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@@ -278,7 +278,7 @@ traza a \begin_inset Formula \[ -\text{tr}A:=\sum_{k=1}^{n}a_{kk}. +\text{tr}A:=\sum_{k=1}^{n}A_{kk}. \] \end_inset @@ -395,7 +395,7 @@ sistema \begin_inset Formula $n$ \end_inset - incógnitas es un sistema de la forma + incógnitas es uno de la forma \begin_inset Formula \[ \left\{ \begin{aligned}a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n} & =b_{1},\\ @@ -522,15 +522,15 @@ Una \series bold base \series default - de un espacio vectorial -\begin_inset Formula $E$ + de un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset - de dimensión finita sobre un cuerpo -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +-espacio vectorial +\begin_inset Formula $E$ \end_inset - es una tupla + de dimensión finita es una tupla \begin_inset Formula $(v_{1},\dots,v_{n})$ \end_inset @@ -563,7 +563,7 @@ con \begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})\in\mathbb{K}^{n}$ \end_inset -, y por tanto con la correspondiente matriz columna. +, y con la correspondiente matriz columna. \end_layout \begin_layout Standard @@ -584,7 +584,7 @@ producto escalar \end_inset bilineal simétrica tal que -\begin_inset Formula $\forall f\in E\setminus\{0\},\langle f,f\rangle>0$ +\begin_inset Formula $\forall f\in E\setminus0,\langle f,f\rangle>0$ \end_inset . @@ -686,169 +686,6 @@ ortogonales \end_inset . - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Una -\series bold -norma -\series default - en un -\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ -\end_inset - --espacio vectorial -\begin_inset Formula $E$ -\end_inset - - es una aplicación -\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert:E\to\mathbb{K}$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\forall v,w\in E,t\in\mathbb{R}:$ -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\Vert tv\Vert=|t|\Vert v\Vert$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\Vert v+w\Vert\leq\Vert v\Vert+\Vert w\Vert$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $v\neq0\implies\Vert v\Vert>0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\series bold -norma euclídea -\series default - en -\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $\Vert v\Vert:=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $f:V\to W$ -\end_inset - - una aplicación lineal y -\begin_inset Formula ${\cal B}:=(v_{1},\dots,v_{n})$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula ${\cal B}':=(w_{1},\dots,w_{m})$ -\end_inset - - bases respectivas de -\begin_inset Formula $V$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $W$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula -\[ -\left\{ \begin{aligned}f(v_{1}) & =a_{11}w_{1}+\dots+a_{m1}w_{1},\\ - & \vdots\\ -f(v_{m}) & =a_{1n}w_{1}+\dots+a_{mn}w_{m}, -\end{aligned} -\right. -\] - -\end_inset - -llamamos -\series bold -matriz asociada -\series default - a -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - con respecto de las bases -\begin_inset Formula ${\cal B}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula ${\cal B}'$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $(a_{ij})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq n}$ -\end_inset - -. - Dadas dos aplicaciones lineales -\begin_inset Formula $U\overset{f}{\to}V\overset{g}{\to}W$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $g\circ f$ -\end_inset - - también es lineal, y si -\begin_inset Formula $U$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $V$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $W$ -\end_inset - - son de dimensión finita y -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - tienen matrices respectivas -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $g\circ f$ -\end_inset - - tiene matriz -\begin_inset Formula $BA$ -\end_inset - - respecto de las mismas bases. \end_layout \begin_layout Section @@ -1443,11 +1280,11 @@ El cociente de Rayleigh \series default de una matriz -\begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}$ +\begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ \end_inset es una aplicación -\begin_inset Formula $R_{A}:\mathbb{C}^{n}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}$ +\begin_inset Formula $R_{A}:\mathbb{C}^{n}\setminus0\to\mathbb{C}$ \end_inset dada por @@ -1474,7 +1311,7 @@ Sean \begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}$ \end_inset - es hermitiana con valores propios + hermitiana con valores propios \begin_inset Formula $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{n}$ \end_inset @@ -1498,7 +1335,11 @@ Sean \begin_inset Formula $k$ \end_inset -, + ( +\begin_inset Formula $E_{0}=\{0\}$ +\end_inset + +) y \begin_inset Formula ${\cal S}_{k}$ \end_inset @@ -1510,14 +1351,6 @@ Sean \begin_inset Formula $k$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $E_{0}:=\{0\}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula ${\cal S}_{k}:=\{E_{0}\}$ -\end_inset - . Entonces, para \begin_inset Formula $1\leq k\leq n$ @@ -1750,11 +1583,15 @@ Sea \begin_inset Formula $E$ \end_inset - un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ + un espacio vectorial sobre +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset --espacio vectorial, una +, una \series bold norma \series default @@ -1892,7 +1729,19 @@ norma matricial \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(\mathbb{K})$ \end_inset - es una que cumple +, donde +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + +, es una que cumple \begin_inset Formula $\forall A,B\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K}),\Vert AB\Vert\leq\Vert A\Vert\Vert B\Vert$ \end_inset @@ -1907,7 +1756,63 @@ norma matricial , llamamos \series bold -norma matricial subordinada +norma matricial sub +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +or +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +di +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +na +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +da \series default a la norma \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ @@ -1920,7 +1825,7 @@ norma matricial subordinada dada por \begin_inset Formula \[ -\Vert A\Vert:=\sup\left\{ \frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert}\right\} _{x\in\mathbb{K}^{n}\setminus\{0\}}=\sup\left\{ \frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert}\right\} _{\Vert x\Vert\leq1}=\sup\left\{ \Vert Ax\Vert\right\} _{\Vert x\Vert=1}. +\Vert A\Vert:=\sup_{x\in\mathbb{K}^{n}\setminus\{0\}}\frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert}=\sup_{\Vert x\Vert\leq1}\frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert}=\sup_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert. \] \end_inset @@ -1941,13 +1846,6 @@ Entonces, para \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $A:=(a_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ \end_inset @@ -2139,7 +2037,7 @@ norma euclídea \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$ \end_inset - y +, y \begin_inset Formula $\Vert A\Vert_{2}\leq\Vert A\Vert_{E}\leq\sqrt{n}\Vert A\Vert_{2}$ \end_inset @@ -2497,7 +2395,7 @@ Sean \end_inset invertible, -\begin_inset Formula $0\neq b\in\mathbb{K}^{n}$ +\begin_inset Formula $b\in\mathbb{K}^{n}\setminus0$ \end_inset y @@ -2682,7 +2580,7 @@ Llamamos \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall\alpha\in\mathbb{K}\setminus\{0\},\text{cond}(\alpha A)=\text{cond}A$ +\begin_inset Formula $\forall\alpha\in\mathbb{K}\setminus0,\text{cond}(\alpha A)=\text{cond}A$ \end_inset . @@ -2733,18 +2631,6 @@ Si \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es unitaria, -\begin_inset Formula $\text{cond}_{2}U=1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate Sea \begin_inset Formula $U$ \end_inset @@ -231,7 +231,7 @@ factorización LU \begin_inset Formula $U\in{\cal M}_{n}$ \end_inset - no singulares tales que + tales que \begin_inset Formula $A=LU$ \end_inset @@ -244,7 +244,7 @@ factorización LU \begin_inset Formula $(L,U)$ \end_inset - es factorización LU de + es una factorización LU de \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -353,7 +353,9 @@ sum_{s=1}^kl_{ks}u_{sk}$} \backslash -lSSi{$p=0$}{terminar con error} +lSSi{$p=0$}{ +\backslash +Devolver error} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -482,7 +484,7 @@ noprefix "false" \end_inset - permite factorizar matrices LU en tiempo + calcula una factorización LU en tiempo \begin_inset Formula $\Theta(n^{3})$ \end_inset @@ -540,7 +542,7 @@ Una matriz \end_inset no singular admite una factorización LU si y sólo si todos sus menores - principales (submatrices cuadradas obtenidas de tomar las + principales (submatrices cuadradas con las \begin_inset Formula $k$ \end_inset @@ -662,7 +664,7 @@ factorización LDU \begin_inset Formula $L\in{\cal M}_{n}$ \end_inset -, una diagonal no singular +, una diagonal \begin_inset Formula $D\in{\cal M}_{n}$ \end_inset @@ -771,7 +773,11 @@ A partir de la factorización de Dootlittle \begin_inset Formula $A=LU$ \end_inset -, la factorización LDU de +, si +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + es no singular, la factorización LDU de \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -796,8 +802,11 @@ A partir de la factorización de Dootlittle \begin_inset Formula $\det A\neq0$ \end_inset - y admite una factorización LU, existe una única factorización de la forma - + y admite una factorización LU con +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + no singular, existe una única factorización de la forma \begin_inset Formula $LDL^{t}$ \end_inset @@ -995,7 +1004,7 @@ Si ahora llamamos \begin_inset Formula $M_{3},\dots,M_{n-1}$ \end_inset - por inducción, y entonces + de forma similar, y entonces \begin_inset Formula $A^{(n)}=M_{n-1}\cdots M_{1}A$ \end_inset @@ -1027,11 +1036,11 @@ es de filas si y sólo si ninguno de sus menores principales hasta \begin_inset Formula $n-1$ \end_inset - es singular, lo que si + es singular, lo que para \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es singular equivale a que sea factorizable LU. + no singular equivale a que sea factorizable LU. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1062,7 +1071,7 @@ En tal caso, sean es una factorización de Dootlittle. \end_layout -\begin_layout Section +\begin_layout Subsection Método de Gauss \end_layout @@ -1450,7 +1459,7 @@ PD positive definite \emph default ) si -\begin_inset Formula $\forall x\in\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\},x^{t}Ax>0.$ +\begin_inset Formula $\forall x\in\mathbb{R}^{n}\setminus0,x^{t}Ax>0.$ \end_inset En tal caso: @@ -1466,7 +1475,7 @@ positive definite \begin_deeper \begin_layout Standard Si lo fuera, las columnas serían linealmente dependientes y existiría -\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ +\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{n}\setminus0$ \end_inset con @@ -1882,12 +1891,39 @@ Sea \end_layout +\begin_layout Standard +Cuando existe +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + triangular inferior con diagonal positiva tal que +\begin_inset Formula $A=LL^{t}$ +\end_inset + +, llamamos a +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + el +\series bold +factor +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + de Choleski +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + \begin_layout Subsection Matrices tridiagonales \end_layout \begin_layout Standard -Una matriz \begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}$ \end_inset @@ -1954,7 +1990,7 @@ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ \end_inset -llamando +si \begin_inset Formula $\delta_{0},\delta_{1}:=1$ \end_inset @@ -2286,11 +2322,11 @@ factorización QR \begin_inset Formula $Q\in{\cal M}_{m}$ \end_inset - es ortogonal y + ortogonal y \begin_inset Formula $R\in{\cal M}_{m\times n}$ \end_inset - es triangular superior. + triangular superior. El \series bold método de Householder @@ -2391,7 +2427,7 @@ gets H_{(0, \backslash dots,0,v_1, \backslash -dots,v_m-k+1)}= +dots,v_{m-k+1})}= \backslash left( \backslash @@ -2411,7 +2447,7 @@ hline \begin_layout Plain Layout - 0 & H' + 0 & H_v \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -2520,7 +2556,7 @@ Si \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\text{span}(A_{1},\dots,A_{k})=\text{span}(Q_{1},\dots,Q_{k})$ +\begin_inset Formula $\text{span}\{A_{1},\dots,A_{k}\}=\text{span}\{Q_{1},\dots,Q_{k}\}$ \end_inset para @@ -2528,7 +2564,7 @@ Si \end_inset , y -\begin_inset Formula $\text{span}(A_{1},\dots,A_{n})^{\bot}=\text{span}(Q_{n+1},\dots,Q_{m})$ +\begin_inset Formula $\text{span}\{A_{1},\dots,A_{n}\}^{\bot}=\text{span}\{Q_{n+1},\dots,Q_{m}\}$ \end_inset . @@ -2765,20 +2801,16 @@ espacio de Hilbert con la norma dada por \begin_inset Formula \[ -\langle f,g\rangle:=\int_{a}^{b}f(x)g(x)w(x)dx, +\langle f,g\rangle:=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\omega(x)dx, \] \end_inset donde -\begin_inset Formula $w\in{\cal C}([a,b])$ +\begin_inset Formula $\omega:[a,b]\to(0,+\infty)$ \end_inset - tiene rango -\begin_inset Formula $(0,+\infty)$ -\end_inset - -. + es continua. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2791,7 +2823,7 @@ Dado un espacio vectorial ángulo \series default entre -\begin_inset Formula $f,g\in E\setminus\{0\}$ +\begin_inset Formula $f,g\in E\setminus0$ \end_inset al @@ -3139,7 +3171,7 @@ Si \begin_inset Formula $\{g_{1},\dots,g_{m}\}$ \end_inset - es un conjunto de vectores que genera + es un conjunto generador de \begin_inset Formula $G$ \end_inset @@ -154,7 +154,7 @@ Sea \end_inset si y sólo si, para cualesquiera -\begin_inset Formula $c,x\in\mathbb{C}^{n}$ +\begin_inset Formula $c,y\in\mathbb{C}^{n}$ \end_inset , la sucesión @@ -758,7 +758,7 @@ Se trata de encontrar un peso \begin_inset Formula $\omega>0$ \end_inset - para corregirlas coordenadas de + para corregir las coordenadas de \begin_inset Formula $x_{k}$ \end_inset @@ -1183,6 +1183,11 @@ método del descenso rápido \end_inset . + Se tiene +\begin_inset Formula $\nabla g(x)=2(Ax-b)$ +\end_inset + +. \series bold Demostración: @@ -1344,11 +1349,11 @@ noprefix "false" \end_inset -, calcula la base +, calcula los términos de las secuencias a la vez que la base \begin_inset Formula $(v_{1},\dots,v_{n})$ \end_inset - a la vez que los términos de las sucesiones. +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1377,7 +1382,7 @@ cal M}_n$ SPD de coeficientes, vector $b$ de términos independientes y vector \backslash -Salida{Solución $x$.} +Salida{Solución $x$ de $Ax=b$.} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1540,7 +1545,7 @@ name "alg:gradient" \end_inset -Algoritmo del gradiente conjugado. +Método del gradiente conjugado. \end_layout \end_inset @@ -1558,7 +1563,7 @@ Se puede usar como condición de parada que \begin_inset Formula $\gamma$ \end_inset - sea suficientemente pequeño, comprobando que lo sea al terminar, ya que + sea suficientemente pequeño, y comprobamos que lo sea al terminar ya que de lo contrario tenemos inestabilidad en los cálculos. \end_layout @@ -1588,22 +1593,22 @@ precondicionamiento \end_inset . - El sistema -\begin_inset Formula $Ax=b$ -\end_inset - -, llamando + Llamando \begin_inset Formula $\tilde{x}:=C^{t}x$ \end_inset -, es equivale al sistema -\begin_inset Formula $(C^{-1}A(C^{-1})^{t})\tilde{x}=C^{-1}b$ +, el sistema +\begin_inset Formula $Ax=b$ \end_inset -, llamado + es equivale al \series bold sistema precondicionado \series default + +\begin_inset Formula $(C^{-1}A(C^{-1})^{t})\tilde{x}=C^{-1}b$ +\end_inset + . \end_layout @@ -160,7 +160,7 @@ Sean \begin_inset Formula $\mathbb{C}^{n}$ \end_inset -, +, y \begin_inset Formula $p,y\in\mathbb{C}$ \end_inset @@ -172,7 +172,7 @@ Sean \begin_inset Formula $\langle v_{1},y\rangle\neq0$ \end_inset -, las sucesiones +, sean \begin_inset Formula $(x_{k})_{k}$ \end_inset @@ -180,7 +180,7 @@ Sean \begin_inset Formula $(r_{k})_{k}$ \end_inset - dadas por + las sucesiones dadas por \begin_inset Formula $x_{0}:=p$ \end_inset @@ -189,7 +189,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $r_{k}=\frac{\langle x_{k+1},y\rangle}{\langle x_{k},y\rangle}$ +\begin_inset Formula $r_{k}:=\frac{\langle x_{k+1},y\rangle}{\langle x_{k},y\rangle}$ \end_inset , entonces @@ -1074,9 +1074,7 @@ sum_{1 \backslash leq i<j \backslash -leq n} a_{ij} -\backslash -leq e$}{ +leq n} a_{ij}>e$}{ \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1108,7 +1106,7 @@ max_{i<j}|a_{ij}|$ $x \backslash -gets{a_{qq}-a{pp} +gets{a_{qq}-a_{pp} \backslash over2a_{pq}}$ \backslash @@ -219,32 +219,13 @@ Definimos la norma de una aplicación \end_inset como -\begin_inset Formula $\Vert L\Vert:=[...]\sup\{\Vert L(x)\Vert'\}_{x\in E,\Vert x\Vert\leq1}$ +\begin_inset Formula $\Vert L\Vert:=\text{[...]}\sup\{\Vert L(x)\Vert'\}_{x\in E,\Vert x\Vert\leq1}$ \end_inset [...]. \end_layout \begin_layout Standard -[...] En -\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ -\end_inset - -, todas las normas son equivalentes. - [...] Un -\series bold -espacio de Banach -\series default - es un espacio normado completo. - [...] -\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ -\end_inset - - es un espacio de Banach con cualquier norma. - -\end_layout - -\begin_layout Standard [...] El \series bold teorema del incremento finito @@ -262,10 +243,10 @@ teorema del incremento finito \end_inset y -\begin_inset Formula $L:\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ +\begin_inset Formula $M>0$ \end_inset - lineal, si +, si \begin_inset Formula $\Vert df(x)\Vert\leq M$ \end_inset @@ -326,7 +307,7 @@ Sean \end_inset tal que -\begin_inset Formula $f(\overline{B}(x,\delta))\subseteq\overline{B}(x,r)$ +\begin_inset Formula $f(\overline{B}(x,\delta))\subseteq\Omega$ \end_inset , y toda sucesión @@ -735,11 +716,19 @@ Método de Broyden \begin_layout Standard El método de Newton requiere calcular la matriz diferencial en cada iteración ( -\begin_inset Formula $O(n^{2})$ +\begin_inset Formula $\Theta(n^{2})$ +\end_inset + + si se usa derivación numérica y evaluar +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + en un punto es +\begin_inset Formula $\Theta(1)$ \end_inset - si se usa derivación numérica) y resolver un sistema lineal ( -\begin_inset Formula $O(n^{3})$ +) y resolver un sistema lineal ( +\begin_inset Formula $\Theta(n^{3})$ \end_inset ). @@ -817,10 +806,18 @@ suponiendo que . Esto reduce el orden de complejidad de cada iteración a +\begin_inset Formula $\Theta(n^{2})$ +\end_inset + + en el caso general, asumiendo que evaluar +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + en un punto es \begin_inset Formula $O(n^{2})$ \end_inset - en el caso general. +. \end_layout \begin_layout Section @@ -1147,7 +1144,8 @@ noprefix "false" esta función. No es un método muy rápido, pero permite una estimación inicial más lejana que los métodos de Newton y Broyden, por lo que se suele usar para obtener - una aproximación no muy fina que a su vez se usa con Newton o Broyden. + una aproximación no muy fina que a su vez se usa como punto de partida + para estos métodos. \end_layout \end_body @@ -325,10 +325,8 @@ valor \family typewriter \emph on A -\family default \emph default = -\family typewriter \emph on expr \family default @@ -567,11 +565,120 @@ Si una operación \begin_inset Formula $1\times1$ \end_inset - y se juntan todos estos elementos. + que se sitúa en la posición correspondiente de la matriz de salida. Si una de las dos es de un elemento, se extiende a una de igual tamaño que la otra con todos los elementos iguales al original. \end_layout +\begin_layout Standard + +\family typewriter +\emph on +A +\emph default +( +\emph on +x +\emph default +, +\emph on +y +\emph default +) +\family default + es la submatriz de +\family typewriter +\emph on +A +\family default +\emph default + formada por las columnas con índice en el vector +\family typewriter +\emph on +x +\family default +\emph default + y las filas con índice en el vector +\family typewriter +\emph on +y +\family default +\emph default +, y +\family typewriter +\emph on +A +\emph default +( +\emph on +x +\emph default +) +\family default + convierte la matriz en un vector concatenando las traspuestas de sus columnas + y toma los elementos del vector con índice en +\family typewriter +\emph on +x +\family default +\emph default +. + Los vectores de índice se pueden sustituir por +\family typewriter +: +\family default + para tomar todas las filas o columnas. + Los índices empiezan por 1. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\family typewriter +\emph on +A +\emph default +( +\emph on +x +\emph default +, +\emph on +y +\emph default +) = +\emph on +expr +\family default +\emph default + o +\family typewriter +\emph on +A +\emph default +( +\emph on +x +\emph default +) = +\emph on +expr +\family default +\emph default + asigna los elementos de la submatriz a la izquierda del +\family typewriter += +\family default + a los de la devuelta por la expresión, que debe ser del mismo tamaño. + Si la variable no existe, se crea, y si la submatriz indicada supone que + +\family typewriter +\emph on +A +\family default +\emph default + es más grande de lo que es, esta se amplía y se rellena con ceros. +\end_layout + \begin_layout Subsection Números \end_layout @@ -688,115 +795,6 @@ B \end_layout -\begin_layout Standard - -\family typewriter -\emph on -A -\emph default -( -\emph on -x -\emph default -, -\emph on -y -\emph default -) -\family default - es la submatriz de -\family typewriter -\emph on -A -\family default -\emph default - formada por las columnas con índice en el vector -\family typewriter -\emph on -x -\family default -\emph default - y las filas con índice en el vector -\family typewriter -\emph on -y -\family default -\emph default -, y -\family typewriter -\emph on -A -\emph default -( -\emph on -x -\emph default -) -\family default - convierte la matriz en un vector concatenando las traspuestas de sus columnas - y toma los elementos del vector con índice en -\family typewriter -\emph on -x -\family default -\emph default -. - Ambos vectores se pueden sustituir por -\family typewriter -: -\family default - para tomar todas las filas o columnas, y los índices empiezan por 1. - -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\family typewriter -\emph on -A -\emph default -( -\emph on -x -\emph default -, -\emph on -y -\emph default -) = -\emph on -expr -\family default -\emph default - o -\family typewriter -\emph on -A -\emph default -( -\emph on -x -\emph default -) = -\emph on -expr -\family default -\emph default - asigna los elementos de la submatriz a la izquierda del -\family typewriter -= -\family default - a los de la devuelta por la expresión, que debe ser del mismo tamaño. - Si la variable no existe, se crea, y si la submatriz indicada supone que - -\family typewriter -\emph on -A -\family default -\emph default - es más grande, esta se amplía y se rellena con ceros. -\end_layout - \begin_layout Subsection Booleanos \end_layout @@ -857,7 +855,7 @@ Listas \end_layout \begin_layout Standard -Las listas empiezan por 1 y pueden contener elementos de distintos tipos. +Las listas pueden contener elementos de distintos tipos. No se asigna a una lista, sino a sus elementos, a los que se hace referencia por \family typewriter @@ -871,8 +869,9 @@ lista } \family default . - Los elementos con índice menor que el indicado se rellenan con matrices - numéricas vacías + Los índices empiezan por 1. + Si se asigna a un índice mayor que el tamaño de la lista, esta se amplía + y se rellena con matrices numéricas \begin_inset Formula $0\times0$ \end_inset @@ -900,7 +899,7 @@ expr \family default \emph default , puede asignarse y puede usarse como una función normal. - Solo pueden devolver un elemento. + Solo puede devolver un elemento. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1486,20 +1485,7 @@ Biblioteca estándar \begin_layout Standard La mayoría de funciones que reciben un número y devuelven otro también funcionan - punto a punto sobre matrices. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -TODO addpath, rmpath, vander con 2 parámetros -\end_layout - -\end_inset - - + elemento a elemento con matrices. \end_layout \begin_layout Description @@ -1590,19 +1576,19 @@ shell \begin_layout Description \family typewriter -clf +\series bold +clear \family default - Limpia la ventana de gráficas. +\series default + Borra todas las variables. \end_layout \begin_layout Description \family typewriter -\series bold -clear +clf \family default -\series default - Borra todas las variables. + Vacía la ventana de gráficas, creándola si no existía ya. \end_layout \begin_layout Description @@ -1690,13 +1676,13 @@ style \emph default ) \family default - Si para cada elemento de + Si a cada par formado por un elemento de \family typewriter \emph on x \family default \emph default - con el correspondiente elemento de + y el correspondiente de \family typewriter \emph on y @@ -1708,8 +1694,7 @@ y v \family default \emph default -, dibuja la curva de nivel (aproximada) de la gráfica correspondiente a - la altura +, dibuja la curva de nivel (aproximada) de la gráfica a la altura \family typewriter \emph on h @@ -1783,8 +1768,12 @@ A \family default \emph default es vector, devuelve una matriz diagonal con elementos del vector en la - diagonal, y de lo contrario devuelve un vector con los elementos de la - diagonal de + diagonal +\begin_inset Formula $\{(i,j):i+k=j\}$ +\end_inset + +, y de lo contrario devuelve un vector con los elementos de dicha diagonal + de \family typewriter \emph on A @@ -1796,6 +1785,28 @@ A \begin_layout Description \family typewriter +diag( +\emph on +A +\series bold +\emph default +) +\family default +\series default + +\family typewriter +diag( +\emph on +A +\emph default +,0) +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Description + +\family typewriter disp( \emph on x @@ -2013,34 +2024,6 @@ x0 \begin_layout Description \family typewriter -fprintf( -\emph on -fmt -\emph default -, -\family default -... -\family typewriter -) -\family default - -\family typewriter -printf( -\emph on -fmt -\emph default -, -\family default -... -\family typewriter -) -\family default -. -\end_layout - -\begin_layout Description - -\family typewriter format \begin_inset space ~ \end_inset @@ -2059,8 +2042,8 @@ short \family typewriter long \family default - para la cantidad de decimales (pocos o muchos), seguidos opcionalmente - por + para la cantidad de decimales (pocos o muchos), seguido opcionalmente por + \family typewriter e \family default @@ -2074,6 +2057,34 @@ g \begin_layout Description \family typewriter +fprintf( +\emph on +fmt +\emph default +, +\family default +... +\family typewriter +) +\family default + +\family typewriter +printf( +\emph on +fmt +\emph default +, +\family default +... +\family typewriter +) +\family default +. +\end_layout + +\begin_layout Description + +\family typewriter inv( \emph on A @@ -2258,6 +2269,28 @@ A \begin_layout Description \family typewriter +max( +\emph on +x +\emph default +, +\series bold +\emph on +y +\emph default +) +\family default +\series default + +\begin_inset Formula $\max\{\text{\emph{\texttt{x}}},\text{\emph{\texttt{y}}}\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description + +\family typewriter [ \emph on w @@ -2308,28 +2341,6 @@ A \begin_layout Description \family typewriter -max( -\emph on -x -\emph default -, -\series bold -\emph on -y -\emph default -) -\family default -\series default - -\begin_inset Formula $\max\{\text{\emph{\texttt{x}}},\text{\emph{\texttt{y}}}\}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Description - -\family typewriter [ \emph on xx @@ -2416,6 +2427,28 @@ y \begin_layout Description \family typewriter +min( +\emph on +x +\emph default +, +\series bold +\emph on +y +\emph default +) +\family default +\series default + +\begin_inset Formula $\min\{\text{\emph{\texttt{x}}},\text{\emph{\texttt{y}}}\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description + +\family typewriter [ \emph on w @@ -2466,42 +2499,91 @@ A \begin_layout Description \family typewriter -min( +norm( +\series bold \emph on -x +A \emph default , -\series bold +\series default \emph on -y +p +\emph default +, +\emph on +opt +\series bold \emph default ) \family default \series default - -\begin_inset Formula $\min\{\text{\emph{\texttt{x}}},\text{\emph{\texttt{y}}}\}$ + Si +\family typewriter +\series bold +opt +\family default +\series default + es +\family typewriter + +\begin_inset Quotes qld \end_inset -. -\end_layout +columns +\begin_inset Quotes qrd +\end_inset -\begin_layout Description +\family default + o +\family typewriter + +\begin_inset Quotes qld +\end_inset + +cols +\begin_inset Quotes qrd +\end_inset + + +\family default +, vector fila con la norma +\family typewriter +\emph on +p +\family default +\emph default + de cada vector columna en \family typewriter -norm( \emph on A +\family default \emph default -) +. + Si es +\family typewriter + +\begin_inset Quotes qld +\end_inset + +rows +\begin_inset Quotes qrd +\end_inset + + \family default - +, vector columna con la norma \family typewriter -norm( \emph on -A +p +\family default \emph default -,2) + de cada vector fila en +\family typewriter +\emph on +A \family default +\emph default . \end_layout @@ -2543,85 +2625,25 @@ p Inf \family default . - \end_layout \begin_layout Description \family typewriter norm( -\series bold \emph on A \emph default -, -\series default -\emph on -p -\emph default -, -\emph on -opt -\series bold -\emph default ) \family default -\series default - Si -\family typewriter -\series bold -opt -\family default -\series default - es -\family typewriter - -\begin_inset Quotes qld -\end_inset - -columns -\begin_inset Quotes qrd -\end_inset - - -\family default - o -\family typewriter - -\begin_inset Quotes qld -\end_inset - -cols -\begin_inset Quotes qrd -\end_inset - - -\family default -, vector fila con la norma de cada vector columna en + \family typewriter +norm( \emph on A -\family default \emph default -. - Si es -\family typewriter - -\begin_inset Quotes qld -\end_inset - -rows -\begin_inset Quotes qrd -\end_inset - - -\family default -, vector columna con la norma de cada vector fila en -\family typewriter -\emph on -A +,2) \family default -\emph default . \end_layout @@ -2695,13 +2717,13 @@ fmt fmt \family default \emph default -, una cadena con caracteres normales que se representan a sí mismos pero - con secuencias de escape que empiezan por +, una cadena con caracteres normales que se representan a sí mismos y secuencias + de escape que empiezan por \family typewriter % \family default . - Así, + Por ejemplo, \family typewriter %f \family default @@ -2803,16 +2825,16 @@ A \family typewriter sign( \emph on -x +z \emph default ) \family default Si -\begin_inset Formula $\text{\emph{\texttt{x}}}=0$ +\begin_inset Formula $\text{\emph{\texttt{z}}}=0$ \end_inset , 0, de lo contrario -\begin_inset Formula $\frac{x}{|x|}$ +\begin_inset Formula $\frac{\text{\emph{\texttt{z}}}}{|\text{\emph{\texttt{z}}}|}$ \end_inset . @@ -2874,6 +2896,22 @@ z \begin_layout Description \family typewriter +sum( +\emph on +A +\emph default +) +\family default + +\begin_inset Formula $\sum\text{\emph{\texttt{A}}}_{ij}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description + +\family typewriter [ \emph on U @@ -2920,29 +2958,13 @@ S \begin_layout Description \family typewriter -sum( -\emph on -A -\emph default -) -\family default - -\begin_inset Formula $\sum\text{\emph{\texttt{A}}}_{ij}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Description - -\family typewriter title( \emph on str \emph default ) \family default - Indica el título de la gráfica. + Da un título a la gráfica. \end_layout \begin_layout Description |