e5b --- /dev/null +++ b/fc/XOR_ANSI.svg @@ -0,0 +1,33 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> +<svg xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" width="100" height="50" id="svg2" sodipodi:version="0.32" inkscape:version="0.46" version="1.0" sodipodi:docname="XOR ANSI.svg" inkscape:output_extension="org.inkscape.output.svg.inkscape"> + <defs id="defs4"> + <inkscape:perspective sodipodi:type="inkscape:persp3d" inkscape:vp_x="0 : 15 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_z="50 : 15 : 1" inkscape:persp3d-origin="25 : 10 : 1" id="perspective2714"/> + <inkscape:perspective sodipodi:type="inkscape:persp3d" inkscape:vp_x="0 : 0.5 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_z="1 : 0.5 : 1" inkscape:persp3d-origin="0.5 : 0.33333333 : 1" id="perspective2806"/> + <inkscape:perspective id="perspective2819" inkscape:persp3d-origin="372.04724 : 350.78739 : 1" inkscape:vp_z="744.09448 : 526.18109 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_x="0 : 526.18109 : 1" sodipodi:type="inkscape:persp3d"/> + <inkscape:perspective id="perspective2777" inkscape:persp3d-origin="75 : 40 : 1" inkscape:vp_z="150 : 60 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" inkscape:vp_x="0 : 60 : 1" sodipodi:type="inkscape:persp3d"/> + <inkscape:perspective id="perspective3275" inkscape:persp3d-origin="50 : 33.333333 : 1" inkscape:vp_z="100 : 50 : 1" inkscape:vp_y="0 : 1000 : 0" 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<inkscape:grid id="GridFromPre046Settings" type="xygrid" originx="0px" originy="0px" spacingx="1px" spacingy="1px" color="#0000ff" empcolor="#0000ff" opacity="0.2" empopacity="0.4" empspacing="5" visible="true" enabled="true"/> + </sodipodi:namedview> + <metadata id="metadata7"> + <rdf:RDF> + <cc:Work rdf:about=""> + <dc:format>image/svg+xml</dc:format> + <dc:type rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage"/> + </cc:Work> + </rdf:RDF> + </metadata> + <g inkscape:label="Layer 1" inkscape:groupmode="layer" id="layer1"> + <path style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:2;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="m 70,25 c 20,0 25,0 25,0" id="path3059" sodipodi:nodetypes="cc"/> + <path style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:1.99999988;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M 30.385717,15 L 4.9999998,15" id="path3061"/> + <path style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:1.99999976;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M 31.362091,35 L 4.9999998,35" id="path3944"/> + <g id="g2560" inkscape:label="Layer 1" transform="translate(26.5,-39.5)"> + <path id="path3516" style="fill:#000000;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:none;stroke-width:3;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M -2.25,81.500005 C -3.847374,84.144405 -4.5,84.500005 -4.5,84.500005 L -8.15625,84.500005 L -6.15625,82.062505 C -6.15625,82.062505 -0.5,75.062451 -0.5,64.5 C -0.5,53.937549 -6.15625,46.9375 -6.15625,46.9375 L -8.15625,44.5 L -4.5,44.5 C -3.71875,45.4375 -3.078125,46.15625 -2.28125,47.5 C -0.408531,50.599815 2.5,56.526646 2.5,64.5 C 2.5,72.45065 -0.396697,78.379425 -2.25,81.500005 z" sodipodi:nodetypes="ccccsccccsc"/> + <path style="fill:#000000;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:none;stroke-width:3;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" d="M -2.40625,44.5 L -0.40625,46.9375 C -0.40625,46.9375 5.25,53.937549 5.25,64.5 C 5.25,75.062451 -0.40625,82.0625 -0.40625,82.0625 L -2.40625,84.5 L 0.75,84.5 L 14.75,84.5 C 17.158076,84.500001 22.439699,84.524514 28.375,82.09375 C 34.310301,79.662986 40.911536,74.750484 46.0625,65.21875 L 44.75,64.5 L 46.0625,63.78125 C 35.759387,44.71559 19.506574,44.5 14.75,44.5 L 0.75,44.5 L -2.40625,44.5 z M 3.46875,47.5 L 14.75,47.5 C 19.434173,47.5 33.03685,47.369793 42.71875,64.5 C 37.951964,72.929075 32.197469,77.18391 27,79.3125 C 21.639339,81.507924 17.158075,81.500001 14.75,81.5 L 3.5,81.5 C 5.3735884,78.391566 8.25,72.45065 8.25,64.5 C 8.25,56.526646 5.3414686,50.599815 3.46875,47.5 z" id="path4973" sodipodi:nodetypes="ccsccccscccccccccsccsc"/> + </g> + </g> +</svg>
\ No newline at end of file diff --git a/fc/Xnor-gate-en.pdf b/fc/Xnor-gate-en.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..a925fa5 --- /dev/null +++ b/fc/Xnor-gate-en.pdf diff --git a/fc/Xnor-gate-en.svg b/fc/Xnor-gate-en.svg new file mode 100644 index 0000000..b205563 --- /dev/null +++ b/fc/Xnor-gate-en.svg @@ -0,0 +1,23 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> +<svg xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:cc="http://web.resource.org/cc/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:sodipodi="http://inkscape.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" id="svg2" sodipodi:version="0.32" inkscape:version="0.43" width="400pt" height="144pt" sodipodi:docbase="D:\wiki_svg" sodipodi:docname="Xnor-gate-en.svg" version="1.0"> + <metadata id="metadata7"> + <rdf:RDF> + <cc:Work rdf:about=""> + <dc:format>image/svg+xml</dc:format> + <dc:type rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage"/> + </cc:Work> + </rdf:RDF> + </metadata> + <defs id="defs5"/> + <sodipodi:namedview inkscape:window-height="652" inkscape:window-width="756" inkscape:pageshadow="2" inkscape:pageopacity="0.0" borderopacity="1.0" bordercolor="#666666" pagecolor="#ffffff" id="base" inkscape:showpageshadow="false" borderlayer="top" inkscape:zoom="0.5" inkscape:cx="60.099843" inkscape:cy="188.54262" inkscape:window-x="80" inkscape:window-y="81" inkscape:current-layer="svg2"/> + <text xml:space="preserve" style="font-size:72px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:Verdana" x="9" y="77.173828" id="text1308" sodipodi:linespacing="125%"><tspan sodipodi:role="line" id="tspan1310" x="9" y="77.173828">A</tspan></text> + <text sodipodi:linespacing="125%" id="text1312" y="155.17383" x="9" style="font-size:72px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:Verdana" xml:space="preserve"><tspan y="155.17383" x="9" id="tspan1314" sodipodi:role="line">B</tspan></text> + <path style="fill:none;fill-opacity:0.75;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:7.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none" d="M 72,51 L 185,51" id="path1316"/> + <use x="0" y="0" xlink:href="#path1316" id="use1318" transform="translate(0,78)" width="500" height="180"/> + <use x="0" y="0" xlink:href="#path1316" id="use2208" transform="translate(196.5757,39)" width="500" height="180"/> + <path id="rect2193" style="fill:#ffffff;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:7.5;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1" d="M 135.67366,169.24997 C 135.54865,169.25544 173.11664,161.81425 173.11664,89.999999 C 173.11664,17.478772 135.6709,10.749695 135.67366,10.750027 C 196.16084,18.014053 235.55464,7.7267425 277.18432,90.000005 C 246.14327,162.74602 205.43421,166.19896 135.67366,169.24997 z " sodipodi:nodetypes="czscs"/> + <text xml:space="preserve" style="font-size:56px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:Verdana" x="395.41205" y="109.23633" id="text2210" sodipodi:linespacing="125%"><tspan sodipodi:role="line" id="tspan2212" x="395.41205" y="109.23633">out</tspan></text> + <path sodipodi:type="arc" style="fill:#ffffff;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:7.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1" id="path2247" sodipodi:cx="285.3176" sodipodi:cy="89.843887" sodipodi:rx="20.152544" sodipodi:ry="20.152544" d="M 305.47014 89.843887 A 20.152544 20.152544 0 1 1 265.16505,89.843887 A 20.152544 20.152544 0 1 1 305.47014 89.843887 z" transform="translate(12.64507,0.156113)"/> + <path id="path1315" style="fill:none;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:7.50000143;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1" d="M 98.49408,167.34036 C 98.35715,167.3457 139.50626,160.08381 139.50626,90.000002 C 139.50626,19.226244 98.49105,12.659314 98.49408,12.659634" sodipodi:nodetypes="czs"/> +</svg>
\ No newline at end of file diff --git a/fc/buses.png b/fc/buses.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1df9561 --- /dev/null +++ b/fc/buses.png diff --git a/fc/image.0PXO9Y.png b/fc/image.0PXO9Y.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c3fc469 --- /dev/null +++ b/fc/image.0PXO9Y.png diff --git a/fc/image.RAWR9Y.png b/fc/image.RAWR9Y.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..d7b6220 --- /dev/null +++ b/fc/image.RAWR9Y.png diff --git a/fc/image.TZVI9Y.png b/fc/image.TZVI9Y.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..dcb1e69 --- /dev/null +++ b/fc/image.TZVI9Y.png diff --git a/fc/image.V5MB9Y.png b/fc/image.V5MB9Y.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c823128 --- /dev/null +++ b/fc/image.V5MB9Y.png diff --git a/fc/image.Y3EN9Y.png b/fc/image.Y3EN9Y.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..752434d --- /dev/null +++ b/fc/image.Y3EN9Y.png diff --git a/fc/n.lyx b/fc/n.lyx new file mode 100644 index 0000000..5852747 --- /dev/null +++ b/fc/n.lyx @@ -0,0 +1,228 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize a5paper +\use_geometry true +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\leftmargin 0.2cm +\topmargin 0.7cm +\rightmargin 0.2cm +\bottommargin 0.7cm +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style french +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle empty +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Title +Fundamentos de Computadores +\end_layout + +\begin_layout Date +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +def +\backslash +cryear{2017} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "../license.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Bibliografía: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Diapositivas de Fundamentos de Computadores (Curso 2017–18). +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Boletines de prácticas de Fundamentos de Computadores, Título de Grado en + Ingeniería Informática, Facultad de Informática, Universidad de Murcia + (Curso 2017–18). +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Introducción +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n1.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Representación de la información +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n2.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Sistemas digitales: Circuitos combinacionales +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n3.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Introducción a los sistemas operativos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n4.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Lenguajes del computador: alto nivel, ensamblador y máquina +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n5.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Introducción a las redes de ordenadores +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n6.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fc/n1.lyx b/fc/n1.lyx new file mode 100644 index 0000000..d912189 --- /dev/null +++ b/fc/n1.lyx @@ -0,0 +1,763 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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+computadores +\series default +, con los cuales esta se ha podido desarrollar. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un computador es una máquina que procesa información siguiendo las instrucciones + de un programa, y se comunica a través de los dispositivos de entrada y + de salida. + También dispone de dispositivos para almacenar información y procesarla. + Esta está expresada en forma binaria (0's y 1's). + Distinguimos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Hardware: +\series default + Conjunto de componentes que integran la parte material de un computador, + incluyendo componentes eléctricos, electrónicos y mecánicos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Software: +\series default + Conjunto de programas e instrucciones para ejecutar ciertas tareas en un + computador. + Es intangible, aunque se encuentren almacenados en hardware. +\end_layout + +\begin_layout Section +Hardware +\end_layout + +\begin_layout Standard +Tradicionalmente, los computadores siguen el +\series bold +esquema de Von Neumann +\series default +, que consiste en una unidad central de proceso (CPU), constituida por una + unidad de control (UC) y un camino de datos (CD); la memoria principal, + y los dispositivos de entrada y salida, incluyendo almacenamiento. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Graphics + filename buses.png + width 100text% + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los +\series bold +buses +\series default + son un conjunto de hilos paralelos que conectan unidades, como se muestra + en la figura. + Cada hilo transmite 1 bit a la vez, y el +\series bold +ancho de bus +\series default + es el nº de hilos que tiene un bus. + En concreto: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +El +\series bold +bus de direcciones +\series default + transmite la dirección en memoria, por lo que su ancho define la máxima + memoria instalable como +\begin_inset Formula $2^{n}$ +\end_inset + + bytes. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +El +\series bold +bus de datos +\series default + transmite información, por lo que a mayor ancho, mayor cantidad de información + se puede transmitir en una sola operación. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +memoria +\series default + está formada por un conjunto de celdas, normalmente de 1 byte, en la que + se guardan datos e instrucciones. + Cada celda tiene una +\series bold +dirección +\series default + única y correlativa. + Para leerla, la CPU +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +pone +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + la dirección en el bus de direcciones, activa el hilo de lectura en el + bus de control y la memoria +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +deja +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + el contenido de la(s) celda(s) en el bus de datos. + Para escribir, la CPU +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +pone +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + la dirección en el bus de direcciones, el dato en el bus de datos y activa + el hilo de escritura en el bus de control. +\end_layout + +\begin_layout Section +Software +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +sistema operativo +\series default + un programa que gestiona los recursos del computador. + Es el primer programa en ejecutarse (*), gestiona a todos los demás y actúa + de intermediario con el hardware. + Es un +\series bold +programa de sistema +\series default +, al igual que el compilador y el ensamblador. + Por contra, las +\series bold +aplicaciones +\series default + son programas orientados al usuario, como procesadores de texto, hojas + de cálculo, navegadores web, reproductores multimedia, etc. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +firmware +\series default + es software de bajo nivel, almacenado de forma semipermanente. + En general, puede cambiarse, pero no tan fácilmente como el resto de software. +\end_layout + +\begin_layout Section +Internet +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Internet +\series default + es un conjunto descentralizado de redes de comunicación interconectadas + mediante protocolos estandarizados, de forma que las redes físicas que + las componen funcionan como una única red lógica mundial. + Existen muchos +\series bold +servicios +\series default + proporcionados a través de la red, como la Web, correo electrónico, transmisión + de archivos, chats, acceso remoto, etc. +\end_layout + +\begin_layout Section +Conceptos +\end_layout + +\begin_layout Standard +La unidad mínima de información es el +\series bold +bit +\series default +, que puede valer 0 o 1. + Se pueden almacenar como tensión alta o baja en un circuito, superficie + magnetizada en uno u otro sentido, superficie perforada, señal de alta + o baja frecuencia en un cable, presencia o no de señal luminosa en un cable + de fibra óptica, etc. + Generalmente se usan secuencias de bits: 1 +\series bold +byte +\series default + = 8 bits, codifica +\begin_inset Formula $2^{8}=256$ +\end_inset + + estados distintos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Múltiplos del byte: +\begin_inset Formula $\unit[1]{KB}\text{(kilobyte)}=\unit[2^{10}]{B}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\unit[1]{MB}\text{(megabyte)}=\unit[2^{20}]{B}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\unit[1]{GB}\text{(gigabyte)}=\unit[2^{30}]{B}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\unit[1]{TB}\text{(terabyte)}=\unit[2^{40}]{B}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\unit[1]{PB}\text{(petabyte)}=\unit[2^{50}]{B}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\unit[1]{EB}\text{(exabyte)}=\unit[2^{60}]{B}$ +\end_inset + +. + Los prefijos también se aplican a bits. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las variables numéricas que ocupan más de un byte se pueden guardar en memoria + como: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +\emph on +Little endian +\series default +\emph default +: El byte menos significativo está en la posición de memoria más baja. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +\emph on +Big endian +\series default +\emph default +: En la posición más alta. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +La terminología procede de una escena de Los Viajes de Gulliver en la que + dos personas discuten sobre cuál es el extremo correcto para romper un + huevo, si el grande ( +\emph on +big endian +\emph default +) o el pequeño ( +\emph on +little endian +\emph default +). +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +tiempo de ejecución +\series default + o +\series bold +de respuesta +\series default + es lo que tarda el computador en realizar una tarea, incluyendo E/S, mientras + que el +\series bold +tiempo de CPU +\series default + se refiere solo al tiempo que tarda el procesador en realizar un cálculo, + y se calcula como: +\begin_inset Formula +\[ +{Tiempo}_{CPU}=\frac{{Instrucciones}_{APLICACIÓN}\cdot\frac{Ciclos(Media)}{Instrucción}}{Frecuencia\ procesador} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Historia +\end_layout + +\begin_layout Standard +En 1791-1871, Babbage intentó diseñar una máquina mecánica capaz de resolver + problemas matemáticos, la cual nunca fue terminada. + Podemos dividir la historia de la informática en varias generaciones de + ordenadores: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Primera generación (1943-62): +\series default + A principios de siglo, Fleming inventó la válvula de vacío, permitiendo + el desarrollo de la electrónica y los primeros ordenadores, de los que + destacamos: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Proyecto ENIAC (Eckert y Mauchly, 1943-46): +\series default + +\emph on +Electronic Numerical Integrator and Calculator +\emph default +: +\begin_inset Formula $30$ +\end_inset + + toneladas, +\begin_inset Formula $\unit[180]{m^{2}}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $18000$ +\end_inset + + válvulas de vacío, frecuencia +\begin_inset Formula $\unit[0.1]{MHz}$ +\end_inset + +, 20 registros de 10 dígitos decimales, programación cableando directamente, + 1900 sumas por segundo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +UNIVAC: +\series default + +\emph on +Universal Automatic Computer +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Proyecto EDVAC (Von Neumann, 1952): +\series default + +\emph on +Electronic Discrete Variable Automatic Computer +\emph default +: El primero con programas almacenados; saltos condicionales, válvulas de + vacío. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Segunda generación (1962-67): +\series default + Tras la invención del transistor en 1947; IBM System 360, PDP-8 (primer + minicomputador, +\emph on +Digital Equipment Corporation +\emph default +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Tercera generación (1967-78): +\series default + En 1958 se inventa el circuito integrado, con el que se integran varios + elementos electrónicos en el mismo bloque. + Aparece la microprogramación (propuesta por Wilkes en los 50) y el primer + supercomputador (CDC 6000, +\emph on +Control Data Corporation +\emph default +, Seymour Cray, 1964), y en 1965 Wilkes propone el concepto de caché. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Cuarta generación (1971-): +\series default + En 1971 se diseña el primer microprocesador: Intel 4004, con 2300 transistores. + Desde el 1981 y con el desarrollo de CPUs de Intel como el 8088 se desarrolla + la informática de consumo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Desde la mitad de los 90 con la aparición de la web, hay 3 grupos de ordenadores +: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Ordenadores personales: +\series default + PCs, +\emph on +tablets +\emph default +, etc., para uso individual, con buen rendimiento a bajo coste. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Servidores: +\series default + Para muchos usuarios, buscan fiabilidad y escalabilidad. + Distinguimos de clase baja (servidores de archivos, de impresión, etc.), + media (centros de datos, +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +datacenters +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +) y alta (supercomputadores con aplicaciones científicas). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Ordenadores embebidos +\series default + o +\series bold +empotrados: +\series default + Ordenadores de coches, +\emph on +gadgets +\emph default +, etc. + Para una sola aplicación, con grandes limitaciones, consumo de energía + y fiabilidad. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En 2005, para ahorrar energía, aumentar el rendimiento sin aumentar el ciclo + de reloj y mejorar la fiabilidad del diseño, surgen los procesadores +\series bold +multinúcleo, +\series default + aunque requieren +\series bold +programación paralela. +\end_layout + +\begin_layout Section +Organización de un PC +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Factor de forma +\series default + o +\series bold +geometría: +\series default + Largo, ancho, ubicación de agujeros de montaje, tipo y ubicación de conectores + y componentes, etc. + Normalmente ATX, aunque los servidores suelen usar factores de forma como + WTX, que tienen mayores dimensiones y permiten alojar varias CPUs y más + memoria. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +CPUs soportadas: +\series default + Depende del tipo de +\emph on +socket +\emph default + de CPU. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Módulos de memoria soportados: +\series default + Tipos (DDR [ +\lang american +Double Data Rate +\lang spanish +], DDR2, DDR3, DDR4...), frecuencia del reloj de la memoria, nº de ranuras, + capacidad máxima, etc. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Chipset: +\series default + Formado por: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +\lang american +Memory Controller Hub +\series default +\lang spanish + o +\series bold +Northbridge: +\series default + Comunica la CPU, tarjeta gráfica, módulos de memoria y el Southbridge. + Últimamente su funcionalidad se integra en el procesador. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +\lang american +I/O Controller Hub +\series default +\lang spanish + o +\series bold +Southbridge: +\series default + Comunica el resto de elementos del sistema. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Ranuras de expansión: +\series default + PCI (más antiguo, siendo el más usado un bus de 32 bits a +\begin_inset Formula $\unit[33]{MHz}$ +\end_inset + +), PCI-X (servidores, +\begin_inset Formula $\unit[66]{MHz}$ +\end_inset + + o más) y PCI Express (más rápido, hasta +\begin_inset Formula $\unit[250]{MB/s}$ +\end_inset + + +\lang american +full duplex +\lang spanish + por canal, con ranuras de hasta 16 canales). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Interfaces de almacenamiento: +\series default + ATA (paralela, hasta +\begin_inset Formula $\unit[133]{MB/s}$ +\end_inset + +), actualmente sustituida por SATA (en serie, hasta +\begin_inset Formula $\unit[150]{MB/s}$ +\end_inset + + en la versión original), y SCSI (paralela), que será sustituida por SAS + (serie). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Interfaces de audio y red. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Puertos de conexión periféricos +\series default + como USB y Firewire. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Protección de la BIOS: +\series default + La BIOS ( +\lang american +Basic Input/Output System +\lang spanish +) se encarga de arrancar el PC y dar soporte para ciertos dispositivos de + entrada y salida. + También ofrece una interfaz gráfica para configurar parámetros del PC. + Actualmente la BIOS se almacena muchas veces en una Flash, por lo que se + puede actualizar, pero de hacerse incorrectamente podría dejar el equipo + inutilizable hasta cambiar el chip. + Actualmente está siendo sustituida por UEFI ( +\lang american +Unified Extensible Firmware Interface +\lang spanish +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Graphics + filename image.TZVI9Y.png + width 100text% + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fc/n2.lyx b/fc/n2.lyx new file mode 100644 index 0000000..7e41f7e --- /dev/null +++ b/fc/n2.lyx @@ -0,0 +1,979 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Section +Representación de enteros +\end_layout + +\begin_layout Standard +En un sistema de numeración posicional en base +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N=\dots+n_{2}b^{2}+n_{1}b^{1}+n_{0}b^{0}+n_{-1}b^{-1}+\dots$ +\end_inset + +. + Nos centraremos en las bases 2 (binario), 8 (octal), 10 (decimal) y 16 + (hexadecimal). + Decimos +\begin_inset Formula $011)_{2}=3)_{10}$ +\end_inset + +. + Para convertir de decimal a binario, dividimos sucesivamente entre 2 la + parte entera hasta obtener cociente binario, y tomamos los restos y el + último cociente. + Este es el bit más significativo, y el primer resto el menos significativo. + Para la parte fraccionaria, multiplicamos por 2 la parte fraccionaria del + número decimal, y el número binario se forma con lo que se va obteniendo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El desplazamiento a la izquierda (añadir un 0 a la izquierda) multiplica + por 2, y el desplazamiento a la derecha (eliminarlo) divide entre 2. + También encontramos las operaciones lógicas +\family typewriter +\lang american +OR +\family default +\lang spanish + ( +\begin_inset Formula $0+0=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $0+1=1+0=1+1=1$ +\end_inset + +), +\family typewriter +\lang american +AND +\family default +\lang spanish + ( +\begin_inset Formula $0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $1\cdot1=1$ +\end_inset + +) y +\family typewriter +\lang american +NOT +\family default +\lang spanish + ( +\begin_inset Formula $\overline{0}=1$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\overline{1}=0$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los valores sin signo se representan añadiendo +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + +s a la izquierda del número en binario hasta completar los +\begin_inset Formula $8$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $16$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $32$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $64$ +\end_inset + +, etc. + bits. + Para los enteros con signo existen las siguientes representaciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Signo y magnitud: +\series default + El bit más significativo es de signo, y vale +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + + si el nº es negativo. + El problema es que el +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + + tiene dos representaciones. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Sesgada: +\series default + Se añade una constante +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + (sesgo) al nº a representar para hacerlo positivo. + Normalmente +\begin_inset Formula $S=2^{\text{nº de bits}-1}$ +\end_inset + +. + Permite realizar restas como sumas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Complemento a 2: +\series default + Si tenemos +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + bits, permite representar desde +\begin_inset Formula $-2^{n-1}$ +\end_inset + + hasta +\begin_inset Formula $2^{n-1}-1$ +\end_inset + +. + Los positivos se representan normalmente. + Para los negativos, se niegan todos los bits ( +\family typewriter +\lang american +NOT +\family default +\lang spanish +) del opuesto y se suma 1 al resultado. + Así, además de poder realizar restas como sumas (despreciando los bits + restantes), los números positivos se representan igual a como se representarían + sin signo. + Si el resultado de una operación sale del rango, se denomina +\series bold +desbordamiento +\series default +, y la operación no funciona. + Para representar un número con mayor cantidad de bits, se replica el bit + de signo hacia la izquierda. +\end_layout + +\begin_layout Section +Códigos intermedios +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para expresar secuencias de bits de forma más concisa usamos la base +\series bold +octal +\series default + ( +\begin_inset Formula $\unit[8=2^{3}]{dígitos}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{0,\dots,7\}$ +\end_inset + +) agrupando los bits de 3 en 3 empezando por la coma decimal, así como la + base +\series bold +hexadecimal +\series default + ( +\begin_inset Formula $\unit[16=2^{4}]{dígitos}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{0,\dots,9,A,\dots,F\}$ +\end_inset + +), agrupándolos de 4 en 4. + Las conversiones se realizan de forma similar a la conversión entre binario + y decimal, pero con distinta base. +\end_layout + +\begin_layout Section +Representación de reales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se usa la +\series bold +notación exponencial +\series default +, en +\series bold + coma flotante +\series default + o en +\series bold + punto flotante: +\series default + +\begin_inset Formula $N=M\cdot B^{E}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es la mantisa, +\begin_inset Formula $B=2$ +\end_inset + + es la base y +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + + es el exponente. + Se representa en tres campos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Signo ( +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +): +\series default + +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + +: positivo; +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + +: negativo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Exponente ( +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + +): +\series default + Entero sesgado, con sesgo +\begin_inset Formula $S=2^{n_{E}-1}-1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Mantisa ( +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +): +\series default + Solo se representa la parte fraccionaria; la parte entera siempre es +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La norma IEEE 754 especifica reales de +\series bold +simple precisión +\series default + (32 bits, +\begin_inset Formula $n_{E}=8$ +\end_inset + +), y de +\series bold +doble precisión +\series default + (64 bits, +\begin_inset Formula $n_{E}=11$ +\end_inset + +). + Situaciones especiales: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $E=0$ +\end_inset + +, el +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + + no está implícito. + Así, si +\begin_inset Formula $E=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M=0$ +\end_inset + +, el número es +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $E=2^{n_{E}}-1$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $n=+\infty\text{ o }-\infty$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $M=0$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $NaN$ +\end_inset + + ( +\emph on +\lang american +Not a Number +\emph default +\lang spanish +) si +\begin_inset Formula $M\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Cuando un número como el resultado de una operación no se puede representar + de forma exacta, se aplica el redondeo al par: Se toman los dos primeros + bits que +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +no caben +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + en la mantisa (en orden, +\series bold +bit de redondeo +\series default + y +\series bold +bit retenedor +\series default +). + Si el de redondeo es +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + +, se trunca. + Si ambos son +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + +, se redondea al alza. + En el caso restante, se redondea al par más cercano. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Algunos números que en decimal son exactos no se pueden representar con + total exactitud porque en binario son periódicos, y algunas propiedades + como la asociatividad de la suma pueden no cumplirse debido a errores de + aproximación. +\end_layout + +\begin_layout Section +Representación de caracteres +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para representar un carácter entre un conjunto de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + caracteres necesitamos +\begin_inset Formula $\left\lceil \log_{2}n\right\rceil $ +\end_inset + + bits, de forma que a cada carácter le corresponde una combinación. + El código es arbitrario, pero existen códigos normalizados: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +El ASCII ( +\emph on +\lang american +American Standard Code for Information Interchange +\emph default +\lang spanish +) codifica desde los años 60 la mayoría de caracteres del idioma inglés. + Usa +\begin_inset Formula $7$ +\end_inset + + bits para +\begin_inset Formula $128$ +\end_inset + + caracteres. + Para rellenar 1 byte, el bit adicional se usaba para control de errores. + Un ejemplo es el +\series bold +bit de paridad +\series default +, que garantiza que el total de unos en el byte debe ser par. + Si no lo es, ha habido un error en la transmisión. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Más recientemente, este último bit se usa para extensiones de determinados + idiomas. + El ISO-8859-1 ( +\lang american +Latin +\lang spanish + 1) incluye extensiones como acentos y +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $ñ$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + El ISO-8859-15 es similar pero añade el signo del euro. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +El Unicode permite representar cualquier sistema de escritura del mundo. + Empezó siendo de 16 bits y actualmente define más de 1 millón de símbolos. + A cada uno se le asigna un +\emph on +\lang american +code point +\emph default +\lang spanish + en el rango de +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $0x10FFFF$ +\end_inset + +, que se representa como U+número. + El conjunto de +\emph on +\lang american +code points +\emph default +\lang spanish + que caben en 16 bits se denomina +\emph on +\lang american +Basic Multilingual Plane +\emph default +\lang spanish + (BMP). +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize +Los primeros 256 +\emph on +\lang american +code points +\emph default +\lang spanish + corresponden al ISO-8859-1. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Todos los +\emph on +\lang american +code points +\emph default +\lang spanish + se representan como secuencias de bits de varias formas, como el UTF-8 + y el UTF-16 ( +\emph on +\lang american +Unicode Transformation Format +\emph default +\lang spanish +). + En UTF-8, cada carácter ASCII ocupa 1 byte, por compatibilidad. + Para otros caracteres, se usan de 2 a 4 bytes. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +En UTF-16, para distinguir entre +\emph on +Big-Endian +\emph default + y +\emph on +Little-Endian +\emph default +, se usa la llamada +\emph on +\lang american +Byte Order Mark +\emph default +\lang spanish + (BOM) al principio del texto, codificado como +\begin_inset Formula $0xFEFF$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Representación de imágenes +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las imágenes se pueden representar mediante mapas de bits o de forma vectorial. + Un +\series bold +mapa de bits +\series default + está formado por una matriz de píxeles +\begin_inset Formula $M_{m,n}(px.)$ +\end_inset + + con resolución +\begin_inset Formula $n\times m$ +\end_inset + +, de los cuales a cada uno se le asocia un color o un tono de gris. + Se almacenan los píxeles sucesivamente. + Algunos formatos de mapa de bits son BMP (Windows), PICT (Macintosh), PPM + ( +\emph on +\lang american +Portable Pix-Map +\emph default +\lang spanish +, de codificación sencilla) y JPEG (compresión normalmente con pérdida, + buena calidad para fotos). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Mientras tanto, una +\series bold +imagen vectorial +\series default + se representa como una colección de objetos como líneas, polígonos o textos, + que se modelan mediante vectores y ecuaciones que se evalúan al visualizar + las ecuaciones en pantalla. + Son adecuados para gráficos geométricos e ideales para aplicaciones CAD, + se pueden escalar a cualquier tamaño y suelen ocupar mucho menos espacio + que los mapas de bits. + Sin embargo, no son adecuadas para imágenes reales y suelen tener menor + calidad de imagen. + Algunos formatos son DXF ( +\emph on +\lang american +Document eXchange Format +\emph default +\lang spanish +, para imágenes CAD), EPS ( +\emph on +\lang american +Encapsulated PostScript +\emph default +\lang spanish +, de Adobe) y ODG (LibreOffice). + A menudo estos pueden incluir mapas de bits embebidos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El color se representa mediante escalas. + En +\series bold +escala de grises +\series default +, cada píxel toma un valor de gris. + El modelo de color +\series bold +RGB +\series default + es aditivo (la suma de los colores genera el blanco), se usa sobre todo + en pantallas y representa la intensidad de rojo, verde y azul. + El modelo +\series bold +CMYK +\series default + es sustractivo (la suma de los colores genera el negro), se usa principalmente + en impresoras y representa el cían, magenta, amarillo y negro. +\end_layout + +\begin_layout Section +Algunos formatos de archivo +\end_layout + +\begin_layout Subsection +PPM +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\lang american +Portable Pixel Map +\lang spanish + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + está formado por un +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +número mágico +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + que identifica el tipo de archivo (caracteres +\series bold +P6 +\series default +), una cabecera y una ristra de bytes. + La cabecera indica, entre otras cosas, el ancho y alto de la imagen y el + valor máximo de un color, en decimal mediante caracteres ASCII (normalmente + estos son los tres últimos elementos de la cabecera, los cuales suelen + separarse por 0x0A). + La ristra de bytes contiene los píxeles uno por uno, de arriba a abajo + de izquierda a derecha, representados por los valores de intensidad del + rojo, verde y azul. + Normalmente el valor máximo es 255. + Si es más, se especifican en +\emph on +\lang american +big endian +\emph default +\lang spanish +. + Así, en general, +\begin_inset Formula $\text{Offset}=(y\cdot\text{ancho}+x)\cdot3+\text{fin\_cabecera}+1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +HTML +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\emph on +\lang american +HyperText Markup Language +\emph default +\lang spanish + se usa para crear páginas web. + Se usan etiquetas con forma +\family typewriter +< +\emph on +nombre +\emph default + +\emph on +attr +\emph default +=" +\emph on +val +\emph default +" ...>...</ +\emph on +nombre +\emph default +> +\family default +, como +\family typewriter +<b>Hola</b> +\family default +, que indica que el texto está en negrita. + Así: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +<HTML> +\family default + envuelve a todo el documento. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +< +\lang american +HEAD +\lang spanish +> +\family default + contiene la cabecera. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +< +\lang american +TITLE +\lang spanish +> +\family default + indica el título. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +< +\lang american +META NAME="AUTHOR" CONTENT= +\lang spanish +" +\family default +(autor) +\family typewriter +"> +\family default +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +< +\lang american +BODY +\lang spanish +> +\family default + contiene al cuerpo del documento. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +<P> +\family default + indica un párrafo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +< +\lang american +BR +\lang spanish +> +\family default + introduce una línea en blanco. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +<A +\lang american +HREF +\lang spanish +=" +\family default +(URL) +\family typewriter +"> +\family default + muestra un enlace. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Subsection +ODF +\end_layout + +\begin_layout Standard +El formato +\emph on +\lang american +OpenDocument +\emph default +\lang spanish + es un formato estándar y libre para documentos, hojas de cálculo, gráficos, + presentaciones... + Es un archivo comprimido en ZIP que contiene varios ficheros y directorios, + siendo los más importantes: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +content.xml +\family default +: Almacena el contenido real del documento, salvo datos binarios como imágenes, + y su formato es similar al HTML aunque bastante más complejo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +styles.xml +\family default +: Almacena los estilos para el formato y disposición del contenido, y existen + varios tipos como los de carácter, párrafo, etc. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +meta.xml +\family default +: Contiene metadatos como el autor, la última persona que lo modificó, fecha + de la última modificación, etc. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +settings.xml +\family default +: Incluye propiedades como el factor de zoom o la posición del cursor, pero + no afectan al contenido. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fc/n3.lyx b/fc/n3.lyx new file mode 100644 index 0000000..63254ed --- /dev/null +++ b/fc/n3.lyx @@ -0,0 +1,1257 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +En electrónica digital distinguimos dos niveles de tensión (alta y baja), + que abstraemos con el sistema binario. + Tipos de circuitos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Combinacionales (sin memoria): +\series default + Las salidas solo dependen de las entradas actuales. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Secuenciales (con memoria): +\series default + Las salidas dependen de las entradas y un valor almacenado ( +\series bold +estado +\series default +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +álgebra de Boole +\series default + sirve para expresar circuitos lógicos. + Tenemos las operaciones +\begin_inset Formula $\overline{A}$ +\end_inset + + (negación), +\begin_inset Formula $A+B$ +\end_inset + + (o) y +\begin_inset Formula $A\cdot B$ +\end_inset + + (y), y podemos expresar funciones de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + variables +\begin_inset Formula $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow\{0,1\}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $F(A,B,C)=\dots$ +\end_inset + +, o bien como tabla de verdad. + Si a cada entrada +\begin_inset Formula $(A,B,C)$ +\end_inset + + le asignamos su valor +\begin_inset Formula $ABC_{b}$ +\end_inset + +, tenemos las +\series bold +formas normalizadas: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Suma de productos (minitérminos): +\series default + +\begin_inset Formula $F(A,B,C)=\overline{A}\cdot B\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot B\cdot C+\dots=m_{2}+m_{3}+\dots=\sum m(2,3,\dots)$ +\end_inset + +. + Tomamos las combinaciones en las que la salida es 1. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Producto de sumas (maxitérminos): +\series default + +\begin_inset Formula $F(A,B,C)=(A+B+C)\cdot(A+B+\overline{C})\cdot\dots=M_{0}\cdot M_{1}\cdot\dots=\prod M(0,1,\dots)$ +\end_inset + +. + Tomamos las combinaciones en las que la salida es 0 y negamos cada letra. +\end_layout + +\begin_layout Section +Mapas de Karnaugh +\end_layout + +\begin_layout Standard +Representación gráfica de una tabla de verdad. + Si la función tiene +\begin_inset Formula $m+n$ +\end_inset + + variables, realizamos una tabla +\begin_inset Formula $2^{m}\times2^{n}$ +\end_inset + + y en las cabeceras de fila y columna ponemos los nombres de estas variables + con sus posibles combinaciones, de forma que dos celdas adyacentes solo + se diferencien en 1 byte. + Ponemos +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + (valor no determinado) en cada celda según el valor de salida para las + variables. + Un cuadrado tiene +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + cuadrados adyacentes (que se diferencien en solo una entrada), y estos + se combinan en grupos de +\begin_inset Formula $2^{k}$ +\end_inset + + celdas con igual valor de salida eliminando +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + variables. + Debemos intentar cubrir todos los unos (o ceros) en el menor número de + grupos posible. + Una celda puede estar en varios grupos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Terminología: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Implicante: +\series default + Producto de variables. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Implicante primo: +\series default + Implicante no contenido en otro. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Implicante primo esencial: +\series default + Implicante primo con al menos un 1 cubierto solo por él. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Cubierta: +\series default + Conjunto de implicantes primos que cubren todos los unos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Al simplificar, las +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + pueden interpretarse a conveniencia como 1s o 0s. +\end_layout + +\begin_layout Section +Puertas lógicas +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="1"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $A\cdot B$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Graphics + filename AND_ANSI_Labelled.svg + height 14pt + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +AND +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="1"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $A+B$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Graphics + filename OR_ANSI_Labelled.svg + height 14pt + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +OR +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="1"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $A\oplus B$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Graphics + filename XOR_ANSI.svg + height 14pt + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +XOR +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="1"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Graphics + filename NAND_ANSI_Labelled.svg + height 14pt + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +NAND +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="1"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Graphics + filename NOR_ANSI_Labelled.svg + height 14pt + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +NOR +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="1"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Graphics + filename Xnor-gate-en.svg + height 14pt + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +XNOR +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="1"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\overline{A}:$ +\end_inset + + +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +1 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +0 +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Graphics + filename Not-gate-en.svg + height 14pt + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +NOT +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align left +A veces la puerta NOT se representa simplemente con el círculo pequeño, + pegado a otra puerta. + Las puertas NAND, NOR y XNOR equivalen a una puerta AND, OR o XOR, respectivame +nte, seguida de una puerta NOT. + La mayoría de circuitos actualmente se encuentran en chips (circuitos integrado +s) todo lo grandes o pequeños que queramos. + Según el número de puertas lógicas: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +SSI: +\series default + 1-10 puertas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +MSI: +\series default + 10-100 puertas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +LSI: +\series default + 100-100000 puertas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +VLSI: +\series default + >100000 puertas. +\end_layout + +\begin_layout Section +Retardo +\end_layout + +\begin_layout Standard +Existe un +\series bold +retardo +\series default + de algunos nanosegundos desde que cambia la señal a la entrada hasta que + se estabiliza la señal de salida en el valor deseado. + Podemos considerar que este es el máximo que debe +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +recorrer +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + una señal dentro del circuito una vez sabemos el retardo de cada puerta + lógica. +\end_layout + +\begin_layout Section +Implementación con puertas NAND/NOR +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para implementar una función en forma de suma de productos sólo con puertas + NAND, simplificamos, negamos dos veces y aplicamos De Morgan una vez, obteniend +o un resultado que se puede interpretar con puertas NAND. + El proceso es el mismo para implementar una función en forma de producto + de sumas sólo con puertas NOR. +\end_layout + +\begin_layout Section +Bloques lógicos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Son bloques que contienen una parte del circuito y se usan para simplificar + la representación. + Se representan como un cuadrado con flechas entrantes a un lado y salientes + a otro con un indicador textual del bloque. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Codificador +\end_layout + +\begin_layout Standard +Circuito con +\begin_inset Formula $2^{n}$ +\end_inset + + líneas de entrada y +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + de salida. + Solo una línea de entrada se activa en cada momento y su nº se representa + en binario en la salida. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Graphics + filename image.RAWR9Y.png + width 60text% + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Decodificador +\end_layout + +\begin_layout Standard +Circuito con +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + líneas de entrada y +\begin_inset Formula $2^{n}$ +\end_inset + + de salida que activa la línea de salida cuyo nº corresponde a la entrada + en binario. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Graphics + filename image.V5MB9Y.png + width 60text% + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos implementar una función con un decodificador conectando las salidas + correspondientes a un +\begin_inset Formula $F(\dots)=1$ +\end_inset + + como entrada de una puerta OR. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Multiplexores +\end_layout + +\begin_layout Standard +Circuito con +\begin_inset Formula $2^{n}$ +\end_inset + + líneas de entrada de datos, +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + de entrada de control y una de salida. + Las líneas de control seleccionan qué entrada de datos pasa a la salida. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Graphics + filename image.0PXO9Y.png + width 100text% + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos implementar funciones como multiplexores conectando a cada entrada + de datos el valor de la salida correspondiente y conectando las entradas + como entradas de control. + Si el multiplexor tiene una entrada de control menos que la función, elegimos + una variable que no se conecta como entrada de control, agrupamos en el + mapa de Karnaugh las celdas que tienen el resto de entradas iguales y como + entradas conectamos 0, 1 o la variable en cuestión, negada o no. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Memorias ROM +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +ROM +\series default + ( +\emph on +Read Only Memory +\emph default +) es un circuito combinacional con +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + entradas y +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + salidas que almacena +\begin_inset Formula $2^{m}$ +\end_inset + + celdas ( +\series bold +altura +\series default + de la ROM) de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + bits ( +\series bold +anchura +\series default + de la ROM). + Se implementa con un plano AND con +\begin_inset Formula $2^{m}$ +\end_inset + + puertas de +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + entradas cada una y un plano OR con +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + puertas de salida: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Graphics + filename image.Y3EN9Y.png + width 100text% + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Variantes: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +PROM: +\series default + +\emph on +Programmable ROM +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +EPROM: +\series default + +\emph on +Erasable PROM +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +EEPROM: +\series default + +\emph on +Electronically Erasable PROM +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Memorias flash (permiten borrado y reescritura por bloques, miles de veces). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +PLA: +\series default + +\emph on +Programmable Logic Array +\emph default +. + Como una ROM, pero solo se implementan los productos (puertas AND) necesarios. + Útil cuando pocas combinaciones se usan realmente. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fc/n4.lyx b/fc/n4.lyx new file mode 100644 index 0000000..dbe8094 --- /dev/null +++ b/fc/n4.lyx @@ -0,0 +1,2821 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures false +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Un sistema operativo es una capa de software situada entre el hardware y + las aplicaciones, que se encarga de +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +enmascarar +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + la complejidad del software a usuarios y programadores, administrando: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La CPU, que se comparte entre los procesos y el núcleo del SO. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +La memoria, que también se comparte, impidiendo que un proceso acceda a + la de otro indebidamente. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Los dispositivos, que también se comparten, protegiendo de accesos indebidos + y ofreciendo una interfaz uniforme a los distintos tipos de dispositivos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: Windows (2000, XP, Vista...), Linux (Ubuntu, Fedora...), Unix, FreeBSD, + MacOS, etc. + Una distribución de un sistema operativo incluye al núcleo del SO junto + con software adicional. + Tipos de SO: De propósito general, de servidores, de tiempo real, integrados, + de tarjeta inteligente, de supercomputadores, etc. + Conceptos: +\end_layout + +\begin_layout Description +Usuario Persona que trabaja en el sistema. +\end_layout + +\begin_layout Description +Sesión Periodo de tiempo en el que un usuario interactúa con el sistema. +\end_layout + +\begin_layout Description +Programa Código ejecutable almacenado en disco. + Concepto estático. +\end_layout + +\begin_layout Description +Proceso Programa en ejecución, que necesita recursos. + Concepto dinámico con estado cambiante. + Unidad de trabajo del SO. +\end_layout + +\begin_layout Description +Fichero Unidad lógica de almacenamiento de datos persistentes. + Secuencia de bytes con un formato determinado. +\end_layout + +\begin_layout Description +Programas +\begin_inset space ~ +\end_inset + +del +\begin_inset space ~ +\end_inset + +sistema Programas que suelen acompañar al SO, como administrador de archivos, + intérprete de comandos, programas para información de estado, aplicaciones + básicas o utilidades de programación. +\end_layout + +\begin_layout Description + +\series bold +Interfaz +\begin_inset space ~ +\end_inset + +de +\begin_inset space ~ +\end_inset + +usuario +\series default +Permite al usuario dar órdenes al sistema. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description + +\lang english +GUI +\begin_inset space ~ +\end_inset + +( +\emph on +Graphical +\begin_inset space ~ +\end_inset + +User +\begin_inset space ~ +\end_inset + +Interface +\emph default +) +\lang spanish + Presenta una visión intuitiva del sistema. + Se basa en un gestor de ventanas que permite arrancar y terminar aplicaciones + y trabajar con varias al mismo tiempo. +\end_layout + +\begin_layout Description +Línea +\begin_inset space ~ +\end_inset + +de +\begin_inset space ~ +\end_inset + +comandos Órdenes tecleadas. + Permite llamar a +\series bold +órdenes internas +\series default + reconocidas por el intérprete y +\series bold +programas externos +\series default +, en su propio ejecutable. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Funcionamiento de un SO +\end_layout + +\begin_layout Subsection +El arranque +\end_layout + +\begin_layout Standard +Al encender, la CPU ejecuta un programa en ROM ( +\series bold +iniciador ROM +\series default + o +\series bold +ROM BIOS +\series default +) que realiza un autodiagnóstico rápido del hardware y lee el +\series bold +disco +\series default + el programa +\series bold +cargador +\series default +, que posiblemente permita seleccionar entre varios SO. + Este se encarga de cargar el kernel del SO en memoria, que toma el control, + establece sus estructuras internas básicas (tabla de procesos, memoria, + E/S, etc.) y ejecuta el +\series bold +proceso inicial +\series default +, que empieza a lanzar procesos auxiliares y +\series bold +demonios +\series default + (para impresión, red, etc.) según esté configurado y, finalmente, lanza + uno (o varios) procesos de login, que permiten al usuario autenticarse + y comenzar a trabajar. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Interrupciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las +\series bold +interrupciones +\series default + son un mecanismo que permite pasar el control al núcleo del SO. + Tipos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Interrupciones software +\series default +, +\series bold +llamadas al sistema +\series default + o +\series bold +traps: +\series default + Las inicia un proceso para llamar a un servicio del sistema. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Interrupciones hardware: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Excepciones +\series default + o +\series bold +desvíos: +\series default + Las produce un error en la ejecución, como una instrucción errónea, acceso + indebido, error numérico, etc. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Interrupciones +\series default + propiamente dichas: Las causa un evento externo como el reloj del sistema + o un dispositivo de E/S, y llegan a la CPU mediante el bus de control. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Algunos tipos de llamadas al sistema: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Procesos: +\series default + Creación y terminación de procesos e hilos... +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Acceso a dispositivos: +\series default + Apertura, cierre, lectura y escritura de ficheros y dispositivos de E/S... +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Gestión de la memoria: +\series default + Solicitud y liberación de espacio... +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Manipulación del sistema de ficheros: +\series default + Creación y borrado de ficheros y directorios, movimiento por directorios, + manipulación de permisos, acceso a metadatos... +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Otros: +\series default + Sincronización y comunicación entre procesos... +\end_layout + +\begin_layout Subsection +El subsistema de gestión de procesos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los SO permiten la +\series bold +multiprogramación +\series default +, el uso compartido de la CPU entre varios procesos, y de esta forma permite + múltiples usuarios. + Periódicamente, el reloj interrumpe al proceso en ejecución para ejecutar + código del kernel, que cambia el +\series bold +contexto +\series default + para ejecutar otro proceso. + Los procesos van avanzando con sensación de simultaneidad, y los que quedan + a la espera de E/S ceden la CPU a otro proceso. + La parte del kernel encargada de optimizar el uso de CPU es el +\series bold +planificador +\series default + o +\series bold +\emph on +scheduler +\series default +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todos los procesos son creados por otro, llamado +\series bold +proceso padre +\series default +, siendo la raíz de la jerarquía el proceso inicial (en Linux, +\family typewriter +init +\family default +), y terminan de forma voluntaria o externa. + Los procesos también pueden ser monitorizados, y se autorizan intentos + de comunicación entre procesos. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +El subsistema de gestión de memoria +\end_layout + +\begin_layout Standard +La RAM es compartida por todos los procesos y el propio kernel, el cual + aísla a unos procesos de otros ubicándolos en +\series bold +espacios de direccionamiento +\series default + independientes. + Cada proceso tiene un +\series bold +espacio de direcciones virtual +\series default +, que es mapeado por el sistema (con ayuda del hardware) a distintas +\series bold +direcciones físicas +\series default +. + Si es necesario, parte del espacio virtual de un proceso se mantiene en + disco. + El SO se encarga de controlar las zonas de memoria libres y ocupadas, asignar + y recuperar espacio y mover datos y código entre la RAM y el disco según + sea necesario. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +El subsistema de gestión de E/S +\end_layout + +\begin_layout Standard +El SO oculta las particularidades de distintos tipos de dispositivos. + Por ejemplo, mientras que el usuario ve un sistema de ficheros organizado + jerárquicamente, el disco en el que este está almacenado, con el que interactúa + el SO, se muestra como una inmensa tabla de sectores de 512 bytes cada + uno. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los dispositivos se manejan mediante una +\series bold +controladora +\series default +, un CI en el propio dispositivo que lo controla físicamente y acepta comandos + elementales, y un +\series bold +manejador de dispositivo +\series default + o +\series bold + +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +driver +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + +\series default +, un software ejecutado por el kernel del SO en +\series bold +modo privilegiado +\series default + (uso no restringido del procesador) que se comunica con la controladora. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las operaciones de E/S tardan un cierto tiempo en ejecutarse, por lo que + al enviar un comando a la controladora, el SO suspende el proceso en ejecución + y otorga la CPU a otro proceso, de forma que cuando termina la transferencia + de datos, se envía una +\series bold +interrupción +\series default + al procesador, causando que el SO vuelva a tomar el control y despierte + al proceso bloqueado. +\end_layout + +\begin_layout Section +Linux +\end_layout + +\begin_layout Standard +Es un clon de Unix creado por Linus Torvalds en 1991. + Su código fuente está disponible bajo GPL (puede usarse, modificarse y + distribuirse libremente). + Es multiplataforma, pues funciona en gran cantidad de procesadores por + estar escrito casi todo en C, multiusuario, multitarea y multinúcleo. + Usa memoria virtual con espacios de direccionamiento diferentes, y soporta + múltiples sistemas de archivos, protocolos de red e infinidad de dispositivos. + Existen múltiples distribuciones y miles de aplicaciones disponibles, libres + y comerciales. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se accede al sistema mediante nombre de usuario y contraseña, y solo el + usuario +\family typewriter +root +\family default + tiene el control total. + El +\emph on +prompt +\emph default + de la línea de comandos, configurable, proporciona información del usuario, + la máquina y el directorio actual: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center + +\family typewriter +\emph on +usuario +\emph default +@ +\emph on +máquina +\emph default +: +\emph on +directorio_actual +\emph default +$ +\end_layout + +\begin_layout Standard +La interfaz gráfica más común es X-Window, que actúa como proceso +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +servidor +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + al que se conectan las aplicaciones gráficas +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +cliente +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + Su diseño en red permite ejecutar aplicaciones gráficas remotas siempre + que en nuestra máquina se ejecute el servidor X. + Este captura los eventos de teclado y ratón y los envía a la aplicación, + a la vez que muestra la salida gráfica de la misma en ventanas. + Se arranca con +\family typewriter +startx +\family default +, aunque la mayoría de distribuciones ya lo ejecutan al inicio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El principal cliente de X-Window es el gestor de ventanas, que determina + la apariencia del escritorio y ventanas. + En Linux son populares KDE y GNOME, que cuentan con aplicaciones de todo + tipo las cuales son compatibles entre sí por funcionar con X, aunque existen + muchos más, como otros más ligeros. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +La línea de comandos +\end_layout + +\begin_layout Standard +La consola de texto, terminal, intérprete, línea de comandos o +\emph on +shell +\emph default + de Linux es un programa denominado +\family typewriter +bash +\family default +. + Permite usar, configurar, personalizar y monitorizar el sistema de forma + muy avanzada, y realizar tareas repetitivas mediante +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +guiones shell +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + o +\emph on +scripts +\emph default +, series de órdenes que se almacenan en un archivo para ser ejecutadas posterior +mente con una sola orden. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los caracteres +\family typewriter +/| +\backslash +!?*<>&~()[];# +\family default +, así como el espacio, tienen un significado especial en +\family typewriter +bash +\family default +, por lo que no es conveniente usarlos en nombres de archivos y directorios. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los comandos se especifican como +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\family typewriter +<comando> [parámetros...] +\family default + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + Los comandos que aceptan varias opciones (con +\family typewriter +- +\begin_inset Formula $(letra)$ +\end_inset + + +\family default +) permiten ponerlos separados por espacios o juntos, en cuyo caso solo se + indica el guión en el primero. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El tabulador completa una ruta o una orden cuando ya hemos escrito suficientes + caracteres para distinguirla. + Las teclas arriba y abajo permiten navegar por el historial de órdenes, + al que podemos acceder con +\family typewriter +CTRL-R +\family default + y tecleando una subcadena, con el comando +\family typewriter +history +\family default + o con +\family typewriter +! +\emph on +número_de_orden +\family default +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para evitar la interpretación de cualquier caracter reservado, se introduce + +\family typewriter + +\backslash + +\family default + delante o se encierra todo (el parámetro o parte de él) entre comillas + simples o dobles (la interpretación de estas, y del +\family typewriter + +\backslash + +\family default +, también pueden ser anuladas por +\family typewriter + +\backslash + +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para salir de la línea de comandos se usa el comando interno +\family typewriter +exit +\family default +. + Linux tiene una serie de terminales virtuales. + Para acceder a una, se pulsa +\family typewriter +CTRL-ALT-F +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\family default +, donde +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es el número de la terminal. + En una de ellas está la interfaz gráfica, en el caso de Ubuntu, en la 7. + Para copiar y pegar en dichas terminales virtuales, se marca el texto a + copiar de principio a fin pulsando el botón izquierdo del ratón y después, + con el cursor situado donde se quiere pegar el texto, se pulsa el botón + central. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Órdenes de ayuda +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +man +\emph on +page +\family default +\emph default +: Muestra un manual de la orden que se le indica como parámetro, del que + se sale pulsando +\family typewriter +q +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +info +\emph on +page +\family default +\emph default +: Misma función, aunque funciona de forma distinta. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +help +\emph on +command +\family default +\emph default +: Muestra algo de información sobre un comando interno. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +También se puede obtener información llamando al comando con +\family typewriter +-h +\family default +, +\family typewriter +-? +\family default + o +\family typewriter +--help +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +El sistema de ficheros +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo el almacenamiento se considera un sistema único de ficheros jerárquico + que parte del directorio raíz ( +\family typewriter +/ +\family default +) y cuyas entradas pueden ser ficheros (regulares, por caracteres, por bloques + o enlaces simbólicos) u otros directorios. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Los +\series bold +enlaces simbólicos +\series default + son +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +punteros +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + a otras entradas del sistema de ficheros, que almacenan la ruta de estas. + Si el archivo original cambia de lugar o es eliminado, el enlace queda + +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +colgando +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +, apuntado a nada. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Los +\series bold +enlaces físicos +\series default + o +\series bold +duros +\series default + se diferencian en que el fichero creado originalmente es indistinguible + del enlace, de forma que solo al borrar el último enlace se libera el espacio + en disco. + Sin embargo, no se puede crear un enlace físico a un fichero en otro disco. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Al indicar una ruta, se usa el caracter +\family typewriter +/ +\family default + para separar directorios y ficheros. + El punto ( +\family typewriter +. +\family default +) en un nombre de archivo se usa opcionalmente para agrupar archivos que + serán abiertos con la misma aplicación, diferenciando por +\series bold +extensiones +\series default +, y si se pone al principio de un archivo o directorio, este cuenta como + +\series bold +oculto +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una ruta que empiece por +\family typewriter +/ +\family default + es +\series bold +absoluta +\series default + y parte de la raíz. + Cualquier otra ruta es +\series bold +relativa +\series default + y parte del directorio actual. + El directorio actual se denota por +\family typewriter +. +\family default +, el directorio +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +padre +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + de otro por +\family typewriter +.. + +\family default + y el directorio +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +home +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + (del usuario que ha iniciado sesión) por +\family typewriter +~ +\family default +. + Los nombres de archivos diferencian mayúsculas de minúsculas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los directorios importantes son los siguientes: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/bin +\family default +: Programas básicos del sistema. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/usr/bin +\family default +: Aplicaciones y otros programas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/sbin +\family default +: Programas de administración (para superusuario). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/lib +\family default +: Bibliotecas del sistema. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/usr/lib +\family default + Bibliotecas de aplicaciones. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/etc +\family default +: Ficheros de configuración. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/home +\family default +: Directorios de usuarios. + En general, cada usuario tiene una carpeta +\family typewriter +/home/<user> +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/tmp +\family default +: Ficheros temporales. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/dev +\family default +: Dispositivos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/proc +\family default +: Visión dinámica del sistema. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los dos últimos directorios mencionados no existen en el disco, sino que + el SO proporciona esta percepción por comodidad. + A veces +\family typewriter +/tmp +\family default + tampoco está en disco, sino que solo existe en la RAM. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los discos +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +tal cual +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + se representan como archivos, que habitualmente se denominan +\family typewriter +/dev/sda +\family default +, +\family typewriter +/dev/sdb +\family default +, etc., y sus particiones +\family typewriter +/dev/sda1 +\family default +, +\family typewriter +/dev/sda2 +\family default +, etc., y +\family typewriter +/dev/null +\family default + indica un archivo virtual que descarta todo lo que se escribe en él. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En +\family typewriter +bash, +\family default +si un parámetro es una ruta, podemos usar comodines, y el parámetro se sustituye + por la lista de rutas de archivo que cumplen la condición (si existen). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +* +\family default +: Cero o más caracteres. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +? +\family default +: Un caracter. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +[ +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +- +\begin_inset Formula $z$ +\end_inset + +] +\family default +: Un caracter en el rango. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +[! +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +- +\begin_inset Formula $z$ +\end_inset + +] +\family default +: Un caracter que no esté en el rango. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +{ +\begin_inset Formula $n1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $n2$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\family default +}: Cualquier secuencia de caracteres de la lista. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Comandos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +pwd +\family default +. + Indica el directorio en que nos encontramos (ruta completa). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +cd [-|dir] +\family default +. + Cambia al directorio especificado (o a +\family typewriter +~ +\family default +). + Si se indica +\family typewriter +- +\family default +, vuelve al último directorio en que estuvimos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +ls [-dlrRaStu] [dir] +\family default +. + Lista las entradas del directorio +\family typewriter +dir +\family default + o del actual: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-l +\family default +: Formato largo. + En vez de mostrar solo el nombre, muestra el total y a con +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +ti +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +nua +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +ción, para cada archivo: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize +Tipo ( +\family typewriter +- +\family default +: Archivo; +\family typewriter +d +\family default +: Directorio; +\family typewriter +l +\family default +: Enlace simbólico; +\family typewriter +c +\family default +: Fichero por caracteres; +\family typewriter +b +\family default +: Fichero por bloques) y permisos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Número de enlaces duros. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Usuario. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Grupo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Tamaño (bytes). +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Fecha y hora de modificación. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Nombre. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-R +\family default +: Lista recursiva. + Muestra también el contenido de todos los subdirectorios. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-a +\family default +: Muestra también las entradas ocultas (cuyo nombre empieza por +\family typewriter +. +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-S +\family default +: Ordena por tamaño. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-t +\family default +: Ordena por fecha y hora de última modificación. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-u +\family default +: Ordena por fecha y hora de último acceso. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-U +\family default +: Ordena por fecha y hora de creación. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-r +\family default +: Invierte el orden escogido por +\family typewriter +-S|t|u|U +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-d +\family default +: Lista la entrada correspondiente al subdirectorio indicado en lugar de + las entradas que este contiene. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +cat [file] +\family default +. + Muestra el contenido del +\family typewriter +file +\family default +, o de la entrada estándar. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +more [file] +\family default +. + Igual pero permite mostrarlo poco a poco. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +less [file] +\family default +. + Igual pero permite desplazarse arriba y abajo y buscar palabras con +\family typewriter +/ +\begin_inset Formula $palabra$ +\end_inset + + +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +hexdump -C [file] +\family default +: Muestra el contenido de +\family typewriter +file +\family default +, o de la entrada estándar, en he +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +xa +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +de +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +ci +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +mal con formato. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +find [path] [match] [expr] +\family default +. + Busca en +\family typewriter +path +\family default + (o en el directorio actual) y sus subdirectorios, archivos que cumplan + los criterios ( +\family typewriter +match +\family default +) (o todos) y hace lo que indique la expresión ( +\family typewriter +expr +\family default +) (o muestra el nombre por la salida). +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize +Criterios: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-name +\begin_inset Formula $nombre$ +\end_inset + + +\family default +: Nombre de la entrada (se pueden usar comodines, pero de forma que no los + sustituya la +\emph on +shell +\emph default +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-iname +\begin_inset Formula $nombre$ +\end_inset + + +\family default +: Similar pero sin distinguir mayúsculas y minúsculas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-user +\begin_inset Formula $usuario$ +\end_inset + + +\family default +: Usuario al que pertenece. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-group +\begin_inset Formula $grupo$ +\end_inset + + +\family default +: Grupo al que pertenece. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-type [c|b|d|l|f] +\family default +: Tipo de fichero (igual que en +\family typewriter +ls -l +\family default +, salvo que +\family typewriter +f +\family default + para fichero regular). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-mtime [+|-] +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\family default +: Modificado hace más ( +\family typewriter ++ +\family default +), menos ( +\family typewriter +- +\family default +) o exactamente +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + días. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-atime [+|-] +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\family default +: Igual pero con el último acceso. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-amin [+|-] +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\family default +: Igual que +\family typewriter +-atime +\family default + pero en minutos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-size [+|-] +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\family default +: Tamaño de más ( +\family typewriter ++ +\family default +), menos ( +\family typewriter +- +\family default +) o exactamente +\begin_inset Formula $512n$ +\end_inset + + bytes. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +! +\family default +: Negación de lo siguiente. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-o +\family default +: Disyunción lógica. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-a +\family default +: Conjunción lógica (por defecto cuando se usan varios criterios). +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize +Expresiones: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-printf +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\family default +: Imprime la secuencia de caracteres que se indica. + Secuencias de escape: +\family typewriter +%s +\family default +: Tamaño; +\family typewriter +%u +\family default +: Usuario; +\family typewriter +%p +\family default +: Ruta completa; etc. +\end_layout + +\end_deeper +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +which +\emph on +command +\family default +\emph default +. + Muestra la ubicación en el sistema de ficheros de un comando externo. + La lista de directorios donde la +\emph on +shell +\emph default + busca comandos externos se denomina +\family typewriter +PATH +\family default + y se puede consultar con +\family typewriter +echo $PATH +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +touch <file> +\family default +. + Crea un fichero o, si ya existía, actualiza su fecha de modificación. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +cp [-iprRu] srcfile ... + destfile|destdir +\family default +. + Copia un fichero a otro, o varios ficheros a un directorio. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-R +\family default +, +\family typewriter +-r +\family default +: Copia recursiva, para copiar directorios. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-i +\family default +: Pide confirmación si el fichero de destino ya existía, para evitar sobreescrib +irlo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-p +\family default +: Conserva la fecha de modificación al copiar. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-u +\family default +: No se copia si el destino tiene una fecha de modificación igual o posterior + al origen. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +mv srcfile|dirfile ... + destfile|destdir +\family default +. + Como +\family typewriter +cp +\family default + pero cambia la posición del archivo en vez de copiarlo. + Se puede usar para cambiar el nombre de un fichero o directorio. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +rm [-ifrv] file|dir ... +\family default +. + Elimina ficheros y directorios. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-v +\family default +: Muestra los nombres de las entradas conforme se eliminan. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-i +\family default +: Pide confirmación para cada entrada. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-r +\family default +: Borrado recursivo, para eliminar directorios. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-f +\family default +: Nunca pide confirmación. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +mkdir dir +\family default +. + Crea un directorio vacío en la ruta especificada. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +rmdir dir +\family default +. + Elimina el directorio indiciado si está vacío. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tar ... +\family default +. + Para manipulación de archivos. + Estos suelen tener la extensión +\family typewriter +.tar +\family default + o +\family typewriter +.tar.gz +\family default + (comprimido, también +\family typewriter +.tgz +\family default +). +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tar c[zv][f archive] [files|dirs ...] +\family default +. + Comprime los ficheros y directorios indicados. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tar t[zv][f archive] +\family default +. + Lista los contenidos del archivo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tar x[zv][f archive] +\family default +. + Extrae el contenido del archivo, recuperando también los permisos, estructura + de directorios, etc. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +z +\family default +: Indica compresión GZip ( +\family typewriter +\SpecialChar endofsentence +gz +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +v +\family default +: Muestra los archivos conforme se comprimen o descomprimen. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +f archive +\family default +: Indica el nombre del archivo. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +ln [-s] target link +\family default +. + Crea un enlace llamado +\family typewriter +link +\family default + al fichero +\family typewriter +target +\family default +. + Si +\family typewriter +link +\family default + es un directorio existente, se crea dentro el enlace con el nombre de +\family typewriter +target +\family default +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-s +\family default +: El enlace es simbólico (si no se especifica, se crea un enlace duro). + En tal caso, la ruta del fichero +\family typewriter +target +\family default + se indica de forma relativa al directorio en que está +\family typewriter +link +\family default +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +df +\family default +. + Informa del espacio total y libre en todos los sistemas de archivos montados. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +du [-hs] dir ... +\family default +. + Muestra lo que ocupan realmente en el disco los directorios indicados junto + con todos sus ficheros y subdirectorios de forma recursiva. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-h +\family default +: Muestra en unidades más legibles como KB, MB o GB, en vez de en bloques + de 1024 bytes. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-s +\family default +: Muestra sólo el tamaño total para cada argumento en lugar de mostrar lo + que ocuparía cada entrada dentro de estos. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Subsection +Usuarios, grupos y permisos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Existen tres tipos de +\series bold +usuarios +\series default +: normales; del sistema, vinculados a ciertas tareas del SO, y +\family typewriter +root +\family default + o +\series bold +superusuario +\series default +, que tiene control total y en el prompt aparece con +\family typewriter +# +\family default + en vez de +\family typewriter +$ +\family default +. + La información sobre los usuarios se guarda en +\family typewriter +/etc/passwd +\family default + y las contraseñas cifradas en +\family typewriter +/etc/shadow +\family default +. + Los usuarios se pueden organizar en +\series bold +grupos +\series default +, con diferentes permisos. + Cada usuario tiene un grupo principal, pero puede pertenecer a varios. + La información se almacena en +\family typewriter +/etc/group +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un usuario puede tener tres permisos sobre un fichero o directorio: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +: Lectura. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $w$ +\end_inset + +: Escritura. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +: Ejecución de un fichero o acceso al contenido de un directorio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Cada entrada del sistema de ficheros lleva asociado un usuario y un grupo, + y existen permisos distintos para el usuario, el grupo y +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +el resto +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + Se suelen indicar con tres secuencias +\family typewriter +rwx +\family default + (para usuario, grupo y resto, en orden), de forma que para los permisos + que no se concedan se sustituye la letra por un +\family typewriter +- +\family default +. + Así es como se indica en +\family typewriter +ls -l +\family default +. + Comandos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +chmod perms file|dir +\family default +. + Cambia los permisos de un fichero o directorio. + El campo +\family typewriter +perms +\family default + indica los permisos en octal, asignando 1's a los permisos que se desea + conceder y 0's al resto, en el orden en que se muestran en +\family typewriter +ls -l +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +chown user file|dir +\family default +. + Cambia el propietario de un fichero o directorio. + Requiere permisos de superusuario. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +chgrp group file|dir +\family default +. + Igual pero con el grupo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +whoami +\family default +. + Muestra nuestro nombre de usuario. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +who +\family default +. + Muestra los usuarios actualmente conectados, con sus horas y lugares (terminale +s) de inicio de sesión. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +w +\family default +. + Similar, pero además muestra qué está ejecutando cada usuario. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +groups +\family default +. + Muestra a que grupos pertenecemos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +sudo command pars ... +\family default +. + Ejecuta el comando dado como superusuario (pide contraseña). +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-s +\family default +: Si se indica esto (sin especificar un comando), simplemente cambia a su +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +per +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +u +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +sua +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +rio. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +login user +\family default +. + Cambia al usuario especificado (pide su contraseña). +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Los procesos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los comandos separados por +\family typewriter +; +\family default + se ejecutan uno detrás de otro, y situar +\family typewriter +& +\family default + detrás de un comando (o entre dos comandos, en cuyo caso afecta al de la + izquierda) lanza un proceso en segundo plano, ejecutando lo que va delante + sin esperar o permitiendo usar la shell sin que termine de ejecutarse. + +\family typewriter +bash +\family default + muestra entonces el PID (identificador de proceso, entero único para cada + uno). + +\family typewriter +CTRL-C +\family default + +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +mata +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + a un proceso en primer plano, y +\family typewriter +CTRL-Z +\family default + lo pausa (lo +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +duerme +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +El directorio virtual +\family typewriter +/proc +\family default + se consulta como un sistema de ficheros normal, pero realmente lo mantiene + el núcleo en tiempo real, y contiene un subdirectorio por cada PID de proceso + activo, con información sobre el mismo como ficheros abiertos, mapa de + memoria, etc. + También contiene: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/proc/cpuinfo +\family default +: Información sobre la CPU. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/proc/meminfo +\family default +: Información sobre la memoria. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/proc/version +\family default +: Versión del núcleo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +/proc/sys +\family default +: Directorio con los parámetros de distintos subsistemas del núcleo. + Si se tienen los permisos, se puede hasta cambiar el comportamento del + núcleo en tiempo de ejecución. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +kill [-9] PID +\family default +: Lanza una señal para terminar el proceso con el PID indicado. + Este puede +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +capturar +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + dicha señal evitando su finalización (puede ser útil en ciertos casos). + Si aun así se desea terminar dicho proceso, la opción +\family typewriter +-9 +\family default + manda una señal +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +no capturable +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Cada proceso tiene una entrada estándar ( +\family typewriter +stdin +\family default +, por defecto el teclado), una salida estándar ( +\family typewriter +stdout +\family default +, por defecto la pantalla) y una salida estándar de error ( +\family typewriter +stderr +\family default +). + En +\family typewriter +bash +\family default +, detrás de un comando, +\family typewriter +> +\begin_inset Formula $archivo$ +\end_inset + + +\family default + redirige +\family typewriter +stdout +\family default + a un archivo, que sobreescribe en caso de existir, y +\family typewriter +>> +\begin_inset Formula $archivo$ +\end_inset + + +\family default + hace lo mismo pero, si el archivo ya existe, en vez de sobreescribirlo + añade la salida al final. + Igualmente, +\family typewriter +2> +\family default + y +\family typewriter +2>> +\family default + hacen lo mismo pero con +\family typewriter +stderr +\family default +, y < +\family typewriter + +\begin_inset Formula $archivo$ +\end_inset + + +\family default + toma +\family typewriter +stdin +\family default + de ese archivo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Otra forma de comunicación entre procesos son las +\series bold +tuberías +\series default + que permiten redireccionar el +\family typewriter +stdout +\family default + de un fichero con el +\family typewriter +stdin +\family default + del siguiente. + En +\family typewriter +bash +\family default + se indican con +\family typewriter +/ +\family default +. + Existe un repertorio de comandos útiles, llamados +\series bold +filtros +\series default +, especialmente diseñados para comunicarse mediante tuberías. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Comandos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +ps [-Af] +\family default +. + Lista los procesos activos. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-A +\family default +: Muestra todos los procesos en lugar de solo los lanzados desde ese terminal. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-f +\family default +: Muestra información adicional de interes, como el PID, el consumo de CPU, + el PID del proceso padre (PPID), hora de lanzamiento, etc. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +top +\family default +. + Monitoriza en tiempo real los procesos activos, mostrando información de + ellos similar a +\family typewriter +ps -Af +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +fg +\family default +: Pasa el último proceso pausado (despertándolo) o el último en ser iniciado + en segundo plano al primer plano. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +bg +\family default +: Despierta un proceso pausado pasándolo al segundo plano. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +sort [-n] +\family default +. + Ordena alfabéticamente las líneas de la entrada. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-n +\family default +: Ordena numéricamente. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +grep <pattern> +\family default +. + Muestra solo las líneas de la entrada que contengan cierto patrón. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +cut -c +\family default + +\begin_inset Formula $start$ +\end_inset + + +\family typewriter +- +\begin_inset Formula $end$ +\end_inset + + +\family default +. + Muestra solo las columnas +\begin_inset Formula $start$ +\end_inset + +– +\begin_inset Formula $end$ +\end_inset + + de cada fila. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +head [- +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +] +\family default +. + Muestra solo las primeras +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + (10) líneas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tail [- +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +] +\family default +. + Muestra solo las últimas +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + (10) líneas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +uniq +\family default +. + Elimina líneas repetidas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +wc [-lcw] +\family default +. + Cuenta las líneas ( +\family typewriter +-l +\family default +), caracteres ( +\family typewriter +-c +\family default +) y/o palabras ( +\family typewriter +-w +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tr +\family default +. + Ejemplos: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tr "-z" "A-Z" +\family default +. + Convierte minúsculas a mayúsculas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tr -d "0-9" +\family default +. + Elimina caracteres numéricos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +tr -d -c "0-9" +\family default +. + Elimina caracteres no numéricos o espacios. +\end_layout + +\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Otros comandos +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +date +\family default +. + Devuelve la fecha y hora actuales. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +cal +\family default +. + Calendario del mes/año actual. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +clear +\family default +. + +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +Limpia +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + la pantalla del terminal. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +reset +\family default +. + Resetea el terminal (para cuando se queda con caracteres extraños, como + tras hacer +\family typewriter +cat +\family default + de un fichero binario). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +expr +\family default +. + Para cálculos aritméticos. + Ejemplo: +\family typewriter +expr 101 + 12 +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +xargs ... +\family default +. + Toma lo que se le pasa como parámetros (algún comando), le añade lo que + le llega por la entrada estándar, lo interpreta como comando + parámetros + y lo ejecuta. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +split [-d] -b +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + [file [prefix]] +\family default +. + Divide el archivo +\family typewriter +file +\family default + (o la entrada estándar) en trozos de tamaño +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + (por defecto bytes salvo que le suceda una +\family typewriter +k +\family default + (KB), etc.) cuyo nombre empieza por +\family typewriter +prefix +\family default + (o +\family typewriter +x +\family default +). +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +-d +\family default +: Usa sufijos numéricos en vez de por letras. +\end_layout + +\end_deeper +\end_body +\end_document diff --git a/fc/n5.lyx b/fc/n5.lyx new file mode 100644 index 0000000..66b2ee2 --- /dev/null +++ b/fc/n5.lyx @@ -0,0 +1,1515 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures false +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +instrucción +\series default + es un conjunto de símbolos que representan una operación a realizar por + la CPU, y un +\series bold +programa +\series default + es un conjunto ordenado de instrucciones que debe ejecutar el computador + sobre unos datos para procesarlos y obtener un resultado. + Las instrucciones se almacenan en memoria principal y se ejecutan en secuencia, + salvo por instrucciones de salto. + Tipos de instrucciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +De movimiento de datos +\series default + entre registros de la CPU y direcciones de memoria. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Aritmético-lógicas: +\series default + Suma, resta, multiplicación, división, AND, OR, desplazamientos, ... + y operaciones de punto flotante. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Instrucciones de salto: +\series default + Condicionales, incondicionales y de manejo de subrutinas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las instrucciones se organizan en campos de bits, que indican, en un determinado + formato, la operación a ejecutar, los operandos de entrada y el lugar donde + dejar el resultado. + Distintos tipos de instrucción utilizan distintos formatos, pues necesitan + codificar información distinta. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La CPU está formada por un +\series bold +camino de datos +\series default + ( +\series bold +CD +\series default +), encargado del procesamiento, y una +\series bold +unidad de control +\series default + ( +\series bold +UC +\series default +), que decodifica las instrucciones y +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +controla +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + al camino de datos. + En todo momento, la UC mantiene un +\series bold +contador de programa +\series default + ( +\series bold +PC +\series default +, +\emph on +program counter +\emph default + o +\series bold +IP +\series default +, +\emph on +instruction pointer +\emph default +) que contiene la dirección de la siguiente instrucción a ejecutar, y un + +\series bold +registro de instrucción +\series default + ( +\series bold +RI +\series default +), que contiene la instrucción a ejecutar. + A mayor número de instrucciones mayor complejidad de la UC y más número + de bits necesarios en el campo de código. + Dos tendencias: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +RISC +\series default + ( +\series bold +\emph on +Reduced Instruction Set Computers +\series default +\emph default +): pocas instrucciones, sencillas y que se ejecutan en pocos ciclos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +CISC +\series default + ( +\series bold +\emph on +Complex Instruction Set Computers +\series default +\emph default +): muchas instrucciones, complejas y que requieren muchos ciclos de reloj. +\end_layout + +\begin_layout Section +Jerarquía de traducción +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las instrucciones de la CPU, llamadas +\series bold +instrucciones máquina +\series default +, se almacenan en binario. + Programarlas directamente en +\series bold +lenguaje +\series default + o +\series bold +código máquina +\series default + es muy difícil y propenso a errores, por lo que los +\series bold +lenguajes de programación +\series default + representan las instrucciones de forma simbólica. + Existen principalmente dos tipos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Lenguaje ensamblador: +\series default + Instrucciones representadas simbólicamente, en ASCII, que se corresponden + directamente con instrucciones máquina y datos binarios. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Lenguajes de alto nivel: +\series default + Permiten expresar los programas de forma más cercana a la forma de pensar + del programador, con variables, tipos de datos, funciones/procedimientos, + condiciones, bucles, etc. + Existen multitud de paradigmas (imperativo, orientado a objetos, funcional...) + y de lenguajes (C, C++, Java, Haskell, ...). + El lenguaje C, aun siendo de alto nivel, es más cercano a la máquina, y + es el lenguaje nativo de UNIX/Linux. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El programa +\series bold +compilador +\series default + traduce el código en un lenguaje de alto nivel a ensamblador, y el +\series bold +ensamblador +\series default + convierte este código a un +\series bold +fichero objeto +\series default +, que contiene: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Segmento de código ( +\family typewriter +.text +\family default +), +\series default + con instrucciones máquina. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Segmento de datos ( +\family typewriter +.data +\family default +), +\series default + con enteros, reales en punto flotante, cadenas de caracteres, etc. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Información de reubicación: +\series default + Para accesos a memoria, saltos, etc. + Necesaria a la hora de unir los distintos ficheros objeto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +biblioteca +\series default + (en los apuntes pone +\series bold +librería +\series default + pero es una mala traducción) es un conjunto de módulos de código relacionados + que pueden ser usados en distintos programas. + Por ejemplo, en C existe una biblioteca estándar con funciones de E/S, + funciones matemáticas, etc., pero también existen bibliotecas para cálculo + matricial, gráficos en 3D, acceso a redes, etc. + Hay dos tipos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Estáticas: +\series default + El código se incluye dentro del fichero ejecutable final. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Dinámicas: +\series default + El código no se incluye en el ejecutable, sino que este almacena la información + necesaria para cargar dicho código cuando va a ejecutarse. + Estas pueden ser usadas por varios ejecutables al mismo tiempo usando el + mismo espacio en memoria, y tampoco se desperdicia espacio en disco al + no tener que copiarse en cada ejecutable que las use, pero al cambiar el + ejecutable de máquina, este puede no funcionar por no tener una biblioteca + necesaria. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +enlazador +\series default + o +\series bold +\emph on +linker +\series default +\emph default + une los distintos ficheros objeto generados junto con las funciones de + bibliotecas estáticas utilizadas, para generar un +\series bold +fichero ejecutable +\series default + final. + Entonces el +\series bold +cargador +\series default + o +\series bold +\emph on +loader +\series default +\emph default +, una parte del SO, lee este fichero del disco, lo ubica en memoria, realiza + las transformaciones necesarias y le pasa el control. +\end_layout + +\begin_layout Section +Ensamblador de x86-64 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los archivos de código ensamblador están formados por segmentos como el + segmento de datos, indicado por +\family typewriter +.data +\family default +, y el segmento de código, indicado por +\family typewriter +.text +\family default +. + En cualquier punto se puede usar una +\series bold +etiqueta +\series default + (identificador seguido de +\family typewriter +: +\family default +) para representar una dirección de memoria y referirnos a ella en otra + parte del código. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El segmento de datos contiene directivas como +\family typewriter +.long +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\family default +, que indica un número de 32 bits, o +\family typewriter +.string " +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +" +\family default + que genera una secuencia de caracteres acabada en un byte 0. + El segmento de código contiene instrucciones en ensamblador. + Sus operandos pueden ser: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Registros: +\series default + Son de acceso muy rápido, al estar en la propia CPU, y contienen valores + intermedios de los cálculos. + En x86-64, son de 64 bits, y son los siguientes: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize +De uso general: +\family typewriter +RAX +\family default +, +\family typewriter +RBX +\family default +, +\family typewriter +RCX +\family default +, +\family typewriter +RDX +\family default +, +\family typewriter +R8 +\family default +– +\family typewriter +R15 +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Índices: +\family typewriter +RSI +\family default +, +\family typewriter +RDI +\family default +, para acceder a posiciones de una tabla. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Para la pila: +\family typewriter +RSP +\family default + (puntero de pila), +\family typewriter +RBP +\family default + (puntero base de pila). +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Puntero de instrucción: +\family typewriter +RIP +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Registro de estado: +\family typewriter +RFLAGS +\family default +, contiene información sobre el estado del procesador y el resultado de + la ejecución de instrucciones, y afecta a los saltos condicionales. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +También se puede trabajar con menos de 64 bits. + Así, +\family typewriter +EAX +\family default + son los 32 bits inferiores de +\family typewriter +RAX +\family default +, +\family typewriter +AX +\family default + los 16 bits inferiores de +\family typewriter +EAX +\family default +, +\family typewriter +AL +\family default + los 8 bits inferiores y +\family typewriter +AH +\family default + los 8 bits superiores de +\family typewriter +AX +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +En ensamblador, se representan con +\family typewriter +% +\emph on +nombre_en_minúsculas +\family default +\emph default +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Memoria: +\series default + Hay hasta +\begin_inset Formula $2^{64}$ +\end_inset + + celdas de memoria direccionables de 1 byte. + Realmente los programas se mueven en un espacio virtual de direcciones + que el hardware transforma a direcciones físicas. + En x86-64 se puede trabajar muchas veces directamente en memoria, sin pasar + por registros, aunque el acceso es más lento. + En ensamblador, para hacer re +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +fe +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +ren +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +cia a una dirección de memoria, se usa +\family typewriter +\emph on +dirección +\emph default +( +\emph on +%reg1 +\emph default +, +\emph on +%reg2 +\emph default +, +\emph on +potencia_de_2 +\emph default +) +\family default + para acceder a la celda +\begin_inset Formula $dirección+\%reg1+\%reg2\cdot potencia\_de\_2$ +\end_inset + +, donde la potencia de 2 debe ser pequeña y todos los campos son opcionales. + Abreviaturas: +\family typewriter +( +\emph on +%reg1 +\emph default +) +\family default +, +\family typewriter +\emph on +dirección +\family default +\emph default +\SpecialChar endofsentence + +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Constantes: +\series default + Números enteros directamente en el código, que en ensamblador se escriben + +\family typewriter +$ +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\family default +. + Se les suele llamar +\series bold +inmediatos +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +A continuación vemos el +\series bold +repertorio de instrucciones +\series default + o ISA ( +\emph on +Instruction Set Architecture +\emph default +) de la arquitectura Intel x86-64, CISC, presente en los procesadores de + los PCs de 64 bits. + Los objetivos de un ISA son permitir que el diseño del procesador y del + compilador sean sencillos, maximizar el rendimiento y minimizar el coste. + En el caso de Intel, otro objetivo fue mantener la compatibilidad con procesado +res anteriores, lo que llevó a soluciones menos elegantes y eficientes pero + ayudó a mantener la cuota de mercado. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Algunos tipos de instrucciones: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Aritmético-lógicas: +\series default + +\family typewriter +add +\family default +, +\family typewriter +sub +\family default +, +\family typewriter +imul +\family default +, +\family typewriter +and +\family default +, +\family typewriter +or +\family default +, +\family typewriter +xor +\family default +, ... + +\family typewriter +\emph on +(instr.) +\emph default + +\emph on +src +\emph default +, +\emph on +dst +\family default +\emph default +. + +\begin_inset Formula $dst=dst\circ src$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Incrementos y decrementos: +\series default + +\family typewriter +inc +\family default +, +\family typewriter +dec +\family default +. + +\family typewriter +\emph on +(instr.) +\emph default + +\emph on +dst +\family default +\emph default +. + +\begin_inset Formula $dst=dst\pm1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Desplazamiento de bits: +\series default + +\family typewriter +shr +\family default + (despl. + lógico a la der.), +\family typewriter +shl +\family default + (despl. + lógico a la izq.), +\family typewriter +sar +\family default + (despl. + aritmético a la der.), +\family typewriter +sal +\family default + (despl. + aritmético a la izq.) ... + +\family typewriter +\emph on +(instr.) +\emph default + +\emph on +n +\emph default +, +\emph on +dst +\family default +\emph default +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate + +\series bold +De movimiento de datos: +\series default + +\family typewriter +mov +\emph on +src +\emph default +, +\emph on +dst +\family default +\emph default +. + +\begin_inset Formula $dst\leftarrow src$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Saltos incondicionales: +\series default + +\family typewriter +jmp +\emph on +pos +\family default +\emph default +. + +\begin_inset Formula $\text{\texttt{RIP}}\leftarrow pos$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Saltos condicionales: +\series default + +\family typewriter +je +\family default + ( +\begin_inset Formula $=$ +\end_inset + +), +\family typewriter +jne +\family default + ( +\begin_inset Formula $\neq$ +\end_inset + +), +\family typewriter +jg +\family default + ( +\begin_inset Formula $>$ +\end_inset + +), +\family typewriter +jge +\family default + ( +\begin_inset Formula $\geq$ +\end_inset + +), +\family typewriter +jl +\family default + ( +\begin_inset Formula $<$ +\end_inset + +), +\family typewriter +jle +\family default + ( +\begin_inset Formula $\leq$ +\end_inset + +), +\family typewriter +ja +\family default + ( +\begin_inset Formula $u>$ +\end_inset + +), +\family typewriter +jae +\family default + ( +\begin_inset Formula $u\geq$ +\end_inset + +), +\family typewriter +jb +\family default + ( +\begin_inset Formula $u<$ +\end_inset + +), +\family typewriter +jbe +\family default + ( +\begin_inset Formula $u\leq$ +\end_inset + +)... + donde +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + en la notación signfica +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +sin signo +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + +\family typewriter +\emph on +(instr.) +\emph default + +\emph on +pos +\family default +\emph default +. + Si la instrucción anterior es +\family typewriter +cmp +\emph on +a +\emph default +, +\emph on +b +\family default +\emph default +, entonces esta hace +\begin_inset Formula $\text{\texttt{RIP}}\leftarrow pos$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $bRa$ +\end_inset + + (al revés de lo lógico). +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +pila +\series default + es una zona de memoria RAM gestionada como una estructura LIFO ( +\emph on +Last In First Out +\emph default +) con dos operaciones posibles: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Apilar: +\series default + +\family typewriter +push +\emph on +src +\family default +\emph default +, guarda el contenido de un registro sobre la cima de la pila. + Equivale a +\family typewriter +sub $8,%rsp +\family default + + +\family typewriter +mov +\emph on +src +\emph default +,(%rsp) +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Desapilar: +\series default + +\family typewriter +pop +\emph on +dst +\family default +\emph default +, extrae lo que hay en la cima de la pila a un registro. + Equivale a +\family typewriter +mov (%rsp), +\emph on +dst +\family default +\emph default + + +\family typewriter +add $8,%rsp +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +subrutina +\series default + es una secuencia de instrucciones que recibe (o no) unos parámetros, realiza + alguna acción y devuelve (o no) un resultado al código que +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +llamó +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + a la subrutina. + Para dar soporte a subrutinas se utiliza la pila, que se divide en +\series bold +marcos de pila +\series default + o +\series bold +\emph on +stack frames +\series default +\emph default +, formados por: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +8(%rbp) +\family default +: Dirección de retorno. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +(%rbp) +\family default +: +\family typewriter +%rbp +\family default + del marco de pila anterior. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +- +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +(%rbp) +\family default +: Variables locales, valores de registros guardados (usados por la subrutina + anterior). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter ++ +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +(%rsp) +\family default +: Argumentos de salida para otras subrutinas (hasta 6 se pasan por registros). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Manejo implícito: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +call +\emph on +sub +\family default +\emph default +: Llama a una subrutina. + Equivale a +\family typewriter +push %rip +\family default + + +\family typewriter +jmp +\emph on +sub +\family default +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +ret +\family default +: Vuelve de una subrutina. + Equivale a +\family typewriter +pop %rip +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +leave +\family default +: Desapila todo el marco de pila salvo la dirección de retorno y restablece + +\family typewriter +%rbp +\family default +. + Equivale a +\family typewriter +mov %rbp, %rsp +\family default + + +\family typewriter +pop %rbp +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los mnemónicos vistos de instrucciones que admiten parámetros de distintos + tamaños (todos salvo saltos y manejo implícito de subrutinas) realmente + son versiones generales de otros que son iguales pero se le añade una letra + detrás al nombre de la instrucción: +\family typewriter +b +\family default + (byte) 8 bits, +\family typewriter +w +\family default + (word) 16 bits, +\family typewriter +l +\family default + (long) 32 bits y +\family typewriter +q +\family default + (quad) 64 bits. + Otros caso es el de, por ejemplo, +\family typewriter +movslq +\family default + ( +\emph on +Move Signed Long to Quad +\emph default +, mover entero con signo de 32 bits a 64). +\end_layout + +\begin_layout Section +Codificación de las instrucciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las instrucciones de x86-64 (CISC) son de longitud variable, mientras que + las de MIPS 32 (RISC) son todas de 32 bits. + En x86-64, el código de operación es el primer byte, en el que a veces + se codifica el registro involucrado. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En un fichero objeto, el código se encuentra sin reubicar, de forma que + los campos de las instrucciones correspondientes a las direcciones de memoria + están vacíos o contienen direcciones relativas. + Tras el enlazado y la carga, el programa se dice que se +\series bold +reubica +\series default +, es decir, los campos de direcciones de memoria son modificados de acuerdo + a la posición de la memoria (virtual) en la que se carga el programa. + La memoria virtual es administrada por la +\series bold +unidad de manejo de memoria +\series default + ( +\series bold +MMU +\series default +). +\end_layout + +\begin_layout Section +Herramientas de GNU +\end_layout + +\begin_layout Standard +El comando +\family typewriter +gcc +\family default + es el compilador GNU de C, el más utilizado en Linux. + El comando +\family typewriter +gcc main.c -o main +\family default + compila el archivo +\family typewriter +main.c +\family default + y genera el ejecutable +\family typewriter +main +\family default +. + Para generar sólo el código en ensamblador, usamos +\family typewriter +gcc main.c -fno-asynchronous-unwind-tables -S -o main.s +\family default +, que genera el archivo +\family typewriter +main.s +\family default + en ensamblador, donde +\family typewriter +-S +\family default + indica salida en ensamblador y +\family typewriter +-fno-asynchronous-unwind-tables +\family default + sirve para generar un código bastante más limpio que es más útil para su + estudio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La opción +\family typewriter +-c +\family default + indica salida como fichero objeto (sin enlazarlo). + Si hacemos +\family typewriter +gcc main.c -c -o main.o +\family default + y luego +\family typewriter +objdump -d main.o +\family default +, nos aparece una versión desensamblada del fichero objeto en el que podemos + ver cómo este se organiza. + A continuación podemos enlazar el fichero objeto con +\family typewriter +gcc main.o -o main +\family default +. + Entonces podemos usar +\family typewriter +ldd main +\family default + para ver la lista de bibliotecas dinámicas que necesita el programa y la + dirección virtual del programa a la que estas son mapeadas. + En particular, un programa sencillo necesita +\family typewriter +libc +\family default +, la biblioteca estándar de C, y +\family typewriter +linux-vdso +\family default + y +\family typewriter +linux-x86-64 +\family default +, que se corresponden con las llamadas al sistema de Linux. + La opción +\family typewriter +-static +\family default + de +\family typewriter +gcc +\family default + ( +\family typewriter +gcc -static main.o -o main +\family default +) enlaza solo con bibliotecas estáticas (lo que aumenta considerablemente + el tamaño). +\end_layout + +\begin_layout Standard +La opción +\family typewriter +-g +\family default + añade al ejecutable la información necesaria para depurar el programa (es + decir, cargarlo en memoria, reubicado, y ejecutarlo de manera controlada). + Entonces podemos usar +\family typewriter +gdb +\family default +, el depurador de GNU, llamándolo con +\family typewriter +gdb main +\family default +. + Este tiene su propio intérprete, en el cual: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +l +\family default + lista el código original. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +disassemble +\emph on + +\begin_inset Formula $sub$ +\end_inset + + +\family default +\emph default + lista el desensamblado de la subrutina +\begin_inset Formula $sub$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +x/ +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +bx +\begin_inset Formula $tag$ +\end_inset + + +\family default + muestra los +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + primeros bytes a partir de la etiqueta +\begin_inset Formula $tag$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +x/ +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +w +\begin_inset Formula $tag$ +\end_inset + + +\family default + hace lo mismo pero con los +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + primeros +\emph on +words +\emph default + (grupos de 4 bytes). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +b +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + +\family default + introduce un punto de interrupción ( +\emph on +breakpoint +\emph default +) en la línea +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + del programa. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +r +\family default + ejecuta el programa. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +p +\begin_inset Formula $var$ +\end_inset + + +\family default + muestra el valor de una variable. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +c +\family default + continúa la ejecución del programa por donde se dejó. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fc/n6.lyx b/fc/n6.lyx new file mode 100644 index 0000000..0d8903c --- /dev/null +++ b/fc/n6.lyx @@ -0,0 +1,1436 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures false +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard + +\series bold +Internet +\series default + es una red compuesta de millones de dispositivos, conocidos como +\series bold +hosts +\series default + o sistemas finales, que se conectan mediante distintos tipos de enlaces + con equipos de interconexión. + Un ejemplo de red es la RedIris, que conecta universidades y centros de + investigación y de +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +sa +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +rro +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +llo españoles. + Los +\series bold +hosts +\series default + están en el extremo de la red, y pueden ser ordenadores, PDAs, teléfonos + móviles, sensores, etc. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La red se organiza por +\series bold +protocolos +\series default +, que definen el formato y orden de mensajes enviados y recibidos entre + entidades y las acciones realizadas al enviar o recibir dichos mensajes. + Estos se organizan en una arquitectura por +\series bold +capas +\series default +, en las que cada capa realiza un conjunto de tareas relacionadas, proporcionand +o servicios a la capa superior y usando los de la capa inferior. + Las entidades en la misma capa pero distintos hosts se llaman +\series bold +procesos pares +\series default +, y pueden comunicarse mediante unos protocolos. + Llamamos +\series bold +arquitectura de red +\series default + al conjunto de capas y de protocolos usados en cada una. + Las capas más importantes, de abajo a arriba, son: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Física: +\series default + Transmisión de bits sobre el medio. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Enlace: +\series default + Transferencia de datos entre elementos conectados directamente. + Protocolos como +\series bold +PPP +\series default + ( +\emph on +Point to Point Protocol +\emph default +), +\series bold +Ethernet +\series default + (IEEE 802.3), +\series bold +WiFi +\series default + (IEEE 802.11) o +\series bold +HLDC +\series default + ( +\emph on +High-Level Data link Control +\emph default +). +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Red: +\series default + Encaminamiento de paquetes del origen al destino. + Protocolo +\series bold +IP +\series default + ( +\emph on +Internet Protocol +\emph default +). +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Transporte: +\series default + Transferencia de información entre procesos. + Proporciona una forma de distinguir aplicaciones dentro de una misma máquina. + Protocolos +\series bold +TCP +\series default + ( +\emph on +Transmission Control Protocol +\emph default +) y +\series bold +UDP +\series default + ( +\emph on +User Datagram Protocol +\emph default +). +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Aplicación: +\series default + Transferencia de archivos, e-mail, web... + Protocolos como +\series bold +FTP +\series default + ( +\emph on +File Transfer Protocol +\emph default +), +\series bold +HTTP +\series default + ( +\emph on +HyperText Transfer Protocol +\emph default +), +\series bold +SMTP +\series default + ( +\emph on +Simple Mail Transfer Protocol +\emph default +), +\series bold +POP3 +\series default + ( +\emph on +Post Office Protocol +\emph default +), +\series bold +BitTorrent +\series default +... +\end_layout + +\begin_layout Section +Medios de transmisión +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Par trenzado: +\series default + Dos hilos de cobre dispuestos de forma helicoidal y cubiertos por un aislante + de plástico. + Permite frecuencias de hasta +\begin_inset Formula $\unit[250]{MHz}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Cable coaxial: +\series default + Núcleo de cobre recubierto por un aislante envuelto a su vez en un conductor + externo. + Permite mayor distancia de transmisión e inmunidad al ruido, con frecuencias + de hasta +\begin_inset Formula $\unit[900]{MHz}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Fibra óptica: +\series default + Núcleo de fibra de vidrio (mayor densidad) recubierto de cristal o plástico + (menor densidad). + La presencia o ausencia de luz codifica un bit. + Permite una mayor velocidad de transmisión (varios GHz y por tanto varios + Gbps), distancia e inmunidad al ruido, además de tener menor coste. +\end_layout + +\begin_layout Section +Redes de acceso +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para acceso residencial: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Acceso vía módem: +\series default + Hasta +\begin_inset Formula $\unit[56]{kbps}$ +\end_inset + + de ancho de banda, y no se puede hablar por teléfono mientras se usa. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +DSL +\series default + ( +\emph on +Digital Suscriber Line +\emph default +): Se basa en una línea dedicada hasta la central telefónica, permitiendo + combinar datos y voz. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +ADSL +\series default + ( +\emph on +Asymmetric DSL +\emph default +): Modalidad donde la velocidad de bajada y la de subida son distintas, + con hasta +\begin_inset Formula $\unit[3,5]{Mbps}$ +\end_inset + + en la línea ascendente (hacia Internet) y +\begin_inset Formula $\unit[24]{Mbps}$ +\end_inset + + en la descendente (hacia el host). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +DOCSIS +\series default + ( +\emph on +Data Over Cable Service Interface Specification +\emph default +) sobre +\series bold +HFC +\series default + ( +\emph on +Hybrid Fibre Coaxial +\emph default +). + Une el hogar al router del ISP mediante cable y fibra, y al igual que ADSL, + es asimétrico. + El enlace hacia el router es compartido entre hogares, y estas redes son + desplegadas por compañías de cable y TV. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Suele haber un módem ADSL o de cable, un router (normalmente con cortafuegos + y NAT), una red Ethernet y un punto de acceso WiFi, si bien varios de estos + elementos suelen agruparse. + Para acceso institucional, suele haber una red de área local conocida como + +\series bold +intranet +\series default +, conectada a un router que conecta a Internet. + En ella se usa: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Ethernet: +\series default + De 10 o +\begin_inset Formula $\unit[100]{Mbps}$ +\end_inset + + o 1 o +\begin_inset Formula $\unit[10]{Gbps}$ +\end_inset + +. + Suele usarse sobre par trenzado, y los hosts suelen conectarse con conmutadores. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +WiFi: +\series default + 802.11g ( +\begin_inset Formula $\unit[54]{Mbps}$ +\end_inset + +), 802.11n ( +\begin_inset Formula $\unit[600]{Mbps}$ +\end_inset + +) u 802.11ac ( +\begin_inset Formula $\unit[1]{Gbps}$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un ejemplo de red es la RedIris (red académica española), que comunica las + universidades y centros de I+D españoles. +\end_layout + +\begin_layout Section +Direccionamiento IP +\end_layout + +\begin_layout Standard +En IPv4 (versión 4), cada interfaz de red tiene asignada una dirección IP + de 32 bits, que se expresa como 4 números entre 0 y 255 separados por puntos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Internet lo forma una serie de subredes interconectadas, y cuando un host + desea enviar información a otro, lo que hace mediante +\series bold +paquetes +\series default + IP, esta pasa normalmente a través de una serie de routers interconectados, + que deben decidir el siguiente router por el que enviarlo. + Hay dos formas de trabajar: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Conmutación de circuitos: +\series default + Se establece un circuito por cada conexión, permitiendo la entrega en orden + y con calidad e servicio. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Conmutación de paquetes: +\series default + Cada paquete se encamina por separado, por lo que la entrega puede ser + fuera de orden y no garantiza la calidad. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Cualquier modalidad requiere +\series bold +algoritmos de encaminamiento +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En +\series bold +IPv4 +\series default + (versión 4), cada interfaz de red tiene asignada una dirección IP de 32 + bits, que suele expresarse como 4 números de 0–255 separados por puntos. + Así, los routers suelen tener varias interfaces de red, mientras que los + hosts solo suelen tener una. + Una dirección IP se compone de dos partes: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Dirección de red +\series default + ( +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +netid +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +): Los +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + bits más significativos. + El tamaño es variable, y una dirección IP de la forma +\begin_inset Formula $xxx.xxx.xxx.xxx/nn$ +\end_inset + + indica que la dirección de red ocupa +\begin_inset Formula $nn$ +\end_inset + + bits. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Dirección de host +\series default + ( +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +hostid +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +): El resto de bits. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Anteriormente existían 4 tipos de redes (A, B, C y D) dependiendo del tamaño + de la dirección de red, pero actualmente existe el +\series bold +CIDR +\series default + ( +\emph on +Classless InterDomain Routing +\emph default +) que permite que el tamaño de la dirección de red sea arbitrario. + La +\series bold +máscara de red +\series default + es un número (con forma de dirección IP) que se forma tomando un netid + formado solo por 1's y un hostid formado solo por 0's. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El organismo encargado de asignar direcciones de red es el +\series bold +ICANN +\series default + ( +\emph on +Internet Corporation for Assigned Names and Numbers +\emph default +). + Cuando dos hosts están en la misma red, pueden comunicarse directamente. + En otro caso, el host origen envía el paquete al +\series bold +router +\series default + por defecto (cuya dirección IP debe saber), que actúa como nexo de unión, + y la dirección IP del paquete es la del host destino. + Direcciones especiales: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Dirección de red: +\series default + El hostid está formado solo por 0's. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Dirección de +\emph on +broadcast +\series default +\emph default + (difusión): El hostid está formado solo por 1's, y el paquete llega a todos + los miembros de la red. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +DHCP +\series default + ( +\emph on +Dynamic Host Configuration Protocol +\emph default +) permite configurar hosts de forma dinámica, de forma que el router asigna + al host una dirección IP, máscara de subred y dirección del router por + defecto. + Además, la mayoría de routers pueden reenviar las solicitudes de configuración + DHCP, por lo que no es necesario tener servidores DHCP en cada subred. + Esquema general: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Descubrimiento: +\series default + El host envía una solicitud de descubrimiento DHCP por su interfaz. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Oferta: +\series default + El router responde informando de su IP y ofreciendo otra, con fecha de + caducidad pero renovable. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Solicitud: +\series default + El host solicita usar dicha IP. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Confirmación: +\series default + El router confirma que el host pueda usarla. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La limitación en el rango de direcciones IP ha llevado a la creación del + protocolo +\series bold +IPv6 +\series default + (IP versión 6), que permite asignar +\begin_inset Formula $2^{128}$ +\end_inset + + direcciones, reduce el tamaño de las tablas de enrutamiento, simplifica + el protocolo para permitir el procesamiento más rápido de paquetes, proporciona + seguridad al incluir cabeceras de autenticación y confidencialidad, presta + más atención al tipo de servicio (especialmente al tiempo real), posibilita + que un host sea móvil sin cambiar su dirección y elimina la sobrecarga + del NAT al haber direcciones suficientes. +\end_layout + +\begin_layout Section +TCP y UDP +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las distintas capas de una arquitectura pueden ofrecer distintos tipos de + servicio: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Servicio orientado a conexión: +\series default + Hay un establecimiento de conexión, una fase de transmisión de datos y + una liberación de la conexión, de forma que los datos se entregan en orden. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Servicio no orientado a conexión: +\series default + Cada mensaje se procesa de forma independiente, incluyendo en cada uno + la información de direccionamiento, y no se garantiza la entrega en orden. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Servicio confirmado: +\series default + El emisor tiene constancia de la recepción correcta de los datos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Servicio no confirmado: +\series default + No hay tal confirmación. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El término +\series bold +QoS +\series default + ( +\emph on +Quality of Service +\emph default +) se refiere a las tecnologías que garantizan la transmisión de datos en + un tiempo dado, y es importante para vídeo y voz. + En la capa de transporte se tienen dos protocolos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +TCP: +\series default + Orientado a conexión. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +UDP: +\series default + No orientado a conexión, para cuando prima el tiempo de llegada de los + datos sobre la posible existencia de fallos en la transmisión. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Estos servicios permiten además definir un +\series bold +puerto +\series default + de origen y uno de destino, que identifican a los distintos procesos existentes + en los hosts que se comunican. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Por otro lado, dada la limitación en el rango de direcciones IP, y que normalmen +te en entornos domésticos solo se asigna una IP pública, en estos se suele + usar +\series bold +NAT +\series default + (Network Address Translation). + Los hosts usan direcciones IP en una serie de +\series bold +rangos de direcciones privadas +\series default + definidos, que para el exterior se traducen en una única IP pública, pues + el router se encarga de la conversión. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Cuando un host envía información (por TCP o UDP) a una dirección IP pública, + lo hace con un puerto de origen y uno de destino. + El router entonces hace corresponder un puerto de su IP pública al conjunto + de la IP privada y el puerto de origen, y envía entonces la información + a la IP y el puerto de destino desde su propia IP pública y el puerto que + ha asignado. + Cuando recibe la respuesta, le llega con el puerto asignado como puerto + de destino, de forma que puede redirigir la información a la IP privada + y puerto correspondientes. +\end_layout + +\begin_layout Section +Capa de aplicación +\end_layout + +\begin_layout Standard +Existen dos modelos mediante los cuales los hosts pueden conectarse en la + capa de aplicación: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Modelo cliente-servidor: +\series default + Un servidor, siempre conectado, posiblemente replicado y con dirección + IP fija, atiende solicitudes de los clientes, que no se comunican entre + sí directamente y que posiblemente tengan direcciones IP dinámicas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +\emph on +Peer to peer +\emph default + (P2P): +\series default + Los +\emph on +peers +\emph default + se comunican entre sí directamente. + Pueden estar conectados intermitentemente y tener direcciones IP dinámicas. + Este es un esquema muy escalable, pero difícil de gestionar. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +BitTorrent +\series default + es un sistema de distribución de ficheros P2P. + Está formado por una serie de +\series bold +\emph on +trackers +\series default +\emph default +, que registran a los +\emph on +peers +\emph default + que participan en un +\emph on +torrent +\emph default +, y +\series bold +\emph on +torrents +\series default +\emph default +, grupos de +\emph on +peers +\emph default + que intercambian partes de un fichero. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El protocolo +\series bold +DNS +\series default + ( +\emph on +Domain Name System +\emph default +) es un servicio de traducción de nombres de host a direcciones IP, implementada + como una base de datos distribuida mediante una jerarquía de servidores + DNS y un protocolo de consulta a nivel de aplicación sobre UDP en el puerto + 53. + Los hosts tienen configurado un servidor DNS primario, al que realizan + las consultas, y si no obtienen respuesta consultan al servidor DNS secundario. + Este servicio también permite realizar traducciones inversas, gestionar + alias (distintos nombres para la misma máquina) y otras acciones relacionadas + con el correo electrónico o balanceo de carga. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +FTP +\series default + ( +\emph on +File Transfer Protocol +\emph default +) es un protocolo cliente-servidor utilizado para transferencia de archivos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +\emph on +World Wide Web +\series default +\emph default + es el conjunto de servidores web de todo el mundo. + Una página web está formada por objetos como páginas HTML, imágenes, +\emph on +applets +\emph default + Java, archivos de audio... + en la cual una página HTML base incluye referencias a otros objetos. + Cada objeto está identificado por una +\series bold +URL +\series default + ( +\emph on +Uniform Resource Locator +\emph default +), cuya sintaxis básica es: +\family typewriter +\emph on +protocolo +\emph default +:// +\emph on +nombre_de_host +\emph default +/ +\emph on +ruta_de_objeto +\family default +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se usa el protocolo +\series bold +HTTP +\series default + ( +\emph on +HyperText Transfer Protocol +\emph default +), en el que el cliente solicita al servidor objetos web, los recibe y los + muestra. + Se basa en TCP, y habitualmente el servidor escucha en el puerto 80. + Existen dos tipos de mensajes HTTP: +\emph on +request +\emph default + y +\emph on +response +\emph default +, basados principalmente en ASCII. + Ejemplo: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="35col%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="60col%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +HTTP +\emph on +request +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +HTTP +\emph on +response +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +GET /somedir/page.html HTTP/1.1 +\family default + (línea de solicitud: GET, POST...) +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Host: www.someschool.edu +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +User-agent: Mozilla/4.0 +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Connection: close +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Accept-language: fr +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +(cabecera) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +HTTP/1.1 200 OK +\family default + (línea de estado) +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Connection close +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Date: Thu, 06 Aug 2008 12:00:15 GMT +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Server: Apache/1.3.0 (Unix) +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Last-Modified: Mon, 22 Jun 2008 +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +ETag: "7ec0a8-141-4912c4c727280" +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Accept-Ranges: bytes +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Content-Length: 321 +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +Content-Type: text/html; charset=es_ES.UTF-8 +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +(cabecera) +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Phantom VPhantom +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +... + +\family default + (datos solicitados) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +correo electrónico +\series default + funciona mediante los siguientes componentes: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Agentes de usuario: +\series default + Lectores de correo, usados por los clientes para editar, enviar y recibir + mensajes. + Eudora, Outlook, elm, Mozilla Thunderbird... +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Servidores de correo: +\series default + Mantienen los mensajes que llegan a los usuarios (anteriormente solo los + que no se habían enviado ya a estos), y también se encargan del envío. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Protocolos: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +SMTP +\series default + ( +\emph on +Simple Mail Transfer Protocol +\emph default +): Para el envío de mensajes, tanto desde los agentes como entre servidores. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +POP +\series default + ( +\emph on +Post Office Protocol +\emph default +): El agente se conecta con el servidor, se autentica y descarga los mensajes. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +IMAP +\series default + ( +\emph on +Internet Message Access Protocol +\emph default +): Más complejo que POP, permite manipular mensajes sobre el servidor. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +HTTP: +\series default + La mayoría de servidores de correo tienen una interfaz web. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Así, si Alicia quiere mandar un mensaje a Bob, su agente envía un mensaje + a su servidor de correo con SMTP, y este queda a la cola para ser enviado. + Entonces el servidor de Alicia manda el mensaje por SMTP al de Bob, que + lo coloca en su buzón, de forma que Bob puede acceder mediante su agente + con POP o IMAP. +\end_layout + +\begin_layout Section +Comandos de Linux +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +ifconfig +\family default +: +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +Interface configure +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + Para configurar la interfaz +\family typewriter +eth0 +\family default + de un host con dirección +\family typewriter +192.168.0.21/24 +\family default +, +\family typewriter +sudo ifconfig eth0 192.168.0.21 netmask 255.255.255.0 up +\family default + o +\family typewriter +sudo ifconfig eth0 192.168.0.21/24 up +\family default + (realmente no hace falta el +\family typewriter +up +\family default + porque es la opción por defecto). + Para apagarla, +\family typewriter +sudo ifconfig eth0 down +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +route +\family default +: Para establecer el router por defecto, +\family typewriter +sudo route add default gw 192.168.0.1 eth0 +\family default +. + Para visualizar las tablas de enrutamiento de nuestro sistema, +\family typewriter +route -n +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +dhclient +\emph on +interfaz +\family default +\emph default +: Configura una interfaz de red con DHCP. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +ping +\emph on +servidor +\family default +\emph default +: Envía paquetes a un servidor esperando a que responda, como herramienta + de diagnóstico. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +host +\family default +: Para obtener la IP correspondiente a un nombre de host, junto con posible + información como alias, +\family typewriter +host +\emph on +nombre_host +\family default +\emph default +. + Para realizar una consulta inversa, +\family typewriter +host +\emph on +dir_IP +\family default +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +nm-tool +\family default +: Muestra la lista de servidores DNS configurados. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +telnet +\emph on +servidor +\emph default + [ +\emph on +puerto +\emph default +] +\family default +: Abre conexiones TCP. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +netstat +\family default +: +\family typewriter +-net +\family default + muestra todas las conexiones TCP abiertas; +\family typewriter +-a +\family default + muestra todas las co +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +ne +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +xio +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +nes y puertos TCP y UDP incluyendo las que están +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +en escucha +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +, y +\family typewriter +-n +\family default + muestra los puertos con su identificación numérica y no de texto. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fuvr1/n.lyx b/fuvr1/n.lyx new file mode 100644 index 0000000..7998eb4 --- /dev/null +++ b/fuvr1/n.lyx @@ -0,0 +1,188 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize a5paper +\use_geometry true +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\leftmargin 0.2cm +\topmargin 0.7cm +\rightmargin 0.2cm +\bottommargin 0.7cm +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle empty +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Title +Funciones de una variable real I +\end_layout + +\begin_layout Date +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +def +\backslash +cryear{2017} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "../license.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Bibliografía: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Análisis Matemático I, J. + M. + Mira & S. + Sánchez-Pedreño. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Funciones reales de una variable real: Notas de clase, Bernardo Cascales, + Luis Oncina & Salvador Sánchez-Pedreño (Curso 2017–18). +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Números reales y complejos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n1.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Sucesiones numéricas +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n2.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Continuidad de funciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n3.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fuvr1/n1.lyx b/fuvr1/n1.lyx new file mode 100644 index 0000000..c26556f --- /dev/null +++ b/fuvr1/n1.lyx @@ -0,0 +1,2278 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures false +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Section +Definición axiomática de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + es el cuerpo conmutativo totalmente ordenado y completo. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Cuerpo conmutativo +\end_layout + +\begin_layout Standard +Conjunto con dos operaciones internas: suma ( +\begin_inset Formula $\mathbb{K}\times\mathbb{K}\rightarrow\mathbb{K}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto x+y$ +\end_inset + +) y producto ( +\begin_inset Formula $\mathbb{K}\times\mathbb{K}\rightarrow\mathbb{K}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto x\cdot y$ +\end_inset + +), con las siguientes propiedades: +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in\mathbb{K}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Asociativa de la suma: +\series default + +\begin_inset Formula $a+(b+c)=(a+b)+c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Conmutativa de la suma: +\begin_inset Formula $a+b=b+a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Elemento neutro para la suma +\series default + o +\series bold +nulo: +\series default + +\begin_inset Formula $\exists!0\in\mathbb{K}:\forall a\in\mathbb{K},0+a=a$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Pongamos que existe otro +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $0'$ +\end_inset + +), entonces +\begin_inset Formula $0=0+0'=0'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Inverso para la suma +\series default + u +\series bold +opuesto: +\series default + +\begin_inset Formula $\exists!a':a+a'=0$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $a':=-a$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Pongamos que existe otro opuesto +\begin_inset Formula $a''$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a'=0+a'=(a''+a)+a'=a''+(a+a')=a''+0=a''$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Asociativa del producto: +\series default + +\begin_inset Formula $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Conmutativa del producto: +\series default + +\begin_inset Formula $a\cdot b=b\cdot a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Elemento neutro para el producto +\series default + o +\series bold +unidad: +\series default + +\begin_inset Formula $\exists!1\in\mathbb{K}:\forall a\in K,1\cdot a=a$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Pongamos que existe otro +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $1'$ +\end_inset + +), entonces +\begin_inset Formula $1=1\cdot1'=1'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Inverso para el producto: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K}\backslash\{0\},\exists!a'':a\cdot a''=1$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $a'':=\frac{1}{a}:=a^{-1}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Pongamos que existe otro +\begin_inset Formula $a''$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $a'$ +\end_inset + +), entonces +\begin_inset Formula $a''=1\cdot a''=(a'\cdot a)\cdot a''=a'\cdot(a\cdot a'')=a'\cdot1=a'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Distributiva: +\series default + +\begin_inset Formula $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí podemos deducir que: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=b\iff a-b=0$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $b\neq0\implies(a=b\iff a\cdot b^{-1}=1)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +a=b\iff a+(-b)=b+(-b)\iff a-b=0 +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +b\neq0\implies\exists b^{-1}\implies(a=b\iff a\cdot b^{-1}=b\cdot b^{-1}=1) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\cdot0=0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +a\cdot0+0=a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0\implies-a\cdot0+a\cdot0=-a\cdot0+a\cdot0+a\cdot0\implies0=a\cdot0 +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(-a)\cdot b=-(ab)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $(-1)\cdot a=-a$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +(-a)\cdot b+a\cdot b=(-a+a)\cdot b=0\cdot b=0 +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +(-1)\cdot a=-(1\cdot a)=-a +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Totalmente ordenado +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aquel con relación binaria +\begin_inset Formula $\leq$ +\end_inset + + con las siguientes propiedades: +\begin_inset Formula $\forall x,y,z\in\mathbb{K}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Reflexiva: +\series default + +\begin_inset Formula $x\leq x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Antisimétrica: +\series default + +\begin_inset Formula $x\leq y\land y\leq x\iff x=y$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Transitiva: +\series default + +\begin_inset Formula $x\leq y\land y\leq z\implies x\leq z$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Orden total: +\series default + +\begin_inset Formula $x\leq y\lor y\leq x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $x\leq y\implies x+z\leq y+z$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $x\leq y\land0\leq z\implies x\cdot z\leq y\cdot z$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una relación binaria que cumple las propiedades 1–3 se denomina de +\series bold +orden. + +\series default + Si también cumple (4), de +\series bold +orden total. + +\series default + El conjunto de todas definen un +\series bold +cuerpo totalmente ordenado. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Notación: +\begin_inset Formula $x<y\iff y>x\iff x\leq y\land x\neq y$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $x\geq y\iff y\leq x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos deducir que: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $c<0\iff-c>0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +c<0\iff c+(-c)<-c\iff0<-c +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\leq b\land c\leq d\implies a+c\leq b+d$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +a\leq b\implies a+c\leq b+c\\ +c\leq d\implies b+c\leq b+d +\end{array}\implies a+c\leq b+d +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\leq b\iff-a\geq-b$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +a\leq b\iff a+(-a)+(-b)\leq b+(-b)+(-a)\iff-b\leq-a +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $c<0\implies(a\leq b\iff ca\geq cb)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +c<0\implies-c>0\implies(-c)a\leq(-c)b\implies-(ca)\leq-(cb)\implies ca\geq cb +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a\neq0\implies a\cdot a>0$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $1\neq0\implies1\geq0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +a\cdot a\neq0;\ \begin{cases} +a\geq0 & \implies a\cdot a\geq a\cdot0=0\\ +a\leq0 & \implies a\cdot a\geq a\cdot0=0 +\end{cases}\implies a\cdot a>0 +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +0\neq1\land1=1\cdot1\implies1>0 +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a>0\iff a^{-1}>0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Supongamos +\begin_inset Formula $a^{-1}\leq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a>0$ +\end_inset + +. + Entonces, +\begin_inset Formula $1=a\cdot a^{-1}\leq0$ +\end_inset + +. + Pero +\begin_inset Formula $1\nleq0\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $b>0\implies(a\leq b\implies a^{-1}\leq b^{-1})$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +a\geq b\implies a^{-1}\cdot a\geq b\cdot a^{-1}\implies1\geq b\cdot a^{-1}\implies b^{-1}\geq b^{-1}(b\cdot a^{-1})=a^{-1}\implies b^{-1}\geq a^{-1} +\] + +\end_inset + +El recíproco es cierto si +\begin_inset Formula $a>0$ +\end_inset + + también, pues en el último paso multiplicaríamos por +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Completo +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aquel que cumple el +\series bold +axioma del supremo: +\series default + todo subconjunto no vacío de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + acotado superiormente tiene supremo. + Un conjunto +\begin_inset Formula $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ +\end_inset + + está acotado superiormente si +\begin_inset Formula $\exists M\in\mathbb{R}:\forall a\in A,a\leq M$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es cota superior de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + es el supremo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $\alpha=\sup A$ +\end_inset + +) si es su menor cota superior, y cumple que +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists a\in A:\alpha-\varepsilon<a\leq\alpha$ +\end_inset + +. + Cuando +\begin_inset Formula $\alpha\in A$ +\end_inset + +, se le llama también máximo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Igualmente, un subconjunto +\begin_inset Formula $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ +\end_inset + + está acotado inferiormente si +\begin_inset Formula $\exists M\in\mathbb{R}:\forall a\in A,M\leq a$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es cota inferior de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + es el ínfimo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $\alpha=\inf A$ +\end_inset + +) si es su mayor cota inferior. + Todo cuerpo que verifica el axioma del supremo también cumple que todo + subconjunto no vacío acotado inferiormente tiene ínfimo. + +\series bold +Demostración: +\series default + si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + está acotado inferiormente por +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $-A=\{-a\}_{a\in A}$ +\end_inset + + está acotado superiormente por +\begin_inset Formula $-\alpha$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + es su supremo, entonces +\begin_inset Formula $-\beta$ +\end_inset + + será el ínfimo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Otras propiedades de los números ( +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +) +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un subconjunto +\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{K}$ +\end_inset + + es +\series bold + inductivo +\series default + si +\begin_inset Formula $1\in I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in I\implies n+1\in I$ +\end_inset + +. + Todo cuerpo o intersección de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo. + Ahora tomemos el +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +bicho +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\bigcap\{I:I\text{ es un conjunto inductivo de }\mathbb{R}\}$ +\end_inset + +, la intersección de todos los conjuntos inductivos y por tanto el más pequeño + de ellos. + Así, el conjunto de +\series bold +números naturales +\series default + +\begin_inset Formula $\mathbb{N}:=\text{bicho}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos definir +\begin_inset Formula $2=1+1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $3=2+1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $4=3+1$ +\end_inset + +, etc. + Propiedades +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +obvias +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + de los naturales: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall n<1,n\notin\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},\nexists x\in\mathbb{N}:n<x<n+1$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Para +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + +: Suponemos +\begin_inset Formula $\exists r\in\mathbb{N}:1<r<2=1+1$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $S=\{n\in\mathbb{N}:1<n<2\}\neq\emptyset\land r\in s$ +\end_inset + +. + Sabemos que +\begin_inset Formula $1\in\mathbb{N}\backslash S$ +\end_inset + +. + Consideremos un número +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}\backslash S$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $m\leq1\lor m\geq2$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{cc} +n\leq1\implies & n=1\implies n+1=2\in\mathbb{N}\backslash S\\ +n\geq2\implies & n+1\geq2+1=3,\,n+1\in\mathbb{N}\backslash S +\end{array}\implies\mathbb{N}\backslash S=\mathbb{N}\implies S=\emptyset +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +Demostrar resto de propiedades cuando las estudiemos, si no como ejercicio. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall n,m\in\mathbb{N},n+m\in\mathbb{N}\land n\cdot m\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall n,m\in\mathbb{N},m>n\implies\exists k\in\mathbb{N}:m=n+k$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}:=\{0\}\cup\{n\in\mathbb{R}:n\in\mathbb{N}\text{ o }-n\in\mathbb{N}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}:=\{m\cdot n^{-1}:m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Método de inducción +\end_layout + +\begin_layout Standard +Método de demostración basado en definir un conjunto +\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{N}$ +\end_inset + + que cumpla la propiedad +\begin_inset Formula $P(n)$ +\end_inset + + a demostrar en +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + + y demostrar que es inductivo. + Como +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + + es el conjunto inductivo más pequeño, tenemos +\begin_inset Formula $S=\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Para demostrar esto: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Comprobamos que +\begin_inset Formula $P(1)$ +\end_inset + + es verdad. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Demostramos que +\begin_inset Formula $P(n)\implies P(n+1)$ +\end_inset + +. + Para ello, demostramos +\begin_inset Formula $P(n+1)$ +\end_inset + + tomando como propiedad +\begin_inset Formula $P(n)$ +\end_inset + + (la +\series bold +hipótesis de inducción +\series default +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un número natural +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + +, un conjunto +\begin_inset Formula $S\subseteq\{n\in\mathbb{N}:n\geq N\}\subseteq\mathbb{N}$ +\end_inset + + nos sirve para realizar demostraciones para los naturales a partir de un + número arbitrario. + Por último, la +\series bold +versión fuerte +\series default + del método de inducción nos permite definir +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $1\in S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $1,2,\dots,n\in S\implies n+1\in S$ +\end_inset + +, y entonces +\begin_inset Formula $S=\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +De esta forma podemos demostrar el +\series bold +Teorema Fundamental de la Aritmética +\series default +, que nos dice que todo número entero +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + + es primo o producto de primos. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $A=\{2\leq n\in\mathbb{N}:n\text{ cumple el Teorema Fund. de la Aritmética}\}$ +\end_inset + +. + Sabemos que +\begin_inset Formula $2\in A$ +\end_inset + +, y queremos demostrar que, si tenemos un +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $2,3,\dots,n\in A$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $n+1\in A$ +\end_inset + +. + Ahora, o bien +\begin_inset Formula $n+1$ +\end_inset + + es primo, en cuyo caso +\begin_inset Formula $n+1\in A$ +\end_inset + +, o no lo es, pero entonces +\begin_inset Formula $\exists p,q\in\mathbb{N}:1<p,q<n+1:p\cdot q=n+1$ +\end_inset + +, y como hemos supuesto que +\begin_inset Formula $2,3,\dots,n\in A$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $p,q\in A$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + son primos o producto de primos, +\begin_inset Formula $n+1$ +\end_inset + + también lo es, por lo que +\begin_inset Formula $n+1\in A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Propiedad arquimediana +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + cumple la +\series bold +propiedad arquimediana: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall0<y,x\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}:x<ny$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + De no ser así, +\begin_inset Formula $A:=\{ny:n\in\mathbb{N}\}$ +\end_inset + + estaría acotado superiormente por +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $\alpha:=\sup A$ +\end_inset + +; tendríamos que +\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},ny\leq\alpha$ +\end_inset + +. + Por otro lado, +\begin_inset Formula $\alpha-y$ +\end_inset + + no sería cota superior de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\alpha-y<n_{0}y$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $\alpha<(n_{0}+1)y$ +\end_inset + +, lo que contradice el hecho de que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + esté acotado superiormente por +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Por tanto +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + + no está acotado superiormente, y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + no está acotado superior ni inferiormente. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Principio de la buena ordenación: +\series default + Todo subconjunto no vacío +\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$ +\end_inset + + tiene +\series bold +primer elemento +\series default +. + +\series bold +Demostración: +\series default + supongamos que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + no tuviera primer elemento y sea +\begin_inset Formula $B:=\mathbb{N}\backslash A$ +\end_inset + + el complementario de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $1\notin A$ +\end_inset + +, pues de lo contrario tendría primer elemento; por tanto +\begin_inset Formula $1\in B$ +\end_inset + +. + Además, si +\begin_inset Formula $1,\dots,n\in B$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $n+1\in B$ +\end_inset + +, pues de lo contrario tendríamos que +\begin_inset Formula $n+1\in A$ +\end_inset + + sería el primer elemento. + Por tanto +\begin_inset Formula $B=\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A=\emptyset$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +parte entera +\series default + de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $[x]$ +\end_inset + + al único +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + que verifica +\begin_inset Formula $m\leq x<m+1$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Demostremos que existe. + Supongamos que +\begin_inset Formula $x\geq1$ +\end_inset + +. + Aplicando la propiedad arquimediana a +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + +, se tiene que el conjunto +\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}:n>x\}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, por lo que tiene un primer elemento +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Si tomamos +\begin_inset Formula $m:=k-1$ +\end_inset + + obtenemos el resultado. + La unicidad se debe a que no existe ningún número natural entre +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $2$ +\end_inset + + y, por inducción, tampoco entre +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m+1$ +\end_inset + + para ningún +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí podemos obtener que +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + es +\series bold +denso +\series default + en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +, es decir, que si +\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x<y$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\exists r\in\mathbb{Q}:x<r<y$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Por la propiedad arquimediana +\begin_inset Formula $\exists n\in\mathbb{N}:1<n(y-x)$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\frac{1}{n}<y-x$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $m:=[nx]$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $m\leq nx<m+1$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula +\[ +\frac{m}{n}\leq x<\frac{m+1}{n}=\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\leq x+\frac{1}{n}<x+(y-x)=y +\] + +\end_inset + +Tomamos +\begin_inset Formula $r=\frac{m+1}{n}$ +\end_inset + + para obtener el resultado buscado. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Raíces cuadradas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $x=y^{2}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + es una +\series bold +raíz cuadrada +\series default + de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $-y$ +\end_inset + + también lo es, y +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + no puede tener más raíces cuadradas. + Definimos +\begin_inset Formula +\[ +\sqrt{x}:=\sup\{0\leq r\in\mathbb{Q}:r^{2}<x\} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea +\begin_inset Formula $2$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Supongamos +\begin_inset Formula $\exists p,q\in\mathbb{N}:\frac{p^{2}}{q^{2}}=2$ +\end_inset + +, siendo +\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$ +\end_inset + + irreducible. + Tenemos que +\begin_inset Formula $p^{2}=2q^{2}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $p^{2}$ +\end_inset + + es par. + Por tanto +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + debe ser par porque si fuera +\begin_inset Formula $p=2k+1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p^{2}=4k^{2}+4k+1$ +\end_inset + + sería impar. + Sea pues +\begin_inset Formula $2p':=p$ +\end_inset + + (con +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +). + Entonces +\begin_inset Formula $4(p')^{2}=2q^{2}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $2(p')^{2}=q^{2}$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $\exists q'\in\mathbb{N}:q=2q'$ +\end_inset + +, lo que contradice el hecho de que +\begin_inset Formula $p/q$ +\end_inset + + sea irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +La siguiente demostración usa la fórmula +\begin_inset Formula $(1+\varepsilon)^{n}<1+3^{n}\varepsilon\forall n\in\mathbb{N},0<\varepsilon<1$ +\end_inset + +, que demostraremos por inducción. + Para +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + + tenemos que +\begin_inset Formula $1+\varepsilon<1+3\varepsilon=1+3\varepsilon$ +\end_inset + +. + Ahora bien, si se cumple para cierto +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, podemos probar que se cumple para +\begin_inset Formula $n+1$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula +\[ +1+3^{n+1}\varepsilon=1+3\cdot3^{n}\varepsilon=3\cdot(1+3^{n}\varepsilon)-2>3\cdot(1+\varepsilon)^{n}-2\overset{?}{>}(1+\varepsilon)^{n} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +La última desigualdad se cumple siempre que +\begin_inset Formula $2\cdot(1+\varepsilon)^{n}>2$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $(1+\varepsilon)^{n}>1$ +\end_inset + +, lo cual es verdad, demostrando la fórmula inicial. + Ahora usaremos esta fórmula para demostrar que si +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $r>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r^{2}<2$ +\end_inset + +, existe un +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $r<t$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r^{2}<t^{2}<2$ +\end_inset + +. + De igual modo, si +\begin_inset Formula $s\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $s>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s^{2}>2$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $w\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $0<w<s$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s^{2}>w^{2}>2$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +Para demostrar la primera afirmación debemos ver que es posible encontrar + +\begin_inset Formula $0<\varepsilon\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $t:=r(1+\varepsilon)$ +\end_inset + + se tenga +\begin_inset Formula $t^{2}<2$ +\end_inset + +. + Pero usando la afirmación anterior tenemos que +\begin_inset Formula $t^{2}=r^{2}(1+\varepsilon)^{2}<r^{2}(1+9\varepsilon)$ +\end_inset + +, y queda encontrar un +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $r^{2}(1+9\varepsilon)<2$ +\end_inset + +, lo que se consigue con +\begin_inset Formula $0<\varepsilon<\frac{1}{9}\left(\frac{2}{r^{2}}-1\right)$ +\end_inset + +. + Sabemos que este número existe porque +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + es un cuerpo denso. + La demostración de la segunda afirmación es análoga, pero tomando +\begin_inset Formula $w:=\frac{s}{1+\varepsilon}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +Ahora veremos que esto también se cumple con si +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + no son necesariamente racionales. + Razonamos igual que antes, pero como no sabemos si +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + es racional, tampoco sabemos si lo es +\begin_inset Formula $t$ +\end_inset + +, pero sabemos que, como +\begin_inset Formula $r<t$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\exists\tau\in\mathbb{Q}:r<\tau<t$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $r^{2}<\tau^{2}<t^{2}<2$ +\end_inset + +, que es lo que buscamos. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\exists\alpha\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}:(\alpha^{2}=2\land\alpha=\sup\{0\leq r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\})$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $A=\{0\leq r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $1\in A$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$ +\end_inset + +, y está acotado superiormente por +\begin_inset Formula $2$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $\exists\alpha:=\sup A$ +\end_inset + +. + Ahora debemos demostrar que +\begin_inset Formula $\alpha^{2}=2$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\alpha^{2}<2$ +\end_inset + +, tendríamos que +\begin_inset Formula $\exists t\in\mathbb{Q}:\alpha<t\land\alpha^{2}<t^{2}<2$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $t\in A\#$ +\end_inset + +. + Por otro lado, si +\begin_inset Formula $\alpha^{2}>2$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists s\in\mathbb{Q}:\alpha>s\land s^{2}>2$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $2<s^{2}<\alpha^{2}$ +\end_inset + + y, como +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + es cota superior de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $s<\alpha$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + no es el supremo +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $\alpha^{2}=2$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +números irracionales +\series default + a los elementos de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}\backslash\text{\mathbb{Q}}$ +\end_inset + +. + Se tiene que si +\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x<y$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\exists z\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}:x<z<y$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sea +\begin_inset Formula $w\in\mathbb{Q}:x<w<y$ +\end_inset + +. + Por la propiedad arquimediana, +\begin_inset Formula $\exists n:\frac{\sqrt{2}}{n}<y-w$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $z:=w+\frac{\sqrt{2}}{n}$ +\end_inset + +. + También podemos probar que +\begin_inset Formula $\forall x\in\mathbb{R},x=\sup\{r:r\in\mathbb{Q},r<x\}$ +\end_inset + +, pues si +\begin_inset Formula $\alpha>x$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + sería una cota superior menor +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + +, y si fuera menor, entonces +\begin_inset Formula $\exists r\in\mathbb{Q}:\alpha<r<x\#$ +\end_inset + +. + Por esto a +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + se le llama tradicionalmente +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +el continuo +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Valor absoluto +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula +\[ +|x|:=\begin{cases} +x & \text{si }x\geq0\\ +-x & \text{si }x<0 +\end{cases} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|x|=|-x|\geq0$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $x\neq0\implies|x|>0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|x|=\max\{x,-x\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|xy|=|x||y|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|x|\leq a\iff-a\leq x\leq a$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +|x|=\max\{x,-x\}\leq a\equiv x\leq a\land-x\leq a\equiv-a\leq x\leq a +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Desigualdad triangular: +\series default + +\begin_inset Formula $|x+y|\leq|x|+|y|$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{c} +-|x|\leq x\leq|x|\\ +-|y|\leq y\leq|y| +\end{array}\implies-(|x|+|y|)\leq x+y\leq(|x|+|y|)\overset{(5)}{\implies}|x+y|\leq|x|+|y| +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\left||x|-|y|\right|\leq|x-y|$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{cc} +z:=y-x: & |x+z|\leq|x|+|z|\implies|x+y-x|=|y|\leq|x|+|y-x|\implies\\ + & \implies|y|-|x|\leq|y-x|\\ +z':=x-y: & |y+z'|\leq|y|+|z'|\implies|y+x-y|=|x|\leq|y|+|x-y|\implies\\ + & \implies|x|-|y|\leq|x-y| +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\left|\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right|\leq\sum_{k=1}^{n}|x_{k}|$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Se obtiene por inducción sobre la desigualdad triangular. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Distancia +\series default + de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $d(x,y):=|x-y|$ +\end_inset + +. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $d(x,y)=0\iff x=y$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $d(x,y)=d(y,x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Raíces +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x>0$ +\end_inset + + y sea +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall r\in\mathbb{Q},r>0,r^{p}<x,\exists t\in\mathbb{Q}:(r<t\land r^{p}<t^{p}<x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall s\in\mathbb{Q},s>0,s^{p}>x,\exists w\in\mathbb{Q}:(0<w<s\land s^{p}>w^{p}>x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\exists!\alpha\in\mathbb{R},\alpha>0:\alpha^{p}=x$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha=\sup\{r\in\mathbb{Q}:r^{p}<x\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, la +\series bold +raíz +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-ésima +\series default + de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + se define como el único número real positivo +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\alpha^{p}=x$ +\end_inset + +. + Lo escribimos como +\begin_inset Formula +\[ +x^{\frac{1}{p}}:=\sqrt[p]{x}:=\sup\{r:r\in\mathbb{Q},r^{p}<x\} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fuvr1/n2.lyx b/fuvr1/n2.lyx new file mode 100644 index 0000000..35de49d --- /dev/null +++ b/fuvr1/n2.lyx @@ -0,0 +1,5306 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures false +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 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+\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Desigualdad de Bernoulli: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall x>-1,x\neq0,n\in\mathbb{N},(1+x)^{n}>1+nx$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Convergencia +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +sucesión +\series default + en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +) es una aplicación +\begin_inset Formula $\phi:\mathbb{N}\rightarrow K$ +\end_inset + + que denotamos como +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + +, con elementos +\begin_inset Formula $a_{n}:=\phi(n)$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $a_{n}$ +\end_inset + + es el +\series bold +término general +\series default + de la sucesión, y puede venir dado, por ejemplo, mediante una fórmula explícita + o por recurrencia ( +\series bold +sucesión recurrente +\series default +), como es el caso de la +\series bold +sucesión de Fibonacci +\series default + ( +\begin_inset Formula $a_{1}=a_{2}=1$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\forall n\geq3$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + tiene límite +\begin_inset Formula $a\in K$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\forall n\in\mathbb{N}(n\geq n_{\varepsilon}\implies|a_{n}-a|<\varepsilon)$ +\end_inset + +. + Escribimos +\begin_inset Formula +\[ +a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n}a_{n} +\] + +\end_inset + +y decimos que +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es convergente con límite +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +. + Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}a=a$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +\forall\varepsilon>0,|a_{n}-a|=|a-a|=0<\varepsilon +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{1}{n}=0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, se trata de demostrar que +\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-0|=\frac{1}{n}<\varepsilon$ +\end_inset + +, pero como +\begin_inset Formula $\frac{1}{n}<\frac{1}{n_{0}}$ +\end_inset + +, entonces basta encontrar un +\begin_inset Formula $n_{0}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $1<n_{0}\varepsilon$ +\end_inset + +, que existe por la propiedad arquimediana. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}|a_{n}|=|\lim_{n}a_{n}|$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Si +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + +, fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a-a_{n}|<\varepsilon$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula +\[ +\left||a|-|a_{n}|\right|\leq|a-a_{n}|<\varepsilon +\] + +\end_inset + +por lo que +\begin_inset Formula $|a|=\lim_{n}|a_{n}|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt{a_{n}}=\sqrt{\lim_{n}a_{n}}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Si +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + +, fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a-a_{n}|<\varepsilon$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula +\[ +\left|\sqrt{a}-\sqrt{a_{n}}\right|=\frac{|a-a_{n}|}{\sqrt{a}+\sqrt{a_{n}}}\leq\frac{|a-a_{n}|}{\sqrt{a}}<\frac{\sqrt{a}\varepsilon}{\sqrt{a}}=\varepsilon +\] + +\end_inset + +Nótese que el caso +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + + debe ser tratado de forma especial. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a\leq b$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +intervalo cerrado +\series default + de extremos +\begin_inset Formula $a,b$ +\end_inset + + al conjunto +\begin_inset Formula $[a,b]:=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\}$ +\end_inset + +, +\series bold +intervalo abierto +\series default + a +\begin_inset Formula $(a,b):=\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}$ +\end_inset + + e +\series bold +intervalos semiabiertos +\series default + por la derecha e izquierda, respectivamente, a +\begin_inset Formula $[a,b):=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(a,b]:=\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\}$ +\end_inset + +. + La +\series bold +longitud +\series default + del intervalo es +\begin_inset Formula $b-a$ +\end_inset + +. + Llamamos +\series bold +bola cerrada +\series default + de centro +\begin_inset Formula $x_{0}$ +\end_inset + + y radio +\begin_inset Formula $r>0$ +\end_inset + + al conjunto +\begin_inset Formula $B[x_{0},r]:=\{x\in K:|x-x_{0}|\leq r\}$ +\end_inset + +, y +\series bold +bola abierta +\series default + a +\begin_inset Formula $B(x_{0},r):=\{x\in K:|x-x_{0}|<r\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El límite de una sucesión convergente es único. + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Supongamos por reducción al absurdo que +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + tuviera límites +\begin_inset Formula $a\neq b$ +\end_inset + +. + Entonces, dado +\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|a-b|}{4}>0$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $|a_{n}-a|<\varepsilon$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|a_{n}-b|<\varepsilon$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{2}$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2}\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $|a_{n}-a|,|a_{n}-b|<\varepsilon$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{0},$ +\end_inset + + por lo que +\begin_inset Formula +\[ +|a-b|=|a-a_{n}+a_{n}-b|\leq|a-a_{n}|+|a_{n}-b|<\varepsilon+\varepsilon=\frac{|a-b|}{2}\implies1<\frac{1}{2}\# +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Toda sucesión convergente es acotada, es decir +\begin_inset Formula $\{a_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ +\end_inset + + es un conjunto acotado. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + +. + Dado +\begin_inset Formula $\varepsilon=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<1$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $|a_{n}|=|a_{n}-a+a|\leq|a_{n}-a|+|a|<1+|a|$ +\end_inset + +. + Llamando +\begin_inset Formula $M:=\max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a|\}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},|a_{n}|\leq M$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es acotada. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$ +\end_inset + + son convergentes: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}+b_{n}=\lim_{n}a_{n}+\lim_{n}b_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sean +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b=\lim_{n}b_{n}$ +\end_inset + +. + Dado +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{2}$ +\end_inset + +. + Así, dado +\begin_inset Formula $n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}$ +\end_inset + +, para todo +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq|a-a_{n}|+|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}(a_{n}b_{n})=\lim_{n}a_{n}\cdot\lim_{n}b_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Tenemos que +\begin_inset Formula $\exists\alpha>0:\forall n\in\mathbb{N},|a_{n}|\leq\alpha$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula +\[ +|ab-a_{n}b_{n}|=|ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+|a_{n}||b-b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+\alpha|b-b_{n}| +\] + +\end_inset + +Pero entonces, fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2a}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{2}$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $n>n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2}\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +|ab-a_{n}b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+\alpha|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}|b|+\alpha\frac{\varepsilon}{2\alpha}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $b_{n}\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}\neq0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim_{n}a_{n}}{\lim_{n}b_{n}}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Enumerate +Si tomamos +\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|b|}{2}$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\alpha:=\frac{|b|}{2}<|b_{n}|$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $n>n_{1}$ +\end_inset + +. + Pero entonces +\begin_inset Formula +\[ +\left|\frac{a}{b}-\frac{a_{n}}{b_{n}}\right|=\frac{|ab_{n}-a_{n}b|}{|b||b_{n}|}=\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|}\leq\frac{|a||b_{n}-b|+|a-a_{n}||b|}{|b|\alpha} +\] + +\end_inset + +Ahora, fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $n_{2},n_{3}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}|b|\alpha$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{2}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2|b|}|b|\alpha$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n>n_{3}$ +\end_inset + +. + Ahora, si +\begin_inset Formula $n>n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2},n_{\text{3}}\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\left|\frac{a}{b}-\frac{a_{n}}{b_{n}}\right|\leq\frac{|a||b_{n}-b|+|a-a_{n}||b|}{|b|\alpha}<|a|\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}+|b|\frac{\varepsilon}{2|b|}<\varepsilon +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +Aunque aquí hemos usado la definición de límite con valores de +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + + complicados, esto es innecesario, pues si suponemos +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<M\varepsilon$ +\end_inset + + para un +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + fijo (independiente de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +), entonces podemos aplicar lo demostrado para +\begin_inset Formula $\varepsilon^{\prime}=\frac{\varepsilon}{M}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\exists n_{0}^{\prime}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0}^{\prime},|a_{n}-a|<M\varepsilon^{\prime}=\varepsilon$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a_{n}\leq b_{n}\forall n\implies\lim_{n}a_{n}\leq\lim_{n}b_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sean +\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b:=\lim_{n}b_{n}$ +\end_inset + +, y supongamos por reducción al absurdo que +\begin_inset Formula $a>b$ +\end_inset + +. + Tomando +\begin_inset Formula $\varepsilon:=\frac{a-b}{4}$ +\end_inset + +, debería existir +\begin_inset Formula $n_{0}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\varepsilon$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\varepsilon$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + +. + Por tanto, en tal caso, +\begin_inset Formula +\[ +b_{n}=b_{n}-b+b\leq|b_{n}-b|+b<\varepsilon+b<a-\varepsilon<a_{n}\# +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}<\lim_{n}b_{n}\implies\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}<b_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Tomemos un +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $a+\varepsilon<b-\varepsilon$ +\end_inset + +. + Entonces existe un +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{n}\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon)$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $a_{n}<b_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Regla del sandwich: +\series default + +\begin_inset Formula $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\land\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}=\alpha\implies\lim_{n}c_{n}=\alpha$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\in B(\alpha,\varepsilon)$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $c_{n}\in B(\alpha,\varepsilon)$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula $|\alpha-c_{n}|<\varepsilon$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Sucesiones monótonas acotadas +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es +\series bold +creciente +\series default + o +\series bold +monótona creciente +\series default + si +\begin_inset Formula $a_{n}\leq a_{n+1}\forall n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, y es +\series bold +decreciente +\series default + o +\series bold +monótona decreciente +\series default + si +\begin_inset Formula $a_{n}\geq a_{n+1}\forall n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Decimos que es +\series bold +monótona +\series default + si es creciente o decreciente. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es creciente y acotada superiormente entonces converge a +\begin_inset Formula $\sup\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + +, y si es decreciente y acotada inferiormente, converge a +\begin_inset Formula $\inf\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es creciente y acotada superiormente, existe +\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + +. + Entonces, fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\alpha-\varepsilon<a_{n_{0}}$ +\end_inset + +, y al ser creciente, +\begin_inset Formula $\alpha-\varepsilon<a_{n}$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + +. + El segundo caso es análogo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +A continuación definimos el número +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ +\end_inset + + es creciente y acotada. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ +\end_inset + + es decreciente y acotada. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $e:=\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +De la desigualdad de Bernoulli, para +\begin_inset Formula $n>1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\frac{a_{n}}{b_{n-1}}=\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}>1-n\frac{1}{n^{2}}=\frac{n-1}{n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-1} +\] + +\end_inset + +luego +\begin_inset Formula $a_{n}>b_{n-1}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-1}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=a_{n-1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es creciente. + Análogamente, +\begin_inset Formula +\[ +\frac{b_{n-1}}{a_{n}}=\left(\frac{n^{2}}{n^{2}-1}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n^{2}-1}\right)^{n}>\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}>1+n\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{n} +\] + +\end_inset + +luego +\begin_inset Formula $b_{n-1}>a_{n}(1+\frac{1}{n})=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=b_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$ +\end_inset + + es decreciente. + Además, +\begin_inset Formula $2=a_{1}<a_{n}<b_{n}<b_{1}=4$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, por lo que ambas son monótonas acotadas y por tanto convergen. + Pero como +\begin_inset Formula $b_{n}=(1+\frac{1}{n})a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}(1+\frac{1}{n})=1$ +\end_inset + +, se concluye que convergen al mismo límite, que llamamos +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $S_{n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=e$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Desarrollamos según el binomio de Newton: +\begin_inset Formula +\[ +a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\binom{n}{0}+\frac{1}{n}\binom{n}{1}+\frac{1}{n^{2}}\binom{n}{2}+\dots+\frac{1}{n^{n-1}}\binom{n}{n-1}+\frac{1}{n^{n}}\binom{n}{n} +\] + +\end_inset + +Ahora, para +\begin_inset Formula $1\leq k\leq n$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula +\[ +\frac{1}{n^{k}}\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) +\] + +\end_inset + +Entonces +\begin_inset Formula +\[ +a_{n}=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\leq +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=S_{n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}<3 +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + + es creciente y acotada superiormente, luego converge. + Además, para cada +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + fijo, si +\begin_inset Formula $n>m$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +a_{n}=1+\dots+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)> +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +>1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right) +\] + +\end_inset + +Tomando límites en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, se obtiene que +\begin_inset Formula $e=\lim_{n}a_{n}\geq S_{m}$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $a_{n}\leq S_{n}\leq e$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=e$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + + es irracional. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Observamos que +\begin_inset Formula +\[ +e-S_{n}=\lim_{p}\sum_{k=n+1}^{p}\frac{1}{k!} +\] + +\end_inset + +Ahora bien, +\begin_inset Formula +\[ +\sum_{k=n+1}^{p}\frac{1}{k!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)\cdots(n+k)}<\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)^{k}} +\] + +\end_inset + +Y usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica, +\begin_inset Formula +\[ +e-S_{n}=\lim_{q\rightarrow\infty}\sum_{k=n+1}^{n+q}\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{n!}\lim_{q}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)^{k}}=\frac{1}{n!}\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n!}\frac{1}{n} +\] + +\end_inset + +Si fuese +\begin_inset Formula $e=\frac{p}{q}$ +\end_inset + +, tomando +\begin_inset Formula $n=q$ +\end_inset + + se tendría que +\begin_inset Formula +\[ +0<\frac{p}{q}-S_{q}<\frac{1}{q!q}\implies0<q!\frac{p}{q}-q!S_{q}<\frac{1}{q} +\] + +\end_inset + +Pero como entonces +\begin_inset Formula $q!\frac{p}{q},q!S_{q}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, se tendría que +\begin_inset Formula $\exists n\in\mathbb{N}:n<1$ +\end_inset + +. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Teorema de Bolzano-Weierstrass +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +principio de encaje de Cantor +\series default + dice que si +\begin_inset Formula $(I_{n})_{n}$ +\end_inset + + es una sucesión de intervalos cerrados de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ +\end_inset + + y el límite de la longitud de +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + + es 0, entonces +\begin_inset Formula $\exists!a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $I_{n}:=[a_{n},b_{n}]$ +\end_inset + +. + Entonces para cualquier +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b_{k}$ +\end_inset + + es cota superior de +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + +, pues para todo +\begin_inset Formula $n\geq k$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{1}\leq\dots\leq a_{n}\leq b_{n}\leq b_{k}$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + converge. + Si +\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a\leq b_{k}$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $a_{k}\leq a\leq b_{k}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}\neq\emptyset$ +\end_inset + +. + Por otra parte, si suponemos que +\begin_inset Formula $\exists\alpha<\beta:\alpha,\beta\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $[\alpha,\beta]\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$ +\end_inset + +. + Pero entonces la longitud de todos los +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + + sería mayor o igual a +\begin_inset Formula $\beta-\alpha>0\#$ +\end_inset + +, de donde se desprende la unicidad. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dadas las sucesiones +\begin_inset Formula $\phi:\mathbb{N}\rightarrow K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tau:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ +\end_inset + + estrictamente creciente, la sucesión +\begin_inset Formula $\phi\circ\tau:\mathbb{N}\rightarrow K$ +\end_inset + + es una +\series bold +subsucesión +\series default + de +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}:=(\phi(n))_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}:=(\phi\circ\tau(k))_{k\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es convergente, cualquier subsucesión suya converge al mismo límite. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}(a_{n})_{n}$ +\end_inset + +. + Entonces, fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists p\in\mathbb{N}:\forall n>p,|a_{n}-a|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Entonces, si +\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + es una subsucesión de +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + +, necesariamente +\begin_inset Formula $k\leq n_{k}$ +\end_inset + + para cualquier +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +, por lo que si +\begin_inset Formula $k>p$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $|a_{n_{k}}-a|<\varepsilon$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{k}a_{n_{k}}=a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +teorema de Bolzano-Weierstrass +\series default + afirma que cualquier sucesión acotada en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + posee una subsucesión convergente. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + acotada y +\begin_inset Formula $c_{0},d_{0}\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $c_{0}\leq a_{n}\leq d_{0}\forall n$ +\end_inset + +. + Sea entonces +\begin_inset Formula $I_{0}:=[c_{0},d_{0}]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m_{0}:=\frac{c_{0}+d_{0}}{2}$ +\end_inset + +. + Entonces uno de los conjuntos +\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}:a_{n}\in[c_{0},m_{0}]\}$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}:a_{n}\in[m_{0},d_{0}]\}$ +\end_inset + + es infinito. + Llamamos a este +\begin_inset Formula $I_{1}:=[c_{1},d_{1}]$ +\end_inset + + y tomamos +\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $a_{n_{1}}\in I_{1}$ +\end_inset + +. + Entonces dividimos +\begin_inset Formula $I_{1}$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $m_{1}:=\frac{c_{1}+d_{1}}{2}$ +\end_inset + + y obtenemos, del mismo modo que antes, +\begin_inset Formula $I_{2}=[c_{2},d_{2}]$ +\end_inset + +. + Como es infinito podemos elegir +\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $a_{n_{2}}\in I_{2}$ +\end_inset + +. + Por inducción obtenemos una serie de intervalos +\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ +\end_inset + + y una subsucesión +\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $I_{k+1}\subsetneq I_{k}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $L(I_{k})=\frac{1}{2^{k-1}}L(I_{0})=0$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $a_{n_{k}}\in I_{k}$ +\end_inset + +. + Por el principio de encaje de Cantor, se tiene que +\begin_inset Formula $\exists!z\in\bigcap_{k}I_{k}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $z=\lim_{k}a_{n_{k}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí obtenemos que si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es una sucesión acotada y todas sus subsucesiones convergen a +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + no fuera el límite de la sucesión, existiría +\begin_inset Formula $\varepsilon_{0}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\left|B(a,\varepsilon_{0})^{\complement}\cap\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\right|=\infty$ +\end_inset + +. + Por tanto existiría una subsucesión +\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $B(a,\varepsilon_{0})^{\complement}$ +\end_inset + +. + Como esta es acotada, entonces por el teorema de Bolzano-Weierstrass, poseería + una subsucesión +\begin_inset Formula $(b_{n_{k}})_{k}$ +\end_inset + +—que también lo sería de +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + +—convergente a +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +. + Pero entonces +\begin_inset Formula $|b_{n}-a|\geq\varepsilon_{0}$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + contradiciendo la hipótesis de que cualquier subsucesión que converja tenga + límite +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Sucesiones de Cauchy: completitud +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una sucesión +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es +\series bold +de Cauchy +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n,m\in\mathbb{N}(n,m\geq n_{0}\implies|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de completitud de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +: +\series default + +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + es convergente si y sólo si es de Cauchy. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<\frac{\varepsilon}{2}$ +\end_inset + +. + Por tanto, si +\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $|a_{m}-a_{n}|=|a_{m}-a+a-a_{n}|\leq|a_{m}-a|+|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Primero probamos que una sucesión de Cauchy es acotada: Dado +\begin_inset Formula $\varepsilon=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a_{n_{0}}|<\varepsilon=1$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula +\[ +|a_{n}|=|a_{n}-a_{n_{0}}+a_{n_{0}}|\leq|a_{n}-a_{n_{0}}|+|a_{n_{0}}|<1+|a_{n_{0}}| +\] + +\end_inset + +y si llamamos +\begin_inset Formula $M:=\max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a_{n_{0}}|\}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a_{1}\leq|a_{n}|\leq M\forall n$ +\end_inset + +. + Ahora, aplicando el teorema de Bolzano-Weierstrass, sabemos que existe + una subsucesión +\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k}$ +\end_inset + + convergente, digamos, a +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es de Cauchy, fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $|a_{n}-a_{m}|<\frac{\varepsilon}{2}$ +\end_inset + +. + Por otra parte, como +\begin_inset Formula $\lim_{k}a_{n_{k}}=b$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $k>k_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $|a_{n_{k}}-b|<\frac{\varepsilon}{2}$ +\end_inset + +. + Ahora, si +\begin_inset Formula $p>\max\{n_{0},k_{0}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n>p$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +|a_{n}-b|=|a_{n}-a_{n_{p}}+a_{n_{p}}-b|\leq|a_{n}-a_{n_{p}}|+|a_{n_{p}}-b|\overset{(n_{p}>p)}{<}\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Funciones elementales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, definimos +\begin_inset Formula $a^{n}:=a\cdots a$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + veces). + Esta definición puede extenderse a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + definiendo +\begin_inset Formula $a^{0}:=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a^{n}=\frac{1}{a^{-n}}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{-}$ +\end_inset + +. + Con exponentes racionales, se define +\begin_inset Formula $a^{\frac{m}{n}}:=\sqrt[n]{a^{m}}$ +\end_inset + +, y podemos probar fácilmente que si +\begin_inset Formula $\frac{p}{q}=\frac{m}{n}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}}$ +\end_inset + +, para lo cual necesitamos las propiedades de la exponencial: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a^{r+s}=a^{r}a^{s}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(a^{r})^{s}=a^{rs}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $r<s\implies(a>1\implies a^{r}<a^{s})\land(0<a<1\implies a^{r}>a^{s})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $0<a<b\implies(r>0\implies a^{r}<b^{r})\land(r<0\implies a^{r}>b^{r})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos demostrar estas propiedades de forma sencilla demostrándolas primero + para exponentes naturales y luego generalizando en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +. + Para exponentes reales, definimos +\begin_inset Formula +\[ +a^{x}=\lim_{n}a^{r_{n}} +\] + +\end_inset + +donde +\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$ +\end_inset + + es una sucesión de racionales que converge a +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +. + Este límite existe y es independiente de la sucesión +\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$ +\end_inset + + escogida. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Primero demostraremos que +\begin_inset Formula $\forall a>0,\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall r\in\mathbb{Q},0<r<\frac{1}{n_{0}},|a^{r}-1|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{\frac{1}{n}}=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a^{\frac{1}{n}}-1|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Entonces, si +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $0<a^{r}-1<a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $0<a<1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{r}>a^{\frac{1}{n_{0}}}$ +\end_inset + + luego +\begin_inset Formula $0<1-a^{r}<1-a^{\frac{1}{n_{0}}}<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Pasemos a demostrar la existencia de +\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{r_{n}}$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $x>0$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$ +\end_inset + + es convergente entonces es acotada, por lo que +\begin_inset Formula $\exists K\in\mathbb{Q}:0\leq r_{n}\leq K$ +\end_inset + + a partir de cierto elemento, y entonces +\begin_inset Formula $a^{r_{n}}\leq a^{K}:=M$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $a^{r_{n}}<a^{0}=1:=M$ +\end_inset + +. + Así, si +\begin_inset Formula $r_{m}\geq r_{n}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|=a^{r_{n}}(a^{r_{m}-r_{n}}-1)\leq M(a^{r_{m}-r_{n}}-1)$ +\end_inset + +, y en general, +\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|\leq M(a^{|r_{m}-r_{n}|}-1)$ +\end_inset + +, y aplicando lo anteriormente demostrado sobre el lado derecho, se tiene + que +\begin_inset Formula $(a^{r_{n}})_{n}$ +\end_inset + + es de Cauchy. + El caso para +\begin_inset Formula $x<0$ +\end_inset + + es análogo. + Así, fijado +\begin_inset Formula $\frac{1}{m_{1}}>0$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n,m\geq k_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|r_{n}-r_{m}|<\frac{1}{m_{1}}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|\leq M(a^{|r_{m}-r_{n}|}-1)\leq M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$ +\end_inset + +. + Sea ahora +\begin_inset Formula $y:=\lim_{n}a^{r_{n}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$ +\end_inset + + otra sucesión de racionales con +\begin_inset Formula $x=\lim_{n}p_{n}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{p_{n}}|\leq M(a^{|p_{n}-r_{n}|}-1)$ +\end_inset + +, y fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $|p_{n}-r_{n}|\leq|p_{n}-x|+|x-r_{n}|<\frac{1}{2m_{1}}+\frac{1}{2m_{1}}=\frac{1}{m_{1}}$ +\end_inset + +, y finalmente +\begin_inset Formula $|a^{p_{n}}-y|\leq|a^{p_{n}}-a^{r_{n}}|+|a^{r_{n}}-y|\leq\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +A continuación vemos las propiedades de la exponencial para exponentes reales: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Como +\begin_inset Formula $\lim_{n}(q_{n}+r_{n})=\lim_{n}q_{n}+\lim_{n}r_{n}=x+y$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +a^{x+y}=\lim_{n}a^{q_{n}+r_{n}}=\lim_{n}(a^{q_{n}}a^{r_{n}})=\lim_{n}a^{q_{n}}+\lim_{n}a^{r_{n}}=a^{x}+a^{y} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +(ab)^{x}=\lim_{n}(ab)^{q_{n}}=\lim_{n}a^{q_{n}}b^{q_{n}}=\lim_{n}a^{q_{n}}\lim_{n}b^{q_{n}}=a^{x}b^{x} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(a^{x})^{y}=a^{xy}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Primero probamos que si +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{q}=a^{q}$ +\end_inset + +, es decir, que +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{q}=(\lim_{n}a_{n})^{q}$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $q=\frac{r}{k}>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a>0$ +\end_inset + +. + Comenzamos probando que +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{\frac{1}{k}}=a^{\frac{1}{k}}$ +\end_inset + +, para lo que usaremos la ecuación ciclotómica: +\begin_inset Formula +\[ +|a_{n}^{\frac{1}{k}}-a^{\frac{1}{k}}|=\frac{|a_{n}-a|}{a_{n}^{\frac{k-1}{k}}+a_{n}^{\frac{k-2}{k}}a+\dots+a_{n}a^{\frac{k-2}{k}}+a^{\frac{k-1}{k}}}\leq\frac{|a_{n}-a|}{a^{\frac{k-1}{k}}}\leq\frac{a^{\frac{k-1}{k}}\varepsilon}{a^{\frac{k-1}{k}}}=\varepsilon +\] + +\end_inset + +De aquí deducimos que +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{n}a_{n}^{q}=\lim_{n}a_{n}^{\frac{r}{k}}=\lim_{n}(a^{\frac{1}{k}})^{r}=\left(\lim_{n}a_{n}^{\frac{1}{k}}\right)^{r}=(a^{\frac{1}{k}})^{r}=a^{\frac{r}{k}}=a^{q} +\] + +\end_inset + +El caso en que +\begin_inset Formula $a<0$ +\end_inset + + es análogo. + Ahora, si +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{1}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{1},a_{n}<\varepsilon^{\frac{1}{q}}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $|a_{n}^{q}-0|=a_{n}^{q}<(\varepsilon^{\frac{1}{q}})^{q}=\varepsilon$ +\end_inset + +. + Pasemos a demostrar que +\begin_inset Formula $(a^{x})^{y}=a^{xy}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + + y tomamos +\begin_inset Formula $\lim_{n}r_{n}=x$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}q_{n}=y$ +\end_inset + + sucesiones crecientes de racionales, usando las propiedades de monotonía + y límites, +\begin_inset Formula +\[ +(a^{x})^{y}=\sup\{(a^{x})^{q_{m}}\}_{m\in\mathbb{N}}=\sup\{\sup\{(a^{r_{n}})^{q_{m}}\}_{n\in\mathbb{N}}\}_{m\in\mathbb{N}}= +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\[ +=\sup\{\sup\{a^{r_{n}q_{m}}\}_{n\in\mathbb{N}}\}_{m\in\mathbb{N}}=\sup\{a^{xq_{m}}\}_{m\in\mathbb{N}}=a^{xy} +\] + +\end_inset + +El caso +\begin_inset Formula $a<1$ +\end_inset + + se reduce a este tomando inversos, y el caso +\begin_inset Formula $a=1$ +\end_inset + + es trivial. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $x<y\implies(a>1\implies a^{x}<a^{y})\land(0<a<1\implies a^{x}>a^{y})$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Para +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{y-x}{3}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s,t\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $x+\varepsilon<s<t<y-\varepsilon$ +\end_inset + +. + Existe entonces +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $q_{n}<s$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t<r_{n}$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $a^{q_{n}}<a^{s}<a^{t}<a^{r_{n}}$ +\end_inset + +, y tomando límites, +\begin_inset Formula $a^{x}\leq a^{s}<a^{t}\leq a^{y}$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $0<a<1$ +\end_inset + +, la demostración es análoga. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $0<a<b\implies(x>0\implies a^{x}<b^{x})\land(x<0\implies a^{x}>b^{x})$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Para +\begin_inset Formula $x>0$ +\end_inset + +, se trata de demostrar que +\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{x}=\frac{b^{x}}{a^{x}}>1$ +\end_inset + + dado +\begin_inset Formula $\frac{b}{a}>1$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$ +\end_inset + + una sucesión creciente con límite +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $p_{n}>0$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{n}}\geq\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{1}}>\left(\frac{b}{a}\right)^{0}=1$ +\end_inset + +, y tomando límites, +\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{x}\geq\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{1}}>1$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $x<0$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $a^{y}>0\forall y\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{-x}<b^{-x}\implies\frac{1}{a^{x}}<\frac{1}{b^{x}}\implies b^{x}<a^{x}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{x_{n}}=a^{\lim_{n}x_{n}}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sea +\begin_inset Formula $x:=\lim_{n}x_{n}$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $|a^{x}-a^{x_{n}}|=|a^{x}||1-a^{x_{n}-x}|$ +\end_inset + +, basta probar que para +\begin_inset Formula $(y_{m})_{m}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\lim_{m}y_{m}=0$ +\end_inset + +, se cumple que +\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{y_{m}}=a^{0}=1$ +\end_inset + +. + Ahora, dado +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $y_{m}>0\forall m$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $m_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $m>m_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $0<y_{m}<\frac{1}{n_{0}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a^{y_{m}}-1<a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $y_{m}<0\forall m$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $m_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $m>m_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $0<|y_{m}|<\frac{1}{n_{0}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $1-a^{y_{m}}=1-\frac{1}{a^{-y_{m}}}=\frac{a^{-y_{m}}-1}{a^{-y_{m}}}<\frac{\varepsilon}{1}=\varepsilon$ +\end_inset + + por ser +\begin_inset Formula $a^{-y_{m}}>1$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $y_{m}$ +\end_inset + + puede cambiar de signo, combinamos ambas pruebas y obtenemos que +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists m_{0}\in\mathbb{N}:\forall m>m_{0},|a^{y_{m}}-1|<\varepsilon$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a^{x}$ +\end_inset + + no está acotada superiormente para +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $a>1\implies\forall k\in\mathbb{R},\exists t\in\mathbb{R}:(x>t\implies a^{x}>k)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Supongamos por reducción al absurdo que +\begin_inset Formula $\exists K\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R},a^{x}\leq K$ +\end_inset + +. + En particular, existe +\begin_inset Formula $K\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + tal que para todo +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + se tiene +\begin_inset Formula $a^{n}\leq K$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $a\leq K^{\frac{1}{n}}$ +\end_inset + +. + Por otro lado, como +\begin_inset Formula $\lim_{n}K^{\frac{1}{n}}=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $K^{\frac{1}{n}}<a$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $a^{n_{0}}>K\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\inf\{a^{x}\}_{x\in\mathbb{R}}=0$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $a<1$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $a<1\implies\forall\varepsilon>0,\exists t\in\mathbb{R}:(x>t\implies a^{x}<\varepsilon)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Tomamos +\begin_inset Formula $b:=\frac{1}{a}>1$ +\end_inset + + y aplicamos el apartado anterior. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $0<a\neq1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x>0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\exists!y\in\mathbb{R}:a^{y}=x$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Supongamos +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + + y sea +\begin_inset Formula $A:=\{z\in\mathbb{R}:a^{z}\leq x\}$ +\end_inset + +, que sabemos acotado superiormente. + Sea entonces +\begin_inset Formula $y:=\sup A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + una sucesión de elementos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + que converge a +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $a^{x_{n}}\leq x$ +\end_inset + +. + Si fuera +\begin_inset Formula $a^{y}<x$ +\end_inset + +, dado que +\begin_inset Formula $\frac{x}{a^{y}}>1$ +\end_inset + +, existe un +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a^{\frac{1}{n}}<\frac{x}{a^{y}}$ +\end_inset + +, y si tomamos +\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{1}{n}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $a^{\varepsilon}<\frac{x}{a^{y}}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $a^{y+\varepsilon}<x$ +\end_inset + +. + Pero esto contradice la definición de +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + como supremo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Ahora supongamos +\begin_inset Formula $0<a<1$ +\end_inset + + y sea +\begin_inset Formula $a^{\prime}:=\frac{1}{a}>1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x^{\prime}:=\frac{1}{x}$ +\end_inset + +. + Aplicando lo anterior, existe un único +\begin_inset Formula $y\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $(a^{\prime})^{y}=x^{\prime}$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $\left(\frac{1}{a}\right)^{y}=\frac{1}{a^{y}}=\frac{1}{x}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a^{y}=x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +logaritmo +\series default + en +\series bold +base +\series default + +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $\log_{a}x$ +\end_inset + +) al único +\begin_inset Formula $y\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $a^{y}=x$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a=e$ +\end_inset + +, lo llamamos +\series bold +logaritmo neperiano +\series default +, escrito +\begin_inset Formula $\log x$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\ln x$ +\end_inset + +. + Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\log_{a}a^{x}=x$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sea +\begin_inset Formula $z=\log_{a}a^{x}$ +\end_inset + +, este es el único real con +\begin_inset Formula $a^{z}=a^{x}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $z=x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a^{\log_{a}x}=x$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sea +\begin_inset Formula $z=\log_{a}x$ +\end_inset + +, este es el único real con +\begin_inset Formula $a^{z}=x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sean +\begin_inset Formula $\alpha=\log_{a}x$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta=\log_{a}y$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a^{\alpha+\beta}=a^{\alpha}a^{\beta}=xy$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\log_{a}xy=\alpha+\beta=\log_{a}x+\log_{a}y$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $a^{\alpha-\beta}=\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=\frac{x}{y}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\log_{a}\frac{x}{y}=\alpha-\beta=\log_{a}x-\log_{a}y$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\log_{a}x^{y}=y\log_{a}x$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula +\[ +a^{y\log_{a}x}=(a^{\log_{a}x})^{y}=x^{y}\implies\log_{a}x^{y}=y\log_{a}x +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a>1\land0<x<y\implies\log_{a}x<\log_{a}y$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Si fuera +\begin_inset Formula $\alpha\geq\beta$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + +, se tendría que +\begin_inset Formula $x=a^{\alpha}\geq a^{\beta}=y\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $0<a<1\land0<x<y\implies\log_{a}x>\log_{a}y$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Si fuera +\begin_inset Formula $\beta\geq\alpha$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $0<a<1$ +\end_inset + +, se tendría que +\begin_inset Formula $y=a^{\beta}\leq a^{\alpha}=x\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}>0\land\forall n,x_{n}>0\implies\lim_{n}\log_{a}x_{n}=\log_{a}\lim_{n}x_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sea +\begin_inset Formula $x:=\lim_{n}x_{n}>0$ +\end_inset + + y queremos demostrar que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}x_{n}=\log_{a}x$ +\end_inset + +, lo que equivale a que +\begin_inset Formula $\lim_{n}(\log_{a}x_{n}-\log_{a}x)=0$ +\end_inset + + y por tanto a que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}\frac{x_{n}}{x}=0$ +\end_inset + +. + Para esto basta probar que si +\begin_inset Formula $(c_{n})_{n}$ +\end_inset + + es una sucesión con +\begin_inset Formula $c_{n}>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n}=1$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}c_{n}=0$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $\beta_{n}:=\log_{a}c_{n}$ +\end_inset + + y supongamos que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\beta_{n}\neq0$ +\end_inset + +. + Debe existir por tanto un +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + + tal que para todo +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + exista un +\begin_inset Formula $m>n$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $|\beta_{m}|>\varepsilon$ +\end_inset + +. + Así, para +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + + existe +\begin_inset Formula $n_{1}>1$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $|\beta_{n_{1}}|>\varepsilon$ +\end_inset + +, y podemos encontrar +\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $|\beta_{n_{2}}|>\varepsilon$ +\end_inset + +. + Definimos por recurrencia una subsucesión +\begin_inset Formula $(\beta_{n_{k}})_{k}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $|\beta_{n_{k}}|>\varepsilon$ +\end_inset + +. + Podemos suponer que todos son positivos o negativos. + Pero entonces, para el primer caso, +\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}>a^{\varepsilon}:=M>a^{0}=1$ +\end_inset + +. + En el segundo caso, +\begin_inset Formula $\beta_{n_{k}}<-\varepsilon$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}<a^{-\varepsilon}:=M<a^{0}=1$ +\end_inset + +. + Para ambos casos se tiene que +\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n_{k}}\neq1\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin x_{n}=\sin\lim_{n}x_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}\cos x_{n}=\cos\lim_{n}x_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$ +\end_inset + +, y se tiene que +\begin_inset Formula $\sin x\leq x\leq\tan x$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula +\[ +|\sin x-\sin c|=2\left|\sin\frac{x-c}{2}\cos\frac{x+c}{2}\right|\leq2\left|\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq2\frac{|x-c|}{2}=|x-c| +\] + +\end_inset + +Por tanto, fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|x_{n}-c|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Entonces, para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|\sin x_{n}-\sin c|\leq|x-c|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Para el coseno, +\begin_inset Formula +\[ +|\cos x-\cos c|=\left|-2\sin\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq2\left|\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq|x-c| +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Límites infinitos +\end_layout + +\begin_layout Standard +La sucesión +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + de números reales tiene límite +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +más infinito +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=+\infty$ +\end_inset + +) si +\begin_inset Formula $\forall M>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}>M$ +\end_inset + +, y tiene límite +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +menos infinito +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=-\infty$ +\end_inset + +) si +\begin_inset Formula $\forall M<0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}<M$ +\end_inset + +. + Podemos generalizar el álgebra de límites con: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{ccc} +a+(-\infty)=-\infty & a-(+\infty)=-\infty & a-(-\infty)=+\infty\\ +\frac{a}{\pm\infty}=0 & a>0\implies a(+\infty)=+\infty & a>0\implies a(-\infty)=-\infty\\ +a<0\implies a(+\infty)=-\infty & a<0\implies a(-\infty)=+\infty & (+\infty)+(+\infty)=+\infty\\ +(-\infty)+(-\infty)=-\infty & (+\infty)(+\infty)=+\infty & (-\infty)(-\infty)=+\infty\\ +(+\infty)(-\infty)=-\infty & (+\infty)^{+\infty}=+\infty & (+\infty)^{-\infty}=0 +\end{array} +\] + +\end_inset + +Además, si +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{n}>0\forall n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=+\infty$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{b_{n}}=0$ +\end_inset + +. + Sin embargo, nada puede decirse en general de: +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{llll} +(+\infty)+(-\infty) & (\pm\infty)\cdot0 & \frac{\pm\infty}{\pm\infty} & \frac{0}{0}\\ +\frac{a}{0} & 1^{\pm\infty} & (\pm\infty)^{0} & 0^{0} +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos a estas situaciones +\series bold +indeterminaciones +\series default +\SpecialChar endofsentence + +\end_layout + +\begin_layout Section +Algunas sucesiones notables. + Jerarquía de sucesiones divergentes +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=\pm\infty$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=e$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1-\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=e^{-1}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Para +\begin_inset Formula $x_{n}=n$ +\end_inset + + es cierto. + Como +\begin_inset Formula $[x_{n}]\leq x_{n}<[x_{n}]+1$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\frac{1}{1+[x_{n}]}<\frac{1}{x_{n}}\leq\frac{1}{[x_{n}]}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\left(1+\frac{1}{[x_{n}]+1}\right)^{[x_{n}]}\leq\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{[x_{n}]}\leq\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}\leq\left(1+\frac{1}{[x_{n}]}\right)^{x_{n}}\leq\left(1+\frac{1}{[x_{n}]}\right)^{[x_{n}]+1}$ +\end_inset + +. + Sabemos además que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=e$ +\end_inset + +. + Fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}-e\right|<\varepsilon$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}<e+\varepsilon$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-e\right|<\varepsilon$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<e+\varepsilon$ +\end_inset + +. + Ahora, como +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=+\infty$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n>n_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $n_{0}<[x_{n}]\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, luego lo anterior se cumple, por lo que +\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}-e\right|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + La segunda parte se obtiene de que +\begin_inset Formula $\left(1-\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=\left(\frac{x_{n}}{x_{n}-1}\right)^{-x_{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x_{n}-1}\right)^{x_{n}}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si existe +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{z_{n+1}}{z_{n}}=w\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $|w|<1$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Se tendría que existe +\begin_inset Formula $0<a<1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\left|\frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right|<a<1$ +\end_inset + +. + En particular, +\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+1}|<|z_{n_{0}}|a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+2}|<|z_{n_{0}+1}|a<|z_{n_{0}}|a^{2}$ +\end_inset + +, y en general, +\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+k}|<|z_{n_{0}}|a^{k}$ +\end_inset + +. + Pero +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\lim_{n}|z_{n}|=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{k}n^{k}+\dots+a_{0}}{b_{r}n^{r}+\dots+b_{0}}=\begin{cases} +\frac{a_{k}}{b_{r}} & \text{si }k=r\\ +0 & \text{si }k<r\\ +\pm\infty & \text{si }k>r\text{, dependiendo del signo de \ensuremath{\frac{a_{k}}{b_{r}}}.} +\end{cases}$ +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Para demostrarlo, en cada caso, dividimos numerador y denominador por +\begin_inset Formula $\min\{k,r\}$ +\end_inset + + y aplicamos propiedades de los límites para +\begin_inset Formula $k=r$ +\end_inset + + (pues ambos existen y son no nulos) y de los límites infinitos para +\begin_inset Formula $k\neq r$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=\infty$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=\infty$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + es un infinito +\series bold +de orden superior +\series default + a +\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$ +\end_inset + + y escribimos +\begin_inset Formula $b_{n}\ll a_{n}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty$ +\end_inset + +. + Si existen +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0<\alpha\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\beta$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + +, se dice que ambas tienen el +\series bold +mismo orden de infinitud +\series default +. + Y si además +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ +\end_inset + +, se dice que son +\series bold +equivalentes +\series default +. + Así, si +\begin_inset Formula $b>0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c>1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $d>0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\log n\ll n^{b}\ll c^{n}\ll n^{dn} +\] + +\end_inset + +Si además +\begin_inset Formula $d\geq1$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $c^{n}\ll n!\ll n^{dn}$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Todas, salvo la primera, son consecuencia del apartado (2) anterior. + Así, para demostrar +\begin_inset Formula $n^{b}\ll c^{n}$ +\end_inset + +, tomamos +\begin_inset Formula $z_{n}:=\frac{n^{b}}{c^{n}}$ +\end_inset + + y entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{z_{n+1}}{z_{n}}=\lim_{n}\frac{(n+1)^{b}c^{n}}{n^{b}c^{n+1}}=\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{b}\frac{1}{c}=\frac{1}{c}<1$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$ +\end_inset + +. + Para demostrar que +\begin_inset Formula $\log n\ll n^{b}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $b>0$ +\end_inset + +, tomamos +\begin_inset Formula $b=1$ +\end_inset + + y tenemos en cuenta que +\begin_inset Formula $\log n=M\log_{10}n$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $10^{k-1}\leq n<10^{k}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $0\leq\frac{log_{10}n}{n}\leq\frac{k}{10^{k-1}}=10\frac{k}{10^{k}}$ +\end_inset + +. + Aplicando el apartado (2) anterior y la regla del sándwich se obtiene el + resultado. + Para +\begin_inset Formula $b>1$ +\end_inset + + el resultado es consecuencia de esto y de que +\begin_inset Formula $n<n^{b}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $b<1$ +\end_inset + +, tomamos +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\frac{1}{m}<b$ +\end_inset + +. + Para cada +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + existe +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $(k-1)^{m}\leq n<k^{m}$ +\end_inset + +, y además +\begin_inset Formula $\lim_{n}k=+\infty$ +\end_inset + +. + Ahora, puesto que +\begin_inset Formula $0<\frac{\log_{10}n}{n^{b}}\leq\frac{\log_{10}n}{\sqrt[m]{n}}\leq\frac{m\log_{10}k}{k-1}$ +\end_inset + + y hemos probado que +\begin_inset Formula $\lim_{k}\frac{\log_{10}k}{k}=0$ +\end_inset + +, se obtiene que, también en este caso, +\begin_inset Formula $\lim_{n}\log\frac{n}{n^{b}}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Equivalencias +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0<|x_{n}|<1$ +\end_inset + +, entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\log(1+x_{n})\sim x_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Supongamos +\begin_inset Formula $0<x_{n}<1\forall n$ +\end_inset + +. + Entonces, si +\begin_inset Formula $y_{n}:=\frac{1}{x_{n}}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n})}{x_{n}}=\lim_{n}\log(1+x_{n})^{\frac{1}{x_{n}}}=\lim_{n}\log\left(1+\frac{1}{y_{n}}\right)^{y_{n}}=\log\lim_{n}\left(1+\frac{1}{y_{n}}\right)^{y_{n}}=\log e=1$ +\end_inset + +. + Cuando +\begin_inset Formula $0>x_{n}>-1$ +\end_inset + +, la prueba es idéntica, pues +\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=-\infty$ +\end_inset + +. + Para el caso general, los términos de +\begin_inset Formula $x_{n}$ +\end_inset + + se dividen en dos subsucesiones distintas: +\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime})_{n}$ +\end_inset + + de términos positivos y +\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime\prime})_{n}$ +\end_inset + + de negativos. + Entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n}^{\prime})}{x_{n}^{\prime}}=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n}^{\prime\prime})}{x_{n}^{\prime\prime}}=1$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n})}{x_{n}}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $e^{x_{n}}-1\sim x_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sea +\begin_inset Formula $y_{n}:=e^{x_{n}}-1$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $y_{n}+1=e^{x_{n}}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $x_{n}=\log(1+y_{n})$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=0$ +\end_inset + +, por el apartado anterior, +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}=\lim_{n}\frac{y_{n}}{\log(1+y_{n})}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=1$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x_{n}\neq1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=\pm\infty$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{n}x_{n}^{y_{n}}=e^{\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)} +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $(x_{n})^{y_{n}}=e^{y_{n}\log x_{n}}=e^{y_{n}\log(1+(x_{n}-1))}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n})^{y_{n}}=e^{\lim_{n}y_{n}\log(1+(x_{n}-1))}$ +\end_inset + +. + Así, como +\begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n}-1)=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}\log(1+(x_{n}-1))=\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)\frac{\log(1+(x_{n}-1))}{x_{n-1}}=\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{n}\neq0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\sin x_{n}\sim x_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\sin x\leq x\leq\tan x$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $1\leq\frac{x}{\sin x}\leq\frac{1}{\cos x}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $x_{n}>0\forall n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $1\leq\frac{x_{n}}{\sin x_{n}}\leq\frac{1}{\cos x_{n}}$ +\end_inset + +. + Dado que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\cos x_{n}=\cos0=1$ +\end_inset + +, por la regla del sandwich, +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{x_{n}}{\sin x_{n}}=1$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $x\in(-\frac{\pi}{2},0)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\tan x\leq x\leq\sin x$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\frac{1}{\cos x}\geq\frac{x}{\sin x}\geq1$ +\end_inset + + por ser +\begin_inset Formula $\sin x>0$ +\end_inset + + y llegamos a la misma conclusión. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterios de Stolz: +\series default + Si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$ +\end_inset + + son sucesiones de reales tales que +\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$ +\end_inset + + es estrictamente creciente o decreciente y bien +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}=0$ +\end_inset + +, bien +\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=\infty$ +\end_inset + +, si existe +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=L\in\overline{\mathbb{R}}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $L:=\lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}$ +\end_inset + +. + Primero vemos que +\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n}=L\in\overline{\mathbb{R}}$ +\end_inset + + puede caracterizarse como que dados +\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha<c_{n}<\beta$ +\end_inset + +, donde si +\begin_inset Formula $L=+\infty$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + está ausente y si +\begin_inset Formula $L=-\infty$ +\end_inset + + lo está +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +. + Por otro lado, si +\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a}{b},\frac{c}{d}<\beta$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a+c}{b+d}<\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + + se tiene que +\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}<\beta$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+m}-a_{n+m-1}}{b_{n+m}-b_{n+m-1}}<\beta$ +\end_inset + +, luego sumando, +\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+m}-a_{n}}{b_{n+m}-b_{n}}<\beta$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $\lim_{m}a_{n+m}=\lim_{m}b_{n+m}=0$ +\end_inset + +, entonces para todo +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\beta$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados +\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$ +\end_inset + +, tomamos +\begin_inset Formula $\alpha<\alpha^{\prime}<L<\beta^{\prime}<\beta$ +\end_inset + +. + Procediendo como antes con +\begin_inset Formula $n=n_{0}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\alpha^{\prime}<\frac{\frac{a_{n_{0}+m}}{b_{n_{0}+m}}-\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}}{1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}}<\beta^{\prime}$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\alpha^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}<\frac{a_{n_{0}+m}}{b_{n_{0}+m}}<\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\beta^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}$ +\end_inset + +, pero existe +\begin_inset Formula $m_{0}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $m\geq m_{0}$ +\end_inset + + se tiene que +\begin_inset Formula $\alpha<\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\alpha^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\beta^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}<\beta$ +\end_inset + + lo que, finalmente, establece que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como consecuencia: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + converge, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{n}\frac{a_{1}+\dots+a_{n}}{n}=\lim_{n}a_{n} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + converge y +\begin_inset Formula $a_{n}>0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{n}\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}=\lim_{n}a_{n} +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sea +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}(a_{n})_{n}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a\neq0$ +\end_inset + +, tomando logaritmos, +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{n}\log(\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}})=\lim_{n}\frac{\log a_{1}+\dots+\log a_{n}}{n}=\lim_{n}\log a_{n}=\log a +\] + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $0<\varepsilon<1$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{n}<\varepsilon$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula +\[ +\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n_{0}}a_{n_{0}+1}\cdots a_{n}}=\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n_{0}}}\sqrt[n]{a_{n_{0}+1}\cdots a_{n}}\leq\sqrt[n]{M}\sqrt[n]{\varepsilon^{n-n_{0}}} +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $M:=a_{1}\cdots a_{n_{0}}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\alpha_{n}:=\varepsilon\frac{n-n_{0}}{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\lim_{n}\alpha_{n}=\varepsilon$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{M}=1$ +\end_inset + +. + Existe +\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n_{1}>n_{0}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n>n_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|M^{\frac{1}{n}}-1|<\varepsilon$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $M^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $\lim_{n}\alpha_{n}=\varepsilon$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n>n_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|\alpha_{n}-\varepsilon|<\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\alpha_{n}<\varepsilon+\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}=\frac{\varepsilon^{2}+2\varepsilon}{1+\varepsilon}\leq\frac{3\varepsilon}{1+\varepsilon}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}\leq\sqrt[n]{M}\sqrt[n]{\varepsilon^{n-n_{0}}}\leq(1+\varepsilon)\frac{3\varepsilon}{1+\varepsilon}=3\varepsilon$ +\end_inset + +, lo que prueba que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a_{n}>0$ +\end_inset + + y existe +\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Se tiene que +\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{n}}=\sqrt[n]{\frac{a_{1}}{1}\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdots\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}$ +\end_inset + +. + Sea entonces +\begin_inset Formula $A_{n}:=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A_{1}=a_{1}$ +\end_inset + +, se obtiene que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n}\sqrt[n]{A_{1}\cdots A_{n}}=\lim_{n}A_{n}=\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Series numéricas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dada una sucesión +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + de números reales, podemos formar una sucesión +\begin_inset Formula $(S_{n})_{n}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $S_{n}=\sum_{1\leq i\leq n}a_{i}$ +\end_inset + +, que llamamos +\series bold +serie +\series default + asociada de +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + +. + Sus términos se denominan +\series bold +sumas parciales +\series default + de la serie ( +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + + es la suma parcial +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésima), y los de +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + +, términos de la serie (el término genérico +\begin_inset Formula $a_{n}$ +\end_inset + + se denomina +\series bold +término general +\series default +). + A +\begin_inset Formula $(S_{n})_{n}$ +\end_inset + + la denotamos como +\begin_inset Formula $a_{1}+\dots+a_{n}+\dots$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=S\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, la serie es +\series bold +convergente +\series default + y escribimos +\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$ +\end_inset + +. + De lo contrario es +\series bold +divergente +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +condición de Cauchy +\series default + nos dice que +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + es convergente si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall p,q\in\mathbb{N},(n_{0}\leq p\leq q\implies|a_{p+1}+\dots+a_{q}|<\varepsilon)$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + A partir de la condición de Cauchy para la existencia de límite y que +\begin_inset Formula $|S_{q}-S_{p}|=\left|\sum_{n=1}^{q}a_{n}-\sum_{n=1}^{p}a_{n}\right|=|a_{p+1}+\dots+a_{q}|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí, tomando +\begin_inset Formula $q=p+1$ +\end_inset + +, se tiene que si +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + + converge, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$ +\end_inset + +. + También se tiene que la convergencia de una serie no se altera modificando + un número finito de términos de esta. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Linealidad de la suma: +\series default + Si +\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=B$ +\end_inset + +, entonces para +\begin_inset Formula $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, se tiene que +\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}(\lambda a_{n}+\mu b_{n})=\lambda A+\mu B$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Para cada +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S_{n}:=\lambda A_{n}+\mu B_{n}=\sum_{k=1}^{n}\lambda a_{n}+\sum_{k=1}^{n}\mu b_{n}=\sum_{k=1}^{n}(\lambda a_{n}+\mu b_{n})$ +\end_inset + +. + Aplicando las propiedades de límites, +\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=\lim_{n}(\lambda A_{n}+\mu B_{n})=\lambda A+\mu B$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dada una serie +\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ +\end_inset + + de términos +\begin_inset Formula $a_{n}\geq0$ +\end_inset + +, esta es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales es acotada, + pues esta es monótona creciente. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterios de comparación: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dadas +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\geq0$ +\end_inset + +, si existe +\begin_inset Formula $M>0$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $a_{n}\leq Mb_{n}\forall n$ +\end_inset + +, entonces la convergencia de +\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ +\end_inset + + implica la de +\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ +\end_inset + +, pues significa que esta última es acotada. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dadas +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}>0$ +\end_inset + + y existe +\begin_inset Formula $l:=\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $0<l<\infty$ +\end_inset + +, ambas series tienen el mismo carácter. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{l}{2}>0$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-l\right|\leq\frac{l}{2}$ +\end_inset + +, lo que equivale a que +\begin_inset Formula $\frac{l}{2}\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\frac{3}{2}l$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\frac{l}{2}b_{n}\leq a_{n}\leq\frac{3l}{2}b_{n}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + es convergente, tenemos que +\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$ +\end_inset + + también, y si +\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$ +\end_inset + + es convergente, también lo es +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $l=0$ +\end_inset + + entonces la convergencia de +\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$ +\end_inset + + implica la de +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $\varepsilon=1$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq1$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a_{n}\leq b_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $l=+\infty$ +\end_inset + + entonces la convergencia de +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + implica la de +\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $k=1>0$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{a_{n}}{b_{n}}\geq1$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a_{n}\geq b_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio de la raíz: +\series default + Dada +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{n}>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $a<1$ +\end_inset + +, la serie converge. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a<r<1$ +\end_inset + +. + Existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{n}}<r$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $a_{n}<r^{n}$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $r<1$ +\end_inset + +, la serie geométrica +\begin_inset Formula $\sum_{n}r^{n}$ +\end_inset + + es convergente, y el criterio de comparación nos da la convergencia de + +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + +, la serie diverge. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{n}>1$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $a=1$ +\end_inset + + no se puede afirmar nada. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio del cociente: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{n}>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a:=\lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $a=\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}$ +\end_inset + +. + Por tanto: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $a<1$ +\end_inset + +, la serie converge. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $a>1$ +\end_inset + +, la serie diverge. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio de condensación: +\series default + Dada una sucesión +\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ +\end_inset + + monótona decreciente con +\begin_inset Formula $a_{n}>0$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula +\[ +\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\in\mathbb{R}\iff\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}\in\mathbb{R} +\] + +\end_inset + + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $A_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B_{n}=\sum_{k=1}^{n}2^{k}a_{2^{k}}$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\begin{gather*} +\begin{array}{c} +B_{n}=2a_{2}+4a_{4}+\dots+2^{n}a_{2^{n}}=2(a_{2}+2a_{4}+\dots+2^{n-1}a_{2^{n}})\leq\\ +\leq2(a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+\dots+(a_{2^{n-1}+1}+\dots+a_{2^{n}}))=2(a_{1}+\dots+a_{2^{n}})=\\ +=2A_{2^{n}}=2(a_{1}+(a_{2}+a_{3})+(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7})+\dots+a_{2^{n}})\leq\\ +\leq2(a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\dots+2^{n-1}a_{2^{n-1}}+a_{2^{n}})=2B_{n-1}+a_{2^{n}} +\end{array} +\end{gather*} + +\end_inset + +Luego para todo +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $B_{n}\leq2A_{2^{n}}\leq2B_{n-1}+a_{1}$ +\end_inset + +, luego si una de las dos está acotada la otra también. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una serie +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{n}\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + es +\series bold +absolutamente convergente +\series default + si +\begin_inset Formula $\sum_{n}|a_{n}|$ +\end_inset + + es convergente. + Toda serie absolutamente convergente es convergente. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, por ser +\begin_inset Formula $\sum_{n}|a_{n}|$ +\end_inset + + convergente, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $p\geq q>n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|a_{q+1}|+\dots+|a_{p}|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Pero +\begin_inset Formula $|a_{q+1}+\dots+a_{p}|\leq|a_{q+1}|+\dots+|a_{p}|<\varepsilon$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ +\end_inset + + cumple la condición de Cauchy y es pues convergente. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una serie es +\series bold +incondicionalmente convergente +\series default + si todas sus reordenadas son convergentes y tienen la misma suma. + +\series bold +Teorema: +\series default + Esta condición equivale a ser absolutamente convergente. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +La +\series bold +serie alternada +\series default + +\begin_inset Formula $\sum_{n}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ +\end_inset + + es convergente. + Además, si +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es la suma total y +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + + la suma parcial +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésima, +\begin_inset Formula $S_{2n}\leq S\leq S_{2n+1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|S_{n}-S|<\frac{1}{n+1}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\leq\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}+\frac{1}{2n+1}=S_{2n+1}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $S_{2n}\leq S_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=S_{2n+2}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $(S_{2n})_{n}$ +\end_inset + + es creciente. + De forma análoga tenemos que +\begin_inset Formula $(S_{2n+1})_{n}$ +\end_inset + + es decreciente. + Definimos la sucesión de intervalos cerrados acotados y encajados +\begin_inset Formula $I_{n}:=[S_{2n},S_{2n+1}]$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $L(I_{n})=|S_{2n+1}-S_{2n}|=\frac{1}{2n+1}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{n}L(I_{n})=0$ +\end_inset + +, y por Cantor se tiene que existe un único +\begin_inset Formula $S=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$ +\end_inset + +, que es +\begin_inset Formula $S=\lim_{n}S_{2n}=\lim_{n}S_{2n+1}=\lim_{n}S_{n}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $n=2k$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S_{2k}\leq S\leq S_{2k+1}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $|S-S_{2k}|<\frac{1}{2k+1}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $n=2k+1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S_{2k+2}\leq S\leq S_{2k+1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|S-S_{2k+1}|\leq|S_{2k+1}-S_{2k+2}|\leq\frac{1}{2k+2}$ +\end_inset + +. + Esto prueba la segunda afirmación. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +serie geométrica +\series default + +\begin_inset Formula $\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}$ +\end_inset + + es convergente si +\begin_inset Formula $|r|<1$ +\end_inset + + con suma +\begin_inset Formula $\frac{1}{1-r}$ +\end_inset + + y divergente si +\begin_inset Formula $|r|\geq1$ +\end_inset + +. + La +\series bold +serie armónica +\series default + +\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{k}}$ +\end_inset + + es convergente si +\begin_inset Formula $k>1$ +\end_inset + + y divergente si +\begin_inset Formula $k\leq1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/fuvr1/n3.lyx b/fuvr1/n3.lyx new file mode 100644 index 0000000..95517f3 --- /dev/null +++ b/fuvr1/n3.lyx @@ -0,0 +1,2202 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures false +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 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+\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + asigna a cada +\begin_inset Formula $x\in D$ +\end_inset + + un único valor +\begin_inset Formula $f(x)\in F$ +\end_inset + +. + Llamamos +\series bold +recta real ampliada +\series default + al conjunto +\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + es un +\series bold +entorno +\series default + de +\begin_inset Formula $x\in K$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\exists r>0:B(x,r)\subseteq V$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + es un +\series bold +punto de acumulación +\series default + de +\begin_inset Formula $A\subseteq K$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall r>0,\exists x^{\prime}\neq x:x^{\prime}\in B(x,r)\cap A$ +\end_inset + +. + Se tiene entonces que +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + es un punto de acumulación de +\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$ +\end_inset + + si y sólo si existe +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x_{n}\neq x\forall n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x=\lim_{n}x_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $B(x,\frac{1}{n})\cap A$ +\end_inset + + debe contener algún punto distinto de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $x_{n}$ +\end_inset + + es uno de esos puntos, +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=x$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $|x_{n}-x|<\frac{1}{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $r>0$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que si +\begin_inset Formula $n>n_{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $|x_{n}-x|<r$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $x_{n}\in B(x,r)$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $x_{n}\in B(x,r)\cap A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{n}\neq x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + un punto de acumulación de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + es el límite de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L +\] + +\end_inset + +si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(0<|x-c|<\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$ +\end_inset + +. + Dicho de otro modo, si +\begin_inset Formula $\forall B(L,\varepsilon),\exists B(c,\delta):f((B(c,\delta)\cap D)\backslash\{c\})\subseteq B(L,\varepsilon)$ +\end_inset + +. + Se tiene entonces que +\begin_inset Formula $L=\lim_{x\rightarrow c}f(x)\iff\forall(x_{n})_{n}\subseteq D,(\lim_{n}x_{n}=c\land\forall n\in\mathbb{N},x_{n}\neq c\implies L=\lim_{n}f(x_{n}))$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +La implicación directa se demuestra ayudándose de un esquema, y la inversa + se realiza por reducción al absurdo. +\end_layout + +\end_inset + + Si existe el límite de una función en un punto, este es único. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Condición de Cauchy: +\series default + Dados +\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + un punto de acumulación de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\exists\lim_{x\rightarrow c}f(x)\in K\iff\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x,y\in B(c,\delta)\backslash\{c\},|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $L:=\lim_{x\rightarrow c}f(x)$ +\end_inset + +. + Fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $\delta>0$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $0\leq|x-c|<\delta$ +\end_inset + + (es decir, +\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$ +\end_inset + +), +\begin_inset Formula $|L-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$ +\end_inset + +. + Análogamente, para +\begin_inset Formula $y\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|L-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|=|f(x)-L|+|L-f(y)|<\varepsilon$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Fijado +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, tomamos +\begin_inset Formula $\delta>0$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x,y\in B(c,\delta)\backslash\{c\}\implies|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=c$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{n}\neq c$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $n_{0}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x_{n},x_{m}\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$ +\end_inset + +. + Pero entonces +\begin_inset Formula $|f(x_{n})-f(x_{m})|<\varepsilon$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $(f(x_{n}))_{n}$ +\end_inset + + es de Cauchy y por tanto convergente, por lo que existe +\begin_inset Formula $L:=\lim_{n}f(x_{n})$ +\end_inset + + y solo queda probar que +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + no depende de +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ +\end_inset + +. + Dada +\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime})_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}^{\prime}=c$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime}\neq c$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $L^{\prime}:=\lim_{n}f(x_{n}^{\prime})$ +\end_inset + + se tendría +\begin_inset Formula $|L-L^{\prime}|=|\lim_{n}f(x_{n})-\lim_{n}f(x_{n}^{\prime})|\leq\varepsilon$ +\end_inset + + para cualquier +\begin_inset Formula $\varepsilon$ +\end_inset + +, ya que al ser +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=c=\lim_{n}x_{n}^{\prime}$ +\end_inset + +, se cumple para +\begin_inset Formula $n>n_{0}^{\prime}$ +\end_inset + + que +\begin_inset Formula $|x_{n}-x_{n}^{\prime}|<\delta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Tomando límites de sucesiones, podemos concluir que: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall k\in\mathbb{N},\lim_{x\rightarrow c}x^{k}=c^{k}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall k\in\mathbb{N},\lim_{x\rightarrow c}\sqrt[k]{x}=\sqrt[k]{c}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}\sin x=\sin c$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Como +\begin_inset Formula $\forall x\in[0,\frac{\pi}{2}],\sin x\leq x\leq\tan x$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|\sin x-\sin c|=2\left|\sin\frac{x-c}{2}\cos\frac{x+c}{2}\right|\leq2\left|\frac{x-c}{2}\right|=|x-c|$ +\end_inset + +. + Por tanto para +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + +, tomando +\begin_inset Formula $\delta=\varepsilon$ +\end_inset + +, se tiene que para +\begin_inset Formula $|x-c|<\delta$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|\sin x-\sin c|<\varepsilon$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $1\leq\frac{x}{\sin x}\leq\frac{1}{\cos x}$ +\end_inset + +, y aplicando el teorema del sandwich, +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}e^{x}=e^{c}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $c\in(0,+\infty)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}\log x=\log c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $c\notin\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}[x]=[c]$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $c\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\nexists\lim_{x\rightarrow c}[x]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\nexists\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Si fuera +\begin_inset Formula $L:=\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}$ +\end_inset + +, se tendría que para toda +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{n}\neq0$ +\end_inset + + que +\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}}=L$ +\end_inset + +, pero las sucesiones +\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime}=\frac{1}{n\pi}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime\prime}=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$ +\end_inset + + cumplen que +\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}^{\prime}=\lim_{n}x_{n}^{\prime\prime}=0$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}^{\prime}}=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}^{\prime\prime}}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0$ +\end_inset + +. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $|x\sin\frac{1}{x}-0|\leq|x|$ +\end_inset + +, por lo que tomando +\begin_inset Formula $\delta=\varepsilon$ +\end_inset + + se cumple la definición. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $f,g:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + un punto de acumulación de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $L_{1}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)\in K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $L_{2}=\lim_{x\rightarrow c}g(x)\in K$ +\end_inset + +, entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)+g(x)=L_{1}+L_{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)g(x)=L_{1}L_{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $L_{2}\neq0\implies\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_{1}}{L_{2}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(x)\leq g(x)\implies L_{1}\leq L_{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Regla del sandwich: +\series default + Dada +\begin_inset Formula $h:D\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $L_{1}=L_{2}=L$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $L=\lim_{x\rightarrow c}h(x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Equivalencias importantes: +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\log(1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\frac{x^{2}}{2}}=1 +\] + +\end_inset + + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Las tres primeras se siguen de las propiedades y equivalencias de sucesiones. + Para la cuarta, +\begin_inset Formula +\[ +\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\frac{x^{2}}{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1+\cos x}\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1+\cos x}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}=\frac{2}{1+1}\left(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\right)^{2}=1 +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Límites laterales: +\series default + Dados +\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + un punto de acumulación de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +límite por la derecha +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $f(c^{+})=\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x):=\lim_{x\rightarrow c}g(x)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $g:D\cap(c,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g(x)=f(x)$ +\end_inset + +, y +\series bold +límite por la izquierda +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $f(c^{-})=\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x):=\lim_{x\rightarrow c}g(x)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $g:D\cap(-\infty,c)\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + +. + Así, +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(c<x<c+\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=L$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(c<x<c+\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Por tanto, el límite de una función en un punto existe si y sólo si existen + los dos límites laterales y coinciden, en cuyo caso coinciden también con + el límite de la función en dicho punto. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Límites infinitos y en el infinito: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $f:(a,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=l\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists M>0:\forall x\in(a,+\infty),(x>M\implies|f(x)-l|<\varepsilon)$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall K>0,\exists M>0:\forall x\in(a,+\infty),(x>M\implies f(x)>K)$ +\end_inset + +. + De igual modo, si +\begin_inset Formula $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es un punto de acumulación de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=+\infty$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall K>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(0<|x-c|<\delta\implies f(x)>K)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Funciones continuas +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$ +\end_inset + + es +\series bold +continua +\series default + en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(|x-c|<\delta\implies|f(x)-f(c)|<\varepsilon)$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es continua en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + si y sólo si para cada +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$ +\end_inset + + se tiene que +\begin_inset Formula $f(c)=\lim_{n}f(x_{n})$ +\end_inset + +. + En particular, +\begin_inset Formula +\[ +f(\lim_{n}x_{n})=\lim_{n}f(x_{n}) +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dadas +\begin_inset Formula $f,g:D\subseteq K\rightarrow K$ +\end_inset + + continuas en +\begin_inset Formula $c\in D$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f+g$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $fg$ +\end_inset + + también son continuas en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $g(c)\neq0$ +\end_inset + +, también es continua +\begin_inset Formula $\frac{f}{g}$ +\end_inset + +. + Por otro lado, si +\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + es continua en +\begin_inset Formula $c\in D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(c)\neq0$ +\end_inset + + entonces existe un +\begin_inset Formula $\delta>0$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)\cap D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(x)\neq0$ +\end_inset + + y tiene el mismo signo que +\begin_inset Formula $f(c)$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es un punto aislado de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, es obvio. + Sea entonces +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + un punto de acumulación de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(c)\neq0$ +\end_inset + +. + Dado +\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|f(c)|}{2}>0$ +\end_inset + +, por la continuidad de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + +, existirá un +\begin_inset Formula $\delta>0$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $f(c)-\varepsilon<f(x)<f(c)+\varepsilon$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $f(c)>0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f(x)>f(c)-\varepsilon=f(c)-\frac{|f(c)|}{2}=\frac{f(c)}{2}>0$ +\end_inset + +, mientras que si +\begin_inset Formula $f(c)<0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(x)<f(c)+\varepsilon=f(c)+\frac{|f(c)|}{2}=f(c)-\frac{f(c)}{2}=\frac{f(c)}{2}<0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dadas +\begin_inset Formula $f_{1}:D_{1}\subseteq K\rightarrow D_{2}\subseteq K$ +\end_inset + + continua en +\begin_inset Formula $c\in D_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f_{2}:D_{2}\rightarrow K$ +\end_inset + + continua en +\begin_inset Formula $f_{1}(c)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f_{2}\circ f_{1}:D_{1}\rightarrow K$ +\end_inset + + es continua en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + +. +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$ +\end_inset + +, por la continuidad de +\begin_inset Formula $f_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f_{1}(c)=\lim_{n}f_{1}(x_{n})$ +\end_inset + +, pero al ser +\begin_inset Formula $f_{2}$ +\end_inset + + continua en +\begin_inset Formula $f_{1}(c)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f_{2}(f_{1}(c))=\lim_{n}f_{2}(f_{1}(x_{n}))$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $(f_{2}\circ f_{1})(c)=\lim_{n}(f_{2}\circ f_{1})(x_{n})$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $f_{2}\circ f_{1}$ +\end_inset + + es continua en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$ +\end_inset + + es +\series bold +continua en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + +\series default + si es continua en cada punto de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + Así, las funciones polinómicas, la exponencial, el seno y el coseno son + funciones continuas en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +, mientras que el logaritmo es continuo en +\begin_inset Formula $(0,+\infty)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +¿Incluir las funciones de Dirichlet (3.2.7.8–9)? +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Funciones reales continuas en un intervalo +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +teorema de Weierstrass +\series default + afirma que si +\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + es continua, entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es acotada. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Si no lo fuera, para cada +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + existiría +\begin_inset Formula $x_{n}\in[a,b]$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $|f(x_{n})|>n$ +\end_inset + +. + Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión +\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ +\end_inset + + convergente a un +\begin_inset Formula $c\in[a,b]$ +\end_inset + +. + Pero entonces, como +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es continua en +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\lim_{n}f(x_{n_{k}})_{k}=f(c)$ +\end_inset + +, luego la sucesión es acotada. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Existen +\begin_inset Formula $c,d\in[a,b]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(c)\leq f(x)\leq f(d)$ +\end_inset + +, es decir, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + tiene máximo y mínimo. +\begin_inset Newline newline +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq[a,b]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\alpha=\lim_{n}f(x_{n})$ +\end_inset + +, por lo que existe una subsucesión +\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ +\end_inset + + convergente a un +\begin_inset Formula $d\in[a,b]$ +\end_inset + +. + Pero por la continuidad de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(d)=\lim_{k}f(x_{n_{k}})=\alpha$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + alcanza su máximo absoluto en +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + +. + La demostración de que alcanza su mínimo absoluto es análoga. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +teorema de Bolzano +\series default + afirma que si +\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + es continua con +\begin_inset Formula $f(a)f(b)<0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\exists c\in(a,b):f(c)=0$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Supongamos +\begin_inset Formula $f(a)<0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(b)>0$ +\end_inset + + y sean +\begin_inset Formula $a_{0}:=a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b_{0}:=b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m:=\frac{a+b}{2}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $f(m)=0$ +\end_inset + +, hemos terminado. + Si +\begin_inset Formula $f(m)>0$ +\end_inset + +, llamamos +\begin_inset Formula $a_{1}:=a_{0}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{1}:=m$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $f(m)<0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a_{1}:=m$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{1}:=b_{0}$ +\end_inset + +. + Procediendo recursivamente, o bien se encuentra un cero de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, o se obtiene una sucesión +\begin_inset Formula $[a_{n},b_{n}]$ +\end_inset + + de intervalos en las condiciones del principio de encaje de Cantor, por + lo que +\begin_inset Formula $\exists!c\in\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_{n},b_{n}]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c=\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}$ +\end_inset + +. + La continuidad de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + junto con que +\begin_inset Formula $f(a_{n})<0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(b_{n})>0$ +\end_inset + + implica que +\begin_inset Formula $0\leq\lim_{n}f(b_{n})=f(c)=\lim_{n}f(a_{n})\leq0$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $f(c)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +método de bisección +\series default + para resolución de ecuaciones es un algoritmo para aproximar raíces de + una función continua, y consiste en localizar un intervalo +\begin_inset Formula $[a,b]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(a)f(b)<0$ +\end_inset + + y proceder según la demostración del teorema de Bolzano. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +propiedad de Darboux +\series default + o +\series bold +de los valores intermedios +\series default + afirma que si +\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(a)<z<f(b)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\exists c\in[a,b]:f(c)=z$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es un intervalo de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + es continua, entonces +\begin_inset Formula $f(I)$ +\end_inset + + es un intervalo, y si +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es además cerrado y acotado, también lo es +\begin_inset Formula $f(I)$ +\end_inset + +. + +\series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Necesitamos demostrar que dados +\begin_inset Formula $y_{1},y_{2}\in f(I)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $y_{1}<y_{2}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $y_{1}<z<y_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $z\in f(I)$ +\end_inset + +, inmediato de la propiedad de los valores intermedios. + Entonces, si +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es cerrado y acotado, por el teorema de Weierstrass, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + tiene máximo +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y mínimo +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, por lo que al ser un intervalo, +\begin_inset Formula $f(I)=[\alpha,\beta]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Decimos que +\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + es +\series bold +monótona creciente +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})\leq f(x_{2})$ +\end_inset + +, +\series bold +monótona decreciente +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})\geq f(x_{2})$ +\end_inset + +, +\series bold +monótona +\series default + si es monótona creciente o decreciente; +\series bold +estrictamente creciente +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})<f(x_{2})$ +\end_inset + +, +\series bold +estrictamente decreciente +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})>f(x_{2})$ +\end_inset + +, y +\series bold +estrictamente monótona +\series default + si es estrictamente creciente o decreciente. + Además, +\begin_inset Formula $f^{-1}:Y\rightarrow X$ +\end_inset + + es la inversa de +\begin_inset Formula $f:X\rightarrow Y$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $f^{-1}\circ f=Id_{X}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f\circ f^{-1}=Id_{Y}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de la función inversa: +\series default + Dada +\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ +\end_inset + + continua, entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es inyectiva si y sólo si es estrictamente monótona. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Supongamos por reducción al absurdo que siendo +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + inyectiva no fuera estrictamente monótona. + Entonces, para +\begin_inset Formula $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(x_{1})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(x_{2})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(x_{3})$ +\end_inset + + son distintos dos a dos. + Si fuera +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + estrictamente monótona se tendría que +\begin_inset Formula $f(x_{1})<f(x_{2})<f(x_{3})$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $f(x_{1})>f(x_{2})>f(x_{3})$ +\end_inset + +, por lo que si no lo es, entonces +\begin_inset Formula $f(x_{1})<f(x_{2})>f(x_{3})$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $f(x_{1})>f(x_{2})<f(x_{3})$ +\end_inset + +. + En el caso en que +\begin_inset Formula $f(x_{1})\leq f(x_{3})<f(x_{2})$ +\end_inset + +, por la propiedad de los valores intermedios, debe existir +\begin_inset Formula $c\in(x_{1},x_{2})$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(c)=f(x_{3})$ +\end_inset + +. + Los otros tres casos son análogos. + Por tanto +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + no es inyectiva. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $x_{1}<x_{2}$ +\end_inset + + no puede ser +\begin_inset Formula $f(x_{1})=f(x_{2})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es estrictamente monótona, también lo es +\begin_inset Formula $f^{-1}$ +\end_inset + + que, además, es continua. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Al ser +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + estrictamente monótona es inyectiva, y al ser +\begin_inset Formula $J:=f(I)$ +\end_inset + + un intervalo, existe la inversa +\begin_inset Formula $f^{-1}:J\rightarrow I$ +\end_inset + +, que también es una biyección estrictamente monótona. + Supongamos que es estrictamente creciente y sea +\begin_inset Formula $d\in J$ +\end_inset + + que no sea un extremo del intervalo. + Sea +\begin_inset Formula $c=f^{-1}(d)$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $f(c)=d$ +\end_inset + +), que por la monotonía no puede ser un extremo de +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +. + Dado +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + no es un extremo, existe +\begin_inset Formula $0<\varepsilon^{\prime}<\varepsilon$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime})\subseteq I$ +\end_inset + +, y por ser +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + estrictamente creciente, +\begin_inset Formula $d:=f(c)\in(f(c-\varepsilon^{\prime}),f(c+\varepsilon^{\prime}))=f((c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime}))$ +\end_inset + +, por lo que existe +\begin_inset Formula $\delta>0$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $B(d,\delta)\subseteq f((c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime}))$ +\end_inset + +, y por el crecimiento escrito de +\begin_inset Formula $f^{-1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f^{-1}(B(d,\delta))\subseteq(c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime})\subseteq(c-\varepsilon,c+\varepsilon)=B(c,\varepsilon)$ +\end_inset + +, lo que demuestra la continuidad de +\begin_inset Formula $f^{-1}$ +\end_inset + + salvo en los extremos. + En estos casos, si +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + + es un extremo de +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c:=f^{-1}(d)$ +\end_inset + + lo es por tanto de +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +, es posible modificar ligeramente la prueba anterior para obtener el mismo + resultado. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $f:I\rightarrow J$ +\end_inset + + es biyectiva, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es continua si y sólo si es estrictamente monótona. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Contenido en el apartado anterior. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Por ser +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + estrictamente monótona, existen +\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(x_{0}^{+})$ +\end_inset + + en cada +\begin_inset Formula $x_{0}\in I$ +\end_inset + +. + Si para algún +\begin_inset Formula $x_{0}$ +\end_inset + + fueran distintos (por ejemplo, +\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})<f(x_{0}^{+})$ +\end_inset + +, entonces los puntos de +\begin_inset Formula $(f(x_{0}^{-}),f(x_{0}^{+}))\subseteq J$ +\end_inset + + deberían tener preimagen, pero por la monotonía no la tienen, con lo que + +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + no sería biyectiva. + Por tanto debe ser +\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})=f(x_{0}^{+})$ +\end_inset + + y la función es continua. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Continuidad uniforme +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$ +\end_inset + + es +\series bold +uniformemente continua +\series default + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x,y\in D,(|x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\varepsilon)$ +\end_inset + +. + El +\series bold +teorema de Heine +\series default + afirma que toda +\begin_inset Formula $f:B[a,r]\rightarrow K$ +\end_inset + + continua es uniformemente continua. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si no lo fuera, existiría +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall\delta>0,\exists x,y\in D:(|x-y|<\delta\land|f(x)-f(y)|>\varepsilon)$ +\end_inset + +, por lo que existirían +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n},(x_{n}^{\prime})_{n}\subseteq B[a,r]$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $|x_{n}-x_{n}^{\prime}|<\frac{1}{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|f(x_{n})-f(x_{n}^{\prime})|\geq\varepsilon$ +\end_inset + +. + Pero entonces existirían subsucesiones +\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(x_{n_{k}}^{\prime})_{k}$ +\end_inset + + de estas que convergen al mismo +\begin_inset Formula $z\in B[a,r]$ +\end_inset + +. + Por la continuidad de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\lim_{k}f(x_{n_{k}})=f(z)=\lim_{k}f(x_{n_{k}}^{\prime})$ +\end_inset + +, pero por otra parte +\begin_inset Formula $|f(x_{n_{k}})-f(x_{n_{k}}^{\prime})|\geq\varepsilon>0$ +\end_inset + +. + Tomando límites, se tiene que +\begin_inset Formula $0\geq\varepsilon>0\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ip/n.lyx b/ip/n.lyx new file mode 100644 index 0000000..f5b4510 --- /dev/null +++ b/ip/n.lyx @@ -0,0 +1,224 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize a5paper +\use_geometry true +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\leftmargin 0.2cm +\topmargin 0.7cm +\rightmargin 0.2cm +\bottommargin 0.7cm +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle empty +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Title +Introducción a la programación +\end_layout + +\begin_layout Date +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +def +\backslash +cryear{2017} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "../license.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Bibliografía: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Diapositivas de teoría y guiones de prácticas, Introducción a la Programación, + Universidad de Murcia (anónimo). +\end_layout + +\begin_layout Chapter* +¿Qué tareas puede realizar un ordenador? +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n0.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Léxico y organización de un algoritmo +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n1.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Parametrización de acciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n2.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Composición iterativa y noción de secuencia +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n3.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Esquemas algorítmicos de recorrido y búsqueda. + Iteraciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n4.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Tablas +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n5.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ip/n0.lyx b/ip/n0.lyx new file mode 100644 index 0000000..782557f --- /dev/null +++ b/ip/n0.lyx @@ -0,0 +1,210 @@ +#LyX 2.3 created this file. 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Formula $tipo_{2}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $A_{1}$ +\end_inset + +: una acción +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +PRE { +\emph on +precondición +\begin_inset Formula $A_{1}$ +\end_inset + + +\emph default + } +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +POST { +\emph on +postcondición +\begin_inset Formula $A_{1}$ +\end_inset + + +\emph default + } +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +LÉXICO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +... +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +ALGORITMO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +... +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +FIN +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $f_{1}$ +\end_inset + +: función +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +PRE { +\emph on +precondición +\begin_inset Formula $f_{1}$ +\end_inset + + +\emph default + } +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +POST { +\emph on +postcondición +\begin_inset Formula $f_{1}$ +\end_inset + + +\emph default + } +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +LÉXICO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +ALGORITMO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +FIN +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +... +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +ALGORITMO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space 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Formula $\dots$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $tipo_{2}$ +\end_inset + + +\family typewriter + = +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +var +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $v_{1}$ +\end_inset + + +\family typewriter + : +\begin_inset Formula $tipo_{1}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $v_{2}$ +\end_inset + + +\family typewriter +, +\begin_inset Formula $v_{3}$ +\end_inset + + : +\begin_inset Formula $tipo_{2}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +procedure +\begin_inset Formula $A_{1}$ +\end_inset + +( +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +): +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +var +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +begin +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +end; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +function +\begin_inset Formula $f_{1}$ +\end_inset + +( +\family default + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\family typewriter +): +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +var +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +begin +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +end; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +var +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +begin +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +end. +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +notación algorítmica +\series default + establece la forma de describir las acciones e informaciones y organizarlas + en el tiempo, mientras que el código del programa establece la forma en + la que estas se implementan de forma interpretable por un ordenador. + Está formado por un +\series bold +léxico, +\series default + donde se definen las informaciones u objetos y las acciones, y el +\series bold +control, +\series default + que establece cómo actúan las acciones sobre los objetos. + La +\series bold +abstracción +\series default + sirve para dominar la complejidad de un programa. +\end_layout + +\begin_layout Section +Tipos de datos y operaciones primitivos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Especifican un dominio de valores y un conjunto de operaciones aplicables. + Los tipos pri +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +mi +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +ti +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +vos son: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Entero +\series default + ( +\family typewriter +integer +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Real: +\series default + Se usa el +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +. +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + como separador ( +\family typewriter +real +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Booleano: +\series default + Valores +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +Verdadero +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + y +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +Falso +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + ( +\family typewriter +boolean +\family default +, +\family typewriter +true +\family default +, +\family typewriter +false +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Carácter: +\series default + Se ponen entre comillas simples ( +\family typewriter +char +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las operaciones primitivas son: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $-$ +\end_inset + +: Entero +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Entero, Real +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Real +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $+$ +\end_inset + +, +\emph on + +\begin_inset Formula $-$ +\end_inset + + +\emph default +, +\emph on + +\begin_inset Formula $*$ +\end_inset + + +\emph default +: Entero +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Entero +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Entero, Real +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Real +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Real +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\emph on +\begin_inset Formula $/$ +\end_inset + + +\emph default +:Entero +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Entero +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Real, Real +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Real +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Real +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\emph on +\begin_inset Formula $DIV$ +\end_inset + + +\emph default +, +\emph on + +\begin_inset Formula $MOD$ +\end_inset + + +\emph default +: Entero +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Entero +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Entero +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $<$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $>$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $=$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\leq$ +\end_inset + + ( +\family typewriter +<= +\family default +), +\begin_inset Formula $\geq$ +\end_inset + + ( +\family typewriter +>= +\family default +), +\begin_inset Formula $\neq$ +\end_inset + + ( +\family typewriter +<> +\family default +): Entero +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Entero +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Booleano, Real +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Real +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Booleano, Carácter +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Carácter +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Booleano +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $Predecesor$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Sucesor$ +\end_inset + +: Entero +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Entero, Carácter +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Carácter +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $O$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $YDESPUÉS$ +\end_inset + + ( +\family typewriter +and +\family default +), +\begin_inset Formula $ODESPUÉS$ +\end_inset + + ( +\family typewriter +or +\family default +): Booleano +\begin_inset Formula $\times$ +\end_inset + +Booleano +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Booleano +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $NO$ +\end_inset + + ( +\family typewriter +not +\family default +): Booleano +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Booleano +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $Car$ +\end_inset + + ( +\family typewriter +chr +\family default +): Entero +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Carácter +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $Ord$ +\end_inset + + ( +\family typewriter +ord +\family default +): Carácter +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +Entero +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las acciones primitivas son: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Asignación: +\series default + +\emph on +Variable +\emph default + +\begin_inset Formula $\leftarrow$ +\end_inset + + +\emph on +Expresión +\emph default +. + Pascal: +\family typewriter +\emph on +var +\emph default + := +\emph on +expr +\family default +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Entrada: +\series default + Leer( +\emph on +lista de variables +\emph default +). + Pascal: +\family typewriter +read( +\emph on +vars +\emph default +) +\family default +, +\family typewriter +readln( +\emph on +vars +\emph default +) +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Salida: +\series default + Escribir( +\emph on +lista de expresiones +\emph default +). + Pascal: +\family typewriter +write( +\emph on +exprs +\emph default +) +\family default +, +\family typewriter +writeln( +\emph on +exprs +\emph default +) +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todas las declaraciones e instrucciones del léxico y algoritmo terminan + por punto y coma, y cada Entero o Real puede ir acompañado de un rango. + Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Lenguaje algorítmico +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Pascal +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $m:\text{Entero}[0,59]$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $d:\text{Entero}\geq0$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $c:\text{Caracter}[\text{'a'},\text{'z'}]$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +m : 0..59; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +c : 'a'..'z'; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +mes : febrero..abril; +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Organización de las acciones +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Composición secuencial: +\series default + Se introducen estados intermedios para reducir la complejidad, descomponiendo + el problema en subproblemas más simples independientes. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Análisis de casos: +\series default + Se divide el problema en casos según los datos y se resuelve el caso correspond +iente en cada situación. + La precondición de cada problema debe implicar la precondición inicial, + y la postcondición de cada uno debe cumplir la postcondición inicial. + Además, se deben considerar todos los casos como mucho una vez. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Lenguaje algorítmico +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Pascal +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +SEGÚN +\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{n}$ +\end_inset + + { Nombres de las variables a comprobar } +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $e_{1}$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $a_{1}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $e_{n}$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $a_{n}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +EN_OTRO_CASO: +\begin_inset Formula $a_{n+1}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $_{opcional}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +FIN_SEGÚN +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +SI +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +ENTONCES +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +SI_NO +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $_{opcional}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +FIN_SI +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +if +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +then +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +[ +\family typewriter +else +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + +\family default + ] +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +En Pascal, los campos de expresiones solo permiten una acción, pero se pueden + agrupar varias en una sola con las etiquetas +\family typewriter +begin +\family default + y +\family typewriter +end +\family default +. + Además, se debe situar un punto y coma ( +\family typewriter +; +\family default +) para separar las acciones. + No es necesario pues introducirlo antes de un +\family typewriter +end +\family default +, ni tampoco debe usarse antes de un +\family typewriter +else +\family default +, pues indicaría el final de la sentencia +\family typewriter +if +\family default + completa. +\end_layout + +\begin_layout Section +Tipos de datos no primitivos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Son las +\series bold +tablas, +\series default + los +\series bold +registros +\series default + o +\series bold +producto de tipos +\series default + (estructuras) y las +\series bold +secuencias +\series default +. + Para definir un registro: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Lenguaje algorítmico +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Pascal +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\emph on +nombre_del_tipo +\emph default + = TIPO < +\begin_inset Formula $a_{1},a_{2}$ +\end_inset + + : +\begin_inset Formula $T_{1}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $a_{n}$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $T_{m}$ +\end_inset + +>; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\emph on +variable +\emph default + : +\emph on +nombre_del_tipo +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +type +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\emph on +nombre_del_tipo +\family typewriter +\emph default + = record +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a_{1},a_{2}$ +\end_inset + + +\family typewriter + : +\begin_inset Formula $T_{1}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + + +\family typewriter +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a_{n}$ +\end_inset + + +\family typewriter + : +\begin_inset Formula $T_{m}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\family typewriter +end; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +var +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \qquad{} +\end_inset + + +\emph on +variable +\family typewriter +\emph default + : +\family default +\emph on +nombre_del_tipo +\family typewriter +\emph default +; +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ip/n2.lyx b/ip/n2.lyx new file mode 100644 index 0000000..80e064a --- /dev/null +++ b/ip/n2.lyx @@ -0,0 +1,571 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Section +Acciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Permiten conseguir +\series bold +generalidad +\series default + representando un conjunto potencialmente infinito de cálculos con el mismo + algoritmo, que es una +\series bold +abstracción +\series default + de estos. + Las acciones son la base para +\series bold +descomposición +\series default + de programas en el paradigma imperativo. + También mejoran la legibilidad, el mantenimiento y la reutilización de + partes del programa. + La abstracción proporcionada es por +\series bold +especificación +\series default + (separa el qué hace del cómo lo hace) y por +\series bold +parametrización +\series default + (definición general contra caso específico). + En lenguaje algorítmico, las acciones se definen como: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="50text%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Lenguaje algorítmico +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Pascal +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\emph on +nombre +\emph default + : una acción ( +\begin_inset Formula $tp_{1}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $par_{1}$ +\end_inset + + : +\begin_inset Formula $td_{1}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $tp_{n}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $par_{n}$ +\end_inset + + : +\begin_inset Formula $td_{n}$ +\end_inset + +) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +procedure +\emph on +nombre +\emph default +( +\family default +[ +\family typewriter +var +\family default +] +\begin_inset Formula $par_{1}$ +\end_inset + + +\family typewriter + : +\begin_inset Formula $td_{1}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +; +\family default +[ +\family typewriter +var +\family default +] +\family typewriter + +\begin_inset Formula $par_{n}$ +\end_inset + + : +\begin_inset Formula $td_{n}$ +\end_inset + +); +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +A esto le sigue la implementación, similar a la del algoritmo en sí. + Aquí, +\begin_inset Formula $par_{i}$ +\end_inset + + es el nombre del parámetro, +\begin_inset Formula $td_{i}$ +\end_inset + + es su tipo de dato y +\begin_inset Formula $tp_{i}$ +\end_inset + + puede ser +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +DATO +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + (entrada), +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +RESULTADO +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + (salida) o +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +DATO-RESULTADO +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + (entrada y salida), y en Pascal los dos últimos casos se indican con +\family typewriter +var +\family default +. + En +\begin_inset Formula $par_{i}$ +\end_inset + + se pueden agrupar varios parámetros separados por comas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Los nombres de los parámetros forman parte de su +\series bold +léxico local +\series default +. + Pueden +\series bold +enmascarar +\series default + elementos del léxico global y no son utilizables fuera de la acción. + Llamamos +\series bold +parámetros formales +\series default + a los parámetros de una acción ( +\begin_inset Formula $par_{1},\dots,par_{n}$ +\end_inset + +) y +\series bold +argumentos +\series default + o +\series bold +parámetros reales +\series default + a los valores con los que se invoca la acción, mediante la notación +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\emph on +nombre +\emph default +( +\begin_inset Formula $expr_{1},\dots,expr_{n}$ +\end_inset + +) +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Funciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se diferencian de las acciones en que: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Las acciones modifican el estado del proceso, mientras que las funciones + establecen una relación entre los elementos del +\series bold +dominio +\series default + y el +\series bold +codominio +\series default + ( +\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Las acciones definen procedimientos complejos a partir de otros más simples, + mientras que las funciones extienden el repertorio de operadores. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se definen de forma similar a las acciones: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="50text%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Lenguaje algorítmico +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Pascal +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\emph on +nombre +\emph default +: Función ( +\begin_inset Formula $par_{1}$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $td_{1}$ +\end_inset + +; ...; +\begin_inset Formula $par_{n}$ +\end_inset + + : +\begin_inset Formula $td_{n}$ +\end_inset + +) +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + + tipo_retorno; +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +function +\emph on +nombre +\emph default +( +\family default + +\begin_inset Formula $par_{1}$ +\end_inset + + +\family typewriter + : +\begin_inset Formula $td_{1}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +; +\family default + +\family typewriter + +\begin_inset Formula $par_{n}$ +\end_inset + + : +\begin_inset Formula $td_{n}$ +\end_inset + +): +\emph on +tipo_retorno +\emph default +; +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para devolver un valor, se asigna al propio nombre de la función, que se + comporta como una variable de tipo +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +tipo_retorno +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + de solo escritura. + En exámenes y prácticas, no podemos hacer esto a mitad de la función, aun + cuando en Pascal este nombre se comporta como cualquier otra variable local. +\end_layout + +\begin_layout Section +Enumerado +\end_layout + +\begin_layout Standard +Solo en Pascal. + Ejemplo: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Box Boxed +position "t" +hor_pos "c" +has_inner_box 1 +inner_pos "t" +use_parbox 0 +use_makebox 0 +width "100col%" +special "none" +height "1in" +height_special "totalheight" +thickness "0.4pt" +separation "3pt" +shadowsize "4pt" +framecolor "black" +backgroundcolor "none" +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +type colors = (red, green, blue); +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +var color : colors; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +begin +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + +color := red; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +end. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ip/n3.lyx b/ip/n3.lyx new file mode 100644 index 0000000..d15221e --- /dev/null +++ b/ip/n3.lyx @@ -0,0 +1,1300 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +secuencia +\series default + es un conjunto ordenado de valores. + Se expresa como +\begin_inset Formula $[a_{1},\dots,a_{n}]$ +\end_inset + +. + La función +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $long(S)$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + devuelve la longitud de la secuencia +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $S=[a_{1},\dots,a_{n}]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S'=[b_{1},\dots,b_{m}]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + + es un elemento, definimos conceptualmente las siguientes operaciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Añadir un elemento: +\series default + +\begin_inset Formula $S\bullet e=[a_{1},\dots,a_{n},e]$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $e\circ S=[e,a_{1},\dots,a_{n}]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Concatenar secuencias: +\series default + +\begin_inset Formula $S\&S'=[a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $primero(S)=a_{1}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $último(S)=a_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Sucesor: +\series default + +\begin_inset Formula $sucesor(S,i)=S_{i+1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Cola +\series default + y +\series bold +cabeza: +\series default + +\begin_inset Formula $cola(S)=[S_{2},\dots,S_{n}]$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $cabeza(S)=[S_{1},\dots,S_{n-1}]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +¿Vacía? +\series default +: +\begin_inset Formula $esvacía(S)=\begin{cases} +\text{Verdadero} & S=[]\\ +\text{Falso} & S\neq[] +\end{cases}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Primer modelo +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="7" columns="4"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +E. + inicial +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +E. + final +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Efecto +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Comenzar(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Marcada/Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Comienza desde el principio. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Avanzar(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Avanza un elemento. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +EA(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Obtiene el elemento actual. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Crear(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Cualquiera +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Creación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Crea una secuencia vacía. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Registrar(S,e) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Creación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Creación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Añade un elemento. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Marcar(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Creación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Marcada +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Añade una marca de fin de secuencia. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Por defecto una secuencia no está en ningún estado, por lo que solo podemos + usar Crear(S). + En Pascal, estas operaciones se encuentran en los archivos +\family typewriter +unitmse1 +\family default +, +\family typewriter +unitmsc1 +\family default + y +\family typewriter +unitmsr1 +\family default + para enteros, caracteres y reales. + Debemos añadir el código justo después de la línea con el nombre del programa, + con el nombre del archivo correspondiente: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Box Boxed +position "t" +hor_pos "c" +has_inner_box 1 +inner_pos "t" +use_parbox 0 +use_makebox 0 +width "100col%" +special "none" +height "1in" +height_special "totalheight" +thickness "0.4pt" +separation "3pt" +shadowsize "4pt" +framecolor "black" +backgroundcolor "none" +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +uses +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\emph on +unitms +\series bold +x +\series default +1 +\emph default +; +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +El tipo de dato es +\begin_inset Formula $MS_{x}1$ +\end_inset + + (siendo +\begin_inset Formula $_{x}$ +\end_inset + + una +\family typewriter +e +\family default +, +\family typewriter +c +\family default + o +\family typewriter +r +\family default +), y las funciones se denominan +\begin_inset Newline newline +\end_inset + + +\begin_inset Formula $Comenzar\_MS_{x}1$ +\end_inset + +, etc. + Además, se añaden +\begin_inset Formula $Encender\_Maquina\_MS_{x}1(S)$ +\end_inset + +, que debe ser llamada una y sólo una vez antes de cualquier otra operación + sobre la secuencia (el +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +constructor +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +) y +\begin_inset Formula $Cargar\_Fichero\_MS_{x}1(S,s)$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + es una cadena de caracteres (capítulo 5), y carga en la secuencia los datos + leídos del fichero indicado en +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Segundo modelo +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="8" columns="4"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +E. + inicial +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +E. + final +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Efecto +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Iniciar(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Cr./Inic./Cons. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Comienza desde antes del +\begin_inset Formula $1^{er}$ +\end_inset + + elemento. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Avanzar(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Iniciada/Cons. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Avanza un elemento. + Error si EsÚltimo. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +EA(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Consulta +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Obtiene el elemento actual. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +EsVacía(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Cualquiera +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +(E. + inicial) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Devuelve si la secuencia es vacía. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +EsÚltimo(S,e) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Inic./Cons. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +(E. + inicial) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Devuelve si el elem. + actual es el último. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Crear(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Cualquiera +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Creación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Crea una secuencia vacía. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Registrar(S) +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Creación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Creación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Añade un elemento a la secuencia. +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Estas secuencias son similares a las del primer modelo, y en Pascal se usan + igual, pero no tienen marca de fin y empiezan antes del primer elemento. +\end_layout + +\begin_layout Section +Composición iterativa +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las iteraciones tienen un +\series bold +invariante +\series default + (INV), que se cumple tras cada ciclo y es un subconjunto de la post-condición, + además de tener una +\series bold +precondición +\series default + (PRE) y una +\series bold +postcondición +\series default + (POST). +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="50text%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Lenguaje algorítmico +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Pascal +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +MIENTRAS +\series default + +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + +\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +FIN_MIENTRAS +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +while +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + do +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +REPETIR +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +HASTA_QUE +\series default + +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +repeat +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + +\family default + (no es necesario +\family typewriter +begin +\family default +.. +\family typewriter +end +\family default +). +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +until +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +ITERAR +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s_{1}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +DETENER +\series default + +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s_{2}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +FIN_ITERAR +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +repeat +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s_{1}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +if +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + then break; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s_{2}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +until false +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +En exámenes y prácticas, no podemos utilizar +\family typewriter +break +\family default + salvo en este caso. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Cualquier composición iterativa se puede expresar en términos de cualquier + otra, pero hay que saber elegir la más apropiada en cada caso. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ip/n4.lyx b/ip/n4.lyx new file mode 100644 index 0000000..2e5246e --- /dev/null +++ b/ip/n4.lyx @@ -0,0 +1,302 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Un esquema algorítmico es una +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +plantilla +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + de algoritmo aplicable no a un problema sino a una +\emph on +clase +\emph default + de problemas. + Estudiaremos los siguientes: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Recorrido +\series default + o +\series bold +enumeración secuencial: +\series default + Aplicación del mismo tratamiento a todos los elementos de una colección. + Debemos estudiar si podemos tratar la secuencia vacía como el resto ( +\begin_inset Formula $H_{1}$ +\end_inset + +) y si podemos tratar al primer elemento como el resto ( +\begin_inset Formula $H_{2}$ +\end_inset + +). + Dado que +\begin_inset Formula $H_{1}\implies H_{2}$ +\end_inset + +, tenemos tres esquemas: (1) +\begin_inset Formula $H_{1}\land H_{2}$ +\end_inset + +, (2) +\begin_inset Formula $\neg H_{1}\land H_{2}$ +\end_inset + + y (3) +\begin_inset Formula $\neg H_{1}\land\neg H_{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Búsqueda: +\series default + Encontrar el primer elemento +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + + en la colección +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + que cumpla cierta propiedad. + Puede que dicha propiedad no dependa solo de +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + + sino también de los elementos anteriores ( +\begin_inset Formula $P_{iz}$ +\end_inset + +), en cuyo caso habrá que hacer los tratamientos necesarios. + Una vez encontrado el elemento buscado, la iteración se detiene. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Es muy importante identificar la clase de cada problema, pues de lo contrario + se podría confundir una búsqueda con un recorrido. + Un mismo problema puede combinar búsqueda y recorrido, bien de manera secuencia +l o uno dentro del otro. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +iteración +\series default + define una sucesión de valores dados por el conjunto de variables implicadas, + que denotamos +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + La secuencia se caracteriza por un valor inicial +\begin_inset Formula $V_{0}$ +\end_inset + + ( +\series bold +inicialización +\series default +), una +\series bold +condición de continuación +\series default + +\begin_inset Formula $P(V)$ +\end_inset + + y un conjunto de funciones que modifican el valor de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + en cada iteración, +\begin_inset Formula $f(V)$ +\end_inset + + ( +\series bold +cuerpo +\series default +). + Para saber que la iteración finaliza después de un número finito de pasos, + definimos una +\series bold +función de terminación +\series default + +\begin_inset Formula $T$ +\end_inset + + entera que dependa de las variables y sea estrictamente decreciente respecto + al progreso de la iteración con una cota inferior. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Existen dos formas de definir una sucesión: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Explícita +\series default + o +\series bold +calculada +\series default +: +\begin_inset Formula $a_{i}$ +\end_inset + + se expresa como una fórmula o algoritmo desde +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Implícita +\series default + o +\series bold +recurrente +\series default +: +\begin_inset Formula $a_{i}$ +\end_inset + + se expresa mediante una relación de inducción, a partir de +\begin_inset Formula $a_{i-r},\dots,a_{i-1}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + es la +\series bold +profundidad +\series default +, y los valores +\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{r-1}$ +\end_inset + + son dados. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dada una sucesión +\begin_inset Formula $a_{n}$ +\end_inset + +, definimos la sucesión de +\series bold +sumas parciales +\series default + o +\series bold +serie +\series default + como +\begin_inset Formula $S_{1}=a_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S_{n}=S_{n-1}+a_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ip/n5.lyx b/ip/n5.lyx new file mode 100644 index 0000000..90076a7 --- /dev/null +++ b/ip/n5.lyx @@ -0,0 +1,1691 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Están formadas por un número fijo de elementos de un determinado tipo. + Definición: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="50text%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Lenguaje algorítmico +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Pascal +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\emph on +nombre_tipo +\emph default + = TIPO Tabla [ +\begin_inset Formula $s_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $e_{1}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $s_{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $e_{n}$ +\end_inset + +] de +\emph on +tipo +\emph default +; +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\emph on +nombre_tipo +\emph default + = array [ +\begin_inset Formula $s_{1}$ +\end_inset + +.. +\begin_inset Formula $e_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $s_{n}$ +\end_inset + +.. +\begin_inset Formula $e_{n}$ +\end_inset + +] of +\emph on +tipo +\emph default +; +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $T$ +\end_inset + + es una variable de un tipo tabla, podemos acceder a sus elementos con la + notación +\begin_inset Formula $T_{a_{1},\dots,a_{n}}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $s_{i}\leq a_{i}\leq e_{i}$ +\end_inset + +, siendo +\begin_inset Formula $s_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $e_{i}$ +\end_inset + + constantes de tipo entero, caracter o enumerado. + En Pascal, +\family typewriter +\emph on +T +\emph default +[ +\begin_inset Formula $a_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\dots$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{n}$ +\end_inset + +] +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Composición +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +-RECORRIENDO +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="3" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="left" valignment="top" width="50text%"> +<column alignment="left" valignment="top" width="40text%"> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Lenguaje algorítmico +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Pascal +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + +\series bold +RECORRIENDO +\series default + [ +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +] +\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +FIN_RECORRIENDO +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="left" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +for +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + := +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + to +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + do +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + +\series bold +RECORRIENDO +\series default + [ +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +] +\series bold +EN_SENTIDO_INVERSO HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +FIN_RECORRIENDO +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +for +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + := +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + downto +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + do +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejecuta +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + una vez por cada elemento entre +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +, en sentido directo o inverso, y en este la variable +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, de sólo lectura, toma el valor del elemento en cuestión. +\end_layout + +\begin_layout Section +Tipo +\family typewriter +string +\end_layout + +\begin_layout Standard +Representa una cadena de caracteres, a los que se accede igual que en una + tabla definida de 1 a +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Box Boxed +position "t" +hor_pos "c" +has_inner_box 1 +inner_pos "t" +use_parbox 0 +use_makebox 0 +width "100col%" +special "none" +height "1in" +height_special "totalheight" +thickness "0.4pt" +separation "3pt" +shadowsize "4pt" +framecolor "black" +backgroundcolor "none" +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +var +\emph on +str +\emph default + : string [ +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +] +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage newpage +\end_inset + +Se representan con comillas simples rodeando el contenido, se accede a los + caracteres con +\family typewriter +\emph on +str +\emph default +[ +\emph on +i +\emph default +] +\family default + y se definen las siguientes operaciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +st1 + st2 +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +concat(st1, ..., stn : string) : string +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +copy(st : string; start, index : integer) : string +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +delete(var st : string; start, index : integer) +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +insert(src : string; var dst : string; pos : integer) +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +length(s : string) : integer +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +pos(substr, str : string) : byte +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +str(in : +\family default +(byte, integer...) +\family typewriter +; var out : string) +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\family typewriter +val(in : string; var out : +\family default +(byte, integer...) +\family typewriter +; var invalidcharpos : integer) +\end_layout + +\begin_layout Section +Algoritmos de ordenación +\end_layout + +\begin_layout Standard +Suponemos que todos los algoritmos incluyen el siguiente léxico: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Box Boxed +position "t" +hor_pos "c" +has_inner_box 1 +inner_pos "t" +use_parbox 0 +use_makebox 0 +width "100col%" +special "none" +height "1in" +height_special "totalheight" +thickness "0.4pt" +separation "3pt" +shadowsize "4pt" +framecolor "black" +backgroundcolor "none" +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +LÉXICO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\text{TipoClave}=\text{ENTERO}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\text{TipoDatos}=\text{\textbf{TIPO}}<\text{clave}:\text{TipoClave}\text{;}\dots>$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\text{TipoIndice}=\text{\textbf{TIPO}}\text{[1..\ensuremath{n}]}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a:\text{\textbf{TABLA} [TipoIndice] \textbf{DE} TipoDatos}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Inserción directa +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Box Boxed +position "t" +hor_pos "c" +has_inner_box 1 +inner_pos "t" +use_parbox 0 +use_makebox 0 +width "100col%" +special "none" +height "1in" +height_special "totalheight" +thickness "0.4pt" +separation "3pt" +shadowsize "4pt" +framecolor "black" +backgroundcolor "none" +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +LÉXICO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $q,j:\text{TipoIndice}$ +\end_inset + + +\family default +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\family typewriter +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $b:\text{TipoDatos}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +ALGORITMO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\emph on + +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + +\emph default + +\series bold +RECORRIENDO +\series default + [2, +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +] +\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $b\leftarrow a_{q}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $j\leftarrow q-1$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +MIENTRAS +\series default + +\begin_inset Formula $b\text{.clave}<a_{j}\text{.clave}$ +\end_inset + + +\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a_{j+1}\leftarrow a_{j}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $j\leftarrow j-1$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_MIENTRAS +\series default +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a_{j+1}\leftarrow b$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_RECORRIENDO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +FIN +\series default +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Inserción binaria +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Box Boxed +position "t" +hor_pos "c" +has_inner_box 1 +inner_pos "t" +use_parbox 0 +use_makebox 0 +width "100col%" +special "none" +height "1in" +height_special "totalheight" +thickness "0.4pt" +separation "3pt" +shadowsize "4pt" +framecolor "black" +backgroundcolor "none" +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +LÉXICO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $inf,sup,med:\text{TipoIndice}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x:\text{TipoDatos}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +ALGORITMO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + +\series bold +RECORRIENDO +\series default + [2, +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +] +\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $inf\leftarrow1$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $sup\leftarrow i-1$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x\leftarrow a_{i}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +MIENTRAS +\series default + +\begin_inset Formula $inf\leq sup$ +\end_inset + + +\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $med\leftarrow(inf+sup)\text{ DIV }2$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +SI +\series default + +\begin_inset Formula $x.\text{clave}<a_{med}\text{.clave}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +ENTONCES +\series default + +\begin_inset Formula $sup\leftarrow med-1$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +SI_NO +\series default + +\begin_inset Formula $inf\leftarrow med+1$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_SI +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_MIENTRAS +\series default +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + +\series bold +RECORRIENDO +\series default + [ +\begin_inset Formula $inf$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $i-1$ +\end_inset + +] +\series bold +EN_SENTIDO_INVERSO +\series default + +\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a_{j+1}\leftarrow a_{j}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_RECORRIENDO +\series default +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a_{inf}\leftarrow x$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_RECORRIENDO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +FIN +\series default +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Selección directa +\end_layout + +\begin_layout Standard 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+\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $pos\leftarrow q$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $min\leftarrow a_{q}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + +\series bold +RECORRIENDO +\series default + [ +\begin_inset Formula $q+1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +] +\series bold +HACER +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +SI +\series default + +\begin_inset Formula $min\text{.clave}>a_{j}\text{.clave}$ +\end_inset + + +\series bold +ENTONCES +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $pos\leftarrow j$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $min\leftarrow a_{j}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_SI +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_RECORRIENDO +\series default +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a_{pos}\leftarrow a_{q}$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a_{q}\leftarrow min$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset space \hspace{} +\length 8ex +\end_inset + + +\series bold +FIN_RECORRIENDO +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +FIN +\series default +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Otros algoritmos de ordenación, más avanzados, son el +\series bold +algoritmo de Shell +\series default +, +\begin_inset Formula $O(n^{1.25})$ +\end_inset + +, y +\series bold +Quicksort +\series default +, +\begin_inset Formula $O(n\log n)$ +\end_inset + +, que Charles Hoare demostró que no existe otro más rápido. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/license.lyx b/license.lyx new file mode 100644 index 0000000..ef038d6 --- /dev/null +++ b/license.lyx @@ -0,0 +1,152 @@ +#LyX 2.3 created this file. 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+\series bold +conclusiones +\series default + o +\series bold +teoremas +\series default +, y una +\series bold +demostración +\series default +. + Existen dos tipos de razonamiento: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Deductivo: +\series default + Se basa en la implicación. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Inductivo: +\series default + Parte de casos y llega a una conclusión general. + Sólo es válido si se consideran todos los casos; de lo contrario la conclusión + es probablemente, pero no necesariamente, cierta. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un razonamiento es válido si la conclusión es necesariamente cierta cuando + lo son las premisas, y se escribe como +\begin_inset Formula $\underset{\text{Premisas}}{\{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\}}\vDash\underset{\text{Conclusión}}{\beta}$ +\end_inset + +. + Para representarlo: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Representación gráfica: +\series default + +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{ccccc} +P_{1} & \land & P_{2}\\ +\hline & \downarrow\\ + & C_{1} & & \land & P_{3}\\ +\hline & & & \downarrow\\ + & & & C_{2} +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Representación estándar: +\begin_inset Formula +\[ +\begin{array}{ccc} + & P_{1}\\ + & P_{2}\\ +\hline \therefore & C_{1} & P_{1}\text{ y }P_{2}\\ + & P_{3}\\ +\hline \therefore & C_{2} & C_{1}\text{ y }P_{3} +\end{array} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Tipos de definiciones +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Extensiva +\series default + o +\series bold +extensional: +\series default + Lista de elementos que cumplen la condición. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Comprensiva +\series default + o +\series bold +intensional: +\series default + Lista de propiedades necesarias. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Recursiva: +\series default + Formada por una +\series bold +regla base +\series default +, que define casos concretos, y una +\series bold +regla recursiva +\series default +, que define todos los demás casos a partir de casos ya conocidos mediante + una relación. + También puede contener una +\series bold +regla de exclusión +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Lenguajes formales +\end_layout + +\begin_layout Standard +El lenguaje natural es ambiguo, y suele ser vago, paradójico, complicado... + Por tanto, en ciencia es imprescindible un lenguaje formal para obtener + rigor. + Un lenguaje formal consta de un conjunto de símbolos ( +\series bold +alfabeto +\series default + o +\series bold +vocabulario +\series default +) y una definición recursiva para conectarlos ( +\series bold +gramática +\series default + o +\series bold +sintaxis +\series default +), y es el conjunto de todas las fórmulas bien formadas (f.b.f.) obtenidas + a partir de estas. + En la práctica, necesitamos un sistema de codificación (formalización) + y de interpretación. +\end_layout + +\begin_layout Section +Formalización e interpretación +\end_layout + +\begin_layout Standard +Formalizar es obtener una oración o f.b.f. + en lenguaje formal a partir del lenguaje natural, mientras que interpretar + es entender una f.b.f. + expresándola en lenguaje natural. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/logic/n2.lyx b/logic/n2.lyx new file mode 100644 index 0000000..93478b7 --- /dev/null +++ b/logic/n2.lyx @@ -0,0 +1,1518 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Las oraciones lógicas en lógica proposicional ( +\series bold +L0 +\series default +) se llaman +\series bold +proposiciones +\series default +. + Las proposiciones atómicas, también llamadas +\series bold +sentencias +\series default + o +\series bold +átomos +\series default +, se agrupan mediante +\series bold +operadores lógicos +\series default + para formar oraciones compuestas. +\end_layout + +\begin_layout Section +Sintaxis +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Constantes: +\series default + Verdadero ( +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +) o falso ( +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + +). + +\begin_inset Formula $\mathbb{B}=\{V,F\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Sentencias: +\series default + Se representan por un conjunto de letras latinas. + El conjunto de todos se denota por +\begin_inset Formula ${\cal P}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Operadores lógicos: +\series default + Negación ( +\begin_inset Formula $\neg$ +\end_inset + +) y conectivos. + Los conectivos son: conjunción ( +\begin_inset Formula $\land$ +\end_inset + +), disyunción ( +\begin_inset Formula $\lor$ +\end_inset + +), implicación ( +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +) y doble implicación ( +\begin_inset Formula $\leftrightarrow$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Paréntesis +\series default + o corchetes, para agrupar expresiones. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definición recursiva de una f.b.f.: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Forma básica: +\series default + Todo átomo es una f.b.f. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Forma recursiva: +\series default + Si +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + son f.b.f., también lo son +\begin_inset Formula $\neg\alpha$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(\alpha\rightarrow\beta)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(\alpha\leftrightarrow\beta)$ +\end_inset + +. + La presencia o ausencia de paréntesis es importante. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En la práctica, podemos eliminar paréntesis según estas reglas: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Se pueden eliminar los paréntesis exteriores. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Prioridad: +\series default + De mayor a menor: +\begin_inset Formula $\neg$ +\end_inset + +, ( +\begin_inset Formula $\land$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\lor$ +\end_inset + +), ( +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\leftrightarrow$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Asociatividad: +\series default + A igual prioridad de operadores, se asocia por la izquierda. +\end_layout + +\begin_layout Standard +También podemos añadir paréntesis a cualquier expresión que no sea una negación. +\end_layout + +\begin_layout Section +Formalización +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Los átomos corresponden a oraciones enunciativas afirmativas, en forma presente + y con sujeto (salvo verbos impersonales). +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\neg\alpha$ +\end_inset + +: No +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, no es el caso de +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, no es cierto que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, es falso que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, no sucede que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, la negación de +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\alpha\land\beta$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + (pero, aunque, además, sin embargo, también, a la vez, aún, no obstante). +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\alpha\lor\beta$ +\end_inset + +: O +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +; ya +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, ya +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, ya ambas. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + +: Si +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + solo si +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, solo +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, es suficiente +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + para que +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, siempre que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, no +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + a menos que +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, es necesario +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + para que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, a no ser que +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + no +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + equivale a +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + cuando y sólo cuando +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + cuando únicamente +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + , +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es condición suficiente y necesaria para que +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Interpretación +\end_layout + +\begin_layout Standard +Procedimiento que traduce las fórmulas +\series bold +atómicas +\series default + a oraciones naturales. + Una +\series bold +asignación +\series default + +\begin_inset Formula $v_{I}$ +\end_inset + + es el procedimiento que establece un valor de verdad a una fórmula atómica + según una interpretación +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +. + En L0 no se suele hacer distinción, y hace referencia a una función +\begin_inset Formula $v_{I}:{\cal P_{\alpha}}\rightarrow\mathbb{B}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $V\mapsto V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F\mapsto F$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +evaluación +\series default + es la obtención del valor de verdad de una oración +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +. + Decimos +\begin_inset Formula $V(\alpha)=V$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $V(\alpha)=F$ +\end_inset + +, según corresponda. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Regla base: +\series default + Si +\begin_inset Formula $\alpha\in{\cal P}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $V(\alpha)=v_{I}(\alpha)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Regla recursiva: +\series default + +\begin_inset Formula +\begin{eqnarray*} +V(\neg\alpha) & = & \begin{cases} +V & \text{si }V(\alpha)=F\\ +F & \text{si }V(\alpha)=V +\end{cases}\\ +V(\alpha\land\beta) & = & \begin{cases} +V & \text{si }V(\alpha)=V\text{ y }V(\beta)=V\\ +F & \text{en otro caso} +\end{cases}\\ +V(\alpha\lor\beta) & = & \begin{cases} +F & \text{si }V(\alpha)=F\text{ y }V(\beta)=F\\ +V & \text{en otro caso} +\end{cases}\\ +V(\alpha\rightarrow\beta) & = & \begin{cases} +F & \text{si }V(\alpha)=V\text{ y }V(\beta)=F\\ +V & \text{en otro caso} +\end{cases}\\ +V(\alpha\leftrightarrow\beta) & = & \begin{cases} +V & \text{si }V(\alpha)=V(\beta)\\ +F & \text{en otro caso} +\end{cases} +\end{eqnarray*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Grafos semánticos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un grafo semántico es un árbol que representa una f.b.f. + El nodo principal contiene el operador principal (o el único átomo). + De cada conectivo parten dos ramas (o una si es +\begin_inset Formula $\neg$ +\end_inset + +) con las subfórmulas que conecta, y los átomos son hojas. +\end_layout + +\begin_layout Section +Decidibilidad +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una oración puede ser: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Satisfacible +\series default + si +\begin_inset Formula $V(\alpha)=V$ +\end_inset + + en alguna interpretación. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Falseable +\series default + si +\begin_inset Formula $V(\alpha)=F$ +\end_inset + + en alguna interpretación. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Contingente +\series default + o +\series bold +contingencia +\series default + si es a la vez satisfacible y falseable. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Tautológica +\series default +, +\series bold +válida +\series default + o +\series bold +tautología +\series default + si +\begin_inset Formula $V(\alpha)=V$ +\end_inset + + en todas las interpretaciones. + Escribimos +\begin_inset Formula $\vDash\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Insatisfacible +\series default + o +\series bold +contradicción +\series default + si +\begin_inset Formula $V(\alpha)=F$ +\end_inset + + en todas las interpretaciones. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El problema SAT, determinar si una oración lógica es satisfacible, es el + primer problema conocido NP-completo, y de hecho todos los problemas NP-complet +os se pueden reducir a SAT, de modo que si uno de resuelve como P, se resuelven + todos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un conjunto de fórmulas +\begin_inset Formula ${\cal F}=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ +\end_inset + + es satisfacible si su conjunción lo es, y llamamos +\series bold +modelo +\series default + de +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + + a cualquier interpretación en la que +\begin_inset Formula $V(\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n})=V$ +\end_inset + +. + Definimos del mismo modo conjunto insatisfacible. + El conjunto +\begin_inset Formula ${\cal F}=\{\}$ +\end_inset + + es modelo en todas las interpretaciones. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para hallar los valores de verdad de una oración en función de la interpretación +, podemos construir una +\series bold +tabla de verdad. + +\series default + Si +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + tiene +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + átomos y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + operadores, construimos una tabla con +\begin_inset Formula $2^{n}$ +\end_inset + + filas (más la cabecera) y +\begin_inset Formula $n+m$ +\end_inset + + columnas. + En cada fila establecemos una asignación hasta establecer todas las asignacione +s posibles y obtenemos las evaluaciones para las oraciones definidas por + cada operador, en orden de evaluación y terminando con el operador principal, + que establece el valor de verdad. + Debemos indicar el orden de evaluación. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Otra forma es la +\series bold +propagación de literales. + +\series default + Un literal es un átomo o la negación de un átomo. + Dada una fórmula +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + +, definimos +\begin_inset Formula $\phi(p)\equiv\phi_{|V(p)=V}$ +\end_inset + + a la fórmula más simplificada que, en las interpretaciones en las que +\begin_inset Formula $V(p)=V$ +\end_inset + +, tenga los mismos valores de verdad que +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + +. + Por ejemplo, dada la oración +\begin_inset Formula $\phi\equiv(p\rightarrow q)\rightarrow(\neg p\rightarrow\neg q)$ +\end_inset + +, tendríamos que +\begin_inset Formula $\phi(p)\equiv\phi_{|V(p)=V}\equiv(V\rightarrow q)\rightarrow(\neg V\rightarrow\neg q)\equiv q\rightarrow(F\rightarrow q)\equiv q\rightarrow V\equiv V$ +\end_inset + +, mientras que +\begin_inset Formula $\phi(\neg p)\equiv\phi_{|V(\neg p)=V}\equiv\phi_{|V(p)=F}\equiv(F\rightarrow q)\rightarrow(\neg F\rightarrow\neg q)\equiv V\rightarrow(V\rightarrow\neg q)\equiv V\rightarrow\neg q\equiv\neg q$ +\end_inset + +. + En el segundo caso, tendríamos, por ejemplo, que +\begin_inset Formula $\phi(\neg p)(q)\equiv\phi(\neg p,q)\equiv\phi(\neg p)_{|V(q)=V}\equiv\neg V\equiv F$ +\end_inset + +. + En la práctica bastaría con escribir +\begin_inset Formula $\phi(\neg p,q)\equiv\neg V\equiv F$ +\end_inset + + para este último caso. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para comprobar los valores de verdad realizaríamos un +\series bold +árbol semántico. + +\series default + En este, la raíz sería la fórmula inicial, y de cada nodo, que contendrá + una fórmula +\begin_inset Formula $\xi$ +\end_inset + +, partirán dos ramas con +\begin_inset Formula $\xi(p)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\xi(\neg p)$ +\end_inset + + para algún átomo +\begin_inset Formula $l$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\xi$ +\end_inset + + (normalmente el que más aparece), salvo si +\begin_inset Formula $\xi\equiv V$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\xi\equiv F$ +\end_inset + +. + A la hora de dibujarlo, la línea que une una expresión con otra derivada + se etiqueta con el literal a propagar. +\end_layout + +\begin_layout Section +Equivalencias +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dos expresiones +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + son lógicamente equivalentes si y sólo si +\begin_inset Formula $V(\alpha)=V(\beta)$ +\end_inset + + para cualquier interpretación. + Escribimos +\begin_inset Formula $\alpha\equiv\beta$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $\alpha\equiv\beta\iff\vDash\alpha\leftrightarrow\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Propiedades conmutativas: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\land\beta\equiv\beta\land\alpha$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha\lor\beta\equiv\beta\land\alpha$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta\equiv\beta\leftrightarrow\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Propiedades asociativas: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\land(\beta\land\gamma)\equiv(\alpha\land\beta)\land\gamma$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha\lor(\beta\lor\gamma)\equiv(\alpha\lor\beta)\lor\gamma$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow(\beta\leftrightarrow\gamma)\equiv(\alpha\leftrightarrow\beta)\leftrightarrow\gamma$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Propiedades de De Morgan: +\series default + +\begin_inset Formula $\neg(\alpha\land\beta)\equiv\neg\alpha\lor\neg\beta$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\neg(\alpha\lor\beta)\equiv\neg\alpha\land\neg\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Propiedades distributivas: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\land(\beta\lor\gamma)\equiv(\alpha\land\beta)\lor(\alpha\land\gamma)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha\lor(\beta\land\gamma)\equiv(\alpha\lor\beta)\land(\alpha\lor\gamma)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow(\beta\lor\gamma)\equiv(\alpha\rightarrow\beta)\lor(\alpha\rightarrow\gamma)$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow(\beta\land\gamma)\equiv(\alpha\rightarrow\beta)\land(\alpha\rightarrow\gamma)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Propiedades de absorción: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\lor(\alpha\land\beta)\equiv\alpha\land(\alpha\lor\beta)\equiv\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Expresión booleana: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\lor(\neg\beta\land\beta)\equiv\alpha\land(\neg\beta\lor\beta)\equiv\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Reducción al absurdo: +\series default + +\begin_inset Formula $\neg\alpha\rightarrow(\beta\land\neg\beta)\equiv\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Propiedad de contraposición +\series default + o +\series bold +transposición: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\beta\rightarrow\neg\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Exportación: +\series default + +\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)\rightarrow\gamma\equiv\alpha\rightarrow(\beta\rightarrow\gamma)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Idempotencia: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\equiv\neg(\neg\alpha)\equiv\alpha\lor\alpha\equiv\alpha\land\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Eliminación del condicional: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\alpha\lor\beta\equiv\neg(\alpha\land\neg\beta)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Eliminación del bicondicional: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta\equiv(\alpha\rightarrow\beta)\land(\beta\rightarrow\alpha)\equiv(\alpha\land\beta)\lor(\neg\beta\land\neg\alpha)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Propiedades sobre tautologías: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\lor\neg\alpha\equiv V$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $V\lor\beta\equiv V$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $V\land\beta\equiv\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Propiedades sobre insatisfacibilidad: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\land\neg\alpha\equiv F$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $F\lor\beta\equiv\beta$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $F\land\beta\equiv F$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Razonamientos válidos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un razonamiento es válido si y sólo si en todas las interpretaciones en + las que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es verdad, +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + también lo es. + Igualmente, +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + es +\series bold +consecuencia lógica +\series default + de +\begin_inset Formula ${\cal F}=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + es verdad siempre que +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + + sea un modelo. + Escribimos +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\beta$ +\end_inset + +, y sabemos que +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta\iff\vDash\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de la deducción semántica: +\series default + +\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{\alpha\}\vDash\beta\iff{\cal F}\vDash\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + +. + Corolario: +\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\beta\iff\vDash\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\rightarrow\beta\iff\vDash\neg(\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\land\neg\beta)\iff\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\land\neg\beta\text{ es insatisfacible}$ +\end_inset + +. + Propiedades generales de +\begin_inset Formula $\vDash$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Reflexividad: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Transitividad: +\series default + Si +\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Monotonía: +\series default + Si +\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\alpha$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{\beta\}\vDash\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\vDash\beta$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula ${\cal F}\backslash\{\beta\}\vDash\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\alpha\equiv\beta\iff\alpha\vDash\beta\text{ y }\beta\vDash\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Algunas propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Simplificación +\series default + o +\series bold +eliminación de la conjunción: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\land\beta\vDash\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Adición +\series default + o +\series bold +introducción de la disyunción: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\alpha\lor\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Silogismos: +\series default + Forma de razonamiento deductivo con dos premisas y una conclusión. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Categóricos +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Combinación +\series default + o +\series bold +introducción de la conjunción: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha,\beta\}\vDash\alpha\land\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Inconsistencia: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha,\neg\alpha\}\vDash\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Hipotéticos +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Silogismo hipotético: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\beta\rightarrow\gamma\}\vDash\alpha\rightarrow\gamma$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Demostración por casos: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\gamma,\beta\rightarrow\gamma\}\vDash\alpha\lor\beta\rightarrow\gamma$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Prueba por casos: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\neg\alpha\rightarrow\beta\}\vDash\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Hipotéticos mixtos +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Modus Ponens: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\alpha\}\vDash\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Modus Tollens: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\neg\beta\}\vDash\neg\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Disyuntivo: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha\lor\beta,\neg\beta\}\vDash\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Dilemas: +\series default + Forma de razonamiento con una premisa disyunción que representa las opciones, + normalmente contrarias. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize + +\series bold +Constructivo: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha\lor\beta,\alpha\rightarrow\gamma,\beta\rightarrow\delta\}\vDash\gamma\lor\delta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Destructivo: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\neg\gamma\lor\neg\delta,\alpha\rightarrow\gamma,\beta\rightarrow\delta\}\vDash\neg\alpha\lor\neg\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Transposición: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\vDash\neg\beta\rightarrow\neg\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Eliminación de la equivalencia: +\series default + +\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta\vDash\{\alpha\rightarrow\beta,\beta\rightarrow\alpha\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Introducción de la equivalencia: +\series default + +\begin_inset Formula $\{\alpha\rightarrow\beta,\beta\rightarrow\alpha\}\vDash\alpha\leftrightarrow\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +El Corolario del Teorema de la Deducción Semántica y las propiedades básicas + de equivalencia y razonamientos nos permiten considerar al menos dos estrategia +s de razonamiento deductivo: la +\series bold +demostración directa +\series default +, comprobando que +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + es consecuencia lógica de +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + mediante definiciones, tautologías, teoremas o propiedades, y +\series bold +refutación +\series default + o demostración por contradicción ( +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\alpha\land\neg\beta\implies\gamma\land\neg\gamma$ +\end_inset + +), buscando contraejemplos o encontrando un +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $V(\alpha[a]\rightarrow\beta[a])=F$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/logic/n3.lyx b/logic/n3.lyx new file mode 100644 index 0000000..f720c27 --- /dev/null +++ b/logic/n3.lyx @@ -0,0 +1,1512 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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dicha interpretación, la oración es satisfacible. + Si no es cierta en ninguna, la oración es insatisfacible. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Árboles semánticos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una hoja de un árbol semántico es un +\series bold +nodo fallo +\series default + si su etiqueta es +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + +, y +\series bold +nodo éxito +\series default + si es +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. + Representamos el árbol como +\begin_inset Formula $\vernal$ +\end_inset + +, y observamos que, para comprobar la satisfacibilidad, basta con encontrar + un nodo éxito, y entonces no es necesario seguir desarrollando. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Tableaux semánticos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +tableaux semántico +\series default + es un árbol en el cual cada nodo está formado por una lista de oraciones + (sin paréntesis de ningún tipo), y su raíz es la lista formada por la oración + +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + a desarrollar. + Una oración puede tener +\series bold +comportamiento conjuntivo +\series default + (se le puede aplicar una +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +-fórmula) o +\series bold +disyuntivo +\series default + (se le puede aplicar una +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +-fórmula), o ser un literal. + Para cada rama del árbol: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Seleccionamos una oración que no sea un literal, preferiblemente con comportamie +nto conjuntivo. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si no encontramos ninguna, el nodo es un nodo hoja. + Lo marcamos como +\series bold +cerrado +\series default + si contiene un literal y su contrario, de lo contrario como +\series bold +abierto +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si tiene comportamiento conjuntivo, aplicamos la +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +-fórmula correspondiente y dibujamos una rama con la etiqueta +\begin_inset Formula $\alpha:\text{(nom. de fórmula)}$ +\end_inset + + y el nodo resultado de sustituir +\begin_inset Formula $\alpha,\phi_{1},\dots,\phi_{n}$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\alpha_{2},\phi_{1},\dots,\phi_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si tiene comportamiento disyuntivo, aplicamos la +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +-fórmula correspondiente y dibujamos dos ramas. + La división se marca con la etiqueta +\begin_inset Formula $\beta:\text{(nom. de fórmula)}$ +\end_inset + + y los nodos son los resultantes de sustituir +\begin_inset Formula $\beta,\phi_{1},\dots,\phi_{n}$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\beta_{1},\phi_{1},\dots,\phi_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta_{2},\phi_{1},\dots,\phi_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="7" columns="6"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +-fórmulas +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell multicolumn="1" alignment="center" 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+\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\alpha\land\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg(\alpha\land\beta)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg\alpha$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg(\alpha\lor\beta)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg\alpha$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\alpha\lor\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" 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leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg\alpha$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\alpha\leftrightarrow\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\beta\rightarrow\alpha$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg(\alpha\leftrightarrow\beta)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg(\alpha\rightarrow\beta)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg(\beta\rightarrow\alpha)$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +tableaux completado +\series default + o +\series bold +completo +\series default + es aquel cuya construcción ha terminado. + Decimos que es +\series bold +cerrado +\series default + cuando todas las hojas son cerradas, y +\series bold +abierto +\series default + cuando hay alguna abierta. + Así, +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es satisfacible si y sólo si su tableau completado es abierto. + Este método no detecta tautologías, pero podemos determinar que +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es tautológica cuando +\begin_inset Formula $\neg\phi$ +\end_inset + + es insatisfacible. +\end_layout + +\begin_layout Section +Algoritmos que requieren cláusulas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una fórmula +\begin_inset Formula $\xi$ +\end_inset + + está en +\series bold +forma normal conjuntiva +\series default + si es una cláusula o conjunción de cláusulas. + Una +\series bold +cláusula +\series default + es un literal o disyunción de dos o más literales (quitando todos los paréntesi +s). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Cláusula unitaria: +\series default + Con un solo literal. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Cláusula vacía: +\series default + Sin literales. + Se denota por +\begin_inset Formula $\square$ +\end_inset + + y es insatisfacible. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Cláusula de Horn: +\series default + Aquella que tiene como máximo un literal positivo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +conjunto clausal +\series default + o +\series bold +clausulado +\series default + al conjunto de dichas cláusulas, y decimos que está en +\series bold +forma clausal +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Obtención de FNC +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Aplicar las reglas de eliminación de +\begin_inset Formula $\leftrightarrow$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\rightarrow$ +\end_inset + + hasta tener solo +\begin_inset Formula $\neg$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\land$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lor$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Aplicar De Morgan hasta que las negaciones solo afecten a átomos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Eliminar las negaciones múltiples ( +\begin_inset Formula $\neg\neg$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Aplicar distributividad de +\begin_inset Formula $\lor$ +\end_inset + + sobre +\begin_inset Formula $\land$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Reducir la cantidad de paréntesis. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si queremos simplificar: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Eliminar literales opuestos: +\begin_inset Formula $\ell\lor\neg\ell\equiv V$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\ell\land\neg\ell\equiv F$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Eliminar constantes y expresiones repetidas: +\begin_inset Formula $V\lor\alpha\equiv V$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $F\lor\alpha\equiv V\land\alpha\equiv\alpha$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $F\land\alpha\equiv F$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\alpha\lor\alpha\equiv\alpha\land\alpha\equiv\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Quedarnos con expresiones subsumidas: +\begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)\land\alpha\equiv\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Algoritmo DPLL +\end_layout + +\begin_layout Standard +Al propagar un literal en una expresión en FNC, lo que hacemos es eliminar + las cláusulas en las que aparezca ( +\series bold +cláusula cancelada +\series default +) y las ocurrencias de literales complementarios ( +\series bold +ocurrencia eliminada +\series default +). + Al aplicar DPLL, representamos el conjunto clausulado como un conjunto + de conjuntos. + Por ejemplo, si +\begin_inset Formula $\phi\equiv p\land(q\lor\neg r)$ +\end_inset + +, entonces su conjunto clausal es +\begin_inset Formula $\Omega_{\phi}=\{p,q\lor\neg r\}$ +\end_inset + +, y lo representamos como +\begin_inset Formula $\Omega_{\phi FNC}=\{p,\{q,\neg r\}\}$ +\end_inset + +. + Entonces consideramos 5 reglas: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Regla de la cláusula unitaria: +\series default + Si hay una cláusula unitaria, propagar su literal. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Regla del literal puro: +\series default + Si hay un literal para el que no se da su complementario, propagarlo. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Regla de la tautología: +\series default + Eliminar las cláusulas que contengan literales complementarios. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Regla de la inclusión: +\series default + Si existen conjuntos clausales +\begin_inset Formula $C_{1},C_{2}\in\Omega_{\phi}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $C_{1}\subseteq C_{2}$ +\end_inset + +, eliminar +\begin_inset Formula $C_{2}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $\Omega_{\phi}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Regla de ramificación: +\series default + Considerar un literal +\begin_inset Formula $l$ +\end_inset + + (normalmente el que aparece más veces) y propagar +\begin_inset Formula $l$ +\end_inset + + por un lado y +\begin_inset Formula $\neg l$ +\end_inset + + por otro. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El algoritmo consiste en: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\Omega_{\phi}=\{\}$ +\end_inset + +, devolver +\family typewriter +true +\family default + (se indica mediante una flecha de la expresión derivada a la original etiquetad +a +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +true +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +), indicando que es satisfacible. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\square\in\Omega_{\phi}$ +\end_inset + +, devolver +\family typewriter +false +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +En caso contrario, aplicar la primera de las reglas que sea aplicable y + devolver su va +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +lor. + Para la regla de ramificación: Si la primera rama devuelve +\family typewriter +true +\family default +, devolverlo. + Si no, proceder con la segunda rama y devolver el valor devuelto. + Esto es lo que se denomina +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\lang american +backtracking +\lang spanish + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + (a partir de un algoritmo recursivo). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Lo representamos con un grafo, similar al del árbol semántico. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Método de resolución +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +resolvente +\series default + de dos cláusulas +\begin_inset Formula $\psi\equiv l_{1}\lor\dots\lor l_{n}\lor j$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{\phi}\equiv k_{1}\lor\dots\lor k_{m}\lor\neg j$ +\end_inset + + es la cláusula +\begin_inset Formula $R_{j}(\psi,\phi)\equiv l_{1}\lor\dots\lor l_{n}\lor k_{1}\lor\dots\lor k_{m}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $\psi$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + son las +\series bold +cláusulas padres +\series default + de +\begin_inset Formula $R_{j}(\psi,\phi)$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\{\psi,\phi\}$ +\end_inset + + es satisfacible si y sólo si +\begin_inset Formula $R_{j}(\psi,\phi)$ +\end_inset + + lo es. + Para resolver por resolución: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Definimos el conjunto +\begin_inset Formula ${\cal C}=\Omega_{\phi}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal C}_{0}^{*}={\cal C}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Por cada par de cláusulas +\begin_inset Formula $C_{1}=l\lor\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $C_{2}=\neg l\lor\beta$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}$ +\end_inset + +, obtenemos su resolvente y la añadimos a +\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}$ +\end_inset + +. + Si obtenemos la resolvente +\begin_inset Formula $\square$ +\end_inset + +, el conjunto +\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}$ +\end_inset + + es insatisfacible y por tanto +\begin_inset Formula ${\cal C}$ +\end_inset + + también. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Una vez obtenidas todas las resolventes, si +\begin_inset Formula $\square\notin{\cal C}^{*}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}$ +\end_inset + + es satisfacible y por tanto +\begin_inset Formula ${\cal C}$ +\end_inset + + también (solo en L0). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos expresar este algoritmo mediante un +\series bold +grafo de resolución +\series default +, en el que de cada par de cláusulas posible parte una línea hacia abajo + hacia su resolvente y tenemos cuidado de no incluir un resolvente igual + a una cláusula ya existente. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En dicho grafo, las premisas se dice que están en el nivel 0 ( +\begin_inset Formula ${\cal C}$ +\end_inset + +), y si +\begin_inset Formula $C_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $C_{2}$ +\end_inset + + están en los niveles +\begin_inset Formula $x_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{2}$ +\end_inset + +, su resolvente está en el nivel +\begin_inset Formula $\max\{x_{1},x_{2}\}+1$ +\end_inset + +, de forma que cada nivel se representa en una misma línea horizontal, y + los resolventes se numeran empezando por el nivel más alto (el nivel 0). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un grafo de resolución es +\series bold +básico +\series default + si solo muestra dos cláusulas y su resolvente; +\series bold +completo +\series default + si contiene la unión de todos los grafos de resolución básicos, y es un + +\series bold +grafo de refutación +\series default + si aparece +\begin_inset Formula $\square$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para la elección de los pares de cláusulas padres, existen principalmente + dos +\series bold +estrategias de resolución: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Búsqueda en anchura: +\series default + Se obtienen todas las resolventes de un nivel antes de pasar al siguiente. + Orden +\begin_inset Formula $(2,1)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(3,1)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(3,2)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(4,1)$ +\end_inset + +, etc. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Búsqueda en profundidad: +\series default + Una vez obtenida una resolvente de nivel +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, intenta obtener una de nivel +\begin_inset Formula $i+1$ +\end_inset + + a partir de ella. + Orden +\begin_inset Formula $(2,1)\rightarrow i$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(i,1)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(i,2)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(i,3)\rightarrow j$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(j,1)$ +\end_inset + +, etc. + No es completa. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En la práctica se utiliza la +\series bold +notación +\series default + o +\series bold +representación Fitting +\series default +: Se crea una lista numerada de las cláusulas de +\begin_inset Formula ${\cal C}$ +\end_inset + +, con la indicación +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +Premisa +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + o +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +C.E. +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + (conjunto de entrada) a la derecha de cada una. + Después, se van comprobando los pares de cláusulas en la lista, empezando + por +\begin_inset Formula $(2,1)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(3,1)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(3,2)$ +\end_inset + +, etc., y se va ampliando con los resolventes, que tendrán la indicación + +\begin_inset Formula $R_{l}(i,j)$ +\end_inset + +, siendo +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + los ordinales de las cláusulas padres. + Para optimizar, se pueden tachar cláusulas por los siguientes motivos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Literal puro ( +\begin_inset Formula $l$ +\end_inset + +) [después de tachar ( +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +)]. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Subsumida en ( +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Tautología ( +\begin_inset Formula $l\lor\neg l$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +El motivo debe indicarse a la derecha. + Si al final queda +\begin_inset Formula ${\cal C}^{*}=\{\}$ +\end_inset + +, la oración es satisfacible. +\end_layout + +\begin_layout Section +Razonamiento automático +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un razonamiento es válido ( +\begin_inset Formula $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}\vDash\beta$ +\end_inset + +) cuando +\begin_inset Formula $\vDash\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\rightarrow\beta$ +\end_inset + +, es decir, cuando +\begin_inset Formula $\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\land\neg\beta$ +\end_inset + + es insatisfacible. + Así, mediante tablas de verdad o árboles semánticos, podemos determinar + la validez de un razonamiento demostrando que +\begin_inset Formula $\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\rightarrow\beta$ +\end_inset + + es una tautología. + Para el resto de los métodos, comprobamos que +\begin_inset Formula $\alpha_{1}\land\dots\land\alpha_{n}\land\neg\beta$ +\end_inset + + es una contradicción. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En el caso de demostración por resolución, las cláusulas de +\begin_inset Formula $\neg\beta$ +\end_inset + + se denominan +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +conjunto soporte de entrada +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + Se marcan con un +\begin_inset Formula $*$ +\end_inset + + a la izquierda del ordinal tanto estas como las resolventes de alguna cláusula + marcada con +\begin_inset Formula $*$ +\end_inset + +, de forma recursiva. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/logic/n4.lyx b/logic/n4.lyx new file mode 100644 index 0000000..3796419 --- /dev/null +++ b/logic/n4.lyx @@ -0,0 +1,402 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +Las expresiones, numeradas, están dentro de una caja, que se representa + con los tres bordes de arriba, abajo y a la izquierda (a la derecha del + número de línea). + La caja principal no se suele representar. + Si se usa una +\emph on +Hipótesis +\emph default +, se crea una nueva caja (dentro de otra), y en cada caja las +\emph on +Premisas +\emph default + o +\emph on +Hipótesis +\emph default + van al principio y la última línea es la conclusión. + Cada caja representa una deducción ( +\begin_inset Formula $\vdash$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Section +Reglas +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="8" columns="3"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Eliminación de +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +Introducción de +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +la conjunción +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $E_{\land}:\frac{\vdash\alpha\land\beta}{\vdash\alpha},\frac{\vdash\alpha\land\beta}{\vdash\beta}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $I_{\land}:\frac{\vdash\alpha\,\vdash\beta}{\vdash\alpha\land\beta}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +la disyunción +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\underset{\text{Prueba por casos}}{E_{\lor}:\frac{\vdash\alpha\lor\beta\,\vdash(\alpha\vdash\gamma)\,\vdash(\beta\vdash\gamma)}{\vdash\gamma}}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $I_{\lor}:\frac{\vdash\alpha}{\vdash\alpha\lor\beta},\frac{\vdash\alpha}{\vdash\beta\lor\alpha}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +la implicación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\underset{\text{Modus Ponens}}{E_{\rightarrow}:\frac{\vdash\alpha\rightarrow\beta\,\vdash\alpha}{\vdash\beta}}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\underset{\text{Teorema de la Deducción}}{I_{\rightarrow}:\frac{\vdash(\alpha\vdash\beta)}{\vdash\alpha\rightarrow\beta}}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +la doble implicación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $E_{\leftrightarrow}:\frac{\vdash(\alpha\leftrightarrow\beta)}{\vdash(\alpha\rightarrow\beta)},\frac{\vdash(\alpha\leftrightarrow\beta)}{\vdash(\beta\rightarrow\alpha)}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $I_{\leftrightarrow}:\frac{\vdash(\alpha\rightarrow\beta)\,\vdash(\beta\rightarrow\alpha)}{\vdash(\alpha\leftrightarrow\beta)}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +la negación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\underset{\text{Reducción al absurdo}}{E_{\neg}:\frac{\vdash(\neg\alpha\vdash\beta\land\neg\beta)}{\vdash\alpha}}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\underset{\text{Reducción al absurdo}}{I_{\neg}:\frac{\vdash(\alpha\vdash\beta\land\neg\beta)}{\vdash\neg\alpha}}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +la doble negación +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $E_{\neg\neg}:\frac{\vdash\neg\neg\alpha}{\vdash\alpha}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +la contradicción +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $CONTRA:\frac{\vdash\alpha\,\vdash\neg\alpha}{\vdash\beta}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +También la iteración: +\begin_inset Formula $IT:\frac{\vdash\alpha}{\vdash\alpha}$ +\end_inset + +, que se usa cuando la hipótesis de una caja es la conclusión, dado que + deben estar en líneas distintas. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/logic/n5.lyx b/logic/n5.lyx new file mode 100644 index 0000000..e887da2 --- /dev/null +++ b/logic/n5.lyx @@ -0,0 +1,660 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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elemento +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + pertenece al conjunto +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +, y se representa como +\begin_inset Formula $x\in C$ +\end_inset + + (negación: +\begin_inset Formula $x\notin C$ +\end_inset + +) o +\begin_inset Formula $C(x)$ +\end_inset + +. + Podemos definir un conjunto por extensión ( +\begin_inset Formula $C=\{x_{1},x_{2},\dots\}$ +\end_inset + +), intensión ( +\begin_inset Formula $C=\{x|P(x)\}$ +\end_inset + +) o recursión ( +\begin_inset Formula $C=\{x|R(x)\}$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Igualdad: +\series default + +\begin_inset Formula $A=B:\iff(x\in A\iff x\in B)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Inclusión: +\series default + +\begin_inset Formula $A\subseteq B:\iff(x\in A\implies x\in B)$ +\end_inset + + (negación: +\begin_inset Formula $A\nsubseteq B$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Inclusión estricta: +\series default + +\begin_inset Formula $A\subsetneq B:\iff(A\subseteq B\text{ y }A\neq B$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Conjunto total +\series default + o +\series bold +universo: +\series default + +\begin_inset Formula ${\cal U}$ +\end_inset + +, el mayor conjunto que podemos considerar para un estudio. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Conjunto vacío: +\series default + +\begin_inset Formula $\emptyset=\{\}$ +\end_inset + +, sin elementos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Partes: +\series default + +\begin_inset Formula ${\cal P}(X)=\{A|A\subseteq X\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Unión: +\series default + +\begin_inset Formula $A\cup B:=\{x|x\in A\text{ ó }x\in B\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Intersección: +\series default + +\begin_inset Formula $A\cap B:=\{x|x\in A\text{ y }x\in B\}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + son +\series bold +disjuntos +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Diferencia: +\series default + +\begin_inset Formula $A-B:=A\backslash B:=\{x|x\in A\text{ y }x\notin B\}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Complemento: +\series default + +\begin_inset Formula $\overline{A}:=A^{\complement}:={\cal U}\backslash A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +diagrama de Euler +\series default + representa los conjuntos como círculos bien unos dentro de otros, separados + o intersecados, indicando de esta forma sus relaciones. + Un +\series bold +diagrama de Venn +\series default + representa los conjuntos como círculos todos intersecados entre sí, con + las partes no vacías sombreadas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +familia de conjuntos +\series default + +\begin_inset Formula ${\cal A}$ +\end_inset + + es un conjunto formado solo por conjuntos, y es una +\series bold +partición +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $\bigcup{\cal A}=A$ +\end_inset + + y si para todo +\begin_inset Formula $B,C\in{\cal A}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $B\neq C$ +\end_inset + + se tiene que +\begin_inset Formula $B\cap C=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Sintaxis +\end_layout + +\begin_layout Standard +Extensión de la lógica proposicional. + Las proposiciones atómicas tienen la forma +\begin_inset Formula $P(x)$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + es una categoría y +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + una variable (ambas conjuntos de letras latinas), y se leen +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + Además, se añaden los cuantificadores +\begin_inset Formula $\forall x$ +\end_inset + + (para todo +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +) y +\begin_inset Formula $\exists x$ +\end_inset + + (existe +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +), donde +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + puede ser cualquier variable. + Estos tienen la misma prioridad que la negación. + Las proposiciones compuestas se forman mediante cuatro +\series bold +formas normales: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Universal afirmativa: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall x(P(x)\rightarrow Q(x))$ +\end_inset + +; +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +todo +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Universal negativa: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall x(P(x)\rightarrow\neg Q(x))$ +\end_inset + +; +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +ningún +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Existencial afirmativa: +\series default + +\begin_inset Formula $\exists x(P(x)\land Q(x))$ +\end_inset + +; +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +algún +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Existencial negativa: +\series default + +\begin_inset Formula $\exists x(P(x)\land\neg Q(x))$ +\end_inset + +; +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +algún +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + no es +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Evaluación +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para evaluar una proposición en LC interpretada en un mundo +\begin_inset Formula ${\cal M}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Definimos +\begin_inset Formula ${\cal U}$ +\end_inset + + como el conjunto de todos los elementos que aparecen en +\begin_inset Formula ${\cal M}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Identificamos cada categoría +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + con un conjunto +\begin_inset Formula $P_{{\cal M}}$ +\end_inset + + del mundo. + El resultado es la +\series bold +interpretación +\series default + +\begin_inset Formula $I=\{P\mapsto P_{{\cal M}},\dots\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Evaluamos el valor de verdad de la proposición a partir de la interpretación. + Para ello: +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +Si encontramos un +\begin_inset Formula $\forall x\alpha[x]$ +\end_inset + +, decimos que esto es verdad si para cualquier +\begin_inset Formula $x\looparrowright d$ +\end_inset + + se cumple +\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=V$ +\end_inset + +. + Aquí, +\begin_inset Formula $\alpha[d]\equiv\{\alpha[x]\}_{d/x}$ +\end_inset + + el resultado de aplicar la +\series bold +sustitución +\series default + +\begin_inset Formula $\{d/x\}$ +\end_inset + +. + Entonces comprobamos +\begin_inset Formula $V(\alpha[d])$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $x\looparrowright d$ +\end_inset + + ( +\series bold +asignación +\series default +) con +\begin_inset Formula $d\in{\cal U}$ +\end_inset + + hasta encontrar un caso donde +\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=F$ +\end_inset + + (con lo que +\begin_inset Formula $V(\forall x\alpha[x])=F$ +\end_inset + +) o llegar a que en todos +\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=V$ +\end_inset + + (con lo que +\begin_inset Formula $V(\forall x\alpha[x])=V$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si encontramos un +\begin_inset Formula $\exists x\alpha[x]$ +\end_inset + + decimos que esto es verdad si encontramos un +\begin_inset Formula $x\looparrowright d$ +\end_inset + + para el que +\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=V$ +\end_inset + +. + Entonces comprobamos +\begin_inset Formula $V(\alpha[d])$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $x\looparrowright d$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $d\in{\cal U}$ +\end_inset + + hasta encontrar un caso donde +\begin_inset Formula $V(\alpha[d])=V$ +\end_inset + + (con lo que +\begin_inset Formula $V(\exists x\alpha[x])=V$ +\end_inset + +) o llegar a que todos son falsos (con lo que +\begin_inset Formula $V(\exists x\alpha[x])=F$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\end_deeper +\end_body +\end_document diff --git a/logic/n6.lyx b/logic/n6.lyx new file mode 100644 index 0000000..f89c446 --- /dev/null +++ b/logic/n6.lyx @@ -0,0 +1,1406 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style swiss +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Section +Relaciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +La lógica de primer orden (L1) extiende la lógica categórica permitiendo + expresar relaciones fuera de las formas normales y relaciones de varios + objetos. + Podemos distinguir: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Categorías: +\series default + +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x\in P$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $P(r)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Relaciones binarias: +\series default + +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +, +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + se relaciona con +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(x,y)\in R$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $R(x,y)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $xRy$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Relaciones +\series default + de cualquier orden: +\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})\in S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S(x_{1},\dots,x_{n})$ +\end_inset + +. + Se dice que +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + tiene +\series bold +aridad +\series default + +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, o que es una relación +\series bold + +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-aria +\series default +, lo que se representa por +\begin_inset Formula $S/n$ +\end_inset + +. + En general, +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + es una relación +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-aria entre +\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $Q\subseteq\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\forall i,A_{i}=A$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}=A^{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En relaciones con aridad +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, se define el +\series bold +dominio +\series default + como +\begin_inset Formula $\text{Dom}(R)=\{(x_{1},\dots,x_{n-1})|\exists x_{n}:(x_{1},\dots,x_{n})\in R\}$ +\end_inset + + (si la aridad es +\begin_inset Formula $2$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\text{Dom}(R)=\{x|\exists y:xRy\}$ +\end_inset + +), y el +\series bold +rango +\series default + como +\begin_inset Formula $\text{Ran}(R)=\{x_{n}|\exists(x_{1},\dots,x_{n-1}):(x_{1},\dots,x_{n})\in R\}$ +\end_inset + + (si la aridad es +\begin_inset Formula $2$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\text{Ran}(R)=\{y|\exists x:xRy\}$ +\end_inset + +. + El +\series bold +campo +\series default + de +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + se define como +\begin_inset Formula $\text{Campo}(R)=\text{Dom}(R)\cup\text{Ran}(R)$ +\end_inset + +. + Representaciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Cartesiana: +\series default + Similar a una función, con el conjunto inicial en el eje horizontal. + Se marcan los puntos que están en +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Tabular: +\series default + Como la cartesiana pero en una tabla. + En cada celda se pone un +\begin_inset Formula $1$ +\end_inset + + si el producto de tipos está en +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + +, un +\begin_inset Formula $0$ +\end_inset + + si no está y se deja en blanco si no lo sabemos. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Mediante digrafo: +\series default + Se representa a la izquierda el conjunto inicial y a la derecha el final, + y las relaciones se representan con flechas entre elementos de cada. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Grafo dirigido: +\series default + Se representa +\begin_inset Formula ${\cal U}$ +\end_inset + + y se indican las relaciones binarias con flechas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una relación +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-aria +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es una +\series bold +función +\series default + si y sólo si para cada elemento +\begin_inset Formula $x\in\text{Dom}(f)$ +\end_inset + + existe un único +\begin_inset Formula $y\in\text{Ran}(f)$ +\end_inset + + que se relacione con él. + Se escribe +\begin_inset Formula $f(x)=y$ +\end_inset + +, y la función se representa como +\begin_inset Formula $f:\prod_{i=1}^{n-1}A_{i}\rightarrow A_{n}$ +\end_inset + +. + Es +\series bold +inyectiva +\series default + si +\begin_inset Formula $f(x)=f(x')\implies x=x'$ +\end_inset + +, +\series bold +suprayectiva +\series default + si +\begin_inset Formula $\text{Ran}(f)=A_{n}$ +\end_inset + + y +\series bold +biyectiva +\series default + si es inyectiva y suprayectiva. + Definimos la aridad de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + como función como +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Tipos de relaciones: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Reflexiva: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a\in A,aRa$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Irreflexiva: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a\in A,a\not Ra$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Serial: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a\in A,\exists b\in A:aRb$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Simétrica: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b\in A,(aRb\implies bRa)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Asimétrica: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b\in A,(aRb\implies b\not Ra)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Antisimétrica: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b\in A,(aRb\land bRa\implies a=b)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Transitiva: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(aRb\land bRc\implies aRc)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Intransitiva: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(aRb\land bRc\implies a\not Rc)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Negativamente transitiva: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(a\not Rb\land b\not Rc\implies a\not Rc)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Completa: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b\in A,(aRb\lor bRa)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Euclídea: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(aRb\land aRc\implies bRc)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Incestuosa: +\series default + +\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in A,(aRb\land aRc\implies\exists d\in A:(bRd\land cRd))$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +Dada +\begin_inset Formula $R\subseteq A\times B$ +\end_inset + +, su +\series bold +relación inversa +\series default + es +\begin_inset Formula $R^{-1}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $xR^{-1}y:\iff yRx$ +\end_inset + +. + Dada +\begin_inset Formula $R\subseteq A\times A$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Su +\series bold +relación complementaria +\series default + es +\begin_inset Formula $R^{\complement}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $xR^{\complement}y:\iff x\not Ry$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Su +\series bold +relación simétrica +\series default + es +\begin_inset Formula $\overline{R}=R^{-1}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x\overline{R}y:\iff yRx$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Su +\series bold +relación dual +\series default + es +\begin_inset Formula $R^{d}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $aR^{d}b:\iff b\not Ra$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +Una relación de equivalencia es aquella reflexiva, simétrica y transitiva. + Sea +\begin_inset Formula $(A,\sim)$ +\end_inset + + de equivalencia, podemos definir la clase de equivalencia de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[x]$ +\end_inset + +, como el conjunto de todos los elementos que se relacionan con +\begin_inset Formula $[x]$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $y\in[x]\implies[y]=[x]$ +\end_inset + +, y decimos que +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + es un representante de la clase. + El conjunto cociente es el formado por todas las clases de equivalencia, + y se escribe +\begin_inset Formula $A/\sim=\{[x]|x\in A\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Sintaxis +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Proposición atómica: +\series default + +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + o un predicado. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Predicado: +\series default + Secuencia de letras latinas que representa una relación, seguida de una + serie de términos: +\begin_inset Formula $R(t_{1},\dots,t_{n})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Término: +\series default + Constante que representa un objeto definido, variable o función. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Constante: +\series default + Secuencia de letras latinas que representa a un objeto definido (salvo + +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Variable: +\series default + Secuencia de letras latinas que representa a un objeto indefinido. + Puede estar +\series bold +ligada +\series default + a un cuantificador, y entonces es igual al resto de variables ligadas al + mismo, o +\series bold +libre +\series default +, en cuyo caso puede representar cualquier cosa. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Función: +\series default + Secuencia de letras latinas que representa una función, seguida de una + serie de términos: +\begin_inset Formula $f(t_{1},\dots,t_{n})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La construcción de f.b.f es igual que en L0, pero cambiando la forma de las + proposiciones atómicas y añadiendo que si +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es f.b.f. + también lo son +\begin_inset Formula $(\forall x\alpha)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(\exists x\alpha)$ +\end_inset + +. + Una f.b.f. + es +\series bold +cerrada +\series default + si todas las variables están ligadas y +\series bold +abierta +\series default + en otro caso. +\end_layout + +\begin_layout Section +Interpretación y asignación +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +interpretación +\series default + de +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + en un +\series bold +mundo +\series default + +\begin_inset Formula $\mathbb{M}$ +\end_inset + + es una cuaterna +\begin_inset Formula ${\cal I}_{\alpha}=(\mathbb{D},{\cal C}_{\mathbb{D}},{\cal F}_{\mathbb{D}},{\cal R}_{\mathbb{D}})$ +\end_inset + + donde +\begin_inset Formula $\mathbb{D}$ +\end_inset + + es un conjunto no vacío de objetos, llamado dominio, +\begin_inset Formula ${\cal C}_{\mathbb{D}}$ +\end_inset + + es un conjunto de objetos concretos ( +\begin_inset Formula ${\cal C_{\alpha}\mapsto{\cal C}_{\mathbb{D}}}$ +\end_inset + +), +\begin_inset Formula ${\cal F}_{\mathbb{D}}$ +\end_inset + + de funciones concretas ( +\begin_inset Formula $f_{\alpha}\mapsto f_{\mathbb{D}}$ +\end_inset + +) y +\begin_inset Formula ${\cal R}_{\mathbb{D}}$ +\end_inset + + de relaciones concretas ( +\begin_inset Formula $R_{\alpha}\mapsto R_{\mathbb{D}}$ +\end_inset + +). + La +\series bold +signatura +\series default + es el conjunto de todos los predicados y funciones, indicando su aridad. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una asignación de variables es una función +\begin_inset Formula $\sigma_{{\cal I}_{\alpha}}:{\cal V}\rightarrow\mathbb{D}$ +\end_inset + + que relaciona cada variable de +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + con un elemento del dominio, y definimos +\begin_inset Formula $\sigma_{{\cal I}_{\alpha}|x\looparrowright d}$ +\end_inset + + a la asignación definida igual que +\begin_inset Formula $\sigma_{{\cal I}_{\alpha}}$ +\end_inset + + pero asignando a +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + el objeto +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +asignación de valores de verdad +\series default + +\begin_inset Formula $v_{\sigma_{{\cal I}_{\alpha}}}:{\cal P_{\alpha}\rightarrow\mathbb{B}}$ +\end_inset + + asigna un valor de verdad a cada elemento atómico de +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula $v(R_{\alpha}(t_{1},\dots,t_{n}))=V\iff(d_{1},\dots,d_{n})\in R_{\mathbb{D}}$ +\end_inset + +, donde si +\begin_inset Formula $t_{i}$ +\end_inset + + es constante entonces +\begin_inset Formula $d_{i}=t_{i}$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $t_{i}=f(x_{1},\dots,x_{n})$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $d_{i}$ +\end_inset + + es el único +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n},y)\in f$ +\end_inset + +, y si es variable entonces depende de la +\series bold +asignación +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +evaluación +\series default + de una oración +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + se hace igual que en LC, pero partiendo de esta asignación de valores de + verdad. + También se puede hacer mediante tablas de verdad, que en L1 sólo evalúan + una interpretación a la vez: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Se introduce una columna por variable, dividida en una fila por cada valor + del dominio. + Puede ser necesario considerar aquí todas las posibles combinaciones de + variables. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Se introduce una columna por cada función que aparece en la oración, y se + evalúa de acuerdo al valor de la variable dado. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Se introducen las filas correspondientes a la fórmula, indicando el orden + de evaluación. + Un cuantificador que no está dentro de otro ocupa la fila completa, pero + su contenido se divide en una fila por cada posible asignación de la variable. + Una vez se conoce el valor del cuantificador no es necesario evaluar el + resto de asignaciones, pero es importante justificar los valores de verdad + de los predicados (ejemplos: +\begin_inset Formula $V:(a,b)\in P_{{\cal M}}$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $F:(c,a)\notin Q_{{\cal M}}$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Este método es impráctico, por lo que no se usa. +\end_layout + +\begin_layout Section +Sustituciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +sustitución +\series default + es una expresión +\begin_inset Formula $s=\{t_{1}/v_{1},\dots,t_{n}/v_{n}\}$ +\end_inset + + que indica que toda ocurrencia de cada +\begin_inset Formula $v_{i}$ +\end_inset + + se debe sustituir por el término +\begin_inset Formula $t_{i}$ +\end_inset + +. + Todas las sustituciones se hacen simultáneamente. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +particularización por sustitución +\series default + consiste en sustituir sus variables por términos. + Escribimos +\begin_inset Formula $Ps$ +\end_inset + + como la particularización de la expresión +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + según la sustitución +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +En una +\series bold +particularización básica +\series default +, los términos son constantes. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +En una +\series bold +particularización alfabética +\series default +, los términos son otras variables. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Composición de sustituciones: +\series default + Dadas +\begin_inset Formula $s=\{a_{1}/x_{1},\dots,a_{n}/x_{n}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t=\{b_{1}/y_{1},\dots,b_{m}/y_{m}\}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + los conjuntos de variables sustituidas respectivamente según +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $s\cdot t=\{(a_{i}t)/x_{i}|x_{i}\neq a_{i}t\}\cup\{b_{i}/y_{i}|y_{i}\in Y\backslash X\}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $a_{i}t$ +\end_inset + + es la particularización de +\begin_inset Formula $a_{i}$ +\end_inset + + según +\begin_inset Formula $t$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Equivalencias +\end_layout + +\begin_layout Standard +\align center +\begin_inset Tabular +<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2"> +<features tabularvalignment="middle"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<column alignment="center" valignment="top"> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg\exists x\alpha[x]\equiv\forall x\neg\alpha[x]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\neg\forall x\alpha[x]\equiv\exists x\neg\alpha[x]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +<row> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\forall x(\alpha[x]\land\beta[x])\equiv\forall x\alpha[x]\land\forall x\beta[x]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none"> +\begin_inset Text + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\exists x(\alpha[x]\lor\beta[x])\equiv\exists x\alpha[x]\lor\exists x\beta[x]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset +</cell> +</row> +</lyxtabular> + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +También, tanto en L1 como en LC, podemos sustituir el nombre de una variable + por otro siempre que lo cambiemos en el cuantificador al que está ligado + y en todos los símbolos ligados al mismo cuantificador (o bien la variable + sea libre), y al hacerlo todas las variables de la oración sigan ligadas + al mismo cuantificador de partida (o sigan libres). +\end_layout + +\begin_layout Section +Satisfacibilidad +\end_layout + +\begin_layout Standard +Podemos comprobar la satisfacibilidad de una oración mediante tableaux. + Añadimos dos tipos de reglas: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\gamma$ +\end_inset + + +\series bold +-reglas +\series default +: +\begin_inset Formula $\forall x\alpha[x]\mapsto\alpha[C],\forall x\alpha[x]$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\neg\exists x\alpha[x]\mapsto\neg\alpha[C],\neg\exists x\alpha[x]$ +\end_inset + +. + La sustitución +\begin_inset Formula $\{C/x\}$ +\end_inset + + se hace sobre una constante +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + existente. + Si no existe ninguna, debemos suponer una nueva. + El +\begin_inset Formula $\forall x\alpha[x]$ +\end_inset + + resultante no hace referencia a +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +, de modo que se debe escribir una lista debajo de cada expresión de este + tipo ( +\begin_inset Formula $L=\{\dots\}$ +\end_inset + +) con los elementos a los que sí hace referencia. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $\delta$ +\end_inset + + +\series bold +-reglas +\series default +: +\begin_inset Formula $\exists x\alpha[x]\mapsto\alpha[C]$ +\end_inset + +; +\begin_inset Formula $\neg\forall x\alpha[x]\mapsto\neg\alpha[C]$ +\end_inset + +. + La sustitución +\begin_inset Formula $\{C/x\}$ +\end_inset + + se hace sobre una constante +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + nueva, y entonces se debe añadir a las listas de todas las expresiones + de +\begin_inset Formula $\gamma$ +\end_inset + +-reglas dicha constante. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Al aplicar estas reglas, se debe indicar, por ejemplo: +\begin_inset Formula $\gamma:\forall x;\{C/x\};C\text{ nueva}$ +\end_inset + + (la última parte se incluye siempre en las +\begin_inset Formula $\delta$ +\end_inset + +-reglas). + Las +\begin_inset Formula $\delta$ +\end_inset + +-reglas se aplican después de las +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +-reglas y antes de las +\begin_inset Formula $\gamma$ +\end_inset + +-reglas, y si se llega a un bucle por una rama, se razona que el tableaux + es abierto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si el tableaux es cerrado (si todas las hojas están cerradas), llegamos + a una contradicción. + Sin embargo, si el tableaux es abierto, no sabemos que sea satisfacible + (salvo si todos los predicados son de aridad 1 o la identidad). + No obstante, los nodos abiertos pueden servir como ejemplos de interpretaciones + en las que la oración es satisfacible. +\end_layout + +\begin_layout Section +Grafos semánticos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Son iguales que en L0, pero en los cuantificadores, el nombre de la variable + se incluye en el nombre del propio nodo junto con el cuantificador. + Además, debajo de cada predicado (que se escribe completo), se puede indicar + el f.b.f. + de términos, que consiste en añadir un nodo hijo por cada término. + Si el término es una función, se indica simplemente el nombre de la función + y sus parámetros se escriben como nodos hijo. +\end_layout + +\begin_layout Section +Deducción natural +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se añaden reglas de deducción natural: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $E_{\forall}:\frac{\vdash\forall x\alpha[x]}{\vdash\alpha[C]}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + es una constante cualquiera. + Se debe indicar la sustitución +\begin_inset Formula $\{C/x\}$ +\end_inset + + y, en su caso, si +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + es nueva o +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +arbitraria +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $I_{\forall}:\frac{\vdash\alpha[C]}{\vdash\forall x\alpha[x]}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + debe ser +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +arbitraria +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +, es decir, no distinguible de cualquier otro individuo por suposiciones, + derivaciones o premisas anteriores. + Puede ser obtenida nueva con +\begin_inset Formula $E_{\forall}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $E_{\exists}:\frac{\vdash\exists x\alpha[x]\vdash(\alpha[C]\vdash\beta)}{\vdash\beta}$ +\end_inset + +. + No se debe hacer ninguna suposición sobre +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + no puede depender de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $I_{\exists}:\frac{\vdash\alpha[C]}{\vdash\exists x\alpha[x]}$ +\end_inset + +. + Se pueden cambiar todas las apariciones de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + o solo algunas. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/logic/n7.lyx b/logic/n7.lyx new file mode 100644 index 0000000..b05b04e --- /dev/null +++ b/logic/n7.lyx @@ -0,0 +1,609 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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+prueba formal +\series default + es una secuencia de conjuntos de fórmulas en las que cada fórmula es un + axioma o puede obtenerse del conjunto anterior mediante una regla de inferencia. + Cada elemento +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + del último conjunto de la secuencia se llama +\series bold +teorema por deducción +\series default +, y se dice que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es +\series bold +demostrable +\series default +, lo que escribimos como +\begin_inset Formula $\vdash\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un sistema deductivo en L0 y L1 es +\series bold +sólido +\series default + si y sólo si +\begin_inset Formula $\vdash\alpha\implies\vDash\alpha$ +\end_inset + +, es decir, si cualquier conclusión +\series bold +derivable +\series default + o +\series bold +deducible +\series default +a partir de las reglas es válida, y es +\series bold +completo +\series default + cuando +\begin_inset Formula $\vDash\alpha\implies\vdash\alpha$ +\end_inset + +. + Un conjunto de reglas es +\series bold +inconsistente +\series default + si +\begin_inset Formula $\vdash\alpha\land\neg\alpha$ +\end_inset + +, y es +\series bold +consistente +\series default + si no es inconsistente. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dada una oración +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y un conjunto de oraciones +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\vDash\alpha$ +\end_inset + + significa que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es válida y +\begin_inset Formula ${\cal F}\vDash\alpha$ +\end_inset + + significa que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es consecuencia lógica de +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + +. + Por su parte +\begin_inset Formula $\vdash\alpha$ +\end_inset + + significa que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es demostrable y +\begin_inset Formula ${\cal F}\vdash\alpha$ +\end_inset + + significa que +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es deducible de +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + +, y representa una +\series bold +deducción +\series default + o +\series bold +razonamiento +\series default +, donde +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es la conclusión o +\series bold +derivación +\series default + y las +\begin_inset Formula $\psi\in{\cal F}$ +\end_inset + + son las premisas, las fórmulas usadas para llegar a +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Decimos que un conjunto de oraciones +\begin_inset Formula ${\cal T}$ +\end_inset + + es una +\series bold +teoría +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall\alpha({\cal T}\vDash\alpha\implies\alpha\in{\cal T})$ +\end_inset + +, y entonces cada +\begin_inset Formula $\alpha\in{\cal T}$ +\end_inset + + es un +\series bold +teorema +\series default +. + Una teoría es +\series bold +axiomatizable +\series default + si existe un subconjunto +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula ${\cal T}=\{\alpha|{\cal F}\vDash\alpha\}$ +\end_inset + +, y cada +\begin_inset Formula $\alpha\in{\cal F}$ +\end_inset + + es un +\series bold +axioma +\series default +, y es +\series bold +contradictoria +\series default + o +\series bold +inconsistente +\series default + cuando +\begin_inset Formula ${\cal T}\vDash\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal T}\vDash\neg\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una teoría es +\series bold +decidible +\series default + si se puede determinar la consistencia o inconsistencia de una fórmula + mediante un algoritmo; +\series bold +semidecidible +\series default + si hay fórmulas cuya inconsistencia no puede ser probada algorítmicamente, + e +\series bold +indecidible +\series default + si no es posible crear un algoritmo que determine la consistencia o inconsisten +cia de una fórmula. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Hilbert +\series default + opinaba que todo sistema fundamental matemático debía ser consistente, + completo y decidible, pero Kurt +\series bold + Gödel +\series default + demostró que ningún sistema capaz de representar los números naturales + puede ser a la vez consistente y completo, y que la consistencia no puede + probarse con los propios axiomas del sistema, por lo que habrá verdades + que no se pueden demostrar. + Alan +\series bold +Turing +\series default +, por su parte, demostró que solo sistemas muy restrictivos son decidibles. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un sistema deductivo cumple el +\series bold +teorema de la deducción +\series default + si verifica que, dado el conjunto +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + + y las fórmulas +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{\alpha\}\vdash\beta\iff{\cal F}\vdash\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + +. + Así, +\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}\vdash\beta\iff{\cal F}\cup\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n-1}\}\vdash\alpha_{n}\rightarrow\beta\iff\dots\iff{\cal F}\vdash\alpha_{1}\rightarrow(\alpha_{2}\rightarrow\cdots(\alpha_{n}\rightarrow\beta)\cdots)$ +\end_inset + +. + Este teorema simplifica mucho las demostraciones, si bien no se probó su + corrección hasta 1930. + No todos los sistemas cumplen en teorema de la deducción, si bien el Teorema + de la Deducción Semántica ( +\begin_inset Formula ${\cal F}\cup\{a\}\vDash\beta\iff{\cal F}\vDash\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + +) se cumple siempre. + Decimos que +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + + es +\series bold +sintácticamente completo +\series default + si para todo +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula ${\cal F}\vdash\alpha$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula ${\cal F}\vdash\neg\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +razonamiento deductivo +\series default + es el que parte de unas hipótesis básicas para obtener unas consecuencias + ( +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$ +\end_inset + +). + Normalmente parte de premisas sobre aspectos generales para concluir aspectos + particulares. + La relación entre premisas y conclusión es de implicación ( +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta\iff\vDash\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + +). + Algunos tipos de +\series bold +demostración +\series default + deductiva (de +\begin_inset Formula $\vDash\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + +): +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Vacía +\series default + de +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta$ +\end_inset + +: +\begin_inset Formula $\forall v_{I},v(\alpha)=F$ +\end_inset + + (no se usa +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Trivial +\series default +: +\begin_inset Formula $\forall v_{I},v(\beta)=V$ +\end_inset + + (no se usa +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Directa +\series default +: Probar que +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$ +\end_inset + + usando definiciones o teoremas ya probados, como el Modus Ponens. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Por contrarrecíproco +\series default +: +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\neg\beta\rightarrow\neg\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Por contradicción +\series default +: +\begin_inset Formula $\alpha\rightarrow\beta\equiv\alpha\land\neg\beta\rightarrow\gamma\land\neg\gamma$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Indirecta +\series default +: Si +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\gamma$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\gamma\vDash\beta$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\alpha\vDash\beta$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +refutación por contraejemplo +\series default + consiste en buscar +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $v(\alpha[a]\rightarrow\beta[a])=F$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +razonamiento inductivo +\series default + consiste en obtener reglas generales a partir de casos particulares. + Para ello se observan, registran y analizan hechos y se formulan leyes + universales a modo de hipótesis o conjeturas, tras lo cual se diseñan experimen +tos para ver que estas leyes se cumplen. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +inducción matemática +\series default +, sin embargo, se puede probar de forma deductiva, si bien esto requiere + lógica de segundo orden. + En +\begin_inset Formula $\mathbb{N}$ +\end_inset + +, para un +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, tenemos: +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Principio de inducción débil +\series default +: +\begin_inset Formula $\{P(n_{0})\}\cup\bigcup_{n\geq n_{0}}\{P(n)\rightarrow P(n+1)\}\vDash\forall n\geq n_{0},P(n)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\series bold +Principio de inducción fuerte +\series default +: +\begin_inset Formula $\{P(n_{0})\}\cup\bigcup_{n\geq n_{0}}\{P(n_{0})\land\dots\land P(n)\rightarrow P(n+1)\}\vDash\forall n\geq n_{0},P(n)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +principio de inducción estructural +\series default + para +\series bold +demostración por recursión +\series default + es una generalización de la inducción y afirma que, dado un conjunto de + elementos definido por recursión con una serie de casos base y reglas de + recursión sobre estos, si una propiedad se cumple para cada caso base, + y si en cada regla de recursión si la propiedad se cumple para los parámetros + de entrada también se cumple para el elemento resultante de aplicarla, + entonces esta propiedad la cumplen todos los elementos del conjunto. +\end_layout + +\end_body +\end_document |
